Izpit sestavlja 4-5 vprašanj. Vsako ima več podvprašanj.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Izpit sestavlja 4-5 vprašanj. Vsako ima več podvprašanj."

Transcript

1 PRIMERI IZPITNIH VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE JAKA CIMPRIČ, OKTOBER 2004 Izpit sestavlja 4-5 vprašanj. Vsako ima več podvprašanj. 1. Kombinatorika 1.1. Množice in relacije. (1) (Množice) (a) Kako si množice predstavljamo? Kako jih podajamo? (b) Kdaj sta dve množici enaki? Kako to dokažemo? Dokaži, da je (A B) \ C = (A \ C) (B \ C)! (c) Kdaj sta dve množici enako močni? Kako to dokažemo? Dokaži, da sta množica naravnih števil in množica celih števil enako močni! (d) Koliko je vseh podmnožic v množici z n elementi? Koliko je vseh vseh podmnožic z r elementi v množici z n elementi? (2) (Kombinacije) (a) Kaj so kombinacije? Koliko jih je? (b) Kaj so kombinacije s ponavljanjem? Koliko jih je? (c) Kaj so vezane kombinacije? Koliko jih je? (3) (Relacije) (a) Kako podamo relacijo z množico, grafom in puščičnim diagramom? Razloži na primeru! (b) Kaj je definicijsko območje relacije in kaj zaloga vrednosti relacije? Razloži na primeru! (c) Kako definiramo kompozicum dveh relacij in kako inverz relacije? Razloži na primeru! (d) Koliko je vseh relacij iz množice z m elementi v množico z n elementi? (4) (Delne funkcije) (a) V čem je razlika med delno funkcijo in relacijo? V čem je razlika med delno funkcijo in funkcijo? (b) Kako delno funkcijo spremenimo v funkcijo? (Pojasni skrčitev domene in razširitev kodomene.) (c) Koliko je vseh delnih funkcij iz množice z m elementi v množico z n elementi. (d) Podaj primer uporabe delnih funkcij v kombinatoriki Funkcije. (1) (Funkcije) (a) V čem je razlika med funkcijo in relacijo? Kako iz množice, grafa oziroma puščičnega digrama dane relacije ugotovimo ali je ta relacija funkcija? (b) Na primeru pokaži, da se f g lahko razlikuje od g f. (c) Koliko je vseh funkcij iz množice z m elementi v množico z n elementi? 1

2 2 JAKA CIMPRIČ, OKTOBER 2004 (d) Podaj primer uporabe funkcij (=variacij s ponavljanjem) v kombinatoriki! (2) (Injektivne funkcije) (a) Kako je definirana injektivnost preslikave? Kako injektivnost preverimo na grafu? (b) Dokaži, da je kompozitum injektivnih preslikav injektivna preslikava in da iz injektivnosti preslikave g f sledi injektivnost preslikave f. (c) Koliko je vseh injektivnih preslikav iz množice z m elementi v množico z n elementi? (d) Podaj primer uporabe injektivnih funkcij (=variacij) v kombinatoriki! (3) (Surjektivne funkcije) (a) Kako je definirana surjektivnost preslikave? Kako surjektivnost preverimo na grafu? (b) Dokaži, da je kompozitum surjektivnih preslikav surjektivna preslikava in da iz surjektivnosti preslikave g f sledi surjektivnost preslikave g. (c) Kaj pravi princip vključitve-izključitve? Koliko je surjektivnih preslikav iz množice z m elementi v množico z n elementi? (d) Pojasni primer uporabe surjektivnih funkcij v kombinatoriki? (4) (Bijektivne funkcije) (a) Kako je definirana bijektivnost preslikave? Kako bijektivnost preverimo na grafu? (b) Kaj vemo o kompozitumu bijektivnih funkcij in kaj o inverzu bijektivne funkcije? (c) Naj bosta A in B končni množici z enakim številom elementov in f funkcija iz A v B. Dokaži, da če je f injektivna, je tudi surjektivna. Dokaži, da če je f surjektivna, potem je tudi injektivna. (d) Poišči primer funkcije iz naravnih števil v naravna števila, ki je injektivna, ni pa surjektivna. Poišči primer funkcije iz naravnih števil v naravna števila, ki je surjektivna, ni pa injektivna. (5) (Permutacije) (a) Kakňa je zveza med permutacijami in bijektivnimi fukcijami? (b) Koliko je vseh permutacij n različnih elementov? Utemelji! (c) Imamo n elementov, ki se delijo v r različnih tipov. Elemente znoraj posameznega tipa ne razlikujemo. Koliko je vseh permutacij teh elementov, če je v i-tem tipu n i elementov (i = 1,..., r) Uvod v verjetnostni račun. (1) (Dogodki) (a) Kaj je dogodek? (b) Pojasni klasično definicijo verjetnosti dogodka! (c) Pojasni statistično definicijo verjetnosti dogodka! (2) (Vsota dogodkov) (a) Kaj je vsota dogodkov? (b) Kako določimo verjetnost vsote dveh dogodkov, če sta dogodka nezdružljiva in kako, če sta združljiva? (c) Kako določimo verjetnost vsote več dogodkov s principom vključitveizključitve? (3) (Produkt dogodkov) (a) Kaj je produkt dogodkov?

3 PRIMERI IZPITNIH VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 3 (b) Kako določimo verjetnost produkta dogodkov, če sta dogodka neodvisna? (c) Kaj je pogojna verjetnost? (d) Kako določimo verjetnost produkta dogodkov, če sta dogodka odvisna? (4) (Bayesova formula) (a) Kaj je popoln sistem dogodkov? (b) Kaj pravi izrek o popolni verjetnosti? Dokaži! (c) Kaj pravi Bayesov izrek? Dokaži! (5) (Večfazni poskusi) (a) Pojasni, kaj je večfazni poskus in kaj je njegovo verjetnostno drevo? (b) Mečemo kocko, dokler ne pade šestica. Nariši ustrezno verjetnostno drevo. (c) Kaj je Bernoullijevo zaporedje poskusov? (d) Kolikšna je verjetnost, da v šestih metih kocke pade šestica natanko trikrat? 2.1. Vektorski račun. 2. Linearna algebra (1) (Obsegi) (a) Povej nekaj primerov obsegov. (b) Naštej aksiome o seštevanju v obsegu. (c) Naštej aksiome o množenju v obsegu. (d) Naštej aksiome, ki povezujejo seštevanje in množenje v obsegu. (2) (Vektorski prostori in podprostori) (a) Definiraj pojem vektorskega prostora! (b) Naštej nekaj primerov vektorskih prostorov! (c) Definiraj pojem vektorskega podprostora. (d) Določi najmanjši vektorski podprostor prostora V, ki vsebuje dane vektorje v 1,..., v k V. (3) (Linearno neodvisni vektorji) Naj F obseg in v 1,..., v k vektorji v F n. (a) Kako računsko preverimo ali so ti vektorji linearno neodvisni? (b) Dokaži, da iz linearne neodvisnosti sledi k n. (c) Kako te vektorje dopolnimo do baze prostora F n? (4) (Razpenjajoči vektorji) Naj bodo v 1,..., v k vektorji v F n (F je obseg). (a) Kako računsko preverimo ali ti vektorji razpenjajo (=generirajo) F n? (b) Dokaži, da za razpenjajoče vektorje velja k n. (c) Kako iz razpenjajočih vektorjev izberemo bazo prostora F n? (5) (Baza in dimenzija) Naj bodo in v 1,..., v n vektorji v F n (F je obseg). (a) Kako računsko preverimo ali ti vektorji tvorijo bazo prostora F n? (b) Dokaži, da ima poljubna baza prostora F n natanko n elementov! (c) Kako množico linearno neodvisnih vektorjev v F n dopolnimo do baze F n? (d) Kako iz množice razpenjajočih vektorjev v F n izberemo bazo prostora F n? 2.2. Matrični račun. (1) (Pravokotne matrike)

4 4 JAKA CIMPRIČ, OKTOBER 2004 (a) Kako je definirano seštevanje matrik in kako množenje s skalarjem? Naštej osnovne lastnosti teh dveh operacij. (Omeni tudi ničelne matrike!) (b) Kako je definirano množenje matrik? Kdaj je definicija smiselna? Naštej osnovne lastnosti množenja! (Omeni tudi identične matrike!) (c) Kako je definirano transponiranje matrik? Naštej osnovne lastnosti transponiranja. (2) (Gaussova eliminacija) (a) Kako sistem linearnih enaˇb zapišemo v matrični obliki? Kaj je razširjena matrika sistema? (b) Kaj je reducirana vrstična kanonična forma? (c) Kako linearen sistem prevedemo v reducirano vrstično kanonično formo? (d) Kako rešimo sistem, ki je v reducirani vrstični kanonični formi? (3) (Elementarne matrike) (a) Kako zmnožimo dve matriki? (b) Definiraj elementarne matrike? (c) Kakšna je zveza med matrikama A in EA, kjer je E elementarna matrika? (d) Kakšna je zveza med matrikama A in AE, kjer je E elementarna matrika? (4) (Inverz matrike) (a) Kako je definiran inverz obrnljive matrike? Dokaži, da je inverz enolično določen! (b) Dokaži, da je produkt obrnljivih matrik obrnljiva matrika! Kako izračunamo inverz produkta dveh matrik? (c) Izračunaj inverze vseh treh tipov elementarnih matrik! (d) Kako izračunamo inverz ornljive matrike s pomočjo Gaussove eliminacije? (5) (Determinante) (a) Kako izračunamo determinanto z razvojem po i-ti vrstici oziroma j- tem stolpcu. (b) Formuliraj Cramerovo pravilo in ga dokaži. (c) Kako se glasi formula za inverz matrike? (6) (Metoda najmanjših kvadratov) (a) Kako je definirana rešitev protislovnega sistema po metodi najmanjših kvadratov? (b) Kako rešimo protisloven sistem Ax = b po metodi najmanjših kvadratov. (c) Kako določimo premico, ki se najbolje prilega danim točkam (x 1, y 1 ),..., (x n, y n )? (d) Kako določimo kvadratno parabolo, ki se najbolje prilega danim točkam (x 1, y 1 ),..., (x n, y n )? 3.1. Realna števila. 3. Številska zaporedja in vrste (1) (Definicija realnih števil) (a) Naštej aksiome obsega. (b) Naštej lastnosti relacije urejenosti.

5 PRIMERI IZPITNIH VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 5 (c) Kaj pravi Dedekindov aksiom? (d) Definiraj različne vrste intervalov in jih grafično pojasni. (2) (Omejene množice) Naj bo A R. (a) Kaj je gornja meja množice A? (b) Kaj je supremum množice A? (c) Kaj je maksimum množice A? (d) Na primeru razloži, v čem je razlika med maksimumom in supremumom. (3) (Decimalni zapis) (a) Grafično pojasni, kako realnemu številu priredimo njegov decimalni zapis. (b) Kako iz decimalnega zapisa dobimo pripadajoče realno število? Pojasni z vrstami. (c) Dokaži, da vsakemu racionalnemu številu pripada periodičen decimalni zapis. (d) Na primeru pojasni, kako iz periodičnega decimalnega zapisa dobimo pripadajoče racionalno število. (4) (Absolutna vrednost) (a) Kaj je absolutna vrednost realnega števila? (b) Naštej nekaj znanih identitet in neenakosti, v katerih nastopa absolutna vrednost. (c) Kako definiramo odprti interval (a, b) in zaprti interval [a, b] s pomočjo absolutne vrednosti? (d) Reši neenačbo : 5 2 x < Številska zaporedja. (1) (Stekališča in limite) (a) Kaj je zaporedje realnih števil? (b) Kaj je stekališče zaporedja? (c) Kaj je limita zaporedja? (d) Na primerih pojasni, v čem je razlika med stekališčem in limito. (2) (Omejena in monotona zaporedja) (a) Kaj pomeni, da je zaporedje omejeno? Kaj je supremum (infimum) omejenega zaporedja? (b) Kaj vemo o stekališčih omejenega zaporedja? (c) Kaj pomeni, da je zaporedje monotono? (d) Kaj vemo o stekališčih monotonih zapredij? (3) (Podzaporedje) (a) Kaj je podzaporedje danega zaporedja? Povej tudi primer. (b) Dokaži, da je podzaporedje konvergentnega zaporedja vedno konvergentno. V kakšni zvezi sta limiti obeh zapredij. (c) Kakšna je zveza med stekališči danega zaporedja in limitami njegovih podzaporedij. Napiši izrek in ga razloži na konkretnem primeru. (4) (Rekurzivna zaporedja) (a) Kako podamo zapredje z rekurzivno formulo? Koliko začetnih členov potrebujemo? (b) Nariši graf zaporedja a 0 = 1, a n+1 = an a n! (c) Dokaži, da gornje zaporedje konvergira proti 2!

6 6 JAKA CIMPRIČ, OKTOBER Številske vrste. (1) (Vsota vrste) (a) Kaj je zaporedje delnih vsot dane vrste? (b) Kaj je vsota dane vrste? (c) Napiši en primer konvergentne in en primer divergentne vrste. Odgovor dobro utemelji. (2) (Cauchyjev kriterij) (a) Kaj pravi Cauchyjev kriterij za konvergenco vrst? (b) Če je vrsta n=1 a n konvergentna, potem je lim n a n = 0. Dokaži! (c) Poišči tako vrsto n=1 a n, da velja lim n a n = 0, vendar vrsta divergira. Odgovor dobro utemelji. (3) (Absolutno konvergentne vrste) (a) Kaj je absolutno konvergentna vrsta? (b) S pomočjo Cauchyjevega kriterija pokaži, da je vsaka absolutno konvergentna vrsta tudi konvergentna. (c) Poišči primer vrste, ki je konvergentna, ni pa absolutno konvergentna. Odgovor dobro utemelji. (4) (Konvergenčni kriteriji za vrste) (a) Kaj pravi primerjalni kriterij za konvergenco vrst? (b) Kaj pravi kvocientni kriterij? Izpelji ga iz primerjalnega. (c) Kaj pravi korenski kriterij? Izpelji ga iz primerjalnega. Loči primer vrste s pozitivnimi členi od splošnega primera. (5) (Alternirajoče vrste). (a) Kaj je alternirajoča vrsta? Podaj tudi primer. (b) Kaj pravi Leibnitzev konvergenňi kriterij? (c) Poišči primer alternirajoče vrste, ki je konvergentna, ni pa absolutno konvergentna. 4. Realne funkcije ene realne spremenljivke 4.1. Pojem funkcije, primeri. (1) (Definicija realne funkcije ene realne spremenljivke) (a) Definiraj pojem delne funkcije iz R v R! (Opomba: V nadaljevanju bomo besedo delna izpuščali.) (b) Kaj je graf funkcije? Kdaj je dana krivulja graf neke funkcije? (c) Kaj je definicijsko območje funkcije? Kako ga določimo iz grafa? (d) Kaj je zaloga vrednosti funkcije? Kako jo določimo iz grafa? (2) (Inverz funkcije) (a) Za kakšne funkcije f obstaja inverz f 1? (b) Kako je inverz funkcije definiran, se pravi kaj je njegovo definicijsko območje, zaloga vrednosti in predpis? (c) Kako iz grafa funkcije f ugotovimo, ali ima inverz? Kako iz grafa funkcije f dobimo graf funkcije f 1. (d) Poišči inverz funkcije y = arcsin 1 x 1+x. (3) (Elementarne funkcije) (a) Kaj so osnovni tipi elementarnih funkcij? (b) Kako definiramo vsoto, produkt in kompozitum dveh funkcij? Kaj je elementarna funkcija?

7 PRIMERI IZPITNIH VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 7 (c) Povej primer elementarne funkcije, ki ni osnovnega tipa. Povej primer funkcije, ki ni elementarna. (d) Kaj veš o zveznosti in odvedljivosti elementarnih funkcij? (4) (Lagrangeov interpolacijski polinom) (a) Določi linearno funkcijo, ki gre skozi dani točki (x 0, y 0 ) in (x 1, y 1 )! (b) Določi kvadratno funkcijo, ki gre skozi dane točke (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )! (c) Določi polinom stopnje n, ki gre skozi točke (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n )! (5) (Eksponentna funkcija in logaritem) (a) Nariši grafa funkcij y = e x in y = ln(x). Pri obeh določi definicijsko območje in zalogo vrednosti. (b) Nariši graf funkcije y = 1 e x. (c) Nariši grafa funkcij y = e ln x in y = ln(e x ). Pri obeh določi definicijsko območje in zalogo vrednosti. (d) Kaj je inverzna funkcija funkcije y = a x? Izrazi jo z ln. (6) (Trigonometrične in ciklometrične funkcije) (a) Izpelji adicijska izreka za sin(x) in cos(x). (b) Kako faktoriziramo vsoto sin(x) + sin(y)? Kako antifaktoriziramo produkt sin(x) cos(y)? (c) Kako sta definirani funkciji arcsin x in arccos x? Nariši njuna grafa, ter grafa funkcij sin(arcsin(x)) in arcsin(sin(x)). (d) Dokaži, da velja arcsin x + arccos x = π 2 za vsak x [ 1, 1]. (7) (Hiperbolične in area funkcije) (a) Definiraj funkciji y = sh(x) in y = ch(x), skiciraj njuna grafa ter določi njuno definicijsko območje in zalogo vrednosti. (b) Izpelji adicijska izreka za sh(x) in ch(x). (c) Definiraj funkciji y = arsh(x) in y = arch(x), skiciraj njuna grafa ter določi njuno definicijsko območje in zalogo vrednosti. (d) Izrazi funkciji y = arsh(x) in y = arch(x) z naravnim logaritmom Limita funkcije. (1) (Definicija limite) (a) Kako definiramo limito funkcije s pomočjo ɛ in δ? (b) Kako definiramo limito funkcije s pomočjo zaporedij? (c) Razloži gornji definiciji geometrijsko. (2) (Limite in neenakosti) (a) Naj bosta f(x) in g(x) taki funkciji, da velja f(x) g(x) za vsak x blizu a. V kakšni zvezi sta potem limiti teh funkcij v točki a. Odgovor utemelji. (b) Dokaži, da za vsak neničeln x [0, π 2 ) velja sin x x tg x. (c) S pomočjo gornjih točk dokaži, da je sin x lim x 0 x = 1. (3) (Neskončne limite in limite v neskončnosti) (a) Kaj pomeni, da je limita funkcije v končni točki neskončna? Napiši definicijo!

8 8 JAKA CIMPRIČ, OKTOBER 2004 (b) Kakšna je zveza med neskončnimi limitami v končnih točkah in vertikalnimi asimptotami? (c) Kaj pomeni, da je limita funkcije v neskončni točki končna? Napiši definicijo! (d) Kakšna je zveza med končnimi limitami v neskončnih točkah in horizontalnimi asimptotami? (4) (Definicija števila e) (a) Kako je definirano število e? (b) Koliko je lim x 0 (1 + x) 1/x? log(1+x) (c) Izračunaj lim x 0 x. e (d) Izračunaj lim x 1 x 0 x. (5) (Substitucija v limiti) sin 2x (a) Izračunaj limito lim x 0 x s pomočjo substitucije t = 2x. (b) Naj bo φ(t) taka funkcija, ki zadošca lim t b φ(t) = a in φ(t) a za vsak t b. Dokaži, da velja lim x a f(x) = lim t b f(φ(t)). (c) S primerom pokaži, da gornja trditev ne drži nujno, če je φ(t) konstantna funkcija a Zveznost funkcij. (1) (Definicija zveznosti) Kako definiramo zveznost funkcije v točki (a) s pomočjo limite, (b) s pomočjo ɛ in δ, (c) s pomočjo limit zaporedij? (2) (Operacije z zveznimi funkcijami in limitami) (a) Kako sta definirani vsota in produkt funkcij. (b) Dokaži, da je limita vsote enaka vsoti limit. Podobno za produkte. (c) Dokaži, da je vsota zveznih funkcij zvezna funkcija. Podobno za produkte. (3) (Leve in desne limite, zveznost in odvodi) Dana je funkcija f(x) = g(x), x < a b, x = a h(x), x > a (a) Kako sta definirani leva limita funkcije g(x) v a in desna limita funkcije h(x) v a. Kdaj obstaja limita funkcije f(x) v a? (b) Kako definiramo levo zveznost funkcije g(x) v a in desno zveznost funkcije h(x) v a. Kdaj je funkcija f(x) zvezna v a? (c) Kako definiramo levi odvod funkcije g(x) v a in desni odvod funkcije h(x) v a. Kdaj je funkcija f(x) odvedljiva v a? (4) (Kompozitum zveznih funkcij) (a) Natančno formuliraj izrek, da je kompozitum zveznih funkcij zvezna funkcija, in ga dokaži. (b) Naj bo lim x a f(x) = b in naj bo g(x) zvezna v točki b. Dokaži, da velja lim x a g(f(x)) = g(b). ( (c) S pomočjo gornjega izreka izračunaj lim sin x ) 4/3. x 0 x (5) (Metoda bisekcije) (a) Kaj pomeni, da ima funkcija f(x) ničlo na intervalu [a, b]? (b) Kdaj ima zvezna funkcija zagotovo ničlo na intervalu [a, b]?

9 PRIMERI IZPITNIH VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 9 (c) Opiši metodo bisekcije. (d) Poišči približek za ničlo enačbe x 3 + x 1 = 0 na intervalu [0, 1] s pomočjo treh korakov bisekcije. (6) (Zvezne funkcije na zaprtem in omejenem intervalu) Natančno formuliraj naslednje lastnosti zvezne funkcije na zaprtem in omejenem intervalu: (a) omejenost in obstoj ekstremov, (b) katere vrednosti zavzame, (c) kdaj je njen inverz zagotovo zvezna funkcija Definicija in računanje. 5. Odvod (1) (Definicija odvoda) (a) Kako je definiran odvod funkcije v točki? (b) Dokaži, da iz odvedljivosti sledi zveznost. (c) S primerom pokaži, da funkcija, ki je zvezna v neki točki, ni nujno tudi odvedljiva v tej točki. (2) (Pravila za odvajanje) (a) Formuliraj pravili za odvajanje vsote in razlike. Enega dokaži! (b) Formuliraj pravili za odvajanje produkta in inverza. Enega dokaži! (c) Napiši pravili za odvajanje kompozituma in inverzne funkcije. Enega dokaži! (3) (L Hospitalovo pravilo) (a) Formuliraj L Hospitalovo pravilo za računanje limit! (b) Dokaži L Hospitalovo pravilo v primeru 0 0! (c) Uporabi L Hospitalovo pravilo na konkretnem primeru! 5.2. Sekante in tangente. (1) (Geometrijski in fizikalni pomen odvoda) (a) Kako izračunamo povprečno hitrost? (b) Kako izračunamo trenutno hitrost? (c) Kako se glasi enačba sekante? (d) Kako se glasi enačba tangente? (2) (Sekantna in tangentna metoda) (a) Definiraj pojem ničle funkcije! (b) Kako poiščemo ničlo funkcije s sekantno metodo? (c) Kako poiščemo ničlo funkcije s tangentno metodo? (3) (Diferencial) (a) Kaj je diferencial funkcije? (b) Kaj je geometrijski pomen diferenciala? (c) Kako uporabimo diferencial za računanje približnih vrednosti funkcij? Razloži na primeru! 5.3. Načrtovanje grafov funkcij. (1) (Rolleov in Lagrangeov izrek) (a) Formuliraj Rolleov izrek. (b) Formuliraj Lagrangeov izrek in ga izpelji iz Rolleovega izreka. (c) Naj bo f(x) taka funkcija, da je f (x) 0 za vsak x. Dokaži, da je f(x) naraščajoča.

10 10 JAKA CIMPRIČ, OKTOBER 2004 (d) Funkcija f(x) = 1 x zadošča f (x) 0 za vsak x, vendar ni naraščajoča, ker f( 1) > f(1). V čem je problem? (2) (Lokalni ekstremi) (a) Kaj je lokalni ekstrem funkcije? (b) Formuliraj potrebni pogoj za nastop ekstrema. (c) Formuliraj zadostni pogoj za nastop ekstrema s prvim odvodom. (d) Formuliraj zadostni pogoj za nastop ekstrema z drugim odvodom. (3) (Globalni ekstremi) (a) Kaj je globalni ekstrem funkcije? (b) Kaj so kandidati za globalni ekstrem? (c) Določi globalne ekstrem funkcije f(x) = sin x na intervalu [ π 4, 3π 4 ]. (4) (Konveksnost, konkavnost, prevoji) (a) Kaj je definicija konveksne in konkavne funkcije? (b) Kako določimo konveksnost in konkavnost z drugom odvodom? (c) Kaj je definicija prevoja? (d) Kako določimo prevoje s pomočjo drugega odvoda? 5.4. Taylorjeve vrste. (1) (Konvergenčni radij) (a) Kaj je definicija potenčne vrste? (b) Kaj je definicija konvergenčnega radija potenčne vrste? (c) Kako izračunamo konvergenčni radij s pomočjo kvocientnega ali korenskega kriterija? (d) Določi konvergenčni radij vrste n=1 xn n. (2) (Taylorjeva vrsta) (a) Kako je definirana Taylorjeva vrsta funkcije f(x) v točki a? (b) Razvij funkcije e x, cos x in sin x v Taylorjevo vrsto okrog x = 0. (c) Razvij funkcije 1 1 x, ln(1 x) in 1 (1 x) 2 v Taylorjevo vrsto okrog x = 0. (d) Kaj je ostanek Taylorjeve vrste? Kako ga ocenimo? (3) (Uporaba Taylorjeve vrste) (a) Naj bo s(t) lega delca v trenutku t. Pojasni fizikalni pomen prvih treh členov Taylorjeve vrste za s(t) okrog t = t 0. (b) Kako nam pomaga Taylorjeva vrsta pri določanju lokalnih ekstremov? Pojasni na primeru! (c) Kako nam pomaga Taylorjeva vrsta pri računanju limit? Pojasni na primeru! 6.1. Nedoločeni integral. 6. Integral (1) (Definicija, obstoj, enoličnost nedoločenega integrala) (a) Kako je definiran nedoločeni integral funkcije? (b) Kaj vemo o enoličnosti nedoločenega integrala? (c) Kaj vemo o obstoju nedoločenega integrala? (2) (Integracija po delih) (a) Kaj pravi pravilo za odvajanje produkta? (b) Povej pravilo za integracijo po delih za nedoločeni integral in ga izpelji. (c) Povej pravilo za integracijo po delih za določeni integral in ga izpelji. (3) (Integracija s substitucijo)

11 PRIMERI IZPITNIH VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 11 (a) Kaj pravi pravilo za odvajanje posredne funkcije? (b) Povej pravilo za substitucijo v nedoločenem integralu in ga izpelji. (c) Povej pravilo za substitucijo v določenem integralu in ga izpelji. (4) (Osnovni tipi nedoločenih integralov) Naj bo R(x) racionalna funkcija. (a) Kako izračunamo R(x)dx? (b) Kako izračunamo R(e x )dx? (c) Kako izračunamo R(cos x) sin xdx in R(sin x) cos xdx? 6.2. Določeni integrali. (1) (Definicija določenega integrala) (a) Kaj je delitev intervala? Kaj je premer delitve? (b) Kako dani delitvi in dani izbiri točk priredimo Riemannovo vsoto? (c) Kako je definiran Riemannov integral? (2) (Približno računanje določenega integrala) (a) Razloži geometrijski pomen določenega integrala. (b) Kako izračunamo približek za b f(x)dx s pomočjo Riemannovih vsot? a (c) Kako izračunamo približek za b f(x)dx s pomočjo trapezne metode? a (3) (Povprečje) (a) Kako je definirano povprečje funkcije f(x) na intervalu [a, b]? (b) Kaj pravi izrek o povprečni vrednosti? (c) Kaj je geometrijska interpretacija izreka o povprečni vrednosti? (4) (Osnovni izrek infinitezimalnega računa) Naj bo funkcija f(x) zvezna na intrvalu [a, b] in F (x) = x a f(x)dx. (a) Dokaži, da je funkcija F (x) zvezna na [a, b]. (b) Dokaži, da je funkcija F (x) odvedljiva na (a, b) in da je F (x) = f(x). (c) Kaj pravi Leibnitzovo pravilo? (d) Kaj pravi osnovni izrek infinitezimalnega računa? 6.3. Uporaba določenega integrala. (1) (Gama funkcija) (a) Kako je definirana funkcija Γ(x)? (b) Dokaži, da je Γ(1) = 1. (c) Dokaži, da je Γ(n + 1) = nγ(n) za vsako naravno število n. (d) Dokaži, da je Γ(n) = (n 1)! za vsako naravno število n. (2) (Volumen vrtenine) (a) Kako izračunamo volumen vrtenine z metodo prerezov? (b) Kako izračunamo volumen vrtenine z metodo lupin? (c) Kako izračunamo težišče prereza? (d) Kaj pravi prvo Pappusovo pravilo? (3) (Dolžina krivulje in površina vrtenine) (a) Kako izračunamo dolžino krivulje y = f(x), a x b? (b) Kako izračunamo površino vrtenine? (c) Kako izračunamo težišče krivulje? (d) Kaj pravi drugo Pappusovo pravilo? 7. Analitična geometrija (1) (Produkti vektorjev iz R 3 ) (a) Kako je definiran skalarni produkt dveh vektorjev? Kdaj je enak 0?

12 12 JAKA CIMPRIČ, OKTOBER 2004 (b) Kako je definiran vektorski produkt dveh vektorjev? Kdaj je enak 0? (c) Kako je definiran mešani produkt treh vektorjev? Kdaj je enak 0? (2) (Premice v R 3 ) (a) Premica je podana s dvema točkama r 1 in r 2. Določi parametrično in normalno enačbo te premice. (b) Pojasni, kako izračunamo oddaljenost točke T od te premice. (c) Pojasni, kako določimo projekcijo točke T na to premico. (3) (Ravnine v R 3 ) (a) Ravnina je podana s tremi točkami r 1, r 2, r 3. Določi parametrično in normalno enačbo te ravnine. (b) Pojasni, kako izračunamo oddaljenost točke T od te ravnine. (c) Pojasni, kako določimo projekcijo točke T na to ravnino. 8. Vektorske funkcije (1) (Hitrost, tangenta, dolžina poti) Naj bo r(t) lega delca v trenutku t. (a) Določi vektorsko hitrost, skalarno hitrost in enotsko tangento v trenutku t. (b) Določi dolžino poti, ki jo prepotuje delec med trenutkoma t 0 in t 1. (c) Kaj je naravni parameter? Kako funkcijo r(t) izrazimo z naravnim parametrom? (2) (Pospešek, normala, ukrivljenost) Naj bo r(t) lega delca v trenutku t. (a) Določi pospešek delca v trenutku t. (b) Kako sta definirani enotska normala in fleksijska ukrivljenost. (c) Določi tangencialno in normalno komponento pospeška. (3) (Parametrično podane krivulje) (a) Kako podamo ravninsko krivuljo v parametrični obliki? Kako ugotovimo ali je sklenjena? (b) Izpelji formulo za dolžino parametrično podane krivulje. (c) Izpelji formulo za ploščino lika, ki ga oklepa sklenjena parametrično podana krivulja. (4) (Polarni zapis) (a) Kako podamo ravninsko krivuljo v polarnem zapisu? Kako ugotovimo ali je sklenjena? (b) Kako polarni zapis pretvorimo v kartezičnega in obratno? (c) Izpelji formulo za dolžino krivulje v polarnem zapisu. (d) Izpelji formulo za ploščino, ki jo obdaja sklenjena krivulja v polarnem zapisu. 9. Funkcije dveh spremenljivk (1) (Zveznost) (a) Kako definiramo zveznost funkcije f(x, y) v točki (x 0, y 0 ) s pomočjo ɛ in δ? (b) Naj bo funkcija f(x, y) zvezna v (x 0, y 0 ) in naj bo (h, k) poljuben vektor. Dokaži, da je funkcija F (t) = f(x 0 +th, y 0 +tk) zvezna v točki t = 0. Kako dobiš graf funkcije F (t) iz grafa funkcije f(x, y)? (c) Pokaži, da funkcija { 1, y = x 2 g(x, y) = 0, y x 2

13 PRIMERI IZPITNIH VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 13 ni zvezna v točki (0, 0). (d) Pokaži, da je za vsak vektor (h, k) funkcija G(t) = g(th, tk) zvezna v t = 0. (2) (Parcialni odvod, smerni odvod) (a) Kako sta definirana parcialna odvoda funkcije f(x, y) v točki (x 0, y 0 )? (b) Kako je definiran smerni odvod funkcije f(x, y) v toǩi (x 0, y 0 ) in smeri (h, k)? (c) Izrazi parcialna odvoda s smernimi odvodi. (d) Izrazi smerne odvode s parcialnima odvodoma. (3) (Parcialni odvodi in zveznost) Naj bo { 1 če xy = 0 f(x, y) = 0 če xy 0 (a) Nariši graf funkcije f(x, y). (b) Dokaži, da funkcija f(x, y) ni zvezna v točki (0, 0). (c) Izračunaj parcialna odvoda funkcije f(x, y) v točki (0, 0). (4) (Tangentna ravnina) Dana je funkcija z = f(x, y) in točka (x 0, y 0 ). Naj bo z 0 = f(x 0, y 0 ). (a) Kako dobimo grafa funkcij g(x) = f(x, y 0 ) in h(y) = f(x 0, y) iz grafa funkcije f(x, y)? (b) Določi enačbo tangente na krivuljo x (x, y 0, f(x, y 0 )) v točki (x 0, y 0, z 0 ) in enačbo tangente na krivuljo y (x 0, y, f(x 0, y)) v točki (x 0, y 0, z 0 ). (c) Določi enačbo tangentne ravnine na ploskev z = f(x, y) v točki (x 0, y 0, z 0 ). (5) (Lokalni ekstremi) Dana je funkcija f(x, y) = (y x 2 )(y 2x 2 ) = y 2 3x 2 y + 2x 4. (a) Nariši nivojnico f(x, y) = 0. Označi, kje je f(x, y) < 0 in kje f(x, y) > 0. (b) Dokaži, da točka (0, 0) ni lokalni ekstrem funkcije f(x, y). (c) Dokaži, da je za vsak vektor (h, k) točka t = 0 lokalni minimum funkcije F (t) = f(th, tk). (d) Kako dobimo graf funkcije z = F (t) iz grafa funkcije z = f(x, y)? (6) (Globalni ekstremi) (a) Kaj so globalni ekstremi funkcije f(x, y) na območju D? (b) Kako določimo kandidate za globalni ekstrem v notranjosti D? (c) Kako določimo kandidate za globalni ekstrem na robu D? (d) Kako ugotovimo, kateri kandidat je res globalni ekstrem? (7) (Gradient) (a) Kako je definiran gradient funkcije f(x, y) v točki (x 0, y 0 )? (b) Kaj je geometrijski pomen gradienta? (c) Kako s pomočjo gradienta določimo tangento na nivojnico f(x, y) = f(x 0, y 0 ) v točki (x 0, y 0 )? Kaj pa normalo? (8) (Totalni diferencial) (a) Kaj pomeni, da je funkcija f(x, y) diferenciabilna v točki (x 0, y 0 )? (b) Kaj je totalni diferencial funkcije f(x, y)? (c) Kaj je geometrijski pomen totalnega diferenciala? (d) Kako uporabljamo totalni diferencial za računanje približkov? Razloži na primeru?

14 14 JAKA CIMPRIČ, OKTOBER 2004 (9) (Zadostni pogoj za lokalni ekstrem) Naj bo (x 0, y 0 ) kritična točka funkcije f(x, y) in (h, k) poljuben vektor. (a) Naj bo F (t) = f(x 0 + th, y 0 + tk). Izrazi F (0) z drugimi parcialnimi odvodi funkcije f(x, y). (b) Naj bodo A, B, C taka realna števila da velja AC B 2 > 0. Dokaži, da ima število Ax 2 +2Bxy +Cy 2 enak predznak v vseh toǩah (x, y) R2, (x, y) (0, 0). (c) Izpelji zadosten pogoj za nastop lokalnega ekstrema. (10) (Volumni v kartezičnih koordinatah) Naj bo D = {(x, y): a x b, g(x) y f(x)} in h(x, y) nenegativna funkcija na območju D. Naj bo Γ = {(x, y, z): (x, y) D, 0 z h(x, y)}. (a) Skiciraj D in Γ ter prerez Γ z ravnino x = x 0. (b) Kolikšna je ploščina prereza območja Γ z ravnino x = x 0. (c) Kolikšen je volumen območja Γ? (11) (Volumni v polarnih koordinatah) Naj bo 0 a < b in D = {(r, φ): a r b} območje v polarni ravnini. Naj bo h(r, φ) nenegativna funkcija na D in Γ = {(r, φ, z): (r, φ) D, 0 z h(r, φ)}. (a) Skiciraj D, Γ in prerez Γ z valjem r = c. (b) Kolikšna je površina prereza območja Γ z z valjem r = c? (c) Kolikšen je volumen območja Γ? 10. Diferencialne enačbe (1) (Geometrijski pomen diferencialne enačbe) (a) Napiši definicijo rešitve začetnega pogoja y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0. (b) Kako rešitev približno določimo s poljem smernic? (c) Kako rešitev približno določimo z Eulerjevo metodo? (2) (Linearna diferencialna enačba prvega reda) Naj bosta P (x) in Q(x) dani zvezni funkciji ene spremenljivke. (a) Kako poiščemo splošno rešitev diferencialne enačbe y = P (x)y? (b) Kako poiščemo partikularno rešitev diferencialne enačbe y = P (x)y + Q(x)? (c) Kako poiščemo splošno rešitev diferencialne enačbe y = P (x)y+q(x)? (3) (Linearna diferencialna enačba drugega reda s konstantnimi koeficienti) Naj bodo a, b, c realna števila, a 0 in f(x) zvezna funkcija ene spremenljivke. (a) Kako poiščemo splošno rešitev diferencialne enačbe ay +by +cy = 0? (b) Kako poiščemo partikularno rešitev diferencialne enačbe ay + by + cy = f(x)? (c) Kako poiščemo splošno rešitev diferencialne enačbe ay + by + cy = f(x)?

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematične analize 2016/17

Osnove matematične analize 2016/17 Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije več spremenljivk

Funkcije več spremenljivk DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni?

22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/06 1. Definicija enakosti množic (funkcij, kompleksnih števil, urejenih n teric)? 2. Definicija kartezičnega produkta množic A in B. Definicija množice R n. 3. Popolna

Διαβάστε περισσότερα

Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I

Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Kemijska tehnologija Visokošolski strokovni program Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 29. 8. 2013 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani mobilni telefon.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R. II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi

Διαβάστε περισσότερα

INŽENIRSKA MATEMATIKA I

INŽENIRSKA MATEMATIKA I INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a

Διαβάστε περισσότερα

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1 Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne lastnosti odvoda

Osnovne lastnosti odvoda Del 2 Odvodi POGLAVJE 4 Osnovne lastnosti odvoda. Definicija odvoda Odvod funkcije f v točki x je definiran z f f(x + ) f(x) (x) =. 0 Ta definicija je smiselna samo v primeru, ko x D(f), ita na desni

Διαβάστε περισσότερα

vezani ekstremi funkcij

vezani ekstremi funkcij 11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Funkcije in enačbe

Matematika. Funkcije in enačbe Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana

Διαβάστε περισσότερα

Del 5. Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk

Del 5. Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk Del 5 Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk POGLAVJE 1 Krivulje v R n 1. Risanje vektorskih funkcij in vektorskih zaporedij Funkcija iz R v R n je podana z dvema podatkoma: z definicijskim območjem,

Διαβάστε περισσότερα

Reševanje sistema linearnih

Reševanje sistema linearnih Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje

Διαβάστε περισσότερα

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. 1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija. 1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa

Διαβάστε περισσότερα

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

Čas reševanja je 75 minut. 1. [15] Poišči vsa kompleksna števila z, za katera velja. z 2 +2 z +2 i 2 = Im. 1 2i

Čas reševanja je 75 minut. 1. [15] Poišči vsa kompleksna števila z, za katera velja. z 2 +2 z +2 i 2 = Im. 1 2i Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani mobilni telefon.

Διαβάστε περισσότερα

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant. Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Jaka Cimprič

Matematika 1. Jaka Cimprič Matematika 1 Jaka Cimprič Predgovor Pričujoči učbenik je namenjen študentom tistih univerzitetnih programov, ki vključujejo samo eno leto matematike. Nastala je na podlagi izkušenj, ki jih imam s poučevanjem

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,

Διαβάστε περισσότερα

Navadne diferencialne enačbe

Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama

Διαβάστε περισσότερα

Algebraične strukture

Algebraične strukture Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010

Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010 Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dveh in več spremenljivk

Funkcije dveh in več spremenljivk Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),

Διαβάστε περισσότερα

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno

Διαβάστε περισσότερα

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih. TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij

Διαβάστε περισσότερα

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013 Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:

Διαβάστε περισσότερα

Matrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1

Matrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1 Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011

Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011 Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0 Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost

Διαβάστε περισσότερα

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva

Διαβάστε περισσότερα

Uporabna matematika za naravoslovce

Uporabna matematika za naravoslovce Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in

Διαβάστε περισσότερα

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik

Univerza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik BOJANA ZALAR Celje 2009 Izdala: Fakulteta za logistiko Univerze v Mariboru Naslov: Uporaba matematičnih metod

Διαβάστε περισσότερα

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer

Διαβάστε περισσότερα

1.(a) Kdaj ima A R 2 mero 0? (b) Naj bo D enotski krog in f : D R taka, da je f ds = 0. Kaj lahko rečeš o funkciji f?

1.(a) Kdaj ima A R 2 mero 0? (b) Naj bo D enotski krog in f : D R taka, da je f ds = 0. Kaj lahko rečeš o funkciji f? Test iz Analize II (. semester), 2.2.2008 Priimek, ime, šifra:.(a) Kdaj ima A R 2 mero 0? (b) Naj bo D enotski krog in f : D R taka, da je f ds = 0. Kaj lahko rečeš o funkciji f? D 2. a) Formuliraj izrek

Διαβάστε περισσότερα

Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog

Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Skripta za vaje iz Matematike II (UNI + VSP) Ljubljana, determinante Determinanta det A je število, prirejeno

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik

Univerza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko MATEMATIKA Univerzitetni učbenik AJDA FOŠNER IN MAJA FOŠNER Junij, 2008 Kazalo 1 Množice 5 11 Matematična logika 5 12 Množice 10 2 Preslikave 18 21 Realne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006

1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006 1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006 1. Dana je množica predpostavk p q r s, r t, s q, s p r, s t in zaključek t r. Odloči, ali je sklep pravilen ali napačen. pravilen, zapiši

Διαβάστε περισσότερα

Splošno o interpolaciji

Splošno o interpolaciji Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Skripta za vaje iz Matematike I (UNI + VSP) Ljubljana, množice Osnovne definicije: Množica A je podmnožica

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,

Διαβάστε περισσότερα

VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič

VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva Martin Raič OSNUTEK Kazalo 1. Ponovitev 2 2. Ravninska in prostorska geometrija 5 3. Linearna algebra 7 4. Ponavljanje pred kolokvijem 8 M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO)

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA 29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,

Διαβάστε περισσότερα

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne

Διαβάστε περισσότερα

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Lastne vrednosti in lastni vektorji

Lastne vrednosti in lastni vektorji Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,

Διαβάστε περισσότερα

diferencialne enačbe - nadaljevanje

diferencialne enačbe - nadaljevanje 12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne

Διαβάστε περισσότερα

Osnove linearne algebre

Osnove linearne algebre Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna

Διαβάστε περισσότερα

VAJE IZ MATEMATIKE za študente farmacije. Martin Raič s sodelavci

VAJE IZ MATEMATIKE za študente farmacije. Martin Raič s sodelavci VAJE IZ MATEMATIKE za študente farmacije Martin Raič s sodelavci Datum zadnje spremembe: 28. oktober 205 Kazalo. Naravna števila 3 2. Realna števila 4 3. Preslikave 5 4. Zaporedja 6 5. Vrste 0 6. Zveznost

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

VAJE IZ MATEMATIKE za študente lesarstva. Martin Raič

VAJE IZ MATEMATIKE za študente lesarstva. Martin Raič VAJE IZ MATEMATIKE za študente lesarstva Martin Raič Datum zadnje spremembe:. oktober 05 Kazalo. Števila 4. Matrike in sistemi 6 3. Ravninska in prostorska geometrija 8 4. Zaporedja 0 5. Funkcije 3 6.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 7 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju.??? Ko sem

Διαβάστε περισσότερα

Računalniško vodeni procesi I

Računalniško vodeni procesi I Šolski center Velenje Višja strokovna šola Velenje Trg mladosti 3, 33 Velenje Računalniško vodeni procesi I Osnove višješolske matematike Interno gradivo - druga, popravljena izdaja Robert Meolic. september

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje

Διαβάστε περισσότερα

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori s skalarnim produktom

Vektorski prostori s skalarnim produktom Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko

Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan

Διαβάστε περισσότερα

PRIMER UPORABE FUNKCIJ 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE. Upogibni moment. M(X )=F A x qx2 2

PRIMER UPORABE FUNKCIJ 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE. Upogibni moment. M(X )=F A x qx2 2 3 4 PRIMER UPORABE FUNKCIJ Upogibni moment 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE T (x) =F A qx M(X )=F A x qx2 2 1 2 DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE Naj bosta A in B neprazni množici. Enolična funkcija f : A

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Reševanje nelinearnih sistemov

3.1 Reševanje nelinearnih sistemov 3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA II TEORIJA

MATEMATIKA II TEORIJA Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko MTEMTIK. letnik VSŠ MTEMTIK II TEORIJ Maribor, 202 Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko

Διαβάστε περισσότερα

1 3D-prostor; ravnina in premica

1 3D-prostor; ravnina in premica 1 3D-prostor; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru, ki nimata skupne

Διαβάστε περισσότερα

Množico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f

Množico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f Funkcije Funkcija f : A B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis (pravilo, postopek, preslikava, formula,..), ki danemu podatku x A priredi funkcijsko vrednost f (x) B. Množica A je množica vseh

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Kateri logični shemi imajo matematični izreki? Matematični izreki imajo logično zgradbo implikacije(a=>b) ali zgradbo ekvivalence(a b)

Kateri logični shemi imajo matematični izreki? Matematični izreki imajo logično zgradbo implikacije(a=>b) ali zgradbo ekvivalence(a b) Matematika za inženirje 1 Vprašanja iz uvodnega poglavja Zapišite,kdaj je pravilna katera od logičnih operacij: disjunkcija, konjunkcija, implikacija in ekvivalenca. -Disjunkcija je pravilna (vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil. Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih

Διαβάστε περισσότερα

Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec

Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

6. Kako razstavimo razliko kvadratov a2 - b2? Ali se vsota kvadratov a2 + b2 da razstaviti v množici realnih števil?

6. Kako razstavimo razliko kvadratov a2 - b2? Ali se vsota kvadratov a2 + b2 da razstaviti v množici realnih števil? USTNA VPRAŠANJA IZ MATEMATIKE šolsko leto 2005/2006 I. NARAVNA IN CELA ŠTEVILA 1. Naštejte lastnosti operacij v množici naravnih števil. Primer: Izračunajte na dva načina vrednosti izrazov 2. Opišite vrstni

Διαβάστε περισσότερα