Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών"

Transcript

1 Τ.Ε.Ι. Θσσαλονίκης Τµήµα Πληροφορικής Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών Θωρία Παραδίγµατα και Άλυτς Ασκήσις Γουλιάνας Κώστας Ε ίκουρος Καθηγητής eml : Ιστοσλίδα : Θσσαλονίκη

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή.. Τι ίναι η Αριθµητική Ανάλυση. Ακρίβια Υπολογισµών - Σφάλµατα.. Σφάλµατα.. Σφάλµατα στους Υπολογισµούς. 7.. Σφάλµα Αποκοπής Σφάλµα Στρογγυλοποίησης. 8.. Στρογγυλοποίηση καδικών Αριθµών µ Πολλά Ψηφία 8. Παράσταση Αριθµών στον Η/Υ... Παράσταση Ακραίων Αριθµών στον Η/Υ.... Παράσταση Πραγµατικών Αριθµών στον Η/Υ. Απώλια Σηµαντικών Ψηφίων. Μτάδοση Σφαλµάτων στους Υπολογισµούς. Άλυτς Ασκήσις ου Κφαλαίου. Σιρές - Συναρτήσις.. Γνικά... Αναλυτικές Συναρτήσις. Εφαρµογές σ Αναπτύγµατα Στοιχιωδών Συναρτήσων... Ανάπτυγµα σ Σιρά McLur της συνάρτησης, < <... Ανάπτυγµα σ Σιρά McLur της κθτικής συνάρτησης e.... Σφάλµα Αποκοπής ιόρθωση στον Υπολογισµό Σιρών.... ιόρθωση στον Υπολογισµό της συνάρτησης, < < 6.. ιόρθωση στον Υπολογισµό της κθτικής συνάρτησης e, < <. 7. Εύρση Τιµής Πολυώνυµου - Σχήµα Hrer Υπολογισµός Τιµής Παραγώγου Πολυωνύµου σ γνωστό σηµίο... Υπολογισµός των Τιµών Όλων των Παραγώγων Πολυωνύµου σ Κάποιο Σηµίο. Άλυτς Ασκήσις ου Κφαλαίου. 7. Αριθµητική Επίλυση Εισώσων.. 8. Προσδιορισµός ιαστηµάτων των Ριζών Είσωσης.. 8. Τάη Σύγκλισης.. Μέθοδος της ιχοτόµησης Blz... Πριγραφή της Μθόδου της ιχοτόµησης.... Γωµτρική Ερµηνία της Μθόδου της ιχοτόµησης... Αλγόριθµος της Μθόδου της ιχοτόµησης. 6.. Σύγκλιση της Μθόδου της ιχοτόµησης Τάη Σύγκλισης της Μθόδου της ιχοτόµησης Ελάχιστος Αριθµός Επαναλήψων για τη Σύγκλιση της Μθόδου της ιχοτόµησης.. 7. Μέθοδος της Εσφαλµένης Θέσης. 8.. Πριγραφή της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης 9.. Γωµτρική Ερµηνία της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης Αλγόριθµος της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης Σύγκλιση της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης 6.. Τάη Σύγκλισης της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης 6..6 Σταθρά Σηµία στη Μέθοδο της Εσφαλµένης Θέσης Γνίκυση της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης Γνίκυση του Αλγορίθµου της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης. 6. Μέθοδος των ιαδοχικών Προσγγίσων.. 6 Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

3 .. Πριγραφή της Μθόδου των ιαδοχικών Προσγγίσων Γωµτρική Ερµηνία της Μθόδου των ιαδοχικών Προσγγίσων Αλγόριθµος της Μθόδου των ιαδοχικών Προσγγίσων Σύγκλιση Τάη Σύγκλισης της Μθόδου των ιαδοχικών Προσγγίσων Μέθοδος Νewt-Rphs Πριγραφή της Μθόδου Νewt-Rphs Γωµτρική Ερµηνία της Μθόδου Νewt-Rphs Αλγόριθµος της Μθόδου Νewt-Rphs Σύγκλιση της Μθόδου Νewt-Rphs Σύγκλιση της Μθόδου Νewt-Rphs σ Πολλαπλή Ρίζα 8.7 Μέθοδος της Χορδής Γωµτρική Ερµηνία της Μθόδου της Χορδής Αλγόριθµος της Μθόδου της Χορδής Τάη Σύγκλισης της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης. 9.8 Άλλς Μέθοδοι. 9 Άλυτς Ασκήσις ου Κφαλαίου. 9. Γραµµικά Συστήµατα 9. Ορισµοί - Μήτρς και Γραµµικά Συστήµατα 9.. Πράις µ Mήτρς Ειδικές Μορφές Μητρών 97.. Γραµµικά Συστήµατα Εισώσων Βασικό Θώρηµα των Γραµµικών Συστηµάτων Άµσς Μέθοδοι ιαγώνια Συστήµατα Κάτω Τριγωνικά Συστήµατα.... Άνω Τριγωνικά Συστήµατα... Μέθοδος της Απαλοιφής του Guss χωρίς οδήγηση.. Μέθοδος της Απαλοιφής Guss µ Μρική Οδήγηση....6 Μέθοδος της Απαλοιφής Guss µ Οδήγηση κι Εισορρόπιση Μέθοδος της Απαλοιφής Guss-Jrd.. 9. Επαναληπτικές Mέθοδοι Επίλυσης Γραµµικών Συστηµάτων.... Μέθοδος Jcb... Μέθοδος Guss-Sedel. Άλλς Μέθοδοι.. 9 Άλυτς Ασκήσις ου Κφαλαίου.. 6. Ανιούσς ιαφορές 6. Γνικοί Ορισµοί Σχέσις Μταύ των Τριών Τύπων ιαφορών Μτάδοση σφαλµάτων σ πίνακα διαφορών 9 6 Μτάδοση Σφάλµατος που Υπάρχι σ µια Από τις Τιµές της Συνάρτησης.. 6 Σφάλµατα Στρογγυλοποίησης των Τιµών της Συνάρτησης. 6.. Γραµµικοί Τλστές ιαφορών.. Άλυτς Ασκήσις 6 ου Κφαλαίου Παρµβολή. 7. Γνικά 7.. Τύπος Παρµβολής των προς τα Εµπρός ιαφορών των Newt Gregry. 7.. Τύπος Παρµβολής των προς τα Πίσω ιαφορών των Newt Gregry Πλήθος Όρων που Χρησιµοποιούνται στους Τύπους Παρµβολής 7.. Τύπος Παρµβολής του Lgrge ιόρθωση στους Τύπους Παρµβολής. Άλυτς Ασκήσις 7 ου Κφαλαίου.. 8 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.. 9 Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

4 Εισαγωγή. Τι ίναι η Αριθµητική Ανάλυση Οι σηµιώσις αυτές έχουν σαν στόχο να ισάγουν τους Φοιτητές του Γ Εαµήνου του Τµήµατος Πληροφορικής του ΤΕΙ Θσσαλονίκης στις Αριθµητικές Μθόδους και τις Τχνικές Επίλυσης Μαθηµατικών προβληµάτων, γνωστές σαν Αριθµητική Ανάλυση. Οι µέθοδοί της φαρµόζονται σ πολλούς πιστηµονικούς τοµίς, όπως η Στατιστική, η Μηχανική, η Μτωρολογία, η Επργασία Σήµατος, η Επργασία Εικόνας, Υπολογισµός Συχνότητας Θορύβου σ Σήµατα, Σχδιασµός Φίλτρων κ.λ.π.. Η Αριθµητική Ανάλυση, σαν Κλάδος των Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών αναπτύχθηκ σ µγάλο βαθµό µτά το ο Παγκόσµιο Πόλµο, παράλληλα µ την ανάπτυη των Η/Υ. Έχι όµως τις ρίζς της στην αρχαιότητα. Εκτός από τους Βαβυλώνιους και τους Αιγύπτιους, µταύ των Ελλήνων που ανέπτυαν µθόδους Αριθµητικής Ανάλυσης ήταν ο Αρχιµήδης π.χ. που µ τη µέθοδο των Προσγγίσων βρήκ τιµή για το πµταύ του και και ο Ήρωνας π.χ. 7 7 που βρήκ την Ττραγωνική Ρίζα νός αριθµού µ τον Επαναληπτικό Τύπο, ο οποίος ίναι µρική πρίπτωση της µθόδου Newt-Rphs που βρέθηκ µτά 8 αιώνς. Όπως ίναι γνωστό, οι µαθηµατικές δυνατότητς των Η/Υ αντλούνται στις τέσσρις βασικές πράις της αριθµητικής : πρόσθση, αφαίρση συµπλήρωµα της πρόσθσης, πολλαπλασιασµό και διαίρση διαδοχικές προσθέσις κι αφαιρέσις. Οι ταχύτητς κτέλσης αυτών των πράων ίναι τροµακτικά υψηλές, τα προβλήµατα όµως που συναντούµ πριέχουν και άλλς πράις, όπως ύρση λογαρίθµων, παραγώγων, ολοκληρωµάτων, ριζών κ.λ.π. που δν µπορούν να γίνουν άµσα µ έναν Η/Υ. Σκοπός της Α.Α. ίναι η ανάπτυη µθόδων για τη Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

5 µτατροπή Μαθηµατικών προβληµάτων σ ισοδύναµα, τα οποία πριέχουν µόνο τις τέσσρις πράις της Αριθµητικής, απαιτούν όσο το δυνατόν λιγότρς πράις και που ίναι άµσα υλοποιήσιµα σ έναν Η/Υ. Ένας ορισµός της Α.Α. θα µπορούσ να ίναι : ΟΡΙΣΜΟΣ. : Αριθµητική Ανάλυση ίναι ο κλάδος των σύγχρονων Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών που ασχολίται µ την Ανάπτυη και την κατασκυή αριθµητικών µθόδων για την ύρση αριθµητικών αποτλσµάτων από αριθµητικά δδοµένα. Παρατηρήσις Η χρησιµοποίηση και η αιοποίηση των µγάλων δυνατοτήτων των Ηλκτρονικών Υπολογιστών θα ήταν πολύ πριορισµένη χωρίς τη γνώση των µθόδων του Αριθµητικού Προσγγιστικού Λογισµού. Η µθοδολογία για την πίλυση νός προβλήµατος µ τη βοήθια της Αριθµητικής Ανάλυσης πιδιώκι :. Την ανύρση της πιο πρόσφορης µθόδου µ την οποία ασφαλίζται η λύση.. Την παλήθυση για να διχτί ότι, η µέθοδος συγκλίνι στη λύση του συγκκριµένου προβλήµατος.. Τον έλγχο της ταχύτητας µ την οποία συγκλίνι η µέθοδος.. Την ύρση του σφάλµατος που έγιν κατά την κτέλση των υπολογισµών αυτών. Την ανάπτυη των Μθόδων θα ακολουθούν πολλά παραδίγµατα και υποδιγµατικοί αλγόριθµοι, για την υλοποίησή τους σ Ηλκτρονικό Υπολογιστή. Στο Εργαστηριακό Μέρος του Μαθήµατος χρησιµοποιίται η γλώσσα προγραµµατισµού C. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

6 Ακρίβια Υπολογισµών - Σφάλµατα Σφάλµατα Σφάλµατα στους Υπολογισµούς Παράσταση Αριθµών στον Η/Υ Μτάδοση Σφαλµάτων στους Υπολογισµούς. Σφάλµατα Όπως έχι ήδη αναφρθί, ένας από τους βασικούς κανόνς που πρέπι να ακολουθίται κατά την πίλυση των προβληµάτων της Αριθµητικής Ανάλυσης, ίναι ο προσδιορισµός του Σφάλµατος που γίνται κατά τη µτατροπή των Μαθηµατικών προβληµάτων στα ισοδύναµά τους, των τσσάρων πράων της Αριθµητικής. Πρέπι δώ να σηµιωθί, ότι η παραγωγή του σφάλµατος ίναι αναπόφυκτη, αφού η µτατροπή γίνται προσγγιστικά. Τι ίναι όµως σφάλµα; ΟΡΙΣΜΟΣ. : Σφάλµα ίναι η διαφορά της αληθινής τιµής νός αριθµού από την προσγγιστική του τιµή. Έτσι, αν ίναι η προσγγιστική τιµή και η ακριβής ή αληθινή τιµή νός αριθµού, τότ το Σφάλµα δίνται από τη σχέση: ΟΡΙΣΜΟΣ. : Η αντίθτη ποσότητα του σφάλµατος ονοµάζται ιόρθωση και δίνται από τη σχέση : r ΟΡΙΣΜΟΣ. : Η απόλυτη τιµή του σφάλµατος ονοµάζται Απόλυτο Σφάλµα και ορίζται από τη σχέση : Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

7 Παράδιγµα. Η ακριβής τιµή νός αριθµού ίναι, και η προσγγιστική του τιµή η τιµή που µτρήθηκ ίναι. Να βρθί το Σφάλµα και το Απόλυτο Σφάλµα του. Σφάλµα : Απόλυτο Σφάλµα : Παράδιγµα. Η ακριβής τιµή νός αριθµού ίναι, και η προσγγιστική του τιµή ίναι 999. Να βρθί το Σφάλµα και το Απόλυτο Σφάλµα του. Σφάλµα : Απόλυτο Σφάλµα : 999 Παρατήρηση Όπως φαίνται στα παραπάνω παραδίγµατα. και., το απόλυτο σφάλµα και στις δύο πριπτώσις ίναι το ίδιο. Στη δύτρη όµως πρίπτωση, η µέτρηση θωρίται πιο ακριβής, γιατί υποσυνίδητα συσχτίζουµ το σφάλµα µ την ακριβή τιµή. Γι αυτό µια χρήσιµη έννοια ίναι το Σχτικό Σφάλµα που ορίζται ως ής : ΟΡΙΣΜΟΣ. : Το πηλίκο του σφάλµατος δια του αριθµού ονοµάζται Σχτικό Σφάλµα και ορίζται από τη σχέση : σ ΟΡΙΣΜΟΣ. : Το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα ορίζται από τη σχέση : σ Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 6

8 Παράδιγµα. Η ακριβής τιµή νός αριθµού ίναι., και η προσγγιστική του τιµή Να βρθί το Σφάλµα, το Απόλυτο Σφάλµα, το Σχτικό Σφάλµα, και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα του αριθµού. Σφάλµα : Απόλυτο Σφάλµα : Σχτικό Σφάλµα : Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα : σ.. σ.. Παρατηρήσις Όσο µικρότρο ίναι το σχτικό σφάλµα, τόσο καλύτρη ίναι η µέτρηση. Για την προσγγιστική τιµή χρησιµοποιώντας τους Ορισµούς.,. ισχύι η σχέση : σ. Σφάλµατα στους Υπολογισµούς Κατά την κτέλση των αριθµητικών πράων υπολογισµών, κτός απ τα σφάλµατα των δδοµένων νός προβλήµατος που οφίλονται σ συστηµατικά ή τυχαία σφάλµατα των οργάνων µτρήσως ή σ αµλητές δυνάµις στη διατύπωση του προβλήµατος, υπισέρχονται σ αυτές κι άλλα σφάλµατα. Σφάλµατα που οφίλονται στην πιλογή της αριθµητικής µθόδου η οποία βρίσκι συνήθως µια προσέγγιση της λύσης, στην αποθήκυση πραγµατικών πριοδικών αριθµών στον Η/Υ και τη συσσώρυση σφαλµάτων, σαν αποτέλσµα πράων. Τα σφάλµατα, γνικά, χωρίζονται σ δύο κατηγορίς: Τα Σφάλµατα Αποκοπής και τα Σφάλµατα Στρογγυλοποίησης... Σφάλµα Αποκοπής Το σφάλµα αποκοπής συναντάται συνήθως στην αποθήκυση πραγµατικών πριοδικών αριθµών στον Η/Υ και κατά τν υπολογισµό σιρών, δηλαδή αθροίσµατος όρων, όπως π.χ. τον υπολογισµό του e : e! Τα αθροίσµατα αυτά Σιρές πριέχουν άπιρο πλήθος όρων τους οποίους ίναι αδύνατο να τους αθροίσουµ όλους. Έτσι, προσθέτουµ ένα ορισµένο πλήθος πρώτων όρων, αγνοώντας τους Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 7

9 υπόλοιπους. Το σφάλµα, στην πρίπτωση αυτή, ίναι :!!! και ονοµάζται Σφάλµα Αποκοπής... Σφάλµα Στρογγυλοποίησης Κατά την κτέλση των πράων, όταν αυτές κτλούνται µ Η/Υ, δν ίναι δυνατό να χρησιµοποιηθούν αριθµοί µ πολύ µγάλο πλήθος ψηφίων, γιατί ίναι αδύνατη η αποθήκυσή τους στη Μνήµη του Η/Υ. Έτσι, οι πραγµατικοί αριθµοί αντικαθίστανται από άλλους, οι οποίοι έχουν λιγότρα ψηφία. Η διαδικασία αυτή ονοµάζται Στρογγυλοποίηση και το σφάλµα που προκύπτι Σφάλµα Στρογγυλοποίησης. Η στρογγυλοποίηση δ γίνται αυθαίρτα, αλλά ακολουθούνται κάποιοι κανόνς που σκοπό έχουν να λαχιστοποιήσουν το σφάλµα της απόρριψης των ψηφίων... Στρογγυλοποίηση καδικών Αριθµών µ Πολλά Ψηφία Στη στρογγυλοποίηση νός αριθµού σ k δκαδικά ψηφία, παραλίπουµ τα ψηφία από την k θέση και µτά. Το ψηφίο της k θέσης το αφήνουµ όπως ίναι ή το αυάνουµ κατά µια µονάδα, αν το µέρος που παραλίπται ίναι µγαλύτρο από µισή µονάδα της k δκαδικής τάης. Στην πρίπτωση που το µέρος που παραλίπται ίναι ακριβώς µισή µονάδα της k δκαδικής τάως, τότ, αν ο k ψηφίο ίναι άρτιο, το αφήνουµ ως έχι, διαφορτικά το αυάνουµ κατά. Παράδιγµα. Να στρογγυλοποιηθί ο αριθµός π. 96σ 9,8 7,,6,,,, δκαδικά ψηφία. π στρογγυλοποίηση σ 9 δ.ψ..96 στρογγυλοποίηση σ 8 δ.ψ..96 στρογγυλοποίηση σ 7 δ.ψ..9 στρογγυλοποίηση σ 6 δ.ψ..9 στρογγυλοποίηση σ δ.ψ..6 στρογγυλοποίηση σ δ.ψ.. στρογγυλοποίηση σ δ.ψ.. στρογγυλοποίηση σ δ.ψ. Παρατήρηση Η στρογγυλοποίηση, ανάλογα µ τον τρόπο που γίνται µπορί να έχι διαφορτικά αποτλέσµατα, όπως φαίνται στο πόµνο παράδιγµα : Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 8

10 Παράδιγµα. Να στρογγυλοποιηθί ο αριθµός π. 96σ 7 δκαδικά ψηφία. π του Παραδίγµατος.. Παράδιγµα.6 Να στρογγυλοποιηθί ο αριθµός. 8 σ δκαδικά ψηφία δ. ψ Παράδιγµα.7 Να στρογγυλοποιηθί ο αριθµός. 7 σ δκαδικά ψηφία δ. ψ ΟΡΙΣΜΟΣ.6 : Κατά τη στρογγυλοποίηση νός δκαδικού αριθµού σ k δκαδικά ψηφία δ. ψ., για το απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης ισχύι πάντοτ : k Παράδιγµα.8 Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης του αριθµού.7σ k δ. ψ k. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 9

11 Παράδιγµα.9 Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης του αριθµού.7 σ k δ.ψ k. ΟΡΙΣΜΟΣ.7 : Οι αριθµοί, συµφωνούν σ k δκαδικά ψηφία όταν ισχύι : k Παράδιγµα. Να βρθί σ πόσα δ.ψ. συµφωνούν οι αριθµοί. και άρα συµφωνούν σ δκαδικά ψηφία. ΟΡΙΣΜΟΣ.8 : Κατά τη στρογγυλοποίηση µ αποκοπή νός δκαδικού αριθµού σ k δκαδικά ψηφία δ. ψ., για το απόλυτο σφάλµα αποκοπής ισχύι : k Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα αποκοπής του αριθµού. 7 σ k δ.ψ k. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

12 Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα αποκοπής του αριθµού. 79 σ k δ.ψ k.. Παράσταση Αριθµών στον Η/Υ Στην καθηµρινή µας ζωή χρησιµοποιούµ το δκαδικό σύστηµα αρίθµησης. Στο σύστηµα αυτό κάθ αριθµός γράφται µ µοναδικό τρόπο, σαν γραµµικός συνδυασµός δυνάµων του, µ συντλστές τα ψηφία,,,,,,6 7,,8, 9. Παράδιγµα. Ο αριθµός 9 του δκαδικού συστήµατος µπορί να γραφί σαν : 9 9 Παρατήρηση Οι Η/Υ χρησιµοποιούν το δυαδικό σύστηµα αρίθµησης. Έτσι, κάθ αριθµός γράφται σαν γραµµικός συνδυασµός δυνάµων του. Παράδιγµα. Ο αριθµός του δυαδικού συστήµατος µπορί να γραφί σαν : 8.. Παράσταση Ακραίων Αριθµών στον Η/Υ Αν έχουµ έναν Η/Υ που διαθέτι k bts για την παράσταση νός ακέραιου αριθµού, µ το πρώτο να παριστάνι το πρόσηµο του αριθµού Θτικός Αρνητικός, τότ οι ακέραιοι που k k µπορούν να παρασταθούν από τον υπολογιστή θα ανήκουν στο διάστηµα [, ]. Συνήθως οι Η/Υ διαθέτουν 6 bts bytes για την παράσταση των ακραίων, ποµένως οι 6 6 ακέραιοι που µπορούν να παρασταθούν θα βρίσκονται στο διάστηµα [, ] [ 768, 767 ]. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

13 .. Παράσταση Πραγµατικών Αριθµών στον Η/Υ Κάθ αριθµός µπορί να γραφί στη δκαδική του µορφή µ ένα ακέραιο και ένα δκαδικό µέρος, το οποίο µπορί να αποτλίται από άπιρα ψηφία, όπως φαίνται στα πόµνα παραδίγµατα : Παρατηρήσις Στη µνήµη νός υπολογιστή ίναι αδύνατο να παραστήσουµ αριθµούς µ άπιρο πλήθος ψηφίων, γιατί το µέγθος της µνήµης ίναι ππρασµένο. Αποθηκύται µια κατάλληλη προσέγγιση του αριθµού, η οποία αρτάται από το πρόβληµα που λύνουµ. Όπως το ακέραιο µέρος γράφται σαν άθροισµα δυνάµων του στο δκαδικό σύστηµα αρίθµησης, έτσι και το δκαδικό µέρος γράφται σαν άθροισµα αρνητικών δυνάµων του. Παράδιγµα Στο δυαδικό σύστηµα αντίστοιχα θα έχουµ :. Κάθ πραγµατικός αριθµός µπορί να παρασταθί µόνο µ δκαδικό µέρος ακέραιο µέρος, αφού πολλαπλασιαστί µ κατάλληλη δύναµη της βάσης του αντίστοιχου αριθµητικού συστήµατος. Παράδιγµα ΟΡΙΣΜΟΣ.9 : Σ ένα αριθµητικό σύστηµα, µ βάση β, ορίζουµ τον αριθµό σαν Aριθµό Kινητής Yποδιαστολής ltg pt µήκους ως ής : ±.d d d β, d Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

14 όπου : β η βάση του αριθµητικού συστήµατος.d d το κλασµατικό µέρος, γνωστό και σαν mtss, µ d d,d,, d d ψηφία του συστήµατος ο κθέτης Παρατηρήσις Τα d καλούνται σηµαντικά ψηφία του αριθµού.,d,, d Για Απλή Ακρίβια, νώ για ιπλή Ακρίβια. ΟΡΙΣΜΟΣ. : Σηµαντικά Ψηφία σ.ψ νός δκαδικού αριθµού ονοµάζονται όλα τα ψηφία του αριθµού, κτός από τυχόν µηδνικά που υπάρχουν στην αρχή του αριθµού. Παράδιγµα.7 Ο αριθµός.7 έχι σηµαντικά ψηφία Ο αριθµός.6 έχι σηµαντικά ψηφία Ο αριθµός.8 έχι σηµαντικά ψηφία Παρατηρήσις Τα σηµαντικά ψηφία παίζουν σηµαντικό ρόλο στην σωτρική παράσταση του αριθµού στον Η/Υ. Αν µ m συµβολίσουµ το κλασµατικό µέρος, τότ ο γράφται σαν ± m β Συνήθως οι αριθµητικοί υπολογισµοί γίνονται σ αριθµητική κινητής υποδιαστολής. Για το δκαδικό µέρος m ισχύι m <, αφού το πρώτο ψηφίο ίναι πάντα. β Παράδιγµα.8 Στο καδικό σύστηµα β :. m <. Στο υαδικό σύστηµα β :.. m <. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

15 Παρατήρηση Σ έναν Η/Υ µ k bts για τη mtss γίνται στρογγυλοποίηση ή αποκοπή σ k δυαδικά ψηφία.d d d.d d ως ής : : d k Αποκοπή : Αποκόπτονται τα ψηφία d k,d k,, d, αποθηκύονται τα ψηφία,d,, d k d. k Στρογγυλοποίηση : Προστίθται στον αριθµό το και απ τον νέο αριθµό αποκόπτονται τα ψηφία d k,d k,, d και αποθηκύονται τα ψηφία d,d,, d k. Παράδιγµα.9 Αν m.6. και k 7, τότ Αποκοπή : 6 m. Στρογγυλοποίηση : m.. 8 m : Αποκοπή σ k 7 ψηφία : m..66 Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το απόλυτο σχτικό σφάλµα του Παραδίγµατος.9. Αν m.6. και k 7, τότ Αποκοπή : m m σ m Στρογγυλοποίηση : m m σ m Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

16 ΟΡΙΣΜΟΣ. : Κατά τη στρογγυλοποίηση νός δυαδικού αριθµού σ k δυαδικά ψηφία, για το απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης ισχύι : k k Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης του αριθµού.σ k δ. ψ k. Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης του αριθµού.σ k δ. ψ..... k.... ΟΡΙΣΜΟΣ. : Κατά τη στρογγυλοποίηση µ αποκοπή νός δυαδικού αριθµού σ k δυαδικά ψηφία, για το απόλυτο σφάλµα αποκοπής ισχύι πάντοτ: k Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

17 Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα αποκοπής του αριθµού. σ k δ. ψ. k.... Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα αποκοπής του αριθµού.σ k δ. ψ. k.... Παρατήρηση Για έναν Η/Υ που διαθέτι χαρακτήρς bytes για την παράσταση των πραγµατικών αριθµών, από τους οποίους τον χαρακτήρα για τον κθέτη και τους υπόλοιπους χαρακτήρς για το δκαδικό µέρος, αν το πρώτο ψηφίο διατίθται για το πρόσηµο του αριθµού, τότ ο 8 8 κθέτης e ανήκι στο διάστηµα [, ] [ 8, 7 ], οπότ ο υπολογιστής 8 7 µπορί να αποθηκύσι αριθµούς που βρίσκονται στο διάστηµα [, ]. ΘΕΩΡΗΜΑ. : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα της στρογγυλοποίησης νός πραγµατικού αριθµού στο δκαδικό σύστηµα σ k σηµαντικά ψηφία ίναι ΑΠΟ ΕΙΞΗ : e Αν m η ακριβής τιµή του αριθµού και η mtss στρογγυλοποιίται σ k σ.ψ. θα ίναι : Επίσης, m < m οπότ : k. e m η τιµή που αποθηκύται, τότ, αφού m k m. σ m e m m e e m m m e e m m m k k Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 6

18 Παράδιγµα. Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός 9. m.9 σ k σ.ψ., να βρθί το απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα m.9 σ m σ. 9. k ΟΡΙΣΜΟΣ. : Όταν ένας αριθµός δίνται στρογγυλµένος σ k σηµαντικά ψηφία, για το απόλυτο σχτικό σφάλµα στρογγυλοποίησης θα ισχύι : σ k k Παράδιγµα.6 Όταν ο αριθµός., δίνται στρογγυλµένος σ σ.ψ. δ.ψ να βρθούν φράγµατα για το Απόλυτο Σφάλµα και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα του αριθµού. Απόλυτο Σφάλµα :. Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα : σ. ΟΡΙΣΜΟΣ. : Οι αριθµοί, συµφωνούν σ k σηµαντικά ψηφία, αν ισχύι : σ k Παράδιγµα.7 Οι αριθµοί. 78και., συµφωνούν σ σ.ψ. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 7

19 Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα : σ ΘΕΩΡΗΜΑ. : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα της στρογγυλοποίησης νός αριθµού στο k δυαδικό σύστηµα σ k σηµαντικά ψηφία ίναι. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : e Αν m η ακριβής τιµή του αριθµού και mtss στρογγυλοποιίται σ k σ.ψ. θα ίναι : Επίσης, m < m οπότ : e m η τιµή που αποθηκύται, τότ, αφού η m k k m. σ m e m m e e m m m e e m m m k k Παράδιγµα.8 Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός..6 m. σ k 6 σ.ψ., να βρθί το απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα. σ m k 6 m σ ΘΕΩΡΗΜΑ. : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα της στρογγυλοποίησης µ αποκοπή νός k πραγµατικού αριθµού στο δκαδικό σύστηµα σ k σηµαντικά ψηφία ίναι. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 8

20 ΑΠΟ ΕΙΞΗ : e Αν m η ακριβής τιµή του αριθµού και η mtss στρογγυλοποιίται σ k σ.ψ. θα ισχύι : Επίσης, m < m e m η τιµή που αποθηκύται, τότ, αφού k m m. οπότ : σ m e m m e e m m m e e m m m k k Παράδιγµα.9 Αφού στρογγυλοποιηθί µ αποκοπή ο αριθµός 9. m.9 σ k σ.ψ., να βρθί το απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του m.9 σ m σ. 9. k ΘΕΩΡΗΜΑ. : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα της στρογγυλοποίησης µ αποκοπή νός k αριθµού στο δυαδικό σύστηµα σ k σηµαντικά ψηφία ίναι. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : e Αν m η ακριβής τιµή του αριθµού και k mtss στρογγυλοποιίται σ k σ.ψ. θα ισχύι : m m. Επίσης, m <, m οπότ : e e e m m m m m m k k σ e e m m m e m η τιµή που αποθηκύται, τότ, αφού η Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 9

21 Παράδιγµα. Αφού στρογγυλοποιηθί µ αποκοπή ο αριθµός. m..6 σ k 6 σ.ψ., να βρθί το απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του.... σ. m k 6 m σ... Παράδιγµα. Να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του Παραδίγµατος Αποκοπή : m σ Στρογγυλοποίηση : m ΟΡΙΣΜΟΣ. : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα των Θωρηµάτων. και. ονοµάζται αριθµός µηχανής και ορίζται σαν m k k στη στρογγυλοποίηση στην αποκοπή και γνικά m β k β k στη στρογγυλοποίηση στην αποκοπή Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

22 Παρατήρηση Ο Αριθµός Μηχανής αντιπροσωπύι το µέγιστο σχτικό σφάλµα στην προσέγγιση του 6 αριθµού που αποθηκύται και κυµαίνται µταύ του και. Παράδιγµα. Να βρθί ο Αριθµός Μηχανής σ έναν Η/Υ που διαθέτι k για Αριθµούς Απλής Ακρίβιας και k για Αριθµούς ιπλής Ακρίβιας. Στρογγυλοποίηση : k 6 m.9 k για ιπλή Ακρίβια m, για Απλή Ακρίβια Αποκοπή : k 6 m.8 k για ιπλή Ακρίβια m. Απώλια Σηµαντικών Ψηφίων Όπως στην αποθήκυση των αριθµών, έτσι και κατά την κτέλση των τσσάρων πράων της αριθµητικής και ιδίως όταν ργαζόµαστ µ Η/Υ, ργαζόµαστ µ πριορισµένο αριθµό σηµαντικών ψηφίων π.χ. στην αποθήκυση νός δυαδικού αριθµού η mtss στρογγυλοποιίται σ δυαδικά ψηφία, οπότ, αν οι αριθµοί που δίνονται διαφέρουν στον αριθµό των σηµαντικών ψηφίων, κάποια σηµαντικά ψηφία των µικρότρων αριθµών χάνονται, όπως φαίνται στα παραδίγµατα που ακολουθούν. Παράδιγµα. Αν. και y. να βρθί το απόλυτο σφάλµα και το απόλυτο σχτικό σφάλµα του αθροίσµατος y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. y...7 y σ y.8.8 y y. y y.7 Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

23 Παράδιγµα. Αν. και y. να βρθί το απόλυτο σφάλµα και το απόλυτο σχτικό σφάλµα της διαφοράς y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y. y... y.... σ y. y... y. y.. y... Παράδιγµα. Αν. και y. να βρθί το απόλυτο σφάλµα και το απόλυτο σχτικό σφάλµα του γινοµένου y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y. y...6 y σ y.6 y.6.6. y. y.6.6 y.6.6. Παράδιγµα.6 Αν. και y. να βρθί το απόλυτο σφάλµα και το απόλυτο σχτικό σφάλµα του πηλίκου / y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. / y. /..6 / y. /..6.6 σ / y.6.6 / y / y. / y.6.6 / y.6 Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

24 Παρατήρηση Λόγω πριορισµένου αριθµού σηµαντικών ψηφίων, σ πολλές πριπτώσις καταστρατηγούνται και οι νόµοι της αριθµητικής, όπως η προσταιριστική ιδιότητα στην πρόσθση και τον πολλαπλασιασµό. Χαρακτηριστικά ίναι τα παραδίγµατα που ακολουθούν. Παράδιγµα.7 Αν οι αριθµοί., y. και z. δίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. να διχθί ότι δν ισχύι η προσταιριστική ιδιότητα στην πρόσθση, δηλαδή y z y z και να βρθί το απόλυτο σφάλµα του αθροίσµατος y z και y z. y z....7 y z y z ποµένως y z.8 y z.7 y z.7 y z y z y z y z y z y z Παράδιγµα.8 Αν οι αριθµοί., y. 6 και z. 7 δίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. να διχθί ότι δν ισχύι η προσταιριστική ιδιότητα στν πολλαπλασιασµό, δηλαδή y z y z και να βρθί το απόλυτο σφάλµα του γινοµένου y z και y z. y z y z y z Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

25 ποµένως y z.. y z y z.68 y z y z y z yz y z y z Μτάδοση Σφαλµάτων στους Υπολογισµούς Κατά την κτέλση των τσσάρων πράων της αριθµητικής, όπου χρησιµοποιούνται αρχικά δδοµένα προρχόµνα από µτρήσις, τα σφάλµατα των πληροφοριών της ισόδου µταδίδονται κατά τέτοιον τρόπο, ώστ οι πληροφορίς όδου να πριέχουν πίσης σφάλµατα. Σχτικά µ τη διάδοση των σφαλµάτων αποδικνύουµ τα παρακάτω θωρήµατα : ΘΕΩΡΗΜΑ. : Το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του αθροίσµατος ή της διαφοράς ή πρισσότρων αριθµών ισούται µ το άθροισµα των απολύτων σφαλµάτων αυτών των αριθµών. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : Αν, y ίναι οι ακριβίς και του αθροίσµατος ή της διαφοράς, y οι προσγγιστικές τιµές αριθµών, τότ το απόλυτο σφάλµα ± y θα ίναι : ± ± y ± y ± y ± y y y y Παράδιγµα.9 Αν. και y. οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών, y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του αθροίσµατος y, όταν οι αριθµοί, y δίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y. m y y... Παράδιγµα. Αν. και y. οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών, y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σφάλµα της διαφοράς y, όταν οι αριθµοί, y δίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

26 m y y... ΘΕΩΡΗΜΑ.6 : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του αθροίσµατος ή πρισσότρων αριθµών που έχουν το ίδιο πρόσηµο ισούται µ το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα αυτών των αριθµών. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : Αν, y ίναι οι ακριβίς και, y οι προσγγιστικές τιµές θτικών αριθµών, τότ : σ y y y σ y σy y y y σ y y σ y y y σ y y σy Αν m, σ,y σ σy τότ σ y σ y σy σ y σy σ,y y σ,y y σ,y y y y y m, σ,y σ σy Παράδιγµα. Αν. και y. οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών, y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του αθροίσµατος y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y.. 7 σ y. y σ y.77. y y,y m, y. σ σ y σ σ y σ y y,y y..7. σ Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

27 ΘΕΩΡΗΜΑ.7 : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα της διαφοράς ή πρισσότρων αριθµών ισούται µ το άθροισµα των απολύτων σφαλµάτων δια της διαφοράς αυτών των αριθµών. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : Απ τον ορισµό του σχτικού σφάλµατος και τη χρήση του Θωρήµατος. θα έχουµ : σ y y y y y Παράδιγµα. Αν. και y. οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών, y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα της διαφοράς y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y.. σ y. y σ y y y σ y.8888 y σ y y y σ y y Παρατήρηση Όταν οι αριθµοί που αφαιρούνται δν έχουν µγάλη διαφορά, δν υπάρχι µγάλη ακρίβια στην αφαίρση. Παράδιγµα. Αν 7. και y 7. να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα της διαφοράς στρογγυλµένοι σ δ.ψ.. y, όταν οι αριθµοί, y δίνονται Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 6

28 7. σ y 7. y σ y y y σ y y σ y y δηλαδή το σχτικό σφάλµα της διαφοράς ίναι 9 φορές το απόλυτο σχτικό σφάλµα του κάθ αριθµού. Στο ίδιο συµπέρασµα θα φτάναµ µ τους παρακάτω υπολογισµούς : y y y..., οπότ το τλυταίο ψηφίο της διαφοράς δν ίναι ακριβές αφού το y., νώ το σχτικό σφάλµα θα ίναι : y.. y σ y.769 ΘΕΩΡΗΜΑ.8 : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του γινοµένου ή πρισσότρων αριθµών ισούται µ το άθροισµα των απολύτων σχτικών σφαλµάτων αυτών των αριθµών. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : Αν, y ίναι οι ακριβίς και, y οι προσγγιστικές τιµές αριθµών, τότ : σ y y y y y σ y σy y y y y σ σy y y σ σy y y σ σy σ σy σ σy σ σy σ σy σ σy Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 7

29 Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 8 Παράδιγµα. Αν. και. y οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών y,, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του γινοµένου y, όταν οι αριθµοί y, δίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός. y y.8 9. σ.. y y y σ y y y y σ σ σ y y y y y σ σ σ ΘΕΩΡΗΜΑ.9 : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του πηλίκου αριθµών ισούται µ το άθροισµα των απολύτων σχτικών σφαλµάτων αυτών των αριθµών. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : Αν y, ίναι οι ακριβίς και y, οι προσγγιστικές τιµές αριθµών, τότ : y y y y y y y y y y y y y / y / σ σ σ σ σ σ σ y y y y σ σ σ σ σ σ σ αν θωρήσουµ το y σ πολύ µικρό, ώστ να πηράζι τον παρονοµαστή που ίναι.

30 Παράδιγµα. Αν. και y. οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών, y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του πηλίκου / y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y. / y. / σ y. y σ y. / y y σ / y σ / y σ / y σ / y / y σ σy / y Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα 9

31 Άλυτς Ασκήσις ου Κφαλαίου. Η ακριβής τιµή νός αριθµού ίναι 7. 8, νώ η προσγγιστική του τιµή ίναι Να βρθί το Σφάλµα, το Απόλυτο Σφάλµα, το Σχτικό Σφάλµα, και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα του αριθµού.. Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός 7. 8 σ, και δ.ψ.. να βρθί το Απόλυτο Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, και το Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Στρογγυλοποίησης.. Να βρθί σ πόσα δ.ψ. και σ πόσα σ.ψ. συµφωνούν οι αριθµοί 7. 8 και Το ίδιο για τους αριθµούς 7. 8 και Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός 7. 8 σ σ.ψ. δ.ψ. να βρθί το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης.. Να βρθί σ πόσα σ.ψ. συµφωνούν οι αριθµοί 7. 8και Το ίδιο για τους αριθµούς 7. 8και Αφού στρογγυλοποιηθί µ Αποκοπή ο αριθµός 7. 8 σ δ.ψ. να βρθί το Απόλυτο Σφάλµα Αποκοπής, και το Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Αποκοπής. Το ίδιο για τον αριθµό Αφού στρογγυλοποιηθί µ Στρογγυλοποίηση ο αριθµός 7. 8 σ δ.ψ. να βρθί το Απόλυτο Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, και το Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Στρογγυλοποίησης. Το ίδιο για τον αριθµό Αφού µτατραπί ο αριθµός.6 στο δυαδικό σύστηµα και στρογγυλοποιηθί σ 7 σ.ψ. µ Στρογγυλοποίηση να βρθί το Απόλυτο, το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης. Το ίδιο για τον αριθµό.. 9. Αφού µτατραπί ο αριθµός.6 στο δυαδικό σύστηµα και στρογγυλοποιηθί σ 7 σ.ψ. µ Αποκοπή να βρθί το Απόλυτο και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Αποκοπής, και το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Αποκοπής. Το ίδιο για τον αριθµό... Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός. σ σ.ψ. µ Στρογγυλοποίηση να βρθί το Απόλυτο και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, και το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης.. Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός. σ σ.ψ. µ Αποκοπή να βρθί το Απόλυτο και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Αποκοπής, και το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Αποκοπής.. Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός.7 σ σ.ψ. µ Στρογγυλοποίηση να βρθί το Απόλυτο και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, και το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας Σλίδα

Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 2008 Σελίδα 1

Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 2008 Σελίδα 1 Τ.Ε.Ι. Θσσαλονίκης Τµήµα Πληροφορικής Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Εϖιστηµονικών Εφαρµογών Θωρία Παραδίγµατα και Άλυτς Ασκήσις Γουλιάνας Κώστας Εϖίκουρος Καθηγητής eml : gul@t.tethe.gr Ιστοσλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΦΥΛΛΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΣΙΛΗΣ ΥΕΡΙΝΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙ ΜΕΡΣ ο : ΛΕΡ ΚΕΦΛΙ ο ΦΥΣΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; πάντηση ι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α. Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ A. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Γραμμική ξίσωση μ δύο αγνώστους ονομάζται κάθ ξίσωση της μορφής: α + βψ = γ (), μ α,β,γ π.χ. ψ =, =, ψ =, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων .

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων . 80 Σύνολα µέτρου µηδέν στον και ο χαρακτηρισµός του Lebesgue των iema ολοκληρωσίµων συναρτήσων 7. Ορισµός. Έστω για κάθ 0 Α, λέµ ότι το Α έχι διάστατο µέτρο µηδέν αν, > υπάρχι ακολουθία ανοικτών διάστατων

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις

Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Τι ονομάζουμ ξίσση γραμμής Μια ξίσση μ δύο αγνώστους λέγται ξίσση μιας γραμμής C, όταν οι συντταγμένς τν σημίν της C, και μόνο αυτές, την παληθύουν Ποιό ίναι το βασικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ www.cslab.ece.ntua.gr Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕ ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14 Δρ. Β. Σγαρδώνη ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1. Εισαγωγή 2. Σφάλματα, αριθμητική μηχανής και αλγόριθμοι 3. Επίλυση συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις σετ ασκήσεων #6

Λύσεις σετ ασκήσεων #6 ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Γ. Κοντογιάννης Πέμπτη 8 Μαΐου 07 Φυλλάδιο #4 Λύσις στ ασκήσων #6. Θόρυβος od. Έστω ότι ένα κανάλι έχι αλφάβητο ισόδου και αλφάβητο ξόδου το {0}. Όπως στο προηγούμνο στ η έξοδος του

Διαβάστε περισσότερα

Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια

Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια 35 Συµπάγια και οµοιόµορφη συνέχια Μια πολύ σηµαντική έννοια στην Ανάλυση ίναι αυτή της συµπάγιας. Όπως θα δούµ τα συµπαγή υποσύνολα του Ευκλίδιου χώρου R συµπριφέρονται λίγο πολύ ως ππρασµένα σύνολα.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ 1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 8575 Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται τα σηµία Α(,) και Β(5,6). α) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από τα σηµία Α και B.

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη Προηγούμενου Μαθήματος Κανάλια επικοινωνίας με θόρυβο και η χωρητικότητά τους

Περίληψη Προηγούμενου Μαθήματος Κανάλια επικοινωνίας με θόρυβο και η χωρητικότητά τους ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Γ Κοντογιάννης Πέμπτη Μαΐου 7 Φυλλάδιο #3 Πρίληψη Προηγούμνου Μαθήματος Κανάλια πικοινωνίας μ θόρυβο και η χωρητικότητά τους Πώς πριγράφουμ ένα κανάλι πικοινωνίας; Τι θα πι «θόρυβος»;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης 1 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Οι οικονοµολόγοι νδιαφέρονται να µτρσουν ορισµένς µταβλητές για να µπορέσουν να κάνουν προβλέψις και για να κτιµσουν µ σχτικ ακρίβια τι αποτέλσµα θα έχι η µταβολ µιας µταβλητς πί µιας άλλης.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ211: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση 1 Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να δώστ κανονικές κφράσις που να πριγράφουν τις πιο κάτω γλώσσς. (α) { w {,} * η w δν πριέχι δύο συνχόμνα όμοια γράμματα }

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 7 Οκτωβρίου 2014 ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που παρουσιάζται στις διαφάνις

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ανάπτυξη πολύπλοκων υπολογιστικών συστηµάτων, έκανε επιτακτική την ανάγκη οργάνωσης αριθµητικών µεθόδων, για την επίλυση πολύπλοκων προβληµάτων επιστηµονικών εφαρµογών.

Διαβάστε περισσότερα

Γλώσσες Προγραμματισμού Μεταγλωττιστές. Λεκτική Ανάλυση II

Γλώσσες Προγραμματισμού Μεταγλωττιστές. Λεκτική Ανάλυση II Γλώσσς Προγραμματισμού Μταγλωττιστές Λκτική Ανάλυση II Πανπιστήμιο Μακδονίας Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ηλίας Σακλλαρίου Δομή Ππρασμένα Αυτόματα Νττρμινιστικά Ππρασμένα Αυτόματα Μη-Νττρμινιστικά Ππρασμένα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης

Αριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης Αριθµητική Ανάλυση Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης 3 Οκτωβρίου 2016 3 Οκτωβρίου 2016 1 / 54 Τρόπος ιδασκαλίας Η διδασκαλία ϑα στηρίζεται στις διαλέξεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΙΑ ΠΑΓΓΕ Περιεχόμενα 2 Δυαδικό Σύστημα Προσημασμένοι δυαδικοί αριθμοί Αφαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου) Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος,

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση [5 μονάδς] Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να δώστ κανονικές κφράσις που να πριγράφουν τις πιο κάτω γλώσσς πί του αλφάβητου Α = {, }. (α) Όλς οι λέξις πί του αλφάβητου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 εκαδικό και υαδικό

3.1 εκαδικό και υαδικό Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και εδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 3.1 εκαδικό και υαδικό εκαδικό σύστηµα 2 1 εκαδικό και υαδικό υαδικό Σύστηµα 3 3.2 Μετατροπή Για τη µετατροπή

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

(4) γενικής λύσης το x με το -x. και θα έχουμε : y ομ (x)=c 1 (-x) -1 +c 2 (-x) 3

(4) γενικής λύσης το x με το -x. και θα έχουμε : y ομ (x)=c 1 (-x) -1 +c 2 (-x) 3 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ EULER Ορισμός : Οι γραμμικές διαφορικές ξισώσις, των οποίων οι συντλστές ίναι δυνάμις του βαθμού ίσου μ την τάξη της αντίστοιχης παραγώγου, ονομάζονται ξισώσις του Eule Πχ η ομογνής ξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητες.

3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητες. 32 3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητς. Στην παράγραφο αυτή πρόκιται να ισαγάγουμ μια σημαντική, ίσως την σημαντικότρη, κλάση τοπολογικών γραμμικών χώρων. Αυτή ίναι η κλάση των τοπικά κυρτών χώρων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΑΣΟΕΕ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΦΘΙΝΟΠΩΡΙΝΟ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 20-2 Ι ΑΣΚΩΝ: ΠΡΟ ΡΟΜΟΣ ΠΡΟ ΡΟΜΙ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 27 Μαΐου 2010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2 ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό

Φροντιστήριο 2 ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό Φροντιστήριο ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό Βαθµωτά ή µονόµτρα µγέθη scls: Για να οριστούν τα µγέθη αυτά απαιτίται να δοθί µόνο το µέτρο τους πριλαµβανοµένης της µονάδας µέτρησης ιανυσµατικά µγέθη

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ Όταν lim f ( ) =l, εννοούµε ότι οι τιµές f () βρίσκονται όσο θέλουµε κοντά στο l, για τα τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο. f () y f() y f() y 9 f ( ) =l f () l f() l

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θτική Τχνολογική Κατύθυνση ασκήσις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ)

Διαβάστε περισσότερα

Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δείκτη διάθλασης.

Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δείκτη διάθλασης. Ο Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δίκτη διάθλασης. 1 Σκοπός Ο δίκτης διάθλασης νός διαφανούς οπτικού μέσου ίναι ένα ιδιαίτρο σημαντικό φυσικό μέγθος στην οπτική. Ο δίκτης διάθλασης όχι μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα ιοικητικής Επιστήµης & Τεχνολογίας ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο 2 Αριθµητικά Συστήµατα και Αριθµητική Υπολογιστών Γιώργος Γιαγλής Περίληψη Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β 1 6.3 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + β ΘΕΩΡΙ 1. Η πρίφηµη γωνία ω Έστω υθία που τέµνι τον άξονα σ σηµίο. Στρέφουµ την ηµιυθία κατά θτική φορά µέχρι να πέσι πάνω στην. Η γωνία ω που διαγράφται λέγται γωνία που σχηµατίζι

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Άσκηση Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που πριγράφται στις διαφάνις

Διαβάστε περισσότερα

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ 4.. ΣΥΝΕΛΙΞΗ Στην προηγούµενη παράγραφο εισαγάγαµε την ιδέα της συνέλιξης από τα συµφραζόµενα των γραµµικών συστηµάτων. Σ' αυτήν την παράγραφο ορίζουµε τη συνέλιξη σαν µια πράξη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 18 ο, 19 Νοεµβρίου 2008 (9:00-10:00).

Μάθηµα 18 ο, 19 Νοεµβρίου 2008 (9:00-10:00). Μάθηµα 8 ο, 9 Νοµβρίου 008 (9:00-0:00) Άσκηση 4 Θωρούµ κβαντικό σύστηµα ύο πιπέων, ηλαή έχουµ ύο ιιοκαταστάσις της νέργιας, Ĥ Ε και Ĥ Ε, τις οποίς ν γνωρίζουµ Ενώ για τον τλστή Α, γνωρίζουµ τις ιιοκαταστάσις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μάθηµα Τέταρτο-Πέµπτο-Έκτο Πολλαπλό Γραµµικό Υπόδειγµα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μάθηµα Τέταρτο-Πέµπτο-Έκτο Πολλαπλό Γραµµικό Υπόδειγµα Α.Τ.Ε.Ι ΠΑΤΡΩ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩ ΣΥΣΤΜΑΤΩ Μάθηµα Τέταρτο-Πέµπτο-Έκτο Πολλαπλό Γραµµικό Υπόδιγµα Στο παρόν µάθηµα δίνται µ κάποια απλά παραδίγµατα-ασκήσις θέµατα πάνω στην κτίµηση νός πολλαπλού γραµµικού υποδίγµατος.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση: Νόμος του Gauss 1. Ηλκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). ( a) cosφ ( b) ίναι διάνυσμα μέτρου Α και κατύθυνσης κάθτης στην πιφάνια. Στην γνική πρίπτωση: d d d ( ) (πιφανιακό ολοκλήρωμα) Νόμος του Gauss

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 8 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f ln, * είναι παραγωγίσιµη στο * και ισχύει: ln Μονάδες Α Πότε µια συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα