Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών"

Transcript

1 Τ.Ε.Ι. Θσσαλονίκης Τµήµα Πληροφορικής Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών Θωρία Παραδίγµατα και Άλυτς Ασκήσις Γουλιάνας Κώστας Ε ίκουρος Καθηγητής eml : Ιστοσλίδα : Θσσαλονίκη

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή.. Τι ίναι η Αριθµητική Ανάλυση. Ακρίβια Υπολογισµών - Σφάλµατα.. Σφάλµατα.. Σφάλµατα στους Υπολογισµούς. 7.. Σφάλµα Αποκοπής Σφάλµα Στρογγυλοποίησης. 8.. Στρογγυλοποίηση καδικών Αριθµών µ Πολλά Ψηφία 8. Παράσταση Αριθµών στον Η/Υ... Παράσταση Ακραίων Αριθµών στον Η/Υ.... Παράσταση Πραγµατικών Αριθµών στον Η/Υ. Απώλια Σηµαντικών Ψηφίων. Μτάδοση Σφαλµάτων στους Υπολογισµούς. Άλυτς Ασκήσις ου Κφαλαίου. Σιρές - Συναρτήσις.. Γνικά... Αναλυτικές Συναρτήσις. Εφαρµογές σ Αναπτύγµατα Στοιχιωδών Συναρτήσων... Ανάπτυγµα σ Σιρά McLur της συνάρτησης, < <... Ανάπτυγµα σ Σιρά McLur της κθτικής συνάρτησης e.... Σφάλµα Αποκοπής ιόρθωση στον Υπολογισµό Σιρών.... ιόρθωση στον Υπολογισµό της συνάρτησης, < < 6.. ιόρθωση στον Υπολογισµό της κθτικής συνάρτησης e, < <. 7. Εύρση Τιµής Πολυώνυµου - Σχήµα Hrer Υπολογισµός Τιµής Παραγώγου Πολυωνύµου σ γνωστό σηµίο... Υπολογισµός των Τιµών Όλων των Παραγώγων Πολυωνύµου σ Κάποιο Σηµίο. Άλυτς Ασκήσις ου Κφαλαίου. 7. Αριθµητική Επίλυση Εισώσων.. 8. Προσδιορισµός ιαστηµάτων των Ριζών Είσωσης.. 8. Τάη Σύγκλισης.. Μέθοδος της ιχοτόµησης Blz... Πριγραφή της Μθόδου της ιχοτόµησης.... Γωµτρική Ερµηνία της Μθόδου της ιχοτόµησης... Αλγόριθµος της Μθόδου της ιχοτόµησης. 6.. Σύγκλιση της Μθόδου της ιχοτόµησης Τάη Σύγκλισης της Μθόδου της ιχοτόµησης Ελάχιστος Αριθµός Επαναλήψων για τη Σύγκλιση της Μθόδου της ιχοτόµησης.. 7. Μέθοδος της Εσφαλµένης Θέσης. 8.. Πριγραφή της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης 9.. Γωµτρική Ερµηνία της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης Αλγόριθµος της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης Σύγκλιση της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης 6.. Τάη Σύγκλισης της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης 6..6 Σταθρά Σηµία στη Μέθοδο της Εσφαλµένης Θέσης Γνίκυση της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης Γνίκυση του Αλγορίθµου της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης. 6. Μέθοδος των ιαδοχικών Προσγγίσων.. 6 Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

3 .. Πριγραφή της Μθόδου των ιαδοχικών Προσγγίσων Γωµτρική Ερµηνία της Μθόδου των ιαδοχικών Προσγγίσων Αλγόριθµος της Μθόδου των ιαδοχικών Προσγγίσων Σύγκλιση Τάη Σύγκλισης της Μθόδου των ιαδοχικών Προσγγίσων Μέθοδος Νewt-Rphs Πριγραφή της Μθόδου Νewt-Rphs Γωµτρική Ερµηνία της Μθόδου Νewt-Rphs Αλγόριθµος της Μθόδου Νewt-Rphs Σύγκλιση της Μθόδου Νewt-Rphs Σύγκλιση της Μθόδου Νewt-Rphs σ Πολλαπλή Ρίζα 8.7 Μέθοδος της Χορδής Γωµτρική Ερµηνία της Μθόδου της Χορδής Αλγόριθµος της Μθόδου της Χορδής Τάη Σύγκλισης της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης. 9.8 Άλλς Μέθοδοι. 9 Άλυτς Ασκήσις ου Κφαλαίου. 9. Γραµµικά Συστήµατα 9. Ορισµοί - Μήτρς και Γραµµικά Συστήµατα 9.. Πράις µ Mήτρς Ειδικές Μορφές Μητρών 97.. Γραµµικά Συστήµατα Εισώσων Βασικό Θώρηµα των Γραµµικών Συστηµάτων Άµσς Μέθοδοι ιαγώνια Συστήµατα Κάτω Τριγωνικά Συστήµατα.... Άνω Τριγωνικά Συστήµατα... Μέθοδος της Απαλοιφής του Guss χωρίς οδήγηση.. Μέθοδος της Απαλοιφής Guss µ Μρική Οδήγηση....6 Μέθοδος της Απαλοιφής Guss µ Οδήγηση κι Εισορρόπιση Μέθοδος της Απαλοιφής Guss-Jrd.. 9. Επαναληπτικές Mέθοδοι Επίλυσης Γραµµικών Συστηµάτων.... Μέθοδος Jcb... Μέθοδος Guss-Sedel. Άλλς Μέθοδοι.. 9 Άλυτς Ασκήσις ου Κφαλαίου.. 6. Ανιούσς ιαφορές 6. Γνικοί Ορισµοί Σχέσις Μταύ των Τριών Τύπων ιαφορών Μτάδοση σφαλµάτων σ πίνακα διαφορών 9 6 Μτάδοση Σφάλµατος που Υπάρχι σ µια Από τις Τιµές της Συνάρτησης.. 6 Σφάλµατα Στρογγυλοποίησης των Τιµών της Συνάρτησης. 6.. Γραµµικοί Τλστές ιαφορών.. Άλυτς Ασκήσις 6 ου Κφαλαίου Παρµβολή. 7. Γνικά 7.. Τύπος Παρµβολής των προς τα Εµπρός ιαφορών των Newt Gregry. 7.. Τύπος Παρµβολής των προς τα Πίσω ιαφορών των Newt Gregry Πλήθος Όρων που Χρησιµοποιούνται στους Τύπους Παρµβολής 7.. Τύπος Παρµβολής του Lgrge ιόρθωση στους Τύπους Παρµβολής. Άλυτς Ασκήσις 7 ου Κφαλαίου.. 8 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.. 9 Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

4 Εισαγωγή. Τι ίναι η Αριθµητική Ανάλυση Οι σηµιώσις αυτές έχουν σαν στόχο να ισάγουν τους Φοιτητές του Γ Εαµήνου του Τµήµατος Πληροφορικής του ΤΕΙ Θσσαλονίκης στις Αριθµητικές Μθόδους και τις Τχνικές Επίλυσης Μαθηµατικών προβληµάτων, γνωστές σαν Αριθµητική Ανάλυση. Οι µέθοδοί της φαρµόζονται σ πολλούς πιστηµονικούς τοµίς, όπως η Στατιστική, η Μηχανική, η Μτωρολογία, η Επργασία Σήµατος, η Επργασία Εικόνας, Υπολογισµός Συχνότητας Θορύβου σ Σήµατα, Σχδιασµός Φίλτρων κ.λ.π.. Η Αριθµητική Ανάλυση, σαν Κλάδος των Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών αναπτύχθηκ σ µγάλο βαθµό µτά το ο Παγκόσµιο Πόλµο, παράλληλα µ την ανάπτυη των Η/Υ. Έχι όµως τις ρίζς της στην αρχαιότητα. Εκτός από τους Βαβυλώνιους και τους Αιγύπτιους, µταύ των Ελλήνων που ανέπτυαν µθόδους Αριθµητικής Ανάλυσης ήταν ο Αρχιµήδης π.χ. που µ τη µέθοδο των Προσγγίσων βρήκ τιµή για το πµταύ του και και ο Ήρωνας π.χ. 7 7 που βρήκ την Ττραγωνική Ρίζα νός αριθµού µ τον Επαναληπτικό Τύπο, ο οποίος ίναι µρική πρίπτωση της µθόδου Newt-Rphs που βρέθηκ µτά 8 αιώνς. Όπως ίναι γνωστό, οι µαθηµατικές δυνατότητς των Η/Υ αντλούνται στις τέσσρις βασικές πράις της αριθµητικής : πρόσθση, αφαίρση συµπλήρωµα της πρόσθσης, πολλαπλασιασµό και διαίρση διαδοχικές προσθέσις κι αφαιρέσις. Οι ταχύτητς κτέλσης αυτών των πράων ίναι τροµακτικά υψηλές, τα προβλήµατα όµως που συναντούµ πριέχουν και άλλς πράις, όπως ύρση λογαρίθµων, παραγώγων, ολοκληρωµάτων, ριζών κ.λ.π. που δν µπορούν να γίνουν άµσα µ έναν Η/Υ. Σκοπός της Α.Α. ίναι η ανάπτυη µθόδων για τη Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

5 µτατροπή Μαθηµατικών προβληµάτων σ ισοδύναµα, τα οποία πριέχουν µόνο τις τέσσρις πράις της Αριθµητικής, απαιτούν όσο το δυνατόν λιγότρς πράις και που ίναι άµσα υλοποιήσιµα σ έναν Η/Υ. Ένας ορισµός της Α.Α. θα µπορούσ να ίναι : ΟΡΙΣΜΟΣ. : Αριθµητική Ανάλυση ίναι ο κλάδος των σύγχρονων Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών που ασχολίται µ την Ανάπτυη και την κατασκυή αριθµητικών µθόδων για την ύρση αριθµητικών αποτλσµάτων από αριθµητικά δδοµένα. Παρατηρήσις Η χρησιµοποίηση και η αιοποίηση των µγάλων δυνατοτήτων των Ηλκτρονικών Υπολογιστών θα ήταν πολύ πριορισµένη χωρίς τη γνώση των µθόδων του Αριθµητικού Προσγγιστικού Λογισµού. Η µθοδολογία για την πίλυση νός προβλήµατος µ τη βοήθια της Αριθµητικής Ανάλυσης πιδιώκι :. Την ανύρση της πιο πρόσφορης µθόδου µ την οποία ασφαλίζται η λύση.. Την παλήθυση για να διχτί ότι, η µέθοδος συγκλίνι στη λύση του συγκκριµένου προβλήµατος.. Τον έλγχο της ταχύτητας µ την οποία συγκλίνι η µέθοδος.. Την ύρση του σφάλµατος που έγιν κατά την κτέλση των υπολογισµών αυτών. Την ανάπτυη των Μθόδων θα ακολουθούν πολλά παραδίγµατα και υποδιγµατικοί αλγόριθµοι, για την υλοποίησή τους σ Ηλκτρονικό Υπολογιστή. Στο Εργαστηριακό Μέρος του Μαθήµατος χρησιµοποιίται η γλώσσα προγραµµατισµού C. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

6 Ακρίβια Υπολογισµών - Σφάλµατα Σφάλµατα Σφάλµατα στους Υπολογισµούς Παράσταση Αριθµών στον Η/Υ Μτάδοση Σφαλµάτων στους Υπολογισµούς. Σφάλµατα Όπως έχι ήδη αναφρθί, ένας από τους βασικούς κανόνς που πρέπι να ακολουθίται κατά την πίλυση των προβληµάτων της Αριθµητικής Ανάλυσης, ίναι ο προσδιορισµός του Σφάλµατος που γίνται κατά τη µτατροπή των Μαθηµατικών προβληµάτων στα ισοδύναµά τους, των τσσάρων πράων της Αριθµητικής. Πρέπι δώ να σηµιωθί, ότι η παραγωγή του σφάλµατος ίναι αναπόφυκτη, αφού η µτατροπή γίνται προσγγιστικά. Τι ίναι όµως σφάλµα; ΟΡΙΣΜΟΣ. : Σφάλµα ίναι η διαφορά της αληθινής τιµής νός αριθµού από την προσγγιστική του τιµή. Έτσι, αν ίναι η προσγγιστική τιµή και η ακριβής ή αληθινή τιµή νός αριθµού, τότ το Σφάλµα δίνται από τη σχέση: ΟΡΙΣΜΟΣ. : Η αντίθτη ποσότητα του σφάλµατος ονοµάζται ιόρθωση και δίνται από τη σχέση : r ΟΡΙΣΜΟΣ. : Η απόλυτη τιµή του σφάλµατος ονοµάζται Απόλυτο Σφάλµα και ορίζται από τη σχέση : Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

7 Παράδιγµα. Η ακριβής τιµή νός αριθµού ίναι, και η προσγγιστική του τιµή η τιµή που µτρήθηκ ίναι. Να βρθί το Σφάλµα και το Απόλυτο Σφάλµα του. Σφάλµα : Απόλυτο Σφάλµα : Παράδιγµα. Η ακριβής τιµή νός αριθµού ίναι, και η προσγγιστική του τιµή ίναι 999. Να βρθί το Σφάλµα και το Απόλυτο Σφάλµα του. Σφάλµα : Απόλυτο Σφάλµα : 999 Παρατήρηση Όπως φαίνται στα παραπάνω παραδίγµατα. και., το απόλυτο σφάλµα και στις δύο πριπτώσις ίναι το ίδιο. Στη δύτρη όµως πρίπτωση, η µέτρηση θωρίται πιο ακριβής, γιατί υποσυνίδητα συσχτίζουµ το σφάλµα µ την ακριβή τιµή. Γι αυτό µια χρήσιµη έννοια ίναι το Σχτικό Σφάλµα που ορίζται ως ής : ΟΡΙΣΜΟΣ. : Το πηλίκο του σφάλµατος δια του αριθµού ονοµάζται Σχτικό Σφάλµα και ορίζται από τη σχέση : σ ΟΡΙΣΜΟΣ. : Το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα ορίζται από τη σχέση : σ Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 6

8 Παράδιγµα. Η ακριβής τιµή νός αριθµού ίναι., και η προσγγιστική του τιµή Να βρθί το Σφάλµα, το Απόλυτο Σφάλµα, το Σχτικό Σφάλµα, και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα του αριθµού. Σφάλµα : Απόλυτο Σφάλµα : Σχτικό Σφάλµα : Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα : σ.. σ.. Παρατηρήσις Όσο µικρότρο ίναι το σχτικό σφάλµα, τόσο καλύτρη ίναι η µέτρηση. Για την προσγγιστική τιµή χρησιµοποιώντας τους Ορισµούς.,. ισχύι η σχέση : σ. Σφάλµατα στους Υπολογισµούς Κατά την κτέλση των αριθµητικών πράων υπολογισµών, κτός απ τα σφάλµατα των δδοµένων νός προβλήµατος που οφίλονται σ συστηµατικά ή τυχαία σφάλµατα των οργάνων µτρήσως ή σ αµλητές δυνάµις στη διατύπωση του προβλήµατος, υπισέρχονται σ αυτές κι άλλα σφάλµατα. Σφάλµατα που οφίλονται στην πιλογή της αριθµητικής µθόδου η οποία βρίσκι συνήθως µια προσέγγιση της λύσης, στην αποθήκυση πραγµατικών πριοδικών αριθµών στον Η/Υ και τη συσσώρυση σφαλµάτων, σαν αποτέλσµα πράων. Τα σφάλµατα, γνικά, χωρίζονται σ δύο κατηγορίς: Τα Σφάλµατα Αποκοπής και τα Σφάλµατα Στρογγυλοποίησης... Σφάλµα Αποκοπής Το σφάλµα αποκοπής συναντάται συνήθως στην αποθήκυση πραγµατικών πριοδικών αριθµών στον Η/Υ και κατά τν υπολογισµό σιρών, δηλαδή αθροίσµατος όρων, όπως π.χ. τον υπολογισµό του e : e! Τα αθροίσµατα αυτά Σιρές πριέχουν άπιρο πλήθος όρων τους οποίους ίναι αδύνατο να τους αθροίσουµ όλους. Έτσι, προσθέτουµ ένα ορισµένο πλήθος πρώτων όρων, αγνοώντας τους Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 7

9 υπόλοιπους. Το σφάλµα, στην πρίπτωση αυτή, ίναι :!!! και ονοµάζται Σφάλµα Αποκοπής... Σφάλµα Στρογγυλοποίησης Κατά την κτέλση των πράων, όταν αυτές κτλούνται µ Η/Υ, δν ίναι δυνατό να χρησιµοποιηθούν αριθµοί µ πολύ µγάλο πλήθος ψηφίων, γιατί ίναι αδύνατη η αποθήκυσή τους στη Μνήµη του Η/Υ. Έτσι, οι πραγµατικοί αριθµοί αντικαθίστανται από άλλους, οι οποίοι έχουν λιγότρα ψηφία. Η διαδικασία αυτή ονοµάζται Στρογγυλοποίηση και το σφάλµα που προκύπτι Σφάλµα Στρογγυλοποίησης. Η στρογγυλοποίηση δ γίνται αυθαίρτα, αλλά ακολουθούνται κάποιοι κανόνς που σκοπό έχουν να λαχιστοποιήσουν το σφάλµα της απόρριψης των ψηφίων... Στρογγυλοποίηση καδικών Αριθµών µ Πολλά Ψηφία Στη στρογγυλοποίηση νός αριθµού σ k δκαδικά ψηφία, παραλίπουµ τα ψηφία από την k θέση και µτά. Το ψηφίο της k θέσης το αφήνουµ όπως ίναι ή το αυάνουµ κατά µια µονάδα, αν το µέρος που παραλίπται ίναι µγαλύτρο από µισή µονάδα της k δκαδικής τάης. Στην πρίπτωση που το µέρος που παραλίπται ίναι ακριβώς µισή µονάδα της k δκαδικής τάως, τότ, αν ο k ψηφίο ίναι άρτιο, το αφήνουµ ως έχι, διαφορτικά το αυάνουµ κατά. Παράδιγµα. Να στρογγυλοποιηθί ο αριθµός π. 96σ 9,8 7,,6,,,, δκαδικά ψηφία. π στρογγυλοποίηση σ 9 δ.ψ..96 στρογγυλοποίηση σ 8 δ.ψ..96 στρογγυλοποίηση σ 7 δ.ψ..9 στρογγυλοποίηση σ 6 δ.ψ..9 στρογγυλοποίηση σ δ.ψ..6 στρογγυλοποίηση σ δ.ψ.. στρογγυλοποίηση σ δ.ψ.. στρογγυλοποίηση σ δ.ψ. Παρατήρηση Η στρογγυλοποίηση, ανάλογα µ τον τρόπο που γίνται µπορί να έχι διαφορτικά αποτλέσµατα, όπως φαίνται στο πόµνο παράδιγµα : Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 8

10 Παράδιγµα. Να στρογγυλοποιηθί ο αριθµός π. 96σ 7 δκαδικά ψηφία. π του Παραδίγµατος.. Παράδιγµα.6 Να στρογγυλοποιηθί ο αριθµός. 8 σ δκαδικά ψηφία δ. ψ Παράδιγµα.7 Να στρογγυλοποιηθί ο αριθµός. 7 σ δκαδικά ψηφία δ. ψ ΟΡΙΣΜΟΣ.6 : Κατά τη στρογγυλοποίηση νός δκαδικού αριθµού σ k δκαδικά ψηφία δ. ψ., για το απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης ισχύι πάντοτ : k Παράδιγµα.8 Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης του αριθµού.7σ k δ. ψ k. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 9

11 Παράδιγµα.9 Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης του αριθµού.7 σ k δ.ψ k. ΟΡΙΣΜΟΣ.7 : Οι αριθµοί, συµφωνούν σ k δκαδικά ψηφία όταν ισχύι : k Παράδιγµα. Να βρθί σ πόσα δ.ψ. συµφωνούν οι αριθµοί. και άρα συµφωνούν σ δκαδικά ψηφία. ΟΡΙΣΜΟΣ.8 : Κατά τη στρογγυλοποίηση µ αποκοπή νός δκαδικού αριθµού σ k δκαδικά ψηφία δ. ψ., για το απόλυτο σφάλµα αποκοπής ισχύι : k Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα αποκοπής του αριθµού. 7 σ k δ.ψ k. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

12 Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα αποκοπής του αριθµού. 79 σ k δ.ψ k.. Παράσταση Αριθµών στον Η/Υ Στην καθηµρινή µας ζωή χρησιµοποιούµ το δκαδικό σύστηµα αρίθµησης. Στο σύστηµα αυτό κάθ αριθµός γράφται µ µοναδικό τρόπο, σαν γραµµικός συνδυασµός δυνάµων του, µ συντλστές τα ψηφία,,,,,,6 7,,8, 9. Παράδιγµα. Ο αριθµός 9 του δκαδικού συστήµατος µπορί να γραφί σαν : 9 9 Παρατήρηση Οι Η/Υ χρησιµοποιούν το δυαδικό σύστηµα αρίθµησης. Έτσι, κάθ αριθµός γράφται σαν γραµµικός συνδυασµός δυνάµων του. Παράδιγµα. Ο αριθµός του δυαδικού συστήµατος µπορί να γραφί σαν : 8.. Παράσταση Ακραίων Αριθµών στον Η/Υ Αν έχουµ έναν Η/Υ που διαθέτι k bts για την παράσταση νός ακέραιου αριθµού, µ το πρώτο να παριστάνι το πρόσηµο του αριθµού Θτικός Αρνητικός, τότ οι ακέραιοι που k k µπορούν να παρασταθούν από τον υπολογιστή θα ανήκουν στο διάστηµα [, ]. Συνήθως οι Η/Υ διαθέτουν 6 bts bytes για την παράσταση των ακραίων, ποµένως οι 6 6 ακέραιοι που µπορούν να παρασταθούν θα βρίσκονται στο διάστηµα [, ] [ 768, 767 ]. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

13 .. Παράσταση Πραγµατικών Αριθµών στον Η/Υ Κάθ αριθµός µπορί να γραφί στη δκαδική του µορφή µ ένα ακέραιο και ένα δκαδικό µέρος, το οποίο µπορί να αποτλίται από άπιρα ψηφία, όπως φαίνται στα πόµνα παραδίγµατα : Παρατηρήσις Στη µνήµη νός υπολογιστή ίναι αδύνατο να παραστήσουµ αριθµούς µ άπιρο πλήθος ψηφίων, γιατί το µέγθος της µνήµης ίναι ππρασµένο. Αποθηκύται µια κατάλληλη προσέγγιση του αριθµού, η οποία αρτάται από το πρόβληµα που λύνουµ. Όπως το ακέραιο µέρος γράφται σαν άθροισµα δυνάµων του στο δκαδικό σύστηµα αρίθµησης, έτσι και το δκαδικό µέρος γράφται σαν άθροισµα αρνητικών δυνάµων του. Παράδιγµα Στο δυαδικό σύστηµα αντίστοιχα θα έχουµ :. Κάθ πραγµατικός αριθµός µπορί να παρασταθί µόνο µ δκαδικό µέρος ακέραιο µέρος, αφού πολλαπλασιαστί µ κατάλληλη δύναµη της βάσης του αντίστοιχου αριθµητικού συστήµατος. Παράδιγµα ΟΡΙΣΜΟΣ.9 : Σ ένα αριθµητικό σύστηµα, µ βάση β, ορίζουµ τον αριθµό σαν Aριθµό Kινητής Yποδιαστολής ltg pt µήκους ως ής : ±.d d d β, d Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

14 όπου : β η βάση του αριθµητικού συστήµατος.d d το κλασµατικό µέρος, γνωστό και σαν mtss, µ d d,d,, d d ψηφία του συστήµατος ο κθέτης Παρατηρήσις Τα d καλούνται σηµαντικά ψηφία του αριθµού.,d,, d Για Απλή Ακρίβια, νώ για ιπλή Ακρίβια. ΟΡΙΣΜΟΣ. : Σηµαντικά Ψηφία σ.ψ νός δκαδικού αριθµού ονοµάζονται όλα τα ψηφία του αριθµού, κτός από τυχόν µηδνικά που υπάρχουν στην αρχή του αριθµού. Παράδιγµα.7 Ο αριθµός.7 έχι σηµαντικά ψηφία Ο αριθµός.6 έχι σηµαντικά ψηφία Ο αριθµός.8 έχι σηµαντικά ψηφία Παρατηρήσις Τα σηµαντικά ψηφία παίζουν σηµαντικό ρόλο στην σωτρική παράσταση του αριθµού στον Η/Υ. Αν µ m συµβολίσουµ το κλασµατικό µέρος, τότ ο γράφται σαν ± m β Συνήθως οι αριθµητικοί υπολογισµοί γίνονται σ αριθµητική κινητής υποδιαστολής. Για το δκαδικό µέρος m ισχύι m <, αφού το πρώτο ψηφίο ίναι πάντα. β Παράδιγµα.8 Στο καδικό σύστηµα β :. m <. Στο υαδικό σύστηµα β :.. m <. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

15 Παρατήρηση Σ έναν Η/Υ µ k bts για τη mtss γίνται στρογγυλοποίηση ή αποκοπή σ k δυαδικά ψηφία.d d d.d d ως ής : : d k Αποκοπή : Αποκόπτονται τα ψηφία d k,d k,, d, αποθηκύονται τα ψηφία,d,, d k d. k Στρογγυλοποίηση : Προστίθται στον αριθµό το και απ τον νέο αριθµό αποκόπτονται τα ψηφία d k,d k,, d και αποθηκύονται τα ψηφία d,d,, d k. Παράδιγµα.9 Αν m.6. και k 7, τότ Αποκοπή : 6 m. Στρογγυλοποίηση : m.. 8 m : Αποκοπή σ k 7 ψηφία : m..66 Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το απόλυτο σχτικό σφάλµα του Παραδίγµατος.9. Αν m.6. και k 7, τότ Αποκοπή : m m σ m Στρογγυλοποίηση : m m σ m Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

16 ΟΡΙΣΜΟΣ. : Κατά τη στρογγυλοποίηση νός δυαδικού αριθµού σ k δυαδικά ψηφία, για το απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης ισχύι : k k Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης του αριθµού.σ k δ. ψ k. Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης του αριθµού.σ k δ. ψ..... k.... ΟΡΙΣΜΟΣ. : Κατά τη στρογγυλοποίηση µ αποκοπή νός δυαδικού αριθµού σ k δυαδικά ψηφία, για το απόλυτο σφάλµα αποκοπής ισχύι πάντοτ: k Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

17 Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα αποκοπής του αριθµού. σ k δ. ψ. k.... Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα αποκοπής του αριθµού.σ k δ. ψ. k.... Παρατήρηση Για έναν Η/Υ που διαθέτι χαρακτήρς bytes για την παράσταση των πραγµατικών αριθµών, από τους οποίους τον χαρακτήρα για τον κθέτη και τους υπόλοιπους χαρακτήρς για το δκαδικό µέρος, αν το πρώτο ψηφίο διατίθται για το πρόσηµο του αριθµού, τότ ο 8 8 κθέτης e ανήκι στο διάστηµα [, ] [ 8, 7 ], οπότ ο υπολογιστής 8 7 µπορί να αποθηκύσι αριθµούς που βρίσκονται στο διάστηµα [, ]. ΘΕΩΡΗΜΑ. : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα της στρογγυλοποίησης νός πραγµατικού αριθµού στο δκαδικό σύστηµα σ k σηµαντικά ψηφία ίναι ΑΠΟ ΕΙΞΗ : e Αν m η ακριβής τιµή του αριθµού και η mtss στρογγυλοποιίται σ k σ.ψ. θα ίναι : Επίσης, m < m οπότ : k. e m η τιµή που αποθηκύται, τότ, αφού m k m. σ m e m m e e m m m e e m m m k k Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 6

18 Παράδιγµα. Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός 9. m.9 σ k σ.ψ., να βρθί το απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα m.9 σ m σ. 9. k ΟΡΙΣΜΟΣ. : Όταν ένας αριθµός δίνται στρογγυλµένος σ k σηµαντικά ψηφία, για το απόλυτο σχτικό σφάλµα στρογγυλοποίησης θα ισχύι : σ k k Παράδιγµα.6 Όταν ο αριθµός., δίνται στρογγυλµένος σ σ.ψ. δ.ψ να βρθούν φράγµατα για το Απόλυτο Σφάλµα και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα του αριθµού. Απόλυτο Σφάλµα :. Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα : σ. ΟΡΙΣΜΟΣ. : Οι αριθµοί, συµφωνούν σ k σηµαντικά ψηφία, αν ισχύι : σ k Παράδιγµα.7 Οι αριθµοί. 78και., συµφωνούν σ σ.ψ. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 7

19 Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα : σ ΘΕΩΡΗΜΑ. : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα της στρογγυλοποίησης νός αριθµού στο k δυαδικό σύστηµα σ k σηµαντικά ψηφία ίναι. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : e Αν m η ακριβής τιµή του αριθµού και mtss στρογγυλοποιίται σ k σ.ψ. θα ίναι : Επίσης, m < m οπότ : e m η τιµή που αποθηκύται, τότ, αφού η m k k m. σ m e m m e e m m m e e m m m k k Παράδιγµα.8 Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός..6 m. σ k 6 σ.ψ., να βρθί το απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα. σ m k 6 m σ ΘΕΩΡΗΜΑ. : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα της στρογγυλοποίησης µ αποκοπή νός k πραγµατικού αριθµού στο δκαδικό σύστηµα σ k σηµαντικά ψηφία ίναι. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 8

20 ΑΠΟ ΕΙΞΗ : e Αν m η ακριβής τιµή του αριθµού και η mtss στρογγυλοποιίται σ k σ.ψ. θα ισχύι : Επίσης, m < m e m η τιµή που αποθηκύται, τότ, αφού k m m. οπότ : σ m e m m e e m m m e e m m m k k Παράδιγµα.9 Αφού στρογγυλοποιηθί µ αποκοπή ο αριθµός 9. m.9 σ k σ.ψ., να βρθί το απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του m.9 σ m σ. 9. k ΘΕΩΡΗΜΑ. : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα της στρογγυλοποίησης µ αποκοπή νός k αριθµού στο δυαδικό σύστηµα σ k σηµαντικά ψηφία ίναι. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : e Αν m η ακριβής τιµή του αριθµού και k mtss στρογγυλοποιίται σ k σ.ψ. θα ισχύι : m m. Επίσης, m <, m οπότ : e e e m m m m m m k k σ e e m m m e m η τιµή που αποθηκύται, τότ, αφού η Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 9

21 Παράδιγµα. Αφού στρογγυλοποιηθί µ αποκοπή ο αριθµός. m..6 σ k 6 σ.ψ., να βρθί το απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του.... σ. m k 6 m σ... Παράδιγµα. Να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του Παραδίγµατος Αποκοπή : m σ Στρογγυλοποίηση : m ΟΡΙΣΜΟΣ. : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα των Θωρηµάτων. και. ονοµάζται αριθµός µηχανής και ορίζται σαν m k k στη στρογγυλοποίηση στην αποκοπή και γνικά m β k β k στη στρογγυλοποίηση στην αποκοπή Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

22 Παρατήρηση Ο Αριθµός Μηχανής αντιπροσωπύι το µέγιστο σχτικό σφάλµα στην προσέγγιση του 6 αριθµού που αποθηκύται και κυµαίνται µταύ του και. Παράδιγµα. Να βρθί ο Αριθµός Μηχανής σ έναν Η/Υ που διαθέτι k για Αριθµούς Απλής Ακρίβιας και k για Αριθµούς ιπλής Ακρίβιας. Στρογγυλοποίηση : k 6 m.9 k για ιπλή Ακρίβια m, για Απλή Ακρίβια Αποκοπή : k 6 m.8 k για ιπλή Ακρίβια m. Απώλια Σηµαντικών Ψηφίων Όπως στην αποθήκυση των αριθµών, έτσι και κατά την κτέλση των τσσάρων πράων της αριθµητικής και ιδίως όταν ργαζόµαστ µ Η/Υ, ργαζόµαστ µ πριορισµένο αριθµό σηµαντικών ψηφίων π.χ. στην αποθήκυση νός δυαδικού αριθµού η mtss στρογγυλοποιίται σ δυαδικά ψηφία, οπότ, αν οι αριθµοί που δίνονται διαφέρουν στον αριθµό των σηµαντικών ψηφίων, κάποια σηµαντικά ψηφία των µικρότρων αριθµών χάνονται, όπως φαίνται στα παραδίγµατα που ακολουθούν. Παράδιγµα. Αν. και y. να βρθί το απόλυτο σφάλµα και το απόλυτο σχτικό σφάλµα του αθροίσµατος y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. y...7 y σ y.8.8 y y. y y.7 Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

23 Παράδιγµα. Αν. και y. να βρθί το απόλυτο σφάλµα και το απόλυτο σχτικό σφάλµα της διαφοράς y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y. y... y.... σ y. y... y. y.. y... Παράδιγµα. Αν. και y. να βρθί το απόλυτο σφάλµα και το απόλυτο σχτικό σφάλµα του γινοµένου y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y. y...6 y σ y.6 y.6.6. y. y.6.6 y.6.6. Παράδιγµα.6 Αν. και y. να βρθί το απόλυτο σφάλµα και το απόλυτο σχτικό σφάλµα του πηλίκου / y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. / y. /..6 / y. /..6.6 σ / y.6.6 / y / y. / y.6.6 / y.6 Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

24 Παρατήρηση Λόγω πριορισµένου αριθµού σηµαντικών ψηφίων, σ πολλές πριπτώσις καταστρατηγούνται και οι νόµοι της αριθµητικής, όπως η προσταιριστική ιδιότητα στην πρόσθση και τον πολλαπλασιασµό. Χαρακτηριστικά ίναι τα παραδίγµατα που ακολουθούν. Παράδιγµα.7 Αν οι αριθµοί., y. και z. δίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. να διχθί ότι δν ισχύι η προσταιριστική ιδιότητα στην πρόσθση, δηλαδή y z y z και να βρθί το απόλυτο σφάλµα του αθροίσµατος y z και y z. y z....7 y z y z ποµένως y z.8 y z.7 y z.7 y z y z y z y z y z y z Παράδιγµα.8 Αν οι αριθµοί., y. 6 και z. 7 δίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. να διχθί ότι δν ισχύι η προσταιριστική ιδιότητα στν πολλαπλασιασµό, δηλαδή y z y z και να βρθί το απόλυτο σφάλµα του γινοµένου y z και y z. y z y z y z Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

25 ποµένως y z.. y z y z.68 y z y z y z yz y z y z Μτάδοση Σφαλµάτων στους Υπολογισµούς Κατά την κτέλση των τσσάρων πράων της αριθµητικής, όπου χρησιµοποιούνται αρχικά δδοµένα προρχόµνα από µτρήσις, τα σφάλµατα των πληροφοριών της ισόδου µταδίδονται κατά τέτοιον τρόπο, ώστ οι πληροφορίς όδου να πριέχουν πίσης σφάλµατα. Σχτικά µ τη διάδοση των σφαλµάτων αποδικνύουµ τα παρακάτω θωρήµατα : ΘΕΩΡΗΜΑ. : Το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του αθροίσµατος ή της διαφοράς ή πρισσότρων αριθµών ισούται µ το άθροισµα των απολύτων σφαλµάτων αυτών των αριθµών. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : Αν, y ίναι οι ακριβίς και του αθροίσµατος ή της διαφοράς, y οι προσγγιστικές τιµές αριθµών, τότ το απόλυτο σφάλµα ± y θα ίναι : ± ± y ± y ± y ± y y y y Παράδιγµα.9 Αν. και y. οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών, y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του αθροίσµατος y, όταν οι αριθµοί, y δίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y. m y y... Παράδιγµα. Αν. και y. οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών, y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σφάλµα της διαφοράς y, όταν οι αριθµοί, y δίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

26 m y y... ΘΕΩΡΗΜΑ.6 : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του αθροίσµατος ή πρισσότρων αριθµών που έχουν το ίδιο πρόσηµο ισούται µ το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα αυτών των αριθµών. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : Αν, y ίναι οι ακριβίς και, y οι προσγγιστικές τιµές θτικών αριθµών, τότ : σ y y y σ y σy y y y σ y y σ y y y σ y y σy Αν m, σ,y σ σy τότ σ y σ y σy σ y σy σ,y y σ,y y σ,y y y y y m, σ,y σ σy Παράδιγµα. Αν. και y. οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών, y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του αθροίσµατος y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y.. 7 σ y. y σ y.77. y y,y m, y. σ σ y σ σ y σ y y,y y..7. σ Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

27 ΘΕΩΡΗΜΑ.7 : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα της διαφοράς ή πρισσότρων αριθµών ισούται µ το άθροισµα των απολύτων σφαλµάτων δια της διαφοράς αυτών των αριθµών. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : Απ τον ορισµό του σχτικού σφάλµατος και τη χρήση του Θωρήµατος. θα έχουµ : σ y y y y y Παράδιγµα. Αν. και y. οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών, y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα της διαφοράς y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y.. σ y. y σ y y y σ y.8888 y σ y y y σ y y Παρατήρηση Όταν οι αριθµοί που αφαιρούνται δν έχουν µγάλη διαφορά, δν υπάρχι µγάλη ακρίβια στην αφαίρση. Παράδιγµα. Αν 7. και y 7. να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα της διαφοράς στρογγυλµένοι σ δ.ψ.. y, όταν οι αριθµοί, y δίνονται Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 6

28 7. σ y 7. y σ y y y σ y y σ y y δηλαδή το σχτικό σφάλµα της διαφοράς ίναι 9 φορές το απόλυτο σχτικό σφάλµα του κάθ αριθµού. Στο ίδιο συµπέρασµα θα φτάναµ µ τους παρακάτω υπολογισµούς : y y y..., οπότ το τλυταίο ψηφίο της διαφοράς δν ίναι ακριβές αφού το y., νώ το σχτικό σφάλµα θα ίναι : y.. y σ y.769 ΘΕΩΡΗΜΑ.8 : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του γινοµένου ή πρισσότρων αριθµών ισούται µ το άθροισµα των απολύτων σχτικών σφαλµάτων αυτών των αριθµών. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : Αν, y ίναι οι ακριβίς και, y οι προσγγιστικές τιµές αριθµών, τότ : σ y y y y y σ y σy y y y y σ σy y y σ σy y y σ σy σ σy σ σy σ σy σ σy σ σy Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 7

29 Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 8 Παράδιγµα. Αν. και. y οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών y,, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του γινοµένου y, όταν οι αριθµοί y, δίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός. y y.8 9. σ.. y y y σ y y y y σ σ σ y y y y y σ σ σ ΘΕΩΡΗΜΑ.9 : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του πηλίκου αριθµών ισούται µ το άθροισµα των απολύτων σχτικών σφαλµάτων αυτών των αριθµών. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : Αν y, ίναι οι ακριβίς και y, οι προσγγιστικές τιµές αριθµών, τότ : y y y y y y y y y y y y y / y / σ σ σ σ σ σ σ y y y y σ σ σ σ σ σ σ αν θωρήσουµ το y σ πολύ µικρό, ώστ να πηράζι τον παρονοµαστή που ίναι.

30 Παράδιγµα. Αν. και y. οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών, y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του πηλίκου / y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y. / y. / σ y. y σ y. / y y σ / y σ / y σ / y σ / y / y σ σy / y Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 9

31 Άλυτς Ασκήσις ου Κφαλαίου. Η ακριβής τιµή νός αριθµού ίναι 7. 8, νώ η προσγγιστική του τιµή ίναι Να βρθί το Σφάλµα, το Απόλυτο Σφάλµα, το Σχτικό Σφάλµα, και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα του αριθµού.. Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός 7. 8 σ, και δ.ψ.. να βρθί το Απόλυτο Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, και το Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Στρογγυλοποίησης.. Να βρθί σ πόσα δ.ψ. και σ πόσα σ.ψ. συµφωνούν οι αριθµοί 7. 8 και Το ίδιο για τους αριθµούς 7. 8 και Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός 7. 8 σ σ.ψ. δ.ψ. να βρθί το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης.. Να βρθί σ πόσα σ.ψ. συµφωνούν οι αριθµοί 7. 8και Το ίδιο για τους αριθµούς 7. 8και Αφού στρογγυλοποιηθί µ Αποκοπή ο αριθµός 7. 8 σ δ.ψ. να βρθί το Απόλυτο Σφάλµα Αποκοπής, και το Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Αποκοπής. Το ίδιο για τον αριθµό Αφού στρογγυλοποιηθί µ Στρογγυλοποίηση ο αριθµός 7. 8 σ δ.ψ. να βρθί το Απόλυτο Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, και το Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Στρογγυλοποίησης. Το ίδιο για τον αριθµό Αφού µτατραπί ο αριθµός.6 στο δυαδικό σύστηµα και στρογγυλοποιηθί σ 7 σ.ψ. µ Στρογγυλοποίηση να βρθί το Απόλυτο, το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης. Το ίδιο για τον αριθµό.. 9. Αφού µτατραπί ο αριθµός.6 στο δυαδικό σύστηµα και στρογγυλοποιηθί σ 7 σ.ψ. µ Αποκοπή να βρθί το Απόλυτο και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Αποκοπής, και το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Αποκοπής. Το ίδιο για τον αριθµό... Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός. σ σ.ψ. µ Στρογγυλοποίηση να βρθί το Απόλυτο και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, και το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης.. Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός. σ σ.ψ. µ Αποκοπή να βρθί το Απόλυτο και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Αποκοπής, και το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Αποκοπής.. Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός.7 σ σ.ψ. µ Στρογγυλοποίηση να βρθί το Απόλυτο και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, και το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΦΥΛΛΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΣΙΛΗΣ ΥΕΡΙΝΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙ ΜΕΡΣ ο : ΛΕΡ ΚΕΦΛΙ ο ΦΥΣΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; πάντηση ι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α. Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ 1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης 1 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Οι οικονοµολόγοι νδιαφέρονται να µτρσουν ορισµένς µταβλητές για να µπορέσουν να κάνουν προβλέψις και για να κτιµσουν µ σχτικ ακρίβια τι αποτέλσµα θα έχι η µταβολ µιας µταβλητς πί µιας άλλης.

Διαβάστε περισσότερα

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 8575 Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται τα σηµία Α(,) και Β(5,6). α) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από τα σηµία Α και B.

Διαβάστε περισσότερα

Γλώσσες Προγραμματισμού Μεταγλωττιστές. Λεκτική Ανάλυση II

Γλώσσες Προγραμματισμού Μεταγλωττιστές. Λεκτική Ανάλυση II Γλώσσς Προγραμματισμού Μταγλωττιστές Λκτική Ανάλυση II Πανπιστήμιο Μακδονίας Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ηλίας Σακλλαρίου Δομή Ππρασμένα Αυτόματα Νττρμινιστικά Ππρασμένα Αυτόματα Μη-Νττρμινιστικά Ππρασμένα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου) Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος,

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΑΣΟΕΕ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΦΘΙΝΟΠΩΡΙΝΟ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 20-2 Ι ΑΣΚΩΝ: ΠΡΟ ΡΟΜΟΣ ΠΡΟ ΡΟΜΙ

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2 ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό

Φροντιστήριο 2 ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό Φροντιστήριο ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό Βαθµωτά ή µονόµτρα µγέθη scls: Για να οριστούν τα µγέθη αυτά απαιτίται να δοθί µόνο το µέτρο τους πριλαµβανοµένης της µονάδας µέτρησης ιανυσµατικά µγέθη

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα ιοικητικής Επιστήµης & Τεχνολογίας ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο 2 Αριθµητικά Συστήµατα και Αριθµητική Υπολογιστών Γιώργος Γιαγλής Περίληψη Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Υπολογιστών Εξάµηνο 4ο-ΣΗΜΜΥ

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Υπολογιστών Εξάµηνο 4ο-ΣΗΜΜΥ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ www.cslab.ece.ntua.gr Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3 Ευθεία - Επίπεδο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ/2010-11

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3 Ευθεία - Επίπεδο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ/2010-11 ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΔΙΥ 3 Ευθία - Επίπδο ΣΧΛΗ ΠΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΝΙΚΩΝ/00-.(α) Τα διανύσματα Β = (,, ), Γ = (,, 3) ίναι μη συγγραμμικά και παράλληλα προς το πίπδο Π, νώ το σημίο (,,3) μ διάνυσμα θέσης r = (,,3) ίναι σημίο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Περιέχει τα κεφάλαια: Στατικός Ηλεκτρισµός Συνεχές ηλεκτρικό ρεύµα Ηλεκτροµαγνητισµός Μηχανικές ταλαντώσεις

Περιέχει τα κεφάλαια: Στατικός Ηλεκτρισµός Συνεχές ηλεκτρικό ρεύµα Ηλεκτροµαγνητισµός Μηχανικές ταλαντώσεις ίας : λαια ς ά φ τα κ κτρισµό ύµα ι χ έ Πρι τικός Ηλ τρικό ρ α κ Στ χές ηλ νητισµός ις ν γ Συ κτροµα λαντώσ α τ λ Η χανικές ουν η χ ρ Μ ά π αιο υ λ ά φ θ κ θωρίας ά κ ογής ς Σ α ι λ ί ι π σ χ ι ς ο κή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Ελληνικό - Ρωμαϊκό Σύστημα αρίθμησης

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ολοκληρωµένα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α 3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµ έλλιψη µ στίς τ σηµί Ε ι Ε, το γωµτριό τόπο των σηµίων του πιπέδου των οποίων το άθροισµ των ποστάσων πό τ Ε ι Ε ίνι στθρό ι µγλύτρο του Ε Ε.. Άµση συνέπι (ΜΕ )

Διαβάστε περισσότερα

[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]

[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα] Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΤΡΩΝ - ΤΜΗΜ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΘΗΜ : HΛΕΚΤΡΟΜΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων :Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ

T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ» ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΥΛΙΚΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ ΥΨΗΛΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1 Συστήματα αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1402 = 1000 + 400 +2 =1*10 3 + 4*10 2 + 0*10 1 + 2*10 0 Γενικά σε ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το b N, ένας ακέραιος αριθμός με n ψηφία παριστάνεται ως:

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Αν α =β, τότε η τιµή της παράστασης κ= α β +β α είναι: ( ) 4 ( Β )0, ( )4 δίνονται. Α, C, ( D ), (Ε) δεν µπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που. Πόσα στοιχεία του συνόλου { 5,,0,4,6,7}

Διαβάστε περισσότερα

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ. Τσιατούχας Παράρτηµα A ιάρθρωση 1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης.

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005 Κεφάλαιο 5 -ii: Αριθµητικές Συναρτήσεις και Κυκλώµατα Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αφαίρεση δυαδικών Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr 11 ΟΗΓΙΕΣ 1. Το ebook περιέχει εργασίες δραστηριότητες για µαθητές που θα πάνε στη Γ Λυκείου και θα επιλέξουν µαθηµατικά κατεύθυνσης ή γενικής παιδείας.. Για την επίλυση θα χρειαστούν όλα τα βιβλία µαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Μέρος Δ. Καθ. Π. Κάπρος ΕΜΠ 2012

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Μέρος Δ. Καθ. Π. Κάπρος ΕΜΠ 2012 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Μέρος Δ Καθ. Π. Κάπρος ΕΜΠ 22 Mx MR MR Μγιστοποίηση Κέρδους Μονοπωλίου Συνάρτηση Εσόδου Συνάρτηση Κόστους C p p p MC R Μ γιστοποίηση κέρδους : p p D p p δδομένουότι η τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακοί Υπολογιστές

Ψηφιακοί Υπολογιστές 1 η Θεµατική Ενότητα : υαδικά Συστήµατα Ψηφιακοί Υπολογιστές Παλαιότερα οι υπολογιστές χρησιµοποιούνταν για αριθµητικούς υπολογισµούς Ψηφίο (digit) Ψηφιακοί Υπολογιστές Σήµατα (signals) : διακριτά στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Ενα αριθμητικο συστημα χαρακτηριζεται απο την βαση r και τα συμβολα a i που παιρνουν τις τιμες 0,1,...,r-1. (a n,,a 1,a 0. a -1,a -2,,a -m ) r = =a n r n + +a 1 r+a

Διαβάστε περισσότερα

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα