Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist
|
|
- Παύλος Βυζάντιος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Loeng 2
2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist
3 P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x) Q(x) P(x) Q(x) = t} = = {x x T P x T Q x M n \T P x M n \T Q } = = {x x T P T Q x M n \ T P T Q } = = {x x (T P T Q ) (T P T Q ) } = = (T P T Q ) (T P T Q ) = = M n \ (T p T Q ) = = (T p T Q )
4 Kvantorite definitsioonid Olgu P x 1,, x n hulgal M defineeritud n-kohaline predikaat. Siis iga i n puhul tähistavad x i P x 1,, x n ja x i P x 1,, x n järgmisi (n-1)-kohalisi predikaate: x i P x 1,, x n t, kui x 1,, x i 1, x i+1,, x n on sellised, et = iga x i εm korral P x 1,, x n = t v vastasel juhul x i P x 1,, x n t, kui x 1,, x i 1, x i+1,, x n on sellised, et = leidub x i εm, mille puhul P x 1,, x n = t v vastasel juhul
5 3. Esimest järku keeled
6 Esimest järku keeled on lihtsaim keelte kategooria, milles saab juba üles kirjutada mõnede matemaatikavaldkondade väiteid (aritmeetika (arvuteooria), algebralised süsteemid, väited konkreetsete funktsioonide kohta). Fikseerimata funktsioonide, alamhulkade, predikaatide jne kirjeldamiseks on aga vaja teist järku objekte funktsionaal- ja predikaatmuutujaid.
7 Signatuur Esimest järku keele signatuur on kolmik < C, F, P >, kus C on konstantsümbolite hulk, F on funktsionaalsümbolite hulk ja P predikaatsümbolite hulk. Signatuuris peab hulk P olema mittetühi.
8 Signatuuride näiteid Naturaalarvude aritmeetikat pannakse kirja signatuurides < 0;, +, ; =>, < 0, 1; +, ; =>, < 0, 1, 2,, 2016, ; +, ; => -, :, võrratuse märgid jms väljendatakse signatuuri kaudu Rühmateooriat saab kirja panna signatuuris < e; ; => või < e;, 1 ; => Vektorruumide teooriast saab väikese osa kirja panna keeles, kus on muutujad vektorite jaoks, konstantsümbolid nullvektori ja ühikvektorite jaoks, funktsionaalsümbol liitmise jaoks. Kõigi aksioomide esitamiseks on vaja kahesordilist keelt, kus on kahte sorti muutujad (vektorid ja skalaarid), skalaaridel liitmistehe ja korrutamistehe, vektoritel liitmistehe.
9 I järku keele tähestik 1. Indiviidmuutujad, 2. Signatuur < C, F, P >, 3. Loogikasümbolid, &,,, ~,, 4. Kirjavahemärgid ( ),
10 Term Term on avaldis, mille väärtuseks on indiviidide piirkonna element. Defineeritakse antud signatuuri jaoks, induktsiooniga: 1. Iga indiviidmuutuja on σ term 2. Iga signatuuri σ konstantsümbol on σ term 3. Kui f on signatuuri σ n-kohaline funktsionaalsümbol ja t 1,, t n on σ termid, siis f(t 1,, t n ) on σ term. Kui funktsionaalsümbolite hulk on tühi, siis on ainsateks termideks konstantsümbolid ja muutujad. On võimalik, et signatuuris pole konstantsümboleid ega funktsionaalsümboleid.
11 Valem Valem signatuuris defineeritakse induktsiooniga: 1. Kui P on signatuuri σ n-kohaline predikaatsümbol ja t 1,, t n on termid, siis P(t 1,, t n ) on σ valem. 2. Kui A on σ valem, siis A on σ valem. 3. Kui A ja B on σ valemid, siis (A&B), (A B), (A B), (A~B) on σ valemid. 4. Kui A on σ valem ja x on indiviidmuutuja, siis xa ja xa on σ valemid. Definitsiooni esimese punkti järgi saadud valemeid nimetatakse ka atomaarseteks ehk elementaarvalemiteks. Signatuuri predikaatsümbolite hulk peab olema mittetühi, sest vastasel korral ei saaks moodustada ühtegi valemit ja ei saaks väljendada väiteid Kvantori võib kirjutada ka siis, muutuja x ei esine valemis A või kui A tõeväärtus ei sõltu x-st
12 Tehete järjekord Tehteid teostatakse prioriteedi nõrgenemise järjekorras: {,, }, &,,, ~ ja mittevajalikke sulge jätame ära.
13 Vabad ja seotud muutujad Kvantoreid sisse tuues rõhutasime, et valemite x i P x 1,, x n ja x i P x 1,, x n tõeväärtus sõltub muutujate x 1,, x i 1, x i+1,, x n väärtustest, aga ei sõltu muutujast x i. Selle kohta öeldakse ka, et kvantor seob muutuja x i. Def. Muutuja x esinemist (mis pole vahetult kvantori järel) valemis A nimetatakse seotud esinemiseks, kui ta asub kvantori x või x mõjupiirkonnas ja vabaks esinemiseks, kui ta pole ühegi x-le rakendatud kvantori mõjupiirkonnas. Ütleme, et muutuja x on valemis A vaba/seotud, kui tal leidub vaba/seotud esinemine. Seega võib muutuja olla valemis korraga nii vaba kui seotud. Valemis x( ya(x, y, z)& z(b(x, y, z)) on x esinemised A ja B argumentidena seotud. Muutuja y esinemine A argumendina on seotud, aga B argumendina vaba, z puhul vastupidi. Valemi tõeväärtus sõltub ainult vabade muutujate väärtusest. Kinnine valem väljendab lauset
14 Tavaliselt on matemaatikul uurimisel mingi struktuur ja signatuur valitakse nii, et ta sisaldaks tähiseid uuritavate objektide, funktsioonide ja predikaatide jaoks. Huvi pakkuvad väited väljendatakse signatuuri valemitena ja püütakse neid tõestada. On aga selge, et ühes ja samas keeles võib saada rääkida erinevatest struktuuridest. Ja sama valem võib ühel struktuuril olla tõene, aga teisel väär. Näiteks x y x y = y x, x y z(x + z = y) Selle kohta öeldakse, et valemile saab anda erinevaid interpretatsioone. Interpretatsioon peaks fikseerima muutujate muutumispiirkonna ja signatuuri sümbolite tähendused Mõnedel sümbolitel on matemaatikas mõnede põhihulkade puhul nn. standardsed interpretatsioonid
15 Interpretatsiooni definitsioon Def. Interpretatsioon on paar α = (M α, I α ), kus M α on mittetühi hulk, mida nimetatakse põhihulgaks ehk interpretatsiooni kandjaks, ja I α on interpreteeriv kujutus, mis teisendab 1) iga konstantsümboli cεc mingiks hulga M α elemendiks c α ; 2) iga n-kohalise funktsionaalsümboli fεf mingiks (kõikjal määratud) n-kohaliseks funktsiooniks f α : M α M α ; 3) iga n-kohalise predikaatsümboli mingiks n-kohaliseks predikaadiks hulgal M α. Sealjuures interpreteeritakse võrdusmärki alati võrduspredikaadiga. Funktsionaalsümboli interpretatsioon peab olema kõikjal defineeritud funktsioon. NB! Interpretatsioon seab keele sümbolitele vastavusse matemaatilised objektid (põhihulga elemendid, funktsioonid, predikaadid), süntaktilistele objektidele tähenduse (semantika).
16 Valemi tõeväärtus Interpretatsioon seab vastavusse: - muutujateta termile hulga M elemendi, - muutujatega termile funktsiooni - vabade muutujatega valemile predikaadi - kinnisele valemile tõeväärtuse Me ei saa rääkida lihtsalt tõestest ja vääradest valemitest. Valemi tõeväärtuse määravad interpretatsioon ja vabade muutujate väärtused Mingi konkreetse matemaatilise distsipliiniga tegeldes on interpretatsioon tavaliselt fikseeritud. Algebras vaadeldakse ka erinevaid interpretatsioone
17 Näited Olgu meile signatuur σ = 0, 1, 2,, 2016, ; +, ; =, < Anname kolm erinevat interpretatsiooni: 1. M = N, signatuuri sümboleid interpreteeritakse standardselt. 2. M = R, signatuuri sümboleid interpreteeritakse standardselt. 0, kui c on paarisarv, 3. M ={0,1}, c α = 1, kui c on paaritu arv, liitmine toimub arvu 2 jäägiklassiringis (1 + 1 = 0), teiste sümbolite interpretatsioonid on standardsed
18 Leiame valemite tõeväärtused erinevates interpretatsioonides: Valem N R B 0=2 x(x < x + 1) x y(x < y) x y(y < x) x y(x < y z(x < z & z < y)) x u v(x + u = x + v u = v) x y z(x + z = y) x y z(x z = y) x y( (x = 0) z(x z = y))
19 Predikaatide ja väidete väljendamine valemitega (1) Tegelikult saame ka mõiste Valem A( x 1,, x n ) väljendab hulgal M defineeritud predikaati P x 1,, x n defineerida kui väljendamise antud interpretatsioonis, sest valemi tõesuseks on vaja konkreetset interpretatsiooni. Def. Valem A( x 1,, x n ) väljendab interpretatsiooni põhihulgal M defineeritud predikaati P x 1,, x n, kui iga x 1,, x n ϵm korral kehtib A x 1,, x n = t P x 1,, x n = t.
20 Predikaatide ja väidete väljendamine valemitega (2) Olgu indiviidide piirkonnaks kõigi inimeste hulk. Signatuur: M(x) x on meessoost, N(x) x on naissoost, L(x,y) x on y laps, Väljendada predikaadid: 1) u on v isa, 2) u on v vanaema, 3) u on v vend, 4) u on v poolvend, 5) u on v tädi
ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Διαβάστε περισσότεραKompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Διαβάστε περισσότεραGeomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Διαβάστε περισσότεραLokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Διαβάστε περισσότεραKirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
Διαβάστε περισσότεραDiskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp
Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp http://www.staff.ttu.ee/ puusemp/ Sellel kodulehe aadressil asub alajaotuse Diskreetne matemaatika all elektrooniline õpik ja ülesannete
Διαβάστε περισσότεραFunktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,
Διαβάστε περισσότεραHAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Διαβάστε περισσότερα2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
Διαβάστε περισσότεραMudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk.
Mudeliteooria Kursust luges: Kalle Kaarli 1 20. september 2004. a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk. 2 Sisukord 1 Põhimõisted 9 1.1 Signatuur ja struktuur.................. 9
Διαβάστε περισσότεραSuhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27
Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid
Διαβάστε περισσότεραHULGATEOORIA ELEMENTE
HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad
Διαβάστε περισσότεραRuumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
Διαβάστε περισσότεραKeerukusteooria elemente
Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria
Διαβάστε περισσότεραT~oestatavalt korrektne transleerimine
T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:
Διαβάστε περισσότερα1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
Διαβάστε περισσότεραKOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Διαβάστε περισσότεραFormaalsete keelte teooria. Mati Pentus
Formaalsete keelte teooria Mati Pentus http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/fkt/ 2009 13. november 2009. a. Formaalsete keelte teooria 2 Peatükk 1. Keeled ja grammatikad Definitsioon 1.1. Naturaalarvudeks
Διαβάστε περισσότεραVektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Διαβάστε περισσότεραYMM3740 Matemaatilne analüüs II
YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan
ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja
Διαβάστε περισσότεραSkalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Διαβάστε περισσότεραSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti
Διαβάστε περισσότεραAritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid
Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.. Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Aritmeetilised operaatorid Need leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja eraldi kommenteerimist.
Διαβάστε περισσότερα9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Διαβάστε περισσότεραGraafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Διαβάστε περισσότεραSkalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Διαβάστε περισσότεραArvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008
Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub
Διαβάστε περισσότερα20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.2 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 28 Sisukord 1 Pinuautomaadid 2 KV keeled ja pinuautomaadid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Διαβάστε περισσότεραLambda-arvutus. λ-termide süntaks. Näiteid λ-termidest. Sulgudest hoidumine. E ::= V muutuja (E 1 E 2 ) aplikatsioon (λv.
Lambda-arvutus λ-termide süntaks Näiteid λ-termidest Sulgudest hoidumine Lambda-arvutus E ::= V muutuja (E 1 E 2 ) aplikatsioon (λv. E) abstraktsioon (λx. x) (((λx. (λf. (f x))) y)(λz. z)) (λx. y) (λx.
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),
Διαβάστε περισσότερα2. HULGATEOORIA ELEMENTE
2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.
Διαβάστε περισσότερα4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.
Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised
Διαβάστε περισσότεραKATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010
KTEGOORITEOORI Kevad 2010 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
Διαβάστε περισσότεραTuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36
Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότερα3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE
3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega
Διαβάστε περισσότεραKATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016
KTEGOORITEOORI Kevad 2016 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
Διαβάστε περισσότερα1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD
1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki
Διαβάστε περισσότεραVektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise
Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning
Διαβάστε περισσότεραKrüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas
Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse Ahto Buldas 22. september 2003 2 Sisukord Saateks v 1 Entroopia ja infohulk 1 1.1 Sissejuhatus............................ 1 1.2 Kombinatoorne
Διαβάστε περισσότεραMathematica kasutamine
mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
Διαβάστε περισσότερα6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad
6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline
Διαβάστε περισσότεραFunktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
Διαβάστε περισσότερα1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...
Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega
Διαβάστε περισσότεραKoduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused
Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna
Διαβάστε περισσότεραsin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α
Διαβάστε περισσότεραSemantiline analüüs. Süntaksipuu dekoreeritakse tüübi- ja muu kontekstist sõltuva
Semantiline analüüs Semantiline analüüs Semantiline analüüs kontrollib programmi kontekstuaalsete sõltuvuste korrektsust: leiab vastavuse defineerivate ja kasutusesinemiste vahel, leiab esinemiste tüübid
Διαβάστε περισσότερα1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5
1. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 2013-14. 1 Reaalarvud ja kompleksarvud Sisukord 1 Reaalarvud ja kompleksarvud 1 1.1 Reaalarvud................................... 2 1.2 Kompleksarvud.................................
Διαβάστε περισσότερα6 Mitme muutuja funktsioonid
6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad
Διαβάστε περισσότερα4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise
Διαβάστε περισσότεραDeformatsioon ja olekuvõrrandid
Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.. Siire ja deformatsioon 3-2 3. Siire ja deformatsioon 3.. Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid x, y,
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatikainstituut MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele Tallinn 24 3 MATEMAATILINE ANALÜÜS II
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότερα28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.
8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,
Διαβάστε περισσότεραAlgebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel
Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide
Διαβάστε περισσότεραVektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias
ektorid Matemaatikas tähistab vektor vektorruumi elementi. ektorruum ja vektor on defineeritud väga laialt, kuid praktikas võime vektorit ette kujutada kui kindla arvu liikmetega järjestatud arvuhulka.
Διαβάστε περισσότεραEnergiabilanss netoenergiavajadus
Energiabilanss netoenergiajadus 1/26 Eelmisel loengul soojuskadude arvutus (võimsus) φ + + + tot = φ φ φ juht v inf φ sv Energia = tunnivõimsuste summa kwh Netoenergiajadus (ruumis), energiakasutus (tehnosüsteemis)
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραPLASTSED DEFORMATSIOONID
PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu 5. a. kevadsemester . Kahe ja kolme muutuja funktsiooni määramispiirkond, selle raja, kinnisus ja lahtisus. Olgu X ja Y hulgad. Kujutus e. funktsioon
Διαβάστε περισσότερα1 Entroopia ja informatsioon
Kirjadus: T.M. Cover, J.A. Thomas "Elemets of iformatio theory", Wiley, 99 ja 2006. Yeug, Raymod W. "A first course of iformatio theory", Kluwer, 2002. Mackay, D. "Iformatio theory, iferece ad learig algorithms",
Διαβάστε περισσότεραLexical-Functional Grammar
Lexical-Functional Grammar Süntaksiteooriad ja -mudelid 2005/06 Kaili Müürisep 6. aprill 2006 1 Contents 1 Ülevaade formalismist 1 1.1 Informatsiooni esitus LFG-s..................... 1 1.2 a-struktuur..............................
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 2 Programmeerimiskeel C
Veiko Sinivee 2 Programmeerimiskeel C Sisukord Sissejuhatus...1 Programmeerimiskeel C...1 C - keele programmi ehitusest...4 Abiprogramm MAKE...13 Enamkasutatavad funktsioonid...16 Funktsioonid printf()
Διαβάστε περισσότερα1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014
1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded
Διαβάστε περισσότεραLOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva
LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.
Διαβάστε περισσότεραSirgete varraste vääne
1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x 2 + 1 = 0 N = {1, 2, 3....}, Z Q a, b a, b N c, d c, d N a + b = c, a b = d. a a N 1 a = a 1 = a. < > P n P (n) P (1) n = 1 P (n) P (n + 1) n n + 1 P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + 1)
Διαβάστε περισσότερα2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise
Διαβάστε περισσότεραPlaneedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Διαβάστε περισσότεραIvar Tammeraid itammeraid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I. Elektrooniline õppevahend
TTÜ Mtemtikinstituut http://www.stff.ttu.ee/ mth/ Ivr Tmmerid http://www.stff.ttu.ee/ itmmerid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I Elektrooniline õppevhend Tllinn, Trükitud versioon: Ivr Tmmerid, Mtemtiline nlüüs
Διαβάστε περισσότερα2.1. Jõud ja pinged 2-2
1 Peatükk 2 Pinge 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
Διαβάστε περισσότεραMathcadi tööleht ja vormistamisvahendid
Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.1.15 Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid Mathcad töötab üldjoontes sarnaselt teistele Windowsi programmidele. Sellegipoolest on palju pisikesi nüansse,
Διαβάστε περισσότεραDeformeeruva keskkonna dünaamika
Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla
Διαβάστε περισσότεραLexical-Functional Grammar
Lexical-Functional Grammar Süntaksiteooriad ja -mudelid 2005/06 Kaili Müürisep ATI 6. aprill 2006 Kaili Müürisep (ATI) Lexical-Functional Grammar 6. aprill 2006 1 / 35 Informatsiooni esitus LFG-s c-struktuur
Διαβάστε περισσότερα,millest avaldub 21) 23)
II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.
Διαβάστε περισσότεραBrowni liikumine magnet- ja elektriväljas anisotroopse keskkonna juhul
Tartu Ülikool Füüsika-keemiateaduskond Teoreetilise füüsika instituut Niina Voropajeva Browni liikumine magnet- ja elektriväljas anisotroopse keskkonna juhul Magistritöö teoreetilises füüsikas Juhendaja:
Διαβάστε περισσότερα2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE
Soojusõpetus 2 1 2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE 2.1. Mõõtmisteooria Füüsikalise suuruse üldise mõiste avab mõõtmisteooria. Mõõtmisteooria loogiline koht on enne füüsikakursust. Probleemide komplitseerituse
Διαβάστε περισσότεραT~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA
http://wwwttuee http://wwwstaffttuee/ math TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT http://wwwstaffttuee/ itammeraid Ivar Tammeraid T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA Elektrooniline ~oppematerjal
Διαβάστε περισσότεραIvar Tammeraid itammeraid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I. Elektrooniline õppevahend
TTÜ Mtemtikinstituut http://www.stff.ttu.ee/ mth/ Ivr Tmmerid http://www.stff.ttu.ee/ itmmerid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I Elektrooniline õppevhend Tllinn, Trükitud versioon: Ivr Tmmerid, Mtemtiline nlüüs
Διαβάστε περισσότεραElastsusteooria tasandülesanne
Peatükk 5 Eastsusteooria tasandüesanne 143 5.1. Tasandüesande mõiste 144 5.1 Tasandüesande mõiste Seeks, et iseoomustada pingust või deformatsiooni eastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni
Διαβάστε περισσότεραKrüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD
Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD 1 Nõudmised krüptoräsidele (Hash-funktsionidele) Krüptoräsiks nimetatakse ühesuunaline funktsioon
Διαβάστε περισσότερα4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte 43. keemiaolümpiaad
Eesti koolinoorte 4. keeiaolüpiaad Koolivooru ülesannete lahendused 9. klass. Võrdsetes tingiustes on kõikide gaaside ühe ooli ruuala ühesugune. Loetletud gaaside ühe aarruuala ass on järgine: a 2 + 6
Διαβάστε περισσότερα1. Paisksalvestuse meetod (hash)
1. Paisksalvestuse meetod (hash) Kas on otsimiseks võimalik leida paremat ajalist keerukust kui O(log n)? Parem saaks olla konstantne keerukus O(1), mis tähendaks seda, et on kohe teada, kust õige kirje
Διαβάστε περισσότεραAvaliku võtmega krüptograafia
Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane
Διαβάστε περισσότερα(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33
(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.
Διαβάστε περισσότεραEesti LIV matemaatikaolümpiaad
Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit
Διαβάστε περισσότεραFüüsika. Mehaanika alused. Absoluutselt elastne tsentraalpõrge
9.09.017 Füüsika Mehaanika alused Absoluutselt elastne tsentraalpõrge Põrkeks nimetatakse keha liikumisoleku järsku muutust kokkupuutel teise kehaga. Kui seejuures ei teki jääkdeformatsioone, nimetatakse
Διαβάστε περισσότερα