I KURSUS - FLA I OSA - FÜÜSIKA UURIMISMEETOD ENN KIRSMAN
|
|
- Ῥαχήλ Δαμασκηνός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 I KURSUS - FLA I OSA - FÜÜSIKA UURIMISMEETOD ENN KIRSMAN 2014
2 Sisukord Sisukord Sissejuhatus füüsikasse Maailm. Loodus Loodusteadused Vaatleja Füüsikaline tunnetusprotsess Nähtavushorisont Füüsika põhieesmärk ja põhiülesanne Looduse struktuuritasemed Füüsika uurimismeetod Loodusteaduslik meetod Vaatlus ja katse Loodusteaduslik meetodi põhimõisted Teaduslikud käsitlused Füüsikaline suurus. Mõõtmine Otsene ja kaudne mõõtmine Mõõteriistad. Kalibreerimine Metroloogia. Mõõteseadus. Taatlemine Mõõtühikute süsteemid Rahvusvaheline Mõõtühikute Süsteem (SI) Tuletatud ühikud Kordsed ühikud Kordsete ühikute teisendamine Mõõteviga Mõõtemääramatus. Usaldusnivoo A-tüüpi mõõtemääramatuse (juhusliku määramatuse) leidmine. Standardhälve Määramatuse leidmine kaudsel mõõtmisel Mõõtmistulemuste kujutamine graafikul... 14
3 1.1. Sissejuhatus füüsikasse Maailm. Loodus Maailm kõik see, mis ümbritseb konkreetset inimest (meid) samamoodi nagu kõiki teisi inimesi. Maailmapilt teadmiste süsteem, millega inimene tunnetab teda ümbritsevat maailma ja suhtestab end sellega. Loodus inimest ümbritsev ning temast sõltumatult eksisteeriv keskkond, mis koosneb ainest ja väljast. Tehiskeskkond inimest ümbritsev ning tema poolt loodud keskkond. Kultuur tehiskeskkonna vaimne (mentaalne) komponent. (kunst, muusika, kirjandusteosed jne) Loodusnähtus on looduses aset leidev konkreetne sündmus, omadus või protsess, mis väljendab reaalsuse väliskülgi ja/või esitavad mingit olemuse avaldamise ja väljendamise kuju Loodusteadused Loodusteadused teadused, mis annavad loodusnähtustele teaduslikke kirjeldusi ja seletusi ning suudavad pädevalt ennustada uute nähtuste olemasolu. Loodusteadused on geograafia (uurimisobjektiks Maa pind ja sellel toimuvad protsessid), bioloogia (uurimisobjektiks on elusas looduses toimuvad protsessid), keemia (uurimisobjektiks ainete vahelised protsessid) ning füüsika. Füüsika loodusteadus, mis uurib looduse põhivormide liikumist ja looduses eksisteerivaid vastastikmõjusid kasutades selleks täppisteaduslikke (matemaatilisi) meetodeid. Füüsikaline objekt uurija kui subjekti poolt välja mõeldud ese, nähtus või kujutlus, millega ta parajasti tegeleb ning mis suhtestab kontrollitavalt looduses tegelikult eksisteeriva objektiga. Enamasti käsitletakse füüsikaliste objektidena erinevaid esemeid (ainest koosnevaid) kehi, aga ka vastastikmõjusid vahendavaid välju Vaatleja Vaatleja iga inimene, kes kogub infot looduse kohta oma meeleorganite (silmad, kõrvad, nina, keel jne) abil. Kuna iga vaatleja poolt kogutav info on subjektiivne ja unikaalne, on seetõttu igal vaatlejal oma maailm, oma aeg, oma ruum. Vaatleja tunnused vaatleja olulisteks tunnusteks on: vaba tahte olemasolu, aistingute saamise võime, võime salvestada infot ja seda hiljem uuesti kasutada (mälu) ning võime konstrueerida olemasoleva info põhjal mõtteseoseid Füüsikaline tunnetusprotsess (1) Toimub SÜNDMUS - nähtus, mida vaadeldakse - näiteks pannakse makk mängima. (2) Selle tulemusel tekib SIGNAAL - teave, mille mingi infokandja vaatlejani toob - näiteks kõlaritest väljuv helisignaal kannab infot.
4 (3) Signaali levimisel esinevad MOONUTUSED - kõrvalised tegurid, mis signaali muuta võivad näiteks lisanduvad signaali moonutavad helid koera haukumine, puulehtede sahin vms. (4) Signaal jõuab vaatleja RETSEPTORINI - meeleelund, milles leiduvates närvirakkudes signaal närviimpulsi tekitab - kõrv võtab helid vastu. (5) Vaatlejal tekib AISTING - närviimpulsi jõudmine vaatleja ajusse närvisignaal, mis kujutab endast elektriimpulssi, suundub kõrvast ajusse. (6) Aisting põhjustab vaatlejas TAJU - aju töötleb aistingu vaatlejale mõistetavaks - aju töötleb ja talletab saadud õhuvõnkumistest tekkinud infot vaatleja saab aru, et temani on jõudnud muusika. (7) Vaatleja aju kujundab sündmusest temale aru saadava peegelduse KUJUTLUSE mõistust, mälu ja senist kogemust kasutades seostab aju tajutu mälus varem juba talletatuga ja kujundab sündmusest tervikliku pildi näiteks tuttava lauluviisi Nähtavushorisont Nähtavushorisont on piir, milleni vaatlejal (teadlastel) on olemas eksperimentaalselt kontrollitud teadmised füüsikaliste objektide kohta. Eristatakse sisemist- ja välimist nähtavushorisonti. Nende vahele jäävad objektid moodustavad inimkonna (füüsikute) jaoks tuntud maailma. Nähtavushorisontide taha jäävad need objektid, mida pole veel uuritud või mille olemasolust ei olda vajalike vaatlusseadmete puudumise tõttu veel teadlikud. Sisemine nähtavushorisont on piir, millest väiksemate objektide olemasolu pole inimkonnal (füüsikutel) tänapäeval kasutada olevate vahenditega võimalik pädevalt kirjeldada aastal hinnatakse inimkonna sisemiseks nähtavushorisondiks suurusjärku m Välimine nähtavushorisont on piir, millest suuremate objektide olemasolu pole inimkonnal (füüsikutel) tänapäeval kasutada olevate vahenditega võimalik pädevalt kirjeldada aastal hinnatakse inimkonna sisemiseks nähtavushorisondiks suurusjärku m Füüsika põhieesmärk ja põhiülesanne Füüsika ei kirjelda mitte loodust kui objektiivset reaalsust, vaid selle peegeldust (paljude) vaatleja(te ühistes) kujutlustes. Füüsika põhieesmärk on saavutada parem (täpsem) vastavaus looduse kui objektiivse reaalsuse ning seda peegeldavate kompleksete kujutluste (teooriate) vahel. Selleks et üksiku vaatleja kujutlusest tekiks füüsikaline teooria, peavad seda kinnitama piisav hulk usaldusväärseid eksperimentaalseid fakte. Füüsika põhiülesanne on määratleda ja nihutada edasi inimkonna kui terviku nähtavushorisonte Looduse struktuuritasemed Looduse struktuuritasemeteks loetakse kokkuleppeliselt kolme taset: mikro-, makro- ja megamaailma. Makromaailmas kehtivaid füüsikaseadusi saame uurida nägemismeelt kasutades vahetute katsete abil. Erinevate vaatlejate jaoks on makromaailma piirid erinevad, kuid kokkuleppeliselt loetakse makromaailma objektideks neid, mille mõõtmed jäävad m vahele. Enamik meid ümbritsevatest kehadest (kivid, puud, majad, mäed, ookean jne) kuuluvad oma mõõtmete poolest
5 makromaailma. Makromaailmas on valdavaks (tähtsaimaks) vastastikmõju liigiks elektromagnetiline vastastikmõju. Mikromaailma moodustavad inimesest mõõtmete poolest palju väiksemad objektid. Mikromaailma objektide mõõtmed jäävad m vahele. Tüüpilisteks mikromaailma objektideks on aatomid, aatomituumad, prootonid, neutronid, elektronid ja teised elementaarosakesed. Mikromaailmas on valdavateks vastastikmõju liikideks tugev- (objektide vaheline kaugus ca m) ja nõrk (objektide vaheline kaugus <10-18 m) vastastikmõju. Megamaailma moodustavad inimesest mõõtmete poolest palju suuremad objektid. Megamaailma objektide mõõtmed jäävad m vahele. Tüüpilisteks makromaailma objektideks on planeedid, Päikesesüsteem, tähed, galaktikad jne. Megamaailmas on valdavaks vastastikmõju liigiks gravitatsiooniline vastastikmõju. Mikro- ja megamaailma objekte ühendab asjaolu, et nende objektidele pole (enamasti) rakendatavad makromaailmas tuntud füüsikaseadused Füüsika uurimismeetod Loodusteaduslik meetod Meetod on reeglite ning nende rakendamisel kasutatavate võtete kogum, mis võimaldab saavutada teatud eesmärke. Loodusteaduslik meetodi (sageli nimetatud ka teaduslik meetodi) all mõistetakse tavaliselt meetodit, mille tuumaks on vaatluste või mõõtmiste põhjal hüpoteeside püstitamine, nende põhjal ennustuste tegemine ja ennustuste paikapidavuse kontrollimine korratavate katsete teel. Üldisemalt on teaduslik meetod tõsikindlate teadmiste saamise üldine viis, kus tõsikindluse saavutamiseks kasutatakse paljusid tõendamise vahendeid, nii empiirilisi kui teoreetilisi.
6 Vaatlus ja katse Vaatlemine (vasemal pildil) on loodusliku protsessi kohta info kogumine ilma sellesse sekkumata. Katse ehk eksperiment (paremal pildil) on olukord, kus loodusnähtus kutsutakse esile kunstlikult ning protsess toimub kontrollitavates tingimustes. Probleem on teaduslikult sõnastatud küsimus. Probleemi sõnastus tugineb enamasti vaatlustest ja katsetest kogutud infol Loodusteaduslik meetodi põhimõisted Hüpotees on teaduslikult sõnastatud oletus kahe või enama loodusnähtuse omavahelise seose kohta, mille paikapidavust hakatakse uute sihipäraste vaatluste ja/või katsetega kontrollima. Vaatluste ja katsete käigus kogutud matemaatilisel kujul väljendatavatat informatsiooni (vaatlus- ja mõõtmistulemusi) nimetatakse andmeteks. Kogutud andmeid töödeldes (analüüsides) võrreldakse saadud tulemusi ennustustega. Seaduspärasus on kvalitatiivne, vaatluste ja katsetega kinnitust leidnud hüpotees. Enamasti ei nõua sõnastatud seaduspärasus mõõdetavust vaid rõhutab ainult loodusnähtuse erijooni. Loodusseadus on loodusnähtuste kohta kehtiv kvantitatiivne ehk mõõdetav ja arvuliselt matemaatiliste valemite ja/või võrranditega väljendatav üldistus. Postulaat on seni mitte kasutuses olnud lähte-eeldus, mis on kooskõlas vaatlusandmetega, kuid mida olemasolevate teadmiste põhjal ei ole võimalik matemaatiliselt või muud moodi tõestada ning millele tuginedes ehitatakse üles uus teooria. Teooria saab lõpliku tunnustuse, kui sellest lähtunud ennustused on saanud piisavalt eksperimentaalsete faktidega tõestatud. Eksperimentaalne fakt on selline vaatlus- või katsetulemus, mida on saadud korduvalt erinevate uurijate poolt erinevates tingimustes ja paikades üle maailma Teaduslikud käsitlused Loodusteadusliku käsitluse korral kasutatakse eelistatult kvalitatiivseid (mõõtmisi mitte eeldavaid) hinnanguid ning looduse uurimisel liigutakse üksikult üldisele (deduktiivne meetod), alustades kõige lihtsamast olukorrast ning lisades sellele tasapisi keerukust jõutakse loodusnähtuste olemust kirjeldavate peegelpiltide ehk mudeliteni.
7 Täppisteaduslik käsitlus on selline looduse uurimise viis, mille käigus kasutatakse kvantitatiivseid (valemitega esitatavaid) järeldusi, püüdes kõigepealt esitada matemaatilised reeglid ning kohandada neid seejärel konkreetsete probleemide lahendamiseks. See tähendab liigutakse üldiselt üksikule (induktiivne meetod), püüdes esmalt formuleerida loodusseadusi ning alles seejärel neid rakendada. Kuna füüsikalist infot meid ümbritseva looduse kohta saadakse läbi erinevate aistingute, võime öelda, et füüsika on oma olemuselt ka empiiriline ehk kogemuslik teadus Füüsikaline suurus. Mõõtmine Füüsikaline suurus on füüsikalise objekti mingi omaduse kirjeldus, mida on võimalik väljendada arvuliselt. Füüsikalisi suurusi mõõdetakse vaatluste ja katsete käigus. Füüsikaline suurus on paljude vaatlejate ühine kokkuleppeline kujutlus loodusobjekti mudel. Mõõtmine on füüsikalise suuruse võrdlemine suurusega, mis on võetud vastava suuruse etaloniks (mõõtühikuks). Mõõtmise käigus antakse füüsikalisele suuruse väärtusele põhjendatud hinnang. Mõõtesuurus on füüsikalise objekti (nähtus, keha, aine) oluline omadus, mida saab kvalitatiivselt (see tähendab mingisuguste oluliste tunnuste põhjal) eristada ning kvantitatiivselt määrata (see tähendab leida selle arvväärtust). Mõõtmistulemus on mõõtmise teel saadud mõõtesuuruse väärtus. Mõõtmistulemus esitatakse korrutisena, mis koosneb alati kahest osast mõõtarvust (näitab mitu korda erineb mõõdetud suurus etalonist) ja mõõtühikust (vastava mõõtesuuruse etalon, millega mõõdetavat objekti võrreldi). Mõõtühikuteks peavad olema looduses muutumatuna püsivad suurused Otsene ja kaudne mõõtmine Otseseks mõõtmiseks (ülemine pilt) nimetatakse mõõtmist, kus füüsikalist suurust võrreldakse etaloniga (mõõtühikuga) vahetult. Otsese mõõtmise puhul loetakse mõõtmistulemus vastava mõõteriista skaalalt. Kaudseks mõõtmiseks (alumine pilt) nimetatakse mõõtmist, kus mõõdetakse füüsikalise objekti mingeid teisi omadusi kirjeldavaid suurusi ning vajalik suurus arvutatakse nende kaudu Mõõteriistad. Kalibreerimine Nii otsestel kui ka kaudsetel mõõtmistel kasutatakse mõõtevahendeid (mõõteriistu)
8 need on kindlate omadustega tehnilised seadeldised, mida saab kasutada vastavate mõõtmiste sooritamiseks kas eraldiseisvana või koos lisaseadmetega. Mõõteriistade vastavusse viimist ümbritsevast keskkonnast ja mõõtmisprotseduurist tulenevate erisustega, et mõõtarvu sisaldav info (mõõtesignaal) kvaliteetselt registreerida, nimetatakse mõõtevahendi kalibreerimiseks Metroloogia. Mõõteseadus. Taatlemine Loodusteaduslikke mõõtmisi reguleerivat teadusharu nimetatakse metroloogiaks. Igapäevaelus aset leidvaid mõõtmisi reguleerib Riigikogu poolt aastal kehtestatud mõõteseadus, mille kohaselt ebakorrektsete mõõtmiste alusel esitatud pretensioon on olemuslikult õigustühine. Mõõteseadus reguleerib Rahvusvahelisele Mõõtühikute Süsteemile (SI) vastavate ühikute kasutamise Eesti Vabariigis, mõõtmistulemuste jälgitavuse tõendamise põhimõtted, mõõtevahendite kontrolli ja taatlemise ning mõõtmistegevuse riikliku järelevalve korralduse. Taatlemine on protseduur, mille käigus pädev labor kontrollib mõõtevahendi vastavust kehtestatud nõuetele ja märgistab nõuetele vastava mõõtevahendi taatlusmärgisega. Taatlemise eesmärgiks on kaitsta kodanike ja riigi huvisid ebaõigete mõõtmiste kaudu tekkida võivate kahjude eest Mõõtühikute süsteemid Mõõtühikute süsteem on kokku lepitud põhiühikutest ning nendest tuletatud ühikutest moodustatud kogum, mida erinevad mõõtjad saavad teineteisest sõltumatult kasutada. Mõõtühikuid, mille etalonid tulenevad inimesega või loodusega seotud omadustest, nimetatakse loomulikeks mõõtühikuteks. Loomulikud mõõtühikud on näiteks toll, jard, vaks, miil jne. Loomulike ühikutega kasutamisega paratamatult kaasnevat segadust iseloomustab lisatud animafilm (filmi vaatamiseks kasuta juuresolevat QR-koodi). Fundamentaalühikud on üksteisest sõltumatud mõõtühikud, mida saab etalonide abil võimalikult täpselt määrata. Neid on enamasti väga piiratud arv Rahvusvahelises Mõõtühikute Süsteemis (SI) on kokku 7 fundamentaalühikut. nimetatakse mõnikord koos ka põhiühikuteks. SI fundamentaalühikutest definitsioonvalemite abil saadud ühikuid, nimetatakse tuletatud ühikuteks. Fundamentaalühikuid ja nendest tuletatud ühikuid Rahvusvaheline Mõõtühikute Süsteem (SI) Rahvusvaheline Mõõtühikute Süsteem (Systéme International d unités ehk SI) on aastal ülemaailmselt eelistatuks tunnistatud mõõtühikute süsteem, mille fundamentaalühikuteks on 1) pikkusühik meeter (1m), 2) ajaühik sekund (1s), 3) massiühik kilogramm (1kg), 4) voolutugevuse ühik amper (1A), 5) temperatuuri ühik kelvin(i kraad) (1K), 6) valgustugevuse ühik kandela (1cd) ning neile aastal lisatud
9 7) ainehulga ühik mool (1mol). Pikkusühik meeter (1m) defineeriti aastalk kui 10-7 (kümnemiljondik) Pariisi läbiva meridiaani veerandpikkusest see tähendab mõõdeti (hinnati ära) Maa ümbermõõt Pariisi kohal ning jagati see siis neljaga sisuliselt saadi kaugus Pariisi kohal põhjapoolusest ekvaatorini. Tänapäeval kasutatakse meetri etalonina vahemaad, mille läbib valgus vaakumis ( ) -1 ( ) -1 sekundiga. Ajaühik sekund (1s) definitsioon on pärit tõenäoliselt keskajast ja oli algselt võrdne (86 400) -1 osaga (60 s/min x 60 min/h x 24 h/d) ööpäevast, sai sekundi definitsiooniks ( ) -1 osa troopilise aasta pikkusest. Tänapäeval on sekund defineeritud kui ajavahemik, mis võrdub põhikolekus viibiv tseesium-133 aatomi kõige välimise kihi ainsa elektroni ja tuuma vastastikmõjust tingitud kiirguse kordse perioodiga. massiga. Massiühik kilogramm (1kg) on defineeritud kui ühe liitri täiesti puhta 4 C-se vee massile vastava plaatina (90%) ja iriidiumi (10%) sulamist silindri (nn etalonkilogrammi, pildil), mille kõrgus ja läbimõõt on võrdsed 39,17 millimeetriga, Temperatuuri ühik kelvin(i kraad) (1K) on (273,15) -1 vee kolmikpunkti termodünaamilisest temperatuurist. Kolmikpunkt on selline madalaim temperatuur, mille juures aine esineb korraga kõigis kolmes olekus ehk siis temperatuuril 0 C Voolutugevuse ühik amper (1A) on sellise muutumatu elektrivoolu tugevus, mis läbides kaht lõpmatult pikka paralleelset kaduvväikese ringikujulise ristlõikega sirgjuhet, mis paiknevad vaakumis teineteisest ühe meetri kaugusel, tekitab nende juhtmete vahel jõu njuutonit juhtme iga meetripikkuse lõigu kohta. Valgustugevuse ühik kandela (1cd) on kiirgusallikast etteantud suunas kiiratud monokromaatse hertsise kiirgussagedusega ja samas suunas 1/683 vatti steradiaani kohta kiirgustugevust omava kiirguse valgustugevus. Ainehulga ühik mool (1mol) on ainehulk, milles sisaldub Avogadro arv (6, ) loendatavat osakest, mis on sama palju kui aatomeid 0,012 kilogrammis süsiniku isotoobis massiarvuga Tuletatud ühikud Tuletatud ühikud on suuruste vaheliste seoste abil põhiühikuid kasutades saadud ühikud. Tuletatud ühiku seose saamiseks SI ühikutega, tuleb aluseks võtta vastava suuruse definitsioonvalem ning teha selles sisalduvate ühikutega teha sama(d) tehte(d). Näiteks: 1) kiiruse ühiku leidmiseks tuleb kasutada kiiruse definitsioonvalemit v = s/t kus s läbitud teepikkus ja t liikumise aeg kiiruse ühiku leidmiseks tuleb pikkuse ühik (1 meeter) jagada aja ühikuga (1s) kiiruse ühikuks [v] = 1 m/s = 1 ms -1. 2) jõu ühiku leidmiseks kasutame jõu definitsioonvalemit (Newtoni II seadus):
10 F = m v t kus m keha mass, Δv keha kiiruse muutus, Δt kiiruse muutumiseks kulunud aeg [F] = [m] [v] [t] [m] = 1 kg, [v] = 1 m/s = 1 ms -1, [t] = 1s [F] = 1kg 1ms 1 1s = 1kgms 2 = 1N Kui tuletatud ühiku fundamentaalühikuid sisaldav avaldis on piisavalt keeruline (kolm või enam ühikut), antakse ühikule unikaalne nimetus, mis tavaliselt on seotud mõne tuntud teadlase nimega Kordsed ühikud [F] = 1kgms 2 = 1N [E] = 1kgm 2 s 2 = 1J SI on detsimaalne süsteem, kus suuremate ja väiksemate ühikute saamiseks kasutatakse kümnendeesliiteid (kümne astmetega korrutamist). Põhiühikust vastav arv korda erinevaid ühikuid nimetatakse ka kordseteks ühikuteks, neid kasutatakse nii põhi- kui tuletatud ühikute puhul ning neid eristatakse kokkuleppeliste eesliidetega: Eesliide Tähis Kordaja Eesliide Tähis Kordaja jotta Y detsi d 10-1 zetta Z senti c 10-2 eksa E milli m 10-3 peta P mikro µ 10-6 tera T nano n 10-9 giga G 10 9 piko p mega M 10 6 femto f kilo k 10 3 atto a hekto h 10 2 zempto z deka da 10 1 jokto y PÕHIÜHIK Kordsete ühikute teisendamine Kordsete ühikute teisendamisel tuleb jälgida viit üksteisele järgnevat sammu. Olgu soovitud teisenduseks A xü =? yü Kus A mõõtarv (koos kümne astmetega), xü antud ühik: 1 xü = 10 x ü (1ü suuruse põhiühik); yü küsitud ühik: 1 yü = 10 y ü. Teisendamiseks vastame järgmistele küsimustele: 1. Milline on mõõtarv A?
11 2. Mitu korda erineb antud ühik põhiühikust? 10 x 3. Mitu korda erineb küsitud ühik põhiühikust? 10 y 4. Mitu korda erineb küsitud ühik antud ühikust: 10 x 5. Väljendan suuruse küsitud ühikutes:? = A 10x 10 y 10 y Loomulikult võib teisendamiseks kasutada ka mõnd äppi või kalkulaatorit. Ühe paljudest sellistest avad juuresolev QR-kood Mõõteviga Kuna mõõtmine toimub alati olukorras, kus protseduuri mõjutavad alati erinevad segavad tegurid, siis pole paratamatult võimalik saada ühtki absoluutselt täpset mõõtmistulemust. Nii kaasneb iga mõõtmisega alati teatav mõõteviga. See ei tähenda, et me mõõdame valesti lihtsalt ei ole võimalik põhimõtteliselt teha absoluutselt täpseid mõõtmisi. Ainsaks erandiks on loendamine heades vaatlustingimustes. Mõõteveaks nimetatakse mõõteväärtuse ja mõõdetud suuruse tõelise väärtuse vahet. Mida väiksem on mõõteviga, seda täpsem on mõõtmine. Kuna me ei saa põhimõtteliselt kunagi teada mõõdetava suuruse tegelikku väärtust, ei saa me kunagi teada ka tegelikku mõõteviga. Mõõteviga leitakse valemist: δx = x x 0 kus δx mõõteviga, x suuruse tõeline väärtus, x0 mõõdetud väärtus Mõõteveal on kolm võimalikku allikat: (1) mõõteriist skaalast tulenevad (skaala jaotised pole ühtlased, osuti ja skaalakriips on lõpliku paksusega), anduritest tulenevad andurid on muutlikud näit. vedru väsib, temperatuur mõjub; ümardamisest tulenevad - numbrilises riistas toimub näidu ümardamine jpm; (2) mõõtmisprotseduur - lugemisviga (silma järgi skaalajaotise kümnendkohtade hindamine, parallaks - objekti näiv nihe tausta suhtes vaatleja asendi muutumise tõttu), häireviga (välised elektriväljad, vibratsioon, kõrvaline valgus); lähteviga (kui täpselt kasutame arvutustes konstante); metoodiline viga (valitud meetodi ebatäiuslikkus või arvutusvalemi ligikaudsus) jms ning (3) mõõdetav objekt ise - paratamatult muutub ka mõõdetav objekt aja jooksul ise (soojuspaisumine, vee aurustumine või kondenseerumine, jms).
12 Mõõtemääramatus. Usaldusnivoo. Mõõtemääramatus on (väga) paljude mõõtmiste mõõtevigadest statistiliste meetoditega saadud suurus, mis iseloomustab tõenäosuslikult mõõtesuuruse võimalike väärtuste vahemikku. Mõõtemääramatus on alati suurem kui mõõtmisega kaasnev mõõteviga. Seega, võttes arvesse mõõtemääramatust Δx ja mõõdetud väärtust x0, asub mõõdetava suuruse tegelik väärtus x vahemikus ehk x 0 x x x 0 + x x = x 0 ± x Tõenäosust, et ükski mõõteviga ei ületa konkreetset mõõtemääramatuse väärtust, nimetatakse mõõtemääramatuse usaldatavuseks ehk usaldusnivooks. Kui soovime, et usaldusnivoo oleks 100% see tähendab et ühelgi mõõtmisel tehtav viga ei ületaks määrmatust, peame valima mõõtemääramatusele väga suure väärtuse. Tavaliselt esitatakse mõõtmised usaldusnivooga 68,3%. Eriti suurt täpsust nõudvad mõõtmised aga usaldatavusega 95,4% või koguni 99,7%. Kui kordusmõõtmisi tehes saame kogu aeg veidi erinevaid tulemusi, mis varasematega täpselt kokku ei lange, on tegemist A-tüüpi määramatusega ehk juhusliku veaga. Juhusliku vea vähendamiseks tuleb mõõtmisi korrata võimalikult palju kordi. Kui kordusmõõtmised annavad alati sama tulemuse, ei saa määramatust hinnata kordusmõõtmisi tehes. Sellisel juhul on tegemist B-tüüpi määramatusega ehk süstemaatilise veaga. B-tüüpi määramatus saadakse muudest allikatest pärineva info põhjal, näiteks kasutades mõõteriista tootja poolt antud mõõteriista täpsuse hinnangut. Süstemaatilise vea vähendamiseks tuleb kasutada suurema täpsusklassiga mõõteriistu A-tüüpi mõõtemääramatuse (juhusliku määramatuse) leidmine. Standardhälve A-tüüpi mõõtemääramatuse arvutamisel kasutatakse matemaatilise statistika valemeid. (1) Kui sooritatakse kindel arv n mõõtmisi, mõõteväärtustega x1, x2, x3 xn, siis väljendab mõõtmistulemuste aritmeetiline keskmine ehk tõenäoliseim väärtus, väärtust mis vastab kõige paremini mõõdetava suuruse tegelikule väärtusele: x = x 1 + x x n n (2) Mõõtmiste hajuvust iseloomustatakse dispersiooniga: D(x) = (x x 1) 2 + (x x 2 ) (x x N ) 2 n 1
13 (3) Mõõtemääramatus on seotud standardhälbega: σ = D(x) Ehk kokkuvõtvalt ühe valemina: Standardhälve täieliku (esindusliku 1 ) valimi korral: N σ N = 1 N (x i x t ) 2 i=1 kus σn standardhälve, N teostatud mõõtmiste arv, xi katsetes (1, 2, N) mõõdetud suuruse väärtus ja xt mõõdetud suuruse keskväärtus (suuruse tõenäoliseim väärtus) seda valemit saab kasutada olukorras, kui absoluutselt kõik mõõtmistulemused on teada ja ei saa esineda ühtegi teist väärtust juba mõõdetutele lisaks. Standardhälve mittetäieliku valimi korral: σ N = 1 N 1 (x i x t ) 2 kus σn standardhälve, N teostatud mõõtmiste arv, xi katsetes (1, 2, N) mõõdetud suuruse väärtus ja xt mõõdetud suuruse keskväärtus (suuruse tõenäoliseim väärtus) seda valemit saab kasutada olukorras, kui kõik mõõtmistulemused pole teada see tähendab järgnevad mõõtmised võivad lisada mõõtmistulemuste hulka uusi väärtusi. Füüsikas kasutame standardhälbe arvutamiseks just viimast valemit. Standardhälve iseloomustab üksikute mõõteväärtuste juhuslikku hajuvust suuruse keskväärtuse ümber. Kasutades mõõtemääramatusena standardhälbega võrdset väärtust Δx=σ, saame mõõtmiste normaaljaotusele vastavuse korral usaldusnivooks 68,3%, mis tähendab, et keskmiselt igal kahel mõõtmisel kolmest esinev mõõteviga on mõõtemääramatusest väiksem või sellega võrdne. Kui soovime usaldatavust suurendada, tuleb standardhälvet korrutada katteteguriga, mis omakorda sõltub mõõdiste jaotusest ning nõutavast usaldusnivoost. Kui soovime, et mõõtmiste usaldusnivoo oleks 95,4%, tuleb standardhälvet korrutada kahega (Δx=2σ), kui aga enam kui 99,7% usaldatavust, siis kolmega (Δx=3σ). Kui mõõtmisel esineb (ja enamasti esinebki) nii A- (ΔxA) kui B-tüüpi (ΔxB) mõõtemääramatusi, leitakse kogumääramatus (Δx)valemist: N i=1 x = ( x A ) 2 + ( x B ) 2 1 Esinduslik või täielik on selline andmete valim, mille puhul saame olla kindlad, et teame kõiki sellesse kuuluvaid elemente. Näiteks I kursuse lõpuks klassile välja pandud füüsika kontrolltööde hinded moodustavad esindusliku valimi, sest kõigi õpilaste hinded on täpselt teada ning uusi ootamatuid hindeid juurde tulemas ei ole. Kui aga Jukul on üks kontrolltöö (veel) vastamata, on tegemist mittetäieliku valimiga. Samuti on mistahes mõõtmise (erandiks loendamine heades tingimustes) puhul tegu mittetäielike andmetega, sest me ei oska kunagi öelda, millise väärtuse annab järgmine mõõtmine.
14 Määramatuse leidmine kaudsel mõõtmisel Määramatuse leidmiseks kaudsel mõõtmisel: 1. Mõõdetakse otseselt suuruse kaudseks mõõtmiseks (arvutamiseks) vajalikud suurused ning arvutatakse nende tõenäoliste suuruste abil mõõdetava suuruse tõenäoliseim väärtus. 2. Määratakse kindlaks otseselt mõõdetud suuruste määramatused 3. Kaudselt mõõdetava suuruse määramatuse leidmiseks rakendatakse vastava funktsiooni (liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine jne) määramatuse valemit, millega arvutatakse kaudse suuruse määramatus. Näide: (1) Kui a = a0±δa ja b = b0 ± Δb ning c = ab, siis c = c0 ± Δc, kus c0=a0b0 ja Δc=aΔb+bΔa (2) Kui m = m0±δm ja n = n0 ± Δn ning w = m/n, siis w = w0 ± Δw, kus w0=m0/n0 ja Δw=(mΔn+nΔm)/m 2 Mõõtemääramatuste valemid kaudsel mõõtmisel kui otseselt mõõdetud suurused on a = a0±δa ja b = b0 ± Δb Summa c = a + b mõõtemääramatus: c = a + b Vahe c = a - b mõõtemääramatus: c = a + b Korrutise c = ab mõõtemääramatus: c = b a + a b Jagatise c = a/b mõõtemääramatus: Astme c=a n mõõtemääramatus: c = b a + a b b 2 (a n ) = na a n Juure c = a mõõtemääramatus: n ( a) = 1 n a a
15 Mõõtmistulemuste kujutamine graafikul Kui otsitakse seost kahe füüsikalise suuruse vahel, siis nimetatakse suurust, millele antakse vabalt valitud väärtusi vabaks muutujaks ning suurust, mis muutub sõltuvalt vabamuutuja väärtusest seotud muutujaks. Seost vaba- ja seotud muutuja vahel on võimalik väljendada valemina (funktsioonina, võrrandina, võrrandisüsteemina), aga see esitatakse sageli ka graafikuna, milleks on koordinaadistikul funktsionaalset sõltuvust näitav joon, kusjuures kahemõõtmelise arvtasandi korral kantakse (horisontaalsele) abtsiss-teljele kantakse vabamuutuja (x), (vertikaalsele) ordinaatteljele aga seotud muutuja (y). Kuna nii vaba- kui seotud muutujad sisaldavad enamasti mõõtemääramatust, ei kanta mõõtmistulemusi arvteljestikku mitte lihtsalt arvutatud suuruse tõenäoliseimale väärtusele vastava punktina, vaid lisatakse sellele nii vaba- kui seotud muutuja määramatusele vastavad lõigud, moodustades taoliselt määramatuse- ehk vearisti. Vearistiga määratletud (ristkülikukujuline) väli kujutab endast punktide hulka, millest igaüks vastab mõõtmisel esinevat määramatust sisaldavale mõõtmistulemusele. Graafiku joonestamisel ühendatakse sileda joonega (lineaarse sõltuvuse puhul sirgjoonega) mitte mõõdetud suuruste tõenäoliseimad väärtused vaid hoopis vearistid, jälgides, et joon läbiks kõiki veariste ning oleks mõõdetud suuruste tõenäoliseimatele väärtustele võimalikult lähedal. Graafikul (joonisel) on kujutatud seos vabalt valitud ajahetke t, mõõdetuna sekundites mõõtemääramatusega ±0,2s ning objekti kauguse s, mõõdetuna meetrites mõõtemääramatusega ±4m.
16 Graafikult nähtub, et tegemist on (etteantud määramatusele vastava) ühtlase kiirusega liikuva kehaga. Tänapäeval kasutatakse graafikute joonestamisel erinevaid arvutiprogramme (nt Microsoft Excel, Libre Office Calc, Google Spreadheet vms).
Kompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Διαβάστε περισσότεραGeomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Διαβάστε περισσότεραHAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Διαβάστε περισσότερα2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
Διαβάστε περισσότεραITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Διαβάστε περισσότεραLokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Διαβάστε περισσότεραVektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Διαβάστε περισσότεραELEKTRIMÕÕTMISTE TÄIENDKOOLITUS
Meede 1.1 projekt nr 1.0101-0386/IN660 Elektrotehnilise personali täiendkoolitussüsteemi väljaarendamine ELEKTRIMÕÕTMISTE TÄIENDKOOLITUS Täiendkoolituse õppematerjal Koostanud Raivo Teemets Tallinn 2007
Διαβάστε περισσότεραSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti
Διαβάστε περισσότεραFunktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Διαβάστε περισσότεραVeaarvutus ja määramatus
TARTU ÜLIKOOL Tartu Ülikooli Teaduskool Veaarvutus ja määramatus Urmo Visk Tartu 2005 Sisukord 1 Tähistused 2 2 Sissejuhatus 3 3 Viga 4 3.1 Mõõteriistade vead................................... 4 3.2 Tehted
Διαβάστε περισσότεραPlaneedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Διαβάστε περισσότεραRuumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
Διαβάστε περισσότεραPLASTSED DEFORMATSIOONID
PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb
Διαβάστε περισσότεραI tund: Füüsika kui loodusteadus. (Sissejuhatav osa) Eesmärk jõuda füüsikasse läbi isiklike kogemuste. Kuidas kujunes sinu maailmapilt?
I tund: Füüsika kui loodusteadus. (Sissejuhatav osa) Eesmärk jõuda füüsikasse läbi isiklike kogemuste. Kuidas kujunes sinu maailmapilt? (Sündmused tekitavad signaale, mida me oma meeleorganitega aistingutena
Διαβάστε περισσότεραGraafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Διαβάστε περισσότεραHULGATEOORIA ELEMENTE
HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad
Διαβάστε περισσότεραKirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
Διαβάστε περισσότερα9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
Διαβάστε περισσότεραFunktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
Διαβάστε περισσότεραENERGIA- JA GEOTEHNIKA DOKTORIKOOL II
ENERGIA- JA GEOTEHNIKA DOKTORIKOOL II AINEKURSUS MÕÕTMISTE ALUSED Dotsent RAIVO TEEMETS Tallinn 2012 Raivo Teemets 1 SISSEJUHATUS Mõõtmine on rahvusvaheliselt defineeritud kui meetmete kogum, mille eesmärgiks
Διαβάστε περισσότεραFüüsikalise looduskäsitluse alused
Eesti Füüsika Selts Füüsikalise looduskäsitluse alused õpik gümnaasiumile autorid: Indrek Peil ja Kalev Tarkpea Tartu 2012 1 1. Sissejuhatus füüsikasse... 4 1.1. Maailm, loodus ja füüsika... 4 1.1.1. Füüsika
Διαβάστε περισσότεραMÕÕTETEHNIKA ALUSED AAR3450 2,5 AP Eksam
MÕÕTETEHNIKA ALUSED AAR3450 2,5 AP 2-1-0 Eksam 1(10) Tunniplaan iga nädal paaritul nädalal paaris nädalal AAR3450 Esmaspäev 14.00 VII-430 Loeng Rühmad: AAAB51, AAAB52 AAR3450 Teisipäev 12.00 VII-429 Harjutus
Διαβάστε περισσότερα4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].
Διαβάστε περισσότερα7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85
7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat
Διαβάστε περισσότεραAndmeanalüüs molekulaarbioloogias
Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,
Διαβάστε περισσότεραsiis on tegemist sümmeetrilise usaldusvahemikuga. Vasakpoolne usaldusvahemik x i, E x = EX, D x = σ2
Vahemikhinnangud Vahemikhinnangud Olgu α juhusliku suuruse X parameeter ja α = α (x 1,..., x n ) parameetri α hinnang. Kui ε > 0 on kindel suurus, siis vahemiku (α ε, α +ε) otspunktid on samuti juhuslikud
Διαβάστε περισσότεραLOFY Füüsika kui loodusteadus (2 EAP)
LOFY.01.108 Füüsika kui loodusteadus (2 EAP) 1. Sissejuhatus... 1 I. Teoreetilised alused... 4 2. Mõtlemisviisid... 4 3. Teaduslik mõtlemisviis... 5 4. Loodusteadusliku mõtlemisviisi kujundamine... 6 Kirjandus...
Διαβάστε περισσότεραI. Keemiline termodünaamika. II. Keemiline kineetika ja tasakaal
I. Keemiline termdünaamika I. Keemiline termdünaamika 1. Arvutage etüüni tekke-entalpia ΔH f lähtudes ainete põlemisentalpiatest: ΔH c [C(gr)] = -394 kj/ml; ΔH c [H 2 (g)] = -286 kj/ml; ΔH c [C 2 H 2 (g)]
Διαβάστε περισσότεραPõhivara aines LOFY Füüsikaline maailmapilt
Põhivara aines LOFY.01.002 Füüsikaline maailmapilt Maailmapilt on teadmiste süsteem, mille abil inimene tunnetab ümbritsevat maailma ja suhestab end sellega. Kui inimindiviid kasutab iseenda kohta mõistet
Διαβάστε περισσότερα1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
Διαβάστε περισσότεραGÜMNAASIUMI FÜÜSIKA ÕPPEPROTSESSI KIRJELDUS
GÜMNAASIUMI FÜÜSIKA ÕPPEPROTSESSI KIRJELDUS 10. klass I kursus Füüsikalise looduskäsitluse alused, 35 tundi Õppesisu koos soovitusliku Õpitulemused tunnijaotusega 1. Sissejuhatus füüsikasse. (3 tundi)
Διαβάστε περισσότεραPõhivara aines Füüsika ja tehnika
Põhivara aines Füüsika ja tehnika Maailmapilt on maailmavaateliste teadmiste süsteem, mille abil inimene tunnetab ümbritsevat maailma ja suhestab end sellega. Kui inimindiviid kasutab iseenda kohta mõistet
Διαβάστε περισσότεραISS0050 MÕÕTMINE. Teine loeng
ISS0050 MÕÕTMINE Teine loeng Sügis 2016 Martin Jaanus U02-308 martin.jaanus@ttu.ee 620 2110, 56 91 31 93 http://iscx.dcc.ttu.ee/martin Õppetöö : http://iscx.dcc.ttu.ee Teemad Ühikud Kordajad Etalonid Mis
Διαβάστε περισσότεραArvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008
Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub
Διαβάστε περισσότεραPõhivara aines LOFY Füüsika ja tehnika
Põhivara aines LOFY.01.121 Füüsika ja tehnika Maailm on keskkond, mis jääb väljapoole inimese mina-tunnetuse piire. Loodus on inimest ümbritsev ja inimesest sõltumatult eksisteeriv keskkond. Looduses toimuvaid
Διαβάστε περισσότεραPõhivara aines LOFY Füüsika ja tehnika
Põhivara aines LOFY.01.121 Füüsika ja tehnika Maailm on keskkond, mis jääb väljapoole inimese mina-tunnetuse piire. Loodus (lad natura) on inimest ümbritsev ja inimesest sõltumatult eksisteeriv keskkond.
Διαβάστε περισσότερα28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.
8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,
Διαβάστε περισσότεραCompress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013
55 C 35 C A A B C D E F G 50 11 12 11 11 10 11 db kw kw db 2015 811/2013 A A B C D E F G 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline statistika ja modelleerimine
Matemaatiline statistika ja modelleerimine Kirjeldav statistika EMÜ doktorikool DK.7 Tanel Kaart Sagedused ja osakaalud diskreetne tunnus Mittearvuliste või diskreetsete tunnuste (erinevate väärtuste arv
Διαβάστε περισσότερα6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad
6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
Διαβάστε περισσότεραTuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
Διαβάστε περισσότεραSISUKORD 1. SISSEJUHATUS FÜÜSIKASSE 2. FÜÜSIKA UURIMISMEETOD
SISUKORD 1. SISSEJUHATUS FÜÜSIKASSE 1.1. MAAILM, LOODUS JA FÜÜSIKA 8 1.1.1. Füüsika põhikoolis ja gümnaasiumis................... 8 1.1.2. Inimene, maailm ja maailmapilt.................... 10 1.1.3. Loodus
Διαβάστε περισσότεραPunktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist
Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)
Διαβάστε περισσότεραJätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV
U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS
Διαβάστε περισσότεραPeatükk 1 SISSEJUHATUS
Peatükk SISSEJUHATUS Sidesüsteemides ja -seadmetes tehtavad mõõtmised on klassikalise mõõtetehnika rakendamine uues ja kiiresti arenevas valdkonnas, milleks on telekommunikatsioonitehnika. On terve rida
Διαβάστε περισσότεραEnergiabilanss netoenergiavajadus
Energiabilanss netoenergiajadus 1/26 Eelmisel loengul soojuskadude arvutus (võimsus) φ + + + tot = φ φ φ juht v inf φ sv Energia = tunnivõimsuste summa kwh Netoenergiajadus (ruumis), energiakasutus (tehnosüsteemis)
Διαβάστε περισσότεραMatemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35
Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika Permutatsioonid, kombinatsioonid ja variatsioonid. Sündmus. Sündmuste liigid. Klassikaline tõenäosus. Geomeetriline tõenäosus. Sündmuste liigid: sõltuvad ja
Διαβάστε περισσότεραÜHIKANALÜÜS I Õppevahend TÜ teaduskooli õpilastele Tartu 2017
ÜHIKANALÜÜS I Õppevahend TÜ teaduskooli õpilastele Tartu 2017 Koostanud Vladislav Ivaništšev KEEMIA ÜLESANNETE LAHENDAMINE II Me oleme juba kokku puutunud ülesannetea, kus aine valem leiti ideaalaasi võrrandi
Διαβάστε περισσότεραKui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist
KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha
Διαβάστε περισσότεραLOFY Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP)
LOFY.01.087 Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP) Sissejuhatus... 1 1. Füüsika kui loodusteadus... 2 1.1. Loodus... 2 1.2. Füüsika... 3 1.3. Teaduse meetod... 4 2. Universumiõpetus... 7 3. Liikumine
Διαβάστε περισσότεραSmith i diagramm. Peegeldustegur
Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότεραKEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS
KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,
Διαβάστε περισσότερα1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...
Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Διαβάστε περισσότεραEksamite kohta näpunäited tudengile; õppejõududel lugemine keelatud!
Eksamite kohta näpunäited tudengile; õppejõududel lugemine keelatud! Eksam pole mingi loterii keegi pole võitnud isegi raha, autost rääkimata. Ära õpi kõike järjest teadus on piiritu, õpikuid on tuhandeid,
Διαβάστε περισσότεραKEEMIA ÜLESANNETE LAHENDAMINE II
KEEMIA ÜLESANNETE LAHENDAMINE II ÜHIKANALÜÜS II Füüsikalise Suuruse Dimensioon Füüsikalise suuruse dimensioon on avaldis astmes üksikliikme kujul, mis koosneb erinevates astmetes põhisuuruste sümbolite
Διαβάστε περισσότεραKATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010
KTEGOORITEOORI Kevad 2010 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
Διαβάστε περισσότεραVektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise
Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja
Διαβάστε περισσότερα,millest avaldub 21) 23)
II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.
Διαβάστε περισσότερα1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD
1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki
Διαβάστε περισσότερα20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
Διαβάστε περισσότεραSTM A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013
Ι 47 d 11 11 10 kw kw kw d 2015 811/2013 Ι 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi 2010/30/ täiendavates määrustes () nr 811/2013,
Διαβάστε περισσότεραPõhimõisted: loodus, loodusteadus, füüsika, vaatleja, nähtavushorisont, makro-, mikro- ja megamaailm.
FÜÜSIKA ainekava IV kooliaste 10.klass ÕPETAMISE EESMÄRGID Gümnaasiumi füüsikaõppega taotletakse, et õpilane: 1) teadvustab füüsikat kui looduse kõige üldisemaid põhjuslikke seoseid uurivat teadust ja
Διαβάστε περισσότερα1. Soojuskiirguse uurimine infrapunakiirguse sensori abil. 2. Stefan-Boltzmanni seaduse katseline kontroll hõõglambi abil.
LABORATOORNE TÖÖ NR. 1 STEFAN-BOLTZMANNI SEADUS I TÖÖ EESMÄRGID 1. Soojuskiirguse uurimine infrapunakiirguse sensori abil. 2. Stefan-Boltzmanni seaduse katseline kontroll hõõglambi abil. TÖÖVAHENDID Infrapunase
Διαβάστε περισσότερα= 5 + t + 0,1 t 2, x 2
SAATEKS Käesoleva vihikuga lõpeb esimene samm teel füüsikastandardini. Tehtule tagasi vaadates tahaksime jagada oma mõtteid füüsikaõpetajatega, kes seni ilmunud seitsmes vihikus sisalduva õpilasteni viivad.
Διαβάστε περισσότερα1. Õppida tundma kalorimeetriliste mõõtmiste põhimõtteid ja kalorimeetri ehitust.
Kaorimeetriised mõõtmised LABORATOORNE TÖÖ NR. 3 KALORIMEETRILISED MÕÕTMISED TÖÖ EESMÄRGID 1. Õppida tundma aorimeetriiste mõõtmiste põhimõtteid ja aorimeetri ehitust. 2. Määrata jää suamissoojus aorimeetriise
Διαβάστε περισσότεραKATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016
KTEGOORITEOORI Kevad 2016 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
Διαβάστε περισσότερα1 Entroopia ja informatsioon
Kirjadus: T.M. Cover, J.A. Thomas "Elemets of iformatio theory", Wiley, 99 ja 2006. Yeug, Raymod W. "A first course of iformatio theory", Kluwer, 2002. Mackay, D. "Iformatio theory, iferece ad learig algorithms",
Διαβάστε περισσότεραT~oestatavalt korrektne transleerimine
T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:
Διαβάστε περισσότεραKOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36
Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότεραAnalüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets
Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga
Διαβάστε περισσότεραKehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks.
KOOLIFÜÜSIKA: SOOJUS 3 (kaugõppele) 6. FAASISIIRDED Kehade sooendamisel või ahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. Sooendamisel vaaminev
Διαβάστε περισσότεραTTÜ VIRUMAA KOLLEDŽ. Mõõteriistad ja mõõtevahendid:...
TTÜ VIRUMAA KOLLEDŽ Ehitus ja Tootmistehika lektorat Tehilie füüsika Üliõpilae: Õpperühm: Töö r. ja imetus: Ülmõõtmise Tehtu: Arvestatu: Mõõteriista ja mõõtevahei:...... Joois Kruvik: -ka (пята); -seaekaliiber
Διαβάστε περισσότερα2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE
Soojusõpetus 2 1 2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE 2.1. Mõõtmisteooria Füüsikalise suuruse üldise mõiste avab mõõtmisteooria. Mõõtmisteooria loogiline koht on enne füüsikakursust. Probleemide komplitseerituse
Διαβάστε περισσότερα4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.
Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised
Διαβάστε περισσότεραVektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias
ektorid Matemaatikas tähistab vektor vektorruumi elementi. ektorruum ja vektor on defineeritud väga laialt, kuid praktikas võime vektorit ette kujutada kui kindla arvu liikmetega järjestatud arvuhulka.
Διαβάστε περισσότερα4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise
Διαβάστε περισσότεραLexical-Functional Grammar
Lexical-Functional Grammar Süntaksiteooriad ja -mudelid 2005/06 Kaili Müürisep 6. aprill 2006 1 Contents 1 Ülevaade formalismist 1 1.1 Informatsiooni esitus LFG-s..................... 1 1.2 a-struktuur..............................
Διαβάστε περισσότεραTeaduskool. Alalisvooluringid. Koostanud Kaljo Schults
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool Alalisvooluringid Koostanud Kaljo Schults Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi õpilasi, kes on
Διαβάστε περισσότεραKujutise saamine MAGNETRESONANTSTOMOGRAAFIAS (MRT) Magnetic Resonance Imaging - MRI
Kujutise saamine MAGNETRESONANTSTOMOGRAAFIAS (MRT) Magnetic Resonance Imaging - MRI Mait Nigul MRT kool, 2011, ERÜ MRT baseerub füüsikalisel nähtuse tuumamagnetresonants avastasid /kirjeldasid1945 aastal
Διαβάστε περισσότεραMathematica kasutamine
mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab
Διαβάστε περισσότεραMitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:
Διαβάστε περισσότερα2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH
Διαβάστε περισσότεραLisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus
Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus 1. Haljala valla metsa pindala Haljala valla üldpindala oli Maa-Ameti
Διαβάστε περισσότερα1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5
1. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 2013-14. 1 Reaalarvud ja kompleksarvud Sisukord 1 Reaalarvud ja kompleksarvud 1 1.1 Reaalarvud................................... 2 1.2 Kompleksarvud.................................
Διαβάστε περισσότεραs isukord Õpiku lugejale... 7
s isukord Õpiku lugejale... 7 1. SISSEJUHATUS FÜÜSIKASSE 1.1. Füüsika kui loodusteadus...10 Füüsika põhikoolis ja gümnaasiumis... 10 Maailm ja maailmapilt... 12 Loodus ja loodusteadused... 14 Füüsika kui
Διαβάστε περισσότεραHSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G
HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud
Διαβάστε περισσότεραSuhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27
Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid
Διαβάστε περισσότεραFüüsika. I kursus Sissejuhatus füüsikasse. Kulgliikumise kinemaatika. 1. Sissejuhatus füüsikasse. Õppesisu
Füüsika Gümnaasiumi 10. klassi füüsikaõpe koosneb kolmest kursusest Esimese kursuse Füüsikalise looduskäsitluse alused põhifunktsioon on selgitada, mis füüsika on, mida ta suudab ja mille poolest eristub
Διαβάστε περισσότεραSeminar II: Mitmemõõtmeline dispersioonanalüüs (MANOVA)
Kursus: Mitmemõõtmeline statistika Seminar II: Mitmemõõtmeline dispersioonanalüüs (MANOVA) Õppejõud: Katrin Niglas PhD, dotsent informaatika instituut Statistilise olulisustesti põhisammud: E I: Analüüsisin
Διαβάστε περισσότερα2. HULGATEOORIA ELEMENTE
2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.
Διαβάστε περισσότερα