Study of limit cycles for some non-smooth Liénard systems

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Study of limit cycles for some non-smooth Liénard systems"

Transcript

1 ( ) Journal of East China Normal University (Natural Science) No. 3 May 011 Article ID: (011) Study of limit cycles for some non-smooth Liénard systems YANG Lu, LIU Xia, XING Ye-peng (Department of Mathematics, Shanghai Normal University, Shanghai 0034, China) Abstract: Algebraic method was used to study the Hopf cyclicity of non-smooth Liénard systems on the plain. Some new formulas for computing focus values were presented. Based on the formulas, the number of limit cycles bifurcating from some non-smooth Liénard systems was obtained. The results improve the known results. Key words: Liénard systems; non-smooth; limit cycle; Hopf cyclicity CLC number: O19 Document code: A DOI: /j.issn Liénard,, (, 0034) : Liénard Hopf,, Liénard Hopf,. : Liénard ; ; ; Hopf 1 Introduction and preliminary Several papers have been concerned with the bifurcation problems of non-smooth systems, see [1-7] for example. In this paper, we consider a non-smooth Liénard system of the form ẋ = p(y) F(x, a), ẏ = g(x), (1) where a R n, F(x, a) = F (x, a), x 0, F (x, a), x 0, g(x) = g (x), x 0, g (x), x 0. : : ( ), (10YZ7) :,,,. :,,,. :,,,,.

2 3, : Liénard 45 Here, F ± and g ± are all C functions and satisfy F ± (0, a) = 0, p(0) = 0, g ± (0) = 0, (g ± ) (0) = g ± 1 > 0, p (0) = p 0 > 0, (F ± x (0, a 0 )) 4p 0 g ± 1 < 0, a 0 R n. () For s > 0 small, the Poincaré return maps h ± (s) were defined in a neighborhood of the origin of general non-smooth systems in [7] and a succession function d was introduced as follows Definition 1.1 [7] If there is a k 1 such that d(s) = h (h (s)) s = V k s k O(s k1 ), V k 0 for s > 0 close to the zero, then V k is called the kth Liapunov constant or focus value. The origin is called fine or weak focus of order k if k > 1. as follows In [1] the definition of succession function of non-smooth systems is presented for s 0 Definition 1. [1] Define h (h (s)) s, for s > 0, d(s) = 0, for s = 0, h (h (s)) s, for s < 0. The function d(s) is called a succession function or a displacement function. Let ( g ) x x 1 g (x), x > 0, G(x) = g(u)du = ( 0 g ) x 1 g (x), x 0, where g ± (0) = 0. Using the above definitions, for system (1), the authors obtained the following lemmas and theorems in [1] Lemma 1.1 [1] and only if Let (1) satisfy (). Then the origin is a fine or weak focus for a = a 0 if g1 F x (0, a 0) g 1 F x (0, a 0) = 0. (3) Lemma 1. [1] Let () and (3) hold. Suppose formally for 0 < x 1 F(α(x), a) F(x, a) = F (α(x), a) F (x, a) = i 1 B i (a)x i, (4) where α(x) = g 1 xo(x ) satisfies G(α(x)) G(x) for 0 < x 1. Then we have formally g 1 d(r 0, a) = i 1 d i (a)r i 0 for a a 0 small, where d 1 (a) = B 1 N 1 (a), d i(a) = B i N i (a) O( B 1, B 1,, B i 1 ),

3 46 ( ) 011 with N i C and N i (a 0) > 0 for i 1. Theorem 1.1 [1] Suppose () and (3) hold. If there exists k 1 such that B j (a 0 ) = 0, j = 1,, k, B k1 (a 0 ) < 0(> 0), then the origin is a stable (unstable) focus of order k 1 of system (1) for a = a 0 and there are at most k limit cycles near the origin for all a a 0 small and k limit cycles can appear if rank (B 1,, B k ) (a 1,, a n ) a=a 0 = k. Corollary 1.1 [1] Let () and (3) hold. If there exists k 1 such that F (α(x), a) F (x, a) when B j1 = 0, j = 0,, k (5) for all a R m, then the origin is a focus of order at most k 1 of system (1) unless it is a center. further Theorem 1. [1] Suppose () and (3) are satisfied. Let (5) hold for some k 1. If B j1 (a 0 ) = 0, j = 0,, k, rank (B 1,, B k1 ) a=a0 = k 1, (6) (a 1,, a n ) for some a 0 R m, then system (1) has Hopf cyclicity k at the origin for a a 0 small. Theorem 1.3 [1] Let () and (3) hold. Suppose there exists k 1 such that (5) holds for all a R m and (6) holds for some a 0 R m. If F is linear in a then for any constant N > a 0, system (1) has Hopf cyclicity k for all a N. For general system (1), let G G(x) = x G 3 x3 G 4 x4 G 5 x5, x > 0 G x G 3 x3 G 4 x4 G 5 x5, x 0, F(x, a) = F 1 x F x F 3 x3 F 4 x4 F 5 x5, x > 0 F 1 x F x F 3 x3 F 4 x4 F 5 x5, x 0. Suppose α(x) = α 1 x α x α 3 x 3 α 4 x 4 α 5 x 5 for 0 < x 1. By inserting α(x) into the equation G(α(x)) = G(x), it was obtained in [1] G α 1 =, α = G 3 α3 1G 3 G α 1 G, α 3 = G 4 G 4 α4 1 3G 3 α 1α G α α 1 G, α 4 = G 5 G 5 α5 1 4G 4 α3 1 α 3G 3 (α 1 α 3 α 1 α ) G α α 3 α 1 G, α 5 = G 6 G 6 α6 1 5G 5 α4 1 α G 4 (4α3 1 α 3 6α 1 α ) G 3 (3α 1 α 4 α 3 6α 1α α 3 ) α 1 G G (α α 4 α 3) α 1 G, (7)

4 3, : Liénard 47 α 6 = G 7 G 7 α7 1 6G 6 α5 1 α 5G 5 (α3 1 α α4 1 α 3) 4G 4 (3α 1 α α 3 α 1 α 3 α3 1 α 4) α 1 G 3G 3 (α 1α 5 α 1 α α 4 α 1 α 3 α α 3 ) G (α 3α 4 α α 5 ) α 1 G. Then by using (4), the following formulas were obtained in [1] B 1 (a) = α 1 F1 F 1, B (a) = α F1 α 1F F, B 3 (a) = α 3 F1 α 1α F α3 1F3 F 3, B 4 (a) = α 4 F1 (α 1α 3 α )F 3α 1 α F3 α4 1 F 4 F 4, B 5 (a) = α 5 F1 (α 1α 4 α α 3 )F 3(α 1 α 3 α 1 α )F 3 4α3 1 α F4 α5 1 F 5 F 5, B 6 (a) = α 6 F1 (α 1α 5 α α 4 α 3 )F (3α 1 α 4 6α 1 α α 3 α 3 )F 3 (6α 1α 4α 3 1α 3 )F4 5α4 1α F5 α6 1F6 F 6. (8) Applying Theorem 1.3 to the following system, ẋ = y F n (x, a), ẏ = g(x), (9) where F n (x, a) = n a i xi, x > 0, n a i xi, x 0, i=1 i=1 g(x) = x g x, x > 0, x g x, x 0, the authors in [1] proved that for n = 1, or 3 system (9) respectively has Hopf cyclicity 1, 3, 5 at the origin. In this paper we first give a formula for computing B i, i = 7, 8, 9, 10, and then apply Theorems to study the Hopf bifurcation of some non-smooth Liénard systems. In particular, we found the Hopf cyclicity for system (9) in the case of n = 3 can be 4, which improve the result in [1], see Theorem. below. Main results and proofs For general system (1) we have Theorem.1 Let (7) and (8) hold. We can further obtain α 7 = [G 8 G 8 α8 1 7G 7 α6 1α G 6 (6α5 1α 3 15α 4 1α ) 5G 5 (α4 1α 4 4α 3 1α α 3 α 1α 3 ) G 4 (1α 1α α 4 6α 1α 3 4α 3 1α 5 1α 1 α α 3 α 4 ) 3G 3 (α 1α α 5 α 1 α 3 α 4 α 1α 6 α α 3 α α 4 ) G (α α 6 α 3 α 5 α 4 )]/(α 1G ),

5 48 ( ) 011 α 8 = [G 9 G 9 α9 1 8G 8 α7 1α 7G 7 (α6 1α 3 3α 5 1α ) G 6 (6α5 1α 4 30α 4 1α α 3 0α 3 1α 3 ) 5G 5 (α4 1α 5 4α 3 1α α 4 α 3 1α 3 6α 1α α 3 α 1 α 4 ) 4G 4 (3α 1 α 3α 4 3α 1 α α 5 3α α 1 α 3 α3 1 α 6 α 3 α 3 3α α 1α 4 ) G 3 (3α 1 α 7 3 α 1 α 4 6 α 1α 3 α 5 6 α 1 α α 6 α α α 3 α 4 3 α α 5) G (α α 7 α 3 α 6 α 4 α 5 )]/(α 1 G ), α 9 = [ G 10 α10 1 G 10 9α8 1α G 9 4(7α6 1α α 7 1α 3 )G 8 7(α6 1α 4 5α 4 1α 3 6α 5 1α 3 α )G 7 (6α 5 1α 5 15α 4 1α 3 15α 4 α 1 30α 4 1α 4 α 60α 3 1α α 3 )G 6 (5α 6α α 1α α 3 0α 1 α 3 α 3 0α 3 1α α 5 0α 3 1α 3 α 4 30α 1α α 4 α 5 )G 5 (4α 3 α 4 4α 3 3α 1 4α 7 α 3 1 6α α 3 6α 1α 4 1α 1 α α 5 1α 1α 3 α 5 1α 6 α 1 α 4α 1 α α 4 α 3 )G 4 3(α 3 α 4 α α 6 α 1 α 8 α α 4 α 1α α 7 α 1 α 4 α 5 α 1 α 3 α 6 α α 3 α 5 )G 3 (α 3 α 7 α 4 α 6 α α 8 α 5 )G ]/( α 1G ), α 10 = [ G 11 α11 1 G 11 10α9 1α G 10 9(α8 1α 3 4α 7 1α )G 9 8(α7 1α 4 7α 5 1α 3 7α 6 1α α 3 )G 8 7(α 6 1α 5 5α 3 1α 4 3α 5 1α 3 15α 4 1α 3 α 6α 5 1α 4 α )G 7 6(α5 α 1 α 6 α 5 1 5α 4 1α 3 α 4 10α 1α 3 α 3 10α 3 1α 3α 10α 3 1α α 4 5α 4 1α 5 α )G 6 5(α4 α 3 α 7 α 4 1 α 3 3α 1 α 3 1 α 4 6α 1α α 3 6α 1 α α 5 4α 3 1 α 3α 5 4α 1 α 3 α 4 4α 6 α 3 1 α 1α 1 α α 4 α 3 )G 5 4(α3 3 α α 3 α 5 α 8 α 3 1 3α 7α 1 α 3α 6 α 1 α 3 3α 6 α 1 α 3α α 4α 3 3α 1 α α 4 3α 1α 3 α 4 3α 1 α 4α 5 6α 1 α α 3 α 5 )G 4 3(α 1α 5 α 3α 4 and α α 7 α 3α 5 α 1α 9 α α 4 α 5 α 1 α α 8 α 1 α 3 α 7 α 1 α 4 α 6 α α 3 α 6 )G 3 (α 4 α 7 α 5 α 6 α 3 α 8 α α 9 )G ]/( α 1G ) B 7 (a) = α 7 F 1 (α 1α 6 α α 5 α 3 α 4 )F 3(α 1 α 5 α 1 α α 4 α 1 α 3 α α 3)F 3 4(α 3 1α 4 3α 1α α 3 α 1 α 3 )F 4 5(α4 1α 3 α 3 1α )F 5 6α5 1α F 6 α7 1F 7 F 7, B 8 (a) = α 8 F 1 (α 1α 7 α α 6 α 3 α 5 α 4)F 3(α 1α 6 α 1 α α 5 α 1 α 3 α 4 α α 4 α α 3)F 3 (4α3 1α 5 1α 1α α 4 6α 1α 3 1α α 1 α 3 α 4 )F 4 5(α4 1α 4 4α 3 1 α α 3 α 1 α3 )F 5 3(α5 1 α 3 5α 4 1 α )F 6 7α6 1 α F 7 α8 1 F 8 F 8

6 3, : Liénard 49 B 9 (a) = α 9 F 1 (α α 7 α 4 α 5 α 1 α 8 α 3 α 6 )F (3α α 5 3α 1 α 4 3α 1α 7 6α 1 α α 6 6α 1 α 3 α 5 6α α 3 α 4 α 3 3)F 3 4(α3 α 3 α 6 α 3 1 3α 1α α 5 3α 1 α α 3 3α 1 α α 4 3α 1 α 3α 4 )F 4 5(α4 α 1 α 4 1 α 5 α 3 1 α 3 4α3 1 α α 4 6α 1 α α 3)F 5 (0α 3 1 α3 6α5 1 α 4 30α 4 1 α 3α )F 6 7(α6 1 α 3 3α 5 1 α )F 7 8α7 1 α F 8 α 9 1 F 9 F 9, B 10 (a) = α 10 F 1 (α 3α 7 α 1 α 9 α 4 α 6 α α 8 α 5 )F 3(α 1 α 8 α 3 α 4 α α 4 α α 6 α 1 α 4 α 5 α α 3 α 5 α 1 α α 7 α 1 α 3 α 6 )F 3 (4α 7α 3 1 4α3 α 4 6α α 3 4α 1α 3 3 6α 1 α 4 1α 1 α 3α 5 1α 6 α 1 α 1α 1 α α 5 4α 1 α α 3 α 4 )F 4 Then (5α 6 α 4 1 0α 3 1α 3 α 4 0α 1 α 3 α 3 30α 1α α 4 0α 3 1α α 5 30α 1α α 3 α 5 )F 5 3(5α 4 α 1 5α 4 1α 3 α 5 1α 5 10α 4 1α 4 α 0α 3 1α α 3 )F 6 [mm] 7(5α 4 1α 3 α 6 1α 4 6α 5 1α 3 α )F 7 (8α7 1α 3 8α 6 1α )F 8 9α8 1α F 9 α 10 1 F 10 F 10. Proof Let α(x) = α 1 x α x α 3 x 3 α 4 x 4 α 5 x 5, xα(x) < 0. G(α(x)) = G (α(x)) G 3 (α(x))3 G 4 (α(x))4 G 5 (α(x))5 G 6 (α(x))6 G 7 (α(x))7 G 8 (α(x))8, G(x) = G x G 3 x3 G 4 x4 G 5 x5 G 6 x6 G 7 x7 G 8 x8. Note that G(α(x)) = G(x). Comparing the coefficients of x 8 in the both sides, we obtain G 8 = G (α 1α 7 α α 6 α 3 α 5 α 4 ) G 3 (6α 1α α 5 6α 1 α 3 α 4 3α 1 α 6 3α α 3 3α α 4) G 4 (1α 1 α α 4 6α 1 α 3 4α3 1 α 5 1α 1 α α 3 α 4 ) G 5 (5α4 1 α 4 0α 3 1 α α 3 10α 1 α3 ) G 6 (6α5 1 α 3 15α 4 1 α ) 7G 7 α6 1 α G 8 α8 1. Then α 7 can be solved from the above. The coefficients α 8, α 9, α 10 can be obtained in the same way. By F (α(x), a) F (x, a) = F1 (α(x)) F (α(x)) F3 (α(x))3 F4 (α(x))4 F5 (α(x))5 F6 (α(x))6 F7 (α(x))7 F8 (α(x))8 (F 1 x F x F 3 x3 F 4 x4 F 5 x5 F 6 x6 F 7 x7 F 8 x8 ),

7 50 ( ) 011 and using (4), by combining the coefficients of x i, i = 7, 8, 9, 10 respectively, we can obtain the expressions of B i (a), i = 7, 8, 9, 10. The proof is completed. where Let Theorem. Consider the following system F n (x, a) = ẋ = y F n (x, a), ẏ = g(x), (10) n a i xi, x > 0, n a i xi, x 0, i=1 i=1 g(x) = x g x, x > 0, x g x, x 0. M 3 = 7 97 (g ) (g )5 g (g )4 (g ) (g )3 (g ) (g ) (g ) (g )(g )5, M 4 = (g )5 (g ) (g )3 (g ) (g )9 (g ) (g )10 g (g )7 (g ) (g ) (g ) (g ) (g )4 (g ) (g )(g ) (g )8 (g )3, M 5 = (g )9 (g ) (g )14 (g 3935 ) (g )4 (g ) (g )5 (g ) (g ) g (g ) (g )17 g (g )6 (g ) (g )7 (g ) (g )16 ( ) (g )11 (g 995 ) (g )16 (g ) (g )3 (g ) (g )1 (g 3935 ) (g )15 (g ) (g )13 (g ) (g )10 (g ) (g )8 (g )10. Then system (10) has Hopf cyclicity n at the origin if M n 0 for n = 3, 4 and 5 respectively. Proof In fact, for (10) we have G = G = 1, G 3 = g 3, G 3 = g 3, G± j By (7), (8) and Theorem.1, we can obtain = 0, j 4. α 1 = 1, α = g g, 3 α 3 = 9 g g 5 18 (g ) 1 18 (g ), α 4 = 5 18 (g ) g 8 7 (g ) (g )3, α 5 = (g ) (g )3 g (g ) (g ) (g )4,

8 3, : Liénard 51 α 6 = (g ) (g ) (g )4 g 3 43 (g )3 (g ) 5 97 (g ) (g )3, α 7 = (g ) (g ) (g )5 g (g )4 (g ) (g ) (g )4, α 8 = (g )5 (g ) (g )6 (g ) (g ) (g ) (g )4 (g ) (g ) (g )5, α 9 = (g )4 (g ) (g )6 (g ) (g ) (g ) (g )7 g (g )5 (g ) (g ) (g )8, and α 10 = (g )6 (g ) (g ) (g ) (g )4 (g ) (g )7 (g ) (g )8 g (g ) (g )9, B 1 (a) = a 1 a 1, B (a) = α a 1 a a, B 3 (a) = α 3 a 1 α a a 3 a 3, B 4 (a) = α 4 a 1 ( α 3 α )a 3α a 3 a 4 a 4, B 5 (a) = α 5 a 1 ( α 4 α α 3 )a 3(α 3 α )a 3 4α a 4 a 5 a 5, B 6 (a) = α 6 a 1 ( α 5 α α 4 α 3)a (3α 4 6α α 3 α 3 )a 3 (6α 4α 3 )a 4 5α a 5, B 7 (a) = α 7 a 1 ( α 6 α α 5 α 3 α 4 )a 3(α 5 α α 4 α 3 α α 3 )a 3 4( α 4 3α α 3 α 3 )a 4 5(α 3 α )a 5, B 8 (a) = α 8 a 1 ( α 7 α α 6 α 3 α 5 α 4)a 3(α 6 α α 5 α 3 α 4 α α 4 α α 3)a 3 ( 4α 5 1α α 4 6α 3 1α α 3 α 4 )a 4 5(α3 α 4 4α α 3 )a 5, B 9 (a) = α 9 a 1 (α 3α 6 α 4 α 5 α α 7 α 8 )a (α3 3 6 α α 3 α 4 3 α α 5 3 α 7 3 α 4 6 α α 6 6 α 3 α 5 )a 3 4(3 α α 5 α 3 α 3 3 α 3 α 4 3 α α 4 3 α α 3 α 6 )a 4 5( α 3 α 5 α 4 4 α α 4 6 α α 3 )a 5, B 10 (a) =α 10 a 1 ( α 4α 6 α 5 α α 8 α 3 α 7 α 9 )a 3( α α 7 α 4 α 5 α α 4 α α 3 α 5 α 3 α 6 α 3 α 4 α α 6 α 8 )a 3 (α3 α 4 α 7 1α α 3 α 4 3α α 3 3α 4 6α α 6 6α 3 α 5 α 3 3 6α α 5)a 4 (5α 6 0α α 5 30α α 4 0α 3 α 3 0α 3 α 4 30α α 3 α5 )a 5. We take g, g as constants. For n = 3, take a = (a 1, a 1, a, a, a 3, a 3 ) R6, we have det (B 1, B, B 3, B 4, B 5, B 6 ) (a 1, a 1, a, a, a 3, a 3 ) = 0, and det (B 1, B, B 3, B 4, B 5 ) (a 1, a 1, a, a, a 3 ) = M 3.

9 5 ( ) 011 Then by Solving the equations B i (a) = 0, i = 1,, 3, 4, 5, we have and (11), we have a 1 = 0, a 1 = 0, a = 3 a 3, a = 3 a 3, a 3 = g a 3. (11) G (α(x)) = G (x) 1 α (x) g 3 α3 (x) = 1 x g 3 x3, F (α(x)) F (x) = a 1 α(x) a α (x) a 3 α3 (x) a 1 x a x a 3 x3 = a 3 3 g ( 1 α (x) g 3 α3 (x) 1 x g 3 x3 ) = 0. Hence, for i = 1,, 3, 4, 5, B i (a) = 0 implies F(α(x)) = F(x). Taking a 0 = ( 0, 0, 3 g the conclusion for n = 3 follows from Theorem 1.3. For n = 4, we have ) a 3, 3 a 3, g a 3, a 3, det (B 1, B, B 3, B 4, B 5, B 6, B 7, B 8 ) (a 1, a 1, a, a, a 3, a 3, a 4, a 4 ) = 0, Solve B i (a) = 0, i = 1,,, 7, we obtain det (B 1, B, B 3, B 4, B 5, B 6, B 7 ) (a 1, a 1, a, a, a 3, a 4, a 4 ) = M 4. a 1 = a 1 = a 4 = a 4 = 0, a = a = 3 a 3, a 3 = g a 3, which follows F (α(x)) = F (x) from G (α(x)) = G (x) using the discussion for the case n = 3. Thus, when B i (a) = 0, i = 1,,, 7, one has F(α(x)) = F(x). The conclusion follows for n = 4 by taking For n = 5, we have a 0 = ( 0, 0, 3 g ) a 3, 3 a 3, g a 3, a 3, 0, 0. det (B 1, B, B 3, B 4, B 5, B 6, B 7, B 8, B 9, B 10 ) (a 1, a 1, a, a, a 3, a 3, a 4, a 4, a 5, a 5 ) = 0, det (B 1, B, B 3, B 4, B 5, B 6, B 7, B 8, B 9 ) (a 1, a 1, a, a, a 3, a 4, a 4, a 5, a 5 ) = M 5. Solve B i (a) = 0, i = 1,,, 9, we obtain a 1 = a 1 = a 4 = a 4 = a 5 = a 5 = 0, a = a = 3 a 3, a 3 = g a 3.

10 3, : Liénard 53 As before, when B i (a) = 0, i = 1,,, 9, one has F(α(x)) = F(x). The conclusion follows for n = 5 by taking This ends the proof. a 0 = ( 0, 0, 3 g a 3, 3 a 3, g a 3, a 3 )., 0, 0, 0, 0 [ References ] [ 1 ] HAN Mao-an, LIU Xia. Hopf bifurcation for non-smooth Liénard systems[j]. Int J Bifurcation and Chaos, 009, 19(7): [ ] COLL B, GASULL A, PROHENS R. Limit cycles for non smooth differential equations via schwarzian derivative [J]. J Diff Eqs, 1996, 13: [ 3 ] LEINE R I, VAN CAMPEN D H. Bifurcation phenomena in non-smooth dynamical systems[j]. European Journal of Mechanics, 006, 5: [ 4 ] LEINE R I. Bifurcation of equilibria in non-smooth continuous systems[j] Physica D, 006, 3: [ 5 ] ZOU Y, KÜPPER T, BEYN W J. Generalized Hopf bifurcation for palnar Filippov systems continuous at the origin[j]. J. Nonlinear Sci, 006, 16: [ 6 ] GASULL A, TORREGROSA J. Center-focus problem for discontinuous planar differ ential equations[j]. Int J Bifurcation and Chaos, 003, 13: [ 7 ] KUNZE M. Non-Smooth Dynamical Systems[M]. Berlin: Springer-Verlag, 000. ( 0 ) [ ] [ 1 ] MERTON R C. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[j]. Journal of Financial Economics, 1976(3): [ ] NAIK V, LEE M. General equilibrium prcing of options on the market portfolio with discontinuous returns[j]. Review of Financial Studies, 1990(3): [ 3 ] AHN C M, CHO D C, PARK K. The pricing of foreign currency options under jump-diffusion processes[j]. Journal of Futures Markets, 007, 7: [ 4 ] KOU S G. A jump diffusion model for option pricing[j]. Management Science, 00, 48: [ 5 ] KOU S G., WANG H. Option pricing under a double exponential jump diffusion model[j]. Management Science, 004, 50: [ 6 ] BIGER N, HULL J. The valuation of currency options[j]. Financial Manage, 1983(1): 4-8. [ 7 ] COX J C, INGERSOLL J E, ROSS S A. A theory of the term structure of interest rates[j]. Ecomometrica, 1985, 53: [ 8 ] AMIN K I, Jarrow R. Pricing foreign currency options under stochastic interest rates [J]. Journal of International Money and Finance, 1991(10): [ 9 ] HULL J. Options, Futures, and Other Derivatives[M] 5th ed. New York: Prentice Hall International Inc, 003. [10] BLENMAN L P, Clark S P. Power exchange options[j]. Finance Research Letters, 005 (): [11] JAIMUNGAL S, Wang T. Catastrophe options with stochastic interest rates and compound Poisson losses.[j]. Insurance: Mathematics and Economics, 006, 38: [1] SHREVE. Stochatic Calculus for Finance II: Continuous time models[m]. New York: Springer, 000.

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Forecasting ARMA processes

6.3 Forecasting ARMA processes 122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

Second Order RLC Filters

Second Order RLC Filters ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

ORDINAL ARITHMETIC JULIAN J. SCHLÖDER

ORDINAL ARITHMETIC JULIAN J. SCHLÖDER ORDINAL ARITHMETIC JULIAN J. SCHLÖDER Abstract. We define ordinal arithmetic and show laws of Left- Monotonicity, Associativity, Distributivity, some minor related properties and the Cantor Normal Form.

Διαβάστε περισσότερα

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008 Tridiagonal matrices Gérard MEURANT October, 2008 1 Similarity 2 Cholesy factorizations 3 Eigenvalues 4 Inverse Similarity Let α 1 ω 1 β 1 α 2 ω 2 T =......... β 2 α 1 ω 1 β 1 α and β i ω i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω 0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1

Main source: Discrete-time systems and computer control by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a

Διαβάστε περισσότερα

Testing for Indeterminacy: An Application to U.S. Monetary Policy. Technical Appendix

Testing for Indeterminacy: An Application to U.S. Monetary Policy. Technical Appendix Testing for Indeterminacy: An Application to U.S. Monetary Policy Technical Appendix Thomas A. Lubik Department of Economics Johns Hopkins University Frank Schorfheide Department of Economics University

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume BULETINUL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A REPUBLICII MOLDOVA. MATEMATICA Numbers 2(72) 3(73), 2013, Pages 80 89 ISSN 1024 7696 On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume I.S.Gutsul Abstract. In

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΑΝΑΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΗΣ ΣΥΝΑΡΜΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΛΙΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ REDESIGNING AN ASSEMBLY LINE WITH LEAN PRODUCTION TOOLS

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΑΝΑΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΗΣ ΣΥΝΑΡΜΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΛΙΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ REDESIGNING AN ASSEMBLY LINE WITH LEAN PRODUCTION TOOLS ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΑΝΑΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΗΣ ΣΥΝΑΡΜΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΛΙΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ REDESIGNING AN ASSEMBLY LINE WITH

Διαβάστε περισσότερα

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics Contents 1. Markov set-chain 2. Model of bonus-malus system 3. Example 4. Conclusions

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometric Formula Sheet

Trigonometric Formula Sheet Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ

Διαβάστε περισσότερα

DIRECT PRODUCT AND WREATH PRODUCT OF TRANSFORMATION SEMIGROUPS

DIRECT PRODUCT AND WREATH PRODUCT OF TRANSFORMATION SEMIGROUPS GANIT J. Bangladesh Math. oc. IN 606-694) 0) -7 DIRECT PRODUCT AND WREATH PRODUCT OF TRANFORMATION EMIGROUP ubrata Majumdar, * Kalyan Kumar Dey and Mohd. Altab Hossain Department of Mathematics University

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ "ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟΥ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΥ ΥΓΕΙΑΣ "

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟΥ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΥ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ "ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟΥ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 205 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Τριτη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 3. 5.2 (a) From the Wiener-Hopf equation we have:

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2 and compare to M.

( ) 2 and compare to M. Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

Problem Set 3: Solutions

Problem Set 3: Solutions CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C

Διαβάστε περισσότερα

Arbitrage Analysis of Futures Market with Frictions

Arbitrage Analysis of Futures Market with Frictions 2007 1 1 :100026788 (2007) 0120033206, (, 200052) : Vignola2Dale (1980) Kawaller2Koch(1984) (cost of carry),.,, ;,, : ;,;,. : ;;; : F83019 : A Arbitrage Analysis of Futures Market with Frictions LIU Hai2long,

Διαβάστε περισσότερα

Risk! " #$%&'() *!'+,'''## -. / # $

Risk!  #$%&'() *!'+,'''## -. / # $ Risk! " #$%&'(!'+,'''## -. / 0! " # $ +/ #%&''&(+(( &'',$ #-&''&$ #(./0&'',$( ( (! #( &''/$ #$ 3 #4&'',$ #- &'',$ #5&''6(&''&7&'',$ / ( /8 9 :&' " 4; < # $ 3 " ( #$ = = #$ #$ ( 3 - > # $ 3 = = " 3 3, 6?3

Διαβάστε περισσότερα

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS The purpose of this handout is to record the classical formulas expressing the roots of degree three and degree four polynomials in terms of radicals. We begin with

Διαβάστε περισσότερα

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p)

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p) Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Andreas Strömbergsson Prov i matematik Funktionalanalys Kurs: F3B, F4Sy, NVP 2005-03-08 Skrivtid: 9 14 Tillåtna hjälpmedel: Manuella skrivdon, Kreyszigs bok

Διαβάστε περισσότερα

1. Introduction and Preliminaries.

1. Introduction and Preliminaries. Faculty of Sciences and Mathematics, University of Niš, Serbia Available at: http://www.pmf.ni.ac.yu/filomat Filomat 22:1 (2008), 97 106 ON δ SETS IN γ SPACES V. Renuka Devi and D. Sivaraj Abstract We

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΕ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ

ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΕ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε.) «Αρχιμήδης ΙΙΙ Ενίσχυση Ερευνητικών ομάδων στην Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε.» Υποέργο: 8 Τίτλος: «Εκκεντρότητες αντισεισμικού σχεδιασμού ασύμμετρων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΓΕΩΡΓΙΑ ΤΡΙΣΟΚΚΑ Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Jordan Form of a Square Matrix

Jordan Form of a Square Matrix Jordan Form of a Square Matrix Josh Engwer Texas Tech University josh.engwer@ttu.edu June 3 KEY CONCEPTS & DEFINITIONS: R Set of all real numbers C Set of all complex numbers = {a + bi : a b R and i =

Διαβάστε περισσότερα

Roman Witu la 1. Let ξ = exp(i2π/5). Then, the following formulas hold true [6]:

Roman Witu la 1. Let ξ = exp(i2π/5). Then, the following formulas hold true [6]: Novi Sad J. Math. Vol. 43 No. 1 013 9- δ-fibonacci NUMBERS PART II Roman Witu la 1 Abstract. This is a continuation of paper [6]. We study fundamental properties applications of the so called δ-fibonacci

Διαβάστε περισσότερα

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195

Διαβάστε περισσότερα

TMA4115 Matematikk 3

TMA4115 Matematikk 3 TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ. του φοιτητή του Σμήματοσ Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και. Σεχνολογίασ Τπολογιςτών τησ Πολυτεχνικήσ χολήσ του. Πανεπιςτημίου Πατρών

ΔΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ. του φοιτητή του Σμήματοσ Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και. Σεχνολογίασ Τπολογιςτών τησ Πολυτεχνικήσ χολήσ του. Πανεπιςτημίου Πατρών ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΗΜΑ ΗΛΕΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΕΦΝΟΛΟΓΙΑ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ ΣΟΜΕΑ: ΗΛΕΚΣΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΗΛΕΚΣΡΟΝΙΚΩΝ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ του φοιτητή του Σμήματοσ Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης VISCOUSLY DAMPED 1-DOF SYSTEM Μονοβάθμια Συστήματα με Ιξώδη Απόσβεση Equation of Motion (Εξίσωση Κίνησης): Complete

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k!

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k! Bessel functions The Bessel function J ν (z of the first kind of order ν is defined by J ν (z ( (z/ν ν Γ(ν + F ν + ; z 4 ( k k ( Γ(ν + k + k! For ν this is a solution of the Bessel differential equation

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011 Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

Online Appendix to. When Do Times of Increasing Uncertainty Call for Centralized Harmonization in International Policy Coordination?

Online Appendix to. When Do Times of Increasing Uncertainty Call for Centralized Harmonization in International Policy Coordination? Online Appendix to When o Times of Increasing Uncertainty Call for Centralized Harmonization in International Policy Coordination? Andrzej Baniak Peter Grajzl epartment of Economics, Central European University,

Διαβάστε περισσότερα

The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 7: The Janson Inequality

The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 7: The Janson Inequality The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques Lecture 7: The Janson Inequality Sotiris Nikoletseas Associate Professor Computer Engineering and Informatics Department 2014-2015 Sotiris Nikoletseas,

Διαβάστε περισσότερα

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) ( (

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) (  ( 35 Þ 6 Ð Å Vol. 35 No. 6 2012 11 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., 2012 È ÄÎ Ç ÓÑ ( µ 266590) (E-mail: jgzhu980@yahoo.com.cn) Ð ( Æ (Í ), µ 266555) (E-mail: bbhao981@yahoo.com.cn) Þ» ½ α- Ð Æ Ä

Διαβάστε περισσότερα

A Lambda Model Characterizing Computational Behaviours of Terms

A Lambda Model Characterizing Computational Behaviours of Terms A Lambda Model Characterizing Computational Behaviours of Terms joint paper with Silvia Ghilezan RPC 01, Sendai, October 26, 2001 1 Plan of the talk normalization properties inverse limit model Stone dualities

Διαβάστε περισσότερα

Generalized Quasilinearization versus Newton s Method for Convex-Concave Functions

Generalized Quasilinearization versus Newton s Method for Convex-Concave Functions www.ccsenet.org/jmr Journal of Mathematics Research Vol., No. 3; August 010 Generalized Quasilinearization versus Newton s Method for Convex-Concave Functions Cesar Martínez-Garza (Corresponding author)

Διαβάστε περισσότερα

Space Physics (I) [AP-3044] Lecture 1 by Ling-Hsiao Lyu Oct Lecture 1. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines

Space Physics (I) [AP-3044] Lecture 1 by Ling-Hsiao Lyu Oct Lecture 1. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines Space Physics (I) [AP-344] Lectue by Ling-Hsiao Lyu Oct. 2 Lectue. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines.. Dipole Magnetic Field Since = we can define = A (.) whee A is called the

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδια Μαθηµατικών και Χταποδάκι στα Κάρβουνα

Εγχειρίδια Μαθηµατικών και Χταποδάκι στα Κάρβουνα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Εγχειρίδια Μαθηµατικών και Χταποδάκι στα Κάρβουνα Νίκος Στυλιανόπουλος, Πανεπιστήµιο Κύπρου Λευκωσία, εκέµβριος 2009 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Πόσο σηµαντική είναι η απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

Τo ελληνικό τραπεζικό σύστημα σε περιόδους οικονομικής κρίσης και τα προσφερόμενα προϊόντα του στην κοινωνία.

Τo ελληνικό τραπεζικό σύστημα σε περιόδους οικονομικής κρίσης και τα προσφερόμενα προϊόντα του στην κοινωνία. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡMΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ & ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Γεωργία Χ. Κιάκου ΑΜ : 718 Τo ελληνικό τραπεζικό σύστημα σε περιόδους οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics

Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics Volume 31, 2004, 83 97 T. Tadumadze and L. Alkhazishvili FORMULAS OF VARIATION OF SOLUTION FOR NON-LINEAR CONTROLLED DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS

Διαβάστε περισσότερα

The kinetic and potential energies as T = 1 2. (m i η2 i k(η i+1 η i ) 2 ). (3) The Hooke s law F = Y ξ, (6) with a discrete analog

The kinetic and potential energies as T = 1 2. (m i η2 i k(η i+1 η i ) 2 ). (3) The Hooke s law F = Y ξ, (6) with a discrete analog Lecture 12: Introduction to Analytical Mechanics of Continuous Systems Lagrangian Density for Continuous Systems The kinetic and potential energies as T = 1 2 i η2 i (1 and V = 1 2 i+1 η i 2, i (2 where

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΧΡΥΣΟΒΑΛΑΝΤΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΛΕΜΕΣΟΣ 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. εύτερη Σειρά Ασκήσεων.

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. εύτερη Σειρά Ασκήσεων. Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 2015 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης εύτερη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 1. 1. Consder the gven expresson for R 1/2 : R 1/2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 10η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 10η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 0η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Best Response Curves Used to solve for equilibria in games

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ολοκληρωμένη Ανάπτυξη & Διαχείριση Αγροτικού Χώρου» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ «Η συμβολή των Τοπικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

AN APPLICATION OF THE SUBORDINATION CHAINS. Georgia Irina Oros. Abstract

AN APPLICATION OF THE SUBORDINATION CHAINS. Georgia Irina Oros. Abstract AN APPLICATION OF THE SUBORDINATION CHAINS Georgia Irina Oros Abstract The notion of differential superordination was introduced in [4] by S.S. Miller and P.T. Mocanu as a dual concept of differential

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Τομέας Περιβαλλοντικής Υδραυλικής και Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής (III) Εργαστήριο Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής TECHNICAL UNIVERSITY OF CRETE SCHOOL of

Διαβάστε περισσότερα

The Nottingham eprints service makes this work by researchers of the University of Nottingham available open access under the following conditions.

The Nottingham eprints service makes this work by researchers of the University of Nottingham available open access under the following conditions. Luevorasirikul, Kanokrat (2007) Body image and weight management: young people, internet advertisements and pharmacists. PhD thesis, University of Nottingham. Access from the University of Nottingham repository:

Διαβάστε περισσότερα

MATRIX INVERSE EIGENVALUE PROBLEM

MATRIX INVERSE EIGENVALUE PROBLEM English NUMERICAL MATHEMATICS Vol.14, No.2 Series A Journal of Chinese Universities May 2005 A STABILITY ANALYSIS OF THE (k) JACOBI MATRIX INVERSE EIGENVALUE PROBLEM Hou Wenyuan ( ΛΠ) Jiang Erxiong( Ξ)

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.2 Graphs of Polar Equations

Section 8.2 Graphs of Polar Equations Section 8. Graphs of Polar Equations Graphing Polar Equations The graph of a polar equation r = f(θ), or more generally F(r,θ) = 0, consists of all points P that have at least one polar representation

Διαβάστε περισσότερα

Elements of Information Theory

Elements of Information Theory Elements of Information Theory Model of Digital Communications System A Logarithmic Measure for Information Mutual Information Units of Information Self-Information News... Example Information Measure

Διαβάστε περισσότερα

Η αλληλεπίδραση ανάμεσα στην καθημερινή γλώσσα και την επιστημονική ορολογία: παράδειγμα από το πεδίο της Κοσμολογίας

Η αλληλεπίδραση ανάμεσα στην καθημερινή γλώσσα και την επιστημονική ορολογία: παράδειγμα από το πεδίο της Κοσμολογίας Η αλληλεπίδραση ανάμεσα στην καθημερινή γλώσσα και την επιστημονική ορολογία: παράδειγμα από το πεδίο της Κοσμολογίας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αριστείδης Κοσιονίδης Η κατανόηση των εννοιών ενός επιστημονικού πεδίου απαιτεί

Διαβάστε περισσότερα

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 We know that KA = A If A is n th Order 3AB =3 3 A. B = 27 1 3 = 81 3 2. If A= 2 1 0 0 2 1 then

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία "Η ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΘΗΛΑΣΜΟΥ ΣΤΗ ΠΡΟΛΗΨΗ ΤΗΣ ΠΑΙΔΙΚΗΣ ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑΣ" Ειρήνη Σωτηρίου Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΙΣΧΥΟΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΙΣΧΥΟΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΙΣΧΥΟΣ Προοπτικές Εναρμόνισης της Ελληνικής Αγοράς Ηλεκτρικής Ενέργειας με τις Προδιαγραφές του Μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

Δημιουργία Λογαριασμού Διαχείρισης Business Telephony Create a Management Account for Business Telephony

Δημιουργία Λογαριασμού Διαχείρισης Business Telephony Create a Management Account for Business Telephony Δημιουργία Λογαριασμού Διαχείρισης Business Telephony Create a Management Account for Business Telephony Ελληνικά Ι English 1/7 Δημιουργία Λογαριασμού Διαχείρισης Επιχειρηματικής Τηλεφωνίας μέσω της ιστοσελίδας

Διαβάστε περισσότερα

A Note on Characterization of Intuitionistic Fuzzy Ideals in Γ- Near-Rings

A Note on Characterization of Intuitionistic Fuzzy Ideals in Γ- Near-Rings International Journal of Computational Science and Mathematics. ISSN 0974-3189 Volume 3, Number 1 (2011), pp. 61-71 International Research Publication House http://www.irphouse.com A Note on Characterization

Διαβάστε περισσότερα

DuPont Suva. DuPont. Thermodynamic Properties of. Refrigerant (R-410A) Technical Information. refrigerants T-410A ENG

DuPont Suva. DuPont. Thermodynamic Properties of. Refrigerant (R-410A) Technical Information. refrigerants T-410A ENG Technical Information T-410A ENG DuPont Suva refrigerants Thermodynamic Properties of DuPont Suva 410A Refrigerant (R-410A) The DuPont Oval Logo, The miracles of science, and Suva, are trademarks or registered

Διαβάστε περισσότερα

Homomorphism and Cartesian Product on Fuzzy Translation and Fuzzy Multiplication of PS-algebras

Homomorphism and Cartesian Product on Fuzzy Translation and Fuzzy Multiplication of PS-algebras Annals of Pure and Applied athematics Vol. 8, No. 1, 2014, 93-104 ISSN: 2279-087X (P), 2279-0888(online) Published on 11 November 2014 www.researchmathsci.org Annals of Homomorphism and Cartesian Product

Διαβάστε περισσότερα

AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΒΙΩΣΙΜΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΠΙΕΣΕΩΝ ΣΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΩΝ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΩΝ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΩΝ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗΣ ΑΝΔΡΕΟΥ ΣΤΕΦΑΝΙΑ Λεμεσός 2012 i ii ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΝΟΜΙΚΟ ΚΑΙ ΘΕΣΜΙΚΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΚΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΜΕΤΑΛΛΕΥΣΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που υποβλήθηκε στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΓΚΡΑΤΗΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΠΡΟΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΩΝ ΣΥΝΔΕΣΜΩΝ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Calculating the propagation delay of coaxial cable

Calculating the propagation delay of coaxial cable Your source for quality GNSS Networking Solutions and Design Services! Page 1 of 5 Calculating the propagation delay of coaxial cable The delay of a cable or velocity factor is determined by the dielectric

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE ΑΠΟ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΤΥΦΛΩΣΗ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE ΑΠΟ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΤΥΦΛΩΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE

Διαβάστε περισσότερα

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν.

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Experiental Copetition: 14 July 011 Proble Page 1 of. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Ένα μικρό σωματίδιο μάζας (μπάλα) βρίσκεται σε σταθερή απόσταση z από το πάνω μέρος ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ. Λεμεσός

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ. Λεμεσός ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΟ ΚΑΠΝΙΣΜΑ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗ ΚΑΙ Η ΒΛΑΠΤΙΚΗ ΕΠΙΔΡΑ ΑΣΗ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΝΕΟΓΝΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ονοματεπώνυμο Αγγελική Παπαπαύλου Αριθμός Φοιτητικής

Διαβάστε περισσότερα

Nonlinear Fourier transform for the conductivity equation. Visibility and Invisibility in Impedance Tomography

Nonlinear Fourier transform for the conductivity equation. Visibility and Invisibility in Impedance Tomography Nonlinear Fourier transform for the conductivity equation Visibility and Invisibility in Impedance Tomography Kari Astala University of Helsinki CoE in Analysis and Dynamics Research What is the non linear

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗ ΖΩΗ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΚΑΙ ΕΦΗΒΟΥ ΜΕ ΔΙΑΒΗΤΗ ΤΥΠΟΥ 1 ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝ ΑΝΤΛΙΕΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΕΚΧΥΣΗΣ ΙΝΣΟΥΛΙΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Strukturalna poprawność argumentu.

Strukturalna poprawność argumentu. Strukturalna poprawność argumentu. Marcin Selinger Uniwersytet Wrocławski Katedra Logiki i Metodologii Nauk marcisel@uni.wroc.pl Table of contents: 1. Definition of argument and further notions. 2. Operations

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΛΕΝΤΙΝΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ.: 09/061. Υπεύθυνος Καθηγητής: Σάββας Μακρίδης

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΛΕΝΤΙΝΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ.: 09/061. Υπεύθυνος Καθηγητής: Σάββας Μακρίδης Α.Τ.Ε.Ι. ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΑΡΓΟΣΤΟΛΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Η διαμόρφωση επικοινωνιακής στρατηγικής (και των τακτικών ενεργειών) για την ενδυνάμωση της εταιρικής

Διαβάστε περισσότερα

THE GENERAL INDUCTIVE ARGUMENT FOR MEASURE ANALYSES WITH ADDITIVE ORDINAL ALGEBRAS

THE GENERAL INDUCTIVE ARGUMENT FOR MEASURE ANALYSES WITH ADDITIVE ORDINAL ALGEBRAS THE GENERAL INDUCTIVE ARGUMENT FOR MEASURE ANALYSES WITH ADDITIVE ORDINAL ALGEBRAS STEFAN BOLD, BENEDIKT LÖWE In [BoLö ] we gave a survey of measure analyses under AD, discussed the general theory of order

Διαβάστε περισσότερα

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή Εργασία Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΤΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ ΜΕ ΣΤΗΘΑΓΧΗ

Πτυχιακή Εργασία Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΤΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ ΜΕ ΣΤΗΘΑΓΧΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΤΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ ΜΕ ΣΤΗΘΑΓΧΗ Νικόλας Χριστοδούλου Λευκωσία, 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΑ Ι. Ενότητα 7α: Impact of the Internet on Economic Education. Ζωή Κανταρίδου Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΑΓΓΛΙΚΑ Ι. Ενότητα 7α: Impact of the Internet on Economic Education. Ζωή Κανταρίδου Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 7α: Impact of the Internet on Economic Education Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΙΟΜΕΤΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΙΟΜΕΤΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΙΟΜΕΤΡΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Derivation of Optical-Bloch Equations

Derivation of Optical-Bloch Equations Appendix C Derivation of Optical-Bloch Equations In this appendix the optical-bloch equations that give the populations and coherences for an idealized three-level Λ system, Fig. 3. on page 47, will be

Διαβάστε περισσότερα

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door Right Rear Door Let's now finish the door hinge saga with the right rear door You may have been already guessed my steps, so there is not much to describe in detail. Old upper one file:///c /Documents

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΨΗΦΙΑΚΗ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ

ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΨΗΦΙΑΚΗ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΣΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ-ΣΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΟΜΕΑ ΣΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ

Διαβάστε περισσότερα

n r f ( n-r ) () x g () r () x (1.1) = Σ g() x = Σ n f < -n+ r> g () r -n + r dx r dx n + ( -n,m) dx -n n+1 1 -n -1 + ( -n,n+1)

n r f ( n-r ) () x g () r () x (1.1) = Σ g() x = Σ n f < -n+ r> g () r -n + r dx r dx n + ( -n,m) dx -n n+1 1 -n -1 + ( -n,n+1) 8 Higher Derivative of the Product of Two Fuctios 8. Leibiz Rule about the Higher Order Differetiatio Theorem 8.. (Leibiz) Whe fuctios f ad g f g are times differetiable, the followig epressio holds. r

Διαβάστε περισσότερα

Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΣΤΗΝ ΠΟΙΝΙΚΗ ΔΙΚΗ

Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΣΤΗΝ ΠΟΙΝΙΚΗ ΔΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΝΟΜΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ Διπλωματική εργασία στο μάθημα «ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ»

Διαβάστε περισσότερα

1. A fully continuous 20-payment years, 30-year term life insurance of 2000 is issued to (35). You are given n A 1

1. A fully continuous 20-payment years, 30-year term life insurance of 2000 is issued to (35). You are given n A 1 Chapter 7: Exercises 1. A fully continuous 20-payment years, 30-year term life insurance of 2000 is issued to (35). You are given n A 1 35+n:30 n a 35+n:20 n 0 0.068727 11.395336 10 0.097101 7.351745 25

Διαβάστε περισσότερα