Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας"

Transcript

1 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hip://users.tua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ

2 Βασικές Έννοιες Πινάκων Ορίζουσα Πίνακα: Α C ορίζουµε την ορίζουσα ως όπου ο συµπαράγων (co-factor) δίδεται από την και η ελάσσων (mior) Μ ij είναι η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τον Α αν απαλοιφεί η σειρά και η στήλη που αντιστοιχεί στο στοιχείο Παράδειγµα: A = a C για δεδοµένο i j= A = a C για δεδοµένο j j= ij ij ij ij a ij Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

3 Βασικές Έννοιες Πινάκων Εξ ορισµού όπου οπότε που οδηγεί στο Αντίστροφος Πίνακα: Α C ο αντίστροφος Α - ορίζεται ως ο (µοναδικός) πίνακας που ικανοποιεί την AA = A A= I Ευρίσκεται από τη σχέση: όπου Είναι προφανές, ότι για την ύπαρξη του αντίστροφου θα πρέπει Παράδειγµα: Ο πίνακας Α παραπάνω έχει αντίστροφο γιατί Α = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

4 Βασικές Έννοιες Πινάκων Από προηγουµένως. Για να βρούµε τον C και εποµένως C = + M = 2 ( ) Μετά από 4 4-2=4 τέτοιους υπολογισµούς Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

5 Βασικές Έννοιες Πινάκων Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο: Α C το χαρακτηριστικό πολυώνυµο ορίζεται ως. Είναι προφανές ότι είναι µονικό (moic) δηλ. είναι ένα πολυώνυµο βαθµού (όσο και η διάσταση του Α) µε συντελεστή στο λ. Δεδοµένου οτι + adj X = C ij M = ij και επειδή η ελάσσων Μ ij είναι η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τον Χ αν απαλοιφεί η σειρά και η στήλη που αντιστοιχεί στο στοιχείο i-j τότε ο πίνακας adj λ I A αποτελείται από πολυώνυµα χαµηλότερης τάξης του. [ ] ( ) T i j [ ] T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5

6 Διανυσματικοί Χώροι Ορισµός : Ένας Γραµµικός Διανυσµατικός Χώρος X επι ενός σώµατος F είναι ένα σύνολο στοιχείων (ονοµάζονται διανύσµατα) που είναι κλειστό σε 2 πράξεις: διανυσµατική πρόσθεση και πολλαπλασιασµό. Δηλαδή x + x X x, x X a x X x X a F 2 2 Επιπροσθέτως,, ισχύουν τα παρακάτω:. Αντιµεταθετική: xx,, x, x X aa,, a F x + x = x + x Προσεταιριστική: 3. Επιµεριστική: 4. Μηδενικό & Μοναδιαίο Στοιχείο: ( x+ x2) + x3 = x+ ( x2 + x3) ( a a ) x= a ( a x) 2 2 ( ) ( ) a x + x = a x + a x 2 2 a + a x= a x+ a x X x+ 0= x 0, F 0 x= 0 x= x Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6

7 Διανυσματικοί Χώροι: Παραδείγματα { ( ) } F = x= x, x2,, x xi F, i=,, : όταν το F είναι είτε το R είτε το C, τότε αντίστοιχα τα R, C παριστούν το πραγµατικό & µιγαδικό Ευκλείδιο χώρο, αντίστοιχα. { } m F = A= a ij aij F, i=,, m j =,, : όταν το F είναι είτε το R είτε το C, τότε αντίστοιχα τα R m, C m παριστούν τα σύνολα των πραγµατικών & µιγαδικών m πινάκων. [, ] Cab [ ] : a, b F : είναι το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων, µε τη διανυσµατική πρόσθεση και πολ/µο να ορίζονται ως : [ ] F ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] f, g C a, b, a f + g x : = f x + g x a f x : = a f x x a, b f Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7

8 Άνοιγμα & Ανεξαρτησία x, x,, xk X Ορισµός 2: Γιά 2 τό άνοιγµά (spa) τους ορίζεται ως spa{ x, x2,, xk} : = { x = α x+ α2 x2 + αk xk, αi F} δηλ. το σύνολο όλων των γραµµικών συνδυασµών των x x x.,,, k 2 { x x x },,, k Ορισµός 3: Ένα σύνολο διανυσµάτων 2 είναι Γραµµικά Ανεξάρτητα αν ισχύει α x + α x + α x = 0 α = α = = α = k k 2 k { x x x },,, k Λήµµα 4: Αν είναι ένα σύνολο γραµµικά ανεξάρτητων 2 διανυσµάτων και x spa{ x, x2,, xk} τότε είναι µοναδικοί οι συντελεστές που ικανοποιούν τη σχέση: α i x= α x + α x + α x 2 2 k k Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8

9 Παράδειγμα Θεωρούµε το x =! 3 # " $ και τα διανύσµατα q =! 3 # T " $ q 2 =! 2 2 # T " $ τα οποία (να αποδειχθεί ότι) είναι γραµµικά ανεξάρτητα και εποµένως καθιστούν βαση. Αν φέρουµε (τις διακεκοµµένες) παράλληλες προς τα q 2,q γραµµές τότε (όπως φαίνεται στο σχήµα) αυτές τέµνουν τους φορείς των αντίστοιχα στα. q,q 2 q,2q 2 q,q 2 Εποµένως η παράσταση του x ως προς τα Τ είναι " 2 $ # %. Αυτό πιστοποιείται από την T x =! " 3 # $T =! " q q 2 # $! " 2 Τ! # $ = 3 2 ( " 2 #! ) ( $ " 2 # ) $ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9

10 Υπόχωροι - Βάσεις Ορισµός 5: Ένας Γραµµικός Υπόχωρος S ενός γραµµικού διανυσµατικού χώρου X είναι ένα υποσύνολο του X που είναι από µόνος του γραµµικός διανυσµατικός χώρος µε διανυσµατική πρόσθεση και πολλ/µο επι του X. Ορισµός 6: Μία βάση (basis) ενός γραµµικού υπόχωρου είναι ένα σύνολο γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων { x, x2,, xk} έτσι ώστε S = spa x, x2,, xk Η βάση για τον S µπορεί να µήν είναι µοναδική, αλλά Όλες οι βάσεις του S έχουν τον ίδιο αριθµό στοιχείων k που ορίζει την διάσταση (dimesio) του S. Επειδή τα παραπάνω ισχύουν και για τον X. X X 3 Αν X! τότε: { } {0}, ο µηδενικός υπόχωρος (zero subspace), είναι ένας υπόχωρος µηδενικής διάστασης. Κάθε ευθεία που δίερχεται από την αρχή των αξόνων είναι µονο-διάστατος υπόχωρος µε βάση κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα επί της ευθείας. Κάθε επίπεδο που δίερχεται από την αρχή των αξόνων είναι ένας 2-διάστατος υπόχωρος µε βάση οιαδήποτε µη-συνευθειακά διανύσµατα επί του επιπέδου. 3 3 Επειδή!!, έχει βάση 3 οιαδήποτε µη συνεπίπεδα διανύσµατα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 0

11 Υπόχωροι - Βάσεις: Παραδείγματα 2 2 Ο χώρος! είναι 4-διάστατος µε βάση επειδή 2 2 Το υποσύνολο του! που αποτελείται από τους άνω-τριγωνικούς πίνακες είναι ένας 3-διάστατος υπόχωρος µε βάση που προκύπτει, από την παράπάνω βάση, παραλείποντας τον. 2 2 Το υποσύνολο του! που αποτελείται από τους συµµετρικούς πίνακες Α=Α Τ είναι ένας 3-διάστατος υπόχωρος µε βάση Το σύνολο όλων των πολυωνύµων k-βαθµού είναι ένας (k+)-διάστατος υπόχωρος του «άπειρης»-διάστασης διανυσµατικού χώρου Cab [, ]. Η βάση του είναι. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ

12 Τυπική Βάση (Stadard Basis) { } [ ] Στον! η τυπική βάση (stadard basis) e, e2,, e ορίζεται από e = 0! 0 0! 0 [ ] Παρατηρούµε ότι e e2! e = I i-th στοιχείο i 3 Στον! έχουµε: 0 0 e = 0 e 2 e 3 0 = = Και κάθε στοιχείο x! γράφεται: [ ] x= x e + x e + x e = x x x T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

13 Αλλαγή Βάσεων { } { } Αν x, x2,, x και y, y2,, y είναι βάσεις ενός -διάστατου γραµµικού διανυσµατικού χώρου X επί του F, τότε x X x= α x = β y (! ) ( ) όπου οι -αδες α, α2,, α και β, β2,!, β είναι οι συντεταγµένες του x ως προς τις βάσεις { x, x2,, x} και { y, αντιστοίχως., y2,, y} Παρατηρούµε επίσης ότι yj X yj = tij xi tij F i, j =,, i= Επειδή = α = β = β = β α = β = ή σε µορφή πίνακα α = T β όπου T = [! ] = [! ] i i i i i= i=! x i xi j yj j tij xi tij j xi i tij j i,, i= j= j= i= i= j= j= α α α β β β Για να είναι δυνατή η «αµφίδροµη» µετατροπή µεταξύ των βάσεων (δηλ. η εύρεση συντεταγµένων απο το ένα σύστηµα στο άλλο) θα πρέπει ο πίνακας Τ να είναι είναι αντιστρέψιµος, οπότε β = T α T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3 t! t T = " # " t! t

14 Αλλαγή Βάσεων : Παράδειγμα Στον θεωρούµε την τυπική βάση, 2, 3 και µια δεύτερη βάση y = ( ) e+ ( ) e2 + ( 0) e3 0 όπου y2 = ( ) e+ ( 0) e2 + ( ) e3 οπότε T = 0 y = ( 0) e + ( ) e + ( 0) e 0 0 Έστω ένα διάνυσµα Για να παραστήσουµε το x στην βάση οπότε 3! { } e e e { y, y, y } α 2 x= ( 2) e+ ( 3) e2 + ( 8) e 3 α 2 3 = α 3 8 { y, y2, y3} β β = T α = β = = β ( 0) ( 8) ( 3) x= y + y + y Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

15 Αλλαγή Βάσεων : Γιατί μας αφορά? Το διπλανό µηχανικό σύστηµα µπορεί να µοντελοποιηθεί µε χρήση µεταβλητών κατάστασης (δηλ. να περιγραφεί αναφορικά µε διάφορες «βάσεις») που µπορούν να είναι οι: µεταβλητές κατάστασης Ισχύος: υ Μ, F K µεταβλητές κατάστασης Lagrage: υ Μ, x K µεταβλητές κατάστασης Hamilto: p Μ, x K Αυτές οι µεταβλητές εύκολα συσχετίζονται µέσω των # % % $ # % % $ υ Μ x K p Μ x K & # ( ( = 0 & # % ( 0 ' $ % K '( υ % M % $ F K & ( ( = # M 0 & # % ( % ' $ 0 ' $ % & ( ( ' 0 0 K # % % $ & # ( '( υ % M % $ F K & ( ( = # M 0 & # % ( % ' $ 0 ' % $ & # ( ( = M 0 & # % ( 0 ' $ % K '( υ % M % $ F K Δηλαδή µία βάση x σχετίζεται µέ κάποια άλλη z µέσω µητρωϊκών σχέσεων τύπου x = P z Ουσιαστικά όµως πρόκειται για περιγραφή του ιδίου σύστήµατος από διαφορετικό σύστηµα συντεταγµένων p Μ x K υ M x K & ( ( ' & ( ( ' Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5

16 Ορθογώνια Διανύσματα Ορισµός 7: Για τα διανύσµατα και Το εσωτερικό γινόµενο (ier product) τους ορίζεται ως xy, : = xy = x y όπου το * εκφράζει το συζυγές ανάστροφο διάνυσµα. Παρατηρούµε ότι ( ) yx, = yx= xy = xy, xy,!. xy, : = xy T = yx T = yx, xy,!. = ( ) y= ( y y y ) x x, x2,, x,,, 2 Τα διανύσµατα xy!, είναι ορθογώνια (orthogoal) αν xy, = 0. i= i i Η Ευκλίδεια Νόρµα (Euclidea Norm) του x! είναι x = x, x = xi i= { } Ένα σύνολο διανυσµάτων x είναι ορθογώνιο (orthogoal), x2,, x αν. x, x = 0 i j και ορθοκανονικό (orthoormal) αν επιπροσθέτως i j x =, i=,!, k i Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6

17 Ορθογωνικά Συμπληρώματα Oρθοκανονική βάση (orthoormal basis) του S είναι ένα σύνολο διανυσµάτων { x, x2,, x} που είναι ορθοκανονικό και είναι βάση του S. Το ορθογωνικό συµπλήρωµα (orthogoal complemet) S του S ορίζεται ως S : = y! / y, x = 0 x S Προφανώς, το S είναι υπόχωρος του { } Αν 2 είναι βάση του S τότε dim. S = dim! dim S = k! { x, x,, x} S : = { y! / y, xi = 0 i=, ", k} ( ) ( ) ( ) { } { } Για κάθε σύνολο γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων y, y2,, y k που ικανοποιούν την yj, xi = 0 i=,!, k j =,!, k, όπου τα x, x2,, x. είναι βάση του S, ισχύει S = spa{ y, y2,, y k} 3 Παραδείγµατα: Στον! Αν S = spa{ x } [ ] τότε x = 0 T {, 2} [ 0 ] T T S = spa y y y = y2 = [ 0 0] Αν S = spa{ x τότε S,x 2 } x =! # T " $ x 2 =! 0 # T = spa{ y } y = [ ] " $ 0 T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7

18 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Έστω X και Y είναι γραµµικοί διανυσµατικοί χώροι επι του ιδίου σώµατος F. Ο µετασχηµατισµός A: X Y είναι γραµµικός αν ( ) A αx+ α2x2 = αax+ α2ax2 x, x2 X α, α2 F Έστω { x, x2,, x} βάση του C και { } A:!! y, y2,, ym βάση του C m, και m ένας γραµµικός µετασχηµατισµός. Τότε x j j=,, επειδή, ένεκα του µετασχηµατισµού Α : προφανώς αυτό έχει µοναδική παράσταση Ax = a y + a y +! + a y j j 2j 2 mj m Ax! αναφορικά µε την βάση 2 του C m Όπως έχουµε δει, η m-αδα ( aj, a2j,!, amj) ορίζει τις συντεταγµένες του m στοιχείου ως προς την βάση y y y. Ax! { } j { y y y },,, m,,, m 2 j m Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8

19 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί x C m και y: = Ax! έχουµε τις αντίστοιχες (µοναδικές) παραστασεις αναφορικά µε τις κατάλληλες βάσεις η -αδα ( α! α ) ορίζει τις,, συντεταγµένες του x C ως προς την βάση { x x x },,, 2 η m-αδα ( β,!, βm ) ορίζει τις συντεταγµένες του y C m ως προς την βάση { y y y },,, m 2 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9

20 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Από τα προηγούµενα β y = y= Ax= A α x = α Ax = α a y = a α y β = a α i=,, m m m m! i i j j j j j ij i ij j i i ij j i= j= j= j= i= i= j= j= και σε µητρωική µορφή ή συµπαγώς a! a β = A α A = T " # " T όπου, β = [ β! β m ] α = [ α! α ] am! a m Αυτή η σχέση δίνει τον µετασχηµατισµό Α µεταξύ των παραπάνω χώρων, για την δεδοµένη επιλογή βάσεων. Αν επιλεγούν διαφορετικές βάσεις είτε για τον C είτε για τον C m τότε θα καταλήξουµε σε διαφορετική µήτρα Α. Συχνά επιλέγονται οι «κανονικές βάσεις» για τους C και C m Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20

21 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί : Παράδειγμα Έστω ο γραµµικός µετασχηµατισµός µεταξύ των κανονικών βάσεων των παραπάνω χώρων : Εποµένως, αν θεωρήσουµε τις ορθοκανονικές βάσεις τόσο για τον R 3 όσο και για τον R 2 : Αν εναλλακτικά θεωρήσουµε την παρακάτω βάση για τον R 3 : Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

22 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί : Παράδειγμα Εποµένως Ax = Ax2 Ax3 5 = 22 = 8 ή σε συµπτυγµένη µορφή Α x x 2 x 3 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 22

23 Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος Για τον γραµµικό µετασχηµατισµό δηλαδη για τον πίνακα A! m Ο χώρος απεικόνισης (rage space / image) ορίζεται ως Ο µηδενοχώρος (ull space / kerel) ορίζεται ως Ο Im A είναι υπόχωρος του C m ( 0 C m 0 Im A) O Ker A είναι υπόχωρος του C ( 0 C 0 Ker A) { } Αν α,, είναι οι στήλες του πίνακα Α τότε! α Αν rak(a) είναι η διάσταση του Im A και ullity(a) η διάσταση του Ker A τότε το rak(a), Α C m µπορεί να χαρακτηρισθεί από τα εξής: Τον µέγιστο αριθµό γραµµικά ανεξάρτητων γραµµών του A, Τον µέγιστο αριθµό γραµµικά ανεξάρτητων στηλών του A, και Το µέγεθος του µέγιστης διάστασης υποπίνακα του A που είναι µη-ιδιόµορφος. Νόµος Μηδενικότητας του Sylvester : rak(a)+ ullity(a) = (# στηλών Α) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23

24 Έστω ο γραµµικός µετασχηµατισµός µε Αναζητούµε τα rak(a), ullity(a) και, για να λάβουµε την την άνω τριγωνική µορφή A R του A, κάνουµε χρήση των ιδιοτήτων των στοιχειωδών πράξεων επι των γραµµών πινάκων: Πολλ/µός γραµµής µε µη-µηδενικό βαθµωτό αριθµό, Ανταλλαγή µεταξύ γραµµών, και Πρόσθεση βαθµωτού πολλαπλασίου µίας γραµµής σε άλλη γραµµή Βήµα : Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος : Παράδειγμα Βήµα 2: Βήµα 3: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 24

25 Βήµα 4: Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος : Παράδειγμα Εποµένως: rak(a) = ο αριθµός των γραµµικά ανεξάρτητων γραµµών του A ή A R, ο αριθµός των γραµµικά ανεξάρτητων στηλών του A ή A R, ο αριθµός των µη-µηδενικών γραµµών στον A R 2 Και από τον νόµο του Sylvester: = 4 2 = 2 { } Για το Im A: υπενθυµίζουµε ότι: Αν α, είναι οι στήλες του πίνακα!, α Α τότε, Οπότε, επειδή rak(a) = 2, αναζητούµε 2 γραµµικά ανεξάρτητες στήλες του Α (όχι του A R ). Πιθανές επιλογές είναι οι παρακάτω όπου πρέπει να ελεγχθούν άν οι σχετικοί 3 2 πίνακες εµπεριέχουν 2 2 µη-ιδιόµορφους υποπίνακες. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25

26 Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος : Παράδειγμα Για το Ker A: υπενθυµίζουµε ότι: Εποµένως, αναζητούµε ullity(a) = 2 γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις στην εξίσωση Α x = 0 ή ισόδύναµα στην Α R x = 0 : Προφανώς: και εποµένως το σύνολο Ker A είναι κατάλληλο ως βάση του Ο σχετικός 4 2 πίνακας εµπεριέχει 2 2 µη-ιδιόµορφους υποπίνακες. Η MATLAB διαθέτει τις εντολές orth, ull και rak για την εύρεση των rage space, ull space και rak. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26

27 Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος Για τον γραµµικό µετασχηµατισµό ισχύουν [ Im. A] = Ker A A. [ Ker A] = Im A * : ο ανάστροφος & συζυγής πίνακας του Α. όπου υπενθυµίζουµε ότι: [ ] ορίζει το ορθογωνικό συµπλήρωµα (orthogoal complemet) ενός χώρου, και [ ] * ορίζει το συζυγή ανάστροφο (cojugate traspose) πίνακα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27

28 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Για έναν πίνακα Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο (characteristic polyomial) του Α έχει πάντοτε συντελεστή στο όρο λ και είναι: Οι ιδιοτιµές (eigevalues) του Α είναι οι ρίζες της χαρακτηρ. εξίσωσης: Ό ταν Aν A R είναι µιγαδικές και εµφανίζονται σε συζυγή ζεύγη. Το φάσµα (spectrum) του Α είναι το σύνολο των ιδιοτιµών του i ( ) υ! ( λi I A) υ = 0 λi υ = A υ ονοµάζεται δεξί ιδιοδιάνυσµα (right eigevector) του Α που σχετίζεται µε την λ i. λ σ( A) w 0! ( λ ) = 0 λ = λ σ A καθε 0 που ικανοποιεί την καθε που ικανοποιεί την ονοµάζεται αριστερό ιδιοδιάνυσµα (left eigevector) του Α που σχετίζεται µε την λ i. Παρατήρηση: αν στη σχέση ορισµού του w* εφαρµόσουµε το συζυγές ανάστροφο διαπιστώνουµε ότι to w είναι το δεξί ιδιοδιάνυσµα του Α* σχετιζόµενο µε την ιδιοτιµή Από τον ορισµό των ιδιοτιµών Εποµένως και βέβαια i w I A w w A λi σ( A) λi I A 0 Ker( λi I A) ( λi I A) υ = 0 υ 0 Ker( λi I A) c υ Ker ( λ I A) c= scalar i i = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 28 i λ i _ w*=w T

29 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα : Παράδειγμα Εποµένως ( A) = { =, 2,3 = 2 ± j} σ λ λ Στοιχειώδεις πράξεις οδηγούν σε reduced Echelo form λ = : ( λ I A) υ = 0 υ = [ 0] T Ker( λ I A) R λ 2 =2+j : λ 3 =2-j : λ3 = λ2 υ3 = υ2 = 0 j 2 2 T υ2 = 0 + j 2 2 T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 29

30 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα : Παράδειγμα A*=A T και T ( A ) = { =, 2 = 3, 3 = 2} σ λ λ λ λ λ λ οπότε, µε παρόµοιο τρόπο: T w = [ 0 0] w2 = j w3 = w2 = + j T T Τι γίνεται όµως όταν ο πίνακας Α έχει πολλαπλές ιδιοτιµές? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 30

31 Πολλαπλές Ιδιοτιμές Αν d είναι ο αριθµός των «διακριτών» ιδιοτιµών λ,!, λd του Α, οπότε όπου m i είναι η αλγεβρική πολλαπλότητα (algebraic multiplicity) της ιδιοτιµής λ i, και η γεωµετρική πολλαπλότητα (geometric multiplicity) της ιδιοτιµής λ i είναι: Κατά συνέπεια: det { } m m2 m ( λ I A) = ( λ λ ) ( λ λ )! ( λ λ ) d λ i i=,, d 2 ( λ ) dim Ker ( λ ) = ullity I A = I A i i i { υ, υ,, υ, } i i i Υπάρχουν i γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις στην οµογενή 2 i εξίσωση ( λi I A) υ = 0 i Το σύνολο {, i,, i υ υ2 υ, } είναι η ιδιο-βάση (eigebasis) του σχετικού i ιδιο-χώρου (eigespace) Ker λi I A που σχετίζεται µε την ιδιοτιµή λ i. ( ) Προφανώς: i mi i=,, d Ιδιο-βάσεις σχετιζόµενες µε διαφορετικές ιδιοτιµές ειναι γραµµικά ανεξάρτητες. d Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

32 Πολλαπλές Ιδιοτιμές : Παράδειγμα ( ) ( ) 3 det λ I A = λ µ λ = µ m = 3,2,3,4 d= d= = = 2 = 2 = 3 Ιδιο-βάσεις: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 32

33 Ομοιότητα & Διαγωνοποίηση Οι πίνακες AB,! ονοµάζονται όµοιοι (similar) αν υπάρχει µηίδιόµορφος πίνακας T! για τον οποίο ισχύει B T = A T A= T B T T Ο πίνακας ονοµάζεται µετασχηµατισµός οµοιότητας (similarity trasformatio). Αν οι πίνακες AB,! είναι όµοιοι τότε έχουν ίδια χαρακτηριστικά πολυώνυµα (... και ίδιες ιδιοτιµές). Σε ένα διαγώνιο πίνακα, ιδιοτιµές του είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του. Διαγωνοποίηση: Δεδοµένου ενός πίνακα Α αναζητούµε τον πίνακα µετασχηµατισµού Τ που θα µας οδηγήσει σε όµοιο διαγώνιο πίνακα Β που (κατά τις 2 προηγούµενες προτάσεις) τα στοιχεία της διαγωνίου του θα είναι οι ιδιοτιµές του Α. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 33

34 Ομοιότητα & Διαγωνοποίηση Διερεύνηση της Διαδικασίας Διαγωνοποίησης: A! Έστω οι διακριτές ιδιοτιµές του µε αλγεβρικές πολλαπλότητες που ικανοποιούν την, γιατί το ΧΠ του Α έχει βαθµό Οι σχετικές γεωµετρικές πολλαπλότητες υποδεικνύουν ότι µπορούµε να βρούµε, τον αριθµό, ιδιοδιανύσµατα + +! + 2 d κατ αντιστοιχία των διακριτών ιδιοτιµών Σύµφωνα µε την γνωστή ιδιότητα... το παραπάνω σύνολο ιδιοδιανυσµάτων είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Ιδιο-βάσεις σχετιζόµενες µε διαφορετικές ιδιοτιµές ειναι γραµµικά ανεξάρτητες Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 34

35 Ομοιότητα & Διαγωνοποίηση Οι προφανώς ισχύουσες σχέσεις AT = T Λ j j A υ = λ υ i=,, d j=,!, i i i i γράφονται ως όπου 2 2 d d T = υ! υ υ! υ! υ 2! υ d " και (! ) d Επειδή T ", για να είναι αυτός τετράγωνος, θα πρέπει: + 2+! + d =. Αυτό, σε συνδυασµό µε τις Ιδιο-βάσεις σχετιζόµενες m+ m2+! + md =. και µε διαφορετικές. i mi i=,, d ιδιοτιµές ειναι γραµµικά συνεπάγεται i = mi i=,, d ανεξάρτητες Εποµένως T, Λ! και επειδή, σύµφωνα µε το ότι... προκύπτει ότι το σύνολο ιδιοδιανυσµάτων του Τ είναι γραµµικά ανεξάρτητο, και κατά συνέπεια ο Τ είναι µή-ιδιόµορφος. Εποµένως Τ είναι µετασχηµατισµός που διαγωνοποιεί τον Α: " (! ) ( + +! + ) ( + +! + ) 2 d 2 Λ= T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 35 2 A T d d

36 Ομοιότητα & Διαγωνοποίηση Με βάση τα προηγούµενα (Αναγκαία & Ικανή Συνθήκη Διαγωνοποίησης) : Ένας πίνακας A! είναι διαγωνοποιήσιµος µέσω µετασχηµατισµού οµοιότητας αν και µόνο αν ο Α έχει, συνολικά, γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα. Ισοδύναµα: αν και µόνο αν η γεωµετρική πολλαπλότητα ισούται µε την αλγεβρική πολλαπλότητα για κάθε διακριτή ιδιοτιµή. Έτσι, αν ο Α έχει διακριτές ιδιοτιµές τότε d =, i = mi = i=,,. Αυτό συνεπάγεται την υπαρξηωτων γραµµικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσµάτων που απαιτούνται για την διαγωνοποίηση. Εποµένως: έχουµε την παρακάτω ικανή συνθήκη διαγωνοποίησης: Ένας πίνακας A! είναι διαγωνοποιήσιµος µέσω µετασχηµατισµού οµοιότητας αν έχει διακριτές ιδιοτιµές. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 36

37 Κανονική Μορφή τύπου- Jorda Ενώ κάθε τετραγωνικός πίνακας δεν είναι απαραίτητα διαγωνοποιήσιµος (αν δηλ. ΔΕΝ ισχύουν οι συνθήκες της προηγούµενης σελίδας), κάθε τετραγωνικός πίνακας µπορεί όµως να µετατραπεί στη κανονική µορφή τύπου-jorda, όπως ορίζεται... Η Κανονική Μορφή τύπου-jorda (Jorda Caoical Form) προαπαιτεί τον ορισµό του Jorda-Block διάστασης k k k k! Ενας Πίνακας Jorda είναι ένας block-διαγώνιος πίνακας µε Jordablocks στη διαγώνιο Αν r = k = i=,!, r τότε ο J είναι διαγώνιος πίνακας. i Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 37

38 Κανονική Μορφή τύπου- Jorda Αν ο A! έχει d διακριτές ιδιοτιµές λ,!, λ µε m d, m2,!, md τις αντίστοιχες αλγεβρικές και, 2,!, d τις αντίστοιχες γεωµετρικές πολλαπλότητες, υπάρχει ένας µετασχηµατισµός οµοιότητας που οδηγεί στον πίνακα Jorda J = T A T ο οποίος αποτελείται από i i =,,d Jorda-Blocks για κάθε διοτιµή λ i, όπου το άθροισµα των µεγεθών αυτών (για κάθε i) ισούται µε την αλγεβρική πολλαπλότητα m i. Οι διπλανοί πίνακες τύπου κανονικής µορφής Jorda, θα µπορούσαν να προκύψουν από ένα πίνακα µε µία διακριτή ιδιοτιµή µε αλγεβρική πολλαπλότητα 5 και γεωµετρική πολλαπλότητα 2. Αν για µια συγκεκριµένη ιδιοτιµή, η αλγεβρική και γεωµετρική πολλαπλότητα είναι ίσες, τότε τα αντίστοιχα Jorda-block είναι βαθµωτά, (και αντιστρόφως). Άν το ανωτέρω ισχύει για όλες τις ιδιοτιµές τότε ο πίνακας Jorda είναι απλά διαγώνιος. Η ιδιότητα αυτή είναι σηµαντική σε πολλές εφαρµογές, όπως έλεγχος ευστάθειας, κλπ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 38

39 Θεώρημα Cayley- Hamilto Για κάθε A! µε χαρακτηριστικό πολυώνυµο ισχύει A + a A +! + a A+ a I = 0 0 Δηλαδή: Ο πίνακας Α είναι ρίζα της µητρωικής µορφής της χαρακτηριστικής εξίσωσής του... λ = λ + λ + + λ+ I A a! a a0 Παράδειγµα: Αν για ένα πίνακα η Χ.Ε. είναι = 0 τότε ισχύει Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 39

40 Νόρμες Διανυσμάτων Ορισµός: Μία διανυσµατική νόρµα (vector orm) στο C είναι µία + συνάρτηση :! " που Είναι θετικά ορισµένη x 0 x!, x = 0 x= 0 Ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα x+ y x + y x, y! Είναι οµογενής Η p-νόρµα ορίζεται ως και αν p τότε αποδεικνύεται ότι Παρατηρούµε ότι x. = i= x i. Ευκλείδια Νόρµα Iσχύει η ανισότητα του Hölder 0 α x = α x x!, α! x y x y x, y!, p, q 2 p q p + q = Για p = q = 2 αυτή παίρνει τη µορφή της γνωστής ανισότητας Cauchy-Swarz x y x y x y! 2 2, Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 40

41 Νόρμες Πινάκων Ορισµός: Μία µητρωική νόρµα (matrix orm) στο C m είναι µία m + συνάρτηση :! " 0 που m m Είναι θετικά ορισµένη A 0 A!, A = 0 A= 0! m Ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα A+ B A + B A, B! Είναι οµογενής α A = α A A! m, α! Αρχικά θεωρούµε µητρωικές νόρµες που ορίζονται από τις διανυσµατικές Ax A x x! Το ελάχιστο ανω φράγμα νόρμα φάσματος (spectral orm) Υπάρχουν και νόρµες που δεν εισάγονται από τις διανυσµατικές π.χ. Η νόρµα Frobeious ΒΙΒΟ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

42 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 42

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.tua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης Δεδοµένου του ΓΧΑΣ nn nm pn pm όπου A R B R C R D R Τίθεται το ζήτηµα της επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ).

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). 1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). A n Πόρισμα 1: Ο βαθμός του χαρ/κου πολυωνύμου ενός

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Εάν ένας πίνακας δεν διαγωνοποιείται, τότε ο στόχος μας είναι υπολογίσουμε μέσω ενός μετασχηματισμού ομοιότητας, έναν απλούστερο πίνακα, «σχεδόν διαγώνιο» όπως ο παρακάτω πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα

Χαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα Έστω ο n nτετραγωνικός πίνακας A της μορφής a L a M O M an L a όπου aij, i n, j n πραγματικές σταθερές Ονομάζουμε χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα A την εξίσωση A λi, όπου I ο n n μοναδιαίος πίνακας και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2: http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / 009-0 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα Έστω η γραμμική απεικόνιση T : με (α) Βρείτε τον πίνακα της T, I Ως προς την κανονική βάση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα

!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα Συστήματα με Ν βαθμούς ελευθερίας ΦΥΣ 211 - Διαλ.25 1 Ø Συστήµατα µε Ν βαθµούς ελευθερίας που βρίσκονται κοντά σε µια θέση ισσορροπίας τους συµπεριφέρονται σαν Ν ανεξάρτητοι αρµονικοί ταλαντωτές Γιατί

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

4 k 2 = 2 ( 1+ 2 k 2. k 2 2 k= k 2. 1.ii) Αν σχηµατίσουµε τον πίνακα µε γραµµές τα δύο διανύσµατα έχουµε: Γ1 Γ1 ---> { }

4 k 2 = 2 ( 1+ 2 k 2. k 2 2 k= k 2. 1.ii) Αν σχηµατίσουµε τον πίνακα µε γραµµές τα δύο διανύσµατα έχουµε: Γ1 Γ1 ---> { } http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 8-9: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια Ι.. (Σωστό-Λάθος) με επαρκή αιτιολόγηση α) Για κάθε μητρώο A μεγέθους x μπορείτε να βρείτε ένα αντιστρέψιμο μητρώο X τέτοιο ώστε ΑΧ ΧK, όπου το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A)

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A) Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 7 ο ΘΕΩΡΗΜΑ CYLEY-HMILTON Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 60 Ασκήσεις :,,, σελ 6 Ελάχιστο πολυώνυµο πίνακα Έστω πίνακας ν ν Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 171 Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr

Γραμμική Άλγεβρα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 171 Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr Γραμμική Άλγεβρα Κώστας Γλυκός 171 Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ πίνακες & ορίζουσες διανυσματικούς χώρους ευθεία και επίπεδο στο χώρο γραμμικές απεικονίσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 15 Αναλλοίωτοι Υπόχωροι, Ιδιόχωροι Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 2/5/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 15 2/5/2014 1 / 12 Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ.

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 11/5/2012 Σηµαντικό χαρακτηριστικό µέγεθος (ϐαθµωτός) για κάθε τετραγωνικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2 http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hhp://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγή στο Χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά συστήματα. - όπου Α είναι ένας (m x n) πίνακας, ο οποίος περιέχει. - όπου Β είναι ένας (m x 1) πίνακας που περιέχει τους

Γραμμικά συστήματα. - όπου Α είναι ένας (m x n) πίνακας, ο οποίος περιέχει. - όπου Β είναι ένας (m x 1) πίνακας που περιέχει τους Γραμμικά συστήματα Η γενική μορφή ενός τέτοιου συστήματος είναι Α.Χ=Β - όπου Α είναι ένας (m x n) πίνακας, ο οποίος περιέχει τους συντελεστές των αγνώστον. - όπου Χ είναι ένας (n x 1) πίνακας που περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα