Β.2.6. Γεωµετρικός µέσος.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Β.2.6. Γεωµετρικός µέσος."

Transcript

1 6 Β..6. Γεωετρικός έος. α) Τα δεδοέα δίοται ααλυτικά Οριός Β.. Έτω ότι τα δεδοέα είαι δοέα ααλυτικά ( τιές που ατιτοιχού τα άτοα του πληθυού): i, i,,,..., Οοάζουε Γεωετρικό έο τω δεδοέω i, τη -οτή ρίζα του γιοέου τους: G * * *...* β) Τα δεδοέα είαι καταεηέα ε κ κλάεις: Οριός Β.. Έτω ότι τα δεδοέα είαι καταεηέα ε κ κλάεις: i, i,,,...,κ. Οοάζουε Γεωετρικό έο τω δεδοέω αυτώ τη -οτή ρίζα τω γιοέω τω παραγότω i fi : G f * f * f *...* κ fκ Παρατήρηη: Μια ηατική ιδιότητα του γεωετρικού έου είαι πως επηρεάζεται λιγότερο απ' ότι ο αριθητικός έος, από τις ακραίες εγάλες τιές, εώ επηρεάζεται περιότερο του από τις ικρες ακραίες τιές. Ας υπολογίουε, για παράδειγα, το αριθητικό και το γεωετρικό έο τω τιώ: i,,,,, (για i,,..,6). x ()/ G x * * * * * 6.

2 6 Παράδειγα Β.. Θα προπαθήουε α δείξουε τη χρηιότητα του Γεωετρικού έου ε το εξής παράδειγα: Κάποιος αγοράζει τη η Ιαουαρίου του, ε το ποό του εός εκατουρίου έτοκα γραάτια του Ελληικού ηοίου και έκτοτε το ααεώει κάθε η Ιαουαρίου ε το τρέχο επιτόκιο, εωατώοτας το κυρίως κεφάλαιο και τους τόκους. Προκύπτει λοιπό ο παρακάτω πίακας: ροολογία ρη.ποό Τρέχο επιτόκιο Τελικό ποό αρχής έτους % Σχετ.εταβολή τέλος έτους ,,,,,,, Η χετική ετήια εταβολή είαι ο υτελετής ο οποίος πολλαπλαιάζει το κεφάλαιο της αρχής του έτους για α ας δώει το κεφάλαιο το τέλος του έτους. Για επιτόκιο α%, ο υτελετής εταβολής δίεται από τη χέη: Συτελετής εταβολής α/ Εποέως εά το επιτόκιο είαι.%, τότε ο υτελετής εταβολής θα ιούται ε.. Ας υπολογίουε τώρα το έο όρο τω χετικώ εταβολώ της επταετίας: ε (...)/.6/.6 και το Γεωετρικό τους έο: G ε. *. *. *...*.., Στη υέχεια θα φτιάξουε έα πίακα χρηιοποιώτας τη θέη του τρέχοτος επιτοκίου το αριθητικό έο τη ια φορά και το Γεωετρικό έο τη άλλη:

3 6 ροολογία Τελικό ποό βάη χετ.εταβολής του Τελικό ποό βάη χετ.εταβολής του G Πραγατικό τελικό ποό Αξίζει α παρατηρήουε ότι ο Γεωετρικός έος, α και δε δίει απολύτως ωτά εδιάεα αποτελέατα, όπως άλλωτε και ο έος όρος, ε τούτοις υπολογίζει ακριβέτατα το τελικό αποτέλεα, κάτι που δε καταφέρει α επιτύχει ο αριθητικός έος (). Παρατηρήεις: η) Ο Γεωετρικός έος υπάρχει και έχει όηα όο ότα τα δεδοέα είαι θετικοί αριθοί, ακόη και τη περίπτωη που η ρίζα δίει πραγατική τιή. Για παράδειγα ο γεω.έος τω τιώ: -, και είαι το -, που βέβαια δε πορεί α θεωρηθεί κετρική τάη τω τριώ αυτώ τιώ. η) Ο γεωετρικός έος είαι ίος ε το έο όρο όο ότα όλες οι τιές είαι ίες εταξύ τους (... ). Σε κάθε άλλη περίπτωη ο έος όρος είαι εγαλύτερος. Αυτή η ιδιότητα πορεί α αποδειχθεί πολύ εύκολα για δύο τιές. Να το δείξετε! Το παράδειγα αυτό θα το ξααδούε το Κεφάλαιο τω Αριθοδεικτώ (τη Στατιτική ΙΙ), οπότε θα δειχθεί το γιατί ο Γεωετρικός έος δίει το ακριβές αποτέλεα.

4 6 B... Επααληπτικό παράδειγα. ιακόιοι αθητές της Α Λυκείου πήδηξα τρία άλατα εις ήκος, από τα οποία διαλέξαε το καλύτερο. Τα αποτελέατα παρουιάζοται το διπλαό πίακα. ητούται: i) Ο πλήρης Στατιτικός πίακας, ii) το ραβδόγραα υχοτήτω και η παράταη της αθροιτικής υχότητας, iii) ία αιτιολογηέη εκτίηη, ε το άτι, τω τιώ, Τ και δ. iv) o ακριβής υπολογιός του τύπου Τ, v) ο υπολογιός της διαέου δ, vi) ο υπολογιός τω τεταρτηορίω Q, Q, Q, vii) ο υπολογιός του έου όρου, και iix) ο υπολογιός του γεωετρικού έου G. Άλα i Συχότητα f i 6 Λύη: i) Στατιτικός Πίακας: α/α Κλάη i Όρια κλάης Συχ. f i Σχετική υχ. P i Σχετική υχ.(%) Αθροιτ. υχ. F i Σχετική αθρ.υχ. Σχετ.αθρ. υχ.(%) Σ ύ ο λ ο,,

5 6 fi i Fi i ii) To ραβδόγραα τω υχοτήτω και της αθροιτικής υχότητας. iii) ε είαι λίγες οι φορές που αποφεύγουε ηατικότατα λάθη ε το α έχουε υπ όψη ας ια εκτίηη για τις τιές τω παραέτρω που ψάχουε. Για το λόγο αυτό θα προπαθήουε α δώουε ια πρώτη εκτίηη για τις τιές τω παραέτρω, Τ και δ, παρατηρώτας το ραβδόγραα τω υχοτήτω. α) Για το έο όρο (). Η καταοή τω υχοτήτω το ραβδόγραα τω υχοτήτω είαι οοκόρυφη και χεδό υετρική. Στη περίπτωη αυτή ο έος όρος είαι το κέτρο, δηλαδή το έο της κλάης, η οποία είαι και η επικρατούα υιή Τ τω τιώ i. Βέβαια, το έο της κλάης είαι το όοά της, δηλαδή. έτρα. Παρατηρώτας προεκτικότερα ατιλαβαόατε πως όλες οι κλάεις που βρίκοται δεξιά της, έχου εγαλύτερες υχότητες απ αυτές που βρίκοται τα δεξιά της, ε υετρική θέη, πράγα που ηαίει πως το ποοτό του πληθυού που βρίκεται δεξιά της είαι εγαλύτερο απ αυτό που βρίκεται αριτερά. Άεη υέπεια αυτώ είαι η ικρή ετακίηη του προς τα δεξιά του.. Είαι λογική λοιπό ια εκτίηη για το γύρω το.... Θεωρούε πως οι αθητές αποτελού το πληθυό του προβλήατος που ελετούε ( ατί του x )

6 66 β) Για το τύπο Τ. Η πλειοψηφούα κλάη είαι η, πράγα που είαι φαερό από το ραβδόγραα υχοτήτω, οπότε χοδρικά έχουε πως: Τ. Επειδή όως η κλάη που βρίκεται δεξιά της (η ) έχει εγαλύτερη υχότητα απ αυτή που βρίκεται αριτερά της (τη ), η ακριβής τιή του Τ θάαι λίγο ετακιηέη προς τα δεξιά του.. Θα δώουε α προεγγιτική τιή και πάλι τα. έτρα. γ) Για το Γεωετρικό έο G. Ο G, όπως έχει ήδη ειπωθεί, είαι πάτα ικρότερος από το. Άρα περιέουε α είαι πιό κοτά το. (το κέτρο της πλειοψηφούας κλάης). iv) Η κλάη ε τη εγαλύτερη υχότητα είαι η. (f ). Σε πρώτη προέγγιη πορούε α δεχθούε πως η επικρατούα τιή είαι Τ. έτρα. Στο εωτερικό της κλαης θα βρίκεται η ακριβής τιή του τύπου Τ. Έχουε πως: f - f, f τ f εώ το κάτω όριο της κλαης είαι το Ο.6, ε εύρος ε.. Τώρα πορούε α υπολογίουε το τύπο Τ: T O ft f ε,6 *, f T T, v) Η πραγατική θέη της διαέου (η ειρά της δηλαδή αάεα τα τοιχεία του πληθυού ας) είαι η: ξ ()/ /. και «φιλοξεείται» το εωτερικό της κλάης (ια και η αθροιτ. υχότητα F 6, είαι η πρώτη που ξεπεράει το ξ). Εύκολα τώρα υάγουε τα υπόλοιπα τοιχεία που χρειάζοται το τύπο της διαέου: Ο.6, F δ- 6, f δ και ε. δ Ο ξ Fδ, 6 ε,6 *, fδ,

7 6 vi) Η πραγατική ειρά τω τριώ τεταρτηορίω δίεται είαι η: ξ ()/ /., ξ ξ. και ξ ξ. Οι κλάεις που φιλοξεού το καθέα από τα τρία τεταρτηόρια, βρίκοται ακριβώς ε το ίδιο τρόπο αυτό της διαέου. ε ξεχούε βέβαια πως το δεύτερο τεταρτηόριο είαι ίο ε τη διάεο (Q δ). Έχουε λοιπό πως το Q φιλοξεείται τη κλάη, το Q τη επίης και το Q τη. ξ Fq. 6 Q O ε.6 *..6 f Q δ. q ξ Fq. 6 Q O ε *..66 f q vii) Σύφωα ε το τύπο του έου όρου για δεδοέα ε κλάεις έχουε: 6 *.6 *... *. 6 x f. iix) Εφαρόζουε τέλος και το τύπο για το Γεωετρικό έο: G f i * f *...* fκ κ.6 6 * *...*..*.

8 6 Β... Άκηη. ητήαε από τους αθητές δύο τηάτω της Β Λυκείου α βαθολογήου το κοιό καθηγητή Μαθηατικώ, που έχου (βαθοί από έως ). Τα ακατέργατα αποτελέατα που πήραε εφαίζοται το επόεο πίακα: i) Να κατατάξετε τα αποτελέατα κατ αύξουα ειρά. ii) Να αποφαίετε για το πλήθος τω κλάεω τις οποίες θα εταχθού τα παραπάω δεδοέα. iii) Να κάετε το πλήρη Στατιτικό πίακα. iv) Nα υπολογίετε το τύπο Τ και το έο όρο (κλάεις). v) Να υπολογίετε τη διάεο για τα ααλυτικά δεδοέα και για τα δεδοέα τω κλάεω.

9 6 Β.. ΜΕΤΡΑ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. Β... Ααγκαιότητα τω έτρω διαποράς. Οι παράετροι κετρικής τάης (ή έτρα θέης), που γωρίαε τη προηγούεη παράγραφο, αποτελού ια ηατική προπάθεια α δηλωθού ε το υοπτικότερο δυατό τρόπο, οι τιές που παίρει ια τυχαία εταβλητή τα τοιχεία εός πληθυού. Όως η Λακωικότητα αυτή ας τερεί από ουιατικές πληροφορίες, οι οποίες άλιτα θα πορούα α εταβάλου ηατικά τη άποψη που δηιουργού για τη τυχαία εταβλητή, τα έτρα θέης. Ας δούε λοιπό έα παράδειγα... Παράδειγα Β.. Η επιτροπή υποτροφιώ καλείται α εκλέξει έα πουδατή που θα πάρει τη υποτροφία για τη επόεη χροιά. Οι υποψήφιοι που απέεια τη τελική εκλογή είαι τρείς. Απ'αυτούς η επιτροπή θα ξεχωρίει τους δύο (το βαικό υπότροφο και το επιλαχότα). Η βαθολογία τους τα αθήατα της περαέης πουδατικής χροιάς, βάει της οποίας θα κρίει η επιτροπή και τα οποία θεωρούται ιοδύαα, είαι η παρακάτω: Μάθηα Σπουδατής Σπουδατής Υ Σπουδατής ο ο ο ο ο 6ο ο ο ο ο 6 6 Η επιτροπή αποφαίζει πως το βαικό κριτήριο ε το οποίο θα ααδείξει το υπότροφο και το επιλαχότα θα είαι ο έος όρος της βαθολογίας τους. Όως αποφαίζει πως για παραπλήιους έους όρους θα λάβει υπ'όψη της και τη οοιογέεια τω βαθώ του κάθε πουδατή, θεωρώτας πιο αξιόπιτο το πουδατή του οποίου οι βαθοί έχου ικρότερες αποκλίεις από το έο όρο.

10 Ας υπολογίουε αρχικά τους τρείς έους όρους: (6...)/ / Υ (...)/ / (...)/ / Παρατηρούε πως και οι τρεις πουδατές επέτυχα το ίδιο έο όρο. Θα πρέπει λοιπό α ορίουε ία έα παράετρο που α προδιορίζει το τρόπο ε το οποίο καταέοται οι δοέες αριθητικές τιές γύρω από το έο όρο τους. Το τρόπο αυτό καταοής τω δεδοέω θα το οοάουε διαπορά τω δεδοέω γύρω από το έο όρο. Οι διάφορες παράετροι που θα αποδίδου τη διαπορά λέγοται υχά έτρα διαποράς. Β... Μέη απόκλιη. Μια πρώτη ιδέα είαι α χρηιοποιήουε α έτρο διαποράς τη έη τιή τω "αποτάεω" τω αριθητικώ δεδοέω i (i,,...,) από το αριθητικό έο (δοέες ε απόλυτη τιή). Το έο όρο δηλαδή τω ποοτήτω: -, -, -,..., - Οριός Β.. Έτω οι τιές ιας τυχαίες εταβλητής i, ε αριθητικό έο το. Οοάζουε έη απόκλιη τω τιώ i από το τη ποότητα: A... Ότα τα δεδοέα δίοται καταεηέα ε κ-κλάεις: i, i,,...,κ, η έη απόκλιη δίεται από τη χέη: A f f... f κ κ κ f

11 Παρατηρήεις: η) Είπαε πως η έη απόκλιη είαι τη ουία ο έος όρος τω αποτάεω της κάθε έτρηης i από το έο όρο. Βέβαια η απόταη που ορίζεται εδώ είαι η Ευκλείδεια απόταη, η οποία είαι ια ποότητα θετική ή ηδέ. η) Η ερηεία του τύπου που χρηιοποιεί τις υχότητες f i είαι ακριβώς όοια ε τη ερηεία που δίεται το ατίτοιχο τύπο για το έο όρο (η παρατήρηη). η) Να παρατηρήουε πως το τύπο της έης απόκλιης χρηιοποιούε απόλυτες τιές γιατί το αλγεβρικό άθροια τω διαφορώ ( i -) είαι ίο ε το ηδέ. Ιχύει δηλαδή: (x -) (x -) (x -)... (x -) Πρόκειται για ια ηατική ιδιότητα του έου όρου τη οποία αζί ε άλλες θα τη ελετήουε τη εθεπόεη παράγραφο (Β..). Προς το παρό αξίζει το κόπο α κάετε ια δοκιή για τη ιχύ της. Παράδειγα Β.. (υέχεια η...) Αφαιρώτας από τους βαθούς τω τριώ πουδατώ τη τιή του κοιού έου όρου () και παίροτας τη απόλυτη τιή του αποτελέατος καταλήγουε το επόεο πίακα: Mάθηα i - Y i - Z i - o o o o o 6o o o o o Σύολο 6 6

12 Τα αποτελέατα: Α x 6/.6 Α y 6/.6 Α z /. Τα αποτελέατα κάου φαερό το ότι οι βαθοί του Υ πουδατή είαι πολύ κοτά το έο όρο (), εώ δεύτερος ε οοιογέεια βαθώ έρχεται ο πουδατής. Πρόκειται βέβαια για κάτι που διαφαιότα από το πίακα τω αποτελεάτω, τώρα όως πιτοποιείται "επίηα" από τις έες αποκλίεις. Β... ιακύαη και τυπική απόκλιη. Έα ηατικό ειοέκτηα της έοιας της έης απόκλιης είαι η χρήη τω απολύτω τιώ το Μαθηατικό της τύπο, κάτι που υχά δυκολεύει τις πράξεις. Για το λόγο αυτό, α έτρο της διαποράς τω τιώ της τυχαίας εταβλητής γύρω από τη έη τους τιή, χρηιοποιείται υήθως ο έος όρος τω τετραγώω τω "αποτάεω" τω δεδοέω i από το αριθητικό έο. Πρόκειται δηλαδή για το έο όρο τω ποοτήτω: ( -), ( -), ( -),..., ( -) Οριός Β.. Έτω οι τιές ιας τυχαίες εταβλητής i, ε αριθητικό έο το. Οοάζουε διακύαη τω τιώ i τη ποότητα: ( ) ( )... ( ) ( ) και τυπική απόκλιη ή διαπορά τω i τη ποότητα: Εύκολα διαπιτώουε πως ότα τα αριθητικά δεδοέα διατάοται κατά κλάεις, i i,,...,κ, ο τύπος της διακύαης δίεται από τη χέη: f ( ) f ( )... f ( ) κ κ f ( )

13 όπου, α ξααθυίουε, κ είαι το πλήθος τω κλάεω και f i η υχότητα της i- οτής κλάης. Κάοτας πράξεις () τις χέεις που δίου τη διακύαη καταλήγουε τις παρακάτω χέεις, που είαι πιο εύχρητες [] : [ ]... ότα έχουε ααλυτικά αριθητικά δεδοέα τα τοιχεία του πληθυού f f... f [ f ] κ κ και ότα έχουε δεδοέα καταεηέα ε κ κλάεις. Παράδειγα Β.. (υέχεια η...) Ας επαέλθουε το παράδειγα, ε το οποίο ξεκιήαε τη τρέχουα παράγραφο. Θα επιχειρήουε α υπολογίουε τη διακύαη που έχου οι βαθοί του κάθε πουδατή γύρω από το έο όρο τους. Συβολίζουε ε i τους βαθούς του πρώτου πουδατή, Υ i τους βαθούς του δεύτερου και i τους βαθούς του τρίτου (i,,...,). Συχά διευκολυόατε τους υπολογιούς κατακευάζοτας το παρακάτω πίακα, το οποίο δίπλα από τις τιές i, Y i και Z i τις τιές i, Y i και Z i. Συβολίζοτας ε, Υ και τις τυπικές απικλίεις τω βαθώ τω ατίτοιχω πουδατώ και χρηιοποιώτας το δεύτερο τύπο της διακύαης, που βγάλαε ετά τις πράξεις, έχουε: Οι πράξεις αυτές δε παρατίθεται το ηείο αυτό για α η αποπροαατολίου τη προοχή του ααγώτη από τη ουία του προβλήατος της διακύαης τις πράξεις ε το ύβολο Σ. Επειδή όως οι πράξεις αυτές είαι ιδιαίτερα απλές, ααγράφοται το τέλος του κεφαλαίου. Το ίδιο θα υβεί και ε άλλες πράξεις, γι'αυτό υπάρχει και η χετική αρίθηη []

14 Μάθηα i i Y i Y i Z i Z i o o o o o 6o o o o o Σύολο 6 6 Αρχικά α θυίουε πως ο αριθητικός έος είαι ίος ε το (/) και τις τρεις περιπτώεις. 6 6, 6, 6 Υ Υ Υ 6, 6, Υ 6 Z Z 6 6 Τα τελικά αποτελέατα για της τυπικές αποκλίεις είαι τα παρακάτω και αξίζει α τα ατιπαραβάλουε ε τα αποτελέατα που υπολογίαε για τη έη απόκλιη, τη προηγούεη παράγραφο., Υ Υ, 6,. [Α x.6]. [Α y.6]. [Α z.]

15 Παρατηρήεις: η) Έτω οι τιές της τυχαίας εταβλητής i, τα άτοα εός πληθυού και χ ο αριθητικός έος τους. Είαι φαερό πως ο έος όρος έχει τόο εγαλύτερη αξία και φυική ηαία, όο πιο "κοτά" το έο όρο καταέοται οι τιές i. Έτι, η δήλωη πως ο Υ πουδατής είαι έας πουδατής του, αποδίδει ικαοποιητικά τη πραγατικότητα και αποτελεί έα επαρκή χαρακτηριό τω επιδόεω του ε λόγω πουδατή. Ατίθετα, η δήλωη πως ο πουδατής είαι επίης πουδατής του, δε αποδίδει τη πραγατικότητα, ε αποτέλεα η αξία της (η αξία δηλαδή του αριθητικού έου τη περίπτωη αυτή) ά'αι ικρή. η) Η διακύαη ( ) και η τυπική απόκλιη () είαι δύο παράετροι που δίου τη ηατικότητα του έου όρου. Με τη βοήθεια τω παραέτρω αυτώ η επιτροπή υποτροφιώ απέειε τη υποτροφία για το επόεο πουδατικό έτος το πουδατή Υ. Επιλαχώ επιλέχτηκε ο πουδατής. η) Αξίζει α ηειώουε πως οι οάδες τις οποίες εκφράζεται η διακύαη ( ) είαι οι οάδες τω τιώ της τυχαίας εταβλητής, υψωέες το τετράγωο. Ατίθετα η τυπική απόκλιη () είαι ία παράετρος που εκφράζεται ε οάδες όοιες 'αυτές που χρηιοποιούται τις τιές της τυχαίας εταβλητής i. η) Αποδεικύεται εύκολα [] πως η έη απόκλιη είαι πάτα ικρότερη ή ίη ε τη τυπική απόκλιη. Παράδειγα Β.. (υέχεια η...) Ξααγυρίζοτας, για ια ακόη φορά, το παράδειγα Β.., πάτα το πίακα που αφορά τα κορίτια (πι.β.), υπολογίζουε τις ποότητες που ζητά ο τύπος της διακύαης, ξεκιώτας ως υήθως από τα ααλυτικά δεδοέα. Βέβαια έχουε ήδη υπολογίει τη παράγραφο που περιέγραφε το αριθητικό έο ($ Β..) τη έη τιή τω δεδοέω αυτώ: (Σ i )/ / 6.66 Η επόεη ποότητα που ας χρειάζεται είαι το άθροια τω τετραγώω τω υψώ τω κοριτιώ. Έχουε λοιπό

16 6 Σ i , Ατικαθιτώτας τις πιο πάω ποότητες το τύπο της διακύαης έχουε: εδοέα κατά κλάεις: Πηγαίοτας τώρα το πίακα υχοτήτω του παραδείγατος Β.. (και πάλι για τα κορίτια) και ε δεδοέη τη τιή του έου όρου που υπολογίτηκε τη ατίτοιχη παράγραφο, έχουε για τη διακύαη: (Σf i i )/ / 6, [ f ] * *6 *6 * 66. * 6 6,6 Παρατηρούε πως εώ η χρήη του πίακα υχοτήτω το υπολογιό του αριθητικού έου, δε επηρεάζει ιδιαίτερα τη ακρίβεια του αποτελέατος, ατίθετα, το υπολογιό της τυπικής απόκλιης, το φάλα είαι αρκετά ηατικό. Βέβαια είαι προφαές πως τα αποτελέατα τω ααλυτικώ δεδοέω είαι και τα ακριβή.

17 Β... Ιδιότητες του αριθητικού έου και της τυπικής απόκλιης. Μεταχηατιοί. Οι ιδιότητες που ααφέροται τη υέχεια αποδεικύοται ε ευκολία. Η απόδειξή τους όως υπάρχει το τέλος του κεφαλαίου, ακολουθώτας πάτα τη αρίθηη της παραποπής. η) Το άθροια τω αλγεβρικώ αποτάεω της κάθε τιής i, από το έο όρο, είαι ίο ε το ηδέ: ( -) ( -) ( -)... ( -) Πρόκειται για ία βαική ιδιότητα του έου όρου. Η ερηεία της αρκετά απλή: Μια και ο έος όρος είαι, ας πούε, το "κέτρο" τω τιώ i, οι αλγεβρικές αποτάεις (κάποιες θετικές και κάποιες αρητικές) αλληλοααιρούται []. η) Η διακύαη και η τυπική απόκλιη τω τιώ ιας τυχ.εταβλητής i, γύρω από τη έη τους τιή χ είαι ποότητες εγαλύτερες ή ίες ε το ηδέ. Μάλιτα είαι ακριβώς ίες ε το ηδέ ότα οι τιές i είαι όλες ίες εταξύ τους ( i c για κάθε τιή του i), περίπτωη κατά τη οποία και ο έος όρος τω τιώ i είαι ίος ε το c. Πράγατι ιχύου τα παρακάτω:... c c.. c c c ( ) ( )... ( ) (c c) (c c)... (c c) Πρόκειται για έα κλάα, που ο αριθητής του είαι άθροια τετραγώω (θετικός) και ο παροοατής είαι φυικός. Άρα το θά'αι πάτα θετικό. η) Έτω η τυχαία εταβλητή i, i,,..,, ε έη τιή το χ και τυπική απόκλιη το χ. Τώρα τις τιές i προθέτουε το ίδιο ταθερό πραγατικό αριθό c, ή τις πολλαπλαιάζουε ε τη ταθερά c. Tότε οι τυχ. εταβλητές Y i και Τ i που προκύπτου είαι οι: Y i i c, i,,..., Τ i c i, i,,...,

18 Οι τυχαίες εταβλητές που προκύπτου ε πράξεις α τις προηγούεες λέγοται υχά και εταχηατιοί τω τιώ i. Οι ιδιότητες τω εταχηατιώ είαι ηατικές και ιδιαίτερα χρήιες. Oι ατίτοιχες έες τιές και τυπικές αποκλίεις εφαίζοται το πίακα () : Τυχ.εταβλητή i Υ i i c Τ i c i Υ c Τ c Υ Τ c Τ Αξίζει α προπαθήουε α ερηεύουε το πρώτο από τους δύο αυτούς εταχηατιούς. Προθέτοτας τη ταθερή ποότητα c τις τιές i, τις ετακιούε κατά c. Υ Υ Υ Υ Υ c Είαι εύκολο λοιπό α διαπιτώει καείς πως και ο έος έος όρος θα είαι ατίτοιχα ετακιηέος. Επειδή όως η χετική θέη τω τιώ Υ i γύρω από το έο όρο τους ( Υ ) παραέει ακριβώς η ίδια, η τυπική απόκλιη Υ είαι ίδια ε τη ατίτοιχη τω τιώ () i. Σκεφθείτε α παράδειγα τις τιές: i, 6, και Y i i, 6, η) Τα δύο κέλη της προηγούεης ιδιότητας πορού, υδυαζόεα α δώου ιδιαίτερα χρήιες χέεις. Έτω λοιπό: i) η τυχαία εταβλητή i, οι τιές της οποίας έχου έο όρο το και τυπική απόκλιη το, και ii) οι ταθερές α και β. Για τη απόδειξη τω χέεω αυτώ βλέπε το τέλος του κεφαλαίου []. Να θυηθούε πως η τυπική απόκλιη είαι έα έτρο για το πώς καταέοται οι τιές Υ i γύρω από το έο όρο τους Υ.

19 Θα εξετάουε τους δύο ηατικούς εταχηατιούς: Y i α i β και Με τη βοήθεια τω χέεω του προηγούεου πίακα αποδεικύουε τη πρώτη, και ε τη βοήθεια της πρώτης τη δεύτερη (6). Z i i α β Τυχ.εταβλητή i Υ i α i β Υ α β Υ α Z i i α β β α β Συχά το τελευταίο εταχηατιό: Z i ( i -α)/β θέτουε: α x και β x οπότε ιχύει και, κάτι που θα κάουε κατ' επαάληψη τη υέχεια η) Έτω οι τιές i, ιας τυχ.εταβλητής, ε έα πληθυό Ω αποτελούεο από τοιχεία. Ας υποθέουε τώρα πως ο ε λόγω πληθυός αποτελείται από τρείς υποπληθυούς Ω, Ω και Ω, τα τοιχεία τω οποίω δίοται το παρακάτω πίακα: 6 Η απόδειξη για τις παραέτρους του εταχηατιού Y i α i β, είαι ιδιαίτερα απλή, είτε γίει ε πράξεις, είτε ε τη βοήθεια τω χέεω της ης ιδιότητας. Αξίζει ίως α γίει από το ααγώτη. Τέλος, κεφθείτε πως ο εταχηατιός: i α α Z i γράφεται Z i i της ορφής i κ i λ β β β

20 πλήθος τοιχείω έη τιή τυπική απόκλιη Ω Ω Ω και όπου βέβαια. Τότε ο έος όρος και η διακύαη του πληθυού δίοται, α υαρτήεις τω ατίτοιχω παραέτρω τω υποπληθυώ, από τις χέεις: ( ) ( ) ( ) [] Παρατήρηη: Οι τύποι αυτοί πορού α γραφού και για δύο αλλά και για περιότερους από τρείς υποπληθυούς του βαικού πληθυού. 6η) Στη τελευταία αυτή ιδιότητα θα ατιετωπίουε τη τυπική απόκλιη κάτω από έα άλλο πρία, το οποίο θα γίει πιο καταοητό ότα θα ιλήουε για τη Καοική Καταοή. Ας υποθέουε λοιπό πως έχουε τη τυχ.εταβλητή i, τα -τοιχεία εός πληθυού. Πολύ υχά εξετάζουε το ποοτό τω ατόω του πληθυού για τα οποία η τιή i αήκει ε κάποιο διάτηα. Για παράδειγα, θα ας εδιέφερε α γωρίζουε πως το 6 % τω πουδατριώ έχει ύψος από cm έως 6 cm. Είαι βέβαια γωτός ο τρόπος ααγραφής τέτοιω διατηάτω ε τη βοήθεια τω παρεθέεω: (, 6). Συχά χειριζόατε διατήατα ε κέτρο το έο όρο. διάτηα ε κέτρο το και ακτία το ταθερό ήκος d, γράφεται: (-d, d). Βέβαια το υολικό του ήκος (η διάετρός του) είαι d. Έα τέτοιο Σε πολλές περιπτώεις (όχι πάτα), το ποοτό τω τοιχείω του πληθυού για τα οποία η έτρηη i αήκει ε διάτηα της ορφής (-r, r), ε κέτρο δηλαδή το και ακτία r φορές το, πορεί α εκτιηθεί από τη τιή του r.

21 Σχ.Β.. Ραβδόγραα καταοής της υχότητας ε εγάλο αριθό κλάεω, έτι ώτε η γωτή «καλίτα» α ατικαθίταται ε ία καπύλη, και το υετρικό, ως προς το, διάτηα (-r, r). Όπως θα δούε ααλυτικά το κεφάλαιο τω υαρτήεω καταοής της πιθαότητας, ε έα ραβδόγραα, το εβαδό Ε πορεί α υβολίζει το ποοτό τω τοιχείω του πληθυού για τα οποία η έτρηη i βρίκεται το διάτηα: (-r, r) (). Από το επόεο πίακα βλέπουε πως ε πολλές περιπτώεις το ποοτό τω τοιχείω του πληθυού, ε έτρηη που αήκει το διάτηα (-,), είαι %. Περιοχή για τη τιή i (-, ) r (-, ) r (-, ) r Ποοτό του πληθυού 6 % %. % Σύφωα ε τα προηγούεα, εά έας πληθυός πουδατριώ έχει έο όρο ύψους 6 cm, και τυπική απόκλιη 6 cm, τότε το % τους θα αήκει το διάτηα : (-,) (6-*6, 6*6) (,6) πράγα που άλλο ιχύει... Εά κεφθείτε λίγο τη παρατήρηη αυτή, θα διαπιτώετε πως υβολίζοτας ε το εβαδό Ε το ποοτό του διατήατος (-r,r), τότε το υολικό εβαδό αάεα το άξοα τω και τη καπύλη υχοτήτω είαι ίη ε το %.

22 Παράδειγα Β.. ίοται οι παρακάτω αριθοί: i,6,, και για i,,... i) Να υπολογιθού η έη τιή χ και η τυπική τους απόκλιη χ. ii) Αφαιρώτας από το κάθε έα από τους αριθούς αυτούς το, υπολογίτε ία έα -άδα αριθώ Υi, i,,... Υπολογίτε τη έη τιή y και τυπική απόκλιη y τω Υi. Τί παρατηρείτε; iii) Υπολογίτε τέλος τις τιές i Yi/ y, για i,,..., τη έη τους τιή z και τη απόκλιή τους z. 6 i) ( ) (6 ) ( ) ( ) ( ) ii) Y i i - χ i - -,-,,, για i,,... Υ Υ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Υ Βέβαια τα αποτελέατα αυτά ήτα ααεόεα, ύφωα ε τη η ιδιότητα της προηγούεης παραγράφου. Πράγατι οι τιές Y i προκύπτου απ'τις i, ότα προθέτουε 'αυτές τη ταθερή c- χ. Εποέως θα ιχύου οι ιότητες: y χ c χ - χ Υ

23 iii) Θα απατήουε και αυτή τη ερώτηη ε τη βοήθεια, και πάλι, της ης ιδιότητας της προηγουέης παραγράφου, χωρίς α κάουε ααλυτικά τις πράξεις. Αρχικά α καταγράψουε τις τιές i : Z Yi,,,, για i i Υ,,..., οι οποίες προκύπτου από τις τιές τω Υ i, ότα αυτές πολλαπλαιάζοται ε τη ταθερά c / Υ /. Άρα θα ιχύου οι ιότητες: c Υ Υ / Υ / c Υ (/ )* Παρατήρηη: Να παρατηρήουε πως εά τις ετρήεις i τις διαιρέουε ε τη τυπική τους απόκλιη, οι έες τιές που προκύπτου έχου τυπική απόκλιη τη οάδα. Αυτό είαι βέβαια ααεόεο από τη η ιδιότητα της προηγουέης παραγράφου. Η φυική ηαία όως αυτής της επιήαης λέει πως ότα διαιρούε τις ετρήεις i, ε τη τυπική τους απόκλιη, τότε υβαίου τα εξής: (α) οι έες τιές που προκύπτου είαι καθαροί αριθοί (δε έχου οάδες, ια και οι ετρήεις i και η τυπική απόκλιη έχου τις ίδιες οάδες), (β) οι έες τιές ετριούται ουιατικά ε οάδα έτρηης τη τυπική απόκλιη (ε τη οποία διαιρέαε). Παράδειγα Β.. Το Β' εξάηο εός τήατος τω Τ.Ε.Ι αποτελείται από πουδατές, από τους οποίους οι προέρχοται από τα Γεικά Λύκεια και οι από τα Τεχικά. Η τελική βαθολογία του τήατος το άθηα τω Μαθηατικώ ΙΙ δίεται από το διπλαό πίακα: i) Να υπολογιθού, ο έος όρος και η τυπική απόκλιη του κάθε υποπληθυού, Βαθοί i,,, 6,,,, Όρια Κλάης Απόφοιτοι Γ.Λ. ii) Να υπολογιθού οι ίδιες παράετροι, για το ύολο του πληθυού. 6 Απόφοιτοι Τ.Ε.Λ.

24 i) Για τους αποφοίτους τω ΓΕ.Λ. έχουε: *, *,... *, *, *,... *,,,6,, Όοια για τους αποφοίτους τω Τ.Ε.Λ. έχουε: *, *,... *,66 *, *,... *,66,,6,6,6 ii) Με τη βοήθεια τω χέεω της ης ιδιότητας, της προηγουέης παραγράφου, υπολογίζουε τη έη τιή και τη τυπική απόκλιη του πληθυού: *, *,666, ( ) (,,), ( ) (,666,) *, *,6,,6

25 B... Ο Μεταχηατιός i. Η παράγραφος αυτή αποτελεί υτηατοποίηη τω όω ειπώθηκα τη προηγούεη παράγραφο Β... Αφορά έα υγκεκριέο εταχηατιό ο οποίος, πέρα του ότι ας διευκολύει υχά τις πράξεις, αποτελεί τελικά έα απαραίτητο εργαλείο τη καταόηη της Καοικής καταοής της Πιθαότητας (ιδιαίτερα ηατικό κεφάλαιο της Στατιτικής). Οριός Β.. Έτω η τυχαία εταβλητή i, i,,..., ε έη τιή x και τυπική απόκλιη x. Οι τιές: Z i i λέγοται τυπικές τιές που ατιτοιχού τις τιές i. Παρατηρήεις: η) Με βάη τα όα ειπώθηκα τη προηγούεη παράγραφο (Β..) αλλά και το παράδειγα Β., έχουε πως οι -τιές έχου έη τιή το ηδέ και τυπική απόκλιη τη οάδα. ηλαδή: z και z η) Oι τιές i είαι καθαροί αριθοί (απαλλαγέοι από τις οάδες τω τιώ i, όπως είδαε τη παρατήρηη του Παραδείγατος Β..). Συχά καλούται και τυπικές τιές τω τιώ i. η) Η τυχαία εταβλητή i είαι ια τυχαία εταβλητή που διατηρεί απόλυτα τη "φόρα" της τυχαίας εταβλητής i. Η διατήρηη της "φόρας" γίεται φεερή από τα διαγράατα τω υχοτήτω: Εά "πρώξουε" το διάγραα τω τιώ i, έτι ώτε α έχει έη τιή το και, τη υέχεια υιοθετήουε α οάδα το άξοα τω κλάεω τη τυπική απόκλιη, τότε προκύπτει το διάγραα τω τιώ i.

26 6 fi -s s m - s m m s Σχ.Β.. Η καταοή τω τυπικώ τιώ είαι ακριβώς η ίδια ε αυτή τω τιώ. Μόο που η καπύλη, χωρίς α εταβάλλει τη ορφή της, ετακιείται το κέτρο τω αξόω και έχει οάδα το άξοα τω κλάεω το (). B..6. Υπολογιός της έης τιής και της διακύαης ε τη βοήθεια τω Μεταχηατιώ. Οι εταχηατιοί ας επιτρέπου α αποφύγουε τη χρήη πολύ εγάλω αριθώ, κατά το υπολογιό του αριθητικού έου και της διακύαης κάποιω τιώ i. Aς επιτρέψουε, για άλλη ια φορά το παράδειγα Β. και ας υπολογίουε το έο όρο και τη τυπική απόκλιη τω υψώ τω 6 έω. Παίροτας λοιπό τα τοιχεία του κοιού πίακα (αγοριώ και κοριτιώ), κατακευάζουε το διπλαό πίακα, που θα ας βοηθήει το υπολογιό τω και. Έχουε λοιπό: i f i f i i f i i f Σύολο 6, 6

27 f 6, 6,,,6 Παρατηρούε πως οι τιές που προκύπτου το άθροια τω τετραγώω είαι ιδιαίτερα εγάλες, τόο που ίως α είαι προτιότερο α υπολογίουε τη διακύαη από το τύπο: [Σf i ( i -) ]/ η λύη: Το πρόβληα γίεταιv απλούτερο εά από κάθε τιή i αφαιρέουε ία τιή, έτι ώτε οι τιές i α ειωθού αιθητά. Επααλαβάουε το προηγούεο υπολογιό, ε τις έες τιές (Y i ), διορθώοτας το τέλος τα αποτελέατα. Στο διπλαό λοιπό πίακα οι έες τιές προκύπτου από τις ε τη αφαίρεη του (το οποίο είαι η πρώτη τιή τω ). Έχουε λοιπό: f Y Y Y f Y 6 Y, 6, 6, Y i i - f i f i Y i f i Y i Σύολο 6,,6 Από τις τιές i αφαιρέαε τη τιή. Σύφωα ε τη η ιδιότητα της παραγράφου Β.., ο έος όρος τω τιώ Y i θα είαι ικρότερος κατά απ'αυτό τω τιώ, εώ οι δύο τυπικές αποκλίεις θα είαι ίες. ιορθώοτας λοιπό τις τιές έχουε: Υ.. και Υ.6 Όπως διαπιτώουε υγκρίοτας τα αποτελέατα 'αυτά του προηγούεου υπολογιού, είαι ακριβή.

28 η λύη: Η τρίτη λύη, που είαι και η πλέο εύκολη και χρήιη, τηρίζεται το εταχηατιό: Z α όπου το α ιούται ε τη τιή της εαίας κλάης (α), και το β ε το εύρος ε τω κλάεω. Έχουε λοιπό: Z και ε το εταχηατιό αυτό παίρουε το διπλαό πίακα τιώ, που περιέχει και τις ικρότερες τιές. β i f i f i i f i i Σύολο - Z f Z. 6 Y f Z Z 6 (.)...66 Στη παράγραφο Β... διότα ο έος όρος απ το. Τώρα, λύοτας τη χέη αυτή ως προς, βρίκουε τη χέη: οπ ό τε ε * α β εαο β * α ί * (,), όοια απ τη ατίτοιχη χέη για τις τυπικές αποκλίεις έχουε: β * β οπ ό τε ε * *,66 \,6 Για άλλη ια φορά υπολογίαε τις παραέτρους και τω τιώ i, αλλά ε πολύ ευκολότερες πράξεις.

29 Παρατήρηη: Ο εταχηατιός i χρηιοποιείται ότα το εύρος ε τω κλάεω διατηρείται ταθερό και τις κ-κλάεις. Η επιλογή όως τω τιώ τω παραέτρω α και β του εταχηατιού εξαρτάται από το κ. Ιχύει λοιπό ο γεικός καόας: κ Το α ιούται ε τη εαία κλάη. περιττός Το β ιούται ε το κοιό έυρος τω κλάεω ε. άρτιος Το α ιούται ε το ηιάθροια τω εαίω κλάεω. Το β ιούται ε το ήιυ του κοιού εύρους (ε/). Β... Συτελετής εταβλητότητας. Με το υτελετή εταβλητότητας γίεται ία προπάθεια α εκτιηθεί το έγεθος της τυπικής απόκλιης τω τιώ i, όχι ε απόλυτες τιές αλλά ε χέη ε το έγεθος της έης τιής τω δεδοέω. Οριός Β.. Έτω οι (θετικές) ετρήεις i, ε έη τιή το και τυπική απόκλιη. Οοάζουε υτελετή εταβλητότητας έα καθαρό αριθό, που προκύπτει από το λόγο της τυπικής απόκλιης, προς το έο όρο τω ετρήεω. CV Συχά ο υτελετής εταβλητότητας υπολογίζεται α ποοτό επί τοις εκατό: CV (%) Παρατηρήεις: η) Ο υτελετής εταβλητότητας δίει, ε τελική αάλυη, τη ηατικότητα της τυπικής απόκλιης, ε χέη ε το έγεθος τω ετρήεω τις οποίες ατιτοιχεί (ατιπρόωπος τω οποίω είαι ο έος τους όρος).

30 η) Έτω οι δύο τυχ.εταβλητές i και Y i, οι οποίες ατιτοιχού ε δύο διαφορετικούς πληθυούς. Οι τυπικές αποκλίεις και Υ, δε είαι υγκρίιες, διότι δε ετριούται ε τις ίδιες οάδες. Ατίθετα οι υτελετές CV() και CV(Y), α καθαροί αριθοί (Απαλλαγέοι από τις οάδες τω ετρήεω i καιy i ), είαι απόλυτα υγκρίιοι. η) Ο υτελετής εταβλητότητας CV() δε έχει φυική ηαία εά οι ετρήεις i δε είαι όλες θετικοί αριθοί. Παράδειγα. Εξετάαε τους γωτότερους ατοφαιρικούς κιητήρες παραγωγής τω αυτοκιήτω, ε κυβιό cm, ως προς τη ιπποδύαη. Στη υέχεια κάαε το ίδιο για τους γωτότερους τω cm. Ο έος όρος και η τυπική απόκλιη της ιπποδύαης τω ικρώ κιητήρω βρέθηκα:. και.. ίπποι Din. και τω εγάλω κιητήρω:, και,. ίπποι Din. Σε ποιό κυβιό η ιπποδύαη τω κιητήρω έχει εγαλύτερη χετική διαπορά; Ο υτελετής εταβλητότητας (που υχά λέγεται και υτελετής χετικής διαποράς) δίει ια ικαοποιητική απάτηη το προηγούεο ερώτηα. Έχουε λοιπό: CV(.) CV(.)...%.% Παρατηρούε πως η απόδοη τω εγάλω κιητήρω είαι πιο οοιογεής απ αυτή τω ικρότερω κιητήρω.

31 Β.. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΙΓΜΑΤΩΝ. Β... Γεικά. Σύφωα ε τα όα έχουε πει ήδη για τα δείγατα και τη δειγατοληψία, το πρώτο κεφάλαιο τω ηειώεω αυτώ, έχουε πάρει ια ιδέα για τη χρηιότητα τω δειγάτω. Ας αακεφαλαιώουε: Έτω έας πληθυός Ω, αποτελούεος από τοιχεία και ία τυχαία εταβλητή i, της οποίας ας εδιαφέρου οι τιές, τα τοιχεία του πληθυού. Το κύριο (και καίριο) πρόβληα που ατιετωπίζουε είαι το α προδιορίουε τις δύο παραέτρους που εκφράζου, ε τρόπο ικαοποιητικό, τη υπεριφορά της τυχ. εταβλητής τα τοιχεία του πληθυού. Πρόκειται βέβαια για τη έη τιή () και τη διακύαη ( ) ή τη τυπική απόκλιη (), τω τιώ i. Η έλλειψη όως χρόου, χρηάτω ή άλλω παραγότω δε επιτρέπου τη καταέτρηη της τιής της τυχ.εταβλητής, 'όλα τα τοιχεία του πληθυού. Είατε λοιπό υποχρεωέοι α προεγγίουε τις τιές και ε τη βοήθεια τω ετρήεω που θα διεεργήουε 'έα δείγα από το υολικό πληθυό. Β... Αερόληπτες δειγατικές εκτιήτριες παράετροι. Μία παράετρος του δείγατος που προεγγίζει το έο όρο (ή τη διακύαη) του πληθυού λέγεται αερόληπτη εκτιήτρια του έου όρου (ή της διακύαης). Τίθεται λοιπό το ερώτηα: "Τί ηαίει πως ία παράετρος προεγγίζει τη τάδε παράετρο του πληθυού;" Ας δούε τα επόεα... Έτω ο πληθυός τω τοιχείω και έα δείγα κ τοιχείω. Ορίζουε τη υέχεια όλα τα δυατά δείγατα (χρηιοποιώτας τη δειγατοληψία ε επαάθεη) τω κ τοιχείω, τω οποίω το πλήθος δίεται από τη χέη της παραγράφου Α... Πλήθος δειγάτω Κ κ ( ε κ ) Στο κάθε έα απ'αυτά τα δείγατα ορίζουε ία παράετρο χ, τη οποία οοάζουε έη τιή του -οτού δείγατος. Έχουε εποέως Κ τέτοιες παραέτρους τις οποίες οοάζουε δειγατικούς έους. Εά ο έος όρος τω Κ δειγατικώ έω τιώ είαι ίος ε το έο όρο του πληθυού, τότε λέε πως η ε λόγω δειγατική παράετρος είαι αερόληπτη εκτιήτρια για το έο όρο του πληθυού.

32 Οριός Β.. Αποδεικύεται () πως οι δειγατικές παράετροι x και s, οι οποίες ορίζοται από τις παρακάτω χέεις, είαι αερόληπτοι εκτιητές του αριθητικού έου () και της διακύαης ( ) του πληθυού. ( ) ( ) ( ) x... x... x x s... x δ δ δ δ δ δ δ δ όπου δ είαι το πλήθος τω τοιχείω του δείγατος (). Ότα τα δεδοέα δίοται καταταγέα ε κλάεις οι προηγούεες χέεις γίοται: ( ) ( ) ( ) x f... f f x f... x f x f s f... f f x δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ όπου δ είαι πάτα το πλήθος τω τοιχείω του δείγατος. Προκύπτει τη υέχεια το εξής ερώτηα: Οι παράετροι x του κάθε δείγατος έχου, ως γωτό, έο όρο τη έη τιή του πληθυού, όως ποιά είαι η διακύαή τους γύρω από το ; Σα απάτηη έχουε το επόεο ηατικότατο οριό. Η απόδειξη της πρόταης αυτής υπάρχει ε αρκετά υγγράατα Στατιτικής. π.χ. τη Εφαροέη Στατιτική του.π.ψωιού (-Εκδόεις ήτη). Ο δεύτερος τύπος για τη διακύαη (όπως και ο ατίτοιχος τους επόεους τύπους που ιχύου για δεδοέα ε κλάεις) προκύπτου όπως και ο ατίτοιχος τύπος: Σ( i )/ -.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις

Διαβάστε περισσότερα

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = = Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο 65-69 67,5 9,5 70-7 6 7,5,5 75-79

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ ΣΤΕΛΙΟΣ ΖΗΜΕΡΑΣ Σάος 3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ...3. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΑΝΑΛΥΤΗΣ...3.

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Ασκήσεων για το μάθημα Στατιστική ΙΙ Έλεγχος Υποθέσεων ( , )

Λύσεις Ασκήσεων για το μάθημα Στατιστική ΙΙ Έλεγχος Υποθέσεων ( , ) Λύεις Ακήεω για το άηα Στατιτική ΙΙ Έλεγος Υποέεω -, - Μ Κούτρας ΜΜπούτικας Λύεις Ακήεω Κεφαλαίου Παρ 6 Άκηη Έτω έα τυαίο δείγα εγέους από ια καταοή ε υάρτηη πυκότητας f ;, < < Για το έλεγο της υπόεης

Διαβάστε περισσότερα

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούε ε το ορισό και τις στοιχειώδεις ιδιότητες τω πιάκω, που είαι ορθογώιες παρατάξεις αριθώ ή άλλω στοιχείω Οι πίακες εφαίζοται στη θεωρία τω γραικώ συστηάτω,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΚΤΕΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΣΤΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ

ΔΕΙΚΤΕΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΣΤΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Διατηατικό Πρόγραα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Μαθηατικά των Υπολογιτών και των Αποφάεων» ΔΕΙΚΤΕΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΣΤΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ Μεταβαλλόενες διαπορά έη τιή Μεταβαλλόενη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 2 Στατιστική ανάλυση ακραίων παρατηρήσεων

ΚΕΦ. 2 Στατιστική ανάλυση ακραίων παρατηρήσεων ΚΕΦ. Στατιτική ανάλυη ακραίων παρατηρήεων οντέλα ερηνείας εκτιήεων - προβλέψεων ακραίων υβάντων ε βάη πραγατικά δεδοένα Θα προπαθήουε ε βάη ιτορικά δεδοένα και όνο να δώουε απαντήεις ε ερωτήεις της ορφής:

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ας απασχολήσουν έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων που αναφέρονται στις έσες τιές και αναλογίες πληθυσών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

12. Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων

12. Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Έας έος τύπος τιγάρω βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Α το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καποβιομηχαίας παραγωγής, εδιαφέρεται α γωρίζει τη μέη ποότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Σημειακή εκτίμηη και εκτίμηη με διάτημα Εκτιμήτριες υαρτήεις και μέθοδοι εκτίμηης Σημειακή εκτίμηη Ιδιότητες τω εκτιμητριώ 3 Εκτίμηη με διάτημα Διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού Ο πληθυμός

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance)

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance) Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς ε έναν παράγοντα Oe wy yss of Vrce Σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουε ένα ειδικό πρόβληα γραικής παλινδρόησης το ο- ποίο εφανίζεται αρκετά συχνά στις εφαρογές. Συγκεκριένα θέλουε

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο .Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ,

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Εισαγωγικό Κεφάλαιο: Ρητοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 0 Υποεότητα 1: Βασικές Επααληπτικές Έοιες (Επααλήψεις-Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες: 1. Ρητοί αριθµοί-βασικές επααληπτικές έοιες.. Πρόσθεση ρητώ αριθµώ. 3. Άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος.

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύεται σε κάθε συάδελφο Μαθηματικό, αλλά κυρίως σε κάθε έο συάδελφο που πρόκειται α συμμετάσχει στο διαγωισμό του Α.Σ.Ε.Π. Επίσης, απευθύεται σε μαθητές με υψηλούς

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ 1 01 Θετικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 02 Αρητικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 03 Το ηδέ είι θετικός ριθός. 04 Οόσηοι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. ιδάσκων: ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. ιδάσκων: ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 22-23 ιδάκων: Βαίλης ΚΟΥΤΡΑΣ ιδάκων ε ί Συβάει Π. 47/8 v.koutrs@fe.ege.gr Τηλ: 22735457 Σε

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικών ( αν) ν αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα & αντιπαραδείγµατα.

Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικών ( αν) ν αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα & αντιπαραδείγµατα. Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικώ ( α) µε ατιπροσωπευτικά παραδείγµατα & ατιπαραδείγµατα. Ιωάης Π. Πλατάρος, Μαθηµατικός, Καπετά Κρόµπα 37, Τ.Κ. 24 2 ΜΕΣΣΗΝΗ, ηλ./ταχ. Plataros@sch.gr

Διαβάστε περισσότερα

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Ο όρος Στατιστική εδεχομέως α προέρχεται από τη λατιική λέξη status (πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικώ δεδομέω που ααφέροται κυρίως στο

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ 2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α- Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ = Ο. Μαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού. Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού.

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ = Ο. Μαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού. Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού. ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Μαγνητικό πεδίο είναι ο χώρος που έχει την ιδιότητα να ασκεί αγνητικές δυνάεις σε κατάλληλο υπόθεα (αγνήτες, ρευατοφόροι αγωγοί ) Το αγνητικό πεδίο το ανιχνεύουε ε την βοήθεια ιας αγνητικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Οι Πραγματικοί Αριθμοί Α1 Να τοποθετήσετε σε φθίουσα σειρά τους αριθμούς: 01 0 15, 0 15,, 01 5 5 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 4 1 A Να ρεθού το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ

ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ Δρ Χαράλαμπος Π Στρουθόπουλος Καθηγητής ΣΕΡΡΕΣ, ΜΑΡΤΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 2 ο. Στατιστική

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 2 ο. Στατιστική Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Κεφάλαιο Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Γˊ Λυκείου Κεφάλαιο ο Στατιστική ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστική είαι έα σύολο αρχώ και μεθοδολογιώ για: το σχεδιασμό της

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 327 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Κατασκευή καοικώ πολυγώω Η διαδικασία κατασκευής εός καοικού πολυγώου µε πλευρές (καοικό -γωο) ακολουθεί τα εξής βήματα: 1ο Βήμα: 3 Υπολογίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! taexeiola.blogspot.com 6 ο ΥΜΝΑΣΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΞΗ Β' ΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΡΟΔΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x)

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x) taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f() S + +, R όπου η μέση τιμή και S > η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος μεγέθους Α η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 1 Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) 3 3 3 0 15 8 3 Α= + + 3 5 3 9 Πρόβλημα Δίεται

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α) Λάθος (βλέπε σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου, Το σωστό

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα