ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 0. Είναι φανερό ότι αν δύο ευθύγραμμα τμήμα είναι ίσα τότε έχουν λόγο ίσο με 1. Δηλ.

Transcript

1 ΚΕΦΛΙΟ 7 0 Λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων Ονομάζουμε λόγο δύο ευθυγράμμων τμημάτων και το θετικό αριθμό λ για τον οποίο AB ισχύει =λ. και γράφουμε. Είναι φανερό ότι αν δύο ευθύγραμμα τμήμα είναι ίσα τότε έχουν λόγο ίσο με 1. ηλ. 1. Μήκος ευθυγράμμου τμήματος Μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος ονομάζεται ο λόγος του προς ένα άλλο ευθύγραμμο τμήμα που λαμβάνεται ως μονάδα μέτρησης (μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα). Ο λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων ισούται με τον λόγο των μηκών τους, ως προς την ίδια μονάδα μέτρησης και είναι ανεξάρτητος από την μονάδα μέτρησης. ναλογίες ύο ευθύγραμμα τμήματα α,β ονομάζονται ανάλογα προς δύο ευθύγραμμα τμήματα γ,δ όταν ο λόγος του α προς το γ είναι ίσος με τον λόγο του β προς το δ. ηλαδή ισχύει και υπάρχει θετικός αριθμός λ ώστε α=λ.γ και β=λ.δ Η ισότητα ονομάζεται αναλογία με όρους τα τμήματα α,β,γ,δ. Τα τμήματα α και δ λέγονται άκροι όροι ενώ τα τμήματα β και γ λέγονται μέσοι όροι της αναλογίας. Το ευθύγραμμο τμήμα δ ονομάζεται τέταρτη ανάλογος των τριών ευθυγράμμων τμημάτων α,β,γ. ν μια αναλογία έχει την μορφή το ευθύγραμμο τμήμα β ονομάζεται μέση ανάλογος των α και γ. i) ii) iii) iv) Ιδιότητες ναλογιών v) vi) α.δ=β.γ vii) 1

2 Θεώρημα Θαλή ν παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο ευθείες τότε τα τμήματα που ορίζονται στην μια είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα της άλλης ε 1 //ε //ε 3 και ε, ε τέμνουσες τότε ε ε Ε Ζ Στο διπλανό σχήμα ισχύει AO O OB Ο Θεώρημα Θαλή σε τρίγωνο ν μια ευθεία είναι παράλληλη προς μια πλευρά ενός τριγώνου τότε διαιρεί τις δυο άλλες πλευρές στον ίδιο λόγο A Ισχύει: ή Ε Ε

3 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης 1.Στα παρακάτω σχήματα να βρείτε τα x, ψ (α) ε 1 ψ x 6 3 ε 1 ε ε ε 1 ε ε 3 ε ε 3 ε 3 ε ε 1 ε x 1,5 ψ 3 ε 3 (β) (γ) ε 1 x ε 9 ε 1 ε x ε 1 0 (δ) x (ε) ψ 3 Κ Λ x 3 6 ψ ε.να δικαιολογήσετε γιατί και ΕΖ ΚΛ ΜΝ στα παρακάτω σχήματα 3α Ο α α 6α Κ Ε Λ Ζ 6 Ν 6 9 Μ 3.Στο διπλανό σχήμα είναι i) Σ Λ ii)ez Σ Λ Ε Ζ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) κάθε μία από τις προτάσεις και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας..ίνεται τμήμα και δύο σημεία και ώστε ρκεί η παραπάνω σχέση για να είναι τα και συζυγή αρμονικά των και ; 5.Στο παρακάτω σχήμα είναι ΚΛ =, ΛΕ =. Να βρείτε σημείο Ζ ώστε τα σημεία (Ζ, Ε) να είναι συζυγή αρμονικά των (Κ, Λ) Κ Λ Ε 3

4 σκήσεις Εμπέδωσης 1.Στο διπλανό σχήμα είναι Ε, ΕΖ και ΖΗ. Να αποδείξετε ότι Λύση Ε (1) ΕΖ () ΖΗ (3) Η Ζ Ε πό τις (1), (), (3) 6.ίνεται τρίγωνο και σημεία, Ε της πλευράς, ώστε = Ε <. Οι παράλληλες από τα, Ε προς τις και αντίστοιχα τέμνουν την στο Ζ κα την στο Η. Να αποδείξετε ότι ΖΗ. Λύση ρκεί να αποδείξουμε ότι = Ζ Ε Η Ζ = ΕΗ = Τα δεύτερα μέλη ίσα, άρα και τα πρώτα. 7.πό τυχαίο σημείο Κ της διαμέσου Μ τριγώνου φέρουμε παράλληλες προς τις και, που τέμνουν τη στα και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Μ = ΜΕ. Λύση Κ = Κ ΚΕ = Τα πρώτα μέλη ίσα, άρα και τα δεύτερα, άρα Μ Ε = και επειδή Μ = Μ θα είναι Μ = ΜΕ.

5 Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου Η εσωτερική διχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο με τον λόγο των προσκείμενων πλευρών. διχοτόμος γ χ χ β α Υπολογισμός των τμημάτων και (ΈχειΚΙ εν Έχει) = ν η εξωτερική διχοτόμος τέμνει τον φορέα της απέναντι πλευράς τότε χωρίζει εξωτερικά την πλευρά αυτή σε λόγο ίσο με τον λόγο των προσκείμενων πλευρών EB Ε εξωτ. διχοτόμος E Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου ψ ψ γ β Ε α Υπολογισμός των τμημάτων Ε και Ε (Έχει ΚΙ εν Έχει) BE σκήσεις σχολικού βιβλίου σκήσεις Εμπέδωσης 1. Η διάμεσος Μ και η διχοτόμος τριγώνου τέμνονται στο Ε. Να αποδείξετε ότι.. ίνεται τρίγωνο με =6, =10, =9. ν, Ε η εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος της γωνίας A, να υπολογισθεί το Ε. 5

6 3. ίνεται τρίγωνο με A > 90 και η διάμεσός του Μ. ν η διχοτόμος της γωνίας AΜB τέμνει την στο και την προέκταση της στο Ε, να αποδείξετε ότι Ε = Ε.. ν Μ είναι το μέσο της πλευράς ενός τριγώνου και οι διχοτόμοι των γωνιών AΜB και Μ τέμνουν τις πλευρές και στα και Ε αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι Ε//. 5. ν, Ε και Ζ είναι οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου, να αποδείξετε ότι: 1. ιατυπώστε και αποδείξτε ανάλογη πρόταση για τις εξωτερικές διχοτόμους. 6. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,). ν τυχαίο σημείο του τόξου και η τέμνει την πλευρά στο Ε, να αποδείξετε ότι ΕB = Ε. ΚΕΦΛΙΟ 8 0 Όμοια Τρίγωνα ύο τρίγωνα θα λέγονται όμοια αν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις πλευρές τους ανάλογες. Κριτήρια ομοιότητας τριγώνων 1. ύο τρίγωνα είναι όμοια αν και μόνο αν έχουν δύο γωνίες μια προς μια ίσες. ( Â ˆ ˆ ˆ ).. ύο τρίγωνα είναι όμοια αν και μόνο αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες.. 3. ύο τρίγωνα είναι όμοια αν και μόνο αν έχουν δύο πλευρές ανάλογες και τις περιεχόμενες σ' AB αυτές γωνίες ίσες., ˆ ˆ. Λόγος ομοιότητας ονομάζεται ο λόγος δύο αντίστοιχων (ομόλογων) πλευρών και συμβολίζεται με λ. Ε Ζ Ισχύουν οι επόμενες προτάσεις : Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων σχημάτων είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητάς τους. Ο λόγος των αντίστοιχων υψών, διαμέσων, διχοτόμων δύο όμοιων τριγώνων, είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητάς τους. ν δύο τρίγωνα είναι όμοια προς τρίτο τότε είναι και μεταξύ τους όμοια. ύο ίσα πολύγωνα είναι πάντα όμοια με λόγο ομοιότητας λ = 1. Κριτήρια ομοιότητας τριγώνων Κριτήριο 1 ο : ύο τρίγωνα είναι όμοια αν έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία. Κριτήριο ο : ύο τρίγωνα είναι όμοια αν έχουν δύο πλευρές ανάλογες και τις περιεχόμενες των ανάλογων πλευρών γωνίες τους ίσες. Κριτήριο 3 ο : ύο τρίγωνα είναι όμοια αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες. 6

7 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης 1. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε είναι όμοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όμοια με ένα τρίτο τρίγωνο, τότε είναι και μεταξύ τους όμοια;. ύο ισοσκελή τρίγωνα είναι πάντα όμοια; 3. Στο παρακάτω σχήμα είναι = 3Ε. Να βρεθεί ο λόγος.. Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το μήκος του Ε. 5. Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι 3cm, cm και 5cm. Ένα τρίγωνο όμοιο με αυτό έχει περίμετρο cm. Ποια είναι τα μήκη των πλευρών του; 6. ν στο παρακάτω σχήμα το τετράπλευρο ΚΛ είναι εγγράψιμο, τα τρίγωνα και ΚΛ είναι όμοια; Ποιες είναι οι ομόλογες πλευρές τους; 7. Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες και είναι παράλληλες; ιτιολογήστε την απάντησή σας. 7

8 σκήσεις Εμπέδωσης 1. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο (A = 1 ). πό τυχαίο σημείο της φέρουμε Ε. Να αποδείξετε ότι: i) τα τρίγωνα και Ε είναι όμοια, ii) - Ε = Ε.. Στις πλευρές και τριγώνου θεωρούμε σημεία και Ε αντίστοιχα, ώστε = 1 και 3 Ε = 3. Να αποδείξετε ότι: i) τα τρίγωνα και Ε είναι όμοια, ii) = 3Ε 3. Μία μεταλλική πλάκα έχει σχήμα ορθογώνιου τριγώνου με πλευρές α,β,γ. Η πλάκα θερμαίνεται και από τη διαστολή αυξάνεται κάθε πλευρά της κατά το 115 της. Θα παραμείνει ορθογώνιο τρίγωνο το σχήμα της πλάκας;. Ένα δέντρο ρίχνει κάποια στιγμή σε οριζόντιο έδαφος σκιά μήκους m. Στο ίδιο σημείο, την ίδια στιγμή, μια κατακόρυφη ράβδος μήκους m ρίχνει σκιά μήκους 3m. Να βρεθεί το ύψος του δέντρου. 5. ίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο και το ύψος του. Να αποδείξετε ότι : i) =, ii) =,iii) =. 6. ίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R) και οι ευθείες x και y που σχηματίζουν ίσες γωνίες με τις και και τέμνουν τη και τον κύκλο αντίστοιχα στα και Ε. Να αποδείξετε ότι Ε =. ΚΕΦΛΙΟ 9 0 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤ ΤΡΙΩΝ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων τριγώνων είτε αυτά είναι κύρια στοιχεία (πλευρές, γωνίες), είτε είναι δευτερεύοντα ( ύψη, διχοτόμοι, διάμεσοι). Προβολή σημείου σε ευθεία ίνεται ευθεία ε και σημείο που δεν ανήκει σε αυτήν. Ορθή προβολή ή απλά προβολή του σημείου στην ε λέγεται το ίχνος, της καθέτου που άγεται από το προς την ε. ν κάποιο σημείο, όπως το, ανήκει στην ευθεία ε, η προβολή του είναι το ίδιο το. Προβολή ευθύγραμμου τμήματος σε ευθεία Προβολή ενός τμήματος πάνω στην ευθεία ε λέμε το τμήμα που έχει άκρα τις προβολές και των άκρων και του τμήματος.ν ο φορέας ενός τμήματος ΚΛ είναι κάθετος στην ε τότε οι προβολές των Κ και Λ συμπίπτουν. Έτσι η προβολή του ΚΛ είναι ένα σημείο, δηλαδή έχει μέτρο 0. Κ Λ εε 8

9 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤ ΟΡΘΟΩΝΙ ΤΡΙΩΝ 1. =. = 3. =. + = 5. = 6. = ΙΤΥΠΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΤΩΝ ΠΟΕΙΞΕΙΣ o ν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο, τότε το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του ισούται με το γινόμενο της προβολής της στην υποτείνουσα επί την υποτείνουσα απόδειξη A 1. Ν.δ.ο. =. ν.δ.ο. ˆ 0 Άρα ˆ 90 (κοινή) 1 (τρίτες) οπότε A 1. Ν.δ.ο. =. ν.δ.ο. A A ˆ ˆ 0 90 ˆ ˆ (κοινή) ˆ A (τρίτες) οπότε A o Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνoυσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του. απόδειξη Ν.δ.ο. + = Στο ισχύει =. =. Προσθέτω κατά μέλη + = = ( + ) =. Άρα + = 9

10 o Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών στην υποτείνουσα. απόδειξη Ν.δ.ο. =. Ν.δ.ο. A ˆ ˆ 0 90 ˆ (γωνίες με πλευρές κάθετες) ˆ ˆ 1 οπότε ντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος ν σ ένα τρίγωνο το τετράγωνο μιας πλευράς ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά αυτή. πόδειξη ν σε ισχύει = + ˆ = 90 0 Στις κάθετες πλευρές ορθής γωνίας χοy παίρνουμε σημεία και Ε ώστε Ο = και ΟΕ =. Φέρνω Ε. Στο ΕΟ Πυθαγόρειο θεώρημα. Ε = ΟΕ + Ο Ε = + y E Ε = Άρα Ε = Τότε το B OE διότι έχουν τις πλευρές μία 0 x προς μία ίσες. 0 Άρα και η ˆ Οˆ ˆ

11 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 1L) έχει = 6 και = 8. Ποιο το μήκος της διαμέσου AM;. ν ο λόγος των κάθετων πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι, τότε ο λόγος των προβολών τους στην υποτείνουσα είναι: α. β. γ. 16 δ. 1 Κυκλώστε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση και αιτιολογήστε την απάντησή σας. 3. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές ίσες με 9 cm και 1 cm. Η πλευρά ισόπλευρου τριγώνου που έχει ίση περίμετρο με το ορθογώνιο τρίγωνο είναι: α. 10 cm β. 1 cm γ. 13 cm δ. 1 cm. Κυκλώστε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση και αιτιολογήστε την απάντησή σας.. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε τα x και y. σκήσεις Εμπέδωσης x y Ε 1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 1L) φέρουμε το ύψος. ν είναι = 3 και =, να υπολογιστούν τα μήκη των τμημάτων,, και.. ν σε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 1L) είναι ˆ = ˆ τότε ο λόγος γ β είναι ίσος με: 3 α. 1 β. 1 γ. 3 δ. ε. 3 Κυκλώστε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση και αιτιολογήστε την απάντησή σας Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 1L) φέρουμε το ύψος. ν είναι =5 και =, να διατάξετε 13 κατά αύξουσα σειρά μήκους τα τμήματα:,, και. ποδεικτικές σκήσεις 1. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο, που έχει πλευρές α = κ + λ, β = κλ και γ = κ - λ, όπου κ, λ θετικοί ακέραιοι με κ > λ, είναι ορθογώνιο.. ν Ε, Ζ είναι αντίστοιχα οι προβολές δύο χορδών και ενός κύκλου σε μία διάμετρό του, να αποδείξετε ότι Ζ = Ε. 3. Σε ισοσκελές τρίγωνο (=) φέρουμε το ύψος του Ε. Να αποδείξετε ότι α + β + γ = 3Ε + Ε + Ε. 11

12 ΘΕΩΡΗΜ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ ΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΤΟΣ Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σ αυτή. α =β +γ -β γ β α απόδειξη Ι. Θεώρημα οξείας γωνίας (υπολογίζει πλευρά απέναντι από οξεία γωνία) γ β β γ α α Ν.δ.ο. α = β + γ β ν.δ.ο. α = β + γ β Στο Π. Θ. α = + (1) Στο Στο Π. Θ. = γ () Στο ΠΘ : α = + (1) ΠΘ : = γ () και = β (3) και = β (3) () (1) α = γ + (β - ) (1) α = γ + ( β) (3) α = γ - +β β + α = γ + β + β () (3) α = β + γ β α = γ + β β Στο ορθογώνιο τρίγωνο, τότε η προβολή της γ στη β είναι η β γ Άρα ο τύπος γίνεται: α = β + γ β - β α = β + γ β α = - β + γ ισχύει από το Π.Θ. α 1

13 ΘΕΩΡΗΜ ΜΛΕΙΣ ΩΝΙΣ Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αμβλεία γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, αυξημένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή. γ α α =β +γ +β β ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ: α =β +γ -βγσυν, β =α +γ -αγσυν, γ =β +α -βασυν Έλεγχος για το είδος γωνίας τριγώνου Πόρισμα Σε κάθε τρίγωνο ισχύουν οι ισοδυναμίες: α > β + γ, αν και μόνο αν ˆ > 1 L α = β + γ, αν και μόνο αν ˆ = 1 L α < β + γ, αν και μόνο ˆ < 1 L Εφαρμογή Το ύψος υ α ενός τριγώνου δίνεται από τη σχέση ττ ατ βτ γ υ α α σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Στο παρακάτω σχήμα να συμπληρώστε τα κενά: Ε i) = ii) = Να βρεθεί το είδος των γωνιών τριγώνου όταν: i) β = 3α + γ, ii) γ = α - β, iii) α - β = γ+. 13

14 3. ν β η πλευρά αμβλυγώνιου τριγώνου τότε... > α +.. (Να συμπληρώσετε τα κενά).. ν στο παρακάτω σχήμα είναι = και A = 10, να δικαιολογήσετε γιατί α = 3β σκήσεις Εμπέδωσης 1. Να εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο, με α = 6μ, β = 5μ, γ = μ, όπου μ θετική παράμετρος. Να εξετασθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του.. Υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών α = 6, β = 5, γ = ; ν ναι, να υπολογισθούν τα ύψη του τριγώνου. 3. ίνεται τρίγωνο με α =, β = 1 + 3, γ =. Να υπολογισθεί η γωνία ˆ.. ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με = cm, = 5cm και ˆ = 30, όπου το ύψος του. Να υπολογισθεί η πλευρά του. ποδεικτικές σκήσεις 1. Οι πλευρές ενός τριγώνου έχουν μήκη = 9cm, = 7cm και = 1cm. Να υπολογισθεί το μήκος της προβολής της πάνω στην.. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τραπέζιο με βάσεις, ισχύει ότι + = ν, είναι ύψη ενός οξυγώνιου τριγώνου, να αποδείξετε ότι α = β + γ.. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 1L). Προεκτείνουμε την πλευρά κατά =. Να αποδείξετε ότι =. 5. Σε ισοσκελές τρίγωνο (=) φέρουμε παράλληλο της, που τέμνει τις και στα και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Ε = Ε + Ε. 6. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ =1L) με πλευρές α, β, γ. Υπάρχει τρίγωνο με πλευρές 5α, β, 3γ; Σύνθετα Θέματα 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο με = και ˆ = 30. Να αποδείξετε ότι α = β 3. 1

15 ΘΕΩΡΗΜΤ ΙΜΕΣΩΝ 1 ο θεώρημα διαμέσων Το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της διαμέσου που περιέχεται μεταξύ των πλευρών αυτών, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς. ο θεώρημα διαμέσων Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαμέσου πάνω στην πλευρά αυτή. ύψος, Μ διάμεσος 1 0 θεώρημα διαμέσωνβ +γ =μ α+ γ υ α μ α β 0 θεώρημα διαμέσων β -γ =αμ Μ α αποδείξεις 1 ο θ.διαμέσων Η γωνία ˆ είναι οξεία άρα (1) Η γωνία ˆ είναι αμβλεία άρα () Προσθέτουμε τις δύο σχέσεις κατά μέλη και επειδή Μ=Μ ( ) ο θ.διαμέσων φαιρούμε τις δύο σχέσεις (1) και () κατά μέλη και επειδή Μ = = Μ o πό το Πρώτο Θεώρημα ιαμέσων αν λύσουμε ως προς τη διάμεσο προκύπτει ένας πολύ χρήσιμος τύπος ο οποίος μας υπολογίζει την διάμεσο του τριγώνου από τις πλευρές του. Ο τύπος είναι: Παρόμοιοι τύποι προκύπτουν και για τις διαμέσους και :, 15

16 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Στο παρακάτω σχήμα η Μ είναι διάμεσος και ύψος. Ποια σχέση είναι σωστή; i) AB + = AM + Μ ii) AB + = AM + iii) AB + =. Μ iv) AB - A = AM + BM ιτιολογήστε την απάντηση σας.. Στο παρακάτω σχήμα να συμπληρώσετε τα κενά Μ Μ Ο i) MA + MB = ii) Μ + Μ = Να εξηγήσετε γιατί Μ + MB = Μ + Μ. 3. ν σε τρίγωνο είναι β + γ = 5α τότε: α 3α 3α α α. μ α = β. μ α = γ. μ α = δ. μ α = 3 Κυκλώστε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση και αιτιολογήσετε την απάντηση σας. σκήσεις Εμπέδωσης 1. Σε τρίγωνο έχουμε β = 7, γ = 6 και μ α = 7/. Να υπολογισθούν: i) η πλευρά α, ii) η προβολή της διαμέσου μ α στη. α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει μα βγ 3. ίνεται κύκλος (O,R), μια διάμετρός του και έστω, τα μέσα των Ο και Ο αντίστοιχα. ν Μ + Μ = 5, όπου Μ τυχαίο σημείο του κύκλου, να υπολογισθεί η ακτίνα R.. ίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) και έστω Θ το βαρύκεντρό του. Να αποδείξετε 3 ότι: i) μα μβ μγ α β γ ii) Θ + Θ + Θ 1 = α β γ 3 ποδεικτικές σκήσεις 1. ίνεται τρίγωνο με ˆ = 60, β = 5, γ = 3. Να υπολογισθεί η διάμεσός του μ α.. i) ν ορθογώνιο και Μ τυχαίο σημείο να αποδείξετε ότι Μ + Μ = Μ + Μ. ii) ν τετράγωνο και σημείο Μ στο εσωτερικό του, ώστε Μ = 1, Μ = και Μ= 3, να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου.. ν Μ, Ν είναι μέσα των διαγωνίων, ενός τετραπλεύρου, να αποδείξετε ότι = + + ΜΝ (Θεώρημα Euler). 5. Στην υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου θεωρούμε τα σημεία και Ε τέτοια, ώστε = Ε = Ε. Να αποδείξετε ότι + Ε = ν σε τρίγωνο ισχύει β + γ = αμ α να υπολογισθεί η γωνία ˆ 16

17 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ Θεώρημα (Τεμνουσών) ν δύο χορδές, ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Ρ, τότε ισχύει Ρ Ρ Ρ Ρ. Ρ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ, χορδές κύκλου,r ακτίνα του κύκλου, δ=ρο Ρ δ Ο Ρ Ρ=Ρ Ρ=R -δ Ρ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ, χορδές κύκλου,r ακτίνα του κύκλου, δ=ρο Ρ Ο δ Ρ Ρ=Ρ Ρ= δ -R Θεώρημα (Τέμνουσας και εφαπτόμενης) ν από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο,R) φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ και μία ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία, τότε ισχύει ότι: ΡΕ = Ρ Ρ. 17

18 Ρ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ Ρ δ ΡΕ εφαπτόμενη του κύκλου Ο Ε Ρ Ρ=Ρ Ρ=δ -R =ΡΕ με δ=ρο, R ακτίνα του κύκλου αποδείξεις Ρ Θεώρημα Τεμνουσών 1 1 p A 1 1 νδο απόδειξη: νδο Ρ. Ρ = Ρ. Ρ Ρ. Ρ = Ρ. Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ 1 Ρ (κατακορυφήν) ˆ ˆ βαίνουν 1 ˆ ˆ βαίνουν 1 άρα Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ. Ρ = Ρ. Ρ Ρ Ρ ˆ ˆ κοινή ˆ ˆ εγγεγραμμένο 1 1 ˆ ˆ κάθε γωνία ίση με την απέναντι 1 1 εξωτερική άρα Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ. Ρ = Ρ. Ρ 18

19 Θεώρημα Τέμνουσας και εφαπτόμενης: Ρ. Ρ = ΡΕ Ρ δ Ο Ε Φέρνω τέμνουσα Ρ που διέρχεται από το κέντρο Ο. Τότε Ρ, Ρ τέμνουσες Ρ. Ρ = Ρ. Ρ Ρ. Ρ = (δ R) (δ + R) Ρ. Ρ = δ R Φέρνω την ακτίνα ΟΕ. Στο ορθογώνιο ΟΕΡ το δ R = PE άρα Ρ. Ρ = ΡΕ Ορισμός Έστω κύκλος (Ο,R) και σημείο Ρ με ΟΡ = δ. Η διαφορά δ R λέγεται δύναμη του σημείου Ρ ως προς Ρ τον κύκλο (Ο,R) και συμβολίζεται =δ R = OΡ R. ν Ρ (Ο, R)> 0 ν Ρ (Ο, R) = 0 ν Ρ (Ο, R)< 0 Εφαρμογή (ΟΟR) δ R > 0 τότε το Ρ εξωτερικό του κύκλου δ R > 0 τότε το Ρ σημείο του κύκλου δ R < 0 τότε το Ρ εσωτερικό του κύκλου ν δύο τμήματα και ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σ ένα σημείο Ρ έτσι ώστε τότε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία,, και είναι εγγράψιμο. σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Να προσδιορισθούν οι τιμές των x, y, στα παρακάτω σχήματα: Ρ A 1 3 Ο Ο y x x 6 Ρ Ο 19

20 . Ποια η δύναμη σημείου Ρ ως προς κύκλο (Ο, R) όταν Ρ = 0; M 3. ν στο παρακάτω σχήμα είναι O,R = -3, να υπολογίσετε την ακτίνα R του κύκλου. Μ Ο σκήσεις Εμπέδωσης 1. ίνεται κύκλος (Κ, 6) και σημείο, ώστε K = 1 cm. ν από το σημείο φέρουμε τέμνουσα που τέμνει τον κύκλο κατά χορδή = 6cm, να υπολογίσετε το.. ν σε τρίγωνο ο κύκλος, που διέρχεται από το και τα μέσα Μ, Ν των και αντίστοιχα, εφάπτεται της στο, να αποδείξετε ότι = 3. Θεωρούμε κύκλο (Ο,R) και τις χορδές του, που τέμνονται στο Ρ. ν ισχύει ότι αποδείξετε ότι οι χορδές, είναι ίσες.. Να αποδείξετε ότι η προέκταση της κοινής χορδής δύο τεμνόμενων κύκλων διχοτομεί κάθε κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους. ποδεικτικές σκήσεις 1. Τετράγωνο πλευράς α είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R). ν Ε είναι το μέσο της και η Ε προεκτεινόμενη τέμνει τον κύκλο στο Ζ, να αποδείξετε ότι: α 5 i) BE =, ii) Ε = 5ΕΖ.. πό σημείο εκτός κύκλου (Ο, R) φέρουμε τέμνουσα και εφαπτόμενο τμήμα. ν η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει τις, στα Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι Ε. Ζ = Ε. Ζ. 3. ν η διάμεσος Μ τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε, να αποδείξετε ότι: i) Μ MΕ = Σύνθετα Θέματα, ii) + = Μ Ε. 1. ίνεται τρίγωνο με β + γ = α. ν η διάμεσος Μ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο να αποδείξετε ότι M = α

21 ΚΕΦΛΙΟ 10 0 Εμβαδόν: Είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός που δηλώνει πόσες φορές πρέπει να πάρουμε την επιφάνεια που χρησιμοποιώ ως μονάδα μέτρησης για να φτιάξουμε την επιφάνεια που μετράμε. Πολυγωνικά χωρία Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εμβαδά. ύο σχήματα που έχουν το ίδιο εμβαδόν λέγονται ισοδύναμα ή ισεμβαδικά. Ισοδύναμα σημαίνει ισεμβαδικά ύο ίσα σχήματα είναι και ισεμβαδικά ύο ισεμβαδικά σχήματα δεν είναι ίσα ΕΜ ΣΙΚΩΝ ΠΟΛΥΩΝΩΝ Τετράγωνοα Ε = α α Ορθογώνιο Ε = αβ β α Τρίγωνο υ α α Ορθογώνιο Τρίγωνο Ε = βγ γ β Ισόπλευρο τρίγωνο Ε= 3 3 με υ= Παραλληλόγραμμο υ α υ β 1

22 Τραπέζιο β 1 β Ρόμβος δ δ 1 1 Τετράπλευρο με κάθετες διαγώνιες: Ε= Ε= ( )( )( ), Ε=, R ΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ Ι ΤΟ ΕΜΟΝ ΤΡΙΩΝΟΥ R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου Ε=τρ, ρ ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. γ β Ε= α ΠΟΕΊΞΕΙΣ o Το εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου με πλευρές α και β είναι Ε =αβ απόδειξη Ε Το ΙΗΕ είναι τετράγωνο και Ε // ΙΗ και Ι // ΕΗ. Επίσης = ΘΗΖ επειδή = Θ = α, = Ζ = β Ζ Ισχύει (ΙΗΕ) = () + (ΖΕ) + (ΘΗΖ) + (ΙΘ) ή ισοδύναμα (α + β) =() + β + α δηλαδή () = αβ. Ι Θ Η o Το εμβαδόν παραλληλογράμμου με βάση βκαι αντίστοιχο ύψος υ είναι Ε =βυ απόδειξη β Τα ορθογώνια τρίγωνα Ζ και Η είναι ίσα (γιατί;)άρα (Ζ) = (Η). Θα έχουμε () = (ΗΖ) Όμως (ΗΖ) = βυ άρα () = βυ. υ Ζ Η

23 o ν α η πλευρά ενός τριγώνου και υ τοαντίστοιχο ύψος, τότε το εμβαδόν του ισούται με Ε = 1 αυ απόδειξη πό τις κορυφές και φέρουμε τις παράλληλες προς τις και αντίστοιχα οι οποίες τέμνονται στο Το είναι παραλληλόγραμμο και = Επειδή () = () + () έχουμε () = () ή αυ = () ή Ε = 1 αυ Ε α Ζ o Το εμβαδόν τετραπλεύρου με διαγώνιες κάθετες ισούται με το ημιγινόμενο των διαγωνίων του. απόδειξη Έστω το τετράπλευρο του οποίου οι διαγώνιες τέμνονται κάθετα στο σημείο Ο. Στα τρίγωνα και ισχύει () = () + () = ο ( ) = o Το εμβαδόν ενός τραπεζίου με βάσεις, β και ύψους υισούται με Ε =( +β) απόδειξη Έστω ΕΖΗ τραπέζιο. Προεκτείνουμε το Ε κατά Ε Κ ΕΚ = ΖΗ και ΗΖ κατά ΖΛ = Ε. Ε + ΕΚ = ΗΖ + ΖΛ δηλαδή Κ = ΗΛ. Το ΚΛΗ είναι παραλληλόγραμμο και τα τραπέζια ΕΖΗ και ΕΚΛΖ είναι ίσα. Άρα (ΚΛΗ) = (ΕΖΗ) + (ΕΚΛΖ) = (ΕΖΗ) λλά (ΕΖΗ) = ( + β )υ και επομένως Η Ζ Λ (ΕΖΗ) = ( +β) o Το εμβαδό ενός τριγώνου ισούται με Ε= ( )( )( ), όπου τ είναι η απόδειξη ημιπερίμετρος του τριγώνου και α,β,γ οι πλευρές αυτού. 1 Προκύπτει άμεσα από τον τύπο Ε= και τον γνωστό (από το γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα) τύπο του ύψους υ α = ( )( )( ).// a 3

24 o Το εμβαδόν ενός τριγώνου ισούται με Ε = τρ,όπου τ είναι η ημιπερίμετρος και ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου απόδειξη Ισχύει από το σχήμα: () = (Ο) + (Ο) + (Ο) = = + + = Ο = ( + + ) = τρ. o Το εμβαδόν ενός τριγώνου ισούται με Ε = όπου α, β, γ οι πλευρές του και R η ακτίνατου R περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου απόδειξη Φέρνουμε την διάμετρο Ε του κύκλου, τα τρίγωνα και Ε είναι όμοια γιατί ˆ = ˆ Ε = 90 0 Ο Και Bˆ Eˆ επειδή βαίνουν στο τόξο 1 Άρα άρα Ε = a R R R Ε o ια το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου ισχύουν οι σχέσεις Ε = 1 αβημ = 1 αγημ = 1 βγημ απόδειξη Στο τρίγωνο φέρνουμε το ύψος = υ Ισχύει ημ = άρα υ = βημ. υ 1 Επειδή Ε = προκύπτει ότι Ε = αβημ νάλογα αποδεικνύονται και οι άλλες σχέσεις. σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Να γράψετε τους τύπους υπολογισμού του εμβαδού: i) τετραγώνου ii) ορθογωνίου iii) παραλληλογράμμου iv) τριγώνου ν) τραπεζίου

25 . Ένα τετράγωνο έχει περίμετρο 16. Πόσο είναι το εμβαδόν του; 3. Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις α = 9, β = και είναι ισοδύναμο με τετράγωνο πλευράς x. Να βρεθεί το x.. Σε ένα τρίγωνο είναι α < β. Με ποια ανισοτική σχέση συνδέονται τα υ α και υ β ; 5. ν ένας ρόμβος έχει μήκη διαγωνίων και 5 αντίστοιχα, με τι ισούται το γινόμενο μιας πλευράς του επί το αντίστοιχο ύψος; 6. Ένας χωρικός αντάλλαξε έναν αγρό, που είχε σχήμα τετραγώνου πλευράς 60 m, με έναν άλλο αγρό (με την ίδια ποιότητα χώματος) που είχε σχήμα ορθογωνίου με πλάτος 0 m και περίμετρο ίση με την περίμετρο του πρώτου. Έχασε ή κέρδισε ο χωρικός από την ανταλλαγή αυτή; ιτιολογήστε την απάντησή σας. σκήσεις Εμπέδωσης 1. Στο εσωτερικό τετραγώνου πλευράς α = κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο Ζ. Να υπολογισθεί το εμβαδόν των, Ζ, Ζ και Ζ..ν Μ τυχαίο σημείο της πλευράς = 10 τετραγώνου, τότε το άθροισμα (Μ) + (Μ) είναι : :5 :0 :50 :75 Ε:100 Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας. 3. ίνεται τρίγωνο με = 6, = 8 και ˆ = 60. Να βρεθούν: i) το ύψος υ β, ii) το εμβαδόν (), iii) το ύψος υ α.. Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο 1 και διαγώνιο 5. Να βρείτε το εμβαδόν του. 5. ίνεται παραλληλόγραμμο με = 10 και αντίστοιχο προς αυτήν ύψος υ = 5. Πάνω στις πλευρές και παίρνουμε τα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα, ώστε Ε = Ζ. i) Να βρείτε το εμβαδόν του. ii) φού πρώτα συγκρίνετε τα εμβαδά των τραπεζίων ΕΖ και ΕΖ να βρείτε το εμβαδόν καθενός από αυτά. 6. Ένα οικόπεδο έχει σχήμα τραπεζίου (//) με ˆ ˆ = 1L, = 15m, = 0m και = 1m. Ένας καινούργιος δρόμος περνάει παράλληλα προς τη και αποκόπτει μια λωρίδα πλάτους 3m. Πόσα τετραγωνικά μέτρα είναι το οικόπεδο που απομένει; σκήσεις Εμπέδωσης 1.Σε παραλληλόγραμμο είναι = 18, = 0 και = 3. Να βρείτε το εμβαδόν του.. ίνεται τραπέζιο (//) με = 5, = 11, = 13 και = 15. Να βρείτε το εμβαδόν του και το ύψος του. 3. ίνεται τρίγωνο με =, = 7 και ˆ = 60. Να βρείτε το εμβαδόν του.. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 1L) με = 6 και = 8. Να βρείτε: i) το εμβαδόν, ii) το ύψος υ α, iii) την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου. 5

26 o ΣΥΚΡΙΣΗ ΕΜΩΝ ν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων υψών, ενώ αν έχουν ίσα ύψη, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων βάσεων. ηλαδή ν έχουν κοινή (ίση) πλευρά (π.χ. την α=α ) Τότε E E' ' υ α ν έχουν κοινό (ίσο) ύψος (π.χ. το υ α =υ α' ) Τότε o E E' α α ' ν δύο τρίγωνα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λτότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με λ απόδειξη Τα τρίγωνα και ΕΖ είναι όμοια Έχουμε λοιπόν Συνεπώς Κ Ε Λ Ζ 1 ( ). ( ) 1 o ν δυο τετράπλευρα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λτότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με λ. υ α o ν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωματικήμε μια γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εμβαδώντους ισούται με το λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές. ηλαδή ˆ ˆ B ή ˆ 0 ˆ 180 ΕΖ Ε Ζ Ζ Ε Ζ Ε Ζ Ε απόδειξη 1 Τότε και στις δυο περιπτώσεις θα ισχύει, οπότε από τις ισότητες. και 1 '. με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει ότι, που είναι το ζητούμενο. ' 6

27 o ν BM M τότε ( ) Ειδικά αν Μ διάμεσος τότε () (Μ)=(Μ)= μ Μ ν Όταν δίνονται οι πλευρές α,β,γ ενός τριγώνου, τότε μπορούμε να βρούμε: τί τρίγωνο έχουμε ως προς τις γωνίες του, (ορθογώνιο, οξυγώνιο, αμβλυγώνιο) κάνοντας χρήση των σχέσεων ˆ 90 o, ˆ 90 o, ˆ 90 τα ύψη του τριγώνου,κάνοντας χρήση των τύπων o υ α = ( )( )( ) a, υ β = ( )( )( ), υ γ = ( )( )( ) τις διαμέσους του τριγώνου,κάνοντας χρήση των τύπων,, το εμβαδό του τριγώνου, κάνοντας χρήση του τύπου του Ήρωνα Ε= ( )( )( ), όπου τ =α+β+γ την ακτίνα του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, Ε = καιε= ( )( )( ) άρα R = R ( )( )( ) παρόμοια, Ε = τρ καιε= ( )( )( ) άρα ρ= ( )( )( ) τις γωνίες του τριγώνου, κάνοντας χρήση του Νόμου Ημιτόνων R απ όπου παίρνουμε ημ= ( )( )( ), ημ= ( )( )( ), ημ= ( )( )( ) ή του Νόμου Συνημιτόνων α =β +γ -βγσυν, β =α +γ -αγσυν, γ =α +β -αβσυν απ όπου παίρνουμε συν=, συν=, συν=. την προβολή μιας πλευράς του τριγώνου σε μια άλλη του πλευρά, κάνοντας χρήσης του γενικευμένου Πυθαγορείου θεωρήματος οξείας ή αμβλείας γωνίας την προβολή μιας διαμέσου του τριγώνου στην πλευρά που αντιστοιχεί, κάνοντας χρήση του ου θεωρήματος διαμέσων. 7

28 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης 1. υο τρίγωνα και έχουν υ β = υ β και : 5 : 3 : 3 AB 3 : 9. Τότε ο λόγος β β Ε: 9 είναι: Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας.. υο ρόμβοι και έχουν ˆ = ˆ AB και AB. Να υπολογισθεί ο λόγος. A B 5 3. Ένα ισοσκελές τρίγωνο ( = ) είναι ισοδύναμο με ένα τρίγωνο που έχει. = 36. ν είναι A + A' = L, ποιο είναι το μήκος των ίσων πλευρών του ισοσκελούς; σκήσεις Εμπέδωσης 1. υο τρίγωνα και έχουν α = α και υ α = 3 υα. ν το εμβαδόν του είναι 30m, να βρείτε το εμβαδόν του.. ίνεται παραλληλόγραμμο με εμβαδόν 0m. ν Μ σημείο στην προέκταση της τέτοιο ώστε = Μ, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου Μ. 3. ίνεται τρίγωνο και τα σημεία και Ζ των προεκτάσεων των και αντίστοιχα, προς το, ώστε = 3 και Ζ = 1. ν το εμβαδόν του τριγώνου είναι 30m, να βρείτε το εμβαδόν του Ζ.. Ένα τρίγωνο έχει εμβαδόν 75m. Έστω σημείο της πλευράς και Μ σημείο του τέτοιο, AM 3 ώστε. πό το Μ φέρουμε παράλληλο προς την πλευρά, που τέμνει τις και στα Ε και M Ζ αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου ΕΖ. 5. ύο τρίγωνα και έχουν ˆ = ˆ και Bˆ Bˆ = L. Να αποδείξετε ότι αβ = α β. ΚΕΦΛΙΟ 11 0 ΚΝΟΝΙΚ ΠΟΛΥΩΝ Ορισμός Ένα πολύγωνο, λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. φ ν Ζ φ ν Στοιχεία πολυγώνου 1. Κέντρο πολυγώνου, είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Ε. κτίνα πολυγώνου, είναι η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου. 3. Πλευρά (λν) πολυγώνου, είναι καθεμία από τις ίσες χορδές που ενώνει δυο διαδοχικές κορυφές του πολυγώνου.. ωνία (φ ν ) πολυγώνου, καθεμία από τις ίσες εγγεγραμμένες γωνίες μεταξύ δυο διαδοχικών πλευρών του πολυγώνου. Ισχύει: φ ν = v 8

29 5. Κεντρική γωνία (ω) πολυγώνου: Είναι κάθε μια από τις ίσες επίκεντρες γωνίες που βαίνουν στην πλευρά του πολυγώνου. Ισχύει ω = v Οι γωνίες φ ν και ω είναι παραπληρωματικές, δηλαδή φ ν + ω = 180 ο. 6. πόστημα (α ν ) πολυγώνου είναι η απόσταση του κέντρου από την πλευρά του πολυγώνου. 7. ασικός τύπος: α v λ ν R 8. Περίμετρος (Ρ ν ) πολυγώνου: Ρ ν = ν. λ ν 9. Εμβαδό πολυγώνου: Ε ν = 1 Ρν. α ν ή Ε ν = ν. Ε τριγ. 360 o Η γωνία ενός κανονικού ν-γωνου δίνεται από τη σχέση ˆ =180 - απόδειξη Το άθροισμα Σν των γωνιών ενός πολυγώνου είναι Σν = (ν ). 180 ο όμως το πολύγωνο είναι κανονικό άρα Σν = υ. φ ν Άρα ν. φ ν = (ν ) ν. φ ν = ν 360 ο φ ν = v o ύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. Όμοια (κανονικά) πολύγωνα E E' ' ' R R ' =λ o Σε κάθε κανονικό ν-γωνο εγγεγραμμένοσε κύκλο ακτίνας R ισχύουν : (α) απόδειξη R (β) 1 P (γ) (α) πό το ορθογώνιο ΟΚ έχουμε δηλαδή R (β) Η περίμετρος του κανονικού ν-γώνου είναι P... = Ο (γ) Το κανονικό ν-γωνο χωρίζεται σε ν ίσα ισοσκελή Κ τρίγωνα Άρα Ε = ν (Ο) = ν( ) o Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται με το λόγο των ακτίνων τους και λ ν R α ν το λόγο των αποστημάτων τους. λ R α ν ν 9

30 σκήσεις σχολικού βιβλίου σκήσεις Εμπέδωσης 1. Να βρεθούν η γωνία και η κεντρική γωνία ενός κανονικού: πενταγώνου, εξαγώνου, δεκαγώνου και δωδεκαγώνου.. ν η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι 108, τότε το πλήθος των πλευρών του είναι: α. 15 β. 1 γ. 10 δ. 5 ε. 8 Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας. 3. Σε δύο κανονικά πεντάγωνα ο λόγος των πλευρών τους είναι λ =. Ποιος είναι ο λόγος των αποστημάτων, των ακτίνων τους, των περιμέτρων τους και των εμβαδών τους;. Τα πλήθη ν 1,ν των πλευρών δύο κανονικών πολυγώνων είναι αντίστοιχα ρίζες των εξισώσεων: ν 3-3ν - 7ν - 15 = 0, ν 9 = v -. Να αποδείξετε ότι τα πολύγωνα είναι όμοια. Εγγραφή κανονικών πολυγώνων σε κύκλο ΤΕΤΡΩΝΟ ια να εγγράψουμε ένα τετράγωνο σε κύκλο κέντρου Ο ακτίνας R φέρνουμε δύο κάθετες διαμέτρους και Το τετράπλευρο είναι τότε ένα τετράγωνο. α Η πλευρά και το απόστημα του δίνονται από τους τύπους R λ λ = R και α = R απόδειξη 0 α λ Φέρνουμε κάθετες διαμέτρους. Τότε AB B 90 άρα = = = και το τετράγωνο διότι κάθε γωνία βαίνει σε ημικύκλιο. 0 Στο ΟΠυθ.Θεωρ. = + Ο λ = R + R = R λ = R To Ο ορθογώνιο και ισοσκελές το α ύψος άρα και διάμεσος: α = λ R 30

31 ΚΝΟΝΙΚΟ ΕΞΩΝΟ Έστω ΕΖ κανονικό εξάγωνο εγγεγραμμένο 360 στον κύκλο ( Ο, R ). Τότε η ˆ 60.Άρα 6 το τρίγωνο Ο είναι ισόπλευρο επομένως λ 6 = R Οπότε ορίζουμε στον κύκλο ( Ο, R ) έξι διαδοχικά τόξα Ο κάθε ένα από τα οποία έχει χορδή ίση με R. α 6 λ 6 Η πλευρά και το απόστημα του δίνονται από τους τύπους λ 6 = R και α 6 = R 3 απόδειξη Ζ A Ε R 0 α φ 60 o R Aν η = λ 6 πλευρά εξαγώνου τότε 0ˆ 60 ο 6 ρα το Ο είναι ισοσκελές με γωνία 60 ο, άρα ισόπλευρο. ρα = R λ 6 = R. ια να κατασκευάσω κανονικό εξάγωνο γράφω με τη βοήθεια του διαβήτη τόξα με μήκος χορδής R και ενώνω διαδοχικά τα σημεία. B Το α 6 είναι ύψος ισοπλεύρου τριγώνου: α 6 = α 3 R 3 ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΩΝΟ Χωρίζουμε πρώτα τον κύκλο σε έξι ίσα τόξα και έπειτα ενώνουμε τις κορυφές ανά δύο. Η πλευρά και το απόστημα του δίνονται από τους τύπους R λ 3 = R 3 και α 3 = απόδειξη Κατασκευάζω ισόπλευρο εξάγωνο και ενώνω τις μη διαδοχικές κορυφές. A 60 o Τότε.60 ο = 10 ο δηλαδή = = α3 λ3 60 o και ισόπλευρο. Η διάμετρος διότι Στο 60 o Το ορθογώνιο διότι ˆ βαίνει σε διάμετρο. Πυθ. Θεώρημα: = λ 3 = (R) - λ 6 λ 3 = R - R λ 3 = 3R λ 3 = 3 R Τότε α 3 + λ 3 = R α 3 + 3R = R α 3 = R - 3R R = α 3 = R 31

32 Εγγραφή τετραγώνου, κανονικού εξαγώνου, ισοπλεύρου τριγώνου, σε κύκλο (Ο,R) Τετράγωνο Κανονικό εξάγωνο Ισόπλευρο τρίγωνο Πλευρά λ ν λ = R λ 6 = R λ 3 = R 3 πόστημα α ν R α 3 = α = R α 6 = R 3 Κεντρική γωνία ω σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Χαρακτηρίστε ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) τις παρακάτω ισότητες, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. i) λ 6 λ3 λ Σ Λ ii) λ 3 + λ + λ 6 = 3R 1 3 iii) R α 3 + α + α 6 = 1 3 Σ Λ Σ Λ. ν A, B, διαδοχικά σημεία κύκλου (Ο, R), ώστε = R, = λ 1 και = R, να εξηγήσετε γιατί η είναι διάμετρος του κύκλου. 3. ν A, B, διαδοχικά σημεία κύκλου (Ο, R), ώστε A B = 10 και B = 60, η περίμετρος του τριγώνου είναι: α. 3 3 R, β. R, γ. 3R, δ. 3 R. ικαιολογήστε την απάντησή σας.. Στο παρακάτω σχήμα η γωνία Μ είναι: α. 30 β. 5 γ. 50 δ. 60 ε. 75 ικαιολογήστε την απάντησή σας. M O R/ A H B σκήσεις Εμπέδωσης 1. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του R το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου, ενός τετραγώνου και ενός κανονικού εξαγώνου, που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο (Ο,R).. Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα R = 10cm και απόστημα α ν = 5 3 cm. Να βρεθεί η πλευρά του λ ν και το εμβαδόν του Ε ν. 3. Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα R = 8cm και πλευρά λ ν = 8 cm. Να βρεθεί το απόστημά του α ν και το εμβαδόν του.. Σε κύκλο (Ο,R) παίρνουμε διαδοχικά τα τόξα A B = 60, = 90 και = 10. Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του R οι πλευρές και το εμβαδόν του τετραπλεύρου. 3

33 ποδεικτικές σκήσεις 1. Το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού πολυγώνου είναι 8 ορθές και το εμβαδόν του 6 3 cm. Να βρεθεί η ακτίνα του.. Σε κύκλο (O,R) και εκατέρωθεν του κέντρου του, θεωρούμε δύο παράλληλες χορδές του και, ώστε AB = R και = R 3. Να υπολογισθούν οι μη παράλληλες πλευρές και του τραπεζίου, το ύψος του και το εμβαδόν του, ως συνάρτηση του R. 3. Να υπολογιστούν ως συνάρτηση του R η πλευρά λ 1 και το απόστημα α 1 ενός κανονικού 1-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (O,R).. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του R το εμβαδόν ενός κανονικού δωδεκαγώνου, χωρίς να υπολογίσετε προηγουμένως την πλευρά και το απόστημά του. Σύνθετα Θέματα 1. ίνεται κύκλος (O,R) και χορδή του = λ 6. Πάνω σε τυχαία ευθεία ε που διέρχεται από το κέντρο και εκατέρωθεν του Ο παίρνουμε σημεία,, ώστε Ο = Ο = α 3. ν Μ το μέσο της, να αποδείξετε ότι MA + MB = λ.. πό το σημείο εκτός κύκλου (ΟΜ) φέρουμε τέμνουσα, ώστε =. ν OA = R 7 να αποδείξετε ότι = λ 3 και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου Ο. 3. Σε κύκλο (Ο, R) θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία,,, ώστε = λ 6 και = λ 3. ν Μ το μέσο της και το σημείο που τέμνει η προέκταση της Μ τον κύκλο, να υπολογίσετε, ως συνάρτηση του R, το τμήμα Μ. Μήκος κύκλου και τόξων Το μήκος ενός κύκλου ακτίνας R είναι L = πr Το μήκος ενός τόξου που έχει μέτρο μ είναι = πr 180 ν α είναι το μέτρο του τόξου σε ακτίνια και μ το μέτρο Ο του σε μοίρες τότε ισχύει μ. 180 ΠΡΟΣΟΧΗ! ια ένα τόξο ενός κύκλου, άλλο είναι το μήκος του τόξου και άλλο το μέτρο αυτού. Πρόκειται δηλαδή για δύο διαφορετικά μεγέθη! Μονάδες μέτρησης του μήκους ενός τόξου είναι το εκατοστό, το δεκατόμετρο, ενώ μονάδες μέτρησης του μέτρου ενός τόξου είναι οι μοίρες και το rad! σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης 1. ντιστοιχίστε κάθε μέγεθος της στήλης με την τιμή του στη στήλη. Μήκος κύκλου ακτίνας R Μήκος τόξου μ 0 (με κύκλο ακτίνας R) Μήκος τόξου arad (σε κύκλο ακτίνας R) αr πr πrμ 360 πrμ

34 . Το μήκος L τόξου, κύκλου ακτίνας R με χορδή λ 6 είναι: α. 6R β. πr γ. 3 1 πr δ. πr ε. 3 1 R Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας. σκήσεις Εμπέδωσης 1. Πάνω σε ευθεία ε θεωρούμε διαδοχικά τα σημεία,, και. ν L 1,L,L 3, και L είναι τα μήκη των κύκλων με διαμέτρους,, και αντίστοιχα να αποδείξετε ότι L l + L + L 3 = L.. Να βρείτε το μήκος του εγγεγραμμένου κύκλου σε κανονικό εξάγωνο πλευράς 10 cm. 3. Να βρεθεί το μήκος του τόξου που αντιστοιχεί στην πλευρά κανονικού 10-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 5 cm.. Όταν ένα ποδήλατο διανύει μια απόσταση, ο ένας τροχός του που έχει ακτίνα R κάνει ν στροφές, ενώ ο άλλος, που έχει ακτίνα ρ κάνει ν στροφές. Να αποδείξετε ότι R = ρ. 5. ίνεται κύκλος (O,R) και τα διαδοχικά του σημεία,,, ώστε να είναι = R και = R 3. Να βρεθούν τα μήκη των τόξων,, και, ως συνάρτηση του R. Εμβαδόν κυκλικού δίσκου τομέα τμήματος Το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας R είναι Ε = πr Το εμβαδόν κυκλικού τομέα με τόξο μ ενός κυκλικού δίσκου ( Ο, R ) είναι Ε τ = πr R ή Ε= Όταν το τόξο του κυκλικού τομέα έχει μέτρο α ακτίνια τότε Ε τ = 1 αr μ. Ο To εμβαδόν του κυκλικού τμήματος Ρ στο διπλανό σχήμα υπολογίζεται αν από το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΟΡΟ Ρ αφαιρέσουμε το εμβαδόν του τριγώνου Ο. Εμβαδό κυκλικού τμήματος Ε=Ε κυκλ.τομ -Ε τριγ. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156 Ερωτήσεις Κατανόησης 1. ντιστοιχίστε κάθε μέγεθος της στήλης με την τιμή του στη στήλη. Εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας R Εμβαδόν κυκλικού τομέα μ 0 (σε κύκλο ακτίνας R) Εμβαδόν κυκλικού τομέα arad (σε κύκλο ακτίνας R) πr πr μ 180 πr 1 αr πr μ 360 3

35 . Με βάση το παρακάτω σχήμα χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμιά από τις παρακάτω ισότητες και αιτιολογήστε την απάντησή σας. i) Ο Ο ii) Ο Ο iii) Ο ΟB Σ Λ Σ Λ Σ Λ ε iv) (OA) = (Ο) Σ Λ v) ε 1 = ε Σ Λ vi) AB = λ 6 Σ Λ 3. Στο παρακάτω σχήμα υπάρχουν δύο ομόκεντροι κύκλοι με ακτίνες ΟΕ = R και Ο = R. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμιά από τις παρακάτω ισότητες και αιτιολογήστε την απάντησή σας. Ε ε 1 μ μ Ο Ζ Ο Θ Η i) A B Σ Λ ii) Σ Λ AB EZ iii) Σ Λ AB iv) (ΖΕ) = (ΘΗ) Σ Λ σκήσεις Εμπέδωσης 1. ίνεται κύκλος (O,R) και ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε αυτόν. Να βρεθεί το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.. ίνεται κύκλος (Κ) και τόξο του = 60. ν το τόξο έχει μήκος π cm, να βρείτε το εμβαδόν του κύκλου (Κ). 3. ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α. ράφουμε τα τόξα των κύκλων (, α), (, α) και (, α) που περιέχονται στις γωνίες ˆ, Bˆ και ˆ αντίστοιχα. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α την περίμετρο και το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου.. Στο διπλανό σχήμα έχει σχεδιαστεί ένα ημικύκλιο διαμέτρου =R και εξωτερικά του τα ίσα ημικύκλια με διαμέτρους Ο,, μ και. ν (μ 1 ),(μ ), (μ 3 ) είναι τα εμβαδά των τριών σχηματιζόμενων μηνίσκων και (κ) το εμβαδόν του μ ημικυκλίου, να αποδείξετε ότι μ (μ 1 ) + (μ ) + (μ 3 ) + (κ) = (). 5. Τρεις ίσοι κύκλοι ακτίνας R εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο στα σημεία κ, και. Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου, ως συνάρτηση του R. ποδεικτικές σκήσεις 1. ίνεται κύκλος (O,R) και ακτίνα του Ο. Στην προέκταση της Ο προς το παίρνουμε σημείο, ώστε Ο =. ν είναι το εφαπτόμενο τμήμα που άγεται από το προς τον κύκλο, να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου. Ο R 35

36 ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΛΙΟ 9 1.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90 0 ) θεωρούμε σημείο της και σημείο Ε της. ΝΟ Ε + = + Ε.Στο διπλανό τρίγωνο ( 90 ) να αποδείξετε ότι: - = - B 3. Να βρεθούν οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου με περίμετρο 8 και υποτείνουσα 37.. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με 90 δείξτε ότι για τις πλευρές ισχύει β+γ.. A 5.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( =90 0 ) με ύψος. ν 3 και = 9 να υπολογιστούν και. 6.Στο διπλανό σχήμα δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ο ) και το ύψος του. ν = 6 cm και = 3,6 cm. α)να αποδείξετε ότι = 10cm β)να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς. Μ 6 cm 7. Στο διπλανό σχήμα είναι: = 90 ο, AB = 10 B = 1, = 15, = 8. Η γωνία ˆ θα είναι: α) ˆ = 90 ο, β) ˆ < 90 ο γ) ˆ > 90 ο. Να δικαιολογηθεί. 8.ν οι διαγώνιοι τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα, να αποδείξετε ότι + = +. 36

37 9. Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του αν οι πλευρές του είναι α) α=3λ, β=λ και γ=6λ (λ>0) β) α=λ, β=λ/ και γ=λ/3 (λ>0) 10.Σε τρίγωνο AB είναι = 6, = 6, = 6 3 α) ν.δ.ο. είναι αμβλυγώνιο β) να βρεθούν οι γωνίες ˆ,, ˆ ˆ του τριγώνου. 11. ίνεται τρίγωνο με, β 1 3, γ. Να υπολογίσετε την γωνία 1.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο με = και =30 0. είξτε ότι: a ν σε ένα τρίγωνο ισχύει η σχέση γ =α +β -αβ, να δείξετε ότι 60 και αντίστροφα. 1.Σε τρίγωνο A B, = 10 ο, β = 5 και γ = 3. i) ν.δ.ο. α = β + γ + βγii) να βρεθεί το μήκος της διαμέσου μ α 15.Σε τρίγωνο είναι: α = 7, β = 8, γ = 5 α) είξτε ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. β) Να υπολογίσετε τη διάμεσο Μ γ) Να υπολογίσετε την προβολή της διαμέσου Μ πάνω στην πλευρά. 16.Σε τρίγωνο είναι μ α =3α/. Να δειχθεί ότι: μ α = μ β + μ γ. 17. Σε τρίγωνο ισχύει: β +γ =. α. μ α Να υπολογίσετε την γωνία 18..ίνεται τρίγωνο με α =5, β =, γ =. α) βρείτε το είδος της γωνίας B β) υπολογίστε τη προβολή της διαμέσου Μ πάνω στη 19.ν η διάμεσος Μ τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε να αποδείξετε ότι: α) Μ.ΜΕ = β) + = Μ. Ε 0.Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου είναι =6, =1 και =8. α). Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο αυτό είναι αμβλυγώνιο. β). Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου Μ. γ). Να υπολογίσετε το μήκος της προβολής της διαμέσου Μ στην πλευρά. 1.ν στο τρίγωνο είναι. μ β=β +. α, δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 5. ν σε οξυγώνιο τρίγωνο με ύψος ισχύει:, δείξτε ότι: β +γ =3. α 37

38 3. Ι) ν ορθογώνιο και Μ τυχαίο σημείο, δείξτε ότι: Μ +Μ =Μ +Μ. ΙΙ) ν είναι τετράγωνο και σημείο Μ στο εσωτερικό του ώστε Μ=1, Μ= και Μ= 3, να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου.. Σε τρίγωνο με >, το Μ είναι η προβολή της διαμέσου Μ στη πλευρά. ν είναι Μ =, =8 και = α. Το μήκος της διαμέσου Μ β. Τα μήκη των πλευρών και 3, να υπολογίσετε: 5. ίνεται τρίγωνο με β=3,α=8 και =60 ο. Να υπολογίσετε την πλευρά και τη διάμεσο Μ. 6.Θεωρούμε τρίγωνο και τα σημεία,ε,ζ που χωρίζουν τη βάση του σε ίσα τμήματα =Ε=ΕΖ=Ζ. Να αποδείξετε ότι 3 + = +Ζ Σε τρίγωνο παίρνουμε επί της πλευράς σημεία,ε τέτοια, ώστε να ισχύει =Ε=Ε. ποδείξτε ότι 3γ +6β =9Ε +α. 8. ίνεται τρίγωνο και η διάμεσός του Μ. Στην προέκταση της παίρνουμε σημείο Ε, ώστε α Ε =. Να αποδείξετε ότι: α) γ α β μ α β) AE 3β γ 3μ α 9. Να βρείτε το μήκος χ στα παρακάτω σχήματα: χ χ Κ 3 Σ Σ Λ χ 5 Ρ Ε Μ 38

39 30. Σε κύκλο ακτίνας ρ = 15 παίρνουμε σημείο που απέχει από το κέντρο 10. Μια χορδή διέρχεται από το και είναι = 3. Να βρεθεί το μήκος της χορδής. 31.Σε τρίγωνο (οξυγώνιο) φέρνουμε τα ύψη του, Ε, Ζ που τέμνονται στο Η. Να δείξετε ότι: α) τα τετράπλευρα ΖΗΕ και ΖΗ είναι εγγράψιμα β) 3.Σε τρίγωνο φέρνουμε τα ύψη και Ε. ν Ε = 6, =, = 7, να υπολογίσετε το Ε. 33.Στο διπλανό σχήμα δίνεται τρίγωνο ΚΕΦΛΙΟ 10 με =60 0, =6 cm και = 10 cm. Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουμε τα τετράγωνα Ε και ΖΗ. 10 Ε 10 α) Να αποδείξετε ότι = 76 cm. β) Να υπολογίσετε: i) το εμβαδόν και 60 0 ii) την περίμετρο του εξαγώνου ΕΗΖ 6 Η 6 6 Ζ ίνεται τρίγωνο με = =1 και = 3. α) Να βρείτε το είδος του τριγώνου (ως προς τις γωνίες). β) Να βρείτε την γωνία ˆ. γ) Να υπολογίστε το εμβαδό του τριγώνου δ) Υπολογίστε την διάμεσο Μ. A B 35.Ισοσκελούς τραπεζίου η περίμετρός είναι 60m. Το εμβαδόν του είναι 160m και το ύψος του είναι 8m. Να βρείτε: α) Tις μη παράλληλες πλευρές του. β) Τη μεγάλη βάση του τραπεζίου. γ) Tη μικρή βάση του τραπεζίου. 36.Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου είναι α=10, β=1, γ=1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν, τα ύψη και τις ακτίνες του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. 37.ίνεται τρίγωνο με α= 19, β=5 και γ=3. α) Να υπολογίσετε την γωνία ˆ. β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. γ) Να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο. 39

40 38.Σε τρίγωνο AB είναι = 15, = 1, = 13 Να βρεθεί το μήκος του: α) εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. β) περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου 39.Στις πλευρές,, τριγώνου παίρνουμε αντιστοίχως τα σημεία,ε,ζ ώστε: = 3 1, Ε= 3, Ζ=. Να βρεθεί το εμβαδό του ΕΖ αν το εμβαδό του ()= Σ' ένα τρίγωνο με ()=15 τ.μ. παίρνουμε = 5, Ε= 3 1 και Ζ= 1. Να βρείτε το εμβαδό του (ΕΖ). 1. ίνεται και Ε μέσο της. Προεντείναμε τη κατά = Φέρουμε και διάμεσο Μ. i) ΝΟ (Ε) = 1, ii) NΟ B. 3 iii) ΝΟ.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο (=) με =6cm και BÂ o 10, α) βρείτε το εμβαδό του (). β) ν Ε σημείο της ώστε Ε= 1 Ε και το ύψος του, να βρεθεί το εμβαδό του Ε. γ) ν η παράλληλη από το προς την τέμνει την Ε στο Η, βρείτε το εμβαδό του τριγ. ΕΗ. 3.ίνετε τρίγωνο με εμβαδόν Ε και φέρουμε το ύψος.πό το σημείο Ε του οποίο ισχύει ότι AE Ε 3 για το φέρουμε παράλληλη στην που τέμνει τις και στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι (ΚΛ)= 5 () 3.ίνεται παρ/μο Ε μέσο και Ζ μέσο του δείξτε ότι (ΕΖ)= (). 8 5.Τρίγωνο A B ισόπλευρο πλευράς α προεκτείνουμε τις πλευρές κατά α. Κ α i) Ν..Ο. ii) N..Ο. ΚΜ ΜΛ ΚΛ ΛΜ 6 α α α α α Μ iii) N..Ο. (ΚΛΜ) = 19 () iv) Να βρεθεί η ΛΜ συναρτήσει του α. Λ 0

41 6.Στο τρίγωνο A B που είναι ισόπλευρο πλευράς α, είναι = 3 α. i) ν.δ.ο. Ζ = Ε = 3 α ii) ν.δ.ο. ΖΕ = iii) ν.δ.ο. α 3 3 ΖΕ α Ε Ζ α α ΚΕΦΛΙΟ ν το κανονικό πολύγωνο έχει γωνία να βρεθεί το πλήθος των πλευρών του. 8.Σε κύκλο με R = 0cm εγγράφουμε κανονικό πολύγωνο με κεντρική γωνία ίση με το 3 της ορθής. α. Ποιο είναι το πλήθος των πλευρών; β. Ποιο είναι το εμβαδόν του πολυγώνου; 9. Να υπολογίσετε τα εμβαδά Ε και Ε 3 α) Ενός τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R = 8 β) Ενός ισόπλευρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο με απόστημα α 3 = Στο διπλανό σχήμα είναι (0, R) = λ 3 και = λ 6.ν = να δείξετε ότι i)το είναι τραπέζιο ii) να υπολογίσετε τις χορδές και και iii) να βρεθεί το εμβαδόν του Σε κύκλο (Ο,R) παίρνουμε διαδοχικά τα τόξα = 10 0, = 90 0, = Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του R οι πλευρές και το εμβαδόν του τετραπλεύρου. 5.. ν μήκος τόξου 3 π ακτινίων και ακτίνας R είναι ίσο με π, να βρεθεί το R. 53. Ο τροχός ενός ποδηλάτου κάνει 0 στροφές σε 0π μέτρα, να υπολογίσετε την ακτίνα του τροχού. 5. Σε κύκλο (0,10) με χορδή = 10 3 να βρείτε τις μοίρες του. 1

42 55.Στο παρακάτω ημικύκλιο κέντρου Ο και ακτίνας R = 10 το μήκος του τόξου είναι α. Να δείξετε ότι Ο ˆ = 10 ο β. Να υπολογίσετε το μήκος των χορδών και γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου κυκλικού τμήματος 0. 3 R O R 56.Η επίκεντρη γωνία Ο του κυκλικού τομέα του διπλανού σχήματος είναι ορθή και η ακτίνα του είναι 6. Η κάθετη ευθεία στο μέσο Κ της ακτίνας Ο τέμνει το τόξο του κυκλικού τομέα στο σημείο. α) είξτε ότι η γωνία Ο είναι 60 ο. β) Να υπολογίσετε το μήκος του τόξου. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου κυκλικού τμήματος Ο Κ 57. ίνεται τεταρτοκύκλιο Ο ακτίνας R. Με κέντρο το και ακτίνα R γράφουμε τόξο που τέμνει το τόξο στο. Να βρεθεί η περίμετρος και το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου Ο. 58. υο ίσοι κύκλοι (Ο, R) και (Κ, R) εφάπτονται εξωτερικά στο. ν το είναι ένα κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους να βρείτε α) την περίμετρο Ρ και β) το εμβαδόν S του μικτόγραμμου τριγώνου. 59. ύο κύκλοι με ακτίνες R,3R εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο. ν είναι μια κοινή εξωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων, να υπολογίσετε την περίμετρο του καμπυλόγραμμου τριγώνου ως συνάρτηση της ακτίνας R.

43 ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΝΛΗΨΗ: ΚΕΦΛΙΟ 9 0 : ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤ ΤΡΙΩΝ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤ ΟΡΘΟΩΝΙ ΤΡΙΩΝ 1. =. = 3. =. + = 5. = 6. = ΘΕΩΡΗΜ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ ΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΤΟΣ γ β α =β +γ -β α ΘΕΩΡΗΜ ΜΛΕΙΣ ΩΝΙΣ γ α α =β +γ +β β ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ: α =β +γ -βγσυν Έλεγχος για το είδος γωνίας τριγώνου Πόρισμα Σε κάθε τρίγωνο ισχύουν οι ισοδυναμίες: α > β + γ, αν και μόνο αν ˆ > 1L α = β + γ, αν και μόνο αν ˆ = 1L α < β + γ, αν και μόνο ˆ < 1L Εφαρμογή Το ύψος υ α ενός τριγώνου δίνεται από τη σχέση ττ ατ βτ γ υ α α 3

44 ΘΕΩΡΗΜΤ ΙΜΕΣΩΝ 1 ο θεώρημα διαμέσων Το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της διαμέσου που περιέχεται μεταξύ των πλευρών αυτών, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς. ο θεώρημα διαμέσων Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαμέσου πάνω στην πλευρά αυτή. ύψος, Μ διάμεσος 1 0 θεώρημα διαμέσων γ υ α μ α β β +γ =μ α+ 0 θεώρημα διαμέσων Μ α β -γ =αμ ΤΥΠΟΙ ΙΜΕΣΩΝ μ α=, μ β=, μ γ= ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ Θεώρημα (Τεμνουσών) ν δύο χορδές, ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Ρ, τότε ισχύει Ρ Ρ Ρ Ρ. Ρ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ Ρ, χορδές κύκλου,r ακτίνα του κύκλου,δ=ρο Ο Ρ Ρ=Ρ Ρ=R -δ

45 Θεώρημα (Τέμνουσας και εφαπτόμενης) ν από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο,R) φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ και μία ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία, τότε ισχύει ότι: ΡΕ = Ρ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ Ρ Ρ Ρ. ΡΕ εφαπτόμενη του κύκλου Ο Ε Ρ Ρ=Ρ Ρ=δ -R =ΡΕ με δ=ρο, R ακτίνα του κύκλου Ορισμός Έστω κύκλος (Ο,R) και σημείο Ρ με ΟΡ = δ. Η διαφορά δ R λέγεται δύναμη του σημείου Ρ Ρ ως προς τον κύκλο (Ο,R) και συμβολίζεται = δ R = OΡ R. Εφαρμογή (ΟΟR) ν δύο τμήματα και ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σ ένα σημείο Ρ έτσι ώστε τότε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία,, και είναι εγγράψιμο. ΚΕΦΛΙΟ 10 0 :Ε Μ Πολυγωνικά χωρία Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εμβαδά. ύο σχήματα που έχουν το ίδιο εμβαδόν λέγονται ισοδύναμα ή ισεμβαδικά. 1. Τετράγωνο Ε=α² Ορθογώνιο Ε=α. β Τ Υ Π Ο Λ Ο Ι Ο Σ Τ Ε Μ Παραλ/μμο Ε=α. υ α = β. υ β Τραπέζιο Ε= 1 1 Τετράπλευρο με κάθετες διαγώνιες Ε= 5

46 . ια το τρίγωνο γ β Ε= E Ε=, R ( )( )( ), α R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου Ε=τρ, ρ ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου Ε= 3 ια το ισόπλευρο τρίγωνο Ε= 3 με υ= Σχέσεις εμβαδών Θεώρημα Λόγος εμβαδών τριγώνων ν δύο τρίγωνα είναι όμοια τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας. ν τότε E E', λ λόγος ομοιότητας Θεώρημα Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους. Θεώρημα ν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων υψών, ενώ αν έχουν ίσα ύψη, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων βάσεων. ηλαδή ν έχουν κοινή (ίση) πλευρά (π.χ. την α=α ) Τότε E E' υ α ' ν έχουν κοινό (ίσο) ύψος (π.χ. το υ α =υ α' ) υ α Τότε E α E' ' 6

47 Θεώρημα ν μία γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωματική με μία γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εμβαδών του δύο τριγώνων είναι ίσος με το λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές. ηλαδή ˆ ˆ B ή ˆ 0 ˆ 180 ΕΖ ΕΖ Ζ Ε Ζ Ε ν Μ διάμεσος τότε (Μ)=(Μ)= () Μ ΚΕΦΛΙΟ 11 0 :ΚΝΟΝΙΚ ΠΟΛΥΩΝ Ορισμός Ένα πολύγωνο, λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. Ορισμοί Το κοινό κέντρο των δύο αυτών κύκλων λέγεται κέντρο του πολυγώνου. Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου, ενώ η απόσταση του κέντρου από μια πλευρά του, δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου λέγεται απόστημα του πολυγώνου. Η γωνία υπό την οποία φαίνεται κάθε πλευρά του πολυγώνου από το κέντρο του, λέγεται κεντρική γωνία του πολυγώνου και συμβολίζεται ω ν. Θεώρημα Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι σχέσεις: λ ν α) α ν R, β) Ρ ν = νλ ν γ) ω ν ν δ) φν 180 ε) Εν Ρν α ν ν 7