HERSIENING VAN ALGEBRAÏESE BEGRIPPE Getallestelsels Basiese eienskappe van reële getalle Eienskappe van eksponente...

Transcript

1 INHOUDSOPGAWE HERSIENING VAN ALGEBRAÏESE BEGRIPPE... 3 Getllestelsels... 3 Bsiese eienskppe vn reële getlle... 3 Eienskppe vn eksponente... 4 Eienskppe vn logritmes... 5 HERSIENING VAN TRIGONOMETRIESE BEGRIPPE... 5 FUNKSIE ANALISE.... Hersiening vn funksiebegrip... Inleiding... Formele definisie vn 'n funksie... Inverse funksies... 3 Bepling vn funksiewrdes... 4 Algebr vn funksies... 5 Smgestelde funksies Grfieke vn lineêre en kwdrtiese funksies Inleiding Grfiek vn lineêre funksie Grfiek vn kwdrtiese funksie Die bsolute wrde funksie Inleiding Formele definisie vn die bsolute wrde funksie Grfiek vn bsolute wrde funksie Limiete en Kontinuïteit Die ietbegrip Limiete en kontinuïteit Eienskppe vn iete Limiete vn poliniome Limiete vn rsionle funksies Die spesile gevl Die spesile gevl Limiete vn trigonometriese funksies Opknpnots 0

2 5. Die fgeleide vn n funksie Die verbnd tussen fgeleide en helling vn n grfiek Die fgeleide vn n funksie uit eerste beginsels Differensisiereëls Grfieke vn hoër orde polinome Grfieke vn rsionle funksies Opknpnots 0

3 HERSIENING VAN ALGEBRAÏESE BEGRIPPE Algebr berus op mensgemkte fsprke oor skryfwyses, simbole en reëls wt op logik berus. Getllestelsels Ntuurlike getlle N {,, 3,...} Ntuurlike getlle plus 0 N 0 {0,,, 3,...} Heelgetlle Z {...,, 0,,,...} Rsionle getlle Q p, met q p, q Z, q 0, bv. 4, 0, Irrsionle getlle I { R en Q } bv. π,, e 3, 0, 3 5 Reële getlle R { Q of I } Dit volg dt l die versmelings hierbo genoem deelversmelings is vn die reële getlle, d.w.s. N N 0 Z Q R en I R Verder volg dt Q I R en Q I Bsiese eienskppe vn reële getlle Eienskppe vn die getl 0: p 0 0 p p wr p 0 p is ongedefinieerd. 0 As p q 0, dn is p 0 of q 0. As 0 dn 0 en b 0 b Volgorde vn bewerkings Prioriteit Bewerking Verduideliking ste () hkies Vn binne n buite de Eksponente en worteltrekking Word beskou s hkies 3 de vn Vervng met n -teken 4 de en/of Dieselfde prioriteit 5 de + en/of Dieselfde prioriteit Opknpnots 0 3

4 Eienskppe vn bewerkings met reële getlle: Gestel p, q, r R : Geslotenheid: Kommuttief: p + q R en pq R p + q q + p en pq qp Assositief: ( p + q) + r p + ( q + r ) en ( pq ) r p( qr ) Identiteit: p + 0 p en p p Inverse: p + ( p) 0 en p p Distributief: p ( q + r ) pq + pr Die bewerking vn bsolute wrde Die bsolute wrde vn enige getl beteken om die getl positief te mk. Formulering vn bsolute wrde in woorde: positiewe getl positiewe getl negtiewe getl (negtiewe getl) 0 0 Eienskppe vn eksponente Notsie Definisie: (... ) n keer n Bv: As 3 ( ) 8, dn is terminologie s volg: eksponent koëffisiënt 8 4 grondtl 4 de mg vn Reëls vn bewerkings met eksponente 0 m n m+ n m n ( ) mn m n m n n indien 0 n n n indien 0 Opknpnots 0 4

5 Definisie vn die ntuurlike bsis vn eksponente Enige positiewe getl kn s 'n bsis vn die eksponensiële funksie gebruik word. 'n Getl wt dikwels s 'n bsis in modellering gebruik word is die getl e. Beskou die uitdrukking groot word. n ( + n ) en bepl wt gebeur s n, d.w.s. s n bie n + n n 0,593 00, , ,78 n Die getl e word gedefinieer s: e n n ( + n ). Eienskppe vn logritmes Definisie vn n logritme As y en die moet die onderwerp vn die formule wees, dn is log y. Reëls vn bewerkings met logritmes log 0 log log log mn log m + log log m n log m log n en n 0 log b nlog n b n HERSIENING VAN TRIGONOMETRIESE BEGRIPPE Definisie vn trigonometriese verhoudings b c sin θ csc θ c b cos θ c tn θ b sec θ c cot θ b b A C c θ B Opknpnots 0 5

6 Trigonometriese identiteite sin θ csc θ sinθ tn θ cosθ cos θ sec θ cosθ cot θ sinθ tn θ cot θ sin θ + cos θ tn θ + sec θ cot θ + csc θ Trigonometriese formules cos( A ± B) cos AcosB sin AsinB sin( A ± B) sin AcosB ± cos AsinB cosa cos A sin A sin A cos A sin A sin Acos A OEFENING. Voltooi die volgende bewerings deur +,,, en/of in te vul: () (b) (c) Die ntuurlike getlle is geslote onder... Die heelgetlle is geslote onder Die rsionle getlle is geslote onder.. Vereenvoudig: () 0 0. (b) (c) (d) (e) (4)(3 + 5)... (f) (4)(3 5)... (g) 3t 6ht 3h + 5t + 5h + 3t 5t + h... (h) ( )(3) (i) Opknpnots 0 6

7 3. Vereenvoudig: () ( )( )( )... (b) (c) (4 ) ( ) (d) ( )( )( 3 )... (e) ( + y )( y )... (f) ( + )( + + 4)... (g) (h) (i) (j) 8 y 5y 4 0 y... (k) + 3 vn ( + ) Vereenvoudig: ().. (b)... (c) Opknpnots 0 7

8 (d) 5. (e) 5... (f).. 5. Vereenvoudig: 3 + () (b) (c) (d) (e) (f) Herskryf s 'n logritme: () 8 3 0, (b) e, Herskryf s mg: () log 5 0, 6990 (b) ln 4, Vereenvoudig: () log 3 + log 5... (b) log 3 + log3... (c) (d) (e) 3 log... log log 5 (5 5)... Opknpnots 0 8

9 9. Vereenvoudig: () sin + sin sin... (b) sin cos... (c) sin sin... (d) sin + cos cos... (e) sec cos sec Vernder die onderwerp vn die formule n die simbool in hkies ngedui: ne () I (n) R + nr... (b) A πr + πrs (r) (c) 3 π( D d ) V (d) 6 3 Opknpnots 0 9

10 (d) I λt I 0 e (t) (e) PV T (T ) P V T Opknpnots 0 0

11 FUNKSIE ANALISE. Hersiening vn funksiebegrip Inleiding Relsies kom in die lledgse lewe voor wnneer twee voorwerpe met mekr fgepr word volgens n reël of verwntskp, bv. elke kind het twee ouers, elke dorp het 'n poskode, die fstnd wt fgelê word is fhnklik vn die tydsverloop, ens. In die ntuurwetenskppe, ingenieurswese en ekonomiese wetenskppe kry ons gewoonlik n verhouding tussen twee getlle wt fgepr word op grond vn 'n wiskundige verwntskp. Indien hierdie verwntskp n unieke verhouding weerspieël, word dit n funksie genoem. Die funksiebegrip is een vn die grondbegrippe in wiskunde. Formele definisie vn 'n funksie 'n Relsie behels twee versmelings wrvn die elemente vn die een versmeling, genoem die definisieversmeling, fgepr word met (of fgebeeld word op) die elemente vn 'n tweede versmeling, ook genoem die wrdeversmeling. Die stellings Ons het 6 eiers nodig vir die huis en Ek het R3-00 beteken nie veel op hul eie nie. Mr s ons die verhouding "Die eiers kos R-00 per dosyn" byvoeg, kn 'n mens besluit of jy wil koop of nie en hoeveel jy wil koop. 'n Winkel kn egter nie ndui dt 6 eiers R-50 en R3-75 kos nie, wnt 'n mens kn nie twee pryse vir dieselfde hoeveelheid hê nie. Indien n relsie n unieke verwntskp weerspieël, noem ons dit n funksie. n Verwntskp wt nie n funksie is nie, is n voorbeeld vn n een-tot-meer fbeelding. DEFINISIE VAN N FUNKSIE 'n Funksie is 'n reël wt elke element vn een versmeling (die definisie versmeling) verbind met een en slegs een element vn 'n nder versmeling (die wrdeversmeling). Ons kn twee soorte funksies identifiseer soos deur die volgende voorbeeld geïllustreer. Gestel die volgende word ngedui s deel vn 'n promosieveldtog: Koop 9 eiers en kry een grtis. In effek beteken dit dt dieselfde prys geld vir 9 en 0 eiers. So 'n fbeelding word 'n meer-tot-een fbeelding genoem. Gevolglik kn 'n mens dieselfde prys vir twee items hê, mr nie twee pryse vir een item nie. Ons kn egter ook die beperking op die wrdeversmeling vn toepssing mk. In so 'n gevl prt ons vn 'n een-tot-een fbeelding. DEFINISIE VAN N EEN-TOT-EEN FUNKSIE 'n Funksie f is 'n een tot een fbeelding s elke element in die wrde versmeling ook slegs met een element vn die definisieversmeling fgepr word. Let op dt die funksie of reël nie noodwendig 'n wiskundige formule hoef te wees nie, hoewel dit in ons gevl meestl so sl wees. Funksionele verbnde kn op verskillende mniere voorgestel word, bv. s n voorbeeld uit die werklike lewe, in tbelvorm, grfies, met 'n formule of s 'n getllepr. Opknpnots 0

12 Ons gebruik gewoonlik die simbool f vir die funksie of reël, die simbool vir die element vn die definisieversmeling (ook genoem die onfhnklike vernderlike) en die simbool y vir die element vn die wrdeversmeling (ook genoem die fhnklike vernderlike). Let op dt f() in hierdie konteks die betekenis het vn "f se wrde by " en nie "f vermenigvuldig met " nie. Oefening. Die definisieversmeling vn 'n funksie word gegee s { / < < en is 'n heelgetl}. Die funksie word gegee deur die reël: "Vind die kubieke wrde vn elke getl in die definisieversmeling". () Gee die definisieversmeling vn die funksie: { } (b) Skryf die funksie in funksienotsie: f() (c) Gee die wrdeversmeling vn die funksie: {..}. Wtter vn die volgende fbeeldings is funksies: A B C Wtter vn die funksies in no. is een tot een funksies?.. 4. As A {, 0,,, 3} die definisieversmeling en B { 3,,, 0,,,, 9, 0} die wrdeversmeling is, skryf die volgende funksies s getllepre: () {( ; y ) y, A, y B }... (b) { ( ; y ) y, A, y B } 5. Sê of die funksies in no. 4 een tot een of meer tot een fbeeldings is. () (b) 6. Gee die definisie en wrdeversmeling vn die volgende funksies: () { ( ; y ) y ( ) 4, R en y R} D f W f... Opknpnots 0

13 (b) { ( ; y ) y ( ) 4, R en y R} D f W f... 8 (c) { ( ; y ) y, R en y R} D f W f... (d) { ( ; y ) y, R en y R} D f W f... (e) { ( ; y ) y R nd y R} D f W f... (f) { ( ; y ) y log, R nd y R} D f W f... Inverse funksies In bie toepssings vn funksies is dit wenslik om die "omgekeerde" werking vn 'n funksie te bepl. Dit beteken dt die wrde vn "" en "y" omgeruil word met die gevolg dt die definisieversmeling en wrdeversmeling plekke ruil. Hierdie omgekeerde funksie word die inverse vn die funksie genoem en word ngedui met die notsie f. Die grfiek vn die inverse vn n funksie is n spieëlbeeld vn die grfiek vn die oorspronklike funksie om die lyn y. Vnuit die definisie vn 'n funksie volg dt die inverse vn 'n funksie slegs 'n funksie sl wees indien die oorspronklike funksie 'n een-tot-een fbeelding ws. NB: f beteken in die lgemeen nie f nie. Opknpnots 0 3

14 Oefening 7. Bepl die inverse vn elk vn die volgende funksies: () f ( ) (b) f ( ) Bepling vn funksiewrdes Die wrde vn n funksie kn bepl word vir enige getl in die definisieversmeling deur die getl in die plek vn te stel in die vergelyking vn die funksie. Oefening 8. Vir elke funksie hieronder ngegee, bereken f (0), f () en f ( + h) : () f() (b) f() Opknpnots 0 4

15 Algebr vn funksies Indien f en g funksies is, kn ons nuwe funksies mk deur optelling, ftrekking, vermenigvuldiging en deling vn die twee oorspronklike funksies. In die lgemeen sl die definisieversmeling vn die nuwe funksie die snyding wees vn die definisieversmelings vn die fsonderlike funksies, mr in die gevl vn deling sl wrdes uitgesluit wees wrvoor g se wrde nul is. Oefening 9. As f ( ) en g ( ) bepl: () ( f + g)( ).... (b) ( g + f )( ).... (c) ( f g)( ).... (d) ( g f )( )... (e) ( fg )( )... (f) ( gf )( )... (g) f () g (h) g () f (i) N nleiding vn die ntwoorde vn vrg 9, mk n fleiding oor die kommuttiewe eienskp vn bewerkings met funksies. 0. As f ( ), 3 en, bepl: () [ f ( )].... (b) f ()... (c) Wtter gevolgtrekking kn jy mk uit bostnde berekeninge?... (d) Ps hierdie gevolgtrekking toe op n pr nder funksies: Opknpnots 0 5

16 . As f ( ), 9 en 6, bepl: () f ( + ).... (b) f ( ) + f ( ).... (c) Wtter gevolgtrekking kn jy mk uit die bostnde berekeninge?... (d) Ps hierdie gevolgtrekking toe op n pr nder funksies: Smgestelde funksies Ons kn ook twee funksies kombineer deur n hul opeenvolgende werking te kyk. Dit beteken dt ons eers met die eerste funksie op inwerk en dn met die tweede funksie op die resultt vn die eerste funksie inwerk. Die smestelling vn twee funksies is nie kommuttief nie, dit beteken dt die volgorde vn bewerking in g geneem moet word. SAAMGESTELDE FUNKSIES As f en g funksies is, dn is (f ο g)() f(g()) vir lle in die definisieversmeling vn g sodt g() in die definisieversmeling vn f is. Voorbeeld: As f ( ) en g ( ) 3 + 5, vind die smgestelde funksies. Antwoord: ( f g)( ) f ( g( ) f (3 + 5) (3 + 5) ( g f )( ) g( f ( ) g() 3() Dit volg dt die smestelling vn twee funksies nie kommuttief is nie. Skemtiese voorstelling: g() g() f() f(g()) f() f() g() g(f() Opknpnots 0 6

17 Oefening. As f ( ) en g ( ) +, bepl: () ( f g)( )... (b) ( g f )( )... (c) ( g f )()... Voordt die kettingreël toegeps kn word om die fgeleide vn n smgestelde funksie te bepl, moet die smgestelde funksie eers ontbind word. Ons gebruik nou die notsie wt soortgelyk is n die notsie wt julle lter in die fdeling oor differensilrekening gn gebruik, nl. u(), v(u), ens. Voorbeeld: As f ( ) ( + ) u () en v (u)., ontbind die smgestelde funksie in twee fsonderlike funksies u() u() v(u) f() v(u()) Antwoord: u ( ) + en v ( u) u Oefening 3. Ontbind die volgende smgestelde funksies: () f ( ) 3 (b) f ( ) ( + ) 8 (c) f ( ) ( + ) Opknpnots 0 7

18 (d) f ( ) 3 (e) f ( ) log( + ) (f) f ( ) cos( ) (g) f ( ) cos (i) f ( ) cos(sin ) Opknpnots 0 8

19 . Grfieke vn lineêre en kwdrtiese funksies. Inleiding Dr is twee mniere om die grfiek vn n funksie te bender: in funksionl nlise is die probleem om die grfiek vn n gegewe funksie te bepl; in toegepste wiskunde is die probleem om n vergelyking te vind wt die grfiek beskryf. Lsgenoemde word ook modellering genoem. Ons konsentreer in hierdie prgrf op eersgenoemde probleem. Funksies kn grfies voorgestel word deur die getllepre (, y ) in die Crtesiese vlk te skets. Alhoewel dr gewoonlik 'n oneindige ntl punte is, hoef ons net genoeg punte te skets sodt die vorm vn die grfiek fgelei kn word. Die grfiek vn 'n funksie kn uit diskrete punte bestn of dit kn kontinu wees. Op skool het julle l seker gtergekom dt sekere tipes funksies se grfieke ooreenstemmende kenmerke vertoon. n Funksie vn die vorm f() + b se grfiek sl n reguit lyn wees, terwyl die grfiek vn die funksie f() sin n kenmerkende herhlende golfvorm het. Wnneer ons die grfiek vn n funksie wil skets, hoef ons dus nie meer n tbel op te trek en n ntl (, y ) pre te kies om die vorm vn die grfiek f te lei nie; ons kn gebruik mk vn die gemeenskplike kenmerke vn die funksiegroep om die grfiek te trek.. Grfiek vn lineêre funksie 'n Funksie vn die vorm f ( ) m + c, wr m en c reële getlle is, word 'n lineêre funksie genoem. Die grfiek vn 'n lineêre funksie is 'n reguit lyn. Om die -fsnit te bepl stel ons y 0 en om die y -fsnit te bepl stel ons 0 in die vergelyking vn die reguit lyn. n Alterntief is om gebruik te mk vn die feit dt m die helling en c die y -fsnit vn die lyn voorstel. y word die identiteitsfunksie genoem, wnt f ( ) is ltyd gelyk n. Die grfiek vn hierdie funksie is 'n reguit lyn deur die oorsprong met 'n helling vn. Hierdie lyn mk 'n hoek vn 45 o met die s. Ons gebruik hierdie lyn om die inverse vn 'n funksie grfies te bepl. y is 'n konstnte funksie en is die grfiek vn 'n horisontle lyn wt die y-s by sny. is nie funksie nie, mr stel 'n vertikle lyn voor wt die -s by sny. Oefening. Mk sketsgrfieke vn die volgende relsies: () f ( ) (b) Opknpnots 0 9

20 (c) f ( ) + (d) f ( ) 3. Bepl die vergelykings vn die volgende grfieke: / Determine the equtions of the following grphs: () (b).3 Grfiek vn kwdrtiese funksie Die lgemene vergelyking vn n kwdrtiese funksie is grfiek vn hierdie funksie is in die vorm vn n prbool. f ( ) + b + c. Die Grfiek vn f ( ) + b + c Bepling vn die y fsnit: Om die y fsnit te bepl, stel ons die wrde gelyk n nul: f(0). Bepling vn die fsnitte: Om die fsnitte te bepl, stel ons die y wrde gelyk n nul: Opknpnots 0 0

21 b ± b 4c Gevolgtrekkings oor die rd vn wortels: Bepling vn die dripunt en simmetrie s Gebruik vierkntsvoltooiing om die vergelyking in die vorm y ( p) + q te skryf. Simmetrie s: b Dripunt: y 4c b 4 Oefening 3. Wt is die verbnd tussen die formule vir die bepling vn die -fsnitte vn n kwdrtiese vergelyking en die vergelyking vn die simmetrie s? Lei hieruit n nuwe formule f vir die bepling vn die -koördint vn die dripunt vn n kwdrtiese funksie Opknpnots 0

22 Oefening 5. Die figuur toon 'n sketsgrfiek vn die funksie y 8 en 'n reguit lyn wt deur die punte A op die s en B(6; 6) gn. Q en P is punte tussen A en B met Q op reguit lyn en P op prbool sodt QP ewewydig is n die y s. () Bereken die koördinte vn A en C. y Q B(6;6) (b) Bepl die vergelyking vn AB. A P C (c) Vir wtter wrde(s) vn is PQ gelyk n 7 eenhede? (f) Bepl die vergelyking vn die reguit lyn DA wt deur A gn en loodreg op AB is. (d) Bereken die mksimum lengte vn PQ. (e) Vir wtter wrde(s) vn is 3 6 0? (g) Bepl die vergelyking vn die reguit lyn BE wt deur B gn en ewewydig n DA is. Opknpnots 0

23 3. Die bsolute wrde funksie 3. Inleiding In hierdie prgrf gn ons in meer besonderhede kyk n n funksie wt bie in funksionlnlise voorkom. Die bsolute wrde funksie word benewens sy prktiese wrde s n funksie wt positief mk, ook gebruik om iete op n meer elegnte mnier te definieer s die intuïtiewe definisie wt julle op skool gebruik het. 3. Formele definisie vn die bsolute wrde funksie Voltooi die tbel: f ( ) Bewerking om positief te mk Voorwrde Formele definisie vn bsolute wrde vn n reële getl :, s 0, s < 0 Oefening 6. Gebruik die formele definisie vn bsolute wrde en los op: () 0 (b) b en b < 0 (c) b en b > 0 Opknpnots 0 3

24 (d) en > 0 (e) en > 0 (f) b en b > 0 (g) b en b > Eienskppe vn bsolute wrde ( ) b b b b + As 0 dn is As As As b en b > 0, dn is + b of b b en b > 0, dn is b + b b en b > 0, dn is b of + b Opknpnots 0 4

25 Oefening 7. Bereken die wrdes vn in die volgende vergelykings: () (b) (c) Los op vir en illustreer die oplossings op n reële getllelyn: () (b) 5 < (c) + 3 < 0 3 < Opknpnots 0 5

26 3.4 Absolute wrde s n fstnd Afstnd vnf 0 y Afstnd vnf 0 y Afstnd vnf y Afstnd vnf y Afstnd vnf + y Afstnd vnf + y Oefening Gebruik bsolute wrde-notsie om die volgende stellings wiskundig uit te druk: () is minder s 3 eenhede vnf (b) is nie meer s 5 eenhede vnf (c) is tussen 3 en (d) Die fstnd tussen 7 en is (e) n Intervl met lengte om b.... Opknpnots 0 6

27 3.5 Grfiek vn bsolute wrde funksie Die bsiese vorm vn die grfiek vn die bsolute wrde funksie kn verkry word, s 0 deur toepssing vn die definisie vn bsolute wrde, nmlik., s < 0 Dit volg dt die grfiek uit twee dele bestn, die eerste deel is die reguit lyn y wt geld vir die gebied wr 0 en die tweede deel is die reguit lyn y wt geld wr < 0. y y y < 0 0 Oefening 0. Skets die volgende grfieke: () y + (b) y + Opknpnots 0 7

28 . Mk gebruik vn sketsgrfieke om die oplossings te verkry: () + (b) 5 < 3 Opknpnots 0 8

29 4. Limiete en Kontinuïteit 4. Die ietbegrip Voorbeeld : Voltooi die tbel vir die funksie f ( ). < > f ()... f (3)... f (,5)... f (,5)... f (,9)... f (,)... f (,99)... f (,0)... f (,999)... f (,00)... Gevolgtrekking uit tbel: Soos beweeg n vnf die linkerknt ( < ), neig die funksiewrde n... Soos beweeg n vnf die regterknt ( > ), neig die funksiewrde n... f ( )... LW: In voorbeeld is die iet vn die funksie gelyk n die funksiewrde: f ( ) f (). Dit is nie noodwendig ltyd wr dt f ( ) f ( ). Indien dit wr is, is die funksie kontinu by drdie punt. Voorbeeld : s Beskou die funksie: f ( ) s Skets die grfiek vn hierdie funksie op die ssestelsel hieronder ngedui: y Gevolgtrekking uit grfiek: Soos beweeg n vnf die linkerknt ( < ), neig die funksiewrde n... Soos beweeg n vnf die regterknt ( > ), neig die funksiewrde n... f ( )... LW: f ( ) en die iet is nie gelyk n die funksiewrde nie. Opknpnots 0 9

30 Voorbeeld 3: Beskou die funksie soos voorgestel in die grfiek hieronder: y y f() Gevolgtrekking uit grfiek: Die iet vn f() s beweeg n 0 vnf regs (positiewe knt): f ( ) Die iet vn f() s beweeg n 0 vnf links (negtiewe knt): f ( )... LW: Stelling: 0 Die iet vn f() s nder kom n 0 is nie dieselfde vir die linker- en die regterknt nie. Hierdie tipe iete word "hlwe" iete genoem. Eersgenoemde is die regteriet en lsgenoemde is die linkeriet vn f. Die iet vn f() s nder kom n bestn s en slegs s lbei die linker- en regteriete bestn en s hulle gelyk is n mekr. Voorbeeld 4: Beskou die grfiek vn funksie y y f() / Gevolgtrekking uit grfiek: Die iet vn f() s beweeg n 0 vnf die regterknt bestn nie: 0 + f()... Die iet vn f() s beweeg n 0 vnf die linkerknt bestn nie: 0 f()... Die iet vn f() s streef n oneindig bestn wel: LW: f()... en f()... Die iet vn die funksie bestn ofskoon die funksiewrde nie gedefinieer is s of. Opknpnots 0 30

31 Definisie vn iet: Lt f 'n funksie wees wt gedefinieer is op 'n oop intervl wt bevt, mr f is nie noodwendig gedefinieer in nie. Die stelling f() beteken dt die iet vn die funksie f() is s f() nby genoeg n gebring kn word deur nby genoeg n te kies. Ons kn die iet vn 'n funksie ook met behulp vn die bsolute wrde definieer. Lt f 'n funksie wees wt gedefinieer is op 'n oop intervl wt bevt, mr f is nie noodwendig gedefinieer in nie. Die stelling f() beteken dt die iet vn die funksie f() is s dr vir elke ε > 0 'n δ > 0 bestn (wt gewoonlik fhnklik is vn ε) sodt f () < ε vir lle 0 < < δ. Opsomming oor iete Die funksiewrde f() hoef nie noodwendig gedefinieer te wees nie. Indien die funksiewrde wel gedefinieer is hoef die iet nie gelyk te wees n f() nie. Die iet is onfhnklik vn die rigting wrin nder kom n, gevolglik moet die linker- en regteriete dieselfde wrde hê. Oefening. Bepl die volgende iete (gebruik die simbole of indien die iet nie bestn nie): () (c) (e)... (b) 0... (d)... (f) 4. Limiete en kontinuïteit In hierdie prgrf kyk ons n die verbnd tussen iete en kontinuïteit. Die begrip kontinuïteit verwys n die eienskp vn n grfiek om n neenlopende kromme of lyn te vertoon sonder enige onderbrekings. Voorbeeld : Beskou die funksie: f() f() en f() f() f() y y Opknpnots 0 3

32 Voorbeeld : Beskou die funksie: g() s, s y g() mr g() g() g() Vrg: Wt is die verskil tussen die grfieke vn voorbeeld en? Antwoord : Definisie: Dr is geen gpings in die eerste grfiek nie. In die tweede grfiek is dr 'n gping by die punt wr. 'n Funksie f is kontinu by 'n punt s en slegs s:. f() gedefinieer is by die punt. 3. Oefening f() bestn f() f(). Ondersoek l drie voorwrdes vir kontinuïteit en spesifiseer wtter vn die voorwrdes verbreek word by vir elke grfiek. () y (b) y (c) y (d) y f() Opknpnots 0 3

33 3. Gebruik die voorwrdes vn kontinuïteit om n te toon dt die volgende 3 funksie kontinu is by die gegewe punt: f ( ), Toon n of die volgende funksie kontinu is by die gegewe punte: +, s f ( ) ;, 0, s < 4.3 Eienskppe vn iete Die volgende eienskppe vn iete word gegee sonder bewys. Reël : c c wr c enige konstnte is. Reël : n n vir enige positiewe heelgetl Indien f() en g() bestn: Reël 3: [f() + g()] f() + g() Reël 4: [f() g()] f() g() Reël 5: [f() g()] f() g() Reël 6: f ( ) g( ) f ( ), wr g( ) g() 0 Reël 7: Reël 8: [c f()] c f() n f ( ) n f ( ) wr c 'n konstnte is. indien die wortels gedefinieer is. Opknpnots 0 33

34 Oefening 5. Bepl die volgende iete: () (b) (c) ( + ) (d) (e) (f) Limiete vn poliniome Voorbeeld: ( + ) 3 Bepl die wrde vn + 3 ( + ) 3 (Reël 3) 3 (3) + (3) (Reël ) LW: Dit wil voorkom of 'n mens slegs die wrde vn 3 in die uitdrukking kn instel om die iet te bepl. Hierdie opsie kn gebruik word vir lle polinome. Stelling: As f 'n polinoom is, dn is f() f() vir elke reële wrde vn. LW: Dit volg uit die derde voorwrde vir kontinuïteit dt s f() f() dn is die funksie kontinu. Die omgekeerde is ook wr: Wr n funksie kontinu is, geld dt f() f() Oefening 6. Bepl die volgende iete (gebruik die simbole of wr nodig): () ( + 4 5) (b) Limiete vn rsionle funksies Voorbeeld: Bepl. Indien ons gelyk stel n kry ons deling deur nul wt ongedefinieerd is. Die iet kn informeel soos volg bepl word: Opknpnots 0 34

35 < > f (0,5) f (,5) 3 f (0,9) 9 f (,) f (0,99) 99 f (,0) 0 f (0,999) 999 f (,00) 00 f (0,999) 9999 f (,000) 000 Volgens die ptroon in die tbel kn twee hlfiete bepl word: en + Dit dui op n simptoot by en die vorm vn die grfiek sl soos volg wees: Oefening 7. Bepl die volgende iete (gebruik die simbole of wr nodig): () (b) (c) (d) (e) Bestn die volgende iete? Verduidelik. () (b) Opknpnots 0 35

36 4.6 Die spesile gevl 0 0 Voorbeeld: Oplossing: Bepl. ( ) 0 ( ) 0 Hierdie oplossing mk nie sin nie. Om n sinvolle ntwoord te kry mk ons gebruik vn die feit dt 'n fktor is vn om die uitdrukking te vereenvoudig: ( )( + ) ( ) ( + ) LW: Deling deur ( ) is toeltbr wnneer wnt 0 Oefening 9. Bepl die volgende iete (gebruik die simbole of wr nodig): () (b) (c) 0 h + h h Die spesile gevl Voorbeeld : Bepl Oplossing: Hierdie oplossing mk nie sin nie. Om die iet te bepl moet ons ontsle rk vn l die terme wt positiewe mgte vn bevt: / ( deur in teller en noemer) 0 Opknpnots 0 36

37 LW: In die spesile gevl vn / kn die iet bepl word deur eers vn lle positiewe mgte vn ontsle te rk deur deling met die hoogste mg vn n. Dn volg dt 0 vir n < 0. Oefening 0. Bepl die volgende iete (gebruik die simbole of wr nodig): () (b) Limiete vn trigonometriese funksies Definisie vn hoek in rdile Gebruik n grdeboog en meet die gegewe hoek in grde: Meet die booglengte en strl en bepl die verhouding vn die booglengte tot die strl. Hierdie verhouding is die hoekmeting in rdile. Gebruik die omtrek vn n sirkel om die omsettingsfktor te bepl tussen grde en rdile. Opknpnots 0 37

38 Oefening. Vernder n rdile: grde rdile grde rdile grde rdile grde rdile Limiete Die sinus- en cosinusfunksies is kontinu, dus is die iete gelyk n die funksiewrde. cos Voorbeeld : Bepl 0 cos Oplossing: Voorbeeld : 0 Bepl cos cos0 0 cos cos0 0 sin In hierdie gevl lei substitusie tot n 0 0 gevl. Die oplossing kn intuïtief verkry word deur wrdes nby n 0 vnf die linkerknt en vnf die regterknt te kies: LW: < 0 > 0 (sin,0)/(,0) 0,84 (sin,0)/(,0) 0,84 (sin 0,5)/( 0,5) 0,959 (sin 0,5)/(0,5) 0,959 (sin 0,)/( 0,) 0,998 (sin 0,)/(0,) 0,998 (sin 0,0)/( 0,0) 0,99998 (sin 0,0)/(0,0) 0, Voorbeeld 3: sin Die hoek moet in rdile wees. Oplossing:. Bepl 0 0 cos cos 0 cos cos +. cos + 0 cos + (cos ) 0 sin + (cos ) 0 sin 0 sin cos Opknpnots 0 38

39 Oefening. Bepl die volgende iete (gebruik die simbole of wr nodig): () h 0 sinh h (b) 0 tn (c) π sin π (d) cost... t 0 sint Limiete om te onthou f() f() s f() 'n kontinue funksie is. 0 ( + ) e 0 h h h loge ln 0 sin 0 cos 0 Opknpnots 0 39

40 5. Die fgeleide vn n funksie 5. Die verbnd tussen fgeleide en helling vn n grfiek Die fgeleide vn 'n funksie gee vir ons die helling vn 'n rklyn n die kromme vn die funksie f () by die punt (, y ). Die fgeleide kn soos volg verkry word: Beskou die grfiek vn die funksie f() met 'n rklyn t by die punt P (, y). f() y P(, y) Figuur Ons wil grg die die helling/grdiënt vn rklyn t n die kromme bepl, mr ons benodig twee punte om n lyn te bepl. Beskou die grfiek vn funksie f() met 'n snylyn PQ deur die punte P (, y) en Q (, y). s f() Q(, y ) y P(, y) Figuur Die helling vn snylyn s n die kromme word gegee deur: m PQ yq y P. Om die helling by punt P op die grfiek te bepl, beweeg ons nou punt Q l nder n punt P terwyl ons elke keer die nuwe snylyn PQ beskou (sien voorstelling in figuur 3). Q Q Q P P Q Figuur 3 Ons kn nou die helling by P beskou s die iet vn die hellings vn l die snylyne: m P mpq Q P Opknpnots 0 40

41 Toegeps op punt P in figuur beteken dit dt: m P mpq Q P Q P f ( Q) f ( P) Q P f ( ) f ( ) Stel nou h, dn is + h. Gebruik die notsie f '( ) om die helling vn die rklyn by 'n punt voor te stel. In die lgemeen word die fgeleide vn 'n funksie gegee deur: f '( ) f ( + h) f ( ) h 0 h 5. Die fgeleide vn n funksie uit eerste beginsels Voorbeeld : Bepl die fgeleide vn Voorspelling: Beskou die grfiek vn Die helling vn die rklyn by by 3 moet positief wees; en die helling vn die rklyn by 3 moet negtief wees. Oplossing: f '() 0 h 0 h 0 h f ( ) by 3 en 3. f ( ) : f ( + h) f ( ) h ( + h) ( ) + h + h h h 0 h h ( + h) ( + h) h h 0 f '( 3) ( 3) 6, wt negtief is, en f '(3) (3) 6, wt positief is. Voorbeeld : Bepl die fgeleide vn Oplossing: D sin 0 h 0 h f ( + h) f ( ) h 0 h sincosh + cossinh sin h sin (cosh ) + h 0 h h 0 sin. 0 + cos. cos y sin uit eerste beginsels. sin( + h) sin( ) h cos sinh h 0 h sin sin (cosh ) + cossinh h 0 h Voorbeeld 3: Differensieer vnuit eerste beginsels: y e. y 3 cosh + cos h h 0 sinh h Oplossing: e D h 0 f ( + h) f ( ) h 0 h e + h e h NB: h 0 e e h ( ) e h ( h 0 e h Die ntuurlike eksponensiële funksie is sy eie fgeleide. Voorbeeld 4: Bepl die fgeleide vn y h ) e (ln e) e Opknpnots 0 4

42 Oplossing: Beskou eers die grfiek vn y. Gevolgtrekking uit grfiek: Ons kn nie 'n unieke rklyn trek by 0 nie, dus is die funksie nie differensieerbr by 0 nie. Differensieer nou die funksie: f ( + h) f ( ) D h 0 h h 0 + h ( )( h 0 h NB: 0 ( + h) h h( + h + ) 0 h + h + h + + h h + h + + h + 0 ) h + h h h( + h + ) Die grfiek vn y is kontinu in elke punt, mr dit is nie differensieerbr in elke punt nie. Hierdie opmerking lei tot die formulering vn die volgende stelling: Stelling: As f differensieerbr is by, dn is f kontinu in. NB: Oefening Die omgekeerde vn die stelling is nie noodwendig wr nie.. Bepl die fgeleides vn die volgende funksies uit eerste beginsels: () y Opknpnots 0 4

43 (b) y cos Differensisiereëls Dit is nie ltyd gerieflik om vnuit eerste beginsels te differensieer nie. Dr is verskeie reëls vn differensisie wt gebruik kn word om hierdie proses te f ( + h) f ( ) bespoedig. Hierdie reëls kn fgelei word deur vn die formule en h 0 h die reëls vn iete gebruik te mk. Konstntes: D (konstnte) 0 Optelling: D [ f ( ) + g( )] D f ( ) D g( ) + Aftrekking: D [ f ( ) g( )] D f ( ) D g( ) Sklrvermenigvuldiging: D [ cf ( )] cd f ( ) Stndrd fgeleide : n D n n wr n 'n rsionle getl is. Produkreël: D [ f ( ) g( )] f ( ) D g( ) g( ) D f ( ) + f ( ) Kwosiëntreël: D g( ) g( ) D f ( ) f ( ) ( g( )) Dg( ), wr g ( ) 0. Kettingreël: Trigonometriese funksies: dy dy dv du, met y f (v ) ; v g(u), u h() d dv du d D sin cos D cos sin D tn sec D csc csc cot D sec sec tn D cot csc Eksponensiële funksies u u D e e D (ln) D e e D u Logritmiese funksies: D ln D log (log e) D ln u Du u Absolute wrde funksie: D Opknpnots 0 43

44 Oefening. Bepl die gemiddelde grdiënt vn f ( ) + tussen 3 en As f ( ) 3 +, bepl die helling vn rklyn n die kromme f by die punt Differensieer met betrekking tot : () f() (b) f() ( + ) (c) f() (d) f() ( + 4) 00 Opknpnots 0 44

45 (e) f() ( + 6)( 3 6 ) (f) f() (g) f() (h) f() sin cos (i) f() sin (j) f() cos 3 Opknpnots 0 45

46 (k) f() sin (l) f() sin (cos ) (m) f() e + (n) f() e (o) f() e ln Opknpnots 0 46

47 5.4 Grfieke vn hoër orde polinome Die grfieke vn polinome volg die ptroon: Eerstegrdse polinoom: y + b Grfiek is reguit lyn met een Tweedegrdse polinoom: Grfiek is prbool met twee fsnit en geen dripunt. y + b + c fsnitte en een dripunt. Derdegrdse polinoom: Grfiek is kromme met drie Vierdegrdse polinoom: Grfiek is kromme met vier 3 y + b + c + d fsnitte en twee dripunte. 4 3 y + b + c + d + e fsnitte en drie dripunte. Die volgende werkswyse word voorgestel om die grfiek vn enige polinoom te bepl: Kry y fsnitte deur y f(0) te bepl. Kry fsnitte deur f() gelyk n 0 te stel. Kry dripunte of buigpunte deur die eerste fgeleide te bepl. Stel fgeleide gelyk n nul en los op vir om die koördinte vn die dripunte te kry. Stel in f() om die y koördinte vn die dripunte te kry. Om te toets vir n mksimum, minimum of buigpunt, bepl die tweede fgeleide. Indien f "( ) > 0, is dit n minimum dripunt, indien f "( ) < 0, is dit n mksimum dripunt en indien f "( ) 0, is dit moontlik n buigpunt. Oefening 5. Skets grfieke vn die volgende polinome: () y Opknpnots 0 47

48 (b) y ( 8). Opknpnots 0 48

49 5.5 Grfieke vn rsionle funksies Rsionle funksies word gekenmerk deur simptote. Die volgende werkswyse word voorgestel om die grfiek vn 'n rsionle funksie te bepl: Bepl die simptote vn die grfiek. Gebruik die onderstnde iete. Die lyn is n vertikle simptoot vn die grfiek vn die funksie f s en slegs s f() (of ) + of f() (of ) Die lyn y b is n horisontle simptoot vn die grfiek vn die funksie f s en slegs s f() b of f() b Kry y fsnitte deur y f(0) te bepl. Kry fsnitte deur f() gelyk n 0 te stel. Indien vn toepssing, bepl dripunte. Oefening 6. Skets grfieke vn die volgende rsionle funksies: () y + Opknpnots 0 49

50 (b) y 4 + (c) y 4 Opknpnots 0 50