Η διεργασία επίστρωσης καλωδίων µε πολυµερικό τήγµα. χρησιµοποιείται στη βιοµηχανία πλαστικών για την παραγωγή

Transcript

1 ΕΠΙΣΤΡΩΣΗ ΚΑΛΩ ΙΩΝ 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διεργασία επίστρωσης καλωδίων µε πολυµερικό τήγµα χρησιµοποιείται στη βιοµηχανία πλαστικών για την παραγωγή επικαλύψεων λεπτών συρµάτων ή άλλων καλωδίων για µόνωση και προστασία σε καταπονήσεις και φθορές. Αποτελεί µια από τις πιο σηµαντικές και ίσως την πιο παλιά διεργασία που κάνει χρήση εκβολέα, µε αναφορές που φθάνουν πίσω στο Χρησιµοποιήθηκε για την κατασκευή του πρώτου υποθαλάσσιου καλωδίου µεταξύ Dove και Calais το Οι σύγχρονες τεχνολογικές εξελίξεις αποτελούν συνέχεια των πρώτων προσπαθειών για επικάλυψη συρµάτων µε ελαστικό καουτσούκ. Η διεργασία όπως γίνεται σήµερα παρουσιάζεται σχηµατικά στο Σχήµα 9.1. Το γυµνό προς επίστρωση σύρµα βρίσκεται αρχικά περιτυλιγµένο σε καρούλια, και µε έλαση περνά από συσκευές ευθυ- Σχήµα 9.1 Σχηµατική παράσταση της διεργασίας επίστρωσης καλωδίων. Τo γυµνό σύρµα περνά µέσα από συσκευές ευθυγράµµισης και προθέρµανσης, και µετά εισέρχεται στη µήτρα εκβολής όπου συναντά το προς επικάλυψη πολυµερικό τήγµα. Ακολουθεί ψύξη σε µακρόστενη σκάφη νερού, συσκευές ελέγχου, και τελικά περιτύλιξη.

2 9- γράµµισης και προθέρµανσης, προτού περάσει εγκάρσια µέσα από τη µήτρα εκβολέα, όπου έρχεται σε επαφή µε το πολυµερικό τήγµα που επικαλύπτει, συνήθως υπό πίεση, το σύρµα. Το επιστρωµένο καλώδιο εκβάλλεται σε µακρόστενη σκάφη νερού για ψύξη, περνά ακολούθως από συσκευές έλασης (capstan) και ελέγχου οµοιοµορφίας του πάχους επίστρωσης, και οδηγείται σε καρούλια περιτύλιξης. Τέτοιες γραµµές παραγωγής µπορούν να επιστρώσουν από λεπτότατα τηλεφωνικά σύρµατα διαµέτρου 0. mm µέχρι παχειά καλώδια διαµέτρου 13 cm ή και περισσότερο. Οι εκβολείς που χρησιµοποιούνται έχουν διάµετρο από 4 cm µέχρι 5 cm, µε δυνατότητες παραγωγής από 5 µέχρι 450 kg/h. Το ανώτατο όριο παραγωγής εξαρτάται κυρίως από την ταχύτητα έλασης. Σήµερα έχουν επιτευχθεί ταχύτητες µέχρι και 0 30 m/s για την επίστρωση λεπτών τηλεφωνικών καλωδίων. Οι ταχύτητες αυτές µειώνονται όσο µεγαλώνει η διάµετρος του επιστρωµένου καλωδίου, και φθάνουν στο κατώτατο όριο των 0.5 m/s για παχειά καλώδια. Τα κυριότερα πλαστικά που χρησιµοποιούνται στη διεργασία επίστρωσης καλωδίων είναι το πλαστικοποιηµένο PVC, τα πολυαιθυλένια (LDPE, HDPE), το νάυλον, και οι πολυσουλφόνες. Λόγω του κινδύνου θερµικής αποσύνθεσης του PVC, οι γραµµές επίστρωσής του δουλεύουν σε µικρότερες ταχύτητες και θερµοκρασίες, και το PVC χρησιµοποιείται κυρίως σαν επικάλυψη άλλων καλωδίων λόγω της αφλεξίας του. Οι θερµοκρασίες επίστρωσης του τήγµατος είναι C για το PVC, 0 0 C για το LDPE, 60 0 C για το ΗDPE, 85 0 C για το νάυλον, και C για τις πολυσουλφόνες. Το σύρµα προθερµαίνεται γύρω στους C. Η διεργασία λειτουργεί στις µέγιστες δυνατές θερµοκρασίες, πιέσεις, και ταχύτητες. Αποτελεί διεργασία πολύ ακριβή ως προς τα µηχανήµατα και το κεφάλαιο

3 9-3 επένδυσης. Είναι διεργασία υψηλής τεχνολογίας και ποιότητας µε πολύ µικρές ανοχές στα τελικά προϊόντα, λόγω του κινδύνου που υπάρχει στις ηλεκτρικές εφαρµογές. Μήτρες εκβολής για επίστρωση καλωδίων (Wie-Coating Dies) Ο πυρήνας της διεργασίας είναι η µήτρα εκβολής, όπου το προς επίστρωση γυµνό σύρµα έρχεται σε επαφή µε το πολυµερικό τήγµα που παρέχει την επικάλυψη. Οι µήτρες αυτές τοποθετούνται εγκάρσια µε τη ροή του πολυµερούς στον εκβολέα (δηλ. σε γωνία 90 0 ) (cosshead), και το πολυµερές ρέει περιφερειακά σε δακτύλιο προτού έρθει σε επαφή µε το σύρµα. Υπάρχουν δύο τύποι µήτρας εκβολής: (α) πίεσης και (β) σωλήνα (βλ. Σχήµα 9.). Και στις δύο περιπτώσεις, το σύρµα περνά µέσα από µικροσυσκευή που οδηγεί και επικεντρώνει το σύρµα και λέγεται τορπίλη (topedo ή gide tip). (α) (β) Σχήµα 9. Ο πυρήνας της διεργασίας επικάλυψης καλωδίων [ΜΙΤ 86]. (α) Μήτρα εκβολής µε πίεση, (β) µήτρα εκβολής τύπου σωλήνα. Στην περίπτωση των µητρών πίεσης, το πολυµερές κάτω από πίεση έρχεται σε επαφή µε το σύρµα, το οποίο εκβάλλεται ήδη επιστρωµένο. Στην περίπτωση των µητρών σωλήνα το σύρµα επιστρώνεται έξω από τη µήτρα εκβολής, όπου η επίστρωση υποβοηθείται µε την επιβολή ελαφρού κενού. Η πρώτη µέθοδος χρησιµοποιείται για πρωτογενή επίστρωση, ενώ η δεύτερη κυρίως για περικάλυψη καλωδίων ήδη επιστρωµένων ή οµάδας καλωδίων για

4 9-4 περαιτέρω µόνωση και προστασία. Επίσης η δεύτερη µέθοδος χρησιµοποιείται και για την επίστρωση πολύ λεπτών συρµάτων που θα µπορούσαν να θραυσθούν κάτω από πίεση και την αυξηµένη τάση που χρειάζεται για να ελαστεί το καλώδιο. Έτσι επιτυγχάνονται λεπτότατες επιστρώσεις χωρίς να χρειάζεται να περάσει το πολυµερές από ελάχιστα µικρό άνοιγµα. Ο λόγος της διατοµής του ανοίγµατος της δακτυλικής µήτρας εκβολής στην έξοδο προς τη διατοµή του τελικού επιστρωµένου πολυµερούς λέγεται λόγος έλασης (dadon atio, D R ). Τυπικές τιµές του λόγου έλασης είναι µεταξύ 1 και 4 για τα πιο συνηθισµένα πολυµερή. Ο σχεδιασµός των µητρών εκβολής που χρησιµοποιούνται στη διεργασία επίστρωσης καλωδίων αποτελεί το πιο σπουδαίο µέρος της διεργασίας, αφού έχει τη µεγαλύτερη επίδραση στην παραγωγή του τελικού προϊόντος. Ιδίως η περίπτωση των µητρών πίεσης είναι η πιο δύσκολη λόγω της περίπλοκης αλληλεπίδρασης των διαφόρων παραµέτρων, και έχει γίνει το αντικείµενο πολλών αναλύσεων και µελετών στη βιοµηχανία επίστρωσης καλωδίων. Σε αντίθεση µε τις προηγούµενες διεργασίες εκβολής µε φύσηµα, εκβολής ινών, και χύτευσης φύλλων, η διεργασία επίστρωσης καλωδίων διέπεται από τις εξισώσεις διατµητικής ροής µε τοιχώµατα, στην οποία τον κύριο ρόλο παίζει το ιξώδες διάτµησης. Μόνο µετά την έξοδο από τη µήτρα αποκτά η επίστρωση ελεύθερη επιφάνεια, στην οποία δεν παίζουν µεγάλο ρόλο οι διατµητικές τάσεις. Εποµένως, για τη µαθηµατική µοντελοποίηση και ανάλυση της παρούσας διεργασίας, υπάρχει αρκετά καλή δυνατότητα πρόβλεψης για όλες τις περιπτώσεις. Για τη µοντελοποίηση, χρειάζεται κατάλληλη ρεολογική καταστατική εξίσωση που να περιγράφει τη συµπεριφορά του πολυµερούς σε διατµητική παραµόρφωση, µαζί µε τις εξισώσεις διατήρησης της

5 9-5 µάζας, ορµής, και ενέργειας. Ο Middleman [MID 77] δίνει τις σχέσεις για την πρόβλεψη των χαρακτηριστικών µεγεθών της διεργασίας, κάνοντας χρήση της προσεγγιστικής θεωρίας λίπανσης (Lbication Appoximation Theoy, LAT) και θεωρώντας το ρευστό ως γενικευµένο Νευτωνικό (µε σταθερό ιξώδες ή µε ιξώδες που υπακούει τον εκθετικό νόµο). Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιείται σαν αρχή για τις περαιτέρω αναλύσεις της διεργασίας και παρατίθεται και εδώ. 9.. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Ισοθερµοκρασιακή Επίστρωση Καλωδίων Η ανάλυση της διεργασίας επίστρωσης καλωδίων ακολουθεί την ανάλυση που δίνεται από τον Middleman [MID 77], όπου το πολυµερές θεωρείται να ρέει υπό συνθήκες µόνιµης διατµητικής ροής. Για ρευστά πολυµερικά τήγµατα µεγάλου ιξώδους, οι ιξώδεις δυνάµεις υπερισχύουν των δυνάµεων αδράνειας, βαρύτητας και επιφανειακής τάσης, που θεωρούνται αµελητέες. Η γεωµετρία της διεργασίας επιβάλλει την τοποθέτηση του προβλήµατος σε αξονοσυµµετρικό σύστηµα συντεταγµένων, που ορίζεται από την ακτινική κατεύθυνση, την αξονική κατεύθυνση έλασης, και τη γωνιακή (αζιµουθιακή) κατεύθυνση θ (βλ. Σχήµα 9.3). Υπάρχουν δύο περιπτώσεις λειτουργίας της διεργασίας: (α) απλή έλαση του καλωδίου (Σχήµα 9.3α) και (β) έλαση καλωδίου µε ταυτόχρονη επιβολή πτώσης πίεσης (Σχήµα 9.3β). (α) Aπλή Έλαση Καλωδίου Στην πρώτη περίπτωση το ελασσόµενο σύρµα συµπαρασύρει το πολυµερές και το ελάσσει µέσα από τη µήτρα εκβολής. Πρόκειται

6 9-6 (α) (β) Σχήµα 9.3 Σχηµατική παράσταση για την προσεγγιστική ανάλυση της διεργασίας επίστρωσης καλωδίων. (α) Απλή έλαση καλωδίου, (β) Έλαση καλωδίου µε ταυτόχρονη επιβολή πτώσης πίεσης. περί απλής αξονικής δακτυλικής οπισθέλκουσας ροής. Η ανάλυση γίνεται για ιξώδες ρευστό που υπακούει τον εκθετικό νόµο υπό ισοθερµοκρασιακές συνθήκες µόνιµης κατάστασης. Θεωρώντας την κίνηση του επιστρωµένου καλωδίου έξω από τη µήτρα εκβολής, παρατηρούµε ότι κινείται µε εµβολική ταχύτητα ίση µε την ταχύτητα έλασης U. Η εξίσωση διατήρησης της µάζας δίνει για την παροχή [( R ) R ]U m = ρ Q = ρ π δ (9.1) m a i i όπου ρ a είναι η πυκνότητα του στερεοποιηµένου επιστρωµένου πολυµερούς στην ατµόσφαιρα, ρ m είναι η πυκνότητα του πολυµερικού τήγµατος µέσα στην µήτρα εκβολής, Q είναι η ογκοµετρική παροχή, και δ είναι το πάχος επίστρωσης. Η ογκοµετρική παροχή µπορεί να βρεθεί µε ανάλογο τρόπο όπως στις περιπτώσεις του Κεφαλαίου για απλή αξονική οπισθέλκουσα ροή σε δακτύλιο. Οι µόνες δυνάµεις που δρούν στο πολυµερές είναι δυνάµεις ιξώδους διατµητικής τάσης, δηλ. d( τ ) = 0 d (9.) ολοκλήρωση της οποίας δίνει

7 9-7 c1 τ = (9.3) όπου c 1 είναι η σταθερά της ολοκλήρωσης. Η τάση τ δίνεται από τον εκθετικό νόµο n d c τ 1 = m = (9.4) d όπου είναι η αξονική ταχύτητα. Περαιτέρω ολοκλήρωση της Εξ. (9.4) είναι δυνατή µε τις εξής οριακές συνθήκες = U στο = (9.5α) R i = 0 στο = R 0 (9.5β) και δίνει για το προφίλ της ταχύτητας U q 1 = 1 q κ 1 R0 (9.6) όπου κ=r i /R 0 και q=(n-1)/n. Η ογκοµετρική παροχή Q δίνεται από τη σχέση q Q 1 1 κ 1 κ = q q πr0 ( R0 Ri ) U q (1 κ )( κ 1) ( κ 1) (9.7) Ο λόγος που η Εξ. (9.7) έχει γραφεί έτσι είναι για να φανεί η αντιστοιχία µε την περίπτωση ροής οπισθέλκουσας του Κεφαλαίου, όπου η διαφορά (R 0 -R i ) είναι ανάλογη µε το ύψος (άνοιγµα) Η, και το γινόµενο πr 0 είναι ανάλογο του πλάτους W. Επίσης µπορεί να αποδειχθεί ότι το δεξιό µέλος της Εξ. (9.7) ισούται µε ½, καθώς το κ 1. Η Νευτωνική επίλυση δεν µπορεί να ληφθεί από την παραπάνω επίλυση µε το να θέσουµε n=1 (q=0). Χρειάζεται να επαναληφθεί η παραπάνω διαδικασία για την ολοκλήρωση της Εξ. (9.4) µε το Νευτωνικό µοντέλο, όπου τ = µ(-d/d), και η οποία δίνει για το προφίλ της ταχύτητας

8 9-8 ln( / R0 ) = (9.8) U lnκ και για την ογκοµετρική παροχή Q κ lnκ κ 1 = πr0 ( R0 Ri ) U 4(1 κ ) lnκ (9.9) Ο φαινοµενικός ρυθµός διάτµησης (που εδώ ορίζεται αυθαίρετα στην εσωτερική επιφάνεια =R i ) δίνεται από q 1 d U q(1 κ ) κ γ R = = (9.10) i q d ( R R ) ( κ 1) R i 0 i Για την Νευτωνική περίπτωση d U (1 κ ) γ R = = (9.11) i d R R ) κ lnκ R i ( 0 i Και πάλι ο λόγος που οι παραπάνω Εξ. (9.10) και (9.11) έχουν γραφεί µε το συντελεστή U/(R 0 -R i ) είναι για να υπάρχει αντιστοιχία µε την επίπεδη γεωµετρία του Κεφαλαίου για οπισθέλκουσα ροή ανάµεσα σε παράλληλες πλάκες, για την οποία ο λόγος αµέσως από τις προαναφερθείσες αντιστοιχίες. γ = U / H συνεπάγεται Είναι τώρα δυνατή η χρησιµοποίηση της ογκοµετρικής παροχής Q που δίνεται από την Εξ. (9.7) για αντικατάσταση στην Εξ. (9.1) και απαλοιφή για να καταλήξουµε σε παραβολική εξίσωση για το πάχος επίστρωσης δ ρ 1 ' m δ δ ' 1 H ( κ, q) = 0 (9.1) ρ κ κ a όπου δ =δ/r i, και Η(κ,q) είναι το δεξιό µέλος της Εξ. (9.7). Το Σχήµα 9.4 δίνει τη συνάρτηση Η(κ,q). Λύνοντας για το δ βρίσκουµε δ ρm 1 δ ' = = 1 1 H ( κ, q) 1 (9.13) Ri ρa κ κ Το Σχήµα 9.5 δίνει το δ σαν συνάρτηση των άλλων παραµέτρων. 1/

9 9-9 Σχήµα 9.4 Αδιάστατη ογκοµετρική παροχή για αξονική οπισθέλκουσα ροή σε δακτυλικό αγωγό ρευστού που υπακούει τον εκθετικό νόµο. Σχήµα 9.5 Αδιάστατο πάχος επίστρωσης στη διεργασία επίστρωσης καλωδίων µε απλή έλαση. Ένα σηµαντικό συµπέρασµα της παραπάνω ανάλυσης είναι ότι υπάρχει ένα µέγιστο δυνατό πάχος επίστρωσης κάτω από αυτές τις συνθήκες που δίνεται από τη σχέση 1 δ max = ( R0 Ri ) (9.14) το οποίο επιτυγχάνεται µόνο στο όριο καθώς το κ 1. Ένα άλλο σηµαντικό συµπέρασµα που προκύπτει από την Εξ. (9.13) είναι ότι το πάχος της επίστρωσης δ δεν εξαρτάται από την ταχύτητα έλασης U. Πράγµατι φαίνεται ότι ο µόνος τρόπος να

10 9-10 µεταβάλει κανείς το πάχος δ για συγκεκριµένο πολυµερικό υλικό είναι µε αλλαγές της γεωµετρίας της µήτρας εκβολής. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχει συγκεκριµένος σχεδιασµός της µήτρας εκβολής και ότι αυτός δεν έδινε το πάχος επίστρωσης που θέλαµε, ή ότι υπήρχε ανάγκη να αλλαχθεί το πάχος επίστρωσης για λόγους αλλαγής χρήσης του τελικού προϊόντος. Παρατηρούµε τότε ότι το σύστηµα επίστρωσης, όπως περιγράφεται από την Εξ. (9.13), δεν παρέχει αρκετή ευελιξία ώστε να επιτρέψει έλεγχο της τιµής του δ χωρίς αλλαγές στο σχεδιασµό της µήτρας εκβολής (δηλ. στο κ). Για να είναι δυνατός ο έλεγχος µεταβολής του πάχους επίστρωσης χωρίς αλλαγή σχεδιασµού του συστήµατος, πρέπει να επιβληθεί πτώση πίεσης στο σύστηµα εκβολής του πολυµερούς. Η ακόλουθη ανάλυση δίνει τις εξισώσεις για την περίπτωση Νευτωνικού ρευστού. (β) Έλαση Καλωδίου µε Ταυτόχρονη Επιβολή Πτώσης Πίεσης Το σύστηµα προς ανάλυση δίνεται στο Σχήµα 9.3β. Πέρα από την έλαση του καλωδίου, το πολυµερές εκβάλλεται και ρέει στη µήτρα υπό την επίδραση πτώσης πίεσης Ρ που παράγει ο εκβολέας. Στην ολική ογκοµετρική παροχή Q συµβάλλουν η παροχή από την οπισθέλκουσα ροή λόγω έλασης του καλωδίου, και η παροχή λόγω της πτώσης πίεσης στο σύστηµα. Μόνο για το Νευτωνικό ρευστό είναι οι δύο συµβολές ανεξάρτητες και καθαρά αθροιστικές. Για οποιαδήποτε άλλη περίπτωση δεν συµβαίνει αυτό, και χρειάζεται αριθµητική επίλυση του προβλήµατος. Οι δύο συµβολές είναι:

11 9-11 = ) ln(1/ ) (1 1 8 ) ln(1/ κ κ κ µ π κ κ κ π L PR U R Q (9.15) Κάνοντας χρήση της εξίσωσης διατήρησης της µάζας (9.1), µπορούµε να εκφράσουµε το αδιάστατο πάχος επίστρωσης δ µε τη σχέση [ ] 1 1 ' 1/ = = p d i f f R δ δ (9.16) όπου = 1 ) ln(1/ 1 κ κ κ ρ ρ a m d f (9.17) Φ = ) ln(1/ ) ( κ κ κ κ ρ ρ a m p f (9.18) και Φ είναι η αδιάστατη πίεση UL PR µ 0 = Φ (9.19) Σχήµα 9.6 Αδιάστατο πάχος επίστρωσης στη διεργασία επίστρωσης καλωδίων µε έλαση και ταυτόχρονη επιβολή πτώσης πίεσης (Νευτωνικά ρευστά).

12 9-1 Το Σχήµα 9.6 δίνει το δ σαν συνάρτηση του κ, µε το Φ σαν παράµετρο. Για δεδοµένη µήτρα εκβολής (κ) και δεδοµένη πτώση πίεσης (Φ), µπορεί κανείς να βρεί το πάχος επίστρωσης (δ ) από το Σχήµα 9.6. Ή εναλλακτικά, µπορεί κανείς να τροποποιήσει την Εξ. (9.16) και να επιλύσει ως προς τον όρο της πίεσης βρίσκοντας κ Φ = 4 1 κ ln(1/ κ ) 8 a (1 κ ) ρm ρ ( δ ' δ ' f ) d (9.0) Σχήµα 9.7 Αδιάστατη απαιτούµενη πίεση για να παράγει δεδοµένο πάχος επίστρωσης στη διεργασία επίστρωσης καλωδίων µε έλαση και ταυτόχρονη επιβολή πτώσης πίεσης (Νευτωνικά ρευστά). Το Σχήµα 9.7 δίνει το Φ σαν συνάρτηση του δ µε το κ σαν παράµετρο. Αυτή η παράσταση είναι πιο χρήσιµη από την προηγούµενη σε περιπτώσεις που το πάχος επίστρωσης (δ ) είναι δεδοµένο, και ζητείται η πτώση πίεσης (Φ ή Ρ/L) για την επίτευξή του. Ένα χαρακτηριστικό της διεργασίας που προκύπτει από το Σχήµα 9.7, και που είναι σηµαντικό για σχεδιασµούς, αναφέρεται στην ευαισθησία του πάχους επίστρωσης σε διακυµάνσεις της πίεσης και

13 9-13 της ταχύτητας έλασης. Η σχεδόν κάθετη µορφή των καµπυλών Φ(δ ) σηµαίνει µικρή κλίση του λόγου dδ /dφ, δηλ. σχετική έλλειψη ευαισθησίας του πάχους επίστρωσης από την παράµετρο Φ, η οποία από τον ορισµό της Εξ. (9.0) επηρεάζεται από 3 παραµέτρους που µπορούν να µεταβάλλονται (ίσως χωρίς πρόθεση) στη διεργασία: Ρ, µ, και U. Εποµένως το σύστηµα δεν είναι πολύ ευαίσθητο σε αθέλητες διακυµάνσεις της διεργασίας, αλλά από την άλλη µεριά, αν θέλουµε να αλλάξουµε το πάχος επίστρωσης δ για δεδοµένη µήτρα εκβολής, είναι απαραίτητο να κάνουµε µεγάλες (της τάξης µεγέθους) µεταβολές στο Φ. Εποµένως φαίνεται ότι η επιβολή πίεσης επιπλέον της δύναµης έλασης στο σύστηµα επίστρωσης καλωδίων επιτρέπει τη δυνατότητα µικρών διορθωτικών κινήσεων του πάχους επίστρωσης (κάτι σαν fine tning ), αν όµως είναι απαραίτητο να κάνουµε µεγάλες µεταβολές στη διεργασία, τότε επιβάλλεται να αλλάξουµε είτε τη µήτρα εκβολής είτε τις συνθήκες λειτουργίας (ιδίως το U και Ρ) σε µεγάλη κλίµακα. Ο τρόπος εξέτασης της ευαισθησίας της διεργασίας όσον αφορά το πάχος επίστρωσης, βρίσκεται µε την παραγώγιση της Εξ. (9.16), δηλ. dδ ' 1/ = df δ ' 1 p (9.1) Χρειαζόµαστε την παράγωγο dδ /dφ, εποµένως έχουµε dδ ' dδ ' df p = dφ df dφ p 1/ f p = δ ' 1 Φ (9.) Η σχετική (ή ποσοστιαία) µεταβολή του δ για κάποια ποσοστιαία µεταβολή στο Φ (που αντιστοιχεί σε µεταβολή στο U), δίνεται από d lnδ ' Φ dδ ' = = d lnφ δ ' dφ 1 f p δ ' 1 ( δ ' 1) (9.3)

14 9-14 Παράδειγµα 9.1 Για την επίστρωση καλωδίων χρησιµοποιείται µήτρα εκβολής µε διαστάσεις R 0 =0.1 cm, R i =0.07 cm, L=1 cm. Το πολυµερικό υλικό θεωρείται Νευτωνικό µε ιξώδες µ=1 Pa s στις συνθήκες που επικρατούν µέσα στη µήτρα. Οι προδιαγραφές είναι για πάχος επίστρωσης δ=0.01 cm, και η ταχύτητα έλασης είναι U=3000 cm/s. (α) Να υπολογιστεί η απαιτούµενη πτώση πίεσης Ρ στο σύστηµα. Επίλυση: Από τα δεδοµένα του προβλήµατος υπολογίζουµε το δ και το κ και βρίσκουµε δ 0.01 R 0.07 δ ' = = = 0.30, κ = i = = R 0.1 R i Από το Σχήµα 9.6 βρίσκουµε ότι η αντίστοιχη τιµή του Φ κυµαίνεται µεταξύ 10 και 50. Από το Σχήµα 9.7 βρίσκουµε ότι PR0 Φ = 30 = µ UL Επίλυση για την πτώση πίεσης Ρ δίνει Ρ = 9 MPa (β) Ας υποθέσουµε ότι οι προδιαγραφές θέλουν οµοιοµορφία επίστρωσης καλύτερη από ±1%. ιακυµάνσεις στην ταχύτητα έλασης U θα οδηγήσουν σε διακυµάνσεις ανοµοιοµορφίας της επίστρωσης µέσω µεταβολών στο Φ. Ποιά είναι η µέγιστη ανεχόµενη µεταβολή στο U κάτω από αυτές τις συνθήκες; 0 Επίλυση: Στο παρόν παράδειγµα έχουµε f = 0.3 και δ = 0.3 p Εποµένως βρίσκουµε από την Εξ. (9.3) d lnδ ' = 0.9 d lnφ

15 9-15 ή ότι η ποσοστιαία αλλαγή στο δ που οφείλεται σε µεταβολές στο Φ, είναι µόλις 9% της ποσοστιαίας µεταβολής του Φ. Εποµένως αν το δ πρέπει να κρατηθεί µεταξύ ±1%, µπορεί το σύστηµα να ανεχθεί αλλαγές στην ταχύτητα έλασης µέχρι 3.4%. (γ) Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να αλλάξουµε τη διεργασία ώστε να έχουµε παραγωγή τριπλάσια από την προηγούµενη (ήτοι, αλλαγή της ταχύτητας έλασης σε U=9000 cm/s). Αν οι προδιαγραφές θέλουν το ίδιο πάχος επίστρωσης δ, και την ίδια µήτρα εκβολής (ίδιες διαστάσεις), ποιά πρέπει να είναι η πτώση πίεσης Ρ στο σύστηµα; Ποιά είναι η επίδραση της αλλαγής αυτής στο δ από το U; Επίλυση: Το δ και το κ παραµένουν τα ίδια, εποµένως το Φ=30. Αφού το U έχει τριπλασιαστεί, τότε και το Ρ πρέπει να τριπλασιαστεί (γραµµική εξάρτηση για Νευτωνικά υλικά). Εποµένως, έχουµε Ρ = 3(9) = 7 MPa Επιπλέον, αφού δεν υπάρχει αλλαγή στο δ ή στο f p, είναι προφανές από την Εξ. (9.3), ότι δεν υπάρχει αλλαγή στην ευαισθησία του δ από το U Γενική Θεώρηση Μονοδιάστατου Μοντέλου για Επίστρωση Καλωδίων Σε ό,τι ακολουθεί παρουσιάζουµε ένα γενικό µονοδιάστατο µοντέλο για την επίστρωση καλωδίων βασισµένο και αυτό στην προσεγγιστική θεωρία λίπανσης (LAT), όπως δίνεται στην ανάλυση του Fenne [FEN 70] και Mitsolis [MIT 86]. Το πεδίο ροής δίνεται στο Σχήµα 9.8 και γίνεται χρήση αξονοσυµµετρικού συστήµατος συντεταγµένων (,,θ) µε σηµείο αναφοράς το κέντρο συµµετρίας στο µέσο του σύρµατος.

16 9-16 Σχήµα 9.8 Σχηµατική παράσταση για την γενικευµένη ανάλυση της διεργασίας επίστρωσης καλωδίων. Οι γενικές εξισώσεις διατήρησης της µάζας, ορµής, και ενέργειας µπορούν να γραφούν για κάθε διατοµή και να δώσουν τις εξισώσεις που διέπουν τη διεργασία ως προς την κατεύθυνση. Η εξίσωση διατήρησης της µάζας δίνει ( ) 0 Q = π (, ) d (9.4) i ( ) όπου i είναι η εσωτερική ακτίνα του δακτυλίου ροής (σταθερά και ίση µε την ακτίνα του σύρµατος R ) και 0 είναι η εξωτερική ακτίνα του δακτυλίου ροής (στα τοιχώµατα της µήτρας εκβολής). Η εξίσωση διατήρησης της ορµής έχει µόνο συµβολή από τις δυνάµεις πίεσης και τις δυνάµεις από τις ιξώδεις τάσεις και δίνει dp d 1 d = ( τ ) (9.5) d όπου dp/d είναι η πτώση πίεσης στο σύστηµα., H διατµητική τάση τ δίνεται κατ αρχήν από τον εκθετικό νόµο n d τ = m (9.6) d

17 9-17 όπου m είναι ο δείκτης συνέπειας και n είναι ο εκθετικός δείκτης. Ολοκλήρωση της Εξ. (9.5) δίνει τ dp [ ( λ0 )] = (9.7) d όπου τ = 0 συµβαίνει στη θέση =λ 0, η οποία είναι άγνωστη εκ των προτέρων. Οι παραπάνω εξισώσεις διέπουν τη ροή του πολυµερούς τόσο στη δακτυλική περιοχή (annla egion) όσο και στην περιοχή της µήτρας εκβολής (die egion). Περαιτέρω ολοκλήρωση είναι δυνατή µε τις εξής οριακές συνθήκες: (α) στη δακτυλική περιοχή = 0 στο = (9.8α) i = 0 στο = 0 ( ) (9.8β) (β) στην περιοχή της µήτρας εκβολής = U στο = i = R (9.8γ) = 0 στο = 0 ( ) (9.8δ) Για τη µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση υποθέτουµε αµελητέα αξονική θερµική αγωγή αλλά µη-αµελητέα ακτινική θερµική αγωγή, µη-αµελητέα αξονική θερµική συναγωγή και ενέργεια λόγω ιξώδους τριβής (παρουσία τοιχωµάτων). Η εξίσωση διατήρησης της ενέργειας για τη θερµοκρασία απλοποιείται στην εξής µορφή T 1 T ρ c p = k τ (9.9) όπου c P είναι η ειδική θερµική χωρητικότητα του πολυµερούς και k είναι η θερµική αγωγιµότητα. Οι οριακές συνθήκες για την εξίσωση της ενέργειας είναι T = T στο = = R (9.30α) i

18 9-18 T = Td στο = 0 ( ) (9.30β) T = Tm στο = 0 (9.30γ) όπου Τ είναι η θερµοκρασία του σύρµατος, Τ d η θερµοκρασία της µήτρας εκβολής, και Τ m η θερµοκρασία του τήγµατος στην έξοδο του εκβολέα. Η πυκνότητα, ρ, και η ειδική θερµική χωρητικότητα, c P, µεταβάλλονται τοπικά, µιας και είναι συναρτήσεις της θερµοκρασίας. Η πυκνότητα ρ m δίνεται από [BAS 81] ρ ( T ) = ρ c T (9.31) m o ρ όπου ρ o είναι η πυκνότητα σε θερµοκρασία T o, και c ρ είναι η σταθερά διαστολής. H θερµική χωρητικότητα δίνεται από [BAS 81] c o ( T ) = c k T (9.3) P P 1 όπου c o P είναι η θερµική χωρητικότητα σε θερµοκρασία αναφοράς T o, και k 1 είναι εµπειρική σταθερά. Το ιξώδες µ σε θερµοκρασία Τ είναι µια εκθετικά φθίνουσα συνάρτηση της θερµοκρασίας και δίνεται από τη σχέση [ ( T )] µ = µ 0 exp β T0 (9.33) όπου µ 0 είναι το ιξώδες σε θερµοκρασία αναφοράς Τ 0, και β είναι ο συντελεστής µετατόπισης της θερµοκρασίας. Στην περίπτωση του εκθετικού νόµου, αντί για το ιξώδες µ θέτουµε το δείκτη συνέπειας m στην παραπάνω σχέση. Μια άλλη σχέση που µπορεί να δώσει το ιξώδες ταυτόχρονα σαν συνάρτηση του ρυθµού διάτµησης και της θερµοκρασίας είναι η ακόλουθη ln µ = a ln γ (ln γ ) ln 1 a a3 a4t a5t a6t γ (9.34) όπου οι σταθερές α 1 ως α 6 βρίσκονται από µη γραµµική προσαρµογή δεδοµένων του ιξώδους.

19 9-19 Ο Πίνακας 9.1 δίνει τυπικές τιµές των παραπάνω παραµέτρων για πολυαιθυλένιο χαµηλής πυκνότητας (LDPE Alathon 3535) που χρησιµοποιείται ειδικά για την επίστρωση τηλεφωνικών καλωδίων [ΒΑS 81], [ΗΑΑ 74]. Το Σχήµα 9.9 δίνει δεδοµένα ιξώδους για το πολυαιθυλένιο και την προσαρµογή τους µε την Εξ. (9.34) [ΜΙΤ 88]. Πίνακας 9.1. Τιµές των παραµέτρων για µη-ισοθερµοκρασιακές προσοµοιώσεις για πολυαιθυλένιο χαµηλής πυκνότητας (LDPE Alathon 3535) [BAS 81], [HAA 74]. Ιδιότητα (Μονάδες) Τιµή Ιδιότητα (Μονάδες) Τιµή ρ a (g cm -3 ) στην Eξ. (9.1) ρ a (g cm -3 ) στην Eξ. (9.31) c ρ στην Eξ. (9.31) c o p (J g -1 C -1 ) στην Eξ. (9.3) k 1 στην Eξ. (9.3) k (J cm -1 s -1 C -1 ) Εξ. (9.9) T 0 ( o C, K) στην Eξ. (9.33) β (Κ -1 ) στην Eξ. (9.33) (505) 0.03 α 1 στην Εξ. (9.34) α στην Εξ. (9.34) α 3 στην Εξ. (9.34) α 4 στην Εξ. (9.34) α 5 στην Εξ. (9.34) α 6 στην Εξ. (9.34) m (Pa s n ) Εξ. (9.6) n στην Εξ. (9.6) x Σχήµα 9.9: εδοµένα ιξώδους για το πολυαιθυλένιο χαµηλής πυκνότητας που χρησιµοποιείται στην επίστρωση λεπτών τηλεφωνικών καλωδίων [ΜΙΤ 88]. Προσαρµογή δεδοµένων µε την Εξ. (9.34).

20 9-0 ιάφορες χαρακτηριστικές παράµετροι λειτουργίας ειδικές για τη διεργασία επίστρωσης καλωδίων είναι (α) ο λόγος έλασης D R R R = (9.34) 0 ( R h) R όπου R 0 είναι η ακτίνα στην έξοδο της µήτρας εκβολής και h είναι το τελικό πάχος επίστρωσης. Λόγος έλασης D R = 1 σηµαίνει ότι η διάµετρος του επιστρωµένου καλωδίου είναι ίση µε τη διάµετρο της µήτρας εκβολής. Αν D R > 1, η διάµετρος του επιστρωµένου καλωδίου είναι µικρότερη από τη διάµετρο της µήτρας εκβολής. Σηµειωτέον ότι ίδιο D R σηµαίνει ίδιο h. (β) η πτώση πίεσης στο σύστηµα P = 0 dp d d L (9.35) όπου θεωρείται ότι Ρ=0 στην έξοδο (δηλ. στο =L). Ένα σπουδαίο αποτέλεσµα που προκύπτει από την κατανοµή της πίεσης στο σύστηµα είναι η δυνατότητα της ύπαρξης µέγιστου κατά µήκος της ροής του πολυµερούς µε το σύρµα. Στην περίπτωση αυτή, υπάρχει προς τα πίσω ταχύτητα του πολυµερούς (δηλ. ανάπτυξη στροβίλου) που είναι ενδεικτικό ακατάλληλου σχεδιασµού της µήτρας εκβολής. (γ) η τάση έλασης που εξασκείται από το πολυµερές στο σύρµα df d L L F = d F0 = R τ d F0 l l π (9.36) όπου l είναι το σηµείο επαφής του πολυµερούς µε το σύρµα και F 0 είναι η δύναµη έλασης που εφαρµόζεται για το τράβηγµα του καλωδίου από τη συσκευή έλασης πέρα από τη σκάφη ψύξης (βλ. Σχήµα 9.1). Και στην περίπτωση αυτή είναι δυνατή η παρουσία

21 9-1 µέγιστου µέσα στη µήτρα εκβολής, όπου df/d=0, και το οποίο σηµαίνει ότι υπάρχει η τάση να ωθήσει το πολυµερές το σύρµα προς την έξοδο, οπότε µειώνεται και η τάση έλασης που εξασκείται από τη συσκευή έλασης. Αφού η αντοχή του σύρµατος είναι περιορισµένη, είναι σηµαντικό να είναι γνωστή η µέγιστη αυτή τιµή έλασης που αναπτύσσεται µέσα στη µήτρα. (δ) η διατµητική τάση που υφίσταται το πολυµερές στο τοίχωµα της µήτρας εκβολής n d τ d = m (9.37) d = 0 σύρµα (ε) η διατµητική τάση που υφίσταται το πολυµερές πάνω στο n d τ = m (9.38) d = R (στ) η ισχύς που προσδίδεται στο τήγµα από την έλαση του σύρµατος L W = πr V τ d (9.39) l (ζ) η µέση αύξηση της θερµοκρασίας, που οφείλεται στην ενέργεια ιξώδους τριβής και βρίσκεται µε την παραδοχή αδιαβατικού ενεργειακού ισοζύγιου, δίνεται από τη σχέση W ( T ) ave = (9.40) Q( ρc ) p m Περαιτέρω αποτελέσµατα από την ανάλυση µπορούν να προκύψουν κάτω από µεταβαλλόµενες συνθήκες λειτουργίας. Ο Fenne [FEN 70] δείχνει ότι για άλλες ταχύτητες και θερµοκρασίες ισχύουν οι γενικές σχέσεις

22 9- n P = C1m0U (9.41) F = C (9.4) m0u n F0 n τ = C 3 m 0 U (9.43) n τ d = C 4 m 0 U (9.44) όπου C 1, C, C 3, C 4 είναι σταθερές για δεδοµένη διάµετρο σύρµατος και πάχος επίστρωσης, και το m 0 είναι το φαινοµενικό ιξώδες για µοναδιαίο ρυθµό διάτµησης (δηλ. γ =1 s -1 ) και στη θερµοκρασία λειτουργίας της µήτρας εκβολής Τ m. Η γενική περίπτωση του µοντέλου εκθετικού νόµου δεν έχει αναλυτική λύση, και έτσι είναι απαραίτητη η αριθµητική επίλυση του προβλήµατος. Αυτό γίνεται µε το λογισµικό πρόγραµµα WIRE-LAT [MIT 86] Γενική Θεώρηση ιδιάστατου Μοντέλου για Επίστρωση Καλωδίων Σε ό,τι ακολουθεί παρουσιάζουµε ένα γενικό διδιάστατο µοντέλο για την επίστρωση καλωδίων βασισµένο στην ανάλυση του Mitsolis [MIT 86] [ΜΙΤ 88]. Το πεδίο ροής δίνεται στο Σχήµα 9.8 και γίνεται χρήση αξονοσυµµετρικού συστήµατος συντεταγµένων (,,θ) µε σηµείο αναφοράς το κέντρο συµµετρίας στο µέσο του σύρµατος. Στην πραγµατικότητα το µοντέλο είναι τριδιάστατο, αλλά λόγω της συµµετρίας στην αζιµουθιακή κατεύθυνση θ, η επίλυση είναι πλήρης µε θεώρηση µόνο δύο διαστάσεων, και. (α) Εξισώσεις ιατήρησης και Ρεολογικές Καταστατικές Οι γενικές εξισώσεις διατήρησης της µάζας, ορµής, και ενέργειας γράφονται αντιστοίχα ως

23 9-3 = 0 (9.45) p τ θθ τ τ τ ρ = (9.46) p = τ τ τ ρ (9.47) = 1 T T T k T T c p ρ τ τ τ τ θθ (9.48) Για το Νευτωνικό ρευστό η ρεολογική καταστατική εξίσωση δίνει = µ τ, τ θθ µ =, = µ τ, = τ µ (9.49) Για το γενικευµένο Νευτωνικό ρευστό, το ιξώδες µ αντικαθίσταται από το φαινοµενικό ιξώδες η, που είναι συνάρτηση του µέτρου του τανυστή ρυθµών παραµόρφωσης γ. Για το µοντέλο εκθετικού νόµου αυτό δίνεται από τη σχέση ( ) ) ( = = = n n m I m γ γ γ γ γ η η θθ (9.50) όπου Ι είναι η δεύτερη αναλλοίωτη του τανυστή ρυθµών παραµόρφωσης γ µε στοιχεία = = = = γ γ γ γ θθ,,, (9.51) (β) Αδιάστατοι Αριθµοί Πριν προχωρήσουµε µε τις οριακές συνθήκες του προβλήµατος, είναι ενδιαφέρον να εξετάσουµε τους αδιάστατους αριθµούς στη διεργασία, οι οποίοι πάντοτε πρέπει να υπολογίζονται εξ

24 9-4 αρχής για να έχουµε µια γενική εικόνα για τη σχετική σπουδαιότητα των διαφόρων µεγεθών στο υπόψη πρόβληµα. Οι αδιάστατοι αριθµοί υπολογίζονται σε θερµοκρασία αναφοράς, που εδώ λαµβάνεται ως η θερµοκρασία εισόδου του τήγµατος Τ m. Σαν χαρακτηριστικό µήκος θεωρείται η ακτίνα του σύρµατος R (θα µπορούσε να θεωρηθεί και το πάχος επίστρωσης h, που συνήθως είναι περί τα 80% του R ). Σαν χαρακτηριστική ταχύτητα θεωρείται η ταχύτητα έλασης V. Ο χαρακτηριστικός ρυθµός διάτµησης δίνεται από V R γ = (9.5) και το χαρακτηριστικό ιξώδες από η = η γ, T ) (9.53) ( m Για πολυµερές που υπακούει τον εκθετικό νόµο, V n 1 n 1 η = m( T ) m γ = m( Tm ) R (9.54) Με τις παραπάνω χαρακτηριστικές τιµές είναι τώρα δυνατός ο ορισµός των ακόλουθων αδιάστατων αριθµών. 1. Η σχετική σπουδαιότητα των δυνάµεων αδράνειας στην εξίσωση ορµής εκτιµάται από τον αριθµό Reynolds ρv R Re = (9.55) η T m Μολονότι γενικά στις διεργασίες µορφοποίησης πολυµερών, Re << 1, και ισχύει η προσέγγιση έρπουσας ροής, ειδικά στη διεργασία της επίστρωσης καλωδίων υψηλής ταχύτητας, ο αριθµός Re µπορεί να φθάσει µέχρι 10, και οι όροι αδράνειας στην εξίσωση διατήρησης της

25 9-5 ορµής (Εξ. 9.46, 9.47) πρέπει να λαµβάνονται υπόψη στους υπολογισµούς. Η σχετική σπουδαιότητα του κάθε όρου στην εξίσωση διατήρησης της ενέργειας (Εξ. 9.48) εκτιµάται από τους ακόλουθους αδιάστατους αριθµούς.. Ο αριθµός Peclet ρc pvr Pe = (9.56) k T m αποτελεί µέτρο σύγκρισης της µεταφοράς θερµότητας µε συναγωγή σχετικά µε τη µεταφορά θερµότητας µε διάχυση. Υψηλές τιµές του αριθµού Ρe σηµαίνουν ροή που διέπεται από συναγωγή. Από όλες τις διεργασίες µορφοποίησης πολυµερών, η παρούσα διεργασία δίνει τις υψηλότερες τιµές του αριθµού Ρe, που µπορεί να φθάσει µέχρι 100, Ένας άλλος αδιάστατος αριθµός που σχετίζεται µε τον αριθµό Ρe, είναι ο αριθµός Gaet ρc pvr R G = = Pe kl L Tm Tm (9.57) όπου L είναι το µήκος της µήτρας εκβολής. Ο αριθµός G αντιστοιχεί στο λόγο του χρόνου που απαιτείται για διάχυση της θερµότητας από το κέντρο του αγωγού προς τα τοιχώµατα, προς το µέσο χρόνο παραµονής στον αγωγό. Όπως και µε τον αριθµό Ρe, υψηλές τιµές του αριθµού G σηµαίνουν ότι συναγωγή θερµότητας στην αξονική κατεύθυνση είναι πιο σηµαντική από διάχυση θερµότητας προς τα τοιχώµατα. 4. Ο αριθµός Nahme

26 9-6 βη V Na = (9.58) k T m αποτελεί µέτρο σύγκρισης της ενέργειας ιξώδους τριβής µε τη διάχυση της θερµότητας. Εποµένως αποτελεί δείκτη της σύζευξης των εξισώσεων διατήρησης ορµής και ενέργειας µέσω των τάσεων. Για τιµές Να µεγαλύτερες από (εξαρτάται από τη γεωµετρία και τις θερµικές οριακές συνθήκες), η ενέργεια ιξώδους τριβής οδηγεί σε σηµαντική σύζευξη των εξισώσεων διατήρησης, καθιστώντας την µηισοθερµοκρασιακή ανάλυση απαραίτητη. 5. Η σχετική σπουδαιότητα του τρόπου µεταφοράς θερµότητας στα τοιχώµατα εκφράζεται από τον αδιάστατο αριθµό Biot Bi T H T T b = (9.59) s b όπου Η είναι το τοπικό δακτυλικό άνοιγµα ( 0 - i ), T s είναι η θερµοκρασία του περιβάλλοντος χώρου, και T b είναι η τοπική θερµοκρασία του τοιχώµατος. Γενικά ισχύει ότι για υψηλές τιµές του Bi (Bi > 100), έχουµε ισοθερµοκρασιακές συνθήκες (Bi ), ενώ για χαµηλές τιµές του Bi (Bi < 1), έχουµε αδιαβατικές συνθήκες (Bi 0). Συνήθεις τιµές για τη διεργασία της επίστρωσης καλωδίων είναι 10 < Bi < 100. Ενώ ο αριθµός Bi είναι κατάλληλος για την περιγραφή της διάχυσης θερµότητας στο περιβάλλον, χρειάζεται άλλος αδιάστατος αριθµός για την περιγραφή της µεταφοράς θερµότητας µεταξύ πολυµερούς και σύρµατος. 6. Η παράµετρος χωρητικότητας C C R ( ρc H ( ρc p = (9.60) p ) ) m

27 9-7 χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό της ενέργειας που αποθηκεύεται στο σύρµα στη διάρκεια της θερµοκρασιακής ανάπτυξης. Η παράµετρος C συσχετίζει την θερµική χωρητικότητα (ρc p ) του σύρµατος µε τη θερµική χωρητικότητα (ρc p ) m του πολυµερικού τήγµατος. Εδώ πρέπει να σηµειωθεί ότι η θερµική χωρητικότητα (ρc p ) είναι της ίδιας τάξης µεγέθους για τα πολυµερή και τα µέταλλα. Ο χρόνος που απαιτείται µέσα στο µεταλλικό σύρµα για διάχυση της θερµότητας είναι κατά πολύ µικρότερος από το χρόνο που απαιτείται για διάχυση της θερµότητας µέσα στο πολυµερικό τήγµα, δηλ. R ( ρc p ) ( ρc p H k km ) m << (9.61) Για αδιαβατικές συνθήκες στα τοιχώµατα (τέλεια µονωµένα τοιχώµατα), ισχύει ότι Bi=C=0. (γ) Οριακές Συνθήκες Οι παραπάνω εξισώσεις χρειάζονται για την επίλυσή τους ένα σύνολο οριακών συνθηκών, οι οποίες γράφονται ως εξής: 1. στα ακίνητα τοιχώµατα (όπως τα τοιχώµατα της µήτρας εκβολής), επιβάλλεται µηδενική ταχύτητα, δηλ., = =0.. Στα κινούµενα τοιχώµατα (όπως το κινούµενο σύρµα), επιβάλλεται αξονική ταχύτητα ίση µε την ταχύτητα έλασης, δηλ., =0, =U. 3. Στην είσοδο της δακτυλικής µήτρας, το προφίλ της ταχύτητας δίνεται από την ογκοµετρική παροχή Q, και είναι, =0, = (). 4. Στην έξοδο του πεδίου ροής, υπάρχει παράλληλη ροή µε το επιστρωµένο καλώδιο, δηλ., =0, σ n=0. 5. Στην ελεύθερη επιφάνεια, επιβάλλεται µηδενική κάθετη ταχύτητα, δηλ. n=0.

28 Για τη θερµοκρασία, θεωρείται γνωστή η θερµοκρασία στα τοιχώµατα της µήτρας, Τ d, στο σύρµα, Τ, και στην είσοδο, Τ m. Στην πραγµατικότητα η θερµοκρασία σε καµία περίπτωση δεν είναι σταθερή, αλλά πρέπει να βρεθεί από ενεργειακά ισοζύγια στα τοιχώµατα. Αυτή η θεώρηση κάνει χρήση του αδιάστατου αριθµού Biot (βλ. Εξ παραπάνω), που δίνεται επίσης από τη σχέση ht R Bi = (9.6) k όπου h Τ είναι ο συντελεστής θερµικής συναγωγής. Στην επιφάνεια του σύρµατος γράφεται ισοζύγιο ενέργειας για την εύρεση της θερµοκρασίας του σύρµατος κάνοντας χρήση της θερµικής του χωρητικότητας, δηλ. q n T = k (ρc = p ) R V T (9.63) όπου q n είναι η κάθετος στην επιφάνεια ροή θερµότητας. Κάνοντας χρήση των παραπάνω αδιάστατων αριθµών, η Εξ. (9.63) γράφεται T Ts T = Bi H T CPe (9.64) Οι παραδοχές που έγιναν για την εξαγωγή του παραπάνω ισοζυγίου είναι οµοιόµορφη θερµοκρασία σε κάθε διατοµή του σύρµατος (Τ f()), και έλλειψη αξονικής διάχυσης της θερµότητας στο σύρµα. Ο αριθµός Biot για το σύρµα είναι µηδέν. Στην επιφάνεια της µήτρας εκβολής γράφεται ισοζύγιο ενέργειας για την εύρεση της θερµοκρασίας του τοιχώµατος κάνοντας χρήση του τοπικού αριθµού Biot, δηλ. T Bi qn = k = k ( Ts Td ) (9.65) 0 i

29 9-9 όπου Τ s είναι η θερµοκρασία της µήτρας εκβολής που διατηρείται σταθερή σε κάποια απόσταση s (αυθαίρετη αλλά µέσα σε λογικά όρια, π.χ. 10R ) από το τοίχωµα. Ο αριθµός Biot υπολογίζεται από kd Bi = k i 1 s ln 1 i i s s (9.66) και εποµένως η ροή θερµότητας γράφεται q n = i k d T d T s i s ln i (9.67) Η ίδια εξίσωση µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για τα τοιχώµατα της τορπίλλης. Στην ελεύθερη επιφάνεια έξω από τη µήτρα εκβολής γράφεται ισοζύγιο ενέργειας για την εύρεση της θερµοκρασίας της ελεύθερης επιφάνειας κάνοντας χρήση του τοπικού αριθµού Biot που βρίσκεται από το συντελεστή µεταφοράς θερµότητας h Τ, δηλ. q n T = k = ht ( Tc Ta ) (9.68) 0 όπου Τ c είναι η άγνωστη θερµοκρασία της επιφάνειας επίστρωσης, και Τ a είναι η θερµοκρασία του περιβάλλοντος µέσου ψύξης (π.χ. αέρα ή νερού). Τελικά, στο τέλος του πεδίου σε απόσταση =L, θεωρείται ότι δεν επέρχεται περαιτέρω µεταβολή στο πάχος επίστρωσης, και εποµένως δεν υπάρχουν µεταβολές στην κλίση της θερµοκρασίας µε την απόσταση (ή είναι πολύ µικρές), δηλ. T / = 0. Εποµένως, T q n = k = 0 (9.69) =L

30 ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων που διέπουν τη διεργασία έχουν γίνει: (α) για το µονοδιάστατο προσεγγιστικό µοντέλο LAT µε την αριθµητική µέθοδο Neton-Raphson για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, και (β) για το διδιάστατο γενικό µοντέλο µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM), που είναι πιο γενική και ισχύει και για συνήθεις και για µερικές διαφορικές εξισώσεις. Η επίλυση µε τη FEM είναι αρκετά περίπλοκη για τις πλήρεις διδιάστατες εξισώσεις διατήρησης, και δεν δίνεται εδώ (βλ. [ΜΙΤ 86]). Γενικά αναφέρεται όµως, ότι η διεργασία επίστρωσης καλωδίων, σαν διεργασία που διέπεται από διατµητική ροή (παρουσία τοιχωµάτων), είναι υπολογιστικά πιο εύκολη από τις τρεις προηγούµενες περιπτώσεις που διέπονται από εφελκυστική ροή (έλλειψη τοιχωµάτων, παρουσία ελευθέρων επιφανειών). Οι άγνωστοι του προβλήµατος µε το µοντέλο LΑΤ είναι η αξονική ταχύτητα, η κλίση της πίεσης dp/d, και η θερµοκρασία T, κατά µήκος του πεδίου ροής. Η εφαρµογή της µεθόδου επίλυσης γίνεται µε λογισµικό κώδικα (WIRE-LAT), γραµµένο ειδικά για προσοµοιώσεις της διεργασίας επίστρωσης καλωδίων [MIT 86]. Το πρόγραµµα είναι γενικό και ισχύει τόσο για Νευτωνικά όσο και για µη- Νευτωνικά ψευδοπλαστικά (καθαρώς ιξώδη) ρευστά που διέπονται από διάφορες κατηγορίες µοντέλων. Για µη-ισοθερµοκρασιακές προσοµοιώσεις, το ιξώδες διορθώνεται τοπικά σύµφωνα µε την Eξ. (9.33) και γίνεται επίλυση της εξίσωσης διατήρησης της ενέργειας (Εξ. 9.9) µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών. Αντίθετα, µε το διδιάστατο µοντέλο οι άγνωστοι του προβλήµατος είναι οι δύο ταχύτητες,, η πίεση Ρ, και η θερµοκρασία Τ (διατύπωση -v-p-t). Η εφαρµογή της µεθόδου επίλυσης FEM γίνεται µε λογισµικό κώδικα (MACVIP), γραµµένο για γενικές προσοµοιώσεις διεργασιών µορφοποίησης πολυµερών και σύνθετων υλικών [MIT 83]. Το πρόγραµµα είναι γενικό και ισχύει τόσο για Νευτωνικά όσο και για µη-νευτωνικά ψευδοπλαστικά

31 9-31 (καθαρώς ιξώδη), ιξωδοπλαστικά και ιξωδοελαστικά ρευστά που διέπονται από διάφορες κατηγορίες µοντέλων ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ισοθερµοκρασιακή Επίστρωση Καλωδίων µε το Μοντέλο Εκθετικού Νόµου Αρχίζουµε µε την ανάλυση σε τυπική µονάδα επίστρωσης τηλεφωνικών καλωδίων µε τη γεωµετρία του Σχήµατος 9.9, όπως δίνεται από τους Haas και Skeis [HAA 74]. Θεωρούµε ότι το υλικό υπακούει τον εκθετικό νόµο (Εξ. 9.6). Εξετάζονται 4 τιµές του εκθετικού δείκτη, δηλ. n=1 (Νευτωνικό), 0.75 και 0.5 (τυπικά πολυµερή), και 0.5 (καουτσούκ). Σχήµα 9.9 Γεωµετρία συστήµατος επίστρωσης τηλεφωνικών καλωδίων σύµφωνα µε τους Haas και Skeis [HAA 74]. Η επίλυση για τις βασικές µεταβλητές της διεργασίας δίνεται στα Σχήµατα 9.10(α),(β),(γ), για την πίεση, τη δύναµη έλασης, και τις τάσεις στο σύρµα και στο τοίχωµα της µήτρας, αντίστοιχα.

32 9-3 Πίνακας 9. Συνθήκες λειτουργίας γραµµής επίστρωσης τηλεφωνικών καλωδίων για τήγµα πολυαιθυλενίου χαµηλής πυκνότητας (LDPE - ALATHON-3535) µε το σύστηµα του Σχ. 9.9 [MIT 88]. Ιδιότητα (Μονάδες) Ακτίνα σύρµατος ( ΑWG), R (cm) Πάχος επίστρωσης, h (cm) Βέλτιστο διάστηµα ανοίγµατος, GS (cm) Θερµοκρασία λειτουργίας, T 0 ( 0 C) Τιµή (α) (β) (γ) Σχήµα 9.10 Προβλέψεις από την ισοθερµοκρασιακή ανάλυση LAT της διεργασίας επίστρωσης τηλεφωνικών καλωδίων στο σύστηµα του Σχ (α) Πίεση, (β) δύναµη έλασης, (γ) τάσεις στο σύρµα και στο τοίχωµα της µήτρας εκβολής. Το υλικό υπακούει τον εκθετικό νόµο. Ορισµένες παρατηρήσεις από την επίλυση γίνονται παρακάτω: (α) Η πτώση πίεσης είναι µονοτονική για n < 0.75 (πολυµερικά ρευστά), που σηµαίνει ότι δεν υπάρχει ροή προς τα πίσω, εποµένως στρόβιλοι. Αυτό εγγυάται οµαλή ροή του υλικού µέσα στο σύστηµα επίστρωσης. εν συµβαίνει όµως το ίδιο για Νευτωνικά ρευστά µε το σχεδιασµό αυτό (παραγωγή στροβίλων για n > 0.7). (β) Η δύναµη έλασης παρουσιάζει µέγιστο µέσα στη µήτρα εκβολής, που πρέπει να λαµβάνεται υπόψη στη συσκευή έλασης του καλωδίου. Το µέγιστο αυξάνεται µε τη µη-νευτωνική συµπεριφορά του υλικού (n < 1).

33 9-33 (γ) Οι τάσεις δείχνουν οµαλή κατανοµή τόσο στο σύρµα όσο και στο τοίχωµα της µήτρας. Αυτό είναι ενδεικτικό καλού σχεδιασµού του συστήµατος επίστρωσης. Επίσης φαίνεται ότι το µέγεθος των τάσεων µειώνεται όσο αυξάνεται ο µη-νευτωνικός χαρακτήρας του υλικού, το οποίο είναι απόρροια του εκθετικού νόµου διατµητικής λέπτυνσης. Τελικά, το Σχήµα 9.11 δείχνει σύγκριση των προσοµοιώσεων από τη LAT και τον εκθετικό νόµο µε τα πειραµατικά δεδοµένα των Haas και Skeis [HAA 74], που εκτέλεσαν πειράµατα µέτρησης της πτώσης πίεσης για διαφορετικές ταχύτητες έλασης. Φαίνεται ότι οι προσεγγιστικές προσοµοιώσεις υπερεκτιµούν την πτώση πίεσης στο Σχήµα 9.11 Σύγκριση ισοθερµοκρασιακών προσοµοιώσεων [ΜΙΤ 88] κάνοντας χρήση της LAT και του εκθετικού νόµου (τ=9774γ 0.44 ) µε πειράµατα [ΗΑΑ 74] για τη διεργασία επίστρωσης τηλεφωνικών καλωδίων µε πολυαιθυλένιο (LDPE). σύστηµα, ιδίως αν ληφθεί υπόψη η διαφορά πυκνότητας µεταξύ του θερµού τήγµατος και του ψυχρού επιστρώµατος. Παρόλο που τα αποτελέσµατα είναι ποιοτικά σωστά, ποσοτικά χρειάζεται πλήρης µηισοθερµοκρασιακή διδιάστατη ανάλυση για τη σωστή πρόβλεψη, όπως αναλύεται στα επόµενα.

34 Μη-Ισοθερµοκρασιακή ιδιάστατη Ανάλυση για την Επίστρωση Καλωδίων µε το Γενικευµένο Νευτωνικό Μοντέλο - Σύγκριση µε Πειράµατα Σύγκριση των πλήρως διδιάστατων µη-ισοθερµοκρασιακών αριθµητικών προσοµοιώσεων κάνοντας χρήση του γενικευµένου ιξώδους µοντέλου (Εξ. 9.34) µε τα πειράµατα των Haas και Skeis [HAA 74] (βλ. δεδοµένα στον Πίνακα 9.1, 9., και 9.3) παρουσιάζεται στο Σχήµα 9.1. Σηµειωτέον ότι για τις ταχύτητες έλασης που κυµαίνονται από 100 έως 000 cm/s, οι χαρακτηριστικοί ρυθµοί διάτµησης κυµαίνονται από , και οι αδιάστατοι αριθµοί κυµαίνονται ως εξής: Re= , Pe= , G= , Na= Σχήµα 9.1 Σύγκριση προσοµοιώσεων [ΜΙΤ 88] από την πλήρως διδιάστατη µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση και το γενικευµένο ιξώδες µοντέλο (Εξ. 9.34) µε πειράµατα [ΗΑΑ 74] για τη διεργασία επίστρωσης τηλεφωνικών καλωδίων µε πολυαιθυλένιο (LDPE).

35 9-35 Πίνακας 9.3 Πρόσθετα δεδοµένα για τις προσοµοιώσεις επίστρωσης τηλεφωνικών καλωδίων µε το σύστηµα του Σχ. 9.9 [MIT 88]. Ιδιότητα (Μονάδες) Πυκνότητα χάλκινου σύρµατος, ρ (g cm -3 ) Ειδική θερµότητα χάλκινου σύρµατος, c p (J g -1 C -1 ) Θερµική αγωγιµότητα χάλκινου σύρµατος, k (J cm -1 s -1 C -1 ) Θερµική αγωγιµότητα ανοξ. χάλυβα (µήτρα), k d (J cm -1 s -1 C -1 ) Θερµική αγωγιµότητα βολφραµίου (τορπίλη), k t (J cm -1 s -1 C -1 ) Συντελεστής µεταφοράς θερµότητας, h T (J cm - s -1 C -1 ) Θερµοκρασία περιβάλλοντος αέρα, T a ( 0 C) Θερµοκρασία σώµατος µήτρας εκβολής, T s ( 0 C) Θερµοκρασία τορπίλης, T t ( 0 C) Απόσταση ελέγχου θερµοκρασίας στη µήτρα, s (cm) Απόσταση ελέγχου θερµοκρασίας στην τορπίλη, s (cm) Τιµή ( 11R ) 0 Φαίνεται ότι λαµβάνεται καλή συµφωνία µεταξύ θεωρίας και πειραµατικών δεδοµένων. Η µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση δίνει τα καλύτερα αποτελέσµατα όταν λαµβάνονται υπόψη τα ενεργειακά ισοζύγια στα τοιχώµατα που δίνουν τιµές για τον αδιάστατο αριθµό Biot µεταξύ 30 < Bi < 130. Η πλήρης ανάλυση έχει τη δυνατότητα να δώσει λεπτοµερή αποτελέσµατα (όπως άλλωστε αναµένεται) για όλες τις µεταβλητές του πεδίου ροής και θερµοκρασίας. Π.χ. στο Σχήµα 9.13 φαίνονται οι ροϊκές γραµµές, όπου διαπιστώνεται η οµαλή ροή του υλικού µέσα και έξω από τη µήτρα εκβολής. Το Σχήµα 9.14 δίνει την αύξηση της θερµοκρασίας στα τοιχώµατα και στο σύρµα, ενώ το Σχήµα 9.15 δίνει ακτινικά προφίλ της θερµοκρασίας στην έξοδο της µήτρας εκβολής για διάφορες παραδοχές θερµικών οριακών συνθηκών. Τέλος, το Σχήµα 9.16(α) δίνει τις τάσεις στα τοιχώµατα της µήτρας και στο σύρµα, ενώ στο

36 9-36 Σχήµα 9.16(β) δίνεται η δύναµη έλασης για διαφορετικές ταχύτητες που αναπτύσσεται πάνω στο ελασσόµενο σύρµα. Σχήµα 9.13 Τυπική εικόνα ροϊκών γραµµών όπως προκύπτουν από την πλήρως διδιάστατη µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση στη διεργασία επίστρωσης τηλεφωνικών καλωδίων µε πολυαιθυλένιο [ΜΙΤ 88]. (α) (β) Σχήµα 9.14 Κατανοµή θερµοκρασίας (α) στα τοιχώµατα της µήτρας εκβολής, (β) στο σύρµα, για διαφορετικές ταχύτητες έλασης, όπως προκύπτουν από την πλήρως διδιάστατη µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση στη διεργασία επίστρωσης τηλεφωνικών καλωδίων µε πολυαιθυλένιο (30 < Bi < 130, Τ 0 =3 0 C) [MIT 88].

37 9-37 (α) (β) Σχήµα 9.15 Ακτινική κατανοµή της θερµοκρασίας στην έξοδο της µήτρας εκβολής: (a) 30 < Bi < 130, Τ 0 =3 0 C, (β) V W =10 m/s, Τ 0 =3 0 C, όπως προκύπτουν από την πλήρως διδιάστατη µηισοθερµοκρασιακή ανάλυση στη διεργασία επίστρωσης τηλεφωνικών καλωδίων µε πολυαιθυλένιο [ΜΙΤ 88]. Σχήµα 9.16 (α) (β) (α) Τάσεις στο τοίχωµα της µήτρας εκβολής και στο σύρµα, (β) δύναµη έλασης στο σύρµα, όπως προκύπτουν από την πλήρως διδιάστατη µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση στη διεργασία επίστρωσης τηλεφωνικών καλωδίων µε πολυαιθυλένιο [ΜΙΤ 88] ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Τα µοντέλα ανάλυσης της διεργασίας επίστρωσης καλωδίων που παρουσιάστηκαν εδώ έχουν διάφορους βαθµούς επιτυχίας. Το µοντέλο απλής έλασης µε θεώρηση µονοδιάστατης ροής δείχνει την

38 9-38 αδυναµία ελέγχου του πάχους επίστρωσης. Το µοντέλο έλασης µε επιβολή πίεσης αναιρεί την προηγούµενη αδυναµία. Απλά διαγράµµατα έχουν παραχθεί, που είναι εύκολα στη χρήση και µπορούν να χρησιµοποιηθούν για ταχείς υπολογισµούς και ανάλυση της ευαισθησίας του συστήµατος. Το µονοδιάστατο µοντέλο που βασίζεται στην προσεγγιστική θεωρία λίπανσης (LAT) λύνεται µόνο αριθµητικά, αλλά µπορεί να κάνει αξιόπιστη ανάλυση σε πραγµατικά συστήµατα επίστρωσης µε πολύπλοκες µήτρες εκβολής. Χρειάζονται κυρίως καλά δεδοµένα για το ιξώδες σαν συνάρτηση του ρυθµού διάτµησης και της θερµοκρασίας. Με αυτά τα δεδοµένα η µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση δεν παρουσιάζει παραπάνω επιπλοκές. Το διδιάστατο µοντέλο (στην πραγµατικότητα τριδιάστατο αλλά µε αξονοσυµµετρία) δεν βασίζεται σε προσεγγίσεις και έχει µεγάλη επιτυχία στην δυνατότητα πρόβλεψης αποτελεσµάτων. Αυτό οφείλεται στο ότι το πεδίο ροής στη διεργασία αυτή διέπεται από ροή διάτµησης µε κύριο ρεολογικό χαρακτηριστικό το ιξώδες διάτµησης, για το οποίο υπάρχουν (ή µπορούν να ληφθούν) καλά δεδοµένα. Η εισαγωγή µη-νευτωνικής συµπεριφοράς πρέπει απαραίτητα να γίνει µε κατάλληλο ρεολογικό µοντέλο (καταστατική εξίσωση) που να περιγράφει µε ακρίβεια τη συµπεριφορά του πραγµατικού πολυµερικού τήγµατος σε διάτµηση. Τέτοιες µετρήσεις γίνονται σήµερα ευρέως για τα περισσότερα πολυµερικά τήγµατα χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες. Εποµένως, εν κατακλείδι, πρέπει να θεωρήσουµε ότι το µονοδιάστατο µοντέλο LAT που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο αυτό αποτελεί µια αρκετά σωστή προσπάθεια υπολογισµού και κατανόησης της δύσκολης αυτής διεργασίας, τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά.

39 9-39 Αποτελεί τη βάση εκκίνησης για ταχείς υπολογισµούς και κυρίως για σχεδιασµό συστηµάτων και µητρών εκβολής που να ικανοποιούν ορισµένα κριτήρια λειτουργίας. Με τη διενέργεια αρχικά τέτοιων υπολογισµών, µπορεί κανείς µετά να κάνει χρήση των πλήρως διδιάστατων µοντέλων, για περισσότερες λεπτοµέρειες και ακρίβεια στις προσοµοιώσεις της σηµαντικής αυτής βιοµηχανικής διεργασίας. Βιβλιογραφία [BAI 95] BAIRD, D.G., COLLIAS, D.I.: Polyme Pocessing: Pinciples and Design, Btteoth-Heinemann, Neton, MA, [BAS 81] BASU, S.: A Theoetical Analysis of Non-Isothemal Flo in Wie-Coating Co-Extsion Dies, Polym. Eng. Sci., 1, p , [FEN 70] FENNER, R.T.: Extde Sce Design, Iliffe, London, [HAΑ 74] HAΑS, K.U., SKEWIS, F.H.: The Wie Coating Pocess: Die Design and Polyme Flo Chaacteistics", Poc. 3nd ANTEC'74, Soc. Plast. Eng., Vol. 0, p. 8-1, [MID 77] MIDDLEMAN, S.: Fndamentals of Polyme Pocessing, McGa-Hill, Ne Yok, [ΜΙΤ 83] ΜΙΤSOULIS, E., VLACHOPOULOS, J., MIRZA, F.A.: MACVIP A Finite-Element Pogam fo Ceeping Viscoelastic Flos, Intenal Repot, Faclty of Engineeing, McMaste Univesity, Hamilton, Ontaio, Canada, 1983.

40 9-40 [ΜΙΤ 86] ΜΙΤSOULIS, E., HENG, F.L.: WIRE-LAT A Compte Pogam fo Analysis and Design of Wie-Coating Dies, Dept. Chem. Eng., Univesity of Ottaa, Ottaa, Ontaio, Canada, [ΜΙΤ 86] ΜΙΤSOULIS, E.: Flid Flo and Heat Tansfe in Wie Coating: A Revie, Adv. Polym. Technol., 6, p , [MIT 88] MITSOULIS, E., WAGNER, R., HENG, F.L.: Nmeical Simlation of Wie-Coating Lo-Density Polyethylene: Theoy and Expeiments, Polym. Eng. Sci., 8, p , 1988.