ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ. Οπτικές Ίνες Στην εποχή της πληροφόρησης που ζούμε, βλέπουμε μια αλματώδη ζήτηση του εύρους ζώνης, η οποία οδηγεί στην ανάγκη ανάπτυξης δικτύων μεγαλύτερης χωρητικότητας, αλλά και μικρότερου κόστους. Την ζήτηση αυτή τροφοδοτεί η ανάπτυξη του Internet και του www, η οποία φέρνει όλο και μεγαλύτερο αριθμό χρηστών να καταναλώνουν πολύ μεγάλο εύρος ζώνης για την μεταφορά αρχείων, video, αλλά και άλλων εφαρμογών πολυμέσων. Τα φωτονικά δίκτυα είναι η τεχνολογική απάντηση σε αυτήν τη ζήτηση. Βασικό τους όπλο αποτελεί το μέσο μετάδοσής τους, η οπτική ίνα. Εν συγκρίσει με το καλώδιο του χαλκού ή την ασύρματη μετάδοση, η οπτική ίνα παρέχει τη δυνατότητα μετάδοσης που χαρακτηρίζεται από χαμηλές απώλειες σε ένα πραγματικά τεράστιο φάσμα συχνοτήτων. Το φασματικό αυτό εύρος μετάδοσης είναι της τάξης των 5ΤHz και είναι τάξεις μεγέθους μεγαλύτερο από το εύρος ζώνης οποιουδήποτε άλλου μέσου μετάδοσης. Έτσι, η οπτική ίνα μας δίδει τη δυνατότητα να μεταδίδουμε ένα οπτικό σήμα σε πολύ μεγάλους ρυθμούς και σε μεγάλες αποστάσεις πριν να υπάρξει η ανάγκη οπτικής ενίσχυσής του ή αναγέννησής του. Ωστόσο, εδώ έχουμε την παρουσία δύο ανεπιθύμητων φαινομένων, της διασποράς και της μη γραμμικότητας, τα οποία αποτελούν σημαντικές περιοριστικές παραμέτρους στην ανάπτυξη των φωτονικών δικτύων. Η διασπορά αναφέρεται στο φαινόμενο της χρονικής διαπλάτυνσης των οπτικών παλμών κατά την κυματοδήγησή τους μέσα από την οπτική ίνα και δημιουργεί το φαινόμενο της διασυμβολικής παρεμβολής. Από την άλλη πλευρά τα μη γραμμικά φαινόμενα εμφανίζονται σε συστήματα μετάδοσης πολλαπλών μηκών κύματος και προκαλούν την παραμόρφωση του οπτικού σήματος. Βασικός σκοπός αυτού του κεφαλαίου είναι η μελέτη των παθητικών στοιχείων που χρησιμοποιούνται στην φωτονική τεχνολογία, όπως οι οπτικές ίνες, οι συζεύκτες, οι απομονωτές κτλ. Ωστόσο, μεγαλύτερη έμφαση θα δωθεί στην ανάλυση των μη γραμμικών φαινομένων που αναπτύσσονται κατά την κυματοδήγηση του οπτικού πεδίου μέσα από μια οπτική ίνα. Για τον λόγο αυτό αρχικά θα εξετάσουμε την βασική αλληλεπίδραση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου με ένα διηλεκτρικό υλικό. Μέσα από αυτή την ανάλυση θα γίνουν κατανοητοί οι παράγοντες στους οποίους αποδίδονται τα φαινόμενα διασποράς και μη γραμμικότητας. Έπειτα, θα μελετήσουμε τα χαρακτηριστκά της κυματοδήγησης πεδίου και θα αναφερθούμε στην φυσική ανάλυση του φαινομενου της διασποράς καθώς και σε όλους τους παράγοντες που το προκαλούν όπως το υλικό της ίνας, καθώς επίσης και η γεωμετρία της. Θα ακολουθήσει η φυσική περιγραφή των σημαντικότερων μη γραμμικών φαινομένων, καθώς και των μηχανισμών απωλειών. Σε επόμενη παράγραφο θα εξετάσουμε τη διάδοση του οπτικού σήματος, θα αναφερθούμε

2 στην εξίσωση Schröndiger και θα εξετάσουμε τόσο τα φαινόμενα της διασποράς, όσο και τα μη γραμμικά φαινόμενα με ένα πιο μεθοδικό και μαθηματικοποιημένο τρόπο. Τέλος, θα αναφερθούμε και στα φαινόμενα πόλωσης που εμφανίζονται κατά τη διάδοση του σήματος μέσα από την οπτική ίνα... Αλληλεπίδραση διηλεκτρικού υλικού με Η/Μ πεδίο Ήδη από την κλασσική οπτική γνωρίζουμε ότι η αλληλεπίδραση ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος με ένα διηλεκτρικό μέσο εκφράζεται μακροσκοπικά από τον δείκτη διάθλασης του υλικού, καθώς επίσης και από έναν συντελεστή απορρόφησης. Αυτά τα μεγέθη διαφέρουν από υλικό σε υλικό, αλλά και από το μήκος κύματος του διαδιδόμενου ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Η ανάγκη να περιγραφεί πλήρως αυτός ο φυσικός μηχανισμός μας οδήγησαν στην ανάπτυξη ενός κβαντομηχανικού μοντέλου, γνωστό και ως μοντέλο διπολικού ταλαντωτή. Αυτό, με αρκετά μεγάλη ακρίβεια αποδίδει την απόκριση του υλικού μέσου ως συνάρτηση της συχνότητας του εξωτερικά επιβαλλόμενου ηλεκτρικού πεδίου. Πιο συγκεκριμένα, θεωρούμε ότι τα ελεύθερα άτομα και τα μόρια του υλικού μέσου αποτελούν ένα σύνολο ηλεκτρικών ταλαντωτών. Αυτά διεγείρονται και θέτονται σε κατάσταση ταλάντωσης, όταν υπό την επίδραση ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου κάποια από τα ηλεκτρόνιά τους μετατοπίζονται από την θέση ισορροπίας. Τότε, σχηματίζεται ένα ταλαντούμενο δίπολο με ιδιοσυχνότητα, η οποία καθορίζεται από τη μάζα του, καθώς επίσης και από τις συνεκτικές δυνάμεις με τα γειτονικά μόρια. Σχήμα. (α) Ο ηλεκτρονικός ταλαντωτής και (β) Το αντίστοιχο μηχανικό μοντέλο με ελατήριο Ας θεωρήσουμε ένα ομογενές υλικό που αποτελείται από ένα σύνολο ελεύθερων ατόμων ή μορίων με ασθενείς δυνάμεις συνοχής, που βρίσκονται τοποθετημένοι στην κατεύθυνση διάδοσης του πεδίου και παράλληλα με αυτό. Το ηλεκτρικό πεδίο δίδεται σε μιγαδική μορφή σύμφωνα με τη σχέση:

3 Ec = E exp[j( ωt ± βz + φ)] (.) Το πεδίο θα προκαλέσει μετατόπιση του ηλεκτρονιακού νέφους, το οποίο περιβάλλει τα άτομα ή τα μόρια των ταλαντωτών. Στο σχήμα. εμφανίζεται καθαρά αυτή η παραμόρφωση του ηλεκτρονιακού νέφους, η οποία έχει ως αποτέλεσμα την εμφάνιση ενός διπολικού ταλαντωτή με μια στοιχειώδη διπολική ροπή. H εξωτερικά επιβαλλόμενη δύναμη προέρχεται από το επιβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο Ε, που διανύει το οπτικό μέσο, και ως γνωστόν είναι Fa = ee. Από την άλλη πλευρά οι ηλεκτρικές δυνάμεις συνοχής μεταξύ των γειτονικών ατόμων εμποδίζουν την ομαλή ταλάντωση του στοιχειώδους διπόλου. Έτσι θεωρούμε ότι η αλληλεπίδρασή του με τα γειτονικά άτομα εκφράζεται μέσω μιας δύναμης απόσβεσης, F d = mζ v, όπου v η ταχύτητα του ηλεκτρονίου και ζ ο συντελεστής απόσβεσης. Παράλληλα αναπτύσσεται δύναμη ανάδρασης Coulomb, η οποία προέρχεται από τα θετικά φορτία του ταλαντωτή. Το όλο σύστημα μπορούμε να το μοντελοποιήσουμε ως έναν κλασσικό ταλαντωτή ελατηρίου με σταθερά k s. H μετατόπιση του ηλεκτρονιακού νέφους μπορεί να αναχθεί σε ένα σύνολο στοιχειωδών μετατοπίσεων Qc για κάθε ένα ηλεκτρόνιο με μάζα m και φορτίο e. Η τελική εξίσωση ταλάντωσης που περιγράφει τη στοιχειώδη μετατόπιση του ηλεκτρονίου λαμβάνει τη μορφή: d Q m dt c dqc + mζ + k sqc = ee (.) dt και δεδομένου ότι το ηλεκτρικό πεδίο Ε δίδεται σύμφωνα με τη σχέση (.), η λύση της παραπάνω εξίσωσης έχει τη μορφή: Qc οπότε με αντικατάσταση της (.3) στην (.) λαμβάνουμε: Στην σχέση αυτή, η συχνότητα = Q exp( jβz)exp(jωt) (.3) eec / m c = (.4) ( ω ω ) + jωζ Q ω k s / m αποτελεί την ιδιοσυχνότητα του = στοιχειώδους ταλαντωτή. Επίσης, η διπολική ροπή που προκύπτει από την ταλάντωση του ηλεκτρονίου είναι pc = eq c. Συνεπώς για τον υπολογισμό της πόλωσης σε ένα σημείο μέσα στο υλικό μέσο θα ορίσουμε έναν στοιχειώδη όγκο δv, στον οποίο θα αθροίσουμε τις ροπές από τα στοιχειώδη δίπολα. Έτσι προκύπτει: N Δ V Δν i= P = lim p = Np C/m (.5) c ci c 3

4 όπου Ν είναι ο αριθμός των ταλαντωτών ανά στοιχειώδη όγκο. Είναι προφανές ότι η σχέση (.5) ισχύει, εφόσον θεωρήσουμε ότι όλοι οι στοιχειώδεις ταλαντωτές είναι όμοιοι. Με χρήση της (.5) και της (.4) η πόλωση γίνεται: P c Ne / m = E c = ε χ ee c ( ) j (.6) ω ω + ωζ Στη σχέση αυτή ο παράγοντας χ e αποτελεί τη γραμμική επιδεκτικότητα του υλικού μέσου και εκφράζει την απόκρισή του στο επιβαλλόμενο πεδίο. Το μέγεθος αυτό είναι μιγαδικός αριθμός, οπότε μπορεί να γραφεί στην μορφή: Ne ( ω ω ) jωζ χ e = χ e jχ e = (.7) ε m ( ω ω ) + ω ζ Σε μια πιο απλοποιημένη μορφή της παραπάνω σχέσης μπορούμε να καταλήξουμε αν δεχθούμε ότι ισχύει ω ω. Δεδομένης αυτής της προσέγγισης έχουμε: ( ω ω ) j+ Ne ζ χ χ e j e (.8) ε mωζ ( ω ω + ζ Στο σχήμα. απεικονίζονται τόσο το φανταστικό, όσο και το πραγματικό μέρος της επιδεκτικότητας του υλικού, δεδομένης της θεώρησης ότι η συχνότητα ω του εξωτερικά επιβαλλόμενου πεδίου βρίσκεται στην περιοχή της ιδιοσυχνότητας ω του υλικού. Σχήμα. Διάγραμμα του πραγματικού και φανταστικού μέρους της επιδεκτικότητας του μοντέλου του διπολικού ταλαντωτή υπό την προσέγγιση ότι βρισκόμαστε στην περιοχή της ιδιοσυχνότητας του υλικού 4

5 Εν συνεχεία θα μελετήσουμε πιο αναλυτικά την απόκριση του υλικού σε επίπεδο κύμα, το οποίο διανύει το μέσο κατά την θετική κατεύθυνση z. Θα θεωρήσουμε ότι ο φάσορας του κύματος γράφεται στη μορφή: E β = E exp( jkz) = E exp( az) exp( j z) (.9) όπου α,β αποτελούν το πραγματικό και το φανταστικό μέρος αντίστοιχα του κυματαριθμού k, ο οποίος συνδέεται με το δείκτη διάθλασης n μέσω της σχέσης k=nk, όπου: / n = ( + χ e jχ e ) = n jn (.) οπότε με απλή αντικατάσταση το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του δείκτη διάθλασης είναι: και n + χ ( χ ) ( + χ ) / e = + + (.) e n + χ ( χ e ) ( + χ ) / e = + (.) e Άρα η σταθερά κυματοδήγησης είναι β = n k, ενώ ο συντελεστής εξασθένησης είναι a = n k. Στη περίπτωση όπου η συχνότητα του ηλεκτρικού πεδίου βρίσκεται μακριά από την περιοχή ιδιοσυχνότητας του υλικού μέσου μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο συντελεστής εξασθένησης ζ είναι ίσος με μηδέν. Αυτό μπορεί να αποδοθεί στο γεγονός ότι για εκείνες τις συχνότητες οι μετατοπίσεις των ηλεκτρονίων, καθώς και οι επιδράσεις από τα γειτονικά μόρια του μέσου είναι πολύ μικρές. Συνεπώς, θεωρούμε τις Ne προσεγγίσεις χ e και χ e ε m( ω ω συναρτήσει του μήκους κύματος έχουμε: ). Γράφοντας την τελευταία σχέση Ne λ λ Aλ χ e = = (.3) (πc) ε m λ λ λ λ όπου λ και λ είναι τα μήκη κύματος για τον κενό χώρο και αντιστοιχούν στις κυκλικές συχνότητες ω και ω. Αρα δεδομένου ότι χ e, έχουμε το δείκτη διάθλασης να γίνεται n n ( + χ e ) /. Επιπλέον μπορεί να συνυπολογιστεί η επίδραση πλέον της 5

6 μίας ιδιοσυχνότητας του υλικού πάνω στον δείκτη διάθλασης. Έτσι καταλήγουμε στη γνωστή σχέση Sellmeier, η οποία εκφράζει την εξάρτηση του δείκτη διάθλασης ως προς το μήκος κύματος του επιβαλλόμενου πεδίου, καθώς επίσης και ως προς τις ιδιοσυχνότητες του υλικού μέσου: A λ n = i (.4) i λ λ όπου οι συντελεστές Α i, καθώς και οι ιδιοσυχνότητες λ i του μέσου υπολογίζονται πειραματικά. Για την περίπτωση της οπτικής ίνας πυριτίου οι τιμές αυτών των παραμέτρων είναι Α = , Α =.47946, Α 3 = και λ =.68443μm, λ =.644μm, και λ 3 =9.8966μm. Στο σχήμα. απεικονίζεται το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της επιδεκτικότητας του υλικού για ένα αρκετά ευρύ πεδίο συχνοτήτων που περιλαμβάνει δύο από τις ιδιοσυχνότητές του. Σε επόμενη παράγραφο θα δείξουμε ότι το σημείο καμπής της καμπύλης χ e αποτελεί σημείο μηδενικής διασποράς της ίνας. Στην παραπάνω ανάλυση η σχέση μεταξύ της πόλωσης του μέσου και του εξωτερικά επιβαλλόμενου ηλεκτρικού πεδίου εκφράστηκε στο πεδίο των συχνοτήτων. Άρα το γινόμενο P ( ω) = ε χ ( ω)e ( ω) στο πεδίο του χρόνου αποτελεί τη συνέλιξη: c e c i p (t) ( τ) dτ (.5) c = t χ e (t τ)ec Η απλοποίηση αυτή είναι πολύ σημαντική στην ανάλυση της διάδοσης ενός οπτικού παλμού μέσα σε μία ίνα. Σε επόμενες παραγράφους θα αναφερθούμε στο συγκεκριμένο θέμα, όπου και θα παρουσιάσουμε την εξίσωση διάδοσης ενός σήματος μέσα από μία οπτική ίνα. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να τονίσουμε αφενός τη γραμμικότητα ανάμεσα στην πόλωση και στο εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο, και αφετέρου το μονοδιάστατο της επιδεκτικότητας χ e. Καταρχάς, το γεγονός ότι έχουμε να κάνουμε με ισοτροπικό μέσο εξασφαλίζει ότι η συμπεριφορά του θα είναι ίδια για κάθε αναφορικό σύστημα συντεταγμένων. Σε αντίθετη περίπτωση όπου το υλικό θα αντιδρούσε διαφορετικά σε κάθε κατεύθυνση, η επιδεκτικότητά του θα είχε τη μορφή πίνακα προκειμένου να εκφράσει αυτή την τρισδιάστατη απόκριση. Επιπλέον, το μοντέλο που χρησιμοποιούμε προϋποθέτει ότι το επιβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο είναι ασθενές, άρα οι ηλεκτρονιακές μετατοπίσεις είναι τόσο μικρές, ώστε να μπορούμε να αγνοήσουμε την αλληλεπίδρασή τους με τα γειτονικά άτομα Έτσι δεχόμαστε ότι η απόκριση του κάθε ταλαντωτή, λογω της δύναμης Coulomb, είναι ανάλογη στοιχειώδους μετατόπισής του. Σε διαφορετική περίπτωση στην εξίσωση (.) θα πρέπει να προστεθούν και όροι που εκφράζουν τις αλληλεπιδράσεις με τα γειτονικά άτομα. Έτσι, γενικότερα η σχέση εξάρτησης της πόλωσης του μέσου με το επιβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική και έχει τη μορφή: P = ε + (.6) () () (3) [ χ E + χ EE + χ EEE +...] = PL PNL 6

7 όπου χ () και χ (3) αποτελούν τους δεύτερης και τρίτης τάξης όρους της επιδεκτικότητας του μέσου. Για την περίπτωση αυτή η εξίσωση κυματοδήγησης παύει να είναι ομογενής δεδομένου ότι εμπεριέχει και τους μη γραμμικούς όρους της πολωσης και γίνεται: P NL E μ ε rε = μ (.7) t E Ουσιαστικά ο μη γραμμικός όρος της πόλωσης αντιστοιχεί στην επανακτινοβόληση ηλεκτρομαγνητικών πεδίων ανώτερης τάξης από τους στοιχειώδεις ταλαντωτές, οι οποίες βρίσκονται σε συχνότητες διαφορετικές από αυτή του εξωτερικού πεδίου. Άρα η λύση της (.7) θα έχει τη μορφή: t mn E = E exp(jωmt)exp( jk nr) + c.c (.8) m n Για τον υπολογισμό της επιδεκτικότητας δεύτερης και τρίτης τάξης είναι προφανές ότι το προηγούμενο μοντέλο δεν επαρκεί. Στην περίπτωση αυτή εφαρμόζουμε άλλα μοντέλα, όπως αυτό του αναρμονικού ταλαντωτή, στο οποίο στη στοιχειώδη ταλάντωση του κάθε διπόλου εμπεριέχονται επιπλέον μη γραμμικοί όροι, οι οποίοι εκφράζουν την αλληλεπίδρασή του με τα γειτονικά άτομα. Η αναλυτική περιγραφή αυτού του μοντέλου βρίσκεται έξω από τους σκοπούς αυτών των σημειώσεων και συνεπώς δε θα επεκταθούμε παραπάνω. Ωστόσο, θα πρέπει να αναφέρουμε ότι η δεύτερης τάξης μη γραμμμικότητα δεν υπάρχει στις οπτικές ίνες λόγω της συμμετρίας που έχουν τα μόρια του SiO, από το οποίο κατασκευάζεται. Από την άλλη πλεύρα στα φαινόμενα τρίτης τάξης κατατάσσονται το φαινόμενο Κerr, η σκέδαση Raman, καθώς επίσης και η σκέδαση Brillοuin, τα οποία θα εξετάσουμε πολύ συνοπτικά σε επόμενες παραγράφους. Τέλος, σε αντιστοιχία με την συνέλιξη της σχέσης (.5), που μας περιγράφει τη γραμμική αλληλεπίδραση του υλικού μέσου με το εξωτερικά επιβαλλόμενο πεδίο, για την περίπτωση της μη γραμμικότητας έχουμε: (3) PNL (r, t) ε χ (t t, t t, t = t ) M E(r, t )E(r, t )E(r, t )dt dt dt (.9) Στην τελευταία σχέση καταλήγουμε με ανάλογη ανάλυση υπολογισμού της επιδεκτικότητας πάνω στο μοντέλο του αναρμονικού ταλαντωτή. Επιπλέον σε ότι αφορά τον δείκτη διάθλασης αυτός δε παραμένει μονάχα εξαρτώμενος από τη συχνότητα, όπως αποδείξαμε στην προηγούμενη ανάλυση. Για την συγκεκριμένη περίπτωση η τρίτης τάξης μη γραμμικότητα που πηγάζει από τον παράγοντα χ (3), προκαλεί εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την εξωτερικά επιβαλλόμενη ισχύ. Αυτό είναι γνωστό και ως φαινόμενο Kerr: n ( ω, E ) = n( ω) + n E (.) όπου n(ω) είναι το γραμμικό μέρος του δείκτη διάθλασης, το οποίο δίδεται από τη σχέση (.4). Η ποσότητα Ε εκφράζει την στιγμιαία ισχύ μέσα στην ίνα, και το n αποτελεί 7

8 τον μη γραμμικό συντελεστή του δείκτη διάθλασης που σχετίζεται με την τρίτης τάξεως επιδεκτικότητα σύμφωνα με τη σχέση: n 3 (3) = Re( ) (.) 8n χ Μια βασική παραδοχή που έχουμε κάνει είναι ότι το υλικό μέσο είναι ισοτροπικό, άρα και η επιδεκτικότητα είναι μονοδιάστατο μέγεθος, καθώς επίσης ότι και το επιβαλλόμενο πεδίο είναι γραμμικά πολωμένο. Αυτή η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ισχύ οδηγεί σε ένα πλήθος μη γραμμικών φαινομένων. Από αυτά το πιο σημαντικό είναι η αυτοδιαμόρφωση φάσης SPM (self-phase modulation), το οποίο θα εξετάσουμε πολύ εκτεταμένα σε επόμενες παραγράφους, δεδομένου ότι αποτελεί το κλειδί για την τεχνολογία της αμιγώς οπτικής επεξεργασίας ενός σήματος. Το SPM στηρίζεται ουσιαστικά στην διαμόρφωση της φάσης που υφίσταται το οπτικό σήμα από την ίδια του την ισχύ, καθώς αυτό κυματοδηγείται μέσα από την οπτική ίνα. Έτσι έχουμε: όπου k = φ = k L = (n n E )k L (.) n + π / λ και L το μήκος της ίνας. Το SPM είναι υπεύθυνο για τη φασματική διαπλάτυνση παλμού, καθώς και για την ύπαρξη σολιτονίων, φαινόμενα τα οποία θα εξετάσουμε σε επόμενη παράγραφο... Κυματοδήγηση σε οπτικές ίνες Στη παράγραφο αυτή θα εξετάσουμε πολύ συνοπτικά την μαθηματική πλευρά της κυματοδήγησης του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου σε μια οπτική ίνα. Ως μοντέλο κυματοδηγού θα χρησιμοποιήσουμε την ίνα με βηματικό δείκτη διάθλασης ή step index fiber, όπως αλλιώς λέγεται. Σκοπός αυτής της ανάλυσης είναι να δειχθεί ότι αφενός είναι δυνατή η διέγερση ενός πεπερασμένου πλήθους εγκάρσιων ρυθμών, και αφετέρου ότι η συγκεκριμένη ίνα μπορεί να σχεδιαστεί κατάλληλα, ώστε να υποστηρίξει μονότροπη διάδοση του πεδίου.... Εξισώσεις Maxwell Η κυματοδήγηση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου μέσα από μια οπτική ίνα περιγράφεται πλήρως από την θεωρία του Maxwell. Έτσι για ένα μη αγώγιμο υλικό μέσο και απουσία ελεύθερων φορτίων οι εξισώσεις αυτές λαμβάνουν τη μορφή: 8

9 B E = (.3) t D B = (.4) t D = (.5) B = (.6) όπου Ε και Η είναι τα διανύσματα του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου αντίστοιχα, ενώ τα D και Β αποτελούν τις αντίστοιχες πυκνότητες ροής που δίδονται από τις παρακάτω σχέσεις: D ε E + P (.7) = B μ H + M (.8) = όπου και πάλι το ε αντιστοιχεί στην ηλεκτρική επιτρεπτότητα του κενού, ενώ το μ αποτελεί την μαγνητική διαπερατότητα του κενού. Για τις οπτικές ίνες ισχύει Μ=, λόγω της μη μαγνητικής φύσης του υλικού. Για τον υπολογισμό της ηλεκτρικής πόλωσης Ρ έχουμε είδη αναφερθεί στην παράγραφο... Για την συγκεκριμένη ανάλυση θα αγνοήσουμε τα μη γραμμικά φαινόμενα, τα οποία θα προέκυπταν αν είχαμε ισχυρό κυματοδηγούμενο πεδίο. Και αυτό διότι θεωρούμε ότι δεν επηρεάζουν σημαντικά την κατανομή των διεγειρόμενων ρυθμών. Για την ώρα θα αρκεστούμε στο ότι τα μεγέθη Ε και Ρ συνδέονται μέσω της προαναφερθείσας σχέσης: P(r,t) = ε x(r,t t )E(r, t )dt (.9) + Γενικότερα, η σχέση μεταξύ των διανυσμάτων της πόλωσης Ρ και του ηλεκτρικού πεδίου Ε εκφράζει την φυσική απόκριση του υλικού μέσου στο επιβαλλόμενο πεδίο. Έτσι, σε αυτή τη σχέση απεικονίζεται μια σειρά φαινομένων, όπως η διασπορά, η διπλοθλαστικότητα και άλλες μη γραμμικότητες, που λαμβάνουν χώρα κατά τη διάδοση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος μέσα από την οπτική ίνα. Αυτά τα φαινόμενα αποτελούν τους βασικότερους περιορισμούς κατά τον σχεδιασμό και την ανάπτυξη ενός φωτονικού δικτύου. Για να καταλήξουμε στην εξίσωση διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου Ε κάνουμε τις κατάλληλες αντικαταστάσεις μεταξύ των εξισώσεων (.3-.6) και (.7-.8), όπου απαλείφουμε τα διανύσματα Η,Β του μαγνητικού πεδίου. Έτσι παίρνουμε την ακόλουθη σχέση: E P E = μ (.3) c t t 9

10 όπου η ταχύτητα του φωτός c ορίζεται ως γνωστόν c=(μ ε ) -/. Προκειμένου να μετασχηματίσουμε την (.3) στο πεδίο των συχνοτήτων κάνουμε χρήση του μετασχηματισμού Fourier για το ηλεκτρικό πεδίο Ε μέσω της σχέσης: E ~ (r, ω) = E(r, t)exp(jωt) dt (.3) + Αντίστοιχη σχέση χρησιμοποιούμε και για το διάνυσμα της πόλωσης P. Οπότε με τη βοήθεια της εξίσωσης (.9) έχουμε την σχέση διάδοσης του πεδίου Ε εκφρασμένη στο πεδίο των συχνοτήτων: E ~ ω = ε(r, ω) E ~ c (.3) όπου η διηλεκτρική σταθερά ε(r,ω) εξαρτάται από τη συχνότητα ω και ορίζεται από: ε ( r,t) = + χ ~ (r, ω) (.33) Γενικότερα η διηλεκτρική σταθερά είναι ένας μιγαδικός αριθμός. Το πραγματικό τμήμα αντιστοιχεί στον συντελεστή απορρόφησης α της ίνας, ενώ το φανταστικό μέρος στο δείκτη διάθλασης n. Σε επόμενη παράγραφο θα αποδείξουμε ότι τα παραπάνω μεγέθη γράφονται στη μορφή: jac ε = n + (.34) ω Άρα ο συντελεστής διάθλασης n και ο συντελεστής απορρόφησης α συνδέονται με την επιτρεπτότητα χ σύμφωνα με: n ~ / = ( + Reχ) (.35) ω a = Im χ ~ (.36) nc Όπως θα δείξουμε και σε άλλη παράγραφο στην εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την συχνότητα οφείλεται η χρωματική διασπορά ή διασπορά υλικού. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι οι διαφορετικές συνιστώσες του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου δεν κυματοδηγούνται με την ίδια ταχύτητα ομάδας μέσα στην ίνα. Για την επίλυση της εξίσωσης (.3) κάνουμε δύο βασικές απλοποιήσεις. Πρώτον, αγνοούμε την ύπαρξη των απωλειών εξαιτίας της μικρής τιμής τους, άρα θεωρούμε ε=n, και δεύτερον επειδή τόσο ο πυρήνας της ίνας, όσο και ο μανδύας είναι ομογενή μέσα, ο δείκτης διάθλασης θα θεωρηθεί ανεξάρτητος του διανύσματος θέσης r για καθεμία από αυτές τις περιοχές. Συνεπώς, μπορούμε να κάνουμε χρήση της σχέσης:

11 E ~ E ~ ( ) E ~ = = E ~ (.37) Στην τελευταία σχέση χρησιμοποιήσαμε την εξίσωση (.3), καθώς και την σχέση D ~ E ~ για να πάρουμε ~ = ε E =. Με αυτές τις απλοποιήσεις καταλήγουμε στην: E ~ + n ( ω)k E ~ = (.38) η οποία περιγράφει την διάδοση του ηλεκτρικού πεδίου στον πυρήνα και στον μανδύα της οπτικής ίνας. Ο κυματαριθμός k αντιστοιχεί στο κενό και ως γνωστόν δίδεται από τη σχέση: ω π k = = (.39) c λ Εν συνεχεία θα επιλύσουμε την εξίσωση (.38) για την περίπτωση της ίνας με βηματικό δείκτη διάθλασης για να δούμε ποιοι εγκάρσιοι ρυθμοί διεγείρονται.... Ανάλυση πεδίου σε step index ίνα Όταν αναφερόμαστε σε έναν ρυθμό διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου ουσιαστικά εννοουμέ μια συγκεκριμένη λύση της εξίσωσης (.38) για τις περιοχές του πυρήνα και του μανδύα λαμβάνοντας υπόψιν τις συνοριακές συνθήκες αυτών των δύο διηλεκτρικών. Η λύση αυτή έχει μια συγκεκριμένη χωρική κατανομή, η οποία δεν αλλάζει κατά τη διάδοση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Οπως θα διαπιστώσουμε η διάμετρος του πυρήνα, καθώς και το μήκος κύματος του διαδιδόμενου πεδίου είναι ουσιαστικές παράμετροι για την διέγερση των κατάλληλων ρυθμών. Στις φωτονικές, όπως εξάλλου και στις μικροκυματικές τηλεπικοινωνίες, μας ενδιαφέρει ο κυματοδηγός να υποστηρίζει μονορυθμική διάδοση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος προκειμένου να εμποδίσουμε την διασπορά λόγω της κυματοδήγησης. Λόγω της κυλινδρικής συμμετρίας η εξίσωση (.38) γράφεται σε κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων r, φ,z, για την διαμήκη συνιστώσα Ε z, ως εξής: E z r + Ez r r + r E z φ E + z z + n k E z = (.4) όπου για την περίπτωση της υπό εξέταση ίνας θεωρούμε ότι ο πυρήνας έχει ακτίνα α και δείκτη διάθλασης: n n = n : : r a r > a (.4)

12 β α n α β n n Ακτινική απόσταση Σχήμα.3 Προφίλ δείκτη διάθλασης μιας οπτικής ίνας Η εξίσωση (.4) επιλύεται εύκολα με χωρισμό μεταβλητών, οπότε η συνιστώσα Ε z γράφεται ως εξής: E z = F(r) Φ( φ)z(z) (.4) Με αντικατάσταση της (.4) στην εξίσωση (.4) προκύπτουν οι εξής τρείς διαφορικές εξισώσεις : d Z + β Z = (.43) dz d Φ + m Φ = dφ (.44) d F df m + + ( n k - β - ) F = (.45) dr r dr r Η εξίσωση (.43) έχει λύση της μορφής Z = exp(jβz), όπου το β αποτελεί την σταθερά διάδοσης, ενώ η σχέση (.44) έχει αντίστοιχα λύση της μορφής Φ = exp( jmφ) με τη σταθερά m να δέχεται μόνο ακέραιες τιμές, επειδή το πεδίο λόγω συμμετρίας αποτελεί περιοδική συνάρτηση με περίοδο π. Σε ότι αφορά την επίλυση της εξίσωσης (.45) αυτή γίνεται ξεχωριστά για τον πυρήνα και τον μανδύα και δίδεται από την ακόλουθη γενική σχέση: AJ m (β tr) + Á Ym (β t ) : r < a F(r) = { (.46) CK ( β r) + C I ( β r) : r > a m t m t

13 όπου οι σταθερές Α, Α, C και C ορίζονται από τις συνοριακές συνθήκες, ενώ οι J m, Y m, K m και Ι m αποτελούν διαφορετικές μορφές συναρτήσεων Bessel. Οι παράμετροι β t,β t από την αντικατάσταση προκύπτουν ότι είναι: β t = nk β (.47) β t = nk β (.48) Πιο συγκεκριμένα από τις βασικές ιδιότητες κάθε κυματοδηγούμενου ρυθμού αναμένουμε ότι η λύση της (.46) για την περιοχή του μανδύα είναι φθίνουσα ως προς την ακτίνα r, ενώ για τον πυρήνα δεν είναι. Επιπλέον, το πεδίο είναι πεπερασμένο για r = και μηδενικό για r. Βάσει αυτών η σταθερά β t είναι πραγματικός αριθμός, ενώ η β t φανταστικός, και ισχύει επίσης A = C =. Για αυτές τις δύο παραμέτρους ορίζουμε τα αντίστοιχα κανονικοποιημένα μεγέθη ως προς την διάμετρο του πυρήνα: u = β t w = β a = a(n t k a = a( β β n / k ) ) / (.49) Εν τέλει με αντικατάσταση των παραπάνω λύσεων στην εξίσωση (.4) και με εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών λαμβάνουμε την διαμήκη συνιστώσα του ηλεκρικού πεδίου: u AJ m ( r)exp(jmφ)exp(jβz) : r a a E z = (.5) w CK ( r)exp(jmφ)exp(jβz) : r > a m a Ακριβώς την ίδια ανάλυση μπορούμε να εφαρμόσουμε και για την διαμήκη συνιστώσα Η z του μαγνητικού πεδίου, οπότε θα καταλήξουμε σε μία αντίστοιχη σχέση με την (.5): u BJ m ( r)exp(jmφ)exp(jβz) : r a a H z = (.5) w DK ( r)exp(jmφ)exp(jβz) : r > a m a Σε ότι αφορά τις υπόλοιπες συνιστώσες Ε r, E φ, Η r και Η φ του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, αυτές προκύπτουν πάλι από τις εξισώσεις του Maxwell, τις οποίες εκφράζουμε στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων για την περιοχή του πυρήνα: j Ez ω H z E r = β + μ (.5) βt r r φ 3

14 E φ = j β Ez βt r φ H z μ ω r (.53) j H z ω Ez H r = β ε n (.54) βt r r φ H φ j β H = β r φ t z + ε Ez n ω r (.55) Για την περιοχή του μανδύα προκύπτουν ανάλογες εξισώσεις αφού θέσουμε όπου την τιμή β t. β t...3 Κατηγορίες ρυθμών διάδοσης και συνθηκών κυματοδήγησης Προκειμένου να μελετήσουμε όλους τους πιθανούς τύπους ρυθμών που διεγείρονται σε μία ίνα, θα πρέπει να τους κατατάξουμε σε συγκεκριμένες κατηγορίες. Πιο συγκεκριμένα διακρίνουμε τρεις κατηγορίες διεγειρόμενων ρυθμών. Στην πρώτη εντάσσονται οι εγκάρσιοι ρυθμοί ηλεκτρικού ή μαγνητικού πεδίου (ΤΕ ή ΤΜ), ενώ υπάρχει και η κατηγορία των υβριδικών ρυθμών (ΗΕ και ΕΗ). Μια τρίτη κατηγορία ρυθμών είναι οι λεγόμενοι LP (linear polarized), οι οποίοι αποτελούν υποσύνολο των προηγούμενων δύο κατηγοριών. Βασικό χαρακτηριστικό των LP ρυθμών είναι ότι το ηλεκτρομαγνητικό τους πεδίο είναι γραμμικά πολωμένο. Εν συνεχεία θα εξετάσουμε συνοπτικά τις παραπάνω κατηγορίες και θα βγάλουμε την συνθήκη κυματοδήγησης, που αντιστοιχεί σε κάθε μία από αυτές. Στους εγκάρσιους ρυθμούς δεν υπάρχει διαμήκη συνιστώσα είτε για το ηλεκτρικό πεδίο είτε για το μαγνητικό. Αυτό σημαίνει ότι στις προηγούμενες εξισώσεις πεδίου είναι Α=C=, και επιπλέον ισχύει q=, δηλαδή δεν υπάρχει εξάρτηση από την γωνία. Έτσι οι εγκάρσιοι ηλεκτρικοί ή μαγνητικοί ρυθμοί συμβολίζονται με ΤΕ m ή ΤΜ m, όπου m η τάξη του ρυθμού. Αν είναι q δεν οδηγούμαστε σε λύση με εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών, και αυτό φυσικά δεν μπορεί να αντιπροσωπεύει αμιγώς εγκάρσιο ρυθμό διάδοσης. Για την περίπτωση αυτή δεχόμαστε την ύπαρξη διαμήκης συνιστώσας τόσο για το ηλεκτρικό όσο και για το μαγνητικό πεδίο. Έτσι προκύπτει μια νέα κατηγορία υβριδικών ρυθμών γνωστές ως ΗΕ qm ή ΕΗ qm ανάλογα με την συνθήκη κυματοδήγησης που προκύπτει. Αντίστοιχα και εδώ η περίπτωση όπου q= δεν υφίσταται για τους υβριδικούς ρυθμούς. Η συνθήκη κυματοδήγησης προκύπτει με εφαρμογή των συνθηκών συνέχειας του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου στο σύνορο του πύρηνα-μανδύα μέσα στην ίνα. Έτσι στην γενικότερη περίπτωση έχουμε την παρακάτω συνθήκη: J q (u) K q (w) n J q (u) K q (w) + + = q uj q (u) wk q (w) n uj q (u) wk q (w) u + w n n u + w (.56) 4

15 Στην προηγούμενη σχέση μπορούμε να κάνουμε την προσέγγιση n n και να δεχθούμε συνθήκη ασθενούς κυματοδήγησης, οπότε αυτή απλοποιείται και γράφεται ως εξής: J q (u) K q (w) + = ± q uj q (u) wk q (w) u + w (.57) Για την περίπτωση των εγκάρσιων ρυθμών ΤΕ και ΤΜ θέτουμε q = και εφαρμόζουμε τις γνωστές ιδότητες των συναρτήσεων Bessel, οπότε προκύπτει για την περίπτωση αυτή η παρακάτω συνθήκη κυματοδήγησης: J (u) K (w) u = w TE m, TM m (.58) J (u) K (w) Και για τους υβριδικούς ρυθμούς έχουμε τις αντίστοιχες συνθήκες κυματοδήγησης : J u J q q+ (u) (u) K q (w) = w ΕΗ qm ( q ) (.59) K (w) q+ J u J q q (u) (u) K q (w) = w HE qm ( q ) (.6) K (w) q Όλες οι παραπάνω περιπτώσεις μπορούν να περιγραφούν από μία εξίσωση αν αυτή γραφεί στην μορφή: TEm,TM m J l (u) K l (w) u = w l = q + EH qm (.6) J l (u) K l (w) q HEqm Στην επόμενη παράγραφο θα περιγράψουμε την γραφική επίλυση των παραπάνω εξισώσεων και θα αναφερθούμε στις συνθήκες αποκοπής τους....4 Γραφική επίλυση συνθήκης κυματοδήγησης Η γραφική επίλυση των εξισώσεων κυματοδήγησης θα εξεταστεί για την περίπτωση των ρυθμών ΤΕ m, TM m και ΗΕ. Ξεκινώντας την ανάλυση θα ορίσουμε την κανονικοποιημένη παράμετρο συχνότητας V: 5

16 / / ( u + w ) = ak ( n n ) = n ak Δ V = (.6) H συγκεκριμένη παράμετρος εμπεριέχει πληροφορία που αφορά τα δομικά στοιχεία της ίνας, όπως η διαμετρος και ο συντελεστής διάθλασης του πυρήνα της, καθώς και ο συντελεστές διάθλασης του μανδύα της. Χρησιμοποιείται μαζί με την εξίσωση κυματοδήγησης για να καθορίσει τη συνθήκη αποκοπής του κάθε ρυθμού, καθώς και τη σταθερά διάδοσής του. Ας ξεκινήσουμε με τους εγκάρσιους ρυθμούς ΤΕ m, TM m των οποίων η συνθήκη κυματοδήγησης είναι: J J (u) (u) u K (w) = (.63) w K (w) Το αριστερό μέλος της παραπάνω εξίσωσης μπορούμε να το σχεδιάσουμε ως συνάρτηση της μεταβλητής u, καθώς επίσης και το δεξιό μέλος της ίδιας εξίσωσης για συγκεκριμένη τιμή της παραμέτρου V. Οι καμπύλες αυτές απεικονίζονται στο σχήμα.4. Το σημείο τομής τους μας δίδει τη λύση της εξίσωσης (.63), οπότε γνωρίζοντας το V μπορούμε να υπολογίσουμε το w και τη σταθερά διάδοσης β. Στην προκειμένη περίπτωση τα διαγράμματα έγιναν για δύο διαφορετικές τιμές της παραμέτρου V. Η μέγιστη τιμή της μεταβλητής u προκύπτει για w= και είναι u=v. Για V= δεν υπάρχει λύση για τους εγκάρσιους ρυθμούς, αφου δεν έχουμε κοινό σημείο τομής. Αντιθέτως, για V=8 η ίνα μπορεί να υποστηρίξει τη διέγερση των ρυθμών ΤΕ,m και ΤΜ,m για m=,. Οι καμπύλες για τους υβριδικούς ρυθμούς ΗΕ m απεικονίζονται στο ίδιο σχήμα και προκύπτουν από την γραφική αναπαράσταση των μελών της εξίσωσης: J J (u) (u) w K (w) = (.64) u K (w) 6

17 Σχήμα.4. Γραφική επίλυση των εξισώσεων (.63) και (.64) για V= και V=8 Στο σημείο αυτό έχουμε να κάνουμε κάποιες επιπλέον παρατηρήσεις για τις καμπύλες των παραπάνω διαγραμμάτων: Για κάθε υβριδικό ρυθμό ΗΕ m το σημείο αποκοπής αντιστοιχεί στον μηδενισμό της J (u)/j (u) καμπύλης για τον κάθε κλάδο. Για τους εγκάρσιους ρυθμούς ΤΕ m και ΤΜ m το σημείο αποκοπής δίδεται από την ασύμπτωτο της καμπύλης του αντίστοιχου κλάδου. Για μεγαλύτερες τιμές του V υπάρχουν περισσότερα σημεία λύσεων για την κάθε συνθήκη κυματοδήγησης, άρα και διέγερση περισσότερων ρυθμών για τους οποίους ισχύει u<v. Δεν υπάρχει σημείο αποκοπής για τον βασικό ρυθμό ΗΕ. Έτσι για τιμές του V<.45 έχουμε μονορυθμική διάδοση πεδίου. Οι τιμές της παραμέτρου V για τον κάθε ρυθμό βρίσκονται στη περιοχή V c V,όπου V c είναι η τιμή της παραμέτρου στο σημείο αποκοπής αυτού του ρυθμού. 7

18 Για να υπολογίσουμε τη σταθερά διάδοσης β επιλύουμε αριθμητικά την εξίσωση της συνθήκης κυματοδήγησης και για την κάθε λύση u βρίσκουμε την αντίστοιχη τιμή της σταθεράς w για δεδομένη παράμετρο συχνότητας V. Έτσι με χρήση των σχέσεων (.49) υπολογίζουμε τις σταθερές διάδοσης β t και β t. Ωστόσο, στην περίπτωση όπου μας ενδιαφέρει η μονορυθμική λειτουργία (V.45) υπάρχει αναλυτική λύση της εξίσωσης κυματοδήγησης, η οποία είναι: u ( + )V (V) (.65) 4 / 4 + (4 + V ) Μια επιπλέον παράμετρος την οποία θα χρησιμοποιήσουμε σε επόμενες παραγράφους για τον υπολογισμό της διασποράς κυματοδηγού αποτελεί η κανονικοποιημένη σταθερά διάδοσης b: u β n k b = = (.66) V n k n k Είναι φανερό ότι το b λαμβάνει τιμές στην περιοχή <b<. Μηδενίζεται στο σημείο αποκοπής, ενώ τείνει στη μονάδα για υψηλές συχνότητες. Αντίστοιχα η σταθερά κυματοδήγησης ενός ρυθμού γίνεται: = + Δ u n / + Δ = + Δ k ( b ) n k ( b ) n k (.67) V β Στο σημείο αυτό θα πρέπει να τονίσουμε ότι αυτή η σταθερά κυματοδήγησης εξαρτάται τόσο από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της ίνας, όσο και από το μήκος κύματος του διαδιδόμενου ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Συνεπώς, μεταβάλλοντάς τα μπορούμε να ελέγξουμε κάποια από τα χαρακτηριστικά κυματοδήγησης, όπως η διασπορά του ρυθμού. Πάνω σε αυτό το θέμα θα αναφερθούμε εκτενέστερα σε ακόλουθη παράγραφο. Τέλος, στην ανάλυση αυτή προσδιορίσαμε τα σημεία αποκοπής του κάθε ρυθμού, τα οποία προκύπτουν για συγκεκριμένη τιμή της παραμέτρου u=v c. Αντίστοιχα ορίζουμε και το μήκος κύματος αποκοπής λ c ως το μέγιστο μήκος κύματος, στο οποίο ο ρυθμός μπορεί να κυματοδηγηθεί. Τα μεγέθη λ c και V c συνδέονται μέσω της σχέσης: πa λv λ c = n n = (.68) V V c c Προκειμένου μία ίνα να υποστηρίξει μονορυθμική διάδοση θα πρέπει το μήκος κύματος λειτουργίας να είναι μεγαλύτερο από το αντίστοιχο αποκοπής των εγκάρσιων ρυθμών ΤΕ, ΤΜ, καθώς και του υβριδικού ΗΕ. Η τιμή της παραμέτρου V για το σημείο εκείνο είναι V c =.45, ενώ πρέπει να ισχύει και λ>λ c. 8

19 ..3 Φαινόμενα διασποράς σε οπτικές ίνες..3. Γενικά Σε προηγούμενη παράγραφο αποδείξαμε ότι ο δείκτης διάθλασης ενός διηλεκτρικού μέσου εξαρτάται άμεσα από το μήκος κύματος του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου που το διανύει. Αυτό στην πράξη σημαίνει ότι αν το εν λόγω κύμα έχει κάποιο φασματικό ευρός, τότε τμήματά του θα κυματοδηγηθούν στο μέσο με διαφορετικές ταχύτητες ομάδας, αφού ισχύει v g = c / n( ω). Άρα για δεδομένο διάστημα z θα καταφθάσουν με διαφορά φάσης. Έτσι. αν και στο πεδίο της συχνότητας το συνολικό φάσμα του κύματος θα παραμείνει ως έχει, στο πεδίο του χρόνου θα υπάρξει παραμόρφωση της πληροφορίας που μεταφέρεται. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται χρωματική διασπορά και έχει τεράστια επίδραση στο χώρο της φωτονικής τεχνολογίας, αφού αποτελεί τον σημαντικότερο περιοριστικό παράγοντα στον σχεδιασμό και στην ανάπτυξη ενός φωτονικού δικτύου. Και αυτό διότι οι οπτικοί παλμοί που κυματοδηγούνται μέσα από μια ίνα λόγω διασποράς, υφίστανται χρονική διαπλάτυνση με αποτέλεσμα να παρεμβάλλουν μεταξύ τους. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται διασυμβολική παρεμβολή και βασικές παράμετροι σε αυτό αποτελούν τόσο το μήκος της οπτικής ίνας, όσο και ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης. Σχήμα.5 Φαινόμενο διασυμβολικής παρεμβολής 9

20 Εκτός από το υλικό μέσο, διασπορά μπορεί να εισάγει και ο κυματοδηγός. Αυτό είναι ήδη γνωστό από τη μικροκυματική τεχνολογία. Ένας κυκλικός κυματοδηγός ανάλογα με τα γεωμετρικά του χαρακτηριστικά μπορεί να υποστηρίξει την διέγερση περισσότερων του ενός ρυθμών μετάδοσης με τον καθένα να έχει τη δική του ταχύτητα ομάδας. Έτσι, ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα ανάλογα με τη συχνότητά του είναι δυνατό να κυματοδηγηθεί σε πολλαπλούς τρόπους και να υποστεί πάλι διασπορά. Στην περίπτωση των οπτικών ινών γνωρίζουμε ότι υπάρχουν οι πολύτροπες και οι μονότροπες ίνες, με τη βασική τους διαφορά να βρίσκεται στη διάμετρο του πυρήνα τους. Και στις δύο περιπτώσεις εμφανίζεται διασπορά κυματοδηγού που προστίθεται στη χρωματική διασπορά του μέσου. Στην πολύτροπη ίνα είναι πολύ πιο έντονη λόγω της πολλαπλής διέγερσης των ρυθμών, ενώ στην μονότροπη ίνα σχετίζεται με την σχετική κατανομή της ισχύος του διαδιδόμενου παλμού στις περιοχές του μανδύα και του πυρήνα. Η εμφάνιση διασποράς κυματοδηγού μας δίδει τη δυνατότητα να κατασκευάζουμε οπτικές ίνες με συνολική διασπορά μετατοπισμένη στο επιθυμητό μήκος κύματος. Στις επόμενες παραγράφους θα αναλύσουμε εκτενέστερα το συγκεκριμένο θέμα. Αρχικά θα αναφερθούμε με λεπτομέρεια στην χρωματική διασπορά και πως αυτή εμφανίζεται στη σταθερά διάδοσης ενός επίπεδου ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Στη συνέχεια θα κάνουμε μία μικρή αναφορά στις πολύτροπες ίνες, ενώ θα αναλύσουμε εκτενέστερα τη διασπορά κυματοδήγησης στην γενικότερη περίπτωση. Θα δούμε πώς το προφίλ του δείκτη διάθλασης του πυρήνα ακόμα και σε μια μονότροπη ίνα έχει επιδράσεις στη συνολική διασπορά που αυτή εισάγει. Τέλος, στο πνεύμα της ίδιας ανάλυσης θα ακολουθήσει περιγραφή των διαφόρων τύπων ινών που χρησιμοποιούνται σήμερα...3. Χρωματική Διασπορά Σε αυτή την παράγραφο θα μελετήσουμε πως η χρωματική διασπορά ενός υλικού επιδρά στο ηλεκρομαγνητικό κύμα που κυματοδηγείται μέσα από αυτό. Για το σκοπό αυτό θα θεωρήσουμε την ιδανική περίπτωση ενός υλικού μέσου, το οποίο είναι ομογενές, συμπαγές και με άπειρες διαστάσεις. Έτσι αποφεύγουμε επιπλέον φαινόμενα κυματοδήγησης που σχετίζονται με τα γεωμετρικά του χαρακτηριστικά. Σε ότι αφορά το ηλεκτρομαγνητικό κύμα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι διαμορφωμένο γύρω από μια φέρουσα ω, με τη μορφή ενός γκαουσιανού παλμού, συνεπώς έχει τη μορφή: ενώ το φάσμα του είναι: t (,t) = E exp exp(jω t) (.69) T E ( ω ω ) E E (, ω) = exp (.7) πδω Δω

21 όπου Δω είναι το ημίσειο εύρος του παλμού στο σημείο, όπου η ισχύς του είναι το /e της αρχικής. Αφού ο παλμός θα διανύσει απόσταση z η κυματομορφή του στο πεδίο του χρόνου θα δίδεται από το ολοκλήρωμα: + E (z,t) = E(, ω)exp[j( ωt β( ω)z)] dω (.7) Η σταθερά διάδοσης β(ω) εκφράζει την επίδραση του υλικού μέσου στο κυματοδηγούμενο πεδίο και στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι ανάλογη του δείκτη διάθλασης: ω β ( ω) = n( ω) (.7) c Μαθηματικά μπορούμε να μελετήσουμε την επίδραση της διασποράς εκφράζοντας τη σταθερά β ως άθροισμα σειράς Taylor γύρω από τη φέρουσα συχνότητα ω. όπου β ( ω) = β + β( ω ω ) + β ( ω ω ) +... (.73) m d β βn = (m =,,,...) m dω ω=ω (.74) Από τις σχέσεις (.7-.7) είναι φανερό ότι ο όρος β είναι αντίστροφα ανάλογος της ταχύτητας ομάδας, δηλαδή της ταχύτητας με την οποία κινείται ο παλμός μέσα στην ίνα, ενώ όπως θα δείξουμε και στη συνέχεια ο όρος β είναι υπεύθυνος για την διεύρυνση του παλμού. Αυτοί οι δύο όροι δίδονται από τις σχέσεις: dn n g β = n = = c + ω d (.75) ω c v g 3 dn d n ω d n λ d n β = + ω (.76) c dω dω c dω πc dλ όπου n g σταθερά που ονομάζεται δείκτης ομάδας. Στo σχήμα.6 φαίνεται η μεταβολή των n, n g και β σε συνάρτηση του μήκους κύματος λ. Στα.7 μm υπάρχει μηδενισμός του β, ενώ αυτό γίνεται αρνητικό για μεγαλύτερα μήκη κύματος. Το σημείο αυτό ονομάζεται μήκος κύματος μηδενικής διασποράς λ D. Η ύπαρξη φαινομένων διασποράς στο σημείο εκείνο οφείλεται μονάχα σε όρους τρίτης τάξεως. Το ίδιο σημείο φαίνεται να είναι είναι και σημείο καμπής για την καμπύλη του

22 δείκτη ομάδας. Έτσι, για μήκη κύματος μικρότερα του λ D παρατηρείται μείωση του δείκτη ομάδας, δηλαδή οι φασματικές συνιστώσες μεγαλύτερων μηκών κύματος έχουν μεγαλύτερη ταχύτητα από αυτές των μικρότερων μηκών κύματος. Η περιοχή αυτή ονομάζεται περιοχή ομαλής διασποράς (normal group dispersion). Το αντίθετο συμβαίνει για μήκη κύματος μεγαλύτερα του λ D και η αντίστοιχη περιοχή ονομάζεται περιοχή ανώμαλης διασποράς (anomalous group dispersion). (α) (β) Σχήμα.6 (α) Μεταβολή του δείκτη διάθλασης n και του δείκτη ομάδας n g ως προς το μήκος κύματος και (β) Μεταβολή της σταθεράς β ως προς το μήκος κύματος. Και στις δύο αυτές περιπτώσεις θεωρήσαμε ότι το υλικό της ίνας είναι SiO Εν συνεχεία θα αποδείξουμε ότι στον όρο β οφείλεται η διεύρυνση του οπτικού παλμού λόγω διασποράς, αφού κυματοδηγηθεί σε απόσταση z μέσα στην ίνα. Ας θεωρήσουμε δύο φασματικές συνιστώσες του παλμού, την ω και την ω ώστε να ισχύει ω =ω +Δω. Η σχετική καθυστέρηση μεταξύ αυτών των δύο συνιστωσών συχνοτήτων θα μας δώσει ένα μέτρο διεύρυνσης του οπτικού παλμού. Αυτή η καθυστέρηση είναι: v z z v dβ = z dω dβ dω g ω ω ω ω g (.77) όπου dβ dω ω dβ dω ω d β + dω ω Δω (.78) Αγνοώντας τους όρους ανώτερης τάξης έχουμε :

23 v g z ω v g z ω d β = z dω ω Δω = zβ Δω = Δτ (.79) Ένας διαφορετικός τρόπος υπολογισμού της παλμικής διεύρυνσης βασίζεται στον υπολογισμό του ολοκληρώματος (.7), αφού προηγηθεί αντικατάσταση της σχέσης (.73). Το αποτέλεσμα αυτής της διαδιακασίας είναι: E[ j( Δτ / T)] E(z, t) = / [ + ( Δτ / T) ] / j( Δτ / T)(t z / v exp [T + ( Δτ) ] (t z / v ) g exp [T + ( Δτ) ] g ) exp[j( ω t β z)] (.8) όπου Δτ=β z/t. Ο πρώτος παράγοντας της παραπάνω σχέσης δείχνει ότι υπάρχει μείωση στο πλάτος του οπτικού παλμού λόγω της διασποράς. Ο δεύτερος παράγοντας μας δίδει την περιβάλλουσα του οπτικού σήματος. Φαίνεται ότι το μέγιστο του παλμού διανύει απόσταση z μετά από χρόνο τ = β z, αντιπροσωπεύοντας την καθυστέρηση της g φασματικής συνιστώσας ω να κυματοδηγηθεί στο ίδιο διάστημα. Από τον ίδιο παράγοντα είναι επίσης φανερό ότι το ημίσειο εύρος του παλμού που αντιστοιχεί στο σημείο /e έχει αυξηθεί σε μία νέα τιμή, η οποία είναι: [ T + ( Δτ) ] / T = (.8) Ο τρίτος όρος της σχέσης (.8) δείχνει μια διαμόρφωση συχνότητας, την οποία υφίσταται ο παλμός κατά την κυματοδήγησή του λόγω της διασποράς. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται chirping και θα αναφερθούμε εκτενέστερα σε ακόλουθη παράγραφο. Στον υπολογισμό της διασποράς χρησιμοποιούμε μια ευρέως διαδεδομένη παράμετρο, η οποία ονομάζεται παράμετρος διασποράς (dispersion parameter). Αυτή μας δίδει τη μεταβολή της ταχύτητας ομάδας σε συνάρτηση με το μήκος κύματος: D dβ dλ πc λ λ d n c dλ = = β (.8) Η παράμετρος αυτή χρησιμοποιείται ευρέως στη φωτονική τεχνολογία και χαρακτηρίζει την κάθε οπτική ίνα ως προς τις ιδιότητες της διασποράς της. Το πρόσημό της είναι αντίθετο από αυτό της παραμέτρου β, άρα για την περιοχή ομαλής διασποράς είναι D<, ενώ για την περιοχή ανώμαλης διασποράς ισχύει D> (βλέπε σχήμα.7). Σε επόμενη παράγραφο θα δείξουμε ότι η διασπορά δεν προκαλεί πάντοτε διεύρυνση του οπτικού 3

24 παλμού, αλλά και συμπίεση. Αυτό επιτυγχάνεται με κυματοδήγηση του οπτικού παλμού στην περιοχή ομαλής διασποράς. Σχήμα.7 Μεταβολή της παραμέτρου διασποράς D σε συνάρτηση με το μήκος κύματος για μια μονότροπη ίνα Τέλος υπάρχουν δύο βασικά στοιχεία που θα πρέπει να τονίσουμε στην περίπτωση που αναφερόμαστε σε μια οπτική ίνα.. Το πρώτο είναι η επίδραση του κυματοδηγού στη συνολική διασπορά της. Ενώ στη προηγούμενη μελέτη η σταθερά διάδοσης β προκύπτει από τη σχέση (.7), για την περίπτωση κυματοδήγησης μέσα από μια οπτική ίνα η σταθερά διάδοσης βγαίνει μέσα από την συνθήκη κυματοδήγησης του εκάστοτε ρυθμού. Συνεπώς τα γεωμετρικά της χαρακτηριστικά όπως η σχετική διαφορά Δ των δεικτών διάθλασης του πυρήνα και του μανδύα, καθώς επίσης και η διάμετρος του πυρήνα επιδρούν στη συνολική διασπορά της. Όπως θα δούμε στη συνέχεια μεταβάλλοντας αυτές τις παραμέτρους είναι δυνατό να μετατοπίσουμε το σημείο μηδενισμού του παράγοντα D (ή β ), και συνεπώς να σχεδιάσουμε ίνες με διαφορετικές ιδιότητες διασποράς. Το άλλο στοιχείο είναι η προσθήκη προσμίξεων GeO και P O 5 στον πυρήνα της ίνας. Και πάλι σε αυτή την περίπτωση η παρουσία αυτών των προσμίξεων μπορεί να μετατοπίσει το σημείο μηδενισμού της παραμέτρου της διασποράς στα επιθυμητά επίπεδα. Αναλυτικότερη αναφορά σε αυτά τα δύο στοιχεία, καθώς και στις ίνες μετατοπισμένης διασποράς θα γίνει σε επόμενη παράγραφο. Αρχικά για την ώρα, θα αναφερθούμε στις πολυρυθμικές ίνες για να μελετήσουμε με μια γεωμετρική προσέγγιση, τη διασπορά ρυθμών, ενώ θα ακολουθήσει μια πιο αναλυτική διαδικασία υπολογισμού της διασποράς κυματοδήγησης στη γενικότερη περίπτωση ίνας με βηματικό δείκτη διάθλασης. Τέλος, θα αναφερθούμε πιο εκτεταμένα στην περίπτωση της μονορύθμικής ίνας. 4

25 ..3.3 Πολυρυθμικές Ίνες Σε μια πολυρυθμική ίνα η διεύρυνση ενός παλμού προκύπτει εξαιτίας της διαφοράς που υπάρχει στους χρόνους κυματοδήγησης μεταξύ των ρυθμών. Αυτό έμμεσα προκύπτει από τη διαφορετική σταθερά διάδοσης που αντιστοιχεί σε κάθε ρυθμό και δίδεται από την αντίστοιχη εξίσωση κυματοδήγησης. Αυτός ο μηχανισμός της διασποράς είναι πολύ πιο έντονος συγκριτικά με τη χρωματική διασπορά. Για τον υπολογισμό της μπορούμε να θεωρήσουμε ένα γεωμετρικό μοντέλο, όπου ο κάθε ρυθμός προσεγγίζεται με μία ακτίνα, η οποία διανύει διαφορετικό οπτικό μονοπάτι, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Σχήμα.8. Διάδοση ρυθμών σε μια πολυρυθμική ίνα Ο γρηγορότερος ρυθμός είναι παράλληλος στον οριζόντιο άξονα διάδοσης της ίνας, ενώ ο πιο αργός προσπίπτει σε αυτόν με μια μέγιστη γωνία θ α. Αυτή καθορίζεται από τη σχετική διαφορά των δεικτών διάθλασης. Οι ακτίνες με μεγαλύτερη γωνία πρόσπτωσης δεν μπορούν να κυματοδήγηθούν μέσα στην ίνα. Τα διαφορετικά οπτικά μονοπάτια που διανύει η κάθε ακτίνα φαίνονται στο ίδιο σχήμα. Ο γρηγορότερος ρυθμός έχει μια ελάχιστη καθυστέρηση διάδοσης, η οποία είναι: T dis tance L Ln = = (.83) velocity (c / n ) c MIN = όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης του πυρήνα και c η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Αντίθετα ο πιο αργός ρυθμός διανύει μεγαλύτερο οπτικό μονοπάτι και έχει μια μέγιστη καθυστέρηση, η οποία είναι: L / cosθ Ln TMAX = = (.84) c / n c cosθ Χρησιμοποιόντας το νόμο του Snell στο σύνορο μεταξύ πυρήνα και μανδύα έχουμε: n sin φ = n = cosθ (.85) 5

26 Με αντικατάσταση της παραπάνω σχέσης στην (.84) έχουμε: Ln T MAX = (.86) cn Η σχετική διαφορά στους χρόνους διάδοσης μεταξύ των δύο ρυθμών προκύπτει ότι είναι: δt s = T MAX T MIN Ln = cn Ln cn Ln = cn Ln c Δ με Δ << n n n (.87) Η σταθερά Δ εκφράζει τη σχετική διαφορά στους δείκτες διάθλασης μεταξύ πυρήνα και μανδύα. Μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι συνδέεται με το αριθμητικό άνοιγμα της ίνας σύμφωνα με τη σχέση: NA = n (.88) / (Δ) Άρα με αντικατάσταση στην σχέση (.87) έχουμε: L(NA) δ Ts (.89) n c Για τον υπολογισμό της διεύρυνσης του οπτικού παλμού θα θεωρήσουμε ότι αυτός είναι κανονικοποιημένος, δηλαδή η ενέργειά του ισούται με τη μονάδα: + p in (t)dt = (.9) όπου p(t) η συνάρτηση της ισχύος του. Επιπλέον έχει σταθερό πλάτος /δτ s για το χρονικό διάστημα: δts δts p(t) (.9) Ως μέτρο της χρονικής διεύρυνσης του οπτικού παλμού λόγω διασποράς ρυθμών χρησιμοποιούμε την τυπική απόκλιση σ s, η οποία δίδεται από τη σχέση: 6

27 σ s + + = M M = t p(t)dt tp(t) dt (.9) Στην παραπάνω σχέση η μέση τιμή του παλμού είναι μηδέν, ενώ η δεύτερης τάξης ροπή υπολογίζεται ότι είναι: σ s = δts t dt = δt s s 3 δt / s δt / (.93) Οπότε με αντικατάσταση της σχέσης (.89) στην (.93) έχουμε: Ln Δ L(NA) σ s (.94) 3c 4 3n c Η τελευταία σχέση μας επιτρέπει τον υπολογισμό της χρονικής διεύρυνσης του παλμού σε μια πολύτροπη ίνα θεωρώντας ότι η χρωματική διασπορά είναι αμελητέα. Η παλμική διεύρυνση είναι ανάλογη της κυματοδηγούμενης απόστασης L, καθώς επίσης και της σχετικής διαφοράς Δ του δείκτη διάθλασης μεταξύ πυρήνα και μανδύα. Η τελευταία παρατήρηση μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι για να ελαττώσουμε τη διασπορά κυματοδηγού θα πρέπει να επιλέξουμε τέτοια προφιλ του δείκτη διάθλασης, τα οποία να έχουν πολύ μικρό τον όρο Δ. Τέτοιες ίνες δημιουργούν τις συνθήκες για ασθενή κυματοδήγηση (weakly guiding fibers). Σε περίπτωση που θέλουμε να συμπεριλάβουμε και τη χρωματική διασπορά θα πρέπει να προσθέσουμε και την αντίστοιχη rms τιμή: Ο όρος σ chromatic Tot ( σ + σ ) / chromatic Modal σ = (.95) δεν περιλαμβάνει μόνο την διασπορά υλικού όπως αυτή αναλύθηκε σε προηγούμενη παράγραφο, αλλά επιπλέον και έναν όρο διασποράς κυματοδήγησης, ο οποίος προκύπτει λόγω της σχετικής κατανομής της οπτικής ισχύος του παλμού στις περιοχές του πυρήνα και του μανδύα της ίνας. Για τον υπολογισμό αυτής της διασποράς κυματοδήγησης θα ακολουθήσουμε μια αναλυτική διαδικασία πάνω στο μοντέλο της ίνας με βηματικό δείκτη διάθλασης. Η ίδια ανάλυση καλύπτει και την περίπτωση της πολυρυθμικής διάδοσης, αλλά είναι επίσης σημαντική, διότι μας υπολογίζει τη διασπορά κυματοδηγού και για την περίπτωση μονορυθμικής διάδοσης οπτικού σήματος Διασπορά κυματοδηγού σε ίνες με βηματικό δείκτη διάθλασης Στην παράγραφο αυτή θα υπολογίσουμε τα φαινόμενα διασποράς που προκύπτουν από την κυματοδήγηση του οπτικού πεδίου μέσα σε μια ίνα, καθώς επίσης και από τις ιδιότητες του υλικού. Η αντίστοιχη πληροφορία υπάρχει μέσα στη σταθερά διάδοσης β, η οποία προκύπτει από τη συνθήκη κυματοδήγησης. Στην προκειμένη περίπτωση η 7

28 ταχύτητα ομάδας δε δίδεται από το κλάσμα c/n(ω), αλλά από το αντίστροφο της παραγώγου dβ/dω. Για τον σκοπό αυτό με αναλυτική διαδικασία θα καταλήξουμε σε αντίστοιχες σχέσεις υπολογισμού της. Σε προηγούμενη παράφραφο είχαμε ορίσει την κανονικοποιημένη παράμετρο κυματοδήγησης b, την οποία παραθέτουμε ξανά για ευκολία: β n k w b = = (.96) n k V n k Λύνουμε την παραπάνω εξίσωση ως προς β και παίρνουμε: β = k ( + Δb) / n k + n k b (.97) n Δ Ο πρώτος όρος της παραπάνω σχέσης περιλαμβάνει μόνο την εξάρτηση του υλικού, ενώ ο δεύτερος όρος εισάγει και την επίδραση του κυματοδηγού μέσω της παραμέτρου Δ. Για τον λόγο αυτό είναι σχεδόν αδύνατο να απομονώσουμε πλήρως την επίδραση του υλικού από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της κυματοδήγησης. Αυτό περιλαμβάνει και τα φαινόμενα της διασποράς. Προκειμένου να υπολογίσουμε την πρώτη παράγωγο της σταθεράς διάδοσης β θα εκφράσουμε τον τελεστή d/dω της παραγώγισης σε συνάρτηση της κανονικοποιμένης συχνότητας V = (πa / λ)n Δ χρησιμοποιώντας τη γνωστή σχέση d / dω = ( λ / πc)d / dλ. Οπότε παίρνουμε: λv λ = d c ω π n dn dλ d λ Δ dδ d λ d dv (.98) Ο παραπάνω διαφορικός τελεστής χρησιμοποιείται κατά την παραγώγιση του b σε συνάρτηση του ω. Εν συνεχεία το κλάσμα db/dv μπορεί να γραφεί στη μορφή: db dv d(bv) = b V dv (.99) Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω σχέσεις μπορούμε να υπολογίσουμε το αντίστροφο της ταχύτητας ομάδας, δηλαδή την καθυστέρηση διάδοσης του πεδίου σε μια μοναδιαία απόσταση: t g { n A(V) + n [ A(V) ] + n Δ[ A(V) b } dβ ( λ, V) = g g g ] (.) dω c όπου n g και n g οι δείκτες ομάδος που αντιστοιχούν στον πυρήνα και στο μανδύα της ίνας. Επίσης η συνάρτηση Α(V) δίδεται από τη σχέση: 8

29 d(bv) A (V) + b (.) dv και εκφράζει για την περίπτωση μιας μονορυθμικής διάδοσης, το κλάσμα της οπτικής ισχύος που κυματοδηγείται μέσα στον πυρήνα της ίνας. Από την σχέση (.) είναι φανερό ότι η καθυστέρηση διάδοσης μιας φασματικής συνιστώσας πέρα από την εξαρτησή της από το μήκος κύματος καθορίζεται κυρίως και από ένα σχετικό άθροισμα των καθυστερήσεων στα στρώματα του μανδύα και του πυρήνα. Οι συντελεστές βαρύτητας καθορίζονται από το κλάσμα της οπτικής ισχύος που κυματοδηγείται σε αυτές τις δύο περιοχές. Για μήκη κύματος που βρίσκονται στην περιοχή ομαλής διασποράς η συσσώρευση ισχύος στον πυρήνα της ίνας προκαλεί αύξηση της καθυστέρησης διάδοσης, ενώ το αντίθετο συμβαίνει για μήκη κύματος, τα οποία βρίσκονται στην περιοχή ανώμαλης διασποράς. Σε ότι αφορά μια πολύτροπη ίνα έχουμε ήδη αναφέρει ότι η διασπορά προέρχεται κυρίως από τη σχετική καθυστέρηση στη διάδοση μεταξύ διαφορετικών ρυθμών, ενώ η χρωματική διασπορά είναι αμελητέα. Αγνοώντας έτσι την εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από το μήκος κύματος η σχέση (.) γίνεται: n d(bv) t g = + Δ (.) c dv Στο σχήμα.9 παρουσιάζεται η μεταβολή του κλάσματος d(bv)/dv για διάφορα είδη γραμμικά πολωμένων ρυθμών. Από αυτό είναι φανερό ότι για δεδομένη τιμή του V οι υψηλότερης τάξης ρυθμοί έχουν μεγαλύτερη χρονική καθυστέρηση διάδοσης, άρα και μικρότερη ταχύτητα ομάδας. Για τον υπολογισμό της οπτικής διεύρυνσης παλμού μπορούμε από αυτές τις καμπύλες να υπολογίσουμε για δεδομένη τιμή της παραμέτρου V τη διαφορά στις χρονικές καθυστερήσεις μεταξύ του γρηγορότερου και του πιο αργού ρυθμού. Σχήμα.9 Mεταβολή του κλάσματος d(bv)/dvγια διάφορα είδη LP ρυθμών 9

30 Στην περίπτωση όπου θέλουμε να εισάγουμε και την επίδραση του όρου της χρωματικής διασποράς μπορούμε μετασχηματίζοντας για λόγους απλοποίησης την (.) να πάρουμε μια ανάλογη σχέση: t n gδ d(bv) = ( y / 4) (.3) c dv g + όπου η παράμετρος y εισάγει τον όρο της διασποράς που οφείλεται στο προφίλ των δεικτών διάθλασης του πυρήνα και του μανδύα της ίνας και ορίζεται ως: n y n g λ Δ dδ dλ (.4) Στο σχήμα. παρουσιάζονται τα διαγράμματα των μεγεθών Δ, dδ/dλ και y για ίνα με προσμίξεις GeO στον πυρήνα της. Η τάξη μεγέθους του y είναι περίπου. γεγονός που σημαίνει ότι ελάχιστη διαφοροποίηση από τις καμπύλες του σχήματος.9 θα έχουμε με την προσθήκη της χρωματικής διασποράς. (α) (β) (γ) Σχήμα. Διαγράμματα των μεγεθών Δ, dδ/dλ και y για ίνα με προσμίξεις GeO στον πυρήνα της 3

31 ..3.5 Συνολική διασπορά σε μονότροπες ίνες & κατηγορίες οπτικών ινών Στην προηγούμενη παράγραφο η ανάλυσή μας περιορίστηκε στον υπολογισμό της διασποράς για την περίπτωση διέγερσης πολλαπλών ρυθμών. Στην περίπτωση εκείνη η διεύρυνση του οπτικού παλμού προερχόταν κυρίως από τη διαφορά στις ταχύτητες ομάδας των ρυθμών μεταξύ τους. Ωστόσο, για την περίπτωση της μονορυθμικής διάδοσης η χρωματική διασπορά είναι αυτή που επικρατεί. Επιπλέον μας ενδιαφέρει να εισάγουμε και την επίδραση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών του κυματοδηγού σε μια ανάλογη ανάλυση προσδιορισμού της συνολικής διασποράς της ίνας. Σκοπός είναι να υπολογίσουμε την παράμετρο διασποράς D(λ) για τον βασικό ρυθμό LP και να δουμε την σχετική επίδραση αυτών των χαρακτηριστικών στην διασπορά του υλικού. Αυτή η παράμετρος είναι ανάλογη της δευτέρας παραγώγου της σταθεράς κυματοδήγησης ως προς την κυκλική συχνότητα ω. Άρα με διαδικασία ανάλογη με αυτή που ακολουθήσαμε στην προηγούμενη παράγραφο σε ότι αφορά τη λογική των παραγωγίσεων έχουμε: D( λ ) = D ( λ) + D ( λ) + D ( λ) (.5) m όπου D m, D w και D p αποτελούν αντίστοιχα τις παραμέτρους διασποράς υλικού, κυματοδηγού και προφίλ δείκτη διάθλασης. Τα μεγέθη αυτά δίδονται από τις παρακάτω εξισώσεις: w dng dn g D m ( λ ) = A(V) + [ A(V)] c (.6) dλ dλ p D w n gδ d (bv) ( λ ) = V (.7) n cλ dv n gδ y y d (bv) d(bv) λ = + + b p ( ) V (.8) n cλ 8 dv dv D Τα μεγέθη Α(V) και y έχουν ήδη οριστεί από τις σχέσεις (.) και (.4). Ο πρώτος όρος της διασποράς υλικού συμπεριλαμβάνει την σχετική επίδραση της χρωματικής διασποράς στο κυματοδηγούμενο σήμα τόσο από τον πυρήνα, όσο και από το στρώμα του μανδύα. Το κλάσμα της οπτικής ισχύος σε καθεμία από τις δύο περιοχές καθορίζει τη βαρύτητα αυτής της επίδρασης του υλικού του πυρήνα και του μανδύα σε αυτή την παράμετρο διασποράς. Ο δεύτερος όρος αναφέρεται στη διασπορά κυματοδηγού εξαιτίας της εξάρτησής του από τη δεύτερη παράγωγο του bv ως προς το V και είναι μη μηδενικός ακόμα και αν αγνοήσουμε την διασπορά υλικού. Τέλος, ο τρίτος όρος αποδίδεται στο προφίλ του δείκτη διάθλασης λόγω της εξάρτησής του από το y ή το dδ/dλ. 3