ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΦΡΑΓΜΑΤΩΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ *

Transcript

1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2007), σελ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΦΡΑΓΜΑΤΩΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Φ. Μηλιένος, Μ. Κούτρας Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σ. Τσιτμηδέλης Γενικό Τμήμα Θετικών Επιστημών, ΤΕΙ Χαλκίδας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η ανάγκη για την εύρεση των βέλτιστων τιμών, μιας συγκεκριμένης κλάσης φραγμάτων αξιοπιστίας (Fu and Koutras (1995)), οδήγησε τους Koutras et al. (2003) στη μελέτη και την εφαρμογή μεθόδων της θεωρίας των προβλημάτων κάλυψης συνόλων (Set Coverng Problems, SCP). Oι ίδιοι επισήμαναν ότι ο υπολογισμός των προαναφερθέντων φραγμάτων βασίζεται στην επιλογή μιας οικογένειας συνόλων, η οποία δεν ορίζεται μονοσήμαντα, και επιπλέον, επηρεάζεται από τη συγκεκριμένη μετάθεση των ελάχιστων συνόλων διακοπής (ε.σ.δ.) και των ελάχιστων συνόλων λειτουργίας (ε.σ.λ.), που χρησιμοποιούνται κάθε φορά. Οι Κούτρας κ.α. (2005) πρότειναν μια μέθοδο, με την οποία μπορούμε να προσδιορίσουμε διατάξεις των ε.σ.δ. και ε.σ.λ., οι οποίες μας προσφέρουν βέλτιστες τιμές για τη συγκεκριμένη κλάση φραγμάτων. Επειδή όμως η επίλυση ενός SCP, απαιτεί ένα μεγάλο πλήθος πράξεων (το συγκεκριμένο πρόβλημα ανήκει στην κατηγορία των NP-complete προβλημάτων και παρουσιάζει έντονο ερευνητικό ενδιαφέρον), θεωρείται αναγκαίο να επινοηθεί ένας τρόπος με τον οποίο να σαρώνουμε όλες τις διατάξεις των ε.σ.δ. (ή ε.σ.λ.), με τις μικρότερες δυνατές αλλαγές στις συνθήκες του SCP, ενώ παράλληλα να υπάρχει μια σύνδεση μεταξύ των διαδοχικών λύσεων, ώστε να μην απαιτείται λύση ενός νέου SCP σε κάθε βήμα. Τα κύρια αποτελέσματα της εργασίας αυτής, αποτελούν μια συμβολή στην τελευταία κατεύθυνση και μπορούν να χρησιμοποιηθούν, σε συνδυασμό με κάποιες αριθμητικές μεθόδους, για την εύρεση της βέλτιστης τιμής των γενικών φραγμάτων αξιοπιστίας, που αναφέρθηκαν παραπάνω. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έστω ένα σύστημα αξιοπιστίας με σύνολο μονάδων I = { 1, 2,..., n}, όπου κάθε μονάδα του μπορεί να βρίσκεται σε κατάσταση λειτουργίας (με πιθανότητα p, I ), ή σε κατάσταση αποτυχίας (με πιθανότητα 1 p ). Επίσης, υποθέτουμε ότι τα ε.σ.δ. του συστήματος είναι τα, C = { C 1,, C N }(θα ασχοληθούμε μόνο με τα ε.σ.δ. και κατ επέκταση μόνο με το άνω φράγμα, της κλάσης των φραγμάτων αξιο- Η εργασία συγχρηματοδοτήθηκε από την ΕΕ (75%) και την Ελληνική Κυβέρνηση (25%), μέσω του ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ, "Αρχιμήδης", του ΤΕΙ Χαλκίδας, και το υποπρόγραμμα "Χρήση σύγχρονων εργαλείων πληροφορικής για τη μελέτη συστημάτων αξιοπιστίας και συναφών εφαρμογών"

2 πιστίας που θα μελετήσουμε, διότι η γενίκευση για το κάτω φράγμα, είναι ακριβώς (π) ανάλογη). Ας ορίσουμε τα σύνολα (Κούτρας κ.α.(2005)), = { r : π( r) < π( ) και C C, r {1, 2,, N}}, = 1, 2,, N r (π), εισά- όπου π είναι μια συγκεκριμένη διάταξη των ε.σ.δ.. Χρησιμοποιώντας τα γουμε τα σύνολα, τα οποία ικανοποιούν τις σχέσεις, C για κάθε και C = (εάν = = ). Στην περίπτωση που οι μονάδες λειτουργούν ανεξάρτητα η μια από την άλλη, το παρακάτω θεώρημα μας δίνει την κλάση των (άνω) φραγμάτων, με την οποία θα ασχοληθούμε (Fu & Koutras (1995)). Θεώρημα 1 Για κάθε μονότονο σύστημα με ανεξάρτητες μονάδες και ε.σ.δ. C = C,, C } ισχύει, { 1 N R N 1 = 1 C p (1 p ( x n C 1 όπου R είναι η αξιοπιστία του συστήματος (η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργεί). Είναι γνωστό ότι το κάτω φράγμα των Esary & Proschan (Barlow & Proschan (1981)), δίδεται από τη σχέση, N = EP = 1 (1 p ). 1 C Επομένως, ως βέλτιστη επιλογή των, μπορούμε να θεωρήσουμε εκείνη που θα προκύπτει από το διάνυσμα x = x,..., ) (με x {0, 1} ), το οποίο θα ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση (Koutras et al. (2003)), f ( x ) = ( lnp ) x k C ικανοποιώντας ταυτόχρονα τις συνθήκες, α k C 1, εάν η k μονάδα ανήκει στο C α k =, 0, διαφορετικά και { k C : x = 1} (με και με = k k x k k k ) 1, για κάθε ( π ), όπου = 1,..., N και k = 1,, n C συμβολίζουμε το συμπληρωματικό σύνολο του C, τον πληθάριθμό του). Τα προβλήματα αυτής της μορφής, όπου προσπαθούμε να ελαχιστοποιήσουμε μια γραμμική συνάρτηση, κάτω από συγκεκριμένες (γραμμικές) ανισότητες, ονομάζονται προβλήματα κάλυψης συνόλων ( SCP ). Είναι φανερό από τα προηγούμενα ότι, αλλάζοντας τη διάταξη των ε.σ.δ., αλλάζει εν γένει και η βέλτιστη επιλογή των. Οι Κούτρας κ.α.(2005) πρότειναν μια μέ- C

3 θοδο, με την οποία μπορούμε να βρούμε τη διάταξη εκείνη, που μας δίνει την καλύτερη επιλογή για τα (τη «βέλτιστη» διάταξη). Μέσω της τελευταίας μεθόδου, καλούμαστε να λύσουμε ένα πλήθος από SCP και παράλληλα, με τη χρήση κατάλληλων πινάκων, να οδηγηθούμε στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Έτσι δημιουργήθηκε η ανάγκη να βρεθεί ένας τρόπος με τον οποίο να σαρώνουμε όλες τις διατάξεις των ε.σ.δ., με τις μικρότερες δυνατές αλλαγές στις συνθήκες του SCP. Αυτό θα δώσει τη δυνατότητα να γίνει μια σύνδεση μεταξύ των διαδοχικών λύσεων, ελαχιστοποιώντας με αυτό τον τρόπο τους απαιτούμενους αριθμητικούς υπολογισμούς. 2. ΚΥΡΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Αρχικά θα επικεντρωθούμε στο πώς μπορούμε να σαρώνουμε όλες τις δυνατές μεταθέσεις των N ε.σ.δ., αλλάζοντας κατά τω ελάχιστο δυνατό τις συνθήκες των SCP. Ας θεωρήσουμε το σύνολο M = { 1, 2,, N} και ας συμβολίσουμε με S N, το σύνολο των μεταθέσεων των στοιχείων του ( S N = N!). Για την αναπαράσταση κάθε μετάθεσης π S N, χρησιμοποιούμε το συμβολισμό (Ανδρεαδάκης (1993)), 1 2 N π =, π(1) π(2) π( N) ενώ ως γινόμενο δυο μεταθέσεων π, σ S N, ορίζουμε την πράξη 1 2 N π σ =. σ( π(1)) σ( π(2)) σ( π( N)) Μια μετάθεση π ονομάζεται κύκλος μήκους k, εάν υπάρχουν διακεκριμένα S N a1, a,, ak} M, για τα οποία ισχύει, π( a ) a, = 1,, k 1, { 2 = + 1 π( ak ) = a1, π( b) = b, b M \{ a1,, ak }, (ο κύκλος μήκους k συμβολίζεται με π = ( a1 a2 ak )). Να σημειώσουμε ότι ένας κύκλος μήκους 1, είναι η ταυτοτική μετάθεση ( π( ) =, M ), ενώ ένας κύκλος μήκους 2, καλείται αντιμετάθεση. Η παρακάτω πρόταση, αποδεικνύεται σημαντική για τη συνέχεια (Ανδρεαδάκης (1993)). Πρόταση 1 Κάθε μετάθεση π SN, μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο αντιμεταθέσεων. Ας ορίσουμε τον κύκλο μήκους N, π = ( 1 2 N), ως μετάθεση Τύπου Ι, και τον κύκλο μήκους 2, π = ( N 1 N), ως μετάθεση Τύπου ΙΙ. Πρόταση 2 Κάθε μετάθεση π Ι και Τύπου ΙΙ. S N, μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο μεταθέσεων Τύπου Απόδειξη Θα αποδείξουμε αρχικά ότι κάθε αντιμετάθεση, μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο μεταθέσεων Τύπου Ι και Τύπου ΙΙ. Έπειτα κάνοντας χρήση της Προτάσεως

4 1, θα καταλήξουμε στο ζητούμενο. Αρχικά, ας θεωρήσουμε την αντιμετάθεση, ( a + 1) όπου, + 1 { M} (δυο γειτονικών στοιχείων). Τότε ισχύουν τα παρακάτω, ( a a ) = (1 2 N) (1 2 N)( N N 1 1 N)(1 2 N) (1 2 N + 1 ) επομένως, η αντιμετάθεση δυο γειτονικών στοιχείων, γράφεται ως γινόμενο των μεταθέσεων Τύπου Ι και ΙΙ. Για την αντιμετάθεση ( a a + ) όπου > 0, εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε το παρακάτω, ( a + ) = ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + 1 οπότε, η a + ) γράφεται ως γινόμενο γειτονικών αντιμεταθέσεων. ( a Ουσιαστικά αυτό που έχουμε αποδείξει στην Πρόταση 2, είναι ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε όλες τις μεταθέσεις των N στοιχείων, είτε αλλάζοντας αμοιβαία τη θέση του τελευταίου και του προτελευταίου στοιχείου, είτε πηγαίνοντας το τελευταίο, στην πρώτη θέση. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να σαρώνουμε όλες τις μεταθέσεις των N ε.σ.δ., με τέτοιο τρόπο ώστε στα SCP, που καλούμαστε να επιλύσουμε, να προσθέτουμε ή να αφαιρούμε, το πολύ μια συνθήκη, σε κάθε βήμα (δηλαδή, με την ελάχιστη δυνατή αλλαγή). Η χρησιμότητα του προηγούμενου αποτελέσματος, θα γίνει περισσότερο ευδιάκριτη με τις παρακάτω προτάσεις, όπου αποδεικνύεται πώς συνδέονται οι λύσεις από δυο SCP, τα οποία διαφέρουν το πολύ κατά μια συνθήκη. Αρχικά, θεωρούμε ότι ο χώρος των λύσεων του SCP (για τυχαίο C ), f ( x ) = ( lnpk ) xk, α k C k C k x 1, για κάθε, αποτελείται από όλα τα διανύσματα x {0, 1} (που ουσιαστικά πρόκειται για σύνολα μονάδων, του συστήματος αξιοπιστίας), που ικανοποιούν τις συνθήκες του SCP, άλλα ταυτόχρονα, κανένα στοιχείο (δηλαδή, καμία μονάδα) δε θα μπορεί να αφαιρεθεί από τη λύση (αφαιρώντας μια μονάδα από τη λύση, μια τουλάχιστον συνθήκη θα παύει να ικανοποιείται). Η πρώτη περίπτωση με την οποία θα ασχοληθούμε, είναι όταν σ ένα SCP, το οποίο έχουμε ήδη λύσει (έχουμε βρει τη λύση που ελαχιστοποιεί την f (x) ), προσθέσουμε μια επιπλέον συνθήκη. Θα συμβολίσουμε με x τη βέλτιστη λύση ενός SCP, με συνθήκες ( SCP ),και με x + 1 τη βέλτιστη λύση του ίδιου SCP, αλλά με μια συνθήκη παραπάνω ( SCP ). Με βάση τα + 1 προηγούμενα, μπορούμε να αποδείξουμε τις επόμενες δυο προτάσεις. x ικανοποιεί και το Πρόταση 3 Εάν η συνθήκη), τότε f x ) f ( x ). ( = + 1 SCP k C + 1 a ) (δηλαδή, ικανοποιεί και την επιπλέον

5 Απόδειξη Επειδή η x + 1 ικανοποιεί και το SCP, ισχύει f ( x ) ( ) f x+ 1 (έχουμε παραλείψει τον δείκτη από τη συνάρτηση f, διότι αναφερόμαστε σε τυχαίο ε.σ.δ.). Επιπλέον, επειδή η καθώς η x + 1 Πρόταση 4 Εάν η x ικανοποιεί και τη νέα συνθήκη, παίρνουμε f x ) f ( x ),, είναι η βέλτιστη λύση του όπου x είναι η πιθανότητα λειτουργίας και ( + 1 SCP. + 1 x δεν ικανοποιεί το SCP + 1 f ( x ) = mn{ f ( x, τότε + 1 ), f ( x x μαζί με τη μονάδα της νέας συνθήκης, που έχει τη μεγαλύτερη x είναι η μέγιστη λύση του x δεν υπάρχει, τότε νέα βέλτιστη λύση είναι η SCP +1. Εάν η Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι από την + 1 )} SCP, που ικανοποιεί και το x. x μπορούμε να αφαιρέσουμε μια μονάδα και να παραμείνει λύση του SCP. Συμβολίζοντας με x 1, την x+ 1 από την οποία έχει αφαιρεθεί μια μονάδα (παραμένοντας λύση του SCP ), έχουμε f ( x 1 ) f ( x ) (1) και ταυτόχρονα, f ( x ) f ( x+ 1). (2) Εάν προσθέσουμε και στα δυο μέλη της (1), την τιμή lnpm, όπου p m είναι η πιθανότητα λειτουργίας της μονάδας που αφαιρέθηκε (σίγουρα θα είναι η πιο αξιόπιστη της νέας συνθήκης), παίρνουμε f ( x1) lnpm f ( x ) lnpm f ( x+ 1) f ( x ) (3) και από τις (2) και (3), έχουμε, f ( x ) = f ( x+ 1). Ας υποθέσουμε ότι από την x + 1 δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε μια μονάδα και να παραμείνει λύση του SCP. Τότε, Επειδή όμως η x + 1 x είναι η μέγιστη λύση του f ( + 1 x ) f ( x )., ικανοποιεί και το SCP, έχουμε f x ) f ( x ), καθώς η SCP, που ικανοποιεί και το ( = + 1 τελευταίες σχέσεις, προκύπτει ότι f x ) f ( x ), δηλαδή, + 1 ), f ( x )}. f ( x ) = mn{ f ( x ( + 1 SCP + 1. Από τις δυο Στις επόμενες δυο προτάσεις, διερευνούμε τη σχέση που συνδέει τη λύση ενός SCP, με τη λύση του SCP 1.Πιο συγκεκριμένα, γνωρίζοντας τη βέλτιστη λύση ενός SCP, με συνθήκες ( SCP ), εξετάζουμε τι πληροφορίες μπορούμε να πάρουμε για

6 τη βέλτιστη λύση του SCP, το οποίο προκύπτει από το προηγούμενο, αφαιρώντας μια συνθήκη ( SCP 1 ). Πρόταση 5 Αν από την x μπορούμε να αφαιρέσουμε μια μονάδα (συμβ. x ), και εξακολουθεί να ικανοποιεί το SCP 1, τότε f ( x 1) = f ( x ). Απόδειξη Εύκολα διαπιστώνουμε ότι ισχύει, f ( x ) f ( x 1). (4) Εάν συμβολίσουμε με p R την αξιοπιστία της μονάδας που αφαιρέθηκε από την x, παίρνουμε το παρακάτω, f ( x ) f ( x 1) lnpr, αφού η x 1 μαζί με τη μονάδα που αφαιρέθηκε, ικανοποιεί το SCP. Έτσι, f ( x ) f ( x 1) lnpr f ( x ) + lnpr f ( x 1 ) f ( x ) f ( x 1) (5) και από τις (4), (5), έχουμε f ( x 1) f ( x ). = Πρόταση 6 Αν από την x δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε μια μονάδα, έτσι ώστε αυτό που προκύπτει να εξακολουθεί να ικανοποιεί το SCP 1, τότε όπου με 1 ), f ( x f ( x ) = mn{ f ( x x συμβολίζουμε τη μέγιστη λύση του μια μονάδα, ικανοποιώντας ταυτοχρόνως και το SCP 1. Εάν η νέα βέλτιστη λύση είναι η x. )} SCP, από την οποία έχουμε αφαιρέσει x δεν υπάρχει, τότε Απόδειξη Εάν η x 1 ικανοποιεί και τη συνθήκη που έχει αφαιρεθεί, τότε από την Πρόταση 1, παίρνουμε f ( x 1) = f ( x ). Εάν όμως η x 1 δεν ικανοποιεί και τη συνθήκη που αφαιρείται, τότε, f ( x 1) f ( x ). (6) Επιπλέον, f ( x 1) lnpr f ( x ) lnpr, όπου p R, η πιθανότητα λειτουργίας της μονάδας που αφαιρέθηκε. Από την τελευταία ανισότητα, προκύπτει, f ( x 1) f ( x ) και από την (6), βρίσκουμε f ( x 1) = f ( x ). Έτσι, f ( x ) = mn{ f ( x ), f ( x )} 1. Παράδειγμα Θεωρούμε το σύστημα αξιοπιστίας, συνεχομενο-4-από-τα-7: F, του οποίου τα ε.σ.δ. είναι, C 1 = {1, 2, 3, 4}, C 2 = {2, 3, 4, 5}, C3 = {3, 4, 5, 6} και C 4 = {4, 5, 6, 7}. Σκοπός μας είναι να δούμε πώς αλλάζουν οι συνθήκες των SCP (συνεπώς και η βέλτιστη λύση των SCP ), πηγαίνοντας από μια μετάθεση σε μια άλλη. Ας ξεκινήσουμε μελετώντας τη μετάθεση C 1C4C3C2, όπου εύκολα μπορούμε να διαπιστώ

7 σουμε ότι, 1 =, 2 = {1}, 3 = {1, 2}, 4 = {1, 2, 3}. Επομένως, τα τρία SCP που πρέπει να επιλυθούν, έχουν τις παρακάτω συνθήκες, x 1 x1 1 7 x 1 + x2 + x3 1, και x1 + x2 1 x 1, 6 x 6 + x7 1 (για τα C 4, C3, C2, αντιστοίχως). Άρα, το σύνολο των λύσεων για κάθε SCP, είναι S 4 = {{1},{2},{3}}, S 3 = {{1, 7},{2, 7}}, S 2 = {{1, 6}}, ενώ εάν υποθέσουμε ότι, p1 p2 p7, τότε οι βέλτιστες λύσεις είναι οι, 4 = { 1}, 3 = {1,7}, 2 = {1,6}. Έστω τώρα ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε τη μετάθεση C 1C4C2C3. Τότε, οι συνθήκες των SCP γίνονται, x 1 x x 1 + x2 + x3 1, και x6 + x7 1 x 1, 7 x1 + x 2 1 (για τα C 4,C 2,C 3 αντιστοίχως). Έτσι, από το SCP που αντιστοιχεί στο C 2, αφαιρέθηκε μια συνθήκη, ενώ στο SCP που αντιστοιχεί στο C 3, προστέθηκε μια συνθήκη. Στην προηγούμενη μετάθεση, η βέλτιστη λύση του SCP που αντιστοιχεί στο C 2, ήταν η 2 ={1,6}, από την οποία δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε μια μονάδα, και να εξακολουθεί να ικανοποιεί το νέο SCP. Επιπλέον, επειδή το σύνολο S 2, δεν έχει άλλες λύσεις, καταλήγουμε στο συμπέρασμα, ότι η νέα βέλτιστη λύση, ταυτίζεται με την παλιά (Πρόταση 6). Παράλληλα, η νέα συνθήκη ( x 2 1), που προστέθηκε στο SCP που αντιστοιχεί στο C 3, δεν ικανοποιείται από τη βέλτιστη λύση του προηγούμενου SCP (την {1,7}). Οπότε, η βέλτιστη λύση του νέου SCP, είναι η {1,7,2} ή η μέγιστη λύση του S 3, που ικανοποιεί και τη νέα συνθήκη. Άρα, η βέλτιστη λύση είναι μια από τις, {1,7,2} και {2,7}, δηλαδή, η {2,7} (Πρόταση 4). Τα παραπάνω αποτελέσματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε αλγοριθμικές μεθόδους επίλυσης SCP, ακριβείς ή προσεγγιστικές, βελτιώνοντας τόσο τους απαιτούμενους χρόνους, όσο και τις τελικές προσεγγίσεις (στη δεύτερη περίπτωση). Συγκεκριμένα, οι Κούτρας κ.α (2003) είχαν προτείνει την επίλυση των SCP, μέσω γενετικού αλγόριθμου (ΓΑ), ενώ σ αυτή την εργασία, θα χρησιμοποιήσουμε τον προσεγγιστικό αλγόριθμο επίλυσης, που προτάθηκε από τον Chvatal (1979) (επιτυγχάνεται μεγάλη βελτίωση, σε υπολογιστικό χρόνο), ο οποίος σε ορισμένες περιπτώσεις δίνει την ακριβή λύση - όπως στην περίπτωση d μονάδων. Στον Πίνακα 1, συμπεριλαμβάνουμε τους χρόνους εύρεσης του βέλτιστου άνω φράγματος (με τον αλγόριθμο Chvatal), ανάμεσα στις N διατάξεις που προκύπτουν από τη συνεχόμενη εφαρμογή της μετάθεσης Τύπου Ι. Ενώ, στον Πίνακα 2 υπάρχουν οι χρόνοι εύρεσης του βέλτιστου άνω φράγματος ανάμεσα στις Ν 2 διατάξεις που προκύπτουν από την εναλλάξ εφαρμογή των μεταθέσεων Τύπου Ι και Τύπου ΙΙ. Παρατηρούμε ότι τα αποτελέσματα των προτάσεων, βελτιώνουν σημαντικά τους χρόνους εύρεσης, σε όλες σχεδόν τις περιπτώσεις

8 Πίνακας 1 Σύστημα Πλήθος ε.σ.δ. Αξιοπιστία μονάδων (d) Χρόνος χωρίς τη χρήση των Προτάσεων 3-6 (sec) Χρόνος με χρήση των Προτάσεων 3-6 (sec) ,30 0, ,56 427, ,50 3, , ,47 Πίνακας 2 Βελτίωση 65% 68% 67% 63% Σύστημα Πλήθος ε.σ.δ. Αξιοπιστία μονάδων (d) Χρόνος χωρίς τη χρήση των Προτάσεων 3-6 (sec) Χρόνος με χρήση των Προτάσεων (sec) ,79 11, ,61 207, ,88 68, ,59 319,06 ABSTRACT Βελτίωση 38% The study of a specfc class of relablty bounds (Fu & Koutras (1995)), lead Koutras et al. (2003) to an approach usng the theory of set coverng problems. They ponted out that the evaluaton of these relablty bounds s based on the arrangement of the mnmal cut sets (m.c.s) and mnmal path sets (m.p.s - Barlow & Proschan (1981)) and the choce of a famly of sets (whch s not unquely determned). Furthermore, they ntroduced an algorthmc approach for determnng the optmal famly of sets (gven a specfc arrangement of m.c.s. and m.p.s.), by transformng the problem to an equvalent set coverng problem. Koutras et al. (2005) presented a method that can be used for the determnaton of the arrangement of m.c.s. and m.p.s. that produces the optmal relablty bounds. Snce, a set coverng problem s generally computatonally demandng, t would be very useful to fnd an effectve algorthm to span all the permutatons of m.c.s. (or m.p.s.) as well as a connecton between successve solutons.the present artcle s a contrbuton n the last drecton. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Barlow, R.E. and Proschan, F. (1981). Statstcal Theory of Relablty and fe Testng, Holt, Renhart and Wnston, NY. Chvatal, V. (1979). A greedy heurstc for the set-coverng problem, Mathematcs of Operatons Research, 4(3), Fu, J.C. and Koutras, M.V. (1995). Relablty bounds for coherent structures wth ndependent components, Statstcs & Probablty etters, 22, Koutras, Μ.V., Tstmdels, S. and Zssmopoulos, V. (2003). Evaluaton of relablty bounds by set coverng models, Statstcs & Probablty etters, 61, Ανδρεαδάκης, Σ. (1993). Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα. Κούτρας Μ., Μηλιένος, Φ., Τσιτμηδέλης, Σ. και Ζησιμόπουλος, Β. (2005). Μελέτη μιας κλάσης φραγμάτων αξιοπιστίας, Πρακτικά 18 ου Παν. Συν. Στατ., % 68% 68%