, όταν ο χρόνος αντιστοιχεί σε ακέραιες περιόδους

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ", όταν ο χρόνος αντιστοιχεί σε ακέραιες περιόδους"

Transcript

1 Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Οικονομικά Μαθηματικά Καλογηράτου Ζ. Μονοβασίλης Θ. ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ 4.. Εισαγωγή Στον σύνθετο τόκο (ή ανατοκισμό), στο τέλος κάθε περιόδου, ο τόκος και το κεφάλαιο αθροίζονται και το άθροισμα αυτό τοκίζεται σαν νέο αρχικό κεφάλαιο. Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε περίοδο, αυξάνεται το αρχικό κεφάλαιο κατάθεσης, όπως αντίστοιχα αυξάνεται και ο τόκος τον οποίο παίρνουμε. Η χρονική περίοδος του ανατοκισμού μπορεί να είναι ετήσια, εξαμηνιαία, τριμηνιαία ή μηνιαία. Σήμερα οι περισσότερες τράπεζες χρησιμοποιούν εξαμηνιαίο ανατοκισμό. Δηλαδή στο τέλος κάθε εξαμήνου, οι τόκοι που έχουν παραχθεί κατά την διάρκεια του, προστίθενται στο κεφάλαιο και το σύνολο τοκίζεται για το επόμενο εξάμηνο. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται μέχρι να αποσύρουμε την κατάθεση μας. Τα κεφάλαια που προκύπτουν κατά την διαδικασία του ανατοκισμού στο τέλος κάθε περιόδου, αποτελούν γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο το αρχικό κεφάλαιο κατάθεσης και λόγο τον όρο + i. Στην περίπτωση του ανατοκισμού συναντάμε τέσσερα ποσά: Το αρχικό κεφάλαιο (ή αρχική αξία), που καταθέτουμε αρχικά, το οποίο συμβολίζουμε με, Το τελικό κεφάλαιο (ή τελική αξία) που είναι το ποσό που αποσύρουμε στο τέλος του ανατοκισμού και το οποίο συμβολίζεται με Το επιτόκιο με το οποίο γίνεται ο ανατοκισμός και συμβολίζεται με i και Ο χρόνος του τοκισμού ο οποίος συμβολίζεται με, αν είναι ακέραιες περίοδοι ανατοκισμού, ή / αν είναι κλάσμα της περιόδου. Σημειώνεται ότι η περίοδος του ανατοκισμού πρέπει να συμπίπτει με το επιτόκιο. Δηλαδή αν ο ανατοκισμός γίνεται κάθε εξάμηνο πρέπει και το επιτόκιο να είναι εξαμηνιαίο. Τότε το θα μετριέται σε εξάμηνα. Στην περίπτωση που τα δύο παραπάνω μεγέθη δεν συμπίπτουν, τότε θα πρέπει να μετατρέψουμε το επιτόκιο στην αντίστοιχη περίοδο του ανατοκισμού. Έτσι για παράδειγμα αν έχουμε τριμηνιαίο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο θα πρέπει να μετατρέψουμε το επιτόκιο σε τριμηνιαίο, μιας και η περίοδος του ανατοκισμού δεν μπορεί να αλλάξει. Παρακάτω θα δούμε την διαδικασία με την οποία γίνεται αυτήν η αλλαγή. 4.. Εύρεση της τελικής αξίας, όταν ο χρόνος αντιστοιχεί σε ακέραιες περιόδους Το κεφάλαιο που καταθέτουμε αρχικά στην τράπεζα το συμβολίζουμε με μιας και αντιστοιχεί στην περίοδο μηδέν, είναι δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο. Όμοια έχουμε τα κεφάλαια,, 3,... που αντιστοιχούν στην πρώτη, την δεύτερη, την τρίτη κ.λ.π. περίοδο. Για καθένα από αυτά, με επιτόκιο ανατοκισμού i, έχουμε: + i ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i)

2 . ( i) ( i) + + ( + i) ( + i) Και τελικά βρίσκουμε τον γενικό τύπο του ανατοκισμού: ( ) + i () Για να χρησιμοποιήσουμε τον παραπάνω τύπο θα πρέπει βέβαια το επιτόκιο να είναι σταθερό για όλη την διάρκεια του ανατοκισμού. Η παράσταση ( + i) ονομάζεται συντελεστής κεφαλαιοποίησης και η τιμή της βρίσκεται από πίνακες για διάφορα επιτόκια και περιόδους. Οι πίνακες αυτοί, λέγονται οικονομικοί. Έτσι λοιπόν στον ανατοκισμό τα χρήματα που θα εισπράξουμε στο τέλος της κατάθεσης θα είναι ( + i), ενώ στον απλό τόκο + I + i ( + i ). Επειδή: ( + i) > + i, για > (Ανισότητα Beroulli) ( + i) > ( + i ) Έτσι λοιπόν δείξαμε ότι αν το >, η τελική αξία του ανατοκισμού είναι μεγαλύτερη από αυτήν του απλού τόκου. Για προφανώς, όπως φαίνεται παραπάνω, οι τελικές αξίες είναι ίσες, Ενώ για < η τελική αξία στον απλό τόκο είναι μεγαλύτερη από αυτήν του ανατοκισμού. Συνήθως ανατοκισμό χρησιμοποιούμε, αν η περίοδος τοκισμού είναι μεγαλύτερη του ενός έτους. Παράδειγμα Κεφάλαιο 3. τοκίζεται με ετήσιο επιτόκιο % για 35 χρόνια. Να βρεθεί το ποσό που θα εισπράξουμε στο τέλος της κατάθεσης αν ο τοκισμός έγινε (α) Με απλό τόκο (β) Με ετήσιο ανατοκισμό. (α) + I + i , (β) ( + i) 3 ( +,) 3 5,7996, , Γενίκευση του τύπου του ανατοκισμού για κλασματικό αριθμό περιόδων Αν ο αριθμός των περιόδων του ανατοκισμού ενός κεφαλαίου είναι ακέραιος τότε χρησιμοποιούμε τον τύπο (). Στην πράξη όμως πολλές φορές ο χρόνος κατάθεσης δεν είναι σε ακέραιο αριθμό περιόδων αλλά σε κλασματικό. Έτσι για παράδειγμα αν έχουμε ετήσιο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο % και το κεφάλαιο τοκίζεται για χρόνια και 4 μήνες ο αριθμός των περιόδων δεν είναι ακέραιος. Για τις περιπτώσεις αυτές υπάρχουν δύο τρόποι υπολογισμού της τελικής αξίας. (α) Γραμμική μέθοδος Στην περίπτωση αυτή εφαρμόζουμε ανατοκισμό για τον ακέραιο αριθμό περιόδων και για το υπόλοιπο κλασματικό μέρος εφαρμόζεται ο απλός τόκος.

3 Από τον τύπο () βρίσκουμε την τελική αξία για τον ακέραιο αριθμό περιόδων ( ) + i Και για το κλασματικό μέρος έχουμε: i ( + i) i Άρα το τελικό ποσό που θα σχηματισθεί είναι: ( + i) i i + ( + ) + ( i) + i + + ( + i) ( + i) () + (β) Εκθετική μέθοδος Στην μέθοδο αυτή θεωρούμε ότι ο ανατοκισμός συνεχίζεται εκτός από τον ακέραιο αριθμό περιόδων και για κλάσμα της περιόδου. Οπότε έχουμε ( + i) για τις ακέραιες περιόδους και ( + i) για το κλάσμα άρα τελικά: ( ) + i ( + i) + ( ) + i (3) + Η τιμή της παράστασης ( + i) για τα συνήθη επιτόκια βρίσκεται από τους k οικονομικούς πίνακες μόνο αν το κλάσμα μπορεί να γραφεί στην μορφή όπου * k και k +. Αν το k δεν είναι φυσικός αριθμός τότε η τιμή της παράστασης ( + i) βρίσκεται προσεγγιστικά με μια μέθοδο που θα δούμε παρακάτω και λέγεται μέθοδος της παρεμβολής. Παράδειγμα Κεφάλαιο. τοποθετείται με ετήσιο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο % για 8 χρόνια και 6 μήνες. Να βρεθεί το ποσό που θα πάρουμε μετά το τέλος της κατάθεσης. (α) Γραμμική μέθοδος Με την βοήθεια του τύπου () και κάνοντας αντικατάσταση έχουμε: 8 ( + i) ( + i) ( +,) ( + 6,) 57,8 + (β) Εκθετική μέθοδος

4 Με την βοήθεια του τύπου (3) και κάνοντας αντικατάσταση έχουμε: ( + i) ( +,) ( +,) 48,8 Μέθοδος της παρεμβολής Σε περιπτώσεις που χρησιμοποιούμε την εκθετική μέθοδο και είτε ο χρόνος, είτε το επιτόκιο δεν είναι ακέραιος αριθμός οπότε δεν υπάρχει στους οικονομικούς πίνακες τότε εφαρμόζουμε την μέθοδο της παρεμβολής. Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στις δύο πλησιέστερες στην ζητούμενη τιμή και με βάση αυτές γίνεται μια εκτίμηση της. Παίρνουμε τις τιμές εκατέρωθεν της ζητούμενης και με βάση αυτές την προσεγγίζουμε. Στην συνέχεια θα δώσουμε παραδείγματα για την καλύτερη κατανόηση της μεθόδου. Παράδειγμα 4 Καταθέτουμε. για 3 χρόνια, 4 μήνες και μέρες με ετήσιο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 6%. Να βρεθεί η τελική αξία του κεφαλαίου. X,4 μήνες. Έτσι συνολικά θα έχουμε 3 χρόνια και 4,4 μήνες. Οπότε για να 3 βρούμε την τελική αξία του κεφαλαίου από τον τύπο (3) με αντικατάσταση θα έχουμε: 4,4 3 ( + ) ( + ),6,6 + + i i 4,4 Η δύναμη, 6 δεν υπάρχει στους πίνακες οπότε για την εύρεση της θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της παρεμβολής. Βρίσκουμε από τον πίνακα τις δύο κοντινότερες τιμές εκατέρωθεν της ζητούμενης, δηλαδή βρίσκουμε την δύναμη για 4 και για 5 μήνες. Προφανώς η τιμή 4,4 βρίσκεται ενδιάμεσα από το 4 και από το 5. Έτσι έχουμε: 4,6,96 5,6,46 Άρα για διαφορά ενός μήνα (5-4) η διαφορά στην τιμή είναι,5 (,46 -,96). Για διαφορά στους μήνες,4 (4,4-4) ποια θα είναι η διαφορά στην τιμή; Με απλή,5 μέθοδο των τριών έχουμε: X,5, 4 X,.,4 X ; Επομένως η αύξηση της τιμής για το,4 του μήνα είναι,. Έτσι τελικά: 4,4,6,96 +,,6, Άρα + 9,6.6,73.

5 4.4. Εύρεση του τόκου της ν- περιόδου Για να βρούμε τον τόκο που πήραμε κατά την διάρκεια της ν περιόδου, αρκεί να βρούμε τα χρήματα που συσσωρεύτηκαν μέχρι και την νιοστή περίοδο ( ) και να αφαιρέσουμε τα χρήματα που μαζεύτηκαν μέχρι και την προηγούμενη (ν-) περίοδο ( ). Έτσι θα έχουμε: Έστω ότι καταθέτουμε αρχικό κεφάλαιο με επιτόκιο i. Για να βρούμε τους τόκους που θα πάρουμε κατά την διάρκεια της ν περιόδου θα πάρουμε: E i i ( + ) ( + ) ή Παράδειγμα 5 E i i ( ) + (4) E + i + i και τελικά: ( ) ( ) Κεφάλαιο τοκίζεται με ετήσιο ανατοκισμό και δίνει τόκους κατά την διάρκεια του 5 ου έτους όσους και κατά την διάρκεια του 3 ου και του 4 ου έτους μαζί. Να βρεθεί το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο έγινε η κατάθεση. Αν συμβολίσουμε με I3, I4, I 5 τους τόκους κατά την διάρκεια του 3 ου,4 ου, 5 ου έτους αντίστοιχα τότε θα έχουμε ότι: I5 I3 + I ή κάνοντας πράξεις βρίσκουμε: + ή 5 4 ( + i) ( + i) + ( + i) ( + i) ( + i) + ( + i) ( i) ( i) ( i) ή αν θέσουμε όπου X + i θα πάρουμε την μορφή: 3 X ( X X + ) X ( X ) ( X X ) X ( X ) X X. Άρα ή X X i i + η οποία απορρίπτεται X X + i i η οποία απορρίπτεται X + i i < η οποία απορρίπτεται και τέλος

6 5 5 5 X + + i + i που είναι η μοναδική λύση που είναι δεκτή και δίνει αριθμητική τιμή i,68 άρα το επιτόκιο είναι ίσο με 6,8%. 4.5 Εύρεση του χρόνου Για να βρούμε τον χρόνο του ανατοκισμού ξεκινώντας από την σχέση () έχουμε: ( ) + i και λύνουμε ως προς τον όρο ( + i). Στην συνέχεια βρίσκουμε τον χρόνο είτε με την βοήθεια λογαρίθμων με την βοήθεια των οικονομικών πινάκων Αναλυτικότερα έχουμε τα εξής: (α) Με την χρήση λογαρίθμων Λύνοντας την σχέση () έχουμε: ( + i) log( i) log + log log log( + i) log log log( + i) (β) Με τους οικονομικούς πίνακες Για να βρούμε τον χρόνο, βρίσκουμε την τιμή του πηλίκου και στην συνέχεια αναζητούμε την τιμή αυτή στην στήλη του αντίστοιχου επιτοκίου i. Αν η τιμή του πηλίκου δεν υπάρχει στους πίνακες, τότε εφαρμόζουμε την μέθοδο της παρεμβολής. Παράδειγμα 6 Καταθέτουμε 5. με ετήσιο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 6%. Στο τέλος της κατάθεσης παίρνουμε 6.5. Να βρεθεί το χρονικό διάστημα της κατάθεσης. Αναζητούμε στους πίνακες στην στήλη με επιτόκιο 6% την τιμή,3. Παρατηρούμε ότι η τιμή αυτή δεν υπάρχει στον πίνακα αλλά βρίσκεται ανάμεσα από την,65 που αντιστοιχεί σε 4 χρόνια και,338 που αντιστοιχεί σε 5 χρόνια. Έτσι θα εφαρμόσουμε την μέθοδο της παρεμβολής. 4,6, 65 5,6,338 Για διαφορά χρόνου έχουμε διαφορά στην τιμή,757 (,338,65), για ποια διαφορά στον χρόνο θα έχουμε διαφορά στην τιμή,375 (,3-,65). Άρα,757,375 X X, 495. Συνεπώς η διάρκεια της κατάθεσης ήταν,375 X ;,757 4+,4954,495 δηλαδή περίπου 4,5 χρόνια.

7 Παράδειγμα 7 Μετά από πόσα χρόνια ένα κεφάλαιο ανατοκιζόμενο κάθε χρόνο με ετήσιο επιτόκιο 9% αυξάνεται κατά τα 9 5 του; 9 ( + i) + ( + i) ( + i) ( +,9),9,6 5 5 Ψάχνουμε στους πίνακες στην στήλη με επιτόκιο 9% ποια περίοδο αντιστοιχεί σε τιμή 5 6,6. Παρατηρούμε ότι:,9,5386 ενώ,9,677. Έτσι χρονο,385 X ;,64 X,64 X, 4433.,385 Άρα το αρχικό κεφάλαιο θα χρειαστεί 5,4433 χρόνια για να αυξηθεί κατά τα 9 5 του. Παράδειγμα 8 Μετά από πόσο χρόνο κεφάλαιο που τοκίζεται με ετήσιο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 8% τριπλασιάζεται; 3 ( + i) 3 (,8) + 3,8 3 Βλέπουμε όμως ότι: 4,8,937 5,,8 3,7 Κάνουμε παρεμβολή και έχουμε:, 35 (3,7,937),68 X,67 X ;,68 (3,937), Επιτόκια Ισοδύναμα και Ανάλογα Όπως είδαμε, στον απλό τόκο, ένα κεφάλαιο δίνει σταθερά τον ίδιο τόκο σε όλη την διάρκεια του τοκισμού όποια περίοδο τοκισμού και αν επιλέξουμε. Προφανώς αυτό ισχύει γιατί οι τόκοι δεν ενσωματώνονται στο κεφάλαιο το οποίο παραμένει αμετάβλητο. Ας τοκίσουμε ένα κεφάλαιο για 4 χρόνια με απλό τόκο και ετήσιο επιτόκιο 6%. Αν θεωρήσουμε ως περίοδο τοκισμού

8 τον χρόνο : 4 και i,6 ο τόκος που θα πάρουμε είναι: I4 i 4,6 4,6 το εξάμηνο: 4 8 εξάμηνα και i,3 τότε ο τόκος που θα πάρουμε θα ισούται με I 8 i 8,3 4 το τετράμηνο: 4 3 και I i, 4,6 i, ο τόκος που θα πάρουμε είναι 3 τον μήνα: 4 48 και I48 i 48,5 4,6 i,5 ο τόκος θα είναι Όπως φαίνεται και στο παραπάνω παράδειγμα, όποια περίοδο τοκισμού και αν επιλεγεί, ο τόκος που θα πάρουμε για την περίοδο των 4 χρόνων θα είναι ίσος με.4. Τα επιτόκια αυτά, που το πηλίκο τους είναι ίσο με το πηλίκο των αντίστοιχων περιόδων λέγονται ανάλογα επιτόκια. Εδώ στο παράδειγμα μας τα επιτόκια 6%, 3%, %,,5% είναι ανάλογα. Ας εξετάσουμε αν ισχύουν τα ίδια στον ανατοκισμό. Αν λύσουμε το προηγούμενο παράδειγμα για διάφορες περιόδους ανατοκισμού θα πάρουμε: Έτσι αν περίοδος ανατοκισμού είναι: Ο χρόνος η τελική αξία του κεφαλαίου είναι i ( + ),6, Το εξάμηνο η τελική αξία του κεφαλαίου είναι i ( + ),3, Το τετράμηνο η τελική αξία του κεφαλαίου είναι i ( + ),, Ο μήνας η τελική αξία του κεφαλαίου είναι i ( + ),5, Παρατηρούμε ότι τα ανάλογα επιτόκια στον ανατοκισμό δεν δίνουν την ίδια τελική αξία, επομένως ούτε τον ίδιο τόκο. Τίθεται λοιπόν το ερώτημα, με ποιο επιτόκιο θα έπρεπε να τοκίσουμε ένα κεφάλαιο για να πάρουμε το ίδιο τελικό κεφάλαιο άρα και τον ίδιο τόκο; Το επιτόκιο αυτό θα το ονομάσουμε ισοδύναμο επιτόκιο. Ισοδύναμα επιτόκια θα λέγονται δύο επιτόκια τα οποία αντιστοιχούν σε διαφορετικές χρονικές περιόδους και δίνουν σε ένα κεφάλαιο την ίδια τελική αξία όταν ανατοκίζεται συνολικά για τον ίδιο χρόνο.

9 Ας υποθέσουμε ότι η συνολική διάρκεια του ανατοκισμού είναι ακέραιες περίοδοι. Τότε μπορούμε να χωρίσουμε την κάθε περίοδο σε ίσες κλασματικές χρονικές περιόδους. Έτσι προφανώς έχουν συνολικά δημιουργηθεί κλασματικές περίοδοι. Από τον παραπάνω ορισμό των ισοδύναμων επιτοκίων θα έχουμε: ( + i ) ( + i) όπου έχουμε συμβολίσει το αρχικό κεφάλαιο i το επιτόκιο της κλασματικής περιόδου i το επιτόκιο της ακέραιας περιόδου Αν απαλείψουμε το θα έχουμε αντίστοιχα ( + i ) ( + i) ( + i ) + i (4) + i ( + i) i ( + i) (5) Με βάση λοιπόν τα παραπάνω έχουμε ότι: Τα επιτόκια i και i είναι ισοδύναμα Τα επιτόκια i και i είναι ανάλογα Το επιτόκιο i λέγεται πραγματικό επιτόκιο Το επιτόκιο J i λέγεται ονομαστικό επιτόκιο συχνότητας Τα επιτόκια i και J είναι ανάλογα Από την σχέση J i προκύπτει ότι Από την σχέση (4) προκύπτει ότι i J. ( + i ) ( + i ) ( + i ) ( + i ) ( + i ) + i Μέσο επιτόκιο στον ανατοκισμό Ας υποθέσουμε ότι έχουμε διαφορετικά κεφάλαια (,,... ) τα οποία τοκίζονται με διαφορετικά επιτόκια ( i, i,..., i ) αντίστοιχα για το ίδιο χρονικό διάστημα. Θέλουμε να βρούμε το μέσο επιτόκιο της κατάθεσης δηλαδή με ποιο κοινό επιτόκιο x (μέσο επιτόκιο) αν τοκίζαμε όλα τα αρχικά κεφάλαια θα παίρναμε την ίδια τελική αξία με αυτήν που θα πάρουμε με τα διαφορετικά επιτόκια; Η τελική αξία στην πρώτη περίπτωση θα είναι: ( + i ) + ( + i ) ( + i ) (Ι) ενώ στην δεύτερη περίπτωση θα έχουμε: ( + x) + ( + x) ( + x) ή

10 ( ) ( + x) (ΙΙ) Εξισώνουμε τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ) και έχουμε: ( + i ) + ( + i ) ( + i ) ( + x) ( + ) + ( + ) ( + ) i i i x που είναι και ο τύπος που δίνει το μέσο επιτόκιο από κεφάλαια που τοκίζονται με διαφορετικά επιτόκια για τον ίδιο χρόνο. 4.. Προεξόφληση στον Ανατοκισμό Όπως και στην προεξόφληση στον απλό τόκο, έτσι και στον ανατοκισμό έχουμε τρία μεγέθη, την ονομαστική αξία, την παρούσα αξία και το προεξόφλημα. Στην περίπτωση αυτή η ονομαστική αξία συμβολίζεται με, η παρούσα αξία με και το προεξόφλημα με E και είναι η διαφορά των δύο παραπάνω μεγεθών ( - ). Μπορούμε να βρούμε το προεξόφλημα ως συνάρτηση της παρούσας αξίας, δηλαδή: ( ) E + i E ( + i) είτε ως συνάρτηση της ονομαστικής αξίας. E ( + i) E Y ( + i) ( ) Στις περιπτώσεις που έχουμε προεξόφληση με ανατοκισμό χρησιμοποιούμε αποκλειστικά την εσωτερική προεξόφληση σε αντίθεση με την προεξόφληση στον απλό τόκο που συνήθως χρησιμοποιούμε την εξωτερική προεξόφληση. 4.. Ισοδυναμία στον Ανατοκισμό Όπως στον απλό τόκο έτσι και στον ανατοκισμό σύμφωνα με την αρχή της ισοδυναμίας, πρέπει το άθροισμα από τις παρούσες αξίες των γραμματίων που είχαμε πριν την αντικατάσταση, να είναι ίσο με το άθροισμα από τις παρούσες αξίες των γραμματίων που θα έχουμε μετά. Έστω ότι k γραμμάτια θα αντικατασταθούν από γραμμάτια. Τότε: Αν εποχή ισοδυναμίας είναι η μέρα υπολογισμού τότε από την αρχή της ισοδυναμίας θα έχουμε: ή k k + + k ( + i) ( + i) ( + i) ( + i)

11 Αν τώρα έχουμε να αντικαταστήσουμε γραμμάτια ονομαστικής αξίας,,...,,που λήγουν σε αντίστοιχα χρονικά διαστήματα,,..., με ένα γραμμάτιο ονομαστικής αξίας και λήξης τότε θα έχουμε: Αν εποχή ισοδυναμίας είναι η μέρα υπολογισμού τότε: i + i + i + i ( ) ( ) ( ) ( ) ενώ για εποχή ισοδυναμίας την κοινή λήξη θα έχουμε: (Ι) ( + i) ( + i) ( + i) (ΙΙ). Προφανώς αν πολλαπλασιάσουμε την σχέση (Ι) με τον όρο ( + i) θα πάρουμε την σχέση (ΙΙ). Αυτό σημαίνει ότι όποια και από τις δύο εποχές ισοδυναμίας και αν χρησιμοποιήσουμε θα βρούμε ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα σε αντίθεση βέβαια με τον απλό τόκο που τα αποτελέσματα όπως είδαμε ήταν διαφορετικά. Παράδειγμα 4 Έμπορος οφείλει. μετά από χρόνια, 4. μετά από 3 χρόνια και 6 μήνες και 5. μετά από 5 χρόνια. Αν έχουμε εξαμηνιαίο ανατοκισμό και εξαμηνιαίο επιτόκιο 5%, να βρεθεί τι ποσό πρέπει να δώσει μετά από 4 χρόνια για να εξοφλήσει το χρέος του αν εποχή ισοδυναμίας είναι (α) Η μέρα υπολογισμού (β) Η κοινή λήξη. Έχουμε:., 3 5, , (α) Εποχή ισοδυναμίας η μέρα υπολογισμού: 3 5., i,5, 4, 3+ 7, ( + i) ( + i) ( + i) ( + i)

12 , 5, 5, 5, , 4775, 55, 47, , 4+ 84, ,56, (β) Εποχή ισοδυναμίας η κοινή λήξη: ( + i) ( + i) ( + i) 3 3, 5, 5, ,5 + 4,5 + 5, , Προφανώς όπως και περιμέναμε το αποτέλεσμα και στις δύο περιπτώσεις είναι το ίδιο. Ασκήσεις.Μια τράπεζα τοκίζει τις καταθέσεις μας με ετήσιο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 7%. Υπόσχεται όμως στο τέλος των ετών από την ημέρα της κατάθεσης να πριμοδοτεί τις καταθέσεις μας διπλασιάζοντας τους τόκους. Με ποιο επιτόκιο θα είχαμε το ίδιο τελικό ποσό μετά από έτη;. Κεφάλαια, 45 και 6 τοκίζονται με ετήσιο ανατοκισμό και ετήσια επιτόκια 5%, 7% και % αντίστοιχα για χρόνια. Να βρεθεί το μέσο επιτόκιο με τα οποίο τοκίστηκαν τα κεφάλαια.

13 3. Επιταγή ονομαστικής αξίας 5.5 προεξοφλείται με εξαμηνιαίο ανατοκισμό και εξαμηνιαίο επιτόκιο 4%, 4 χρόνια και 8 μήνες πριν την λήξη της. Να βρεθεί η παρούσα αξία και το προεξόφλημα. 4. Τοκίσαμε 9. με ετήσιο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 8% για 6 χρόνια. Για πόσο χρόνο πρέπει να τοκίσουμε το ίδιο κεφάλαιο με το ίδιο επιτόκιο στον απλό τόκο για να πάρουμε το ίδιο τελικό κεφάλαιο; 5. Καταθέσαμε σήμερα. με εξαμηνιαίο ανατοκισμό και εξαμηνιαίο επιτόκιο 5% για 6 χρόνια και 8 μήνες. Αποσύρουμε τότε 6.5 και στη συνέχεια ο ανατοκισμός γίνεται ετήσιος, και το επιτόκιο ετήσιο και ίσο με 8%. Να βρεθεί το ποσό που θα σχηματισθεί μετά 5 χρόνια από σήμερα. 6. Κεφάλαιο κατατίθεται στον απλό τόκο με έτος μικτό για μέρες με επιτόκιο 6%. Το συνολικό ποσό που δημιουργήθηκε, κατατέθηκε με ετήσιο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 8% για 5 χρόνια. Στο τέλος αυτής της διαδικασίας πήραμε συνολικά 5.45,5. Να βρεθεί το αρχικό κεφάλαιο κατάθεσης. 7. Ένα οικόπεδο μπορεί να αγοραστεί αντί.85. "μετρητοίς" ή αντί 3.. πληρωτέες μετά μήνες με ανατοκισμό με ετήσιο ονομαστικό επιτόκιο 7%, όταν ο ανατοκισμός γίνεται κάθε τρίμηνο. Ποιος είναι ο οικονομικότερος τρόπος αγοράς του οικοπέδου; 8.Μια επιχείρηση, για να πληρώσει ένα χρέος της 6., συγκέντρωσε το ποσό αυτό με δανεισμό από δύο τράπεζες με ετήσια επιτόκια 7% και 8% αντιστοίχως. Αν η επιχείρηση εξόφλησε τις τράπεζες μετά από 3 χρόνια, πληρώνοντας συνολικά 7.49,6, να βρεθούν: α) το ποσό που δανείστηκε από κάθε τράπεζα, β) το μέσο επιτόκιο δανεισμού. 9.Μετά από πόσα χρόνια ένα κεφάλαιο Κ ανατοκιζόμενο κάθε χρόνο με ετήσιο επιτόκιο % αυξάνεται κατά τα 5 του;.ένας χρωστάει 3.. που πρέπει να τα πληρώσει μετά χρόνια από σήμερα. Αντί του χρέους αυτού μετά 3 χρόνια πληρώνει 7. και μετά 6 χρόνια από την πρώτη δόση. πληρώνει ακόμα.. Πόσα πρέπει να πληρώσει ακόμα μετά τέσσερα χρόνια από την ημέρα που καταβλήθηκε η δεύτερη δόση, για να εξοφλήσει το χρέος του, αν ισχύει ετήσιος ανατοκισμός με ετήσιο επιτόκιο.7..ένας πατέρας αποφάσισε να διαθέσει ένα ποσό 5. στα τρία παιδιά του, που είναι σήμερα, 3 και 6 ετών. Επιθυμεί όμως να πάρει το κάθε παιδί τέτοιο ποσό. ώστε. αν έχουμε εξαμηνιαίο ανατοκισμό και εξαμηνιαίο επιτόκιο.3, να πάρουν όλα τα παιδιά του το ίδιο ποσό. όταν θα γίνουν ετών. Να βρεθεί το μερίδιο που θα πάρει το κάθε παιδί σήμερα..ένας χρωστάει.. που πρέπει να πληρωθούν μετά χρόνια από σήμερα. Αν αντί του χρέους του δώσει σήμερα.. μετά πόσο χρόνο θα δώσει ακόμα 6.. για να εξοφλήσει το χρέος του. αν έχουμε ετήσιο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο,4. 3.Ένας κατέθεσε στην Τράπεζα. με εξαμηνιαίο ανατοκισμό και εξαμηνιαίο επιτόκιο,5. Μετά 4 χρόνια και 6 μήνες απόσυρε 5. και άφησε τα υπόλοιπα για δ χρόνια ακόμα με εξαμηνιαίο επιτόκιο.4. Να βρεθεί το ποσό στο τέλος του ανατοκισμού. Ένα κεφάλαιο. τοποθετήθηκε με εξαμηνιαίο

14 ανατοκισμό και εξαμηνιαίο επιτόκιο,5 για χρόνια. Ζητείται να υπολογισθούν οι σύνθετοι τόκοι των 5 τελευταίων ετών. 4.Ένα κεφάλαιο 5. ανατοκίζεται με εξαμηνιαίο ανατοκισμό και εξαμηνιαίο επιτόκιο,8 και τελικά φέρνει αξία ίση μ' ένα άλλο κεφάλαιο 8., που ανατοκίζεται με εξαμηνιαίο ανατοκισμό και εξαμηνιαίο επιτόκιο,4. Να υπολογισθεί μετά πόσο χρόνο θα συμβεί αυτό.

15 Βιβλιογραφία. Οικονομόπουλος Γ., Οικονομικά Μαθηματικά,. Αποστολόπουλος Θ., Οικονομικά Μαθηματικά και Στοιχεία Τραπεζικών Εργασιών, Τσεβάς Α., Τζούτης Σ., Οικονομικά Μαθηματικά, Μακεδονικές Εκδόσεις 3 4. Γεωργίου Δ., Κούγιας Γ., Χρηματο-Οικονομικά Μαθηματικά, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών 4 5. Βασιλάκης Κ., Οικονομικά Μαθηματικά, Εκδόσεις Iterbooks 5

Ανατοκισμός. -Χρόνος (συμβολισμός n Ακέραιες περιόδους, μ/ρ κλάσμα χρονικών περιόδων)

Ανατοκισμός. -Χρόνος (συμβολισμός n Ακέραιες περιόδους, μ/ρ κλάσμα χρονικών περιόδων) Ανατοκισμός Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Αρχικό κεφάλαιο ή παρούσα αξία (συμβολισμός Κ ο ή PV) -Τελικό κεφάλαιο ή μελλοντική αξία (συμβολισμός Κ n ή FV) -Επιτόκιο (συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Απλός τόκος. 1.1 Η εξίσωση του απλού τόκου

Κεφάλαιο Απλός τόκος. 1.1 Η εξίσωση του απλού τόκου . Απλός τόκος Κεφάλαιο. Η εξίσωση του απλού τόκου Αν τοκίσουμε ένα κεφάλαιο Κ για ένα έτος με ετήσιο επιτόκιο i, τότε στο τέλος του έτους θα δημιουργηθεί τόκος ο οποίος θα δίνεται από τη σχέση: I= i. Συνεχίζοντας,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Ανατοκισμού

Εφαρμογές Ανατοκισμού Εφαρμογές Ανατοκισμού Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Μέσο επιτόκιο - Ισοδύναμα επιτόκια - Αντικατάσταση κεφαλαίων - Ρυθμός πληθωρισμού ΣΤΟΧΟΙ - Εύρεση μέσου επιτοκίου, όταν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΩΤ. ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΛΑΜΑΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013 2014 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ ΑΠΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ράντες. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση μιας σειράς πληρωμών που ονομάζεται ράντα.

Ράντες. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση μιας σειράς πληρωμών που ονομάζεται ράντα. Ράντες Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Αρχική αξία - Τελική αξία - Δόση ή όρος - Περίοδος - Διάρκεια (συμβολισμός n) - Διηνεκής ράντα - Κλασματική ράντα ΣΤΟΧΟΙ - Κατανόηση και χρησιμοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Διάκριση Μαθηματικών Έννοια Χρηματοοικονομικών Ορισμοί Χρηματοοικονομικά Τράπεζες Χρηματιστήρια Προεξόφληση Αντικατάσταση Γραμματίων Δάνεια Ομόλογα Αμοιβαία Κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 9: ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Η ΣΥΝΘΕΤΟΣ ΤΟΚΟΣ ΜΕΡΟΣ Β Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creaive Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν στο παραπάνω ερώτημα, ο λογαριασμός ήταν σύνθετου τόκου με j(12)=3%, ποιό είναι το ποσό που θα έπρεπε να καταθέσει ;

β) Αν στο παραπάνω ερώτημα, ο λογαριασμός ήταν σύνθετου τόκου με j(12)=3%, ποιό είναι το ποσό που θα έπρεπε να καταθέσει ; Άσκηση 1 α) Κάνει κάποιος κατάθεση ποσού 5 χιλ. σε λογαριασμό απλού τόκου με ετήσιο επιτόκιο 4%. Μετά από 3 μήνες κάνει ανάληψη 3 χιλ. και μετά από άλλους 7 μήνες επιθυμεί να κάνει μία κατάθεση, έτσι ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ρ. ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΑΣΙΛΑΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013 1 ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΥΛΗΣ 1. Απλός τόκος 2. Ανατοκισµός 3. Ράντες 4. άνεια 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ Ι ΕΑ ΤΟΥ ΕΠΙΤΟΚΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 8: Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κρήτης Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά Σημειώσεις Διδασκαλίας Ανδρέας Αναστασάκης, Καθηγητής Εφαρμογών Ηράκλειο Ιανουάριος 2015

Διαβάστε περισσότερα

C n = D [(l + r) n - 1]/r. D = C n r/[(l + r) n - 1]

C n = D [(l + r) n - 1]/r. D = C n r/[(l + r) n - 1] Ο υπολογισμός των δόσεων που οφείλει ένας δανειζόμενος στον δανειστή του, για την εξόφληση ενός χρέους, βασίζεται στις προηγούμενες εξισώσεις και εξαρτάται από την ημερομηνία αξιολόγησης. Σε αυτές τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ. ΚΥΡΙΑΚΗ ΚΟΣΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ. ΚΥΡΙΑΚΗ ΚΟΣΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΥΡΙΑΚΗ ΚΟΣΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ kosmid@econ.auth.gr ΣΗΜΕΙΩςΕΙς ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗςΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ,

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 7: Καθαρή Παρούσα Αξία Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

γραμμάτια Ορισμοί Προεξόφληση Αντικατάσταση Μέση λήξη Ασκήσεις

γραμμάτια Ορισμοί Προεξόφληση Αντικατάσταση Μέση λήξη Ασκήσεις γραμμάτια Ορισμοί Προεξόφληση Αντικατάσταση Μέση λήξη Ασκήσεις Έντυπη Έκδοση Κυριακάτικη Ελευθεροτυπία, Κυριακή 7 Νοεμβρίου 2010 Επιστρέψαμε στην εποχή του γραμματίου! Του ΜΠ. ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗ Την ώρα που

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 6: Επιτόκιο Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

εκτοκιζόµενοι τόκοι ενσωµατώνονται στο κεφάλαιο και ανατοκίζονται. Εφαρµόζεται τ και 4 1=

εκτοκιζόµενοι τόκοι ενσωµατώνονται στο κεφάλαιο και ανατοκίζονται. Εφαρµόζεται τ και 4 1= ΑΣΚΗΣΗ Έστω τραπεζική κατάθεση ταµιευτηρίου µε ετήσιο επιτόκιο 8%. Ποιο είναι το πραγµατικό (effective) ετήσιο επιτόκιο, αν ο εκτοκισµός γίνεται κάθε τρίµηνο (εξάµηνο); Το πραγµατικό επιτόκιο είναι η ετήσια

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός αρχικού ποσού C 0, όταν είναι γνωστό το τελικό ποσό C t Από την εξίσωση (2) και επιλύνοντας ως προς C 0 ή από την εξίσωση (3) λαμβάνουμε:

Υπολογισμός αρχικού ποσού C 0, όταν είναι γνωστό το τελικό ποσό C t Από την εξίσωση (2) και επιλύνοντας ως προς C 0 ή από την εξίσωση (3) λαμβάνουμε: Ημερομηνία αξιολόγησης Η αξία του κεφαλαίου δεν είναι σταθερή στο χρόνο, και κάθε εξίσωση που περιλαμβάνει το επιτόκιο είναι εξίσωση αξίας, γιατί απεικονίζει ισοδυναμία μεταξύ δυο χρηματικών ποσών σε μια

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Παράδειγµα 1 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 100.000 ευρώ, το οποίο τοκίστηκε µε ετήσιο επιτόκιο 12% για 2 χρόνια. Απάντηση: Ο τόκος ανέρχεται σε I = (100.000 0,12 2=) 24.000 ευρώ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-) ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-) 5. Ράντες 5.1.1.Ορισμοι- Κατηγορίες Ράντα ονομάζουμε σειρά κεφαλαίων που καταβάλλονται ανά ισα χρονικά διαστήματα. Για τα κεφάλαια αυτά ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό

Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό 2. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ 1 Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό διάστηµα θέλουµε. Εκτός

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Κεφάλαιο 1 Η ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Επιτόκιο: είναι η αμοιβή του κεφαλαίου για κάθε μονάδα χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #17: Σειρές Πληρωμών ή Ράντες Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τελική ή μέλλουσα αξία (future value) ή τελικό κεφάλαιο

Τελική ή μέλλουσα αξία (future value) ή τελικό κεφάλαιο Όρος Τελική ή μέλλουσα αξία (future value) ή τελικό κεφάλαιο Απλός τόκος Έτος πολιτικό Έτος εμπορικό Έτος μικτό Τοκάριθμος Είδη καταθέσεων Συναλλαγματική Γραμμάτιο σε διαταγή Ονομαστική αξία Παρούσα αξία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-) ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος--) .. Μια χρήσιμη ανασκόπηση... Δυνάμεις Πραγματικών Αριθμών Ο συνοπτικός τρόπος για να εκφράσουμε το γινόμενο : 2*2*2*2 4 είναι να το γράψουμε:

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες οικονομικής αξιολόγησης

Βασικές έννοιες οικονομικής αξιολόγησης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Βιομηχανικής και Ενεργειακής Οικονομίας ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 8 ο Εξάμηνο Βασικές έννοιες οικονομικής αξιολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Προεξόφληση γραμματίων συναλλαγματικών με απλό τόκο

Προεξόφληση γραμματίων συναλλαγματικών με απλό τόκο Προεξόφληση γραμματίων συναλλαγματικών με απλό τόκο Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Γραμμάτιο -Συναλλαγματική -Μελλοντική πληρωμή -Παρούσα αξία -Προεξόφληση -Εσωτερικό και εξωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα # 1: Βασικοί Χρηματοοικονομικοί Ορισμοί Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

(3) ... (2) Ο συντελεστής Προεξόφλησης (ΣΠΑ) υπολογίζεται από τον Πίνακα Π.2. στο Παράρτηµα.

(3) ... (2) Ο συντελεστής Προεξόφλησης (ΣΠΑ) υπολογίζεται από τον Πίνακα Π.2. στο Παράρτηµα. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος 2015-2016 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ 1 1 ο ΣΕΤ. ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΡΑΠΕΖΙΚΑ ΔΑΝΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 2 Να βρεθεί η πραγματοποιηθείσα απόδοση της προηγούμενης άσκησης, υποθέτοντας ότι τα τοκομερίδια πληρώνονται δύο φορές το έτος.

Άσκηση 2 Να βρεθεί η πραγματοποιηθείσα απόδοση της προηγούμενης άσκησης, υποθέτοντας ότι τα τοκομερίδια πληρώνονται δύο φορές το έτος. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Άσκηση 1 Η ομολογία Β εκδόθηκε στο παρελθόν και έχει διάρκεια ζωής τρία ακόμη έτη. Η ονομαστική της αξία είναι 1.000 ευρώ και το εκδοτικό της επιτόκιο είναι 8%. Τα τοκομερίδια πληρώνονται

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνοοικονομική Μελέτη

Τεχνοοικονομική Μελέτη Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τεχνοοικονομική Μελέτη Ενότητα 9: Κόστος κεφαλαίου - Χρηματορροές Σκόδρας Γεώργιος, Αν. Καθηγητής gskodras@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 7: Καθαρή Παρούσα Αξία Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 10: ΡΑΝΤΕΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creatve Commos εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής:

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές με Ράντες. 1 Εισαγωγή. 2 Απόσβεση στοιχείων. Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι. - Απόσβεση

Εφαρμογές με Ράντες. 1 Εισαγωγή. 2 Απόσβεση στοιχείων. Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι. - Απόσβεση Εφαρμογές με Ράντες Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Απόσβεση - Σύνθετη παραγωγική διάρκεια παγίων - Κεφαλαιοποιημένο κόστος - Καθαρά παρούσα αξία - Εσωτερικός βαθμός απόδοσης - Αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

3. ΔΑΝΕΙΑ. Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια

3. ΔΑΝΕΙΑ. Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια 3. ΔΑΝΕΙΑ Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια 38 3. ΔΑΝΕΙΑ Κριτήρια Αξιολόγησης Επενδύσεων 3.1 Χρήσιμες Εφαρμογές Τα δάνεια χωρίζονται σε δύο κατηγορίες τα ενιαία ή αδιαίρετα και τα ομολογιακά.

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΕΡΩΤΗΣΗ. (5 μονάδες) Θέλετε να αξιολογήσετε τέσσερα ομόλογα. Όλα τα ομόλογα έχουν 0 χρόνια μέχρι την λήξη και ονομαστική αξία.000. Το ομόλογο Α έχει κουπόνι με ετήσια απόδοση % το οποίο παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Διοίκηση

Χρηματοοικονομική Διοίκηση Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 2: Ράντες Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεοδωράκη Ελένη Μαρία

Θεοδωράκη Ελένη Μαρία Εισαγωγή στην ασφάλεια Θεοδωράκη Ελένη Μαρία elma.theodoraki@aegean.gr Κεφάλαιο (Principal) ονομάζουμε το αρχικό ποσό που διαθέτουμε για μια επένδυση, για μία χρονική περίοδο Συσσωρευμένη αξία (accumulated

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 9: Διηνεκείς Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000 Θέμα 1 0 Η εταιρία ΑΒΓ σχεδιάζει να επενδύσει σήμερα (στο έτος 0), σε ένα έργο το οποίο θα έχει αρχικό κόστος 00.000, διάρκεια ζωής 5 έτη και αναμένεται να δώσει τις ακόλουθες εισπράξεις: Έτος 1 Έτος 2

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

Δάνεια. - Εύρεση δόσης για δάνεια εξοφλητέα εφάπαξ με δημιουργία εξοφλητικού αποθέματος.

Δάνεια. - Εύρεση δόσης για δάνεια εξοφλητέα εφάπαξ με δημιουργία εξοφλητικού αποθέματος. Δάνεια Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Κεφάλαιο δανείου - Ενιαία δάνεια - Απόσβεση δανείων - Χρεολύσιο - Τοκοχρεολύσιο - Εξοφλητικό απόθεμα - Σύστημα απόσβεσης δανείου ΣΤΟΧΟΙ - Εντοπισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

Asset & Liability Management Διάλεξη 1

Asset & Liability Management Διάλεξη 1 Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΠΜΣ στην «Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου» Asset & Liability Management Διάλεξη Η μέτρηση και η αντιμετώπιση του επιτοκιακού κινδύνου Μιχάλης Ανθρωπέλος anthopel@unipi.g

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 2: Γραμμικές συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1: Το θεωρητικό υπόβαθρο της διαδικασίας λήψεως αποφάσεων και η χρονική αξία του χρήµατος Κεφάλαιο 2: Η καθαρή παρούσα αξία ως κριτήριο επενδυτικών

Διαβάστε περισσότερα

1 2,55 1.250 3,19 0,870 2,78 2 2,55 1.562 3,98 0,756 3,01 3 2,55 1.953 4,98 0,658 3,28

1 2,55 1.250 3,19 0,870 2,78 2 2,55 1.562 3,98 0,756 3,01 3 2,55 1.953 4,98 0,658 3,28 Άσκηση 1 Η κατασκευαστική εταιρία Κ εξετάζει την περίπτωση αγοράς μετοχών της εταιρίας «Ε» με πληρωμή σε μετρητά. Κατά τη διάρκεια της χρήσης που μόλις ολοκληρώθηκε, η «Ε» είχε κέρδη ανά μετοχή 4,25 και

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις 1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Δ - ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (έκδοση )

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Δ - ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (έκδοση ) ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Δ - ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (έκδοση 18.4.2016) 440. Για μια κατάθεση 100 με ετήσιο επιτόκιο 12% και τριμηνιαίο ανατοκισμό, η ετήσια πραγματική απόδοση είναι : α) 12,42%

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. (iii) ln(0.5) = , (iv) e =

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. (iii) ln(0.5) = , (iv) e = ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας 47 48 49 50 5 l 348480 299692 d 43306 q 0.0 0.2 0.5 2 3 4 5 Η ένταση θνησιµότητας µ +t, 0 t, αλλάζει σε µ +t - c, όπου το c είναι θετικός σταθερός αριθµός. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ 1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ Το διάγραμμα κυκλικής ροής της οικονομίας (κεφ. 3, σελ. 100 Mankiw) Εισόδημα Υ Ιδιωτική αποταμίευση S Αγορά συντελεστών Αγορά χρήματος Πληρωμές συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ & : ΔΕΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ & : ΔΕΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 41 Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου Ακαδ. Έτος: 1-1 Θέμα 1 α) Ο επενδυτής μπορεί να εκμεταλλευτεί τις

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 (1) Γνωρίζουμε ότι η αξία του προθεσμιακού συμβολαίου δίνεται από

Θέμα 1 (1) Γνωρίζουμε ότι η αξία του προθεσμιακού συμβολαίου δίνεται από 1 ΔΕΟ31 - Λύση 3ης γραπτής εργασίας 2013-14 Θέμα 1 (1) Γνωρίζουμε ότι η αξία του προθεσμιακού συμβολαίου δίνεται από f ( S I ) Ke t t t r( T t) Aρχικά βρίσκουμε τη παρούσα αξία των μερισμάτων που πληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiouris@sch.gr) «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) 1.0 Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) Ακαδημαϊκό έτος: 2013-2014 Εξάμηνο Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Κατασκευάστε ένα λογιστικό φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 11: ΔΑΝΕΙΑ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Μονώνυμα Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πράξεις με μονώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι να μάθουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Χρονική Αξία του Χρήµατος

Χρονική Αξία του Χρήµατος ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ι ΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ email: thkazanas@teiath.gr Χρονική Αξία του Χρήµατος Α. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Η αξία του χρήµατος (όπως λ.χ. ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΟΡΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΔΕΟ 41 ΤΟΜΟΣ A

ΑΓΟΡΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΔΕΟ 41 ΤΟΜΟΣ A ΑΓΟΡΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΔΕΟ 41 ΤΟΜΟΣ A ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΙΣ 5+ ΑΘΗΝΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2013 1 ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (βλέπε και ενότητες 4.1-4.2 τόμου Ι) ΑΣΚΗΣΗ 1 (Όμοια με 1 η Γραπτή Εργασία 2010-11, Θέμα 3 ο ) Γ) Εάν

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΤΟΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Άσκηση 1 (τελικές 2011 θέμα 3)

Γ ΤΟΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Άσκηση 1 (τελικές 2011 θέμα 3) Γ ΤΟΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 (τελικές 2011 θέμα 3) Ένας επενδυτής έχει αγοράσει μία μετοχή. Για να προστατευτεί από πιθανή μικρή πτώση της τιμής της μετοχής λαμβάνει θέση αγοράς σε ένα δικαίωμα

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα