Transcript

1 Viola adorata

2

3 X ± 2s

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14 AT1 AT MO CV 15.0% 13.3% Std Error

15

16

17 Descriptive Statistics Dependent Variable: tem loc Total Mean Std. Deviation N Dependent Variable: tem Source Corrected Model Intercept loc Error Total Corrected Total Tests of Between-Subjects Effects Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig a a. R Squared =.521 (Adjusted R Squared =.441) Multiple Comparisons Dependent Variable: tem LSD (I) loc (J) loc Mean Difference 95% Confidence Interval (I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound -3.00* * * * Based on observed means. *. The mean difference is significant at the.05 level.

18 / / 1 8,4 11 8,0 2 5,8 12 7,7 3 7,8 13 7,0 4 6,4 14 7,7 5 7,9 15 7,3 6 7,2 16 6,7 7 7,3 17 6,3 8 8,4 18 7,3 9 5,1 19 6,0 10 7,6 20 4,2

19

20 X = 7,005 s= 1,097

21 s s X ta / 2 µ X + ta / 2 n n 1,097 1,097 7,005 2,093 µ 7,005+ 2, ( 6, 492, 7,518) Το 95% δ.ε. Κρίσιµη τιµή τηςt-κατανοµής για 19 β.ε. και επίπεδο σηµαντικότηταςα/2=0,025

22 s s X ta / 2 µ X + ta / 2 n n 1,097 1,097 7,005 1,729 µ 7,005+ 1, ,581, 7, 429 ( ) Το 90% δ.ε. Κρίσιµη τιµή τηςt-κατανοµής για 19 β.ε. και επίπεδο σηµαντικότηταςα/2=0,05

23 n 1 s n 1 s ( ) ( ) X σ 2 2 a / 2 X1 a / 2 19.(1,097) 19.(1,097) σ 32,852 8,907 0,696, 2,567 ( ) Το 95% δ.ε. για την παραλλακτικότητα s = 1,097 s = 1,

24 s = 1,097 s = 1, 203 µε 19 βε n ta / 2s 4.(2,093).1, 203 n = 84, d 0,5 1 n Βρίσκουµε την κρίσιµη τιµή τηςt-κατανοµής γιαα=0,025 και 85-1=84 β.ε. και επαναλαµβάνουµε τον υπολογισµό ta / 2s 4.(1,989).1, 203 n = 76, d 0,5 2

25

26 / Με βάση τα παραπάνω δεδοµένα να βρείτε ένα 90% διάστηµα εµπιστοσύνης για την πραγµατική διαφορά µ 1 -µ 2 στον αριθµό των σπόρων του φυτούχχχr που προέρχεται από άνθη στο πάνω και στο κάτω µέρος του φυτού.

27

28 z ± s z n t n 1; a / 2 Οι διαφορές x i -y i z i

29 z = 0,900, s = 1,729 z sz 1,729 z ± tn 1; a / 2 0,900± 1,833 n 10 µε t = t = 1,833 n 1; a / 2 9;0,05 ( 0,102, 1,902) Το 90% δ.ε.

30

31

32 pˆ = = 0,36 pˆ = = 0, pˆ (1 pˆ ) pˆ (1 pˆ ) pˆ pˆ ± z + n m n= 588, m= 123, z = z = 1, ( 1 2 ) a / 2, 0,10/ 2 0,05 0,36 0,64 0, 211 0,789 (0,36 0, 211) ± 1,64 + = ,149± 0,069 (0,08, 0, 218) Το 90% δ.ε.

33

34

35

36

37 Η 0 : µ 1 =µ 2 Η 1 : µ 1 µ 2 Σε ε.σ. α=0,05

38 n Y s = 10 = 1.185,0 = ,1 n Y s = 11 = 981,8 = , 4 F , 4 = = 4,17> F10,9;0,025 = 3, ,1 Οι δύο παραλλακτικότητες διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά σε ε.σ. α=0,05

39 = { > } R t t ν ; a / 2 t Y Y Y Y = = 2 2 s s 1 s2 Y1 Y2 + n n Α ν n = n = n τ τε ν = 2( n 1) Αν n ν = 1 2 n ( 2 ) ( 2 s ) 1 / n1 s2 / n2 n s n τ τε s + n n 1 1 2

40 Τυπικό Σφάλµα ιαφοράς των δύο µέσων όρων s s s = + = + = 9.468,5 = 97,3 n m , , 4 s Y Y Y Y t ,0 981,8 = = 97,3 2,088 Βαθµοί Ελευθερίας 2 ( ,1/ , 4/11) ( ) + ( ) ν = = 14, ,1/10 / , 4/11 /10

41 t = 2,131 15;0,025

42

43

44

45 Η 0 Η 1 Υπολογίζουµε το στατιστικό: X X 2 2 ( ) 2 n 1 s = σ 2 0 ( 25 1) 750 = = ,8

46 { 2 2 } 1; R= X > X n a { 2 2 } { 2 36,42} 24;0,05 R= X > X = X > 2

47

48 A/A Μπορούµε να ισχυριστούµε ότι οι δύο µέθοδοι είναι ισοδύναµες σε ε.σ. α=0,05;

49

50 Η 0 : µ 1 =µ 2 Η 1 : µ 1 µ 2 Σε ε.σ. α=0,05

51 x i -y i A/A x i y i x i - y i

52 z = 4,6 s s 2 z z = 3,82 = 1,96 z n R= > tn 1; a / 2 sz 4,6 10 R= > t 1,96 9;0,025 4,6 10 1,96 = 7,42> t = 2,262 9;0,025

53

54 F

55

56

57 είγµατα F1 απογόνων * Κλάσεις Παραγ ωγής Γύρης Cros stabulation % w ithin είγµατα F1 απ ογόνων είγµατα F1 απ ογόνων Total συχν τητα κελιο 100 σ νολογραµµ ς Κλάσεις Παραγ ωγ ής Γύρης Total 27.5% 15.0% 22.5% 35.0% 100.0% 24.1% 20.7% 24.1% 31.0% 100.0% 37.8% 13.5% 18.9% 29.7% 100.0% 26.2% 9.5% 16.7% 47.6% 100.0% 42.3% 3.8% 23.1% 30.8% 100.0% 32.5% 11.5% 21.0% 35.0% 100.0% = =

58 σ νολογραµµ ς σ νολοστ λης αναµεν µενη είγµατα συχν F1 απογόνων τητα = * Κλάσεις Παραγ ωγής Γύρης γενικ σ νολο Expected Count είγµατα F1 απ ογόνων Total Κλάσεις Παραγ ωγ ής Γύρης Total = =

59 είγµατα F1 απογόνων * Κλ άσεις Παραγ ωγής Γύρης Cros stabulation είγµατα F1 απ ογόνων Total Count Expected Count Count Expected Count Count Expected Count Count Expected Count Count Expected Count Count Expected Count Κλάσεις Παραγ ωγ ής Γύρης Total Count: Συχνότητα Expected Count: Αναµενόµενη Συχνότητα

60 2 2 ( ) 2 2 παρατηρο µενη συχν τητα αναµεν µενη συχν τητα Χ = αναµεν µενη συχν τητα ( ) ( ) ( ) ,0 6 4, , 2 Χ = = 12,125 13,0 4,6 18, 2

61 2 2 2 Ανατρέχουµε στους Πίνακες της 2 Κατανοµής

62 2 (12) 0,05 =21,03 (12) 0,05 2 =12,125 2 =12,125<21,03= 21,03= 2 (12) (12) 0,05 2 < 2

63

64 Φυλλοφόρα µοσχεύµατα δύο ποικιλιών ελιάς που ριζοβόλησαν ή όχι µετά από 84 ηµέρες κάτω από υδρονέφωση

65

66 Η : p = Η p Στατιστικός Έλεγχος : ταδ οποσοστ διαφ ρουν ( p p ) 1 1 2

67 (1,1) 11= = 104,5 320 (2,1) 21= = 104,5 320 (1,2) 12= = 55,5 320 (2,2) 22= = 55,5 320

68 ιόρθωση Συνέχειας τουyates ( ) ( ) ( ) ( ) ,5 0, ,5 0, ,5 0, ,5 0,5 2 X = = 104,5 55,5 104,5 55,5 = 0,88 Γενική Σχέση X 2 = O E E Ο: Παρατηρούµενη Συχνότητα Ε: Αναµενόµενη-Θεωρητική Συχνότητα

69 2 (1) 0,05 =3,84 (1) 0,05 2 =0,88 2 =0,88<3,84= 2 (1) (1) 0,05 2 < 2

70 z z = pˆ pˆ pq ˆ ˆ( + ) n n 1 2 X 2 = ( pˆ pˆ ) pq ˆ ˆ( + ) n n 1 2

71

72 { } R= z > z a pˆ 1 pˆ z= 2 s /2 ˆ ˆ 1 1 s pq + n n 1 2 Σύµφωνα µε τη Μηδενική Υπόθεση τα δύο ποσοστά είναι ίσα και εποµένως µπορούµε να συγχωνεύσουµε τα δύο δείγµατα σε ένα και να υπολογίσουµε ένα κοινόp(καιq=1-p) 209 p= ˆ = 0, Τυπικό Σφάλµα της ιαφοράς των ύο Ποσοστών

73

74

75

76

77 Κλάσεις Ηλικιών * Πρόβληµα Crosstabulation % within Κλάσεις Ηλικιών Κλάσεις Ηλικιών Total ετών Πρόβληµα Τζόγος Στεγαστικό Σπουδές Οικονοµικό Υγεία Total 16.6% 2.8% 15.9% 56.6% 8.3% 100.0% 18.8%.9% 9.0% 65.5% 5.8% 100.0% 24.5% 5.5% 61.8% 8.2% 100.0% 22.6%.6% 3.4% 68.4% 5.1% 100.0% 28.9%.8% 5.5% 53.1% 11.7% 100.0% 19.6% 4.9% 2.9% 59.8% 12.7% 100.0% 21.8% 1.3% 7.1% 61.7% 8.0% 100.0%

78 Κλάσεις Ηλικιών * Πρόβληµα Crosstabulation % within Πρόβληµα Κλάσεις Ηλικιών Total ετών Πρόβληµα Τζόγος Στεγαστικό Σπουδές Οικονοµικό Υγεία Total 11.1% 30.8% 32.4% 13.4% 15.0% 14.6% 19.4% 15.4% 28.2% 23.8% 16.3% 22.4% 24.9% 16.9% 22.1% 22.5% 22.1% 18.4% 7.7% 8.5% 19.7% 11.3% 17.8% 17.1% 7.7% 9.9% 11.1% 18.8% 12.9% 9.2% 38.5% 4.2% 9.9% 16.3% 10.3% 100.0% 100.0% 100.0% 100.0% 100.0% 100.0%

79 % of Total Κλάσεις Ηλικιών Total ετών Κλάσεις Ηλικιών * Πρόβληµα Crosstabulation Πρόβληµα Τζόγος Στεγαστικό Σπουδές Οικονοµικό Υγεία Total 2.4%.4% 2.3% 8.2% 1.2% 14.6% 4.2%.2% 2.0% 14.7% 1.3% 22.4% 5.4% 1.2% 13.7% 1.8% 22.1% 4.0%.1%.6% 12.2%.9% 17.8% 3.7%.1%.7% 6.8% 1.5% 12.9% 2.0%.5%.3% 6.1% 1.3% 10.3% 21.8% 1.3% 7.1% 61.7% 8.0% 100.0%

80 Κλάσεις Ηλικιών * Πρόβληµα Crosstabulation Expected Count Κλάσεις Ηλικιών Total ετών Πρόβληµα Τζόγος Στεγαστικό Σπουδές Οικονοµικό Υγεία Total

81 Sig. p-value Chi-Square Tests Pearson Chi-Square Likelihood Ratio Fisher's Exact Test Linear-by-Linear Association N of Valid Cases Asymp. Sig. 99% Confidence Interval Value df (2-sided) Sig. Lower Bound Upper Bound a b b b c b b Monte Carlo Sig. (2-sided) a. 6 cells (20.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is b. Based on sampled tables with starting seed c. The standardized statistic is Monte Carlo Sig. (1-sided) 99% Confidence Interval Sig. Lower Bound Upper Bound Αφούp<0,05 η Μηδενική Υπόθεση απορρίπτεται σε επίπεδο σηµαντικότηταςα=0,05

82

83 Symmetric Measures Nominal by Nominal N of Valid Cases Phi Cramer's V a. Not assuming the null hypothesis. Value Approx. Sig. Sig. Lower Bound Upper Bound c c b. Using the asymptotic standard error assuming the null hypothesis. c. Based on sampled tables with starting seed Monte Carlo Sig. 99% Confidence Interval Η τιµή του δείκτη συνάφειαςvτου Cramer µαρτυρά ασθενούς εντάσεως συσχέτιση µεταξύ των δύο χαρακτηριστικών που διασταυρώνονται

84 V X 2 p=min(k-1, l-1). V = Np k l Παίρνει τιµές στο διάστηµα [0, 1]

85 Κλάσεις Ηλικιών * Πρόβληµα Crosstabulation Κλάσεις Ηλικιών Total ετών % within Κλάσεις Ηλικιών Adjusted Residual % within Κλάσεις Ηλικιών Adjusted Residual % within Κλάσεις Ηλικιών Adjusted Residual % within Κλάσεις Ηλικιών Adjusted Residual % within Κλάσεις Ηλικιών Adjusted Residual % within Κλάσεις Ηλικιών Adjusted Residual % within Κλάσεις Ηλικιών Πρόβληµα Τζόγος Στεγαστικό Σπουδές Οικονοµικό Υγεία Total 16.6% 2.8% 15.9% 56.6% 8.3% 100.0% %.9% 9.0% 65.5% 5.8% 100.0% %.0% 5.5% 61.8% 8.2% 100.0% %.6% 3.4% 68.4% 5.1% 100.0% %.8% 5.5% 53.1% 11.7% 100.0% % 4.9% 2.9% 59.8% 12.7% 100.0% % 1.3% 7.1% 61.7% 8.0% 100.0% Adjusted Residual: ιορθωµένο Τυποποιηµένο Υπόλοιπο

86

87 <0,55 0 0,0154 2,59 0,55-1,05 5 0,0247 4,15 1,05-1,55 8 0,0500 8,40 1,55-2, , ,46 2,05-2, , ,05 2,55-3, , ,99 3,05-3, , ,17 3,55-4, , ,06 4,05-4, , ,06 4,55-5, , ,49 5,05-5,55 7 0,0368 6,18 5,55-6,05 7 0,0168 2,82 >6,05 0 0,0094 1, , ,00

88 X = 3,18 s= 1,22 Στην πράξη υπολογίζονται από το δείγµα

89

90 Y 3,18 0,55 3,18 P( Y 0,55) = P ( 2,16) 1,22 1,22 = P z = = 0,5000 0, 4846= 0,0154 0,55 3,18 Y 3,18 1,55 3,18 P(0,55 Y 1,55) = P 1,22 1,22 1,22 = = P( 2,16 z 1,75) = 0, , 4599= 0,0247

91

92 <0,55 0 0,0154 2,59 0,55-1,05 5 0,0247 4,15 1,05-1,55 8 0,0500 8,40 1,55-2, , ,46 2,05-2, , ,05 2,55-3, , ,99 3,05-3, , ,17 3,55-4, , ,06 4,05-4, , ,06 4,55-5, , ,49 5,05-5,55 7 0,0368 6,18 5,55-6,05 7 0,0168 2,82 >6,05 0 0,0094 1, , ,00

93 2 : X ( ) ( ) ( ) 2 0 2,59 5 4,15 0 1,58 = = 15,30 2,59 4,15 1,58 Συγκρίνουµε το στατιστικό 2 =15,30 µε την κρίσιµη της 2 Κατανοµής µε 10 β.ε. σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05.

94 Απάντηση (συνέχεια) 2 (10) 0,05 =18,31 (θεωρητικό, κρίσιµη τιµή) 2 =15,30 (δειγµατικό) 2 =15,30<18,31= 18,31= 2 (10) (10) 0,05 ειγµατικό 2 < Θεωρητικό 2 Η µηδενική Υπόθεση παραµένει

95 Απάντηση (συνέχεια) Απόφαση-Συµπέρασµα Συµπέρασµα: Με βάση τα διαθέσιµα δεδοµένα η µηδενική υπόθεση δεν µπορεί να απορριφθεί σε ε.σ. α=0,05. εν ανιχνεύθηκαν στατιστικά σηµαντικές διαφορές µεταξύ θεωρητικών και δειγµατικών τιµών. εν έχουµε λόγους να αµφιβάλλουµε ότι η κατανοµή του χλωρού βάρους είναι η Κανονική (σε ε.σ. α=0,05).

96 Σκηνή 4η Λυµένες Ασκήσεις στον Πίνακα

97 1

98 2

99 3

100 3

101 3

102 3

103 3

104 4

105 5

106 6

107 7

108 8

109 8

110 8

111 Σκηνή Πέµπτη Bonus Θέµατα

112 Πρόβληµα Επιδηµιολογίας Από ανθρώπους, οι είναι γυναίκες και οι είναι άνδρες. Από τις γυναίκες έχουν το πρόβληµα υγείας «φ» και από τους άνδρες έχουν το ίδιο πρόβληµα. Έστω ότι επιλέγουµε ένα άτοµο τυχαία.

113 Πρόβληµα Επιδηµιολογίας (συνέχεια) Έχουµε Ω={ ={γφ, γµ, αφ, αµ} ως δειγµατικό χώρο µε το να σηµαίνει γυναίκα µε πρόβληµα υγείας, το γυναίκα χωρίς πρόβληµα, το άνδρας µε πρόβληµα υγείας και το άνδρας χωρίς πρόβληµα υγείας. Ρ = 0,090 Ρ = 0,425 Ρ = 0,302 Ρ = 0,183

114 Πρόβληµα Επιδηµιολογίας (συνέχεια) Έστω Α το ενδεχόµενο της επιλογής ενός ανθρώπου µε πρόβληµα υγείας και έστω Β το ενδεχόµενο επιλογής γυναίκας. το Α Β είναι το ενδεχόµενο επιλογής µιας γυναίκας µε πρόβληµα υγείας, το Α Β είναι το ενδεχόµενο επιλογής ενός ανθρώπου µε πρόβληµα υγείας ή γυναίκας, το Β-Α είναι το ενδεχόµενο επιλογής µια γυναίκας χωρίς πρόβληµα υγείας

115 Πρόβληµα Επιδηµιολογίας (συνέχεια) Ρ(A) = 0, ,302 = 0,392 Ρ(B) = 0, ,425 = 0,515 Ρ(Α Β) ) = 0,090 Ρ(Α Β) ) = 0, , ,302 = 0,817 Ρ(B-A) = 0,425

116 Πρόβληµα ιωνυµικής Κατανοµής Έστω ότι ρίχνουµε ένα ζάρι 5 φορές και ενδιαφερόµαστε αν το αποτέλεσµα κάθε ρίψης ήταν «1» ή «όχι 1». 1. Ποια η πιθανότητα να µην έρθει ούτε µια φορά στις 5 προσπάθειες το «1»? 2. Ποια η πιθανότητα να έρθει ακριβώς τρεις φορές στις 5 προσπάθειες το «1»? 3. Ποια η πιθανότητα να έρθει τουλάχιστο δύο φορές στις 5 προσπάθειες το «1»?

117 Απάντηση Ας θεωρήσουµε ως επιτυχία (Ε) το αποτέλεσµα της ρίψης να είναι το 1 και ως αποτυχία (Α) το αποτέλεσµα να είναι «όχι 1» (κοινώς το «όχι 1» σηµαίνει ότι το αποτέλεσµα µπορεί να είναι 2,3,4,5 ή 6). Η πιθανότητα να έρθει «1» όταν ρίχνουµε ένα ζάρι είναι 1/6. Άρα η πιθανότητα επιτυχίας είναι p=1/6 και εποµένως η πιθανότητα αποτυχίας θα είναι q=1-p=5/6. Αν µε X συµβολίσουµε το συνολικό αριθµό επιτυχιών στις 5 επαναλήψεις του πειράµατος, τότε X~B(5,1/6). Έχουµε λοιπόν:

118 Απάντηση (συνέχεια)

119 Πρόβληµα Poisson Κατανοµής Μια υπάλληλος η οποία εισάγει δεδοµένα στον Η/Υ κάνει κατά µέσο όρο τρία λάθη ανά σελίδα. Να υπολογιστεί η πιθανότητα σε τυχαία επιλεγµένη σελίδα να βρεθούν δύο λάθη. Εστω ο αριθµός των λαθών ανά σελίδα. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα X~P( =3). Ζητάµε την πιθανότητα P(X=2)

120 Ασκήσεις Πιθανοτήτων 1. ίνονται Ρ(Α )=0,3, Ρ(Β)=0,4 και Ρ(ΑΒ )=0,5. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(ΑΒ), Ρ(Α Β). 2. Ένα παλιό τρακτέρ χαλάει 65% από βλάβη µηχανής, 20% από αµέλεια του οδηγού,, 5% από βλάβη µηχανής και αµέλεια οδηγού και από άλλες αιτίες. Ποια είναι η πιθανότητα να χαλάσει το τρακτέρ «µόνο από βλάβη µηχανής ή µόνο από αµέλεια οδηγού»; 3. Ρίχνουµε δύο ζάρια µια φορά. Ποιος είναι ο ειγµατοχώρος; Ποια είναι τα γεγονότα: α) Το άθροισµα των ενδείξεων είναι διαιρετό διά 4, β) Οι ενδείξεις των ζαριών είναι ίδιες, γ) οι ενδείξεις των ζαριών διαφέρουν το πολύ κατά 3. Ποιες είναι οι πιθανότητες των ενδεχοµένων που ορίστηκαν στα α), β) και γ)

121 Άσκηση Συµπλήρωσης (1)

122 Άσκηση Συµπλήρωσης (2)

123 ΤΕΛΟΣ

124 Viola adorata