ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες."

Transcript

1 ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου. Έστω... ν ένα κανονικό πολύγωνο με ν πλευρές και έστω A A... A ν φ ν. Επειδή το άθροισμα των γωνιών κάθε κυρτού ν-γώνου είναι (ν - )8, θα έχουμε ν φ ν (ν - ) 8 και επομένως 3. Να αποδείξετε ότι : Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. ς θεωρήσουμε τώρα δύο κανονικά πολύγωνα...τ, '''...Τ' αριθμό πλευρών ν. με τον ίδιο Τότε η γωνία καθενός είναι 8-36 ν οπότε έχουμε: A A, ',..., Τ Τ' (). Επίσης, αφού... Τ και '' ''... Τ'' θα έχουμε (). πό τις () και () προκύπτει ότι τα πολύγωνα... Τ και '''...Τ' είναι όμοια. 7

2 . Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το που θεώρημα συνδέει τα κανονικά πολύγωνα με τον εγγεγραμμένο και περιγεγραμμένο κύκλο. Θεώρημα I Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον. Οι δύο αυτοί κύκλοι είναι ομόκεντροι. πόδειξη Έστω Δ...Τ ένα κανονικό πολύγωνο. Θεωρούμε τον κύκλο (Ο, ) που διέρχεται από τις κορυφές,, του πολυγώνου. Θα αποδείξουμε ότι ο κύκλος αυτός διέρχεται και από την κορυφή Δ, δηλαδή ότι OΔ. Επειδή OB O, το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές και επομένως σ, οπότε τα τρίγωνα Ο και ΟΔ είναι ίσα, γιατί έχουν: Ο Ο, Δ (αφού Δ... T κανονικό) και - σ - σ. πό την ισότητα αυτή προκύπτει ότι ΟΔ OA. Όμοια αποδεικνύεται ότι ο κύκλος (O,) διέρχεται και από τις υπόλοιπες κορυφές Ε, Ζ,... Τ και επομένως το πολύγωνο είναι εγγράψιμο. Οι πλευρές του πολυγώνου είναι ίσες χορδές του κύκλου (O,), επομένως και τα αποστήματά τους θα είναι ίσα, έστω με α. Επομένως, ο κύκλος (O,α) εφάπτεται στις πλευρές του Δ...Τ, άρα το πολύγωνο είναι περιγράψιμο σε κύκλο. Είναι φανερό, από τα παραπάνω, ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος (O,) και ο εγγεγραμμένος (O,α) του πολυγώνου είναι ομόκεντροι. 5. Τι καλείται κέντρο του κανονικού πολυγώνου ; Τι ακτίνα του κανονικού πολυγώνου ; Τι απόστημα του κανονικού πολυγώνου ; Τι κεντρική γωνία του κανονικού πολυγώνου και τι περίμετρο του κανονικού πολυγώνου ; Το κοινό κέντρο των δύο κύκλων στους οποίους εγγράφεται σε και περιγράφεται κάθε κανονικό πολύγωνο λέγεται κέντρο του πολυγώνου. Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου Η απόσταση του κέντρου από μια πλευρά του κανονικού πολυγώνου, δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου λέγεται απόστημα του πολυγώνου. 8

3 Επειδή τα τόξα,,..., Τ είναι ίσα, οι επίκεντρες γωνίες Ô, Ô,..., ΤÔ είναι ίσες. Καθεμία από τις γωνίες αυτές, δηλαδή η γωνία υπό την οποία φαίνεται κάθε πλευρά του πολυγώνου από το κέντρο του, λέγεται κεντρική γωνία του πολυγώνου. Το άθροισμα των πλευρών ενός κανονικού ν-γώνου καλείται περίμετρός του. Στα επόμενα, σε ένα κανονικό ν-γωνο θα συμβολίζουμε με την ακτίνα του, με λ ν την πλευρά του, με α ν το απόστημά του, με ω ν την κεντρική του γωνία, με Ρ ν την περίμετρό του και Ε ν το εμβαδόν του. 6. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για τα στοιχεία του κανονικού ν-γώνου. Θεώρημα ΙI Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας ισχύουν οι εξής σχέσεις: πόδειξη Έστω Δ...Τ ένα κανονικό ν-γωνο, η ακτίνα του, λ ν η πλευρά του και OH αν το απόστημά του. (i) πό το ορθογώνιο τρίγωνο ΗΟ, με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος προκύπτει OH +HA OA, δηλαδή (ii) Επειδή... Τ λ ν, θα είναι Ρ ν ν λ ν. (iii) Επειδή... TA θα είναι Ô Ô... ΤÔ ω ν και αφού οι γωνίες Ô, Ô,... και ΤÔ έχουν άθροισμα 36, έχουμε ν ω ν 36, δηλαδή ω ν (iv) Τα τρίγωνα Ο, Ο,..., ΟΤ είναι ίσα (ΠΠΠ), άρα και ισεμβαδικά και επομένως έχουμε: αφού Ρ ν ν λ ν. 9

4 7. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το πόρισμα της ομοιότητας των κανονικών ν-γώνων. ΠΟΡΙΣΜ Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται με το λόγο των ακτίνων τους και το λόγο των αποστημάτων τους. πόδειξη Θεωρούμε δύο κανονικά πολύγωνα...τ και 'Τ'...Τ' με το ίδιο πλήθος πλευρών, έστω ν (ν 3). ν Ο,Ο' τα κέντρα των πολυγώνων, τα τρίγωνα Ο και Ο''' είναι όμοια γιατί είναι ισοσκελή και έχουν Ô 'Ô'' και επομένως, όπου ΟΗ, Ο'Η' τα ύψη των τριγώνων. πό την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι: όπου λ ν,, α ν τα συνήθη στοιχεία του...τ και λ' ν, ', α' ν τα στοιχεία του '''...Τ'. ΠΡΤΗΡΗΣΗ ποδεικνύεται ότι, αν τα σημεία,,... ν διαιρούν έναν κύκλο σε ν ίσα τόξα, τότε το πολύγωνο.. ν (σχ.6α) καθώς και το πολύγωνο,,... ν, που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία αυτά (σχ.6β) είναι κανονικά.

5 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης. Υπάρχουν κανονικά πολύγωνα των οποίων οι εξωτερικές γωνίες είναι αμβλείες ; πάντηση Ναι. Είναι το ισόπλευρο τρίγωνο. Ποιο είναι το απόστημα κανονικού πολυγώνου περιγεγραμμένου σε κύκλο; πάντηση Είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. 3. Ένα κυρτό πολύγωνο είναι κανονικό όταν. έχει μόνο ίσες πλευρές. έχει μόνο τις γωνίες του ίσες είναι εγγράψιμο σε κύκλο και έχει τις πλευρές του ίσες πάντηση Σωστή απάντηση είναι η διότι οι πλευρές του πολυγώνου είναι ίσες χορδές του περιγεγραμμένου του κύκλου συνεπώς οι γωνίες του πολυγώνου θα είναι και αυτές ίσες σαν εγγεγραμμένες σε ίσα τόξα οπότε το πολύγωνο θα είναι κανονικό. Μεταξύ των λ ν, α ν και ισχύει.. : ( ) Δ. Το σωστό είναι το διότι : ( ) 5. Μεταξύ των ω ν, φ ν ισχύει. ω ν + φ ν ω ν + φ ν. ω ν + φ ν 7 ο Δ. ω ν + φ ν 3 : ω ν + φ ν 8 8 ο

6 σκήσεις Εμπέδωσης.Να βρεθούν η γωνία και η κεντρική γωνία ενός κανονικού: εξαγώνου, δεκαγώνου και δωδεκαγώνου και και πενταγώνου, και και ν η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι 8 ο, τότε το πλήθος των πλευρών του είναι α. 5 β. γ. δ. 5 ε ν 5 3.Σε δύο κανονικά πεντάγωνα ο λόγος των πλευρών τους είναι λ. Ποιος είναι ο λόγος των αποστημάτων, των ακτίνων τους, των περιμέτρων τους και των εμβαδών τους P5 P Τα πλήθη, των πλευρών δύο κανονικών πολυγώνων είναι αντίστοιχα ρίζες των εξισώσεων: , 9. Να αποδείξετε ότι τα πολύγωνα είναι όμοια. Η εξίσωση , με σχήμα Horner, γίνεται ( 5) ( 3) 5 ή

7 Επειδή ο ν είναι φυσικός αριθμός, έχουμε 3 >. Άρα ν 5 Ελέγχουμε αν η τιμή ν 5 επαληθεύει την εξίσωση που ισχύει. Έτσι, οι δύο εξισώσεις έχουν κοινή ρίζα μόνο το 5, άρα τα πολύγωνα είναι κανονικά πεντάγωνα, άρα είναι όμοια. 5. Να αποδείξετε ότι το μόνο κανονικό πολύγωνο με γωνία οξεία είναι το ισόπλευρο τρίγωνο ν < άρα ν 3. 6.ν ένα κανονικό ν γωνο και ένα κανονικό μ-γωνο (μ > ν) είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο, να αποδείξετε ότι i) ii) > i) Είναι ii) > < και > ( > > ) > > + < (i) + ( ) 7. Θεωρούμε ένα κανονικό πεντάγωνο ΔΕ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,). Να αποδείξετε ότι : i) Κάθε διαγώνιος χωρίζει το πεντάγωνο σε ένα ισοσκελές τραπέζιο και σε ένα 3

8 ισοσκελές τρίγωνο, ii) Η διχοτόμος της γωνίας ˆ είναι κάθετη στην πλευρά Ε, iii) Δύο διαγώνιοι που δεν έχουν κοινό άκρο σχηματίζουν με δύο πλευρές του πενταγώνου ρόμβο και iv) ν Η είναι το σημείο τομής της με τη Δ, τότε i) Φέρουμε τη διαγώνιο. τρίγωνο ισοσκελές.. Η ΕΔ ΔΕ τραπέζιο με Ε Δ, άρα ισοσκελές. ii) Ε Ο Δ H M Μ η διχοτόμος ˆ 36 ˆ 8 ˆ.7 7 ˆ ˆ ˆ Μ Ε iii) Όπως είναι ΕΔ//, έτσι είναι και Ε Δ, άρα ΕΔΗ παραλληλόγραμμο και επειδή Ε ΕΔ, είναι ρόμβος πλευράς. 5 5 iv) ρκεί να δείξουμε ότι. Η 5 ρκεί να δείξουμε ότι το τρίγωνο είναι όμοιο με το Η, το οποίο ισχύει διότι ˆ κοινή και ˆ ˆ. 5

9 ποδεικτικές σκήσεις. Το δάπεδο ενός δωματίου στρώθηκε με πλακίδια σχήματος κανονικών πολυγώνων με πλήθος πλευρών λ, μ, ν, όπου λ μ ν λ. Να αποδείξετε ότι + + Θα υπάρχει σημείο του δαπέδου που θα είναι κοινή κορυφή των τριών πολυγώνων. Άρα ν ένα πολύγωνο είναι εγγράψιμο και περιγράψιμο σε δύο ομόκεντρους κύκλους, να αποδείξετε ότι είναι κανονικό. Τα αποστήματα των χορδών-πλευρών είναι ίσα σαν ακτίνες του μικρού κύκλου. Άρα χορδές-πλευρές του πολυγώνου ίσες. σ Κάθε γωνία του πολυγώνου είναι εγγεγραμμένη και βαίνει σε τόξο (ν-)σ. Άρα γωνίες του πολυγώνου ίσες. 3. ν,,, Δ είναι διαδοχικές κορυφές ενός κανονικού ν γώνου (ν ), να αποδείξετε ότι Ο Η Μ (παραπληρωματικές της. Δ. ο Θ. Διαμέσων στο τρίγωνο :. ΗΜ..ΗΜ Δ Θ ) ρκεί να αποδείξουμε ότι Δ ΗΜ Φέρουμε και ΔΘ. Είναι τρ.η τρ.δθ, αφού ) ορθογώνια ) Δ και 3) ˆ ˆ 5

10 Άρα Η Θ, άρα και ΗΜ ΜΘ. ΗΘΔ ορθογώνιο Δ ΗΘ ΗΜ. ν είναι το εμβαδόν ενός κανονικού ν-γώνου (ν ), εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο,), να αποδείξετε ότι κανονικού ν-γώνου ακτίνας Ο Κ P, όπου P η περίμετρος του Θεωρούμε οπότε. Φέρουμε τις ακτίνες Ο, Ο, Ο οπότε ΟΚ απόστημα του ν-γώνου. P ν (Ο) ν. ν Ο. Κ ν Κ που ισχύει. 5. ν είναι πλευρά κανονικού ν-γώνου περιγεγραμμένου σε κύκλο και η πλευρά και το απόστημα αντίστοιχα κανονικού ν-γώνου εγγεγραμμένου στον ίδιο κύκλο, να αποδείξετε ότι... Τα δύο πολύγωνα είναι όμοια, αφού έχουν ίδιο πλήθος πλευρών (αφού ) ν E,,, είναι τα εμβαδά κανονικών ν-γώνων που έχουν πλευρές ίσες αντίστοιχα με τις πλευρές α, β, γ ορθογωνίου τριγώνου ( ˆ ), να αποδείξετε ότι + E. Τα τρία πολύγωνα είναι όμοια, αφού έχουν ίδιο πλήθος πλευρών. (α) πολύγωνο όμοιο του (β) (α) πολύγωνο όμοιο του (γ) Άρα + + από το Πυθαγόρειο. 6

11 Σύνθετα Θέματα. Οι Πυθαγόρειοι ισχυρίζονταν ότι υπάρχουν τρία μόνο κανονικά πολύγωνα των οποίων οι γωνίες μπορούν να καλύψουν το επίπεδο γύρω από ένα σημείο. Τα κανονικά αυτά πολύγωνα είναι τα ισόπλευρα τρίγωνα, τα τετράγωνα και τα κανονικά εξάγωνα. Να αποδείξετε την αλήθεια του ισχυρισμού αυτού των Πυθαγορείων. Θεωρούμε τον τύπο 36 8 σε μοίρες. Έστω ότι απαιτούνται κ το πλήθος κανονικά ν-γωνα. Τότε 36 κ. 36 κ. ( 8 ) 36 κ. ( ) κ. (ν ) ν κ κ φυσικός φυσικός ο ν διαιρεί τον ν ή ή ν 3 ή ή 6. Έστω κανονικό ν-γωνο και σημείο Σ στο εσωτερικό του. ν d, d,..., d είναι οι αποστάσεις του Σ από τις πλευρές του ν-γώνου, να αποδείξετε ότι d + d d ν., όπου το απόστημα του ν-γώνου. Ο Σ ν 3 Κ ν Κ Κ ) + (Σ 3 Είναι (Σ d + ) (Σ d Έστω... το κανονικό ν γωνο, ν Σ, Σ,..., Σ οι αποστάσεις d, d,..., d και Ο το κέντρο. Φέρουμε τις Σ, Σ,..., Σ τις Ο, Ο. ( d + d d ) ν d + d d ν. ) (... ) ν d ν (Ο ) και 7

12 3. Σε κανονικό οκτάγωνο Δ... Κ η πλευρά προεκτεινόμενη τέμνει την προέκταση της ακτίνας Ο στο σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι Μ Δ. Θ Η Ζ Τα σημεία, Θ είναι απέναντι κορυφές του δεκαγώνου, άρα η Θ είναι διάμετρος.. Ι Κ Ο σ Ε Δ 3σ Δ Θ, οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι Μ Θ ή ότι ˆ ˆ. Μ ˆ ˆ

13 Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους. Να εγγράψετε σ ένα κύκλο (Ο,) τετράγωνο (με γεωμετρική κατασκευή) και κατόπιν να υπολογίσετε την πλευρά και το απόστημά του ως συνάρτηση του. Έστω ένας κύκλος (Ο,). ν φέρουμε δύο κάθετες διαμέτρους και Δ, θα είναι Ô Ô ÔΔ ΔÔ 9, οπότε B Δ Δ και επομένως το Δ είναι τετράγωνο. πό το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο Ο με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος έχουμε λ Ο + Ο +, από την οποία προκύπτει ότι:. Να εγγράψετε σ ένα κύκλο (Ο,) ένα κανονικό εξάγωνο (με γεωμετρική κατασκευή) και κατόπιν να υπολογίσετε την πλευρά και το απόστημά του ως συνάρτηση του. Έστω κύκλος (Ο,) και η πλευρά του κανονικού εξαγώνου που θέλουμε να εγγράψουμε στον (Ο,). Τότε Ô ω 6 6 και επειδή OA OB () το τρίγωνο Ο είναι ισόπλευρο. Άρα AB OA, δηλαδή Έτσι για την εγγραφή κανονικού εξαγώνου σε κύκλο, παίρνουμε πάνω στον κύκλο έξι διαδοχικά τόξα, B, Δ, ΔΕ, ΕΖ και Ζ με αντίστοιχη χορδή, το καθένα, 9

14 οπότε το ΔΕΖ είναι κανονικό εξάγωνο. Επειδή λ 6, από τη βασική σχέση 3. Να εγγράψετε σ ένα κύκλο (Ο,) ένα ( κανονικό ) ισόπλευρο τρίγωνο (με γεωμετρική κατασκευή) και κατόπιν να υπολογίσετε την πλευρά και το απόστημά του ως συνάρτηση του. ν τα σημεία,,, Δ, Ε και Ζ διαιρούν τον κύκλο σε έξι ίσα τόξα, τότε τα σημεία,, Ε είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου, αφού Ε Ε. Επειδή Δ 8, η Δ είναι διάμετρος και επομένως το τρίγωνο Δ είναι ορθογώνιο, οπότε λ 3 Δ - Δ () - 3 Να γίνει ένας πίνακας με τις πλευρές και τα αποστήματα των κανονικών πολυγώνων,όπως δίνονται συναρτήσει των ακτινών τους.

15 . Να εγγράψετε σ ένα κύκλο (Ο,) ένα κανονικό δεκάγωνο (με γεωμετρική κατασκευή) και κατόπιν να υπολογίσετε την πλευρά και το απόστημά του ως συνάρτηση του. Έστω λ η πλευρά του κανονικού δεκαγώνου που θέλουμε να εγγράψουμε στον κύκλο (Ο,). Η κεντρική γωνία AÔB είναι 36 / 36 και καθεμία από τις γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου Ο είναι A B 7. Έτσι, αν φέρουμε τη διχοτόμο Δ της γωνίας ΟA τα τρίγωνα ΔΟ και Δ είναι ισοσκελή, αφού είναι ΔAΟ 36 AÔB και Δ A + Ô B. Επομένως, ΟΔ Δ λ και Δ - λ. Με εφαρμογή του θεωρήματος της διχοτόμου στο τρίγωνο Ο προκύπτει ότι: και επειδή λ > Δ - λ (αφού Δ > AΔ), η τελευταία ισότητα εκφράζει ότι το λ είναι το μεγαλύτερο από τα τμήματα που προκύπτουν αν διαιρέσουμε την ακτίνα σε μέσο και άκρο λόγο. ια την κατασκευή του κανονικού δεκαγώνου του εγγεγραμμένου σε κύκλο, διαιρούμε την ακτίνα του κύκλου σε μέσο και άκρο λόγο και στη συνέχεια ορίζουμε τα διαδοχικά τόξα,,..., που έχουν το καθένα χορδή ίση με το μεγαλύτερο τμήμα στα οποία χωρίζεται η ακτίνα με τη διαίρεσή της σε μέσο και άκρο λόγο. 5. Σε δοσμένο κύκλο, να εγγραφεί κανονικό οκτάγωνο και να υπολογισθούν η πλευρά του και το απόστημά του. Εγγράφουμε στον κύκλο το τετράγωνο Δ και στη συνέχεια παίρνουμε τα μέσα Ε, Ζ, Η, Θ των τόξων που αντιστοιχούν στις πλευρές,, Δ και Δ. Τότε το Ε...Θ είναι το ζητούμενο οκτάγωνο. ν θεωρήσουμε τη διάμετρο ΕΗ που αντιστοιχεί στο Ε, επειδή το τρίγωνο ΗΕ είναι ορθογώνιο και η κάθετη στην ΕΗ, έχουμε Ε ΕΗ ΕΙ ( - OI) και τελικά, αφού Ε λ 8 και ΟΙ α, έχουμε:

16 6. Ένα κανονικό ν-γωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ). Να εγγραφεί στον ίδιο κύκλο κανονικό ν - γωνο και να αποδειχθεί ότι λ ν ( - α ν ). ν πάρουμε τα μέσα των τόξων που αντιστοιχούν στις πλευρές του κανονικού ν-γώνου, ο κύκλος διαιρείται σε ν ίσα τόξα. Έτσι προκύπτει το εγγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο με ν πλευρές. Έστω λ ν και Μ το μέσο του τόξου. Τότε Μ λ ν και ΟΜ. Επομένως, από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΗΜ έχουμε: ΠΡΤΗΡΗΣΗ

17 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης.Να χαρακτηρίστε ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) τις παρακάτω προτάσεις δικαιολογώντας την απάντηση σας. i) 6 3 Σ Λ ii) 3 6 3( 3) Σ Λ iii) 3 6 ( 3) Σ Λ πάντηση i) ii) ( 3) 3( 3) 3 iii) 3 6 ( 3). ν,,, Δ διαδοχικά σημεία ενός κύκλου (Ο, ) ώστε, λ, Δ, να εξηγήσετε γιατί η Δ είναι διάμετρος του κύκλου πάντηση AB 9 ο, λ B 3 ο και Δ Δ 6 ο Οπότε AB + B + Δ 9 ο + 3 ο + 6 ο 8 ο, άρα Δ διάμετρος 3. ν,, διαδοχικά σημεία ενός κύκλου (Ο, ) ώστε AB ο και B 6 ο, η περίμετρος του τριγώνου είναι A (3 3).. ( 3) Δ. (3 ) Δικαιολογήστε την απάντηση σας. πάντηση AB ο λ 3 3, B 6 ο λ 6 3

18 AB + B ο +6 ο 8 ο οπότε η είναι διάμετρος συνεπώς Η περίμετρος του τριγώνου είναι (3+ 3 ) σωστό το.. Στο παρακάτω σχήμα Μ Ο Η Η γωνία Μ είναι. 3 ο.5 ο.5 ο Δ. 6 ο Ε. 75 ο πάντηση Σωστή απάντηση είναι η Δ διότι : ΟΗ α 3 οπότε AB ο Επομένως ˆ 6 ο

19 σκήσεις Εμπέδωσης. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του το εμβαδόν ενός ισοπλεύρου τριγώνου και ενός κανονικού εξαγώνου, που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο (Ο,) Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα cm και απόστημα 5 3cm. Να βρεθεί η πλευρά του και το εμβαδόν του cm ν cm 3. Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα 8cm και πλευρά 8 βρεθεί το απόστημά του και το εμβαδόν του. 8 ν cm cm.. Να.Σε κύκλο (Ο,) παίρνουμε διαδοχικά τα τόξα AB 6 ο, B 9 ο και ο. Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του οι πλευρές και το εμβαδόν του τετραπλεύρου Δ. 5

20 Δ Λ AB 6 ο 6 B 9 ο ο Δ 3 3 Ο 6 K 9 36 ο 6 ο 9 ο ο 9 ο Άρα Δ B Δ Δ τραπέζιο. Φέρουμε το ύψος ΛΚ του τραπεζίου από το κέντρο Ο. 3 ΛΚ ΟΛ + ΟΚ (Δ)

21 ποδεικτικές σκήσεις. Το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού πολυγώνου είναι 8 ορθές και το εμβαδόν του 6 3cm. Να βρεθεί η ακτίνα του σε ορθές 8 8.ν 8.ν ν Σε κύκλο (Ο,) και εκατέρωθεν του κέντρου του, θεωρούμε δύο παράλληλες χορδές του και Δ, ώστε και Δ 9 Ο Λ 6 K Δ 9 3. Να υπολογισθούν οι μη παράλληλες πλευρές και Δ του τραπεζίου Δ, το ύψος του και το εμβαδόν του ως συνάρτηση του. 6 AB 6 ο Δ 3 Δ ο 3 Δ εγγεγραμμένο τραπέζιο ισοσκελές. Δ λλά 36 ο 6 ο ο 8 ο Άρα 9 ο Δ Φέρουμε το ύψος ΛΚ του τραπεζίου από το κέντρο Ο. 3 ΛΚ ΟΛ + ΟΚ (Δ)

22 3.Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του η πλευρά και το απόστημα ενός κανονικού -γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο.). Η Δ Ο Κ Θεωρούμε οπότε 6 Φέρουμε τη διάμετρο ΚΟΔ οπότε ΟΚ 3 6 άρα Κ Ο ΟΚ 3 Κ Τρίγωνο Κ ορθογώνιο με ύψος Κ AB Είναι AB Δ. Κ A Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του το εμβαδόν ενός κανονικού δωδεκαγώνου χωρίς να υπολογίσετε προηγουμένως την πλευρά και το απόστημά του. Θεωρούμε οπότε 6 Ο Φέρουμε τις Ο, Ο, Ο, είναι δε Ο Κ A.. E 6 O

23 Σύνθετα Θέματα. Δίνεται κύκλος (Ο,) και χορδή του Δ. Πάνω σε τυχαία ευθεία ε, 6 που διέρχεται από το κέντρο και εκατέρωθεν του Ο παίρνουμε σημεία,, ώστε Ο Ο. ν Μ το μέσο της Δ, να αποδείξετε ότι 3 +. Είναι Ο Ο 3 ε Ο M Δ και ΟΜ Δ, άρα ΟΜ 3 6 ο Θ. Διαμέσων στο τρίγωνο Μ: + O πό το σημείο εκτός κύκλου (Ο,) φέρουμε τέμνουσα, ώστε. ν Ο 7, να αποδείξετε ότι και στη συνέχεια να 3 υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου Ο. Έστω x Ο Δύναμη του σημείου : AB. A Κ x x.x 7 x 7 x 3 x 3 3 Φέρουμε ΟΚ δηλαδή ΟΚ 3 (Ο). ΟΚ 3 3 9

24 3. Σε κύκλο (Ο,) θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία,,, ώστε και 6. ν Μ το μέσο της και Δ το σημείο που τέμνει η προέκταση της 3 Μ τον κύκλο, να υπολογίσετε, ως συνάρτηση του, το τμήμα ΜΔ. M Δ και 6 3 A 6 ο και ο 8 ο άρα διάμετρος και ˆ Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Μ: Άρα Μ 7 Δύναμη του σημείου Μ: Μ. ΜΔ Μ. Μ 7 ΜΔ 3 3 ΜΔ

25 Μήκος κύκλου. Πως γίνεται η προσέγγιση του μήκους του κύκλου με κανονικά πολύγωνα ; Με τη βοήθεια της περιμέτρου κανονικών πολυγώνων προσεγγίζουμε στη συνέχεια την έννοια του μήκους κύκλου. ς θεωρήσουμε έναν κύκλο (O,) και ας εγγράψουμε σε αυτόν διαδοχικά ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένα κανονικό 6-γωνο, ένα κανονικό -γωνο και γενικά ένα πολύγωνο με διπλάσιο κάθε φορά πλήθος πλευρών από το προηγούμενο. Καθώς ο αριθμός των πλευρών των κανονικών πολυγώνων διπλασιάζεται, από το σχήμα φαίνεται ότι: "το κανονικό πολύγωνο τείνει να ταυτισθεί με τον κύκλο". Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και αν αντί εγγεγραμμένων θεωρήσουμε κανονικά πολύγωνα περιγεγραμμένα στον κύκλο (O,) και διπλασιάζουμε διαρκώς το πλήθος των πλευρών τους. ν θεωρήσουμε λοιπόν την ακολουθία (Ρ ν ) των περιμέτρων των κανονικών πολυγώνων των εγγεγραμμένων στον κύκλο (O,) και την ακολουθία (Ρ' ν ) των περιμέτρων των περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων γύρω από τον ίδιο κύκλο, τότε αποδεικνύεται ότι υπάρχει μοναδικός θετικός αριθμός L μεγαλύτερος όλων των όρων της ακολουθίας (Ρ ν ) και μικρότερος όλων των όρων της (Ρ' ν ) με την εξής ιδιότητα: καθώς το ν διπλασιάζεται, οι όροι των ακολουθιών (Ρ ν ) και (Ρ' ν ) προσεγγίζουν όλο και περισσότερο τον αριθμό L. Ο αριθμός L (που είναι το κοινό όριο των ακολουθιών και ανεξάρτητος από την επιλογή κανονικών πολυγώνων) λέγεται μήκος του κύκλου (Ο,).. Πως ορίστηκε ο π και ποιος τύπος μας δίνει το μήκος του κύκλου κέντρου Ο και ακτίνας ; Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε πρώτος ότι ο λόγος τη διάμετρό του είναι σταθερός, δηλαδή είναι ο ίδιος για κάθε κύκλο. του μήκους του κύκλου προς 3

26 Η σταθερή αυτή τιμή του λόγου συμβολίζεται διεθνώς με το Ελληνικό γράμμα π (αρχικό της λέξης περιφέρεια) δηλαδή κύκλου ακτίνας δίνεται από τη σχέση π, οπότε προκύπτει ότι το μήκος L του Ο αριθμός π είναι ένας άρρητος, υπερβατικός αριθμός και μια προσέγγισή του, που στην πράξη χρησιμοποιείται, είναι π 3,. Ο ρχιμήδης χρησιμοποιούσε ως προσέγγιση του π το. 3. Τι καλείται τεθλασμένη γραμμή, εγγεγραμμένη σε τόξο ; Έστω ένα τόξο ενός κύκλου (O,). Μία τεθλασμένη με άκρα τα σημεία, και τις άλλες κορυφές της σημεία του τόξου λέγεται εγγεγραμμένη στο τόξο. Στην περίπτωση που οι πλευρές της είναι ίσες, λέγεται κανονική τεθλασμένη.. Τι καλείται τεθλασμένη γραμμή, περιγεγραμμένη σε τόξο ; Μια τεθλασμένη με άκρα τα, και πλευρές εφαπτόμενες του τόξου λέγεται περιγεγραμμένη τεθλασμένη στο τόξο. Η έννοια της κανονικής περιγεγραμμένης ορίζεται, όπως στην περίπτωση της εγγεγραμμένης. 5. Πως προσεγγίζεται το μήκος ενός τόξου ; πό ποιους τύπους δίνεται και ποια σχέση προκύπτει από αυτούς ; Το μήκος του τόξου κύκλου (O,) ορίζεται όπως και το μήκος του κύκλου. Δηλαδή το μήκος του τόξου είναι ο μοναδικός θετικός αριθμός l τον οποίο προσεγγίζουν ολοένα και περισσότερο τα μήκη Ρ ν και Ρ' ν των κανονικών τεθλασμένων γραμμών των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων αντίστοιχα στο τόξο, καθώς το ν διπλασιάζεται. Επειδή ο κύκλος είναι τόξο 36 με μήκος π το τόξο θα έχει μήκος ένα τόξο μ θα έχει μήκος οπότε Επίσης, ένα τόξο κύκλου με μήκος λέγεται ακτίνιο (rad). Άρα ένα τόξο α rad έχει μήκος α, δηλαδή πό τις () και () προκύπτει ότι. 3

27 6. Σε κύκλο (O,) θεωρούμε διάμετρο και τις χορδές και, ώστε cm και cm. Να βρεθεί το μήκος του κύκλου και τα μήκη των τόξων και είναι μικρότερα του ημικυκλίου. Επειδή η είναι διάμετρος, η γωνία θα είναι ορθή, οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: + ή () + ( ) ή 6, δηλαδή. Το μήκος L του κύκλου θα είναι L π π cm. Επειδή θα είναι: θα είναι 3, οπότε 6 και επομένως το μήκος του 33

28 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης. ντιστοιχίστε κάθε μέγεθος της στήλης με την τιμή του στην στήλη Στήλη Μήκος κύκλου ακτίνας Μήκος τόξου μ ο σε κύκλο ακτίνα Μήκος τόξου α rad σε κύκλο ακτίνα Στήλη α π 36 α 8.Το μήκος L τόξου ενός κύκλου ακτίνας με χορδή λ 6 είναι.6. π 3 π Δ.π Ε. 3 Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση. Σωστό είναι το, αφού η χορδή του τόξου είναι η λ 6, το τόξο θα είναι 6 ο, άρα το μήκος του είναι L π 3

29 Δ σκήσεις Εμπέδωσης.Πάνω σε ευθεία ε θεωρούμε διαδοχικά τα σημεία,, και Δ. ν L, L, L και L είναι τα μήκη των κύκλων με διαμέτρους,, Δ και Δ 3 αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι L + L + L L. 3 L + L + L ( + + Δ) Δ L.Να βρείτε το μήκος του εγγεγραμμένου κύκλου σε κανονικό εξάγωνο πλευράς cm. 3 Η ακτίνα του κύκλου θα είναι το απόστημα L Να βρεθεί το μήκος του τόξου που αντιστοιχεί στην πλευρά κανονικού -γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 5cm. Oι μοίρες του τόξου είναι μ Το μήκος του τόξου θα είναι.5.36 cm 8 8. Όταν ένα ποδήλατο διανύει μια απόσταση, ο ένας τροχός του που έχει ακτίνα κάνει ν στροφές, ενώ ο άλλος που έχει ακτίνα ρ κάνει ν στροφές. Να αποδείξετε ότι ρ. Ο κύκλος ακτίνας έχει μήκος, άρα διανύει απόσταση ν.. Ο κύκλος ακτίνας ρ έχει μήκος, άρα διανύει απόσταση ν.. Διανύουν, όμως, την ίδια απόσταση Άρα ν. ν. ρ. 35

30 5. Δίνεται κύκλος (Ο,) και τα διαδοχικά του σημεία,,, ώστε να είναι και 3. Να βρεθούν τα μήκη των τόξων AB, B και ως συνάρτηση του. AB 9 ο 3 B ο ο 9 ο ο 5 ο

31 ποδεικτικές σκήσεις.με διάμετρο την ακτίνα Ο ενός κύκλου (Ο,) γράφουμε κύκλο (Κ) και από το Ο φέρουμε ημιευθεία που τέμνει τον κύκλο (Ο) στο και τον κύκλο (Κ) Στο Δ. Να αποδείξετε ότι τα τόξα και έχουν ίσα μήκη. Έστω θ σε μοίρες η γωνία ˆ Δ ΚΔ ΚΟ ˆ θ ˆ θ σαν εξωτερική του τριγώνου ΚΟΔ θ O K Να αποδείξετε ότι το μήκος του κύκλου, που εφάπτεται σε δύο ομόκεντρους κύκλους, ισούται με το ημιάθροισμα ή την ημιδιαφορά των μηκών αυτών, όταν αντίστοιχα ο κύκλος αυτός περιέχει στο εσωτερικό του ή όχι το μικρότερο κύκλο. Άρα Έστω Ο το κέντρο των δύο ομόκεντρων κύκλων και Κ το κέντρο του τρίτου. Ονομάζουμε, τα σημεία επαφής του κύκλου (Κ) με το μεγάλο και μικρό κύκλο (Ο) αντίστοιχα. Οπότε τα και θα ανήκουν στη διάκεντρο ΟΚ. Ονομάζουμε L το μήκος του μεγάλου κύκλου (Ο), L του μικρού και L το μήκος του κύκλου (Κ). Όταν ο κύκλος (Κ) περιέχει στο εσωτερικό του το μικρό κύκλο (Ο). L + L π Ο + π Ο π (Ο + Ο) π () B O K A π ( Κ) ( π Κ) L Όταν κύκλος (Κ) δεν περιέχει στο εσωτερικό του το μικρό κύκλο (Ο). L L π Ο π Ο π (Ο Ο) π () B O K A π ( Κ) ( π Κ) L 37

32 3. Δίνεται τρίγωνο με α 3cm, β cm και γ 5cm. Να βρείτε το μήκος i) του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ii) του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου τ α + β + γ τ, τ α 8, τ β 7, τ γ 6 3 Ε () νωρίζουμε ότι Ε τ ρ ρ E 8 Άρα L π 8 π cm νωρίζουμε ότι E Ε αβγ Άρα L

33 Σύνθετα Θέματα. Δίνεται ημικύκλιο (Ο,) διαμέτρου. Με διαμέτρους τις Ο και Ο γράφουμε, στο εσωτερικό του πρώτου, ημικύκλια. Να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου, ο οποίος εφάπτεται των τριών αυτών ημικυκλίων, ως συνάρτηση του. Κ Σ O x Λ Έστω (Σ, x) ο κύκλος που εφάπτεται των τριών ημικυκλίων. Θα είναι ΣΚ x + ΣΛ Άρα το Σ θα ανήκει στη μεσοκάθετο Ο του τμήματος και θα είναι ΟΣ Ο Σ x Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΣΟΛ: Άρα + x x x x x x 3x x 3 L π x π 3 3. Δίνεται τεταρτοκύκλιο Ο AB. Με διάμετρο την Ο γράφουμε, στο εσωτερικό του τεταρτοκυκλίου, ημικύκλιο και στη συνέχεια γράφουμε κύκλο (Κ) που να εφάπτεται στο ημικύκλιο, στην πλευρά Ο και στο τόξο AB. Να αποδείξετε ότι το μήκος του κύκλου (Κ) ισούται με το μήκος του τόξου AB. Η O x K Λ Ζ Θ M Μ το κέντρο του ημικυκλίου, Ζ, Η, Θ τα σημεία επαφής και x η ακτίνα του κύκλου (Κ). Θα υπολογίσουμε την ακτίνα x ως συνάρτηση της ακτίνας του τεταρτοκυκλίου. Θ. Οξείας ωνίας στο τρίγωνο ΚΟΜ: + - ΟΜ.ΟΛ, φέραμε ΚΛ Ο, οπότε ΟΛ x. 39

34 . Άρα x x x x x x x x x x L ύ (Κ) π x π Άρα L ύ (Κ) L ί και L ί Μ Να βρείτε το μήκος της γραμμής ΔΕΖ του σχήματος. Ξ π Δ Ε Θ Ν 9 Ι Λ Ζ Κ Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Ξ: AB () Είναι 7 6 5, αφού 9 < Άρα η γωνία ˆB του τριγώνου ΚΛ είναι οξεία , () ο Θ. Διαμέσων στο τρίγωνο ΠΝ: Δ 6 (3) L ί ΔΕ π. π () Τρίγωνο ΜΖΙ ορθογώνιο με ύψος ΖΘ: ΘΜ.ΘΙ 8. 6 ΖΘ L π. π (5) ί ΕΖ () + () + (3) + () + (5) μήκος της γραμμής ΔΕΖ 5 +, π + π 6, π

35 Εμβαδόν κυκλικού δίσκου. Τι καλείται κυκλικός δίσκος και πως γίνεται η προσέγγιση του εμβαδού κύκλου με κανονικά πολύγωνα ; Έστω ένας κύκλος (Ο,). Ο κύκλος μαζί με τα εσωτερικά του σημεία αποτελούν τον κυκλικό δίσκο με κέντρο Ο και ακτίνα. Όπως είδαμε ότι τα εγγεγραμμένα ή τα περιγεγραμμένα σε έναν κύκλο κανονικά πολύγωνα τείνουν να ταυτισθούν με τον κύκλο, καθώς το πλήθος των πλευρών τους διπλασιάζεται. Ο μοναδικός θετικός αριθμός Ε προς τον οποίο πλησιάζουν ολοένα και περισσότερο, τα εμβαδά των εγγεγραμμένων και των περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων, λέγεται εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ή απλούστερα εμβαδόν του κύκλου. Επειδή ο Ε προσεγγίζεται από το εμβαδόν εγγεγραμμένων ή περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων, ας θεωρήσουμε ένα κανονικό ν-γωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο (Ο,). Τότε το εμβαδόν Εν δίνεται από τον τύπο : Τότε το εμβαδόν Εν δίνεται από τον τύπο Ε ν Ρ ν α ν (). Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα που μας δίνει το εμβαδόν ενός κύκλου ; Θεώρημα : Το εμβαδόν Ε ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας δίνεται από τη σχέση E π. πόδειξη πό το σχήμα φαίνεται ότι καθώς το ν διπλασιάζεται το α ν προσεγγίζει την ακτίνα και επειδή το Ρν προσεγγίζει το μήκος L του κύκλου, από την σχέση Ε ν Ρ ν α ν προκύπτει ότι το Ε ν προσεγγίζει το L π π.

36 3. Τι καλείται κυκλικός τομέας ; πό ποιον τύπο δίνεται το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ; Θεωρούμε έναν κύκλο (O,) και μία επίκεντρη γωνία Ô. Το σύνολο των κοινών σημείων της επίκεντρης γωνίας Ô και του κυκλικού δίσκου (O,) λέγεται κυκλικός τομέας κέντρου Ο και ακτίνας. Ο κυκλικός αυτός τομέας συμβολίζεται O.ν η επίκεντρη γωνία Ô είναι μ, λέμε ότι και ο κυκλικός τομέας O είναι μ. Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ορίζεται ανάλογα με το εμβαδόν του κύκλου και συμβολίζεται (O). Επειδή ο κυκλικός δίσκος είναι κυκλικός τομέας 36 με εμβαδόν π ο κυκλικός τομέας έχει εμβαδό π 36 και άρα ένας τομέας μ θα έχει εμβαδόν π μ36. Ώστε το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα O μ και ακτίνας δίνεται από την ισότητα: Επίσης, επειδή ο κυκλικός δίσκος (O, ) είναι τομέας π rad με εμβαδόν π ένας τομέας α rad θα έχει εμβαδόν Επομένως, το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα α rad και ακτίνας δίνεται από την ισότητα. Τι καλείται κυκλικό τμήμα και πως υπολογίζουμε το εμβαδόν του ; Έστω ένας κύκλος (O,) και μια χορδή του. Η χωρίζει τον κυκλικό δίσκο σε δύο μέρη που βρίσκονται εκατέρωθεν αυτής. Καθένα από αυτά τα μέρη λέγεται κυκλικό τμήμα. Το εμβαδόν ε του κυκλικού τμήματος που περιέχεται στην κυρτή γωνία Ο υπολογίζεται με τη βοήθεια της ισότητας δηλαδή αφαιρώντας από το εμβαδόν του κυκλικού τομέα το εμβαδόν του τριγώνου Ο.

37 5. (Μηνίσκοι του Ιπποκράτη) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο (A 9 ). Με διαμέτρους, και γράφουμε ημικύκλια στο ημιεπίπεδο (,). Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των εμβαδών των σχηματιζόμενων μηνίσκων είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου. (Μηνίσκος είναι το σχήμα που «περικλείεται» από δύο τόξα που έχουν κοινή χορδή και βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της). πόδειξη Συμβολίζουμε με μ, μ τα εμβαδά των σχηματιζόμενων μηνίσκων, τ, τ τα εμβαδά των κυκλικών τμημάτων με χορδές, αντίστοιχα, στο ημικύκλιο διαμέτρου. Έχουμε: από τις οποίες, χρησιμοποιώντας και τη σχέση + βρίσκουμε 6. Δίνεται κύκλος (O,) και δυο χορδές του και Να υπολογισθεί η περίμετρος και το εμβαδόν Ε του μικτόγραμμου τριγώνου, ως συνάρτηση του. 3

38 7. Τι καλείται τετραγωνισμός κύκλου και τι γνωρίζετε για αυτόν ; Τετραγωνισμός κύκλου λέγεται η κατασκευή, με κανόνα και διαβήτη, ενός τετραγώνου ισοδύναμου με το δοσμένο κύκλο. Έστω η ακτίνα ενός κύκλου και Ε το εμβαδόν του. Επειδή Ε L όπου L το μήκος του κύκλου, προκύπτει ότι ο κύκλος είναι ισοδύναμος με τρίγωνο, που έχει βάση L και ύψος. Κάθε τρίγωνο όμως είναι ισοδύναμο με τετράγωνο. Επομένως ο τετραγωνισμός του κύκλου ανάγεται στην κατασκευή του L, αφού το είναι ένα δοσμένο τμήμα. Επειδή όμως Lπ η κατασκευή του ανάγεται στην κατασκευή τμήματος μήκους π (αφού για είναι L π). ια να είναι η κατασκευή αυτή δυνατή, όπως έχει αποδειχθεί, θα έπρεπε ο π να είναι ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές, δηλαδή αλγεβρικός αριθμός, βαθμού ν, όπου ν φυσικός. Όμως, ο ερμανός Μαθηματικός Lindemann, το 88, απέδειξε ότι ο π δεν είναι αλγεβρικός αριθμός αλλά υπερβατικός και επομένως δεν κατασκευάζεται γεωμετρικά. ποδείχθηκε έτσι το αδύνατο της γεωμετρικής λύσης του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου. ΠΡΤΗΡΗΣΗ : Στο παρακάτω σχήμα, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, το Δ ημικύκλιο διαμέτρου και το Ε τόξο του κύκλου (, ). ποδεικνύεται ότι ο σχηματιζόμενος μηνίσκος τετραγωνίζεται. και μάλιστα (μ) ())

39 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης.ντιστοιχίστε κάθε μέγεθος της στήλης με την τιμή του στην στήλη Στήλη Στήλη Εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας π Εμβαδόν κυκλικού τομέα μ ο σε κύκλο ακτίνας Εμβαδόν κυκλικού τομέα α rad 8 σε κύκλο ακτίνας π 36.Με βάση το παρακάτω σχήμα χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) και αιτιολογήστε την απάντηση σας. i) (O AB ) ( O ) Λ ii) (O ) ( O ) Σ. Σ. Λ iii) (O ) (O AB ) Σ. Λ iν) (OAΔ) (Ο) Σ Λ Σ. ν) ε ε Λ νi) λ 6 Σ. Λ 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 57 ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ Πολυγωνικά χωρία - Πολυγωνικές επιφάνειες. Τι καλούμαι πολυγωνικό χωρίο και πως ονομάζεται αυτό ; Πότε δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ (ΤΡΠΖ ΘΜΤΩΝ) GI_V_GEO_2_18975 ίνεται τρίγωνο AB με AB=9, A=15. πό το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά B που τέμνει τις AB,A στα,e αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι A = 2 AB

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ Ο 1. Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει τις AB,AΓ στα Δ,E αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι AΔ = AB

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΕΦΛΙΟ 2 o Τ ΣΙΚ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ Πρωταρχικές έννοιες Όπως τα αντιλαμβανόμαστε : Σημείο, Ευθεία, Επίπεδο. ξιώματα προτάσεις που τις αποδεχόμαστε χωρίς απόδειξη. αξίωμα: πό δυο διαφορετικά σημεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α1. Να αποδείξετε ότι,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο 1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ 1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου 5 ΣΚΗΣΙΣ ΣΤ ΞΙΟΣΗΙΩΤ ΣΗΙ ΤΡΙΩΝΟΥ )ίνεται τρίγωνο µε = 45 και B = 75. ν µέσο της φέρουµε από το κάθετη στη διχοτόµο της γωνίας που τέµνει την στο. Στην παίρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

Α και Β Γενικού Λυκείου

Α και Β Γενικού Λυκείου ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΙΔΩΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ και ενικού Λυκείου ε 3 ε 2 Κ Ε ε 1 Ι Ο Θ Η Ζ μ α Ψ ε 4 Τόμος 1ος ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΙΔΩΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙ ΕΩΜΕΤΡΙ ΡΥΡΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Προκριματικός διαγωνισμός 2012 7 Απριλίου 2012

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Προκριματικός διαγωνισμός 2012 7 Απριλίου 2012 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Προκριματικός διαγωνισμός 0 7 Απριλίου 0 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες p n όπου p πρώτος και αρνητικοί ακέραιοι που είναι λύσεις της εξίσωσης: p n Λύση Η δεδομένη εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα