ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ-ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ-ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σημειώσεις Πανεπιστημιακών Παραδόσεων ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΗΛΙΏΝΗΣ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 205

2 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αντικείμενο της οικονομικής χρηματοοικονομικής στατιστικής αποτελεί η συλλογή, επεξεργασία και παρουσίαση των οικονομικών - χρηματοοικονομικών δεδομένων. Σκοπός του μαθήματος δεν είναι μόνο να παρουσιάσει θεωρητικές μεθόδους και τεχνικές που αφορούν το αντικείμενο της οικονομικής στατιστικής, αλλά και να γεφυρώσει το χάσμα μεταξύ θεωρίας και πράξης. Αυτό θα καταστεί εφικτό με την επαφή και εξοικείωση του φοιτητή με το σύγχρονο διεθνές οικονομικόστατιστικό γίγνεσθαι. Έτσι αφού δοθούν οι σχετικοί ορισμοί και καθορισθεί το απαραίτητο εννοιολογικό πλαίσιο όσον αφορά τα οικονομικά δεδομένα και μεγέθη, θα αναπτυχθούν καθιερωμένες αλλά και νεώτερες τεχνικές και μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την επίτευξη των στόχων της οικονομικής-χρηματοοικονομικής στατιστικής. Για τις τελευταίες η ύλη θα στηριχθεί και σε σχετικά σεμινάρια των στατιστικών τμημάτων των διεθνών οργανισμών (ΙΜF, OECD, EUROSTAT, ECB). Επιπλέον θα συζητηθεί ο τρόπος παρουσίασης των οικονομικών δεδομένων στα κυριότερα έντυπα που εκδίδονται από διεθνείς και εγχώριες πηγές. Η τελευταία παγκόσμια οικονομική κρίση σε μακρο-επίπεδο, αλλά και η πλήρης απελευθέρωση των χρηματοοικονομικών αγορών, με την σταδιακή κατάργηση των όποιων εναπομεινάντων περιορισμών στην κίνηση κεφαλαίων, κατέστησε την έγκαιρη παραγωγή αξιόπιστων οικονομικών και χρηματοοικονομικών στατιστικών αναγκαία παρά ποτέ. Παράλληλα αυξήθηκε τεραστίως τόσο ο όγκος των ζητούμενων οικονομικών-χρηματοοικονομικών δεδομένων όσο και η πολυπλοκότητα στην διαδικασία παραγωγής τους, ενώ σε παράγοντα κεφαλαιώδους σημασίας έχει αναδειχθεί η αξιοπιστία των παραγόμενων στατιστικών. Δεν είναι άλλωστε τυχαίο ότι τα κονδύλια που διατίθενται από τους αρμόδιους εθνικούς και διεθνείς φορείς για τη βελτίωση της αξιοπιστίας των παραγόμενων στατιστικών δεδομένων έχουν πρόσφατα αυξηθεί σημαντικά, ως πανθομολογούμενη αναγνώριση των εν δυνάμει λίαν καταστροφικών συνεπειών για την παγκόσμια οικονομία από μία λάθος διάγνωσης ή πρόβλεψη οικονομικών φαινομένων, συνεπεία χρήσης στατιστικών μειωμένου βαθμού αξιοπιστίας. 2

3 Μέσα στη σημερινή απεραντοσύνη του θέματος της οικονομικής και χρηματοοικονομικής στατιστικής, όπως εκτέθηκε παραπάνω, είναι δύσκολο να επιλέξει κανείς τη θεματολογία για ένα εξαμηνιαίο μάθημα τριών ωρών εβδομαδιαίως, καθώς είναι προφανές ότι το αντικείμενο είναι αδύνατο να καλυφθεί στην ολότητά του. Έτσι σημαντικό ρόλο στη θεματολογία που επιλέχθηκε έπαιξε και η παρούσα εγχώρια οικονομική κατάσταση. Τυχόν λάθη, ασάφειες και παραλήψεις βαρύνουν αποκλειστικά το συγγραφέα με το μικρό ελαφρυντικό ότι μέρος της ύλης διδάσκεται για πρώτη φορά σε ελληνικό ΑΕΙ. 3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ- ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ.. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τα στατιστικά στοιχεία εξυπηρετούν το σκοπό για τον οποίο συλλέγονται και χρησιμοποιούνται, όταν η παρουσίασή τους γίνεται με τρόπο απλό και σύμφωνα με ορισμένη λογική τάξη, ώστε να διευκολύνονται οι συγκρίσεις. Ένας τέτοιος τρόπος είναι οι στατιστικοί πίνακες που αποτελούν συστηματικές κατατάξεις αριθμητικών δεδομένων σε στήλες και γραμμές. Η ταξινόμηση στατιστικών στοιχείων σε ένα πίνακα μπορεί να γίνει με βάση ένα ποσοτικό χαρακτηριστικό, ένα ποιοτικό χαρακτηριστικό ή το χρόνο. Έτσι διακρίνουμε αντίστοιχα τις ποσοτικές, τις ποιοτικές και τις χρονολογικές ταξινομήσεις. Οι δύο πρώτες καλούνται "διαστρωματικές" διότι δίνουν την κατάσταση που διαμορφώνεται στις επιμέρους τάξεις ή στρώματα του χαρακτηριστικού (ποιοτικού ή ποσοτικού) σε ορισμένη χρονική στιγμή. Αντίθετα η χρονολογική ταξινόμηση στηρίζεται στο χρόνο εμφανίσεως των τιμών του χαρακτηριστικού..2 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Συνοπτική παρουσίαση μεγάλου αριθμού μετρήσεων ορισμένου χαρακτηριστικού μπορεί να γίνει με τον ποσοτικό προσδιορισμό "τάξεων" και τη μέτρηση του αριθμού των τιμών που ανήκουν σε κάθε μία τάξη. Ένας στατιστικός πίνακας με δύο στήλες από τις οποίες η μία περιέχει τα "διαστήματα τάξεως" του ποσοτικού χαρακτηριστικού και η άλλη τους αριθμούς των μετρήσεων που εμπίπτουν σε αυτά, δηλαδή τις αντίστοιχες "συχνότητες", λέγεται κατανομή συχνότητας ή απλά κατανομή. Από τον H. Sturges έχει προταθεί ένας τύπος με τον οποίο μπορούμε να προσεγγίσουμε το εύρος που πρέπει να έχουν τα διαστήματα τάξεως μιας κατανομής συχνότητας. Αν Ν το πλήθος των τιμών του χαρακτηριστικού, Μ και Ε αντίστοιχα η μέγιστη και η ελάχιστη από τις τιμές που διαθέτουμε, το εύρος αυτό i προσεγγιστικά θα δίνεται από τη σχέση: i M E + 3,32log.3 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ Η ταξινόμηση των διαθέσιμων τιμών ενός χαρακτηριστικού σε κατανομή συχνότητας, αν και απλουστεύει την παρουσίασή τους εντούτοις δεν εξειδικεύει σε ικανοποιητικό βαθμό τα κύρια γνωρίσματά τους. Έτσι, μία τέτοια ταξινόμηση δε μας δίνει τη δυνατότητα να κάνουμε, σε ποσοτική βάση, περιγραφή 4

5 της κατανομής ή και σύγκρισή της με μία άλλη ή περισσότερες κατανομές. Για την αντιμετώπιση του προβλήματος αυτού πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα μικρό αριθμό μέτρων, τα οποία να εκφράζουν με τρόπο σαφή τα κύρια γνωρίσματα κάθε κατανομής συχνότητας. Ως γνωστόν τέτοια μέτρα είναι η κεντρική τάση, η διασπορά, η ασυμμετρία και η κύρτωση. Λόγω της σημασίας τους στη θεωρία των αριθμοδεικτών, εδώ θα αναφερθούμε αποκλειστικά σε μέτρα κεντρικής τάσης (ή αλλιώς μέτρα θέσης) και συγκεκριμένα στον αστάθμητο και σταθμικό αριθμητικό μέσο, στο γεωμετρικό μέσο, καθώς και στον αρμονικό μέσο..4 ΑΠΛΟΣ (ΑΣΤΑΘΜΗΤΟΣ) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Ο αστάθμητος αριθμητικός μέσος μιας σειράς τιμών ορισμένου χαρακτηριστικού ως γνωστόν υπολογίζεται από τη σχέση: X = Ν x i i= Ν Όταν τα στοιχεία είναι ταξινομημένα σε κατανομή συχνότητας, είναι άγνωστες οι συγκεκριμένες τιμές που ανήκουν σε κάθε διάστημα τάξεως. Για τις τιμές αυτές υιοθετούμε την υπόθεση ότι συμπίπτουν με τις κεντρικές τιμές των αντίστοιχων διαστημάτων τάξεως. Συνεπώς, για να έχουμε μία εκτίμηση του αθροίσματος όλων των τιμών του χαρακτηριστικού, θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε κάθε κεντρική τιμή διαστήματος τάξεως με την αντίστοιχη συχνότητα. Διαιρώντας, κατά τα γνωστά, το άθροισμα που προκύπτει με το πλήθος των τιμών παίρνουμε τον ζητούμενο αριθμητικό μέσο. Δηλαδή χρησιμοποιούμε τον τύπο: X k c c c c fx i i k k i= k fx fx f x = = i= f i Όπου: k ο αριθμός των διαστημάτων τάξεως, f i η συχνότητα στο διάστημα τάξεως i, του διαστήματος i και f =Ν. i k i= c x i η κεντρική τιμή 5

6 Παράδειγμα ΠΙΝΑΚΑΣ Ωριαία αποζημίωση σε $, 30 υπαλλήλων μιας επιχείρησης Χ = i= x i /30 = 870/30 = 29 $ ΠΙΝΑΚΑΣ 2 Κατανομή της ωριαίας αποζημίωσης των 30 υπαλλήλων και υπολογισμός του αριθμητικού μέσου τους. Διάστημα Τάξεως (σε $) Συχνότητα ( f ) Κεντρική Τιμή ( x c ) Γινόμενο f x c Σύνολο

7 Εύρος διαστήματος τάξεως : Τύπος Sturges : i = M E = 59 0 = 49 +3,32log +3,32log30 5,9 = 8,3 περίπου Άρα προσεγγιστικά παίρνοντας εύρος 0$ περίπου είναι Ο.Κ. Επομένως: X = k i= k i= fx c i i f i =820/30 = 27,3 $ περίπου Η διαφορά που προκύπτει οφείλεται στο ότι σε όλα πλην ενός τα διαστήματα τάξεως οι κεντρικές τιμές είναι μικρότερες από τους μέσους των μισθών που ανήκουν σε αυτά όπως φαίνεται και στον Πίνακα 3 ΠΙΝΑΚΑΣ 3 Σύγκριση των κεντρικών τιμών των διαστημάτων τάξεως της κατανομής του Πίνακα 2 με τους μέσους όρους των τιμών που ανήκουν σ' αυτά. Διάστημα Τάξεως Κεντρική Τιμή Μέσος μισθών που ανήκουν στο διάστημα τάξεως , , , , ,00 7

8 .5. ΣΤΑΘΜΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ ΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΜΕΣΩΝ Η αναγκαιότητα χρήσης σταθμικών αριθμητικών μέσων για λόγους και μέσους γίνεται φανερή μέσω του παραδείγματος που ακολουθεί. Παράδειγμα: Παραγωγή σιταριού-υπολογισμός μέσης στρεμματικής απόδοσης Πίνακας 4 Παραγωγή σιταριού, καλλιεργηθείσες εκτάσεις και στρεμματική απόδοση σε επιμέρους περιοχές της Ελλάδος κατά το έτος 978 Περιοχές Παραγωγή (χιλ. τόνοι) Καλλιεργηθείσες Εκτάσεις (χιλ.στρ.) Απόδοση κατά στρ. (kgr) () (2) (3) (4) Γινόμενα (4)x(2) Πελοπόννησος Στερεά Ελλάδα Θεσσαλία Ήπειρος Μακεδονία Θράκη Κρήτη και Νησιά Σύνολο Αν χρησιμοποιήσουμε τον απλό αριθμητικό μέσο για να υπολογίσουμε την μέση στρεμματική απόδοση της καλλιέργειας σιταριού για το σύνολο της χώρας έχουμε : Χ = 5 i= f i / = 662/7=237 kgr/στρέμμα 8

9 Όμως αν διαιρέσουμε τη συνολική παραγωγή σιταριού με τις καλλιεργηθείσες εκτάσεις για το σύνολο της χώρας προκύπτει : kgr στρέμματα = 272 kgr / στρέμμα, αποτέλεσμα που διαφέρει σημαντικά από το προηγούμενο. Η διαφορά αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι στον υπολογισμό του απλού (αστάθμητου) αριθμητικού μέσου δε λάβαμε υπόψη τη σχετική συμβολή κάθε περιοχής στη συνολική παραγωγή σιταριού. Όταν έχουμε τέτοια προβλήματα τα αντιμετωπίζουμε με κατάλληλη στάθμιση των επιμέρους λόγων (ή ποσοστών). Δηλαδή πολλαπλασιάζουμε καθένα ποσοστό με ένα συντελεστή που εκφράζει τη σημασία (βαρύτητά) του, οπότε ο αριθμητικός μέσος στην περίπτωση αυτή καλείται "σταθμικός αριθμητικός μέσος" και θα υπολογίζεται από τον τύπο : Χ= w ix i w i όπου w i οι συντελεστές σταθμίσεως. Χρησιμοποιώντας ως συντελεστές σταθμίσεως τα αντίστοιχα μεγέθη παραγωγής έχουμε : Χ= = 279 kgr / στρέμμα που διαφέρει λίγο από τα 272 kgr/στρέμμα λόγω στρογγυλοποιήσεων. Παρατηρούμε ότι με τη χρήση του σταθμικού μέσου βρίσκουμε πολύ μεγαλύτερη στρεμματική απόδοση από εκείνη που υπολογίσαμε με τον αστάθμητο αριθμητικό μέσο. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί από το γεγονός ότι οι μεγαλύτερες σταθμίσεις αντιστοιχούν σε εκείνες τις γεωγραφικές περιοχές όπου παρατηρούνται και οι μεγαλύτερες στρεμματικές αποδόσεις. Οι λόγοι που έκαναν αναγκαία τη χρήση σταθμίσεων στο παραπάνω παράδειγμα εμφανίζονται και στην περίπτωση υπολογισμού αριθμητικού μέσου μέσων. Έστω για παράδειγμα ότι το μέσο ετήσιο διαθέσιμο εισόδημα 00 οικογενειών όπου και οι δύο σύζυγοι εργάζονται στο δημόσιο είναι ευρώ, ενώ το μέσο ετήσιο διαθέσιμο εισόδημα 40 οικογενειών όπου και οι δύο σύζυγοι εργάζονται σε πολυεθνικές εταιρείες είναι ευρώ. Ζητείται το μέσο εισόδημα των 40 οικογενειών. Προφανώς θα πρέπει να σταθμίσουμε τους επιμέρους μέσους με τα μεγέθη των αντίστοιχων ομάδων, οπότε θα έχουμε: Χ= w ix i = w i Σταθμικοί αριθμητικοί μέσοι, όπως αυτοί που εξετάστηκαν παραπάνω, χρησιμοποιούνται συχνά στην πράξη σε συγκρίσεις σύνθετων μεγεθών, όπως είναι το επίπεδο τιμών, ο όγκος παραγωγής κλπ, μεταξύ δύο χρονικών περιόδων. Πρόκειται για τους αριθμοδείκτες τους οποίους θα εξετάσουμε εκτενώς στο επόμενο κεφάλαιο. 9

10 .6. Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ (GEOMETRIC MEA) Ο γεωμετρικός μέσος θετικών τιμών του χαρακτηριστικού Χ, έστω των Χ, Χ 2,, Χ Ν είναι ένα άλλο μέτρο κεντρικής τάσης που ορίζεται με τον τύπο: Λογαριθμίζοντας και τα δύο μέλη έχουμε: G = X X 2. X logg = log (X X 2.X ) = i= logx i Παρατηρούμε ότι ο λογάριθμος του γεωμετρικού μέσου μίας σειράς τιμών δίνεται από τον αριθμητικό μέσο των λογαρίθμων των τιμών αυτών. Όταν τα στοιχεία είναι ταξινομημένα σε κατανομή συχνότητας, ο γεωμετρικός μέσος θα δίνεται από τον τύπο: G = X c f X c2 f 2 f. X k ck Όπου X c, X c2,, X ck οι κεντρικές τιμές των Κ διαστημάτων τάξεως και f, f 2,., f k οι αντίστοιχες συχνότητες της κατανομής, με k i= f i = Λογαριθμίζοντας παίρνουμε: Παράδειγμα logg = log (X f c X f2 f c2.x k ck ) = κ i= f ilogx ci Υπολογισμός του G στο παράδειγμα της ωριαίας αποζημίωσης των 30 υπαλλήλων από την κατανομή συχνότητας. Διάστημα Τάξεως (σε $) Συχνότητα ( f ) Κεντρική Τιμή ( Xc ) log(x) Γινόμενο (f i log(x ci ) 0-<20 7 5,7609 8, , , , , ,6532 4, ,74036,7403 Σύνολο 30 42,224 0

11 logg = κ i= f ilogx ci = 42, Άρα G = 25,55 $/hour =,4074 Παρατηρούμε ότι G < X. Αυτό δεν είναι συμπτωματικό καθώς μπορεί να αποδειχθεί ότι πάντα ο γεωμετρικός μέσος είναι μικρότερος του αντίστοιχου αριθμητικού εκτός αν όλες οι τιμές είναι ίσες μεταξύ τους, οπότε οι δύο μέσοι είναι ίσοι μεταξύ τους στην περίπτωση αυτή. Από τον ορισμό του γεωμετρικού μέσου εύκολα αποδεικνύεται η παρακάτω ιδιότητα: X G X 2 G. X G = Η ιδιότητα αυτή αποτελεί ένα σημαντικό πλεονέκτημα του G στην κατασκευή στατιστικών αριθμοδεικτών. Ένα άλλο πλεονέκτημα του γεωμετρικού μέσου (γ.μ.) έναντι του αντίστοιχου αριθμητικού αποτελεί το γεγονός ότι η τιμή του γεωμετρικού μέσου επηρεάζεται συγκριτικά λιγότερο, σε σχέση με την τιμή του αριθμητικού μέσου, σε ακραίες τιμές. Από την άλλη πλευρά ένα συγκριτικό μειονέκτημα του γ.μ. είναι ότι δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν έχουμε αρνητικές ή μηδενικές τιμές. Ο γ.μ. τυγχάνει ευρείας χρήσης για τον υπολογισμό μέσων ποσοστών μεταβολής (ρυθμών) μέσα σε ορισμένο χρονικό διάστημα, όταν υποτίθεται ότι η μεταβολή ενός μεγέθους (μεταβλητής) από περίοδο σε περίοδο είναι ανάλογη της τιμής της μεταβλητής στην εκάστοτε περίοδο και όχι της τιμής της μεταβλητής στην πρώτη περίοδο. Δηλαδή όταν ισχύει: X t+ = X t + rx t = X t ( + r), όπου r ο μέσος ρυθμός μεταβολής. Οπότε Χ Ν = Χ 0 ( + r) Αν για την περίπτωση αυτή X 0, X,., X είναι οι τιμές ενός μεγέθους για τα έτη 0,,2,,Ν τότε ο γ.μ. των λόγων ως προς το αμέσως προηγούμενο έτος θα είναι: G = X X 2. X 0 X X X ή G = X X 0 Όμως: X = X 0 ( + r) και επομένως G = (r + ) άρα G = r +. Σημειώνεται ότι η έκφραση X = X 0 ( + r) είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως τύπος του ανατοκισμού και χρησιμοποιείται όχι μόνο για τον υπολογισμό του μέσου ποσοστού μεταβολής r, αλλά και οποιουδήποτε από τα X i, όταν είναι γνωστές οι τιμές των λοιπών. Παρατήρηση: στον προαναφερόμενο τύπο του ανατοκισμού ο χρόνος δε μετράται συνεχώς αλλά σε διακριτά διαστήματα (π.χ. έτη, τρίμηνα, μήνες κλπ). Αν αναφερόμαστε σε συνεχή χρόνο τότε αν r συμβολίζει το στιγμιαίο ρυθμό ανάπτυξης (instantaneous rate of growth) θα ισχύει: rt X = Xe t 0

12 Ασκήσεις-Εφαρμογές Άσκηση Στην Ελλάδα κατά τις δύο δεκαετίες που επακολούθησαν μετά τη λήξη του εμφυλίου πολέμου παρατηρήθηκε έντονο το φαινόμενο της αστυφιλίας. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα ο πληθυσμός του νομού Αττικής από που ήταν το 95 να αυξηθεί σε το 97. Να εκτιμηθεί ο πληθυσμός της Αττικής το 96. Απάντηση Με χρήση του αριθμητικού μέσου θα είχαμε: X = = Μία τέτοια προσέγγιση όμως προϋποθέτει ότι ο πληθυσμός αυξανόταν κατά σταθερό αριθμό κάθε χρόνο. Είναι πιο ρεαλιστικό να υποτεθεί ότι όσο περισσότεροι άνθρωποι κατοικούν σε μία περιοχή τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των ατόμων που προστίθενται στον πληθυσμό αυτό κάθε χρόνο. Χρησιμοποιώντας τον τύπο του ανατοκισμού έχουμε: P 7 = P 5 ( + r) 20 ( + r) = P 7 20 = (,7964) 20 =,0297 P 5 Συνεπώς P 6 = P 5 ( + r) 0 = 55709, B`τρόπος λύσης: P 6 = P 5 ( + r) 0 = P 2 5 ( + r) 20 = P 5 P 5 ( + r) 20 = P 5 P 7, δηλ. ο γ.μ. των P 5 και P 7. Άρα P 6 = Σημείωση: Ο πραγματικός πληθυσμός του νομού Αττικής σύμφωνα με την απογραφή του 96 ήταν

13 Άσκηση 2 Οι εβδομαδιαίες απολαβές των εργατών μιας βιομηχανικής επιχειρήσεως διαμορφώθηκαν κατά τα έτη 2000 και 200 ως εξής: Απολαβές $ Αριθμός εργατών < Ποιο είναι το μέσο ετήσιο ποσοστό μεταβολής του μέσου των εβδομαδιαίων απολαβών κατά την περίοδο ; Θα βρούμε πρώτα τους μέσους των εβδομαδιαίων απολαβών για το 2000 και το 200 από τις αντίστοιχες κατανομές συχνότητας. Απολαβές $ Χc i f i f i Xc i Χc i f i f i Xc i 00-< Σύνολο

14 Επειδή από την κατανομή συχνότητας τόσο για το 2000 όσο και για το 200 δεν παρατηρούνται ακραίες τιμές, ως μέτρο κεντρικής τάσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο αριθμητικός. Επομένως: Για το 2000: X 2000 = f ixc i = 2450 = 390$ Για το 200: X 200 = f ixc i = ,7$ Για να υπολογίσουμε το μέσο ετήσιο ρυθμό μεταβολής χρησιμοποιούμε τον τύπο του ανατοκισμού X = X 0 ( + r) με X = 55,7, X 0 = 390 και Ν = 0 ( + r) = X X 0 55,7 = =,3223 0,0283 r = 0,0283 Επομένως, κατά την περίοδο το μέσο ετήσιο ποσοστό αυξήσεως των μέσων εβδομαδιαίων απολαβών των εργατών της βιομηχανίας ήταν 2,83%..7 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ (HARMOIC MEA) Ένας πολύ διδακτικός τρόπος για να εισάγουμε τον αρμονικό μέσο Η είναι μέσω του παρακάτω παραδείγματος. Ένα αυτοκίνητο κινήθηκε από το σημείο Α ως το σημείο Β με μέση ταχύτητα 80km/h, ενώ κατά την επιστροφή (δηλ. από το Β πάλι στο Α) κινήθηκε με μέση ταχύτητα 50 km/h. Πόση ήταν η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου για όλο το ταξίδι (δηλ. από το Α στο Β και επιστροφή από το Β στο Α); Από τη φυσική γνωρίζουμε ότι S = U t όπου S το διάστημα, U η (μέση) ταχύτητα και t ο χρόνος. Εν προκειμένω έχουμε: S = U t για τη μετάβαση από το Α στο Β S = U 2 t 2 για τη μετάβαση από το Β στο Α Άρα t = S U και t 2 = S U 2 και επομένως η μέση ταχύτητα για όλη τη διαδρομή, που ισούται με το πηλίκο του συνολικά διανυθέντος διαστήματος προς το συνολικό χρόνο του ταξιδίου, θα είναι: U = 2S t +t 2 = 2S S U + S U2 = U + U2 = ,5 50 Προσοχή: Αν (εσφαλμένα) χρησιμοποιούμε τον αριθμητικό μέσο θα βρίσκαμε U = = 65 Που είναι λάθος (γιατί;). Με βάση τα παραπάνω ο λεγόμενος αρμονικός μέσος ορίζεται ως εξής: Ο αρμονικός μέσος Η μιας σειράς Ν τιμών ορισμένου χαρακτηριστικού Χ, έστω X, X 2,, X ορίζεται ως ο αντίστροφος του αριθμητικού μέσου των αντιστρόφων των τιμών αυτών. Δηλαδή: 4 2

15 H = Χ + Χ + + = 2 Χ i= Ν Για την περίπτωση που τα στοιχεία είναι ταξινομημένα σε κατανομή συχνότητας βρίσκουμε πρώτα τους αντίστροφους των κεντρικών τιμών των διαστημάτων τάξεως (Χ) τους οποίους πολλαπλασιάζουμε με τις αντίστοιχες συχνότητες f. Τότε ο H θα δίνεται από την σχέση: X i H = k i= f i Xc i k i= f i = k i= f i f k i i= Xc i Ο H εκτός από την χρησιμότητα του στην κατάρτιση αριθμοδεικτών, μπορούμε να πούμε ότι είναι το κατάλληλο μέτρο για την κεντρική τάση των τιμών ενός μεγέθους που αντιστοιχούν σε σταθερή ποσότητα ενός άλλου, ή για τον υπολογισμό του μέσου ρυθμού. Εφαρμογή Ένας βιομηχανικός εργάτης μπορεί να συναρμολογήσει συσκευές τύπου Α με ρυθμό 30 ανά ώρα, συσκευές τύπου Β με ρυθμό 40 ανά ώρα και τύπου Γ με ρυθμό 80 ανά ώρα. Έστω ότι πρέπει να συναρμολογηθούν ίσοι αριθμοί από κάθε τύπο συσκευής. Ο μηχανικός παραγωγής καλείται να αναφέρει τη μέση ωριαία παραγωγικότητα του εργάτη. Απάντηση Αν υποθέσουμε ότι ο μηχανικός παραγωγής χρησιμοποιεί το αριθμητικό μέσο τότε θα βρει: Α=( )/3=50 συναρμολογήσεις ανά ώρα. Η απάντηση όμως αυτή θα είναι εσφαλμένη καθόσον ο μηχανικός παραγωγής δεν έλαβε υπόψη του το γεγονός ότι ο κάθε τύπος συσκευής απαιτεί διαφορετικό χρόνο για τη συναρμολόγηση του. Ο χρόνος συναρμολόγησης για κάθε τύπο συσκευής είναι: τύπος Α: τύπος Β: τύπος Γ: 60/30=2 min 60/40=,5 min 60/80=3/4 min θα πρέπει λοιπόν να γίνει στάθμιση ως προς τους χρόνους αυτούς. Άρα M = 2 30+, , = ,5+ 3 = , ,35 Εναλλακτικά, παρατηρούμε ότι στο πρόβλημα αυτό ζητείται να υπολογίσουμε την κεντρική τάση των τιμών ενός μεγέθους (αριθμό συσκευών) που αντιστοιχούν σε σταθερή ποσότητα ενός άλλου (χρόνος), άρα με βάση τα προεκτεθέντα ενδείκνυται η χρήση του αρμονικού μέσου ως μέτρου κεντρικής τάσης. Συνεπώς η πραγματική ανά ώρα παραγωγικότητα του εργάτη θα μπορούσε να υπολογισθεί χρησιμοποιώντας τον αρμονικό μέσο Η: 5

16 H = , Θεώρημα Για τους τρεις μέσους ισχύει η ανισότητα: X G H Το ίσον ισχύει για την περίπτωση που όλες οι παρατηρήσεις είναι ίδιες. ΣΥΝΟΨΗ ΤΩΝ ΚΥΡΙΟΤΕΡΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Πλεονεκτήματα --Χρησιμοποιείται περισσότερο λόγω της ευκολίας στον υπολογισμό του και της σαφήνειας του --Το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων ως προς τον αριθμητικό μέσο είναι μικρότερο σε σχέση με οποιαδήποτε άλλη τιμή, ως εκ τούτου ο αριθμητικός μέσος αποτελεί την βάση για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης. --Μπορεί να αποτελέσει γενικότερα αντικείμενο αλγεβρικής μεταχείρισης Μειονεκτήματα Επηρεάζεται σοβαρά από ακραίες τιμές. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Πλεονεκτήματα --Επηρεάζεται συγκριτικά λιγότερο από ακραίες τιμές. --Σε ασυμμετρικές συχνότητες ανταποκρίνεται περισσότερο στην πραγματικότητα σε σχέση με τον αριθμητικό μέσο. --Η χρήση του ενδείκνυται για δεδομένα υπό μορφή λόγων. --Μπορεί να αποτελέσει αντικείμενο αλγεβρικής μεταχείρισης Μειονεκτήματα --Δεν δύναται να υπολογισθεί όταν τα δεδομένα περιλαμβάνουν αρνητικές τιμές η μηδέν. --Είναι δυσχερέστερος ο υπολογισμός του (παλαιότερα). ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Πλεονεκτήματα --Η χρήση του ενδείκνυται για τον υπολογισμό μέσου μέσων και μέσου αναλογιών. --Μπορεί να αποτελέσει αντικείμενο αλγεβρικής μεταχείρισης Μειονεκτήματα --Όχι ευρύτερα γνωστός. --Δυσχερής ο υπολογισμός του για μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων (παλαιότερα). 6