HULGATEOORIA ELEMENTE
|
|
- Αφροδίσια Μαρία Αντωνιάδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31
2 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad ja kontiinuumi võimsusega hulgad Astmehulga võimsus Kontiinuumihüpotees Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 2 / 31
3 Järgmine punkt 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad ja kontiinuumi võimsusega hulgad Astmehulga võimsus Kontiinuumihüpotees Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 3 / 31
4 Järgmine punkt 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad ja kontiinuumi võimsusega hulgad Astmehulga võimsus Kontiinuumihüpotees Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 4 / 31
5 Hulga võimsus Hulga elemente ja nende erinevaid kombinatsioone on tarvis osata kokku lugeda, selleks et... osata ennustada teatud sündmuse esinemise tõenäosust;... hinnata ülesande lahendite ja lahendusteede arvu;... hinnata algoritmi või programmi keerukust (ressursivajadust);... otsustada teatud algoritmide (nt krüptograafiliste, kodeerimis- jne algoritmide) korrektsuse üle;... Jaan Penjam, Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 5 / 31
6 Hulga võimsus Definitsioon Hulki A ja B nimetatakse võrdvõimsateks (tähistus A = B või A B), kui nende elementide vahel saab korraldada üksühese vastavuse. Definitsioon Hulga võimsus on võrdvõimsate hulkade ekvivalentsiklass, kuhu kuulub vaadeldav hulk. Definitsioon Hulga võimsust tähistavat sümbolit nimetatakse kardinaalarvuks. Lõpliku hulga kardinaalarvuks on selle hulga elementide arv: {a 1,...,a n } = n; lõpmatute hulkade kardinaalarvude korral kasutatatakse eritähiseid, nt ℵ 0 tähistab loenduvat võimsust ja ℵ 1 kontiinuumi võimsust. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 6 / 31
7 Hulga võimsus Definitsioon Hulki A ja B nimetatakse võrdvõimsateks (tähistus A = B või A B), kui nende elementide vahel saab korraldada üksühese vastavuse. Definitsioon Hulga võimsus on võrdvõimsate hulkade ekvivalentsiklass, kuhu kuulub vaadeldav hulk. Definitsioon Hulga võimsust tähistavat sümbolit nimetatakse kardinaalarvuks. Lõpliku hulga kardinaalarvuks on selle hulga elementide arv: {a 1,...,a n } = n; lõpmatute hulkade kardinaalarvude korral kasutatatakse eritähiseid, nt ℵ 0 tähistab loenduvat võimsust ja ℵ 1 kontiinuumi võimsust. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 6 / 31
8 Hulga võimsus Definitsioon Hulki A ja B nimetatakse võrdvõimsateks (tähistus A = B või A B), kui nende elementide vahel saab korraldada üksühese vastavuse. Definitsioon Hulga võimsus on võrdvõimsate hulkade ekvivalentsiklass, kuhu kuulub vaadeldav hulk. Definitsioon Hulga võimsust tähistavat sümbolit nimetatakse kardinaalarvuks. Lõpliku hulga kardinaalarvuks on selle hulga elementide arv: {a 1,...,a n } = n; lõpmatute hulkade kardinaalarvude korral kasutatatakse eritähiseid, nt ℵ 0 tähistab loenduvat võimsust ja ℵ 1 kontiinuumi võimsust. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 6 / 31
9 Lõpliku hulga võimsus B 15 A = B = 5 A Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 7 / 31
10 Lõpliku hulga võimsus B 15 A A = B = 5 f : A B b = f (a) = 3(a 2) Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 8 / 31
11 Lõpliku hulga võimsus B 15 A A = B = 5 f : A B b = f (a) = 3(a 2) C 0 A = B > C = 3 g : B C c = g(b) = b MOD 4 3 Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 9 / 31
12 Lõpliku hulga võimsus B A = B = 5 A f : A B b = f (a) = 3(a 2) D C 0 A = B > C = 3 g : B C c = g(b) = b MOD 4 varblane vares kurg jaanalind 3 Hulgal D olgu defineeritud järjestus: varblane < vares < kurg < jaanalind D = { d 1 < d 2 < d 3 < d 4 } h : D C c = h(d) = i 1, kui d = d i ja i 2 A = B > D = 4 > C Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 10 / 31
13 Lõpliku hulga võimsus B A = B = 5 A f : A B b = f (a) = 3(a 2) D C 0 A = B > C = 3 g : B C c = g(b) = b MOD 4 varblane vares kurg jaanalind 3 1 C 1 Hulgal D olgu defineeritud järjestus: varblane < vares < kurg < jaanalind D = { d 1 < d 2 < d 3 < d 4 } h : D C C c = h(d) = i 1, kui d = d i A = B > D = C Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 11 / 31
14 Lõpliku hulga võimsus Omadus Kui A on lõpliku hulga B pärisalamhulk (A B), siis A < B NB! See omadus ei kehti lõpmatute hulkade korral! Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 12 / 31
15 Lõpliku hulga võimsus Omadus Kui A on lõpliku hulga B pärisalamhulk (A B), siis A < B NB! See omadus ei kehti lõpmatute hulkade korral! Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 12 / 31
16 Lõpmatu hulga võimsus Definitsioon Hulka, mis on sama võimsusega nagu naturaalarvude hulk, nimetatakse loenduvaks hulgaks. Loenduvad on parajasti need hulgad, mis on esitatavad lõpmatu jadana A = {a 0,a 1,a 2,...}. Iga lõpmatu hulk sisaldab loenduvat alamhulka. Loenduva hulga iga lõpmatu alamhulk on samuti loenduv. NB! Hulka, mis on kas loenduv või lõplik, nimetatakse ülimalt loenduvaks hulgaks. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 13 / 31
17 Lõpmatu hulga võimsus Definitsioon Hulka, mis on sama võimsusega nagu naturaalarvude hulk, nimetatakse loenduvaks hulgaks. Loenduvad on parajasti need hulgad, mis on esitatavad lõpmatu jadana A = {a 0,a 1,a 2,...}. Iga lõpmatu hulk sisaldab loenduvat alamhulka. Loenduva hulga iga lõpmatu alamhulk on samuti loenduv. NB! Hulka, mis on kas loenduv või lõplik, nimetatakse ülimalt loenduvaks hulgaks. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 13 / 31
18 Lõpmatu hulga võimsus Definitsioon Hulka, mis on sama võimsusega nagu naturaalarvude hulk, nimetatakse loenduvaks hulgaks. Loenduvad on parajasti need hulgad, mis on esitatavad lõpmatu jadana A = {a 0,a 1,a 2,...}. Iga lõpmatu hulk sisaldab loenduvat alamhulka. Loenduva hulga iga lõpmatu alamhulk on samuti loenduv. NB! Hulka, mis on kas loenduv või lõplik, nimetatakse ülimalt loenduvaks hulgaks. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 13 / 31
19 Lõpmatu hulga võimsus Definitsioon Hulka, mis on sama võimsusega nagu naturaalarvude hulk, nimetatakse loenduvaks hulgaks. Loenduvad on parajasti need hulgad, mis on esitatavad lõpmatu jadana A = {a 0,a 1,a 2,...}. Iga lõpmatu hulk sisaldab loenduvat alamhulka. Loenduva hulga iga lõpmatu alamhulk on samuti loenduv. NB! Hulka, mis on kas loenduv või lõplik, nimetatakse ülimalt loenduvaks hulgaks. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 13 / 31
20 Järgmine punkt 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad ja kontiinuumi võimsusega hulgad Astmehulga võimsus Kontiinuumihüpotees Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 14 / 31
21 Lõpmatu hulga võimsus Loenduvate hulkade omadusi: 1 Loenduva hulga ja lõpliku hulga ühend on loenduv. 2 Kahe loenduva hulga ühend on loenduv. 3 Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 4 Loenduva hulga paarikaupa erinevate lõplike hulkade ühend on loenduv. 5 Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 6 Ratsionaalarvude hulk on loenduv. 7 Kahe-, kolme jne mõõtmelise ruumi ratsionaalarvuliste koordinaatidega punktide hulk on loenduv Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 15 / 31
22 Lõpmatu hulga võimsus Loenduvate hulkade omadusi: 1 Loenduva hulga ja lõpliku hulga ühend on loenduv. 2 Kahe loenduva hulga ühend on loenduv. 3 Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 4 Loenduva hulga paarikaupa erinevate lõplike hulkade ühend on loenduv. 5 Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 6 Ratsionaalarvude hulk on loenduv. 7 Kahe-, kolme jne mõõtmelise ruumi ratsionaalarvuliste koordinaatidega punktide hulk on loenduv Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 15 / 31
23 Lõpmatu hulga võimsus Loenduvate hulkade omadusi: 1 Loenduva hulga ja lõpliku hulga ühend on loenduv. 2 Kahe loenduva hulga ühend on loenduv. 3 Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 4 Loenduva hulga paarikaupa erinevate lõplike hulkade ühend on loenduv. 5 Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 6 Ratsionaalarvude hulk on loenduv. 7 Kahe-, kolme jne mõõtmelise ruumi ratsionaalarvuliste koordinaatidega punktide hulk on loenduv Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 15 / 31
24 Lõpmatu hulga võimsus Loenduvate hulkade omadusi: 1 Loenduva hulga ja lõpliku hulga ühend on loenduv. 2 Kahe loenduva hulga ühend on loenduv. 3 Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 4 Loenduva hulga paarikaupa erinevate lõplike hulkade ühend on loenduv. 5 Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 6 Ratsionaalarvude hulk on loenduv. 7 Kahe-, kolme jne mõõtmelise ruumi ratsionaalarvuliste koordinaatidega punktide hulk on loenduv Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 15 / 31
25 Lõpmatu hulga võimsus Loenduvate hulkade omadusi: 1 Loenduva hulga ja lõpliku hulga ühend on loenduv. 2 Kahe loenduva hulga ühend on loenduv. 3 Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 4 Loenduva hulga paarikaupa erinevate lõplike hulkade ühend on loenduv. 5 Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 6 Ratsionaalarvude hulk on loenduv. 7 Kahe-, kolme jne mõõtmelise ruumi ratsionaalarvuliste koordinaatidega punktide hulk on loenduv Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 15 / 31
26 Lõpmatu hulga võimsus Loenduvate hulkade omadusi: 1 Loenduva hulga ja lõpliku hulga ühend on loenduv. 2 Kahe loenduva hulga ühend on loenduv. 3 Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 4 Loenduva hulga paarikaupa erinevate lõplike hulkade ühend on loenduv. 5 Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 6 Ratsionaalarvude hulk on loenduv. 7 Kahe-, kolme jne mõõtmelise ruumi ratsionaalarvuliste koordinaatidega punktide hulk on loenduv Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 15 / 31
27 Lõpmatu hulga võimsus Loenduvate hulkade omadusi: 1 Loenduva hulga ja lõpliku hulga ühend on loenduv. 2 Kahe loenduva hulga ühend on loenduv. 3 Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 4 Loenduva hulga paarikaupa erinevate lõplike hulkade ühend on loenduv. 5 Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 6 Ratsionaalarvude hulk on loenduv. 7 Kahe-, kolme jne mõõtmelise ruumi ratsionaalarvuliste koordinaatidega punktide hulk on loenduv Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 15 / 31
28 Lõpmatu hulga võimsus Teoreem Hulgad N ja (0,1) ei ole sama võimsusega. Tõestuse idee (Cantori diagonaliseerimise meetod 1891). Valime hulga (0, 1) elementidest lõpmatu jada r 0,r 1,..., millest igaühte saab esitada kümnendsüsteemis lõpmatu numbrite jadana: r 0 = 0,α 00 α 01...α 0j... r 1 = 0,α 10 α 11...α 1j r i = 0,α i0 α i1...α ij Moodustame arvu r = 0,β 0 β 1..., valides kümnendkohad selliselt, et β 0 α 00,β 1 α 11,...,β j α jj... See arv kuulub vahemikku (0,1), kuid on erinev jada r 0,r 1,... igast elemendist. m.o.t.t. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 16 / 31
29 Lõpmatu hulga võimsus Järeldus 1 Reaalarvude vahemikud (0,1) ja (a,b) on sama võimsusega iga a < b korral. Vahemike elementide x (0,1) ja y (a,b) vahelise üksühese vastavuse saab korraldada näiteks lineaarteisendusega y = a + (b a)x Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 17 / 31
30 Lõpmatu hulga võimsus Järeldus 2 Reaalarvude hulk R ja vahemik (0, 1) on sama võimsusega. Järelduse 1 põhjal on vahemikud (0, 1) ja ( 1, 1) sama võimsusega. üksühene vastavus x ( 1,1) ja r R tuleneb seosest { x/(1 x), kui x [0,1); r = x/(1 + x), kui x ( 1,0). Geomeetriline interpretatsioon: x ( 1, 1) (1,1) x r r Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 18 / 31
31 Lõpmatu hulga võimsus Järeldus 2 Reaalarvude hulk R ja vahemik (0, 1) on sama võimsusega. Järelduse 1 põhjal on vahemikud (0, 1) ja ( 1, 1) sama võimsusega. üksühene vastavus x ( 1,1) ja r R tuleneb seosest { x/(1 x), kui x [0,1); r = x/(1 + x), kui x ( 1,0). Geomeetriline interpretatsioon: x r Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 18 / 31
32 Lõpmatu hulga võimsus Järeldus 2 Reaalarvude hulk R ja vahemik (0, 1) on sama võimsusega. Alternatiivne vastavus: r r = tan π 2 x x Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 19 / 31
33 Lõpmatu hulga võimsus Definitsioon Hulka, mis on sama võimsusega nagu reaalarvude hulk, nimetatakse kontiinuumi võimsusega hulgaks. kontiinuumi võimsuse tähiseks on ℵ 1. kontiinuumi võimsusega hulkade näited: Vahemik (a,b) ja lõik [a,b]; Samuti poollõigud (a,b] ja [a,b); Hulgad R n, kus n = 1,2,3,...; Kompleksarvude hulk C. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 20 / 31
34 Lõpmatu hulga võimsus Definitsioon Hulka, mis on sama võimsusega nagu reaalarvude hulk, nimetatakse kontiinuumi võimsusega hulgaks. kontiinuumi võimsuse tähiseks on ℵ 1. kontiinuumi võimsusega hulkade näited: Vahemik (a,b) ja lõik [a,b]; Samuti poollõigud (a,b] ja [a,b); Hulgad R n, kus n = 1,2,3,...; Kompleksarvude hulk C. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 20 / 31
35 Omadus Kui A on (lõpmatu) hulga B pärisalamhulk (A B), siis A B Omadus ℵ 0 < ℵ 1 ehk N < R Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 21 / 31
36 Järgmine punkt 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad ja kontiinuumi võimsusega hulgad Astmehulga võimsus Kontiinuumihüpotees Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 22 / 31
37 Definitsioon Hulga A astmehulgaks nimetatakse tema kõigi alamhulkade hulka P(A) Teoreem Lõpliku n-elemendilise hulga astmehulga võimsus on 2 n Tõestuse idee 1: astmehulga moodustamiseks elementide valimise täielik otsustuspuu on n tasemega kahendpuu. Igal tasemel tehtavad otsustused on sõltumatud. Vt otsustuspuu näidet järgmisel slaidil. Tõestuse idee 2: alamhulkade sobiv loendamine (kodeerimine, indekseerimine, järjestamine) näitab, et alamhulkade arv on võrdne n-kohaliste kahendarvude hulga võimsusega. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 23 / 31
38 Otsustuspuu hulga A = {a,b,c} astmehulga moodustamiseks + a S b S b S + + c S c S c S c S + {a,b,c} {a,b} + {a,c} {a} + {b,c} {b} + {c} Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 24 / 31
39 Alamhulkade järjestamise viise 1 Võimsuse järgi osaline järjstamine:,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 2 Leksikograafiline järjestamine: ε,a,ab,abc,ac,b,bc,c 3 Kodeerimine kahendarvudega / karakteristliku funktsioniga: Alamhulk Kahendkood Kümnendkood / indeks ε c b bc a ac ab abc Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 25 / 31
40 Hulga ja astmehulga võimsused Teoreem Hulga P(A) võimsus on suurem kui hulga A võimsus. Tõestus. Kui leiduks üksühene vastavus f : A P(A), siis defineeriksme hulga B = {x x / f (x)} Olgu b A selline element, et f (b) = B. Kui eeldada, et b B, siis b / f (b) ehk b / B. Kui eeldada, et b / B, siis b f (b) ehk b B. Mõlemal juhul vastuolu. m.o.t.t. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 26 / 31
41 Naturaalarvude astmehulga võimsus Teoreem Naturaalarvude hulga alamhulkade hulk on sama võimsusega nagu reaalarvude hulk, st P(N) R. Tõestus. Piisab tõestada, et P(N) [0, 1). Naturaalarvude hulga igale alamhulgale A seame vastavusse reaalarvu 0, i 0 i 1 i 2..., kus i k = 1 või i k = 0 vastavalt sellele, kas k A või k / A. Reaalarvule x [0, 1) seame vastavusse alamhulga, mis sisaldab või ei sisalda elementi k vastavalt sellele, kas lõigu [0, 1) k-ndal pooleksjagamisel jääb arv x esimesse või teise poolde. Teoreemi väide järeldub Schröder Bernsteini teoreemist m.o.t.t. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 27 / 31
42 Võimsuste hierarhia Vastavalt Cantori teoreemile on hulgad N, P(N), P(P(N)),... järjest suurenevate võimsustega hulgad. Nende hulkade ühend on veelgi suurema võimsusega. M = N P(N) P(P(N))... Hulgad M, P(M), P(P(M)),... on jällegi järjest suurenevate võimsustega hulgad jne. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 28 / 31
43 Võimsuste hierarhia Vastavalt Cantori teoreemile on hulgad N, P(N), P(P(N)),... järjest suurenevate võimsustega hulgad. Nende hulkade ühend on veelgi suurema võimsusega. M = N P(N) P(P(N))... Hulgad M, P(M), P(P(M)),... on jällegi järjest suurenevate võimsustega hulgad jne. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 28 / 31
44 Võimsuste hierarhia Vastavalt Cantori teoreemile on hulgad N, P(N), P(P(N)),... järjest suurenevate võimsustega hulgad. Nende hulkade ühend on veelgi suurema võimsusega. M = N P(N) P(P(N))... Hulgad M, P(M), P(P(M)),... on jällegi järjest suurenevate võimsustega hulgad jne. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 28 / 31
45 Järgmine punkt 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad ja kontiinuumi võimsusega hulgad Astmehulga võimsus Kontiinuumihüpotees Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 29 / 31
46 Kontiinuumihüpotees (G. Cantor, 1877) Ei leidu hulka, mis oleks võimsam kui N, kuid vähem võimas kui R a tõestas Austria matemaatik Kurt Gödel, et kontiinuumihüpoteesi eitus (vahepealsete võimsuste olemasolu) ei järeldu hulgateooria aksioomidest (Zermelo-Fraenkeli aksioomid + valikuaksioom). Kurt Gödel Paul Cohen ( ) ( ) a tõestas Ameerika matemaatik Paul Cohen, et kontiinuumihüpotees (vahepealsete võimsuste puudumine) ei järeldu hulgateooria aksioomidest. Seega kontiinuumihüpotees on hulgateooria muudest aksioomidest sõltumatu. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 30 / 31
47 Üldistatud kontiinuumihüpotees Ühegi hulgast S võimsama hulga võimsus ei ole väiksem kui P(S). Järeldus Kui kontiinuumihüpotees kehtib, siis ℵ 1 = 2 ℵ 0. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 31 / 31
48 Üldistatud kontiinuumihüpotees Ühegi hulgast S võimsama hulga võimsus ei ole väiksem kui P(S). Järeldus Kui kontiinuumihüpotees kehtib, siis ℵ 1 = 2 ℵ 0. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 31 / 31
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
Διαβάστε περισσότεραKompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Διαβάστε περισσότεραFunktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,
Διαβάστε περισσότεραGeomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Διαβάστε περισσότερα2. HULGATEOORIA ELEMENTE
2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.
Διαβάστε περισσότεραLokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Διαβάστε περισσότεραGraafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Διαβάστε περισσότεραArvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008
Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Διαβάστε περισσότεραITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Διαβάστε περισσότερα2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
Διαβάστε περισσότεραT~oestatavalt korrektne transleerimine
T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:
Διαβάστε περισσότερα3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE
3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Διαβάστε περισσότεραKeerukusteooria elemente
Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.2 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 28 Sisukord 1 Pinuautomaadid 2 KV keeled ja pinuautomaadid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Διαβάστε περισσότεραFormaalsete keelte teooria. Mati Pentus
Formaalsete keelte teooria Mati Pentus http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/fkt/ 2009 13. november 2009. a. Formaalsete keelte teooria 2 Peatükk 1. Keeled ja grammatikad Definitsioon 1.1. Naturaalarvudeks
Διαβάστε περισσότεραMudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk.
Mudeliteooria Kursust luges: Kalle Kaarli 1 20. september 2004. a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk. 2 Sisukord 1 Põhimõisted 9 1.1 Signatuur ja struktuur.................. 9
Διαβάστε περισσότεραKATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016
KTEGOORITEOORI Kevad 2016 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
Διαβάστε περισσότεραKATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010
KTEGOORITEOORI Kevad 2010 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
Διαβάστε περισσότεραVektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Διαβάστε περισσότεραKirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
Διαβάστε περισσότερα1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
Διαβάστε περισσότεραLOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva
LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.
Διαβάστε περισσότεραHAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Διαβάστε περισσότεραKoduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused
Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna
Διαβάστε περισσότεραYMM3740 Matemaatilne analüüs II
YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu
Διαβάστε περισσότεραRuumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning
Διαβάστε περισσότερα1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5
1. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 2013-14. 1 Reaalarvud ja kompleksarvud Sisukord 1 Reaalarvud ja kompleksarvud 1 1.1 Reaalarvud................................... 2 1.2 Kompleksarvud.................................
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan
ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja
Διαβάστε περισσότεραAvaliku võtmega krüptograafia
Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane
Διαβάστε περισσότεραDiskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp
Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp http://www.staff.ttu.ee/ puusemp/ Sellel kodulehe aadressil asub alajaotuse Diskreetne matemaatika all elektrooniline õpik ja ülesannete
Διαβάστε περισσότεραSuhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27
Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid
Διαβάστε περισσότερα1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD
1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36
Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότερα4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].
Διαβάστε περισσότερα9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Διαβάστε περισσότεραPlaneedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Διαβάστε περισσότερα4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.
Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised
Διαβάστε περισσότερα4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise
Διαβάστε περισσότεραKrüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas
Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse Ahto Buldas 22. september 2003 2 Sisukord Saateks v 1 Entroopia ja infohulk 1 1.1 Sissejuhatus............................ 1 1.2 Kombinatoorne
Διαβάστε περισσότεραEcophon Square 43 LED
Ecophon Square 43 LED Ecophon Square 43 on täisintegreeritud süvistatud valgusti, saadaval Dg, Ds, E ja Ez servaga toodetele. Loodud kokkusobima Akutex FT pinnakattega Ecophoni laeplaatidega. Valgusti,
Διαβάστε περισσότερα1 Entroopia ja informatsioon
Kirjadus: T.M. Cover, J.A. Thomas "Elemets of iformatio theory", Wiley, 99 ja 2006. Yeug, Raymod W. "A first course of iformatio theory", Kluwer, 2002. Mackay, D. "Iformatio theory, iferece ad learig algorithms",
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks
Διαβάστε περισσότεραsiis on tegemist sümmeetrilise usaldusvahemikuga. Vasakpoolne usaldusvahemik x i, E x = EX, D x = σ2
Vahemikhinnangud Vahemikhinnangud Olgu α juhusliku suuruse X parameeter ja α = α (x 1,..., x n ) parameetri α hinnang. Kui ε > 0 on kindel suurus, siis vahemiku (α ε, α +ε) otspunktid on samuti juhuslikud
Διαβάστε περισσότεραJätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV
U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS
Διαβάστε περισσότερα2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE
Soojusõpetus 2 1 2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE 2.1. Mõõtmisteooria Füüsikalise suuruse üldise mõiste avab mõõtmisteooria. Mõõtmisteooria loogiline koht on enne füüsikakursust. Probleemide komplitseerituse
Διαβάστε περισσότεραEcophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397
Ecophon Line LED Ecophon Line on täisintegreeritud süvistatud valgusti. Kokkusobiv erinevate Focus-laesüsteemidega. Valgusti, mida sobib kasutada erinevates ruumides: avatud planeeringuga kontorites; vahekäigus
Διαβάστε περισσότεραPunktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist
Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)
Διαβάστε περισσότερα1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...
Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Διαβάστε περισσότερα28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.
8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.
Διαβάστε περισσότερα2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH
Διαβάστε περισσότεραTuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
Διαβάστε περισσότεραLambda-arvutus. λ-termide süntaks. Näiteid λ-termidest. Sulgudest hoidumine. E ::= V muutuja (E 1 E 2 ) aplikatsioon (λv.
Lambda-arvutus λ-termide süntaks Näiteid λ-termidest Sulgudest hoidumine Lambda-arvutus E ::= V muutuja (E 1 E 2 ) aplikatsioon (λv. E) abstraktsioon (λx. x) (((λx. (λf. (f x))) y)(λz. z)) (λx. y) (λx.
Διαβάστε περισσότερα20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
Διαβάστε περισσότεραAlgebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel
Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),
Διαβάστε περισσότεραT~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA
http://wwwttuee http://wwwstaffttuee/ math TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT http://wwwstaffttuee/ itammeraid Ivar Tammeraid T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA Elektrooniline ~oppematerjal
Διαβάστε περισσότεραEesti LIV matemaatikaolümpiaad
Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit
Διαβάστε περισσότεραAnalüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets
Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga
Διαβάστε περισσότερα,millest avaldub 21) 23)
II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.
Διαβάστε περισσότεραPLASTSED DEFORMATSIOONID
PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραKeemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a.
Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused oorem rühm (9. ja 0. klass) 6. november 2002. a.. ) 2a + 2 = a 2 2 2) 2a + a 2 2 = 2a 2 ) 2a + I 2 = 2aI 4) 2aI + Cl 2 = 2aCl + I 2 5) 2aCl = 2a + Cl 2 (sulatatud
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise
Διαβάστε περισσότεραRF võimendite parameetrid
RF võimendite parameetrid Raadiosageduslike võimendite võimendavaks elemendiks kasutatakse põhiliselt bipolaarvõi väljatransistori. Paraku on transistori võimendus sagedusest sõltuv, transistor on mittelineaarne
Διαβάστε περισσότεραMitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:
Διαβάστε περισσότεραAndmeanalüüs molekulaarbioloogias
Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.
Διαβάστε περισσότεραPrisma. Lõik, mis ühendab kahte mitte kuuluvat tippu on prisma diagonaal d. Tasand, mis. prisma diagonaal d ja diagonaaltasand (roheline).
Prism Prisms nimese ulu, mille s u on vsvl rlleelsee j võrdsee ülgedeg ulnurgd, ning ülejäänud ud on rööüliud, millel on ummgi ulnurgg üine ülg. Prlleelseid ulnuri nimese rism õjdes j nende ulnurde ülgi
Διαβάστε περισσότερα6 Mitme muutuja funktsioonid
6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad
Διαβάστε περισσότεραFunktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
Διαβάστε περισσότεραEnergiabilanss netoenergiavajadus
Energiabilanss netoenergiajadus 1/26 Eelmisel loengul soojuskadude arvutus (võimsus) φ + + + tot = φ φ φ juht v inf φ sv Energia = tunnivõimsuste summa kwh Netoenergiajadus (ruumis), energiakasutus (tehnosüsteemis)
Διαβάστε περισσότεραΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ
ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ ΑΔΑΜΗΣ Δ.Κ. / Τ.Κ. E.T. ΕΓΓ/ΝΟΙ ΨΗΦΙΣΑΝ ΕΓΚΥΡΑ ΓΙΟΒΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΛΕΥΚΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΜΑΝΤΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΔΑΛΙΑΝΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΣΤΡΟΣ 5 2.728 1.860 36 1.825 69 3,8% 152 8,3% 739 40,5%
Διαβάστε περισσότεραAritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid
Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.. Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Aritmeetilised operaatorid Need leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja eraldi kommenteerimist.
Διαβάστε περισσότεραTeaduskool. Alalisvooluringid. Koostanud Kaljo Schults
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool Alalisvooluringid Koostanud Kaljo Schults Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi õpilasi, kes on
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu 5. a. kevadsemester . Kahe ja kolme muutuja funktsiooni määramispiirkond, selle raja, kinnisus ja lahtisus. Olgu X ja Y hulgad. Kujutus e. funktsioon
Διαβάστε περισσότερα1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014
1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
Διαβάστε περισσότεραJoonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui
Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.
Διαβάστε περισσότεραGeomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.
Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,
Διαβάστε περισσότεραVektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2
Vektorite sklrkorrutis Vtleme füüsikkursusest tuntud olukord, kus kehle mõjub jõud F r j keh teeb selle jõu mõjul nihke s Konkreetsuse huvides olgu kehks rööbsteel liikuv vgun Jõud F r mõjugu vgunile rööbstee
Διαβάστε περισσότεραIvar Tammeraid itammeraid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I. Elektrooniline õppevahend
TTÜ Mtemtikinstituut http://www.stff.ttu.ee/ mth/ Ivr Tmmerid http://www.stff.ttu.ee/ itmmerid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I Elektrooniline õppevhend Tllinn, Trükitud versioon: Ivr Tmmerid, Mtemtiline nlüüs
Διαβάστε περισσότεραSkalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Διαβάστε περισσότερα7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85
7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline statistika ja modelleerimine
Matemaatiline statistika ja modelleerimine Kirjeldav statistika EMÜ doktorikool DK.7 Tanel Kaart Sagedused ja osakaalud diskreetne tunnus Mittearvuliste või diskreetsete tunnuste (erinevate väärtuste arv
Διαβάστε περισσότεραTARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi
Διαβάστε περισσότεραKandvad profiilplekid
Kandvad profiilplekid Koosanud voliaud ehiusinsener, professor Kalju Looris ja ehnikalisensiaa Indrek Tärno C 301 Pärnu 2003 SISUKORD 1. RANNILA KANDVATE PROFIILPLEKKIDE ÜLDANDMED... 3 2. DIMENSIOONIMINE
Διαβάστε περισσότεραPÕHIKOOLI KORDAMISE TÖÖ I
PÕHIKOOLI KORDAMISE TÖÖ I 0. Arvut vldise,6 4 täpe väärtus. 4 4. Lihtsust vldis. 4 4. Lhed võrrdisüsteem = 4. 4= 4. Mtel mksis 400 krooi. Mtli hid tõusis lgul 0% j seejärel veel %. Kui suur oli lõpuks
Διαβάστε περισσότερα; y ) vektori lõpppunkt, siis
III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf
Διαβάστε περισσότερα8. f = {(-1, 2), (-3, 1), (-5, 6), (-4, 3)} - i.) ii)..
இர மத ப பண கள வ ன க கள 1.கணங கள ம ச ப கள ம 1. A ={4,6.7.8.9}, B = {2,4,6} C= {1,2,3,4,5,6 } i. A U (B C) ii. A \ (C \ B). 2.. i. (A B)' ii. A (BUC) iii. A U (B C) iv. A' B' v. A\ (B C) 3. A = { 1,4,9,16
Διαβάστε περισσότεραMatemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35
Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika Permutatsioonid, kombinatsioonid ja variatsioonid. Sündmus. Sündmuste liigid. Klassikaline tõenäosus. Geomeetriline tõenäosus. Sündmuste liigid: sõltuvad ja
Διαβάστε περισσότεραMarch 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
Διαβάστε περισσότεραLisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus
Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus 1. Haljala valla metsa pindala Haljala valla üldpindala oli Maa-Ameti
Διαβάστε περισσότερα