1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?"

Transcript

1 ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών : 1. Ορθές προβολές 2. Αξονομετρικές προβολές 3. Προοπτικές προβολές 1.2. ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Θεωρούμε ένα χαρτί σχεδίασης, ως επίπεδο α. Τοποθετούμε ένα αντικείμενο απέναντι στο επίπεδο αυτό έτσι, ώστε η μία έδρα του να είναι παράλληλη προς αυτό. Θεωρούμε παράλληλες ακτίνες, που διαπερνούν το αντικείμενο και τέμνουν κάθετα το επίπεδο α. Οι ακτίνες αυτές ξεκινούν στο άπειρο και έτσι, φθάνοντας στο αντικείμενο θεωρούνται παράλληλες μεταξύ τους. Αν ενώσουμε μεταξύ τους τα σημεία που οι ακτίνες τέμνουν το επίπεδο α, τότε πάνω στο χαρτί (επίπεδο α) σχηματίζεται το «Σχέδιο Ορθής Προβολής» του αντικειμένου. Το σχήμα του αντικειμένου έχει δύο διαστάσεις. Με τον ίδιο τρόπο, αλλά προβάλλοντας το αντικείμενο πάνω στο επίπεδο από μια άλλη έδρα του, παράλληλη προς αυτό, παίρνουμε την τρίτη διάσταση. Σχέδια ορθών προβολών είναι οι κατόψεις, οι όψεις και οι τομές 1.3. ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Έστω ένα επίπεδο α και ένα αντικείμενο απέναντί του, έχοντας τη μία έδρα του παράλληλη προς αυτό. Θεωρούμε παράλληλες ακτίνες που διαπερνούν το αντικείμενο και προσπίπτουν στο επίπεδο α, -όχι κάθετα- σχηματίζοντας γωνία. Οι ακτίνες ξεκινούν στο άπειρο και εφόσον φτάνουν στο αντικείμενο, είναι παράλληλες. Ενώνοντας μεταξύ τους τα σημεία τομής των ακτίνων με το επίπεδο α (χαρτί σχεδίασης), έχουμε το «Αξονομετρικό Σχέδιο» του αντικειμένου, με τις τρεις διαστάσεις του. Αν η γωνία, που σχηματίζεται από τις προσπίπτουσες στο επίπεδο ακτίνες, αλλάξει τότε αλλάζει και το αξονομετρικό του σχέδιο. Επομένως, μπορούμε να έχουμε τόσες αξονομετρικές προβολές όσες και γωνίες εκτός της ορθής γωνίας, γιατί τότε θα έχουμε ορθή προβολή. Αν το αντικείμενο τοποθετηθεί απέναντι στο επίπεδο, αλλά χωρίς καμία έδρα του να είναι παράλληλη προς αυτό, προκύπτουν επιπλέον αξονομετρικές προβολές. Στην περίπτωση αυτή, οι παράλληλες ακτίνες μπορεί να σχηματίζουν οποιαδήποτε γωνία με το επίπεδο α. 1

2 1.4 ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Θεωρούμε ένα επίπεδο α (χαρτί σχεδίασης ) κι ένα αντικείμενο απέναντί του, με μία έδρα του παράλληλη προς αυτό. Θεωρούμε ακτίνες, που ξεκινούν όλες από ένα σημείο Ο, που βρίσκεται σχετικά κοντά στο αντικείμενο. Το σημείο Ο λέγεται «Κέντρο Προβολής». Αν ενώσουμε μεταξύ τους τα σημεία τομής των ακτίνων με το επίπεδο α, προκύπτει η «Προοπτική Προβολή» ή το «Προοπτικό Σχέδιο» του αντικειμένου, με τις τρεις διαστάσεις του. Αν αλλάξει η απόσταση ή η θέση του κέντρου προβολής, αλλάζει και το προοπτικό σχέδιο, ως προς τη μορφή και το μέγεθός του. ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Προκύπτει από την αξονομετρική προβολή αντικειμένου ή χώρου πάνω σ ένα επίπεδο α, που συμπίπτει με το χαρτί σχεδίασης. Το αντικείμενο μπορεί να έχει τη μια πλευρά του παράλληλη με το προβολικό επίπεδο α ή μπορεί να σχηματίζει οποιαδήποτε γωνία ως προς αυτό. Δίνει την εικόνα του χώρου ή του αντικειμένου με τις τρεις διαστάσεις του πάνω στο χαρτί μας, που έχει δύο διαστάσεις, όπως ακριβώς είναι στην πραγματικότητα. Την πραγματικότητα αυτή, το ανθρώπινο μάτι δεν μπορεί να τη δει, γιατί βλέπει προοπτικά. Το αξονομετρικό σχέδιο σχεδιάζεται υπό κλίμακα, όπως και τα σχέδια ορθών προβολών. Η παραλληλία των γραμμών διατηρείται. Από το αξονομετρκό σχέδιο μπορούμε εύκολα να σχεδιάσουμε τις όψεις, τις κατόψεις και τις τομές ενός αντικειμένου. Είναι κατασκευαστικό : Χρησιμοποιείται ευρέως στην οικοδομή, για ολόκληρες κατασκευές ή μικρές οικοδομικές λεπτομέρειες, στο σχεδιασμό επίπλων/ αντικειμένων και οπουδήποτε απαιτείται κατασκευαστικό σχέδιο και στην αρχιτεκτονική, για τη μελέτη των κτιρίων, επειδή δεν αλλοιώνει της σχέση γραμμών και όγκων. Για να σχεδιάσουμε το αξονομετρικό σχέδιο ενός αντικειμένου: 1. Επιλέγουμε τρεις άξονες x, ψ, ζ, οι οποίοι σχηματίζουν γωνίες ως προς την οριζόντια γραμμή και που αντιστοιχούν στις τρεις διαστάσεις του αντικειμένου. 2. Πάνω στους άξονες αυτούς, μετράμε αντίστοιχα τις τρεις διαστάσεις του αντικειμένου στην κλίμακα που έχουμε επιλέξει. 3. Προχωράμε στο σχεδιασμό του αξονομετρικού, όπως στα παρακάτω παραδείγματα, με απλά γεωμετρικά στερεά (παραλληλεπίπεδα, κύβοι, κύλινδροι).

3 Αξονομετρικό στερεού, όταν μία έδρα του // επίπεδο προβολής : Έστω ένα παραλληλεπίπεδο, με πλευρές α, β, γ, και ένα επίπεδο, που συμπίπτει με το χαρτί σχεδίασής μας. Προβάλλουμε το παραλληλεπίπεδο πάνω στο επίπεδο (το χαρτί μας ), κρατώντας έτσι, ώστε η μία έδρα του να είναι παράλληλη προς αυτό. Επιλέγουμε τρεις άξονες x, ψ, z, που αντιστοιχούν στις τρεις διαστάσεις του παραλληλεπιπέδου: Ο x, ταυτίζεται με την οριζόντια γραμμή, ο ψ είναι κάθετος σ αυτήν και ο z, σχηματίζει γωνία ω με την οριζόντια. Μετράμε πάνω στους άξονες αυτούς τα αντίστοιχα μεγέθη υπό κλίμακα : στον άξονα x, μετράμε το β, στον ψ το α. Ολοκληρώνουμε το σχέδιο, με πλευρές α και β. Η εικόνα της έδρας αυτής παραμένει ως έχει, γιατί είναι παράλληλη προς το επίπεδο προβολής. Στον άξονα z, μετράμε την πλευρά γ υπό κλίμακα. Ανάλογα με το μέγεθος της γωνίας ω, το μήκος της πλευρά αυτής αλλοιώνεται. Επειδή οι γωνίες είναι άπειρες, και οι αντίστοιχες αλλοιώσεις των πλευρών είναι άπειρες, αναφέρονται μόνο τρεις περιπτώσεις, που χρησιμοποιούνται συχνότερα : 1. Αν γωνία ω = 30 ο, τότε το μήκος της γ, αξονομετρικά, αντιστοιχεί στο 0,82 της πλευράς αυτής 2. Αν γωνία ω = 45 ο, τότε το μήκος της γ, αξονομετρικά, αντιστοιχεί στο 0,50 της πλευράς αυτής 3. Αν η γωνία ω = 60 ο, τότε το μήκος της γ, αξονομετρικά, αντιστοιχεί στο 0,33 της πλευράς αυτής. 4. Η αξονομετρία αυτή, όπου η μία έδρα του αντικειμένου είναι παράλληλη προς το επίπεδο προβολής, λέγεται Ιππευτική Αξονομετρία (Cavaliera ). Παρατηρήσεις : Αν γωνία ω = 3Ο ο, το αντικείμενο φαίνεται αρκετά μακρύ Αν γωνία ω = 60 ο, αρκετά κοντό Αν γωνία ω=45 ο, δίνει μια ενδιάμεση εικόνα του αντικειμένου, πιο ικανοποιητική. Για το αξονομετρικό κυλίνδρου, η βάση του κυλίνδρου τοποθετείται παράλληλα προς το επίπεδο προβολής. Ο κύκλος της βάσης παραμένει κύκλος και στο αξονομετρικό σχέδιο. Ισχύουν οι προηγούμενες παρατηρήσεις για το αξονομετρικό παραλληλεπιπέδου : 1. Αν γωνία ω = 30 ο, τότε το μήκος της γ, αξονομετρικά, αντιστοιχεί στο 0,82 της πλευράς αυτής 2. Αν γωνία ω = 45 ο, τότε το μήκος της γ, αξονομετρικά, αντιστοιχεί στο 0,50 της πλευράς αυτής 3. Αν η γωνία ω = 60 ο, τότε το μήκος της γ, αξονομετρικά, αντιστοιχεί στο 0,33 της πλευράς αυτής. 3

4 2.3. Αξονομετρικό στερεού, όταν καμία έδρα του δεν είναι // επίπεδο προβολής Υπάρχουν άπειρες θέσεις του αντικειμένου ως προς το επίπεδο προβολής και για κάθε θέση αντιστοιχεί διαφορετική αλλοίωση στο μήκος των πλευρών του. Ξεχωρίζουμε δύο θέσεις που δίνουν αντίστοιχα το Ισομετρικό και το Διμετρικό αξονομετρικό. Είναι εύκολοι στην εκτέλεση τύποι αξονομετρικού και χρησιμοποιούνται συχνά Ισομετρικό αξονομετρικό στερεού Επιλέγουμε τρεις άξονες x, ψ, z, που αντιστοιχούν στις τρεις διαστάσεις του χώρου: Ο ψ είναι κάθετος στη οριζόντια, ο x και ο z σχηματίζουν με την οριζόντια, γωνία 30 ο. Μετράμε πάνω στους άξονες τα αντίστοιχα μεγέθη υπό κλίμακα, χωρίς να υπολογίσουμε καμία αλλοίωση στις πλευρές. Παρατηρήσεις: Στο ισομετρικό αξονομετρικό κύβου, η εικόνα δεν ικανοποιεί, μοιάζει με ευθύγραμμο τμήμα. Στο ισομετρικό αξονομετρικό παραλληλεπιπέδου, η εικόνα είναι αρκετά ικανοποιητική Ισομετρικό αξονομετρικό κύκλου Εγγράφουμε τον κύκλο σε τετράγωνο ΑΒΓΔ. Σχεδιάζουμε τις διαγώνιες και τις διαμέσους του τετραγώνου. Σχεδιάζουμε το ισομετρικό αξονομετρικό του τετραγώνου Α Β Γ Δ με τις διαγώνιες και τις διαμέσους του. Φέρουμε την Ε Β και στο σημείο τομή της με τη διαγώνιο Α Γ, ορίζουμε το κέντρο Κ 1. Με ακτίνα Κ 1Ε, φέρουμε τόξο Ε α Θ, που αποτελεί ένα μέρος της έλλειψης. Φέρουμε τη Δ Ζ και στο σημείο τομής της με την Α Γ, ορίζουμε το κέντρο Κ 2. Με ακτίνα Κ 2 Ζ, φέρουμε το τόξο Ζ βή, που αποτελεί επίσης ένα μέρος της έλλειψης. Με κέντρο το Δ και ακτίνα Δ Θ, φέρουμε το τόξο Θ δ Ζ Με κέντρο το Β και ακτίνα ΒΉ, φέρουμε το τόξο Η γέ Η έλλειψη, που προκύπτει από τη συναρμογή των 4 τόξων, ισοδυναμεί με το ισομετρικό αξονομετρικό του κύκλου.

5 Διμετρικό αξονομετρικό Επιλέγουμε τρεις άξονες x, ψ, z, που αντιστοιχούν στις τρεις διαστάσεις του χώρου. Ο ψ είναι κάθετος στην οριζόντια, ενώ οι z και ψ σχηματίζουν με την οριζόντια, γωνίες 7 ο 1 και 41 ο 25, αντίστοιχα (τις μετράμε με μοιρογνωμόνιο, αλλά υπάρχουν και σε στένσιλ). Στον αξονομετρικό αυτό τύπο προκύπτει αλλοίωση των πλευρών του αντικειμένου πάνω στον άξονα x, με σμίκρυνση κατά το ½ (0,5). Στους άξονες ψ και z, οι διαστάσεις του αντικειμένου δεν αλλοιώνονται. Παρατηρήσεις; Στο διμετρικό αξονομετρικό κύβου, η εικόνα του είναι αρκετά ικανοποιητική. Για τον κύβο χρησιμοποιούμε συνήθως διμετρικό αξονομετρικό Στο διμετρικό αξονομετρικό παραλληλεπιπέδου, η εικόνα του είναι ικανοποιητική κα ο διμετρικός αξονομετρικός τύπος χρησιμοποιείται συχνά, παρόλο που η κατασκευή του είναι πιο περίπλοκη 2.4 Αξονομετρικό Κύκλου 1. Όταν το επίπεδο, στο οποίο βρίσκεται ο κύκλος, είναι παράλληλο προς το επίπεδο προβολής, τότε η αξονομετρική του μορφή δεν αλλοιώνεται: ο κύκλος παραμένει κύκλος. 2. Αν το επίπεδο, στο οποίο βρίσκεται ο κύκλος, σχηματίζει οποιαδήποτε γωνία με το επίπεδο προβολής, τότε η αξονομετρική μορφή του αλλοιώνεται : ο κύκλος παίρνει ελλειπτική μορφή. Κατασκευή ελλειπτικής μορφής ή οποιασδήποτε Αξονομετρικής / Προοπτικής Κύκλου Θεωρούμε τον κύκλο εγγεγραμμένο στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. Φέρουμε τις δύο κάθετες διαμέσους ΕΖ και ΗΘ και ορίζουμε τα μέσα των πλευρών του Ε, Ζ, Η, Θ, καθώς και τα τέταρτα των πλευρών του ΑΕ/2, ΕΔ/2, ΔΗ/2, ΗΓ/2, ΓΖ/2, ΖΒ/2, ΘΒ/2, ΘΑ/2. Η τομή της ΑΖ με την Ε, ΑΘ/2, είναι σημείο της περιφέρειας του κύκλου Ομοίως, και η τομή της ΕΒ με την Ζ, ΘΒ/2 είναι σημείο της περιφέρειας του κύκλου Συνεχίζοντας έτσι, ορίζουμε τα σημεία : 1,2,3,4,5,6,7,8, ως σημεία της περιφέρειας του κύκλου. Σχεδιάζουμε το αξονομετρικό ή προοπτικό του τετραγώνου. Ορίζουμε, αξονομετρικά ή προοπτικά, όλα τα μέσα και τα τέταρτα των πλευρών. Φέρουμε τις αντίστοιχες προς το σχήμα 12 α ευθείες, ορίζοντας έτσι τα σημεία 1, 2,3,4,5,6,7,8, που ανήκουν στη ζητούμενη έλλειψη, η οποία αποτελεί και την αντίστοιχη αξονομετρική ή προοπτική μορφή του κύκλου. 5

6 Τα σημεία αυτά (1, 2,3,4,5,6,7,8 ), μαζί με τα Ε, Ζ, Η, Θ - που είναι τα σημεία επαφής της έλλειψης με το περιγεγραμμένο ευθύγραμμο σχήμα - είναι αρκετά, ώστε να σχεδιάσουμε τη ζητούμενη έλλειψη με τη βοήθεια καμπυλόγραμμου. 3. ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ 3.1 Γενικά Ορισμοί Το προοπτικό σχέδιο προκύπτει από την προοπτική προβολή ενός αντικειμένου ή χώρου πάνω σε ένα επίπεδο α, που συμπίπτει με το χαρτί σχεδίασης. Το προοπτικό σχέδιο δίνει τη φαινομενική εικόνα του τρισδιάστατου χώρου / αντικειμένου, από μια συγκεκριμένη θέση, πάνω στο χαρτί μας. Τα αντικείμενα που είναι κοντά μας, φαίνονται μεγαλύτερα από άλλα όμοια ή μεγαλύτερά τους, που βρίσκονται μακριά μας. Επομένως, το προοπτικό σχέδιο: - Δεν είναι κατασκευαστικό σχέδιο, δεν σχεδιάζεται υπό κλίμακα. - Από ένα προοπτικό σχέδιο δεν μπορούν να μετρηθούν και να σχεδιαστούν όψεις, κατόψεις, τομές χώρου/αντικειμένου. - Από ένα προοπτικό σχέδιο, έχουμε την εικόνα ενός χώρου / αντικειμένου, που πρόκειται να κατασκευαστεί. - Χρησιμοποιείται από τους μελετητές του χώρου στην τελική φάση της δουλειάς τους, μαζί με άλλα σχέδια (ορθές προβολές, αξονομετρικά, κτλ), για να διευκολύνουν τους ενδιαφερόμενους να αντιληφθούν το χώρο τους. Έστω ένα οριζόντιο επίπεδο σ, ένας παρατηρητής ΟΟ (ο είναι τα μάτια του παρατηρητή και Ο η προβολή του Ο πάνω στο οριζόντιο επίπεδο σ ), κι ένα ευθύγραμμο σχήμα ΑΒΓ, σχεδιασμένο πάνω στο επίπεδο σ. Τοποθετούμε κάθετα προς το επίπεδο ένα διαφανές επίπεδο π (π.χ. από γυαλί), ανάμεσα στον παρατηρητή και ο ευθύγραμμο σχήμα ΑΒΓ - Ο παρατηρητής, μέσα από το π, βλέπει το ευθύγραμμο σχήμα ΑΒΓ. Θεωρούμε οπτικές ακτίνες που ξεκινούν από τις κορυφές του τριγώνου, που διαπερνούν το επίπεδο π στα σημεία (Α), (Β), (Γ), αντίστοιχα, και φθάνουν στο Ο, δηλαδή στο μάτι του παρατηρητή Αν ενώσουμε τα σημεία (Α), (Β), (Γ), το ευθύγραμμο σχήμα (Α), (Β), (Γ) είναι η εικόνα του ΑΒΓ, δηλαδή, το προοπτικό σχέδιο του ΑΒΓ. Έστω ένα ακόμα επίπεδο, το ο, παράλληλο προς το σ, που περνάει από τα μάτια του παρατηρητή και τέμνει το επίπεδο π: - Το σ λέγεται επίπεδο εδάφους ή επίπεδο γης. - Το ο λέγεται επίπεδο ορίζοντα. - Το π, λέγεται προοπτικός πίνακας ή πίνακας (χαρτί σχεδίασης ) που: Τέμνει το επίπεδο της γης και η ευθεία τομή τους λέγεται γραμμή του εδάφους ή γραμμή της γης. Τέμνει το επίπεδο του ορίζοντα και η ευθεία τομή τους λέγεται γραμμή του ορίζοντα. - Η γραμμή της γης και η γραμμή του ορίζοντα είναι παράλληλες μεταξύ τους και σε απόσταση Η. - Η απόσταση Η είναι κάθε φορά ίση με το ύψος ΟΟ (παρατηρητής) - Όσο ψηλότερα ανεβαίνει ο παρατηρητής, τόσο ανεβαίνει και η γραμμή του ορίζοντα. - Το κέντρο των ματιών του παρατηρητή λέγεται οπτικό κέντρο.

7 - Η προβολή του οπτικού κέντρου στο επίπεδο της γης λέγεται σημείο όρασης, ενώ στον προοπτικό πίνακα, λέγεται πρωτεύον σημείο φυγής (ΠΣΦ). Για να μπορέσουμε να έχουμε όλα τα στοιχεία του σχ. 13β σ ένα μόνο επίπεδο, κι όχι στο χώρο, θεωρούμε ότι κάνουμε κατάκλιση του προοπτικού πίνακα (σχήμα 13β) : Στρέφουμε τον προοπτικό πίνακα γύρω από τη γραμμή εδάφους, με τη φορά που δείχνει το βέλος, μέχρι ο προοπτικός πίνακας να ταυτιστεί με το επίπεδο εδάφους (γωνία 90 ο ). Μετά την κατάκλιση : - Η γραμμή εδάφους παραμένει στη θέση της. - Η γραμμή του ορίζοντα πέφτει πάνω από τη γραμμή εδάφους, παραμένει παράλληλη με αυτήν, σε απόσταση Η τόση, όσο το ύψος του σημείου όρασης ΟΟ. Το σημείο όρασης παραμένει στη θέση του. - Από το σχήμα λείπει το αντικείμενό μας Βασικές αρχές στο σχεδιασμό του προοπτικού. 1. Ευθείες γραμμές του χώρου, παράλληλες, φαίνονται να συγκλίνουν προς κάποια σημεία, τα σημεία φυγής, που βρίσκονται πάντα, πάνω από τη γραμμή του ορίζοντα, τουλάχιστον για χώρους χωρίς πάρα πολύ μεγάλο ύψος σε σχέση με αυτό του παρατηρητή. 2. Όταν το ύψος του αντικειμένου / χώρου είναι πάρα πολύ μεγάλο σε σχέση με το ύψος του παρατηρητή, τότε οι κατακόρυφες ακμές του αντικειμένου συγκλίνουν προς ένα σημείο φυγής, έξω από τη γραμμή του ορίζοντα. 3. Όσο πιο μακριά βρίσκεται το αντικείμενο από τον παρατηρητή, τόσο πιο μικρά φαίνονται. Το ίδιο ισχύει και για τις αποστάσεις. 4. Τα αντικείμενα που είναι μακριά μας, φαίνονται με λιγότερες λεπτομέρειες και αντιθέσεις, ως προς τη γραμμή και τον τόνο. Γι αυτό στο προοπτικό, σχεδιάζουμε με λεπτότερες γραμμές και λιγότερες λεπτομέρειες τα αντικείμενα που βρίσκονται μακριά,. Αν στο σχέδιό μας χρησιμοποιήσουμε τόνους, τότε τα αντικείμενα που βρίσκονται μακρύτερα, τονίζονται λιγότερο. 5. Αντικείμενα που είναι πολύ κοντά μας ή σε μεγάλη μεταξύ τους απόσταση, δεν μπορούμε να τα δούμε καλά και αν τα σχεδιάσουμε προοπτικά, η εικόνα τους θα είναι παραμορφωμένη. 7

8 3.3. ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ Για να σχεδιάσουμε το προοπτικό ενός χώρου, πρέπει να έχουμε τις κατόψεις, τις όψεις και τις τομές του. Ξεκινώντας τη σχεδίαση του προοπτικού : 1. Ορίζουμε τη θέση του παρατηρητή ως προς την κάτοψη του αντικειμένου, ανάλογα με το τι μας ενδιαφέρει. 2. Σχεδιάζουμε δύο παράλληλες γραμμές, της γης και του ορίζοντα. Η μεταξύ τους απόσταση Η θα ισούται με το ύψος από το οποίο ο παρατηρητής παρατηρεί το χώρο : - Αν τον παρατηρεί από το δικό του φυσικό ύψος, τότε, παίρνουμε, σαν μέσο ύψος παρατηρητή ΟΟ = 1,70 1,80μ. - Αν τον παρατηρεί από μεγαλύτερο ύψος (π.χ. από ένα μπαλκόνι), τότε, το ύψος ΟΟ = φυσικό ύψος του παρατηρητή + το ύψος του αντικειμένου, πάνω στο οποίο βρίσκεται. Αν τον παρατηρεί από χαμηλότερο ύψος (π.χ καθισμένος), τότε : ΟΟ < μέσο ύψος του παρατηρητή. 3. Τοποθετούμε την κάτοψη και την όψη του αντικειμένου ως προς τις γραμμές αυτές( *) 4. Ορίζουμε τα σημεία φυγής (**) 5. Ακολουθούμε τη μέθοδο κατασκευής προοπτικού. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι, αλλά η μέθοδος που θ ακολουθήσει κανείς, πρέπει να είναι απλή, ώστε το προοπτικό να γίνει εύκολα αι γρήγορα. Πώς τοποθετούμε την κάτοψη ως προς τις γραμμές γης και ορίζοντα και πώς βρίσκουμε τα σημεία φυγής (*) & (**) Έστω ένας κύβος πλευράς α και κάτοψης ΑΒΓΔ, σ η γραμμή εδάφους, ΟΡ η γραμμή ορίζοντα και Ο η θέση του παρατηρητή. Μπορούμε να τοποθετήσουμε την κάτοψη ως προς τις γραμμές εδάφους ορίζοντα με δύο τρόπους: 1. Η μια πλευρά της κάτοψης να είναι παράλληλη προς τις γραμμές εδάφους και ορίζοντα 2. Οι διευθύνσεις των πλευρών της κάτοψης να σχηματίζουν οποιαδήποτε γωνία με τις γραμμές εδάφους και ορίζοντα, χωρίς καμία να είναι παράλληλη προς αυτές. (σχ.15) : Οι διευθύνσεις της κάτοψης είναι δύο. Από τον παρατηρητή Ο φέρουμε παράλληλες προς αυτές τις δύο διευθύνσεις. Στα σημεία 1 και 2, που θα συναντήσουν τη γραμμή εδάφους, υψώνουμε καθέτους μέχρι τη γραμμή ορίζοντα στα σημεία σφ1 και σφ2, τα δύο σημεία φυγής, με τα οποία θα σχεδιάσουμε το προοπτικό του κύβου. ( Σχ.16) : Από τον παρατηρητή Ο, φέρουμε παράλληλες προς τις δύο διευθύνσεις της κάτοψης. Η παράλληλη στην ΑΒ και τη ΔΓ, είναι παράλληλη προς τη γραμμή εδάφους

9 Η παράλληλη στην ΑΔ και ΒΓ είναι κάθετη προς τη γραμμή εδάφους, το δε σημείο φυγής (σφ) βρίσκεται στην προέκτασή της, εκεί, όπου συναντά τη γραμμή ορίζοντα. Το σφ είναι το ένα σημείο φυγής, με το οποίο θα σχεδιάσουμε το προοπτικό. Αν η κάτοψη έχει περισσότερες από δύο διευθύνσεις, διαφορετικές από τη διεύθυνση της γραμμής εδάφους : Σχεδιάζουμε το προοπτικό, με τόσα σημεία φυγής σφ όσες και οι διαφορετικές διευθύνσεις. Γενικότερα, ένα προοπτικό έχει τόσα σημεία φυγής, όσες είναι οι διαφορετικές διευθύνσεις των πλευρών της κάτοψης, από τη διεύθυνση της γραμμής εδάφους. Όλες οι παράλληλες μεταξύ τους γραμμές έχουν το ίδιο σημείο φυγής σφ ή κάθε δέσμη παραλλήλων ευθειών της κάτοψης έχει το ίδιο σημείο φυγής Προοπτικό με ένα σημείο φυγής Σχ. 17α,β,γ και 18 α,β,γ Έστω κύβος, με ακμή α, κάτοψη ΑΒΓΔ και όψη ΓΔΕΖ. Για να σχεδιάσουμε το προοπτικό του με ένα σημείο φυγής, πρέπει η κάτοψή του να είναι παράλληλη στη γραμμή εδάφους : 1. Επιλέγουμε το Ο, σαν θέση του παρατηρητή ως προς την κάτοψη 2. Στο σχ. 17, το αντικείμενο είναι χαμηλότερο από τον παρατηρητή, που το παρατηρεί από το πλάι. 3. Στο σχ.18, ο παρατηρητής παρατηρεί τον εσωτερικό χώρο του κύβου και είναι χαμηλότερος από τον κύβο και στέκεται απέναντι, στη μέση του χώρου. Για να μπορέσει να δει τον εσωτερικό χώρο του κύβου, η έδρα ΑΒΗΘ αφαιρείται. Γι αυτό η ΑΒ σχεδιάζεται στην κάτοψη με διακεκομμένη γραμμή. 4. Σχεδιάζουμε τις γραμμές ορίζοντα και εδάφους, παράλληλες μεταξύ τους και σε απόσταση Η = ΟΟ, ίση με το ύψος από όπου ο παρατηρητής βλέπει το αντικείμενο 5. Ορίζουμε τη θέση της κάτοψης (μαζί με τον παρατηρητή Ο ) πάνω στο χαρτί μας. Έστω, ότι τοποθετείται κάτω από τη γραμμή εδάφους και σε επαφή με αυτή, κατά μήκος της ΓΔ. 6. Σχεδιάζουμε την όψη σε περασιά με την κάτοψη, να πατάει πάνω στη γραμμή εδάφους. 7. Βρίσκουμε το σημείο επαφής σφ, φέροντας από το Ο παράλληλη στην ΑΔ, η οποία συγχρόνως θα είναι και κάθετη στη γραμμή εδάφους. Την προεκτείνουμε, μέχρι να συναντήσει τη γραμμή ορίζοντα, όπου είναι το σημείο φυγής σφ. Έχοντας όλα τα στοιχεία αυτά σχεδιάζουμε το προοπτικό Σχεδίαση προοπτικού Ενώνουμε το σημείο φυγής με τα σημεία Γ,Δ,Ε,Ζ της όψης. Το προοπτικό του κύβου θα βρίσκεται ανάμεσα στις γραμμές, που ξεκινούν από το σημείο φυγής σφ, περνούν από τις κορυφές της όψης και προεκτείνονται. Ενώνουμε το Ο με τα Α,Β,Γ,Δ της κάτοψης και προεκτείνουμε μέχρι τη γραμμή εδάφους. Υψώνουμε στα σημεία αυτά καθέτους στη γραμμή εδάφους και τις προεκτείνουμε, μέχρι να συναντήσουν τις αντίστοιχες γραμμές που ξεκινούν από το σημείο φυγής σφ και περνούν από τις κορυφές της όψης. Ορίζονται έτσι τα σημεία (Α), (Θ), (Η), (Β), (Δ), (Ε), (Ζ) (Γ), τα προοπτικά των αντίστοιχων Α, Θ, Η, Β, Δ, Ε, Ζ, Γ. 9

10 Φέρουμε τις (Α)(Β), (Η)(Θ), αντίστοιχες στις ΑΒ και ΗΘ. Οι (Δ)(Γ) και (Ε)(Ζ) συμπίπτουν με τις ΔΓ και ΕΖ. Το σχήμα (Α)(Β)(γ)(Δ)(Ε)(Ζ)(Η)(Θ)(Α), που προκύπτει, (Α)(Β)(γ)(Δ)(Ε)(Ζ)(Η)(Θ)(Α) είναι το προοπτικό του κύβου, που δόθηκε αρχικά. Το προοπτικό της έδρας ΓΔΕΖ συμπίπτει με την ίδια την έδρα : ΓΔΕΖ Ξ ( Γ)(Δ)(Ε)(Ζ), γιατί η κάτοψη εφάπτεται στη γραμμή εδάφους, δηλαδή, ο προοπτικός πίνακας περνάει από την έδρα αυτή. Παρατηρήσεις στο τελικό προοπτικό 1. Τα σημεία που βρίσκονται πάνω στον προοπτικό πίνακα, συμπίπτουν με τα προοπτικά τους. Και ορίζοντα από τα σημεία τομής κάτοψης και γραμμής εδάφους. 2. Τα προοπτικά των ευθειών της κάτοψης και της όψης, παραμένουν παράλληλα στη γραμμή εδάφους. 3. Τα προοπτικά των ευθειών της όψης, παραμένουν κάθετα στη γραμμή εδάφους. 4. Τα προοπτικά των ευθειών κάτοψης, που βρίσκονται υπό οποιαδήποτε γωνία με τη γραμμή εδάφους, συγκλίνουν στο σημείο φυγής. 5. Η κάτοψη του χώρου, μπορεί να τοποθετηθεί σε οποιαδήποτε θέση ως προς τη γραμμή εδάφους : Mετακινώντας σε διάφορες θέσεις την κάτοψη (μαζί με τον παρατηρητή) σε σχέση με τη γραμμή εδάφους (από κάτω μέχρι και πάνω από τη γραμμή εδάφους) και σχεδιάζοντας τα αντίστοιχα προοπτικά, παρατηρούμε ότι: Τα προοπτικά του κύβου είναι όμοια, διαφέρουν μόνο στο μέγεθος Όσο απομακρύνεται η κάτοψη από τη γραμμή εδάφους, τόσο το προοπτικό μεγαλώνει. Όσο η κάτοψη πλησιάζει τη γραμμή εδάφους, την περνά και απομακρύνεται προς τα πάνω, τόσο το προοπτικό μικραίνει. Προσοχή! Επειδή ο παρατηρητής ακολουθεί σταθερά την κάτοψη, πρέπει να προσέξουμε, ώστε ο παρατηρητής να παραμένει κάτω από τη γραμμή εδάφους. Αν περάσει πάνω από τη γραμμή εδάφους, τότε το προοπτικό είναι αντίστροφο. 6. Η όψη τοποθετείται ΠΑΝΤΑ πάνω από τη γραμμή εδάφους και ΠΑΝΤΑ σε επαφή με αυτή, οπουδήποτε και αν βρίσκεται η κάτοψη.

11 Επιλογή στοιχείων Στόχος στη σχεδίαση ενός προοπτικού, είναι συνήθως η αποφυγή παραμορφώσεων στο αποτέλεσμα. Πολλές φορές όμως, για λόγους εντυπωσιασμού ή αισθητικούς, επιδιώκεται το αντίθετο, με αποτέλεσμα να προκύπτουν προοπτικά παραμορφωμένα. 1. Η θέση του παρατηρητή Ο, εξαρτάται από το τμήμα του χώρου ή του αντικειμένου που θέλουμε να προκύψει στο προοπτικό και ορίζεται από τις αποστάσεις με την κάτοψη ( α και β, σχ. 17,18,19,20) : Η απόσταση α πρέπει να είναι τέτοια, ώστε, αν ενώσουμε το Ο με τα άκρα του αντικειμένου, η γωνία ω, που προκύπτει και λέγεται οπτική γωνία, να μην υπερβαίνει τις 60 ο. Έτσι, αποφεύγουμε παραμορφώσεις στο προοπτικό. - Μερικές φορές, η οπτική γωνία ω, μπορεί να είναι πάνω από 60 ο, ανάλογα με το χώρο και τη θέση των αντικειμένων, αλλά σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να είναι αμβλεία, γιατί θα δώσει μεγάλες παραμορφώσεις στο προοπτικό. 2. Όσο πιο κοντά στο κέντρο του οπτικού πεδίου βρίσκεται το αντικείμενο, τόσο πιο απαλές είναι οι αλλοιώσεις. 3. Το Ο δεν πρέπει να είναι πολύ μακριά από τη γραμμή εδάφους. Συνήθως, δ=1 1/2 γ, όπου γ, το πλάτος του προοπτικού, που μπορούμε να ελέγξουμε εξαρχής. 4. Η απόσταση Η γραμμής εδάφους γραμμής ορίζοντα, εξαρτάται από το ύψος που βλέπουμε το χώρο. Συνήθως, για τον εσωτερικό χώρο με μικρό ύψος παίρνουμε 1,60 1,80μ, το μέσο ύψος του ανθρώπου. Για ειδικούς χώρους ενός κτιρίου που απαιτούν μεγαλύτερο ή μικρότερο ύψος, επιλέγει το ύψος ο παρατηρητής, σύμφωνα με τα δικά του κριτήρια. 5. Όταν ο πίνακας (γραμμή εδάφους) είναι ανάμεσα στον παρατηρητή και το αντικείμενο, το προοπτικό βγαίνει μικρότερο από το πραγματικό. Αν το αντικείμενο είναι ανάμεσα από τον πίνακα και τον παρατηρητή, το προοπτικό είναι μεγαλύτερο από το πραγματικό, και όσο ο πίνακας απομακρύνεται από το αντικείμενο, τόσο το προοπτικό μεγαλώνει. Τα στοιχεία του αντικειμένου που εφάπτονται στον πίνακα, στο προοπτικό τους ταυτίζονται με τα πραγματικά Συνοψίζοντας Για να σχεδιάσουμε ένα προοπτικό, ΜΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ ΦΥΓΗΣ, ακολουθούμε την εξής σειρά : 1. Ορίζουμε τη θέση του παρατηρητή ως προς την κάτοψη, σύμφωνα με τα κριτήρια. 2. Επιλέγουμε το ύψος, απ όπου ο παρατηρητής θα βλέπει το χώρο 3. Σχεδιάζουμε τις γραμμές εδάφους και ορίζοντα. 11

12 4. Τοποθετούμε την κάτοψη μαζί με τον παρατηρητή, έτσι όπως ορίσαμε, και σε τέτοια σχέση με τη γραμμή εδάφους, ώστε το μέγεθος του προοπτικού να μας ικανοποιεί. 5. Σχεδιάζουμε την αντίστοιχη όψη πάνω στη γραμμή εδάφους. 6. Ορίζουμε το σημείο φυγής 7. Προχωράμε στην κατασκευή του προοπτικού, σύμφωνα με τη μέθοδό μας ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΜΕ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ ΦΥΓΗΣ Έστω, παραλληλεπίπεδο κάτοψης ΑΒΓΔ. Για να σχεδιάσουμε το προοπτικό με δύο σημεία φυγής, πρέπει να τοποθετήσουμε την κάτοψή του, ώστε οι πλευρές της να σχηματίζουν οποιαδήποτε γωνία με τη γραμμή εδάφους. Συνήθως, χρησιμοποιούμε γωνίες, 30 ο, 45 ο, 60 ο : 1. Ορίζουμε τη θέση του παρατηρητή Ο, ως προς την κάτοψη, και τοποθετούμε την κάτοψη μαζί με τον παρατηρητή στη θέση, που θα μας δώσει το επιθυμητό μέγεθος του προοπτικού. Η θέση της κάτοψης, ως προς τη γραμμή εδάφους, καθορίζει το μέγεθος του προοπτικού. Θεωρούμε ότι η κάτοψη εφάπτεται με τη γραμμή εδάφους στην κορυφή Α (σχ.25). 2. Σχεδιάζουμε τις γραμμές ορίζοντα και εδάφους, παράλληλες μεταξύ τους και σε απόσταση Η ίση με το ύψος, από το οποίο βλέπουμε το αντικείμενο. 3. Σχεδιάζουμε μια όψη του παραλληλεπιπέδου πάνω στη γραμμή εδάφους, στην άκρη του σχεδίου μας, κι όχι σε περασιά με την κάτοψη. Στην περίπτωση αυτή, η όψη χρησιμεύει μόνο για να μετράμε τα ύψη του αντικειμένου. Μπορούμε, αν θέλουμε, να μην τη σχεδιάσουμε στο χαρτί μας, αλλά από ένα άλλο χαρτί, όπου θα έχουμε όλες τις όψεις. 4. Βρίσκουμε τα σημεία φυγής σφ, φέρνοντας από το Ο παράλληλες προς τις δύο διευθύνσεις της κάτοψης, μέχρι να συναντήσουν τη γραμμή εδάφους. Από τα σημεία αυτά υψώνουμε καθέτους προς τη γραμμή εδάφους. Τα σημεία τομής των καθέτων με τη γραμμή ορίζοντα είναι τα σημεία φυγής σφ1 και σφ2. Με τα στοιχεία αυτά πάνω στο χαρτί μας, προχωράμε στην κατασκευή του προοπτικού. - Μπορούμε, αν θέλουμε, να μετατοπίσουμε, παράλληλα και προς τα κάτω, τις γραμμές εδάφους κι ορίζοντα. Παίρνουμε έτσι, τις βοηθητικές γραμμές ορίζοντα και εδάφους και τα βοηθητικά σημεία φυγής σφ1 και σφ2, που αντιστοιχούν στα σφ1 και σφ2. : Το προοπτικό αποτέλεσμα δεν επηρεάζεται, και μπορούμε να κατασκευάσουμε το προοπτικό άνετα, χωρίς να πέφτει το ένα σχέδιο πάνω στο άλλο Σχεδίαση προοπτικού ( με παράλληλη μετατόπιση ) 1. Από την κορυφή Α της κάτοψης, φέρνουμε κάθετη, μέχρι να συναντήσει τη βοηθητική γραμμή εδάφους και ορίζουμε το τμήμα (Α)(Θ), ίσο με το ύψος της όψης, γιατί το Α βρίσκεται πάνω στον προοπτικό πίνακα κι επομένως, ΑΘ = (Α)(Θ). 2. Ενώνουμε τα (Α) και (Θ) με τα σημεία φυγής. Προκύπτουν τα προοπτικά των δύο εδρών του ΑΒΗΘ και ΑΔΕΘ, που ξεκινούν από το προοπτικό της ακμής, το (Α)(Θ, ) και καταλήγουν στα σημεία φυγής. 3. Για να προσδιορίσουμε ακριβώς τα προοπτικά των δύο αυτών εδρών ( των ακμών ΔΕ και ΒΗ), ενώνουμε τον παρατηρητή με τις αντίστοιχες κορυφές της κάτοψης. Τα σημεία τομής των Ο Δ και Ο Β με τη γραμμή εδάφους, φέρνουμε κάθετες στη γραμμή

13 εδάφους, μέχρι να τμήσουν τις (Θ)σφ1, (Α)σφ1, (Θ)σφ 2, στα σημεία (Ε), (Δ), (Η), (Β). Οι (Δ)(Ε) και (Β)(Η) είναι τα προοπτικά των ακμών ΔΕ και ΒΗ. Οι (Α)(Θ)(Ε)(Δ) και (Α)(Θ)(Η)(Β) είναι τα προοπτικά των εδρών ΑΘΕΔ και ΑΘΗΒ, αντίστοιχα. 4. Ενώνουμε το (Ε) με το σφ 2 και το (Η) με το σφ 1 και ορίζουμε το (Ζ). Ολοκληρώνουμε έτσι το προοπτικό της ΘΗΖΕ. Κατασκευάζουμε προοπτικό, χωρίς τη μέθοδο της παράλληλης μετατόπισης (σχ. 26α), με την ίδια ακριβώς διαδικασία. Πρέπει να τονίσουμε ότι: Ξεκινάμε την κατασκευή του προοπτικού από τα σημεία τομής της κάτοψης με τη γραμμή εδάφους (σημείο κ, σχ. 27, 29β, 30α). Αν η κάτοψη δεν τέμνει τη γραμμή εδάφους, τότε προεκτείνουμε, όποια πλευρά της κάτοψης μας ενδιαφέρει, μέχρι τη γραμμή εδάφους, ορίζουμε το σημείο κ και ξεκινάμε την κατασκευή του προοπτικού. Στο σημείο κ, το προοπτικό ταυτίζεται με το πραγματικό, γιατί βρίσκεται πάνω στον προοπτικό πίνακα. Υπενθύμιση : Όλες οι παράλληλες μεταξύ τους γραμμές κάτοψης, έχουν το ίδιο σημείο φυγής ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΧΩΡΟ ΜΕ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ ΦΥΓΗΣ (γωνία δωματίου) Σχ. 31 : Με παράλληλη μετατόπιση - Ορίζουμε τη θέση του παρατηρητή Ο ως προς την κάτοψη. - Τοποθετούμε την κάτοψη έτσι, ώστε να εφάπτεται με τη γραμμή εδάφους στο σημείο Ε. - Φέρνουμε από το Ε κάθετο στη γραμμή εδάφους, μέχρι να τμήσει τη β γραμμή εδάφους - Μετράμε πάνω στην κάθετο τμήμα (Ε)(Ζ) ίσο με το ύψος του χώρου από την όψη του. Επειδή το Ε βρίσκεται πάνω στη γραμμή εδάφους,, ΕΖ = (Ε)(Ζ), δηλαδή το προοπτικό ταυτίζεται με το πραγματικό. - Ενώνουμε τα (Ε) και (Ζ), με τα σφ 1 και σφ 2 στη βοηθητική γραμμή ορίζοντα και προεκτείνουμε. - Προκύπτει η περιοχή, όπου βρίσκονται τα προοπτικά των δύο εδρών. - Ενώνουμε το Ο με τα Δ και Θ της κάτοψης, και στο σημείο, που συναντούν τη γραμμή εδάφους, φέρνουμε κάθετες προς τα κάτω, οι οποίες ορίζουν τις (Δ)(Γ) και (Θ)(Η), το προοπτικό των δύο εδρών. Συνήθως, όταν κατασκευάζουμε το προοπτικό ενός εσωτερικού χώρου, στο τελικό προοπτικό δεν «κλείνουμε» το χώρο, δηλαδή δεν φέρνουμε τις (Θ)(Η) και (Δ)(Γ). Σχ. 32 : Κατασκευή προοπτικού παραλληλεπιπέδου μέσα στη γωνία. Επειδή η κάτοψή του δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τη γραμμή εδάφους, προεκτείνουμε τη μια πλευρά του, μέχρι να τμήσει τη γραμμή εδάφους στο Κ. 13

14 Από το Κ, φέρνουμε κάθετη, μέχρι τη βοηθητική γραμμή εδάφους., και εκεί μετράμε το πραγματικό ύψος του παραλληλεπιπέδου από την όψη. Ολοκληρώνουμε το σχέδιο με τη γνωστή διαδικασία ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΜΕ ΠΟΛΛΑ ΣΗΜΕΙΑ ΦΥΓΗΣ Ακολουθούμε τη γνωστή μέθοδο (σχ. 33) Σχεδίαση προοπτικού χωρίς παράλληλη μετατόπιση - Έστω η κάτοψη ΑΒΓΔ και η όψη ΑΒΓΘΗΖΑ ενός αντικειμένου και Ο η θέση του παρατηρητή. - Από το Ο φέρουμε παράλληλες προς τις διευθύνσεις της κάτοψης, για να βρούμε τα σημεία φυγής : Έτσι, η παράλληλη από το Ο προς την ΑΒ, ορίζει το σφ1, η παράλληλη προς τη ΔΓ ορίζει το σφ2, η παράλληλη προς τη ΒΓ ορίζει το σφ3 και η παράλληλη προς την Δ ορίζει το σφ4. - Προεκτείνουμε τη ΒΓ και, εκεί που συναντά τη γραμμή εδάφους, υψώνουμε κάθετη, πάνω στην οποία μετράμε το πραγματικό ύψος. - Συνεχίζουμε κατά τα γνωστά, προσέχοντας κάθε φορά, να χρησιμοποιούμε το αντίστοιχο σημείο φυγής (σφ) της πλευράς της οποίας σχεδιάζουμε το προοπτικό. Προσοχή : Εάν κάποιο σφ πέφτει έξω από το χαρτί σχεδίασης, βρίσκουμε το προοπτικό έμμεσα : - Υποθέτουμε ότι το σφ4 πέφτει έξω από το χαρτί μας. - Για να ορίσουμε την προοπτική διεύθυνση των ΑΔ και ΖΕ : Φέρουμε την Ο Δ μέχρι να συναντήσει τη γραμμή εδάφους, όπου υψώνουμε κάθετη, που ορίζει το (Ε) πάνω στη (Θ) σφ2. - Ενώνουμε το (Ζ) με το (Ε). Η (Ζ)(Ε) ορίζει την προοπτική διεύθυνση προς το σφ4.

15 3.8. ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΚΥΚΛΟΥ Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις : 1. Όταν το επίπεδο του κύκλου είναι κατακόρυφο και παράλληλο προς τον προοπτικό πίνακα (γραμμή εδάφους ) ΤΟΤΕ: ΤΟ ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΠΑΡΑΜΕΝΕΙ ΚΥΚΛΟΣ Σχ. 35 α, 35β : η ημιπεριφέρεια (καμάρα) στο εξωτερικό επίπεδο ΑΒ και στο εσωτερικό επίπεδο Α Β της κάτοψης, στο προοπτικό της παραμένει έλλειψη. 2. Όταν το επίπεδο του κύκλου είναι κατακόρυφο και σχηματίζει γωνία με τη γραμμή εδάφους, ΤΟΤΕ : ΤΟ ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΕΙΝΑΙ ΕΛΛΕΙΨΗ Σχ. 35α και 35β : η ημιπεριφέρεια, στο επίπεδο ΑΓ και Α Γ της κάτοψης, στο προοπτικό της είναι έλλειψη. 3. Όταν το επίπεδο του κύκλου είναι οριζόντιο και δεν ταυτίζεται με τον ορίζοντα, ΤΟΤΕ : ΤΟ ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΤΟΥ ΕΙΝΑΙ ΕΛΛΕΙΨΗ 4. Όταν το επίπεδο του κύκλου είναι οριζόντιο και ταυτίζεται με τον ορίζοντα, ΤΟΤΕ ΤΟ ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΤΟΥ ΕΙΝΑΙ ΕΥΘΕΙΑ Σχ. 23, 34, 35 α, 35β, 35γ, 36 α Σχεδίαση προοπτικού κύκλου ΣΕ ΚΑΘΕ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ, εγγράφουμε τον κύκλο σε τετράγωνο ή την ημιπεριφέρεια σε παραλληλόγραμμο. - Σχεδιάζουμε το τετράγωνο ή το παραλληλόγραμμο. - Ορίζουμε τα κοινά τους σημεία με την περιφέρεια : 1,2,3,4,5,6, - Προσπαθούμε να βρούμε κι άλλα κοινά σημεία. Π.χ φέρνοντας τις διαγώνιες 15

16 Σχ. 35 α και 35β Όσο πιο πολλά σημεία της περιφέρειας ορίσουμε, τόσο πιο σωστή, σχεδιαστικά, θα βγει η έλλειψη.

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο)

ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο) ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ - Παράρτημα Καρδίτσας ΤΜΗΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΞΥΛΟΥ ΕΠΙΠΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ ΙΙ (Μέρος πρώτο) - ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΝΟΧΕΣ - ΣΥΝΑΡΜΟΓΕΣ ΚΟΛΛΑΤΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ.

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους 28/9/2008 12:48 καθ. Τεχνολογίας 28/9/2008 12:57 Προοπτικό σχέδιο με 2 Σημεία Φυγής Σημείο φυγής 1 Σημείο φυγής 2 Γωνία κτιρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας, ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Αυτό που στην εφαρμοσμένη γεωμετρία ονομάζουμε συχνά γραμμική προοπτική είναι ένα σύστημα αναπαράστασης του τρισδιάστατου χώρου σε επιφάνεια δύο διαστάσεων. Η μέθοδος αυτή απεικόνισης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Διάλεξη 2η Παναγής Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Ιστορικά Στις αρχές του 16 ου αιώνα ήταν ήδη γνωστές οι αρχές της γραμμικής προοπτικής, περίπου όπως την ξέρουμε σήμερα. Την περίοδο αυτή καλλιτέχνες, γλύπτες και αρχιτέκτονες άρχισαν να πειραματίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός Γεωμετρική Οπτική Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ & ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ Σύνταξη κειμένου: Μαρία Ν. Δανιήλ, Αρχιτέκτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6).

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6). ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΑ Η στερεοσκοπία είναι μια τεχνική που δημιουργεί την ψευδαίσθηση του βάθους σε μια εικόνα. Στηρίζεται στο ότι η τρισδιάστατη φυσική όραση πραγματοποιείται διότι κάθε μάτι βλέπει το ίδιο αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 1 ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΣ Ε1 Μ 2γ Ε2 2β 1. ΡΙΣΜΙ ΡΙΣΜΙ - ΚΤΣΚΕΥΕΣ Η έλλειψη είναι επίπεδη καµπύλη 2 ου βαθµού, είναι δε ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων, των οποίων το άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq. wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq. wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑ.Λ. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική Ο15 Κοίλα κάτοπτρα 1. Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η εύρεση της εστιακής απόστασης κοίλου κατόπτρου σχετικά μεγάλου ανοίγματος και την μέτρηση του σφάλματος της σφαιρικής εκτροπής... Θεωρία.1 Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Παπαθανάση Κέλλυ Πατσιμάς Ανδρέας Πατσιμάς Δημήτρης Ραμαντάνης Βαγγέλης

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ. Ορισμοί Εμβαδόν τετραγώνου. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται µε α 2.

1.3 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ. Ορισμοί Εμβαδόν τετραγώνου. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται µε α 2. ΜΡΟΣ Β 1.3 ΜΒΑΔΑ ΠΙΠΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 1 Ορισμοί μβαδόν τετραγώνου 1.3 ΜΒΑΔΑ ΠΙΠΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται µε α. E α α α μβαδόν ορθογωνίου Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου µε πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα