SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA

Transcript

1 SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA CILJEVI POGLAVLJA Nakon čitanja ovoga poglavlja bićete u stanju da: 1. razumete pojmove slučajna promenljiva, raspored verovatnoća, očekivana vrednost i funkcija rasporeda. shvatite značaj poznavanja osnovnih teorijskih modela rasporeda u analizi ekonomskih i drugih pojava 3. koristite tablice standardizovanog normalnog rasporeda 4. shvatite postupak standardizacije i primenite ga u rešavanju različitih problema 4. glava U uvodnom delu smo naveli da je cilj inferencijalne statistike da dođe do informacija o karakteristikama osnovnog skupa na osnovu jednog dela tog skupa, odnosno uzorka. Postavlja se logično pitanje kako možemo samo na osnovu jednog dela neke celine da formulišemo zaključak o toj celini? Odgovor nam pružaju probabilističke ideje koje smo upoznali u prošlom poglavlju. Naime, verovatnoću i pojmove koje ćemo uvesti u ovom poglavlju koristićemo da premostimo nedostatak raspolaganja svih podataka iz skupa. Za tipičnog korisnika statistike je bitno saznanje da mu nije potreban čitav (u suštini veoma kompleksan) matematički aparat teorije verovatnoća, već samo razumevanje fundamentalnih koncepata i kategorija koje ćemo razmatrati u ovom poglavlju. Dakle, u ovom poglavlju napuštamo teren deskriptivne statistike i "otvaramo vrata" inferencijalne statistike. 4.1 SLUČAJNA PROMENLJIVA U deskriptivnoj statistici koristili smo termin obeležje, kao karakteristiku na osnovu koje se jedinice posmatranja međusobno razlikuju. Tako, na primer, ako posmatramo broj računara po domaćinstvu u Srbiji, tada je "broj računara po domaćinstvu" numeričko obeležje. Ako bismo uzeli uzorak od 100 domaćinstava, mogli bismo formirati raspored frekvencija ovog obeležja u konkretnom uzorku. Neka smo kao rezultat tog eksperimenta dobili sledeći raspored frekvencija. Broj računara Broj domaćinstava

2 74 OSNOVI STATISTIKE U statistici nas prevashodno interesuje kako se posmatrana pojava ponaša u skupu, a ne u uzorku. Da li, recimo, neko domaćinstvo u Srbiji ima 4 ili možda više računara? Ako u našem uzorku 5% domaćinstava ima po jedan računar, da li ista proporcija važi i u skupu svih domaćinstva u republici? Očigledno je da na osnovu uzorka ne možemo doći do tačnih odgovora na postavljena pitanja, već moramo ispitati sva domaćinstva i na osnovu tako dobijenog rasporeda frekvencija doneti ispravne zaključke. Odmah se, naravno, postavlja pitanje kako bismo formirali raspored frekvencija za broj računara po domaćinstvu u Evropi ili u svetu? Nameće se zaključak da je u nekim slučajevima popis skupa moguć, dok je u velikom broju slučajeva praktično nemoguće obuhvatiti sve elemente skupa. Na osnovu prethodno rečenog vidimo da je koncept obeležja i njegovog rasporeda frekvencija nedovoljan kada se suočimo sa realnim problemima. Potrebno je uvesti neke nove pojmove, ideje i načine da bismo analizirali pojave u stvarnosti. Problemu pristupamo tako što realne pojave modeliramo i trudimo se da ih teorijskim modelom na najbolji i najadekvatniji način opišemo. Jasno je da ne postoji model koji može egzaktno, do kraja, da opiše realnost. Ovi modeli samo aproksimiraju, bolje rečeno, pojednostavljuju stvarnost, i omogućavaju da se suočimo sa problemom i donesemo odluku u uslovima neizvesnosti. Statističari su formulisali veliki broj teorijskih modela, kojima su opisivali ponašanje raznih pojava u biologiji, poljoprivredi, psihologiji, ekonomiji, medicini itd. Najvažnije modele upoznaćemo u ovom poglavlju. Svaki od tih teorijskih modela opisuje ponašanje neke kvantitativne pojave, obuhvata sve vrednosti koje ona može uzeti i pripisuje svakoj vrednosti odgovarajuću šansu javljanja, tj. verovatnoću. Takođe, svaki model se zasniva na ideji da je nemoguće unapred predvideti koju vrednost će posmatrana pojava uzeti u nekom konkretnom slučaju. U našem primeru, ako bismo sproveli eksperiment i na slučaj uzeli jedno domaćinstvo iz Srbije, ne bi bilo moguće unapred znati koliko računara poseduje to domaćinstvo. Dakle, broj računara po domaćinstvu je promenljiva veličina, koja uzima različite vrednosti od domaćinstva do domaćinstva. Ta promenljiva svoje vrednosti uzima "na slučaj" i zato je nazivamo slučajna promenljiva (eng. random variable). Uzmimo jedan primer da bismo jasnije shvatili koncept slučajne promenljive. PRIMER 4.1 Posmatrajmo statistički eksperiment koji se sastoji u bacanju dva novčića. U prethodnom poglavlju definisali smo prostor uzorka kao skup svih elementarnih ishoda (događaja) eksperimenta. U našem eksperimentu prostor uzorka S sastoji se od 4 elementarna ishoda: {(, ),(, ),(, ),(, )} S = P P P G G P G G gde je sa P označen pad pisma, a sa G pad grba. Vidimo da se u četiri jednako moguća slučaja, u jednom slučaju grb ne javlja nijedanput, u dva slučaja se javlja jedanput, a u jednom slučaju se javlja dva puta. Samim tim, broj javljanja grba možemo posmatrati kao jednu promenljivu veličinu, X, koja od ishoda do ishoda eksperimenta može uzimati različite numeričke vrednosti.

3 POGLAVLJE 4 Slučajne promenljive i rasporedi verovatnoća 75 Elemente prostora uzorka i odgovarajuće vrednosti promenljive X možemo prikazati Tabelom 4.1. Tabela 4.1 Promenljiva X = broj grbova pri bacanju dva novčića Prostor uzorka Broj grbova k P, P 0 P, G 1 G, P 1 G, G Pošto smo u eksperimentu koristili pravilne novčiće, rezultat bacanja ne možemo predvideti, jer zavisi od niza faktora koji nisu pod našom kontrolom - prvobitnog položaja novčića u ruci, brzine bacanja, ravnine podloge, itd. Usled toga, nikada ne možemo unapred predvideti ni vrednosti koje će uzeti promenljiva X. Ona te vrednosti uzima na slučaj, pa se naziva slučajna promenljiva. Neki autori je zovu i aleatorna promenljiva, slučajna varijabla ili stohastična promenljiva. Možemo je definisati na sledeći način: Slučajna promenljiva je numerička funkcija koja svakom ishodu statističkog eksperimenta pridružuje jedan realan broj. Uočimo da elementarni ishodi koji sačinjavaju prostor uzorka ne moraju imati numeričke vrednosti. Da bismo jasnije sagledali značenje slučajne promenljive, gornju definiciju ilustrovaćemo grafički na Primeru 4.1, Slikom 4.1. Slika 4.1 Slučajna promenljiva kao funkcija definisana na prostoru uzorka Vidimo da slučajna promenljiva X svaki od 4 ishoda eksperimenta transformiše u jedan realan broj, odnosno, numerička funkcija se u ovom slučaju svodi na sabiranje broja javljanja grba (broja uspeha ) u eksperimentu. Vidimo, takođe, da svakom elementarnom ishodu odgovara samo jedna vrednost slučajne promenljive, dok jedna vrednost slučajne promenljive može biti povezana sa više elementarnih ishoda (vrednosti 1 odgovaraju ishodi (P,G) i (G,P)).

4 76 OSNOVI STATISTIKE Uobičajeno je da se slučajna promenljiva označava velikim slovima (npr. X, Y, Z). Jedan njen ishod, tj. realizovana vrednost slučajne promenljive, obeležava se malim slovom x, y, z, ili x 1, x, x 3... (Ponekad se slučajna promenljiva obeležava malim "bold" slovom, npr. t, b 0, b 1, dok se njena realizovana vrednost obeležava sa t, b 0, b 1 ). Važno je napomenuti da ako je X slučajna promenljiva, onda svaka transformacija, tj. funkcija slučajne promenljive i sama predstavlja slučajnu promenljivu. Na primer, ako se eksperiment sastoji u bacanju pravilne homogene kocke, čije su strane obeležene brojevima od 1 do 6, onda X - broj na kocki, predstavlja slučajnu promenljivu jer ne možemo unapred znati koja će se strana realizovati prilikom bacanja. Ako sada strane kocke umesto od 1 do 6 obeležimo brojevima od 101 do 106, tj. promenljivu X transformišemo primenom funkcije Y=X+100, ponovo ne možemo unapred znati ishod bacanja, pa je i promenljiva Y slučajna promenljiva. Slučajne promenljive, kao i numerička obeležja, možemo podeliti na prekidne i neprekidne. Za slučajnu promenljivu kažemo da je prekidna (ili diskretna) ako može uzeti konačan broj izolovanih vrednosti ili prebrojivo mnogo vrednosti (tj. vrednosti koje se mogu prebrojati skupom celih nenegativnih brojeva: 0, 1,, 3,... itd.). Da bismo bolje razumeli smisao prekidne slučajne promenljive, kao i broj vrednosti koje može uzeti, navešćemo nekoliko primera (Tabela 4.). Tabela 4. Primeri prekidnih slučajnih promenljivih Slučajne promenljive 1. X = broj korisnika kablovske TV u zgradi sa 30 stanova. Y = ocena na ispitu iz Statistike 3. Z = broj datoteka na hard disku Vrednosti slučajne promenljive Broj vrednosti 0, 1,,..., 30 Konačan 5, 6, 7, 8, 9, 10 Konačan 0, 1,,... Prebrojivo mnogo Slučajna promenljiva je neprekidna (ili kontinuirana) ako može da uzme bilo koju vrednost iz nekog intervala. Naime, između bilo koje dve vrednosti x 1 i x slučajne promenljive postoji sledeća moguća vrednost, x 3, koja je različita od x 1 i x. Broj vrednosti koje može uzeti neprekidna slučajna promenljiva je beskonačan. Primeri neprekidnih slučajnih promenljivih su: visina i težina studenata, vreme trajanja usmenog ispita, vek trajanja baterije na vašem mobilnom telefonu, prečnik kugličnog ležaja, itd. Ipak, svaka realizacija neprekidne slučajne promenljive predstavlja jednu numeričku vrednost, a od potreba istraživanja i raspoloživih mernih instrumenata zavisi preciznost sa kojom vršimo merenje. Tako, na primer, visinu studenata najčešće izražavamo u centimetrima, trajanje usmenog ispita u minutima, trajanje baterija u broju sati, a prečnik kugličnog ležaja u stotim delovima milimetra.

5 POGLAVLJE 4 Slučajne promenljive i rasporedi verovatnoća 77 Podsetimo se da je po istom kriterijumu bila izvršena i podela numeričkih obeležja na prekidna i neprekidna. Ovde se, takođe, javlja problem merenja vrednosti neprekidne slučajne promenljive, zbog nedovoljne preciznosti mernih uređaja. U stvarnosti nikada nećemo moći egzaktno izmeriti npr. visinu ili težinu neke osobe, jer ćemo uvek biti prinuđeni da uzimamo približne vrednosti, zbog nepostojanja savršenog mernog instrumenta. Dakle, realan svet pruža nam samo diskretne podatke. Međutim, uprkos navedenim ograničenjima, promenljive koje su podložne merenjima najčešće su po svojoj prirodi kontinuirane. 4. RASPORED VEROVATNOĆA PREKIDNE SLUČAJNE PROMENLJIVE Prekidna slučajna promenljiva može se opisati kao veličina koja uzima određene izolovane vrednosti sa odgovarajućim verovatnoćama. U Primeru 4.1, ako su novčići pravilni, svaki od 4 elementa u prostoru uzorka ima jednaku verovatnoću javljanja koja je jednaka 1/4. Na osnovu Tabele 4.1 vidimo da slučajna promenljiva X može uzeti vrednosti 0, 1 i, čije se verovatnoće razlikuju i zavise od broja povoljnih ishoda. Verovatnoću da slučajna promenljiva X uzme neku od navedenih vrednosti označavamo sa P (X = x i ) = p i. Dakle, 1 PX ( = x1) = PX ( = 0) = p 1 = PX ( = x) = PX ( = 1) = p = + = PX ( = x3) = PX ( = ) = p 3 = 4 Sada možemo precizno da opišemo ovu slučajnu promenljivu. Izlistaćemo sve vrednosti koje ona može da uzme i svakoj vrednosti ćemo pridružiti odgovarajuću verovatnoću. Tako formiramo raspored verovatnoća (eng. probability distribution). Raspored verovatnoća (raspodela verovatnoća ili funkcija verovatnoća ili zakon verovatnoća) prekidne slučajne promenljive X je lista parova svih vrednosti koje ona može da uzme i odgovarajućih verovatnoća. Raspored verovatnoća u Primeru 4.1 prikazaćemo Tabelom 4.3. Tabela 4.3 Raspored verovatnoća za broj grbova u eksperimentu sa dva novčića Broj grbova Verovatnoća (Različite vrednosti x) P 0 ¼ 1 ½ ¼ 1

6 78 OSNOVI STATISTIKE Na osnovu Tabele 4.3 možemo doneti dva zaključka koji važe za sve prekidne slučajne promenljive. 1. Nijedna verovatnoća u rasporedu verovatnoća ne može biti negativna, tj. PX ( = x i ) 0 za svako i.. Suma verovatnoća koje odgovaraju svim vrednostima slučajne promenljive X mora biti jednaka 1, tj. p i = 1. i Raspored verovatnoća daje nam najiscrpniju informaciju o karakteristikama neke slučajne promenljive. Kada nam je on poznat možemo donositi različite probabilističke stavove o bilo kojim vrednostima slučajne promenljive. Tako, na osnovu Tabele 4.3 možemo, na primer, odrediti verovatnoće: P(0 X 1) = PX ( = 0) + PX ( = 1) = 1/4 + 1/ = 3/4 PX ( < 1) = PX ( = 0) = 1/4 PX ( > 1) = PX ( = ) = 1/4 Primetimo da se kod prekidne slučajne promenljive razlikuje verovatnoća Px ( 1 X x ) od Px ( 1 X< x ), jer prva uključuje u sebe i verovatnoću da je X jednako x. Kao i prekidne rasporede frekvencija, tako i rasporede verovatnoća prekidnih slučajnih promenljivih možemo grafički predstaviti u vidu dijagrama verovatnoća, kao na Slici 4.. 0,6 0,5 0,4 P(X=x) 0,3 0, 0,1 0,0-1,0-0,5 0,0 0,5 x Slika 4. Grafički prikaz rasporeda verovatnoća iz Tabele 4.3. Vidimo da se na apscisu nanose moguće vrednosti slučajne promenljive, a na ordinatu odgovarajuće verovatnoće. Visina svake ordinate na Slici 4. mora biti 1,0 1,5,0,5 3,0

7 POGLAVLJE 4 Slučajne promenljive i rasporedi verovatnoća 79 proporcionalna odgovarajućoj verovatnoći u rasporedu verovatnoća slučajne promenljive X. Diskretnost slučajne promenljive jasno se uočava zbog praznina između ordinata na dijagramu verovatnoća - znači da je verovatnoća da slučajna promenljiva uzme vrednost iz intervala između celobrojnih vrednosti jednaka nuli. Sa grafika se može videti kako je ukupna verovatnoća, koja je jednaka jedinici, raspoređena. Mehanički ovo možemo interpretirati kao da je izvesna masa jednaka jedinici raspoređena na takav način da se u tačkama x 1, x,..., x n nalaze odgovarajući delovi mase p 1, p,..., p n. Usled toga se često raspored verovatnoća prekidne slučajne promenljive naziva funkcija mase verovatnoća. Generalno, raspored verovatnoća prekidne slučajne promenljive možemo prikazati pomoću Tabele 4.4, koja sadrži skup parova vrednosti slučajne promenljive i njihove verovatnoće, uz uslov da je zbir verovatnoća jednak 1. Tabela 4.4 Raspored verovatnoća slučajne promenljive X Različite vrednosti x Verovatnoća p x 1 x... x i... x n p 1 p... p i... p n Raspored verovatnoća ne smemo poistovećivati sa rasporedom frekvencija. Raspored verovatnoća je teorijski model koji pridružuje verovatnoće pojedinim vrednostima slučajne promenljive pre nego što spovedemo statistički eksperiment. Na primer, u primeru sa bacanjem dva novčića, pretpostavili smo da su novčići pravilni i svim ishodima smo pripisali jednake verovatnoće, a zatim smo na osnovu ovih verovatnoća odredili raspored verovatnoća prikazan Tabelom 4.3. S druge strane, raspored frekvencija možemo da formiramo tek na osnovu podataka koje smo prikupili nakon izvršenog statističkog eksperimenta. U principu, eksperiment će od slučaja do slučaja davati različite rasporede frekvencija. Tako, na primer, ako posmatramo eksperiment u kome novčiće bacamo 100 puta, možemo dobiti raspored frekvencija kao u Tabeli 4.5. Tabela 4.5 Raspored frekvencija dobijenih na osnovu 100 bacanja dva novčića x 0 1 Apsolutne frekvencije Relativne frekvencije 0,8 0,45 0,33 1 Primećujemo da postoji razlika između rasporeda verovatnoća i rasporeda relativnih frekvencija. Poznato nam je da se, po koncepciji empirijske (statističke) verovatnoće, relativne frekvencije stabilizuju sa povećavanjem broja opita i da se pri beskonačnom broju opita granična vrednost relativne frekvencije izjednačava sa verovatnoćom. Usled toga će i raspored relativnih frekvencija sa povećanjem broja opita težiti da se izjednači sa rasporedom verovatnoća (pod uslovom da su novčići pravilni).

8 80 OSNOVI STATISTIKE Na osnovu navedenih razmatranja možemo sagledati vezu između pojmova koje smo upoznali u prva četiri poglavlja i pojma slučajne promenljive. Podsetimo se da smo populaciju (ili statistički skup) definisali kao skup svih podataka koji se odnose na jedno obeležje, a uzorak kao reprezentativni deo skupa. Upravo takvu vezu nam pružaju Tabele 4.4 i 4.5. Naime, obeležje predstavlja slučajnu promenljivu, X, a modaliteti obeležja su moguće realizacije slučajne promenljive. Ako je posmatrani skup konačan, i ako izvršimo popis, onda su relativne frekvencije jednake verovatnoćama pojedinih vrednosti slučajne promenljive. Drugim rečima, ako obuhvatimo sve elemente jednog osnovnog skupa, onda raspored relativnih frekvencija posmatranog obeležja predstavlja zapravo raspored verovatnoća slučajne promenljive. Na žalost, u praksi najčešće ne raspolažemo svim podacima o populaciji (ili je ona beskonačno velika), kada ne možemo da odredimo tačan raspored verovatnoća slučajne promenljive. Jedan od načina da ga analiziramo je da, na osnovu raspoloživih informacija ili pretpostavki, raspored promenljive prikažemo nekim teorijskim modelom rasporeda (o čemu ćemo kasnije govoriti). Takođe, iz skupa možemo izabrati uzorak i na osnovu relativnih frekvencija u uzorku oceniti verovatnoće odgovarajućih vrednosti slučajne promenljive. Što je uzorak veći to će se i relativne frekvencije sve manje razlikovati od odgovarajućih verovatnoća FUNKCIJA RASPOREDA PREKIDNE SLUČAJNE PROMENLJIVE Kao što smo videli, raspored verovatnoća prekidne slučajne promenljive, koja ima konačan broj vrednosti, može se predstaviti kao lista svih pojedinačnih vrednosti slučajne promenljive sa odgovarajućim verovatnoćama. Međutim, postavlja se pitanje, kako opisati prekidnu slučajnu promenljivu koja ima prebrojivo mnogo, tj. beskonačno mnogo vrednosti. Trebalo bi formirati listu od beskonačno mnogo parova vrednosti slučajne promenljive i njihovih verovatnoća, što bi bilo praktično neizvodljivo. Isti problem se javlja i prilikom predstavljanja neprekidne slučajne promenljive koja može uzeti jednu od beskonačno mnogo vrednosti. Zbog ovih ograničenja potrebno je pronaći drugačiji način predstavljanja, koji bi važio za bilo koju slučajnu promenljivu. To se upravo postiže pomoću funkcije rasporeda (eng. distribution function). Svaka slučajna promenljiva ima svoju funkciju rasporeda. Funkcija rasporeda (naziva se još i kumulativna funkcija rasporeda) prekidne slučajne promenljive predstavlja verovatnoću da slučajna promenljiva X uzme vrednost koja je manja ili jednaka bilo kojoj proizvoljnoj vrednosti x. Funkcija rasporeda slučajne promenljive X se označava sa F(x) i jednaka je: Fx ( ) = PX ( x ) gde x može biti bilo koji realan broj. Neka je X prekidna slučajna promenljiva koja može uzeti vrednosti x 1, x,

9 POGLAVLJE 4 Slučajne promenljive i rasporedi verovatnoća 81..., x r,..., x n, gde su x1 < x <... < x n. Neka P (X = x i ) označava verovatnoću da X uzme vrednost x i. Tada F(x r ) predstavlja verovatnoću da slučajna promenljiva X uzme vrednost koja će biti manja ili jednaka x r i dobija se sabiranjem (kumuliranjem) verovatnoća za sve vrednosti slučajne promenljive koje su manje ili jednake x r tj. r Fx ( r) = PX ( xr) = Px ( = xi) = Px ( = x1) + Px ( = x) Px ( = x r) i= 1 Svaka funkcija rasporeda mora da ispuni sledeće matematičke karakteristike: a. Za bilo koju vrednost a, 0 Fa ( ) 1 Ovo je jasno, jer je funkcija rasporeda po definiciji verovatnoća; b. F ( ) = 0 i ( ) F + =1, F( ) = lim P( X x) se odnosi na nemoguć događaj, x F( + ) = lim P( X x) se odnosi na siguran događaj; x + c. ako je a < b, tada je F (a) F (b). Ovo znači da je funkcija rasporeda bilo koje slučajne promenljive neopadajuća funkcija. Ako se vratimo na naš primer sa dva novčića, korišćenjem Tabele 4.3 možemo izračunati verovatnoće da slučajna promenljiva X uzme vrednost manju ili jednaku proizvoljnoj vrednosti x. Tako je verovatnoća realizacije najviše nula grbova jednaka 1 F(0) = P( X 0) = ; 4 verovatnoća da se u eksperimentu dobije jedan grb ili manje jednaka je F(1) = P( X 1) = P( X = 0) + P( X = 1) = + = ; 4 4 i verovatnoća dobijanja dva grba ili manje F() = P( X ) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = ) = 1 Dobijene vrednosti smo, zajedno sa rasporedom verovatnoća, prikazali u Tabeli 4.6. Tabela 4.6 Raspored verovatnoća i funkcija rasporeda u primeru dva novčića x i pi = PX ( = xi) Fx ( ) = PX ( x) 0 1/4 ¼ 1 /4 ¾ 1/4 1

10 8 OSNOVI STATISTIKE Funkciju rasporeda možemo grafički prikazati u koordinatnom sistemu pomoću tzv. stepenaste funkcije, kao na Slici ,0 0,8 P(X=x) 0,6 0,4 0, 0,0-1,0-0,5 0,0 0,5 x 1,0 Slika 4.3 Funkcija rasporeda za broj grbova u eksperimentu sa bacanjem dva novčića Grafik funkcije rasporeda sastoji se samo od horizontalnih linija. Vertikalne linije nisu deo funkcije rasporeda, ali se obično uključuju da bi grafik bio pregledniji. Sa Slike 4.3 se može videti da funkcija rasporeda za sve vrednosti X manje od nule ima vrednost 0, a da za sve vrednosti veće od ima vrednost 1. Funkcija rasporeda skokovito menja vrednosti za celobrojne vrednosti slučajne promenljive, pa se na osnovu samog izgleda grafika lako može uočiti diskretna priroda slučajne promenljive. 1,5,0,5 3,0 4.4 OČEKIVANA VREDNOST I VARIJANSA SLUČAJNE PROMENLJIVE U deskriptivnoj statistici opisivali smo rasporede frekvencija pomoću deskriptivnih mera centralne tendencije, disperzije i oblika rasporeda. Na analogan način se i raspored verovatnoća slučajne promenljive prikazuje sintetičkim pokazateljima, od kojih ćemo se ovde zadržati samo na dva: 1. očekivanoj vrednosti slučajne promenljive, kao meri centralne tendencije i. varijansi slučajne promenljive, kao meri disperzije Očekivana vrednost prekidne slučajne promenljive Očekivana vrednost (eng. expected value) za neku slučajnu promenljivu ima isto značenje kao i aritmetička sredina za neko obeležje. Posmatrajmo prekidnu slučajnu promenljivu X sa sledećim rasporedom verovatnoća:

11 POGLAVLJE 4 Slučajne promenljive i rasporedi verovatnoća 83 x i pi = PX ( = x i) x 1 p1 = PX ( = x 1) x p = PX ( = x ) x n pn = PX ( = x n) Očekivana vrednost se označava sa E(X) i jednaka je zbiru proizvoda svih vrednosti slučajne promenljiva i odgovarajućih verovatnoća. Očekivana vrednost prekidne slučajne promenljive X n EX ( ) = x 1 p 1 + x p xnpn = xp i i i= 1 (4.1) Očekivana vrednost se naziva i matematičko očekivanje ili, jednostavno, očekivanje od X. Vidimo da E(X) predstavlja ponderisanu sredinu svih mogućih vrednosti slučajne promenljive X, pri čemu su ponderi odgovarajuće verovatnoće koje figurišu u rasporedu verovatnoća slučajne promenljive X. Na primer, očekivana vrednost u eksperimentu sa bacanjem dva novčića (Tabela 4.3) iznosi: EX ( ) = xp i i = = 1 i= Očekivana vrednost može se intuitivno shvatiti kao centar gravitacije rasporeda verovatnoća, odnosno svih vrednosti koje uzima slučajna promenljiva, što možemo grafički prikazati kao na Slici ,6 0,5 0,4 P(X=x) 0,3 0, 0,1 0,0-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 x E(X) Slika 4.4 E(X) kao centar gravitacije rasporeda verovatnoća

12 84 OSNOVI STATISTIKE U praktičnim istraživanjima, pojam očekivana vrednost slučajne promenljive X najčešće se poistovećuje sa aritmetičkom sredinom statističkog skupa. Zbog toga možemo i napisati sledeću jednakost EX ( ) = μx = μ odnosno očekivana vrednost jednaka je aritmetičkoj sredini populacije. Očekivana vrednost predstavlja osnovno sredstvo u analizi slučajnih promenljivih i, kao aritmetička sredina, ima sledeće osobine: E(X) se nalazi između minimalne i maksimalne vrednosti slučajne promenljive E(X) se ne mora poklapati ni sa jednom vrednošću slučajne promenljive. Da sumiramo: pojam očekivana vrednost nikako ne možemo tumačiti kao vrednost koja se očekuje u statističkom eksperimentu, već kao prosečan očekivani ishod svih mogućih opita u eksperimentu. Drugačije rečeno, očekivana vrednost je prosek slučajne promenljive Varijansa prekidne slučajne promenljive Nameće se pitanje, u kojoj meri vrednosti slučajne promenljive odstupaju od očekivane vrednosti, tj. kolika je disperzija? Kao meru disperzije ne možemo uzeti očekivanu vrednost odstupanja, jer je ona jednaka nuli, kao što je zbir odstupanja svih podataka od aritmetičke sredine jednak nuli: [ ] EX EX ( ) = 0 isto kao što je ( x μ) = 0 Sledeći istu logiku kao kod formulisanja varijanse rasporeda frekvencija, potrebno je kvadrirati odstupanja pojedinih vrednosti slučajne promenljive od njene očekivane vrednosti. Tako dobijamo varijansu slučajne promenljive koja se označava sa Var X, ili σx ili σ i dobija se na osnovu obrasca Varijansa prekidne slučajne promenljive [ ] [ ] Var( X) = σx = E X E( X) = xi E( X) pi i (4.) Vidimo da varijansa predstavlja prosek, odnosno očekivanu vrednost kvadrata odstupanja vrednosti slučajne promenljive od njene očekivane vrednosti. Ako očekivanu vrednost slučajne promenljive E(X) označimo sa μ X i shvatimo kao aritmetičku sredinu statističkog skupa (odnosno populacije), zaključujemo da se formula za varijansu može napisati u obliku

13 POGLAVLJE 4 Slučajne promenljive i rasporedi verovatnoća 85 σ. X = ( xi μx) pi i Varijansa slučajne promenljive može se jednostavnije izračunati pomoću radne, alternativne formule: [ ] [ ] VarX ( ) = σ = EX EX ( ) = EX ( ) EX ( ) = x p μ, X i i X tj. kao očekivanje kvadrata slučajne promenljive minus kvadrat njenog očekivanja. Da bismo u eksperimentu sa bacanjem dva novčića (Tabela 4.3) izračunali varijansu, potrebno je izračunati proizvode xp i i i xi p i, što smo prikazali u trećoj i četvrtoj koloni Tabele 4.7. Tabela 4.7 Izračunavanje varijanse slučajne promenljive u primeru sa dva novčića x p x p x p EX ( ) = xp i i = EX ( ) = xi pi = σx = EX ( ) μx = (1) = 3 1 = EX ( ) = μ = EX ( ) Naravno, do istog rezultata bismo došli direktnom primenom definicione formule 4.: 3 X xi E( X) pi ( 0 1) ( 1) ( 1) i= 1 i ( ) σ = = + + = 4 4 Budući da je [ ] (4.3) x E X uvek nenegativno, ni varijansa slučajne promenljive ne može biti negativna, tj. Var X 0. Ukoliko je Var X = 0, X nije slučajna promenljiva već konstanta. Važi i obrnuto, tj. varijansa konstante jednaka je nuli. Varijansa slučajne promenljive ima isto ograničenje kao i varijansa rasporeda frekvencija - iskazana je u kvadratnim mernim jedinicama (na primer, ako je X iskazano u kg, varijansa će biti u kg ). Da bi se disperzija merila u istim mernim jedinicama kao i X, potrebno je uzeti kvadratni koren varijanse. Na taj način dolazimo do standardne devijacije slučajne promenljive X, koja se označava sa σ ili σ X. Kada znamo očekivanu vrednost E(X) i standardnu devijaciju σ X, slučajnu promenljivu X možemo transformisati u slučajnu promenljivu Z čija je očekivana vrednost jednaka 0, a standardna devijacija 1. Slučajna promenljiva Z

14 86 OSNOVI STATISTIKE se naziva standardizovana slučajna promenljiva. Slučajnu promenljivu X standardizujemo tako što se od nje oduzme njena očekivana vrednost i razlika podeli standardnom devijacijom (čime se eliminiše jedinica mere): Standardizovana slučajna promenljiva X E( X) Z = σ X EZ ( ) = 0 Var Z = 1 (4.4) Budući da smo u ovom poglavlju, do sada, uveli veći broj novih važnih pojmova, na sledećem dijagramu uporedićemo ih sa analognim pojmovima koje smo definisali prilikom analize rasporeda frekvencija u deskriptivnoj analizi: Pojmovi u deskriptivnoj analizi Obeležje Relativna frekvencija Analogni pojmovi u teoriji verovatnoća Slučajna promenljiva Verovatnoća Raspored frekvencija Aritmetička sredina Varijansa Raspored verovatnoća Očekivana vrednost Varijansa 4.5 MODELI PREKIDNIH RASPOREDA VEROVATNOĆA U uvodnom delu ovog poglavlja smo ukazali na potrebu da se varijabilne pojave u prirodi i društvu modeliraju, kao i da takvi modeli predstavljaju samo uprošćenu sliku realnosti. Pošto ne postoji univerzalni model kojim bi se opisale sve pojave, formulisan je veliki broj različitih modela. Ovde odajemo priznanje generacijama statističara i matematičara koji su u XIX i XX-om veku posmatrali najrazličitije pojave (u biologiji, poljoprivredi, osiguranju, biznisu, sociologiji, psihologiji, medicini, veterini, astronomiji itd), a zatim formulisali teorijske modele koji najbolje opisuju njihova pojedinačna ponašanja i osobine. Sa najpoznatijim modelima ćemo se uskoro upoznati. Model rasporeda verovatnoća formulišemo u vidu opšteg algebarskog izraza, tj. formule koja povezuje pojedinačne vrednosti slučajne promenljive X sa njima odgovarajućim verovatnoćama. Takva funkcionalna veza:

15 POGLAVLJE 4 Slučajne promenljive i rasporedi verovatnoća 87 ( ) pi = f x i i = 1,,..., n na kondenzovan način sadrži raspored verovatnoća i naziva se model rasporeda. Ako nam je poznat model rasporeda f, tada možemo jednostavno odrediti verovatnoću javljanja svake pojedinačne vrednosti slučajne promenljive, x i, i = 1,,..., n. Osnovni značaj modela rasporeda je u tome što se na njima bazira celokupno statističko zaključivanje. Kao što ćemo u narednim poglavljima videti, bez poznavanja pojedinih teorijskih rasporeda ne bi bilo moguće oceniti parametre populacije, formirati intervale pouzdanosti, niti testirati određenu statističku hipotezu. U praktičnim istraživanjima najširu primenu imaju oni modeli rasporeda koji najbolje reprezentuju ponašanje većeg broja prirodnih ili društvenih fenomena Modele rasporeda verovatnoća delimo kao i slučajne promenljive na prekidne i neprekidne. Najpoznatiji modeli prekidnih rasporeda verovatnoća su: binomni, hipergeometrijski, Poasonov i uniformni. U okviru modela neprekidnih rasporeda verovatnoća, u statističkoj praksi najčešće se koriste: normalan, Studentov, χ (hi kvadrat) i Snidikorov (Fišerov) raspored. Navedene modele rasporeda prikazaćemo sledećim dijagramom. Teorijski modeli rasporeda verovatnoća Poasonov Prekidni Uniformni Binomni Hipergeometrijski Neprekidni Normalan Snidikorov Studentov χ Najpre ćemo se ukratko upoznati sa osnovnim karakteristikama najvažnijih prekidnih rasporeda, a zatim ćemo posmatrati rasporede verovatnoća neprekidnih slučajnih promenljivih. U ovom poglavlju ćemo detaljno objasniti osobine normalnog rasporeda, a ostale neprekidne rasporede ćemo razmatrati kasnije.

16 88 OSNOVI STATISTIKE Binomni raspored Najčešće korišćeni prekidni raspored u primenjenoj statistici jeste binomni raspored. Da bismo ga razumeli, potrebno je da prethodno objasnimo pojam tzv. Bernulijevog procesa. Posmatrajmo sukcesivno izvođenje nekog eksperimenta u kome se jedno izvođenje naziva opit. Pretpostavimo da su u svakom pojedinom opitu moguća samo dva, uzajamno isključiva, ishoda, koje nazivamo uspeh i neuspeh. Ova dva termina (uspeh i neuspeh) se koriste samo radi razgraničavanja dva moguća ishoda i ne označavaju "kvalitet" nekog događaja. Veliki broj eksperimenata može se statistički klasifikovati na ovaj način. Na primer, prilikom bacanja novčića moguća su samo dva događaja: pad pisma ili grba; proizvedeni artikal može biti ispravan ili neispravan; ispit iz statistike student može položiti ili pasti, itd. U svakom od ovih primera, u zavisnosti od toga šta je predmet našeg istraživanja, jedan događaj označavamo kao uspeh a drugi kao neuspeh. Na primer, pad pisma možemo označiti kao uspeh, ali i neispravan proizvod je moguće klasifikovati kao uspeh. Takav opit, koji može imati samo dva ishoda naziva se Bernulijev opit, po švajcarskom matematičaru Jakobu Bernuliju (Jacob Bernoulli), koji je dao veliki doprinos teoriji verovatnoća. Nas, međutim, neće interesovati samo jedan Bernulijev opit, već niz nezavisnih, ponovljenih Bernulijevih opita. Takav niz opita naziva se Bernulijev proces, ukoliko su ispunjeni sledeći uslovi: (1) Svaki opit ima samo dva moguća ishoda: uspeh (U) i neuspeh (N). () Verovatnoća uspeha, p = P (U), je konstantna od opita do opita. Verovatnoća neuspeha, P(N) = 1 p, označava se sa q, tako da je p + q = 1. (3) Opiti su nezavisni, odnosno, realizacija bilo kog ishoda u jednom opitu nema uticaja na verovatnoću ishoda u bilo kom drugom opitu. Ukoliko izvršimo n ponovljenih Bernulijevih opita, tada broj uspeha može iznositi 0, 1,,..., n. Cilj nam je da odredimo formulu za izračunavanje verovatnoće ostvarivanja svakog mogućeg broja uspeha unutar n nezavisnih, uzastopno ponovljenih opita, koji formiraju Bernulijev proces. Raspored do koga dolazimo na ovakav način i koji nam daje željene verovatnoće naziva se binomni raspored. Binomni raspored n Px = p p x ( ) x (1 ) n x n = broj opita za x = 0, 1,,..., n (4.5) p = verovatnoća uspeha u svakom opitu

17 POGLAVLJE 4 Slučajne promenljive i rasporedi verovatnoća 89 Primetimo da je binomni raspored prekidan raspored, jer slučajna promenljiva može uzimati samo celobrojne vrednosti iz intervala od 0 do n. On zadovoljava oba uslova koje mora da ispuni bilo koji raspored verovatnoća - svaka verovatnoća koja figuriše u rasporedu verovatnoća je nenegativna i suma svih verovatnoća jednaka je 1. Vidimo, takođe, da u formuli (4.5) vrednosti n i p nisu unapred određene. To znači da model možemo primeniti na svaki broj opita, n, i na svaku verovatnoću javljanja uspeha, p. Jasno je da ćemo menjanjem pojedinačnih vrednosti n i p dobijati različite binomne rasporede, od kojih svaki zadovoljava istu matematičku formulu (4.5), ali pridodaje različite verovatnoće pojedinim vrednostima slučajne promenljive X. Sa povećanjem vrednosti n, izračunavanje binomnih verovatnoća na osnovu formule (4.5) postaje zamorno. Zbog toga su, korišćenjem računara, statističari konstruisali specijalne tablice, koje nam daju pregled izračunatih verovatnoća za razne vrednosti n, p i x. Tako, na primer, za n = 5, p = 0,5 i x =, na osnovu korišćenja binomnih tablica našla bi se vrednost 0,315, tj. 0,315, koja predstavlja verovatnoću realizacije uspeha u eksperimentu koji se sastoji iz pet uzastopnih opita, ako je verovatnoća uspeha u svakom opitu 0, Hipergeometrijski raspored Videli smo da binomni model zahteva da verovatnoća uspeha, p, mora ostati konstantna iz opita u opit, odnosno opiti moraju biti međusobno nezavisni. Posebnu primenu binomni raspored ima u problemima vezanim za izbor uzorka. O različitim izborima uzorka govorićemo u sedmom poglavlju. Ovde je potrebno da ukažimo samo na to da postoje dve tehnike uzimanja uzorka iz populacije - bez ponavljanja i sa ponavljanjem. Pri izboru sa ponavljanjem iz konačnog skupa, svaki element uzorka nakon ispitivanja vraćamo u osnovni skup i pružamo mu mogućnost da ponovo uđe u uzorak. Tada su sukcesivni izbori elemenata međusobno nezavisni, tj. verovatnoća p ostaje konstantna. Istu osobinu će imati i uzorak veličine n koji biramo iz beskonačnog osnovnog skupa. U ovim slučajevima koristimo binomni raspored za izračunavanje verovatnoće da će u uzorku veličine n, broj uspeha biti x. Ali, ako iz konačnog skupa uzimamo uzorak bez ponavljanja, tj. izabrani element ne vraćamo u skup, uzastopna izvlačenja će biti zavisna. To znači da će se verovatnoća p menjati nakon izbora svakog novog elementa, jer će se menjati broj i struktura preostalih elemenata u skupu. U takvim slučajevima koristimo hipergeometrijski raspored. Pretpostavimo da uzimamo uzorak bez ponavljanja od n elemenata iz konačne populacije od N elemenata, pri čemu se svi elementi populacije mogu klasifikovati u dve grupe (kao uspeh i neuspeh), kao kod binomnog rasporeda. Neka ukupan broj elemenata u populaciji koji poseduju ispitivanu

18 90 OSNOVI STATISTIKE karakteristiku (uspeh) iznosi N 1, a broj elemenata koji je ne sadrže (neuspeh) N. Dakle, N 1 + N = N. Ovakvu šemu uzimanja uzorka možemo prikazati grafički Slikom 4.5. Populacija N 1 = broj uspeha Uzima se uzorak Uzorak x = broj uspeha N = broj neuspeha veličine n n x = broj neuspeha N = veličina populacije n = veličina uzorka Slika 4.5 Uzimanje uzorka bez ponavljanja iz skupa čiji su elementi klasifikovani u dve grupe Potrebno je formulisati raspored verovatnoća za slučajnu promenljivu X, koja pokazuje broj uspeha, x, u uzorku (bez ponavljanja) od n elemenata. Formulu za raspored verovatnoća hipergeometrijske slučajne promenljive X možemo formulisati na osnovu pravila kombinatorike, vodeći računa da x elemenata u uzorku potiče iz podgrupe N 1, a n - x elemenata, koji ne poseduju posmatranu karakteristiku, potiče iz podgrupe od N elemenata. Hipergeometrijski raspored N1 N = = x n x PX ( x) x = 0, 1,..., min(n, N 1 ) N n gde su: N = veličina skupa N 1 = broj uspeha u skupu N = broj neuspeha u skupu n = veličina uzorka (bez ponavljanja) x = broj uspeha u uzorku min(n, N 1 ) = minimum od n i N 1 n x = broj neuspeha u uzorku (4.6) Kao i binomni raspored, i hipergeometrijski raspored je prekidan i predstavlja čitavu familiju rasporeda. Svaki član ove familije je određen sa 3 parametra: N, N 1 i n Poasonov raspored Kao što smo videli, binomni raspored pokazuje verovatnoće dobijanja x uspeha prilikom n opita nekog eksperimenta, tj. Bernulijevog procesa, pod uslovom da

19 POGLAVLJE 4 Slučajne promenljive i rasporedi verovatnoća 91 je verovatnoća uspeha, p, konstantna iz opita u opit. Ako je broj opita veliki i nalazi se izvan opsega datih u tablicama, izračunavanje verovatnoće za odgovarajuće vrednosti slučajne promenljive primenom formule (4.5) postaje komplikovano. Ukoliko je verovatnoća uspeha p veoma mala (najčešće se uzima da je p 0,05) i kada je n 0, umesto binomnog modela možemo koristiti Poasonov model, kao zadovoljavajući način aproksimiranja verovatnoća. Primetimo da kada je p blisko nuli u stvari ispitujemo retke događaje. Pored aproksimiranja binomnih verovatnoća, Poasonovim rasporedom možemo opisivati veliki broj pojava, bilo u vremenu ili prostoru: broj klijenata koji se nalaze u redu i čekaju na neki servis, broj saobraćajnih nezgoda tokom vikenda, broj štamparskih grešaka po stranici u nekoj knjizi, broj čestica emitovanih od neke radioaktivne supstance, broj zastoja u radu mašine u preduzeću, broj defekata na kvadratnom metru tkanine, godišnji broj umrlih u nekom gradu od neke retke bolesti, itd. U navedenim primerima Poasonov raspored se može koristiti da bi se odredila verovatnoća broja javljanja nekog događaja u jedinici vremena ili prostora. Generalno, da bi Poasonov raspored mogao adekvatno da opiše neku pojavu potrebno je da su ispunjena sledeća tri uslova: 1. Broj javljanja događaja je nezavisan od jedne do druge jedinice vremena ili prostora.. Verovatnoća javljanja nekog događaja je proporcionalna dužini određene jedinice vremena ili prostora. 3. Verovatnoća istovremenog javljanja dva ili više događaja u sasvim maloj jedinici vremena ili prostora je zanemarljivo mala. Pod ovim uslovima, slučajna promenljiva X, koja pokazuje koliko puta se javio neki događaj u jedinici vremena ili prostora, ima Poasonov raspored (nazvan je po francuskom matematičaru S. D. Poisson-u, koji je objavio članak u kome se prvi put opisuje ovaj raspored). Poasonov raspored λ x e λ PX ( = x) = x! x = 0, 1,,... λ > 0 (4.7) Primenom formule (4.7) izračunavamo verovatnoću da prekidna slučajna promenljiva X uzme neku proizvoljnu vrednost x. Broj e je konstanta, predstavlja bazu prirodnog logaritma i iznosi (zaokružen na pet decimala),7188, pa vidimo da Poasonov raspored ima samo jedan parametar, λ (lambda). Numerički, λ predstavlja prosečan broj javljanja nekog događaja u jedinici vremena ili prostora. Parametar λ istovremeno predstavlja aritmetičku sredinu i varijansu Poasonovog rasporeda.:

20 9 OSNOVI STATISTIKE Uniformni raspored Jedan od najjednostavnijih prekidnih rasporeda, koji je posebnu primenu našao u kompjuterskoj simulaciji i igrama na sreću, jeste uniformni raspored. Njegova osnovna karakteristika je da svaka vrednost slučajne promenljive ima jednaku verovatnoću da se ostvari. Pretpostavimo da slučajna promenljiva X može uzeti jednu od vrednosti 1,,..., n. Ako je verovatnoća da X uzme bilo koju od ovih vrednosti jednaka i iznosi 1/n, i ako se ove verovatnoće ne menjaju od opita do opita, za X kažemo da ima prekidni uniformni raspored. Uniformni raspored PX ( = x) = 1 x = 1,,..., n n n = broj različitih vrednosti koje X može uzeti (4.8) PRIMER 4.: Posmatrajmo eksperiment bacanja pravilne kocke čije su strane obeležene brojevima od 1 do 6. Ako je X broj na strani kocke, onda X predstavlja slučajnu promenljivu sa mogućim vrednostima X: 1,, 3, 4, 5, 6. Pošto svaka strana kocke ima podjednaku mogućnost pojavljivanja, slučajna promenljiva X ima uniformni raspored, tj.: PX ( = x ) = 1 x = 1,,..., 6 6 Ovaj raspored možemo grafički ilustrovati Slikom 4.8. Sa slike se jasno vidi da su sve verovatnoće kod uniformnog rasporeda među sobom jednake. Primenu uniformnog rasporeda ćemo videti kasnije, u Poglavlju 10, kod testiranja statističkih hipoteza. 4.6 RASPORED VEROVATNOĆA NEPREKIDNE SLUČAJNE PROMENLJIVE Veliki broj ekonomskih i drugih društvenih pojava se ne može aproksimirati prekidnim modelima rasporeda. Razlog je što ove pojave mogu uzeti ma koju vrednost iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala, odnosno, po svojoj prirodi one su neprekidne promenljive. Najčešće, kada je neka pojava podložna merenju, kao npr. visina, težina, potrošnja per capita (po glavi stanovnika), temperatura, potrebno vreme da se usluži klijent u banci, i slično, pojavu tretiramo kao neprekidnu slučajnu promenljivu. Uočimo da navedene promenljive teorijski mogu uzeti bilo koju vrednost iz nekog intervala, iako je u praksi broj tih vrednosti konačan, bilo zbog nesavršenih mernih instrumenata ili činjenice da nam u konkretnom istraživanju savršena preciznost nije

21 POGLAVLJE 4 Slučajne promenljive i rasporedi verovatnoća 93 potrebna. Kao što smo već rekli, raspored verovatnoća prekidne slučajne promenljive prikazujemo listom parova vrednosti slučajne promenljive i odgovarajućih verovatnoća, dok je za neprekidnu slučajnu promenljivu ovu listu nemoguće sastaviti jer je broj njenih vrednosti beskonačan. Zbog toga nema ni smisla govoriti o verovatnoći da slučajna promenljiva X uzme jednu određenu vrednost P(X = x), budući da je zbog beskonačno mnogo vrednosti ova verovatnoća jednaka nuli za svako x, P(X = x)=0. Dakle, kod neprekidne slučajne promenljive ima smisla određivati samo verovatnoću da se X nalazi u nekom intervalu. Zbog navedene razlike između neprekidnih i prekidnih slučajnih promenljivih razumljivo je i da se grafički prikaz rasporeda verovatnoća neprekidne promenljive neće sastojati od ordinata, već od površine ispod neprekidne, glatke krive. Takva kriva naziva se kriva gustine verovatnoća. Matematička funkcija ove krive obeležava se sa f(x) i naziva funkcija gustine verovatnoća (ili raspored verovatnoća) neprekidne slučajne promenljive X. Osnovne karakteristike funkcije gustine verovatnoća su analogne onima kod prekidnih rasporeda verovatnoća. 1. Funkcija gustine nikada nije negativna, tj. f( x ) 0.. Ukupna površina ispod krive gustine verovatnoća uvek je jednaka 1. Budući da se radi o neprekidnoj krivi, umesto znaka za sabiranje koristiti integral, tj: f ( x ) dx = 1 D moramo gde je D oblast definisanosti X (npr. < X <+ ). Slika 4.6 prikazuje raspored hipotetičke neprekidne slučajne promenljive X. Slika 4.6 Grafik neprekidnog rasporeda verovatnoća Verovatnoća da X uzme vrednost u nekom intervalu, npr. (a, b), jednaka je

22 94 OSNOVI STATISTIKE površini između krive f(x) i x ose duž intervala (a, b); ova površina je na grafiku šrafirana. Ako je funkcija f(x) integrabilna, ta površina, tj. verovatnoća, se izračunava određenim integralom b Pa ( < X< b) = f( xdx ) (4.9) a Pošto je verovatnoća da neprekidna slučajna promenljiva uzme jednu određenu vrednost jednaka 1 / = 0, sledi da je P (X = a) = P (X = b) = 0, pa je P( a< X < b) = P( a X < b) = P( a< X b) = P( a X b ) Znači, kod neprekidne slučajne promenljive uključivanje ili isključivanje graničnih vrednosti intervala ne menja verovatnoću da slučajna promenljiva X uzme vrednost iz tog intervala. Na osnovu navedenog zaključujemo da vrednost funkcije gustine f(x) ne predstavlja verovatnoću, kao kod prekidne slučajne promenljive P (X = x), već nam samo daje informaciju o veličini ordinate. Primetimo da izračunavanje verovatnoće P(a<X<b) u slučaju neprekidne slučajne promenljive može biti veoma komplikovano. Pod pretpostavkom da nam je matematički oblik funkcije gustine f(x) poznat, izračunavanje određenog integrala funkcije f(x), čiji oblik može biti veoma složen, bi značajno otežavalo i usporavalo praktičnu analizu. Na sreću, postoji daleko jednostavniji način da odredimo tražene verovatnoće. To nam omogućavaju brojni teorijski rasporedi kojima je modelirano ponašanje različitih neprekidnih slučajnih promenljivih. Za ove rasporede su konstruisane i odgovarajuće tablice, na osnovu kojih lako izračunavamo tražene verovatnoće. U tablicama se po pravilu nalaze vrednosti funkcije rasporeda neprekidne slučajne promenljive. Zato ćemo ovde objasniti kako pomoću funkcije rasporeda dobijamo verovatnoću da se neprekidna slučajna promenljiva X nađe u nekom intervalu. Podsetimo se da funkcija rasporeda, F(x), predstavlja verovatnoću da slučajna promenljiva X uzme neku vrednost koja je manja ili jednaka x. U slučaju neprekidne promenljive, ona predstavlja površinu ispod krive funkcije gustine od njenog početka do tačke x (Slika 4.7). Slika 4.7 Grafički prikaz proizvoljne funkcije gustine i funkcije rasporeda

23 POGLAVLJE 4 Slučajne promenljive i rasporedi verovatnoća 95 Pošto površina ispod krive predstavlja verovatnoću, funkcija rasporeda (osenčeni deo na slici) i ostatak površine u zbiru moraju biti jednaki 1. Sledi da je neosenčena površina jednaka 1 - F(x) = P(X > x), odnosno, predstavlja verovatnoću da slučajna promenljiva X bude veća od x. Verovatnoću da neprekidna slučajna promenljiva uzme vrednost u nekom intervalu (a, b) možemo sada izraziti preko funkcije rasporeda kao Pa ( < X< b) = Fb ( ) Fa ( ) (4.10) tj. kao razliku funkcije rasporeda gornje i donje granice intervala. Postupak izračunavanja je prikazan na Slici 4.8. F(b) je verovatnoća da X uzme vrednost manju ili jednaku b (grafik (b)), F(a) je verovatnoća da X uzme vrednost manju ili jednaku a (grafik (c)), pa njihova razlika mora biti jednaka verovatnoći da se X nađe u intervalu od a do b (grafik (a)). Iz grupe neprekidnih modela rasporeda najpre ćemo upoznati normalan raspored, a ostale modele ćemo detaljnije obraditi kasnije, kroz njihovu primenu, prilikom rešavanja pojedinih statističkih problema. Slika 4.8 Određivanje verovatnoće da se X nađe u intervalu (a, b) korišćenjem funkcije rasporeda 4.7 NORMALAN RASPORED Normalan raspored ima centralnu ulogu u statističkoj teoriji i praksi, posebno u domenu statističkog zaključivanja. Za neprekidnu slučajnu promenljivu X kažemo da ima normalan raspored ako njena funkcija gustine verovatnoća ima izraz kao u (4.11). Normalan raspored 1 ( x μ ) /σ f( x) = e < x <+ σ π gde su: π = matematička konstanta, približno jednaka 3,14159 e = matematička konstanta, približno jednaka,7188 µ = aritmetička sredina normalne slučajne promenljive σ = standardna devijacija normalne slučajne promenljive (4.11)

24 96 OSNOVI STATISTIKE Normalan raspored je u potpunosti definisan sa dva parametra, µ i σ, što se kraće piše: X : N( μ, σ ), i čita X ima normalan raspored sa parametrima μ i σ. Dakle, kao i kod svih do sada razmatranih rasporeda, postoji čitava familija normalnih rasporeda, u zavisnosti od mogućih vrednosti μ i σ. Kada u izrazu X : N( μ, σ ), µ i σ zamenimo konkretnim vrednostima, npr. X(100, 5), iz familije smo izabrali konkretan normalan raspored koji ćemo posmatrati. Normalan raspored prvi je otkrio francuski matematičar Abraham de Moavr (Abraham de Moivre), kao granični oblik binomnog rasporeda, tj. posmatrajući šta se događa sa binomnim rasporedom kada se broj opita neograničeno povećava (podsetimo se Slike 4.5 c, d i e). Ovaj raspored bio je poznat i Laplasu (Laplace) u drugoj polovini XVIII veka, ali njegovo otkriće, kao ni Moavrovo, nije privuklo nikakvu pažnju. Tek kada ga je Gaus (Gauss) opisao godine, normalan raspored je potpuno bio prihvaćen od strane matematičke i statističke javnosti. Gaus je izveo normalan raspored kao matematičku funkciju namenjenu opisu rasporeda grešaka u merenjima astronomskih opservacija. Usled toga ovaj raspored i danas neki autori nazivaju Gausov raspored grešaka. Karakteristike normalnog rasporeda, s obzirom na složenost njegove funkcije gustine, lakše je uočiti uz pomoć grafičkog prikaza, koji se naziva normalna kriva (Slika 4.9). N( μ, σ ) Osobine normalnog rasporeda Slika 4.9 Normalna kriva Navedimo najznačajnije karakteristike normalnog rasporeda. 1. Normalna kriva ima oblik zvona, unimodalna je i simetrična u odnosu na vrednost x = µ.

25 POGLAVLJE 4 Slučajne promenljive i rasporedi verovatnoća 97. Budući da je normalan raspored simetričan, njegova aritmetička sredina, modus i medijana su međusobno jednaki. 3. Normalna kriva se proteže od - do +, tj. asimptotski se približava x osi, pa je njen interval varijacije beskonačan (i = ). 4. Relativna mera asimetrije α 3 jednaka je 0, a relativna mera zaobljenosti α 4 ima vrednost Ukupna površina ispod krive, kao kod svake krive gustine verovatnoća, jednaka je 1. Kako je kriva simetrična, 50% njene površine nalazi se levo od normale, podignute nad aritmetičkom sredinom, a 50% desno. Pošto je površina ispod krive, u stvari, verovatnoća, sledi da verovatnoća da slučajna promenljiva X uzme neku vrednost manju (ili veću) od aritmetičke sredine iznosi 0,5: PX ( < μ) = PX ( > μ) = 0,5. 6. Kao što smo već rekli, sa promenom vrednosti parametara, µ i σ, dobićemo različite normalne rasporede. Na Slici 4.10, grafik (a) prikazuje dva normalna rasporeda sa jednakim varijansama i različitim aritmetičkim sredinama. Vidimo da sa smanjenjem ili povećanjem vrednosti aritmetičke sredine dolazi do pomeranja čitave krive ulevo ili udesno, uz neizmenjenu disperziju. U slučaju (b) aritmetičke sredine su jednake, ali se varijanse razlikuju, a u slučaju (c) razlikuju se i aritmetičke sredine i varijanse. Primetimo da svaka normalna kriva ima zvonasti oblik, kao i da svaka ispunjava napred navedene osobine. σ 1 σ 1 σ σ μ 1 μ μ μ 1 μ μ 1 < μ σ < σ μ 1 < μ σ > σ 1 a) b) c) 1 Slika 4.10 Različiti oblici normalnih krivih, u zavisnosti od vrednosti parametara µ i σ 7. Pretpostavimo da smo povukli normale na udaljenosti od jedne standardne devijacije u oba smera u odnosu na aritmetičku sredinu. Površina ograničena ovim linijama, X osom i normalnom krivom iznosiće približno 68% od čitave površine (koja, naravno, iznosi 1).

26 98 OSNOVI STATISTIKE Znači, u razmaku ± 1 standardne devijacije od aritmetičke sredine nalazi se približno 68% površine svake normalne krive. Time smo upravo i odredili verovatnoću da normalna slučajna promenljiva X uzme neku vrednost u navedenom intervalu P( μ σ < X < μ + σ ) 0,68 Ako povučemo normale na razdaljini od dve standardne devijacije od aritmetičke sredine u oba smera do preseka sa normalnom krivom, dobijena površina iznosiće približno 95% čitave površine, odnosno u terminima verovatnoće P( μ σ < X < μ + σ ) 0,95 Konačno, interval ± 3 standardne devijacije od aritmetičke sredine obuhvata približno 99,7% površine čitave krive, tj. P( μ 3σ < X < μ + 3 σ ) 0,997 Vidimo da je površina koja se nalazi na krajevima normalnog rasporeda izvan intervala ± 3 standardne devijacije od aritmetičke sredine zanemarljivo mala. Slika 4.11 ilustruje navedenu osobinu svake normalne krive, koja važi nezavisno od veličine aritmetičke sredine i standardne devijacije. Ova osobina ima izuzetno veliku primenu u statističkom zaključivanju. U literaturi se često naziva "pravilo ,7". 0,16 0,68 0,16 0,05 0,95 0,05 μ - σ μ μ + σ x μ - σ μ μ + σ x 0,0015 0,997 0,0015 μ - 3σ μ x μ + 3σ Slika 4.11 Površine intervala sa granicama μ ± (1 σ, σ,3 σ)