(4) γενικής λύσης το x με το -x. και θα έχουμε : y ομ (x)=c 1 (-x) -1 +c 2 (-x) 3
|
|
- Ανατόλιος Παπανδρέου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ EULER Ορισμός : Οι γραμμικές διαφορικές ξισώσις, των οποίων οι συντλστές ίναι δυνάμις του βαθμού ίσου μ την τάξη της αντίστοιχης παραγώγου, ονομάζονται ξισώσις του Eule Πχ η ομογνής ξίσωση του Eule n τάξης έχι την γνική μορφή : α n n y (n) +α n- n- y (n-) + +α y +α 0 y0 () και η αντίστοιχη μη ομογνής α n n y (n) +α n- n- y (n-) + +α y +α 0 yf() () Η γνική λύση της () ως γνωστό ίναι : y γν y ομ +y μρ όπου η y ομ ίναι η γνική λύση της () και η y μρ μια μρική λύση της (), που μπορί πχ να βρθί μ την μέθοδο των προσδιοριστέων συντλστών, αφού θα ξέρουμ την y ομ Από την μορφή της ξίσωσης Eule () ίναι φανρό ότι μ την αντικατάσταση y s για >0, (ή y(-) s για <0), θα προκύψι μια κοινή δύναμη του απ' όλους τους όρους, συγκκριμένα η s Εάν το s κλγί κατάλληλα ώστ ο ολικός συντλστής αυτής της κοινής δύναμης να μηδνίζται, τότ θα έχουμ στη διάθση μας μια λύση της () Ας - φαρμόσουμ τα παραπάνω για την πρίπτωση της ομογνούς ξίσωσης Eule ης τάξης : α y +βy +γy 0 y s () α s(s-) s- +βs s- +γ s 0 [αs +(β-α)s+γ] s 0 Εάν s και s ίναι οι ρίζς του τριωνύμου αs +(β-α)s+γ0, τότ η γνική λύση της () ίναι : s y ομ ()c + s c () Παράδιγμα : Να λυθί η ΔΕ y -y -y0 για >0 Λύση : Θέτουμ y s στην ΔΕ και έχουμ: s(s-) s- -s s- - s 0 [s(s-)-s-] s 0 s -s-0 s -, s Άρα y ομ ()c - +c Εάν θέλουμ να βρούμ τη λύση για <0 τότ αντικαθιστούμ στον παραπάνω τύπο της γνικής λύσης το μ το - και θα έχουμ : y ομ ()c (-) - +c (-) Παράδιγμα : Να λυθί η ΔΕ y +y -y0 για >0 Λύση : Θέτοντας s στη ΔΕ παίρνουμ s (s -s-)0 μ χαρακτηριστικές ρίζς : s -/, s Επομένως η γνική λύση της ΔΕ ίναι : yομ c+ c για >0 Εάν θέλουμ να βρούμ τη λύση για <0 τότ αντικαθιστούμ στον παραπάνω τύπο της γνικής λύσης το μ το - και θα έχουμ : y c ( ομ ) + c για <0 Παρατήρηση : Στην πρίπτωση διπλής ρίζας s s s θα ίναι :
2 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 β α s- και (β-α) -αγ0 () α Για να βρούμ μια άλλη λύση χρησιμοποιούμ τον ομογνή γραμμικό μτασχηματισμό y s Y και έχουμ : y s Y() y s s- Y+ s Y (6) y s(s-) s- Y+s s- Y +s s- Y + s Y s Y +s s- Y +s(s-) s- Y Θέτοντας τις (6) στην () έχουμ : α[ s+ Y +s s+ Y +s(s-) s Y]+β[s s Y+ s+ Y ]+γ s Y0 α s+ Y +[αs s+ +β s+ ]Y +[αs(s-) s +βs s +γ s ]Y0 (7) Επιδή το s ίναι λύση της () θα ίναι : αs(s-) s +βs s +γ s 0 από την (7) έχουμ τώρα : αy +(sα+β)y 0 (πιδή αsα-β) αy +αy 0 Y +Y 0 Θέτουμ Y ()h() και έχουμ : h) ( dh d h ()- ln h) ( ln h) ( h και Y ()/ dy/d/ dyd/ Y()ln Τλικά y s ln και η γνική λύση θα ίναι : y ομ c s +c s ln Παράδιγμα : Να λυθί η ξίσωση y -y+y0 για >0 Λύση : Θέτουμ y s και έχουμ s(s-) s -s s + s 0 s(s-)-s+0 s -s+0 (s-) 0 s, και η μια λύση ίναι y νώ η άλλη ίναι y ln Τλικά η γνική λύση θα ίναι y ομ c +c ln(c +c ln) Παράδιγμα : Να λυθί η ΔΕ y +y +y0 για >0 Λύση : Θέτοντας s στη ΔΕ παίρνουμ s (s +s+)0 s +s+0 s s - (διπλή ρίζα) Επομένως η γνική λύση της ΔΕ ίναι : y ομ - (c +c ln) για >0 Γνικά ισχύι το πόμνο θώρημα : Θώρημα : Όταν η χαρακτηριστική ξίσωση που προέρχται από την ομογνή ΔΕ () μ την αντικατάσταση y s, έχι τις ρίζς s, s,, s μ αντίστοιχς πολλαπλότητς,,, m, ( m n), τότ σ κάθ ρίζα s i αντιστοιχούν οι i γραμμικά ανξάρτητς λύσις : si si si, ln, (ln), si i, (ln) >0 και η γνική λύση ίναι : s y ομ P s (ln ) + P (ln ) + s + P (ln ) (8) όπου P i m (ln) πολυώνυμα i - βαθμού ως προς ln Παρατήρηση : Στην πρίπτωση που έχουμ μια μιγαδική ρίζα α+iβ μαζί μ την συζυγή
3 Εξισώσις του Eule 8 της α-iβ πολλαπλότητας, τότ στις μιγαδικές αυτές ρίζς αντιστοιχί η παρακάτω έκφραση που θα πριέχται στη γνική λύση της ομογνούς y ομ : α P ( ln ) cs ( β ln ) + Q ( ln ) sin ( βln ) όπου Ρ - (ln), Q - (ln) πολυώνυμα - βαθμού της μταβλητής ln Απόδιξη: Ας θωρήσουμ για υκολία ότι έχουμ μια απλή μιγαδική ρίζα α+iβ μαζί μ την συζυγή της α-iβ Τότ σ αυτές τις ρίζς αντιστοιχούν οι λύσις: y α+iβ και y α-iβ Θα προσπαθήσουμ στη συνέχια να βρούμ το πραγματικό και φανταστικό μέρος αυτών των λύσων Έχουμ: y α+iβ α iβ α e iβ(ln) α [cs(βln)+isin(βln)], ομοίως y α-iβ α - iβ α e -iβ(ln) α [cs(βln)-isin(βln)] Άρα Re(y, ) α cs(βln) και Im(y, ) α sin(βln) Εύκολα τώρα αποδικνύται ότι ο γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω κφράσων: c α cs(βln)+c α sin(βln) α [c cs(βln)+c sin(βln)] ίναι λύση της διαφορικής ξίσωσης Παράδιγμα : Να λυθί η ΔΕ y +y +y0 για >0 Λύση : Θέτοντας s στη ΔΕ παίρνουμ s (s +)0 s i, s -i δηλ α0 και β Ε- πομένως η γνική λύση της ΔΕ ίναι : y ομ c cs(ln)+c sin(ln) για >0 Παρατήρηση : Οι ξισώσις Eule δν ίναι παρά μια διαφορτική μορφή των ξισώσων μ σταθρούς συντλστές Πράγματι μ την αντικατάσταση e t tln πχ η ΔΕ α y +βy +γy0 μτατρέπται σ ΔΕ μ σταθρούς συντλστές ως ξής : yy()y(e t ) y dy dy dt y y y (9) d dt d y d d y d d y d y d y y d + + dt y dt d y y - y y y y y + (0) όπου οι τλίς δηλώνουν παραγωγίσις ως προς τη νέα μταβλητή t Μ τις σχέσις (9) και (0) η ΔΕ γίνται : α(y y) +β y+γ y 0 α y + ( β α )y+γ y0 () που ίναι προφανώς μια ξίσωση μ σταθρούς συντλστές Παράδιγμα 6 : Να λυθί η ΔΕ y + y -y +y0 αφού προηγουμένως μτατραπί σ ΔΕ μ σταθρούς συντλστές, α) για >0, β) για <0 Λύση : α) θέτουμ e t και έχουμ : dy dy, dy dy dy, dy dy dy dy + d dt d dt dt d dt dt dt και αντικαθιστώντας στη ΔΕ παίρνουμ τη γραμμική ΔΕ dy dy + y 0 dt dt μ σταθρούς συντλστές Η γνική λύση αυτής της ΔΕ ίναι : y ομ c e t +c te t +c e -t
4 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 και πομένως η γνική λύση της ΔΕ που δόθηκ ίναι : y ομ c +c ln+c - για >0 β) για <0 χρησιμοποιούμ τον μτασχηματισμό -e t, οπότ έχουμ d t dt t e e dt d και όπως στην (α) πρίπτωση παίρνουμ τις ίδις σχέσις και καταλήγουμ στην ίδια ΔΕ μ τη χαρακτηριστική ξίσωση που έχι ρίζς s (διπλή), s - Έτσι η γνική λύση αυτής της ΔΕ ίναι και πάλι η y ομ c e t +c te t +c e -t αλλά τώρα ίναι e t - και tln(-), οπότ η γνική λύση της ΔΕ ίναι y ομ (-)[c +c ln(-)]+c (-) - για <0 Παρατήρηση : Στην πρίπτωση των μη ομογνών ΔΕ Eule μια μρική λύση μπορί να βρθί κατά τους ξής δυο τρόπους : α) Εφαρμόζουμ την μέθοδο της μταβολής των παραμέτρων, που χρησιμοποιήσαμ στις γραμμικές ΔΕ μ σταθρούς συντλστές, αφού διαιρέσουμ την ΔΕ μ το α n n f ( ) Τότ ο μη ομογνής όρος θα ίναι Πχ για την Δ Ε Eule ης : α y +βy +γyf() n α n έστω ότι η γνική λύση της αντιστοίχου ομογνούς ίναι: y ομ () ( ) ( μρική λύση της μη ομογνούς θα την αναζητήσουμ υπό την μορφή: y μρ v ()y ()+v ()y () και λύνουμ το σύστημα: vy() + vy () 0 ( ) cy + cy ) Μια f vy () + vy () α n n β) Μτατρέπουμ την ΔΕ Eule σ γραμμική ΔΕ μ σταθρούς συντλστές και στη συνέχια ργαζόμαστ κατά τα γνωστά Παράδιγμα 7 : Να βρθί η γνική λύση της ΔΕ y +y -y Λύση: Πρώτα θα βρούμ την λύση της αντίστοιχης ομογνούς ΔΕ y +y -y0 Θέτοντας s στη ΔΕ παίρνουμ s(s-)+s-0 s +s-0 s -, s / Επομένως η γνική λύση της αντίστοιχης ομογνούς της ΔΕ ίναι : y ομ c + c Δηλαδή δυο μρικές λύσις της ομογνούς ίναι y () και y () Για να βρούμ μια μρική λύση, θέτουμ y μρ v ()y ()+v ()y () v ( ) + v( ) και λύνουμ το σύστημα:
5 v + v 0 v + v Η λύση του οποίου δίνι: v ( ), v ( ) 6 v( ) 0, v( ) 6 0 Άρα y μρ v ( ) + v( ) 6 Τλικά y γν y ομ +y μρ c + c + Εξισώσις του Eule 87 Ασκήσις : Να λυθούν οι ΔΕ του Eule ) y + y"-y +y0 Απ yc +c ln+c - ) y"+y -y0 Απ yc +c [/] ) y"+y +y0 Απ yc cs(ln)+c sin(ln) Εφαρμογές της Δ Ε Eule ) ΜΗΧΑΝΙΚΗ Θωρούμ μια λπτή στρογγυλή πλάκα μ συμμτρική κατανομή του ξωτρικού φορτίου p() όπου η απόσταση από το κέντρο και Ν η ακαμψία της πλάκας Θέλουμ να προσδιορίσουμ το βέλος σ αυτήν την πρίπτωση () Το βέλος θα υπακούι την ΔΕ: w + w w + w p() N Θα μλτήσουμ την πρίπτωση που p () Έτσι η ΔΕ θα γραφί: () () w + w w + w w + w w + w () N N Μη ομογνής ΔΕ Eule Επιλύουμ αρχικά την αντίστοιχη ομογνή ΔΕ: () w + w w + w 0 Θέτουμ w w w ( )
6 88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 () w ( )( ) w ( )( )( ) Μ τις αντικαταστάσις αυτές η ομογνής ΔΕ Eule θα γίνι: ( )( )( ) + ( )( ) ( ) + 0 ( Άρα [ ( )( )( ) + ( )( ) ( ) + ] 0 ( )( )( ) + ( )( ) ( ) + 0 [( )( )( ) + ( )( ) ( ) + ] 0 ( + ) 0 + ) κ 0 (Διπλή ρίζα) και + 0 (Διπλή ρίζα) w ομογ C + C n + C + C ίναι η λύση της ομογνούς ξίσωσης Ως μρική λύση αναζητούμ πολυώνυμο της μορφής: u () a + a + a + a + a + a u () u u u a n ( ) + a + a + a + a + a () a + a + a + a + 6a + 7a () a + 6a + a + 0a + 0a + a () 6a + a + 60a + 0a + 0a () () a + 0a + 60a 80a u + Έτσι από την () θα έχουμ: a + 0a + 60a + 80a + a + 8a + 0a + 0a a a 6a a 0a 0a a + a + a + a a + 6a + 7a N a + 0a a + 60a + 0a 0a + 6a + 0a + 0a + a ) + ( a + 8a a + a ) + ( a 6a + a ) + ( a + ) N a a a a 0 a a 0a + 0a 0a + a N a 0 a a ( ) ( ) (, απροσδιόριστο και για το ισχύι η σχέση: Για υκολία πιλέγουμ a 0, οπότ η γνική λύση της () ίναι: w () C + + C n + C + C n ( ) ) ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Το ηλκτροστατικό δυναμικό σ χώρο χωρίς φορτία Το ηλκτροστατικό δυναμικό παληθύι την ξίσωση Pissn: ρ V Σ χώρο χωρίς φορτία, ρ0 (Αν ρ0 παντού τότ βέβαια V0, μπορί όμως να υπάρχι φορτίο αλλού, απλώς η προσοχή μας έχι πικντρωθί σ πριοχές όπου δν υπάρχι φορτίο) υπακούι την ΔΕ Laplace: V 0 Η ξίσωση Laplace σ σφαιρικές συντταγμένς γράφται:
7 Εξισώσις του Eule 89 V V V sin 0 + θ + () sin θ θ θ sin θ φ Εφαρμόζουμ τη μέθοδο χωρισμού των μταβλητών Θωρούμ λύση της μορφής Φ(, θ, φ) R() Θ( θ) Φ( φ) οπότ η () γράφται: + sin θ θ θ + sin θ φ ( RΘΦ) sin θ ( RΘΦ) ( RΘΦ) 0 ΘΦ R RΦ Θ RΘ Φ sin θ sin θ θ θ sin θ φ Διαιρούμ μ RΘΦ οπότ προκύπτι : d dr d dθ d Φ + sin θ + R d d Θ sin θ dθ Φ sin θ dφ Πολλαπλασιάζουμ μ sin θ, έτσι έχουμ: sin θ d dr sin θ d dθ d Φ + sin θ + 0 R d d Θ dθ Φ dφ sin θ d dr sin θ d dθ d Φ + sin θ R d d Θ dθ Φ dφ Το αριστρό μέλος ίναι συνάρτηση των μταβλητών,θ νώ το δξί του φ Άρα και τα δύο μέλη πρέπι να ισούνται μ την ίδια σταθρά έστω m Οπότ: d Φ sin θ d dr sin θ d dθ m, sin m + θ () Φ dφ R d d Θ dθ Επιλύοντας την () έχουμ : d dr d dθ m + sin θ R d d Θsin θ dθ sin θ d dr m d dθ sin θ R d d sin θ Θsin θ dθ Το αριστρό μέλος ίναι μια συνάρτηση μόνο του, νώ το δξί μόνο του θ Για να ίναι αυτό δυνατόν θα πρέπι και τα δυο μέλη να ισούνται μ την ίδια σταθρά, έστω ν Έτσι: d dr d R dr ν + νr 0 () R d d d d m d dθ και sin θ ν sin θ Θsin θ dθ Η ακτινική συνάρτηση R() υπακούι την () που ίναι ΔΕ τύπου Eule: d R dr + νr 0 d d s dr s d R s Θέτουμ R() s s(s ) οπότ η () γίνται: d d s s s s(s ) + s ν 0 [ ] s s(s ) + s ν 0 s(s ) + s ν 0 s + s ν 0 Η διακρίνουσα αυτής της ξίσωσης ίναι Δ + ν οπότ: 0
8 90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ± + ν + + ν + ν s, s, s ( + s) Άρα η λύση της ακτινικής ξίσωσης ίναι: s s s (+ s) s B R () A + B A + B A + s + Αν στο πρόβλημα που ξτάζουμ πριλαμβάνται το σημίο 0 η λύση γίνται A s R () ώστ να ίναι ομαλή σ όλα τα σημία του προβλήματος Αν αντίθτα στο B πρόβλημά μας πριέχται το άπιρο, τότ η λύση μταπίπτι σ () για τον ίδιο λόγο R s + ) Δυναμικό διόδου ηλκτρονικής λυχνίας Η κάθοδος και η άνοδος σ μια δίοδο ηλκτρονική λυχνία σχηματίζονται από δυο ομοαξονικά κυλινδρικά αγώγιμα φύλλα μ ακτίνς α και b Το ηλκτρικό δυναμικό της καθόδου ίναι 0 και της ανόδου V ο Λόγω της κπομπής ηλκτρονίων από την κάθοδο, η β χωρική πυκνότητα φορτίου στο κνό χώρο μταξύ καθόδου και ανόδου ίναι ρ ό- που β ίναι μια θτική σταθρά Υποθέτουμ ότι το μήκος των κυλινδρικών φύλλων ίναι άπιρο Θα υπολογίσουμ τα Φ(),E() για α<<b Το δυναμικό αποτλί την λύση της - ξίσωσης Pissn ρ V () Παρατηρούμ ότι η πυκνότητα φορτίου ξαρτάται μόνο από την μταβλητή Έτσι η ξίσωση Pissn γράφται d V dv β d V dv β + + () d d d d Πολλαπλασιάζουμ την () μ οπότ έχουμ: d V dv β + () d d Η () ίναι ΔΕ τύπου Eule, μη ομογνής Θα λύσουμ αρχικά την αντίστοιχη ομογνή d V dv + 0 d d () s dv s d V s Θέτουμ V s s(s ) οπότ η () γίνται: d d s s s s(s ) + s 0 [ s(s ) + s] 0 s s + s 0 s 0 s 0 (Διπλή ρίζα) Έτσι η λύση της ομογνούς ΔΕ Eule ίναι : 0 V n n ομ Στη συνέχια αναζητάμ μια μρική λύση της () Η λύση αυτή θα ίναι της μορφής A + B V B V 0 V μρ μρ μρ
9 Εξισώσις του Eule 9 Αντικαθιστώντας στην () έχουμ β β B B 0 Άρα τλικά η γνική λύση της () ίναι: β β V C n + A + + C C n + A + Οι σταθρές C,A θα προσδιοριστούν από τις οριακές συνθήκς Από τις οριακές συνθήκς του προβλήματος έχουμ ότι: β V( α ) 0 C nα + A + α α β β A n V + ( α b) nα α, β b V(b) V C nb A b + + e α n V b C + β ο ( α b) ) ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Η ξίσωση της συνέχιας ίναι η ΔΕ που κφράζι την διατήρηση της ύλης: ρ + divρv 0 t όπου ρ η πυκνότητα και V το πδίο ταχυτήτων Αντικαθιστώντας το V μ gad Φ, θα ρ έχουμ div ( ρgad( Φ) ) + 0 t όπου το Φ ονομάζται δυναμική συνάρτηση ταχύτητας ή συνάρτηση δυναμικού ταχυτήτων ή δυναμικό του πδίου ταχυτήτων Για ένα πδίο σταθρής πυκνότητας η ξίσωση απλοποιίται στην div ( ρ gad( Φ) ) 0 Για ασυμπίστο ρυστό σ αστρόβιλη ροή θα έχουμ div ( gad( Φ )) 0 Η ξίσωση αυτή ίναι η ξίσωση Laplace Ας θωρήσουμ ένα ορθό κύλινδρο ακτίνας α που κτλί μταφορική κίνηση μ ταχύτητα V c στην θτική κατύθυνση του άξονα Υποθέτουμ ότι ίναι βυθισμένος σ ένα απριόριστο υγρό που ίναι αλλιώς σ ηρμία Αν το υγρό ίναι ασυμπίστο, θέλουμ να βρούμ τη δυναμική συνάρτηση ταχύτητας Φ όταν ο άξονας του κυλίνδρου ίναι στο Ο Για αστρόβιλη δυδιάστατη κίνηση η ξίσωση Laplace σ κυλινδρικές συντταγμένς γράφται + + 0, Φ Φ Φ θ z
10 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 σημιώνοντας ότι Φ στο πρόβλημα αυτό 0, θα έχουμ τλικά z Φ Φ + 0 () θ Εφαρμόζουμ τη μέθοδο χωρισμού των μταβλητών, έτσι αναζητούμ λύση της μορφής Φ(, θ) R() Θ( θ) Έτσι η () γράφται: Θ d dr R d Θ ( RΘ) + ( RΘ) θ d d dθ Θ dr d R R d Θ dr d R d Θ + Θ d d dθ R d R d Θ dθ d Θ d R dr Θ dθ R d R d Το αριστρό μέλος ίναι συνάρτηση μόνο του θ, το δξί μόνο του Για να ίναι αυτό δυνατό θα πρέπι και τα δύο μέλη να ισούνται μ την ίδια σταθρά έστω β όπου β πραγ- ματικός, θτικός αριθμός Έτσι θα έχουμ d Θ + β Θ 0 dθ () ΔΕ ας τάξως μ σταθρούς συντλστές και d R dr + β R 0 d d () ομογνής ΔΕ Eule Η λύση της () ίναι Θ ( θ) C cs( βθ) + C sin( βθ) s s Η λύση της () θα βρθί θέτοντας R R s s R s(s ) Έτσι η () γίνται: s s s s(s ) + s β 0 s s + s β s 0 s s + s β 0 s β 0 s ±β ( ( ) ) ( ) β Άρα R() C β + C Έτσι η γνική λύση θα ίναι : β β Φ(, θ) ( C + C )( C cs( βθ) + C sin( βθ) ) όπου οι σταθρές C,C,C,C προσδιορίζονται από τις οριακές συνθήκς Οριακές συνθήκς: Φ V gadφ V ˆ Φ ˆ gad Vc csθ α Φ όταν το V 0 Φ όταν Vθ 0 θ
11 Εξισώσις του Eule 9 Τέλος το Φ(, θ) πρέπι να έχι ππρασμένη τιμή για όλς τις τιμές των,θ, δηλαδή για α και 0 θ π Για να ισχύι η θα πρέπι C 0 β Άρα Φ(, θ) C ( C cs( βθ) + C sin( βθ) ) Φ β Η παράγωγός της ίναι: βc ( C cs( βθ) + C sin( βθ) ), οπότ από την πρώτη συνθήκη έχουμ ότι: Φ β βc α ( C cs( βθ) + C sin( βθ) ) Vc csθ C C C 0, β, V c C C α Vc α α Vc Άρα τλικά Φ(, θ) cs θ που ικανοποιί και τις υπόλοιπς οριακές συνθήκς
Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:
Νόμος του Gauss 1. Ηλκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). ( a) cosφ ( b) ίναι διάνυσμα μέτρου Α και κατύθυνσης κάθτης στην πιφάνια. Στην γνική πρίπτωση: d d d ( ) (πιφανιακό ολοκλήρωμα) Νόμος του Gauss
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά και κλειστά σύνολα
5 Ανοικτά και κλιστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσται ο µηχανισµός που θα µας πιτρέψι να µλτήσουµ τις αναλυτικές ιδιότητς των συναρτήσων πολλών µταβλητών. Θα χριαστούµ τις έννοις της ανοικτής σφαίρας
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ
Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ A. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Γραμμική ξίσωση μ δύο αγνώστους ονομάζται κάθ ξίσωση της μορφής: α + βψ = γ (), μ α,β,γ π.χ. ψ =, =, ψ =, κλπ.
Διαβάστε περισσότερα4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω A ένα υποσύνολο του Ονομάζουμ πραγματική συνάρτηση μ πδίο ορισμού το A, μια διαδικασία f, μ την οποία, κάθ στοιχίο A αντιστοιχίζται σ ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το
Διαβάστε περισσότερα# Κάθε σημείο που οι συντεταγμένες του. Μεθοδολογία στην ευθεία γραμμή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΗ
Μθοδολογία στην υθία γραμμή Κοινά σημία δύο γραμμών. Για να βρούμ τις συντταγμένς του σημίου δύο γραμμών, λύνουμ το σύστημα των ξισώσών τους. ΓΡΑΜΜΗ Μια ξίσωση της μορφής φ(χ,ψ)= λέγται ξίσωση μιας πίπδης
Διαβάστε περισσότεραΓωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα
ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις
Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Τι ονομάζουμ ξίσση γραμμής Μια ξίσση μ δύο αγνώστους λέγται ξίσση μιας γραμμής C, όταν οι συντταγμένς τν σημίν της C, και μόνο αυτές, την παληθύουν Ποιό ίναι το βασικό
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.
Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι
Διαβάστε περισσότεραΣυμπλήρωμα 2 εδαφίου 3.3: Το γενικό μεταβολικό πρόβλημα για συναρτησιακό ολοκληρωτικού τύπου με ολοκληρωτέα συνάρτηση F κατά 2
ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3-8 Συμπλήρωμα 2 δαφίου 3.3: Το νικό μταβολικό πρόβλημα ια συναρτησιακό ολοκληρωτικού τύπου μ ολοκληρωτέα συνάρτηση F κατά 2 τμήματα C, ορισμένο πί καμπυλών που τέμνουν
Διαβάστε περισσότεραΣυµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια
35 Συµπάγια και οµοιόµορφη συνέχια Μια πολύ σηµαντική έννοια στην Ανάλυση ίναι αυτή της συµπάγιας. Όπως θα δούµ τα συµπαγή υποσύνολα του Ευκλίδιου χώρου R συµπριφέρονται λίγο πολύ ως ππρασµένα σύνολα.
Διαβάστε περισσότεραΚατοίκον Εργασία 2. (γ) το ολικό φορτίο που βρίσκεται στον κύβο. (sd p.e 4.9 p146)
Κατοίκον Εργασία. Ένα σημιακό φορτίο (point charge) 5 mc και ένα - mc βρίσκονται στα σημία (,0,4) και (-3,0,5) αντίστοιχα. (α) Υπολογίστ την δύναμη πάνω σ ένα φορτίο (point charge) nc που βρίσκται στο
Διαβάστε περισσότερα3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x)
4 3.3 Το συναρτησοιδές του Mikowski και μτρικοποιησιμότητα σ τοπικά κυρτούς χώρους. Υπνθυμίζουμ ότι αν E διανυσματικός χώρος, μια συνάρτηση : E R λέγται υπογραμμικό συναρτησοιδές αν (ι) ( λ) λ ( ) =, λ
Διαβάστε περισσότερα( ) y ) άγνωστη συνάρτηση, f (, )
6. Ι ΙΑΣΑΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΝ ΙΜΝ 6. Πρόβληµατα πδίου σ διαστάσις Η νότητα αυτή αναφέρται σ προβλήµατα πδίου, όπου άγνωστη συνάρτηση ίναι µία βαθµωτή συνάρτηση. α προβλήµατα αυτά έχουν σηµαντικές φαρµογές
Διαβάστε περισσότερακαι ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων .
80 Σύνολα µέτρου µηδέν στον και ο χαρακτηρισµός του Lebesgue των iema ολοκληρωσίµων συναρτήσων 7. Ορισµός. Έστω για κάθ 0 Α, λέµ ότι το Α έχι διάστατο µέτρο µηδέν αν, > υπάρχι ακολουθία ανοικτών διάστατων
Διαβάστε περισσότεραΑ ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ
A ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ ΣΕ ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Α. Γνική ξίσωση κίνησης για µη ρλατιβιστικές πριπτώσις q( ) + B Α. Αρχή διατήρησης της νέργιας
Διαβάστε περισσότεραΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α
ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΘΕΜΑΤΑ Α Θέµα ο. Να βρεθεί (α) η γενική λύση yy() της διαφορικής εξίσωσης y' y + καθώς και (β) η µερική λύση που διέρχεται από το σηµείο y(/). (γ) Από ποια σηµεία του επιπέδου
Διαβάστε περισσότερα6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β
1 6.3 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + β ΘΕΩΡΙ 1. Η πρίφηµη γωνία ω Έστω υθία που τέµνι τον άξονα σ σηµίο. Στρέφουµ την ηµιυθία κατά θτική φορά µέχρι να πέσι πάνω στην. Η γωνία ω που διαγράφται λέγται γωνία που σχηµατίζι
Διαβάστε περισσότερα2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός
ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 8575 Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται τα σηµία Α(,) και Β(5,6). α) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από τα σηµία Α και B.
Διαβάστε περισσότερα2018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προετοιµασίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β' Γενικού Λυκείου. Θετικών Σπουδών. Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ Α 018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προτοιµασίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' νικού Λυκίου Θτικών Σπουδών Παρασκυή 5 Ιανουαρίου 018 ιάρκια Εξέτασης: ώρς Α1. Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ ΘΕΜΑΤΑ. Να δίξτ ότι ισχύι α β + γ
Διαβάστε περισσότεραΑντλία νερού: Ο ρόλος της αντλίαςμελέτη συμπεράσματα σχόλια.
Αντλία νρού: Ο ρόλος της μλέτη συμπράσματα σχόλια.. Ο ρόλος της. Η αντλία χρησιμοποιίται ώστ να μταφέρι μια ποσότητα νρού κί που δν μπορί να μταφρθί μόνο μ τις πιέσις που δημιουργούνται από το υπόλοιπο
Διαβάστε περισσότερα[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]
Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΤΡΩΝ - ΤΜΗΜ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΘΗΜ : HΛΕΚΤΡΟΜΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων :Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος
Διαβάστε περισσότεραόπου n είναι ο συνολικός αριθμός γραμμομορίων του συστήματος (που συμπεριλαμβάνει και τα τυχόν αδρανή συστατικά), Ή ακόμα και τη σύσταση κατά βάρος
Κφάλαιο Στοιχιομτρία αντιδράσων. Σύσταση μιγμάτων αντιδρώντων Ας υποθέσουμ πως μια χημική αντίδραση συμβαίνι μέσα σ μια φάση. Η κατάσταση της κάθ φάσης καθορίζται από την πίση, τη θρμοκρασία Τ, και τη
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις
ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Άσκηση Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που πριγράφται στις διαφάνις
Διαβάστε περισσότεραΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,
Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: 69 97 985, E-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr
Διαβάστε περισσότερα3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητες.
32 3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητς. Στην παράγραφο αυτή πρόκιται να ισαγάγουμ μια σημαντική, ίσως την σημαντικότρη, κλάση τοπολογικών γραμμικών χώρων. Αυτή ίναι η κλάση των τοπικά κυρτών χώρων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Πυροηλεκτρισμός, Πιεζο- ηλεκτρισμός, Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μτσόβιο Πολυτχνίο Διηλκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητς Υλικών Κφάλαιο 4: Πυροηλκτρισμός, Πιζο- ηλκτρισμός, Σιδηροηλκτρισμός Λιαροκάπης Ευθύμιος
Διαβάστε περισσότερα10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θτική Τχνολογική Κατύθυνση ασκήσις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ)
Διαβάστε περισσότεραc 2 b b Λύση Το δυναµικό οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου έντασης ε είναι V( x)
ΑΣΚΗΣΗ 8 Φορτισµένος αρµονικός ταλανττής βρίσκται µέσα σ οµογνές ηλκτρικό πδίο έντασης. Τη χρονική στιγµή t= ο ταλανττής βρίσκται στη βασική κατάσταση. Να υπολογιστί η πιθανότητα ο ταλανττής να παραµίνι
Διαβάστε περισσότεραΕφαρµογές στη δυναµική του κέντρου µάζας στερεού σώµατος
Εφαρµογές στη δυναµική του κέντρου µάζας στρού σώµατος Εφαρµογή 1η Οµογνής δίσκος ακτίνας R ηρµί στην άκρη οριζόντιου τραπζιού µ το κέντρο του Κ να βρίσκται στην κατακόρυφη που διέρχται από την ία Ο του
Διαβάστε περισσότερα2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή
Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης νός συστήματος συντταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης νός σημίου πάνω σ μια πιφάνια προέρχται από την Γωγραφία και ήταν γνωστή στους αρχαίους
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 1 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 1. Σωστό το γ. Σωστό το γ. Σωστό το γ 4. Σωστό το δ
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών
Τ.Ε.Ι. Θσσαλονίκης Τµήµα Πληροφορικής Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών Θωρία Παραδίγµατα και Άλυτς Ασκήσις Γουλιάνας Κώστας Ε ίκουρος Καθηγητής eml : gul@t.tethe.gr Ιστοσλίδα
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ TRANSFER
ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ TRANSFER Tα υποδίγµατα Transfer αποτλούν µία καλύτρη προσέγγιση στην κτίµηση µονοµταβλητών υποδιγµάτων, στο κφάλαιο αυτό παρουσιάζονται πρισσότρο αναλυτικά. REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: Μετάδοση θερμότητας με ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ
Κφάλαιο : Μτάδοση θρμότητας μ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ Συντλστής όψως Στο προηγούμνο κφάλαιο μλτήσαμ κυρίως τις ιδιότητς ακτινοβολίας που κπέμπται, απορροφάται και αντανακλάται από μία πιφάνια Τώρα ξτάζουμ την ανταλλαγή
Διαβάστε περισσότεραΝα γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους.
Άσκηση. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους. α) y, β) y, γ) y, δ) y, ε) y ( ) Να προσδιοριστούν γραφικά και µε
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Γ Eνότητα Γ.1 Απόδειξη θεωρήµατος 1.5 Kεφαλαίου 1.
Παράρτηµα Γ νότητα Γ. Απόδιξη θωρήµατος.5 Kφαλαίου. στω f ίναι συνχής και πραγµατική συνάρτηση στο κανονικοποιηµένη (αφαιρώντας µια σταθρά) ώστ f ( x) dx= u = Pr f αρµονική µ (,) v (,) =. Τότ η. στω u
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ( 2.1)
ΚΕΦ 2 ο : H υθία στο πίπδο ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ( 2.1) Εξίσση γραµµής C του πιπέδου: Είναι µια ξίσση µ δύο αγνώστους x, που έχι τις ιδιότητς i) Oι συντταγµένς κάθ σηµίου της γραµµής C παληθύουν την ξίσση και
Διαβάστε περισσότεραx(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας Θέμα Ένα σημιακό φρτί Q τπθτίται στ κέντρ νός υδέτρυ σφαιρικύ αγώγιμυ κλύφυς ακτινών R και R. Να υπλγιστί τ παγόμν φρτί
Διαβάστε περισσότερα3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x)
4 3.3 Το συναρτησοιδές του Mikowski και μτρικοποιησιμότητα σ τοπικά κυρτούς χώρους. Υπνθυμίζουμ ότι αν E διανυσματικός χώρος, μια συνάρτηση : E R λέγται υπογραμμικό συναρτησοιδές αν (ι) ( λ) λ ( ) =, λ
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Άσκηση Σιρά Προβλημάτων Λύσις Να δώστ κανονικές κφράσις που να πριγράφουν τις πιο κάτω γλώσσς. (α) { m n m, n, m+n πριττός ακέραιος} (β) {w {,} * τα πρώτα δύο σύμβολα της w, αν υπάρχουν, δν ίναι τα ίδια
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 2 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Προθεσµία παράδοσης 22/12/09 ( )
19/11/9 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 4 9-1 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Προθσµία παράδοσης /1/9 Άσκηση 1 Η γνική µορφή νός ΗΜ κύµατος δίνται από E E sin k r ωt (1) ( ) Α) Το µέτρο του πλάτους πλάτος
Διαβάστε περισσότεραC V C = 1. Πυκνωτές. Οι πυκνωτές έχουν πολλές χρήσεις λόγω του ότι αποτελούν αποθήκες ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας.
. Πυκνωτές Δύο αγωγοί που διαχωρίζονται από ένα μονωτή αποτλούν ένα πυκνωτή. Στην πράξη οι αγωγοί φέρουν ία και αντίθτα φορτία. Ορίζουμ αν χωρητικότητα νός πυκνωτή το ταθρό πηλίκο: ab F Οι πυκνωτές έχουν
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Σημιώσις για το μάθημα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ε. Ε. Νισταζάκης Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικής Επιστήμης Πανπιστήμιο Αιγαίου ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κφάλαιο ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5.. Μ τι ασχολίται η αριθμητική
Διαβάστε περισσότεραΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης
1 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Οι οικονοµολόγοι νδιαφέρονται να µτρσουν ορισµένς µταβλητές για να µπορέσουν να κάνουν προβλέψις και για να κτιµσουν µ σχτικ ακρίβια τι αποτέλσµα θα έχι η µταβολ µιας µταβλητς πί µιας άλλης.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017
Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις σετ ασκήσεων #6
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Γ. Κοντογιάννης Πέμπτη 8 Μαΐου 07 Φυλλάδιο #4 Λύσις στ ασκήσων #6. Θόρυβος od. Έστω ότι ένα κανάλι έχι αλφάβητο ισόδου και αλφάβητο ξόδου το {0}. Όπως στο προηγούμνο στ η έξοδος του
Διαβάστε περισσότεραΘεώρηµα ( ) x x. f (x)
Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + ΓΩΝΙ ΕΥΘΕΙΣ ΜΕ ΤΝ ΞΝ Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + Έστ ( ) µία υθία στ καρτσιανό πίπδ η πία τέµνι τν άξνα στ σηµί A. Γνία της υθίας ( ) µ τν άξνα λέγται η γνία πυ διαγράφι η ηµιυθία, αν στραφί
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις
ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση [5 μονάδς] Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να δώστ κανονικές κφράσις που να πριγράφουν τις πιο κάτω γλώσσς πί του αλφάβητου Α = {, }. (α) Όλς οι λέξις πί του αλφάβητου
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 18 ο, 19 Νοεµβρίου 2008 (9:00-10:00).
Μάθηµα 8 ο, 9 Νοµβρίου 008 (9:00-0:00) Άσκηση 4 Θωρούµ κβαντικό σύστηµα ύο πιπέων, ηλαή έχουµ ύο ιιοκαταστάσις της νέργιας, Ĥ Ε και Ĥ Ε, τις οποίς ν γνωρίζουµ Ενώ για τον τλστή Α, γνωρίζουµ τις ιιοκαταστάσις
Διαβάστε περισσότεραΈνα Φρένο Σε Μια Τροχαλία
Ένα Φρένο Σ Μια Τροχαλία Η ομογνής ράβδος του σχήματος έχι μάζα ΜΡ και μήκος = και μπορί να στρέφται ως προς κάθτο άξονα που διέρχται από το σημίο μ την βοήθια άρθρωσης. Πάνω στη ράβδο και σ απόσταση /4
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ
ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Η συνάρτηση δ ( και η παράγωγός της Ορίζεται ως εξής: δ ( ανωµαλο
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΘΕΜΑ 2 ο. Α. 1. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ. 61
ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 5 / / 0 ΘΕΜΑ ο Α Θωρία σχολικό βιβλίο σλ 7 Θωρία σχολικό βιβλίο σλ 6 Β Λ, Σ, Λ, 4 Λ, 5 Λ, 6 Λ, 7 Λ, 8 Σ, 9 Λ, 0 Σ Γ Β,, Α, 4 Α, 5 Α ΘΕΜΑ ο A λ, µ Β µ, λ 6 α xa
Διαβάστε περισσότεραΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 4.4.07. α) Ποια ίναι η σχέση μταξύ των οικονομιών κλίμακας και αποδόσων κλίμακας; β) Πως μτράμ την έκταση των οικονομιών κλίμακας; ΛΥΣΗ α) Οι οικονομίς κλίμακας και οι αποδόσις κλίμακας ίναι
Διαβάστε περισσότερα13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann
3 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemnn 3. Μέθοδος αντικατάστασης ή αλλαγής µεταβλητής Πρόταση 3.. Εστω ότι η u = f (y) είναι συνεχής στο διάστηµα I, η y = g() έχει συνεχή παράγωγο στο διάστηµα Ι και
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΦΥΛΛΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΣΙΛΗΣ ΥΕΡΙΝΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙ ΜΕΡΣ ο : ΛΕΡ ΚΕΦΛΙ ο ΦΥΣΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; πάντηση ι
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΒρείτε την εξίσωση της γραµµής ροής που τη χρονική στιγµή t = 0 διέρχεται από το σηµείο P ( 1,2 ).
ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εξ. ιδ. 04 Καθηγητής Ι. Βαρδουλάκης, Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. :00 µ.- 5:00 µ.µ., Τετάρτη 7 Αυγούστου 00 Γκ. 04, 05, 8, 0, 07, 07, 08 Θέµα : ίδεται το πεδίο ταχυτήτων
Διαβάστε περισσότεραΟι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ
ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Αντικίµνο Eίναι η µλέτη ροών και φαινοµένων µταφοράς στο υδάτινο πριβάλλον. Υποσύνολο της Πριβαλλοντικής Ρυστοµηχανικής (Environmental Fluid Mechanics) µ στίαση στο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ
ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ 0 ΤΗΛ. 60 65.360, 60 6.009, FAX 60 65.366 www.kapalar.gr -mail: ifo@kapalar.gr ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΕΜΠΤΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 005 ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο. γ. α 3. δ. β 5. (α) Σωστό (β)
Διαβάστε περισσότερα10 ΠΡΟΣΠΤΩΣΗ Η/Μ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΟ ΜΕΣΩΝ
ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ ΠΡΟΣΠΤΩΣΗ Η/Μ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΟ ΜΕΣΩΝ ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ. Η φατονική συνιστώσα του ηλκτρικού δίου δύο έσα t t. Η κάθτη συνιστώσα του ανύσατος της ηλκτρικής τατόισης σταθρή
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές ασκήσεις
Επαναληπτικές ασκήσις Έστω απομονωμένο μακροσκοπικό σύστημα το οποίο αποτλίται από mol όμοιων και διακριτών μονοατομικών μορίων τα οποία δν αλληλπιδρούν μταξύ τους. Τα μόρια αυτά μπορούν να βρθούν ίτ σ
Διαβάστε περισσότεραe-mail@p-theodoropoulos.gr
Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ
Σχδίαση μ τη χρήση Η/Υ ΕΦΑΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΟΣ, ΕΠΙΟΥΡΟΣ ΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΗΣΗΣ ΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΑΡΙΣΑΣ Γωνίς πιπέδων: Η γωνία δυο τμνόμνων πιπέδων ορίζται
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότερα5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.
Διαβάστε περισσότεραΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων
ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8// Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού
//04 Γραμμική Διαφορική Εξίσωση ου βαθμού, με τη βοήθεια του αορίστου ολοκληρώματος, της χρήσιμης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθμού af ( ) f ( ) cf ( ) g( ), ac,, σταθεροί πραγματικοί αριθμοί
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 29 - ΑΘΗΝΑ 6932 946778 www.pmoias.weebly.com ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΟ νόμος του Ampère. Διαφορική μορφή του ν.ampère. B r. Παρ : To πεδίο Β δακτυλιοειδούς πηνίου. Εντός του πηνίου
Ο νόμος του Apèr Ο νόμος του Apèr Bis μ μ Ji Επιφάνια Bi μ π r ( π s B s r μ Η κυκλοφορία του μαγνητικού πδίου κατά μηκός μιάς κλιστής διαδρομής ισούται μ μ Ι, όπου Ι ίναι το ολικό σταθρό (χρονικά αμτάβλητο
Διαβάστε περισσότερα6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).
6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος
Τίτλος Μαθήματος: Γνική Φυσική (Ηλκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Κφάλαιο 7 1 Κφάλαιο 7 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότερα(x(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2,y(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2,z(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2) =0 x y z. div A =0
1 Pìblhma 1 α) gad = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 = (x(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2,y(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2,z(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2) β) = div = x x + y y + z z =3 cul = x y z γ) Εχουμε A = ω x ω y ω z x y z =(ω yz
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις
ΕΠΛ211: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση 1 Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να δώστ κανονικές κφράσις που να πριγράφουν τις πιο κάτω γλώσσς. (α) { w {,} * η w δν πριέχι δύο συνχόμνα όμοια γράμματα }
Διαβάστε περισσότεραp& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i,
Κινητική Ενέργεια Κινητήρων Περνάµε τώρα στη συνεισφορά κινητικής ενέργειας λόγω της κίνησης & ϑ m του κινητήρα που κινεί την άρθρωση µε q& και, προφανώς όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, ευρίσκεται στον
Διαβάστε περισσότερα4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ
1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή
Διαβάστε περισσότεραdv 2 dx v2 m z Β Ο Γ
Μηχανική Ι Εργασία #2 Χειμερινό εξάμηνο 218-219 Ν Βλαχάκης 1 Στην άσκηση 4 της εργασίας #1 αρχικά για t = είναι φ = και η ταχύτητα του σώματος είναι v με φορά κάθετη στο νήμα ώστε αυτό να τυλίγεται στον
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές εξισώσεις
Διαφορικές εξισώσεις Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διαφορικές εξισώσεις τεχνικές 73 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglys.gr 1 1 / 1 / 0 1 8 εκδόσεις Καλό
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ. Εξισώσεις διαφορών
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ Εξισώσεις διαφορών Εξίσωση διαφορών ονοµάζεται η εξίσωση που ικανοποιείται από τους όρους µιας ακολουθίας y, για =,,,. π.χ. η εξίσωση διαφορών (y + ) (y ) =. Μια ακολουθία α θα λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)
Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος,
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη Προηγούμενου Μαθήματος Κανάλια επικοινωνίας με θόρυβο και η χωρητικότητά τους
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Γ Κοντογιάννης Πέμπτη Μαΐου 7 Φυλλάδιο #3 Πρίληψη Προηγούμνου Μαθήματος Κανάλια πικοινωνίας μ θόρυβο και η χωρητικότητά τους Πώς πριγράφουμ ένα κανάλι πικοινωνίας; Τι θα πι «θόρυβος»;
Διαβάστε περισσότεραT.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ
T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ» ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΥΛΙΚΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ ΥΨΗΛΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (DC) Μηχανικό ανάλογο
ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (DC) κατανάλωση νέργιας για την μταφορά θτικών φορτίων από το στο της μπαταρίας Υψηλό δυναμικό Χαμηλό δυναμικό κατανάλωση ηλκ.νέργιας λόγω συγκρούσων μέσα στην αντίσταση (αγωγό)
Διαβάστε περισσότεραΗ f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2
1994 ΘΕΜΑΤΑ 1. ίνεται η συνάρτηση f()=,. Α) Αν ε είναι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f στο σηµείο Μ(α, α ), α >, να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ευθεία
Διαβάστε περισσότεραΙV ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ
ΜΕΘΟ Ο ΕΠΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΚΟΥ ΠΕ ΟΥ ΜΕΘΟ Ο ΕΠΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΚΟΥ ΠΕ ΟΥ ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ ΚΑΤΟΠΤΡΣΜΟΥ Φορτίο πάνω από αγώγιµο πίπδο z o. Τιµή και θέη του κατοπτρικού φορτίου,.
Διαβάστε περισσότερα3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ
. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέθοδοι επίλυσης : Οι βασικές µέθοδοι αλγεβρικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο η µέθοδος της αντικατάστασης
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 014 ΘΕΜΑ 1 Δίνεται ο πίνακας: 1) Να
Διαβάστε περισσότεραΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ
ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ Όταν lim f ( ) =l, εννοούµε ότι οι τιµές f () βρίσκονται όσο θέλουµε κοντά στο l, για τα τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο. f () y f() y f() y 9 f ( ) =l f () l f() l
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότερα