Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi"

Transcript

1 Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = ning leiame arvu y = 4 + x. Kõigepealt paneme tähele, et = < < 000 = Seega on arv y neljakohaline ning selle esimene number on 1. Ilmne on ka, et arvu y viimane number peab olema 5. Olgu siis y = 1ab5, kus 0 a, b 9. Kirjutame vaadeldava korrutamistehte välja arvude kirjaliku korrutamise algoritmi järgi: 1 a b a b 5 1 a b 5 1 a b Näeme, et summa b + 5 lõpunumber on 4, millest b = 9. Vasakult teise positsiooni põhjal a, sest vasakult esimesse positsiooni ülekannet ei tule ning vasakult kolmandast positsioonist saame b = 9 tõttu ülekandeks vähemalt 1. Kui saaksime sealt ülekandeks rohkem kui 1, peaks vasakult kolmanda positsiooni põhjal olema a 8 vastuolu. Niisiis a = ja y = 195 ning arvu x väärtuseks saame = Vastus: 441 ja 88. Olgu otsitav arv abc, siis ülesande tingimuse kohaselt abc = 3cba + (a + b + c), 1

2 millest järeldub, et 1 c 3. Kirjutades võrrandi kujul 100a + 10b + c = 3(100c + 10b + a) + (a + b + c) ja lihtsustades saame 3a = 100c + 7b. Vaatame nüüd läbi kõik võimalikud arvu c väärtused. 1) Kui c = 1, saame võrratused 100 3a = b 163, millest järeldub, et 4 a 5. Kui a = 4, siis 18 = b, millest b = 4. Kui a = 5, siis 160 = b ning b ei ole täisarv. Üheks sobivaks arvuks saime niisiis 441. ) Kui c =, saame võrratused 00 3a = b 63, millest järeldub, et 7 a 8. Kui a = 7, siis 4 = b ning b pole täisarv. Kui a = 8, siis 56 = b, millest b = 8. Seega teiseks sobivaks arvuks on 88. 3) Kui c = 3, saame 300 3a = b 363, kust a 10, mis arvu numbriks ei sobi. 3. Vastus: B C O A Joonis 1 Kasutame sellist ristkoordinaatide süsteemi, kus ruudu need kaks külge, mis ringjoont puutuvad, paiknevad koordinaattelgedel: siis ring-

3 joone keskpunkt on O(10, 10) (vt. joonist 1). Olgu ruudu küljepikkus a (ilmselt peab olema a > 10) ning olgu ringjoone lõikepunktid ruudu kahe ülejäänud küljega A ja B. Kuna AB on ringjoone diameeter, siis nende külgede ühine otspunkt C(a, a) paikneb ringjoonel. Et CO on ringjoone raadius, saame (a 10) + (a 10) = 10, kust a 10 = 5 ja a = Vastus: Paneme tähele, et kui x on selle võrrandi lahend, siis ka 00 x on lahend. Et lahend oleks üksainus, peab seega olema x = 00 x ehk x = Siis a = = = ( ) + (999 + ) ( + 999) + ( ) = = = Märkus. Veendume (kuigi ülesanne on sõnastatud nii, et seda ei nõuta), et sellise a korral on x = 1001 tõepoolest võrrandi ainus lahend. Olgu y = b selle võrrandi suvaline lahend, siis y 1 + y y 001 = = b b + b + 1 b b = = a = Nüüd piisab tähele panna, et b 0 (kusjuures võrdus kehtib ainult b = 0 korral) ning mistahes k = 1,..., 1000 korral k + b + k b k + b + k b = k + k. 5. Vastus: 4. Uurime, kuidas saavad selles tabelis paikneda arvud 1. Ilmselt saavad arvud 1 olla samas veerus ainult arvudega, 3 ja 4. Kuna arve 1,, 3 ja 4 on tabelis kokku 4 9, siis saavad arvud 1 paikneda ülimalt neljas veerus. Kui kõik arvud 1 on samas veerus, siis on tabeli minimaalne veerusumma 9. Kui arvud 1 on kahes veerus, siis peab ühes neist olema vähemalt 5 arvu 1 ja selle veeru arvude summa on ülimalt = 1. Kui arvud 1 on neljas veerus, siis on neis veergudes olevate arvude summa 9 ( ) = 90 ja minimaalne veeru- 3

4 [ 90 ] summa on seega ülimalt =. Kui arvud 1 on kolmes veerus, on 4 võimalikult suure veerusumma saamiseks otstarbekas paigutada nendega samadesse veergudesse arvud 3 ja 4. Sel juhul kolme veeru arvude summa on 9 (1+3+4) = 7 ja minimaalne veerusumma saab olla ülimalt 4. Näitame nüüd, et leidub tabel, kus minimaalne veerusumma on 4: Seega vähima veerusumma suurim võimalik väärtus on 4. X klass 1. Vastus: n võimalikud väärtused on 4, 5 ja 6. Kumera n-nurga sisenurkade summa on (n ) π. Selle hulknurga 3 π sisenurga suurused on suuremad kui ja kumeruse tõttu väiksemad kui π ; ülejäänud n 3 sisenurga suurused on suuremad kui 0 ja mitte π suuremad kui. Siit saame võrratused (n 3) π π < (n ) π < (n 3) + 3 π, millest arvuga π läbi jagades ja teisendades saame 7 < n < 7 ehk n täisarvulisust arvestades 4 n 6. Jääb üle veenduda, et tõesti leiduvad nelinurk, viisnurk ja kuusnurk, mille sisenurkade hulgas on täpselt kolm nürinurka (vt. joonist ). 4

5 n = 4 n = 5 n = 6. Vastus: n = 5. Joonis Kolme sellise täisarvu summa, mis annavad kolmega jagamisel erinevad jäägid (0, 1 ja ), jagub kolmega. Samuti jagub kolmega mistahes kolme sellise arvu summa, mis annavad kolmega jagamisel kõik ühe ja sama jäägi. Seega juhul, kui n täisarvu seas ei leidu kolme sellist, mille summa jagub kolmega, saab nende arvude kolmega jagamisel esineda ülimalt kaks erinevat jääki ning kumbki neist ülimalt kahel korral, mistõttu neid arve on ülimalt neli. Seega n 5 arvu seast saab kolm arvu, mille summa jagub kolmega, alati leida. Teisalt on lihtne veenduda, et näiteks arvudest 1, 3, 4, 6 ükski kolmik ei anna kolmega jaguvat summat. 3. Vastus: 3π 4. Lahendus 1. Tähistame α = ADC ja β = BDC (vt. joonist 3). Olgu ruudu küljepikkus a, siis kolmnurkadest ADC ja BDC saame tan α = 3a a = 3 ja tan β = a a tan(α + β) = millest ADC + BDC = 3π 4. =. Seega tan α + tan β 1 tan α tan β = = 1, 5

6 D A B C Joonis 3 Lahendus. Olgu E punktiga B sirge CD suhtes sümmeetriline punkt (vt. joonist 4), siis ADC + BDC = ADC + CDE = ADE. Olgu ruudu küljepikkus a. Avaldades AD = a + (3a) = a 10, ED = a + (a) = a 5 ning kasutades koosinusteoreemi kolmnurgas ADE, saame 5a = AE = AD + ED AD ED cos ADE = = 10a + 5a 10a cos ADE, millest cos ADE = ning ADE = 3π 4. D A B C E Joonis 4 Lahendus 3. Täiendame joonist ja valime punktid F ja G nii nagu näidatud joonisel 5. Kuna kolmnurgad BCD ja DGF on kongruentsed ja täisnurksed, siis ( π ) ADF = ADC F DG = ADC DF G = ( π ) = ADC BDC, 6

7 kust ADC + BDC = π + ADF. Et lõigud AF ja DF saadakse teineteisest pöördel täisnurga võrra ümber punkti F, siis kolmnurk AF D on võrdhaarne ja täisnurkne ning ADF = π 4, kust ADC + BDC = 3π 4. D A B C F G Joonis 5 4. Paneme tähele, et mistahes nullist erinevate täisarvude a, b korral 1 a + 1 b = 1 c a + b = 1 ab c ab = (a + b)c ab ac bc = 0 ab ac bc + c = c (a c)(b c) = c. Kui arvud a ja b on positiivsed ja 1 a + 1 b = 1 c, siis 1 a < 1 c ja 1 b < 1 c, mistõttu a > c ja b > c ehk a c > 0 ja b c > 0. Teisest küljest, kui a c > 0 ja b c > 0, siis on ka arvud a ja b positiivsed. Seega (a, b, c) on harmooniline kolmik parajasti siis, kui arvud a c ja b c on positiivsed ning (a c)(b c) = c. Niisiis saame üksühese vastavuse harmooniliste kolmikute (a, b, c) ja positiivsete täisarvude paaride (r, s) vahel, kus rs = c. Arvu c iga positiivne jagaja esineb täpselt ühes niisuguses paaris esimesel kohal. Seega neid paare ning ühtlasi ka harmoonilisi kolmikuid, mille kolmas komponent on c, on niisama palju kui arvu c positiivseid jagajaid. 5. Lahendus 1. Teeme induktsiooni sõnade pikkuse järgi. Olgu u 1 ja u mistahes erinevad ühepikkused sõnad ja eeldame, et kõigi lühemate sõnade paaride korral ülesande väide kehtib. Kuna ühetähelisi sõnu 7

8 on ainult üks, siis u 1 ja u ei ole ühetähelised ning on seega konstrueeritud reegli () põhjal. Niisiis leiduvad mingid sõnad v 1 ja v, nii et u 1 = v 1 v 1 või u 1 = v 1 v 1 ning u = v v või u = v v. Et igal juhul on v 1 kaks korda lühem u 1 -st ja v kaks korda lühem u -st, siis v 1 ja v on ühepikkused. Kui v 1 = v = v, siis sõnadest u 1 ja u peab üks olema vv ja teine vv. Sõnade vv ja vv esimesed pooled langevad kokku, teistes pooltes on aga kõik tähed erinevad, seega need sõnad erinevad teineteisest täpselt poolte tähtede poolest. Edasi vaatleme juhtu, kui v 1 v. Et induktsiooni eelduse kohaselt v 1 ja v erinevad teineteisest täpselt poolte tähtede poolest, siis piisab näidata, et sõnade u 1 ja u teised pooled erinevad teineteisest täpselt poolte tähtede poolest. Kui need teised pooled on v 1 ja v, siis see väide ilmselt kehtib. Samuti on selge, et v 1 ja v erinevad teineteisest poolte tähtede poolest (erinevused on täpselt samades kohtades kus sõnadel v 1 ja v ). Sõnad v 1 ja v aga erinevad teineteisest parajasti nende tähtede poolest, mille poolest v 1 ja v kokku langevad seega ka v 1 ja v erinevad teineteisest poolte tähtede poolest; samuti on ka sõnadega v 1 ja v. Seega erinevad sõnad u 1 ja u igal juhul teineteisest täpselt poolte tähtede poolest. muutu- Lahendus. Seame igale sõnale w vastavusse polünoomi P w jatest x 1, x,... järgmiste reeglitega: P A = 1 (ei sisalda ühtki muutujat); kui P w sisaldab muutujaid x 1,..., x n, siis ja P ww = P w (1 + x n+1 ) P ww = P w (1 x n+1 ). Kui P w avaldises sulud avada, tekib täpselt niipalju liikmeid, kuipalju on sõnas w tähti, sest polünoomis P A on 1 liige ning iga korrutamine kaksliikmega suurendab liikmete arvu kaks korda. Seejuures ühepikkustele sõnadele vastavate (samu muutujaid sisaldavate) polünoomide lahtikirjutused erinevad üksteisest ainult liikmete ees olevate märkide poolest. Induktsiooniga w pikkuse järgi on lihtne veenduda, et need liikmed on võimalik panna niisugusesse järjekorda, et i-nda liikme ees olev märk on + või vastavalt sellele, kas i-s täht sõnas 8

9 w on A või B. Tõepoolest, kui w = A, siis see väide on ilmne. Olgu nüüd w jaoks P w niisugune esitus olemas. Korrutamisel kaksliikmega (1 + x n+1 ) või (1 x n+1 ) korjame järjekorda säilitades ette need liikmed, mis on saadud P w korrutamisel 1-ga, ja nende järele kirjutame samuti järjekorda säilitades need liikmed, mis on saadud P w korrutamisel x n+1 -ga (või x n+1 -ga). Saadud liikmete jadas on i-nda liikme ees märk + parajasti siis, kui sõnas ww (või vastavalt sõnas ww ) on i-ndaks täheks A. Võtame nüüd kaks erinevat ühepikkust sõna u ja v. Eelnenud konstruktsioonist tuleneb muuhulgas, et P u P v. Olgu P u = (1 + ( 1) i1 x 1 )... (1 + ( 1) in x n ), P v = (1 + ( 1) j1 x 1 )... (1 + ( 1) jn x n ). Siis leidub indeks l, nii et i l j l. Võtame α = (( 1) i1, ( 1) i,..., ( 1) in ), siis P u (α) =... = n, aga P v (α) = 0, sest l-nda teguri väärtus on 0. Vaadates neid polünoome lahtikorrutatuna näeme, et polünoomi P u iga liikme (koos märgiga) väärtus väärtustusel α on 1, polünoomi P v liikmetest on aga täpselt poolte väärtus 1 ja poolte väärtus 1. Et P u ja P v erinevad teineteisest ainult liikmete märkide poolest, siis täpselt pooltel liikmetel on polünoomis P v teistsugune märk kui polünoomis P u, mis tähendab eelneva põhjal, et sõnad u ja v erinevad teineteisest täpselt poolte tähtede poolest. XI klass 1. Vastus: Arvu n võimalikud väärtused on n = 3 ja n = 4. Esimesel juhul α = π 6, teisel juhul α = π 5. Ilmselt peab olema n 3, sest muidu ei teki üldse hulknurka. Et nurkade suurused moodustavad aritmeetilise jada, siis vaadeldava hulknurga sisenurkade summa on n (α + nα) = π(n ). 9

10 Avaldades saadud võrdusest α, saame α = π(n ) n(n + 1). Hulknurga kumeruse tõttu nα = π(n ) n + 1 < π (teised nurgad on kõik väiksemad) ehk n 4 < n + 1, millest n < 5. Seega on arvu n võimalikeks väärtusteks n = 3 ja n = 4. Juhul n = 3 saame α = π 3 4 = π π, juhul n = 4 aga α = = π 5.. Olgu D ja B vastavalt vasaku ja parema murru laiendajad liitmisel. Siis E = AD + B C ja F = BD = DB ning kuna F on ülesande tingimuste põhjal nimetajate vähim ühiskordne, siis arvud B ja D on ühistegurita. Ülesande lahendamiseks piisab näidata, et d on arvude B ja D ühine jagaja. Selleks võtame arvu d suvalise algteguri p ja näitame, et arvud B ja D jaguvad arvu p kõigi nende astmetega, millega jagub arv d. Jagugu arv d arvuga p k, k > 0. Siis nii arv E kui ka arv F jaguvad arvuga p k. Oletame vastuväiteliselt, et arv B ei jagu arvuga p k. Võrdusest F = BD saame siis, et arv D jagub arvuga p. Siis jagub ka arv AD arvuga p, mistõttu arv B C = E AD jagub arvuga p. Järelikult kas arv B või arv C jagub arvuga p. Kuna aga arvud B ja D on ühistegurita, siis arv B ei jagu arvuga p. See annab ühelt poolt, et arv C jagub arvuga p, võrduse F = DB abil aga teiselt poolt, et arv D jagub arvuga p k. Nii on arv p arvude C ja D ühine algtegur, mis on vastuolus murru taandatusega. Vastuolu tekkis oletusest, et arv B ei jagu arvuga p k. Analoogiliselt saame vastuolu ka oletusest, et arv D ei jagu arvuga p k. Niisiis jaguvad arvud B ja D arvuga d. 3. Tõmbame küljega BC paralleelse sirge läbi tipu A ja olgu L ja M selle lõikepunktid vastavalt kiirtega BE ja CF (vt. joonist 6). Siis kolmnurgad AEL ja CEB on sarnased ning kolmnurgad AF M ja BF C on sarnased, millest saame vastavalt AE EC = AL AF ja BC F B = AM BC. 10

11 Samuti on sarnased kolmnurgad AOL ja DOB ning AOM ja DOC, mis annab vastavalt AO OD = AL AO ja BD OD = AM. Võrde omaduse DC põhjal AO OD AL + AM AL + AM = = = BD + DC BC = AL BC + AM BC = AE EC + AF F B. C L E A O D F M B Joonis 6 4. Tähistame α = 1 x, siis x = 1 α ja tingimus x + y = annab, et y = 1 + α. Siis x y (x + y ) = (1 α) (1 + α) ((1 α) + (1 + α) ) = = ((1 α)(1 + α)) ( + α ) = = (1 α ) (1 + α ) = (1 α 4 )(1 α ). Et arvude x ja y mittenegatiivsuse tõttu α 1, siis 0 α 1 ja 0 α 4 1, mistõttu 0 1 α 1 ja 0 1 α 4 1 ning (1 α 4 )(1 α ). 5. Vastus: a) 7; b) 1,, 3, 4, 6, 8, 10, 16, 8 ja 3. Olgu vaadeldava trapetsi kõrgus h ning lühema aluse pikkus a (vt. joonist 7). Et trapets koosneb ristkülikust küljepikkustega a ja h ning 11

12 võrdhaarsest täisnurksest kolmnurgast kaatetite pikkusega h, siis selle pikem alus on pikkusega a + h ning aritmeetilise jada summa valemist saame, et selle külgedel ja sisepiirkonnas on kokku N(a, h) = (a+1) + (a+) (a+h+1) = (a+h+)(h+1) täisarvuliste koordinaatidega punkti. a h Joonis 7 a) On ilmne, et kaks vaadeldavat trapetsit on kongruentsed siis ja ainult siis, kui neil on võrdne kõrgus h ja võrdne lühema aluse pikkus a. Seega on vaja leida erinevate paaride (a, h) arv, mille korral N(a, h) = 001. Leiame arvu 001 lahutuse algteguriteks: 001 = ning vaatleme eraldi kahte juhtu. 1) Kui h = k on paarisarv, siis N(a, h) = (a + k + 1) (k + 1), kus k ning a + k + 1 > k + 1 > k + 1. Tegur k + 1 võib seega olla 3, 3 või 9, milles leiame vastavalt a = 665 ja h =, a = 75 ja h = ning a = 54 ja h = 8. ) Kui h = k 1 on paaritu arv, siis N(a, h) = (a + k + 1) k, kus k 1 ning a + k + 1 k + 3. Tegur k võib seega olla 1, 3, 3 või 9, milles leiame vastavalt a = 999 ja h = 1, a = 330 ja h = 5, a = 0 ja h = 45 ning a = 5 ja h = 57. 1

13 Vastavalt eespool tehtud tähelepanekule leidub niisiis 7 paarikaupa mittekongruentset ülesande tingimustele vastavat trapetsit suurusega 001. b) Võttes järjest h = 1,, 3,... leiame trapetsi suuruse sõltuvuse a väärtusest vastava h korral (kui h > 7, siis N(a, h) > 50 mistahes a 1 korral): h N(a, h) 1 a + 3 3a a a a a a + 36 Nüüd on lihtne kontrollida, et täisarvudest 1 kuni 49 ei esitu ühegi leitud valemiga arvud 1,, 3, 4, 6, 8, 10, 16, 8 ja 3. XII klass 1. Vastus: x = y = 0 on ainus lahend. Lahendus 1: Üheks lahendiks on ilmselt x = y = 0. Tõestamaks, et rohkem lahendeid ei ole, paneme tähele, et sin x x, kusjuures võrdus kehtib ainult x = 0 korral. See on ilmne siinusfunktsiooni graafikust (vt. joonist 8), kui arvestada, et sin x 1 ning sin x tuletis kohal x = 0 on cos 0 = 1, s.t. sirge y = x on siinusfunktsiooni graafiku puutujaks kohal x = 0. Niisiis x sin x = y sin y = x, kusjuures vähemalt üks võrratustest on range, kui x ja y ei ole mõlemad võrdsed nulliga. Seega on x = y = 0 süsteemi ainsaks lahendiks. 13

14 y y = x π π π y = sin x π x Joonis 8 Lahendus : Paneme tähele lahendi x = y = 0 olemasolu ning seda, et x = sin y 1. Asendades y = sin x teise võrrandisse saame x = sin sin x. y y = x y = x sin sin x π π π y = sin sin x π x Joonis 9 Olgu f(x) = x sin sin x, siis f (x) = 1 cos sin x cos x. Kuna 1 x 1 ning ka 1 sin x 1, siis vastavad koosinuse väärtused 14

15 sisalduvad lõigul [0, 1], kusjuures need koosinuse väärtused on võrdsed arvuga 1 ainult juhul x = 0. Niisiis f (x) 0 lõigul x [ 1, 1], kusjuures on vaid üks punkt, kus f (x) = 0. Seetõttu on funktsioon f(x) lõigul [ 1, 1] rangelt kasvav, millest järeldub, et x = 0 on funktsiooni f(x) ainus nullkoht sellel lõigul (vt. joonist 9). Seega x = 0 ja y = sin 0 = 0 on süsteemi ainsaks lahendiks.. Vastus: n. Olgu valitud arvud a 1,..., a k ning olgu iga i = 1,..., k korral n i algarvu astendaja arvu a i algteguriteks lahutuses, s.t. a i = ni b i, kus b i on paaritu arv. Et 1 b i n 1, siis on arvude b i jaoks n erinevat võimalust ning k n + 1 korral leiduvad sellised indeksid i ja j, et b i = b j = b ja n i > n j. Siis arv a i = ni b jagub arvuga a j = nj b. Kui k n, siis valides suvalised k arvu alamhulgast { n+1,..., n }, ei jagu ükski neist arvudest ühegi teisega, kuna n < (n + 1). 3. Olgu α = IAE = BAI ja β = DBI = IBA (vt. joonist 10). Siis EIA = BID = α + β (kolmnurga ABI välisnurk). Kasutades siinusteoreemi kolmnurgas AEI ja võrdust r = AI sin α, saame AE sin(α + β) = AI sin AEI = r sin α sin AEI. B β β D I C r E α α A Joonis 10 15

16 Kolmnurgast BDI saame analoogiliselt BD sin(α + β) = BI sin IDB = r sin β sin IDB. Arvestades võrdusi sin AEI = cos β ja sin IDB = cos α saame 1 AE + 1 BD = sin α cos β sin β cos α sin(α + β) + = r sin(α + β) r sin(α + β) r sin(α + β) = 1 r. 4. Kui a =, sobib näiteks p = 11, sest = 11 1 = 047 = Kui a >, siis a 1 > 1 ning seega leidub algarv p, millega arv a 1 jagub. Siis arv a annab arvuga p jagades jäägi 1, mistõttu arv M p = 1 + a + a a p 1 jagub arvuga p (summas on p liidetavat, mis kõik annavad arvuga p jagades jäägi 1). Et p > 1, siis M p 1 + a > p ning M p on seega kordarv. 5. a) Olgu tabeli esimese, teise ja kolmanda rea arvude summad vastavalt r 1, r ja r 3 ning esimese, teise ja kolmanda veeru arvude summad vastavalt v 1, v ja v 3. Olgu a ij tabeli i-nda rea ja j -nda veeru element. Paneme ka tähele, et vastavalt ülesande tingimustele on kõik arvud tabelis mittenegatiivsed. Ilmselt r 1 + r + r 3 = v 1 + v + v 3. Siit a 11 = r 1 v 1 = (r + r 3 ) (v + v 3 ) = (r v ) + (r 3 v 3 ) = = ± r v ± r 3 v 3 = ±a ± a 33. Kuna kõik tabeli arvud on mittenegatiivsed, ei saa siin mõlema arvu ees olla miinusmärk ning seega on arv a 11 tõepoolest võrdne kahe tabelis oleva arvu summa või vahega. Tõestus kõigi ülejäänud arvude jaoks on analoogiline. b) Sobivad näiteks kõik tabelid (ning neist ridade ja veergude ümberpaigutamisel saadavad tabelid) kujul 0 x 0 x 0 x 0 x 0 ja x x x x x x x x x, kus x on positiivne reaalarv. 16

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58

Διαβάστε περισσότερα

Funktsiooni diferentsiaal

Funktsiooni diferentsiaal Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral

Διαβάστε περισσότερα

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna

Διαβάστε περισσότερα

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D

Διαβάστε περισσότερα

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008 Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub

Διαβάστε περισσότερα

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksarvu algebraline kuju

Kompleksarvu algebraline kuju Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetrilised vektorid

Geomeetrilised vektorid Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse

Διαβάστε περισσότερα

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika harjutus

Ehitusmehaanika harjutus Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja

Διαβάστε περισσότερα

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1 laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad

Διαβάστε περισσότερα

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2 PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused

Διαβάστε περισσότερα

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD 1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki

Διαβάστε περισσότερα

9. AM ja FM detektorid

9. AM ja FM detektorid 1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid

Διαβάστε περισσότερα

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1 κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii

Διαβάστε περισσότερα

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a. Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,

Διαβάστε περισσότερα

PLASTSED DEFORMATSIOONID

PLASTSED DEFORMATSIOONID PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks

Διαβάστε περισσότερα

Avaliku võtmega krüptograafia

Avaliku võtmega krüptograafia Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane

Διαβάστε περισσότερα

T~oestatavalt korrektne transleerimine

T~oestatavalt korrektne transleerimine T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:

Διαβάστε περισσότερα

YMM3740 Matemaatilne analüüs II

YMM3740 Matemaatilne analüüs II YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 51. täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte 51. täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte 5 täppisteaduste olümpiaad Füüsika lõppvoor 7 märts 2004 a Põhikooli ülesannete lahendused ülesanne (KLAASTORU) Plaat eraldub torust siis, kui petrooleumisamba rõhk saab võrdseks veesamba

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,

Διαβάστε περισσότερα

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad 6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline

Διαβάστε περισσότερα

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja

Διαβάστε περισσότερα

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS

Διαβάστε περισσότερα

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. VII klass I osa: Lahendamiseks on aega 40 minutit. Sellele lehele kirjuta ainult vastused, lahendamiseks

Διαβάστε περισσότερα

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil. 8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,

Διαβάστε περισσότερα

6 Mitme muutuja funktsioonid

6 Mitme muutuja funktsioonid 6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad

Διαβάστε περισσότερα

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.

Διαβάστε περισσότερα

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi Kontrollijate kommentaarid 2002. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta Kokkuvõtteks Uuendusena oli tänavusel piirkondlikul olümpiaadil 10.-12. klassides senise 5 asemel 6 ülesannet, millest

Διαβάστε περισσότερα

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots TARTU ÜLIKOOL Teaduskool STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi

Διαβάστε περισσότερα

Tuletis ja diferentsiaal

Tuletis ja diferentsiaal Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus Formaalsete keelte teooria Mati Pentus http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/fkt/ 2009 13. november 2009. a. Formaalsete keelte teooria 2 Peatükk 1. Keeled ja grammatikad Definitsioon 1.1. Naturaalarvudeks

Διαβάστε περισσότερα

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat

Διαβάστε περισσότερα

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni

Διαβάστε περισσότερα

Deformeeruva keskkonna dünaamika

Deformeeruva keskkonna dünaamika Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla

Διαβάστε περισσότερα

Sirgete varraste vääne

Sirgete varraste vääne 1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3

Διαβάστε περισσότερα

KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS

KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),

Διαβάστε περισσότερα

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil,

Διαβάστε περισσότερα

Elastsusteooria tasandülesanne

Elastsusteooria tasandülesanne Peatükk 5 Eastsusteooria tasandüesanne 143 5.1. Tasandüesande mõiste 144 5.1 Tasandüesande mõiste Seeks, et iseoomustada pingust või deformatsiooni eastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni

Διαβάστε περισσότερα

Kehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks.

Kehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. KOOLIFÜÜSIKA: SOOJUS 3 (kaugõppele) 6. FAASISIIRDED Kehade sooendamisel või ahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. Sooendamisel vaaminev

Διαβάστε περισσότερα

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha

Διαβάστε περισσότερα

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD 1 Nõudmised krüptoräsidele (Hash-funktsionidele) Krüptoräsiks nimetatakse ühesuunaline funktsioon

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud

Διαβάστε περισσότερα

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27 Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele

MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatikainstituut MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele Tallinn 24 3 MATEMAATILINE ANALÜÜS II

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid

Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid Alustame nüüd Exceli põhiliste töövahenditega - funktsioonidega. Võtame esimesena sihikule Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid. Kuigi kogu

Διαβάστε περισσότερα

1 Entroopia ja informatsioon

1 Entroopia ja informatsioon Kirjadus: T.M. Cover, J.A. Thomas "Elemets of iformatio theory", Wiley, 99 ja 2006. Yeug, Raymod W. "A first course of iformatio theory", Kluwer, 2002. Mackay, D. "Iformatio theory, iferece ad learig algorithms",

Διαβάστε περισσότερα

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a.

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a. Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused oorem rühm (9. ja 0. klass) 6. november 2002. a.. ) 2a + 2 = a 2 2 2) 2a + a 2 2 = 2a 2 ) 2a + I 2 = 2aI 4) 2aI + Cl 2 = 2aCl + I 2 5) 2aCl = 2a + Cl 2 (sulatatud

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

2-, 3- ja 4 - tee ventiilid VZ

2-, 3- ja 4 - tee ventiilid VZ Kirjelus VZ 2 VZ 3 VZ 4 VZ ventiili pakuva kõrgekvaliteeilist ja kulusi kokkuhoivat lahenust kütte- ja/või jahutusvee reguleerimiseks jahutuskassettie (fan-coil), väikeste eelsoojenite ning -jahutite temperatuuri

Διαβάστε περισσότερα

5. OPTIMEERIMISÜLESANDED MAJANDUSES

5. OPTIMEERIMISÜLESANDED MAJANDUSES 5. OPTIMEERIMISÜLESNDED MJNDUSES nts asma Sissejuhatus Majanduses, aga ka mitmete igapäevaste probleemide lahendamisel on piiratud võimalusi arvestades vaja leida võimalikult kasulik toimimisviis. Ettevõtete,

Διαβάστε περισσότερα

Keerukusteooria elemente

Keerukusteooria elemente Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria

Διαβάστε περισσότερα

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Antud: Õhuke raudbetoonist gravitatsioontugisein maapinna kõrguste vahega h = 4,5 m ja taldmiku sügavusega d = 1,5 m. Maapinnal tugiseina

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus

Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus Eesti koolinoorte 6. füüsika lahtine võistlus 8. november 05. a. Vanema rühma ülesannete lahendused. (RONGIVILE) Tähistagu L veduri kaugust jaamaülemast hetkel, mil vedurijuht alustab vile laskmisega.

Διαβάστε περισσότερα

Smith i diagramm. Peegeldustegur

Smith i diagramm. Peegeldustegur Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes

Διαβάστε περισσότερα

Programmeerimise eksamiülesannete kogu

Programmeerimise eksamiülesannete kogu TARTU ÜLIKOOL ARVUTITEADUSE INSTITUUT Programmeerimise eksamiülesannete kogu Helle Hein Jüri Kiho Reimo Palm Eno Tõnisson Tartu 2007 Käesoleva õppevahendi väljaandmist on toetanud Eesti Infotehnoloogia

Διαβάστε περισσότερα

RF võimendite parameetrid

RF võimendite parameetrid RF võimendite parameetrid Raadiosageduslike võimendite võimendavaks elemendiks kasutatakse põhiliselt bipolaarvõi väljatransistori. Paraku on transistori võimendus sagedusest sõltuv, transistor on mittelineaarne

Διαβάστε περισσότερα

Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp

Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp http://www.staff.ttu.ee/ puusemp/ Sellel kodulehe aadressil asub alajaotuse Diskreetne matemaatika all elektrooniline õpik ja ülesannete

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35

Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35 Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika Permutatsioonid, kombinatsioonid ja variatsioonid. Sündmus. Sündmuste liigid. Klassikaline tõenäosus. Geomeetriline tõenäosus. Sündmuste liigid: sõltuvad ja

Διαβάστε περισσότερα

3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA

3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA3 (kaugõppele) 3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA 3. Impulss Impulss, impulsi jääus Impulss on ektor, mis on õrdne keha massi ja tema kiiruse korrutisega p r r = m. Mehaanikas nimetatakse

Διαβάστε περισσότερα

Ivar Tammeraid itammeraid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I. Elektrooniline õppevahend

Ivar Tammeraid  itammeraid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I. Elektrooniline õppevahend TTÜ Mtemtikinstituut http://www.stff.ttu.ee/ mth/ Ivr Tmmerid http://www.stff.ttu.ee/ itmmerid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I Elektrooniline õppevhend Tllinn, Trükitud versioon: Ivr Tmmerid, Mtemtiline nlüüs

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus. Kinemaatika

Sissejuhatus. Kinemaatika Sissejuhatus Enamuse füüsika ülesannete lahendamine taandub tegelikult suhteliselt äikese hulga ideede rakendamisele (öeldu kehtib ka teiste aldkondade, näiteks matemaatika kohta). Seega on aja õppida

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2008/2009 õ.a. keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesannete lahendused 9. klass

( ) ( ) 2008/2009 õ.a. keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesannete lahendused 9. klass 008/009 õ.a. keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesannete lahendused 9. klass. a) ρ ( A ) = 5,5 ρ( ) ( A ) = ( A ) = 5,5 ( ) = 5,5 g/mol = 7g/mol ( A) = = A, kloor / V 5,5 / V m m r 7/ 5,5 b) X Fe, raud A, kloor

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

STM A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013

STM A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013 Ι 47 d 11 11 10 kw kw kw d 2015 811/2013 Ι 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi 2010/30/ täiendavates määrustes () nr 811/2013,

Διαβάστε περισσότερα

8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm.

8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm. TTÜ EHHATROONIKAINSTITUUT HE00 - ASINATEHNIKA -, 5AP/ECTS 5 - -0-- E, S 8. KEEVISLIITED NÄIDE δ > 4δ δ b k See 8.. Kattekeevisiide Arvutada kahepoone otsõmbus teraspaatide (S5JG) ühendamiseks. 40 kn; δ

Διαβάστε περισσότερα

Staatika ja kinemaatika

Staatika ja kinemaatika Staatika ja kinemaatika MHD0071 I. Staatika Leo eder Mehhatroonikainstituut Mehaanikateaduskond allinna ehnikaülikool 2016 Sisukord I Staatika 1. Sissejuhatus. 2. Newtoni seadused. 3. Jõud. 4. ehted vektoritega.

Διαβάστε περισσότερα

IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel

IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel Allar Veelmaa, Loo Keskkool Gümnaasiumi riiklik õppekava 1 (edaspidi GRÕK) järgi võib õpilane valida kitsa ja laia matemaatikakursuse

Διαβάστε περισσότερα

Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid

Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.1.15 Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid Mathcad töötab üldjoontes sarnaselt teistele Windowsi programmidele. Sellegipoolest on palju pisikesi nüansse,

Διαβάστε περισσότερα

FÜÜSIKALISED SUURUSED, NENDE MÕÕTMINE JA MÕÕTEMÄÄRAMATUS Lühikokkuvõte

FÜÜSIKALISED SUURUSED, NENDE MÕÕTMINE JA MÕÕTEMÄÄRAMATUS Lühikokkuvõte 0 Taia Tehikaüikoo Füüsikaistituut Marek Viiuu FÜÜSIKLISED SRSED, NENDE MÕÕTMINE J MÕÕTEMÄÄRMTS Lühikokkuvõte Mõõtiseks ietatakse atud füüsikaise suuruse x võrdeist teise saa iiki suurusega, is o võetud

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu 5. a. kevadsemester . Kahe ja kolme muutuja funktsiooni määramispiirkond, selle raja, kinnisus ja lahtisus. Olgu X ja Y hulgad. Kujutus e. funktsioon

Διαβάστε περισσότερα

KEEMIA ÜLESANNETE LAHENDAMINE II

KEEMIA ÜLESANNETE LAHENDAMINE II KEEMIA ÜLESANNETE LAHENDAMINE II ÜHIKANALÜÜS II Füüsikalise Suuruse Dimensioon Füüsikalise suuruse dimensioon on avaldis astmes üksikliikme kujul, mis koosneb erinevates astmetes põhisuuruste sümbolite

Διαβάστε περισσότερα

SORTEERIMINE JA FILTREERIMINE

SORTEERIMINE JA FILTREERIMINE Praktikum 3 Tänase praktikumi teema on andmetabelite filtreerimine ja kokkuvõtvate tabelite loomine, juttu tulebka mõningatest pisut nutikamatest funktsioonidest keskmiste ja vaatluste arvu arvutamisel.

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu

Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu TARTU ÜLIKOOL ARVUTITEADUSE INSTITUUT Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu Versioon 1.0 5. juuli 2016. a. 17:06 Koostajad: Ahti Peder Jüri Kiho Härmel Nestra Tartu 2016 Käesoleva õppevahendi

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Jõud ja pinged 2-2

2.1. Jõud ja pinged 2-2 1 Peatükk 2 Pinge 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.2 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 28 Sisukord 1 Pinuautomaadid 2 KV keeled ja pinuautomaadid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee

Διαβάστε περισσότερα

5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE

5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE TTÜ EHHTROONKNSTTUUT HE00 - SNTEHNK.5P/ETS 5 - -0-- E, S 5. TUGEVUSRVUTUSE PNELE Staatika üesandes (Toereaktsioonide eidmine) vaadatud näidete ause koostada taade sisejõuepüürid (põikjõud ja paindemoment)

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus

Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus 28. november 2015. a. Noorema rühma ülesannete lahendused 1. (KLAAS VEEGA) Võtame klaasi põhja pindalaks S = π ( d tiheduseks ρ. Klaasile mõjuvad jõud: raskusjõud

Διαβάστε περισσότερα

PEATÜKK 5 LUMEKOORMUS KATUSEL. 5.1 Koormuse iseloom. 5.2 Koormuse paiknemine

PEATÜKK 5 LUMEKOORMUS KATUSEL. 5.1 Koormuse iseloom. 5.2 Koormuse paiknemine PEATÜKK 5 LUMEKOORMUS KATUSEL 5.1 Koormuse iseloom (1) P Projekt peab arvestama asjaolu, et lumi võib katustele sadestuda paljude erinevate mudelite kohaselt. (2) Erinevate mudelite rakendumise põhjuseks

Διαβάστε περισσότερα

4. KEHADE VASTASTIKMÕJUD. JÕUD

4. KEHADE VASTASTIKMÕJUD. JÕUD 4. KEHADE VASTASTIKMÕJUD. JÕUD Arvatavasti oled sa oma elus kogenud, et kõik mõjud on vastastikused. Teiste sõnadega: igale mõjule on olemas vastumõju. Ega füüsikaski teisiti ole. Füüsikas on kehade vastastikuse

Διαβάστε περισσότερα

Kosmoloogia Lühikonspekt

Kosmoloogia Lühikonspekt Tallinna Ülikool Loodus- ja terviseteaduste instituut Kosmoloogia Lühikonspekt Liisi Räim, Romi Mankin, Tõnu Laas 016 1 Sisukord 1 Sissejuhatus...4 1.1 Mis on kosmoloogia? Kosmoloogia ajaloost kuni Newtonini...

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Astronoomia termineid (mis ei tarvitse tuttavad olla)

Astronoomia termineid (mis ei tarvitse tuttavad olla) Astronoomia termineid (mis ei tarvitse tuttavad olla) aastaparallaks Maa orbiidi raadiuse pikkusele nihkele vastav vaatesuuna muutus. Ehk teiste sõnadega: nurk, mille all paistab Maa orbiidi raadius vaadeldavalt

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 22 Φεβρουαρίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

TELERI JA KODUKINO OSTJA ABC EHK MIDA VÕIKS TEADA ENNE OSTMA MINEKUT. Lugemist neile, kes soovivad enamat kui telerit toanurgas

TELERI JA KODUKINO OSTJA ABC EHK MIDA VÕIKS TEADA ENNE OSTMA MINEKUT. Lugemist neile, kes soovivad enamat kui telerit toanurgas TELERI JA KODUKINO OSTJA ABC EHK MIDA VÕIKS TEADA ENNE OSTMA MINEKUT Lugemist neile, kes soovivad enamat kui telerit toanurgas 2 Eessõna Kõik sai alguse sellest, et erinevates foorumites küsivad inimesed

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRIMÕÕTMISTE TÄIENDKOOLITUS

ELEKTRIMÕÕTMISTE TÄIENDKOOLITUS Meede 1.1 projekt nr 1.0101-0386/IN660 Elektrotehnilise personali täiendkoolitussüsteemi väljaarendamine ELEKTRIMÕÕTMISTE TÄIENDKOOLITUS Täiendkoolituse õppematerjal Koostanud Raivo Teemets Tallinn 2007

Διαβάστε περισσότερα

MateMaatika õhtuõpik

MateMaatika õhtuõpik Matemaatika õhtuõpik 1 2 Matemaatika õhtuõpik 3 Alates 31. märtsist 2014 on raamatu elektrooniline versioon tasuta kättesaadav aadressilt 6htu6pik.ut.ee CC litsentsi alusel (Autorile viitamine + Mitteäriline

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις στα ϑέµατα

Παρατηρήσεις στα ϑέµατα Παρατηρήσεις στα ϑέµατα του διαγωνισµού ΘΑΛΗΣ 2013 της Ε.Μ.Ε. Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειραµατικό Γ.Ε.Λ. Βαρβακείου Σχολής 20 Οκτωβρίου 2013 1 Γενικές Παρατηρήσεις Οι απόψεις των παιδιών Τα ϑέµατα, ιδίως

Διαβάστε περισσότερα