ΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΕΝΕΡΓΟΥ ΚΑΙ ΣΒΗΣΜΕΝΟΥ ΗΦΑΙΣΤΕΙΟΥ. Γεώργιος Αιµ. Σκιάνης και ηµήτριος Βαϊόπουλος

Transcript

1 ΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΕΝΕΡΓΟΥ ΚΑΙ ΣΒΗΣΜΕΝΟΥ ΗΦΑΙΣΤΕΙΟΥ Γεώργιος Αιµ. Σκιάνης και ηµήτριος Βαϊόπουλος Πανεπιστήµιο Αθηνών, Τµήµα Γεωλογίας, Εργαστήριο Τηλεανίχνευσης Περίληψη Στην παρούσα εργασία διατυπώνεται, κατ αρχάς, η διαφορική εξίσωση που περιγράφει τη µορφολογική εξέλιξη ηφαιστείου, στις δυο διαστάσεις. Η διαφορική εξίσωση επιλύεται µε τη συνοριακή συνθήκη του µηδενισµού του υψοµέτρου σε πολύ µεγάλες αποστάσεις από τον κρατήρα του ηφαιστείου. Από φυσική άποψη, η συνθήκη αυτή υποδηλώνει ότι το ηφαίστειο βρίσκεται σε χερσαίο περιβάλλον, µέσα στο οποίο δεν υπάρχει κανένας µηχανισµός αποµάκρυνσης µάζας από το γεωµορφολογικό σύστηµα. ιαφορετικές αρχικές συνθήκες και µορφές της συνάρτησης που περιγράφει τη µεταφορά και απόθεση ηφαιστειακού υλικού, οδηγούν σε διαφορετικές λύσεις της διαφορικής εξίσωσης. Οι λύσεις αυτές αναπαριστάνουν τη µορφολογική εξέλιξη του ηφαιστείου υπό διαφορετικές γεωλογικές συνθήκες. Με τη βοήθεια γραφικών παραστάσεων και χαρακτηριστικών καµπυλών µελετάται το πώς επηρεάζονται το σχήµα και οι διαστάσεις της γεωµορφής από τις διεργασίες απόθεσης και διάβρωσης υλικού. Η εργασία αυτή αποσκοπεί στο να συµβάλει στην κατανόηση, και συνάµα στην απόδοση µε ποσοτικούς όρους, των φυσικών διαδικασιών που διέπουν τη µορφολογική εξέλιξη ενός ηφαιστείου. A MATHEMATICAL MODEL OF THE EVOLUTION OF AN ACTIVE/DEAD VOLCANO Georgios Aim. Skianis and Dimirios Vaiopoulos Universiy of Ahens, Faculy of Geology, Remoe Sensing Laboraory Absrac In he presen paper is formulaed he differenial equaion which describes he morphological evoluion of a volcano, in wo dimensions. This differenial equaion is solved wih he boundary condiion of a null elevaion a a very large disance from he craer of he volcano. The physical meaning of his condiion is ha he volcano is locaed a a coninenal environmen and i does no exis any mechanism of mass removal from he landform. Differen iniial condiions and forms of he funcion which describes he ransporaion and deposiion of he volcanic maerial, give differen soluions of he differenial equaion. Making proper graphs and characerisic curves, i is sudied how are he shape and dimensions of he landform influenced by erosion and volcanic aciviy. The resuls and conclusions of his paper may help in undersanding, in quaniaive erms, he naural processes which conrol he morphological developmen of a volcano. Λέξεις κλειδιά: διαφορική εξίσωση, συντελεστής διάβρωσης, συνάρτηση µεταφοράς Key words: differenial equaion, erosion coefficien, ransfer funcion 1. Εισαγωγή Εδώ και τέσσερις περίπου δεκαετίες έχει διατυπωθεί η σκέψη ότι είναι δυνατό να περιγραφεί µαθηµατικά η χρονική εξέλιξη γεωµορφών µε βάση την αρχή διατήρησης της ύλης, όπως αυτή εκφράζεται µε την εξίσωση της συνέχειας, σε συνδυασµό µε κάποια µαθηµατική σχέση που να συνδέει την κλίση της γεωµορφής µε το ρυθµό µεταφοράς υλικού κατά µήκος της κλιτύος (Culling 1960, Scheidegger Από τότε αυτή η προσέγγιση έχει εφαρµοστεί στη µοντελοποίηση της µορφολογικής εξέλιξης κλιτύων στις δυο διαστάσεις (Culling 1963, 1965, Kirkby 1971, Hirano 1975, Trofimov & Moskovkin 1984, Ahner 1976, 1987, Fernandes & Dierich 1997, σε τρισδιάστατους ορεινούς όγκους (Culling 1963, Hirano 1976, Βαϊόπουλος κ.α. 001, σε λεκάνες απορροής (Armsrong 1976, Willgoose e. al. 1990, Howard 1994, καθώς και σε γεωµορφές µεγάλης κλίµακας σε ευρύτερη περιφερειακή ή ηπειρωτική κλίµακα (Howard e. al. 1994, Kooi & Beaumon 1996, Kirkby εν έχουµε συναντήσει, στη διεθνή βιβλιογραφία, εργασίες πάνω στη µαθηµατική µοντελοποίηση της µορφολογικής εξέλιξης ηφαιστείων. Σε πρόσφατη εργασία µας (Βαϊόπουλος κ.α. 00, προσδιορίσαµε τη µορφή ηφαιστειακού κώνου σε κατάσταση ισορροπίας, κατά την οποία αποµακρύνεται µάζα από το σύστηµα. Επίσης, επιχειρήσαµε µαθηµατική περιγραφή της χρονικής εξέλιξης ηφαιστείου σε νησιωτική περιοχή, εισάγοντας µια συνάρτηση µεταφοράς και απόθεσης ηφαιστειακού υλικού στις κλιτύες του ηφαιστείου (Skianis e. al Η διαφορική εξίσωση της εξέλιξης της γεωµορφής επιλύθηκε µε τη

2 συνοριακή συνθήκη του µηδενισµού του υψοµέτρου στις ακτές της νησιωτικής περιοχής. Η συνθήκη αυτή έχει προταθεί από τον Culling 1963 για τη µελέτη της µορφολογικής εξέλιξης ηφαιστειονησίδας, όµως δεν ενδείκνυται στην περίπτωση ηφαιστείου που βρίσκεται σε χερσαίο περιβάλλον χωρίς να υπάρχει κάποιος µηχανισµός αποµάκρυνσης µάζας. Στην παρούσα εργασία επιχειρείται η µαθηµατική περιγραφή της µορφολογικής εξέλιξης ηφαιστείου, χωρίς να υπάρχει µηχανισµός αποµάκρυνσης µάζας. Η µόνη συνοριακή συνθήκη είναι αυτή του µηδενισµού του υψοµέτρου στις πολύ µεγάλες αποστάσεις από τον κρατήρα, καθώς η εµβέλεια του εκτοξευόµενου πυροκλαστικού υλικού είναι περιορισµένη. Η εργασία αυτή αποσκοπεί στο να συµβάλει στην κατανόηση, και συνάµα στην απόδοση µε ποσοτικούς όρους, των φυσικών διαδικασιών που διέπουν τη µορφολογική εξέλιξη ενός ηφαιστείου.. Η διαφορική εξίσωση της µορφολογικής εξέλιξης του ηφαιστείου Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την εξέλιξη γεωµορφής, έχει γενικά την παρακάτω µορφή (Lawrence 1996: y = (. qm + F (1 y είναι το υψόµετρο σηµείου της επιφάνειας της γεωµορφής, q είναι η ροή του αποσαθρωµένου υλικού, m είναι µοναδιαίο διάνυσµα µε διεύθυνση τη βαθµίδα της συνάρτησης που περιγράφει την επιφάνεια της γεωµορφής και F είναι µια συνάρτηση που εκφράζει την προσφορά µάζας ή/και ενέργειας στη γεωµορφή από εξωτερική πηγή. Στο δισδιάστατο µοντέλο του ηφαιστείου, F είναι η συνάρτηση µεταφοράς Trsf( που εκφράζει τη µεταφορά µάγµατος από το µαγµατικό θάλαµο του ηφαιστείου και την απόθεση λάβας και πυροκλαστικού υλικού στις κλιτύες. x είναι η οριζόντια συνιστώσα της θέσης σηµείου επί της κλιτύος του ηφαιστείου ως προς τον κρατήρα. Η εξίσωση (1 λαµβάνει τώρα τη µορφή: y( q( = + Trsf ( ( x Η ροή q θεωρείται συνήθως ανάλογη της κλίσης της κλιτύος (Culling 1963, Hirano 1976, Fernandes & Dierich 1997, οπότε ισχύει: y q = K (3 x K είναι ο συντελεστής διάβρωσης, που εκφράζει την ταχύτητα µε την οποία µεταφέρεται αποσαθρωµένο υλικό από τα µεγαλύτερα προς τα µικρότερα υψόµετρα. Από τις σχέσεις ( και (3, συνάγεται ότι: y y = K + Trsf ( (4 x Αν δεν υπάρχει κάποιος µηχανισµός αποµάκρυνσης µάζας από τη γεωµορφή (για παράδειγµα ένας ποταµός στους πρόποδες που να συµπαρασύρει το αποσαθρωµένο υλικό που έχει µεταφερθεί ως εκεί, τότε η µόνη εύλογη συνοριακή συνθήκη που µπορεί να τεθεί είναι αυτή του πρακτικού µηδενισµού του υψοµέτρου σε πολύ µεγάλη απόσταση από τον κρατήρα του ηφαιστείου, η οποία εκφράζεται ως: lim x ± y( = 0 (5 Για την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης, χρειάζεται επίσης µια αρχική συνθήκη, που να περιγράφει την κατατοµή f(x του ηφαιστείου σε χρόνο =0. Η αρχική αυτή συνθήκη εκφράζεται ως: y( =0 = f(x (6 Η λύση της µερικής διαφορικής εξίσωσης (4, µε τη συνοριακή συνθήκη (5 και την αρχική συνθήκη (6 είναι γνωστή από τη βιβλιογραφία, για Κ ίσο µε τη µονάδα (Τραχανάς 001. Ακολουθώντας την ίδια µεθοδολογία και πραγµατοποιώντας τις απαραίτητες προσαρµογές για K 1, αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση που περιγράφει τη µορφολογική εξέλιξη του ηφαιστείου είναι η: ( x x' exp + 1 ( x x' = 4K y( exp f ( x' + Trsf ( x', ' d' (7 πk 4K 0 πk( '

3 Με βάση τη σχέση (7, είναι δυνατό να περιγραφεί η µορφολογική εξέλιξη του ηφαιστείου ως προς το χρόνο, για διάφορες αρχικές συνθήκες και για διάφορες µορφές ηφαιστειακής δραστηριότητας. 3. Μορφολογική εξέλιξη σβησµένου ηφαιστείου Στην περίπτωση του σβησµένου ηφαιστείου, η συνάρτηση µεταφοράς Trsf είναι µηδενική οπότε η σχέση (7 γίνεται: 1 ( x x' y( = exp f ( x' (8 πk 4K Η αρχική κατατοµή f(x του ηφαιστείου, σε χρόνο =0, µπορεί να περιγραφεί από την παρακάτω συνάρτηση: y0 y0 x x 1/ y0 f ( x = (9 0 x > 1/ y0 Η συνάρτηση αυτή αναπαριστάνεται γραφικά στο Σχήµα 1. Σχήµα 1. Το ηφαίστειο στην αρχική του κατάσταση Στο Σχήµα παρουσιάζονται οι κατατοµές του ηφαιστείου σε διάφορες χρονικές στιγµές. Στο Σχήµα 3, αναπαριστάνεται η µεταβολή του µέγιστου υψοµέτρου ως προς το χρόνο. Από τα δυο αυτά σχήµατα είναι φανερό ότι όταν επιδρούν µόνο διαβρωτικές διεργασίες, µειώνεται ως προς το χρόνο τόσο το υψόµετρο της κορυφής όσο και η κλίση των κλιτύων. Οι πτωτικές αυτές τάσεις είναι εντονότερες, στο βαθµό που αυξάνεται ο συντελεστής διάβρωσης K. Σχήµα. Κατατοµές του ηφαιστείου για διάφορες χρονικές στιγµές. y 0 =1, K=1

4 Σχήµα 3. Μεταβολή του µεγίστου υψοµέτρου ως προς το χρόνο. y 0 =1, K=1 Οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης (4 για τη µορφολογική εξέλιξη του σβησµένου ηφαιστείου, συµφωνούν, µε ποιοτικούς όρους, τόσο µε τη συµπεριφορά του ηφαιστειακού κώνου µε ακτινική συµµετρία (Βαϊόπουλος κ.α. 00, όσο και µε αυτήν του δισδιάστατου µοντέλου ηφαιστείου πάνω σε νησί (Skianis e.al Οι διαφορές συνίστανται στο ότι στο τρισδιάστατο µοντέλο του ηφαιστειακού κώνου η διάβρωση είναι ταχύτερη απ ότι στις δυο διαστάσεις, ενώ στο δισδιάστατο µοντέλο του ηφαιστείου σε νησί ο ρυθµός διάβρωσης εξαρτάται, εκτός από το K, και από την οριζόντια διάσταση της νήσου. Στο βαθµό που µειώνεται η οριζόντια διάσταση, αυξάνεται ο ρυθµός διάβρωσης. 4. Μορφολογική εξέλιξη ενεργού ηφαιστείου Στην περίπτωση του ενεργού ηφαιστείου, η συνάρτηση µεταφοράς είναι διάφορη του µηδενός. Σε µια πρώτη προσέγγιση, µπορεί να θεωρηθεί ότι ο ρυθµός απόθεσης λάβας και πυροκλαστικού υλικού είναι σταθερός ως προς το χρόνο και ότι το πάχος του αποτιθέµενου υλικού στις κλιτύς µειώνεται όσο αυξάνεται η απόσταση από τον κρατήρα. Αυτά τα δυο αιτήµατα ικανοποιούνται αν η συνάρτηση µεταφοράς έχει τη µορφή: Trsf ( Trsf ( x = T.exp( cx (10 T είναι ο ρυθµός απόθεσης υλικού στην αµέσως γύρω από τον κρατήρα. c είναι µια θετική ποσότητα από την οποία εξαρτάται το πάχος του αποτιθέµενου υλικού στις κλιτύς. Στο βαθµό που αυξάνεται το,c το υλικό αποτίθεται σε µικρές αποστάσεις από τον κρατήρα. Στο βαθµό που µειώνεται αυτή η ποσότητα, το πυροκλαστικό υλικό αποτίθεται τόσο σε µικρές,όσο και σε µεγαλύτερες αποστάσεις. Η αρχική κατατοµή του ηφαιστείου περιγράφεται, και σε αυτήν την περίπτωση, από τη συνάρτηση f(x της σχέσης (9. Η µορφολογική εξέλιξη του ηφαιστείου περιγράφεται από τη σχέση (7, η οποία, δυνάµει της σχέσης (10, λαµβάνει τη µορφή: ( x x' exp + 1 ( x x' = 4K y( exp f ( x' +. T.exp( cx' d' (11 πk 4K 0 πk ( ' Έστω Ι το διπλό ολοκλήρωµα στο δεξιό µέλος της σχέσης (11. Το I µπορεί να εκφραστεί ως: I = 0 1 x.{ T.exp. πk ( ' 4K( ' Είναι γνωστό (Spiegel 1978 ότι: π b exp( ax + bx dx =.exp( a 4a [1 + 4Kc( '] x' exp 4K( ' όπου a θετικός πραγµατικός αριθµός και b πραγµατικός αριθµός. υνάµει της σχέσης (13, το γενικευµένο ολοκλήρωµα της σχέσης (1 γίνεται: xx' + } d 4K( ' (1 (13

5 [1 + 4Kc( '] x' xx' 4Kπ ( ' x exp + = exp + 4K( ' 4K( ' 1 4Kc( ' 4K( '.[1 + 4Kc( '] (14 Από τις σχέσεις (1 και (14 συνάγεται ότι: T cx I = exp d' (15 + Kc 1+ 4Kc( ' ( ' Από τις σχέσεις (11 και (15 συνάγεται η έκφραση για τη µορφολογική εξέλιξη του ενεργού ηφαιστείου, που είναι η: 1 1 ( x x' T cx y( = exp f ( x' + exp d' (16 πk 4K ( ' Kc( ' Kc Στο Σχήµα 4 παρουσιάζονται τοµές του ηφαιστείου σε διάφορες χρονικές στιγµές, µε βάση τη σχέση (16, και θεωρώντας ότι στο χρόνο =0 το υψόµετρο y 0 είναι µηδενικό. Παρατηρούµε ότι µε την πάροδο του χρόνου αυξάνονται οι διαστάσεις του ηφαιστείου. Σχήµα 4. Μορφολογική εξέλιξη ηφαιστείου. y 0 =1, T=1, K=1, c=1. Η µελέτη της µεταβολής του µέγιστου υψοµέτρου y(0, ως προς το χρόνο µπορεί να δώσει ενδιαφέρουσες πληροφορίες για την εξέλιξη του ηφαιστείου και για τις παραµέτρους που την επηρεάζουν. Με βάση τη σχέση (16, η συνάρτηση y(0,, µε µηδενικό αρχικό υψόµετρο y 0, περιγράφεται από το ολοκλήρωµα: T y( 0, = d' ( Kc( ' 0 Εύκολα αποδεικνύεται ότι τελικά η έκφραση για το µέγιστο υψόµετρο y(0, είναι η: T y ( 0, = ( 1+ 4Kc 1 (18 Kc (y 0 =0 Στο Σχήµα 5 αναπαριστάνεται γραφικά η µεταβολή του µέγιστου υψοµέτρου y(0, ως προς το χρόνο, µε βάση τη σχέση (18. Παρατηρούµε ότι το υψόµετρο παρουσιάζει µια αυξητική τάση η οποία µειώνεται µε την πάροδο του χρόνου, όµως παραµένει ανοδική, χωρίς να τείνει ασυµπτωτικά σε µια σταθερή τιµή. Αυτό σηµαίνει ότι στο µοντέλο του ενεργού ηφαιστείου χωρίς µηχανισµό αποµάκρυνσης µάζας, δεν υπάρχει κατάσταση δυναµικής ισορροπίας και οι διαστάσεις της γεωµορφής αυξάνονται µε την πάροδο του χρόνου. Κατάσταση ισορροπίας προβλέπεται µε βάση το µοντέλο του ηφαιστείου σε νήσο (Skianis e.al. 003, σύµφωνα µε το οποίο το αποσαθρωµένο υλικό αποµακρύνεται από την παράκτια περιοχή.

6 Στο Σχήµα 5 παρατηρούµε επίσης ότι η ανοδική τάση του υψοµέτρου είναι εντονότερη, στο βαθµό που αυξάνεται η τιµή της παραµέτρου T, δηλαδή αυξάνεται ορυθµός µεταφοράς υλικού από το θάλαµο του ηφαιστείου προς τον κρατήρα. Σχήµα 5. Μεταβολή του µεγίστου υψοµέτρου ως προς το χρόνο, για διάφορες τιµές της παραµέτρου Τ. y 0 =0, K=1, c=1. Στο Σχήµα 6 παρουσιάζεται γραφικά η χρονική µεταβολή του υψοµέτρου, για διάφορες τιµές του γινοµένου Kc. Σχήµα 6. Χρονική µεταβολή του µεγίστου υψοµέτρου για διάφορες τιµές του γινοµένου Kc. y 0 =0, T=1. Παρατηρούµε ότι στο βαθµό που αυξάνεται το γινόµενο Kc περιορίζεται η ανοδική τάση του µεγίστου υψοµέτρου. Από φυσική άποψη, αυτό υποδηλώνει ότι οι διαβρωτικές διεργασίες, που εκφράζονται ποσοτικά µε το συντελεστή K, δρούν ανασταλτικά ως προς την αύξηση του υψοµέτρου, καθώς µέσω αυτών µεταφέρεται υλικό από τα µεγαλύτερα προς τα µικρότερα υψόµετρα. Ο συντελεστής c είναι µέτρο της διασποράς της λάβας και του πυροκλαστικού υλικού γύρω από τον κρατήρα. Χαµηλές τιµές του c υποδηλώνουν διασπορά του υλικού σε µεγάλες αποστάσεις γύρω από τον κρατήρα, η οποία ευνοεί την ταχεία αύξηση του υψοµέτρου. Η σχέση (18 εκφράζει τη χρονική µεταβολή του υψοµέτρου όταν στο χρόνο =0 το µέγιστο υψόµετρο y 0 είναι µηδενικό. Από φυσική άποψη, αυτό µπορεί να υποδηλώνει τη χρονική στιγµή κατά την οποία αρχίζει ο σχηµατισµός του ηφαιστείου. Ενδιαφέρον έχει και η περίπτωση κατά την οποία στο χρόνο =0 το ηφαίστειο είναι ήδη σχηµατισµένο (y 0 0, οπότε η κατατοµή του προσεγγίζεται από αυτήν του Σχήµατος 1. Στην περίπτωση αυτή, η χρονική εξέλιξη του µεγίστου υψοµέτρου περιγράφεται, κατά βάση, από τη σχέση (11, θέτοντας x = 0 και αντικαθιστώντας το ολοκλήρωµα ως προς το χρόνο µε το δεξιό µέλος της σχέσης (18. Εποµένως, η έκφραση για τη χρονική εξέλιξη του µεγίστου υψοµέτρου είναι η:

7 1 1 x' T y(0, = exp f ( x' + ( 1+ 4Kc 1 (19 πk 4 1 K Kc όπου η συνάρτηση f στο ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους ορίζεται από τη σχέση (9. Στο Σχήµα 7 παρουσιάζεται η µεταβολή του µεγίστου υψοµέτρου ως προς το χρόνο, µε βάση τη σχέση (19. Στις σχετικά µεγάλες τιµές εκδηλώνεται η ανοδική τάση που εµφανίζεται και στα Σχήµατα 5 και 6. Στις µικρές τιµές εκδηλώνεται µια καθοδική τάση, που υποδηλώνει ότι σε αυτό το χρονικό διάστηµα υπερτερούν οι διαβρωτικές διεργασίες των διεργασιών απόθεσης λάβας και πυροκλαστικού υλικού. Σχήµα 7. Μεταβολή του µεγίστου υψοµέτρου ως προς το χρόνο. y 0 =1, T=1, K=1, c=1. Γενικά, η µορφολογική εξέλιξη του ηφαιστείου εξαρτάται από την αρχική του κατάσταση f(x και από τις τιµές των παραµέτρων Τ, Κ και c. Ο συντελεστής διάβρωσης K τείνει να ελαττώσει το υψόµετρο µε την πάροδο του χρόνου. Μεγάλες τιµές της παραµέτρου T ευνοούν την αύξηση του υψοµέτρου ως προς το χρόνο. Μεγάλες τιµές της παραµέτρου c δεν ευνοούν την αύξηση του υψοµέτρου ως προς το χρόνο, όχι όµως και την αύξηση του υψοµέτρου µακριά από τον κρατήρα. 5. Συµπεράσµατα Από τη µαθηµατική µελέτη της µορφολογικής εξέλιξης ηφαιστείου, προκύπτουν τα παρακάτω συµπεράσµατα: Η µορφολογική εξέλιξη του ηφαιστείου καθορίζεται από την αρχική του κατάσταση f(x, το συντελεστή διάβρωσης Κ και τους συντελεστές T και c της συνάρτησης µεταφοράς Trsf. Το υψόµετρο του σβησµένου ηφαιστείου µειώνεται µε το χρόνο και η γεωµορφή τείνει να ισοπεδωθεί. Το υψόµετρο του ενεργού ηφαιστείου αυξάνεται µε το χρόνο. Αν δεν υπάρχει µηχανισµός αποµάκρυνσης µάζας, η ανοδική τάση παραµένει χωρίς να αποκατασταθεί δυναµική ισορροπία. Ο συντελεστής διάβρωσης Κ δρα ανασταλτικά ως προς την αύξηση του υψοµέτρου. Στο βαθµό που αυξάνεται η παράµετρος T, που εκφράζει το ρυθµό αύξησης του πάχους του υλικού που αποτίθεται αµέσως γύρω από τον κρατήρα, εντείνεται η ανοδική τάση του υψοµέτρου ως προς το χρόνο. Η παράµετρος c, στο βαθµό που αυξάνεται, δρα επίσης ανασταλτικά ως προς την αύξηση του υψοµέτρου µε την πάροδο του χρόνου. Τα πορίσµατα της παρούσας εργασίας µπορούν να συµβάλουν στην κατανόηση, και συνάµα στην απόδοση µε ποσοτικούς όρους, των φυσικών διαδικασιών που διέπουν τη µορφολογική εξέλιξη ενός ηφαιστείου. Βιβλιογραφία Ahner, F., 1976: Brief descripion of a comprehensive hree-dimensional model of landform developmen. Zeischrif für Geomorphologie, NF Supplemen Band 5, 9-49 Ahner, F., 1987: Approaches o dynamic equilibrium in heoreical simulaions of slope developmen. Earh Processes and Landforms 1, 3-15 Armsrong, A., 1976: A hree-dimensional model of slope forms. Zeischrif für Geomorphologie, NF Supplemen Band 5, 0-8

8 Βαϊόπουλος,., Σκιάνης, Γ. Αιµ. και Τσαρµπός, Β., 001: Ένα τρισδιάστατο µοντέλο µορφολογικής εξέλιξης ορεινού όγκου εξαιτίας διαβρωτικών διεργασιών. Πρακτικά του 9 ου ιεθνούς Συνεδρίου της Ελληνικής Γεωλογικής Εταιρίας, Αθήνα, Σεπτέµβριος 001, Τόµος 1, σελ Βαϊόπουλος,., Σκιάνης, Γ. Αιµ. και Τσαρµπός, Β., 00: Μαθηµατική µελέτη της µορφολογικής εξέλιξης ηφαιστειακού κώνου, εξαιτίας διαβρωτικών διεργασιών. Πρακτικά του 6 ου Πανελληνίου Γεωγραφικού Συνεδρίου της Ελληνικής Γεωγραφικής Εταιρίας, Θεσσαλονίκη, 3-6 Οκτωβρίου 00, Τόµος. II, σελ Culling, W. E. H., 1960: Analyical heory of erosion. Journal of Geology 68, Culling, W. E. H., 1963: Soil creep and he developmen of hill-side slopes. Journal of Geology 71, Culling, W. E. H., 1965: Theory of erosion on soil-covered slopes. Journal of Geology 73, Fernandes, N. F., and Dierich, W. E., Hillslope evoluion by diffusive processes: The imescale from equilibrium adjusmens. Waer Resources Research 33 (6, Flemings, P. B., and Grozinger, J. P., 1996: STRATA: Freeware for analyzing classic sraigraphic problems. GSA TODAY 6 (1, 1-7 Hirano, M., 1975: Simulaion of developmen processes of inerfluvial slopes wih reference o graded form. Journal of Geology 83, Hirano, M., 1976: Mahemaical model and he concep of equilibrium in connecion wih slope shear raio. Zeischrif für Geomorphologie, NF Supplemen Band 5, Howard, A. D., 1994: A deachmen-limied model of drainage basin evoluion. Waer Resources Research 30, Howard, A. D., Dierich, W. E., Seidl, M. A., Modeling fluvial erosion on regional o coninenal scales. Journal of Geophysical Research 99 (B7, Kirkby, M. J., 1971: Hillslope process-response models based on he coninuiy equaion. In: D. Brunsden (Edior, Slopes: Form and Process. Insiue Insiue of Briish Geographers, Special Publicaion 3, Kirkby, M. J., 1999: Landscape Modelling a Regional o Coninenal Scales. In: S. Hergaren and H. Neugebauer (Ediors, Process Modelling and Landform Evoluion. Springer Kooi, H., and Beaumon, C., 1996: Large-scale geomorphology: Classical conceps reconciled and inegraed wih emporary ideas via a surfaced process model. Journal of Geophysical Research, 101 (B, Lawrence, D. S. L., 1996: Physically Based Modelling and he Analysis of Landscape Developmen. In he Scienific Naure of Geomorphology: Proceedings of he 7 h Binghamon Symposium in Geomorphology, 7-9 Sepember 1996, edied by Bruce L. Rhoads and Colin E. Thorn. John Wiley & Sons Ld McKean, J. A., Dierich, W. E., Finkel, R. C., Souhon, J. R., and Caffee, M. W., 1993: Quanificaion of soil producion and downslope creep raes from cosmogenic 10 Be accumulaions on a hillslope profile. Geology 1, Nash, D., 1980: Morphologic daing of degraded normal faul scarps. Journal of Geology 88, Scheidegger, A. E., Mahemaical models of slope developmen. Bullein of he Geological Sociey of America 7, Skianis, G. Aim., Vaiopoulos, D., and Tsarbos, V., 003: A mahemaical model for he evoluion of a volcano on an island. Poser conribuion on SAAVA 003, Milos, Sepember 003. Spiegel, M. R., 1976: Μαθηµατικό Τυπολόγιο. ΕΣΠΙ. Αθήνα. Τραχανάς, Σ., 001: Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις. Εκδόσεις Πανεπιστηµίου Κρήτης. Trofimov, A. M. and Moskovkin, V. M., 1984: Diffusion models of slope developmen. Earh Surface Processes and Landforms 9, Willgoose, G., Bras, R. L., and Rodriguez-Iurbe, I., 1990: A model of river basin evoluion. EOS, Transacions of he American Geophysical Union 71,

9