Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine

Transcript

1 TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood: Õppejõud: prof. Andrus Salupere Esitamise kuupäe: a. Tallinn 2003

2 Antud: 1. mehhanismi skeem antud asendis (joon. 1); 2. lähteandmed (tabel 1). Tabel 1 Kaugused [cm] Lülide pikkused [cm] ϕ kraadides O1A AC AD a b c d e O2D DE DF O3E FG GH FH O4G Joonis 1: Mehhanismi skeem. Joonis 2: Kiiruste plaan. LAHENDUS 1. Punktide kiiruste ja mehhanismi lülide nurkkiiruste leidmine kiiruste plaani abil. a) Punktide kiiruste leidmine. Valime mastaabi ja joonestame mehhanismi skeemi (joon. 2). Arutame ända O 1 A sõrme A kiiruse mooduli: A = ω OA O 1 A = 2 12 = 24 cm/s. Vektor A on risti ändaga O 1 A ning selle pöörlemise suunas. Punktide B, D, E, F, ja G kiiruste sihid on määratud mehhanismi skeemiga: B O 1 B, D O 2 D jne. (joon. 2). 1

3 Koostame kiiruste plaani. Valime sualise punkti O kiiruste plaani pooluseks. Tõmbame ektori Oa, mis kujutab punkti A kiirust alitud mastaabis. Punkti B kiiruse leidmiseks tõmbame läbi kiiruste plaani pooluse O kiirusega B paralleelse sirge ning, läbi punkti a aga kepsuga ristua sirge. Saame punkti b. Vektor Ob kujutab punkti B kiirust. Mõõdame selle pikkuse ja kasutades kiiruste mastaapi, leiame, et B = 17, 5 cm/s. Põhjendus: Teame, et B = A + BA, kus BA on punkti B kiirus punkti A suhtes. Kuna punkt B pöörleb koos kepsuga ümber punkti A, siis on BA. Kiiruste plaanil kujutab seda kiirust ektor ab, st. tegelikult BA = ab (arestades muidugi mõõtkaa). Seega ab = BA = ω. ( ) Punkti C kiiruse määrab kiiruste plaani lõik Oc. Kiiruste plaani punkti c leidmiseks rakendatakse järgmist mõttekäiku. Teame, et C = A + CA ja CA = ω A B AC = ac. ( ) Aaldiste (*) ja (**) põhjal on seega kiiruste plaani punkt c määratud õrdusega ab = ac AC, st. punkt c peab jagama kiiruste plaanil lõigu ab samas suhtes, milles jagab punkt C lõigu mehhanismi skeemil. Kasutades kiiruste mastaapi leiame, et C = 17, 5cm/s. Jätkame kiiruste plaani ehitamist eelpool toodud põhimõtteid rakendades ja leiame punktide D,E,F,G ja H kiirused. Tulemused on toodud tabelis 2. Tabel 2 Arutusmeetod Punktide kiirused cm/s A B C D E F G H Kiiruste plaani abil 24 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 14,8 14,4 Hetkeliste kiiruste tsentrite abil 24 17,3 17,5 17,4 17,4 17,4 14,6 14,1 b) Mehhanismi lülide nurkkiiruste leidmine. Kuna kiiruse plaani lõik ab kujutab punkti B kiirust tema pöörlemisel ümber punkti A kui pooluse, siis astaalt aaldisele (*) kepsu nurkkiirus ω = ab = 19, 5 46 = 0, 424 s 1. Analoogiliselt leiame lülide AD,DE ja FGB nurkkiirused: ω AD = ad AD = 14, 5 29 = 0, 5 s 1, ω DE = de DE = 0 DE = 0, ω = fg FG = 6, 8 25 = 0, 272 s 1. Nurkkiiruse ω õib leida ka järgmisel iisil: ( ) ω = gh GH = fh FH. 2

4 Tabel 3 Arutusmeetod Lülide nurkkiirused s 1 AD DE O 2 D O 3 E O 4 G Kiiruste plaani abil 0,424 0, ,547 0,972 0,272 0,740 Hetkeliste kiiruste tsentrite abil 0,421 0, ,544 0,967 0,278 0,730 Kuna punkt D pöörleb koos ändaga O 2 D ümber punkti O 2, siis ω O2 D = D O 2 D = 17, 5 32 = 0, 547 s 1. Analoogiliselt leiame äntade O 3 E ja O 4 G nurkkiirused: Saadud nurkkiirused on toodud tabelis 3. ω O3 E = E O 3 E = 17, 5 18 = 0, 972 s 1, ω O4 G = G O 4 G = 14, 8 20 = 0, 740 s Punktide kiiruste ja mehhanismi lülide nurkkiiruste leidmine hetkeliste kiiruste tsentrite abil. Joonis 3: Hetkelised kiiruse tsentrid. Joonis 4: Punkti B kiirenduse graafiline leidmine. Definitsioon ütleb, et hetkeline kiiruste tsenter on selline aadeldaa kehaga seotud punkt, mille kiirus on antud hetkel õrdne nulliga. 3

5 a) Mehhanismi lülide hetkeliste kiiruste tsentrite asukohtade leidmine. Joonestame mehhanismi skeemi alitud mastaabis (Joon. 3). Lülid O 1 A, O 2 D, O 3 E ja O 4 G pöörlead liikumatute tsentrite O 1, O 2, O 3 ja O 4 ümber. Järelikult on punktide A,D,E ja G kiirused risti astaalt lülidega O 1 A, O 2 D, O 3 E ja O 4 G. Lüli hetkeline kiiruste tsenter C leitakse järgmiselt. Läbi punkti A tõmmatakse ristsirge kiirusektoriga A ja läbi punkti B ristsirge kiirusektoriga B. Nende kahe sirge lõikepunkt ongi kepsu hetkeline kiiruste tsenter C. Analoogiliselt leitakse hetkeliste kiiruste tsentrite C AD ja C asukohad lülidele AD ja. Lüli DE hetkeline kiiruste tsenter asub lõpmatuses. b) Punktide kiiruste leidmine. Punkti A kiirus A = ω 0 O 1 A = 2 12 = 24 cm/s. Lüli punktide kiirused on õrdelised nende punktide kaugustega hetkelisest kiiruste tsentrist C : A AC = B BC = C CC = ω. Punktide kaugused hetkelisest kiiruste tsentrist mõõdetakse jooniselt. Pikkuste mastaapi kasutades saame: AC = 57 cm, BC = 41 cm, CC = 41, 5 cm, Leiame punktide B ja C kiirused: BC B = A AC CC C = A AC = = 24 41, 5 57 Punkti D kiiruse leidmiseks kasutame õrdust A AC AD = D DC AD DC AD = ω AD, kust D = A AC AD = 17, 3 cm/s, = 17, 5 cm/s = 24 34, 5 47, 5 = 17, 4cm/s. Kuna lüli DE hetkeline kiiruste tsenter asetseb lõpmatuses, siis E = F = D = 17, 4 cm/s. Punktide G ja H kiiruste leidmiseks on meil õrdused kust F FC = G GC GC G = F FC HC H = F FC = H HC = 17, 4 52, 8 62, 7 = 17, 4 50, 8 62, 7 = ω, = 14, 6 cm/s, = 14, 1 cm/s. Saadud kiirused (kiirusektorite moodulid) on toodud tabelis 2. Samaaegselt punktide kiirusektorite moodulite leidmisega leiame ka nende kiiruste ja mehhanismi lülide pöörlemise nurkkiiruste suunad. Näiteks punkti A kiiruse suuna ja hetkelise kiiruste tsentri C asukoha järgi otsustame, et lüli pöörleb päripäea. Seepärast on punkti B kiiruse suund mehhanismi antud asendi puhul üles. Analoogiliselt määrame mehhanismi teiste lülide pöörlemise nurkkiiruste ja teiste punktide kiiruste suunad. Näiteks punkti A kiirusektori suund määrab nurkkiiruse ω AD suuna, punkti F kiirusektori suund aga nurkkiiruse ω suuna jne. (t. joon. 3). 4

6 c) Mehhanismi lülide nurkkiiruste leidmine. Lülide ja AD nurkkiirused leitakse alemitest ω = A = = 0, 421 s 1, AC ω AD = A AC AD Lüli O 2 D nurkkiirus leitakse punkti D kiiruse järgi: = 24 47, 5 = 0, 505 s 1. ω O2 D = D O 2 D = 17, 4 32 = 0, 544 s 1. Lüli DE nurkkiirus õrdub mehhanismi antud asendi puhul nulliga, sest antud lüli hetkeline kiiruste tsenter asetseb käesoleal juhul lõpmatuses ω DE = 0. Analoogiliselt leiame mehhanismi ülejäänud lülide nurkkiirused: ω O3 E = E O 3 E = 17, 4 18 = 0, 967 s 1, ω = F FC = 17, 4 62, 7 = 0, 278 s 1, ω O4 G = G O 4 G = 14, 6 20 = 0, 730 s 1. Saadud nurkkiiruste äärtused on toodud tabelis Punktide A,B ja D kiirenduste ning lülide ja BD nurkkiirenduste graafiline leidmine 1. a) Kiirenduste a A ja a B ning nurkkiirenduse α graafiline leidmine (joon. 4). Lüli punkti B kiirenduse leidmiseks kasutame alemit a B = a A + a n BA + a t BA, st. alime punkti A pooluseks ja aaldame punkti B kiirenduse läbi tema kiirenduse. Sel juhul, teataasti, õrdub punkti B kiirendus geomeetrilise summaga, kus esimene liideta (a A ) on punkti A kiirendus ja teiseks liidetaaks (a BA = a n BA + at BA ) punkti B kiirendus tema liikumisel ümber punkti A kui pooluse. Kuna änt O 1 A pöörleb ühtlaselt, siis on punkti A puutekiirendus õrdne nulliga ja a A = a n A = O 1 A ω 2 0 = = 48 cm/s 2. Valime kiirenduste mastaabi ja joonestame ektori a A = a n A (joon. 4). Punkti B normaalkiirendus kepsu pöörlemisel ümber pooluse A on suunatud punktist B punkti A ja a n BA = ω 2 = 46 0, 4 2 = 7, 36 cm/s 2. Kanname ektori a A paralleellükkega punkti B. Vektori a A lõpust tõmbame paralleelselt kepsuga ektori a n BA. Viimase lõpust tõmbame kepsuga risti, st. puutekiirendusega a t BA paralleelse sirge. Selle sirge lõikepunkt liuguri B kiirenduse sihilise sirgega O 1B 1 Ülesande tingimused näead ette punktide A ja B kiirenduste ning lüli nurkkiirenduse leidmist. Näites leitakse siiski ka punkti D kiirendus ja lüli AD nurkkiirendus. Need astaad käesoleas kodutöös esineda õiale teisele tüüpjuhtumile. 5

7 määrab ektorite a B, a t BA ja a BA lõpp-punktid (liugur B saab liikuda aid ertikaalselt ja seega määrab punkti B läbi ertikaalsirge punkti B kiirenduse sihi). Jooniselt mõõtes saame: a B = 39 cm/s 2 ; a t BA = 30 cm/s 2. Kuna a t BA = α, siis lüli nurkkiirendus α = at BA = = 0, 652 s 2 b) Punkti D kiirenduse a D ja lüli AD nurkkiirenduse α AD graafiline leidmine (joon. 5). Punkt D on lülide O 2 D ja AD ühine punkt. Võttes pooluseks punkti A, saame: Punkti A kiirendus on arem leitud: a n D + a t D = a A + a n DA + a t DA a A = 48 cm/s 2 Punkti D normaalkiirendus lüli AD pöörlemisel ümber punkti A kui pooluse on suunatud punktist D punkti A ja a n DA = AD ω 2 AD = 28, 5 0, 5 2 = 7, 1 cm/s 2. Joonis 5: Punkti D kiirenduse graafiline leidmine. Joonis 6: Punkti M kiirenduse leidmine hetkelise kiirenduse tsentri abil. Tõmbame punktist D astaas mastaabis pooluse kiirenduse a A. Vektori a A lõpust tõmbame ektori a n DA paralleelselt lüliga DA. Läbi ektori an DA tipu tõmbame sirge JK risti kepsuga AD, st. puutekiirenduse a t DA sihis. Teiselt poolt, punkti D, kui ända O 2D punkti normaalkiirendus a n D = O 2 D ωo 2 2 D = 32 0, 5 2 = 8 cm/s 2. Tõmbame punktist D ektori a n D suunaga tsentrisse O 2. Läbi ektori a n D tipu tõmbame sirge LN risti lüliga O 2 D, st. puutekiirenduse a t D sihis. Selle sirge ja sirge JK lõikepunkt määrab ektorite a D a t DA ja at D lõpp-punktid. Jooniselt mõõtes saame: a D = 42 cm/s 2 ; a t DA = 30 cm/s 2. 6

8 Kuna a t DA = AD α AD, siis lüli AD nurkkiirendus Lüli O 2 D nurkkiirendus Tulemused on esitatud tabelis 4. Tabel 4 α AD = at DA AD = α O2 D = at D O 2 D = = 1, 03 s 2 = 1, 281. Arutusmeetod Kiirendused cm/s 2 Nurkkiirendused s 2 B D AD O 2 D Graafiline 24 17,5 17,5 17,5 17,5 Analüütiline 24 17,3 17,5 17,4 17,4 4. Punktide A, B ja D kiirenduste ning lülide ja BD nurkkiirenduste analüütiline leidmine. Kiirenduste ja nurkkiirenduste analüütiline leidmine toimub loengu ja harjutustunni näidetega analoogiliselt. Vajalikud pikkused ja nurgad mõõdetakse jooniselt. Tulemused on esitatud tabelis Lüli hetkelise kiirenduste tsentri asukoha leidmine (joon.6). Definitsioon järgi on hetkeline kiirenduste tsenter on selline aadeldaa kehaga seotud punkt, mille kiirendus on antud hetkel õrdne nulliga. Võtame punkti A pooluseks. Siis punkti B kiirendus a B = a A + a BA. Ehitame punktis B kiirenduste rööpküliku, mille diagonaaliks on ektor a B ja üheks kü1jeks ektor a A. Rööpküliku külg a BA kujutab punkti B kiirendust pöörlemisel ümber pooluse A. Kiirendus a BA moodustab kepsuga nurga µ, mida õib jooniselt mõõta. Vektori a BA suund pooluse A suhtes lubab määrata nurkkiirenduse α suuna, mis käesoleal juhul on päripäea. Ehitades ektoritele a A ja a B nurgaga µ õrdsed nurgad (samuti päripäea) ning tõmmates punktidest A ja B kaks kiirt, leiame nende lõikepunkti C a, mis esitab lüli hetkelise kiirenduste tsentri. 6. Punkti M kiirenduse leidmine. Leiame punkti M kiirenduse kasutades hetkelist kiirenduste tsentrit. Tasapinnalise kujundi punktide kiirendused on õrdelised nende punktide kaugustega hetkelisest kiirenduste tsentrist. Järelikult MCa a M = a A ACa = = 42, 1 cms2. Kaugused MCa ja ACa mõõdame jooniselt. Kiirendus a M (joon. 6) moodustab sirgega MCa nurga µ. Selle ektori suund määratakse astaalt nurkkiirendusele α. 7