Η κύλιση σφαίρας σε κατακόρυφη κυκλική στεφάνη

Transcript

1 Η ύλιση σφαίρας σε αταόρφη λι στεφάνη Μια ομογενς μιρ σφαίρα έχει μάζα m ατίνας r αι ροπ αδράνειας ς προς άξονα πο διέρχεται από το έντρο της I = mr. Η σφαίρα λίεται χρίς ολίσθηση σε οριζόντιο αι εισέρχεται χρίς φαινόμενο ρούσης σε αταόρφη λι στεφάνη ατίνας R έχοντας ταχύτητα το έντρο μάζας. Α. Μελέτη της ύλισης στη στεφάνη. Στο διπλανό σχμα φαίνεται η σφαίρα σε μιά τχαία θέση να ανέρχεται στη στεφάνη. Α.1 Η φορά περιστροφς της σφαίρας αι η σχέση τν επιταχύνσεν. Αφού η σφαίρα λίεται χρίς ολίσθηση πρέπει η ταχύτητα το σημείο επαφς Α της σφαίρας με τη στεφάνη να είναι μηδενι. ο σημείο ατό έχει την ταχύτητα της μεταφορις ίνησης αι την γραμμι ταχύτητα εξαιτίας της στροφις ίνησης γρ = r. Για να είναι Α = η γραμμι ταχύτητα το σημείο επαφς της επιφάνειας της σφαίρας γρ = r να είναι αντίθετη της αι ατό προποθέτει : ατοπεριστροφ της σφαίρας ατά την ρολογια φορά περιστροφς, = - = r, από όπο με γρ(α) μια απλ χρονι παραγώγιση παίρνομε d d r = d ε α Α r d =r α = rα α γν γν ( ) ( ) 1 Α. Η φορά της στατις τριβς. Στην αντέρ τχαία θέση τοποθετούμε τις ασούμενες στη σφαίρα δνάμεις, πο είναι: η δύναμη το βάρος πο αναλύεται σε δύο σνιστώσες στην ατινι σνιστώσα με =mgσνφ στην εφαπτομενι σνιστώσα με ε =mgημφ, η δύναμη στριξης πο έχει ατινι ατεύθνση ς αάθετη στην επιφάνεια επαφς ( πο είναι εφαπτομενι της ιάς), η δύναμη της στατις τριβς... της οποίας αναζητούμε την ατεύθνση. Η μεταφορι - λι ίνηση το έντρο μάζας της σφαίρας ατά την άνοδο είναι επιβραδνόμενη... το μέτρο της ταχύτητας το έντρο μάζας της σφαίρας μειώνεται. Ατό μπορεί να φανεί εύολα ενεργειαά από το θεώρημα μεταβολς της ινητις ενέργειας

2 ΔΚ = W B με W <, W = ( η δύναμη είναι ατινι αι σε άθε στιγμ είναι άθετη στην μετατόπιση) αι W = ( η στατι τριβ στη ύλιση χρίς ολισθηση δεν έχει έργο...γιατι;)...άρα ΔΚ<. Από την σχέση = r φαίνεται ότι αι είναι ανάλογα άρα αν η μειώνεται το ίδιο σμβαίνει αι με την. Για να γίνεται όμς ατό πρέπει να πάρχει γνια επιτάχνση αντίρροπη της... αι ατ δημιοργείται μόνο από την ροπ της τριβς ( οι δύο άλλες δνάμεις δεν έχον ροπ ς προς τον άξονα ατοπεριστροφς). Άρα η ροπ της τριβς πρέπει να έχει τάση περιστροφς αντιρολογια ώστε η να είναι αντίρροπη της γνιας ταχύτητας ατοπεριστροφς...αι για να γίνεται ατό η στατι τριβ έχει την φορά πο φαίνεται στο παραπάν σχμα. Α.3 Υπολογισμός τν επιταχύνσεν α, α γν αι της στατις τριβς. Εφαρμόζομε τον νόμο ewton για τον εφαπτομενιό άξονα ( με θετιά προς την φορά της μεταφορις - λις ίνησης το έντρο μάζας ) αι την στροφι ίνηση ( με τα θετιά προς την φορά ατοπεριστροφς της σφαίρας ). ΣF - mgημφ (1). α Στ = Ια r γν -r = mr - (). Με πρόσθεση τν (1) αι () r g παίρνομε... -mgημφ α gημφ (3), αγν ημφ (4) αι από την () r βρίσομε την αλγεβρι τιμ της στατις τριβς = mgημφ () = - mα = - m gημφ g / mg /, 1, φ rad, 1, φ rad -g / -mg / Από το διάγραμμα της επιτάχνσης ( αι με βάση ότι τα θετιά είναι προς την φορά της ίνησης ) στην άνοδο έχομε α < αι α < η ίνηση είναι επιβραδνόμενη, ενώ ατά την άθοδο έχομε α > αι α > η ίνηση είναι επιταχνόμενη. Στο διπλανό σχμα φαίνεται : η ατεύθνση της πο στην άνοδο είναι αντίρροπη της αι στην άθοδο ομόρροπη ατς, α α

3 αλλά αι η ατεύθνση της στατις τριβς πο στην άνοδο έχει ροπ πο αντιτίθεται στη ατοπεριστροφι ίνηση ενώ στην άθοδο η ροπ της ενοεί την ατοπεριστροφ της σφαίρας.. Μέχρι πο θα φθάσει η σφαίρα αι θα είναι σε επαφ με την στεφάνη. Η σφαίρα θα φθάσει - άνοντας λι ίνηση χρίς ολίσθηση- αι θα είναι σε επαφ με την στεφάνη μέχρι τη θέση πο θα μηδενισθεί η ταχύτητα το έντρο μάζας η δύναμη στριξης αι η σφαίρα χάνει την επαφ της με την στεφάνη..1) 1η περίπτση: Έστ ότι η σφαίρα δεν έχει ιαν ενέργεια να περάσει πάν από την xx δηλαδ θα είναι σε π ετροπ φ<. ο έντρο μάζας της x ε ( ) x ( ) 3 σφαίρας γράφει λι ίνηση ( μεταφορι ίνηση) ατίνας R-r αι η σνισταμένη δύναμη στον ατινιό άξονα ατς της ίνησης έχει εντρομόλο ρόλο... ΣF Από τη σχέση ατ παρατηρούμε ότι για - mgσνφ = m = mgσνφ + m. π φ< πο φ 1 αόμη αι αν = η δύναμη στριξης δεν μηδενίζεται ποτέ αι η σφαίρα είναι σνεχώς σε επαφ με το ημισφαίριο. π Άρα αν η σφαίρα έχει ενέργεια μόνο για ετροπ φ< ( δηλαδ δεν περνάει την xx ) θα φθάσει μέχρι τη θέση πο θα μηδενισθεί η ταχύτητα το έντρο μάζας της = ( όπς αι η γνια ταχύτητα ατοπεριστροφς)..) η περίπτση: Έστ ότι η σφαίρα έχει ιαν ενέργεια να περάσει πάν από την xx χρίς να μπορεί να άνει αναλση, δηλαδ θα είναι σε ετροπ,π θ. Η σνισταμένη δύναμη στον ατινιό άξονα ατς της ίνησης έχει εντρομόλο ρόλο... ΣF + mgημθ = m = m - mgημθ. Από τη σχέση ατ παρατηρούμε ότι αν =, δηλαδ τη στιγμ πο χάνεται η επαφ της σφαίρας με την στεφάνη η σφαίρα έχει αόμη ταχύτητα x g ημθ...πο ( ) ( ) ε x

4 σημαίνει χάνεται μεν η επαφ με την στεφάνη αι το έντρο μάζας της σφαίρας δεν άνει λι ίνηση...αλλά λόγ της ταχύτητας η σφαίρα σνεχίζει να ανέρχεται με το έντρο της να διαγράδει πλάγια βολ. Άρα αν η σφαίρα έχει ενέργεια ιαν ενέργεια για ετροπ φ < π (δηλαδ περνάει την xx χρίς να άνει αναύλση), το της θα άνει λι ίνηση αι η σφαίρα θα είναι σε επαφ με την στεφάνη με τη μέχρι τη θέση πο θα μηδενισθεί η δύναμη στριξης. Σχόλιο: Από την αντέρ σχέση = m - mgημθ για θ=, δηλαδ αν η σφαίρα απο την αρχ ετραπεί ατά φ=π/ rad αν = τότε αι =. Γ. Η σνολι ινητι ενέργεια της σφαίρας. Η ινητι ενέργεια της σφαίρας είναι λόγ μεταφοράς αι λόγ της ατοπεριστροφς της Κ=Κ μετ +Κ στρ Κ = 1 m 1 + I 1 1 Κ = m + mr r 1 1 Κ = m + m Κ = m. Η σχέση της 1 ινητις ενέργειας σε σχέση με την αρχι m Κ = πολογίζεται απο το θεώρημα 1 μεταβολς της ινητις ενέργειας πο για το σχμα έχομε W Κ - Κ = W B,W Κ - Κ = -mgh H=(R-r)(1-σνφ) Κ - m = -mg() ( 1- σνφ) Κ = m - mg() ( 1- σνφ) 1 1 Κ = m - mg() + mg()σνφ. 1 Στο παραάτ διάγραμμα φαίνεται πς μεταβάλλεται η ινητι ενέργεια της σφαίρας με την γνια απόλιση φ της επιβατις ατίνας το έντρο της σφαίρας. Κ = m 1 K Κ = m - mg() 1 4 Κ = m - mg() 1, 1, (rad)

5 Δ. Η σνθη αναύλσης της σφαίρας. Για να γίνει η αναύλση πρέπει το σώμα να φθάσει στην ανώτερη θέση αι να είναι αι σε επαφ με την στεφάνη. Για την ανώτερη θέση, γράφομε τον ο νόμο ewton στον ατινιό άξονα όπο η σνισταμένη δύναμη έχει εντρομόλο ρόλο ΣF + mg = m = m - mg. Για να πάρχει επαφ με την στεφάνη πρέπει > = m - mg > > g() αι επειδ είμαστε στην ανώτερη θέση αόμη αι = να γίνει στιγμιαία δηλαδ αόμη αι να είναι = g() η σφαίρα «πέρασε» αι είναι αι πάλι σε επαφ μετην στεφάνη. Άρα για να γίνει αναύλσης το σώμα όχι μόνο πρέπει να φθάσει στο ανώτερο σημείο αλλά να έχει αι ταχύτητα g(),min g(). Από δε το θεώρημα μεταβολς της ινητις ενέργειας μεταξύ της αρχις αι της ανώτερης θέσης μπορούμε να βρούμε την αρχι ταχύτητα για να γίνει η αναύλση... W Κ - Κ = W B,W m - m = -mg() 1 1 = - g() = - g() g() g() Άρα η απαραίτητη ταχύτητα το στο ατώτερο σημείο για να γίνει αναύλση είναι g(). Ε. Για ποια αρχι ταχύτητα η σφαίρα φθάνει μέχρι φ=π/.. Για την θέση (φ=π/) πο θέλομε να φθάσει το σώμα, γράφομε τον ο νόμο ewton στον ατινιό άξονα όπο η σνισταμένη δύναμη έχει εντρομόλο ρόλο ΣF =m Από εδώ φαίνεται ότι = αι = τατόχρονα. Αρα για να φθάσει το σώμα μέχρι την θέση ατ πρέπει εεί να μηδενισθεί η ταχύτητά το. Από δε το θεώρημα μεταβολς της ινητις ενέργειας μεταξύ της αρχις αι της θέσης ατς μπορούμε να βρούμε την απαραίτητη αρχι ταχύτητα. W,W Κ - Κ = W B - m = -mg() 1 1 = g() 1 = g()

6 Στ. ασιά σμπεράσματα για το πο θα φθάσει η σφαίρα αι θα είναι σε επαφ με την στεφάνη Αν η αρχι ταχύτητα το έντρο μάζας της σφαίρας είναι < g() η σφαίρα φθάνει σε γνια ετροπ φ<π/ rad... αι η απαραίτητη σνθη για την τελι θέση είναι =. 1. Αν η αρχι ταχύτητα το έντρο μάζας της σφαίρας είναι = g() η σφαίρα φθάνει σε γνια ετροπ φ=π/ rad... αι η απαραίτητη σνθη για την τελι θέση είναι = αι =. 3. Αν η ταχύτητα στο ανώτερο σημείο είναι > g() η αρχι ταχύτητα το έντρο μάζας της σφαίρας είναι g() η σφαίρα άνει αναύλση. 4. Αν η αρχι ταχύτητα το έντρο μάζας της σφαίρας είναι 1 g() < < g() η σφαίρα φθάνει σε γνια ετροπ π < φ < π rad απαραίτητη σνθη για την τελι θέση είναι =. αι η Ζ. Εφαρμογ: Για ποιά αρχι ταχύτητα το της σφαίρας ατ θα έχει μέγιστη γνια ετροπ ατά φ=6. Αφού η σφαίρα θα έχει γνια ετροπ φ<π/ rad... η απαραίτητη σνθη για την τελι θέση είναι =. Από δε το θεώρημα μεταβολς της ινητις ενέργειας μεταξύ της αρχις αι της θέσης ατς μπορούμε να βρούμε την απαραίτητη αρχι ταχύτητα. W,W Κ - Κ = W B - m = -mgη 1 1 = g () - ()σν = g () - () = g() Η. Εφαρμογ: Για ποιά αρχι ταχύτητα το της σφαίρας ατ θα έχει μέγιστη γνια ετροπ ατά φ=1 με τη σφαίρα σε επαφ με τη στεφάνη. 6 Αφού η σφαίρα θα έχει γνια ετροπ π/ <φ<π η απαραίτητη σνθη για την τελι θέση είναι ο μηδενισμός της δύναμης στριξης =. Η σνισταμένη δύναμη στον ατινιό άξονα ατς της ίνησης έχει εντρομόλο ρόλο... ΣF + mgημθ = m = m - mgημθ με θ=3. Από τη σχέση ατ παρατηρούμε ότι αν =, δηλαδ τη

7 στιγμ πο χάνεται η επαφ της σφαίρας με την στεφάνη η σφαίρα έχει αόμη ταχύτητα g ημθ 3,,g (1). Από δε το θεώρημα μεταβολς της ινητις ενέργειας μεταξύ της αρχις αι της θέσης ατς μπορούμε να βρούμε την απαραίτητη αρχι ταχύτητα. Κ - Κ = W B W,W m - m = -mgη αι επειδ από το σχμα Η=(R-r) +(R-r) ημθ Η=(R-r) +(R-r) 1 1 ημ3 Η=(R-r) +(R-r), Η=1,(R-r)... m - m = -mg 1, R ( r) (1) - = - g(r - r ) ( ) - = 1 g( ) 1,g - g( ) - = - g ( ) ( ) -14 = g -3g() = 3g( ) 14 Θ. Εφαρμογ: Στη περίπτση Η μέχρι ποιό ύψος θα φθάσει η σφαίρα... Η ( ) ( ) ε Στο προηγούμενο πρόβλημα η σφαίρα χάνει την επαφ με την στεφάνη σε ύψος Η=1,(R+r), σε γνια ετροπ φ=1 θ=3 αι εείνη τη στιγμ το έντρο μάζας της έχει ταχύτητα,g. Από τη θέση ατ αι μετά το έντρο μάζας της σφαίρας γράφει πλάγια βολ αι τατόχρονα η σφαίρα ατοπεριστρέφεται με σταθερ γνια ταχύτητα πο είχε τη στιγμ πο έχασε την,g επαφ, τοι. Αν αναλύσομε r την ταχύτητα της στιγμ πο χάνεται η επαφ σε δο σνιστώσες μια οριζόντια x, αι μια αταόρφη y, αι μελετηθει η ίνηση σε οριζόντιο αι αταόρφο άξονα, η ίνηση στον οριζόντια άξονα είναι ομαλ αι στον αταόρφο ( ατά την άνοδο) επιβραδνόμενη. Η σφαίρα ανέρχεται μέχρι το ανώτερο σημείο Δ πο είναι πιό ψηλά ατά h αι εεί το έντρο μάζας της έχει y,. Με το θεώρημα μεταβολς της ινητις το ενέργειας από το Γ μέχρι το Δ βρίσομε το ύψος h. ΚΔ - Κ Γ = WB m x, + I - m + I = -mgh Η x, h x, y,

8 1 1 mx, mx, y, = -mgh h= y, h= g h= σν θ g σν 3 h= g,g 3 / h =,18(). Άρα το έντρο μάζας της σφαίρας g ανλθε από την αρχι θέση ατά Θ. Πρόβλημα h Μια σφαίρα μάζας m=1,1kg αι ατίνας r=,m λίεται χρίς ολίσθηση σε οριζόντιο δάπεδο αι εισέρχεται σε αταόρφη λι στεφάνη ατίνας R=1,14m έχοντας ταχύτητα το έντρο μάζας =m/s. Όταν η επιβατι ατίνα της στεφάνης πο αολοθεί το έντρο μάζας της σφαίρας διαγράψει γνία φ =,π rad, να πολογίσετε: α. την ταχύτητα το έντρο μάζας της σφαίρας αι την γνια ταχύτητα ατοπεριστροφς της σφαίρας, β. την δύναμη στριξης αι τη δύναμη της τριβς πο ασεί η στεφάνη στη σφαίρα, γ. την ινητι ενέργεια της σφαίρας, δ. την στροφορμ της σφαίρας, H =1,68(). H1,(R r) h,18(r r) ε. τος ρθμούς μεταβολς της ινητις ενέργειας αι στροφορμς της σφαίρας, Μετά την αντέρ θέση η σφαίρα σνεχίζοντας την ύλιση ανέρχεται..., να βρείτε, στ. το ύψος από την αρχι θέση πο θα ανέλθει η σφαίρα αι θα είναι αόμη σε επαφ με την στεφάνη. Δίνεται η ροπ αδράνειας της σφαίρας ς προς άξονα πο διέρχεται από το έντρο της I = mr αι g=1m/s. Η απάντηση 8

9 α.) Εφαρμόζοντας το θεώρημα μεταβολς της ινητις ενέργειας από την αρχι θέση μέχρι αι τη θέση ύστερα από ετροπ ατά φ=,π rad έχομε, W,W Κ - Κ = W B m - m = -mg() = - g() 1 = - 1 1,1 = 3m / s = r 3m / s =,m =1rad / s. α γν mg β.) Εφαρμόζομε τον ο νόμο ewton στον ατινιό άξονα...όπο η σνισταμένη δύναμη στον ατινιό άξονα ατς της ίνησης έχει εντρομόλο ρόλο... ΣF 3 =1,1 =9. 1,1 =m 9 Εφαρμόζομε τον ο νόμο ewton τόσο στον εφαπτομενιό άξονα για τη μεταφορι ίνηση ( με θετιά προς την φορά της μεταφορις - λις ίνησης το έντρο μάζας ) αι την στροφι ίνηση ( με τα θετιά προς την φορά ατοπεριστροφς της σφαίρας ). ΣF - mg (1). α Στ = Ια r γν -r = mr - r Με πρόσθεση τν (1) αι () παίρνομε... -mg g rad αγν α γν = -. r s (). α Από σχέση () βρίσομε την αλγεβρι τιμ της στατις τριβς = - m g = mg S.I = 1,1 1 = 3,. m g α αι s = - mα γ.) Κ = m Κ = 1,1.3 Κ =,6Joule. Για τον πολογισμό της σχέσης 1 1 Κ = m βλέπε αντέρ περίπτση Γ. 1 δ.) Εδώ θέλει ιδιαίτερη προσοχ διότι πάρχει στροφορμ λόγ ατοπεριστροφς ( ) αλλά αι στροφορμ λόγ της μεταφορις ίνησης το έντρο μάζας... πο είναι σε διαφορετιούς αλλά παράλληλος άξονες αι αντίρροπες!. Η ια στροφορμ είναι = m () =1,1 3 1,1 = 3,63Kgm / s

10 Η στροφορμ λόγ ατοπεριστροφς () είναι = 1,1.,.1 =,688Kgm / s. Η σνολι στροφορμ είναι = - = I = mr = 3,363Kgm / s...[αθροίζονται;; ] [Η στροφορμ ενός στερεού σώματος πο στρέφεται με γνια ταχύτητα, περί άξονα zz άθετο στο επίπεδό το πο διέρχεται από το έντρο μάζας το, έχει τιμ = I αι είναι ίδια αι ς προς οποιοδποτε άλλον άξονα παράλληλο με τον άξονα περιστροφς zz ] [βλέπε στο βιβλίο μο ΣΥΘΕΑ ΘΕΜΑΑ σελίδα 339 ] d m dκ 1 ε.) Κ = m = dκ 14 d dκ 14 = m dκ 14 = 1,13-1 dκ = -33,6 J... αι διαφορετιά... s dκ dκμετ dκστρ dκ dκ = = ΣF ε =(-mg) r dκ dκ = - mg + r = -mg dκ = -1,1 1 3 r dκ = -33,6 J s d d m () = m () = d d = m()α = m()α d d = m() d = 1,1 1,1 d Kgm = 8,96 s 1 d d = I d = Στ = r = 3,, στ.) Αφού η σφαίρα θα έχει γνια ετροπ π/<φ<π η απαραίτητη σνθη για την τελι θέση είναι ο μηδενισμός της δύναμης στριξης =. Η σνισταμένη δύναμη στον ατινιό άξονα ατς της ίνησης έχει εντρομόλο ρόλο... ΣF + mgημθ = m Kgm =,64 s = m - mgημθ. Από τη σχέση ατ παρατηρούμε ότι αν =, δηλαδ τη στιγμ πο χάνεται η επαφ της σφαίρας με την στεφάνη η σφαίρα έχει αόμη ταχύτητα g ημθ (3) Από δε το θεώρημα μεταβολς της ινητις ενέργειας μεταξύ της αρχις αι της θέσης W έχομε: Κ - Κ = W B,W m - m = -mgη αι επειδ από το 1 1 Η ( ) ( ) ε

11 = -g ( R r ) ( R r) - = - g( R r) g( R r) 1 1 gr-rημθ 1 1 g ημθ - = - g( R r) g( R r)... σχμα Η=(R-r) +(R-r) ημθ... m - m = -mg ( R r) ( R r ) 1g( R r) 1g( R r),33 Από το σχμα το ύψος Η πο φθάνει η σφαίρα είναι Η = () + ()ημθ Η = () 1+ ημθ Η =1,1 1+,33 Η = 1,49m 11