ÜHIKANALÜÜS I Õppevahend TÜ teaduskooli õpilastele Tartu 2017

Transcript

1 ÜHIKANALÜÜS I Õppevahend TÜ teaduskooli õpilastele Tartu 2017

2 Koostanud Vladislav Ivaništšev

3 KEEMIA ÜLESANNETE LAHENDAMINE II Me oleme juba kokku puutunud ülesannetea, kus aine valem leiti ideaalaasi võrrandi või suhtelise tiheduse järi. Seda tüüpi ülesanded kuuluvad arvutusülesannete hulka. Vahest need eeldavad raskete võrrandite lahendamise oskust, seetõttu paistavad olevat lahendamatud. Enamikel juhtudel on lahendus ikkai leidav (ka ilma vastavate teadmisteta). Arvutusülesanded eeldavad füüsika seaduste teadmist ja nendele vastavate võrrandite ja võrratuste ehk matemaatiliste valemite kasutamist. Lihtsaim valem n = m M esineb keemiaülesannetes tõenäolistel kõie tihemini (keskkooli füüsikas kasutakse tihti sarnast valemit ρ = m V ). Harvemini tuleb ette ideaalaasi võrrandit pv = nrt (n =, V m = 22,4 ). V Vm dm 3 Veeli harvemini kohtab keerulisemaid võrrandeid, kusjuures mida kõrem on olümpiaadi tase, seda tihemini neid esineb. ÜHIKANALÜÜS I Ülesanne 1 Süsivesiniku (0,2 mooli) põlemisel tekkis tahm (2,4 ), süsihappeaas (13,44 dm 3, n.t.) ja vesi (14,43 cm 3, 20 C, 0,9982 ). Arvutae süsivesiniku ekulvalem. cm 3 n(c) = 2, n(co 2 ) = 13,44 dm 3 = 0,2 1 22,4 dm 3 = 0,6 n(h 2 O) = 14,43 cm 3 0, = 0,8 1 cm 3 18 N (C) = Valem: C 4 H 8 (0,2 +0,6) 0,2 = 4, N (H) = 0,8 2 0,2 = 8 Õnneks enamuse ülesannetest lahendamise jaoks ei ole tarvis teada kõiki seaduseid ja valemeid. Näiteks 2003 aastal rahvusvahelisel olümpiaadil Ateenas oli pakutud järmine ülesanne. Ülesanne 2 Käesolevas ülesandes kirjeldatud katse laseb määrata ekulide keskmist kiirust (u)aasifaasis lenduva vedeliku kohal. Avatud anum (Petri tass) on poolenisti täidetud etanoolia ja on pandud elektrooniliste kaalude peale oma kaane kõrvale. Ajamomendil t = 0 kaalunäit võrdub nullia. Kaalunäidu muutus ajas on näidatud joonisel. 1

4 Ajamomendil t = 5 min pannakse kaas tassile peale. Vedelik ei aurustu enam, kuid aasiekulid vedeliku kohal rõhuvad vastu kaant seespoolt. See viib kaalunäidu muutusele suuruse δm võrra. Kannele avaldatav jõud on kirjeldav valemia f = δm, kus = 9,8 m. Samuti s 2 seda jõudu võib välja arvutada impulsi tuletise kaudu järmise valemi abil: f = u dm 2 dt Kasutades joonisel antud andmeid määrake etanoli ekulide keskmine kiirus 290 K juures. Jätke meelde, et kõik lahendamiseks vajalikud andmed, sealhulas ka valemid on ülesande tekstis olemas. Neid peab ainult õiesti kasutada. Me näeme kahte võrrandit. Ühendame neid nin väljendame otsitavat kiirust: u = 2δm dt dm Joonise abil leiame väärtused δm ja dm sire tõusunurk 0 kuni 5 minutini. Kaalunäidu erinevus δ dt m tassi sulemise momendil on 0,01. Massi muutumise kiirus ( dm ) etanooli aurumisel on 0,035 min. Asetades kõiki need väärtused võrrandisse, leiame keskmise kiiruse: u = 2 0,01 9,8 m s 2 : 0,035 min min 60 s = 336 m s dt Pole hullu, kui selles selituses on miski jäänud ebaseleks. Alustame järjest meile vajalikest definitsioonidest ja vaatleme lihtsamaid näiteid. Meie lõplik eesmärk on õppida lahendama arvutusülesandeid, millede aluseks on suhteliselt keerulised valemid. Füüsikaline suurus Õppides täppis- ja loodusteaduseid me kohtume suure hulaa füüsikaliseid suuruseid, nau näiteks mass (m ), ruumala (V ) ja tihedus (ρ). 2

5 Tihtipeale need suurused on omavahel seotud või siis teineteisest sõltuvad, mis väljendub valemites, nau näiteks: ρ = m V Füüsikaline suurus on füüsikalise objekti (süsteemi või protsessi) ühe omaduse iselomustus, mis on paljudele füüsikaliste objektidele kvalitatiivselt ühine, kuid kvantitatiivselt individuaalne ia objekti jaoks. Laborinõu näitel see tähendab, et ial kolvil on oma mõõt (kvantitatiivne iseloomustus), ruumala (kvalitatiivne iseloomustus) kindla väärtusea (kvantitatiivne iseloomustus), mis on väljendatud minites ühikutes. Vaadeldud juhul kolb on objekt; ruumala on suurus; mõõt ja tema väärtus on kolvi kvantitatiivsed iseloomused, millede vahel esineb erinevus. Mõõt on see, mis reaalselt eksisteerib vaatamata sellele, kas me teda teame või mitte, värtus on aa mõõdu hinnan, mis on väljendatud sellele omaste ühikute mõnda arvua. Näiteks tärinul on tahu suurus, mille pikkuse (suuruse) väärtus on mõõdetud ja mis võrdub 50 mm või 5,0 cm. Seejuures arvulised väärtused 50 või 5,0 pole ilmtinimata õied mõõtmisvea tõttu ja ei mõjuta teelikut väärtust ea mõõtühiku valikut (mm, cm ja teised)! Definitsiooni järi on füüsikalise suuruse arvväärtus lihtsalt arv, mõõtühik on aa fikseeritud mõõdu füüsikaline suurus, millele on tinlikult omastatud ühea võrdne arvväärtus. Eeldatavalt tähistame füüsikalise suuruse mõõtühikut sama suuruse sümbolia nurksuludes ja suuruse arvväärtust suuruse enda sümbolia looksuludes. Sellisel juhul on ia suuruse Q väärtus võrdne: Q = {Q}[Q] ehk ia füüsikalise suuruse väärtus võib olla väljendatud suuruse arvväärtuse ja sellele suurusele valitud ühiku korrutise kaudu. Kui suurust Q väljendada teise ühiku kaudu [Q '], mis on k korda suurem kui [Q], siis uus arvväärtus {Q '} on k korda väiksem kui {Q}, eks siis füüsikalise suuruse Q väärtus ei sõltu ühikute valikust. 3

6 Näiteks pliiatsi pikkus l on 177 mm. Mõõtes pikkuse ühikut ja üleminnes millimeetritest sentimeetritele saame l = 177 mm = 177 0,1 cm = 17,7 cm. Järelikult füüsikalise suuruse arvväärtus muutub koos mõõtühiku muutmisea. Mõistai tema suurus seejuures ei muutu. Matematilised tehted füüsikaliste suurustea Samalaadseid füüsikalisi väärtuseid võib liita ja lahutada. Seejuures arvulised väärtused liituvad kokku, kuid mõõtühik jääb muutumatuks: {Q} 1 [Q] + {Q} 2 [Q] {Q} 3 [Q] = ({Q} 1 + {Q} 2 {Q} 2 )[Q] = {Q} sum [Q] 10 dm dm 3 20 dm 3 = ( ) dm 3 = 20 dm 3 Ülesanne 3 Süvenemata elektrolüütide lahuste elektrijuhtivuse teooriasse kirjutame vahetusreaktsiooni: HCO O Na + H Cl = HCOOH + Na Cl. Unustades teooria, eeldame lihtsalt, et Λ 0 (HC OONa) + Λ 0 (HCl) = Λ 0 (HCOOH) + Λ 0 (NaCl) Siis Λ 0 (HCOOH) = Λ 0 (HCl)+ Λ 0 (HC OONa) Λ 0 (NaCl) = (90, ,5 109) S cm 2 = 362 S cm 2 Meie õie eeldus tähendas, et lahuses kannavad laenut osakesed Na +, Cl, H + ja HCOO, seea Λ 0 (HCOOH) = Λ 0 (HCOO )+ Λ 0 (H + ) nin eeldatav võrdlus kehtib. Kasutades allpool toodud andmeid arvutae välja metaanhappe piirjuhtivus Λ 0 (HCOOH): Λ 0 (HC OONa) = 90,5 S cm 2, Λ 0 (HCl) = 380,5 S cm 2, Λ 0 (NaCl) = 109 S cm 2. Füüsikalised suurused korrutatakse ja jaatakse teineteisea reelitele vastavalt: m V = Q P = {Q}[Q] {P }[P ] = {Q} {P } [Q] [P ] 19,3 = 19,3 1,00 dm 3 1,00 dm 3 = 19,3 dm 3 Q P = {Q}[Q] {P }[P ] = ({Q}{P }) ([Q][P ]) 4

7 ρv = 19,3 2 dm 3 = (19,3 2) dm 3 dm 3 = 38,6 dm 3 Ülesanne 4 Metaanhape juhtivuse määramiseks kasutati spetsiifilise juhtivuse väärtust κ = 0,00752 S cm. Lahus sisaldas 9,55% massi järi metaanhapet tihedusea ρ = 1,02 juhtivus Λ.. Arvutae välja metaanhappe cm 3 Ülesande tekstis tuuakse suuruste κ, ρ väärtused. Mõõtühikute järi saab järeldada, et on vaja kasutada ruumala ja aarmassi väärtuseid moolide arvu ja juhtivust mõõtühikua S cm 2 on teada eelmisest ülesande punktist) leidmiseks. Selline lähenemine, kus me hindame suuruseid ja nende seoseid, nimetatakse dimensioonide analüüsiks. Nendea me tutvume edaspidi, praeu aa kontrollime, kas kõik mõõtühikud taanduvad: Λ = κv n = κv M = κm S = 0, ,0 ρv ω m ρω m 1,02 0,0955 cm = 3,55 S cm 2 cm 3 (mis Õnnitlen, see oli esimene «tõsine» valem meie teel. Mis puudutab eksponent-, loaritmiliste ja trionomeetriliste funktsioonide arumente, siis peavad olema kas arvud või dimensioonita suuruste väärtused: E e k T, kus E on eneria, k on Boltsmani konstant, T on termodünaamiline temperatuur ln( p p 0 ), kus p on rõhk, p 0 standartne rõhk, võrdne 1bar sin 2π t, kus t on ae, T võnkumise periood T Kõiis nendes näidetes on suuruste korrutis suludes dimensioonita. Füüsikaliste suuruste ühikute süsteemid Füüsikaliste suuruste ühikute süsteem on füüsikaliste suuruste peamiste ja tuletatud ühikute koum, mis on moodustatud vastavalt antud füüsikaliste suuruste süsteemi tavakohastele printsiipidele. Füüsikaliste suuruste süsteem on füüsikaliste suuruste ja nende tuletiste koum, mis on moodustatud vastavalt tavakohastele printsiipidele, kui ühed suurused peetakse sõltumatuteks, teised on aa sõltumatute suuruste funktsioonid. Suuruste süsteemi, millel põhineb rahvusvaheline mõõtühikute süsteem (SI) ja kuhu kuuluvad seitse põhisuurust, nimeks on «suuruste süsteem LMTIΘN J», kus sümbolite tähistus on järmine: L pikkus, M mass, T ae, I elektrivoolu tuevus, Θ temperatuur, N ainehulk, J valustuevus. Tänapäeval kasutatakse kõie tihemini rahvusvahelist mõõtühikute süsteemi (SI), kuii peale seda on olemas 5

8 ka kümneid teisi mõõtühikute süsteeme. See on selitatav väa lihtsalt - rahvusvahelisel mõõtühikute tuevuse ühik, kelvin (K) termodünaamilise temperatuuri ühik, mool () ainehula ühik, kandela (cd) valustuevuse ühik. Rääkides temperatuurist tuleks mainida kolme erinevat temperatuurset skaalat: Celsiuse, Kelvini (termodünaamiline temperatuur) ja Fahrenheiti. Kraadi suurus Celsiuses ja Kelvinis on ühesuune, teiste sõnadea temperatuuri muutus 1 C võrra. Kuid nende skaalade nullväärtused erinevad teineteisest 273,15 võrra. Temperatuuri üleviimine Celsiuse skaalast Kelvini skaalasse tehakse K = C + 273,15 abil. Fahrenheiti skaala erineb Celsiuse skaalast nii nullpunkti, kui ka kraadi suuruse poolest. Nende skaalade nullpunktid erinevad 32 Fahrenheiti skaala kraadi võrra nin Celsiuse ja Fahrenheiti kraadidid on seotud võrdlusea: C = 5 ( F 32). 9 Ülesanne 5 süsteemil on seleid eeliseid kõikide kunai eksisteerivate mõõtühikute süsteemide ees. Tema põhiühikuteks on: meeter (m) pikkuse ühik, kiloramm () massiühik, sekund (s) ajaühik, amper (A) elektrivoolu Kodustes tinimustes kasutatava meditsiinilise termomeetri täpsus on ±0,1 C, samas kui teda kasutab koenud arst, siis tema täpsus võib olla ±0,1 F. Arvutae nende mõlema juhuse jaoks temperatuuri 36,6 C mõõtmise suhteline via. Varsti me veendume SI süsteemi erakordses kasutamise muavuses valemite ja võrrandite jaoks. Praeu tutvume mõninate tuletistea ja süsteemiväliste ühikutea (kõik need ühikud ei kuulu ühtei eksisteeriva süsteemi): kuupmeeter (m 3 ) ruumala ühik njuuton (N) jõu ühik (1 N = 1 m s 2 ) paskal (Pa) rõhu ühik 1Pa = 1 N m 2 džaul (J) eneria ühik (1 J = 1N m = 1 Pa m 3 ) Esimesel juhul on suhteline via 0,1 36,6 = 0,0027, teisel 5 9 0,1 36,6 = 0,0015. kulon (C) elektrilaenu ühik (1 C = 1 A s) volt (V) elektrivälja potentsiaali ühik 1 V = 1 J = 1 N m C A s vatt (W) võimsuse ühik 1 V = 1 J s = 1 N m s onström (Å) pikkusühik (1 Å = m) liiter (l) ruumalaühik (1L = 1 dm 3 ) baar (bar) rõhuühik (1 bar = 10 5 Pa) miljondik osa (ppm) kontsentratsiooni mõõtühik, suhtelist vahekorda iseloomustav ühik (10 6 ) 6

9 Enamus nendest ühikutest kasutatakse koos detsimaaleesliidetea: Eesliited suurusjärk eesliide lühend tera- Т 10 9 ia- G 10 6 mea- М 10 3 kilo- K (k) 10 1 detsi- d 10 2 senti- c 10 3 milli- m 10 9 nano- n piko- p Üleminekuteur näitab, mitu ühe suuruse mõõtühikut vastab teatavale hulale teise suuruse mõõtühikule. Üleminekuteur vastab alati arvule üks, sest ta saadakse vastavuse mõlema poole jaamisel ühea nendest pooltest. 1 km = 1000 m 1 = 1000 m 1 km või 1 = 0,001 km m Üleminekuteur ei muuda suuruse väärtust, ta võimaldab üle minna teadaolevatelt suurustelt otsitavatele suurustele. Ülesanne 6 Katkematu veekiht, mille ruumala on 1,34 miljardit kuupkilomeetrit, moodustab maailmamere. Tema keskmine soolsus on 3,50%, mille alused võib keskmiseks tiheduseks võtta Ühes m 3 tonnis vees on 100 kuni 500 mikrorammi (1 μ = 10 6 või 10 6 μ = 1 ) kulda, mille alusel eeldame, et täpselt ühes merevee tonnis sisaldub keskmiselt 300 μ kulda. 1. Arvutae maailmaookeani mass tonnides. 2. Arvutae maailmaookeanis oleva kulla mass kilorammides. 3. Arvutae, mitu kilorammi kulda saaksime maailmameres ühe inimese kohta, kui Maal elab 6,50 miljardit inimest. Harjutame mõõtühikute ja nende lühendite teisendamist m = 1, km m 1. km 2. m = 1, tonn μ tonn 1030 m tonn = 1, tonn 10 6 μ 1000 = 4,

10 Ühikanalüüs Keemiaülesannetes käsitletakse mõõtühikuid alebraliste suurustena, mida võib üks teisea korrutada ja jaades taandada. Neid arvutusi nimetakse ühikanalüüsiks. Ülevaltoodud näidete lisaks vaatleme veel mõned. Oluline on see, et lõppvõrrandites, mida kasutakse arvutamiseks, etteantud ühikutes muutuvad (korrutamisel ja taandumisel) otsitavateks ühikuteks. Ülesanne 7 Üks tänapäeva intentsiivsemaid arendusteemasid teaduses on suure eneriatihedusea akude konstrueerimine. Kommertsiaalsete akude eneriatihedus on kuni 360 W h dm 3 ja 200 W h dm 3. Õhuhapniku kasutamine oksüdeerijana võimaldaks aku massi tunduvalt alandada. Arvutae milline neist elementidest annaks teoreetiliselt suurima võimsuse i) massi kohta ( W h ) ja ii) ruumala kohta ( W h ). Hapniku massi mitte arvestada. 3 dm 3. m = 4, , = 63,7 Arvutused teha iale elemendile vastava lihtaine 1 mooli kohta, kasutades kõie iseloomulikuma o.a.-a oksüdeerimise saadust. Eeldae, et redutseerijad saab olla kuni pool aku massist. (1 J = 1 W s) Δ f G(Al 2 O 3 ) = 1582 kj Δ f G(Li 2 O) = 561 kj Δ f G(Si O 2 ) = 856 kj ρ Al = 2,70 ρ Li = 0,535 ρ Si = 2,33 (Eeldae, et kou Gibbsi eneriamuut on kasutav elektrilise töö teemiseks) P (Li) = P (Si) = P (Al) = J 1 W 1 s 1 J J 1 W 1 s 1 J J 1 W 1 s 1 J 1 h 3600 s 1 1 h 3600 s 1 h 3600 s 6, , Suurim võimsus massi ühiku kohta ( W h ) on liitium akul. P (Li) = 5610 W h P (Si) = 4230 W h 0,535 1 cm cm 3 1 dm 3 2,33 1 cm cm 3 1 dm 3 cm 3 cm 3 cm 3 0,50 = 5610 W h 0,50 = 4230 W h 1 26, W h 0,50 = = 3000 W h 1 dm = 9860 W h 1 dm 3 8

11 a s t M in Kokkuvõte P (Al) = 4072 W h 2, cm 3 1 cm 3 1 dm = W h 1 dm 3 Suurim võimsus ruumala ühiku kohta ( W h ) on alumiinium akul. 3 dm Autori kommentaar: Selle ülesande eesmärk on arvutada välja kolme kõie potentsiaalsema aku kütuse teoreetilised eneriatiheduse väärtused. Liitiumakud on levinud seetõ u, et neil on suur eneriatihedus massi kohta ja Li Li + + e üleminek toimub keresti. Kuid teoreetilise väärtuseni on veel palju ruumi ja seetõttu jätkub Li-akude arendamine paljudes maailma laborites. Palju odavamad oleksid räni- ja alumiiniumakud, lisaks ka suurema eneriatihedusea ruumala kohta, kuid nende puhul pole veel sobivate lahendusteni jõutud (probleemideks on isetühjenemine, ka laadimine pole efektiivne). Selles kursuse osas me tutvusime paljude definitsioonidea ja vaatlesime arvutusülesannete lahendamist. Kursuse järmises osas jätkame tutvustust arvutusülesannete lahendamise meetoditea (veidi süavam). 9