( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ)"

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Χ. ΑΜΙΑΝΟΥ, Ν. ΠΑΠΑ ΑΤΟΣ, Χ. Α. ΧΑΡΑΛΑΜΠΙ ΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ 003

2 Στη Ρίτα Στη Χρυούλα Στη Λέα

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ατί Προλόγου ΜΕΡΟΣ Α ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ. ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ 3. ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 0 4. ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ, ΙΑΤΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΙ 3 5. ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 8 6. ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 9 7. ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 8 8. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΟΚΙΜΕΣ 43 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜHΣ 57. ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 6 3. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 68 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 79. ΚΑΤΑΝΟΜΗ BERNOULLI ΚΑΙ ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗ PASCAL ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON 97 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 3 03

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 07. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ERLANG 0 3. ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 7 4. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ POISSON ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 6 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ, ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 4. ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗ Ι ΙΟΤΗΤΑ ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 47 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ ΜΕΡΟΣ Β ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Β ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. ΕΙΣΑΓΩΣΗ 57. ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΤΡΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 79. ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΘΕΣΗΣ Η ΤΑΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΙΑΣΠΟΡΑΣ Η ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΘΗΚΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΣΜΟΙ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΜΕΤΡΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 00 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 7 0

5 Β ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΥΧΑΙΟ ΕΙΓΜΑ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΤΥΧΑΙΟ ΕΙΓΜΑ 3. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΕΣ 5 3. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΙΑΣΠΟΡΑΣ 8 4. ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ ΙΑΣΠΟΡΑ 5. ΣΥΝΕΠΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 8 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΓΝΩΣΤΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΜΕ ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 9. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΡΟΕΡΧΟΜΕΝΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗ 3 3. ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 37 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΛΕΓΧΩΝ 53. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΜΕΣΟ ΤΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΦΟΡΑ ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΑΠΟ ΥΟ 65 ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ 83 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 89 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 97

6 Ατί Προλόγου Οι διδακτικές αυτές ηµειώεις προήλθα κατόπι υγκεραµού τω απόψεω τω υγγραφέω χετικά µε τη ιδακαλία της Στατιτικής και τω Πιθαοτήτω ε φοιτητές εκτός του Μαθηµατικού Τµήµατος. Από τη µια µεριά η πολυετής διδακτική εµπειρία δύο εκ τω διδακότω και από τη άλλη η προπάθεια για όο το δυατό απλή και καταοητή παρουίαη τω Θεµελιωδώ Στατιτικώ Νόµω, είχε ως αποτέλεµα πιτεύουµε εποικοδοµητικό τη παρούα µορφή του κειµέου. Οι ηµειώεις χωρίζοται ε δύο βαικά µέρη: Το Μέρος Α που πραγµατεύεται, χετικά λεπτοµερώς, τις βαικές αρχές τω Πιθαοτήτω, και το Μέρος Β που τη ουία αποτελεί µία πολύ πρωταρχική προέγγιη τη Στατιτική. Α και το πρώτο µέρος εδέχεται α δυκολέψει ελαφρώς τους όχι και τόο καλά καταρτιµέους ααγώτες, ετούτοις θεωρήαµε απαραίτητη τη αρκετά εκτεή αάπτυξή του για δύο κυρίως λόγους: α επειδή η Στατιτική δε µπορεί α διδαχθεί και α εφαρµοτεί ωτά χωρίς τη καταόηη τω θεµελιωδώ εοιώ και ιδιοτήτω τω Πιθαοτήτω, και β επειδή θεωρήαµε ότι ακόµα και α κριθεί ααγκαίο α µη διδαχθού οριµέα εδάφια τη διάρκεια εός εξαµήου, ετούτοις θα ήτα χρήιµο α υµπεριλάβου οι εδιαφερόµεοι φοιτητές τις ηµειώεις αυτές τη βιβλιοθήκη τους, ε περίπτωη που θα χρειατεί α αατρέξου αργότερα. Σηµειώεται ότι το Κεφάλαιο, που είαι το εκτεέτερο τω Κεφαλαίω -5 τα οποία αποτελού το Μέρος Α τω Πιθαοτήτω, έγιε προπάθεια α υγκετρωθού όλες οι απαραίτητες τοιχειώδεις γώεις τω Πιθαοτήτω, έτι ώτε α είαι προιτό και, ίως, χρήιµο ακόµα και ε τελειόφοιτους µαθητές Λυκείου. Στα Κεφάλαια -4 ααπτύεται η βαική θεωρία τυχαίω µεταβλητώ, εώ το 5 ο Κεφάλαιο ααπτύοται χωρίς αποδείξεις κάποια από τα κάπως προχωρηµέα αποτελέµατα της Θεωρίας Πιθαοτήτω Κετρικό Οριακό Θεώρηµα, Νόµος τω Μεγάλω Αριθµώ, Αεξαρτηία Τυχαίω Μεταβλητώ, µε τόχο τη µετέπειτα αξιοποίηή τους από τη Στατιτική. Το Μέρος Β της Στατιτικής χωρίζεται ε δύο εδάφια, τη Περιγραφική Στατιτική Κεφάλαια 6 και 7 και τη Στατιτική Συµπεραµατολογία Κεφάλαια 8-0. Το περιεχόµεο της Περιγραφικής Στατιτικής, µπορεί α θεωρηθεί χετικά αυτόοµο, και έτι είαι δυατό είτε α µη διδαχθεί, είτε α διδαχθεί τη αρχή του εξαµήου. Η γώη και καταόηη ε βάθος του εδαφίου που αποτελείται από τα Κεφάλαια 8 έως 0 είαι τη ουία ο βαικός τόχος τω διδακτικώ αυτώ ηµειώεω, ακριβώς επειδή απευθύοται ε µελλοτικούς εφαρµοµέους επιτήµοες φοιτητές Βιολογίας, Γεωλογίας, Φυικής, Φαρµακευτικής, Ιατρικής, Πληροφορικής κ.ο.κ., οι οποίοι εδέχεται α χρηιµοποιήου τη επιτήµη τους τατιτικές µεθόδους. Για το λόγο αυτό, έγιε προπάθεια α περιληφθεί τις ηµειώεις χετικά µεγάλος αριθµός παραδειγµάτω, εφαρµογώ και ακήεω που χετίζοται µε τα εδιαφέροτα τω εφαρµοµέω επιτηµόω, δεδοµέου ότι το εδιαφέρο για τη Στατιτική τις επιτήµες αυτές

7 επικετρώεται τους Ελέγχους Στατιτικώ Υποθέεω, το δε επιδιωκόµεο αποτέλεµα είαι η εξαγωγή αφαλώ υµπεραµάτω. Έτι, θα µπορούαµε α πούµε ότι το εδιαφέρο του εφαρµοµέου ααγώτη θα πρέπει α επικετρωθεί το εδάφιο της Εκτιµητικής Κεφάλαια 8-0. Όµως, όπως εύκολα διαπίτωε όποιος προπάθηε α εµβαθύει τις Στατιτικές έοιες, αυτό δε είαι δυατό χωρίς τη χετικά άρτια γώη τω Πιθαοτήτω. Εποµέως, θεωρήαµε απαραίτητη τη παρούα µορφή του κειµέου. Από τη άλλη µεριά, θα παρατηρήει καείς ότι το εύρος τω Στατιτικώ Μεθόδω που παρουιάζοται τις ηµειώεις είαι χετικά έως πολύ περιοριµέο, υγκριόµεες µε ατίτοιχα βιβλία ή ηµειώεις Στατιτικής που κυκλοφορού τη Ελλάδα και το εξωτερικό. Αυτό πιτεύουµε ότι, ως έα βαθµό, θα ατιµετωπιτεί το µέλλο µε τη προθήκη εδαφίω χετικώ µε τη γραµµική παλιδρόµηη και τη αάλυη διαποράς, α και κατά τη άποψή µας, δε θα πρέπει α «θυιάζεται» η ποιότητα της γώης το «βωµό» της ποότητας. Στο ηµείο αυτό θα θέλαµε α εκφράουµε τις θερµότερες ευχαριτίες µας προς τη κα Ρόζα Γαρδέρη, Γραµµατέα του Τοµέα Στατιτικής και Επιχειρηιακής Έρευας του Τµήµατος Μαθηµατικώ του Παεπιτηµίου Αθηώ, για τη άψογη δακτυλογράφηη, καθώς επίης και προς το κο Αλκαίο Σουγιούλ, Μεταπτυχιακό φοιτητή του Τµήµατος, για τη επιµέλεια του Εξωφύλλου και τη πολύτιµη βοήθειά του ε ποικίλα τεχικά θέµατα. Εξυπακούεται ότι παρατηρήεις και υποδείξεις για βελτίωη τω ηµειώεω είαι ευπρόδεκτες και επιθυµητές από τους υαδέλφους και από όλους τους ααγώτες. Αθήα, Ιούιος 003 Χ. αµιαού, Ν. Παπαδάτος, Χ.Α. Χαραλαµπίδης Τµήµα Μαθηµατικώ Παεπιτηµίου Αθηώ

8 Μέρος Α ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ H Θεωρία τω Πιθαοτήτω έχει ως ατικείµεο τη µελέτη µαθηµατικώ υποδειγµάτω προτύπω ή µοτέλω γωτώ ως τοχατικώ υποδειγµάτω τα οποία χρηιµοποιούται για τη περιγραφή τω τοχατικώ ή τυχαίω πειραµάτω ή φαιοµέω. Βαικό χαρακτηριτικό τω πειραµάτω αυτώ είαι ότι οι υθήκες κάτω από τις οποίες πραγµατοποιούται δε προκαθορίζου το αποτέλεµα αλλά µόο το ύολο τω δυατώ αποτελεµάτω. Στη αδυαµία προκαθοριµού του αποτελέµατος έγκειται το τοιχείο της τυχαιότητας. Έτι η ρίψη εός οµίµατος ή εός κύβου και η παρατήρηη του αποτελέµατος, όπως και η παρατήρηη του φύλου εογέητου ε µία ειρά γεήεω αποτελού τοχατικά τυχαία πειράµατα ή φαιόµεα. Ότα οι υθήκες κάτω από τις οποίες πραγµατοποιείται έα πείραµα ή εµφαίζεται έα φαιόµεο καθορίζου το αποτέλεµα, το πείραµα ή το φαιόµεο είαι γωτό ως αιτιοκρατικό ή προδιοριτικό. Για τη περιγραφή τούτω αρκού τα αιτιοκρατικά ή προδιοριτικά µαθηµατικά υποδείγµατα πρότυπα ή µοτέλα τα οποία αποτελού το ατικείµεο της µελέτης άλλω κλάδω της επιτήµης. Οι όµοι της βαρύτητας που περιγράφου τη πτώη εός ώµατος αποτελού έα τέτοιο µαθηµατικό υπόδειγµα µοτέλο.. ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ας θεωρήουµε έα τοχατικό τυχαίο πείραµα ή φαιόµεο ή πείραµα τύχης. Όπως έχουµε ήδη ηµειώει τη ειαγωγή, οι υθήκες κάτω από τις οποίες πραγµατοποιείται δε προκαθορίζου το αποτέλεµά του αλλά µόο το ύολο τω δυατώ αποτελεµάτω του. Παραδείγµατα τέτοιω πειραµάτω µε τα δυατά αποτελέµατα.α. που µπορεί α προκύψου είαι: α Η ρίψη εός οµίµατος µία φορά:.α.: κεφαλή κ, γράµµατα γ.

10 β Η ρίψη εός ζαριού και η παρατήρηη της έδειξης της άω έδρας του.α.:,, 3, 4, 5, 6. γ Η διαδοχική ρίψη εός οµίµατος µέχρι α εµφαιτεί η έδειξη κεφαλή κ δ Η ταυτόχροη ρίψη δύο ζαριώ.α.: κ, γκ, γγκ, γγγκ,....α.:,,,,...,,6,,,,,...,,6, ,, 6,,..., 6,6. ε Η επιλογή ατικειµέω από µία παραγωγική διαδικαία και ο προδιοριµός του αριθµού τω ελαττωµατικώ ατικειµέω.α.: 0,,,...,. τ Ο αριθµός τω εκπεµποµέω ωµατιδίω από µία τυχαία επιλεγόµεη ραδιεεργό πηγή ε υγκεκριµέο χροικό διάτηµα.α.: 0,,,.... ζ Ο χρόος λειτουργίας εός λαµπτήρα φωτιµού που επιλέγεται τυχαία από έα ύολο λαµπτήρω..α.: Κάθε µη αρητικός πραγµατικός αριθµός. Σχετικά ηµειώουµε ότι: Σύολο καλείται µία καλώς οριµέη υλλογή διακεκριµέω τοιχείω. Τα ύολα υµβολίζουµε µε τα κεφαλαία γράµµατα του αλφαβήτου µε δείκτες ή χωρίς δείκτες και τα τοιχεία που τα αποτελού µε τα µικρά πεζά γράµατα. Το γεγοός ότι το τοιχείο α αήκει το ύολο Α ηµειώουµε µε α A, εώ το γεγοός ότι το τοιχείο α δε αήκει το ύολο Α ηµειώουµε µε α A. Έα ύολο Α καλείται υπούολο εός υόλου Β α και µόο α κάθε τοιχείο του Α είαι και τοιχείο του Β. Το γεγοός αυτό υµβολίζεται µε A B. Α A B και υπάρχει τοιχείο του Β που δε αήκει το Α, τότε το Α καλείται γήιο υπούολο του Β. Για τη περίπτωη αυτή χρηιµοποιείται ο υµβολιµός A B. Το A B δε αποκλείει και το B A. Στη περίπτωη που ιχύου και οι δύο αυτές χέεις τα ύολα Α και Β αποτελούται από τα ίδια τοιχεία και καλούται ία και τούτο υµβολίζεται µε A B. Μετά τη ειαγωγή τω εοιώ αυτώ θέτουµε το ακόλουθο οριµό.

11 3 Οριµός.. ειγµατικός χώρος δ.χ. Ω εός τοχατικού ή τυχαίου πειράµατος ή φαιοµέου καλείται το ύολο τω δυατώ αποτελεµάτω του. Έα τοιχείο ω του δειγµατικού χώρου Ω καλείται δειγµατικό ηµείο. Ας ηµειωθεί ότι ε έα τοχατικό πείραµα είαι δυατό, αάλογα µε το καθοριµό τω δυατώ αποτελεµάτω, α οριθού περιότερα από έα ύολα δυατώ αποτελεµάτω. Στη περίπτωη αυτή αάλογα µε τις απαιτήεις του υγκεκριµέου προβλήµατος λαµβάεται το καταλληλότερο απ αυτά ως δειγµατικός χώρος. Πολλά παράδοξα έχου προκύψει από τη µη κατάλληλη επιλογή δειγµατικού χώρου. Το ηµείο αυτό διευκριίζεται περιότερο τα παραδείγµατα. Σηµειώουµε ακόµη ότι ο δειγµατικός χώρος Ω εός τοχατικού πειράµατος είαι είτε πεπεραµέος: Ω ω, ω,..., ω } είτε αριθµηίµως άπειρος: Ω ω, ω,...} είτε { N { µη αριθµήιµος. Στις δύο πρώτες περιπτώεις ο δειγµατικός χώρος Ω καλείται γεικά διακριτός ή απαριθµητός ή αριθµήιµος και τη τρίτη περίπτωη µη αριθµήιµος ή υπεραριθµήιµος τη ειδική περίπτωη που ο δειγµατικός χώρος αποτελείται από όλα τα ηµεία εός διατήµατος ή µιας ευθείας και άρα είαι υπεραριθµήιµος καλείται υεχής. Έτι, ο δειγµατικός χώρος για καθέα από τα παραπάω πειράµατα τύχης είαι: α Ω { κ, γ} β Ω {,,3,4,5,6 } γ Ω { κ, γκ, γγκ,...} δ Ω {,,,,...,6,6} ε Ω { 0,,,..., } τ Ω {0,,,...} ζ Ω { t: t 0} [0,. Όπως µπορούµε α διαπιτώουµε από τα παραπάω παραδείγµατα α, β, δ και ε οι ατίτοιχοι δειγµατικοί χώροι είαι πεπεραµέοι. Στα παραδείγµατα όµως γ και τ ο δειγµατικός χώρος Ω είαι της µορφής Ω { ω, ω, ω3,...} δηλαδή απειρούολο αλλά αριθµήιµο ύολο που τη ουία ατιµετωπίζεται κατά το ίδιο τρόπο όπως και οι πεπεραµέοι δειγµατικοί χώροι. Υπάρχου όµως και πειράµατα τα οποία ο δειγµατικός χώρος είαι µη αριθµήιµος, όπως το ζ όπου ο δ.χ. είαι το ύολο Ω [ 0, αφού όλοι οι χρόοι ω 0 µπορού α θεωρηθού ως απλά εδεχόµεα δυατά αποτελέµατα. Το ίδιο υµβαίει ότα µελετάµε το χρόο ε δευτερόλεπτα που θα χρειατεί έας αθλητής α τρέξει µια απόταη, το ύψος ε mm της βροχόπτωης ε µία περιοχή ε δεδοµέη χροική περίοδο κ.ά.,

12 4 αφού ε όλες αυτές τις περιπτώεις οι δ.χ. είαι υεχείς και άρα υπεραριθµήιµοι µη αριθµήιµοι. Οριµός.. Έτω Ω ο δειγµατικός χώρος εός τοχατικού πειράµατος. Έα υπούολο Α του Ω καλείται εδεχόµεο ως προς το δειγµατικό χώρο Ω. Ειδικά ο δειγµατικός χώρος Ω καλείται βέβαιο εδεχόµεο και το κεό ύολο καλείται αδύατο εδεχόµεο. Εα εδεχόµεο Α {ω}, που περιέχει έα µόο τοιχείο ω του δειγµατικού χώρου Ω, καλείται απλό ή τοιχειώδες εδεχόµεο εώ έα εδεχόµεο που περιέχει περιότερα από έα τοιχεία του δειγµατικού χώρου καλείται ύθετο εδεχόµεο. Σε µία εκτέλεη εός τοχατικού πειράµατος µε δειγµατικό χώρο Ω έα εδεχόµεο Α πραγµατοποιείται α και µόο α το αποτέλεµα της εκτέλεης του πειράµατος αυτού είαι τοιχείο ω που αήκει το Α. Εδιαφέρο, τόο από θεωρητική άποψη όο και από άποψη εφαρµογώ, παρουιάζου εδεχόµεα τα οποία προκύπτου µετά από υολοθεωρητικές πράξεις µεταξύ εδεχοµέω. Τα βαικότερα από τα εδεχόµεα αυτά είαι τα ακόλουθα. Η έωη δύο εδεχοµέω υόλω Α και Β ως προς έα δειγµατικό χώρο Ω είαι το εδεχόµεο A B { ω Ω: ω A ή ω B}, της πραγµατοποίηης εός τουλάχιτο από τα εδεχόµεα Α και Β. Γεικότερα, η έωη τω εδεχοµέω A, A,..., A είαι το εδεχόµεο A A L A { ω Ω : ω για έα τουλάχιτο δείκτη j,,..., }, της πραγµατοποίηης εός τουλάχιτο από τα εδεχόµεα A j Περαιτέρω, η έωη τω εδεχοµέω A, A,..., A,... είαι το εδεχόµεο A j A...,, A, A. A A L A { ω Ω: ω για έα τουλάχιτο δείκτη j,,...}, L της πραγµατοποίηης εός τουλάχιτο από τα εδεχόµεα A, A,..., A,... Η τοµή δύο εδεχοµέω υόλω Α και Β ως προς έα δειγµατικό χώρο Ω είαι το εδεχόµεο Α Β ΑΒ { ω Ω: ω A και ω B}, της πραγµατοποίηης και τω δύο εδεχοµέω Α και Β. Γεικότερα, η τοµή τω εδεχοµέω A, A,..., A είαι το εδεχόµεο Α Α L Α Α Α L Α { ω Ω: ω για όλους τους δείκτες j,,..., }, A j

13 5 της πραγµατοποίηης και τω εδεχοµέω A...,, A, A. Περαιτέρω, η τοµή τω εδεχοµέω A, A,..., A,... είαι το εδεχόµεο Α Α L Α L Α Α L Α L { ω Ω: ω για όλους τους δείκτες j,,... }, A j της πραγµατοποίηης όλω τω εδεχοµέω A, A,..., A,... Α η τοµή τω εδεχοµέω Α και Β είαι το αδύατο εδεχόµεο, Α Β, τότε τα Α και Β καλούται ξέα ή αµοιβαίως αποκλειόµεα ή αυµβίβατα εδεχόµεα. Το υµπλήρωµα εός εδεχοµέου Α ως προς έα δειγµατικό χώρο Ω είαι το εδεχόµεο A { ω Ω: ω A}, της µη πραγµατοποίηης του εδεχοµέου Α. Το εδεχόµεο A καλείται ατίθετο του εδεχοµέου Α. Η διαφορά του εδεχοµέου Β από το εδεχόµεο Α ως προς έα δειγµατικό χώρο Ω είαι το εδεχόµεο A B { ω Ω: ω A και ω B}, της πραγµατοποίηης του εδεχοµέου Α και της µη πραγµατοποίηης του εδεχοµέου Β. Σηµειώουµε ότι A B A B. Σχηµατικά διαγράµµατα είαι υχά χρήιµα για τη εποπτική παράταη χέεω µεταξύ υόλω εδεχοµέω. Τέτοια διαγράµµατα είαι τα γωτά ως διαγράµµατα του Venn τα οποία το καθολικό ύολο δειγµατικός χώρος Ω ορίζεται από µία περιοχή του επιπέδου που περικλείει τα τοιχεία του, τα οποία ορίζοται από γεωµετρικά ηµεία του επιπέδου αυτού. Τα υπούολα του Ω ορίζοται από υποπεριοχές του. Στα διαγράµµατα Venn τω Σχηµάτω.-.4 δίδοται κιαµέα τα ύολα A B, A B, A Ω Α και A B ατίτοιχα. Το καρτειαό γιόµεο αποτελεί µία υολοθεωρητική κατακευή χρήιµη τόο τη έκφραη του δειγµατικού χώρου υθέτου τυχαίου πειράµατος, το οποίο υτίθεται από ακολουθίες απλώ τυχαίω πειραµάτω ή δοκιµώ απλού τυχαίου πειράµατος, όο και εδεχοµέω ως προς αυτό. Έτω Ω και Ω δύο ύολα. Το καρτειαό γιόµεο τω Ω και Ω, υµβολιζόµεο µε Ω Ω, είαι το ύολο τω διατεταγµέω ζευγώ τα οποία η πρώτη υιτώα είαι τοιχείο του Ω και η δεύτερη υιτώα είαι τοιχείο του Ω, δηλαδή Ω Ω ω, ω : ω Ω, ω }`. { Ω

14 6 Ο οριµός αυτός επεκτείεται και για ύολα Ω, Ω,..., Ω ως εξής: Ω Ω L Ω { ω, ω,..., ω: ω Ω, ω Ω,..., ω Ω}. Ειδικά α Ω Ω L Ω Ω το καρτειαό γιόµεο υµβολίζεται µε Ω. Ω Ω Α Β A B Σχήµα.: A B Σχήµα.: A B Ω Ω Α Α Β A Σχήµα.3: A Σχήµα.4: A B Παράδειγµα.. α Ας θεωρήουµε το τοχατικό τυχαίο πείραµα της ρίψης εός οµίµατος. Ο δειγµατικός χώρος του τοχατικού αυτού πειράµατος είαι το ύολο Ω { γ, κ}, όπου ηµειώεται µε γ η όψη γράµµατα και µε κ η όψη κεφαλή ή κορώα. Τα υπούολα του Ω Α {γ } και Β {κ } είαι τα τοιχειώδη εδεχόµεα εµφάιης της όψης γράµµατα και κεφαλή ατίτοιχα. β Ας θεωρήουµε τώρα το τοχατικό τυχαίο πείραµα µιας ακολουθίας ρίψεω εός οµίµατος. Τούτο είαι έα ύθετο τοχατικό πείραµα υτιθέµεο από δοκιµές του απλού τοχατικού πειράµατος της ρίψης εός οµίµατος. Οποιοδήποτε αποτέλεµα τω ρίψεω δύαται α παραταθεί από έα διατεταγµέο ζεύγος του οποίου το πρώτο τοιχείο είαι το αποτέλεµα της πρώτης

15 7 ρίψης και το δεύτερο τοιχείο το αποτέλεµα της δεύτερης ρίψης. Έτι ο δειγµατικός χώρος του ύθετου τοχατικού πειράµατος είαι το ύολο Ω { γ, γ, γ, κ, κ, γ, κ, }. κ Σηµειώουµε ότι το Ω είαι το καρτειαό γιόµεο του Ω { γ, κ} µε το εαυτό του. Τα υπούολα του Ω, Α { γ, }, Α { γ, κ, κ, } και Α { κ, } 0 γ γ κ είαι τα εδεχόµεα εµφάιης 0, και φορές της όψης κεφαλή, ατίτοιχα. Παράδειγµα.. Ας θεωρήουµε το τοχατικό τυχαίο πείραµα της ρίψης εός κύβου. Καταγράφοτας τη έδειξη της επάω έδρας του κύβου ο δειγµατικός χώρος του τοχατικού αυτού πειράµατος είαι το ύολο Τα ύολα Ω {,,3,4,5,6}. Α {}, Α {}, Α 3 {3}, Α 4 {4 }, Α 5 {5} και Α 6 {6} είαι τα τοιχειώδη εδεχόµεα της εµφάιης του αριθµού,,3,4, 5 και 6 ατίτοιχα, εώ τα ύολα Β {}, B {, }, B 3 {,,3 }, B 4 {,,3, 4}, B 5 {,,3,4,5} και B 6 {,,3,4,5,6 } είαι τα εδεχόµεα εµφάιης αριθµού µικροτέρου ή ίου του,,3,4, 5 και 6 ατίτοιχα. Ας ηµειωθεί ότι B A, B A A, B3 A A A3, B4 A A A3 A4, B 5 A A A3 A4 A5, B Ω 6. Παράδειγµα.3. Ας θεωρήουµε µία ειρά 3 γεήεω έα µαιευτήριο τω Αθηώ. Καταγράφοτας κατά ειρά γέηης το φύλο τω εογέητω ο δειγµατικός χώρος είαι το ύολο Ω { κ, κ, κ, α, κ, κ, κ, α, κ, κ, κ, α, α, α, κ, α, κ, α, κ, α, α, α, α, α}, όπου ηµειώεται µε α η γέηη αγοριού και µε κ η γέηη κοριτιού. Τα εδεχόµεα Α 0, Α, Α και Α 3 της γέηης 0,, και 3 αγοριώ, ατίτοιχα, περιλαµβάου τα εξής δειγµατικά ηµεία: Α { κ, κ, }, Α { α, κ, κ, κ, α, κ, κ, κ, } 0 κ α

16 8 Α { α, α, κ, α, κ, α, κ, α, }, Α { α, α, }, α 3 α εώ το εδεχόµεο Β της γέηης εός τουλάχιτο αγοριού περιλαµβάει τα εξής δειγµατικά ηµεία και είαι Β { α, κ, κ, κ, α, κ, κ, κ, α, α, α, κ, α, κ, α, κ, α, α, α, α, α} Β Α. Α Α3 A0 Το υµπληρωµατικό ατίθετο του εδεχοµέου Β είαι το εδεχόµεο Β της γέηης 3 κοριτιώ και περιλαµβάει το ηµείο Β { κ, κ, κ} A. Παράδειγµα.4. Μέτρο του φόρτου εργαίας ε έα τηλεφωικό κέτρο παροχής πληροφοριώ αποτελεί τόο ο αριθµός τω τηλεφωικώ κλήεω που φθάου αυτό τη διάρκεια εός οριµέου χροικού διατήµατος, όο και ο χρόος που µεολαβεί µεταξύ διαδοχικώ τηλεφωικώ κλήεω. α Καταγράφοτας το αριθµό τω τηλεφωικώ κλήεω, το ύολο τω δυατώ αποτελεµάτω, το οποίο αποτελεί το δειγµατικό χώρο, είαι το Ω {0,,,..., }. Ν Το εδεχόµεο µιας τουλάχιτο τηλεφωικής κλήης είαι το υπούολο Α του Ω µε Α {,,..., Ν}. Το υµπληρωµατικό ατίθετο του εδεχοµέου Α είαι το εδεχόµεο Α, καµµιάς τηλεφωικής κλήης, το οποίο περιλαµβάει έα µόο ηµείο: Α {0}. Σηµειώουµε ότι τη περίπτωη που ο µέγιτος αριθµός τω τηλεφωικώ κλήεω Ν είαι πρακτικά πολύ µεγάλος, λαµβάεται θεωρητικά ίος µε. β Καταγράφοτας το χρόο µεταξύ διαδοχικώ τηλεφωικώ κλήεω, το ύολο τω δυατώ αποτελεµάτω, το οποίο αποτελεί το δειγµατικό χώρο είαι το διάτηµα Ω { t R:0 < t < }, θ όπου ο µέγιτος χρόος θ είαι έας θετικός αριθµός. Το εδεχόµεο Α ο χρόος µεταξύ διαδοχικώ τηλεφωικώ κλήεω α ξεπεράει τα α δευτερόλεπτα είαι το Α { t R: α < t < θ}. 0

17 9 Σηµειώουµε ότι ο δειγµατικός χώρος Ω είαι πεπεραµέος. Στη περίπτωη που το Ν ατικαταταθεί από το, ο δειγµατικός χώρος καθίταται αριθµηίµως άπειρος. Ο δειγµατικός χώρος Ω είαι υπεραριθµήιµος και ειδικότερα υεχής. Παράδειγµα.5. Από µία παραγωγική διαδικαία λαµβάουµε διαδοχικά έα ατικείµεο προϊό και εξετάζεται ως προς τη ποιότητά του, α βρίκεται δηλαδή ετός τω προδιαγραφώ κ ή είαι ελαττωµατικό ε. Α η παραγωγική διαδικαία διακόπτεται µε τη εµφάιη του πρώτου ελαττωµατικού ατικειµέου, τότε ο δειγµατικός χώρος του τοχατικού τυχαίου πειράµατος είαι Ω { ε, κε, κκε, κκκε,...}. Σηµειώουµε ότι ο δειγµατικός χώρος Ω είαι αριθµήιµος. α Το εδεχόµεο α χρειατού ακριβώς 4 δοκιµές µέχρι α διακοπεί η παραγωγική διαδικαία είαι το A {κκκε} β Το εδεχόµεο α χρειατού τουλάχιτο 4 δοκιµές µέχρι α διακοπεί η παραγωγική διαδικαία είαι το Β { κκκε, κκκκε,...} γ Το εδεχόµεο α χρειατού το πολύ 4 δοκιµές µέχρι α διακοπεί η παραγωγική διαδικαία είαι το Γ { ε, κε, κκε, κκκε}. Παράδειγµα.6. α Ποµπός εκπέµπει κωδικοποιηµέο ψηφιακό ήµα, το οποίο λαµβάεται µε τη υµβολική µορφή 0 και. Α υποθέουµε ότι ο δέκτης πρόκειται α λάβει µία «λέξη» τριώ ψηφίω, τότε ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος είαι Ω {000,00,00,00,0,0,0,}, αξιοηµείωτη είαι η ααλογία του δ.χ. Ω µε το δ.χ. Ω του Παραδείγµατος.3. β ύο άτοµα προέρχοται για αιµοδοία ε µοάδα αιµοληψίας του Κ.Α.Τ. Ως γωτό οι οµάδες αίµατος είαι οι εξής 4: Α, Β, Ο και AB. Επειδή τα υγκεκριµέα άτοµα θεωρούται ως τυχαία επιλεγµέα από το πληθυµό, ο δειγµατικός χώρος µπορεί α θεωρηθεί ως το ύολο Ω { Α, Α, Α, Β, Α, Ο, Α, ΑΒ, Β, Α, Β, Β, Β, Ο, Β, ΑΒ, Ο, Α, Ο, Β, Ο, Ο, Ο, ΑΒ, ΑΒ, Α, ΑΒ, Β, ΑΒ, Ο, ΑΒ, ΑΒ}, όπου π.χ. το τοιχείο Β, Α ηµαίει ότι ο πρώτος δότης έχει οµάδα αίµατος Β και ο δεύτερος Α.

18 0 3. ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Ο κλαικός οριµός της πιθαότητας διατυπώθηκε αρχικά από το De More 7. O οριµός αυτός εξυπηρετούε τη περιγραφή «απλώ» τυχαίω πειραµάτω, τα οποία παρουιάζου µία εγγεή υµµετρία ρίψη υήθους οµίµατος ή ζαριού, γέηη αγοριού κοριτιού κ.λ.π. και διατυπώεται ως εξής: Η πιθαότητα της πραγµατοποίηης εός εδεχοµέου είαι το πηλίκο µε αριθµητή το αριθµό τω περιπτώεω ευοϊκώ για τη πραγµατοποίηη του εδεχοµέου τούτου και παροοµατή το υολικό αριθµό τω περιπτώεω, µε τη προϋπόθεη ότι όλες οι περιπτώεις είαι εξίου πιθαές ιοπίθαες. Η υθήκη του ιοπιθάου τω περιπτώεω είαι ααγκαία γιατί διαφορετικά θεωρώτας τις περιπτώεις της πραγµατοποίηης και της µη πραγµατοποίηης εδεχοµέου θα καταλήγαµε το υµπέραµα ότι η πιθαότητα οποιουδήποτε εδεχοµέου είαι ίη µε /. Το υµπέραµα τούτο δε ιχύει γεικά επειδή οι δύο αυτές περιπτώεις δε είαι πάτοτε εξίου πιθαές. Η έοια τω εξίου πιθαώ ιοπιθάω περιπτώεω είαι απαραίτητο α οριθεί αεξάρτητα από τη έοια της πιθαότητας γιατί διαφορετικά ο κλαικός αυτός οριµός θα οδηγούε ε φαύλο κύκλο. Σηµειώουµε ότι ο κλαικός αυτός οριµός της πιθαότητας αφορά ααγκατικά πεπεραµέους δειγµατικούς χώρους, οι οποίοι επιπροθέτως παρουιάζου µία εγγεή υµµετρία ως προς τα δειγµατικά τους ηµεία δυατά αποτελέµατα. Η θεµελίωη του Λογιµού τω Πιθαοτήτω µε βάη το κλαικό οριµό της πιθαότητας αποδίδεται το Laplace 8. Αξίζει α παρουιάουµε τις ηµατικότερες ιδιότητες της κλαικής πιθαότητας, οι οποίες και εέπευα τη κατάλληλη επέκταη της τόο ε πεπεραµέους δειγµατικούς χώρους µε µη ιοπίθαα δειγµατικά ηµεία περιπτώεις όο και γεικότερα ε αριθµήιµους ή µη αριθµήιµους δειγµατικούς χώρους. Ας θεωρήουµε έα πεπεραµέο δειγµατικό χώρο Ω του οποίου τα τοιχεία δειγµατικά ηµεία, περιπτώεις, είαι εξίου πιθαά ιοπίθαα και έα οποιοδήποτε εδεχόµεο Α ως προς το δειγµατικό χώρο Ω. Η πιθαότητα του Α, υµβολιζοµέη µε P A, δίδεται από τη χέη N A P A 3. N όπου N A είαι ο αριθµός τω τοιχείω του εδεχοµέου Α και N NΩ είαι ο αριθµός τω τοιχείω του δειγµατικού χώρου Ω. Η υάρτηη P A η οποία ε κάθε εδεχόµεο Α το Ω ατιτοιχεί το αριθµό 3. είαι

19 α µη αρητική : P A 0 για κάθε εδεχόµεο A Ω, β ορµαλιµέη : P Ω, γ προθετική : P A B P A P B για οποιαδήποτε ξέα αµοιβαίως αποκλειόµεα εδεχόµεα Α και B Ω. Οι ιδιότητες αυτές προκύπτου άµεα από το οριµό 3. και τις ατίτοιχες ιδιότητες: N A 0 για κάθε ύολο Α και N A B N A N B για ξέα µεταξύ τους ύολα Α και Β, του αριθµού τω τοιχείω πεπεραµέου υόλου. Σηµειώουµε ότι από τη προθετική ιδιότητα υάγεται επαγωγικά η χέη P A A L A P A P A L P A 3. για κατά ζεύγη ξέα αµοιβαίως αποκλειόµεα, αυµβίβατα εδεχόµεα A, A,..., A Ω. Άµεα υάγοται από το οριµό 3. η χέη όπως και η χέη P A για κάθε εδεχόµεο Α Ω. P 0. Επίης, α Ω Ω Ω L Ω και Α Α A L A µε A Ω και P A N A / N Ω,,,...,, τότε P A P A P A LP A. 3.3 Επέκταη της κλαικής πιθαότητας τη περίπτωη που ο δειγµατικός χώρος είαι υεχής µη αριθµήιµος αποτελεί η γεωµετρική πιθαότητα που ορίζεται ως εξής: Ας θεωρήουµε έα µη αριθµήιµο δειγµατικό χώρο Ω οριζόµεο από µία περιοχή του µοοδιατάτου ή διδιατάτου ή τριδιατάτου χώρου τη οποία οποιεδήποτε τοιχειώδεις περιοχές είαι εξίου πιθαές ιοπίθαες και έα οποιοδήποτε εδεχόµεο Α οριζόµεο από µία περιοχή του δειγµατικού χώρου Ω. Η πιθαότητα του Α δίδεται από τη χέη µ A P A, 3.4 µ Ω όπου µ Α και µ Ω είαι το µέτρο µήκος ή εµβαδό ή όγκος τω περιοχώ Α και Ω ατίτοιχα. Η πιθαότητα 3.4, όπως εύκολα µπορεί α διαπιτωθεί, έχει ατίτοιχες ιδιότητες µε τη πιθαότητα 3.. Παράδειγµα 3.. Ας θεωρήουµε µία ακολουθία δύο ρίψεω εός υήθους οµίµατος και το εδεχόµεο A j της εµφάιης αυτή j φορές της όψης κεφαλή, j 0,,. Να υπολογιτού οι πιθαότητες P A, j 0,,. j

20 Παρατηρούµε ότι ο δειγµατικός χώρος του απλού τυχαίου πειράµατος της ρίψης εός υήθους υµµετρικού οµίµατος είαι το ύολο

21 Ω { γ, κ}. Τα δειγµατικά ηµεία, λόγω της υµµετρίας του οµίµατος, είαι ιοπίθαα: P { γ} P{ κ}. Περαιτέρω, ο δειγµατικός χώρος του υθέτου τυχαίου πειράµατος µιας ακολουθίας ρίψεω εός οµίµατος είαι το ύολο Ω { γ, γ, γ, κ, κ, γ, κ, }, κ το οποίο είαι το καρτειαό γιόµεο του Ω { γ, κ} µε το εαυτό του. Σύµφωα µε τη 3.3 τα 4 δειγµατικά ηµεία είαι ιοπίθαα: P { γ, γ} P{ γ} P{ γ}, 4 P { κ, γ} P{ κ} P{ γ}, 4 P { γ, κ} P{ γ} P{ κ}, 4 P { κ, κ} P{ κ} P{ κ}. 4 Εποµέως, εφαρµόζοτας το κλαικό οριµό της πιθαότητας 3. και επειδή Α { γ, }, Α { γ, κ, κ, }, Α { κ, }, 0 γ υάγουµε τις πιθαότητες γ κ P A0, 4 P A, P A. 4 Παράδειγµα 3.. Έτω ότι έα όµιµα διαµέτρου r τοποθετείται τυχαία πάω ε ορθογώιο τραπέζι το οποίο είαι χωριµέο ε Ν ορθογώια µε πλευρές α και β, όπου α β και r < α. Να υπολογιθεί η πιθαότητα όπως το όµιµα τοποθετηθεί το εωτερικό ορθογωίου. Ο δειγµατικός χώρος Ω είαι το ορθογώιο τραπέζι µε εµβαδό µ Ω Ναβ. Για το καθοριµό της περιοχής του τραπεζιού η οποία ορίζεται από το εδεχόµεο Α, όπως το όµιµα τοποθετηθεί το εωτερικό ορθογωίου, ας θεωρήουµε έα ορθογώιο ΑΒΓ µε πλευρές α και β, όπου α β και έα δεύτερο ορθογώιο ΕΖΗΘ κείµεο το εωτερικό του πρώτου ορθογωίου µε πλευρές παράλληλες τις πλευρές αυτού και ε απόταη r / απ αυτές βλ. Σχήµα 3.. Έα όµιµα διαµέτρου r κείται το εωτερικό του ορθογωίου ΑΒΓ α και µόο α το κέτρο Ο του οµίµατος κείται το εωτερικό του ορθογωίου ΕΖΗΘ. Το εµβαδό του

22 3 ορθογωίου ΕΖΗΘ είαι α r β r. Η περιοχή του τραπεζιού η οποία ορίζεται από το εδεχόµεο Α είαι η έωη Ν τέτοιω ορθογωίω και έτι µ Α Ν α r β r. β A B Ε.Ο β r Ζ α a r r/ Θ Η r/ Γ Σχήµα 3. Εποµέως, ύµφωα µε το οριµό της γεωµετρικής πιθαότητας 3.4, µ Α α r β r r r P A. µ Ω αβ α β Σηµειώουµε ότι τη µερική περίπτωη τετραγώω, γίεται β α, η πιθαότητα αυτή r P A. α 4. ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ, ΙΑΤΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΙ Ο υπολογιµός της πιθαότητας εός εδεχοµέου Α τη περίπτωη πεπεραµέου δειγµατικού χώρου Ω του οποίου τα τοιχεία δειγµατικά ηµεία, περιπτώεις είαι ιοπίθαα αάγεται, ύµφωα µε το κλαικό οριµό της πιθαότητας, P A N A / N, το υπολογιµό του αριθµού N A τω τοιχείω του Α και του αριθµού N NΩ τω τοιχείω του Ω. Στο εδάφιο αυτό παρουιάζουµε µερικά βαικά τοιχεία της Συδυατικής τα οποία διευκολύου τη ατιµετώπιη τέτοιω προβληµάτω απαρίθµηης. Η αρχή του αθροίµατος και η αρχή του γιοµέου ή πολλαπλαιατική αρχή, οι οποίες αποτελού τις δύο βαικές αρχές απαρίθµηης, µπορού α διατυπωθού ως εξής:

23 4 Αρχή του αθροίµατος. Α έα τοιχείο ατικείµεο α µπορεί α εκλεγεί κατά κ τρόπους και έα τοιχείο α µπορεί α εκλεγεί κατά κ τρόπους και η εκλογή του εός αποκλείει τη ταυτόχροη εκλογή του άλλου, τότε το τοιχείο α ή α µπορεί α εκλεγεί κατά κ κ τρόπους. Αρχή γιοµέου ή πολλαπλαιατική αρχή. Α έα τοιχείο ατικείµεο α µπορεί α εκλεγεί κατά κ τρόπους και για κάθε έα από αυτούς τους τρόπους έα άλλο τοιχείο α µπορεί α εκλεγεί κατά κ τρόπους, τότε και τα δύο τοιχεία α και α µπορού α εκλεγού κατά κ κ τρόπους. Οι αρχές αυτές µπορού α διατυπωθού και για ατικείµεα. α...,, α, α τοιχεία Για α βρούµε τους διαφορετικούς τρόπους εκλογής τω διαφόρω τοιχείω α...,, α, α υήθως διευκολύει η χρήη εός δεδροδιαγράµµατος. Για παράδειγµα, ας υποθέουµε ότι πρόκειται α διαλέξουµε 3 τοιχεία α, α, α3. Α το πρώτο τοιχείο α µπορεί α επιλεγεί κατά κ τρόπους α ή β, το δεύτερο τοιχείο α µπορεί α επιλεγεί κατά κ 3 τρόπους γ ή δ ή ε και το α 3 κατά κ 3 τρόπους ζ ή η, τότε οι κ κ κ3 διαφορετικοί τρόποι εκλογής τω α,α και α 3 είαι:

24 5 ιατάξεις - Συδυαµοί Ας θεωρήουµε έα πεπεραµέο ύολο τοιχείω Ω ω, ω,..., ω }. { ιάταξη τω αά κ καλείται µία διατεταγµέη κ-αδα α, α,..., α µε α r Ω κ r,,...,κ. Συδυαµός τω αά κ καλείται µία µη διατεταγµέη υλλογή κ τοιχείω α, α,..., α } µε α r Ω, r,,..., κ. Τα τοιχεία µιας διάταξης ή εός { κ υδυαµού είαι είτε διαφορετικά είτε όχι κατ αάγκη διαφορετικά τοιχεία του Ω. Για τη πρώτη περίπτωη διατηρούµε τη οοµαία διάταξη ή υδυαµός τω αά κ, εώ τη δεύτερη περίπτωη όπου τα τοιχεία του Ω επιτρέπεται α επααλαµβάοται, χρηιµοποιούµε τη οοµαία διάταξη ή υδυαµός τω αά κ µε επαάληψη. Η ειδική περίπτωη διάταξης τω αά όλω τω θεωρουµέω τοιχείω καλείται ειδικότερα µετάθεη τοιχείω. Σχετικά µε το πλήθος τω διατάξεω και τω υδυαµώ αποδεικύουµε τα επόµεα θεωρήµατα. Θεώρηµα 4.. α Ο αριθµός τω διατάξεω τω αά κ, υµβολιζόµεος µε δίδεται από τη χέη κ, κ! L κ, 4. κ! όπου το γιόµεο όλω τω ακεραίω από το µέχρι το καλείται παραγοτικό και υµβολίζεται µε! 3L δεχόµατε ότι 0 και 0! β Ο αριθµός τω υδυαµώ τω αά κ υµβολιζόµεος µε τη χέη, δίδεται από κ κ κ! κ!. 4. κ! κ! Απόδειξη. α Σε µια οποιαδήποτε διάταξη α, α,..., α τω τοιχείω του κ Ω { ω, ω,..., ω} αά κ, το πρώτο τοιχείο α µπορεί α εκλεγεί από το ύολο τω τοιχείω, εώ µετά τη εκλογή του πρώτου τοιχείου, το δεύτερο τοιχείο α, επειδή πρέπει α είαι διαφορετικό από το α, µπορεί α εκλεγεί από το ύολο τω υπολοίπω τοιχείω. Τελικά µετά τη εκλογή τω α, α,..., α κ τοιχείω, το τελευταίο τοιχείο α κ, επειδή πρέπει α είαι διαφορετικό από τα κ προηγούµεα

25 6 τοιχεία, µπορεί α εκλεγεί από το ύολο τω υπολοίπω κ κ τοιχείω. Έτι, ύµφωα µε τη πολλαπλαιατική αρχή, υάγεται η 4.. β Σε κάθε υδυαµό α, α,..., α } τω τοιχείω του Ω αά κ ατιτοιχού { κ κ! διατάξεις τω αά κ, οι οποίες προκύπτου µε µετάθεη τω κ τοιχείω του κατά όλους τους κ! το πλήθος δυατούς τρόπους. Εποµέως ο αριθµός τω διατάξεω τω αά κ είαι ίος µε κ! φορές το αριθµό τω υδυαµώ τω αά κ και έτι χρηιµοποιώτας τη 4. υάγουµε τη 4.. Θεώρηµα 4.. Ο αριθµός τω διατάξεω τω αά κ µε επαάληψη είαι ίος µε κ L. 4.3 Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι ε µία οποιαδήποτε διάταξη α, α,..., α τω κ τοιχείω του Ω { ω, ω,..., ω} αά κ µε επαάληψη οποιοδήποτε τοιχείο α µπορεί α εκλεγεί από το ύολο τω τοιχείω. Έτι, ύµφωα µε τη πολλαπλαιατική αρχή, υάγεται η 4.3. Θεώρηµα 4.3. Ο αριθµός τω υδυαµώ τω αά κ µε επαάληψη είαι ίος µε κ L κ κ κ! κ!. 4.4 κ!! Απόδειξη. Ας θεωρήουµε έα υδυαµό { ω, ω,..., ω } τω τοιχείω του κ Ω ω, ω,..., ω } αά κ µε επαάληψη και ας υποθέουµε ότι οι κ δείκτες..., {,, κ είαι αριθµηµέοι από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο. Η υπόθεη αυτή δε περιορίζει τη γεικότητα εφόο η ειρά ααγραφής τω τοιχείω εός υδυαµού δε παίζει καέα ρόλο. Τότε L και α το υδυαµό { ω, ω,..., ω } ατιτοιχήουµε το υδυαµό j, j,..., j } µε κ j, j,..., j κ κ κ, κ { κ θα είαι j < j < L < j κ, δηλαδή τα τοιχεία του δευτέρου κ υδυαµού θα είαι διαφορετικά είτε είαι είτε δε είαι διαφορετικά τα τοιχεία του πρώτου υδυαµού, και επιπλέο ο υδυαµός j, j,..., j } είαι έας { κ υδυαµός τω κ τοιχείω του υόλου W {,,,..., κ } αά κ χωρίς επαάληψη. Η ατιτοιχία αυτή υεπάγεται ότι ο αριθµός τω υδυαµώ τω αά κ µε επαάληψη είαι ίος µε το αριθµό τω υδυαµώ τω κ αά κ χωρίς επαάληψη.

26 7 Παράδειγµα 4.. α Καταοµή διακεκριµέω φαιριδίω ε διακεκριµέα κελιά. Ας θεωρήουµε κ διακεκριµέα φαιρίδια,,..., } τα οποία τοποθετούται µέα ε διακεκριµέα κελιά c, c,..., c }. { { κ Ο αριθµός τω τρόπω τοποθέτηης τω κ διακεκριµέω φαιριδίω µέα τα διακεκριµέα κελιά, είαι ίος µε κ, το αριθµό τω διατάξεω τω αά κ µε επαάληψη, επειδή κάθε φαιρίδιο µπορεί α τοποθετηθεί ε οποιοδήποτε από τα κελιά. Ο αριθµός τω τρόπω τοποθέτηης τω κ διακεκριµέω φαιριδίω µέα τα διακεκριµέα κελιά έτι ώτε το j κελί α περιέχει κ j φαιρίδια για όλα τα j,,..., µε κ κ L κ κ, είαι ίος µε κ! κ! κ! L κ!, επειδή τα κ φαιρίδια του πρώτου κελιού µπορού α επιλεγού από τα κ φαιρίδια κατά κ κ τρόπους. Μετά τη επιλογή αυτή τα κ φαιρίδια του δευτέρου κελιού µπορού α επιλεγού από τα υπόλοιπα κ κ φαιρίδια κατά κ κ τρόπους. κ Συεχίζοτας τη αάλυη αυτή, µετά τη επιλογή τω φαιριδίω για τα πρώτα κελιά, τα κ φαιρίδια του -οτού κελιού µπορού α επιλεγού από τα υπόλοιπα κ κ κ L κ κ φαιρίδια κατά έα µόο τρόπο και έτι, ύµφωα µε τη πολλαπλαιατική αρχή, υάγεται ο ζητούµεος αριθµός, κ κ κ κ κ κ L L κ κ µετά από απλοποιήεις. κ κ! κ! κ κ! κ κ κ!! κ κ κ κ κ L κ! L! κ! κ κ L κ! β Καταοµή όµοιω φαιριδίω ε διακεκριµέα κελιά. Ας θεωρήουµε κ όµοια φαιρίδια τα οποία τοποθετούται µέα ε διακεκριµέα κελιά c, c,..., c }. Στη { περίπτωη που κάθε κελί µπορεί α χωρέει έα µόο φαιρίδιο, κάθε τοποθέτηη τω κ όµοιω φαιριδίω µέα τα διακεκριµέα κελιά ατιτοιχεί ε µία επιλογή κ κελιώ { c, c,..., c } αεξάρτητα ειράς και ατίτροφα, όπου η τοποθέτηη εός κ

27 8 φαιριδίου µέα ε έα κελί ατιτοιχεί τη επιλογή του κελιού αυτού. Εποµέως, ο αριθµός τω τρόπω τοποθέτηης κ όµοιω φαιριδίω µέα ε διακεκριµέα κελιά χωρητικότητας εός φαιριδίου το καθέα είαι ίος µε, κ το αριθµό τω υδυαµώ τω αά κ. Στη περίπτωη που τα κελιά είαι απεριόριτης χωρητικότητας, ο αριθµός τω τρόπω τοποθέτηης κ όµοιω φαιριδίω µέα ε διακεκριµέα κελιά είαι ίος µε κ, κ το αριθµό τω υδυαµώ τω αά κ µε επαάληψη. 5. ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η προϋπόθεη του ιοπιθάου τω περιπτώεω ή τοιχειωδώ περιοχώ που απαιτού τόο ο κλαικός οριµός της πιθαότητας όο και η γεωµετρική επέκταή του περιορίζει ηµατικά το πεδίο εφαρµογώ της Θεωρίας τω Πιθαοτήτω. Έτι ε τοχατικά πειράµατα ή φαιόµεα µε πεπεραµέο δειγµατικό χώρο το οποίο τα δειγµατικά ηµεία δε είαι ιοπίθαα ή µε αριθµηίµως άπειρο δειγµατικό χώρο, όπως για παράδειγµα η εκποµπή ωµατιδίω από ραδιεεργό ουία, δε µπορεί α εφαρµοθεί ο κλαικός οριµός της πιθαότητας. Επίης ε τοχατικά πειράµατα ή φαιόµεα µε µη αριθµήιµο δειγµατικό χώρο το οποίο οι τοιχειώδεις περιοχές δε είαι ιοπίθαες, όπως για παράδειγµα ο χρόος ζωής µιας µηχαής, δε µπορεί α εφαρµοθεί ο γεωµετρικός οριµός της πιθαότητας. Ο Von Mses τη προπάθειά του α ατιµετωπίει το πρόβληµα οριµού πιθαότητας ε οποιουδήποτε δειγµατικούς χώρους διατύπωε το ακόλουθο εµπειρικό οριµό της πιθαότητας. Ας υποθέουµε ότι έα τοχατικό πείραµα ή φαιόµεο µε δειγµατικό χώρο Ω µπορεί α επααληφθεί κάτω από τις ίδιες υθήκες απεριόριτο αριθµό φορώ και ας θεωρήουµε έα οποιοδήποτε εδεχόµεο A Ω. Έτω ότι ε επααλήψεις του τοχατικού πειράµατος ή φαιοµέου το εδεχόµεο Α έχει πραγµατοποιηθεί n Α φορές. Η χετική υχότητα του Α, δίδεται από το λόγο n Α.

28 9 Στη περίπτωη που υπάρχει το όριο της χετικής υχότητας ότα το τείει το άπειρο τούτο ορίζει, ύµφωα µε το Von Mses, τη πιθαότητα του Α: 5. n Α P A lm. Σηµειώουµε ότι, όπως εύκολα µπορεί α διαπιτωθεί, και η εµπειρική πιθαότητα είαι α µη αρητική : P A 0 για κάθε εδεχόµεο A Ω β ορµαλιµέη : P Ω γ προθετική : P A B P A P B για οποιαδήποτε ξέα αµοιβαίως αποκλειόµεα εδεχόµεα Α και Β Ω. Η υπόθεη ότι έα τοχατικό πείραµα µπορεί α επααληφθεί κάτω από τις ίδιες υθήκες απεριόριτο αριθµό φορώ αποτέλεε το ηµείο κριτικής του εµπειρικού οριµού της πιθαότητας. Επίης η ύγκλιη τη 5. δε µπορεί α οηθεί µε τη απόλυτη µαθηµατική έοια αλλά τοχατικά. 6. ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Επέκταη του κλαικού οριµού της πιθαότητας εδεχοµέου, τόο τη περίπτωη πεπεραµέου δειγµατικού χώρου µε όχι κατ αάγκη ιοπίθαα δειγµατικά ηµεία όο και τις περιπτώεις αριθµηίµου ή µη αριθµηίµου δειγµατικού χώρου, επιτυγχάεται µε το αξιωµατικό οριµό της πιθαότητας. Ο οριµός αυτός είαι αρκετά γεικός και εωµατώει ως ειδική περίπτωη τη κλαική πιθαότητα και ως οριακό θεώρηµα τη εµπειρική πιθαότητα. Οριµός 6.. Έτω Ω έας δειγµατικός χώρος τοχατικού τυχαίου πειράµατος ή φαιοµέου. Μια υάρτηη η οποία ε κάθε εδεχόµεο A Ω ατιτοιχεί εκχωρεί έα πραγµατικό αριθµό P A καλείται πιθαότητα α ικαοποιεί τα αξιώµατα υθήκες: α µη αρητικότητας, β ορµαλιµού, γ αριθµήιµης προθετικότητας, P A 0 για κάθε εδεχόµεο A Ω, P Ω,

29 0 P A A L A L P A P L P A L A για οποιαδήποτε ακολουθία κατά ζεύγη ξέω αµοιβαίως αποκλειοµέω εδεχοµέω A Ω,,,...,,... Παρατήρηη 6.. Στη περίπτωη πεπεραµέου δειγµατικού χώρου Ω ατί του αξιώµατος της αριθµήιµης προθετικότητας αρκεί το αθεέτερο αξίωµα γ προθετικότητας : P A B P A P B για οποιαδήποτε ξέα αµοιβαίως αποκλειόµεα εδεχόµεα A, B Ω, από το οποίο υάγεται επαγωγικά η χέη P A A L A P A P A L P A, για οποιαδήποτε κατά ζεύγη ξέα αµοιβαίως αποκλειόµεα εδεχόµεα,,...,. A Ω, Σηµειώουµε ότι ο αξιωµατικός οριµός της πιθαότητας δε καθορίζει κάποια έκφραη τύπο υπολογιµού της υάρτηης πιθαότητας P A για κάθε εδεχόµεο A Ω. Απλώς περιορίζεται το καθοριµό τω υθηκώ που πρέπει α ικαοποιεί η υάρτηη P A, A Ω για α είαι πιθαότητα. Η ύπαρξη πρόθετω τοιχείω χετικώ µε το δειγµατικό χώρο Ω και τις πιθαότητες τω τοιχειωδώ εδεχοµέω του δύαται α οδηγήει το προδιοριµό µιας έκφραης τύπου υπολογιµού της πιθαότητας οποιουδήποτε εδεχοµέου. Τέτοιες περιπτώεις εξετάζουµε τα επόµεα παραδείγµατα. Παράδειγµα 6.. Πεπεραµέοι δειγµατικοί χώροι. Ας θεωρήουµε έα πεπεραµέο δειγµατικό χώρο Ω ω, ω,..., ω } µε Ν Ω Ν και έτω Α { ω, ω,..., ω } Ω κ { Ν έα οποιοδήποτε εδεχόµεο. Η πιθαότητα P A δύαται α εκφραθεί υαρτήει τω πιθαοτήτω τω τοιχειωδώ εδεχοµέω του Ω: P { ω } p,,,..., N. Συγκεκριµέα, χρηιµοποιώτας το ότι A { ω } { ω } L { ω } υάγουµε, ύµφωα µε το αξίωµα της προθετικότητας, τη έκφραη και έτι κ P A P{ ω } P{ ω } L P{ ω κ P A p p L p. κ }

30 Σηµειώουµε ότι, ύµφωα µε το αξίωµα του ορµαλιµού και επειδή Ρ Ω p p L, οι πιθαότητες τω τοιχειωδώ εδεχοµέω ικαοποιού τη χέη p N p p L p. N Συµπεραµατικά, τη περίπτωη πεπεραµέου δειγµατικού χώρου, η γώη τω πιθαοτήτω τω τοιχειωδώ εδεχοµέω επιτρέπει το υπολογιµό της πιθαότητας οποιουδήποτε εδεχοµέου. Οι αρχικές αυτές πιθαότητες δύαται α προκύψου από τη εξέταη και αάλυη τω υθηκώ και τω οργάω εκτέλεης του υγκεκριµέου τοχατικού πειράµατος. Αξίζει α ηµειωθεί ότι τη περίπτωη ιοπιθάω δειγµατικώ ηµείω, p P{ ω},,,..., N, N η αωτέρω έκφραη της πιθαότητας P A απλοποιείται λαµβάοτας τη µορφή N A P A, N η οποία υµφωεί µε το κλαικό οριµό της πιθαότητας. Παράδειγµα 6.. Ας θεωρήουµε το τυχαίο πείραµα της ρίψης εός κύβου. Καταγράφοτας τη έδειξη της επάω έδρας του κύβου ο δειγµατικός χώρος του τυχαίου αυτού πειράµατος είαι το ύολο Ω {,,3,4,5,6} µε Ν Ν Ω 6 δειγµατικά ηµεία. α Στη περίπτωη υήθους κύβου, ο οποίος είαι υµµετρικός και κατακευαµέος από οµοιογεές υλικό όπως υµβαίει υήθως τη πράξη, όλες οι έδρες έχου τη ίδια πιθαότητα εµφάιης: p j P{ j}, j,,3,4,5, 6. 6 H πιθαότητα οποιουδήποτε εδεχοµέου Α δίδεται τότε από το τύπο N A P A, 6 της κλαικής πιθαότητας. Έτι, α Α είαι το εδεχόµεο εµφάιης αριθµού µεγαλύτερου ή ίου του 5, τότε A {5,6} και N A, οπότε P A. 3

31 β Στη περίπτωη κύβου µε αοµοιογεές υλικό κατακευής, τέτοιο ώτε η πιθαότητα εµφάιης οποιαδήποτε έδρας α είαι αάλογη του αριθµού τω κουκκίδω που φέρει, τότε p j P{ j} cj, j,,3,4,5, 6, όπου c ο υτελετής ααλογίας. Όµως p p p p p p, οπότε c και έτι c /. Εποµέως η πιθαότητα οποιουδήποτε εδεχοµέου A { j, j,..., jκ } Ω δίδεται από το τύπο P A j j L κ j. Έτι α Α είαι το εδεχόµεο εµφάιης αριθµού µεγαλυτέρου ή ίου του 5, τότε A {5,6} και 5 6 P A. Παράδειγµα 6.3. Υποθέτουµε ότι οι οµάδες αίµατος A, B, O, AB καταέµοται το πληθυµό ε ποοτά 40% 4%, 4% και 4%, ατίτοιχα. Είαι γωτό ότι έας αθεής µε οµάδα αίµατος Α µπορεί α λάβει αίµα µόο από τις οµάδες Ο και Α, και έα άτοµο της οµάδας Β µπορεί α δώει αίµα µόο ε αθεείς της οµάδας Β και ΑΒ. Α υποθέουµε ότι έας εθελοτής αιµοδότης έρχεται α δώει αίµα για αθεή της οµάδας Α, τότε η πιθαότητα όπως το αίµα είαι υµβατό είαι P { A, O} P{ A} P{ O} %. Επίης, α έα άτοµο της οµάδας Β δώει αίµα, τότε το αίµα του είαι υµβατό για το 8% του πληθυµού, διότι P { B, AB} P{ B} P{ AB} %. Στηριζόµεοι τα αξιώµατα α, β και γ αποδεικύουµε τα επόµεα θεωρήµατα κάποιες βαικές ιδιότητες της πιθαότητας. Θεώρηµα 6.. α Α είαι το αδύατο εδεχόµεο, ως προς το δειγµατικό χώρο Ω, τότε β Α εδεχόµεα, τότε P A Ω,,,..., είαι κατά ζεύγη ξέα αµοιβαίως αποκλειόµεα

32 3 P A A L A P A A L P A 6. γ Α A είαι το υµπλήρωµα εός εδεχοµέου Α, ως προς το δειγµατικό χώρο Ω, τότε δ Α A,B Ω είαι οποιαδήποτε εδεχόµεα, τότε P A P A. 6.3 P A B P A P AB 6.4 και α B A, τότε και ε Α P A B P A P B. 6.5 A, B Ω είαι οποιαδήποτε εδεχόµεα, τότε P A B P A P B P AB 6.6 P A B P A P B P AB. 6.7 Απόδειξη. α Θέτοτας A,,,..., έχουµε A A L A L και χρηιµοποιώτας το αξίωµα γ υάγουµε τη χέη P P A A L A L P A P A L P A L P P L P L. Επιπλέο, ύµφωα µε το αξίωµα α έχουµε P 0. Εποµέως η ειρά µη αρητικώ όρω, είαι µηδεική, οπότε P 0. P L P L 0, β Ας θεωρήουµε και τα εδεχόµεα χρηιµοποιώτας το αξίωµα γ και τη 6. υµπεραίουµε ότι P A A L A P A A L A A L A,,,.... Τότε P A P A L P A P A L P A A L P A. γ Παρατηρούµε ότι τα εδεχόµεα Α και A είαι ξέα αµοιβαίως αποκλειόµεα, A A, και A A Ω. Εποµέως χρηιµοποιώτας τη 6. µε και το αξίωµα β υάγουµε τη χέη P A P A P Ω, η οποία υεπάγεται τη 6.3.

33 4 δ Παρατηρούµε ότι τα εδεχόµεα B A Β Α Β Α και AB B A είαι ξέα µεταξύ τους: A B B A B A B A και επιπλέο A Ω A B B A B A B A. Εποµέως, χρηιµοποιώτας τη 6. µε, υάγουµε τη ] [ AB P AB P B A P B A P B A B A P A P και έτι AB P A P AB P B A P. Στη περίπτωη που A B έχουµε B AB και εποµέως B P A P B A P. ε Τα εδεχόµεα B A B A και Β είαι ξέα, B B A, και B A B B A. Εποµέως ύµφωα µε τη 6., ] [ B P B A P B B A P B A P και χρηιµοποιώτας τη 6.4 υάγουµε τη 6.6. Επειδή B A B A, εφαρµόζοτας τη 6.3 υµπεραίουµε τη 6.7. Παρατήρηη 6.. Η περίπτωη ε του παραπάω θεωρήµατος µπορεί α γεικευτεί και για εδεχόµεα Ω A A A,,...,. Για παράδειγµα, όπως εύκολα µπορεί α διαπιτωθεί και από το Σχήµα.6., τη περίπτωη τριώ εδεχοµέω Ω Γ Β Α,, ιχύου βλ. Άκηη : ΑΒΓ Ρ ΒΓ Ρ ΑΓ Ρ ΑΒ Ρ Γ P B P A P Γ B A P, ΑΒΓ Ρ ΒΓ Ρ ΑΓ Ρ ΑΒ Ρ Γ Ρ Β Ρ Α Ρ Α Β Γ Ρ. Σχήµα 6.: Γ Β Α Α Β Ω Γ

34 5 Θεώρηµα 6.. Η πιθαότητα P A, A Ω, λαµβάει τιµές το διάτηµα [ 0,] : και είαι αύξουα υάρτηη: 0 P A για κάθε A Ω 6.8 P A P Β για κάθε A, B Ω µε A B. 6.9 Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι, ύµφωα µε το αξίωµα α της µη αρητικότητας, έχουµε P A 0, P A 0 για κάθε A Ω οπότε χρηιµοποιώτας και τη 6.3, P A P A, υάγουµε τη 6.8. Επίης, ύµφωα µε το αξίωµα α της µη αρητικότητας, η πιθαότητα του εδεχοµέου B A Ω είαι µη αρητική, και επειδή ύµφωα µε τη 6.5, εφόο A B, υάγουµε τη 6.9. P B A 0, P B A P B P A, Οι βαικές ιδιότητες της πιθαότητας που αποδείχθηκα το θεώρηµα 6. εκτός από το θεωρητικό εδιαφέρο που παρουιάζου, είαι και υπολογιτικά χρήιµες όπως φαίεται τα επόµεα παραδείγµατα. Παράδειγµα 6.3. Ας θεωρήουµε µία ειρά τριώ γεήεω έα µαιευτήριο και το εδεχόµεο Β της γέηης εός τουλάχιτο αγοριού. Υποθέτοτας ότι η γέηη αγοριού είαι εξίου πιθαή µε τη γέηη κοριτιού, α υπολογιθεί η πιθαότητα P B. Παρατηρούµε ότι το υµπληρωµατικό του εδεχοµέου Β είαι το εδεχόµεο B της γέηης κοριτιού και τις τρεις περιπτώεις. Η πιθαότητα P B υπολογίζεται πιο εύκολα από τη P B. Συγκεκριµέα, ο δειγµατικός χώρος περιλαµβάει 8 ιοπίθαα δειγµατικά ηµεία βλ. Παράδειγµα.3 από τα οποία µόο έα αήκει το B και έτι και ύµφωα µε τη 6.3 παίρουµε P B 8 7 P B P B. 8 8

35 6 Έας άλλος τρόπος υπολογιµού της πιθαότητας P B είαι α θεωρήουµε το εδεχόµεο Β ως έωη τω κατά ζεύγη ξέω εδεχοµέω A, A A 3 της γέηης, και 3 αγοριώ, ατίτοιχα. Τότε 3 3 P B P A A A3 P A P A P A Παράδειγµα 6.4. Το πρόβληµα τω γεεθλίω. Ας θεωρήουµε έα ύολο κ ατόµω τω οποίω καταγράφουµε τα γεέθλια. Σηµειώουµε ότι έα έτος έχει 365 ηµέρες εκτός και α είαι δίεκτο, οπότε έχει 366 ηµέρες. Επίης έχει παρατηρηθεί ότι ο αριθµός τω γεήεω δε είαι ταθερός καθ όλη τη διάρκεια του έτους. Όµως, ε πρώτη προέγγιη, µπορούµε α θεωρήουµε ότι έα έτος έχει 365 ηµέρες οι οποίες είαι εξίου πιθαές ως ηµέρες γεεθλίω. Με τη παραδοχή αυτή, α υπολογιθεί η πιθαότητα όπως δύο τουλάχιτο από τα κ άτοµα έχου γεέθλια τη ίδια ηµέρα. Παρατηρούµε ότι οι ηµέρες τω γεεθλίω του υόλου τω κ ατόµω µπορού α παραταθού από µία διάταξη,,..., του υόλου τω 365 ηµερώ κ {,,...,365} αά κ µε επαάληψη, όπου r είαι η ηµέρα γέηης του r ατόµου, r,,...,κ. Ο δειγµατικός χώρος Ω, ο οποίος περιλαµβάει τις διατάξεις αυτές, έχει κ Ν Ω 365 ιοπίθαα δειγµατικά ηµεία. Έτω Α το εδεχόµεο όπως δύο τουλάχιτο από τα κ άτοµα έχου γεέθλια τη ίδια ηµέρα. Το υµπληρωµατικό του εδεχοµέου Α είαι το εδεχόµεο A όπως τα κ άτοµα έχου διαφορετικές ηµέρες γεεθλίω. Παρατηρούµε ότι η πιθαότητα P A υπολογίζεται πιο εύκολα από τη πιθαότητα P A. Συγκεκριµέα, το εδεχόµεο A περιλαµβάει τις διατάξεις,,..., του υόλου τω 365 ηµερώ {,,...,365} αά κ χωρίς επαάληψη και κ έτι Ν Α 365. Εφαρµόζοτας τη 6., υάγουµε τη πιθαότητα κ 365 P A 365 και ύµφωα µε τη 6.3 υµπεραίουµε τη ζητούµεη πιθαότητα: κ κ 365 κ P A P A. κ 365 Σηµειώουµε ότι για κ 3, έχουµε P Α > /. Παράδειγµα 6.5. Έτω ότι από µία κληρωτίδα η οποία περιέχει 0 φαιρίδια αριθµηµέα από το 0 µέχρι το 9 κληρώεται κάθε εβδοµάδα έας αριθµός. Μετά από κάθε κλήρωη το εξαγόµεο φαιρίδιο επαατοποθετείται τη κληρωτίδα. Ας θεωρήουµε το τοχατικό πείραµα 3 διαδοχικώ κληρώεω. Να υπολογιθεί η 7 8.

36 7 πιθαότητα του εδεχοµέου όπως ο µεγαλύτερος αριθµός που θα κληρωθεί είαι το 5. Το εδεχόµεο όπως ο µεγαλύτερος αριθµός που θα κληρωθεί είαι το 5 δύαται α παραταθεί ως διαφορά A B του εδεχοµέου Α όπως ο µεγαλύτερος αριθµός που θα κληρωθεί είαι έας από τους αριθµούς { 0,,,3, 4,5} και του εδεχοµέου Β όπως ο µεγαλύτερος αριθµός που θα κληρωθεί είαι έας από τους αριθµούς { 0,,,3,4}. Παρατηρούµε ότι B A και ύµφωα µε τη 6.5 P A B P A P B. Ο αριθµός τω τοιχείω του δειγµατικού χώρου Ω τω 3 διαδοχικώ κληρώεω 3 είαι ίος µε N Ω 0, το αριθµό τω διατάξεω τω 0 αριθµώ { 0,,,...,9} αά 3 µε επαάληψη, εώ ο αριθµός τω τοιχείω του εδεχοµέου Α είαι ίος µε 3 Ν Α 6, το αριθµό τω διατάξεω τω 6 αριθµώ { 0,,,3, 4,5} αά 3 µε επαάληψη. Οµοίως 3 Ν Β 5 και έτι P A B Παράδειγµα 6.6. Συέχεια. Να υπολογιθεί η πιθαότητα του εδεχοµέου α κληρωθού οι αριθµοί 0 και από µία τουλάχιτο φορά ο καθέας. Ας θεωρήουµε τα εδεχόµεα Α και Β α µη κληρωθού οι αριθµοί 0 και, ατίτοιχα. Τότε A B είαι το εδεχόµεο α κληρωθού οι αριθµοί 0 και από µία τουλάχιτο φορά ο καθέας και ύµφωα µε τη 6.7, P A B P A P B P AB. Ο αριθµός τω τοιχείω του εδεχοµέου Α είαι ίος µε 3 N A 3 9, το αριθµό τω διατάξεω τω 9 αριθµώ {,,...,9} αά 3 µε επαάληψη, ο αριθµός τω τοιχείω του Β είαι ίος µε N B 3 9, το αριθµό τω διατάξεω τω 9 αριθµώ { 0,,3,...,9} αά 3 µε επαάληψη και ο αριθµός τω τοιχείω του AB είαι ίος µε 3 N AB 8, το αριθµό τω διατάξεω τω 8 αριθµώ {,3,...,9} αά 3 µε επαάληψη. Εποµέως P A B Παράδειγµα 6.7. Ψηφιακός ποµπός εκπέµπει τα ήµατα 0,, και 3 ε ποοτά 50%, 30%, 0% και 0%, ατίτοιχα. Υποθέτουµε ότι εκπέµποται υολικά 5 3

37 8 ήµατα. Υπολογίτε τη πιθαότητα α ταλού από τουλάχιτο µία φορά τα ήµατα, και 3. Έτω Α το εδεχόµεο α µη ταλεί το ήµα, Β το εδεχόµεο α µη ταλεί το ήµα και Γ το εδεχόµεο α µη ταλεί το 3. Η ζητούµεη πιθαότητα γράφεται ως P A B Γ που λόγω της Παρατήρηης 6. ιούται µε P A B Γ P A B Γ P A B Γ P A P B P Γ P AB P AΓ P BΓ P ABΓ. Οι παραπάω πιθαότητες υπολογίζοται ως εξής. P A P α µη ταλεί το ήµα τις 5 δοκιµές P {} Οµοίως βρίκουµε 5 P B P Γ 0.9. Για τη P AB έχουµε: P AB P α µη ταλεί ή τις 5 δοκιµές 5 P {0, 3} Παρόµοια, Τέλος, έχουµε P AΓ 0.6 και 5 Ρ ΒΓ P ABΓ P α µη ταλεί ή ή 3 τις 5 δοκιµές Άρα, η ζητούµεη πιθαότητα είαι P {0} Ρ Α Β Γ % ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η αάγκη ειαγωγής της δεµευµέης πιθαότητας ααφύεται τις περιπτώεις όπου µερική γώη, ως προς τη έκβαη, εός τυχαίου τοχατικού πειράµατος µειώει τη αβεβαιότητα υρρικώοτας το δειγµατικό χώρο. Συγκεκριµέα, ας θεωρήουµε έα τυχαίο πείραµα µε δειγµατικό χώρο Ω και πιθαότητα P A για κάθε εδεχόµεο A Ω. Ας υποθέουµε ότι ε κάποιο τάδιο εκτέλεής του πραγµατοποιήθηκε έα υγκεκριµέο εδεχόµεο A Ω. Τότε, όο αφορά τη τελική του έκβαη, ο δειγµατικός χώρος υρρικώεται το ύολο Α και έα οποιοδήποτε εδεχόµεο Β ως προς το δειγµατικό χώρο Ω υρρικώεται το

38 9 εδεχόµεο Γ AB το οποίο υµβολίζεται µε Β Α και διαβάζεται: το εδεχόµεο Β δεδοµέου του εδεχοµέου Α. Η πιθαότητα του εδεχοµέου Β δεδοµέου του Α, η οποία υµβολίζεται µε P B A, Β Ω και καλείται δεµευµέη πιθαότητα δεδοµέου του Α, υδέεται, όπως είαι φυικό, µε τις πιθαότητες P A και P AB. Το επόµεο παράδειγµα χρηιµεύει τη καλύτερη καταόηη του πλαιίου το οποίο τοποθετείται η δεµευµέη πιθαότητα. Παράδειγµα 7.. Ας θεωρήουµε µία κληρωτίδα η οποία περιέχει 5 φαιρίδια αριθµηµέα από το µέχρι το 5. Τα φαιρίδια και είαι άπρα εώ τα φαιρίδια 3, 4 και 5 είαι µαύρα. α Έτω ότι ε µία πρώτη κλήρωη έα φαιρίδιο εξάγεται τυχαία και ας θεωρήουµε το εδεχόµεο Α εξαγωγής αυτή άπρου φαιριδίου. Ο δειγµατικός χώρος του τυχαίου αυτού πειράµατος περιλαµβάει τα ιοπίθαα δειγµατικά ηµεία: Ω {,,3, 4,5} και το εδεχόµεο της εξαγωγής άπρου φαιριδίου περιλαµβάει τα ηµεία: A {, }. Εποµέως, ύµφωα µε το κλαικό οριµό της πιθαότητας, P A, 5 3 P A. 5 β Έτω ότι, χωρίς επαάθεη τη κληρωτίδα του φαιριδίου που εξάγεται τη πρώτη κλήρωη, ε µία δεύτερη κλήρωη έα φαιρίδιο εξάγεται τυχαία και ας θεωρήουµε το εδεχόµεο Β εξαγωγής αυτή άπρου φαιριδίου. O υπολογιµός της πιθαότητας P B απαιτεί τη γώη της ύθεης τω φαιριδίω τη κληρωτίδα τη τιγµή της εξαγωγής του δευτέρου φαιριδίου. Συγκεκριµέα, η γώη της πραγµατοποίηης ή µη πραγµατοποίηης του εδεχοµέου Α κατά τη πρώτη εξαγωγή επιτρέπει το υπολογιµό της πιθαότητας P B, ύµφωα µε το θεώρηµα της ολικής πιθαότητας το οποίο εξετάζουµε πιο κάτω. Το παράδειγµα αυτό υποδεικύει τη αάγκη ειαγωγής της δεµευµέης πιθαότητας P B A, του εδεχοµέου Β δεδοµέου του Α. Περαιτέρω, η ύδεη της πιθαότητας P B A µε τις πιθαότητες P A και P AB, η οποία υάγεται από τη ύθεη τω δύο κληρώεω το ακόλουθο ύθετο τυχαίο πείραµα, υποδεικύει το οριµό της δεµευµέης πιθαότητας µέω της µη δεµευµέης πιθαότητας. γ Έτω ότι από τη αωτέρω κληρωτίδα εξάγοται τυχαία δύο φαιρίδια, το έα µετά το άλλο, χωρίς επαάθεη. Ο δειγµατικός χώρος Ω του ύθετου αυτού τυχαίου πειράµατος περιλαµβάει τα εξής N N Ω 5 0 ιοπίθαα δειγµατικά ηµεία: Ω {,,,3,{,4,,5,,,,3,, 4,,5,3,, 3,, 3,4,3,5,4,,4,,4,3,4,5,5,,5,,5,3,5,4}.

39 30 To εδεχόµεο Α ως προς το δειγµατικό χώρο Ω, εξαγωγής άπρου φαιριδίου τη πρώτη κλήρωη, περιλαµβάει τα ακόλουθα N A 8 δειγµατικά ηµεία: A {,,,3,,4,,5,,,,3,,4,,5}, εώ τo εδεχόµεο Β ως προς το δειγµατικό χώρο Ω, εξαγωγής άπρου φαιριδίου τη δεύτερη κλήρωη, περιλαµβάει τα ακόλουθα N B 8 δειγµατικά ηµεία: B {,,,,3,,3,,4,,4,,5,,5,}. Έτι, ύµφωα µε το κλαικό οριµό της πιθαότητας, η πιθαότητα πραγµατοποίηης του εδεχοµέου Α είαι ίη µε N A 8 P A, N 0 5 ε υµφωία µε το αποτέλεµα της περίπτωης του τυχαίου πειράµατος της µιας πρώτης κλήρωης. Ας υποθέουµε ότι τη πρώτη κλήρωη του υθέτου τυχαίου πειράµατος πραγµατοποιήθηκε το εδεχόµεο Α, της εξαγωγής άπρου φαιριδίου. Η γώη της πραγµατοποίηης του Α παρέχει επιπρόθετη πληροφόρηη ως προς τη τελική έκβαη του υθέτου τυχαίου πειράµατος υρρικώοτας το δειγµατικό χώρο Ω το ύολο Α και το εδεχόµεο Β το εδεχόµεο AB {,,,} µε N AB. Εποµέως η δεµευµέη πιθαότητα του Β δεδοµέου του Α είαι ίη µε N AB P B A. N A 8 4 Παρατηρούµε ότι, χρηιµοποιώτας τις χέεις N AB P AB, N P A N A N υάγουµε για τη δεµευµέη πιθαότητα τη έκφραη P AB P B A. P A Σηµειώουµε ότι, ύµφωα µε το κλαικό οριµό της πιθαότητας, η µη δεµευµέη πιθαότητα του Β είαι ίη µε N B 8 P B. N 0 5

40 3 Η πιθαότητα αυτή, τόο τη παρούα περίπτωη του πεπεραµέου δειγµατικού χώρου Ω µε ιοπίθαα δειγµατικά ηµεία όο και ε οποιαδήποτε γεικότερη περίπτωη, όπως ααφέρθηκε και πιο πάω, δύαται α υπολογιθεί µε τη χρήη του θεωρήµατος της ολικής πιθαότητας βλ. Παράδειγµα 7.3. Ο οριµός της δεµευµέης πιθαότητας που ακολουθεί αξιοποιεί τα υµπεράµατα της προηγηθείας αάλυης. Οριµός 7.. Έτω Ω έας δειγµατικός χώρος τοχατικού τυχαίου πειράµατος ή φαιοµέου και A Ω έα εδεχόµεο µε P A > 0. Η δεµευµέη πιθαότητα, δεδοµέου του Α, είαι µία υάρτηη P B A, B Ω, η οποία ορίζεται ως εξής: P AB P B A, B Ω. 7. P A Ότα P A 0, η P B A δε ορίζεται. Για υγκεκριµέο εδεχόµεο B Ω η P B A καλείται δεµευµέη πιθαότητα του Β δεδοµέου του Α. Άµεη υέπεια του οριµού αυτού είαι ότι η P B A, B Ω, ικαοποιεί τα τρία αξιώµατα, α µη αρητικότητας: P B A 0 για κάθε εδεχόµεο B Ω, β ορµαλιµού: P Ω A, γ αριθµήιµης προθετικότητας: P B A B L B L A P B A P B A L P B L για οποιαδήποτε ξέα αµοιβαίως αποκλειόµεα εδεχόµεα Ω,,,...,,... και έτι είαι µια γήια πιθαότητα. Σηµειώουµε ότι από τη ιδιότητα γ υάγεται ως µερική περίπτωη η χέη P B B L B A P B A P B A L P B A για κατά ζεύγη ξέα αµοιβαίως αποκλειόµεα εδεχόµεα B Ω,,,...,. Η δεµευµέη πιθαότητα µπορεί α χρηιµοποιηθεί για τη έκφραη της πιθαότητας της τοµής εδεχοµέω. Χρηιµοποιώτας τη 7. βρίκουµε Ρ ΑΒ Ρ Α Ρ Β Α. 7. Γεικότερα αποδεικύεται το επόµεο θεώρηµα. B

41 3 Θεώρηµα 7.. Πολλαπλαιατικός όµος τω πιθαοτήτω. Έτω Ω A,...,,, εδεχόµεα µε 0 > A A A P L. Τότε 3 A A A A P A A A P A A P A P A A A P L L L. 7.3 Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι A A A A A A A A A L L L, οπότε A P A A P A A A P A A A P L L L και επειδή 0 > A A A P L, έπεται ότι 0 > A P, 0 0,..., > > A A A P A A P L. Εποµέως οι δεµευµέες πιθαότητες το δεξιό µέλος της 7.3 έχου έοια ορίζοται. Σύµφωα µε το οριµό 7. έχουµε A P A A P A A P, 3 3 A A P A A A P A A A P,, A A A P A A A A P A A A A P L L L και υεπώς 3 A A A P A A A P A A P A A A P A P A A P A P A A A P L L L L 3 A A A A P A A A P A A P A P L L. Παράδειγµα 7.. Ας θεωρήουµε µία κληρωτίδα η οποία περιέχει φαιρίδια αριθµηµέα από το µέχρι το και έτω ότι r από τα φαιρίδια αυτά είαι άπρα. Εξάγουµε τυχαία και χωρίς επαάθεη το έα µετά το άλλο κ φαιρίδια. Να υπολογιθεί η πιθαότητα όπως και τα κ εξαγόµεα φαιρίδια είαι άπρα. Έτω j A το εδεχόµεο εξαγωγής άπρου φαιριδίου τη j εξαγωγή,,..., j. Τότε κ A A A L είαι το εδεχόµεο όπως και τα κ εξαγόµεα φαιρίδια είαι άπρα και η ζητουµέη πιθαότητα, ύµφωα µε τη 7.3, είαι κ κ κ A A A A P A A P A P A A A P L L L κ κ r κ κ r r r L.

42 33 Στη περίπτωη του Ελληικού Lotto η κληρωτίδα περιέχει 49 φαιρίδια και κληρώοται κ 6 αριθµοί. Τα r φαιρίδια φέρου τους αριθµούς τους οποίους τοιχηµατίζει κάποιος. Έτι α τοιχηµατίει ε r 6 αριθµούς, η πιθαότητα α πετύχει και τους 6 αριθµούς που κληρώοται είαι 8 p Η πιθαότητα οποιουδήποτε εδεχοµέου δύαται α ααλυθεί ε άθροιµα πιθαοτήτω µε τη χρηιµοποίηη δεµευµέω πιθαοτήτω του εδεχοµέου αυτού. Η αάλυη αυτή απαιτεί τη έοια της διαµέριης του δειγµατικού χώρου Ω η οποία ορίζεται ως εξής: Μία υλλογή A, A,..., A } εδεχοµέω A Ω,,,...,, τα οποία είαι κατά ζεύγη ξέα, { A A, j, και η έωή τους είαι το Ω, A A L A Ω, καλείται διαµέριη του Ω. j Θεώρηµα 7.. Θεώρηµα Ολικής Πιθαότητας, Θ.Ο.Π.. Α τα εδεχόµεα A, A,..., A } αποτελού µία διαµέριη του δειγµατικού χώρου Ω µε P > 0, { κ,,..., και Β είαι έα εδεχόµεο το Ω, τότε Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι όπου τα εδεχόµεα P B P A P B A. 7.4 κ B ΩΒ A A A B A B A B L A B, L κ κ Γ B, κ,,..., είαι κατά ζεύγη ξέα µεταξύ τους κ A κ επειδή για j, Γ Γ A A B βλ. Σχήµα 7.. j j A κ A A A3 L A B A B A B A 3 L B A Ω Σχήµα 7. Εποµέως, ύµφωα µε τη προθετική ιδιότητα της πιθαότητας, έχουµε

43 34 P B P A B P A B L P A. B Επειδή P > 0, από τη 7., έπεται ότι οπότε A κ P A B P A P B A, κ,,...,, κ κ κ P B P A P B A P A P B A L P A P B A. Θεώρηµα 7.3. Θεώρηµα Τύπος του Bayes. A τα εδεχόµεα A, A,..., A } { αποτελού µία διαµέριη του δειγµατικού χώρου Ω µε P > 0, κ,,..., και Β είαι έα εδεχόµεο το Ω µε P B > 0, τότε P Ar P B Ar P Ar B, r,,...,. 7.5 P A P B A κ κ Απόδειξη. Χρηιµοποιώτας το οριµό της δεµευµέης πιθαότητας και το θεώρηµα της ολικής πιθαότητας παίρουµε P Ar B P Ar P B Ar P Ar B, r,,...,. P B P A P B A κ Παρατήρηη 7.. α Οι πιθαότητες P A, κ,,...,, που γωρίζουµε πρι από κ τη εκτέλεη του τυχαίου πειράµατος, καλούται και εκ τω προτέρω a pror πιθαότητες, εώ οι δεµευµέες πιθαότητες P A r B, που υπολογίζουµε µε δεδοµέη τη πραγµατοποίηη του εδεχοµέου Β και εποµέως µετά τη εκτέλεη του τυχαίου πειράµατος, καλούται και εκ τω υτέρω a posteror πιθαότητες. β Συήθως το Θεώρηµα Ολικής Πιθαότητας Θ.Ο.Π. και ο τύπος Bayes εφαρµόζοται για, οπότε A A και A A, µε Α οποιοδήποτε εδεχόµεο τέτοιο ώτε 0 < P A <. Στη περίπτωη αυτή το Θ.Ο.Π. παίρει τη µορφή και ο τύπος Bayes γίεται για P B > 0 κ κ κ A κ P B P A P B A P A P B A, P A P B A P A B P A P B A P A P B A, P A B P A B. γ Είαι εύκολο α διαπιτωθεί ότι ακόµα και α τα ξέα αά εδεχόµεα A...,, A, A δε αποτελού διαµέριη του Ω, οι τύποι 7.4 και 7.5 εξακολουθού

44 35 α ιχύου, µε τη προϋπόθεη ότι B A L A δηλ. το Β µπορεί α υµβεί µόο ε υδυαµό µε κάποιο από τα A,..., A. δ Επίης αξίζει α ηµειωθεί ότι οι 7.4 και 7.5 εξακολουθού α ιχύου και για ακολουθία εδεχοµέω A, A,..., A,... θέτοτας δηλ. τις χέεις αυτές. Παράδειγµα 7.3. Οι ηλεκτρικοί λαµπτήρες προωθούται τη αγορά υκευαµέοι ε χαρτοκιβώτια τω 5 λαµπτήρω. Ας υποθέουµε ότι από έα χαρτοκιβώτιο που περιέχει 3 ελαττωµατικούς λαµπτήρες εξάγουµε λαµπτήρες. Να υπολογιθού οι πιθαότητες τω εδεχοµέω Α και Β εξαγωγής ελαττωµατικού λαµπτήρα κατά τη πρώτη και δεύτερη εξαγωγή ατίτοιχα. α Α οι εξαγωγές γίοται µε επαάθεη, τότε 3 P A, 5 3 P B. 5 β Α οι εξαγωγές γίοται χωρίς επαάθεη, τότε P A 3 5 και η πιθαότητα του εδεχοµέου Β υπολογίζεται µε τη χρηιµοποίηη του Θ.Ο.Π. ως εξής: 3 3 P B P A P B A P A P B A Παράδειγµα 7.4. Έτω ότι 5% τω εγκύω γυαικώ που παρακολουθούται από µία κλιική παρουιάζου βακτηριουρία. Επίης είαι γωτό ότι 30% τω εγκύω γυαικώ που παρουιάζου βακτηριουρία και % τω εγκύω γυαικώ που δε παρουιάζου βακτηριουρία, πάχου από πυελοεφρίτιδα. Να υπολογιθού οι πιθαότητες όπως µία έγκυος γυαίκα που παρακολουθείται τη κλιική αυτή και προέρχεται για προγραµµατιµέη εξέταη α παρουιάει βακτηριουρία και πάχει από πυελοεφρίτιδα, β πάχει από πυελοεφρίτιδα και γ παρουιάζει βακτηριουρία δεδοµέου ότι πάχει από πυελοεφρίτιδα. Ας θεωρήουµε τα εδεχόµεα Α και Β όπως µία έγκυος γυαίκα που παρακολουθείται από τη υγκεκριµέη κλιική παρουιάει βακτηριουρία και πάχει από πυελοεφρίτιδα, ατίτοιχα. Τότε από τα δεδοµέα του προβλήµατος υάγουµε τις πιθαότητες P A 0.05, P A P A 0. 95, P B A 0. 30, P B A α Σύµφωα µε το πολλαπλαιατικό θεώρηµα η ζητουµέη πιθαότητα είαι: P AB P A P B A

45 36 β Εφαρµόζοτας το Θ.Ο.Π. υάγουµε για τη ζητούµεη πιθαότητα: P B P A P B A P A P B A γ Σύµφωα µε το τύπο του Bayes η ζητουµέη πιθαότητα είαι: P A P B A P A B 0.6. P A P B A P A P B A Παράδειγµα 7.5. Ο πληθυµός µίας χώρας καταέµεται, ααφορικά µε τη αθέεια του AIDS, τις οµάδες Α: υψηλού κιδύου, Β: µέτριου κιδύου και Γ: χαµηλού κιδύου, ε ποοτά 5%, 5% και 50%, ατίτοιχα. Είαι γωτό ότι 5% τω ατόµω της οµάδας Α πάχου από τη αθέεια, εώ τα ατίτοιχα ποοτά για τις Β και Γ είαι % και. α Τι ποοτό της χώρας πάχει από AIDS; β Α έα υγκεκριµέο άτοµο πάχει από AIDS, ποιά η πιθαότητα α µη αήκει τη οµάδα υψηλού κιδύου Α; Έτω Π το ύολο τω ατόµω που πάχου. α Αφού Ρ Π A 0. 05, Ρ Π Β 0. 0 και Ρ Π Γ 0. 00, έχουµε από το Θ.Ο.Π. Ρ Π Ρ Π Α Ρ Α Ρ Π Β Ρ Β Ρ Π Γ Ρ Γ %. Άρα το.55% τω ατόµω πάχου. β Η πιθαότητα α αήκει τη οµάδα υψηλού κιδύου, Ρ Α Π, βρίκεται από το τύπο Bayes: Ρ Π Α Ρ Α Ρ Α Π. Ρ Π Άρα, η πιθαότητα α µη αήκει τη οµάδα Α είαι 6 Ρ Α Π Ρ Α Π. 3 Ευαιθηία και ειδικότητα εός διαγωτικού τετ ύο βαικά ποοτά τη ιατρική τατιτική και επιδηµιολογία χετικά µε τη εµφάιη µιας αθέειας είαι ο επιπολαµός ή επικράτηη prealence και η προβλητικότητα ή επίπτωη?? που ορίζοται ως εξής: # περιπτώεω ε µία χροική "τιγµή" t Επιπολαµός # ατόµω του πληθυµού τη "τιγµή" t

46 37 και # έω περιπτώεω ε δεδοµέη περίοδο Επίπτωη. µέος πληθυµός τη ίδια περίοδο Για παράδειγµα, α έα πληθυµό 00 ατόµω παρατηρήθηκα µέα έα έτος 0 κρούµατα της αθέειας εώ µέα το µήα π.χ. Μάρτιο εµφαίτηκα για πρώτη φορά 4 έα κρούµατα τότε ο επιπολαµός της αθέειας το Μάρτιο είαι 4 /00 4% εώ η ετήια επίπτωη είαι 0 /00 0%. Είαι γωτό ότι κατά καόα έα τετ υπόκειται ε έα ποοτό εφαλµέης διαγωτικής ιχύος. Μπορεί έα άτοµο α µη πάχει από υγκεκριµέη αθέεια και παρόλα αυτά το τετ α είαι θετικό. Όπως και ατίτροφα, έα τετ α βγει αρητικό για άτοµο που πάχει από δεδοµέη αθέεια. ύο µέτρα της ορθότητας του διαγωτικού τετ, όο άφορά τη ααγώριη µιας αθέειας είαι η ευαιθηία senstty και η ειδικότητα specfcty του διαγωτικού τετ. Έτω τα παρακάτω εδεχόµεα: Τ Τ : Το διαγωτικό τετ είαι θετικό : Το διαγωτικό τετ είαι αρητικό Α : Έα άτοµο α είαι πράγµατι Αθεής Α : Έα άτοµο α µη πάχει από τη υγκεκριµέη αθέεια. Έτω επίης ότι για a b c d άτοµα που υποβλήθηκα ε έα διαγωτικό τετ για τη διάγωη µιας αθέειας προέκυψα τα παρακάτω δεδοµέα: Παράγοτες αθέειας Αποτέλεµα διαγωτικού Αθεής Υγιής Σύολο τετ a b a b c d c d Σύολο a c b d a b c d Τότε µε τη βοήθεια τω εδεχοµέω αυτώ οι ποότητες που χαρακτηρίζου τη ποιότητα ορθότητα εός διαγωτικού τετ είαι: a d Ευαιθηία P[ T A ], Ειδικότητα P[ T A ]. a c b d

47 38 Η ευαιθηία δηλαδή εός διαγωτικού τετ είαι η πιθαότητα ορθής διάγωης µιας αθέειας, εώ ειδικότητα είαι η πιθαότητα το τετ α βγει αρητικό για υγιές άτοµο. Αυτό που κυρίως µας εδιαφέρει είαι η πιθαότητα έα άτοµο α πάχει πράγµατι από µία αθέεια ότα το διαγωτικό τετ βγει θετικό, δηλαδή η προβλεπτική ή διαγωτική αξία predcte alue τόο του θετικού όο και του αρητικού τετ και τα οποία ορίζοται από τις χέεις: ιαγωτική αξία θετικού τετ P[ A T ] a a b και d ιαγωτική αξία αρητικού τετ P[ A T ]. c d Η χρηιµότητα της διαγωτικής αξίας εός τετ έγκειται το ότι έχουµε υήθως εκτιµήεις της ευαιθηίας και της ειδικότητας, οπότε εφαρµόζοτας το Θεώρηµα Bayes βρίκουµε: P A T P T A P T P A A P A P T A P A εευαιθηα εεπιπολα ός εευαιθηα εεπιπολα ός - ειδικότητα- επιπολαµός όπου a c Επιπολαµός P A. a b c d Αάλογα, ορίζεται η διαγωτική αξία αρητικού τετ. Είαι προφαές από το παραπάω πίακα ότι ιχύου τα εξής: Ποοτό λαθαµέω θετικώ διαγώεω P[ T A b ] b d και c Ποοτό λαθαµέω αρητικώ διαγώεω P[ T A ]. a c Παράδειγµα 7.6. Ας υποθέουµε ότι το ποοτό µιας αθέειας επιπολαµός έα δεδοµέο πληθυµό είαι 5%. Έτω επίης ότι 80% από εκείους που έχου τη αθέεια εµφαίζου έα οριµέο εργατηριακό εύρηµα εώ µόο 0% από τους µη αθεείς παρουιάζου το ίδιο εύρηµα. Ποια είαι η πιθαότητα έα τυχαίο άτοµο

48 39 του πληθυµού που εµφαίζει το υγκεκριµέο εύρηµα α έχει πράγµατι τη αθέεια; Α υµβολίουµε µε απουία αθέειας, A το εδεχόµεο αθέεια, A το εδεχόµεο T το εδεχόµεο εµφάιη ευρήµατος τετ θετικό και T το εδεχόµεο απουία του ευρήµατος τετ αρητικό, τότε έχουµε: P A 0.05, P A P A , P T A 0.80, P T A P T A 0.0, P T A 0.0, P T A P T A Από το Θεώρηµα Bayes, η θετική προβλεπτική αξία του τετ είαι P A T P T A P T P A A P A P T A P A % ηλαδή, εά έα άτοµο εµφαίζει το ύµπτωµα έχει εκ τω υτέρω, a posteror πιθαότητα 30% α πάχει πράγµατι από τη υγκεκριµέη αθέεια, εώ ατίθετα η a-pror εκ τω προτέρω πιθαότητα α πάχει είαι µόο 5%. 8. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ Ας θεωρήουµε έα δειγµατικό χώρο Ω και δύο εδεχόµεα A, B Ω. Από το οριµό της δεµευµέης πιθαότητας υάγουµε ότι α α τα εδεχόµεα Α και Β είαι ξέα µεταξύ τους, AB, τότε P B A 0, επειδή δεδοµέης της πραγµατοποίηης του εδεχοµέου Α αποκλείεται η πραγµατοποίηη του εδεχοµέου Β, εώ β α το εδεχόµεο Α είαι υποεδεχόµεο του εδεχοµέου Β, A B, τότε P B A, επειδή η πραγµατοποίηη του εδεχοµέου Α υεπάγεται τη πραγµατοποίηη και του εδεχοµέου Β. Αυτές είαι οι δύο ακραίες περιπτώεις όπου η γώη της πραγµατοποίηης του εδεχοµέου Α µας παρέχει µία πολύ θετική πληροφορία για τη πιθαότητα πραγµατοποίηης του εδεχοµέου Β. Υπάρχου όµως και περιπτώεις τις οποίες η γώη της πραγµατοποίηης εός εδεχοµέου Α δε έχει καµµιά επίδραη τη πραγµατοποίηη ή µη του εδεχοµέου Β, δηλαδή P B A P B. Στη περίπτωη αυτή το εδεχόµεο Β καλείται τοχατικώς αεξάρτητο του εδεχοµέου Α. Επειδή, ύµφωα µε το πολλαπλαιατικό όµο, ιχύει

49 40 P AB P A P B A P B P A B, τη περίπτωη που το εδεχόµεο Β είαι τοχατικώς αεξάρτητο του εδεχοµέου Α έπεται ότι P AB P A P B A P A B P A, P B P B δηλαδή και το εδεχόµεο Α είαι τοχατικώς αεξάρτητο του εδεχοµέου Β και επιπλέο P AB P A P B. Με τη χρηιµοποίηη της τελευταίας αυτής χέης ειάγεται η έοια της αεξαρτηίας δύο εδεχοµέω. Συγκεκριµέα θέτουµε το ακόλουθο οριµό. Οριµός 8.. Έτω Ω έας δειγµατικός χώρος τοχατικού τυχαίου πειράµατος ή φαιοµέου και A, B Ω. Τα εδεχόµεα Α και Β καλούται τοχατικώς αεξάρτητα α και µόο α ιχύει η χέη P AB P A P B. 8. Παρατήρηη 8.. Α δύο εδεχόµεα Α και Β είαι αεξάρτητα, τότε και τα εδεχόµεα Α και B είαι αεξάρτητα. Τούτο υάγεται από το υδυαµό τω εξής παρατηρήεω: α Η αεξαρτηία τω εδεχοµέω Α και Β υεπάγεται ότι η γώη της πραγµατοποίηης του Α δε επιδρά τη πραγµατοποίηη ή µη του Β και β η πραγµατοποίηη του Β αποκλείει τη πραγµατοποίηη του B. Το υµπέραµα αυτό µπορεί α διαπιτωθεί µε τη χρηιµοποίηη τω χέεω P AB P A P AB, P B P B και της υπόθεης της αεξαρτηίας τω Α και Β, P AB P A P B, ως εξής: P AB P A P AB P A P A P B P A[ P B] P A P B. Aάλογα διαπιτώεται ότι, τη περίπτωη αυτή, και τα εδεχόµεα A και Β, όπως επίης και τα εδεχόµεα A και B, είαι αεξάρτητα Άκηη 0. Παράδειγµα 8.. Έτω ότι µία οικογέεια µε 3 παιδιά επιλέγεται τυχαία. Ας θεωρήουµε το εδεχόµεο Α όπως η επιλεγόµεη οικογέεια έχει παιδιά και τω δύο φύλω και το εδεχόµεο Β όπως έχει το πολύ έα κορίτι. Να εξεταθεί κατά πόο τα εδεχόµεα Α και Β είαι αεξάρτητα. Παρατηρούµε ότι η τοµή AB είαι το εδεχόµεο η επιλεγόµεη οικογέεια α έχει ακριβώς έα κορίτι. Εύκολα υπολογίζοται οι πιθαότητες:

50 4 3 P A B, 8 3 P A P A, 8 4 P B. Eποµέως ιχύει η χέη 8. και τα εδεχόµεα Α και Β είαι αεξάρτητα. Η έοια της τοχατικής αεξαρτηίας εδεχοµέω µπορεί α επεκταθεί για περιότερα από δύο εδεχόµεα. Ας θεωρήουµε αρχικά τρία εδεχόµεα A, A A Ω και ας υποθέουµε ότι είαι κατά ζεύγη αεξάρτητα οπότε ιχύου οι, χέεις 3 P A A P A P, A P A A P A P, 8. 3 A3 P A A P A P. 3 A3 Η αεξαρτηία του A τόο από το A όο και από το A 3 δε υεπάγεται κατ αάγκη τη αεξαρτηία του A από τη τοµή A A3 βλ. Παράδειγµα 8.. Παρατηρούµε ότι α, επιπλέο τω 8., ιχύει και η χέη τότε ιχύει και η χέη P A A A ] P A P A, 8.3 [ 3 A3 P A A A P A P A P A3 Ατίτροφα α, επιπλέο τω 8., ιχύει και η 8.4, τότε ιχύει και η 8.3, όπως επίης και οι χέεις P A A A ] P A P A, 8.5 [ 3 A3 P A A A ] P A P A. 8.6 [ 3 3 A Μετά τις προκαταρκτικές αυτές παρατηρήεις θέτουµε το ακόλουθο οριµό της τοχατικής αεξαρτηίας εδεχοµέω. Οριµός 8.. Έτω Ω έας δειγµατικός χώρος τοχατικού τυχαίου πειράµατος ή φαιοµέου και A, A,..., A Ω. Τα εδεχόµεα A, A,..., A καλούται αµοιβαίως ή πλήρως τοχατικώς αεξάρτητα α και µόο α ιχύου οι χέεις P A A L A P A P A LP A 8.7 κ κ για κάθε υδυαµό,,..., } τω δεικτώ {,,..., } αά κ και για κάθε κ,3,...,. { κ Σύµφωα µε το οριµό αυτό, για τη αεξαρτηία 3 εδεχοµέω απαιτείται α ιχύου οι χέεις 8. και 8.4.

51 4 Παράδειγµα 8.. Κατά ζεύγη αλλά όχι πλήρως αεξάρτητα εδεχόµεα. Ας θεωρήουµε δύο διαδοχικές ρίψεις εός υήθους κύβου και έτω A το εδεχόµεο εµφάιης άρτιου αριθµού τη πρώτη ρίψη, A το εδεχόµεο εµφάιης άρτιου αριθµού τη δεύτερη ρίψη και A 3 το εδεχόµεο το άθροιµα τω αριθµώ που εµφαίζοται

52 4 τις δύο ρίψεις α είαι άρτιος αριθµός. Να εξεταθεί κατά πόο τα εδεχόµεα A, A και A 3 είαι αεξάρτητα. Ο δειγµατικός χώρος Ω του τυχαίου πειράµατος τω δύο ρίψεω του κύβου περιλαµβάει N Ω 6 36 ιοπίθαα δειγµατικά ηµεία, που είαι οι διατάξεις τω 6 αριθµώ εδρώ {,,...,6} αά µε επαάληψη. Επίης και A {,,,,,3,, 4,,5,,6,4,,4,,4,3, 4,4,4,5,4,6,6,,6,,6,3,6,4,6,5,6,6}, A {,,, 4,,6,,,, 4,,6,3,,3, 4,3,6, 4,,4,4,4,6,5,,5,4,5,6,6,,6,4,6,6}, A {,,,3,,5,,,,4,,6,3,,3,3,3,5, 3 4,,4,4,4,6,5,,5, 3,5,5,6,,6,4,6,6}. A A A A3 A A3 A A A3 {,,,4,,6,4,,4,4,4,6,6,,6,4,6,6}. Σύµφωα µε το κλαικό οριµό της πιθαότητας, και έτι εώ 8 P A P A P A3, 36 9 P A A P A A3 P A A3, P A A A3 36 P A A P A P, P A A P A P, P A A P A P, A 4 3 A3 P A A A P A P A P. 3 A3 3 A3 Εποµέως τα εδεχόµεα A, A και A 3 είαι κατά ζεύγη αεξάρτητα εώ δε είαι πλήρως αεξάρτητα. Παράδειγµα 8.3. Ας θεωρήουµε µία ακολουθία τριώ ρίψεω εός υήθους οµίµατος. Έτω A j το εδεχόµεο της εµφάιης τη j ρίψη της όψης κεφαλή

53 43 κορώα, j,, 3. Να εξεταθεί κατά πόο τα εδεχόµεα A, A και A 3 είαι αεξάρτητα. Ο δειγµατικός χώρος είαι το ύολο και Ω { γ, γ, γ, γ, γ, κ, γ, κ, γ, κ, γ, γ, γ, κ, κ, κ, γ, κ, κ, κ, γ, κ, κ, κ } Επίης A { κ, γ, γ, κ, γ, κ, κ, κ, γ, κ, κ, }, κ A { γ, κ, γ, γ, κ, κ, κ, κ, γ, κ, κ, }, κ A { γ, γ, κ, γ, κ, κ, κ, γ, κ, κ, κ, }. 3 κ A A { κ, κ, γ, κ, κ, }, A A { κ, γ, κ, κ, κ, }, κ 3 κ A A { γ, κ, κ, κ, κ, }, A A A { κ, κ, }. 3 κ Σύµφωα µε το κλαικό οριµό της πιθαότητας, και έτι 3 κ 4 P A P A P A3, 8 P A A P A A3 P A A3, 8 4 P A A A3 P A A P A P, P A A P A P, P A A P A P, A 8 3 A3 P A A A P A P A P. 3 A3 Εποµέως τα εδεχόµεα A, A και A 3 είαι πλήρως αεξάρτητα. 3 A3 9. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΟΚΙΜΕΣ Η έοια τω αεξαρτήτω δοκιµώ εός τυχαίου πειράµατος αποτελεί βαικό τοιχείω τω περιοτέρω τοχατικώ προτύπω µοτέλω που µελετά η Θεωρία τω Πιθαοτήτω. Για τη ειαγωγή της έοιας αυτής ας θεωρήουµε αρχικά δύο τυχαία πειράµατα µε δειγµατικούς χώρους Ω και Ω. Η διαδοχική ή και ταυτόχροη εκτέλεη τω δύο αυτώ τυχαίω πειραµάτω ορίζει έα διδιάτατο ύθετο τυχαίο πείραµα. Έας κατάλληλος δειγµατικός χώρος για τη µελέτη του τυχαίου αυτού πειράµατος είαι το καρτειαό ή υδυατικό γιόµεο

54 44 Ω Ω { ω, ω : ω Ω, ω Ω}. Έα διδιάτατο ύθετο τυχαίο πείραµα το οποίο υίταται τη διαδοχική εκτέλεη εός τυχαίου πειράµατος µε δειγµατικό χώρο Ω καλείται ειδικότερα ακολουθία δύο δοκιµώ του τυχαίου αυτού πειράµατος. Στη ειδική αυτή περίπτωη, τη οποία Ω Ω και Ω Ω, ο δειγµατικός χώρος είαι το καρτειαό γιόµεο του Ω µε το εαυτό του, Ας θεωρήουµε έα εδεχόµεο Ω { ω, ω : ω Ω,, }. A Ω ως προς το δειγµατικό χώρο Ω,,. Το εδεχόµεο αυτό ως προς το δειγµατικό χώρο Ω Ω, του υθέτου πειράµατος, εκφράζεται από το ύολο B Ω Ω,,, όπου B A Ω και B Ω A. Τα εδεχόµεα B και B ααφέροται ως εδεχόµεα εξαρτώµεα από το πρώτο και δεύτερο τυχαίο πείραµα, ατίτοιχα. Ειδικότερα, τη περίπτωη που Ω Ω και Ω Ω τα εδεχόµεα B και B ααφέροται ως εδεχόµεα εξαρτώµεα από τη πρώτη και δεύτερη δοκιµή του τυχαίου πειράµατος, ατίτοιχα. Η πραγµατοποίηη ή µη του εδεχοµέου B εξαρτάται αποκλειτικά από το αποτέλεµα του -οτού πειράµατος ή της -οτής δοκιµής,,. Η έοια της τοχατικής αεξαρτηίας εδεχοµέω µεταφέρεται και ε τυχαία πειράµατα και κατά υέπεια και ε δοκιµές τυχαίου πειράµατος. Συγκεκριµέα έχουµε: ύο τυχαία πειράµατα µε δειγµατικούς χώρους Ω και Ω καλούται αεξάρτητα α και µόο α ιχύει η χέη P B B P B P 9. B για κάθε B A Ω και B Ω A εδεχόµεα ως προς το δειγµατικό χώρο Ω Ω εξαρτώµεα από το πρώτο και δεύτερο τυχαίο πείραµα, ατίτοιχα. Η ηµαία τω αεξαρτήτω τυχαίω πειραµάτω και ειδικότερα τω αεξαρτήτω δοκιµώ τυχαίου πειράµατος, έγκειται κυρίως το ότι δύαται α χρηιµοποιηθού για τη κατακευή χρηίµω τοχατικώ προτύπω µοτέλω. Στη περίπτωη αυτή δε αρχίζει κάποιος ορίζοτας αξιωµατικά τη πιθαότητα P B για κάθε εδεχόµεο B Ω Ω και µετά εξετάζοτας κατά πόο ικαοποιείται η χέη 9. διαπιτώει τη αεξαρτηία τω τυχαίω πειραµάτω ή τω δοκιµώ του τυχαίου πειράµατος. Ατίθετα µάλιτα, ορίζοται πρώτα οι πιθαότητες P A για κάθε εδεχόµεο A Ω, και µετά υποθέτοτας ότι τα τυχαία πειράµατα είαι αεξάρτητα ορίζεται η πιθαότητα P B για κάθε εδεχόµεο B Ω Ω έτι ώτε α ιχύει η χέη 9.. Σηµειώουµε ότι, από

55 45 πρακτική άποψη, η υπόθεη της αεξαρτηίας τω τυχαίω πειραµάτω διατυπώεται µετά τη εξέταη τω υθηκώ κάτω από τις οποίες εκτελούται και ύµφωα µε τα αποτελέµατα ειράς παρατηρήεω. Ας υποθέουµε για απλότητα ότι οι δειγµατικοί χώροι Ω και Ω είαι διακριτοί. Ο οριµός της πιθαότητας P B για κάθε εδεχόµεο B Ω Ω µέω τω πιθαοτήτω P A για κάθε εδεχόµεο A Ω,, τη περίπτωη που υποθέτουµε ότι τα τυχαία πειράµατα είαι αεξάρτητα, επιτυγχάεται ως εξής: Αρχικά, χρηιµοποιώτας τη 9., ορίζεται η πιθαότητα για κάθε τοιχειώδες εδεχόµεο { ω, ω } του δειγµατικού χώρου Ω Ω : P { ω, ω } P{ ω} P{ ω}. Η πιθαότητα P B για κάθε εδεχόµεο B Ω Ω, ορίζεται τότε, µέω της πιθαότητας τω τοιχειωδώ εδεχοµέω, από τη χέη P B ω, ω B P{ ω, ω }. Παρατηρούµε ότι α B A Ω και B Ω A, τότε Επίης και έτι P B P, P B P. A A P A A P A P A P B B P B P. B Οι αωτέρω έοιες και υµπεράµατα επεκτείοται, χωρίς καµµιά περαιτέρω δυκολία, ε οποιοδήποτε πεπεραµέο αριθµό τυχαίω πειραµάτω ή δοκιµώ τυχαίου πειράµατος. Παράδειγµα 9.. Ας θεωρήουµε µια ακολουθία 5 ρίψεω εός ζεύγους διακεκριµέω κύβω. Να υπολογιθεί η πιθαότητα όπως ε τουλάχιτο ρίψεις ο αριθµός που εµφαίζει ο δεύτερος κύβος υπερβαίει το αριθµό που εµφαίζει ο πρώτος κύβος. Ας θεωρήουµε, αρχικά, το τυχαίο πείραµα της ρίψης εός ζεύγους διακεκριµέω κύβω µε δειγµατικό χώρο Ω {, j :,,...,6, j,,...,6},

56 46 ο οποίος περιλαµβάει N Ω 6 36 ιοπίθαα δειγµατικά ηµεία. Το εδεχόµεο Α όπως ο αριθµός που εµφαίζει ο δεύτερος κύβος υπερβαίει το αριθµό που εµφαίζει ο πρώτος κύβος, A {, j : j,,...,6,,,...,5}, περιλαµβάει N A 5 δειγµατικά ηµεία. Χαρακτηρίζοτας ως επιτυχία ε το εδεχόµεο Α και ως αποτυχία α το υµπληρωµατικό εδεχόµεο A, ο δειγµατικός χώρος Ω δύαται α παραταθεί ως Ω {α, }. Τότε ε 5 5 p P{ ε}, 36 7 q P{ α}. 36 Περαιτέρω, ο δειγµατικός χώρος του τυχαίου πειράµατος µιας ακολουθίας 5 ρίψεω εός ζεύγους διακεκριµέω κύβω είαι το Ω 5 { ω, ω, ω 3, ω 4, ω 5 : ω { α, ε},,,3,4,5 }. To εδεχόµεο Β πραγµατοποίηης κ επιτυχιώ ε 5 ρίψεις δοκιµές: B { ω, ω, ω3, ω 4, ω5 : ω ε για κ ακριβώς δείκτες {,,3, 4,5}} 5 περιλαµβάει δειγµατικά ηµεία, όα και ο αριθµός τω επιλογώ τω κ θέεω k για τις επιτυχίες από τις 5 υολικά θέεις. Επιπλέο κάθε τέτοιο δειγµατικό ηµείο, το οποίο περιλαµβάει ε κ θέεις το ε και ε 5 κ θέεις το α, έχει πιθαότητα P { ω, ω, ω3, ω4, ω5 } P{ ω} P{ ω} P{ ω3} P{ ω4} P{ ω5} 5 κ 5κ 7 Εποµέως η πιθαότητα p κ PB δίδεται από τη κ 5κ p κ, κ 0,,..., 5. κ Η πιθαότητα όπως ε τουλάχιτο ρίψεις ο αριθµός που εµφαίζει ο δεύτερος κύβος υπερβαίει το αριθµό που εµφαίζει ο πρώτος κύβος, έτω Q, η οποία είαι ίη µε τη πιθαότητα τουλάχιτο επιτυχιώ, είαι ίη µε Q p0 p Παράδειγµα 9.. Nόµος κληροοµικότητας του Mendel. Η κληροοµικότητα χαρακτηριτικώ οφείλεται ε ειδικούς φορείς καλουµέους γοίδια. Τα κύτταρα

57 47 εός οργαιµού, µε εξαίρεη τους γαµέτες που είαι τα κύτταρα ααπαραγωγής, φέρου γοίδια κατά ζεύγη τα οποία είαι είτε του τύπου Α είτε του τύπου α. Έτι αάλογα µε τα ζεύγη τω γοιδίω που φέρου τα κύτταρα κάθε οργαιµός αήκει ε έα από τους τρεις γοότυπους ΑΑ, Αα και αα δε υπάρχει διάκριη µεταξύ τω Αα και αα. Οι γαµέτες φέρου έα µόο γοίδιο που τη περίπτωη τω γοοτύπω ΑΑ και αα είαι του τύπου Α και α, ατίτοιχα, εώ τη περίπτωη του γοοτύπου Αα είαι εξίου πιθαό α είαι του τύπου Α ή του τύπου α. Τα παιδιά κληροοµού από τους γοείς τους τα γοίδια έα από το καθέα. Έτω ότι οι γοότυποι ΑΑ, Αα και αα εµφαίζοται ε ποοτά p, q και r ατίτοιχα µε p q r αεξάρτητα φύλου. Οι πιθαότητες τω τριώ γοοτύπω ΑΑ, Αα και αα για οποιοδήποτε απόγοο γοέω που εκλέγοται τυχαία δύαται α υπολογιθού ως εξής: Ας θεωρήουµε τα εδεχόµεα A, A και A 3 όπως έα αρεικό άτοµο το οποίο εκλέγεται τυχαία από το αρχικό πληθυµό είαι του γοοτύπου ΑΑ, Αα και αα, ατίτοιχα και τα εδεχόµεα B, B και B 3 όπως έα θηλυκό άτοµο το οποίο εκλέγεται τυχαία από το αρχικό πληθυµό είαι του γοοτύπου ΑΑ, Αα και αα, ατίτοιχα. Επίης ας θεωρήουµε τα εδεχόµεα Α και Β όπως έας απόγοος ζευγαρώµατος δύο ατόµω αρεικού και θηλυκού του αρχικού πληθυµού κληροοµήει το γοίδιο Α από το πατέρα και τη µητέρα, ατίτοιχα. Τότε, ύµφωα µε το θεώρηµα της ολικής πιθαότητας, και P A P A P A A P A P A A p q p q εφ όο p q r. Οµοίως P A P A p q q r P B p q, P B q r. Ας θεωρήουµε τώρα και τα εδεχόµεα Γ, Γ και Γ 3 όπως έας απόγοος ζευγαρώµατος δύο ατόµω αρεικού και θηλυκού του αρχικού πληθυµού είαι του γοοτύπου ΑΑ, Αα και αα, ατίτοιχα. Τότε Γ AB, Γ AB A B και Γ A B 3. Τα εδεχόµεα Α και Β είαι αεξάρτητα, οπότε τόο τα εδεχόµεα Α και B όο και τα εδεχόµεα A και Β και τα εδεχόµεα A και B είαι αεξάρτητα βλ. Παρατήρηη 8.. Εποµέως P Γ q P AB P A P B p

58 48 P Γ P AB A B P AB P A B P A P B P A P B p q q r, P Γ r. 3 P A B P A P B q ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ.. Η ειρά εξέταης τεάρω µαθηµάτω α, β, γ και δ καθορίζεται µε κλήρωη για τη αποφυγή διαµαρτυριώ είτε από τους εξεταζόµεους είτε από τους επιτηρητές. Να οριθεί κατάλληλος δειγµατικός χώρος για τη περιγραφή του τυχαίου αυτού πειράµατος. Έτω ότι Α είαι το εδεχόµεο το µάθηµα α α εξεταθεί πρώτο και Β το εδεχόµεο το µάθηµα β α εξεταθεί δεύτερο. Να καταχωρηθού τα δειγµατικά ηµεία τω εδεχοµέω A, B, A B και A B.. Κατά τη τυχαία εκλογή µιας οικογέειας 4 παιδιώ εδιαφερόµατε για τα εδεχόµεα: A όπως ο αριθµός τω αγοριώ ιούται µε το αριθµό τω κοριτιώ, Β όπως αγόρια και κορίτια εαλλάοται ααφορικά µε τη ειρά γέηης και Γ όπως τρία παιδιά του ιδίου φύλου γεούται διαδοχικά. Ποιος είαι ο καταλληλότερος δειγµατικός χώρος Ω που µπορούµε α χρηιµοποιήουµε και ποια τα δειγµατικά ηµεία που αήκου ε κάθε έα από τα εδεχόµεα που µας εδιαφέρου. 3. Ας θεωρήουµε το δειγµατικό χώρο Ω εός τοχατικού πειράµατος και έτω Α,Β Ω εδεχόµεα µε P A 3P B 4P AB, P B A /. Να υπολογιθού οι πιθαότητες P A, P B και P AB και τη υέχεια οι πιθαότητες P A B, P A B, P A B, P AB A B. 4. Α P A 3/ 4, P B / 3 και P AB 3/ 5 α υπολογιθού οι πιθαότητες: P A B, P A B και P A B. 5. Α A είαι το υµπληρωµατικό εός εδεχοµέου Α και ιχύει P A P A / 5 α υπολογιθεί η πιθαότητα P A. 6. Α P A P B P AB, α αποδείξετε ότι P A P B. 3

59 49 7. Α P A /, P B / 3 και P A B / 3 α εξεταθεί κατά πόο τα εδεχόµεα Α και Β είαι αεξάρτητα. Οµοίως α P A /, P B / 5 και P A B 3/ Α Ρ Α 3/ 4 και Ρ Β 3/ 8, δείξτε ότι: α Ρ Α Β 3/ 4, β 3 Ρ ΑΒ. 8 8 Να βρεθού αάλογες αιότητες α Ρ Α / 3, Ρ Β / Αποδείξτε τους όµους De Morgan: α A A A L A, και β L A A A L A. L 0. Α τα εδεχόµεα Α και Β είαι αεξάρτητα, αποδείξτε ότι α τα Α και B είαι αεξάρτητα, β τα A και Β είαι αεξάρτητα, και γ τα A και B είαι αεξάρτητα.. Να δειχθού τα και της Παρατήρηης 6. µε τη βοήθεια του Σχήµατος 6... Ρίχουµε υµµετρικά ζάρια. Υπολογίτε τη πιθαότητα όπως η µεγαλύτερη έδειξη από τις είαι η κ, για κ,,3,4,5, Εκλέγουµε 0 τραπουλόχαρτα από µία τράπουλα. Ποια η πιθαότητα α διαλέξουµε ακριβώς κ κόκκια, για κ 0,,..., 0 ; 4. Πρόβληµα de Méré. Τι είαι πιο πιθαό, α φέρουµε τουλάχιτο έα έξι ε 4 ρίψεις εός ζαριού, ή τουλάχιτο µία φορά εξάρες ε 4 ρίψεις δύο ζαριώ; 5. Έτω ότι έας αριθµός τηλεφώου εκλέγεται τυχαία από το τηλεφωικό κατάλογο. Να υπολογιθεί η πιθαότητα όπως και τα τέερα τελευταία ψηφία του είαι διαφορετικά. 6. Aποβιβάεις αελκυτήρα. Έτω ότι αελκυτήρας -όροφης οικοδοµής ξεκιά από το ιόγειο µε κ άτοµα. Να υπολογιθού οι πιθαότητες αποβίβαης α και τω κ ατόµω ε διαφορετικό όροφο, β r, r,..., r ατόµω από τα κ τους ορόφους,,...,, ατίτοιχα, µε r r L r κ. 7. Ας θεωρήουµε έα τραπέζι το οποίο είαι χωριµέο ε ιόπλευρα τρίγωα πλευράς α. Έα όµιµα διαµέτρου r µε r < α τοποθετείται τυχαία το τραπέζι. Να υπολογιθεί η πιθαότητα όπως το όµιµα κείται το εωτερικό τριγώου.

60 50 8. Έτω Ω ω, ω,..., ω } ο δειγµατικός χώρος εός τοχατικού { πειράµατος. Α P{ ω } P{ ω },,,...,, α υπολογιθού οι πιθαότητες τω τοιχειωδώ εδεχοµέω P{ ω },,,...,. Επιπλέο α υπολογιθεί η πιθαότητα του εδεχοµέου Α ω, ω,..., ω }, κ. { κ 9. Ας θεωρήουµε το τυχαίο πείραµα 5 διαδοχικώ ρίψεω δύο διακεκριµέω κύβω. Να υπολογιθεί η πιθαότητα όπως κάθε έα από τα ζεύγη 5,6, 6,5 και 6,6 εµφαιθεί µία τουλάχιτο φορά. 0. Έτω ότι το ποοτό τω γυαικώ µιας οριµέης περιοχής που πάχου από καρκίο της µήτρας είαι Το τετ Παπαικολάου κάει ορθή διάγωη της αθέειας µε πιθαότητα εδοµέου ότι το τετ για µια γυαίκα είαι θετικό ποια είαι η πιθαότητα α πάχει πραγµατικά από καρκίο;. Έτω ότι έας γιατρός ότα, µετά από κλιική εξέταη και µία ειρά αρχικώ εργατηριακώ εξετάεω, είαι τουλάχιτο κατά 80% βέβαιος ότι έας αθεής του έχει µία υγκεκριµέη αθέεια υιτά χειρουργική επέµβαη, εώ ε ατίθετη περίπτωη υτήει πρόθετες επώδυες και πολυέξοδες εξετάεις. Ας θεωρήουµε έα αθεή για το οποίο ο γιατρός, µετά από κλιική εξέταη, είαι κατά 60% βέβαιος ότι έχει τη υγκεκριµέη αθέεια και υιτά µια ειρά αρχικώ εξετάεω, η οποία κάει ορθή διάγωη της αθέειας ε 99% τω περιπτώεω. Το αποτέλεµα τω εξετάεω αυτώ είαι θετικό και ο γιατρός είαι έτοιµος α υτήει χειρουργική επέµβαη ότα για πρώτη φορά ο αθεής του ααφέρει ότι είαι διαβητικός. Η πληροφορία αυτή περιπλέκει τα πράγµατα γιατί η αρχική αυτή ειρά τω εξετάεω εώ ε υγιείς κάει λάθος διάγωη ε % τω περιπτώεω, ε διαβητικούς κάει λάθος διάγωη ε 30% τω περιπτώεω. Συεκτιµώτας το αποτέλεµα της ειράς τω αρχικώ εξετάεω και το έο δεδοµέο ότι ο αθεής είαι διαβητικός ποιά πρέπει α είαι η απόφαη του γιατρού;. Ας θεωρήουµε το ύολο τω αθεώ που επικέπτοται τα εξωτερικά ιατρεία εός οοκοµείου ε µία υγκεκριµέη µέρα εφηµερίας και τα εδεχόµεα όπως έας αθεής που προέρχεται για εξέταη Α: πάχει από οβαρή αθέεια, Β: χρειαθεί ειαγωγή το οοκοµείο και Γ: είαι κάτω τω 50 ετώ. Έτω ότι ιχύου τα εξής: P A 0. 30, P B 0. 5, P Γ 0. 40, P AB 0. 5, P ΑΓ 0.0, P ΒΓ 0. 0 και P ΑΒΓ Να υπολογιθού οι πιθαότητες P A B, P A B Γ, P A Γ και P AB Γ. 3. Ας θεωρήουµε έα ύολο κ ατόµω { α, α,..., α κ, ακ } τω οποίω καταγράφουµε τα γεέθλια. Να υπολογιθεί η πιθαότητα όπως το υγκεκριµέο

61 5 άτοµο α έχει γεέθλια τη ίδια µέρα µε έα τουλάχιτο από τα υπόλοιπα κ κ άτοµα α, α,..., }. { α κ 4. Οι εταιρείες αφάλιης αυτοκιήτω κατατάου τους οδηγούς ε 0 κατηγορίες αάλογα µε τη πιθαότητα που έχου α προκαλέου δυτύχηµα. Έτω ότι η πιθαότητα όπως έας οδηγός της κατηγορίας κ έχει ε έα δωδεκάµηο έα τουλάχιτο δυτύχηµα είαι κ / 00, κ,,..., 0. Ας θεωρήουµε µία αφαλιτική εταιρεία τη οποία τα κ / 55 τω οδηγώ που αφαλίζει αήκου τη κ κατηγορία κ,,...,0. Α έας οδηγός αφαλιµέος τη εταιρεία αυτή ααφέρει έα τουλάχιτο δυτύχηµα ε έα δωδεκάµηο ποια είαι η πιθαότητα α αήκει τη κ κατηγορία, κ,,..., 0 ; 5. Έτω ότι ε µία υγκεκριµέη διαδροµή η πιθαότητα όπως οποιοδήποτε φαάρι της τροχαίας α είαι του ιδίου χρώµατος µε το προηγούµεο είαι 4/5. Α το πρώτο φαάρι είαι πράιο µε πιθαότητα 3/5 και κόκκιο µε πιθαότητα /5 α υπολογιθεί η πιθαότητα το τρίτο φαάρι α είαι πράιο. 6. Στο τυχαίο πείραµα της ρίψης εός οµίµατος δύο φορές ας θεωρήουµε τα εδεχόµεα όπως εµφαιθεί Α: η έδειξη κεφαλή µια τουλάχιτο φορά, Β: τη πρώτη ρίψη η έδειξη γράµµατα και Γ: ε κάθε ρίψη διαφορετική έδειξη. Υπολογίζοτας τις χετικές πιθαότητες, δείξετε ότι P B A < P B, P Γ A > P Γ, P Γ Β P Γ. 7. Έτω ότι έα όµιµα ρίχεται διαδοχικά κ φορές. Ας θεωρήουµε το εδεχόµεο Α εµφάιης και τω δύο όψεω του οµίµατος και το εδεχόµεο Β εµφάιης µια το πολύ φορά της όψης κεφαλή. Να εξεταθεί κατά πόο τα εδεχόµεα Α και Β είαι αεξάρτητα. 8. Έτω ότι το ποοτό τω ατόµω µιας οριµέης περιοχής που πάχου από µία οβαρή αθέεια είαι 0.0. Έα άτοµο υποβάλλεται ε δύο αεξάρτητα µεταξύ τους τέτ καθέα από τα οποία κάει ορθή διάγωη µε πιθαότητα Να υπολογιθού οι δεµευµέες πιθαότητες α πάχει το άτοµο α δεδοµέου ότι έα τουλάχιτο τέτ είαι θετικό και β δεδοµέου ότι και τα δύο τετ είαι θετικά. 9. Έτω ότι έα µόριο δύαται α χωριθεί ε 0 ή ή µόρια µε πιθαότητες /4, / και /4, ατίτοιχα. Ας θεωρήουµε τα ύολα τω µορίω της πρώτης και της δεύτερης γειάς προερχόµεα από το αρχικό µόριο, του προγεήτορα. Α είαι το εδεχόµεο όπως ο αριθµός τω µορίω της πρώτης γειάς είαι κ, κ 0,, και B r είαι το εδεχόµεο όπως ο αριθµός τω µορίω της δεύτερης γειάς είαι r, r 0,,...,6, α υπολογιθού οι πιθαότητες P B, P B και P A B. 0 A κ

62 5 30. Τα ποοτά τω φοιτητώ που πέραα τα µαθήµατα Α, Β, Γ είαι 50%, 40% και 40%, ατίτοιχα. Και τα δύο µαθήµατα Α, Β επέτυχε το 35% τω φοιτητώ. Στα Α και Γ πέτυχε το 5% εώ τα Β και Γ το 0%. Τέλος, 5% τω φοιτητώ πέτυχε και τα τρία µαθήµατα. Ποιο είαι το ποοτό τω φοιτητώ που δε πέτυχε ε καέα µάθηµα; 3. Η κάλπη A περιέχει λ λευκά και µ µαύρα φαιρίδια, εώ η Α περιέχει λ λευκά και µ µαύρα. Εξάγουµε έα φαιρίδιο τη τύχη από τη Α και το τοποθετούµε χωρίς α το δούµε τη Α. Στη υέχεια εξάγουµε έα από τη Α και το τοποθετούµε τη A. Τέλος, εξάγουµε έα φαιρίδιο από τη A. α Ποια η πιθαότητα α είαι λευκό το τελευταίο φαιρίδιο; β Α το τελευταίο φαιρίδιο είαι λευκό, ποιά η πιθαότητα τα δύο πρώτα φαιρίδια α ήτα µαύρα; 3. Από µία καλά αακατεµέη τράπουλα διαλέγουµε τη τύχη διαδοχικά και χωρίς επαατοποθέτηη τρία τραπουλόχαρτα. α Ποια είαι η πιθαότητα το τρίτο χαρτί α είαι άος; β Α δούµε ότι το τρίτο τραπουλόχαρτο ήτα άος, ποιά η πιθαότητα τα δύο πρώτα τραπουλόχαρτα α είαι άοι; εοείται χωρίς α τα δούµε! 33. Αποδείξτε ότι α από µία τράπουλα εκλέξουµε διαδοχικά και χωρίς επαατοποθέτηη χαρτιά 5, τότε η πιθαότητα όπως το κ κατά ειρά χαρτί είαι άος είαι 4/5, για κ,,...,. 34. Κάποιος έχει κλειδιά εκ τω οποίω µόο το αοίγει τη πόρτα. Επειδή δε θυµάται ποιο είαι το ωτό κλειδί, αρχίζει και δοκιµάζει έα-έα τα κλειδιά µέχρι α βρει αυτό που ταιριάζει εοείται ότι δε ξααπροπαθεί µε τα κλειδιά που ήδη δοκίµαε. είξτε ότι η πιθαότητα α αοίξει τη πόρτα τη κ δοκιµή είαι / για κ,...,. 35. Στη προηγούµεη άκηη, υποθέτοτας ότι s κλειδιά ταιριάζου από τα, ποια η πιθαότητα α αοίξει τη κ δοκιµή για κ s ; 36. α Να βρείτε τη πιθαότητα όπως ε ρίψεις εός υµµετρικού οµίµατος φέρουµε τουλάχιτο µία φορά κεφάλι. β Υποθέτουµε ότι κάθε παιδί που γειέται ε µία οικογέεια έχει τη ίδια πιθαότητα α είαι αγόρι ή κορίτι. Πόα παιδιά πρέπει α έχει µία οικογέεια, έτι ώτε α υπάρχει κορίτι µε πιθαότητα τουλάχιτο 95%; Πόα παιδιά πρέπει α κάει έτι ώτε α αποκτήει παιδιά και τω δύο φύλω µε πιθαότητα τουλάχιτο 95%;

63 Στο πληθυµό τω οικογεειώ µε παιδιά, έτω Α το εδεχόµεο α υπάρχου παιδιά και τω δύο φύλω και Β το εδεχόµεο α υπάρχει το πολύ έα κορίτι. είξτε ότι α τα Α και Β είαι αεξάρτητα, τότε η οικογέεια έχει τρία παιδιά. 38. Αιότητα Bonferron. είξτε ότι για οποιαδήποτε εδεχόµεα A,..., A P A... A P A L P A., 39. Στη Λευκωία το 75% τω κατοίκω είαι Ελληοκύπριοι και οι υπόλοιποι Τουρκοκύπριοι. Από τους Ελληοκύπριους το 0% γωρίζει Αγγλικά, εώ το ατίτοιχο ποοτό για τους Τουρκοκύπριους είαι 0%. Α υατήουµε κάποιο το δρόµο και µιλάει Αγγλικά, ποια είαι η πιθαότητα α είαι Ελληοκύπριος; Τι ποοτό τω κατοίκω της Λευκωίας µιλάει Αγγλικά; 40. ύο υρτάρια περιέχου χρυά και αργυρά οµίµατα. Το πρώτο υρτάρι περιέχει χρυά και αργυρό, εώ το δεύτερο υρτάρι περιέχει χρυό και αργυρά οµίµατα. Κλέφτης, χωρίς α βλέπει τα κοτειά!, αοίγει έα υρτάρι τη τύχη και παίρει έα όµιµα τη τύχη. α Ποια η πιθαότητα το όµιµα α είαι χρυό; β Α το όµιµα που λείπει είαι χρυό, ποια η πιθαότητα ο κλέφτης α άοιξε το πρώτο υρτάρι; 4. Ας θεωρήουµε έα αρχικό πληθυµό το οποίο οι γοότυποι ΑΑ, Αα και αα εµφαίζοται ε ποοτά p, q και r ατίτοιχα µε p q r αεξάρτητα φύλου. Έτω ότι καθέας από τους γοείς πατέρας και µητέρα κληροοµεί, ύµφωα µε το όµο κληροοµικότητας του Mendel, ε κάθε παιδί του έα από τα γοίδια Α και α. Να υπολογιθεί η δεµευµέη πιθαότητα ο πατέρας α είαι του τύπου Αα δεδοµέου ότι το παιδί είαι του τύπου ΑΑ. 4. Έτω ότι 7% τω αδρώ και % τω γυαικώ πάχου από αχρωµατοψία. Α το 48% του πληθυµού αυτού είαι άδρες και το 5% είαι γυαίκες α υπολογιθεί η πιθαότητα όπως έα άτοµο που εκλέγεται τυχαία από το πληθυµό αυτό α έχει αχρωµατοψία. 43. Έτω ότι το 50% τω γυαικώ έχου το γοίδιο της αιµοφιλίας. Α µία γυαίκα έχει το γοίδιο η πιθαότητα α το κληροοµήει το παιδί της είαι /. Να δειχθεί ότι η πιθαότητα µια γυαίκα α έχει το γοίδιο της αιµοφιλίας δεδοµέου ότι απέκτηε υγιή γιό ελαττώεται κατά / Μία αιµατολογική εξέταη αιχεύει ωτά τη έλλειψη ιδήρου το 95% τω περιπτώεω, δηλαδή αιχεύει ορθά έλλειψη ιδήρου το 95% τω ατόµω

64 54 που πράγµατι έχου έλλειψη, καθώς και αιχεύει εφαλµέα έλλειψη το 5% τω ατόµω που έχου επάρκεια ιδήρου. α Α το ποοτό τω ατόµω του πληθυµού που έχου έλλειψη ιδήρου είαι 0%, ποια είαι η πιθαότητα έα άτοµο το οποίο έγιε διάγωη έλλειψης ιδήρου α έχει πράγµατι έλλειψη; β Ας υποθέουµε ότι δε γωρίζουµε το ποοτό ατόµω του πληθυµού που έχου έλλειψη ιδήρου, αλλά διαθέτουµε µία δεύτερη δαπαηρή εξέταη που κάει πάτα ωτή διάγωη. Εφαρµόζοτας τη δεύτερη αυτή εξέταη ε όλα τα άτοµα για τα οποία η πρώτη εξέταη ήτα θετική, διαπιτώθηκε ότι τα µιά από αυτά τα άτοµα είχα πράγµατι έλλειψη ιδήρου. Τι ποοτό του πληθυµού έχει έλλειψη ιδήρου; 45. Θεωρούµε ότι τα άτοµα µε ξαθά µαλλιά έχου γοότυπο ΚΚ, τα άτοµα µε καταά µαλλιά έχου γοότυπο ΚΓ και τα µελαχριά άτοµα έχου γοότυπο ΓΓ δε γίεται διάκριη µεταξύ τω γοοτύπω ΚΓ και ΓΚ. Ας υποθέουµε ότι οι γοότυποι ΚΚ, ΚΓ και ΓΓ είαι µοιραµέοι το πληθυµό ε ποοτά 0%, 40% και 50%, ατίτοιχα. Κατά τη διαταύρωη δύο ατόµω, το τέκο τους κληροοµεί το έα γοότυπο από το πατέρα και το άλλο από τη µητέρα. Φυικά, έα άτοµο της µορφής ΚΚ δε µπορεί α δώει γοότυπο Γ το παιδί του, όπως και έα άτοµο της µορφής ΓΓ δε µπορεί α δώει Κ. Τέλος, τα καταά άτοµα µπορού α δώου Κ ή Γ µε πιθαότητα /. Ας υποθέουµε ότι διαταυρώουµε δύο άτοµα τη τύχη. α Ποια η πιθαότητα το τέκο α είαι ξαθό, και ποια µελαχριό; β εδοµέου ότι το τέκο είαι ξαθό, ποια είαι η πιθαότητα ο πατέρας α είαι καταός και η µητέρα καταή; 46. α είξτε ότι το εδεχόµεο είαι τοχατικά αεξάρτητο µε κάθε εδεχόµεο και µε το εαυτό του. β Το ίδιο ιχύει για το Ω. γ Α έα εδεχόµεο Α είαι τοχατικά αεξάρτητο µε κάθε εδεχόµεο τότε P A 0 ή P A. 47. Από αδρόγυα άτοµα επιλέγουµε µία επιτροπή κ ατόµω τη τύχη. Ποια η πιθαότητα α µη υπάρχου ύζυγοι τη επιτροπή; Ποια η πιθαότητα α υπάρχου ακριβώς r ζευγάρια τη επιτροπή κ r r ; 48. Από τους αριθµούς,,..., διαλέγουµε έα αριθµό τη τύχη. Μετά, διαλέγουµε τυχαία έα αριθµό y τους αριθµούς,...,. Ποια η πιθαότητα ο y α είαι ; Α ο y είαι, ποια η πιθαότητα ο α είαι ; 49. Α τα εδεχόµεα Α, Β και Γ είαι αεξάρτητα, τότε και τα επόµεα ζεύγη εδεχοµέω είαι αεξάρτητα:

65 55 α Α και β Α και γ Α και B Γ. B Γ. B Γ. 50. Ρίχουµε δύο δίκαια οµίµατα και θέτουµε A { το πρώτο όµιµα έφερε κ}, B {το δεύτερο όµιµα έφερε κ}, και Γ { τα οµίµατα έφερα τη ίδια έδειξη}. είξτε ότι τα A, B, Γ είαι αά ζεύγη αεξάρτητα δηλαδή, τα Α, Β είαι αεξάρτητα, τα A, Γ είαι αεξάρτητα και τα B, Γ είαι αεξάρτητα, αλλά τα Α, B, Γ δε είαι αεξάρτητα. 5. Η επίπτωη µιας όου έα πληθυµό είαι 5%. Το 80% από τους αθεείς της όου αυτής έχου έα οριµέο ύµπτωµα, εώ 0% από τα άτοµα που δε έχου τη όο έχου το ίδιο ύµπτωµα. Α έα άτοµο από το πληθυµό αυτό έχει το ύµπτωµα, ποια είαι η πιθαότητα α έχει τη όο; 5. Έτω ότι τα εδεχόµεα A 3 είαι αεξάρτητα. είξετε ότι τα εδεχόµεα α A και A A3, β A και A A3 και γ A 3 και A A είαι αεξάρτητα.

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Τα δειγµατικά ηµεία τοιχειώδη εδεχόµεα εός δειγµατικού χώρου τοχατικού τυχαίου πειράµατος ή φαιοµέου δύαται α είαι αριθµοί, όπως για παράδειγµα τη περίπτωη που εκφράζου ποοτικό χαρακτηριτικό του τοχατικού πειράµατος, ή υµβολικές εκφράεις µε γράµµατα του αλφαβήτου, όπως για παράδειγµα τη περίπτωη που περιγράφου ποιοτικό χαρακτηριτικό του τοχατικού πειράµατος. Οι περιπτώεις αυτές ατιµετωπίζοται ειαία µε τη ατιτοίχηη ε κάθε δειγµατικό ηµείο εός πραγµατικού αριθµού. Επιπλέο, ε έα τοχατικό τυχαίο πείραµα ή φαιόµεο το εδιαφέρο και από πρακτική άποψη ετιάζεται τη πραγµατοποίηη ή µη αριθµητικώ µεγεθώ τα οποία ατιτοιχού ε δειγµατικά ηµεία. Σχετικά θέτουµε το ακόλουθο οριµό. Οριµός.. Έτω Ω ο δειγµατικός χώρος εός τοχατικού τυχαίου πειράµατος. Μια πραγµατική υάρτηη Χ που ορίζεται το δειγµατικό χώρο Ω καλείται τυχαία µεταβλητή τ.µ.. Η υάρτηη αυτή ατιτοιχεί ε κάθε δειγµατικό ηµείο ω Ω έα πραγµατικό αριθµό ω. Σηµειώουµε ότι οι τυχαίες µεταβλητές υµβολίζοται µε τα κεφαλαία γράµµατα χωρίς δείκτες, Y, Z, W ή µε δείκτες,,..., κ και οι τιµές τους µε τα ατίτοιχα µικρά γράµµατα, y, z, w ή,,..., κ. Το ύολο R R τω τιµώ της τυχαίας µεταβλητής Χ αποτελεί το έο δειγµατικό χώρο του τοχατικού τυχαίου πειράµατος ή φαιοµέου. Το διάτηµα, ] είαι βαικό εδεχόµεο το έο αυτό δειγµατικό χώρο. Οποιοδήποτε άλλο εδεχόµεο B R δύαται α εκφραθεί ή α προεγγιτεί υαρτήει τέτοιω διατηµάτω. Είαι εποµέως χρήιµη η ειαγωγή της ακόλουθης υάρτηης. Οριµός.. Η υάρτηη F η οποία ορίζεται από τη χέη F P P{ ω Ω: ω }, < <

67 58 καλείται υάρτηη καταοµής.κ. ή αθροιτική υάρτηη καταοµής α..κ. της τ.µ. Χ. Στις περιπτώεις που υπάρχει κίδυος ύγχυης η υάρτηη καταοµής της τ.µ. Χ υµβολίζεται µε F και η τιµή της το µε F. Σηµειώουµε ότι η υάρτηη καταοµής, ως πιθαότητα, λαµβάει τιµές το διάτηµα [ 0,] : Επίης είαι αύξουα υάρτηη, 0 F, < <. F F, < <, επειδή ω Ω: ω } { ω Ω: ω } και ιχύει επειδή { F lm F 0, F lm F, lm{ ω Ω: ω }, lm { ω Ω: ω } Ω. Τέλος ηµειώουµε ότι οποιαδήποτε υάρτηη καταοµής είαι δεξιά υεχής. Η πιθαότητα όπως µια τυχαία µεταβλητή βρίκεται ε υγκεκριµέο διάτηµα τω πραγµατικώ αριθµώ δύαται α εκφραθεί υαρτήει της υάρτηης καταοµής της. Σχετικά αποδεικύουµε το ακόλουθο θεώρηµα. Θεώρηµα.. Έτω F η υάρτηη καταοµής µιας τυχαίας µεταβλητής Χ. Τότε για κάθε πραγµατικούς αριθµούς α και β µε P α < β F β F α. α < β. Απόδειξη. Το εδεχόµεο { ω Ω: α < β} δύαται α εκφραθεί ως διαφορά δύο εδεχοµέω ως εξής: { ω Ω: α < β} { ω Ω: ω β} { ω Ω: ω α} µε { ω Ω: ω α} { ω Ω: ω β}, εφ όο α < β. Εποµέως, χρηιµοποιώτας τη 6.5 του Κεφ., υάγουµε, ύµφωα µε τη., τη χέη.. Παράδειγµα.. Ας θεωρήουµε δύο διαδοχικές ρίψεις εός υήθους οµίµατος. Έας κατάλληλος δειγµατικός χώρος για τη µελέτη του τυχαίου αυτού πειράµατος είαι το ύολο Ω { γ, γ, γ, κ, κ, γ, κ, κ }, όπου ηµειώεται µε κ η όψη κεφαλή ή κορώα και µε γ η όψη γράµµατα. Η υάρτηη

68 59 0, ω,, ω κ, κ ω { γ, κ, ω γ, γ κ, γ} η οποία ορίζεται το δειγµατικό χώρο Ω και παίρει τιµές το ύολο R {0,, } είαι τυχαία µεταβλητή και εκφράζει το αριθµό εµφαίεω της όψης γράµµατα. Η υάρτηη καταοµής F της τ.µ. Χ υπολογίζεται ως εξής: Παρατηρούµε ότι, {0}, { ω Ω: ω } {0,}, Ω, < < 0 0 < < < και ύµφωα µε το οριµό., 0, < < 0 / 4, 0 < F P. 3/ 4, <, < Η γραφική παράταη της F δίδεται το Σχήµα.. Παρατηρούµε ότι αυτή είαι καλωτή υάρτηη µε άλµατα τα ηµεία 0,, µεγέθους /4, /, /4 ατίτοιχα. F 3/4 / /4 0 3 Σχήµα.. Η υάρτηη καταοµής F. Παράδειγµα.. Ας θεωρήουµε το τυχαίο πείραµα της ρίψης εός υήθους κύβου. Καταγράφοτας τη έδειξη της επάω έδρας του κύβου ο δειγµατικός χώρος του τυχαίου αυτού πειράµατος είαι το ύολο Ω {,,3,4,5,6 }. Έτω Χ το αποτέλεµα της ρίψης η έδειξη της επάω έδρας του κύβου.

69 60 Η ταυτοτική αυτή υάρτηη ω ω, ω Ω, είαι µια τυχαία µεταβλητή. Η υάρτηη καταοµής F της Χ υπολογίζεται ως εξής: Παρατηρούµε ότι, {}, {, }, { ω Ω: ω } {,,3}, {, {, Ω,,3, 4},,3, 4,5}, < < < < 3 3 < 4 4 < 5 5 < 6 6 < και ύµφωα µε το οριµό., 0, < < / 6, < / 6, < 3 F P 3/ 6, 3 < 4. 4 / 6, 4 < 5 5 / 6, 5 < 6, 6 < Η γραφική παράταη της F δίδεται το Σχήµα.. Παρατηρούµε ότι αυτή είαι καλωτή υάρτηη µε άλµατα τα ηµεία,,3,4,5, 6 µεγέθους /6 το καθ έα. F 5/6 4/6 3/6 /6 / Σχήµα.. Η υάρτηη καταοµής F

70 6 Παράδειγµα.3. Ας θεωρήουµε µία τυχαία µεταβλητή Χ µε τιµές το διάτηµα [ 0,] και ας υποθέουµε ότι η υολική πιθαότητα P 0 καταέµεται οµοιόµορφα το διάτηµα [ 0,] κατά το αάλογο της οµοιόµορφης καταοµής της µάζας µιας ράβδου µε άκρα τα ηµεία 0 και. Στη περίπτωη αυτή η πιθαότητα η Χ α βρίκεται το διάτηµα, ] µε είαι αάλογη του µήκους, δηλαδή P 0 < c, όπου η c είαι η ταθερά ααλογίας. Επιπλέο έχουµε P < < 0 0, P < < 0. Εποµέως θέτοτας 0, λαµβάουµε P 0 < c και επειδή P 0 < υµπεραίουµε ότι c. Η υάρτηη καταοµής F της Χ είαι τότε η F P 0,,, < < 0 0 < <. Η γραφική παράταη της F δίδεται το Σχήµα.3. Παρατηρούµε ότι αυτή είαι υεχής υάρτηη. F 0 Σχήµα.3. Η υάρτηη καταοµής F. ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Η µελέτη πολλώ ηµατικώ εοιώ που υδέοται µε τις τυχαίες µεταβλητές διευκολύεται µε το διαχωριµό τω δύο βαικώ κατηγοριώ: τω διακριτώ και τω υεχώ τυχαίω µεταβλητώ. Σχετικά θέτουµε τους ακόλουθους οριµούς.

71 6 Οριµός.. Μία τυχαία µεταβλητή Χ καλείται διακριτή ή απαριθµητή α παίρει, µε πιθαότητα, αριθµήιµο πεπεραµέο ή αριθµηίµως άπειρο ύολο τιµώ R { 0,,...,,...}. Η υάρτηη f η οποία ε κάθε ηµείο κ, κ 0,,,..., εκχωρεί τη πιθαότητά του f P P{ ω Ω: ω }, κ 0,,,...,. κ κ κ καλείται υάρτηη πιθαότητας της τυχαίας µεταβλητής Χ. Στις περιπτώεις που υπάρχει κίδυος ύγχυης η υάρτηη πιθαότητας της τ.µ. Χ υµβολίζεται µε f και η τιµή της το κ µε f κ. Σηµειώουµε ότι, χρηιµοποιώτας τη παράταη { } L, η υθήκη P R δύαται α γραφεί τη µορφή R 0 } { } L { κ 0 P. Επίης η υάρτηη πιθαότητας, όπως προκύπτει άµεα από το οριµό της, είαι µη αρητική f κ 0, κ 0,,,... και f 0, R. και κ κ 0 f..3 κ Στη περίπτωη που το ύολο τω τιµώ της τυχαίας µεταβλητής Χ είαι πεπεραµέο, R,,..., }, η ειρά.3 γίεται έα πεπεραµέο άθροιµα { 0 κ 0 f. κ Η υάρτηη πιθαότητας f P, κ 0,,,... µιας διακριτής κ κ τυχαίας µεταβλητής υδέεται µε τη υάρτηη καταοµής αυτής F P, < <. Συγκεκριµέα, τη µερική περίπτωη που < < L, ιχύου οι χέεις F r f κ 0 µε F 0 για < < 0 και κ, r r 0 < <, r 0,,,...,.4 f F F, κ,,....5 κ κ κ

72 63 µε f F. Γεικότερα ιχύει η χέη 0 0 F f, < <,.6 κ κ όπου η άθροιη εκτείεται ε όλα τα κ τα οποία είαι µικρότερα ή ία του. Σηµειώουµε ότι η υάρτηη καταοµής F µιας διακριτής τ.µ. είαι ταθερή κατά διατήµατα Σχήµατα. και. και αυξάει µόο µε άλµατα τα ηµεία k R. Οριµός.. Μία τυχαία µεταβλητή Χ καλείται υεχής α υπάρχει µη αρητική υάρτηη, µε f 0, < <,.7 f d.8 τέτοια ώτε για κάθε πραγµατικούς αριθµούς α και β µε β α α < β α ιχύει P α < β f d..9 Η f καλείται πυκότητα πιθαότητας ή απλώς πυκότητα της τυχαίας µεταβλητής Χ. Άµεη υέπεια τω οριµώ της υάρτηης καταοµής F και της υάρτηης πυκότητας f µιας υεχούς τυχαίας µεταβλητής Χ είαι η χέη F f t dt, < <,.0 που δείχει ότι η υάρτηη καταοµής F µιας υεχούς τ.µ. είαι υεχής υάρτηη Σχήµα.3. Συεπώς, α η είαι υεχής τ.µ., τότε για κάθε R, P < F P. Α η υάρτηη f είαι υεχής το ηµείο τότε παραγωγίζοτας τη χέη.0 παίρουµε τη df F f.. d Σηµειώουµε ότι οι χέεις.0 και. είαι οι ατίτοιχες τω.4 και.5 για υεχείς τυχαίες µεταβλητές. Η πυκότητα f, ε ατίθεη µε τη υάρτηη πιθαότητας, δε παριτάει τη πιθαότητα κάποιου εδεχοµέου. Η

73 64 πιθαότητα P 0 0 και εποµέως η f δε παριτάει βέβαια αυτή τη πιθαότητα. Μόο ότα η υάρτηη αυτή ολοκληρώεται µεταξύ δύο ηµείω, όπως τη.9, δίδει κάποια πιθαότητα. Κατά προέγγιη για µικρό > 0 έχουµε 0 P < f. Παράδειγµα.. Ας επαέλθουµε το τυχαίο πείραµα, του παραδείγµατος., τω δύο διαδοχικώ ρίψεω εός υήθους οµίµατος. Ο αριθµός Χ τω εµφαίεω της όψης γράµµατα είαι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή εφ όο το ύολο τω τιµώ της R {0,, } είαι διακριτό απαριθµητό. Η υάρτηη πιθαότητας της τ.µ. Χ υπολογίζεται ως εξής: f 0 P 0 P[{ κ, κ}], 4 f P P[{ γ, κ, κ, γ}], f P P[{ γ, γ}]. 4 Σηµειώουµε ότι 0 f, 4 4 όπως απαιτείται από το οριµό µιας διακριτής τυχαίας µεταβλητής. Παράδειγµα.. Ας θεωρήουµε µια τυχαία µεταβλητή Χ µε τιµές το διάτηµα [ 0,] και ας υποθέουµε ότι η υολική πιθαότητα καταέµεται οµοιόµορφα το διάτηµα αυτό βλ. Παράδειγµα.3. Να προδιοριθεί η πυκότητα της Χ. Η υάρτηη καταοµής της Χ έχει υπολογιθεί το Παράδειγµα.3 και είαι η 0, F,, < < 0 0 < <. Παραγωγίζοτας αυτή υάγουµε, ύµφωα µε τη., τη πυκότητα της τ.µ. Χ, f 0, 0 < 0 ή >. Αξίζει α ηµειώουµε ότι η F δε υπάρχει τα ακραία ηµεία 0 και. Αποδεικύεται ότι χωρίς βλάβη της γεικότητας µπορούµε α ορίζουµε αυθαίρετα τις τιµές της πυκότητας ε τέτοια µεµοωµέα ηµεία όπου η F δε υπάρχει.

74 65 Παράδειγµα.3. Έτω ότι ο χρόος απορρόφηης εός φαρµάκου µετρούµεος ε ώρες είαι µία υεχής τυχαία µεταβλητή Χ µε πυκότητα θ f, 0 θ, θ όπου θ > 0 είαι παράµετρος της καταοµής. Να υπολογιθού η υάρτηη καταοµής F, < <, και οι πιθαότητες P α < β, P > α µε 0 < α < β θ. Η υάρτηη καταοµής για 0 θ είαι F 0 f t dt f t dt f t dt 0 0 θ θ t θ t dt θ θ. θ Επίης F 0, < < 0 και F, θ <. Χρηιµοποιώτας τη υάρτηη καταοµής οι ζητούµεες πιθαότητες υπολογίζοται ως εξής: θ α θ β P α < β F β F α, θ 0 P θ α > α F α. θ 3. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στη πιθαοθεωρητική µελέτη εός τοχατικού τυχαίου πειράµατος ή φαιοµέου, όπως επίης και τη τατιτική υµπεραµατολογία, ααφύεται υχά η αάγκη προδιοριµού της καταοµής µιας τυχαίας µεταβλητής Y g, η οποία είαι υάρτηη µιας άλλης τυχαίας µεταβλητής Χ µε γωτή καταοµή. Συήθως το εδιαφέρο αφορά τη περίπτωη που τόο η τυχαία µεταβλητή Χ όο και η τυχαία µεταβλητή Υ είαι υεχείς. Στη περίπτωη αυτή ο προδιοριµός της καταοµής της Υ επιτυγχάεται ευκολότερα µε τη εύρεη, αρχικά, της υάρτηης καταοµής. Η πυκότητα της Υ προδιορίζεται µε παραγώγιη της υάρτηης καταοµής. Η έκφραη της υάρτηης καταοµής της τυχαίας µεταβλητής Y g, F Y y P Y y P[ g y],

75 66 υαρτήει της υάρτηης καταοµής της τυχαίας µεταβλητής Χ απαιτεί το προδιοριµό του υόλου { : g y}. Τούτο επιτυγχάεται εύκολα α ο µεταχηµατιµός y g είαι έα προς έα από το ύολο R τω τιµώ της Χ επί του υόλου R Y τω τιµώ της Υ και γηίως µοότοος. Τότε υπάρχει ο ατίτροφος µεταχηµατιµός g y και είαι γηίως µοότοος. Στη περίπτωη αυτή η χέη g y είαι ιοδύαµη µε τη χέη g y, α η y g είαι γηίως αύξουα και µε τη χέη g y, α η y g είαι γηίως φθίουα και εποµέως α η y g είαι γηίως αύξουα και F y P[ g y] F g y, Y F y P[ Y g y] P[ < g y] P[ g y] F g y, α η y g είαι φθίουα. Α η ατίτροφη υάρτηη g y παραγωγίζεται και η παράγωγος dg y / dy είαι υεχής για κάθε y το R Y, τότε παραγωγίζοτας τη αωτέρω έκφραη της υάρτηης καταοµής F Y y, ύµφωα µε το καόα παραγώγιης ύθετης υάρτηης, υάγουµε τη χέη f Y dg y y f g y, dy α η y g είαι γηίως αύξουα και τη χέη f Y dg y y f g y, dy α η y g είαι γηίως φθίουα. Εποµέως f Y dg y y f g y. dy Τα αποτελέµατα αυτά υοψίζοται το ακόλουθο θεώρηµα. Θεώρηµα 3.. Έτω ότι η Χ είαι µια υεχής τυχαία µεταβλητή µε πυκότητα f, R. Α ο µεταχηµατιµός Y g είαι γηίως µοότοος από το ύολο R επί του υόλου R g R και υπάρχει η παράγωγος dg y / dy και είαι υεχής για κάθε y το Y Y R, τότε η τυχαία µεταβλητή Y g είαι υεχής µε πυκότητα f Y dg y y f g y, y RY. 3. dy

76 67 Στη µερική περίπτωη που y g α β, όπου α και β πραγµατικές ταθερές µε α 0, ο ατίτροφος µεταχηµατιµός είαι ο g y y β / α και dg y / dy / α. Έτι υάγουµε το ακόλουθο πόριµα.

77 67 Πόριµα 3.. Έτω ότι η Χ είαι µια υεχής τυχαία µεταβλητή µε πυκότητα f,. Τότε η Y αχ β, α 0, είαι µια υεχής τυχαία µεταβλητή µε πυκότητα R f Y y β y f, y RY. 3. α α Παράδειγµα 3.. Ας θεωρήουµε µια υεχή τυχαία µεταβλητή Χ µε πυκότητα µ f ep, < <, π όπου < µ < και 0 < < είαι παράµετροι της καταοµής. Σηµειώουµε ότι αυτή είαι η πυκότητα της καοικής καταοµής. Να προδιοριθεί η πυκότητα της τυχαίας µεταβλητής Y α β, α 0. Χρηιµοποιώτας τη 3. παίρουµε Θέτοτας y αµ β f Y y ep, < y <. α π α η πυκότητα αυτή γράφεται τη µορφή f Y y µ Y αµ β, α y µ y ep Y π Y Y,, < y <, η οποία είαι η πυκότητα της καοικής καταοµής µε παραµέτρους και α Y. µ αµ β Ειδικά για α / και β µ /, οπότε µ Y 0 και Y, η πυκότητα της τυχαίας µεταβλητής παίρει τη µορφή Y µ Y f Y y e π y /, < y <, η οποία είαι γωτή ως τυποποιηµέη καοική πυκότητα. Η περίπτωη που ο µεταχηµατιµός y g δε είαι έα προς έα από το ύολο R τω τιµώ της Χ επί του υόλου R Y τω τιµώ της Υ δύαται α

78 68 ατιµετωπιθεί µε το προδιοριµό του υόλου { : g y} και τη εύρεη, αρχικά, της υάρτηης καταοµής της τυχαίας µεταβλητής Υ. Μια τέτοια περίπτωη εξετάζεται το επόµεο παράδειγµα. Παράδειγµα 3.. α Ας θεωρήουµε µια υεχή τυχαία µεταβλητή Χ µε πυκότητα f, R και υάρτηη καταοµής F, R. Να προδιοριθεί η πυκότητα της τυχαίας µεταβλητής Y. Η τυχαία µεταβλητή Υ δε µπορεί α πάρει αρητικές τιµές και έτι για < y 0, F Y y 0 εώ για 0 < y <, F y P Y Y y P y P y y F Y y F Y y. Παραγωγίζοτας τη υάρτηη αυτή, ύµφωα µε το καόα παραγώγιης ύθετης υάρτηης, υάγουµε τη υάρτηη πυκότητας f Y y { f y f y }, 0 < y <. y β Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει τη τυποποιηµέη καοική πυκότητα f e π /, < <. Να προδιοριθεί η πυκότητα της Y. Παρατηρούµε ότι η f είαι άρτια υάρτηη, f f, και έτι η αωτέρω έκφραη της f Y y υαρτήει της f γίεται Εποµέως fy y f y, 0 < y <. y f Y y πy e y /, 0 < y <. 4. ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η καταοµή πιθαότητας µιας τυχαίας µεταβλητής, όπως έχουµε ήδη παρατηρήει, δύαται α εκφραθεί είτε από τη υάρτηη καταοµής είτε από τη υάρτηη πιθαότητας ή πυκότητας αυτής. Μια περιληπτική περιγραφή της πιθαοθεωρητικής υµπεριφοράς µιας τυχαίας µεταβλητής παρέχεται από τη θεώρηη και µελέτη µερικώ βαικώ παραµέτρω της καταοµής της. Η µέη τιµή

79 69 που αποτελεί µέτρο θέης ή κετρικής τάης και η διαπορά που αποτελεί µέτρο υγκετρωτικότητας ή µεταβλητότητας είαι οι πιο βαικές παράµετροι της καταοµής µιας τυχαίας µεταβλητής. Στο εδάφιο αυτό ειάγοται διαδοχικά και µελετώται η µέη τιµή και η διαπορά µιας τυχαίας µεταβλητής. Η µέη τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής αποτελεί γείκευη του αριθµητικού µέου µιας ακολουθίας τιµώ. Συγκεκριµέα έχουµε το ακόλουθο οριµό. Οριµός 4.. α Έτω ότι η Χ είαι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε υάρτηη πιθαότητας f P, κ 0,,,... Τότε η µέη τιµή αυτής, κ κ υµβολιζόµεη µε Ε Χ ή µ Χ ή απλώς µ α δε υπάρχει κίδυος ύγχυης, ορίζεται από τη χέη µ E κ f κ. 4. κ 0 β Έτω ότι η Χ είαι µια υεχής τυχαία µεταβλητή µε πυκότητα f, < <. Τότε η µέη τιµή αυτής ορίζεται από τη χέη µ E f d. 4. Σηµειώουµε ότι η µέη τιµή µ, οριζόµεη από τη 4. ή τη 4., είαι έας πραγµατικός αριθµός, < µ <. Αυτό υµβαίει ότα η ειρά το δεξιό µέλος της 4. ή το ολοκλήρωµα το δεξιό µέλος της 4. υγκλίου απολύτως ε ατίθετη περίπτωη, η µέη τιµή δε ορίζεται. Αξίζει α ηµειωθεί η ααλογία µεταξύ της µέης τιµής µιας τυχαίας µεταβλητής και του κέτρου βάρους µάζας τη µηχαική. Α µια µοάδα µάζας καταέµεται τα ηµεία 0,,,... µιας ευθείας και f κ είαι η µάζα το ηµείο κ, κ 0,,,... τότε η 4. παριτάει το κέτρο βάρους περί τη αρχή. Κατά το ίδιο τρόπο α η µοάδα µάζας έχει υεχή καταοµή ε µια ευθεία και α η f παριτάει τη πυκότητα µάζας το τότε η 4. ορίζει και πάλι το κέτρο βάρους. Με τη έοια αυτή η µέη τιµή θεωρείται ως το κέτρο της καταοµής πιθαότητας, δηλαδή η τυχαία µεταβλητή παίρει τιµές «γύρω» από τη µέη της τιµή µ. Παράδειγµα 4.. Έτω Χ ο αριθµός της επάω έδρας το τυχαίο πείραµα της ρίψης εός υήθους κύβου βλ. Παράδειγµα.. Να υπολογιθεί η µέη τιµή E. Η υάρτηη πιθαότητας της τ.µ. Χ δίδεται από τη f P,,,..., 6. 6 Εποµέως, ύµφωα µε το οριµό 4. α,

80 µ E Σηµειώουµε ότι, όπως φαίεται και από το απλό αυτό παράδειγµα, η µέη τιµή µιας διακριτής τυχαίας µεταβλητής δε είαι κατ αάγκη µια από τις δυατές τιµές της. Παράδειγµα 4.. Ας θεωρήουµε µια υεχή τυχαία µεταβλητή Χ η οποία καταέµεται οµοιόµορφα το διάτηµα [ θ, θ]. Να υπολογιθεί η µέη τιµή E. Η υάρτηη πυκότητας της τ.µ. Χ δίδεται από τη Εποµέως, ύµφωα µε το οριµό 4. β, f, θ θ. θ θ µ E f d d θ 0. θ 4θ Σηµειώουµε ότι η µέη τιµή της Χ είαι Ε Χ 0, αεξάρτητη της παραµέτρου θ. Στη καταοµή αυτή η παράµετρος θ καθορίζει τη υγκετρωτικότητα τω τιµώ της Χ περί τη µέη τιµή. Όο πιο µικρό είαι το θ τόο πιο µεγάλη είαι η υγκετρωτικότητα. Ας θεωρήουµε µια τυχαία µεταβλητή Χ, διακριτή µε υάρτηη πιθαότητας f κ P κ, κ 0,,,... ή υεχή µε πυκότητα f, < <. Σηµειώουµε ότι µια υάρτηη αυτής Y g είαι επίης τυχαία µεταβλητή και η υάρτηη πιθαότητας f y P Y y, r 0,,,... ή πυκότητας f Y y, Y r r < y < αυτής προδιορίζεαι µέω της υάρτηης πιθαότητας f, κ 0,,,... ή πυκότητας f της τυχαίας µεταβλητής Χ. Είαι εποµέως εδιαφέρο και έχει έοια ο υπολογιµός της µέης τιµής της Y g. Ο υπολογιµός αυτός δύαται α γίει, ύµφωα µε το οριµό 4., αφού πρώτα υπολογιθεί η υάρτηη πιθαότητας ή πυκότητας της Υ. Τούτο δε είαι ααγκαίο α γίεται ε κάθε µερική περίπτωη. Σχετικά ιχύει η ακόλουθη έκφραη E Y E[ g ] g κ f κ, 4.3 κ 0 α η Χ είαι διακριτή µε τη προϋπόθεη ότι η ειρά υγκλίει απολύτως, και η έκφραη E Y E[ g ] g f d, 4.4 α η Χ είαι υεχής µε τη προϋπόθεη ότι το ολοκλήρωµα υγκλίει απολύτως. θ θ κ

81 7 Η διαπορά µιας τυχαίας µεταβλητής αποτελεί έα µέτρο της υγκετρωτικότητας ή µεταβλητότητας της καταοµής της. Η ύπαρξη καταοµώ οι οποίες έχου τη ίδια µέη τιµή και τω οποίω οι τιµές είαι περιότερο ή λιγότερο διαπαρµέες βλ. Παράδειγµα 4. καθιτά ααγκαία τη ειαγωγή εός τέτοιου µέτρου. Η διαπορά, η οποία δύαται α χρηιµοποιηθεί για τη διάκριη τω καταοµώ αυτώ, είαι η µέη τιµή του τετραγώου της απόκλιης g µ, της τυχαίας µεταβλητής Χ από τη µέη της τιµή µ E και υπολογίζεται µε τη χρηιµοποίηη τω 4.3 και 4.4 αάλογα µε το α Χ είαι διακριτή ή υεχής τυχαία µεταβλητή. Οριµός 4.. Έτω Χ µια τυχαία µεταβλητή µε µέη τιµή µ E. Τότε η διαπορά ή διακύµαη της Χ, υµβολιζόµεη µε Var ή ή απλώς α δε υπάρχει κίδυος ύγχυης, ορίζεται από τη χέη Var E[ µ ]. 4.5 Η θετική τετραγωική ρίζα της διαποράς Var, καλείται τυπική απόκλιη της τυχαίας µεταβλητής Χ. Var 4.6 Σύµφωα µε τις 4.3 και 4.4, α η Χ είαι µια διακριτή τ.µ. µε υάρτηη πιθαότητας f P, κ 0,,,..., τότε κ κ κ 0 κ κ Var µ f, και α η Χ είαι µια υεχής τ.µ. µε πυκότητα f, τότε Var µ f d. Σηµειώουµε ότι η ααλογία που υπάρχει µεταξύ της µέης τιµής µιας τυχαίας µεταβλητής και του κέτρου βάρους µάζας τη µηχαική επεκτείεται και µεταξύ της διαποράς και της ροπής αδραείας περί το κέτρο βάρους. Στο επόµεο θεώρηµα αποδεικύουµε βαικές ιδιότητες της µέης τιµής και της διαποράς. Θεώρηµα 4.. Έτω Χ µια τυχαία µεταβλητή µε E µ, ταθερές. Τότε Var και α, β E α β αµ β, 4.7 E [ g h ] E[ g ] E[ h ], 4.8

82 7 Var α β α, 4.9 Var E µ. 4.0 Απόδειξη. Έτω ότι η Χ είαι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε υάρτηη πιθαότητας f P, κ 0,,,... Τότε ύµφωα µε τη 4.3 παίρουµε κ κ E αχ β ακ β f κ α κ f κ β κ 0 κ 0 κ 0 f κ αe β και E [ g h ] [ g κ h κ ] f κ g κ f κ κ 0 κ 0 κ 0 E [ g ] E[ h ]. h κ f Στη περίπτωη που η Χ είαι υεχής, χρηιµοποιώτας τη 4.4, υάγουµε κατά το ίδιο τρόπο τις 4.7 και 4.8. Σύµφωα µε το οριµό 4. της διαποράς και χρηιµοποιώτας τις χέεις 4.7, 4.8, Var α β E[[ α β αµ β] Ααπτύοτας το τετράγωο E [ α Χ µ ] α E[ µ ] α. µ µ E, και χρηιµοποιώτας τις 4.7 και 4.8 παίρουµε ], της απόκλιης της τ.µ. Χ από τη µέη τιµή κ Var E[ µ ] E µ µ E Eµ µ E µe µ E µ. Παρατήρηη 4.. α Τυποποιηµέη τυχαία µεταβλητή. Α Χ είαι µια τυχαία µεταβλητή µε E µ και Var > 0, τότε η τυχαία µεταβλητή µ Z 4. έχει µέη τιµή, ύµφωα µε τη 4.7, E Z E[ µ / ] [ E µ ]/ 0 και διαπορά, ύµφωα µε τη 4.9, Var Z Var[ µ / ] Var /.

83 73 Η τυχαία µεταβλητή Ζ που ορίζεται από τη 4. καλείται τυποποιηµέη τυχαία µεταβλητή που ατιτοιχεί τη Χ. β Αξίζει α ηµειωθεί ότι τη περίπτωη που Var 0, τότε υπάρχει πραγµατικός αριθµός c τέτοιος ώτε P c. Παρατήρηη 4.. Παραγοτικές ροπές. Η έκφραη 4.0 διευκολύει το υπολογιµό της διαποράς µιας τυχαίας µεταβλητής Χ, ιδιαίτερα τη περίπτωη που αυτή είαι υεχής. Α η τυχαία µεταβλητή Χ είαι διακριτή τότε η διαπορά αυτής υπολογίζεται ευκολότερα µε τη χρηιµοποίηη της παραγοτικής ροπής δεύτερης τάξης, µ E[ ], όπου. Συγκεκριµέα έχουµε Η χέη αυτή υάγεται άµεα από τη 4.0 και τη Var E[ ] µ µ. 4.. µ E[ ] E[ ] E E µ Παράδειγµα 4.3. Έτω Χ ο αριθµός της επάω έδρας το τυχαίο πείραµα της ρίψης εός υήθους κύβου. Να υπολογιθεί η διαπορά Var. Η υάρτηη πιθαότητας της τ.µ. Χ δίδεται από τη Εποµέως, ύµφωα µε τη 4.3 f P,,,..., E Χρηιµοποιώτας τη 4.0 και το ότι βλ. Παράδειγµα 4. µ E 7 /, παίρουµε Var E µ Παράδειγµα 4.4. Να υπολογιθεί η διαπορά της τυχαίας µεταβλητής Χ µε πυκότητα Χρηιµοποιώτας τη 4.4 παίρουµε f, θ θ. θ

84 74 E f d θ θ θ 3 d 6θ θ θ θ 3 και ύµφωα µε τη 4.0 και επειδή βλ. Παράδειγµα 4. µ E 0 υµπεραίουµε ότι Var E θ / 3. Παράδειγµα 4.5. Έτω ότι ο χρόος απορρόφηης εός φαρµάκου µετρούµεος ε ώρες είαι µια υεχής µεταβλητή Χ µε πυκότητα θ f, 0 θ, θ όπου θ > 0 είαι παράµετρος της καταοµής βλ. Παράδειγµα.3. Να υπολογιθού ο µέος χρόος απορρόφηης του φαρµάκου E και η διαπορά του χρόου απορρόφηης Var. Η µέη τιµή E, ύµφωα µε το οριµό 4., δίδεται από τη E f d θ θ 0 θ d θ 3θ 3 θ 0 θ. 3 Επίης χρηιµοποιώτας τη 4.4, παίρουµε και έτι E 3 4 θ θ θ f d θ d 0 θ 3θ θ 6 0 θ θ θ Var E [ E ] Οι βαικές αιότητες που ικαοποιούται από τη µέη τιµή περιγράφοται το Θεώρηµα 4.. Έτω Χ µια τυχαία µεταβλητή µε τιµές το υάρτηη µε πεδίο οριµού το R για τη οποία υπάρχει η E [ g ]. R και g οποιαδήποτε Α g α για κάθε R τότε E[ g ] α. 4.3 Α g β για κάθε R τότε E[ g ] β. 4.4 Α α g β για κάθε R τότε α E[ g ] β. 4.5

85 75 Α η υάρτηη h, για τη οποία υπάρχει η E [ h ], είαι τέτοια ώτε h g για κάθε R τότε E[ h ] E[ g ]. 4.6 Απόδειξη. Έτω ότι η Χ είαι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε υάρτηη πιθαότητας f κ P κ, κ 0,,,... Τότε ύµφωα µε τη 4.3 παίρουµε κ g κ f κ κ 0 κ 0 E[ h Χ] h f κ E[ g Χ], επειδή h g, κ 0,,, K, δηλαδή τη 4.6. Η απόδειξη γίεται κατά το κ κ ίδιο τρόπο τη περίπτωη που η Χ είαι υεχής, χρηιµοποιώτας τη 4.4. Προκύπτει από τη 4.6 για h α. Είαι g β για κάθε R, και εφαρµόζοτας τη 4.3, E[ g Χ] E[ g ] β, από τη οποία υάγεται η 4.4. Άµεη υέπεια τω 4.3 και 4.4. AΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ.. Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει υάρτηη καταοµής 0,, 5 3, 5 F 9, 5 3, 5, < < 0 0 < < < 3 3 < 4 4 <. Να υπολογιθού α οι πιθαότητες P < 3, P > και β η υάρτηη πιθαότητας f P, 0,,,3, 4.. Έτω ότι ο χρόος ααµοής Χ ε λεπτά ε υγκεκριµέο ταθµό του υπογείου ιδηροδρόµου είαι µια υεχής τυχαία µεταβλητή µε υάρτηη καταοµής

86 76 0, /, F /, / 4,, < < 0 0 < < < 4 4 <. Να υπολογιθού α οι πιθαότητες P, P < 3, P > 3 και β η πυκότητα f. 3. Ας θεωρήουµε το τυχαίο πείραµα της ρίψης δύο διακεκριµέω κύβω και έτω Χ η τυχαία µεταβλητή η οποία το ηµείο, j του δειγµατικού χώρου ατιτοιχεί το ηµείο j,,,..., 6, j,,..., 6. Να υπολογιθού η υάρτηη πιθαότητας f P, 0,,..., 0 και η υάρτηη καταοµής P, < < της τυχαίας µεταβλητής Χ. F 4. Έχει διαπιτωθεί εµπειρικά ότι ο αριθµός Χ τω πεταλούδω ε µια οριµέη περιοχή έχει υάρτηη καταοµής F c [ ] κ 0, θ κ / κ, < < < όπου [] παριτάει το ακέραιο µέρος του και θ είαι παράµετρος µε 0 < θ <. Να προδιοριθού η ταθερά c και η υάρτηη πιθαότητας f P,,, Η ποότητα βεζίης Χ ε χιλιόλιτρα που πωλεί πρατήριο βεζίης ε µια µέρα είαι υεχής τυχαία µεταβλητή µε υάρτηη πυκότητα c, c, f c3, 0, 0 < < < 3 3 <. Να υπολογιθού α η ταθερά c και β οι πιθαότητες P 3/ 4, P / < 5/, P > 9 / 4 και γ η µέη τιµή E και η διαπορά Var. 6. Η εκατοτιαία περιεκτικότητα ε οιόπευµα εός παρακευάµατος είαι µια υεχής µεταβλητή Χ µε πυκότητα 3 f c, 0 < <.

87 77 α Να υπολογιθού η ταθερά c και οι πιθαότητες p P0 < / 3 και p P/ 3 < / 3. β Α το παρακεύαµα πωλείται προς 3 j χιλιάδες δραχµές το λίτρο ότα η περιεκτικότητα ε οιόπευµα είαι j / 3 < j / 3, εώ κοτίζει j χιλιάδες δραχµές, j,, 3, α υπολογιθεί το µέο κέρδος αά λίτρο και η διαπορά του κέρδους. 7. Έτω ότι το ετήιο ειόδηµα µιθωτού Χ, µετρούµεο ε χιλιάδες Ευρώ, είαι µία υεχής τυχαία µεταβλητή µε πυκότητα 34 f, 3 <. 5 Να υπολογιθού α η υάρτηη καταοµής F, < < και β το µέο ειόδηµα E και η διαπορά του ειοδήµατος Var. 8. Ο χρόος πέψης Χ, µετρούµεος ε ώρες, µιας µοάδας τροφής είαι µια υεχής τυχαία µεταβλητή µε πυκότητα f θ θ e, < < 0, 0 < θ <. Να υπολογιθού α η υάρτηη καταοµής F, < <, β η πιθαότητα όπως για τη πέψη µιας µοάδας τροφής απαιτηθεί περιότερο από µια ώρα και γ ο µέος χρόος πέψης µιας µοάδας τροφής E. 9. Έτω ότι Χ µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε υάρτηη πιθαότητας f, ±, ±,..., ±. Να υπολογιθού η µέη τιµή E και η διαπορά Var. 0. Έτω Χ µια υεχής τυχαία µεταβλητή µε πυκότητα f και υάρτηη καταοµής F. α Να προδιοριθού η υάρτηη καταοµής F Y y και η πυκότητα f Y y της τυχαίας µεταβλητής Y. β Α f / 3,, α βρεθεί η πυκότητα f Y y της Y.

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Η καταοµή πιθαότητας, η µέη τιµή και η διαπορά µιας τυχαίας µεταβλητής εξετάθηκα το Κεφάλαιο. Στο κεφάλαιο αυτό µελετώται διεξοδικά οι ηµατικότερες διακριτές καταοµές. Πιο υγκεκριµέα διατυπώοται τα πιο βαικά και χρήιµα τοχατικά πρότυπα µοτέλα καθ έα από τα οποία δύαται α χρηιµοποιηθεί για τη περιγραφή µιας ευρείας κλάης τοχατικώ τυχαίω πειραµάτω ή φαιοµέω. Ορίζοται διακριτές τυχαίες µεταβλητές και ε κάθε περίπτωη προδιορίζεται η καταοµή τους, υπολογίζοτας τη υάρτηη πιθαότητας αυτής. Επίης υπολογίζοται η µέη τιµή και η διαπορά της καταοµής και αποδεικύοται χρήιµες ιδιότητές της. Για τη διευκόλυη τω εφαρµογώ γίεται χρήη τω πιάκω τω καταοµώ αυτώ. Στο επόµεο κεφάλαιο µελετώται µε το ίδιο διεξοδικό τρόπο οι πουδαιότερες υεχείς καταοµές.. ΚΑΤΑΝΟΜΗ BERNOULLI ΚΑΙ ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ.. Καταοµή Bernoull Ας θεωρήουµε έα τυχαίο πείραµα µε δειγµατικό χώρο Ω και έα εδεχόµεο Α το Ω. Α A είαι το υµπληρωµατικό εδεχόµεο του Α το Ω, τότε τα εδεχόµεα A, A αποτελού µια διαίρεη του δειγµατικού χώρου Ω, εφ όο A A και A A Ω. Το εδεχόµεο Α χαρακτηρίζεται υήθως ως επιτυχία και το A ως αποτυχία. Παριτάοτας µε ε τη επιτυχία και α τη αποτυχία ο δειγµατικός χώρος δύαται α παραταθεί ως Ω { α, ε}. Έα τέτοιο τυχαίο πείραµα καλείται δοκιµή Bernoull. Έτω P { ε} p, P { α} P{ ε} p q,. και ας θεωρήουµε τη ακόλουθη τυχαία µεταβλητή. Οριµός.. Έτω Χ ο αριθµός τω επιτυχιώ ε µια δοκιµή Bernoull µε πιθαότητα επιτυχίας p και αποτυχίας q p. Η καταοµή της δίτιµης µηδέ-έα τυχαίας µεταβλητής Χ καλείται µηδέ-έα καταοµή Bernoull µε παράµετρο p. Συµβολίζουµε ~ b p.

89 80 Οι υαρτήεις πιθαότητας και καταοµής, όπως επίης η µέη τιµή και η διαπορά της καταοµής Bernoull δίδοται το ακόλουθο θεώρηµα. Θεώρηµα.. Η υάρτηη πιθαότητας της καταοµής Bernoull µε παράµετρο p δίδεται από τη f p P q, 0,.. και η υάρτηη καταοµής από τη 0, < < 0 F q, 0 <.3, <. Η µέη τιµή και διαπορά της καταοµής Bernoull µε παράµετρο p δίδοται από τις µ E p, Var pq..4 Απόδειξη. Ο αριθµός Χ τω επιτυχιώ ε µια δοκιµή Bernoull είαι µια τυχαία µεταβλητή οριµέη το Ω { α, ε} µε α 0, ε, και έτι υάγουµε τις πιθαότητες P 0 P{ ω Ω: ω 0} P{ α} q, P P{ ω Ω: ω } P{ ε} p, οι οποίες υεπάγοται τη υάρτηη πιθαότητας.. Η υάρτηη καταοµής.3 προκύπτει άµεα από τη. µε τη χρηιµοποίηη της.4 του Κεφ.. H µέη τιµή της τυχαίας µεταβλητής Χ είαι µ E p και η διαπορά αυτής υάγεται ως εξής: 0 q p Var E[ µ ] p p q p q q p pq. 0.. ιωυµική καταοµή Οριµός.. Έτω Χ ο αριθµός τω επιτυχιώ ε µια ακολουθία αεξαρτήτω δοκιµώ Bernoull µε πιθαότητα επιτυχίας p και αποτυχίας q p, P { ε} p, P{ α} q p,

90 8 ταθερή ίδια ε όλες τις δοκιµές. Η καταοµή της τυχαίας µεταβλητής Χ καλείται διωυµική µε παραµέτρους και p. Συµβολίζουµε µε ~ b, p. Προτού υπολογίουµε τις υαρτήεις πιθαότητας και καταοµής της διωυµικής, διατυπώουµε το εξής θεώρηµα. Θεώρηµα.. ιωυµικό Θεώρηµα, Τύπος ιωύµου του Νεύτωα. Για οποιουδήποτε πραγµατικούς, y, ιχύει η ταυτότητα Απόδειξη. Είαι όπου p k k y y,,,... k 0k y y y y L y p, y p, y L p,, p, y y,,,...,. Εκτελώτας τις πράξεις ύµφωα µε τη επιµεριτική ιδιότητα θα προκύψου προθετέοι της µορφής..., y, y, δηλαδή της γεικής µορφής k y k για, y,..., k y k k 0,,...,. Εποµέως, µετά, τη εκτέλεη τω πράξεω, η έκφραη για το y θα πάρει τη µορφή όπου C, k φορές που εµφαίζεται ο όρος k 0 k y C y, k y, k k k µετά τη εκτέλεη τω πράξεω. Είαι φαερό ότι ο όρος τις παρεθέεις p,..., k y k χηµατίζεται ότα και µόο ότα επιλέξουµε k από p, από τις οποίες θα λάβουµε το και άρα, από τις υπόλοιπες k παρεθέεις θα λάβουµε το y. Τελικά, C, k πλήθος τρόπω που επιλέγοται k τοιχεία από τα p,..., p k, λόγω του Θεωρήµατος 4. β του Κεφ.. Οι υαρτήεις πιθαότητας και καταοµής της διωυµικής καταοµής υάγοται το ακόλουθο θεώρηµα. Θεώρηµα.3. Η υάρτηη πιθαότητας της διωυµικής καταοµής µε παραµέτρους και p δίδεται από τη f P p q, 0,,,...,.5

91 8 και η υάρτηη καταοµής από τη 0, [ ] κ F p q κ 0 κ, όπου [] παριτάει το ακέραιο µέρος του. κ, < < 0 0 < <,.6 Απόδειξη. Ο δειγµατικός χώρος του υθέτου τυχαίου πειράµατος τω αεξαρτήτω δοκιµώ Bernoull είαι, ύµφωα µε το Εδάφιο 9 του Κεφ., το -πλό καρτειαό γιόµεο του Ω { α, ε} µε το εαυτό του, Ω { ω, ω,..., ω : ω { α, ε},,,..., }. Το εδεχόµεο { } α πραγµατοποιηθού επιτυχίες τις δοκιµές περιλαµβάει τοιχειώδη εδεχόµεα, όα και ο αριθµός τω επιλογώ τω θέεω για τις επιτυχίες από τις θέεις. Επιπλέο κάθε τέτοιο τοιχειώδες εδεχόµεο, επειδή οι δοκιµές είαι αεξάρτητες, έχει πιθαότητα Εποµέως Σηµειώουµε ότι f P p q p q, 0,,,...,.. f > 0, 0,,,...,, f 0, { 0,,,..., } και ύµφωα µε το τύπο του διωύµου του Νεύτωα, f p q p q, 0 0 όπως απαιτείται από το οριµό της υάρτηης πιθαότητας. Η υάρτηη καταοµής.6 προκύπτει άµεα από τη.5 µε τη χρηιµοποίηη της.4 του Κεφ.. Οι πίακες της υάρτηης πιθαότητας.5 και της υάρτηης καταοµής.6 της διωυµικής καταοµής διευκολύου τους υπολογιµούς που περιλαµβάου διωυµικές πιθαότητες και χρηιµοποιούται ευρύτατα, ιδιαίτερα τη Στατιτική. Οι πίακες της διωυµικής καταοµής δίου υήθως τη υάρτηη

92 83 πιθαότητας.5 για 0,,..., και ,..., , p. Στη περίπτωη που > 0.5 p οπότε 5 < 0. p q, χρηιµοποιείται ο τύπος p q q p..7 Στο επόµεο θεώρηµα υάγοται η µέη τιµή και η διαπορά της διωυµικής καταοµής. Θεώρηµα.3. Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί τη διωυµική καταοµή µε υάρτηη πιθαότητας τη.5. Τότε η µέη τιµή και η διαπορά της αυτής δίδοται από τις p E µ, pq Var..8 Απόδειξη. Η µέη τιµή της τ.µ. Χ, ύµφωα µε το οριµό, δίδεται από τη p q E µ. Χρηιµοποιώτας τη χέη!!!!!! παίρουµε 0 y y y q p y p q p E µ και ύµφωα µε το τύπο του διωύµου του Νεύτωα υµπεραίουµε ότι p q p p E µ. Επίης 0 ] [ q p q p E µ και επειδή!!!!!! παίρουµε 0 ] [ y y y q p y p q p E µ

93 84 Εποµέως, p p q p Var E[ ] µ µ p p p pq. Παράδειγµα.. Έτω ότι ε αθεείς µετρείται η πίεη του αίµατος πρι και µετά τη χορήγηη εός οριµέου φαρµάκου και τα αποτελέµατα είαι y,,. z y, z,..., y, z. Α y κ > zκ θεωρούµε ότι η κ οτή δοκιµή είχε αποτέλεµα επιτυχία, εώ α yκ zκ αποτυχία, κ,,...,. Α το φάρµακο δε έχει καµµιά επίδραη τότε η πιθαότητα επιτυχίας p είαι ίη µε τη πιθαότητα αποτυχίας q p και εποµέως p /. Έτω Χ ο αριθµός τω επιτυχιώ τις δοκιµές. Τότε, υποθέτοτας ότι το φάρµακο δε έχει καµµιά επίδραη τη πίεη του αίµατος, f P, 0,,,...,. Σηµειώουµε ότι πολύ µικρός αριθµός επιτυχιώ αποτελεί έδειξη ότι το φάρµακο έχει αρητική επίδραη αυξάει τη πίεη, εώ πολύ µεγάλος αριθµός επιτυχιώ ηµαίει ότι έχει ευεργετική επίδραη µειώει τη πίεη. Να υπολογιθού οι πιθαότητες α το πολύ επιτυχιώ και β 7 τουλάχιτο επιτυχιώ τη περίπτωη 8 αθεώ. Έχουµε 8 8 P , P Παράδειγµα.. Ας θεωρήουµε έα αρχικό πληθυµό το οποίο οι γοότυποι AA, Aα και αα εµφαίζοται µε πιθαότητες p, q και r p q r, αεξάρτητα φύλου. Έτω ότι καθέας από τους γοείς πατέρας και µητέρα κληροοµεί, ύµφωα µε το όµο κληροοµικότητας του Mendel, ε κάθε παιδί του έα από τα γοίδια Α και α. Ας θεωρήουµε έα ζευγάρι άδρα και γυαίκα από το πληθυµό αυτό το οποίο αποκτά παιδιά και έτω ότι το εδιαφέρο για κάθε παιδί ετιάζεται το κατά πόο έχει το γοότυπο AA. Χαρακτηρίζοτας το εδεχόµεο Γ όπως έα παιδί έχει το γοότυπο AA ως επιτυχία και το υµπληρωµατικό του ως αποτυχία, η γέηη εός παιδιού δύαται α θεωρηθεί ως δοκιµή Bernoull µε πιθαότητες βλ. Παράδειγµα 9. του Κεφ.

94 85 P{ ε} P Γ p q p, q P{ α P Γ p q. } Η ειρά τω γεήεω αποτελεί µια ακολουθία αεξαρτήτω δοκιµώ Bernoull και έτι ο αριθµός Χ τω παιδιώ που έχου το γοότυπο AA ακολουθεί τη διωυµική καταοµή µε υάρτηη πιθαότητας f p q, 0,,...,. Στη µερική περίπτωη που οι πιθαότητες τω τριώ γοοτύπω το αρχικό πληθυµό είαι p q r / 4, οπότε p / 4, q 3/ 4, ο αριθµός Χ τω παιδιώ που έχου το γοότυπο AA, ε ύολο 4 παιδιώ, έχει υάρτηη πιθαότητας f, 0,,,3, Η πιθαότητα όπως έα τουλάχιτο από τα 4 παιδιά έχει το γοότυπο AA είαι ίη µε 3 75 P P Ο ααµεόµεος αριθµός παιδιώ µε το γοότυπο AA είαι µ E ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗ PASCAL 3.. Γεωµετρική καταοµή Οριµός 3.. Ας θεωρήουµε µια ακολουθία αεξαρτήτω δοκιµώ Bernoull µε πιθαότητα επιτυχίας p και αποτυχίας q, P { ε} p, P{ α} q p, ταθερή ίδια ε όλες τις δοκιµές. Έτω Χ ο αριθµός τω δοκιµώ µέχρι τη πρώτη επιτυχία. Η καταοµή της τυχαίας µεταβλητής Χ καλείται γεωµετρική µε παράµετρο p. Συµβολίζουµε ~ G p. Οι υαρτήεις πιθαότητας και καταοµής της γεωµετρικής καταοµής υάγοται το ακόλουθο θεώρηµα. Θεώρηµα 3.. Η υάρτηη πιθαότητας της γεωµετρικής καταοµής µε παράµετρο p δίδεται από τη

95 86 και η υάρτηη καταοµής από τη όπου [] παριτάει το ακέραιο µέρος του. f P pq,,, , < < F 3. [ ] q, <, Απόδειξη. Το εδεχόµεο { }, η πρώτη επιτυχία α πραγµατοποιηθεί τη - οτή δοκιµή, περιλαµβάει έα µόο δειγµατικό ηµείο τοιχειώδες εδεχόµεο και υγκεκριµέα το { α, α,..., α, ε}, όπου τις θέεις δοκιµές έχει αποτυχία και τη -οτή θέη δοκιµή έχει επιτυχία. Χρηιµοποιώτας ότι οι δοκιµές είαι αεξάρτητες τούτο έχει πιθαότητα q p. Εποµέως η υάρτηη πιθαότητας της τ.µ. Χ είαι η Σηµειώουµε ότι f P pq,,,.... f > 0,,,..., f 0, {,,...} και ύµφωα µε το τύπο του αθροίµατος τω απείρω όρω γεωµετρικής προόδου ειράς, f p q p q, όπως απαιτείται από το οριµό της υάρτηης πιθαότητας. Η υάρτηη καταοµής 3. προκύπτει άµεα από τη υάρτηη πιθαότητας 3. µε τη χρηιµοποίηη της.4 του Κεφ.. Στο επόµεο θεώρηµα υάγοται η µέη τιµή και η διαπορά της γεωµετρικής καταοµής. Θεώρηµα 3.. Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί τη γεωµετρική καταοµή µε υάρτηη πιθαότητας τη 3.. Τότε η µέη τιµή και η διαπορά αυτής δίδοται από τις µ E, p q Var. 3.3 p

96 87 Απόδειξη. Η µέη τιµή και η δεύτερης τάξης παραγοτική ροπή της γεωµετρικής καταοµής δίδοται από τις µ E και pq p q µ E[ ] pq pq q. Παρατηρούµε ότι, παραγωγίζοτας διαδοχικά ως προς q τη γεωµετρική ειρά υάγουµε τις χέεις 0 q q, q q, 3 q q. Εποµέως p µ E p q, q p και µ E[ ] pq q pq q 3 q p, οπότε q q Var E[ ] µ µ. p p p p Η έλλειψη µήµης αποτελεί χαρακτηριτική ιδιότητα της γεωµετρικής καταοµής. Η ιδιότητα αυτή αποδεικύεται το επόµεο θεώρηµα. Θεώρηµα 3.3. Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί τη γεωµετρική καταοµή µε υάρτηη πιθαότητας τη 3.. Τότε P > κ r > κ P > r, κ, r 0,,, Απόδειξη. Η δεµευµέη πιθαότητα του εδεχοµέου { ω : ω > κ r} δεδοµέου του εδεχοµέου { ω : ω > κ}, λαµβάοτας υπόψη ότι { ω : ω > κ r} { ω : ω > κ} και χρηιµοποιώτας τη 3., είαι ίη µε

97 88 P > κ r > κ P > κ r, P > κ > κ P > κ r P > κ F κ r F κ q κ r q κ q r και επειδή P > r F r r q υάγεται η 3.4. Σηµειώουµε ότι η ιδιότητα αυτή ηµαίει έλλειψη µήµης της γεωµετρικής καταοµής µε τη ακόλουθη έοια: Η πιθαότητα α απαιτηθού επιπρόθετα περιότερες από r δοκιµές µέχρι τη πρώτη επιτυχία δεδοµέου ότι δε έχει πραγµατοποιηθεί επιτυχία τις κ πρώτες δοκιµές είαι η ίδια µε τη µη δεµευµέη πιθαότητα α απαιτηθού περιότερες από r δοκιµές µέχρι τη πρώτη επιτυχία. Εποµέως η πληροφορία µη επίτευξης του τόχου επιτυχία ξεχιέται και η προπάθεια υεχίζεται όπως ότα πρωταρχίζει. Παρατήρηη 3.. Η υάρτηη πιθαότητας του αριθµού Υ τω αποτυχιώ µέχρι τη πρώτη επιτυχία υπολογίζεται µε τη χρηιµοποίηη της χέης Y και της 3. ως εξής: f y P Y y P y pq, y 0,,, Y Η καταοµή της τ.µ. Υ καλείται επίης γεωµετρική µε παράµετρο p. H µέη τιµή και η διαπορά αυτής προκύπτου από τις 3.3: q q E Y E E, Var Y Var Var. 3.6 p p Παράδειγµα 3.. Το κότος εκτέλεης για πρώτη φορά εός υγκεκριµέου πειράµατος είαι 00 Ευρώ. Α το πείραµα αποτύχει, για οριµέες µεταβολές που πρέπει α γίου πρι από τη επόµεη εκτέλεή του απαιτείται έα πρόθετο ποό 0 Ευρώ. Υποθέτουµε ότι οι δοκιµές είαι αεξάρτητες µε πιθαότητα επιτυχίας p 4 / 5 και ότι υεχίζοται µέχρι τη πρώτη επιτυχία. Να υπολογιθού α η πιθαότητα α απαιτηθού 4 το πολύ δοκιµές µέχρι τη πρώτη επιτυχία και β το ααµεόµεο κότος µέχρι τη πρώτη επιτυχία. α Ο αριθµός Χ τω δοκιµώ µέχρι τη πρώτη επιτυχία ακολουθεί τη γεωµετρική καταοµή µε υάρτηη πιθαότητας 4 f P,,, y

98 89 και υάρτηη καταοµής 0, 5 [ ] F < <, <. Εποµέως P 4 F β Α Κ είαι το κότος µέχρι τη πρώτη επιτυχία τότε 4 K και E K 0E 0. Η µέη τιµή της τυχαίας µεταβλητής Χ είαι ίη µε και υεπώς E p 5 4 E K Καταοµή Pascal Αρητική ιωυµική Οριµός 3.. Ας θεωρήουµε µια ακολουθία αεξαρτήτω δοκιµώ Bernoull µε πιθαότητα επιτυχίας p και αποτυχίας q, P { ε} p, P{ α} q p, ταθερή ίδια ε όλες τις δοκιµές. Έτω Χ ο αριθµός τω δοκιµώ µέχρι τη r-οτή επιτυχία. Η καταοµή της τυχαίας µεταβλητής Χ καλείται καταοµή Pascal ή Αρητική ιωυµική, µε παραµέτρους r και p. Συµβολίζουµε ~ NB r, p Οι υαρτήεις πιθαότητας και καταοµής της καταοµής Pascal υάγοται το ακόλουθο θεώρηµα Θεώρηµα 3.4. Η υάρτηη πιθαότητας της καταοµής Pascal µε παραµέτρους r και p δίδεται από τη r r f P p q, r, r, r και η υάρτηη καταοµής από τη

99 90 όπου [] παριτάει το ακέραιο µέρος του. 0, < < r [ ] F κ 3.8 r κ r p q, r <, κ r r Απόδειξη. Το εδεχόµεο { } περιλαµβάει τα δειγµατικά ηµεία τοιχειώδη εδεχόµεα ω, ω,..., ω,, µε r επιτυχίες τις πρώτες δοκιµές και ε επιτυχία τη -οτή δοκιµή, τα οποία είαι πλήθους, όα και ο αριθµός τω r επιλογώ τω r θέεω για τις επιτυχίες από τις δυατές θέεις. Επιπλέο κάθε τέτοιο δειγµατικό ηµείο έχει πιθαότητα Εποµέως Σηµειώουµε ότι r q p r. r r f P p q, r, r,... r f > 0, r, r,..., f 0, { r, r,...} και χρηιµοποιώτας το αρητικό διωυµικό αάπτυγµα, 0 r t r t, < t <, 3.9 υάγουµε τη χέη r r r p q p r r y y r r f q p q, rr y 0 y όπως απαιτείται από το οριµό της υάρτηης πιθαότητας. Η υάρτηη καταοµής 3.8 προκύπτει άµεα από τη υάρτηη πιθαότητας 3.7 µε τη χρηιµοποίηη της.4 του Κεφ.. Στο επόµεο θεώρηµα υάγοται η µέη τιµή και η διαπορά της καταοµής Pascal. Θεώρηµα 3.5. Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί τη καταοµή Pascal µε υάρτηη πιθαότητας τη 3.7. Τότε η µέη τιµή και η διαπορά αυτής δίδοται από τις

100 9 p r E µ, p rq Var. 3.0 Απόδειξη. Η µέη τιµή της τ.µ. Χ δίδεται από τη r r r q p r E µ, οπότε, χρηιµοποιώτας τη χέη r r r r r r r r!!!!!! και τη 3.9, υάγουµε τη έκφραη p r q rp q y y r rp q r rp µ r r r y y r r r 0. Η δεύτερης τάξης αοδική παραγοτική ροπή της τ.µ. Χ δίδεται από τη r r r q p r E µ ] [ ] [, οπότε, χρηιµοποιώτας τη χέη r r r r r r r r r r!!!!!! και τη 3.9, υάγουµε τη έκφραη r y y r r r q y y r p r r q r p r r E µ 0 [] ] [ p r r q p r r r r. Εποµέως η διαπορά της τ.µ. Χ είαι ] [ p rq p r p r p r r µ µ E Var. Παρατήρηη 3.. Ας θεωρήουµε το αριθµό Υ τω αποτυχιώ µέχρι τη r-οτή επιτυχία ε µια ακολουθία αεξαρτήτω δοκιµώ Bernoull µε πιθαότητα επιτυχίας p. Η υάρτηη πιθαότητας της τυχαίας αυτής µεταβλητής δύαται α υπολογιθεί είτε απευθείας είτε µε τη χρηιµοποίηη της χέης r Y και της υάρτηης πιθαότητας 3.7 της Χ. Έχουµε

101 9 r y r y fy y P Y y P r y p q, y 0,,, y Η καταοµή της τ.µ. Υ καλείται επίης καταοµή Pascal ή αρητική διωυµική µε παραµέτρους r και p. Η µέη τιµή και η διαπορά αυτής δύαται α προκύψου από τις 3.0 ως εξής: r rq µ E Y E r r, p p rq Var Y Var. 3. p Παρατήρηη 3.3. Σύδεη τω καταοµώ Pascal και διωυµικής. Ας παρατήουµε µε, το αριθµό τω δοκιµώ µέχρι τη r-οτή επιτυχία ε µια r p ακολουθία αεξαρτήτω δοκιµώ Bernoull µε πιθαότητα επιτυχίας p το οποίο υµβολικά δηλώεται ως r, p ~ NB r, p, και µε Y, p το αριθµό τω επιτυχιώ ε µια ακολουθία αεξαρτήτω δοκιµώ Bernoull µε πιθαότητα επιτυχίας p υµβολικά ~ b r,. Τότε Y, p p P r, p, p r P Y, r,,...,, 3.3 επειδή το εδεχόµεο όπως ο αριθµός τω δοκιµώ µέχρι τη r-οτή επιτυχία είαι το πολύ είαι ιοδύαµο µε το εδεχόµεο όπως ο αριθµός τω επιτυχιώ τις δοκιµές είαι τουλάχιτο r. Επίης P r p pp Y p r, r,,...,, 3.4,, επειδή το εδεχόµεο όπως η r-οτή επιτυχία πραγµατοποιηθεί τη δοκιµή είαι ίο µε τη τοµή τω αεξαρτήτω εδεχοµέω όπως πραγµατοποιηθού r επιτυχίες τις δοκιµές και επιτυχία τη δοκιµή. Η χέη 3.4 δύαται α χρηιµοποιηθεί µαζί µε το πίακα πιθαοτήτω της διωυµικής καταοµής για το υπολογιµό τω πιθαοτήτω της καταοµής Pascal. Παράδειγµα 3.3. Μια γυαίκα εξακολουθεί α τεκοποιεί µέχρι α αποκτήει δύο αγόρια. Έτω ότι η πιθαότητα γέηης αγοριού είαι p Να υπολογιθού α η πιθαότητα όπως η γυαίκα αυτή αποκτήει το πολύ 4 παιδιά µέχρι α πετύχει το κοπό της και β ο ααµεόµεος αριθµός παιδιώ µέχρι τη γέηη του δεύτερου αγοριού. α Έτω Χ ο αριθµός τω παιδιώ µέχρι και τη γέηη του δεύτερου αγοριού. Τότε η τ.µ. Χ έχει τη καταοµή Pascal µε παραµέτρους r, p και έτι P 4 4 κ κ κ 0.49 { } 0.67.

102 93 β Ο ααµεόµεος αριθµός παιδιώ µέχρι τη γέηη του δεύτερου αγοριού, ύµφωα µε τη πρώτη από τις 3.0, είαι µ E Παράδειγµα 3.4. Το πρόβληµα τω πιρτόκουτω του Banach. Στη διάρκεια µιας τελετής προς τιµή του γωτού µαθηµατικού Banach, o Stenhaus ααφερόµεος χιουµοριτικά τις καπιτικές υήθειες του τιµωµέου έδωε το ακόλουθο παράδειγµα ως εφαρµογή της καταοµής Pascal. Έας µαθηµατικός έχει πάτα µαζί του έα πιρτόκουτο τη δεξιά τέπη και έα άλλο τη αριτερή. Ότα χρειάζεται πίρτο παίρει τυχαία έα από τα κουτιά και εποµέως οι διαδοχικές εκλογές πιρτόκουτω αποτελού µια ακολουθία αεξαρτήτω δοκιµώ Bernoull µε p q /. Έτω ότι αρχικά το κάθε κουτί περιέχει πίρτα και ας θεωρήουµε τη τιγµή κατά τη οποία για πρώτη φορά ο µαθηµατικός αακαλύπτει ότι το έα κουτί είαι κεό. Τη τιγµή αυτή το άλλο κουτί θα περιέχει Ζ πίρτα. Η τυχαία αυτή µεταβλητή µπορεί α πάρει τις τιµές z 0,,,...,. Να υπολογιθεί η υάρτηη πιθαότητας f Z z P Z z, z 0,,,...,. Ας θεωρήουµε ως επιτυχία τη εκλογή του πιρτόκουτου που βρίκεται τη δεξιά τέπη. Παρατηρούµε ότι το πιρτόκουτο τη δεξιά τέπη θα βρεθεί κεό ότα το άλλο θα περιέχει z πίρτα α και µόο α ο αριθµός Χ τω δοκιµώ µέχρι τη επιτυχία είαι ίος µε z z. Το ίδιο ιχύει και µε τη εαλλαγή του ρόλου τω δύο τεπώ. Εποµέως, ύµφωα µε τη 3.7, z z fz z P Z z P z, z 0,,,...,. 4. ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ας θεωρήουµε έα πεπεραµέο πληθυµό του οποίου τα τοιχεία, ύµφωα µε κάποιο χαρακτηριτικό, κατατάοται ε δύο κατηγορίες. Έτω ότι έα δείγµα υγκεκριµέου µεγέθους εκλέγεται από το πληθυµό αυτό, χωρίς επαάθεη. Ο αριθµός τω τοιχείω της µιας ή της άλλης κατηγορίας που περιλαµβάοται το δείγµα αποτελεί ατικείµεο πιθαοθεωρητικής µελέτης. Σχετικά θέτουµε το ακόλουθο οριµό. Οριµός 4.. Έτω ότι από µια κάλπη που περιέχει Λ άπρα και Μ µαύρα φαιρίδια εξάγοται διαδοχικά το έα µετά το άλλο, χωρίς επαάθεη, φαιρίδια. Στο τυχαίο τοχατικό αυτό πείραµα έτω Χ o αριθµός τω άπρω φαιριδίω τα οποία

103 94 εξάγοται. Η καταοµή της τ.µ. Χ καλείται υπεργεωµετρική µε παραµέτρους Λ, Μ και. Συµβολίζουµε Χ ~ ΥΓ Λ, Μ,. Η υάρτηη πιθαότητας της υπεργεωµετρικής καταοµής υάγεται το ακόλουθο θεώρηµα. Θεώρηµα 4.. Η υάρτηη πιθαότητας της υπεργεωµετρικής καταοµής µε παράµετρους Λ, Μ και δίδεται από τη Λ Μ Λ Μ f P, 0,,,...,. 4. Λ Μ Απόδειξη. Ο δειγµατικός χώρος Ω περιλαµβάει N Ω δειγµατικά ηµεία, όα και ο αριθµός τω -άδω φαιριδίω που δύαται α εξαχθού. Τα δειγµατικά αυτά ηµεία είαι ιοπίθαα. Το εδεχόµεο { } περιλαµβάει Λ Μ -άδες φαιριδίω µε άπρα από τα Λ και µαύρα από τα Μ. Εποµέως, ύµφωα µε το κλαικό οριµό της πιθαότητας, Σηµειώουµε ότι Λ Μ Λ Μ f P, 0,,,...,. f 0, 0,,,...,, f 0, { 0,,,..., } και ύµφωα µε το τύπο του Cauchy, ιχύει Λ Μ Λ Μ, 4. Λ Μ Λ Μ f, όπως απαιτείται από το οριµό της υάρτηης πιθαότητας. Επίης τα ηµεία µε θετική πιθαότητα καθορίζοται από τις αιότητες και είαι οι ακέραιοι µε 0, 0 Λ, 0 Μ ma{ 0, Μ} mn{, Λ}.

104 95 Στο επόµεο θεώρηµα υάγοται η µέη τιµή και η διαπορά της υπεργεωµετρικής καταοµής. Θεώρηµα 4.. Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί τη υπεργεωµετρική καταοµή µε υάρτηη πιθαότητας τη 4.. Τότε η µέη τιµή και η διαπορά αυτής δίδοται από τις Μ Λ Λ E µ, Μ Λ Μ Λ Μ Λ Μ Μ Λ Λ Var. 4.3 Απόδειξη. Η µέη τιµή της τ.µ. Χ, ύµφωα µε το οριµό, δίδεται από τη Μ Λ Μ Λ E µ. Χρηιµοποιώτας τη χέη!!!!!! Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ και το τύπο 4. του Cauchy, Μ Λ y Μ y Λ Λ Μ Λ Μ Λ Λ µ y 0 Μ Λ Λ Μ Λ Μ Λ Λ. H δεύτερης τάξης παραγοτική ροπή της τ.µ. Χ δίδεται από τη Μ Λ Μ Λ E µ ] [. Χρηιµοποιώτας τη χέη!!!!!! Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ και το τύπο 4. του Cauchy υάγουµε τη y Μ Λ y Μ y Λ Λ Λ Μ Λ Μ Λ Λ Λ µ 0 Μ Λ Μ Λ Λ Λ Μ Λ Μ Λ Λ Λ. Εποµέως

105 96 ] [ Μ Λ Λ Μ Λ Λ Μ Λ Μ Λ Λ Λ µ µ E Var Μ Λ Μ Λ Μ Λ Μ Μ Λ Λ. Η υπεργεωµετρική καταοµή δύαται α προεγγιθεί, για µεγάλο Μ Λ N από τη διωυµική καταοµή ύµφωα µε το επόµεο θεώρηµα. Θεώρηµα 4.3. Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει τη υπεργεωµετρική υάρτηη πιθαότητας 4. µε Μ Λ N. Α Λ Μ N,, έτι ώτε p N Λ N lm, τότε Ν p p Μ Λ Μ Λ lm,..., 0,,,. 4.4 Απόδειξη. Σύµφωα µε τη υπόθεη p N Λ N lm και επειδή N Λ N Μ έχουµε p N Λ N Μ N N lm lm. Επίης 0 lm N c N για ταθερό ως προς N αριθµό c. Εποµέως N N p N N Λ N N Λ N Λ N Λ lm lm L, N N p N N Μ N N Μ N Μ N Μ lm lm L, lm lm N N N N N N L. Χρηιµοποιώτας τις οριακές αυτές χέεις και τη N N N M N Λ Μ Λ M Λ Μ Λ Μ Λ υάγουµε τη 4.4. Παράδειγµα 4.. Εκτίµηη του αριθµού τω ψαριώ λίµης Feller, 968. Aς υποθέουµε ότι ε µια λίµη υπάρχει έας άγωτος αριθµός N ψαριώ. Από τη λίµη αυτή ψαρεύουµε Λ ψάρια τα οποία ηµαδεύουµε µε µια αεξίτηλη κόκκιη κηλίδα και αφήουµε και πάλι ελεύθερα. Μετά από οριµέο χρόο ψαρεύουµε από τη λίµη αυτή ψάρια και παρατηρούµε ότι κ από αυτά έχου τη κόκκιη κηλίδα.

106 97 Να υπολογιθεί η τιµή του N η οποία µεγιτοποιεί τη πιθαότητα δείγµα ψαριώ α περιέχει κ ηµαδεµέα ψάρια. p, το δεύτερο N κ Παρατηρούµε ότι το τοχατικό αυτό πείραµα ικαοποιούται οι υποθέεις του υπεργεωµετρικού τοχατικού προτύπου µοτέλου και ύµφωα µε τη 4.3 η πιθαότητα p, δίδεται από τη N κ Λ N Λ κ κ N p N, κ. Για τη µεγιτοποίηη ως προς N της πιθαότητας αυτής ηµειώουµε ότι το πηλίκο p p N, κ N, κ N Λ N N Λ κ N / N κ / N Λ είαι µεγαλύτερο του α / N < κ / N Λ και µικρότερο του α / N > κ / N Λ. Εποµέως η πιθαότητα p N, κ ως υάρτηη του N αυξάει το διάτηµα N < Λ/κ, φθίει το διάτηµα N > Λ/κ και παίρει τη µέγιτη τιµή της για N [ Λ/κ], όπου [] παριτάει το ακέραιο µέρος του. Η τιµή αυτή του Ν η οποία µεγιτοποιεί τη πιθαότητα ψαριώ της λίµης. p, αποτελεί µια εκτίµηη του αριθµού τω N κ 5. ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON Οριµός 5.. Έτω Χ µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε υάρτηη πιθαότητας λ λ f e, 0,,,..., 5.! όπου 0 < λ <. Η καταοµή της τ.µ. Χ καλείται καταοµή Posson µε παράµετρο λ. Συµβολίζουµε µε Χ ~ Ρ λ. Σηµειώουµε ότι f > 0, 0,,,..., f 0, {0,,,...} και χρηιµοποιώτας το αάπτυγµα της εκθετικής υάρτηης υµπεραίουµε ότι z e ε δυαµοειρά, z z e, 5. 0!

107 98 λ λ λ λ f e e e,! 0 0 όπως απαιτείται από το οριµό της υάρτηης πιθαότητας. Η υάρτηη καταοµής της τ.µ. Χ δίδεται από τη 0, F [ ] e κ 0 όπου [] παριτάει το ακέραιο µέρος του. < < 0 κ λ 5.3 λ, 0 <, κ! Οι τιµές της υάρτηης πιθαότητας 5. της καταοµής Posson δίοται και από πίακες. Η καταοµή Posson µελετήθηκε από το Γάλλο µαθηµατικό Smeon Dena Posson ως προεγγιτική καταοµή της διωυµικής καταοµής. Σχετικά ο Posson απέδειξε το 837 το ακόλουθο θεώρηµα. Θεώρηµα 5.. Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει τη διωυµική καταοµή µε υάρτηη πιθαότητας τη.5. Α για το p 0 έτι ώτε p λ ή γεικότερα lm p λ, όπου λ > 0 ταθερά, τότε lm p p e λ λ!, 0,,, Απόδειξη. Η υάρτηη πιθαότητας.5 της διωυµικής καταοµής, ύµφωα µε τη υπόθεη p λ/,,,..., δύαται α γραφεί ως εξής: p p λ! λ λ. Χρηιµοποιώτας τις οριακές χέεις υάγουµε τη 5.4. lm lm L, λ λ λ lm e, lm Παρατήρηη 5.. Η προέγγιη 5.4 είαι ικαοποιητική για 0 και p 0 /. Επειδή η πιθαότητα p εµφάιης εός εδεχοµέου επιτυχίας υποτίθεται µικρή,

108 99 θεωρητικά p 0 για η καταοµή Posson θεωρείται ως καταοµή τω πάιω εδεχοµέω. Επίης ααφέρεται και ως όµος τω µικρώ αριθµώ. Σχετικά µε τη µέη τιµή και τη διαπορά της καταοµής Posson αποδεικύουµε το ακόλουθο θεώρηµα. Θεώρηµα 5.. Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει τη καταοµή Posson µε υάρτηη πιθαότητας τη 5.. Τότε η µέη τιµή και η διαπορά αυτής δίδοται από τις µ E λ, Var λ. 5.5 Απόδειξη. Η µέη τιµή της τ.µ. Χ, ύµφωα µε το οριµό, δίδεται από τη µ E e λ λ λe! λ λ,! οπότε, χρηιµοποιώτας τη 5. υάγουµε τη πρώτη από τις 5.5. Η δεύτερης τάξης παραγοτική ροπή της τ.µ. Χ δίδεται από τη µ E[ ] e λ λ! λ e λ χ λ! οπότε, χρηιµοποιώτας τη 5. υµπεραίουµε ότι Εποµέως µ ] E[ λ. Var E[ ] µ µ λ λ λ λ. Παράδειγµα 5.. Ας υποθέουµε ότι η παραγωγή εός βιοµηχαικού προϊότος γίεται κάτω από τατιτικό έλεγχο ποιότητας έτι ώτε α πληρούται οι υποθέεις του τοχατικού προτύπου µοτέλου τω αεξαρτήτω δοκιµώ Bernoull. Μια µοάδα του προϊότος αυτού θεωρείται ελαττωµατική α δε πληροί όλες τις καθοριµέες προδιαγραφές και η πιθαότητα γι αυτό έτω ότι είαι p Να υπολογιθεί η πιθαότητα όπως ε έα κιβώτιο 00 µοάδω του προϊότος αυτού υπάρχει µια το πολύ ελαττωµατική. Έτω Χ ο αριθµός τω ελαττωµατικώ µοάδω του προϊότος το κιβώτιο τω 00 µοάδω. Η τυχαία αυτή µεταβλητή έχει τη διωυµική καταοµή µε υάρτηη πιθαότητας P , 0,,,..., 00.

109 00 Επειδή το 00 είαι µεγάλο και το p 0. 0 µικρό έτι ώτε λ p είαι µικρότερο του 0, η προέγγιη αυτής από τη Posson µε P e /!, 0,,,... είαι ικαοποιητική. Συεπώς P P 0 P e Σηµειώουµε ότι χρηιµοποιώτας τη διωυµική υάρτηη πιθαότητας, παίρουµε P P 0 P Παρατήρηη 5.. Στοχατική αέλιξη διαδικαία Posson. Ας θεωρήουµε έα τυχαίο πείραµα το οποίο έα εδεχόµεο Α µπορεί α εµφαίζεται πραγµατοποιείται ε διάφορες χροικές τιγµές ή ε διάφορα ηµεία του χώρου µοοδιάτατου, διδιάτατου ή τριδιάτατου. Για παράδειγµα ε έα ταθµό βεζίης το εδεχόµεο άφιξης αυτοκιήτου µπορεί α πραγµατοποιηθεί ε οποιαδήποτε χροική τιγµή όπως και ε µια πλάκα Petr µε βακτηρίδια το εδεχόµεο παρατήρηης µε το µικροκόπιο κοτειού ηµείου το οποίο ηµαίει τη ύπαρξη αποικίας βακτηριδίω µπορεί α εµφαιθεί ε οποιοδήποτε ηµείο αυτής δηλαδή ηµείο του επιπέδου. Υποθέτουµε ότι οι υθήκες του πειράµατος παραµέου αµετάβλητες το χρόο ή το χώρο και ότι ο αριθµός εµφαίεω του Α ε δύο ξέα µεταξύ τους χροικά ή χωρικά διατήµατα είαι αεξάρτητα εδεχόµεα. Επιπλέο, υποθέτουµε ότι η πιθαότητα όπως το εδεχόµεο Α πραγµατοποιηθεί µια φορά ε έα µικρό χροικό διάτηµα είαι αάλογη του µήκους του, εώ η πιθαότητα όπως το εδεχόµεο Α πραγµατοποιηθεί δύο ή περιότερες φορές το µικρό αυτό χροικό διάτηµα είαι αµελητέα. Στο τυχαίο αυτό πείραµα ας παρατήουµε µε t το αριθµό εµφαίεω του Α ε χροικό ή χωρικό διάτηµα µήκους t. Για δεδοµέο t, η t είαι µια τυχαία µεταβλητή που µπορεί α πάρει τις τιµές 0,,,..., εώ ότα το t µεταβάλλεται, η t, t 0, ορίζει µια οικογέεια τυχαίω µεταβλητώ η οποία καλείται τοχατική αέλιξη ή διαδικαία. Για το προδιοριµό της υάρτηης πιθαότητας της t χωρίζουµε το διάτηµα 0, t ] ε έα µεγάλο αριθµό υποδιατηµάτω µήκους t t/. Σε κάθε τέτοιο διάτηµα θα έχουµε ύµφωα µε τις υθήκες του πειράµατος είτε µια πραγµατοποίηη του Α επιτυχία µε πιθαότητα p θ t θt/, θ > 0, είτε καµµιά πραγµατοποίηη του Α αποτυχία µε πιθαότητα q p. Η υάρτηη πιθαότητας του αριθµού δοκιµές είαι η t εµφαίεω του Α τα υποδιατήµατα αεξάρτητες

110 0 P t p q, 0,,,..., θt p. Επειδή για t 0, το και lm p θt πιθαότητας το όριο γίεται, η διωυµική αυτή υάρτηη P t θt θt e 0,,,..., θ > 0, t > ! Εποµέως t ~ P θt. Αξίζει α ηµειώουµε µερικά από τα πιο χαρακτηριτικά παραδείγµατα φαιοµέω που εµφαίζοται τη πράξη και ικαοποιού τις υθήκες του πιθαοθεωρητικού µοτέλου της καταοµής Posson. α Μια ραδιεεργός πηγή εκπέµπει ωµάτια α. Ο αριθµός τω ωµατίω που φθάου ε δεδοµέο τµήµα του χώρου ε χρόο t αποτελεί το πιο γωτό παράδειγµα τυχαίας µεταβλητής που ακολουθεί τη καταοµή Posson. Στο περίφηµο πείραµα τω Rutherford, Chadwck και Ells 90 παρατηρήθηκε µια ραδιεεργός πηγή για 608 χροικά διατήµατα τω 7. 5 δευτερολέπτω. Τα παρατηρηθέτα αποτελέµατα βρέθηκα πολύ κοτά τα ατίτοιχα θεωρητικά που δίδει η καταοµή Posson µε λ β Είαι γωτό το πρόβληµα τω λαθαµέω τηλεφωικώ υδέεω, όπου ατί του αριθµού που έχει χηµατιθεί το κατρά καλείται άλλος αριθµός. Έχει πειραµατικά παρατηρηθεί ότι ο αριθµός τω λαθαµέω τηλεφωικώ υδέεω ακολουθεί τη καταοµή Posson. Επίης ο αριθµός τω τηλεφωικώ κλήεω που φθάου ε έα τηλεφωικό κέτρο τη διάρκεια µιας χροικής περιόδου ακολουθεί τη καταοµή Posson. γ Ο αριθµός τω τροχαίω ατυχηµάτω ε µια πόλη ή ε κάποιο τµήµα του οδικού δικτύου τη διάρκεια µιας χροικής περιόδου ηµέρα, µήας, χρόος κ.λ.π. ακολουθεί τη καταοµή Posson. Το µοτέλο όµως αυτό δε µπορεί α εφαρµοθεί για τη περίπτωη του αριθµού τω αυτοκιήτω που υγκρούοται γιατί ε µερικά δυτυχήµατα εµπλέκοται περιότερα από έα αυτοκίητα. δ Ο αριθµός τω επιβατώ µιας αεροπορικής πτήης που δε εµφαίζοται τη ώρα της ααχώρηης εώ έχου κρατήει θέεις. Με αυτό υπόψη οι αεροπορικές εταιρείες έχου ε ααµοή έα µικρό κατάλογο επιβατώ από το οποίο και υµπληρώου τις κεές θέεις του αεροκάφους. ε Κατά το βοµβαρδιµό εός τόχου οι βόµβες πέφτου υήθως ε διάφορα ηµεία κοτά το τόχο. Ο αριθµός τω βοµβώ που πέφτου ε επιφάεια t τετραγωικώ µέτρω γύρω από το τόχο ακολουθεί τη καταοµή Posson. Αυτό

111 0 έχει αποδειχθεί και από τα τατιτικά τοιχεία του βοµβαρδιµού του Λοδίου µε ιπτάµεες βόµβες τη διάρκεια του δευτέρου παγκοµίου πολέµου. τ Μια πλάκα Petr µε αποικίες βακτηριδίω, οι οποίες µε το µικροκόπιο είαι ορατές ως κοτειές κηλίδες, χωρίζεται ε µικρά τετραγωίδια. Ο αριθµός τω βακτηριδίω ε επιφάεια t τετραγωιδίω ακολουθεί τη καταοµή Posson. Εκτός από τα παραδείγµατα αυτά υπάρχου και άλλα φαιόµεα ή πειράµατα, ίως λιγότερο γωτά, τα οποία µπορεί α εφαρµοθεί η καταοµή Posson. Στη υέχεια θα εξετάουµε µερικά αριθµητικά παραδείγµατα εφαρµογής της καταοµής Posson. Παράδειγµα 5.. Σε µια υγκεκριµέη αεροπορική πτήη που εξυπηρετείται από αεροπλάο 80 θέεω έχει παρατηρηθεί ότι 4 επιβάτες κατά µέο όρο δε εµφαίζοται κατά τη ααχώρηη. Ποια είαι η πιθαότητα άτοµο που βρίκεται α τη δεύτερη θέη και β τη πέµπτη θέη του καταλόγου ααµοής α ταξιδεύει; Ο αριθµός Χ τω επιβατώ που δε εµφαίζοται κατά τη ααχώρηη ακολουθεί τη καταοµή Posson µε υάρτηη πιθαότητας P 4 4 e, 0,,,...! Εποµέως, έχουµε για τη περίπτωη α P P 0 P , που ηµαίει ότι είαι χεδό βέβαιο ότι το άτοµο θα ταξιδέψει. Για τη περίπτωη β παίρουµε P P που ηµαίει ότι υπάρχει αρκετά µεγάλη πιθαότητα το άτοµο α ταξιδέψει. Παράδειγµα 5.3. Έχει παρατηρηθεί ότι 3 άτοµα το µήα κατά µέο όρο πεθαίου τη Αθήα από µια πάια αθέεια. Να υπολογιθού οι πιθαότητες: α α υπάρξου το πολύ θάατοι από τη αθέεια αυτή ε έα µήα, β α υπάρξου το πολύ 4 θάατοι από τη αθέεια αυτή ε χροικό διάτηµα µηώ, γ α υπάρξου τουλάχιτο µήες µε το πολύ θαάτους το επόµεο τρίµηο. Ο αριθµός t τω θαάτω από τη αθέεια αυτή ε διάτηµα t µηώ ακολουθεί τη καταοµή Posson µε P t 3t 3t e, 0,,,...!

112 03 Εποµέως, για το α έχουµε και β 3 3 P e ! P 4 e ! Ο αριθµός Υ τω µηώ µε το πολύ θαάτους ακολουθεί τη διωυµική καταοµή b, p µε 3 και p από το α, οπότε 3 y 3 y P Y y , y 0,,, 3 y και έτι γ P Y ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 3. Έτω ότι δύο διακεκριµέοι κύβοι ρίχοται φορές. Να προδιοριθεί η υάρτηη πιθαότητας του αριθµού Χ τω ρίψεω τις οποίες ο αριθµός του πρώτου κύβου υπερβαίει το αριθµό του δευτέρου κύβου.. Έτω ότι ε 0 ρίψεις εός µη αµερόληπτου οµίµατος η πιθαότητα α εµφαιθεί 5 φορές κεφαλή είαι διπλάια της πιθαότητας α εµφαιθεί 4 φορές κεφαλή. Να υπολογιθεί η πιθαότητα ε 5 ρίψεις του οµίµατος α εµφαιθεί µια τουλάχιτο φορά κεφαλή. 3. Έτω ότι η πιθαότητα επιτυχούς βολής κατά τόχου είαι p Να υπολογιθεί ο αριθµός τω βολώ που απαιτούται έτι ώτε η πιθαότητα α κτυπηθεί ο τόχος τουλάχιτο µια φορά α είαι µεγαλύτερη ή ίη του Ας θεωρήουµε έα ύολο r ατόµω τα οποία παρουιάζου κλιικά υµπτώµατα µια υγκεκριµέης αθέειας. Έτω p η πιθαότητα όπως έα άτοµο που παρουιάζει τα κλιικά αυτά υµπτώµατα πάχει από τη υγκεκριµέη αθέεια. Η τελική διάγωη της αθέειας εξαρτάται από µια δαπαηρή αιµατολογική εξέταη. Έτω ότι λαµβάεται αίµα για εξέταη από κάθε έα από τα r άτοµα. Α τα δείγµατα αυτά εξεταθού χωριτά θα απαιτηθού r αιµατολογικές εξετάεις. Έτω ότι τα r άτοµα χωρίζοται, κατά ειρά προέλευης, ε οµάδες µε r άτοµα

113 04 ε κάθε οµάδα. Ο αιµατολόγος, λαµβάοτας αίµα και από τα r δείγµατα τω ατόµω µιας οµάδας και ααµειγύοτάς το κάει τη αιµατολογική εξέταη. Α έα τουλάχιτο από τα µέλη της οµάδας πάχει από τη αθέεια αυτή η αιµατολογική εξέταη είαι θετική. Στη περίπτωη αυτή ο αιµατολόγος κάει τη αιµατολογική εξέταη για κάθε έα από τα r δείγµατα τω ατόµω της οµάδας για α διαπιτωθεί ποιος ή ποιοι παρουιάζου τη αθέεια αυτή. Η διαδικαία αυτή ακολουθείται και για τις οµάδες. α Έτω Χ ο αριθµός τω αιµατολογικώ εξετάεω που απαιτούται για µια υγκεκριµέη οµάδα r ατόµω. Να υπολογιθού ο µέος αριθµός αιµατολογικώ εξετάεω E και η διαπορά του αριθµού τω αιµατολογικώ εξετάεω Var. β Έτω Υ ο υολικός αριθµός τω αιµατολογικώ εξετάεω που απαιτούται για τις οµάδες τω r ατόµω η κάθε µία. Να υπολογιθού ο µέος υολικός αριθµός τω αιµατολογικώ εξετάεω E Y και η διαπορά του υολικού αριθµού τω αιµατολογικώ εξετάεω Var. γ Στη µερική περίπτωη που 5, r 3 και p 0. α υπολογιθού ο µέος υολικός αριθµός αιµατολογικώ εξετάεω E Y και α υγκριθεί µε το αριθµό 5. Επίης α υπολογιθεί η διαπορά του υολικού αριθµού τω αιµατολογικώ εξετάεω Var Y. 5. α Ας θεωρήουµε δύο φυικούς αριθµούς a και β µε a < β, και ας υποθέουµε ότι εκτελούµε το εξής πείραµα φορές: Εξάγουµε τη τύχη έα αριθµό από µία κληρωτίδα που περιέχει τους αριθµούς,,..., β, και α υµβεί a τότε θεωρούµε ότι είχαµε επιτυχία, αλλιώς δηλαδή α a θεωρούµε ότι είχαµε αποτυχία. Να δείξετε ότι η πιθαότητα όπως πραγµατοποιηθού k επιτυχίες τις δοκιµές είαι k k p k p p για k 0,,...,, k όπου p a / β διωυµική καταοµή b, p µε παραµέτρους πλήθος δοκιµώ και πιθαότητας επιτυχίας p a / β. β Χρηιµοποιώτας το αποτέλεµα α, αποδείξτε ότι για οποιουδήποτε φυικούς αριθµούς a και c, k 0 k a c k k a c, που αποτελεί ειδική περίπτωη του ιωυµικού Θεωρήµατος για a και y c. 6. Έτω ότι η πιθαότητα επιτυχούς βολής κατά τόχου είαι 0.9. Να υπολογιθού α η πιθαότητα α απαιτηθού 5 το πολύ βολές για α κτυπηθεί ο

114 05 τόχος και β ο µέος αριθµός τω βολώ που απαιτούται για α κτυπηθεί ο τόχος. 7. Ας θεωρήουµε µια ακολουθία αεξαρτήτω δοκιµώ Bernoull µε πιθαότητα επιτυχίας p. Να υπολογιθού οι πιθαότητες α α πραγµατοποιηθεί άρτιος αριθµός επιτυχιώ ε δοκιµές και β α απαιτηθεί περιττός αριθµός δοκιµώ µέχρι τη r οτή επιτυχία. 8. Από τους 5 εργαζόµεους ε µια επιχείρηη 50 είαι γυαίκες. Έτω ότι για κάποια υγκεκριµέη εργαία επιλέγοται τυχαία 5 εργαζόµεοι. Να υπολογιθεί η πιθαότητα όπως µεταξύ τω 5 οι είαι γυαίκες, χρηιµοποιώτας α τη ακριβή καταοµή του αριθµού Χ τω γυαικώ µεταξύ τω 5 και β κατάλληλη προέγγιη της καταοµής αυτής. 9. Από µια κληρωτίδα που περιέχει κλήρους αριθµηµέους από το µέχρι το, εξάγοται διαδοχικά ο έας µετά το άλλο χωρίς επαάθεη κ κλήροι. Έτω Χ ο µεγαλύτερος αριθµός που εξάγεται. Να υπολογιθού α η υάρτηη πιθαότητας f P και β η µέη τιµή E και η διαπορά Var. 0. Έτω ότι έα βιβλίο 350 ελίδω περιέχει 4 τυπογραφικά λάθη. Α τα λάθη αυτά είαι τυχαία καταεµηµέα το βιβλίο α υπολογιθού οι πιθαότητες α όπως ε µια ελίδα που εκλέγεται τυχαία περιέχει λάθη και β όπως από 0 ελίδες που εκλέγοται τυχαία µόο 3 δε έχου λάθος.. Μια αφαλιτική εταιρεία έχει διαπιτώει ότι 0.% του πληθυµού εµπλέκεται ε έα τουλάχιτο δυτύχηµα κάθε χρόο. Α η εταιρεία αυτή έχει αφαλίει 5000 άτοµα α υπολογιθού οι πιθαότητες α εµπλακού ε δυτύχηµα α το πολύ 3 πελάτες της το επόµεο χρόο β το πολύ ε κάθε έα από τα επόµεα δύο χρόια και γ το πολύ 4 τα επόµεα δύο χρόια.. Έτω ότι ο αριθµός τω θαάτω ε οοκοµείο τω Αθηώ ε έα µήα ακολουθεί τη καταοµή Posson. Α η πιθαότητα α υµβεί το πολύ έας θάατος είαι τετραπλάια της πιθαότητας α υµβού δύο ακριβώς θάατοι ε έα µήα α υπολογιθού οι πιθαότητες α α µη υµβεί θάατος ε έα µήα και β α υµβού το πολύ δύο θάατοι ε δύο µήες.

115 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ H απλούτερη υεχής καταοµή πιθαότητας είαι η οµοιόµορφη η οποία εκχωρεί ίες οµοιόµορφες πιθαότητες τα τοιχειώδη δυατά αποτελέµατα εός τυχαίου τοχατικού πειράµατος µε υεχή µη απαριθµητό δειγµατικό χώρο Ω. Συγκεκριµέα, ας θεωρήουµε µια υεχή τυχαία µεταβλητή Χ οριµέη το Ω µε πεδίο τιµώ το διάτηµα [ α, β], όπου α < β πραγµατικοί αριθµοί. Η οµοιόµορφη εκχώρηη πιθαότητας εκφράζεται από τη χέη P < c, α β,. όπου c προδιοριτέα ταθερά. Θέτοτας α, β και χρηιµοποιώτας τη χέη P α < β P α β υµπεραίουµε ότι c.. β α Σηµειώουµε ότι τη περίπτωη αυτή, τη οποία η τυχαία µεταβλητή Χ είαι υεχής, οπότε P 0 για κάθε R, η εκχώρηη πιθαότητας δε γίεται ε ηµεία αλλά ε διατήµατα και είαι αάλογη του µήκους τω. Τούτο είαι ιοδύαµο µε το ότι διατήµατα του ιδίου µήκους είαι ιοπίθαα. Η υάρτηη καταοµής της τυχαίας µεταβλητής Χ, όπως προκύπτει από τις. και., δίδεται από τη 0, < < α α F, α < β.3 β α, β <. Η υάρτηη αυτή είαι υεχής και έτι παραγωγίζοτάς τη υάγουµε τη πυκότητα της τυχαίας µεταβλητής Χ:

116 08 > <. ή 0,, β α β α α β f.4 Οριµός.. Έτω Χ µια υεχής τυχαία µεταβλητή µε πυκότητα τη.4. Η καταοµή της τ.µ. Χ υµβολίζεται µε, β α U και καλείται οµοιόµορφη ή ορθογώια το διάτηµα ], [ β α. Τα ηµεία α και β είαι παράµετροι της καταοµής. Το γεγοός ότι η τ.µ. έχει οµοιόµορφη καταοµή το διάτηµα ], [ β α υµβολίζεται µε, ~ β α U. Σχετικά µε τις ροπές της οµοιόµορφης καταοµής αποδεικύουµε το επόµεο θεώρηµα. Θεώρηµα.. Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει τη οµοιόµορφη καταοµή, β α U. Τότε η µέη τιµή και η διαπορά αυτής δίδοται από τις β α E µ, α β Var..5 Απόδειξη. Η µέη τιµή της τ.µ. Χ, ύµφωα µε το οριµό, είαι β α β α α β α β α β d α β E µ και επειδή α β α β α β, β α E µ. Επίης είαι β α β α α β α β α β d α β E και επειδή 3 3 α αβ β α β α β, 3 β αβ α E. Η διαπορά της τ.µ. Χ είαι τότε 4 3 α β β αβ α β αβ α µ E Var. Παράδειγµα.. Ας θεωρήουµε έα όργαο µέτρηης µε ακρίβεια τριώ δεκαδικώ ψηφίω. Το παρεχόµεο από το όργαο αυτό τέταρτο δεκαδικό ψηφίο

117 09 αποτελεί τρογγυλοποίηη προς το πληιέτερο ακέραιο. Τα φάλµατα που προκύπτου από τη τρογγυλοποίηη της µέτρηης δύαται α θεωρηθού ότι έχου τη οµοιόµορφη καταοµή U α, β µε α 0 4 /, β 0 4 /. Να υπολογιθού α η πιθαότητα όπως το φάλµα µέτρηης µιας ποότητας είαι κατ απόλυτη τιµή µεγαλύτερο του 0 4 / 3 και β η µέη τιµή και η διαπορά του φάλµατος µέτρηης. α Χρηιµοποιώτας τη.3 µε α 0 4 /, β 0 4 / παίρουµε P 4 4 > 0 / 3 P 0 / 3 [ F0 / 3 F / 3]. 3 3 β Σύµφωα µε τις.5 έχουµε 8 µ E 0, Var 0 /. Παράδειγµα.. Έτω ότι ο υρµός φθάει ε υγκεκριµέο ταθµό του υπογείου ιδηροδρόµου κάθε 0 λεπτά, αρχίζοτας τα δροµολόγιά του τις 5 π.µ. Α έας επιβάτης φθάει το ταθµό ε χρόο ο οποίος καταέµεται οµοιόµορφα το διάτηµα 7:0 ως 7:40 α υπολογιθού οι πιθαότητες α περιµέει το υρµό α το πολύ 4 λεπτά και β τουλάχιτο 7 λεπτά. Έτω Χ ο χρόος άφιξης του επιβάτη το ταθµό, µετρούµεος ε λεπτά µε αρχή τη χροική τιγµή 7:0. Τότε η τ.µ. Χ έχει τη οµοιόµορφη καταοµή το διάτηµα [ 0,0] και έτι 0, F, 0, < 0 0 < 0 0. α Το εδεχόµεο Α ο επιβάτης α περιµέει το πολύ 4 λεπτά είαι ιοδύαµο µε το εδεχόµεο α φθάει το ταθµό το διάτηµα 7:6 ως 7:30 ή το διάτηµα 7:36 ως 7:40. Εποµέως P A P6 < 0 P6 < 0 { F0 F6} { F0 F6} β Το εδεχόµεο Β ο επιβάτης α περιµέει τουλάχιτο 7 λεπτά είαι ιοδύαµο µε το εδεχόµεο α φθάει το ταθµό το διάτηµα 7:0 ως 7:3 ή 7:30 ως 7:33. Εποµέως 5.

118 0 P B P0 < 3 P0 < 3 { F3 F0} { F3 F0} ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ERLANG.. Εκθετική καταοµή Οριµός.. Έτω Χ µια υεχής τυχαία µεταβλητή µε πυκότητα θ e f 0, θ, 0 < < < 0,. όπου 0 < θ <. Η καταοµή της τ.µ. Χ καλείται εκθετική µε παράµετρο θ. Συµβολίζουµε ~ Ε θ. Σηµειώουµε ότι η υάρτηη. είαι µη αρητική και θ θ θ e d [ e ] 0 0 f d, όπως απαιτείται από το οριµό της υάρτηης πυκότητας. Η υάρτηη καταοµής της τ.µ. Χ, ύµφωα µε τη.0 του Κεφ., είαι η F 0, e < < 0. θ, 0 <. Θεώρηµα.. Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει τη εκθετική καταοµή µε πυκότητα τη.. Τότε η µέη τιµή και η διαπορά αυτής δίδοται από τις µ E, θ Var..3 θ Απόδειξη. Η µέη τιµή της τ.µ. Χ, ύµφωα µε το οριµό, δίδεται από τη θ y µ E f d θ e d 0 ye dy, θ 0 όπου χρηιµοποιήθηκε ο µεταχηµατιµός y θ. Εφαρµόζοτας τη ολοκλήρωη κατά παράγοτες το τελευταίο ολοκλήρωµα είαι y y y y y y ye dy yde [ ye ] e dy [ ye e ] 0 0 και έτι µ E. θ Οµοίως

119 θ f d θ e d 0 y E y e dy θ 0 και επειδή y y y y e dy y de [ y e ] y y y y ye dy [ y e ye e ] 0 0 έχουµε E. θ Εποµέως µ Var E. θ Η ιδιότητα του αµήµοος είαι χαρακτηριτική της εκθετικής καταοµής. Τη ιδιότητα αυτή αποδεικύουµε το επόµεο θεώρηµα. Θεώρηµα.. Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει τη εκθετική καταοµή µε υάρτηη πυκότητας τη.. Τότε P > y > P > y, 0, y 0..4 Απόδειξη. Η δεµευµέη πιθαότητα του εδεχοµέου { > y} δεδοµέου του εδεχοµέου { > }, λαµβάοτας υπόψη ότι { > y} { > } και χρηιµοποιώτας τη., είαι ίη µε P > y > P > y, P > > P > y P > F y F e e θ y θ e θ y και επειδή P > y F y e θ y έπεται η.4. Παρατήρηη.. Ας θεωρήουµε µια αέλιξη Posson, t 0, µε µέη τιµή E t θt βλ. Παρατήρηη 5. του Κεφ. 3 και ας παρατήουµε µε Τ το χρόο ααµοής µέχρι τη πραγµατοποίηη της πρώτης επιτυχίας εµφάιης του εδεχοµέου Α. Επειδή το εδεχόµεο { T > t}, όπως η πρώτη επιτυχία πραγµατοποιηθεί µετά τη χροική τιγµή t, είαι ιοδύαµο µε το εδεχόµεο t

120 { t 0}, όπως ο αριθµός τω επιτυχιώ µέχρι τη χροική τιγµή t είαι µηδέ, χρηιµοποιώτας τη 5.6 του Κεφ. 3, υάγουµε τη χέη θ t P T > t P t 0 e, t 0 και από αυτή τη υάρτηη καταοµής της τ.µ. Τ, F t 0, e < t < 0.5 θ t, 0 t <. Εποµέως, ύµφωα µε τη. ο χρόος ααµοής Τ µέχρι τη πραγµατοποίηη της πρώτης επιτυχίας ε µια αέλιξη Posson έχει εκθετική καταοµή. Γεικότερα δύαται α δειχθεί ότι οι εδιάµεοι χρόοι µεταξύ διαδοχικώ επιτυχιώ ε µια αέλιξη Posson έχου εκθετική καταοµή. Παράδειγµα.. Έτω ότι η διάρκεια ε λεπτά εός τηλεφωήµατος, έα δηµόιο τηλεφωικό θάλαµο, ακολουθεί τη εκθετική καταοµή µε µέη τιµή 0 λεπτά. Επίης, έτω ότι τη τιγµή που κάποιος µπαίει το τηλεφωικό αυτό θάλαµο για έα τηλεφώηµα έας άλλος φθάει εκεί και δε υατά καέα α περιµέει. Να υπολογιθού οι πιθαότητες ο δεύτερος α περιµέει α περιότερο από 0 λεπτά β µεταξύ 0 και 0 λεπτώ. Α Χ είαι η διάρκεια του τηλεφωήµατος του πρώτου ατόµου, τότε 0, e F / 0, < 0 0 και οι ζητούµεες πιθαότητες είαι α και β P > 0 F0 e , P0 < 0 F0 F0 e e Καταοµή Erlang Οριµός.. Έτω Χ µια υεχής τυχαία µεταβλητή µε πυκότητα θ f! 0, e θ, 0 < < < 0,.6 όπου θετικός ακέραιος και 0 < θ <. Η καταοµή της τ.µ. Χ καλείται καταοµή Erlang µε παραµέτρους και θ. Συµβολίζουµε ~ E, θ. Σηµειώουµε ότι η υάρτηη.6 είαι µη αρητική και επειδή

121 3 I e d!,,,...,.7 0 υµπεραίουµε ότι θ f d e d θ y y e dy,! 0! 0 όπως απαιτείται από το οριµό της υάρτηης πυκότητας. Το ολοκλήρωµα,,,..., δύαται α υπολογιθεί εφαρµόζοτας τη ολοκλήρωη κατά παράγοτες ως εξής: I I 0 0 ] 0 0 e e d de e [ d και έτι I I,,, Εφαρµόζοτας διαδοχικά τη ααγωγική αυτή χέη και επειδή I 0 e d υάγουµε τη.7. Θεώρηµα.3. Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει τη καταοµή Erlang µε υάρτηη πυκότητας τη.6. Τότε η µέη τιµή και η διαπορά αυτής δίδοται από τις µ E, θ Var..9 θ Απόδειξη. Η µέη τιµή της τ.µ. Χ δίδεται από τη θ θ y µ E f d e d! 0! y e dy θ 0 και χρηιµοποιώτας τη.7 υάγουµε τη Οµοίως και! µ θ! θ θ y E f d e d! 0 y e dy 0 θ! E θ!. θ! θ.

122 4 Εποµέως η διαπορά της τ.µ. Χ είαι Var E µ. θ θ θ Παρατήρηη.. Ας θεωρήουµε µια αέλιξη Posson, t 0, µε µέη τιµή E t θ t βλ. Παρατήρηη 5. του Κεφ. 3 και ας παρατήουµε µε T το χρόο ααµοής µέχρι τη πραγµατοποίηη της -οτής επιτυχίας εµφάιης του εδεχοµέου Α. Επειδή το εδεχόµεο { T > t}, όπως η -οτή επιτυχία πραγµατοποιηθεί µετά τη χροική τιγµή t είαι ιοδύαµο µε το εδεχόµεο { t < }, όπως ο αριθµός τω επιτυχιώ µέχρι τη χροική τιγµή t είαι µικρότερος του, χρηιµοποιώτας τη 5.6 του Κεφ. 3, υάγουµε τη χέη κ 0 κ θ t θ t e κ 0 κ! P T > t P < P κ, t 0. Η υάρτηη καταοµής της τ.µ. T δίδεται τότε από τη t t t F t e θ t κ θ t κ 0 κ! µε F t 0, t < 0. Παραγωγίζοτας αυτή ως προς t παίρουµε f t d dt F t θ e θ t κ και εποµέως η πυκότητα της τ.µ. T είαι η κ, t 0,.0 κ θ t θ t θ θt e 0 κ! κ κ! f θ t! θ t, t < t e 0, δηλαδή ~ E, θ. Η καταοµή αυτή µελετήθηκε από το αό µαθηµατικό A.K. T Erlang Σηµειώουµε ότι η χέη.0, επειδή F t t 0 θ! υεπάγεται τη χρήιµη τις εφαρµογές χέη e θ t θ θ θ t θ t F t e d e 0..! κ! Παράδειγµα.. Έτω ότι ο αριθµός τω τραυµατιώ ε αυτοκιητιτικά δυτυχήµατα µε οβαρά κατάγµατα που ειάγοται ε οοκοµεία τω Αθηώ ακολουθεί τη καταοµή Posson µε µέη τιµή 8 άτοµα αά ηµέρα. Να υπολογιθού d κ 0 κ

123 5 α η πιθαότητα όπως ο χρόος ααµοής µέχρι τη άφιξη του τρίτου τραυµατία, µετρούµεος από τη αρχή της ηµέρας, είαι τουλάχιτο ώρες και β ο µέος χρόος ααµοής µέχρι τη άφιξη του τρίτου τραυµατία. α Ο αριθµός t τω τραυµατιώ ε χροικό διάτηµα t ωρώ ακολουθεί τη καταοµή Posson µε µέη τιµή E t θt, όπου θ 8 / 4 / 3. Ο χρόος ααµοής T 3 ακολουθεί τη καταοµή Erlang µε υάρτηη καταοµής Εποµέως P T 3 F t e t / 3 κ 0 t / 3 κ! > F e κ. 4 και χρηιµοποιώτας τη υάρτηης πιθαότητας της καταοµής Posson παίρουµε κ 0 κ 4 κ! P T 3 > β Η µέη τιµή της T 3, ύµφωα µε τη πρώτη από τις.9, είαι 3 E T 3 9. θ Παρατήρηη.3. Αξίζει α ηµειώουµε ότι τόο η εκθετική καταοµή µε παράµετρο θ, E θ Ε, θ, όο και η καταοµή Erlang µε παραµέτρους και θ, Ε, θ, αποτελού ειδικές περιπτώεις της καταοµής Γάµµα µε παραµέτρους α > 0 και θ > 0, η οποία υµβολίζεται µε Γ α, θ. Συγκεκριµέα, η υεχής τυχαία µεταβλητή ακολουθεί τη Γάµµα καταοµή µε παραµέτρους α > 0 και θ > 0 υµβολίζουµε ~ Γ α, θ, ότα η πυκότητά της δίδεται από το τύπο πρβλ.. και.6 α θ f Γ α 0, α e θ, 0 < < < 0,. όπου Γ α η Συάρτηη Euler, οριζόµεη από το oλοκλήρωµα α u 0 u e Γ α du, α > 0..3 Ότα α {,,... }, τότε εξ οριµού Γ Ι! βλ..7 και.3, και υεπώς οι καταοµές Γ, θ και Ε, θ ταυτίζοται. Εποµέως, η οικογέεια

124 6 τω καταοµώ Γάµµα περιέχει τις καταοµές Erlang και, φυικά, τις Εκθετικές καταοµές. Γεικά οι τιµές Γ α, α > 0, δε είαι δυατό α υπολογιτού ε κλειτή µορφή. Εξαίρεη αποτελού οι περιπτώεις α {,,...}, όπως είδαµε παραπάω, καθώς και η περίπτωη a / {,,3,...} δηλ. ότα ο αριθµός α είαι ακέραιος ή ηµιακέραιος. Όο αφορά τη περίπτωη ηµιακέραιου αριθµού έχουµε τα εξής: Για κάθε α > 0, Γ α αγ α,.4 όπως προκύπτει εύκολα µε ολοκλήρωη κατά παράγοτες, πρβλ..8. Άρα, χρηιµοποιώτας τη χέη Γ / π,.5 η απόδειξη της.5 δόθηκε από το Euler, οι τιµές Γ /, Γ3/, Γ5/,... προκύπτου ααγωγικά από τις.4 και.5. Για παράδειγµα, Γ 3/ Γ/ / Γ/ π /, Γ 5/ Γ3/ 3/ Γ3/ 3 π / 4, Γ 7 / Γ5/ 5/ Γ5/ 5 π / 8, κ.ο.κ. Η µέη τιµή και η διαπορά µιας τυχαίας µεταβλητής Χ µε καταοµή Γ α, θ, µπορού α υπολογιτού χρηιµοποιώτας τα ίδια επιχειρήµατα όπως για τη καταοµή Erlang Θεώρηµα.3. Συγκεκριµέα, ιχύου οι τύποι πρβλ..9 α µ E, θ α Var..6 θ Τέλος, ηµειώουµε ότι τη εδιαφέρουα περίπτωη που α / έας θετικός ακέραιος και θ /, η καταοµή Γ /,/ καλείται χι-τετράγωο ch-square καταοµή µε βαθµούς ελευθερίας degrees of freedom, και υµβολίζεται διεθώς µε χ. Συοψίζοτας, λέµε ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει χι-τετράγωο καταοµή µε βαθµούς ελευθερίας υµβολίζουµε από το τύπο ~ χ, ότα η πυκότητά της δίδεται f 0, / Γ / / e /, 0 < < < 0..7 Φυικά, για τη τ.µ. Χ µε καταοµή χ, ιχύει µ Ε Χ, Var, όπως προκύπτει άµεα από τη.6 για α / και θ /.

125 7

126 7 Οι καταοµές Γάµµα, και ιδιαίτερα οι καταοµές χι-τετράγωο, είαι πολύ χρήιµες τη Στατιτική Συµπεραµατολογία, τη κατακευή ιατηµάτω Εµπιτούης και τους Ελέγχους Υποθέεω. 3. ΚANONIKH KATANOMH Η Καοική καταοµή είαι η πιο πουδαία καταοµή της Θεωρίας Πιθαοτήτω και της Στατιτικής, κυρίως λόγω της ευρείας χρηιµότητάς της ε έα µεγάλο πλήθος εφαρµογώ. Μερικοί από τους λόγους που εξηγού τη εξέχουα θέη της είαι οι εξής: πολλά πληθυµιακά χαρακτηριτικά π.χ. ύψος, βάρος, βαθµολογία ε τετ κ.λ.π. ακολουθού περιγράφοται ικαοποιητικά από τη Καοική καταοµή. τυχαία φάλµατα που εµφαίζοται ε διάφορες µετρήεις έχου Καοική καταοµή. Για το λόγο αυτό, η Καοική καταοµή ααφέρεται πολλές φορές και ως καταοµή φαλµάτω. το άθροιµα και ο µέος όρος µεγάλου αριθµού παρατηρήεω ακολουθεί κατά προέγγιη Καοική καταοµή αεξάρτητα από το ποια καταοµή ακολουθού οι αρχικές παρατηρήεις. πολλές καταοµές, τόο διακριτές όο και υεχείς, µπορού κάτω από οριµέες υθήκες α προεγγιθού από τη Καοική καταοµή. Η Καοική καταοµή χρηιµοποιήθηκε αρχικά από τους De More και Laplace για τη προέγγιη της ιωυµικής καταοµής b, p ότα εώ αργότερα ο Gauss τη χρηιµοποίηε για α περιγράψει τα τυχαία φάλµατα τω µετρήεω. Η οοµαία "Καοική" Normal δόθηκε πιο πρόφατα από το Karl Pearson. Οριµός 3.. Μία υεχής τυχαία µεταβλητή θα λέµε ότι ακολουθεί τη Καοική καταοµή µε παραµέτρους µ και δίεται από το τύπο > < µ <, 0 α η πυκότητα f της µ f f ; µ, e, < <. π Συµβολικά θα γράφουµε ~ N µ,. Εώ η ιχύς της αιότητας f ; µ, > 0 είαι προφαής, η επαλήθευη της ιότητας f ; µ, d απαιτεί τη χρήη διπλώ ολοκληρωµάτω και ατίτοιχους διπλούς µεταχηµατιµούς µεταβλητώ και παραλείπεται. Μπορούµε

127 8 ωτόο α δείξουµε τις επόµεες χρήιµες ιδιότητες της υάρτηης f ; µ, οι οποίες διευκολύου τη κατακευή της γραφικής της παράταης. Θεώρηµα 3.. α Η υάρτηη f έχει έα µόο τοπικό µέγιτο το οποίο είαι και ολικό τη θέη µ µε ατίτοιχη µέγιτη τιµή ma < < f ; µ, π. β Η υάρτηη f είαι υµµετρική γύρω από το ηµείο µ, γ Τα ηµεία µ ± αποτελού ηµεία καµπής της f. Απόδειξη. α Παραγωγίζοτας τη f ; µ, ως προς βρίκουµε f ; µ, µ e 3 π µ / οπότε f ; µ, > 0 για < µ και f ; µ, < 0 για > µ. Άρα η f είαι γήια αύξουα το διάτηµα, µ και γήια φθίουα το µ, πράγµα που δείχει το ζητούµεο. β Για κάθε < < έχουµε προφαώς f µ ; µ, f µ ; µ,. γ Προκύπτει άµεα από τη διαπίτωη ότι η δεύτερη παράγωγος της f γράφεται τη µορφή f ; µ, και αλλάζει πρόηµο τις θέεις [ µ ][ µ ] της f τα ηµεία µ ± είαι ίη µε 5 π e µ / µ και µ. Σηµειώουµε ότι η τιµή 0.4. π e Τα προηγούµεα αποτελέµατα δίου µια πρώτη ιδέα του χήµατος που έχει η υάρτηη πυκότητας πιθαότητας της Καοικής καταοµής. Μια γραφική παράταη της f ; µ,, καθώς επίης και ύγκριη της f ; µ, για διαφορετικά, φαίοται τα επόµεα χήµατα.

128 9 Η πυκότητα της καοικής Νµ,. Σύγκριη της πυκότητας τω Ν.5, για 0.5, και. Η ειδική περίπτωη µ 0, παρουιάζει ιδιαίτερο εδιαφέρο αφού, όπως θα δούµε τη υέχεια, έας απλός γραµµικός µεταχηµατιµός της ~ N µ, µπορεί εύκολα α µας οδηγήει τη N 0,. Η καταοµή N 0, λέγεται τυποποιηµέη Καοική καταοµή. Μια τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί τη N 0, λέγεται τυποποιηµέη Καοική τυχαία µεταβλητή και υµβολίζεται υήθως µε Z. Για τις ατίτοιχες υαρτήεις πυκότητας και καταοµής θα χρηιµοποιούµε τα ύµβολα φ z και Φ z, δηλαδή z / φ z e, < z < π Φ z z φ y dy, < z <. Σύµφωα µε το Θεώρηµα 3., η υάρτηη πυκότητας φ z είαι υµµετρική γύρω από το κατακόρυφο άξοα δηλαδή ιχύει φ z φ z για κάθε < z <, παρουιάζει µέγιτο τη θέη 0 µε µέγιτη τιµή / π 0.40 και έχει ως ηµεία καµπής τα ηµεία 0 ± ±.

129 0 / Η πυκότητα φ / π e της τυποποιηµέης Καοικής καταοµής Ν0,. υτυχώς καµµία από τις γωτές τεχικές ολοκλήρωης δε επιτρέπει το ααλυτικό υπολογιµό της Φ z. Στη πράξη, η εύρεη τω τιµώ της για υγκεκριµέα < z < γίεται µέω πιάκω της τυποποιηµέης Καοικής καταοµής οι οποίοι µπορού α βρεθού ε οποιοδήποτε βιβλίο Πιθαοτήτω και Στατιτικής βλ. Πίακα Β του παραρτήµατος. z Φ z z Φ z Απόπαµα από πίακα της τυποποιηµέης Καοικής καταοµής. Αξίζει α ηµειωθεί ότι δε είαι απαραίτητο α πιακοποιηθού οι τιµές της Φ z για z < 0. Πράγµατι, όπως είαι φαερό από το προηγούµεο πίακα για κάθε z ιχύει Φ z Φ z. Η απόδειξη του αποτελέµατος αυτού γίεται το επόµεο θεώρηµα. Θεώρηµα 3.. Για τη υάρτηη καταοµής της τυποποιηµέης Καοικής καταοµής ιχύει Φ z Φ z, < z <. Απόδειξη. Λόγω της χέης φ y φ y µπορούµε α γράψουµε

130 z z Φ z φ y dy φ y dy και εκτελώτας το µεταχηµατιµό t y βρίκουµε z Φ z φ t dt φ t dt φ y dy. z z Εποµέως z Φ z Φ z φ y dy φ y dy φ y dy και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Εφαρµόζοτας τη προηγούµεη ιδιότητα για z 0 βρίκουµε Φ Επίης P Z Φ Φ Φ Φ Φ, P Z Φ Φ Φ Φ Φ, P 3 Z 3 Φ 3 Φ 3 Φ 3 Φ 3 Φ 3, και χρηιµοποιώτας το Πίακα Β της τυποποιηµέης Καοικής καταοµής βρίκουµε P Z %, z P Z %, 3. P 3 Z %. Ο υπολογιµός πιθαοτήτω που έχου χέη µε µια Καοική τυχαία µεταβλητή ~ N µ, µπορεί εύκολα α γίει από τους πίακες της τυποποιηµέης Καοικής κάοτας χρήη του επόµεου αποτελέµατος.

131 Θεώρηµα 3.4. Α η ακολουθεί τη Καοική καταοµή, µ N τότε α Η τυχαία µεταβλητή µ Z / ακολουθεί τη τυποποιηµέη Καοική 0, N. β, µ α Φ µ β Φ β α P β α και ειδικότερα µ β Φ β P, α µ Φ µ α Φ α P. Απόδειξη. α Η υάρτηη καταοµής z F Z της τυχαίας µεταβλητής µ Z / δίεται από το τύπο, ; µ z µ F z µ P z µ P z F Z οπότε / ] [ π, ; µ z µ Z Z e µ z µ f z F z f π / e z φ z δηλαδή ~ N0, Z. β Έχουµε µ β Z µ α P µ β µ µ α P β α P όπου η µ Z / ακολουθεί τη 0, N µε υάρτηη καταοµής τη z Φ. Εποµέως µ α Φ µ β Φ µ β Z µ α P β α P. Οι δύο ειδικές περιπτώεις προκύπτου ως εξής: µ β Φ µ β Z P µ β µ P β P,. µ α Φ µ α Z P µ α µ P α P α P Θεώρηµα 3.5. Η µέη τιµή, η διαπορά και η τυπική απόκλιη µιας τυχαίας µεταβλητής που ακολουθεί τη Καοική καταοµή, µ N είαι ίες µε, µ και ατίτοιχα, δηλαδή

132 3 E µ, Var, Var. Απόδειξη. Χρηιµοποιώτας τη τυποποιηµέη τυχαία µεταβλητή µπορούµε α γράψουµε Z µ / E E µ Z µ E Z Var Var µ Z Var Z. Όµως για τη υάρτηη g z zφ z έχουµε g z g z, δηλαδή η g είαι περιττή, οπότε Επίης E Z zφ z dz g z dz 0. z / z / Var Z E Z 0 z e dz z e dz π π και ολοκληρώοτας κατά παράγοτες βρίκουµε Εποµέως z / Var Z [ ze ] φ z dz 0. π E µ 0 µ, Var. Παράδειγµα 3.. Ας υποθέουµε ότι η διάρκεια κύηης µιας γυαίκας ακολουθεί τη Καοική καταοµή µε µέη τιµή µ 70 ηµέρες και τυπική απόκλιη 30 ηµέρες. Τότε η πιθαότητα α γεηθεί έα παιδί πρι τη υµπλήρωη του 7ου µήα ιούται µε P < 0 P < P Z < Φ και χρηιµοποιώτας τη τιµή Φ από το Πίακα Β του παραρτήµατος παίρουµε P < 0 Φ Φ %. Παράδειγµα 3.. Α κάποιες παρατηρήεις δεδοµέα προέρχοται από τη Καοική καταοµή N µ, τότε το ποοτό τω παρατηρήεω που απέχει από το µέο µ λιγότερο από k τυπικές αποκλίεις θα δίεται από το τύπο µ P µ k P k P Z k P k Z k Φ k.

133 4 Με βάη λοιπό τις 3. θα έχουµε P µ µ P µ P Z 68%, P µ µ P µ P Z 95%, P µ 3 µ 3 P µ 3 P 3 Z %. Εποµέως Περίπου το 68% τω τιµώ εός καοικού πληθυµού βρίκοται ε απόταη το πολύ µιας τυπικής απόκλιης από τη µέη τιµή µ, περίπου 95% ε απόταη δύο τυπικώ αποκλίεω από το µ και περίπου 99.7% ε απόταη τριώ αποκλίεω από το µ. Τα αποτελέµατα αυτά είαι πάρα πολύ χρήιµα για τη δηµιουργία διατηµάτω εµπιτούης και για το έλεγχο τατιτικώ υποθέεω. Παράδειγµα 3.3. Α Z ~ N0, α βρεθεί ο αριθµός z z για το οποίο ιχύει α P Z > z α, 0 < α <. Να γίει εφαρµογή για α 0. 0, 0. 05, Αφού θα έχουµε Για α 0. 0 θα πρέπει α ιχύει P Z > z P Z z Φ z Φ z α δηλαδή Φ z α. Φ z οπότε από το Πίακα Β της τυποποιηµέης Καοικής βρίκουµε z.33.

134 5 Όµοια για α είαι εώ για α 0. 0 είαι Ο αριθµός z για το οποίο ιχύει Φ z οπότε z. 645, Φ z οπότε z. 8. P Z > z α, 0 < α < λέγεται υήθως άω α ποοτιαίο ηµείο της τυποποιηµέης Καοικής καταοµής και υµβολίζεται µε z α. Έτι έχουµε z.33, z. 645, z Παράδειγµα 3.4. Το βάρος εός ιατρικού κευάµατος που παράγει µια αυτόµατη µηχαή ακολουθεί καοική καταοµή µε µέη τιµή µ mg και τυπική απόκλιη mg. Σε τι µέο βάρος πρέπει α ρυθµιτεί η µηχαή ώτε µόο το ο /οο τω κευαµάτω που παράγει α υπερβαίει τα 75 mg; A Χ είαι η τυχαία µεταβλητή που περιγράφει το βάρος του παραγοµέου κευάµατος θα πρέπει α έχουµε P > όπου ~ N µ,. Εποµέως P 75 P > ή ιοδύαµα µ 75 µ P δηλαδή 75 µ Φ

135 6 Χρηιµοποιώτας το Πίακα Β της τυποποιηµέης Καοικής καταοµής βρίκουµε 75 µ 3.09 απ όπου προκύπτει 75 µ Άρα µ Παράδειγµα 3.5. Ας θεωρήουµε ότι ο χρόος εµφάιης εός φωτογραφικού φιλµ ακολουθεί Καοική καταοµή µε µέη τιµή µ 30mn και τυπική απόκλιη.mn. Τότε Η πιθαότητα ο χρόος εµφάιης α υπερβεί τα 33mn ιούται µε P > 33 P P.. P Z.5 Φ %. Η πιθαότητα ο χρόος εµφάιης α µη υπερβεί τα 8mn ιούται µε P 8 P P Z.67 Φ %... Η πιθαότητα ε 0 φιλµ τουλάχιτο τα α εµφαιθού ε χρόο λιγότερο τω 8mn βρίκεται α θεωρήουµε επιπλέο τη τυχαία µεταβλητή Y αριθµός φιλµ από τα 0 µε χρόο εµφάιης λιγότερο τω 8mn. Τότε Y ~ b0, p µε p P και η ζητούµεη πιθαότητα είαι P Y P Y < P Y 0 P Y ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ POISSON ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Όπως ααφέρθηκε και τη αρχή της προηγούµεης παραγράφου, η Καοική καταοµή µπορεί α χρηιµοποιηθεί για τη προέγγιη άλλω καταοµώ. Μια διακριτή καταοµή για τη οποία η καοική προφέρει ικαοποιητική προέγγιη είαι η ιωυµική. Στα επόµεα χήµατα δίεται η γραφική παράταη της υάρτηης πιθαότητας της ιωυµικής Καταοµής µε p 0. 3 και,,5,0,5, 00. Από τα χήµατα αυτά γίεται φαερό ότι όο αυξάει το τόο πιο υµµετρική γίεται η

136 7 καταοµή, και για 00 έχει προκύψει έα χήµα το οποίο µοιάζει µε τη υάρτηη πυκότητας της Καοικής καταοµής. Στο επόµεο χήµα έχου παραταθεί το ίδιο ύτηµα αξόω, τόο η υάρτηη πιθαότητας της ιωυµικής Καταοµής µε παραµέτρους και p όο και η υάρτηη πυκότητας της καοικής N µ, µε τη ατίτοιχη µέη τιµή και διαπορά, δηλαδή µ p, pq p p. Είαι φαερό ότι για 00 η ύµπτωη τω δύο καταοµώ είαι χεδό τέλεια.

137 8 Η θεωρητική διατύπωη της προηγουµέης διαπίτωης δίεται το επόµεο θεώρηµα το οποίο αποδείχτηκε αρχικά από το De More το 733 για p 0. 5 και επεκτάθηκε για γεικό p 0 < p < από το Laplace το 8. Θεώρηµα 4.. De More-Laplace. Α η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί τη διωυµική καταοµή µε παραµέτρους και p ~ b, p και το είαι µεγάλο θεωρητικά, το τείει το τότε για τη υάρτηη πιθαότητας f P p q, 0,,... µπορεί α χρηιµοποιηθεί η προέγγιη f pq π e p p q δηλαδή η Χ ακολουθεί κατά προέγγιη τη καοική καταοµή N p, pq. Η απόδειξη του Θεωρήµατος αυτού δε θα γίει εδώ αφού θα µπορέουµε αργότερα α το υµπεράουµε µε εύκολο τρόπο µετά τη διατύπωη του Κετρικού Οριακού Θεωρήµατος του οποίου αποτελεί ειδική περίπτωη βλ. Κεφ. 6. Α ~ b, p και το είαι µεγάλο, µπορούµε α υπολογίζουµε µε αρκετά καλή προέγγιη πιθαότητες της µορφής P α β χρηιµοποιώτας το επόµεο θεώρηµα που είαι υέπεια του Θεωρήµατος 4..

138 9 Θεώρηµα 4.. Α ~ b, p και το είαι µεγάλο τότε β p α p P α β Φ Φ. pq pq Ότα χρηιµοποιούµε τη καοική καταοµή ως προέγγιη της ιωυµικής τότε γίεται προέγγιη µιας διακριτής καταοµής από µια υεχή. Έχει αποδειχθεί ότι ε τέτοιες περιπτώεις οι προεγγίεις βελτιώοται ηµατικά ειάγοτας τη λεγόµεη διόρθωη υεχείας. Σύµφωα µε αυτή, η πιθαότητα P k, k 0,,... ατί α προεγγίζεται µε τη τιµή της υάρτηης πυκότητας της N p, pq τη θέη k, προεγγίζεται µε τη πιθαότητα η ατίτοιχη Καοική τυχαία µεταβλητή α πάρει τιµές µεταξύ k και Γεικότερα έχουµε το εξής k δηλαδή k p k p P k Φ Φ. pq pq Θεώρηµα 4.3. Καοική προέγγιη της ιωυµικής Καταοµής µε διόρθωη υέχειας. Α ~ b, p και το είαι µεγάλο και το p ταθερό τότε για οποιουδήποτε ακεραίους α και β µε 0 α β, β p α p P α β Φ Φ. pq pq Αξίζει α ηµειωθεί ότι η καοική προέγγιη της ιωυµικής Καταοµής είαι καλύτερη ότα το ποοτό p βρίκεται κοτά το /. Η Καοική Καταοµή, εκτός της ιωυµικής, προεγγίζει ικαοποιητικά και τη καταοµή Posson. Έτι, α Χ είαι µια τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί τη καταοµή Posson µε παράµετρο λ οπότε θα έχουµε E λ, Var λ τότε η καταοµή της Χ µπορεί α προεγγιθεί για µεγάλες τιµές του λ από τη Καοική καταοµή Ν µ, µε µ λ, λ. Έτι θα έχουµε και kλ P k e λ λ π

139 30 β λ α λ P α β Φ Φ, λ λ ή χρηιµοποιώτας διόρθωη υεχείας k λ k λ P k Φ Φ, λ λ β λ α λ P α β Φ Φ. λ λ Παράδειγµα 4.. Ας υποθέουµε ότι το ποοτό θηιµότητας για τα άτοµα που προβάλλοται από κάποια αθέεια είαι 0%. Ποια είαι η πιθαότητα ε 00 άτοµα που έχου προβληθεί από τη αθέεια α έχουµε τουλάχιτο 6 θαάτους; Α υµβολίουµε µε Χ το πλήθος τω θαάτω τα 00 προβεβληµέα άτοµα, η τυχαία µεταβλητή Χ θα ακολουθεί τη ιωυµική Καταοµή µε παραµέτρους p 0. και 00. Εποµέως 00 k 00k P k , k 0,,..., 00 k και η ζητούµεη πιθαότητα είαι ίη µε k 00k P k 6 k Ο υπολογιµός του τελευταίου αθροίµατος είαι εξαιρετικά δύκολος. εδοµέου όµως ότι το είαι αρκετά µεγάλο, µπορούµε α χρηιµοποιήουµε καοική προέγγιη οπότε βρίκουµε P 6 P P Z 6 0 P Z 6.5 Φ Α λάβουµε υπ όψη και τη διόρθωη υέχειας θα έχουµε

140 P 6 P Z P Z Φ Αξίζει α ηµειωθεί ότι η ακριβής τιµή για τη πιθαότητα P 6 όπως αυτή υπολογίζεται από το τύπο 4. είαι ίη µε Παράδειγµα 4.. Προκειµέου α εκτιµήουµε το ποοτό p τω ατόµω εός πληθυµού που πάχου από µια υγκεκριµέη αθέεια χρηιµοποιούµε έα δείγµα µεγέθους. Πόο πρέπει α είαι το ώτε το ποοτό τω ατόµω του δείγµατος που έχου τη αθέεια α διαφέρει από το πραγµατικό ποοτό p κατ απόλυτη τιµή λιγότερο από % µε πιθαότητα τουλάχιτο 95%; Α είαι γωτό ότι p δηλαδή πρόκειται περί πάιας αθέειας ποια θα πρέπει α είαι η τιµή του ; Α Χ είαι ο αριθµός τω ατόµω του δείγµατος που πάχου από τη αθέεια, η τυχαία µεταβλητή Χ θα ακολουθεί τη ιωυµική Καταοµή µε παραµέτρους και p. Το ποοτό τω ατόµω του δείγµατος οι οποίοι πάχου από τη αθέεια είαι ίο µε /, οπότε το ζητούµεο µπορεί α διατυπωθεί ως εξής P p Χρηιµοποιώτας καοική προέγγιη της ιωυµικής βρίκουµε P p 0.0 P 0.0 p 0. 0 P [ p 0.0 p 0.0] p 0.0 p P pq p pq p 0.0 p pq Φ Φ Φ, pq pq pq οπότε θα έχουµε 0.0 Φ 0.95 pq ή ιοδύαµα

141 3 0.0 Φ pq Από το Πίακα Β της τυποποιηµέης Καοικής καταοµής βρίκουµε 0.0 pq.96 οπότε προκύπτει η αιότητα Επειδή pq p p / 4 η υάρτηη 3846 pq. 4. g p p p p p είαι αύξουα για p 0. 5 και φθίουα για p 0. 5 οπότε ma g p g η 4. αρκεί Α είαι γωτό ότι p θα έχουµε οπότε για α ιχύει η 4. αρκεί pq p p , p για α ιχύει Παράδειγµα 4.3. Οι αφίξεις αθεώ ε έα ιατρείο ετός εός µηός ακολουθού τη καταοµή Posson µε µέη τιµή 00 άτοµα. Ποια είαι η πιθαότητα α ε έα µήα α επικεφθού το ιατρείο τουλάχιτο 70 άτοµα; β ε έα χρόο α υπάρξου τουλάχιτο µήες τους οποίους οι αθεείς που επικέφθηκα το ιατρείο ήτα τουλάχιτο 70; A υµβολίουµε µε Χ το αριθµό τω αθεώ που επικέπτοται το ιατρείο ε µήα, τότε η Χ ακολουθεί τη καταοµή Posson µε παράµετρο λ 00 και µπορεί α προεγγιθεί από τη Καοική καταοµή N µ, µε µ 00, 00. Άρα α P 70 P P Z P Z. Φ. Φ Α γίει χρήη διόρθωης υέχειας, η τιµή της ζητούµεης πιθαότητας θα είαι

142 P 70 P P Z Φ %. β Έτω τώρα Υ ο αριθµός τω µηώ ετός εός χρόου τους οποίους οι αθεείς που επικέπτοται το ιατρείο είαι τουλάχιτο 70. Τότε Y ~ b, p, όπου, p Η πιθαότητα που ζητάµε είαι ίη µε P Y P Y P Y p q p ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Υπάρχου πολλές περιπτώεις κατά τις οποίες εώ η τυχαία µεταβλητή Χ που µας εδιαφέρει δε ακολουθεί τη Καοική καταοµή, έας απλός µεταχηµατιµός µας οδηγεί ε Καοική τυχαία µεταβλητή. Έας τέτοιος µεταχηµατιµός ο οποίος πολύ υχά οδηγεί ε Καοική καταοµή είαι ο log. Ααφέρουµε πολύ ύτοµα τα επόµεα παραδείγµατα η ατοχή Χ εός υλικού ε υγκεκριµέες καταποήεις δε ακολουθεί Καοική καταοµή. Θεωρώτας όµως τη τυχαία µεταβλητή log η καταοµή που προκύπτει είαι όπως έχει διαπιτωθεί εµπειρικά Καοική. η τυχαία µεταβλητή log όπου Χ είαι η χροική διάρκεια επώαης µιας µεταδοτικής όου ακολουθεί κατά προέγγιη τη Καοική καταοµή α Χ είαι η ποότητα του εζύµου SGPT serum glutamc pyruc transamnase το αίµα εός ατόµου που πάχει από ηπατίτιδα, τότε η τυχαία µεταβλητή log έχει Καοική καταοµή. ο λογάριθµος της ποότητας εός φαρµάκου που παραµέει το οργαιµό µετά από υγκεκριµέο χροικό διάτηµα από τη τιγµή χορήγηής του, ακολουθεί κατά προέγγιη τη Καοική καταοµή. Λόγω της ιδιαίτερης πρακτικής χρηιµότητας που παρουιάζει το παραπάω µοτέλο, για τη περίπτωη αυτή ειήχθει ο επόµεος οριµός Οριµός 5.. Μια υεχής τυχαία µεταβλητή Χ θα λέµε ότι ακολουθεί τη λογαριθµοκαοική καταοµή lognormal µε παραµέτρους µ και < µ <, > 0 α η

143 34 Y log ακολουθεί τη Καοική καταοµή N µ,. Σύµφωα µε το οριµό, η υάρτηη καταοµής F της Χ για > 0 είαι: F P Plog log log P µ log µ µ Φ log 5. οπότε log µ log µ log µ f F φ φ, > 0. είχθηκε λοιπό το εξής Θεώρηµα 5.. Η πυκότητα της λογαριθµοκαοικής καταοµής µε παραµέτρους µ και δίεται από το τύπο log µ f e, > 0. π Οι ροπές r τάξης της λογαριθµοκαοικής καταοµής δίεται από τους τύπους η απόδειξη παραλείπεται οπότε E r rµ r e r,,... µ E e, E e µ και Var E E e e E e. µ Για το υπολογιµό πιθαοτήτω που χετίζοται µε τη λογαριθµική καταοµή µπορούµε α κάουµε χρήη του τύπου 5.. Πράγµατι α 0 < α < β τότε log β µ logα µ P α β F β F α Φ Φ. Παράδειγµα 5.. Από µια µελέτη της ποότητας Χ του εζύµου SGPT που περιέχεται το αίµα τω µη φορέω ηπατίτιδας εός πληθυµού βρέθηκε ότι E 8.54 και Var Α είαι γωτό ότι η τυχαία µεταβλητή Χ

144 35 ακολουθεί λογαριθµοκαοική καταοµή α υπολογιτεί το ποοτό τω µη φορέω ηπατίτιδας τους οποίους η ποότητα του εζύµου SGPT είαι µικρότερη του 5. Α υµβολίουµε µε µ και τις παραµέτρους της λογαριθµοκαοικής καταοµής που ακολουθεί η τ.µ. Χ, τότε µ E e, Var E e οπότε ύµφωα µε τα δεδοµέα που έχουµε θα πρέπει Εποµέως µ e 8.54, 8.54 e e απ όπου βρίκουµε log Τέλος µ log οπότε µ Το ποοτό που ζητάµε θα δίεται από το τύπο P 5 Plog log.9 log 5 log 5 P Φ Φ Άρα περίπου 94.5% τω µη φορέω ηπατίτιδας το πληθυµό έχου λιγότερες από 5 µοάδες εζύµου SGPT το αίµα τους. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 4. Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει τη οµοιόµορφη καταοµή το διάτηµα [ α, β ]. Α E και Var 3, α α υπολογιθού οι ταθερές α και β,

145 36 β α προδιοριθεί η πυκότητα της τυχαίας µεταβλητής Y και γ α βρεθού οι E Y και Var Y.. Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει τη οµοιόµορφη καταοµή το διάτηµα [ 0,]. Να βρεθεί η υάρτηη πιθαότητας της τυχαίας µεταβλητής Y g, όπου y y g y για q < q, y 0,,,..., 0 < q <. 3. Έτω t ο αριθµός τω θαάτω ε οοκοµείο τω Αθηώ από µια πάια αθέεια ε χροικό διάτηµα t ωρώ. Α ε υγκεκριµέο χροικό διάτηµα [ 0, s ] υέβη έας θάατος, δείξετε ότι η χροική τιγµή Τ του θαάτου ακολουθεί τη οµοιόµορφη καταοµή το διάτηµα [ 0, s ]. 4. Ο χρόος ζωής Χ ε ώρες µιας οριµέης ηλεκτροικής λυχίας ακολουθεί τη εκθετική καταοµή µε µέη τιµή E 000 ώρες. Το εργοτάιο που κατακευάζει τις λυχίες δίδει εγγύηη α ωρώ τους πελάτες του. Να υπολογιθεί το α έτι ώτε µε πιθαότητα τουλάχιτο 0.95 οι λυχίες α επιζού του χρόου εγγύηης. 5. Ο χρόος ζωής Χ του ιού της γρίπης µέα το οργαιµό εός ατόµου ακολουθεί τη εκθετική καταοµή µε µέη τιµή 3 µέρες. Να υπολογιθού οι πιθαότητες τω εδεχοµέω α έα άτοµο που προβλήθηκε από το ιό α γίει καλά το χροικό διάτηµα από µέχρι 4 µέρες, β έα άτοµο που προβλήθηκε από το ιό α γίει καλά ε λιγότερο από 5 υολικά µέρες δεδοµέου ότι έχει µέρες άρρωτος και γ 3 τουλάχιτο από 0 άτοµα που προβλήθηκα από το ιό α γίου καλά το χροικό διάτηµα από µέχρι 4 µέρες. 6. Έτω ότι η ποότητα Χ ε χιλιάδες λίτρα που πωλεί έα πρατήριο βεζίης ε µια µέρα πέρα τω χιλίω λίτρω ακολουθεί τη καταοµή Erlang µε µέη τιµή 5 χιλιάδες λίτρα και τυπική απόκλιη.5 χιλιάδες λίτρα. Α οι δεξαµεές του πρατηρίου µια υγκεκριµέη µέρα έχου 8 χιλιάδες λίτρα α υπολογιθού η πιθαότητα το πρατήριο α µη µπορέει α αταποκριθεί τη ζήτηη. 7. Α υποθέουµε ότι το επίπεδο του Na το αθρώπιο αίµα ακολουθεί τη Kαοική καταοµή µε µέη τιµή 40 και τυπική απόκλιη 7. Να βρεθεί α η πιθαότητα το επίπεδο Na το αίµα εός ατόµου α είαι µικρότερο του 30, µεταξύ 35 και 45, µεγαλύτερο του 60, β το ποοτό τω ατόµω του πληθυµού µε επίπεδο Na το αίµα τους

146 37 µεταξύ 40 και 50, κάτω του 30 ή άω του Σε µια δίκη που αφορούε τη πατρότητα εός παιδιού ο κατηγορούµεος µπόρεε α αποδείξει ότι βρικότα εκτός της χώρας για το χροικό διάτηµα που άρχιζε 95 µέρες πρι τη γέηη του παιδιού και τελείωε 40 ηµέρες πρι τη γέηη. Α υποθέουµε ότι η διάρκεια κύηης ακολουθεί Καοική καταοµή µε µέη τιµή 9 µήες και τυπική απόκλιη 0 ηµέρες, α υπολογίετε τη πιθαότητα ο κατηγορούµεος α µη βρικότα ετός της χώρας τη τιγµή της ύλληψης του παιδιού. 9. Ας υποθέουµε ότι η χολητερίη τω ατόµω εός υγκεκριµέου πληθυµού ακολουθεί κατά προέγγιη τη Καοική καταοµή µε µέη τιµή 50 και τυπική απόκλιη 50. α Να υπολογιτεί το ποοτό τω ατόµω του πληθυµού που έχει τιµή χολητερίης µεταξύ 00 και 60. β Να βρεθεί η τιµή της χολητερίης c τέτοια ώτε το 0% τω ατόµω του πληθυµού α υπερβαίου το c. 0. Μία αυτόµατη µηχαή παρακευάζει ιατρικά κευάµατα ε µορφή δικίω τω οποίω το βάρος ακολουθεί Καοική καταοµή µε µέο µ και διαπορά Α το βάρος του δικίου δε βρίκεται το διάτηµα µ ± 0. 0 το φάρµακο κρίεται ακατάλληλο δε έχει αποτέλεµα το αθεή α το βάρος είαι µικρότερο του µ 0.0 εώ είαι επικίδυο α το βάρος του υπερβαίει το µ α Ποιο είαι το ποοτό ακατάλληλω δικίω που παράγει η µηχαή; β Έτω ότι τα δικία υκευάζοται ε κουτιά τω 0 τεµαχίω. Ποια είαι η πιθαότητα ε έα κουτί α περιέχοται καέα ακατάλληλο δικίο; το πολύ ακατάλληλα δικία; τουλάχιτο 3 ακατάλληλα δικία; 6 ακατάλληλα δικία; γ Πόα είαι τα ααµεόµεα ακατάλληλα δικία ε έα κουτί 0 τεµαχίω; 0 τεµαχίω;. Το ύψος τω αδρώ εός πληθυµού ακολουθεί τη Kαοική καταοµή µε µέο µ 75cm και τυπική απόκλιη 5cm. α Τι ποοτό του πληθυµού τω αδρώ έχει ύψος µεγαλύτερο από 75 cm; µεγαλύτερο από 80 cm;

147 38 µεταξύ 70 cm και 80 cm; β Σε τυχαίο δείγµα 6 αδρώ ποία είαι η πιθαότητα α έχου όλοι ύψος άω τω 80 cm; οι δύο α είαι υψηλότεροι του µέου και 4 χαµηλότεροι του µέου;. Α είαι µια Καοική τυχαία µεταβλητή µε µέη τιµή µ και διαπορά και c έας πραγµατικός αριθµός τέτοιος ώτε δείξτε ότι P > c P c c µ. Εφαρµογή: Α οι τιµές του ιδήρου το αίµα τω αδρώ εός πληθυµού ακολουθού τη Kαοική καταοµή µε µέη τιµή 0 mg/dl και διαπορά 5mg / dl, α βρεθεί η τιµή c του ιδήρου για τη οποία το ποοτό αδρώ που τη υπερβαίει είαι διπλάιο του ποοτού που δε τη υπερβαίει. 3. Α Z ~ N0, α βρεθεί η τιµή z για τη οποία ιχύει P z Z z α, 0 < α < και α γίει εφαρµογή για α 0.0, 0.05, Πώς εκφράζεται το z µέω τω άω ηµείω της τυποποιηµέης Kαοικής καταοµής; 4. Η πιθαότητα έα άτοµο που πάχει από υγκεκριµέη αθέεια α παρουιάει υψηλό δείκτη χολητερίης είαι 0.6. Α πάρουµε 00 άτοµα που πάχου από τη αθέεια ποια είαι η πιθαότητα το πλήθος αυτώ που έχου υψηλό δείκτη χολητερίης α είαι τουλάχιτο 55 αλλά όχι περιότεροι από 70; Η ζητούµεη πιθαότητα α υπολογιθεί χρηιµοποιώτας καοική προέγγιη µε διόρθωη και χωρίς διόρθωη υέχειας. 5. Να βρεθεί η πιθαότητα ε 40 ρίψεις εός αµερόληπτου οµίµατος α εµφαιτού 0 κεφαλές α µε χρήη της προέγγιης του Θεωρήµατος 4., β µε χρήη της προέγγιης του Θεωρήµατος 4.. Ποια είαι η ακριβής τιµή της παραπάω πιθαότητας; 6. H παθολογική κλιική εός οοκοµείου µπορεί α εξυπηρετεί ηµερηίως 50 άτοµα. Επειδή έχει παρατηρηθεί ότι 30% τω προγραµµατιµέω ρατεβού δε εµφαίζοται προς εξέταη, η γραµµατεία αποφάιε α κλείει για κάθε ηµέρα 00 ρατεβού. Ποια είαι η πιθαότητα τουλάχιτο άτοµο που έχει κλείει ρατεβού α µη εξυπηρετηθεί; 7. Για τη εκτίµηη του ποοτού τω µη καπιτώ εός πληθυµού παίρουµε έα δείγµα ατόµω. Να βρεθεί το ώτε το ποοτό τω µη καπιτώ

148 39 το δείγµα α διαφέρει από το πραγµατικό ποοτό p κατ απόλυτη τιµή λιγότερο του 0.05 µε πιθαότητα τουλάχιτο Α είαι γωτό ότι το πραγµατικό ποοτό τω µη καπιτώ είαι µεγαλύτερο του 80% ποια θα είαι η τιµή του ; 8. Έτω Χ η τιµή εός εργατηριακού δείκτη που αφορά τις εξετάεις αίµατος ατόµω που έχου προβληθεί από υγκεκριµέη αθέεια. Από πειραµατικά δεδοµέα έχει εκτιµηθεί ότι E.73, Var εώ για τη καταοµή του Χ έχει διαπιτωθεί ότι προεγγίζεται ικαοποιητικά από τη λογαριθµοκαοική καταοµή. α Ποιο είαι το ποοτό τω αθεώ τους οποίους ο δείκτης βρίκεται µεταξύ.7 και.74; β Α εξεταθού 0 αθεείς πόοι ααµέεται α παρουιάου τιµή του δείκτη µεταξύ.7 και.74; γ Ποια είαι η πιθαότητα από 0 αθεείς τουλάχιτο α παρουιάου τιµή του δείκτη µεταξύ.7 και.74; 9. Ας υποθέουµε ότι εκτός τω δεδοµέω του Παραδείγµατος 5. έχει παρατηρηθεί ότι η ποότητα Υ του εζύµου SGPT το αίµα τω φορέω της ηπατίτιδας ακολουθεί λογαριθµοκαοική καταοµή µε µέη τιµή E Y και διαπορά Var Y 3. Έας ερευητής ιχυρίζεται ότι χρηιµοποιώτας ως ηµείο διαχωριµού το 5 µπορεί µε πολλή µικρή πιθαότητα λάθους α προβλέπει κατά πόο έα άτοµο είαι φορέας ή όχι, και προτείει το εξής καόα: Α 5 τότε το άτοµο είαι υγιές, α > 5 τότε είαι φορέας. Ποια είαι τα ποοτά ορθής απόφαης και ποια τα ποοτά λαθαµέης απόφαης µε το παραπάω καόα; 0. υέχεια. Ας υποθέουµε ότι ο ερευητής θέλει α προδιορίει το ηµείο διαχωριµού, έτω c, έτι ώτε µόο το α 00% τω περιπτώεω α αποφαίζει ότι το άτοµο είαι υγιές εώ τη πραγµατικότητα είαι φορέας. Με ποιο τύπο θα δίεται το c και πως εκφράζεται η πιθαότητα α αποφαίει ότι το άτοµο είαι φορέας εώ είαι υγιές; Να γίει εφαρµογή για α %, 5 %, 0 %. Τι παρατηρείτε;

149 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ, ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στο Κεφάλαιο µελετήθηκε η τοχατική αεξαρτηία εδεχοµέω A, B, και εξηγήθηκε η φυική ηµαία τους. Κατ ααλογία µπορούµε α επεκτείουµε τη έοια της τοχατικής αεξαρτηίας τη περίπτωη δύο ή περιοτέρω τυχαίω µεταβλητώ. Οριµός.. α Οι τυχαίες µεταβλητές, Y καλούται τοχατικά αεξάρτητες, ότα P, Y y P P Y y,. για οποιουδήποτε πραγµατικούς αριθµούς και y. β Γεικότερα, οι τυχαίες µεταβλητές,,..., καλούται τοχατικά αεξάρτητες ότα P,,..., P P L P. για οποιουδήποτε πραγµατικούς αριθµούς,,...,. Παρατήρηη.. α Η φυική ηµαία της χέης. είαι η εξής: Α µας δοθεί κάποια πληροφορία για τη τ.µ. Χ, π.χ. ότι, τότε η πιθαοθεωρητική υµπεριφορά της Υ παραµέει αµετάβλητη, διότι από τη., P Y y P Y y, για κάθε πραγµατικό αριθµό y. ηλαδή η τ.µ. Χ δε επηρεάζει τη τ.µ. Υ και ατίτροφα. β Το αριτερό µέλος της. εκφράζει τη πιθαότητα τοµής εδεχοµέω, δηλαδή P, Y y P A B, όπου A { ω Ω: Χ ω }, B { ω Ω: Υ ω y}.

150 4 Οµοίως, το αριτερό µέλος της. εκφράζει τη πιθαότητα της τοµής τω εδεχοµέω { ω Ω: Χ ω },,,...,. γ Μπορεί α αποδειχθεί ότι η χέη. είαι ιοδύαµη µε τη εξής: Για οποιαδήποτε εδεχόµεα B,..., B υπούολα τω πραγµατικώ αριθµώ, P B,..., B P B L P B. δ Συήθως τις εφαρµογές η αεξαρτηία τυχαίω µεταβλητώ θεωρείται δεδοµέη, µε τη προϋπόθεη ότι τα πειράµατα εκτελούται κατά τέτοιο τρόπο ώτε α µη επηρεάζεται το αποτέλεµα του εός από το αποτέλεµα του άλλου π.χ. διαδοχικές επααλήψεις του ίδιου πειράµατος, πειράµατα που λαµβάου χώρα ε διαφορετικά µέρη κ.ο.κ.. Η αεξαρτηία τ.µ. µπορεί α µελετηθεί πιο εύκολα α περιοριτούµε τη κλάη τω υεχώ ή τω διακριτώ. Συγκεκριµέα, ιχύει το εξής θεώρηµα, του οποίου η απόδειξη είαι έξω από τους κοπούς του παρότος. Θεώρηµα.. α Α οι τ.µ. πιθαότητας για κάθε,,...,. β Α οι τ.µ. f...,...,,, είαι διακριτές µε υαρτήεις, f, f, ατίτοιχα, τότε είαι αεξάρτητες α και µόο α P,,..., f f L f, R, R,..., R, όπου,,..., R είαι το ύολο τιµώ της, είαι υεχείς µε πυκότητες τότε είαι αεξάρτητες α και µόο α f Χ, Χ,..., Χ,,..., f f L f, f, f,..., f, ατίτοιχα, για οποιουδήποτε πραγµατικούς αριθµούς...,,,, όπου f,,..., P,,...,...,,..., είαι η από κοιού πυκότητα τω...,,,. Μία χρήιµη παρατήρηη είαι η εξής: Α οι για οποιεδήποτε υαρτήεις g...,...,, g, g, οι τ.µ. Υ g, Υ g,..., Y g,, είαι αεξάρτητες, τότε

151 43 είαι αεξάρτητες. Αυτό είαι διαιθητικά προφαές, διότι η τ.µ. Y g εξαρτάται µόο από τη τ.µ., η οποία είαι τοχατικά αεξάρτητη από τις υπόλοιπες. Επίης, ιχύει και για υαρτήεις πολλώ µεταβλητώ, π.χ. οι τ.µ. Y g,..., k, Y g k,...,, k, είαι αεξάρτητες ότα οι,..., είαι αεξάρτητες, διότι οι τ.µ. Y και Y ορίζοται ε ξέα υπούολα αεξαρτήτω τ.µ. ε θα ίχυε όµως κάτι τέτοιο α ήτα π.χ. Y g, και Y g, 3, αφού τότε η τ.µ. θα επηρέαζε ταυτόχροα και τις δύο τ.µ. Y., Y Το επόµεο θεώρηµα είαι πολύ χρήιµο το υπολογιµό µέω τιµώ αεξαρτήτω τ.µ. Θεώρηµα.. Α οι τ.µ.,..., είαι αεξάρτητες, τότε E L ] E[ ] LE[ ], [ και γεικότερα, E g L g ] E[ g ] LE[ g ], [ µε τη προϋπόθεη ότι οι µέες τιµές είαι πεπεραµέες. H απόδειξη µπορεί α γίει µόο µε χρήη πολυδιάτατω υαρτήεω καταοµής και γι αυτό παραλείπεται. Πόριµα.. Α οι,..., είαι αεξάρτητες, τότε Var L Var L Var, και Var g L g ] Var[ g ] L Var[ g ] [ µε τη προϋπόθεη ότι οι διαπορές είαι πεπεραµέες. Απόδειξη. Έτω Y g L g. Είαι Var Y E Y [ E Y ]. Όµως E Y E[ g L g ] E g ] L E[ g [ µ L µ, όπου µ E g Χ ], πρβλ. Θεώρηµα 4., χέη 4.8 του Κεφ., και υεπώς [ ]

152 44 µ µ j j [ E Y ] µ L µ. Αφού έχουµε Τελικά, E [ g L g ] j Y E Y g g j j j j g g, j E[ g g ]. Var Y E Y [ E Y ] [ [ g g ] µ ]. E j j j µ j j j j Όµως από το Θεώρηµα., για j έχουµε E [ g, g j j ] E[ g ] E[ g j j ] µ µ j επειδή οι, είαι αεξάρτητες. Συεπώς, j { E[ g ] µ } Var Y Var[ g ], που αποδεικύει το. Το προκύπτει από το α θέουµε g,,,...,. Παράδειγµα.. Ας θεωρήουµε αεξάρτητες δοκιµές Bernoull καθεµιά µε πιθαότητα επιτυχίας p ίδια για κάθε δοκιµή, δηλ. P 0 p q,,,...,. Τότε η τ.µ....,,,, P p, L.3 παριτάει το πλήθος επιτυχιώ τις δοκιµές, και ως γωτό, η Χ είαι διωυµική µε παραµέτρους και p, ~ b, p. Φυικά R { 0,,..., }. Η µέη τιµή µ p καθώς και η διαπορά pq της Χ υπολογίτηκα το Κεφ.. Χρηιµοποιώτας τη.3 έχουµε αµέως αφού µ Ε Χ Ε Χ L Χ Ε Χ Ε Χ L E p,,,...,. Από το Πόριµα. µπορεί α υπολογιτεί αµέως η διαπορά της Χ, διότι οι,..., p είαι αεξάρτητες µε Var pq. Συεπώς,

153 45 Var Var L Var L Var pq, χωρίς α απαιτούται οι πολύπλοκοι υπολογιµοί του Κεφ.. Επιπλέο, µπορούµε α υπολογίουµε τη µέη τιµή και τη διαπορά οποιουδήποτε γραµµικού υδυαµού Y a L a, όπου και a,...,a ταθερές, ως εξής: Var Ε Υ Ε a E a a E p a, Y Var a Var a a Var pq a το τελευταίο επειδή οι τ.µ. a,,,...,, είαι αεξάρτητες. Για παράδειγµα, Παράδειγµα.. Α οι διαπορά ότι, E 0, Var pq. είαι αεξάρτητες καοικές µε µέη τιµή µ και,,..., δηλ ~ N µ,, τότε µε το ίδιο τρόπο προκύπτει Για παράδειγµα, E a a µ και Var a a. E µ µ, Var. Παράδειγµα.3. Α οι,,...,, όπου λ > 0, τότε Χ είαι αεξάρτητες τ.µ. µε καταοµή Posson, Χ P λ, ~ E a a λ και Var a a λ διότι E Var λ ότα P λ. ~. ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗ Ι ΙΟΤΗΤΑ Επειδή τα αθροίµατα αεξαρτήτω τ.µ. διαδραµατίζου πουδαίο ρόλο τη τατιτική υµπεραµατολογία, ααφέρουµε χωρίς απόδειξη το εξής βοηθητικό αποτέλεµα. Θεώρηµα.. Έτω,,..., αεξάρτητες τ.µ.

154 46 Ααπαραγωγική ιδιότητα της Bernoull και της διωυµικής ως προς τη πρώτη παράµετρο πλήθος δοκιµώ. Α ~ b, p,,,..., τότε η και ειδικότερα, α οι ~, p, b είαι αεξάρτητες Bernoull, ~ b p b, p, τότε L ~ b,. p Ααπαραγωγική ιδιότητα της Αρητικής ιωυµικής Pascal ως προς τη πρώτη παράµετρο. Α ~ NB r, p,,,...,, τότε η ~ NB r, p, και ειδικότερα, α οι είαι αεξάρτητες Γεωµετρικές, ~ G p NB, p, τότε L ~ NB,. p Ααπαραγωγική ιδιότητα της Posson. Α P λ,,,...,, τότε η ~ ~. P λ Ααπαραγωγική ιδιότητα της καταοµής Γάµµα ως προς τη πρώτη παράµετρο. Α ~ Γ a, θ,,,...,, δηλαδή όπου f a θ a / θ e, 0, Γ a a 0 u Γ a u e du, a > 0, η υάρτηη Γάµµα του Euler βλ. Παρατήρηη.3 του Κεφ. 4, τότε Ειδικότερα, α οι ~ Γ a, θ. είαι αεξάρτητες εκθετικές µε κοιή παράµετρο θ > 0, δηλ. ~ E θ E, θ Γ, θ, τότε Χ L Χ ~ Ε, θ Γ,. θ Ααπαραγωγική ιδιότητα της Καοικής. Α Χ ~ Ν µ, τότε ~, N µ,

155 47 και γεικότερα, ~ α. α β Ν α µ β, Για παράδειγµα, α ~ N µ, και Χ ~ Ν µ, και α είαι αεξάρτητες, τότε Χ Χ 3 ~ Ν 3,. Σηµειώουµε ότι η ααπαραγωγική ιδιότητα της καοικής είαι η πουδαιότερη, όο αφορά τις τατιτικές εφαρµογές. 3. ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Το Κετρικό Οριακό Θεώρηµα, το πουδαιότερο Θεώρηµα τω Πιθαοτήτω, εξετάζει τη αυµπτωτική υµπεριφορά αθροιµάτω πολλώ αεξαρτήτω τυχαίω µεταβλητώ, της µορφής για,..., S L,. Στη πράξη, η υθήκη µεταφράζεται ως µεγάλο, και οι τ.µ. µπορού α θεωρηθού ως έα µεγάλο τυχαίο δείγµα. Οριµός 3.. Έτω...,,, αεξάρτητες τ.µ. από τη ίδια υάρτηη καταοµής F υµβολικά,,,..., ~ F. Τότε οι,,..., καλούται τυχαίο δείγµα µεγέθους. Οι,,..., καλούται επίης αεξάρτητες και ιόοµες ιόοµες έχου τη ίδια καταοµή, δηλ. διέποται από το ίδιο όµο πιθαότητας, και για υτοµία αι κατ ατιτοιχία του..d. ndependent, dentcally dstrbuted. Θεώρηµα 3.. Έτω..., F. Υποθέτουµε ότι E µ και ιχύου οι ιότητες,, έα τυχαίο δείγµα από τη υάρτηη καταοµής Var, 0 <,,,...,. Τότε < µ Χ Ε Χ Var S E S Var S S µ, 3. και µάλιτα όπου µ µ Ε 0, Var, 3.

156 48 S Χ Χ Χ L, S L. Απόδειξη. Έχουµε E S E L µ E E L και εποµέως, µ E S S Ε Χ Ε. Επίης, λόγω αεξαρτηίας, Var Var Χ Var S Var L L και υεπώς S Var S Var Var. Άρα µ Χ µ Var Χ Ε Χ, µ S µ S S Var E S S, και µ S µ S µ S µ. Συεπώς ιχύου όλες οι ιότητες 3.. Τέλος, µ Χ Ε µ E 0 µ µ µ Χ Ε, και µ Χ Var µ Var µ Var µ Var Var. Παρατήρηη.. Ο Χ οοµάζεται δειγµατικός µέος τω Χ Χ...,, εώ το S οοµάζεται µερικό άθροιµα τω Χ Χ...,,. Το Θεώρηµα 3. µας διαβεβαιώει ότι ο τυποποιηµέος δειγµατικός µέος

157 49 Χ Ε Χ µ Var ταυτίζεται µε το τυποποιηµέο µερικό άθροιµα S E S S µ. Var S Το κετρικό οριακό θεώρηµα, του οποίου η απόδειξη ξεφεύγει από τους κοπούς του παρότος, αποδεικύει ότι η οριακή καταοµή για, πρακτικά για µεγάλο µέγεθος δείγµατος του τυποποιηµέου δειγµατικού µέου είαι η τυποποιηµέη καοική. Θεώρηµα 3.. Κετρκό Οριακό Θεώρηµα, Κ.Ο.Θ.. Α,,..., είαι αεξάρτητες και ιόοµες τ.µ. µε υάρτηη καταοµής F τυχαίο δείγµα και E µ, κάθε πραγµατικό αριθµό t, Var, 0 <,,,...,, τότε για < όπου lm P t Φ t e π µ t Φ t, 3.3 u / du P Z t 3.4 η υάρτηη καταοµής της τυποποιηµέης καοικής Z ~ N0,. Με άλλα λόγια, η υµπεριφορά τω τυποποιηµέω αθροιµάτω προεγγίζει αυτή της Ζ ~ Ν0,, για µεγάλο. µ / Η ηµατική πληροφορία που µας παρέχει το Κ.Ο.Θ. είαι η εξής: Από όποια καταοµή F και α λάβαµε τυχαίο δείγµα, η προεγγιτική καταοµή του τυποποιηµέου δειγµατικού µέου µ / θα είαι περίπου Φ t, ότα το µέγεθος του δείγµατος είαι αρκετά µεγάλο. Στη πράξη, 30 είαι αρκετό για α έχουµε ικαοποιητικές προεγγίεις. Έχουµε ήδη περιγράψει κάποιες ειδικές περιπτώεις του Κ.Ο.Θ. βλ. Θεωρήµατα 4., 4. και 4.3 του Κεφ. 4. Τα αποτελέµατα αυτά προκύπτου ως πορίµατα του Κ.Ο.Θ. Πόριµα 3.. Α,..., ~ b τότε p p lm P t Φ t p p. 3.5

158 50 Α, ~ p b, τότε για µεγάλο και ταθερό p, < p p p α Φ p p p β Φ β α P 3.6 για β α <, και α τα α και β είαι ακέραιοι, β α, } {0,,...,, β α, τότε p p p α Φ p p p β Φ β Χ α P 3.7 Οι τιµές t Φ για τα διάφορα t βρίκοται από το Πίακα Β της τυποποιηµέης Καοικής. Απόδειξη. Αφού ~ p b Χ έπεται ότι p µ E και p p Var. Άρα p p p Χ µ, και η προκύπτει από το Κ.Ο.Θ. Έτω S L, όπου ~,..., p b. Τότε, ~ p b, και υεπώς S β Ρ α β α P < < < α P β Χ Ρ β Χ α Ρ. Όµως p β p P β P p β p p p p p P p p p β p p p P

159 5 p p p β Φ p p p β p p p P. Κατά το ίδιο τρόπο, p p p α Φ α P, και έτι < p p p α Φ p p p β Φ β Χ α P, δηλαδή η 3.6. H 3.7 προκύπτει από τη 3.6 παρατηρώτας ότι για β α, ακεραίους, < β Χ α P β Χ α P. Παρατήρηη 3.. Η χέη 3.7 αποτελεί τη λεγόµεη διόρθωη υεχείας της 3.6, και δίδει κατά καόα καλύτερη προέγγιη. Γεικά, α έχουµε έα άθροιµα S L, αποτελούµεο από αεξάρτητες και ιόοµες διακριτές τ.µ....,,, µε µ E, Var, οι οποίες παίρου ακέραιες τιµές το...} 0,,, {, τότε η τ.µ. Χ παίρει ακέραιες τιµές...}, {0,, Χ R, και έτι, < β Χ α P β Χ α P, ότα οι β α είαι ακέραιοι. Σε αυτή τη περίπτωη, είαι προτιµότερο α χρηιµοποιούµε τη προέγγιη µ α Φ µ β Φ β Χ α P ατίτοιχη της 3.7, ατί της < µ α Φ µ β Φ β Χ α P, ατίτοιχη της 3.6.

160 5 Παράδειγµα 3.. Εδιαφερόµατε α εκτιµήουµε το άγωτο ποοτό p που θα λάβει έας υποψήφιος τις προεχείς εκλογές. Η πρακτική που χρηιµοποιείται είαι α λάβουµε έα δείγµα µεγέθους, Χ,..., Χ, µε Χ α ο -οτός ερωτώµεος ψηφίζει το υποψήφιο και 0 α δε το ψηφίζει. Τότε,..., ~ b, όπου p p άγωτο ποοτό του υποψηφίου. Ας υποθέουµε ότι µας εδιαφέρει α προδιορίουµε το πλήθος ερωτώµεω, έτι ώτε το ποοτό τω ατόµω του δείγµατος α µη διαφέρει από το πραγµατικό ποοτό πάω από %, µε πιθαότητα τουλάχιτο %. Τι µέγεθος πρέπει α λάβουµε; Ποια είαι η ελάχιτη τιµή του ; Επειδή,..., ~ b p, έπεται ότι L είαι το ποοτό τω ερωτώµεω που ψηφίζου το υποψήφιο, και L ~ b,. Η απόκλιη από το πραγµατικό ποοτό είαι υεπώς επιθυµούµε α ιχύει Όµως, χρηιµοποιώτας το Κ.Ο.Θ., L p p, P p P p 0.0 P 0.0 p 0.0 p 0.0 P p p p p p 0.0 p p Φ Φ, p p p p και επειδή Φ t Φ t, P p Φ. p p Τελικά, η χέη P p γράφεται κατά προέγγιη ή 0.0 Φ 0.95 p p

161 Φ Φ.96 p p η τελευταία ιότητα από το Πίακα Β της τυποποιηµέης Καοικής, και επειδή η Φ είαι γηίως αύξουα, , ή 3846 p p. p p Η τελευταία αιότητα θα µας παρείχε τη απαιτούµεη τιµή του α το p ήτα γωτό. Επειδή όµως το p είαι άγωτο, πρέπει α εξαφαλίζεται η αιότητα 3846 p p για κάθε p 0,. Όµως p p / 4, 0 p, διότι η υάρτηη g p p p είαι γηίως αύξουα για p [0,/ ] και γηίως φθίουα για p [/,], µε µέγιτη τιµή g / / 4. Άρα, η χέη 3846 p p εξαφαλίζεται για όλα τα p 0, ότα Τελικά, ο ελάχιτος αριθµός ερωτώµεω πρέπει α είαι Ο αριθµός αυτός µπορεί α ελαττωθεί αρκετά α γωρίζουµε π.χ., ότι ο υποψήφιος δε θα λάβει ποοτό µεγαλύτερο του 0%, δηλ. p 0.. Τότε p p 0. 09, οπότε , και έτι 3460 ερωτώµεοι θα ήτα αρκετοί για α εξαχθού αφαλή υµπεράµατα για κάποιο υποψήφιο που δε είαι πολύ δηµοφιλής µε p 0.. Παράδειγµα 3.. Ο ταµίας εός super-market τρογγυλοποιεί τους λογαριαµούς το πληιέτερο πολλαπλάιο τω 0.0 Ευρώ, π.χ., έας λογαριαµός τω 40.3 Ευρώ τρογγυλοποιείται ε Ευρώ, εώ τω 6.38 Ευρώ τρογγυλοποιείται ε 6.40 Ευρώ κ.ο.κ. Α ε µία µέρα εξυπηρετήει 00 πελάτες α υπολογίετε τη πιθαότητα όπως το υολικό φάλµα τρογγυλοποίηης δε υπερβεί ποό τω 0.80 Ευρώ. Μπορούµε, για απλότητα τις πράξεις, α υποθέουµε ότι η τρογγυλοποίηη του λογαριαµού είαι υεχής τ.µ., οµοιόµορφα καταεµηµέη το [ 0.05, 0.05], δηλαδή η πυκότητα τω είαι η U 0.05, 0.05 : f 0, Εδώ ιωπηρά υποθέτουµε ότι έας λογαριαµός µπορεί α πάρει οποιαδήποτε πραγµατική τιµή. Τότε µ 0 και τρογγυλοποίηης ιούται µε β α S L, Το υολικό φάλµα

162 54 και εδιαφερόµατε για τη Η ζητούµεη πιθαότητα γράφεται: P S P S P 0.8 S00 0 S P P 0 µ P µ P.77 µ. 77. Επειδή το 00 είαι αρκετά µεγάλο, η τελευταία πιθαότητα προεγγίζεται, βάει του Κ.Ο.Θ., από τη τα επόµεα Z ~ N0, P.77 Z.77 P Z.77 P Z <.77 Φ.77 Φ.77 Φ.77 Φ.77 Φ.77. Από το Πίακα Β της τυποποιηµέης Καοικής βρίκουµε Φ , οπότε P S 0.8 Φ %. 00 ηλαδή, µε πιθαότητα περίπου 99.5%, το φάλµα τρογγυλοποίηης δε θα υπερβεί τα 0.80 Ευρώ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 5. Η διάρκεια ζωής εός λαµπτήρα ακολουθεί εκθετική καταοµή µε µέο 000 ώρες. Εκλέγουµε 00 τέτοιους λαµπτήρες, και έτω,,,..., 00 ο χρόος ζωής του λαµπτήρα. Θέτουµε L 00 / 00, δηλ. είαι ο δειγµατικός µέος χρόος ζωής τω 00 λαµπτήρω. α Βρείτε τη πυκότητα του. β Υπολογίτε κατά προέγγιη τη πιθαότητα P 90 0.

163 55. Έας παίκτης χάει ή 4 λεπτά του Ευρώ α το αποτέλεµα της ρίψης εός υήθους κύβου είαι ή 4, ατίτοιχα, εώ κερδίζει 6 λεπτά α το αποτέλεµα είαι 6. Ο παίκτης ούτε χάει ούτε κερδίζει α το αποτέλεµα είαι περιττός αριθµός. Να υπολογιτεί κατά προέγγιη η πιθαότητα όπως το υολικό κέρδος ε 48 ρίψεις είαι µεταξύ τω 7 και 7 λεπτώ. 3. Είαι γωτό ότι το 0% της παραγωγής εός βιοµηχαικού προϊότος δε πληροί τις προδιαγραφές. Το προϊό υκευάζεται ε κιβώτια τω 00 και κάθε µέρα ελέγχοται 00 τέτοια κιβώτια. Α από κάθε κιβώτιο εκλέγοται τυχαία 5 µοάδες του προϊότος, α υπολογιτεί κατά προέγγιη η πιθαότητα όπως ο αριθµός τω ελαττωµατικώ δε υπερβαίει τα Α η καταάλωη βεζίης ε λίτρα αά χιλιόµετρο εός αυτοκιήτου είαι οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή το [ 0.07, 0.], ποια είαι κατά προέγγιη η πιθαότητα όπως 48 λίτρα βεζίης είαι αρκετά για διαδροµή 500 χιλιοµέτρω; 5. Στο παιχίδι της ρουλέτας η πιθαότητα α κερδίει ο παίκτης έα Ευρώ είαι 8/37 ε κάθε γύριµα, εώ η πιθαότητα α χάει έα Ευρώ είαι 9/37 παίζει τα κόκκια-µαύρα. Πόα γυρίµατα πρέπει α κάει η ρουλέτα ε µια µέρα, έτι ώτε µε πιθαότητα / το καζίο α κερδίει τουλάχιτο 000 Ευρώ; 6. Η ποότητα µιας χηµικής ουίας που περιέχεται ε κάθε δικίο εός φαρµάκου ακολουθεί κάποια άγωτη καταοµή µε µέο µ 5 mg και τυπική απόκλιη mg. Έας αθεής θεραπεύεται α ε διάτηµα 00 ηµερώ λάβει από 480mg ως 530mg της χηµικής ουίας. Α ο αθεής λαµβάει έα δικίο καθεµιά από τις επόµεες 00 ηµέρες, α ποια είαι η πιθαότητα α θεραπευτεί το τέλος τω 00 ηµερώ; β ποια η πιθαότητα α λάβει υπερβολική δόη της ουίας πάω από 530mg; γ ποια η πιθαότητα α µη θεραπευτεί επειδή έλαβε αεπαρκή ποότητα της ουίας κάτω τω 480mg;

164 Μέρος Β ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

165 Β ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

166 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα δεδοµέα µιας τατιτικής έρευας αποτελούται υήθως από έα µεγάλο πλήθος τοιχείω που αφορού το πληθυµό που µας εδιαφέρει. Τα τοιχεία αυτά οργαώοται αρχικά ε µορφή πιάκω µε τέτοιο τρόπο ώτε α µπορεί καείς µε µία απλή αάγωη α χηµατίει µία ιδέα για το δείγµα ή το πληθυµό. Στη υέχεια, για µία πιο αποτελεµατική παρουίαη, γίεται χρήη είτε γραφικώ είτε αριθµητικώ µεθόδω. Προτού προχωρήουµε τη ααλυτική εξέταη τω µέω παρουίαης τατιτικώ τοιχείω ας ααφέρουµε τους κυριότερους τύπους δεδοµέω. Έτω λοιπό έας πληθυµός τα άτοµα του οποίου καταγράφουµε τις τιµές που παίρει έα ή περιότερα υγκεκριµέο χαρακτηριτικό π.χ. το µηιαίο ειόδηµα, χρώµα µατιώ, ύψος, ηλικία κ.λ.π. Έτι έχουµε µία τυχαία µεταβλητή Χ και α από το πληθυµό θεωρήουµε έα τυχαίο δείγµα µεγέθους θα πάρουµε αεξάρτητες και ιόοµες τυχαίες µεταβλητές...,,,. Οι τυχαίες µεταβλητές διακρίοται αάλογα µε το είδος τω τιµώ που µπορού α πάρου ε ποοτικές και ποιοτικές. Μία τυχαία µεταβλητή θα λέγεται ποοτική quanttate α παίρει µόο αριθµητικές τιµές όπως π.χ. ο αριθµός τω παιδιώ µιας οικογέειας, ο αριθµός τω ατόµω που τραυµατίζοται τους εθικούς δρόµους της Ελλάδας έα Σαββατοκύριακο, ο χρόος που χρειάζεται έας φοιτητής για α απατήει τα θέµατα εός διαγωίµατος Στατιτικής, το ύψος τω ατόµω εός πληθυµού κ.λπ. Α το ύολο τω τιµώ που παίρει µία ποοτική τυχαία µεταβλητή είαι πεπεραµέο ή αριθµήιµο τότε θα µιλάµε για διακριτή dscrete τυχαία µεταβλητή. Ατίθετα, α µία τυχαία µεταβλητή µπορεί α πάρει, θεωρητικά τουλάχιτο, κάθε τιµή εός διατήµατος α, β µε α < β, θα λέγεται υεχής contnuous. Από τα παραδείγµατα που δόθηκα παραπάω, οι δύο πρώτες τυχαίες µεταβλητές είαι διακριτές εώ οι άλλες δύο υεχείς. Οι ποιοτικές ή κατηγορικές qualtate, categorcal τυχαίες µεταβλητές χαρακτηρίζοται από το γεγοός ότι οι τιµές τους µπορού απλώς α ταξιοµηθού ε κατηγορίες και δε εκφράζου απαραίτητα κάτι το µετρήιµο. Τέτοιες µεταβλητές

167 58 είαι π.χ. το χρώµα τω µατιώ, η υγεία κακή, µέτρια ή καλή, το επάγγελµα τω ατόµω του πληθυµού κ.λπ. Ο απλούτερος τύπος ποιοτικώ τυχαίω µεταβλητώ είαι αυτές που παίρου µόο δύο τιµές π.χ. το φύλο εός ατόµου, το α έα άτοµο χρηιµοποιεί ή όχι υγκεκριµέο προϊό κ.λπ. και λέγοται διχοτοµικές dchotomous. Στις επόµεες παραγράφους θα εξετάουµε ααλυτικά τους τρόπους οργάωης και παρουίαης τω διαφόρω ειδώ δεδοµέω.. ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Έτω Χ µία τυχαία µεταβλητή χαρακτηριτικό που αφορά τα άτοµα εός πληθυµού και,,..., έα τυχαίο δείγµα µεγέθους. Για έα υγκεκριµέο δείγµα θα υµβολίζουµε µε,,..., τις τιµές του χαρακτηριτικού για τα άτοµα του δείγµατος και µε y, y,..., y k τις k διαφορετικές µεταξύ τους τιµές από τα,,..., k. Συχότητα frequency της τιµής y θα λέγεται το πλήθος τω,,.., που είαι ία µε y, εώ χετική υχότητα relate frequency f θα λέγεται το ατίτοιχο ποοτό, δηλαδή f k j j,,,..., k. Συήθως οι ποότητες y,, f, έα υοπτικό πίακα που οοµάζεται πίακας υχοτήτω.,,..., k για έα δείγµα υγκετρώοται ε Παράδειγµα.. Σε έα δείγµα 0 οικογεειώ από µία περιοχή της Αθήας, το επάγγελµα του πατέρα, ο µηιαίος µιθός του πατέρα και ο αριθµός παιδιώ της οικογέειας δίοται το Πίακα.. Οικογέεια Πίακας. εδοµέα εός δείγµατος 0 οικογεειώ. Επάγγελµα Πατέρα εργάτης οδηγός εργάτης δηµ. υπάλληλος δηµ. υπάλληλος δηµ. υπάλληλος δάκαλος ιερέας οδηγός εργάτης Μηιαίος Μιθός πατέρα Αριθµ. παιδιώ Οικογέειας

168 δάκαλος εργάτης εργάτης δηµ. υπάλληλος ιερέας δάκαλος εργάτης δηµ. υπάλληλος δάκαλος δηµ. υπάλληλος Οι ατίτοιχες υχότητες για τις τρεις µεταβλητές που καταγράφηκα τα 0 άτοµα του δείγµατος δίοται τους Πίακες.,.3,.4. Πίακας.. Πίακας υχοτήτω για το επάγγελµα πατέρα το δείγµα τω 0 οικογεειώ του Πίακα y Εργάτης οδηγός δηµ. υπάλληλος δάκαλος ιερέας Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Σύολο 0.0 f Πίακας.3. Πίακας υχοτήτω για το Μηιαίο µιθό το δείγµα τω 0 οικογεειώ του Πίακα y ε 0άδες Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Σύολο 0.00 f

169 60 Πίακας.4. Πίακας υχοτήτω για το αριθµό παιδιώ το δείγµα τω 0 οικογεειώ του Πίακα y Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι I Ι Ι Ι Ι I Ι Ι Ι Ι Σύολο 0.0 Στη περίπτωη ποοτικώ τυχαίω µεταβλητώ εκτός τω ποοτήτω χρηιµοποιούται υήθως και οι λεγόµεες αθροιτικές υχότητες cumulate frequences N, καθώς και οι αθροιτικές χετικές υχότητες cumulate relate frequences F οι οποίες δίου το πλήθος και το ποοτό ατίτοιχα τω παρατηρήεω που είαι µικρότερες ή ίες του y. Α τα y, y,..., yk είαι διατεταγµέα κατά αύξουα ειρά µεγέθους δηλ. y y L yk είαι φαερό ότι N L,,,..., k, F f f L f,,,..., k, N N,,3,..., k, N, f F F,,3,..., k. f F, Παράδειγµα.. υέχεια Συµπληρώοτας τους Πίακες.3 και.4 µε τις ατίτοιχες αθροιτικές και αθροιτικές χετικές υχότητες για τις ποοτικές τυχαίες µεταβλητές Μηιαίος µιθός και αριθµός παιδιώ παίρουµε τους Πίακες.5 και.6. Πίακας.5. Πίακας υχοτήτω και αθροιτικώ υχοτήτω για το Μηιαίο µιθό το δείγµα τω 0 οικογεειώ του Πίακα y ε 0άδες f N f F , f

170 6 Πίακας.6. Πίακας υχοτήτω και αθροιτικώ υχοτήτω για το αριθµό παιδιώ το δείγµα τω 0 οικογεειώ του Πίακα y f N F ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Αάλογα µε το είδος τω δεδοµέω που διαθέτουµε υπάρχου διάφοροι τρόποι γραφικής παρουίαης. Θα εξετάουµε λοιπό ξεχωριτά κάθε κατηγορία. α Παρουίαη ποιοτικώ δεδοµέω Για τη γραφική παράταη ποιοτικώ δεδοµέω χρηιµοποιούται κυρίως δύο είδη διαγραµµάτω: το ραβδόγραµµα barchart και το κυκλικό διάγραµµα υχοτήτω pechart. Στο ραβδόγραµµα, οι κατηγορίες της τυχαίας µεταβλητής παριτάοται το οριζότιο άξοα α ιοµήκη διατήµατα µε κεά υήθως µεταξύ τους εώ οι ατίτοιχες υχότητες ή χετικές υχότητες το κατακόρυφο. Τα επόµεα δύο χήµατα δίου τα ραβδογράµµατα τω δεδοµέω του Πίακα.. Σχήµα 3.α Ραβδόγραµµα Συχοτήτω για τα δεδοµέα του Πίακα..

171 6 Σχήµα 3.β Ραβδόγραµµα Σχετικώ Συχοτήτω για τα δεδοµέα του Πίακα.. Μερικές φορές ε έα ραβδόγραµµα υχοτήτω ο ρόλος τω δύο αξόω είαι δυατό α ατιτραφεί όπως φαίεται και το Σχήµα 3.. Σχήµα 3. Ραβδόγραµµα Συχοτήτω για τα δεδοµέα του Πίακα.. Τα κυκλικά διαγράµµατα χρηιµοποιού για τη παράταη τω δεδοµέω έα κύκλο χωριµέο ε κυκλικά τµήµατα βλ. Σχήµα 3.3.

172 63 Σχήµα 3.3 Κυκλικό διάγραµµα υχοτήτω για τα δεδοµέα του Πίακα.. Κάθε κυκλικό τµήµα ααφέρεται ε µία κατηγορία του χαρακτηριτικού και έχει τόξο α αάλογο της ατίτοιχης υχότητας ή χετικής υχότητας, δηλαδή 360 o α 360 f,,,..., k. β Παρουίαη ποοτικώ δεδοµέω Ότα τα δεδοµέα είαι ποοτικά και το πλήθος k τω διαφορετικώ τιµώ που πήραµε από το δείγµα είαι µικρό τότε αφού γίει η πιακοποίηη τω δεδοµέω ε έα πίακα υχοτήτω µπορούµε α χρηιµοποιήουµε για τη γραφική τους παράταη είτε έα διάγραµµα υχοτήτω lne dagram είτε έα κυκλικό διάγραµµα

173 64 Σχήµα 3.4 Κυκλικό διάγραµµα υχοτήτω για τα δεδοµέα του Πίακα.4. υχοτήτω. Το δεύτερο χηµατίζεται µε το ίδιο ακριβώς τρόπο, όπως για τα ποιοτικά χαρακτηριτικά βλ. Σχήµα 3.4. Το πρώτο µοιάζει µε το ραβδόγραµµα µε µόη διαφορά ότι ατί α χρηιµοποιούµε υµπαγή ορθογώια, υψώουµε ε κάθε y µία Σχήµα 3.5 ιάγραµµα υχοτήτω για τα δεδοµέα του Πίακα.4. κάθετη γραµµή µε µήκος ίο προς τη ατίτοιχη υχότητα ή χετική υχότητα βλ. Σχήµα 3.5.

174 65 Σχήµα 3.6 Πολύγωο υχοτήτω για τα δεδοµέα του Πίακα.4. Πολλές φορές οι κορυφές τω κατακόρυφω γραµµώ εώοται µεταξύ τους χηµατίζοτας το λεγόµεο πολύγωο υχοτήτω frequency polygon το οποίο µας δίει µία γεική ιδέα για τη µεταβολή της υχότητας ή της χετικής υχότητας όο µεγαλώει η τιµή της τυχαίας µεταβλητής που µελετάµε βλ. Σχήµατα 3.6 και 3.7. Σχήµα 3.7 Πολύγωο χετικώ υχοτήτω για τα δεδοµέα του Πίακα.4. Για µικρά ύολα δεδοµέω, µπορεί καείς α χρηιµοποιήει και το λεγόµεο ηµειόγραµµα dot dagram το οποίο οι παρατηρήεις παριτάοται µε τελείες τις ατίτοιχες θέεις εός οριζότιου άξοα. Η κλίµακα του άξοα είαι κατάλληλα διαλεγµέη ώτε α καλύπτει όλα τα δεδοµέα. Παράδειγµα 3.. Οι χρόοι ε mn που χρειάτηκα οι µαθητές µιας τάξης για α λύου έα πρόβληµα µαθηµατικώ ήτα,, 9, 8, 3, 5, 5, 6, 4, 4, 7,, 7, 4, 3, 4, 0, 7, 7, 9, 0,. Το ατίτοιχο ηµειόγραµµα φαίεται το επόµεο χήµα:

175 66 Παράδειγµα 3.. Ο αριθµός τω ηµερώ που επέζηα οι πρώτοι 6 αθεείς µετά από µεταµόχευη καρδιάς το Stanford ήτα 5, 3, 46, 63, 6, 64. Tα δεδοµέα αυτά παριτάοται ε έα ηµειόγραµµα όπως παρακάτω Το ηµειόγραµµα αυτό δείχει γεικά µικρή διάρκεια ζωής µετά από µεταµόχευη καρδιάς µε µία τιµή µάλλο µεγάλη ακραία τιµή outler. Είαι φαερό ότι ε περίπτωη µεγάλου πλήθους δεδοµέω η κατακευή του ηµειογράµµατος γίεται αρκετά επίποη. Το πιο υηθιµέο µέο περιγραφής ποοτικώ δεδοµέω είαι το ιτόγραµµα hstogram. Αυτό αποτελείται από διαδοχικά ορθογώια τω οποίω το ύψος διαλέγεται µε τέτοιο τρόπο ώτε το εµβαδό του ορθογωίου α είαι ίο µε τη ατίτοιχη υχότητα ή χετική υχότητα της τιµής τη οποία ααφέρεται. Για διακριτά δεδοµέα, ως άκρα τω βάεω τω ορθογωίω διαλέγοται υήθως τα µεαία ηµεία µεταξύ τω διαδοχικώ y βλ. Σχήµα 3.8. Σχήµα 3.8 Ιτόγραµµα Συχοτήτω για τα δεδοµέα του Πίακα.4.

176 67 Αξίζει α ηµειωθεί ότι λόγω του τρόπου χηµατιµού του ιτογράµµατος υχοτήτω, το υολικό εµβαδό όλω τω ορθογωίω είαι ίο µε το µέγεθος του δείγµατος. Με παρόµοιο τρόπο χηµατίζεται το ιτόγραµµα χετικώ υχοτήτω βλ. Σχήµα 3.9 το οποίο το υολικό εµβαδό είαι ίο µε. Σχήµα 3.9 Ιτόγραµµα Σχετικώ Συχοτήτω για τα δεδοµέα του Πίακα.4. Με αάλογο τρόπο χηµατίζοται και τα ιτογράµµατα αθροιτικώ υχοτήτω και αθροιτικώ χετικώ υχοτήτω βλ. Σχήµα 3.0 και Σχήµα 3..