1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?"

Transcript

1 ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών : 1. Ορθές προβολές 2. Αξονομετρικές προβολές 3. Προοπτικές προβολές 1.2. ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Θεωρούμε ένα χαρτί σχεδίασης, ως επίπεδο α. Τοποθετούμε ένα αντικείμενο απέναντι στο επίπεδο αυτό έτσι, ώστε η μία έδρα του να είναι παράλληλη προς αυτό. Θεωρούμε παράλληλες ακτίνες, που διαπερνούν το αντικείμενο και τέμνουν κάθετα το επίπεδο α. Οι ακτίνες αυτές ξεκινούν στο άπειρο και έτσι, φθάνοντας στο αντικείμενο θεωρούνται παράλληλες μεταξύ τους. Αν ενώσουμε μεταξύ τους τα σημεία που οι ακτίνες τέμνουν το επίπεδο α, τότε πάνω στο χαρτί (επίπεδο α) σχηματίζεται το «Σχέδιο Ορθής Προβολής» του αντικειμένου. Το σχήμα του αντικειμένου έχει δύο διαστάσεις. Με τον ίδιο τρόπο, αλλά προβάλλοντας το αντικείμενο πάνω στο επίπεδο από μια άλλη έδρα του, παράλληλη προς αυτό, παίρνουμε την τρίτη διάσταση. Σχέδια ορθών προβολών είναι οι κατόψεις, οι όψεις και οι τομές 1.3. ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Έστω ένα επίπεδο α και ένα αντικείμενο απέναντί του, έχοντας τη μία έδρα του παράλληλη προς αυτό. Θεωρούμε παράλληλες ακτίνες που διαπερνούν το αντικείμενο και προσπίπτουν στο επίπεδο α, -όχι κάθετα- σχηματίζοντας γωνία. Οι ακτίνες ξεκινούν στο άπειρο και εφόσον φτάνουν στο αντικείμενο, είναι παράλληλες. Ενώνοντας μεταξύ τους τα σημεία τομής των ακτίνων με το επίπεδο α (χαρτί σχεδίασης), έχουμε το «Αξονομετρικό Σχέδιο» του αντικειμένου, με τις τρεις διαστάσεις του. Αν η γωνία, που σχηματίζεται από τις προσπίπτουσες στο επίπεδο ακτίνες, αλλάξει τότε αλλάζει και το αξονομετρικό του σχέδιο. Επομένως, μπορούμε να έχουμε τόσες αξονομετρικές προβολές όσες και γωνίες εκτός της ορθής γωνίας, γιατί τότε θα έχουμε ορθή προβολή. Αν το αντικείμενο τοποθετηθεί απέναντι στο επίπεδο, αλλά χωρίς καμία έδρα του να είναι παράλληλη προς αυτό, προκύπτουν επιπλέον αξονομετρικές προβολές. Στην περίπτωση αυτή, οι παράλληλες ακτίνες μπορεί να σχηματίζουν οποιαδήποτε γωνία με το επίπεδο α. 1

2 1.4 ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Θεωρούμε ένα επίπεδο α (χαρτί σχεδίασης ) κι ένα αντικείμενο απέναντί του, με μία έδρα του παράλληλη προς αυτό. Θεωρούμε ακτίνες, που ξεκινούν όλες από ένα σημείο Ο, που βρίσκεται σχετικά κοντά στο αντικείμενο. Το σημείο Ο λέγεται «Κέντρο Προβολής». Αν ενώσουμε μεταξύ τους τα σημεία τομής των ακτίνων με το επίπεδο α, προκύπτει η «Προοπτική Προβολή» ή το «Προοπτικό Σχέδιο» του αντικειμένου, με τις τρεις διαστάσεις του. Αν αλλάξει η απόσταση ή η θέση του κέντρου προβολής, αλλάζει και το προοπτικό σχέδιο, ως προς τη μορφή και το μέγεθός του. ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Προκύπτει από την αξονομετρική προβολή αντικειμένου ή χώρου πάνω σ ένα επίπεδο α, που συμπίπτει με το χαρτί σχεδίασης. Το αντικείμενο μπορεί να έχει τη μια πλευρά του παράλληλη με το προβολικό επίπεδο α ή μπορεί να σχηματίζει οποιαδήποτε γωνία ως προς αυτό. Δίνει την εικόνα του χώρου ή του αντικειμένου με τις τρεις διαστάσεις του πάνω στο χαρτί μας, που έχει δύο διαστάσεις, όπως ακριβώς είναι στην πραγματικότητα. Την πραγματικότητα αυτή, το ανθρώπινο μάτι δεν μπορεί να τη δει, γιατί βλέπει προοπτικά. Το αξονομετρικό σχέδιο σχεδιάζεται υπό κλίμακα, όπως και τα σχέδια ορθών προβολών. Η παραλληλία των γραμμών διατηρείται. Από το αξονομετρκό σχέδιο μπορούμε εύκολα να σχεδιάσουμε τις όψεις, τις κατόψεις και τις τομές ενός αντικειμένου. Είναι κατασκευαστικό : Χρησιμοποιείται ευρέως στην οικοδομή, για ολόκληρες κατασκευές ή μικρές οικοδομικές λεπτομέρειες, στο σχεδιασμό επίπλων/ αντικειμένων και οπουδήποτε απαιτείται κατασκευαστικό σχέδιο και στην αρχιτεκτονική, για τη μελέτη των κτιρίων, επειδή δεν αλλοιώνει της σχέση γραμμών και όγκων. Για να σχεδιάσουμε το αξονομετρικό σχέδιο ενός αντικειμένου: 1. Επιλέγουμε τρεις άξονες x, ψ, ζ, οι οποίοι σχηματίζουν γωνίες ως προς την οριζόντια γραμμή και που αντιστοιχούν στις τρεις διαστάσεις του αντικειμένου. 2. Πάνω στους άξονες αυτούς, μετράμε αντίστοιχα τις τρεις διαστάσεις του αντικειμένου στην κλίμακα που έχουμε επιλέξει. 3. Προχωράμε στο σχεδιασμό του αξονομετρικού, όπως στα παρακάτω παραδείγματα, με απλά γεωμετρικά στερεά (παραλληλεπίπεδα, κύβοι, κύλινδροι).

3 Αξονομετρικό στερεού, όταν μία έδρα του // επίπεδο προβολής : Έστω ένα παραλληλεπίπεδο, με πλευρές α, β, γ, και ένα επίπεδο, που συμπίπτει με το χαρτί σχεδίασής μας. Προβάλλουμε το παραλληλεπίπεδο πάνω στο επίπεδο (το χαρτί μας ), κρατώντας έτσι, ώστε η μία έδρα του να είναι παράλληλη προς αυτό. Επιλέγουμε τρεις άξονες x, ψ, z, που αντιστοιχούν στις τρεις διαστάσεις του παραλληλεπιπέδου: Ο x, ταυτίζεται με την οριζόντια γραμμή, ο ψ είναι κάθετος σ αυτήν και ο z, σχηματίζει γωνία ω με την οριζόντια. Μετράμε πάνω στους άξονες αυτούς τα αντίστοιχα μεγέθη υπό κλίμακα : στον άξονα x, μετράμε το β, στον ψ το α. Ολοκληρώνουμε το σχέδιο, με πλευρές α και β. Η εικόνα της έδρας αυτής παραμένει ως έχει, γιατί είναι παράλληλη προς το επίπεδο προβολής. Στον άξονα z, μετράμε την πλευρά γ υπό κλίμακα. Ανάλογα με το μέγεθος της γωνίας ω, το μήκος της πλευρά αυτής αλλοιώνεται. Επειδή οι γωνίες είναι άπειρες, και οι αντίστοιχες αλλοιώσεις των πλευρών είναι άπειρες, αναφέρονται μόνο τρεις περιπτώσεις, που χρησιμοποιούνται συχνότερα : 1. Αν γωνία ω = 30 ο, τότε το μήκος της γ, αξονομετρικά, αντιστοιχεί στο 0,82 της πλευράς αυτής 2. Αν γωνία ω = 45 ο, τότε το μήκος της γ, αξονομετρικά, αντιστοιχεί στο 0,50 της πλευράς αυτής 3. Αν η γωνία ω = 60 ο, τότε το μήκος της γ, αξονομετρικά, αντιστοιχεί στο 0,33 της πλευράς αυτής. 4. Η αξονομετρία αυτή, όπου η μία έδρα του αντικειμένου είναι παράλληλη προς το επίπεδο προβολής, λέγεται Ιππευτική Αξονομετρία (Cavaliera ). Παρατηρήσεις : Αν γωνία ω = 3Ο ο, το αντικείμενο φαίνεται αρκετά μακρύ Αν γωνία ω = 60 ο, αρκετά κοντό Αν γωνία ω=45 ο, δίνει μια ενδιάμεση εικόνα του αντικειμένου, πιο ικανοποιητική. Για το αξονομετρικό κυλίνδρου, η βάση του κυλίνδρου τοποθετείται παράλληλα προς το επίπεδο προβολής. Ο κύκλος της βάσης παραμένει κύκλος και στο αξονομετρικό σχέδιο. Ισχύουν οι προηγούμενες παρατηρήσεις για το αξονομετρικό παραλληλεπιπέδου : 1. Αν γωνία ω = 30 ο, τότε το μήκος της γ, αξονομετρικά, αντιστοιχεί στο 0,82 της πλευράς αυτής 2. Αν γωνία ω = 45 ο, τότε το μήκος της γ, αξονομετρικά, αντιστοιχεί στο 0,50 της πλευράς αυτής 3. Αν η γωνία ω = 60 ο, τότε το μήκος της γ, αξονομετρικά, αντιστοιχεί στο 0,33 της πλευράς αυτής. 3

4 2.3. Αξονομετρικό στερεού, όταν καμία έδρα του δεν είναι // επίπεδο προβολής Υπάρχουν άπειρες θέσεις του αντικειμένου ως προς το επίπεδο προβολής και για κάθε θέση αντιστοιχεί διαφορετική αλλοίωση στο μήκος των πλευρών του. Ξεχωρίζουμε δύο θέσεις που δίνουν αντίστοιχα το Ισομετρικό και το Διμετρικό αξονομετρικό. Είναι εύκολοι στην εκτέλεση τύποι αξονομετρικού και χρησιμοποιούνται συχνά Ισομετρικό αξονομετρικό στερεού Επιλέγουμε τρεις άξονες x, ψ, z, που αντιστοιχούν στις τρεις διαστάσεις του χώρου: Ο ψ είναι κάθετος στη οριζόντια, ο x και ο z σχηματίζουν με την οριζόντια, γωνία 30 ο. Μετράμε πάνω στους άξονες τα αντίστοιχα μεγέθη υπό κλίμακα, χωρίς να υπολογίσουμε καμία αλλοίωση στις πλευρές. Παρατηρήσεις: Στο ισομετρικό αξονομετρικό κύβου, η εικόνα δεν ικανοποιεί, μοιάζει με ευθύγραμμο τμήμα. Στο ισομετρικό αξονομετρικό παραλληλεπιπέδου, η εικόνα είναι αρκετά ικανοποιητική Ισομετρικό αξονομετρικό κύκλου Εγγράφουμε τον κύκλο σε τετράγωνο ΑΒΓΔ. Σχεδιάζουμε τις διαγώνιες και τις διαμέσους του τετραγώνου. Σχεδιάζουμε το ισομετρικό αξονομετρικό του τετραγώνου Α Β Γ Δ με τις διαγώνιες και τις διαμέσους του. Φέρουμε την Ε Β και στο σημείο τομή της με τη διαγώνιο Α Γ, ορίζουμε το κέντρο Κ 1. Με ακτίνα Κ 1Ε, φέρουμε τόξο Ε α Θ, που αποτελεί ένα μέρος της έλλειψης. Φέρουμε τη Δ Ζ και στο σημείο τομής της με την Α Γ, ορίζουμε το κέντρο Κ 2. Με ακτίνα Κ 2 Ζ, φέρουμε το τόξο Ζ βή, που αποτελεί επίσης ένα μέρος της έλλειψης. Με κέντρο το Δ και ακτίνα Δ Θ, φέρουμε το τόξο Θ δ Ζ Με κέντρο το Β και ακτίνα ΒΉ, φέρουμε το τόξο Η γέ Η έλλειψη, που προκύπτει από τη συναρμογή των 4 τόξων, ισοδυναμεί με το ισομετρικό αξονομετρικό του κύκλου.

5 Διμετρικό αξονομετρικό Επιλέγουμε τρεις άξονες x, ψ, z, που αντιστοιχούν στις τρεις διαστάσεις του χώρου. Ο ψ είναι κάθετος στην οριζόντια, ενώ οι z και ψ σχηματίζουν με την οριζόντια, γωνίες 7 ο 1 και 41 ο 25, αντίστοιχα (τις μετράμε με μοιρογνωμόνιο, αλλά υπάρχουν και σε στένσιλ). Στον αξονομετρικό αυτό τύπο προκύπτει αλλοίωση των πλευρών του αντικειμένου πάνω στον άξονα x, με σμίκρυνση κατά το ½ (0,5). Στους άξονες ψ και z, οι διαστάσεις του αντικειμένου δεν αλλοιώνονται. Παρατηρήσεις; Στο διμετρικό αξονομετρικό κύβου, η εικόνα του είναι αρκετά ικανοποιητική. Για τον κύβο χρησιμοποιούμε συνήθως διμετρικό αξονομετρικό Στο διμετρικό αξονομετρικό παραλληλεπιπέδου, η εικόνα του είναι ικανοποιητική κα ο διμετρικός αξονομετρικός τύπος χρησιμοποιείται συχνά, παρόλο που η κατασκευή του είναι πιο περίπλοκη 2.4 Αξονομετρικό Κύκλου 1. Όταν το επίπεδο, στο οποίο βρίσκεται ο κύκλος, είναι παράλληλο προς το επίπεδο προβολής, τότε η αξονομετρική του μορφή δεν αλλοιώνεται: ο κύκλος παραμένει κύκλος. 2. Αν το επίπεδο, στο οποίο βρίσκεται ο κύκλος, σχηματίζει οποιαδήποτε γωνία με το επίπεδο προβολής, τότε η αξονομετρική μορφή του αλλοιώνεται : ο κύκλος παίρνει ελλειπτική μορφή. Κατασκευή ελλειπτικής μορφής ή οποιασδήποτε Αξονομετρικής / Προοπτικής Κύκλου Θεωρούμε τον κύκλο εγγεγραμμένο στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. Φέρουμε τις δύο κάθετες διαμέσους ΕΖ και ΗΘ και ορίζουμε τα μέσα των πλευρών του Ε, Ζ, Η, Θ, καθώς και τα τέταρτα των πλευρών του ΑΕ/2, ΕΔ/2, ΔΗ/2, ΗΓ/2, ΓΖ/2, ΖΒ/2, ΘΒ/2, ΘΑ/2. Η τομή της ΑΖ με την Ε, ΑΘ/2, είναι σημείο της περιφέρειας του κύκλου Ομοίως, και η τομή της ΕΒ με την Ζ, ΘΒ/2 είναι σημείο της περιφέρειας του κύκλου Συνεχίζοντας έτσι, ορίζουμε τα σημεία : 1,2,3,4,5,6,7,8, ως σημεία της περιφέρειας του κύκλου. Σχεδιάζουμε το αξονομετρικό ή προοπτικό του τετραγώνου. Ορίζουμε, αξονομετρικά ή προοπτικά, όλα τα μέσα και τα τέταρτα των πλευρών. Φέρουμε τις αντίστοιχες προς το σχήμα 12 α ευθείες, ορίζοντας έτσι τα σημεία 1, 2,3,4,5,6,7,8, που ανήκουν στη ζητούμενη έλλειψη, η οποία αποτελεί και την αντίστοιχη αξονομετρική ή προοπτική μορφή του κύκλου. 5

6 Τα σημεία αυτά (1, 2,3,4,5,6,7,8 ), μαζί με τα Ε, Ζ, Η, Θ - που είναι τα σημεία επαφής της έλλειψης με το περιγεγραμμένο ευθύγραμμο σχήμα - είναι αρκετά, ώστε να σχεδιάσουμε τη ζητούμενη έλλειψη με τη βοήθεια καμπυλόγραμμου. 3. ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ 3.1 Γενικά Ορισμοί Το προοπτικό σχέδιο προκύπτει από την προοπτική προβολή ενός αντικειμένου ή χώρου πάνω σε ένα επίπεδο α, που συμπίπτει με το χαρτί σχεδίασης. Το προοπτικό σχέδιο δίνει τη φαινομενική εικόνα του τρισδιάστατου χώρου / αντικειμένου, από μια συγκεκριμένη θέση, πάνω στο χαρτί μας. Τα αντικείμενα που είναι κοντά μας, φαίνονται μεγαλύτερα από άλλα όμοια ή μεγαλύτερά τους, που βρίσκονται μακριά μας. Επομένως, το προοπτικό σχέδιο: - Δεν είναι κατασκευαστικό σχέδιο, δεν σχεδιάζεται υπό κλίμακα. - Από ένα προοπτικό σχέδιο δεν μπορούν να μετρηθούν και να σχεδιαστούν όψεις, κατόψεις, τομές χώρου/αντικειμένου. - Από ένα προοπτικό σχέδιο, έχουμε την εικόνα ενός χώρου / αντικειμένου, που πρόκειται να κατασκευαστεί. - Χρησιμοποιείται από τους μελετητές του χώρου στην τελική φάση της δουλειάς τους, μαζί με άλλα σχέδια (ορθές προβολές, αξονομετρικά, κτλ), για να διευκολύνουν τους ενδιαφερόμενους να αντιληφθούν το χώρο τους. Έστω ένα οριζόντιο επίπεδο σ, ένας παρατηρητής ΟΟ (ο είναι τα μάτια του παρατηρητή και Ο η προβολή του Ο πάνω στο οριζόντιο επίπεδο σ ), κι ένα ευθύγραμμο σχήμα ΑΒΓ, σχεδιασμένο πάνω στο επίπεδο σ. Τοποθετούμε κάθετα προς το επίπεδο ένα διαφανές επίπεδο π (π.χ. από γυαλί), ανάμεσα στον παρατηρητή και ο ευθύγραμμο σχήμα ΑΒΓ - Ο παρατηρητής, μέσα από το π, βλέπει το ευθύγραμμο σχήμα ΑΒΓ. Θεωρούμε οπτικές ακτίνες που ξεκινούν από τις κορυφές του τριγώνου, που διαπερνούν το επίπεδο π στα σημεία (Α), (Β), (Γ), αντίστοιχα, και φθάνουν στο Ο, δηλαδή στο μάτι του παρατηρητή Αν ενώσουμε τα σημεία (Α), (Β), (Γ), το ευθύγραμμο σχήμα (Α), (Β), (Γ) είναι η εικόνα του ΑΒΓ, δηλαδή, το προοπτικό σχέδιο του ΑΒΓ. Έστω ένα ακόμα επίπεδο, το ο, παράλληλο προς το σ, που περνάει από τα μάτια του παρατηρητή και τέμνει το επίπεδο π: - Το σ λέγεται επίπεδο εδάφους ή επίπεδο γης. - Το ο λέγεται επίπεδο ορίζοντα. - Το π, λέγεται προοπτικός πίνακας ή πίνακας (χαρτί σχεδίασης ) που: Τέμνει το επίπεδο της γης και η ευθεία τομή τους λέγεται γραμμή του εδάφους ή γραμμή της γης. Τέμνει το επίπεδο του ορίζοντα και η ευθεία τομή τους λέγεται γραμμή του ορίζοντα. - Η γραμμή της γης και η γραμμή του ορίζοντα είναι παράλληλες μεταξύ τους και σε απόσταση Η. - Η απόσταση Η είναι κάθε φορά ίση με το ύψος ΟΟ (παρατηρητής) - Όσο ψηλότερα ανεβαίνει ο παρατηρητής, τόσο ανεβαίνει και η γραμμή του ορίζοντα. - Το κέντρο των ματιών του παρατηρητή λέγεται οπτικό κέντρο.

7 - Η προβολή του οπτικού κέντρου στο επίπεδο της γης λέγεται σημείο όρασης, ενώ στον προοπτικό πίνακα, λέγεται πρωτεύον σημείο φυγής (ΠΣΦ). Για να μπορέσουμε να έχουμε όλα τα στοιχεία του σχ. 13β σ ένα μόνο επίπεδο, κι όχι στο χώρο, θεωρούμε ότι κάνουμε κατάκλιση του προοπτικού πίνακα (σχήμα 13β) : Στρέφουμε τον προοπτικό πίνακα γύρω από τη γραμμή εδάφους, με τη φορά που δείχνει το βέλος, μέχρι ο προοπτικός πίνακας να ταυτιστεί με το επίπεδο εδάφους (γωνία 90 ο ). Μετά την κατάκλιση : - Η γραμμή εδάφους παραμένει στη θέση της. - Η γραμμή του ορίζοντα πέφτει πάνω από τη γραμμή εδάφους, παραμένει παράλληλη με αυτήν, σε απόσταση Η τόση, όσο το ύψος του σημείου όρασης ΟΟ. Το σημείο όρασης παραμένει στη θέση του. - Από το σχήμα λείπει το αντικείμενό μας Βασικές αρχές στο σχεδιασμό του προοπτικού. 1. Ευθείες γραμμές του χώρου, παράλληλες, φαίνονται να συγκλίνουν προς κάποια σημεία, τα σημεία φυγής, που βρίσκονται πάντα, πάνω από τη γραμμή του ορίζοντα, τουλάχιστον για χώρους χωρίς πάρα πολύ μεγάλο ύψος σε σχέση με αυτό του παρατηρητή. 2. Όταν το ύψος του αντικειμένου / χώρου είναι πάρα πολύ μεγάλο σε σχέση με το ύψος του παρατηρητή, τότε οι κατακόρυφες ακμές του αντικειμένου συγκλίνουν προς ένα σημείο φυγής, έξω από τη γραμμή του ορίζοντα. 3. Όσο πιο μακριά βρίσκεται το αντικείμενο από τον παρατηρητή, τόσο πιο μικρά φαίνονται. Το ίδιο ισχύει και για τις αποστάσεις. 4. Τα αντικείμενα που είναι μακριά μας, φαίνονται με λιγότερες λεπτομέρειες και αντιθέσεις, ως προς τη γραμμή και τον τόνο. Γι αυτό στο προοπτικό, σχεδιάζουμε με λεπτότερες γραμμές και λιγότερες λεπτομέρειες τα αντικείμενα που βρίσκονται μακριά,. Αν στο σχέδιό μας χρησιμοποιήσουμε τόνους, τότε τα αντικείμενα που βρίσκονται μακρύτερα, τονίζονται λιγότερο. 5. Αντικείμενα που είναι πολύ κοντά μας ή σε μεγάλη μεταξύ τους απόσταση, δεν μπορούμε να τα δούμε καλά και αν τα σχεδιάσουμε προοπτικά, η εικόνα τους θα είναι παραμορφωμένη. 7

8 3.3. ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ Για να σχεδιάσουμε το προοπτικό ενός χώρου, πρέπει να έχουμε τις κατόψεις, τις όψεις και τις τομές του. Ξεκινώντας τη σχεδίαση του προοπτικού : 1. Ορίζουμε τη θέση του παρατηρητή ως προς την κάτοψη του αντικειμένου, ανάλογα με το τι μας ενδιαφέρει. 2. Σχεδιάζουμε δύο παράλληλες γραμμές, της γης και του ορίζοντα. Η μεταξύ τους απόσταση Η θα ισούται με το ύψος από το οποίο ο παρατηρητής παρατηρεί το χώρο : - Αν τον παρατηρεί από το δικό του φυσικό ύψος, τότε, παίρνουμε, σαν μέσο ύψος παρατηρητή ΟΟ = 1,70 1,80μ. - Αν τον παρατηρεί από μεγαλύτερο ύψος (π.χ. από ένα μπαλκόνι), τότε, το ύψος ΟΟ = φυσικό ύψος του παρατηρητή + το ύψος του αντικειμένου, πάνω στο οποίο βρίσκεται. Αν τον παρατηρεί από χαμηλότερο ύψος (π.χ καθισμένος), τότε : ΟΟ < μέσο ύψος του παρατηρητή. 3. Τοποθετούμε την κάτοψη και την όψη του αντικειμένου ως προς τις γραμμές αυτές( *) 4. Ορίζουμε τα σημεία φυγής (**) 5. Ακολουθούμε τη μέθοδο κατασκευής προοπτικού. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι, αλλά η μέθοδος που θ ακολουθήσει κανείς, πρέπει να είναι απλή, ώστε το προοπτικό να γίνει εύκολα αι γρήγορα. Πώς τοποθετούμε την κάτοψη ως προς τις γραμμές γης και ορίζοντα και πώς βρίσκουμε τα σημεία φυγής (*) & (**) Έστω ένας κύβος πλευράς α και κάτοψης ΑΒΓΔ, σ η γραμμή εδάφους, ΟΡ η γραμμή ορίζοντα και Ο η θέση του παρατηρητή. Μπορούμε να τοποθετήσουμε την κάτοψη ως προς τις γραμμές εδάφους ορίζοντα με δύο τρόπους: 1. Η μια πλευρά της κάτοψης να είναι παράλληλη προς τις γραμμές εδάφους και ορίζοντα 2. Οι διευθύνσεις των πλευρών της κάτοψης να σχηματίζουν οποιαδήποτε γωνία με τις γραμμές εδάφους και ορίζοντα, χωρίς καμία να είναι παράλληλη προς αυτές. (σχ.15) : Οι διευθύνσεις της κάτοψης είναι δύο. Από τον παρατηρητή Ο φέρουμε παράλληλες προς αυτές τις δύο διευθύνσεις. Στα σημεία 1 και 2, που θα συναντήσουν τη γραμμή εδάφους, υψώνουμε καθέτους μέχρι τη γραμμή ορίζοντα στα σημεία σφ1 και σφ2, τα δύο σημεία φυγής, με τα οποία θα σχεδιάσουμε το προοπτικό του κύβου. ( Σχ.16) : Από τον παρατηρητή Ο, φέρουμε παράλληλες προς τις δύο διευθύνσεις της κάτοψης. Η παράλληλη στην ΑΒ και τη ΔΓ, είναι παράλληλη προς τη γραμμή εδάφους

9 Η παράλληλη στην ΑΔ και ΒΓ είναι κάθετη προς τη γραμμή εδάφους, το δε σημείο φυγής (σφ) βρίσκεται στην προέκτασή της, εκεί, όπου συναντά τη γραμμή ορίζοντα. Το σφ είναι το ένα σημείο φυγής, με το οποίο θα σχεδιάσουμε το προοπτικό. Αν η κάτοψη έχει περισσότερες από δύο διευθύνσεις, διαφορετικές από τη διεύθυνση της γραμμής εδάφους : Σχεδιάζουμε το προοπτικό, με τόσα σημεία φυγής σφ όσες και οι διαφορετικές διευθύνσεις. Γενικότερα, ένα προοπτικό έχει τόσα σημεία φυγής, όσες είναι οι διαφορετικές διευθύνσεις των πλευρών της κάτοψης, από τη διεύθυνση της γραμμής εδάφους. Όλες οι παράλληλες μεταξύ τους γραμμές έχουν το ίδιο σημείο φυγής σφ ή κάθε δέσμη παραλλήλων ευθειών της κάτοψης έχει το ίδιο σημείο φυγής Προοπτικό με ένα σημείο φυγής Σχ. 17α,β,γ και 18 α,β,γ Έστω κύβος, με ακμή α, κάτοψη ΑΒΓΔ και όψη ΓΔΕΖ. Για να σχεδιάσουμε το προοπτικό του με ένα σημείο φυγής, πρέπει η κάτοψή του να είναι παράλληλη στη γραμμή εδάφους : 1. Επιλέγουμε το Ο, σαν θέση του παρατηρητή ως προς την κάτοψη 2. Στο σχ. 17, το αντικείμενο είναι χαμηλότερο από τον παρατηρητή, που το παρατηρεί από το πλάι. 3. Στο σχ.18, ο παρατηρητής παρατηρεί τον εσωτερικό χώρο του κύβου και είναι χαμηλότερος από τον κύβο και στέκεται απέναντι, στη μέση του χώρου. Για να μπορέσει να δει τον εσωτερικό χώρο του κύβου, η έδρα ΑΒΗΘ αφαιρείται. Γι αυτό η ΑΒ σχεδιάζεται στην κάτοψη με διακεκομμένη γραμμή. 4. Σχεδιάζουμε τις γραμμές ορίζοντα και εδάφους, παράλληλες μεταξύ τους και σε απόσταση Η = ΟΟ, ίση με το ύψος από όπου ο παρατηρητής βλέπει το αντικείμενο 5. Ορίζουμε τη θέση της κάτοψης (μαζί με τον παρατηρητή Ο ) πάνω στο χαρτί μας. Έστω, ότι τοποθετείται κάτω από τη γραμμή εδάφους και σε επαφή με αυτή, κατά μήκος της ΓΔ. 6. Σχεδιάζουμε την όψη σε περασιά με την κάτοψη, να πατάει πάνω στη γραμμή εδάφους. 7. Βρίσκουμε το σημείο επαφής σφ, φέροντας από το Ο παράλληλη στην ΑΔ, η οποία συγχρόνως θα είναι και κάθετη στη γραμμή εδάφους. Την προεκτείνουμε, μέχρι να συναντήσει τη γραμμή ορίζοντα, όπου είναι το σημείο φυγής σφ. Έχοντας όλα τα στοιχεία αυτά σχεδιάζουμε το προοπτικό Σχεδίαση προοπτικού Ενώνουμε το σημείο φυγής με τα σημεία Γ,Δ,Ε,Ζ της όψης. Το προοπτικό του κύβου θα βρίσκεται ανάμεσα στις γραμμές, που ξεκινούν από το σημείο φυγής σφ, περνούν από τις κορυφές της όψης και προεκτείνονται. Ενώνουμε το Ο με τα Α,Β,Γ,Δ της κάτοψης και προεκτείνουμε μέχρι τη γραμμή εδάφους. Υψώνουμε στα σημεία αυτά καθέτους στη γραμμή εδάφους και τις προεκτείνουμε, μέχρι να συναντήσουν τις αντίστοιχες γραμμές που ξεκινούν από το σημείο φυγής σφ και περνούν από τις κορυφές της όψης. Ορίζονται έτσι τα σημεία (Α), (Θ), (Η), (Β), (Δ), (Ε), (Ζ) (Γ), τα προοπτικά των αντίστοιχων Α, Θ, Η, Β, Δ, Ε, Ζ, Γ. 9

10 Φέρουμε τις (Α)(Β), (Η)(Θ), αντίστοιχες στις ΑΒ και ΗΘ. Οι (Δ)(Γ) και (Ε)(Ζ) συμπίπτουν με τις ΔΓ και ΕΖ. Το σχήμα (Α)(Β)(γ)(Δ)(Ε)(Ζ)(Η)(Θ)(Α), που προκύπτει, (Α)(Β)(γ)(Δ)(Ε)(Ζ)(Η)(Θ)(Α) είναι το προοπτικό του κύβου, που δόθηκε αρχικά. Το προοπτικό της έδρας ΓΔΕΖ συμπίπτει με την ίδια την έδρα : ΓΔΕΖ Ξ ( Γ)(Δ)(Ε)(Ζ), γιατί η κάτοψη εφάπτεται στη γραμμή εδάφους, δηλαδή, ο προοπτικός πίνακας περνάει από την έδρα αυτή. Παρατηρήσεις στο τελικό προοπτικό 1. Τα σημεία που βρίσκονται πάνω στον προοπτικό πίνακα, συμπίπτουν με τα προοπτικά τους. Και ορίζοντα από τα σημεία τομής κάτοψης και γραμμής εδάφους. 2. Τα προοπτικά των ευθειών της κάτοψης και της όψης, παραμένουν παράλληλα στη γραμμή εδάφους. 3. Τα προοπτικά των ευθειών της όψης, παραμένουν κάθετα στη γραμμή εδάφους. 4. Τα προοπτικά των ευθειών κάτοψης, που βρίσκονται υπό οποιαδήποτε γωνία με τη γραμμή εδάφους, συγκλίνουν στο σημείο φυγής. 5. Η κάτοψη του χώρου, μπορεί να τοποθετηθεί σε οποιαδήποτε θέση ως προς τη γραμμή εδάφους : Mετακινώντας σε διάφορες θέσεις την κάτοψη (μαζί με τον παρατηρητή) σε σχέση με τη γραμμή εδάφους (από κάτω μέχρι και πάνω από τη γραμμή εδάφους) και σχεδιάζοντας τα αντίστοιχα προοπτικά, παρατηρούμε ότι: Τα προοπτικά του κύβου είναι όμοια, διαφέρουν μόνο στο μέγεθος Όσο απομακρύνεται η κάτοψη από τη γραμμή εδάφους, τόσο το προοπτικό μεγαλώνει. Όσο η κάτοψη πλησιάζει τη γραμμή εδάφους, την περνά και απομακρύνεται προς τα πάνω, τόσο το προοπτικό μικραίνει. Προσοχή! Επειδή ο παρατηρητής ακολουθεί σταθερά την κάτοψη, πρέπει να προσέξουμε, ώστε ο παρατηρητής να παραμένει κάτω από τη γραμμή εδάφους. Αν περάσει πάνω από τη γραμμή εδάφους, τότε το προοπτικό είναι αντίστροφο. 6. Η όψη τοποθετείται ΠΑΝΤΑ πάνω από τη γραμμή εδάφους και ΠΑΝΤΑ σε επαφή με αυτή, οπουδήποτε και αν βρίσκεται η κάτοψη.

11 Επιλογή στοιχείων Στόχος στη σχεδίαση ενός προοπτικού, είναι συνήθως η αποφυγή παραμορφώσεων στο αποτέλεσμα. Πολλές φορές όμως, για λόγους εντυπωσιασμού ή αισθητικούς, επιδιώκεται το αντίθετο, με αποτέλεσμα να προκύπτουν προοπτικά παραμορφωμένα. 1. Η θέση του παρατηρητή Ο, εξαρτάται από το τμήμα του χώρου ή του αντικειμένου που θέλουμε να προκύψει στο προοπτικό και ορίζεται από τις αποστάσεις με την κάτοψη ( α και β, σχ. 17,18,19,20) : Η απόσταση α πρέπει να είναι τέτοια, ώστε, αν ενώσουμε το Ο με τα άκρα του αντικειμένου, η γωνία ω, που προκύπτει και λέγεται οπτική γωνία, να μην υπερβαίνει τις 60 ο. Έτσι, αποφεύγουμε παραμορφώσεις στο προοπτικό. - Μερικές φορές, η οπτική γωνία ω, μπορεί να είναι πάνω από 60 ο, ανάλογα με το χώρο και τη θέση των αντικειμένων, αλλά σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να είναι αμβλεία, γιατί θα δώσει μεγάλες παραμορφώσεις στο προοπτικό. 2. Όσο πιο κοντά στο κέντρο του οπτικού πεδίου βρίσκεται το αντικείμενο, τόσο πιο απαλές είναι οι αλλοιώσεις. 3. Το Ο δεν πρέπει να είναι πολύ μακριά από τη γραμμή εδάφους. Συνήθως, δ=1 1/2 γ, όπου γ, το πλάτος του προοπτικού, που μπορούμε να ελέγξουμε εξαρχής. 4. Η απόσταση Η γραμμής εδάφους γραμμής ορίζοντα, εξαρτάται από το ύψος που βλέπουμε το χώρο. Συνήθως, για τον εσωτερικό χώρο με μικρό ύψος παίρνουμε 1,60 1,80μ, το μέσο ύψος του ανθρώπου. Για ειδικούς χώρους ενός κτιρίου που απαιτούν μεγαλύτερο ή μικρότερο ύψος, επιλέγει το ύψος ο παρατηρητής, σύμφωνα με τα δικά του κριτήρια. 5. Όταν ο πίνακας (γραμμή εδάφους) είναι ανάμεσα στον παρατηρητή και το αντικείμενο, το προοπτικό βγαίνει μικρότερο από το πραγματικό. Αν το αντικείμενο είναι ανάμεσα από τον πίνακα και τον παρατηρητή, το προοπτικό είναι μεγαλύτερο από το πραγματικό, και όσο ο πίνακας απομακρύνεται από το αντικείμενο, τόσο το προοπτικό μεγαλώνει. Τα στοιχεία του αντικειμένου που εφάπτονται στον πίνακα, στο προοπτικό τους ταυτίζονται με τα πραγματικά Συνοψίζοντας Για να σχεδιάσουμε ένα προοπτικό, ΜΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ ΦΥΓΗΣ, ακολουθούμε την εξής σειρά : 1. Ορίζουμε τη θέση του παρατηρητή ως προς την κάτοψη, σύμφωνα με τα κριτήρια. 2. Επιλέγουμε το ύψος, απ όπου ο παρατηρητής θα βλέπει το χώρο 3. Σχεδιάζουμε τις γραμμές εδάφους και ορίζοντα. 11

12 4. Τοποθετούμε την κάτοψη μαζί με τον παρατηρητή, έτσι όπως ορίσαμε, και σε τέτοια σχέση με τη γραμμή εδάφους, ώστε το μέγεθος του προοπτικού να μας ικανοποιεί. 5. Σχεδιάζουμε την αντίστοιχη όψη πάνω στη γραμμή εδάφους. 6. Ορίζουμε το σημείο φυγής 7. Προχωράμε στην κατασκευή του προοπτικού, σύμφωνα με τη μέθοδό μας ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΜΕ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ ΦΥΓΗΣ Έστω, παραλληλεπίπεδο κάτοψης ΑΒΓΔ. Για να σχεδιάσουμε το προοπτικό με δύο σημεία φυγής, πρέπει να τοποθετήσουμε την κάτοψή του, ώστε οι πλευρές της να σχηματίζουν οποιαδήποτε γωνία με τη γραμμή εδάφους. Συνήθως, χρησιμοποιούμε γωνίες, 30 ο, 45 ο, 60 ο : 1. Ορίζουμε τη θέση του παρατηρητή Ο, ως προς την κάτοψη, και τοποθετούμε την κάτοψη μαζί με τον παρατηρητή στη θέση, που θα μας δώσει το επιθυμητό μέγεθος του προοπτικού. Η θέση της κάτοψης, ως προς τη γραμμή εδάφους, καθορίζει το μέγεθος του προοπτικού. Θεωρούμε ότι η κάτοψη εφάπτεται με τη γραμμή εδάφους στην κορυφή Α (σχ.25). 2. Σχεδιάζουμε τις γραμμές ορίζοντα και εδάφους, παράλληλες μεταξύ τους και σε απόσταση Η ίση με το ύψος, από το οποίο βλέπουμε το αντικείμενο. 3. Σχεδιάζουμε μια όψη του παραλληλεπιπέδου πάνω στη γραμμή εδάφους, στην άκρη του σχεδίου μας, κι όχι σε περασιά με την κάτοψη. Στην περίπτωση αυτή, η όψη χρησιμεύει μόνο για να μετράμε τα ύψη του αντικειμένου. Μπορούμε, αν θέλουμε, να μην τη σχεδιάσουμε στο χαρτί μας, αλλά από ένα άλλο χαρτί, όπου θα έχουμε όλες τις όψεις. 4. Βρίσκουμε τα σημεία φυγής σφ, φέρνοντας από το Ο παράλληλες προς τις δύο διευθύνσεις της κάτοψης, μέχρι να συναντήσουν τη γραμμή εδάφους. Από τα σημεία αυτά υψώνουμε καθέτους προς τη γραμμή εδάφους. Τα σημεία τομής των καθέτων με τη γραμμή ορίζοντα είναι τα σημεία φυγής σφ1 και σφ2. Με τα στοιχεία αυτά πάνω στο χαρτί μας, προχωράμε στην κατασκευή του προοπτικού. - Μπορούμε, αν θέλουμε, να μετατοπίσουμε, παράλληλα και προς τα κάτω, τις γραμμές εδάφους κι ορίζοντα. Παίρνουμε έτσι, τις βοηθητικές γραμμές ορίζοντα και εδάφους και τα βοηθητικά σημεία φυγής σφ1 και σφ2, που αντιστοιχούν στα σφ1 και σφ2. : Το προοπτικό αποτέλεσμα δεν επηρεάζεται, και μπορούμε να κατασκευάσουμε το προοπτικό άνετα, χωρίς να πέφτει το ένα σχέδιο πάνω στο άλλο Σχεδίαση προοπτικού ( με παράλληλη μετατόπιση ) 1. Από την κορυφή Α της κάτοψης, φέρνουμε κάθετη, μέχρι να συναντήσει τη βοηθητική γραμμή εδάφους και ορίζουμε το τμήμα (Α)(Θ), ίσο με το ύψος της όψης, γιατί το Α βρίσκεται πάνω στον προοπτικό πίνακα κι επομένως, ΑΘ = (Α)(Θ). 2. Ενώνουμε τα (Α) και (Θ) με τα σημεία φυγής. Προκύπτουν τα προοπτικά των δύο εδρών του ΑΒΗΘ και ΑΔΕΘ, που ξεκινούν από το προοπτικό της ακμής, το (Α)(Θ, ) και καταλήγουν στα σημεία φυγής. 3. Για να προσδιορίσουμε ακριβώς τα προοπτικά των δύο αυτών εδρών ( των ακμών ΔΕ και ΒΗ), ενώνουμε τον παρατηρητή με τις αντίστοιχες κορυφές της κάτοψης. Τα σημεία τομής των Ο Δ και Ο Β με τη γραμμή εδάφους, φέρνουμε κάθετες στη γραμμή

13 εδάφους, μέχρι να τμήσουν τις (Θ)σφ1, (Α)σφ1, (Θ)σφ 2, στα σημεία (Ε), (Δ), (Η), (Β). Οι (Δ)(Ε) και (Β)(Η) είναι τα προοπτικά των ακμών ΔΕ και ΒΗ. Οι (Α)(Θ)(Ε)(Δ) και (Α)(Θ)(Η)(Β) είναι τα προοπτικά των εδρών ΑΘΕΔ και ΑΘΗΒ, αντίστοιχα. 4. Ενώνουμε το (Ε) με το σφ 2 και το (Η) με το σφ 1 και ορίζουμε το (Ζ). Ολοκληρώνουμε έτσι το προοπτικό της ΘΗΖΕ. Κατασκευάζουμε προοπτικό, χωρίς τη μέθοδο της παράλληλης μετατόπισης (σχ. 26α), με την ίδια ακριβώς διαδικασία. Πρέπει να τονίσουμε ότι: Ξεκινάμε την κατασκευή του προοπτικού από τα σημεία τομής της κάτοψης με τη γραμμή εδάφους (σημείο κ, σχ. 27, 29β, 30α). Αν η κάτοψη δεν τέμνει τη γραμμή εδάφους, τότε προεκτείνουμε, όποια πλευρά της κάτοψης μας ενδιαφέρει, μέχρι τη γραμμή εδάφους, ορίζουμε το σημείο κ και ξεκινάμε την κατασκευή του προοπτικού. Στο σημείο κ, το προοπτικό ταυτίζεται με το πραγματικό, γιατί βρίσκεται πάνω στον προοπτικό πίνακα. Υπενθύμιση : Όλες οι παράλληλες μεταξύ τους γραμμές κάτοψης, έχουν το ίδιο σημείο φυγής ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΧΩΡΟ ΜΕ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ ΦΥΓΗΣ (γωνία δωματίου) Σχ. 31 : Με παράλληλη μετατόπιση - Ορίζουμε τη θέση του παρατηρητή Ο ως προς την κάτοψη. - Τοποθετούμε την κάτοψη έτσι, ώστε να εφάπτεται με τη γραμμή εδάφους στο σημείο Ε. - Φέρνουμε από το Ε κάθετο στη γραμμή εδάφους, μέχρι να τμήσει τη β γραμμή εδάφους - Μετράμε πάνω στην κάθετο τμήμα (Ε)(Ζ) ίσο με το ύψος του χώρου από την όψη του. Επειδή το Ε βρίσκεται πάνω στη γραμμή εδάφους,, ΕΖ = (Ε)(Ζ), δηλαδή το προοπτικό ταυτίζεται με το πραγματικό. - Ενώνουμε τα (Ε) και (Ζ), με τα σφ 1 και σφ 2 στη βοηθητική γραμμή ορίζοντα και προεκτείνουμε. - Προκύπτει η περιοχή, όπου βρίσκονται τα προοπτικά των δύο εδρών. - Ενώνουμε το Ο με τα Δ και Θ της κάτοψης, και στο σημείο, που συναντούν τη γραμμή εδάφους, φέρνουμε κάθετες προς τα κάτω, οι οποίες ορίζουν τις (Δ)(Γ) και (Θ)(Η), το προοπτικό των δύο εδρών. Συνήθως, όταν κατασκευάζουμε το προοπτικό ενός εσωτερικού χώρου, στο τελικό προοπτικό δεν «κλείνουμε» το χώρο, δηλαδή δεν φέρνουμε τις (Θ)(Η) και (Δ)(Γ). Σχ. 32 : Κατασκευή προοπτικού παραλληλεπιπέδου μέσα στη γωνία. Επειδή η κάτοψή του δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τη γραμμή εδάφους, προεκτείνουμε τη μια πλευρά του, μέχρι να τμήσει τη γραμμή εδάφους στο Κ. 13

14 Από το Κ, φέρνουμε κάθετη, μέχρι τη βοηθητική γραμμή εδάφους., και εκεί μετράμε το πραγματικό ύψος του παραλληλεπιπέδου από την όψη. Ολοκληρώνουμε το σχέδιο με τη γνωστή διαδικασία ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΜΕ ΠΟΛΛΑ ΣΗΜΕΙΑ ΦΥΓΗΣ Ακολουθούμε τη γνωστή μέθοδο (σχ. 33) Σχεδίαση προοπτικού χωρίς παράλληλη μετατόπιση - Έστω η κάτοψη ΑΒΓΔ και η όψη ΑΒΓΘΗΖΑ ενός αντικειμένου και Ο η θέση του παρατηρητή. - Από το Ο φέρουμε παράλληλες προς τις διευθύνσεις της κάτοψης, για να βρούμε τα σημεία φυγής : Έτσι, η παράλληλη από το Ο προς την ΑΒ, ορίζει το σφ1, η παράλληλη προς τη ΔΓ ορίζει το σφ2, η παράλληλη προς τη ΒΓ ορίζει το σφ3 και η παράλληλη προς την Δ ορίζει το σφ4. - Προεκτείνουμε τη ΒΓ και, εκεί που συναντά τη γραμμή εδάφους, υψώνουμε κάθετη, πάνω στην οποία μετράμε το πραγματικό ύψος. - Συνεχίζουμε κατά τα γνωστά, προσέχοντας κάθε φορά, να χρησιμοποιούμε το αντίστοιχο σημείο φυγής (σφ) της πλευράς της οποίας σχεδιάζουμε το προοπτικό. Προσοχή : Εάν κάποιο σφ πέφτει έξω από το χαρτί σχεδίασης, βρίσκουμε το προοπτικό έμμεσα : - Υποθέτουμε ότι το σφ4 πέφτει έξω από το χαρτί μας. - Για να ορίσουμε την προοπτική διεύθυνση των ΑΔ και ΖΕ : Φέρουμε την Ο Δ μέχρι να συναντήσει τη γραμμή εδάφους, όπου υψώνουμε κάθετη, που ορίζει το (Ε) πάνω στη (Θ) σφ2. - Ενώνουμε το (Ζ) με το (Ε). Η (Ζ)(Ε) ορίζει την προοπτική διεύθυνση προς το σφ4.

15 3.8. ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΚΥΚΛΟΥ Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις : 1. Όταν το επίπεδο του κύκλου είναι κατακόρυφο και παράλληλο προς τον προοπτικό πίνακα (γραμμή εδάφους ) ΤΟΤΕ: ΤΟ ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΠΑΡΑΜΕΝΕΙ ΚΥΚΛΟΣ Σχ. 35 α, 35β : η ημιπεριφέρεια (καμάρα) στο εξωτερικό επίπεδο ΑΒ και στο εσωτερικό επίπεδο Α Β της κάτοψης, στο προοπτικό της παραμένει έλλειψη. 2. Όταν το επίπεδο του κύκλου είναι κατακόρυφο και σχηματίζει γωνία με τη γραμμή εδάφους, ΤΟΤΕ : ΤΟ ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΕΙΝΑΙ ΕΛΛΕΙΨΗ Σχ. 35α και 35β : η ημιπεριφέρεια, στο επίπεδο ΑΓ και Α Γ της κάτοψης, στο προοπτικό της είναι έλλειψη. 3. Όταν το επίπεδο του κύκλου είναι οριζόντιο και δεν ταυτίζεται με τον ορίζοντα, ΤΟΤΕ : ΤΟ ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΤΟΥ ΕΙΝΑΙ ΕΛΛΕΙΨΗ 4. Όταν το επίπεδο του κύκλου είναι οριζόντιο και ταυτίζεται με τον ορίζοντα, ΤΟΤΕ ΤΟ ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΤΟΥ ΕΙΝΑΙ ΕΥΘΕΙΑ Σχ. 23, 34, 35 α, 35β, 35γ, 36 α Σχεδίαση προοπτικού κύκλου ΣΕ ΚΑΘΕ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ, εγγράφουμε τον κύκλο σε τετράγωνο ή την ημιπεριφέρεια σε παραλληλόγραμμο. - Σχεδιάζουμε το τετράγωνο ή το παραλληλόγραμμο. - Ορίζουμε τα κοινά τους σημεία με την περιφέρεια : 1,2,3,4,5,6, - Προσπαθούμε να βρούμε κι άλλα κοινά σημεία. Π.χ φέρνοντας τις διαγώνιες 15

16 Σχ. 35 α και 35β Όσο πιο πολλά σημεία της περιφέρειας ορίσουμε, τόσο πιο σωστή, σχεδιαστικά, θα βγει η έλλειψη.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Ιστορικά Στις αρχές του 16 ου αιώνα ήταν ήδη γνωστές οι αρχές της γραμμικής προοπτικής, περίπου όπως την ξέρουμε σήμερα. Την περίοδο αυτή καλλιτέχνες, γλύπτες και αρχιτέκτονες άρχισαν να πειραματίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ & ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ Σύνταξη κειμένου: Μαρία Ν. Δανιήλ, Αρχιτέκτων

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6).

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6). ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΑ Η στερεοσκοπία είναι μια τεχνική που δημιουργεί την ψευδαίσθηση του βάθους σε μια εικόνα. Στηρίζεται στο ότι η τρισδιάστατη φυσική όραση πραγματοποιείται διότι κάθε μάτι βλέπει το ίδιο αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι

ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ ΕΛΕΝΗ Κ. ΆΓΑ, Επίκουρη Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Μάθημα: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ EΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο Α Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να γνωρίσουν οι μαθητές τα υλικά που χρειάζονται για το ελεύθερο σχέδιο και τον τρόπο που θα τα

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. Γενικά. Επιφάνεια σχεδίασης. Όργανα σχεδίασης

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. Γενικά. Επιφάνεια σχεδίασης. Όργανα σχεδίασης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γενικά Τα περισσότερα στοιχεία αυτού του κεφαλαίου είναι γνωστά στους φοιτητές. Η εκ νέου παράθεσή τους στο παράρτημα γίνεται για λόγους υπενθύμισης και πιο ολοκληρωμένης παρουσίασης. Στην ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Κόνιαρης Γεώργιος. Σχέδιο Ειδικότητας ΤΕΧΝΙΚΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Κόνιαρης Γεώργιος. Σχέδιο Ειδικότητας ΤΕΧΝΙΚΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Κόνιαρης Γεώργιος Σχέδιο Ειδικότητας ΤΕΧΝΙΚΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΑ Β Τάξη 1 ου Κύκλου Ειδικότητα: Αµαξωµάτων ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Τέκτων 10. for Windows. Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104. Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα. Αθήνα, Μάιος 2013. Version_1_0_1

Τέκτων 10. for Windows. Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104. Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα. Αθήνα, Μάιος 2013. Version_1_0_1 Τέκτων 10 for Windows Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104 Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα Αθήνα, Μάιος 2013 Version_1_0_1 2 Τέκτων 10 for Windows Εκπαιδευτική Έκδοση Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

Στη μορφολογία πρέπει αρχικά να εξετάσουμε το γενικό σχήμα του προσώπου.

Στη μορφολογία πρέπει αρχικά να εξετάσουμε το γενικό σχήμα του προσώπου. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ Στη μορφολογία πρέπει αρχικά να εξετάσουμε το γενικό σχήμα του προσώπου. Διακρίνουμε τα εξής σχήματα - Οβάλ - Οβάλ μακρύ - Ορθογωνικό - Στρογγυλό - Τετραγωνικό - Τριγωνικό - Εξαγωνικό - Τραπεζοειδές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ»

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 26 ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «Βυζαντινές προσωπογραφίες. Ανίχνευση της Βυζαντινής τεχνοτροπίας στις μορφές του Δομήνικου Θεοτοκόπουλου»

ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «Βυζαντινές προσωπογραφίες. Ανίχνευση της Βυζαντινής τεχνοτροπίας στις μορφές του Δομήνικου Θεοτοκόπουλου» ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «Βυζαντινές προσωπογραφίες. Ανίχνευση της Βυζαντινής τεχνοτροπίας στις μορφές του Δομήνικου Θεοτοκόπουλου» ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2013-14 ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 0 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ . Γεωμετρική οπτική ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Η Γεωμετρική οπτική είναι ένας τρόπος μελέτης των κυμάτων και χρησιμοποιείται για την εξέταση μερικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ Μάθημα προς τους ειδικευόμενους γιατρούς στην Οφθαλμολογία, Στο Κ.Οφ.Κ.Α. την 18/11/2003. Υπό: Δρος Κων. Ρούγγα, Οφθαλμιάτρου. 1. ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Όταν μια φωτεινή ακτίνα ή

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΛΑΣΗ. β' νόμος της ανάκλασης: Η γωνία πρόσπτωσης και η γωνία ανάκλασης είναι ίσες.

ΑΝΑΚΛΑΣΗ. β' νόμος της ανάκλασης: Η γωνία πρόσπτωσης και η γωνία ανάκλασης είναι ίσες. ΑΝΑΚΛΑΣΗ Η ακτίνα (ή η δέσμη) πριν ανακλασθεί ονομάζεται προσπίπτουσα ή αρχική, ενώ μετά την ανάκλαση ονομάζεται ανακλώμενη. Η γωνία που σχηματίζει η προσπίπτουσα με την κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΥΝΑΜΕΙΣ Μέρος 1ο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΥΝΑΜΕΙΣ Μέρος 1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΥΝΑΜΕΙΣ Μέρος 1ο Φυσική Β Γυμνασίου Βασίλης Γαργανουράκης http://users.sch.gr/vgargan Εισαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο μελετήσαμε τις κινήσεις των σωμάτων. Το επόμενο βήμα είναι να αναζητήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα

Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα Θέµα 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης 5.1. Μορφές κάµψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης Η γενική κάµψη (ή κάµψη), κατά την οποία εµφανίζεται στο φορέα (π.χ. δοκό) καµπτική ροπή (Μ) και τέµνουσα δύναµη (Q) (Σχ. 5.1.α).

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ ΚΑΙ ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΡΑΦΕΙΟ ΜΕΛΕΤΩΝ ΓΙΑ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΑΝΑΠΗΡΙΕΣ ΣΧΕ ΙΑΖΟΝΤΑΣ ΓΙΑ ΟΛΟΥΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ ΚΑΙ ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΡΑΦΕΙΟ ΜΕΛΕΤΩΝ ΓΙΑ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΑΝΑΠΗΡΙΕΣ ΣΧΕ ΙΑΖΟΝΤΑΣ ΓΙΑ ΟΛΟΥΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ ΚΑΙ ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΡΑΦΕΙΟ ΜΕΛΕΤΩΝ ΓΙΑ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΑΝΑΠΗΡΙΕΣ ΣΧΕ ΙΑΖΟΝΤΑΣ ΓΙΑ ΟΛΟΥΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ Κεφάλαιο 4. ΚΛΙΜΑΚΕΣ Ή ΣΚΑΛΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ ΚΛΙΜΑΚΑ ή ΣΚΑΛΑ ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Α και Β Γενικού Λυκείου ε 3 Γ ε 2 Κ Ε ε 1 Ι Ο Θ Η Ζ Α μ α Ψ ε 4 Β Β ( Σελ. 63 120 ) Τόμος 2ος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: f Μ = x ΜΑ+ x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) = ( x + x + x ) ΜΑ + ( x) ΑΒ + ( x ) ΑΓ = ( x 4x+ ) ΜΑ+ ( x) ΑΒ+ ( x ) Α Γ f Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-321-0 Copyright: N. X. Ράκας, Eκδόσεις ZHTH, Θεσσαλονίκη, 2012 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ : ΦΥΣΙΚΗ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: ΕΦ ΟΛΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ 17/4/2015

ΘΕΜΑΤΑ : ΦΥΣΙΚΗ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: ΕΦ ΟΛΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ 17/4/2015 ΘΕΜΑΤΑ : ΦΥΣΙΚΗ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: ΕΦ ΟΛΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο 17/4/2015 Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Α! Τάξης. Καθηγητής : ΗΡΑΚΛΗΣ ΝΤΟΥΣΗΣ

Τεχνολογία Α! Τάξης. Καθηγητής : ΗΡΑΚΛΗΣ ΝΤΟΥΣΗΣ Τεχνολογία Α! Τάξης Καθηγητής : ΗΡΑΚΛΗΣ ΝΤΟΥΣΗΣ Μελέτη Πριν από κάθε κατασκευή προηγούνται : 1. Μελέτη 2. Σχεδίαση *Τι σχήμα να τις δώσω; *Τι μέγεθος θα έχει (διαστάσεις); Σχεδίαση * Ποιοι είναι οι κανόνες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Κεφάλαιο 17

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Κεφάλαιο 17 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1 ο Παράδειγµα (διάρκεια: 15 λεπτά) Κεφάλαιο 17 Α. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:... ΤΑΞΗ:... ΤΜΗΜΑ:... ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... Β.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα