Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο)"

Transcript

1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο) Ενότητα 3: Χαράξεις σημείων και γραμμών στο έδαφος Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης

2 2. ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ Χάραξη είναι ο προσδιορισμός στο ύπαιθρο της ακριβούς θέσης σημείων και γραμμών, που περιγράφονται σε κάποια μελέτη. Η χάραξη είναι η αντίστροφη διαδικασία, από εκείνη που γίνεται για την αποτύπωση μιας έκτασης. Κατά την αποτύπωση είναι δεδομένα τα σημεία, που πρόκειται να αποτυπωθούν. Γίνονται οι απαραίτητες μετρήσεις των συντεταγμένων τους και συντάσσεται ο σχετικός πίνακας στοιχείων υπαίθρου. Στη συνέχεια, στο γραφείο, θα σχεδιαστεί η έκταση και θα γίνουν όλοι οι υπολογισμοί, που απαιτούνται για τη μελέτη. Κατά τη χάραξης υλοποιούνται στο έδαφος τα σημεία και οι γραμμές, που προκύπτουν από τη μελέτη κατασκευής του έργου Εντοπισμός σημείου Για να ορισθεί ένα σημείο στην επιφάνεια της γης είναι αναγκαίο αφ' ενός να υπάρχει υλοποιημένο το Σύστημα Συντεταγμένων και αφ' ετέρου να είναι γνωστές τις συντεταγμένες του σημείου. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις ορισμού της θέσης ενός σημείου: Ορθογωνικές συντεταγμένες Αν έχουν μετρηθεί οι ορθογώνιες συντεταγμένες του σημείου τότε πρέπει να υπάρχουν στο έδαφος υλοποιημένα τα ενδεικτικά σημεία του Συστήματος Ορθογωνικών Συντεταγμένων. Δηλαδή πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία του άξονα Χ και άλλο ένα τουλάχιστον σημείο του άξονα Ψ. Επίσης πρέπει να είναι γνωστές οι Ορθογώνιες Συντεταγμένες του ζητούμενου σημείου ως προς αυτό το υλοποιημένο σύστημα. Σε αυτή την περίπτωση μετρούνται από τους δύο υλοποιημένους άξονες αποστάσεις ίσες με τις συντεταγμένες του σημείου και εντοπίζεται η θέση του στο οριζόντιο επίπεδο. Σχήμα 2.1. Εντοπισμός σημείου (α) από τις ορθογωνικές και (β) από τις πολικές συντεταγμένες του. Η υλοποίηση των συντεταγμένων ενός σημείου Π γίνεται ως εξής (Σχήμα 2.1α)): Έστω ότι είναι γνωστή η θέση δύο σημείων (έστω Α και Β) του άξονα Χ και ενός σημείου (έστω Γ) του άξονα Ψ. Στις θέσεις των σημείων Α, Β και Γ τοποθετούνται ακόντια, για την επισήμανση των σημείων. Από το σημείο Γ χαράσσεται η κάθετος προς την ευθυγραμμία ΑΒ (βλέπε παραγρ ). Ο πόδας της καθέτου που θα βρεθεί (έστω Ο) είναι η αρχή του Συστήματος Συντεταγμένων, διότι στο σημείο αυτό τέμνονται κάθετα οι δύο άξονες. Στο σημείο Ο τοποθετείται επίσης ακόντιο.

3 Από το σημείο Ο μετράται πάνω στην ευθυγραμμία ΟΑΒ (άξονας Χ) απόσταση ίση με την τετμημένη Χ Π του σημείου Π. Εντοπίζεται έτσι το σημείο Χ Π, στο οποίο τοποθετείται επίσης ακόντιο. Από το σημείο Χ Π χαράσσεται η κάθετος ευθυγραμμία πάνω στην ΑΒ και επισημαίνεται με ακόντιο ένα τυχαίο σημείο της Ψ 1. Πάνω στην ευθυγραμμία ΧΨ 1 μετράται απόσταση ίση με την τεταγμένη Ψ Π και επισημαίνεται το σημείο που θα βρεθεί με ακόντιο. Το σημείο αυτό είναι το ζητούμενο σημείο Π Πολικές συντεταγμένες Ο εντοπισμός ενός σημείου Π στην επιφάνεια της γης, αν είναι γνωστές οι πολικές του συντεταγμένες γίνεται ως εξής: Έστω ότι είναι υλοποιημένη η θέση του πόλου Ο και της μηδενικής διεύθυνσης του συστήματος πολικών συντεταγμένων. Έστω επίσης ότι είναι γνωστές οι πολικές συντεταγμένες (S, θ) ενός σημείου Π. Η θέση του σημείου Ο επισημαίνεται με ακόντιο. Για τη χάραξη της ευθυγραμμίας της μηδενικής διεύθυνσης αρκεί να επισημανθεί με ακόντιο ένα τυχόν σημείο της, έστω το Γ. Από το σημείο Ο μετράται γωνία ΓΟΑ = θ. Ο τρόπος χάραξης γωνιών περιγράφεται στην παράγραφο Στο σημείο Α τοποθετείται ακόντιο. Μετράται πάνω στην ευθυγραμμία ΟΑ απόσταση OΠ=S και στη θέση του σημείου Π τοποθετείται ακόντιο. Το σημείο Π είναι το ζητούμενο, διότι η ευθυγραμμία ΟΠ σχηματίζει γωνία θ με τη μηδενική διεύθυνση και το σημείο Π απέχει απόσταση S από τον πόλο Ο Ευθυγραμμία δύο σημείων Ευθυγραμμία δύο σημείων Α και Β της επιφάνειας του εδάφους λέγεται η γραμμή που προκύπτει από την τομή του κατακόρυφου επιπέδου των δύο σημείων με την επιφάνεια του εδάφους. Η τομή αυτή είναι μια νοητή γραμμή. Για να υλοποιηθεί πρέπει να προσδιοριστούν διάφορα σημεία της Μ. Χάραξη της ευθυγραμμίας, σχήμα 2.2, είναι ο προσδιορισμός των σημείων Μ. Όταν τα σημεία Μ βρίσκονται μεταξύ του Α και Β πρόκειται για πύκνωση της ευθυγραμμίας, ενώ όταν τα σημεία Μ βρίσκονται πέρα από το Α και το Β πρόκειται για επέκταση της ευθυγραμμίας. Σχήμα 2.2. Ευθυγραμμία δύο σημείων Α και Β Ο αριθμός των σημείων Μ που χρειάζεται να προσδιορισθούν κατά τη χάραξη μιας ευθυγραμμίας εξαρτάται από τη μορφή του εδάφους και από το σκοπό για τον οποίο χαράσσεται η ευθυγραμμία. Γενικά χρειάζονται λιγότερα σημεία, όταν το έδαφος έχει ομοιόμορφη κλίση και περισσότερα, όταν η κλίση κατά μήκος της ευθυγραμμίας μεταβάλλεται. Στη δεύτερη περίπτωση πρέπει να συμπεριληφθούν μεταξύ των σημείων Μ και τα σημεία αλλαγής της κλίσης (σχ. 2.2).

4 Διαδικασία χάραξης Η χάραξη μιας ευθυγραμμίας, δηλαδή ο προσδιορισμός των σημείων Μ, γίνεται με τα ακόντια. Στην περίπτωση αυτή τα ακόντια παίζουν διπλό ρόλο. Χρησιμοποιούνται δηλαδή ταυτόχρονα και για τη σήμανση και για την επισήμανση των σημείων της ευθυγραμμίας γιατί, όπως είναι αντιληπτό, τα σημεία Μ πρέπει να είναι ορατά από μακριά. Επισημαίνονται πρώτα τα δύο άκρα της ευθυγραμμίας, δηλαδή τοποθετείται από ένα ακόντιο επάνω ακριβώς στα κέντρα σημάνσεως των σημείων Α και Β. Τα δύο ακόντια πρέπει να είναι τελείως κατακόρυφα. Έπειτα ο παρατηρητής στέκεται σε απόσταση 2 έως 3 m από το ακόντιο Α και σκοπεύει με γυμνό μάτι προς το ακόντιο Β. Κατά τη σκόπευση πρέπει το ακόντιο Α να καλύπτει τελείως το Β. Αφού με τον τρόπο αυτό εξασφαλιστεί ότι το μάτι βρίσκεται επάνω στην ευθυγραμμία Α - Β, δίνει σήμα στο βοηθό του να μετακινηθεί κάθετα προς τη διεύθυνση της ευθυγραμμίας, προκειμένου να τοποθετήσει το πρώτο ενδιάμεσο ακόντιο Μχ. Η σηματοδότηση γίνεται με τα χέρια όπως φαίνεται στο σχήμα 2.3. Όταν, ύστερα από μερικές μικρομετακινήσεις του βοηθού, δεν φαίνεται το ακόντιο Μ 1, γιατί θα έχει καλυφθεί από το ακόντιο Α, ενώ συγχρόνως δεν θα φαίνεται και το ακόντιο Β, συμπεραίνεται ότι το Μ 1 βρίσκεται επάνω στην ευθυγραμμία Α - Β. Δίνεται τότε σήμα στο βοηθό να εμπήξει το ακόντιο στο έδαφος. Εάν το έδαφος είναι τόσο σκληρό, ώστε να μη είναι δυνατή η έμπηξη, ο βοηθός τοποθετεί το ακόντιο όρθιο με τη βοήθεια του τρίποδα. Οπωσδήποτε μετά την τοποθέτηση το ακόντιο πρέπει να είναι κατακόρυφο. Η κατακορύφωσή του ελέγχεται συνήθως με το μάτι, εκτός εάν πρόκειται να γίνει μέτρηση μεγάλης ακρίβειας, οπότε χρησιμοποιείται το νήμα της στάθμης. Με τον ίδιο τρόπο τοποθετούνται και τα άλλα ενδιάμεσα ακόντια και επομένως προσδιορίζονται τα Μ 1, Μ 2, Μ 3,..., Μ ν, της ευθυγραμμίας Α - Β. Σχήμα 2.3. Σηματοδότηση ευθυγραμμίας Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί από το βοηθό για τον τρόπο, με τον οποίο θα κρατά το ακόντιο κατά τις μικρομετακινήσεις του κάθετα προς τη διεύθυνση της ευθυγραμμίας. Πρέπει δηλαδή να το κρατά μόνο με το δείκτη και τον αντίχειρα από κάποια θέση, που θα βρίσκεται

5 ψηλότερα από το κέντρο βάρους του ακοντίου και όπως δείχνει το σχήμα 2.4. Έτσι το ακόντιο αιωρούμενο ελαφρά τηρείται περίπου κατακόρυφο και αυτό διευκολύνει την τελική του κατακορύφωση. Σχήμα 2.4. Τρόπος με τον οποίο ο βοηθός κρατά το ακόντιο. Επίσης δεν πρέπει οι σκοπεύσεις να γίνονται από πολύ μικρή απόσταση π.χ. 1 m, από το σημείο Α, γιατί τότε τα ενδιάμεσα ακόντια Μ 1, Μ 2, Μ 3,..., Μ ν, θα καλύπτονται μεν από το ακόντιο Α, δεν θα κείνται όμως επάνω στην ευθυγραμμία Α - Β. Αυτό βέβαια συμβαίνει και όταν η σκόπευση γίνεται και από την κανονική απόσταση (2 έως 3 m). Τότε όμως οι αποκλίσεις των σημείων Μ ως προς την ευθυγραμμία είναι πολύ μικρές και τα σφάλματα των μετρήσεων είναι ανεπαίσθητα. Εάν τέλος λόγω της μορφής του εδάφους δεν είναι δυνατή η τήρηση της κανονικής αποστάσεως, τότε η σκόπευση γίνεται από τη μέγιστη δυνατή απόσταση Ειδικές περιπτώσεις χάραξης Η χάραξη μιας ευθυγραμμίας δεν παρουσιάζει δυσκολία, όταν το έδαφος είναι οριζόντιο ή έχει ομοιόμορφη κλίση. Σχήμα 2.5. Χάραξη ευθυγραμμίας σε κοίλωμα Όταν όμως μεταξύ των σημείων Α και Β μεσολαβεί κοίλωμα, ενδέχεται να μη είναι δυνατός ο προσδιορισμός όλων των σημείων της ευθυγραμμίας με σκόπευση μόνο από το ένα άκρο της. Π.χ. στο σχήμα 2.5. τα ακόντια, που πρέπει να τοποθετηθούν στις θέσεις Μ 3 και Μ 4, δεν είναι ορατά από το άκρο Α. Συνεπώς η σκόπευση για τα σημεία αυτά πρέπει να γίνει

6 από το άκρο Β. Το αντίστροφο ισχύει για τα αντίστοιχα σημεία της απέναντι πλαγιάς. Ιδιαίτερη δυσκολία παρουσιάζει η περίπτωση, κατά την οποία μεταξύ των σημείων Α και Β μεσολαβεί κύρτωμα, σχήμα 2.6., γιατί τα άκρα της ευθυγραμμίας δεν είναι αμοιβαία ορατά και συνεπώς δεν είναι δυνατή η σκόπευση από το ένα άκρο προς το άλλο. Τότε χρησιμοποιούνται τα βοηθητικά ακόντια 1 και 2, που τα τοποθετούνται περίπου επάνω στην ευθυγραμμία και έτσι, ώστε να φαίνονται και από το Α και από το Β. Σχήμα 2.6. Χάραξη ευθυγραμμίας σε κύρτωμα. Ένας παρατηρητής σκοπεύει από το ακόντιο Α προς το ακόντιο 2 και τοποθετεί το ακόντιο 1 στη θέση Γ επάνω στην ευθυγραμμία Α - 2 (σχήμα 2.7.). Ένας δεύτερος παρατηρητής σκοπεύει από το ακόντιο Β προς το ακόντιο 1' και τοποθετεί το ακόντιο 2 στη θέση 2' επάνω στην ευθυγραμμία Β - 1. Οι δύο παρατηρητές επαναλαμβάνουν τις διαδοχικές σκοπεύσεις και μικρομετακινήσεις των ακοντίων 1 και 2 στις θέσεις 1", Γ", κλπ. και 2", 2"' κλπ., ώσπου κατά τη νιοστή σκόπευση π.χ. από το ακόντιο Α προς το ακόντιο 2, να διαπιστωθεί ότι το 1 βρίσκεται επάνω στην ευθυγραμμία Α - 2 και εν συνεχεία κατά τη σκόπευση από το Β προς το 1 να διαπιστωθεί ομοίως ότι και το 2 βρίσκεται επάνω στην ευθυγραμμία Β - 1. Σχήμα 2.7. Χάραξη ευθυγραμμίας σε κύρτωμα. Ο προσδιορισμός των σημείων Μ είναι η Η τελική τοποθέτηση των ακοντίων 1 και 2 πρέπει να γίνει με τη βοήθεια τριπόδων. Τα υπόλοιπα ενδιάμεσα ακόντια τοποθετούνται με ευχέρεια επάνω στις ευθυγραμμίες Α - 1 και Β - 2. Σχήμα 2.8. Χάραξη ευθυγραμμίας όταν είναι αδύνατη η σκόπευση από τα ένα άκρο της ευθυγραμμίας προς το άλλο. Υπάρχει και άλλη περίπτωση, όπου χρειάζεται να χρησιμοποιηθούν τα ενδιάμεσα ακόντια

7 1 και 2. Αυτή η περίπτωση παρουσιάζεται, όταν τα άκρα της ευθυγραμμίας είναι γωνίες δύο σπιτιών (σχήμα 2.8.), οπότε είναι αδύνατη η σκόπευση από τα ένα άκρο της ευθυγραμμίας προς το άλλο. Τότε τοποθετούνται και πάλι τα ακόντια 1 και 2 κοντά στη μέση της αποστάσεως και περίπου επάνω στην ευθυγραμμία Α - Β, αλλά αυτή τη φορά ακολουθείται αντίστροφη πορεία, δηλαδή σκοπεύεται από το σημείο 2 το Α και από το 1 το Β. Οι σκοπεύσεις και οι μικρό μετακινήσεις των σημείων 1 και 2 διαδέχονται η μια την άλλη, όπως στην προηγούμενη περίπτωση, έως ότου τα ακόντια 1 και 2 τοποθετηθούν επάνω στην ευθυγραμμία Α - Β. Τα υπόλοιπα ενδιάμεσα ακόντια τοποθετούνται επάνω στις ευθυγραμμίες 1- Β και 2 - Α Εφαρμογές Η χάραξη μιας ευθυγραμμίας έχει άμεση και έμμεση εφαρμογή. Άμεση είναι η εφαρμογή της, όταν πρόκειται να χαραχθεί ο άξονας ενός ευθύγραμμου τμήματος δρόμου ή οι θέσεις των δομικών στοιχείων (τοίχων, υποστυλωμάτων, κλπ) ενός εκτεταμένου κτηρίου. Έμμεση είναι η εφαρμογή της, όταν πρόκειται να μετρηθεί η οριζόντια απόσταση δύο σημείων, οπότε προηγουμένως πυκνώνεται η ευθυγραμμία, που ορίζουν τα δύο σημεία. Μια ευθυγραμμία χαράσσεται ταχύτερα και ακριβέστερα αν, αντί να γίνει η σκόπευση των ακοντίων με γυμνό μάτι, να γίνει με κάποια τηλεσκοπική διάταξη, π.χ. με ένα θεοδόλιχο ή με ένα ταχύμετρο Χάραξη καθέτων ευθειών ή ορθών γωνιών Γενικά Η χάραξη καθέτων ευθειών ή ορθών γωνιών είναι μία βοηθητική τοπογραφική εργασία, που εφαρμόζεται σε δύο περιπτώσεις. Στην πρώτη περίπτωση, από ένα σημείο μιας ευθυγραμμίας πρόκειται να υψωθεί κάθετη προς αυτή και στη δεύτερη περίπτωση από ένα σημείο της επιφάνειας του εδάφους, που κείται έξω από μία ευθυγραμμία πρόκειται να υψωθεί κάθετη προς αυτή. Θα περιγραφούν τρεις μέθοδοι χάραξης καθέτων: α) η γεωμετρική μέθοδος του ορθογωνίου τριγώνου, β) η γεωμετρική μέθοδος του ισοσκελούς τριγώνου και γ) η τριγωνομετρική μέθοδος Χάραξη κάθετης από σημείο μιας ευθυγραμμίας Μέθοδος του ορθογωνίου τριγώνου Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην παρατήρηση ότι εάν οι κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου είναι 3 m και 4 m αντιστοίχως, η υποτείνουσα του τριγώνου, θα ισούται με 5 m (5 2 = ). Από την παρατήρηση αυτή προκύπτει η ακόλουθη μέθοδος χαράξεως ορθών γωνιών. Έστω ότι πρόκειται να υψωθεί κάθετη στο σημείο Γ της ευθυγραμμίας ΑΒ. Ορίζεται το σημείο Ε της ευθυγραμμίας σε απόσταση 3 m από το Γ (σχήμα 2.9.α). Έπειτα στερεώνονται τα άκρα ενός ράμματος (σχοινιού) μήκους 9 m στα σημεία Γ και Ε, τεντώνεται το ράμμα με ένα καρφί και μετακινείται το καρφί έτσι ώστε κατά τη μετακίνηση του τα δύο σκέλη, που σχηματίζει το ράμμα, να είναι διαρκώς τεντωμένα. Όταν το καρφί φθάσει στη θέση Δ ώστε να απέχει από μεν το Γ 4,00 m από δε το Δ 9-4 = 5,00 m, τότε το τρίγωνο ΓΕΔ θα είναι ορθογώνιο στο Γ και άρα ΔΓ ΑΒ. Με μεγαλύτερη ακρίβεια χαράσσεται η κάθετη ΓΔ, εάν το σημείο Ε απέχει από το Γ 6 m και το μήκος του ράμματος είναι 18 m, δηλαδή εάν οι πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου

8 ΔΓΕ είναι 8,6 και 10 m (10 2 = ). Σχήμα 2.9. Χάραξη κάθετης από σημείο μίας ευθυγραμμίας α) με τη μέθοδο του ορθογωνίου τριγώνου και β) με τη μέθοδο του ισοσκελούς τριγώνου Μέθοδος του ισοσκελούς τριγώνου Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στις ιδιότητες των ισοσκελών τριγώνων. Έστω ότι πρόκειται να υψωθεί κάθετη στο σημείο Γ της ευθυγραμμίας ΑΒ. Ορίζονται τα σημεία Ε, και Ζ της ευθυγραμμίας ΑΒ έτσι ώστε ΕΓ = ΓΖ = Χ (σχήμα 2.9.α). Κατόπιν στερεώνονται τα άκρα ενός ράμματος στα σημεία Ε και Ζ κρατιέται το ράμμα από το μέσο του Δ και τεντώνεται. Μετά το τέντωμα τα δύο σκέλη του ράμματος ΔΕ και ΔΖ θα είναι ίσα. Λόγω όμως της ισότητας αυτής έπεται ότι η διάμεσος ΔΓ θα είναι συγχρόνως και ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΕΖΔ. Άρα ΔΓ ΑΒ. Σχήμα Χάραξη κάθετης από σημείο ευθυγραμμίας με την τριγωνομετρική μέθοδο Τριγωνομετρική μέθοδος Ζητείται να χαραχθεί κάθετος προς την ευθεία ΑΒ από το σημείο Γ.

9 Από το τυχαίο σημείο Ε της ΑΒ το οποίο απέχει απόσταση Χ από Γ χαράσσεται μια τυχαία ευθυγραμμία, η ΕΖ και μετράται η γωνία φ. Πάνω στην ΕΖ μετράται απόσταση S X συνφ Χαράσσεται η ΔΓ η οποία είναι κάθετος στην ΑΒ Χάραξη κάθετης από σημείο εκτός ευθυγραμμίας και προσδιορίζεται έτσι το σημείο Δ Μέθοδος του ισοσκελούς τριγώνου Ζητείται να χαραχθεί κάθετος προς την ευθυγραμμία ΑΒ από το σημείο Δ το οποίο βρίσκεται εκτός αυτής. Με κέντρο το σημείο Δ και ακτίνα R μεγαλύτερη από την απόσταση του Δ από την ΑΒ γράφεται κύκλος ο οποίος τέμνει την ΑΒ στα σημεία Ε και Ζ. Προσδιορίζεται το μέσον της ΕΖ, το Γ. Η ΔΓ είναι η ζητούμενη κάθετος στην ΑΒ επειδή το τρίγωνο ΕΖΔ είναι ισοσκελές και η ΔΓ είναι διάμεσος αυτού. Σχήμα Χάραξη κάθετης από σημείο εκτός ευθυγραμμίας με τη μέθοδο του ισοσκελούς τριγώνου Τριγωνομετρική μέθοδος Σχήμα Χάραξη κάθετης από σημείο εκτός ευθυγραμμίας με την τρι-

10 γωνομετρική μέθοδο. Ζητείται να χαραχθεί κάθετος προς την ευθεία ΑΒ από το σημείο Δ. Από τυχαίο σημείο Ζ χαράσσεται μια τυχαία ευθυγραμμία, η ΖΔΕ η οποία τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε. Μετρείται απόσταση ΔΕ = S και η γωνία φ της ΖΔΕ και της ΑΒ. X Sσυνφ. Μετρείται πάνω Στη συνέχεια υπολογίζεται η απόσταση Χ από τη σχέση στην ΕΑ απόσταση ΕΓ=Χ και προσδιορίζεται έτσι το σημείο Γ. Χαράσσεται η ΔΓ η οποία είναι κάθετος στην ΑΒ Χάραξη καθέτων ευθειών με ορθόγωνα Το ορθόγωνο είναι όργανο, με το οποίο χαράσσονται ορθές γωνίες. Τα ορθόγωνα είναι τριών ειδών: Τα διοπτρικά, τα κατοπτρικά (ή ανακλαστικά) και τα πρισματικά (ή διαθλαστικά). Από τους τρεις αυτούς τύπους χρησιμοποιείται σήμερα σχεδόν αποκλειστικά μόνο ο τρίτος.

11 2.4. Ασκήσεις Παρατηρήσεις: 1. Η επίλυση των ασκήσεων θα γίνει από ομάδες των δυο φοιτητών, σε διαφορετικά σημεία του προαυλίου χώρου των εγκαταστάσεων του ΤΕΙ Ηπείρου. Η ομάδα θα χρησιμοποιήσει ως Ν το ημιάθροισμα των Ν των δύο φοιτητών. 2. Για τις μετρήσεις θα χρησιμοποιηθούν μετροταινίες, ράμματα και ακόντια (λόγω ελλείψεως υλικού αντί ακοντίων θα χρησιμοποιηθούν πάσσαλοι ξύλινοι ή από καλάμια). 3. Τα σημεία θα επισημανθούν και θα γίνει επίδειξη από την κάθε ομάδα. Άσκηση 1 Να ορισθεί ένα σύστημα ορθωγωνικών συντεταγμένων και να εντοπιστεί το σημείο Π με συντεταγμένες Χ= (3,00+0,1 *Ν) m και Ψ = ( 12,00-0,1 *Ν) m. Δίδεται Ν=3. Λύση 1. Δεδομένα: Χ = (3,00+0,1 x 3) m =3,3 m, Ψ = (12-0,1 x 3) m =11,7 m. 2. Ορίζονται δύο τυχαία σημεία στο έδαφος τα Α ( 2,00, 0,00) και Β ( 5,00, 0,00) ως σημεία του άξονα Χ-Χ και το σημείο Γ ( 0,00, 3,00) ως σημείο του άξονα Ψ - Ψ 2. Από το Γ γράφεται η κάθετος στην ΑΒ, ήτοι με κέντρο το Γ και ακτίνα σαφώς μεγαλύτερη από την απόσταση του Γ από την ΑΒ γράφεται κύκλος ο οποίος τέμνει την προέκταση της ΑΒ στα σημεία Δ και Ε 3. Προσδιορίζεται το μέσον Ο του ΔΕ το οποίο είναι ο πόδας της καθέτου από το Γ στην ΑΒ, και το οποίο είναι η αρχή του συστήματος συντεταγμένων Ο, ΑΒ, Γ. 4. Εντοπισμός του Π ( 3,00, 12,00). Από το Ο επί των ΟΑΒ και ΟΓ μετρώται μήκη ΟΖ = X Π = 3,3 m και ΟΗ = Ψ Π = 11,7 m αντίστοιχα και ορίζονται έτσι τα σημεία Ζ και Η. 5. Mε κέντρα το Z και Η ακτίνες Ry = Ψ Π = 11,7 και Rx = Χ Π = 3,3 γράφoνται κύκλοι οι οποίοι τέμνονται στο σημείο Π το οποίο είναι το ζητούμενο.

12 Άσκηση 2 Να ορισθεί ένα σύστημα πολικών συντεταγμένων και να εντοπιστεί το σημείο Π με συντεταγμένες (θ = 30+ 0,1.N ) μοίρες, S = (2,50 + 0,1*N)m. Δίδεται Ν=3. Λύση 1. Δεδομένα: θ =(30 +0,1 x 3) μοίρες =30,3 μοίρες, S = (2,5+0,1 x 3) m = 2,8 m. 2 Έστω ότι είναι υλοποιημένη η θέση του πόλου Ο και της μηδενικής διεύθυνσης του συστήματος πολικών συντεταγμένων. Η θέση του σημείου Ο επισημαίνεται με ακόντιο. 3. Για τη χάραξη της ευθυγραμμίας της μηδενικής διεύθυνσης αρκεί να επισημανθεί με ακόντιο ένα τυχόν σημείο της, έστω το Γ και έ στω ΟΓ=10 m 4. Από το σημείο Ο χαράσσεται γωνία θ =30,3 μοίρες ως εξής: Με κέντρο Ο και ακτίνα τυχούσα, έστω ΟΡ =12 m γράφεται κύκλος. Με κέντρο Γ και ακτίνα R = ((ΟΓ)^2 + (ΟΡ)^2-2*(ΟΓ)*(ΟΡ)*συνθ)^0,5 = (10^2 + 12^2-2*10*12συν(30,3))^0,5 = 6,065 m, γράφεται κύκλος. Το σημείο τομής των δύο κύκλων είναι το σημείο Ρ στο οποίο τοποθετείται ακόντιο. 5. Μετράται πάνω στην ευθυγραμμία ΟΡ απόσταση OΠ=S = 2,8 m και στη θέση του σημείου Π τοποθετείται ακόντιο. 6. Το σημείο Π είναι το ζητούμενο, διότι η ευθυγραμμία ΟΠ σχηματίζει γωνία θ με τη μηδενική διεύθυνση και το σημείο Π απέχει απόσταση S από τον πόλο Ο.

13 Άσκηση 3 Να οριστούν δύο σημεία Α και Β στο έδαφος τα οποία να απέχουν μεταξύ τους περίπου (AB) = (50, ,3N) m και να γίνει πύκνωση της ευθυγραμμίας ανά 10, 00 m Λύση 1. Δεδομένα: (ΑΒ) =(50 +0,3 x 3) m = 50,9 m. 2. Ορίζονται τα σημεία Α και Β στο έδαφος και επισημαίνεται με ακόντια. 3. Με κέντρο Α και ακτίνα R= 10,00 m, γράφεται κύκλος. 4. Πάνω στον κύκλο, που χαράχθηκε, κινείται ο στοχοφόρος και προσδιορίζεται η τομή Μ1 του κύκλου με την ευθυγραμμία ΑΒ. Στη θέση του σημείου Μ1 τοποθετείται ακόντιο. 5. Με κέντρο Μ1 και ακτίνα R= 10,00 m, γράφεται κύκλος και ορίζεται η τομή του με την ευθυγραμμία ΑΒ, Μ2. 6. Με τον ίδιο τρόπο ορίζονται και τα υπόλοιπα σημεία Μ3, Μ4.

14 Άσκηση 4 Στην προηγούμενη ευθυγραμμία: α) να υψωθεί κάθετος σε σημείο Γ αυτής που να απέχει ΑΓ= (15,00 +0,3 Ν) m από το Α. Να γίνει εφαρμογή και των τριών μεθόδων. β) από ένα σημείο του εδάφους εκτός της ευθυγραμμίας να χαραχθεί κάθετη στην ευθυγραμμία και με τις δύο μεθόδους. Λύση α. Κάθετος στο σημείο Γ της ευθυγραμμίας Δεδομένα: (ΑΓ) = (15 +0,3 x 3) m = 15,9 m. Ορίζεται το σημείο Γ στο έδαφος και επισημαίνεται με ακόντιο. Αυτό μπορεί να γίνει τεντώνοντας ένα ράμα, ή μια μετροταινία, από τα δύο σημεία Μi και Μ(i+1) μεταξύ των οποίων βρίσκεται το Γ και στη συνέχεια παίρνοντας την απόσταση Μi - Γ ή την απόσταση Μ(i+1) - Γ. (1). Μέθοδος του ορθογωνίου τριγώνου Ορίζεται το σημείο Ε της ευθυγραμμίας ΑΒ σε απόσταση (ΓΕ) = 6,00 m από το Γ. Έπειτα στερεώνονται τα άκρα ενός ράμματος (σχοινιού) μήκους 18,00 m στα σημεία Γ και Ε, τεντώνεται το ράμμα με ένα καρφί και μετακινείται το καρφί έτσι ώστε κατά τη μεταμετακίνηση του τα δύο σκέλη, που σχηματίζει το ράμμα, να είναι διαρκώς τεντωμένα. Όταν το καρφί φθάσει στη θέση Δ ώστε να απέχει από μεν το Γ απόσταση (ΔΓ) = 8,00 m από δε το Ε απόσταση (ΔΕ) = 18,00-8,00 = 10,00 m, τότε το τρίγωνο ΓΕΔ θα είναι ορθογώνιο στο Γ επειδή (ΓΕ)2 + (ΓΔ)2 = 6, ,002 = 100 = (ΔΕ)2. Επομένως η ΔΓ κάθετη στην ΑΒ. (2). Μέθοδος του ισοσκελούς τριγώνου Ορίζονται τα σημεία Ε, και Ζ της ευθυγραμμίας ΑΒ έτσι ώστε (ΕΓ) = (ΓΖ) = π.χ. 5,00 m. Κατόπιν στερεώνονται τα άκρα ενός ράμματος στα σημεία Ε και Ζ κρατιέται το ράμμα από το μέσο του Δ και τεντώνεται. Μετά το τέντωμα τα δύο σκέλη του ράμματος (ΔΕ) και (ΔΖ) θα είναι ίσα. Λόγω όμως της ισότητας αυτής έπεται ότι η διάμεσος ΔΓ θα είναι συγχρόνως και ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΕΖΔ. Άρα η ΔΓ είναι κάθετη στην ΑΒ.

15 (3). Τριγωνομετρική μέθοδος Από το τυχαίο σημείο Ε της ΑΒ το οποίο απέχει απόσταση έστω (ΓΕ) = 2,00 m. Από το σημείο Ε χαράσσεται τυχαία γωνία έστω φ = 45,45 μοίρες ως εξής: Με κέντρο Ε και ακτίνα τυχούσα, έστω ΕΖ =10 m γράφεται κύκλος. Με κέντρο Γ και ακτίνα R = ((ΓΕ)^2 + (ΕΖ)^2-2*(ΓΕ)*(ΕΖ)*συνφ)^0,5 = (3^2 + 10^2-2*3*10*συν(45,45))^0,5 = 8,18 m, γράφεται κύκλος. Το σημείο τομής των δύο κύκλων είναι το σημείο Ζ στο οποίο τοποθετείται ακόντιο. Πάνω στην ΕΖ μετράται απόσταση (ΕΔ) =3/συν45,45 = 4,28 m και προσδιορίζεται έτσι το σημείο Δ. Χαράσσεται η ΓΔ η οποία είναι κάθετος στην ΑΒ. β. Κάθετος από το σημείο Δ εκτός της ευθυγραμμίας (1). Μέθοδος του ισοσκελούς τριγώνου Ορίζεται το σημείο Δ στο έδαφος και επισημαίνεται με ακόντιο. Με κέντρο το σημείο Δ και ακτίνα R σαφώς μεγαλύτερη από την απόσταση του Δ από την ΑΒ γράφεται κύκλος ο οποίος τέμνει την ΑΒ στα σημεία Ε και Ζ. Προσδιορίζεται το μέσον της ΕΖ, το Γ. Η ΔΓ είναι η ζητούμενη κάθετος στην ΑΒ επειδή το τρίγωνο ΕΖΔ είναι ισοσκελές και η ΔΓ είναι διάμεσος αυτού. (2). Τριγωνομετρική μέθοδος Από τυχαίο σημείο Ζ χαράσσεται μια τυχαία ευθυγραμμία, η ΖΔΕ η οποία τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε. Μετρείται απόσταση ΔΕ = S και η γωνία φ της ΖΔΕ και της ΑΒ. Στη συνέχεια υπολογίζεται η απόσταση Χ από τη σχέση Χ= S*συνφ. Μετρείται πάνω στην ΕΑ απόσταση ΕΓ=Χ και προσδιορίζεται έτσι το σημείο Γ. Χαράσσεται η ΔΓ η οποία είναι κάθετος στην ΑΒ.

16

17 Προτεινόμενη Βιβλιογραφία 1. EN Greenhouses-Design and construction - Part 1: Commercial production Greenhouses, CEN/TC284, December EN Eurocode 0 Basis of structural design, CEN, April EN 1991.Eurocode 1: Actions on structures, General actions. Part 1-1: Densities, self-weight, imposed loads for buildings, CEN, April 2002, Part 1-3: Snow loads, CEN, July 2003, Part 1-4: Wind actions, CEN, April 2005, Part 1-5: Thermal actions, CEN, Nov Θεοχάρης, Μ., Η εφαρμογή των Ευρωκώδικων στη μελέτη των Ελληνικών θερμοκηπίων, Μεταπτ. Διατρ., Τμ. Γεωπ. Φυτ. και Ζωικ. Παρ/γής Παν/μίου Θεσσαλίας, Βόλος, Μάρτ. 2000, σελ Θεοχάρης, Μ., Η ανεμοφόρτιση των θερμοκηπιακών κατασκευών σύμφωνα με τους Ευρωκώδικες, Πρακτ. 2oυ Πανελλ. Συν. Γεωργ. Μηχαν., σελ , Βόλος, Σεπτ Θεοχάρης, Μ., Η Χιονοφόρτιση των θερμοκηπιακών κατασκευών σύμφωνα με τους Ευρωκώδικες, Πρακτ. 3oυ Πανελλ. Συν. Γεωργ. Μηχαν., σελ , Θεσ/νίκη, Μαΐος Θεοχάρης Μ.: " Γεωργικές Κατασκευές", Άρτα Θεοχάρης Μ.: " Γεωργικές Κατασκευές, Εργαστηριακές Ασκήσεις", Άρτα Θεοχάρης Μ.:" Θερμοκηπιακές Κατασκευές", Άρτα Ιωαννίδης Π. " Οι στέγες στην Οικοδομή ", Αθήνα Αναστασόπουλος Α.: "Γεωργικές Κατασκευές" Αθήνα Beton Kalender 1984: Τόμοι 1 και 2. Μετάφραση στα Ελληνικά, Εκδότης Μ. Γκιούρδας. 13. Βαγιανός Ι. : "Πρακτική των Θερμοκηπίων και των Σηράγγων " 14. Γεωργακάκης Δ. : "Στοιχεία Ρύθμισης Περιβάλλοντος και Σχεδιασμού Αγροτικών Κατασκευών ", Αθήνα Γραφιαδέλλης Μ :"Σύγχρονα Θερμοκήπια" Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη Δεϊμέζης Α : " Γενική Δομική ", Τόμοι Ι, ΙΙ, Αθήνα Δούκας Σ. : " Οικοδομική", Αθήνα Ευσταθιάδης Α. :" Θερμοκήπια Στοιχεία Κατασκευής, Λειτουργίας και Καλλιέργειας" 19. Μαυρογιαννόπουλος Γ. :" Θερμοκήπια ", Εκδοση Γ', Αθήνα 2001 Μπουρνιά Ε. : "Αγροτικά Κτίρια ", Έκδοση Ο.Ε.Δ.Β., Αθήνα 1995

18 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Τεχνολογικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μενέλαος Θεοχάρης. Γεωργικές και Θερμοκηπιακές Κατεσκευές (Εργαστήριο) Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 4.0 Διεθνές [1] ή μεταγενέστερη. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, Διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Επεξεργασία: Δημήτριος Κατέρης Άρτα, 2015

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο)

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο) Ενότητα 1: Διαστασιολόγηση της επικάλυψης των υαλόφρακτων θερμοκηπίων Δρ Μενέλαος Θεοχάρης

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Θεωρία)

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Θεωρία) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Θεωρία) Ενότητα 9 : Οι τύποι των θερμοκηπιακών κατασκευών Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 9 Οι τύποι των θερμοκηπιακών

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Θεωρία)

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Θεωρία) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Θεωρία) Ενότητα 8 : Οι θερμοκηπιακές κατασκευές Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 8 Εισαγωγή 8.1. Γενικά. Θερμοκήπιο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο)

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο) Ελληνική ημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο) Ενότητα 6 : Εμβαδομετρία ρ. Μενέλαος Θεοχάρης 4. ΕΜΒΟΜΕΤΡΙ 4.. Γενικά Η εμβαδομέτρηση γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο)

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο) Ενότητα 8 : Υπολογισμός θερμικών αναγκών ΙI Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης ΚΕΦΑΛΑΙΟ Υπολογισμός των

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 5: Τοπογραφικά όργανα Γ ρ. Γρηγόριος Βάρρας

Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 5: Τοπογραφικά όργανα Γ ρ. Γρηγόριος Βάρρας Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 5: Τοπογραφικά όργανα Γ ρ. Γρηγόριος Βάρρας 1.1. ΧΩΡΟΒΑΤΗΣ Ο χωροβάτης είναι το Τοπογραφικό όργανο, που χρησιμοποιείται στη μέτρηση των υψομέτρων σημείων.

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Θεωρία)

Στραγγίσεις (Θεωρία) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 4 : Μέτρηση της στάθμης του υπόγειου νερού Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 4.1 Εγκατάσταση πιεζομετρικών σωλήνων Η στάθμη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΩΝ ΓΕΩΠΟΝΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΩΝ ΓΕΩΠΟΝΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Προπτυχιακό ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ CRP3040 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Θεωρία)

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Θεωρία) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Θεωρία) Ενότητα 1 : Τα αγροτικά κτίρια Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 1 Τα αγροτικά κτίρια 1.1. Γενικά Τα αγροτικά

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 3: Τοπογραφικά όργανα Α ρ. Γρηγόριος Βάρρας

Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 3: Τοπογραφικά όργανα Α ρ. Γρηγόριος Βάρρας Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 3: Τοπογραφικά όργανα Α ρ. Γρηγόριος Βάρρας 1. ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΟΡΓΑΝΑ Ο σκοπός της Τοπογραφίας επιτυγχάνεται με τη χρήση των Τοπογραφικών οργάνων. Για τη διεκπεραίωση

Διαβάστε περισσότερα

Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων

Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων Ενότητα 3 : Τοπογραφία και Μνημεία Τοκμακίδης Κωνσταντίνος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 3 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 3 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 3 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Επίγειες Γεωδαιτικές Μετρήσεις Μήκη Γωνίες Υψομετρικές διαφορές Παράμετροι οργάνων μέτρησης Ανάγνωση/Μέτρηση Σφάλμα/Αβεβαιότητα Μήκη Μέτρηση Μήκους Άμεση

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο)

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο) Ενότητα 9: Σχεδιασμός συστήματος θέρμανσης θερμοκηπίων Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης ΚΕΦΑΛΑΙΟ Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας

Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου 1. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος η πλευρά ΒΓ που βρίσκεται απέναντι από την ορθή

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Για την άρτια εκτέλεση του θέματος θα πρέπει να γίνουν οι παρακάτω εργασίες:

Για την άρτια εκτέλεση του θέματος θα πρέπει να γίνουν οι παρακάτω εργασίες: Το αντικείμενο του θέματος είναι η ταχυμετρική αποτύπωση σε κλίμακα 1:200 της περιοχής που ορίζεται από τo Σκαρίφημα Λιμνίου με Συντεταγμένες Σημείων το οποίο παραδόθηκε στο μάθημα και βρίσκεται στο eclass.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργικά Μηχανήματα (Εργαστήριο)

Γεωργικά Μηχανήματα (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Γεωργικά Μηχανήματα (Εργαστήριο) Ενότητα 10 : Γεωργικά Μηχανήματα Μηχανήματα κατεργασίας του Εδάφους ΙΙ Δρ. Δημήτριος Κατέρης Εργαστήριο 10 ο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

Αρδεύσεις (Εργαστήριο)

Αρδεύσεις (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Αρδεύσεις (Εργαστήριο) Ενότητα 8 : Κλειστοί Αγωγοί ΙΙ Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 5.4. Λυμένες ασκήσεις Άσκηση 1η Δίνεται ένας σωληνωτός αγωγός από

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Διάλεξη 2η Παναγής Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο)

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο) Ενότητα 2 : Μονάδες Μέτρησης ΙΙ Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 1.6. Ασκήσεις Άσκηση 1 Η γωνία ω =

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Εικόνας & Ήχου ΙΙ (Ε)

Φυσική Εικόνας & Ήχου ΙΙ (Ε) Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Φυσική Εικόνας & Ήχου ΙΙ (Ε) Ενότητα 8: Υπολογισμός άγνωστης εστιακής απόστασης θετικού φακού Αθανάσιος Αραβαντινός Τμήμα Φωτογραφίας

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.05.3: Μέγιστα και Ελάχιστα Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Ενότητα Β.05.3: Μέγιστα

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3 Προβλήµατα 1. Να κατασκευάσετε µια γωνία xαy, γνωρίζοντας ότι: 3 α) εφ xay = 5 β) συν xay = 0,8 γ) ηµ xay = 0,4 2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7 4. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1 Περιεχόµενα Περιεχόµενα... 7 Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11 Ευρετήριο Εικόνων... 18 Κεφάλαιο 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ... 19 Θεωρία... 19 1.1 Έννοιες και ορισµοί... 20 1.2 Μονάδες µέτρησης γωνιών και µηκών...

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο)

Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Γεωργικές και Θερμοκηπιακές κατασκευές (Εργαστήριο) Ενότητα 11: Οι φορτίσεις των θερμοκηπιακών κατασκευών στην Ελλάδα σύμφωνα με τους Ευρωκώδικες

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 9 : Η ασταθής στράγγιση των εδαφών Ι Δρ.

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 9 : Η ασταθής στράγγιση των εδαφών Ι Δρ. Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 9 : Η ασταθής στράγγιση των εδαφών Ι Δρ Μενέλαος Θεοχάρης 61 Γενικά Η ροή του υπόγειου νερού ονομάζεται ασταθής,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 2: Γραμμικές συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα.

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. 2. Τι ονομάζουμε ημίτονο μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου;

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II 1 Φύλλο 1 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II Στις δύο παρακάτω γραμμές από το περιβάλλον του λογισμικού αυτού η πρώτη αφορά γενικές επεξεργασίες και δεύτερη με τα εικονίδια περιλαμβάνει τις στοιχειώδεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Αρδεύσεις (Θεωρία) Ενότητα 1 : Η έννοια της άρδευσης Δρ.

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Αρδεύσεις (Θεωρία) Ενότητα 1 : Η έννοια της άρδευσης Δρ. Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Αρδεύσεις (Θεωρία) Ενότητα 1 : Η έννοια της άρδευσης Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 1. Η έννοια της άρδευσης 1.1. Γενικά Άρδευση ονομάζεται γενικά η εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 1. Εισαγωγή ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Οι γραφικές παραστάσεις (ή διαγράμματα) χρησιμεύουν για την απεικόνιση της εξάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο.

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ 6.1 ΚΛΙΣΗ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. Πραγματική κλίση στρώματος Η διεύθυνση μέγιστης κλίσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ύο λόγια από τους συγγραφείς.

ύο λόγια από τους συγγραφείς. ύο λόγια από τους συγγραφείς. Το βιβλίο αυτό γράφτηκε από τους συγγραφείς με σκοπό να συμβάλουν στην εκπαιδευτική διαδικασία του μαθήματος της Τοπογραφίας Ι. Το βιβλίο είναι γραμμένο με τον απλούστερο

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφία Γεωμορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 9: Εργαστηριακές ασκήσεις Δρ. Γρηγόριος Βάρρας

Τοπογραφία Γεωμορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 9: Εργαστηριακές ασκήσεις Δρ. Γρηγόριος Βάρρας Τοπογραφία Γεωμορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 9: Εργαστηριακές ασκήσεις Δρ. Γρηγόριος Βάρρας 1.1. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1η ΘΕΜΑ: Μονάδες μέτρησης της Τοπογραφίας. Μετατροπή μονάδων. Συστήματα μέτρησης. 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.05.2: Ρυθμός Μεταβολής Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.05.2: Ρυθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα)

1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα) 20 1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα) 1.3.1 Ορισµός- Είδη - Χρήση Σκαρίφηµα καλείται η εικόνα ενός αντικειµένου ή εξαρτήµατος που µεταφέρεται σε χαρτί µε ελεύθερο χέρι (χωρίς όργανα σχεδίασης ή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 3: Μηχανολογικό Σχέδιο Τομή, Ημιτομή

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 3: Μηχανολογικό Σχέδιο Τομή, Ημιτομή Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 3: Μηχανολογικό Σχέδιο Τομή, Ημιτομή Διάλεξη 3η Παναγής Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΟΜΩΝ Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργικά Μηχανήματα (Θεωρία)

Γεωργικά Μηχανήματα (Θεωρία) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Γεωργικά Μηχανήματα (Θεωρία) Ενότητα 11 : Γεωργικά Μηχανήματα Μηχανήματα σποράς και φύτευσης Δρ. Δημήτριος Κατέρης ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΠΟΡΑ - ΦΥΤΕΥΣΗ-ΛΙΠΑΝΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΠΙΠΛΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΠΙΠΛΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα