ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,

Transcript

1 Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , Ε ΟΥΑΡ ΟΣ ΛΑΓΑΝΑΣ, Ph.D ΣΜΑΡΑΓ Α ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ Ι ΑΚΤΩΡ ΕΜΠ KENTΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,

3 Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , ύο ταλλικές σφαίρς ακτίνων r και r βρίσκονται πολύ ακριά ταξύ τους ( l >> r + r ). Φορτίο Q οιράζται πάνω στις δύο σφαίρς. Πως θα πρέπι να κατανηθί το φορτίο ώστ η δυναική νέργια του συστήατος να ίναι λάχιστη; Για ια ταλλική σφαίρα ακτίνας R που φέρι φορτίο Q το ηλκτρικό πδίο E θα δίνται από τη σχέση:, r< R E= Q ˆr, r R 4π r Η ολική νέργια της σφαίρας θα ίναι: Q 4π r dr Q W= E d= W= 4 R π r 8π R Στην πρίπτωσή ας θα υπάρχουν φορτία q και q τέτοια ώστ: q+ q = Q. ηλαδή θα ισχύι η αρχή διατήρησης του φορτίου. Άρα, η ολική νέργια των δύο σφαιρών θα ίναι: q q W = + 8π r r ή λόγω της σχέσης q = Q q : ( Q q ) q W= + 8π r r Για να ίναι η W λάχιστη θα πρέπι η παράγωγος ως προς το q να ηδνίζται: dw q ( Q q) = = dq r r q Q q r Q = r q= r Q r q q = r r r + r r Q και βέβαια q = Q q = r + r

4 Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , Μταλλικός σφαιρικός φλοιός ακτίνας R πριστρέφται γωνιακή ταχύτητα ω. Αν η σφαίρα έχι σταθρό δυναικό, υπολογίστ το αγνητικό πδίο στο κέντρο Ο της σφαίρας. Προκιένου η σφαίρα αυτή να έχι δυναικό, ίναι απαραίτητο να δχθού την οοιόορφη κατανοή κατάλληλου φορτίου Q στην πιφάνια. Ειδικότρα θα πρέπι: Q = Q= 4π R 4π Η πιφανιακή πυκνότητα θα ίναι, όπως προαναφέρθηκ, οοιόορφη: dq Q σ= = dα 4π R Όως dα = R sin θ dθdφ και συνπώς αντικαθιστώντας: dq R dq R sin θdθdφ sin θ dθdφ = =. Λόγω της πριστροφής της σφαίρας, το στοιχιώδς αυτό φορτίο dq ισοδυναί κυκλικό ρύα dq π ακτίνας r=rsinθ. Ειδικότρα di=, όπου T= η πρίοδος της πριστροφής. T ω Είναι χρήσιο να ολοκληρώσου ως προς φ λόγω της ύπαρξης κυκλικού ρύατος. Άρα: dq di= = R ω sin θdθ, διότι T Το κυκλικό αυτό ρύα δηιουργί αγνητικό πδίο: r db= z + r Όως z = R cos θ και συνπώς ( ) 4 / π dφ= π. di zˆ. z + r = R cos θ+ R sin θ= R. Τλικά το db θα ισούται : db= sin θ ( R ω sin θdθ) = ω sin θ dθ zˆ. R Ολοκληρώνοντας έχου:

5 Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , Όως: π B= ˆ ω z sin θ dθ π π cos θ 4 sin θ dθ= cosθ+ = και ποένως το πδίο στο ηδέν θα ίναι: B= ˆ ω z. Ευθύγραος ρυατοφόρος αγωγός απίρου ήκους που διαρρέται από ρύα Ι= α+ βt βρίσκται στο πίπδο συράτινου ττραγωνικού πλαισίου πλυράς a, παράλληλα στο ένα ζύγος των πλυρών του πλαισίου και σ απόσταση c από την πλησιέστρη. Υπολογίστ την ΗΕ που πάγται στο πλαίσιο, αν οι σταθρές α και β θωρηθούν ως θτικές. I x dx c a Ο υθύγραος ρυατοφόρος αγωγός δηιουργί σ απόσταση x αγνητικό πδίο I( t) B( t) = πx φορά προς το σωτρικό του φύλλου. Άρα η αγνητική ροή θα ίναι : α Φ= dφ= Bdα α 5 S ( ) ( ) ( ) Φ Bdα= dx dy= α ln α/α S y= x= α I t I t πx π

6 Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , ή α ln Φ( t) = ( α+ βt) π Συνπώς η Η.Ε.. θα ίναι : dφ α ln β π = = dt π Το παγόνο ρύα θα ίναι : π αβln I π = =. R πr Η φορά του ρύατος, σύφωνα τον νόο του Lenz θα ίναι τέτοια ώστ το πδίο ξ παγωγής να ίναι αντίθτο το αρχικό Β. Θα πρέπι λοιπόν να έχι κατύθυνση προς το ξωτρικό του φύλλου και συνπώς το I π διαρρέι το πλαίσιο φορά αντίθτη των δικτών του ρολογιού. ίνται πίπδος πυκνωτής κυκλικούς οπλισούς ακτίνας R σ απόσταση d, ο οποίος συνδέται πηγή ηλκτργρτικής δύναης, έτσι ώστ η διαφορά δυναικού ταξύ των οπλισών του δίνται από την σχέση : = exp( t / τ), τ=σταθρό. (α) Να βρθί το ηλκτρικό πδίο ταξύ των οπλισών του πυκνωτή. (β) Να υπολογισθί το αγνητικό πδίο στο χώρο ταξύ των οπλισών του πυκνωτή από την E ολοκληρωτική ορφή της ξίσωσης B = + J και χρήση του τύπου του Stokes : Bdl= B dα. C S ( ) (α) Για πίπδο πυκνωτή ίναι γνωστό ότι : E= = exp( t /τ) d d Επίσης το ηλκτρικό πδίο θα ίναι κάθτο στους οπλισούς. (β) Θα χρησιοποιήσου την ολοκληρωτική ορφή της ξίσωσης: E B = J+ J= ανάσα στους δυο οπλισούς. Εφαρόζου το θώρηα Stokes: E ( B) dα= dα= Bdl Edα= Bdl S S C S C όπου S η πιφάνια του δακτυλίου ακτίνας r και C η αντίστοιχη πριφέρια. 6

7 Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , Εκτλώντας τις ολοκληρώσις έχου: E r E πr = B πr B =. σ Q( t) Όως το ηλκτρικό πδίο πάνω από αγωγούς ίναι E= = και έτσι: π α r dq Ir B= = πα dt πα (α) Ξκινώντας από τις ξισώσις Maxwell αποδίξτ την ξίσωση της συνέχιας. (β) Nα διατυπωθί και να αποδιχθί το θώρηα διατήρησης της νέργιας για ένα Η/Μ κύα. Να ξηγηθούν οι πιέρους όροι. (α) Άρα: Όως: οπότ: Θα χρησιοποιηθί κατ' αρχήν η ξίσωση Maxwell: E B = J+ E ( xb) = J+ = E = E J+ E= Επίσης: 7

8 Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , ρ E= Αντικαθιστώντας καταλήγου στην ξίσωση της συνέχιας: ρ J+ =, η οποία αποτλί τη αθηατική διατύπωση της αρχής διατήρησης του φορτίου. (β) Η ολική νέργια του Η/Μ πδίου βρίσκται ολοκληρώνοντας τις πυκνότητς νέργις: = + u E d B d H χρονική ταβολή της αποθηκυένης νέργιας ίναι: u E B = E d+ B d Οι χρονικές παράγωγοι των πδίων υπολογίζονται τη βοήθια δύο ξισώσων Maxwell: E B = J+ B E= t Αντικαθιστώντας βρίσκου: u = E[( B) J]d B( E)d u = EJd + [E( B) B( E) ]d Χρησιοποιώντας την ταυτότητα: E( B) B( E) = (E B) καθώς και τον ορισό του διανύσατος Poynting S = (E B) βρίσκου: u = EJd (E B) d u = EJd S d = EJd S da S Η τλυταία αυτή έκφραση αποτλί τη αθηατική διατύπωση του θώρηατος διατήρησης της νέργιας: ο όρος EJd κφράζι τις απώλις Joule νώ ο όρος S da την ταφρόνη ισχύ από το Η/Μ κύα. S 8

9 Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , Εφαροσένα Μαθηατικά Ι, ΙΙ Φυσική Στράς Κατάστασης Ανάλυση Ι, ΙΙ Πυρηνική Φυσική & Στοιχιώδη Σωάτια ΜΜΦ Ι, ΙΙ Σύγχρονη Φυσική Πιθανότητς Στατιστική Ειδική Σχτικότητα Φυσική Ι, II, III, I Χηία Πρακτικά Χηίας Mηχανική Ι, ΙΙ Ηλκτρονική Ι, ΙΙ Ηλκτροαγνητισός I, II Πρακτικά Ηλκτρονικής Κβαντοηχανική Ι, ΙΙ Συστήατα Τηλ ικοινωνιών Στατιστική Φυσική Υ ολογιστές Ε ιλογές H σίγουρη λύση ου οδηγί στο τυχίο 9