Kateri logični shemi imajo matematični izreki? Matematični izreki imajo logično zgradbo implikacije(a=>b) ali zgradbo ekvivalence(a b)

Transcript

1 Matematika za inženirje 1 Vprašanja iz uvodnega poglavja Zapišite,kdaj je pravilna katera od logičnih operacij: disjunkcija, konjunkcija, implikacija in ekvivalenca. -Disjunkcija je pravilna (vsaj ena pravilna izjava), nepravilna(obe nepravilni),(a ali b) -Konjunkcija je pravilna (obe izjavi pravilni), nepravilna (ena)(a ali b) -Implikacija nepravilna ko iz pravilne sledi nepravilna, vse drugo je pravilno(a=>b) -Ekvivalenca je pravilna samo takrat (obe izjavi, enako pravilni vrednost)(a b) Kateri logični shemi imajo matematični izreki? Matematični izreki imajo logično zgradbo implikacije(a=>b) ali zgradbo ekvivalence(a b) Zapišite pravilnostni tabeli logičnih operacij implikacije in ekvivalence. a b a=>b a b a b nis V zvezi z operacijama implikacije in ekvivalence pojasnite pojme: zadosten, potreben in natančen pogoj. Implikacija(a=>b) tolmačimo tudi: -Veljavnost trditve a je zadosten pogoj za veljavnost trditve b. -Veljavnost trditve b je (nujno) potreben pogoj za veljavnost trditve a. Ekvivalenco(a b) tolmačimo tako: -Veljavnost trditve a je (nujno) potreben in hkrati tudi zadosten pogoj za veljavnost trditve b. Zapišite logično shemo dokazovanja matematičnih izrekov, ki imajo zgradbo ekvivalence. (a b) [(a=>b)in(b=>a)] Izjavi sta ekvivalentni natanko takrat ko iz prve sledi druga in obratno. Zapišite dve logični shemi dokazovanja matematičnih izrekov, ki imajo zgradbo implikacije. -(a=>b) (-b=>-a)(izrek o kontrapoziciji) Iz a sledi b je enakovredno iz b sledi a. -(a=>b) [(a in b)] => (c in c)] (metoda dokazovanja s protislovjem) Opišite razliko med definicijo in (matematičnim) izrekom. -Definicija je samo dogovor o poimenovanju (ni potrebno dokazovati) -Izrek ali teorem pa je trditev(potrebno dokazovati ali izpeljati i predpisanih definicij)

2 Razložite, kaj pomeni izjava: racionalna števila so»povsod gosta«. Ali so povsod goste naslednje množice: naravna števila, cela števila, iracionalna števila, realna števila? -Trditev >> racionalna št. so povsod gosta<< pomeni da med poljubnima različnima številoma (a in b) leži vsaj še eno racionalno število (c: a<c<b) -Naravna, cela števila niso povsod gosta, iracionalna in realna pa so. Kako se v decimalnem zapisu predstavijo racionalna in kako iracionalna števila? Racionalna kot periodičnem decimalnem številu. Iracionalno število kot neperiodično decimalno število Kaj je algebrsko in kaj transcendentno število? Algebrsko število je rešitev neke polinomske enačbe. Transcendentno število je takšno realno število, ki ni rešitev tovrstne polinomske enačbe. Zapišite definiciji zgornje meje in natančne zgornje meje podmnožice realnih števil. Kdaj rečemo, da je podmnožica realnih števil omejena? Število M je zgornja meja množice A natanko takrat, ko je vsako število x iz množice A manjše ali kvečjemu enako število M. Če to obstaja je množica A navzgor omejena. Natančna zgornja meja ali supremum (navzgor omejena) množica A je najmanjša izmed njenih zgornjih mej. Oznaka za supremum množice A: M=supA Zapišite definicijo in lastnosti absolutne vrednosti realnih števil. Absolutna vrednost realnega števila x je enaka x, če je število x pozitivno ali enako 0 in je enaka x, če je število x negativno. Lastnosti: a b = a b a + b a + b trikotniška neenakost a b [a] b Definicija in lastnosti operacije konjugiranja kompleksnega števila. Če je z=x+iy posamezno kompleksno število, potem je z=x-iy konjugirano kompleksno število z. Lastnosti: z = z z + z = 2 Re(z) z z = 2 Im(z) z 1 2 = z 1 + z 2 z 1 2 = z 1 z 2

3 Definicija in lastnosti absolutne vrednosti kompleksnega števila. Skica. Absolutno vrednost kompleksnega števila z=x+iy je negativno realno število z. Lastnosti : z 0 z = 0 <=> z = 0 z = z Re(z) z in Im(z) z z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2 Polarni zapis kompleksnega števila. Skica. z = r e iρ = x+iy iy z =r ρ x = r cosρ y = r sinρ 0 x Formule za množenje, potenciranje in korenjenje kompleksnih števil, zapisanih v polarni obliki. -Za množenje: z 1 z 2 = (r 1 e iρ 1)(r 2 e iρ 2) = r 1 r 2 e i(ρ 1+ρ 2 ) = r 1 r 2 [cos(ρ 1 + ρ 2 ) + isin(ρ 1 + ρ 2 )] -Za potenciranje: z n = (r e iρ ) n = r n e inρ = r n (cosnρ + isinρ) -Za korenjenje: ( z) = ( n k r e i(ρ n +k 2π n ) n = r [cos ( ρ n + k 2π n ) + isin (ρ n + k 2π n )] Kdaj je funkcija f : A B surjektivna, kdaj je injektivna in kdaj je bijektivna? Surjetkivna: Kukcija f iz množice A v množico B je surjektivna takrat, ko je vsak element y iz množice B slika vsaj enega elementa x iz množice A, torej tako da je f(x)=y Injektivna: Funkcija f iz množice A v množico B je injektivna natanko takrat, ko kateremkoli različnemu orginaloma x1 in x2 vedno pripadata različni sliki. Bijektivna: Funkcija f iz množice A v množico B je bijektivna, natanko takrat, ko je vsak element y iz množice B slika natanko enega elementa x iz množice A.

4 Kdaj obstaja inverzna funkcija funkcije f : A B? Z ustreznim diagramom pojasnite, kaj je inverzna funkcija funkcije f. Inverzna funkcija f -1 funkcije f obstaja samo, če je funkcija f povratno enolična (bijektivna) f (x A) (y B) f 1 Skicirajte tvorbo kompozicije g f, če je f : A B in g : B C. f g x A f(x) B g(f(x)) C Kako preverimo, ali sta funkciji f : A B in g : B Preberemo iz diagrama iz prejšnje naloge. A morebiti druga drugi inverzni? Zapišite definicijo ekvipolence množic. Kdaj sta končni množici ekvipolentni? Zapišite definicijo števne množice. Ali je vseh lihih naravnih števil kaj manj kot vseh naravnih števil? Ali sta množica vseh racionalnih števil Q in množica vseh realnih števil R števni? Množica A in B imata isto moč(sta ekvipolentni ), ko med njima obstaja kakša povratna enolična preslikava f: A B ali f: B A Množica A je števna, če obstaja kakšna povratno enolična preslikava f iz množice naravnih števil N v množico A. Lihih števil je ravno toliko kot vseh naravnih števil. Množica vseh iracionalnih števil R-Q in množica vseh realnih števil R pa nista števni v vsaki od teh dveh množic je bistveno več elementov, kot je vseh naravnih števil N.

5 Matematika za inženirje 1 Vprašanja o realnih funkcijah z realno spremenljivko Navedite različne oblike analitičnega zapisa funkcije iz R v R. -eksplicidni zapis y=f(x) -implicidni zapis F(x,y)=0 -parametrični zapis x=x(t),y=y(t) -vektorski zapis r(t)=(x(t),y(t)) Kdaj rečemo, da je funkcija f na intervalu J navzgor omejena? Kaj je njena natančna zgornja meja na tem intervalu? Število M je zgornja meja funkcije f na interval J, če tako število M obstaja, je funkcija f na intervalu J navzgor omejena, drugače pa ne Supremum ali natančna zgorjna meja funkcije f na intervalu J je najmanjša izmed vseh njenih zgornjih mej (funkcija navzgor omejena) M=supf(x) Kaj je ničla funkcije? Kaj je pol funkcije? Ničla funkcije je: R R je takšno število x0 D f,kjer je f(x0)=0 število x0 R je pol funkcije f: D f => R (funkcija f ima v točki x0 pol) Kaj je soda in kaj je liha funkcija? Soda:<=> x D f => f( x) = f(x) Liha:<=> x D f => f( x) = f(x) Kaj je ekstrem funkcije? Splošno ime funkcije, ki je lokalno ali globalno največja ali najmanjša. Zapišite definicije notranje, zunanje, robne, izolirane točke in stekališča dane neprazne podmnožice realnih števil. -število x0 je notranja točka množice A -število x0 je zunanja točka glede na množico A -število x0 je robna točka množice A (vsebuje 1 točko ki spada in eno ki ne spada)(najmanj 1!) -število je steklišče množice A -število x0 A je izolirana točka množice A, v kateri razen točki, v kateri razen točki x0 same ni nobene druge točke iz množice A. Kdaj rečemo, da je množica A R odprta in kdaj, da je zaprta? Množica A - R je odprta, ko je sestavljena iz samih notranjih točk. Množica A R je zaprta, ko vsebuje vse svoje notranje in vse svoje robne točke. Zapišite definicijo limite funkcije f v točki x0 in še definiciji obeh enostranskih limit funkcije v točki x0. a = lim f(x) x x0 -ko velja da je f(x) poljubno blizu števila a za vsako število x,ki se dovolj malo loči od x0 a L = x xo lim f(x) x<x 0 -ko je f(x) poljubno blizu števila al, če se le število x (x<x0)dovolj malo loči od x0

6 a D = lim x xo x>x o f(x) -ko je f(x) poljubno blizu števila ad, če se le število x(x>x0) dovolj malo loči od x0 Zapišite definicijo limite funkcije f v neskončnem. + a = lim x f(x) -ko za vse dovolj velike pozitivne x R velja da je f(x) poljubno blizu števila a. a = lim x f(x) -za vse absolutno dovolj velike negativne x R velja da je f(x) poljubno blizu števila a. Zapišite pravila za računanje limite vsote, razlike, produkta in kvocienta funkcij. Str. 34 v učbeniku Zapišite definicijo zveznosti funkcije f v točki x0. Kolikšna je limita funkcije f v točki x0, če je f v tej točki zvezna? Zvezna je v točki x0, ko velja, da je vrednost f(x) poljubno blizu f(x) za vsak x, ki je dovolj blizu xo. Limita zvezne funkcije v posamezni točki xo je kar enaka njeni funkcijski vrednosti v tej točki lim f(x o ) <=> lim(x o + h) = f(x o ) x x o h 0 Navedite in opišite vrste nezveznosti funkcije. -Odpravljiva nezveznost, če v tej točki ne obstaja funkcija vrednot f(xo), obstaja limita lim x x o f(x) = a R -skok, če v tej točki obstaja leva ali desna limita funkcije al in ad ne obstaja Zapišite definicijo zveznosti funkcije na intervalu. -Zvezna na odprtem intervalu (a,b), ko je zvezna v vsaki točki tega intervala -Zvezna na zaprtem intervalu [a,b]: -ko je zvezna vsaki notranji točki tega intervala -v levem krajišču intervala zvezna z desne -v desnem krajišču intervala zvezna z leve Ali so vsota, razlika, produkt in kvocient dveh zveznih funkcij spet zvezne funkcije? F in g zvezi na intervalu J-R. Potem so pri vsakem x s tega intervala zvezne tudi njuna vsota, razlika, produkt.. Ali je kompozicija dveh zveznih funkcij spet zvezna funkcije? Kvocient funkcije s takim predpisom ni zvezen. Navedite lastnosti funkcij, ki so zvezne na zaprtih intervalih. Str. 37 v učbeniku

7 Naštejte vrste elementarnih funkcij. -konstantna fun. polinom stopnje n -naravni logaritem -korenska funkcija -identična fun. racionalna fun. -splošna potenčna fun. -potenčna fun. trigonometrične fun. -ciklometrične fun. eksponentna fun. z osnovo a -eksponentna fun. z osnovo e -logaritemska funkcija z osnovo a Kje so elementarne funkcije zvezne? Vsaka elementarna funkcija je zvezna v vseh tistih točkah x R, v katerih je definirana. Matematika za inžinirje 1- vprašanja o odvodu funkcije Navedite definicijo (vrednost) odvoda funkcije f v točki x 0. Kakšen je njegov načelni in kakšen je njegov geometriski pomen? Zapišite enačbo tangente na sliko odvedljive funkcije. f Odvod funkcije f v točki x 0 (oz. vrednost odvoda funkcije f v x 0 ) je število f (x 0 ) = lim, če x 0 x seveda ta limita obstaja, drugače rečemo, da funkcija f v točki x 0 ni odvedljiva. Načelni pomen odvoda f (x 0 ) je trenutna hitrost spreminjanja funkcije f, ko se pomaknemo skozi točko x 0. Geometrijski pomen odvoda f (x 0 ) je smerni koeficient tangente na sliko funkcije v točki (x 0, f(x 0 )) : f (x 0 ) = k t = tanα Enačba tangente na sliko odvedljive funkcije f v točki (x 0, f(x 0 )) : y f (x0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Zapišite definiciji (vrednosti) levega in desnega odvoda f v točki x 0. Levi odvod funkcije f v točki x 0 (oz. vrednost) je število: f f (x 0 0) = lim x x x = lim f(x 0 + h) f (x0 ) x x h x<0 x<0 Desni odvod funkcije f v točki x 0 (oz. vrednost) je število: f f (x 0 + 0) = lim x x x = lim f(x 0 + h) f (x0 ) x x h x>0 x>0 Kdaj rečemo da je funkcija f odvedljiva na intervalu? Ali iz zveznosti funkcije sledi odvedljivost funkcije ali ne? Funkcija f je odvedljiva na odprtem intervalu J R, če obstaja vrednost odvoda f (x) v vsaki točki x intervala J. Funkcija f je odvedljiva na zaprtem intervalu [a, b] R, če obstaja vrednost odvoda f (x)v vsaki notranji točki x intervala(a<x<b), če v levem krajišču a obstaja desni odvod f (a + 0), in če v desnem krajišču b obstaja levi odvod f (b 0).

8 Če je funkcija f odvedljiva v točki x 0 (če v točki x 0 obstaja odvod f (x 0 ) funkcije f), potem je funkcija v točki x 0 zagotovo zvezna. Opišite kako iz funkcije f tvorimo novo funkcijo f'? Za realno funkcijo f, definirano na množici D f, izračunamo odvod (vrednost odvoda) f (x) = lim h 0 f(x + h) f (x) h v vsaki posamezni točki x D f, kjer je to mogoče. Množica vseh takih točk x, v katerih obstaja odvod f (x), označimo z D f. Tako iz realne funkcije f: D f R, ki jo imenujemo»odvod funkcije f«zapišite splošna pravila za odvajanje funkcij. (f ± g) = f` ± g` c = 0 (f ± g)` = f` g ± f g` x (y) y (x) = 1 ( f f` g f g` )` = x (y) = 1 g g 2 y (x) (f(g (x) )` = f`(g (x) ) g (x) (c f)` = c f` f (x) = f (u) u (x) Zapišite formule za odvode osnovnih elementarnih funkcij. (x r ) = rx r 1 (a x ) = a x ln a (e x ) = e x (log a x) = 1 (ln x)' = 1 x ln a x 1 1 (sin x)'=cos x (cos x)' = -sin x (tan x)' = (cot x)'= - cos 2 x sin 2 x 1 (arcsin x)' = (arccos x)' =- 1 (arctan x)' = 1 (arccos x)' = x 2 1 x 2 1+x 2 1+x 2 Izpišite postopek logaritemskega odvajanja za potenčno-eksponentno funkcijo y(x) = (f(x)) g(x). Zapišite formulo za odvod parametrično podane podatke funkcije. y(x) = (f(x)) g(x) ln y(x) = g(x)in f(x) y (x) = y(x) g (x) ln f (x) + g(x) f (x) / y(x) = (f(x)) g(x) f(x) y(x) = (f(x)) g(x) ( g (x) ln f (x) + g(x) f (x) ) f(x) Zapišite formulo za diferencial funkcije f v točki x 0. skicirajte geometrijski pomen diferenciala. Opišite. Opišite odnos med spremembo in diferencialom funkcije. -Diferencial funkcije: df = f (x 0 )h, -Geometrijski pomen: diferencial funkcije (df) je enak spremembi koordinate y na tangenti z dotikališčem (x 0, f(x 0 )), ko se neodvisen x spremeni z vrednosti x 0 na x 0 + h

9 -Odnos med spremembo in defericialom funkcije : če je funkcijaf odvedljiva v točki x 0 in njeni okolici, in če je sprememba odvisne spremenljivke dovolj majhna, potem je diferencial funkcije dober približek za njeno spremembo: Δf df. Odtod dobimo še približno formulo: f(x 0 + h) f(x 0 )+df. Zapišite deferecialne oblike pravil za odvijanje. Naj bosta f in g odvedljivi funkciji in c poljubna realna konstanta potem velja: Dc=0 d(f+g)=df+dg