Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας
|
|
- Νικολίτα Γαλάνη
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hip://users.tua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ
2 Βασικές Έννοιες Πινάκων Ορίζουσα Πίνακα: Α C ορίζουµε την ορίζουσα ως όπου ο συµπαράγων (co-factor) δίδεται από την και η ελάσσων (mior) Μ ij είναι η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τον Α αν απαλοιφεί η σειρά και η στήλη που αντιστοιχεί στο στοιχείο Παράδειγµα: A = a C για δεδοµένο i j= A = a C για δεδοµένο j j= ij ij ij ij a ij Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2
3 Βασικές Έννοιες Πινάκων Εξ ορισµού όπου οπότε που οδηγεί στο Αντίστροφος Πίνακα: Α C ο αντίστροφος Α - ορίζεται ως ο (µοναδικός) πίνακας που ικανοποιεί την AA = A A= I Ευρίσκεται από τη σχέση: όπου Είναι προφανές, ότι για την ύπαρξη του αντίστροφου θα πρέπει Παράδειγµα: Ο πίνακας Α παραπάνω έχει αντίστροφο γιατί Α = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3
4 Βασικές Έννοιες Πινάκων Από προηγουµένως. Για να βρούµε τον C και εποµένως C = + M = 2 ( ) Μετά από 4 4-2=4 τέτοιους υπολογισµούς Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4
5 Βασικές Έννοιες Πινάκων Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο: Α C το χαρακτηριστικό πολυώνυµο ορίζεται ως. Είναι προφανές ότι είναι µονικό (moic) δηλ. είναι ένα πολυώνυµο βαθµού (όσο και η διάσταση του Α) µε συντελεστή στο λ. Δεδοµένου οτι + adj X = C ij M = ij και επειδή η ελάσσων Μ ij είναι η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τον Χ αν απαλοιφεί η σειρά και η στήλη που αντιστοιχεί στο στοιχείο i-j τότε ο πίνακας adj λ I A αποτελείται από πολυώνυµα χαµηλότερης τάξης του. [ ] ( ) T i j [ ] T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5
6 Διανυσματικοί Χώροι Ορισµός : Ένας Γραµµικός Διανυσµατικός Χώρος X επι ενός σώµατος F είναι ένα σύνολο στοιχείων (ονοµάζονται διανύσµατα) που είναι κλειστό σε 2 πράξεις: διανυσµατική πρόσθεση και πολλαπλασιασµό. Δηλαδή x + x X x, x X a x X x X a F 2 2 Επιπροσθέτως,, ισχύουν τα παρακάτω:. Αντιµεταθετική: xx,, x, x X aa,, a F x + x = x + x Προσεταιριστική: 3. Επιµεριστική: 4. Μηδενικό & Μοναδιαίο Στοιχείο: ( x+ x2) + x3 = x+ ( x2 + x3) ( a a ) x= a ( a x) 2 2 ( ) ( ) a x + x = a x + a x 2 2 a + a x= a x+ a x X x+ 0= x 0, F 0 x= 0 x= x Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6
7 Διανυσματικοί Χώροι: Παραδείγματα { ( ) } F = x= x, x2,, x xi F, i=,, : όταν το F είναι είτε το R είτε το C, τότε αντίστοιχα τα R, C παριστούν το πραγµατικό & µιγαδικό Ευκλείδιο χώρο, αντίστοιχα. { } m F = A= a ij aij F, i=,, m j =,, : όταν το F είναι είτε το R είτε το C, τότε αντίστοιχα τα R m, C m παριστούν τα σύνολα των πραγµατικών & µιγαδικών m πινάκων. [, ] Cab [ ] : a, b F : είναι το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων, µε τη διανυσµατική πρόσθεση και πολ/µο να ορίζονται ως : [ ] F ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] f, g C a, b, a f + g x : = f x + g x a f x : = a f x x a, b f Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7
8 Άνοιγμα & Ανεξαρτησία x, x,, xk X Ορισµός 2: Γιά 2 τό άνοιγµά (spa) τους ορίζεται ως spa{ x, x2,, xk} : = { x = α x+ α2 x2 + αk xk, αi F} δηλ. το σύνολο όλων των γραµµικών συνδυασµών των x x x.,,, k 2 { x x x },,, k Ορισµός 3: Ένα σύνολο διανυσµάτων 2 είναι Γραµµικά Ανεξάρτητα αν ισχύει α x + α x + α x = 0 α = α = = α = k k 2 k { x x x },,, k Λήµµα 4: Αν είναι ένα σύνολο γραµµικά ανεξάρτητων 2 διανυσµάτων και x spa{ x, x2,, xk} τότε είναι µοναδικοί οι συντελεστές που ικανοποιούν τη σχέση: α i x= α x + α x + α x 2 2 k k Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8
9 Παράδειγμα Θεωρούµε το x =! 3 # " $ και τα διανύσµατα q =! 3 # T " $ q 2 =! 2 2 # T " $ τα οποία (να αποδειχθεί ότι) είναι γραµµικά ανεξάρτητα και εποµένως καθιστούν βαση. Αν φέρουµε (τις διακεκοµµένες) παράλληλες προς τα q 2,q γραµµές τότε (όπως φαίνεται στο σχήµα) αυτές τέµνουν τους φορείς των αντίστοιχα στα. q,q 2 q,2q 2 q,q 2 Εποµένως η παράσταση του x ως προς τα Τ είναι " 2 $ # %. Αυτό πιστοποιείται από την T x =! " 3 # $T =! " q q 2 # $! " 2 Τ! # $ = 3 2 ( " 2 #! ) ( $ " 2 # ) $ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9
10 Υπόχωροι - Βάσεις Ορισµός 5: Ένας Γραµµικός Υπόχωρος S ενός γραµµικού διανυσµατικού χώρου X είναι ένα υποσύνολο του X που είναι από µόνος του γραµµικός διανυσµατικός χώρος µε διανυσµατική πρόσθεση και πολλ/µο επι του X. Ορισµός 6: Μία βάση (basis) ενός γραµµικού υπόχωρου είναι ένα σύνολο γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων { x, x2,, xk} έτσι ώστε S = spa x, x2,, xk Η βάση για τον S µπορεί να µήν είναι µοναδική, αλλά Όλες οι βάσεις του S έχουν τον ίδιο αριθµό στοιχείων k που ορίζει την διάσταση (dimesio) του S. Επειδή τα παραπάνω ισχύουν και για τον X. X X 3 Αν X! τότε: { } {0}, ο µηδενικός υπόχωρος (zero subspace), είναι ένας υπόχωρος µηδενικής διάστασης. Κάθε ευθεία που δίερχεται από την αρχή των αξόνων είναι µονο-διάστατος υπόχωρος µε βάση κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα επί της ευθείας. Κάθε επίπεδο που δίερχεται από την αρχή των αξόνων είναι ένας 2-διάστατος υπόχωρος µε βάση οιαδήποτε µη-συνευθειακά διανύσµατα επί του επιπέδου. 3 3 Επειδή!!, έχει βάση 3 οιαδήποτε µη συνεπίπεδα διανύσµατα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 0
11 Υπόχωροι - Βάσεις: Παραδείγματα 2 2 Ο χώρος! είναι 4-διάστατος µε βάση επειδή 2 2 Το υποσύνολο του! που αποτελείται από τους άνω-τριγωνικούς πίνακες είναι ένας 3-διάστατος υπόχωρος µε βάση που προκύπτει, από την παράπάνω βάση, παραλείποντας τον. 2 2 Το υποσύνολο του! που αποτελείται από τους συµµετρικούς πίνακες Α=Α Τ είναι ένας 3-διάστατος υπόχωρος µε βάση Το σύνολο όλων των πολυωνύµων k-βαθµού είναι ένας (k+)-διάστατος υπόχωρος του «άπειρης»-διάστασης διανυσµατικού χώρου Cab [, ]. Η βάση του είναι. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ
12 Τυπική Βάση (Stadard Basis) { } [ ] Στον! η τυπική βάση (stadard basis) e, e2,, e ορίζεται από e = 0! 0 0! 0 [ ] Παρατηρούµε ότι e e2! e = I i-th στοιχείο i 3 Στον! έχουµε: 0 0 e = 0 e 2 e 3 0 = = Και κάθε στοιχείο x! γράφεται: [ ] x= x e + x e + x e = x x x T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2
13 Αλλαγή Βάσεων { } { } Αν x, x2,, x και y, y2,, y είναι βάσεις ενός -διάστατου γραµµικού διανυσµατικού χώρου X επί του F, τότε x X x= α x = β y (! ) ( ) όπου οι -αδες α, α2,, α και β, β2,!, β είναι οι συντεταγµένες του x ως προς τις βάσεις { x, x2,, x} και { y, αντιστοίχως., y2,, y} Παρατηρούµε επίσης ότι yj X yj = tij xi tij F i, j =,, i= Επειδή = α = β = β = β α = β = ή σε µορφή πίνακα α = T β όπου T = [! ] = [! ] i i i i i= i=! x i xi j yj j tij xi tij j xi i tij j i,, i= j= j= i= i= j= j= α α α β β β Για να είναι δυνατή η «αµφίδροµη» µετατροπή µεταξύ των βάσεων (δηλ. η εύρεση συντεταγµένων απο το ένα σύστηµα στο άλλο) θα πρέπει ο πίνακας Τ να είναι είναι αντιστρέψιµος, οπότε β = T α T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3 t! t T = " # " t! t
14 Αλλαγή Βάσεων : Παράδειγμα Στον θεωρούµε την τυπική βάση, 2, 3 και µια δεύτερη βάση y = ( ) e+ ( ) e2 + ( 0) e3 0 όπου y2 = ( ) e+ ( 0) e2 + ( ) e3 οπότε T = 0 y = ( 0) e + ( ) e + ( 0) e 0 0 Έστω ένα διάνυσµα Για να παραστήσουµε το x στην βάση οπότε 3! { } e e e { y, y, y } α 2 x= ( 2) e+ ( 3) e2 + ( 8) e 3 α 2 3 = α 3 8 { y, y2, y3} β β = T α = β = = β ( 0) ( 8) ( 3) x= y + y + y Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4
15 Αλλαγή Βάσεων : Γιατί μας αφορά? Το διπλανό µηχανικό σύστηµα µπορεί να µοντελοποιηθεί µε χρήση µεταβλητών κατάστασης (δηλ. να περιγραφεί αναφορικά µε διάφορες «βάσεις») που µπορούν να είναι οι: µεταβλητές κατάστασης Ισχύος: υ Μ, F K µεταβλητές κατάστασης Lagrage: υ Μ, x K µεταβλητές κατάστασης Hamilto: p Μ, x K Αυτές οι µεταβλητές εύκολα συσχετίζονται µέσω των # % % $ # % % $ υ Μ x K p Μ x K & # ( ( = 0 & # % ( 0 ' $ % K '( υ % M % $ F K & ( ( = # M 0 & # % ( % ' $ 0 ' $ % & ( ( ' 0 0 K # % % $ & # ( '( υ % M % $ F K & ( ( = # M 0 & # % ( % ' $ 0 ' % $ & # ( ( = M 0 & # % ( 0 ' $ % K '( υ % M % $ F K Δηλαδή µία βάση x σχετίζεται µέ κάποια άλλη z µέσω µητρωϊκών σχέσεων τύπου x = P z Ουσιαστικά όµως πρόκειται για περιγραφή του ιδίου σύστήµατος από διαφορετικό σύστηµα συντεταγµένων p Μ x K υ M x K & ( ( ' & ( ( ' Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5
16 Ορθογώνια Διανύσματα Ορισµός 7: Για τα διανύσµατα και Το εσωτερικό γινόµενο (ier product) τους ορίζεται ως xy, : = xy = x y όπου το * εκφράζει το συζυγές ανάστροφο διάνυσµα. Παρατηρούµε ότι ( ) yx, = yx= xy = xy, xy,!. xy, : = xy T = yx T = yx, xy,!. = ( ) y= ( y y y ) x x, x2,, x,,, 2 Τα διανύσµατα xy!, είναι ορθογώνια (orthogoal) αν xy, = 0. i= i i Η Ευκλίδεια Νόρµα (Euclidea Norm) του x! είναι x = x, x = xi i= { } Ένα σύνολο διανυσµάτων x είναι ορθογώνιο (orthogoal), x2,, x αν. x, x = 0 i j και ορθοκανονικό (orthoormal) αν επιπροσθέτως i j x =, i=,!, k i Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6
17 Ορθογωνικά Συμπληρώματα Oρθοκανονική βάση (orthoormal basis) του S είναι ένα σύνολο διανυσµάτων { x, x2,, x} που είναι ορθοκανονικό και είναι βάση του S. Το ορθογωνικό συµπλήρωµα (orthogoal complemet) S του S ορίζεται ως S : = y! / y, x = 0 x S Προφανώς, το S είναι υπόχωρος του { } Αν 2 είναι βάση του S τότε dim. S = dim! dim S = k! { x, x,, x} S : = { y! / y, xi = 0 i=, ", k} ( ) ( ) ( ) { } { } Για κάθε σύνολο γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων y, y2,, y k που ικανοποιούν την yj, xi = 0 i=,!, k j =,!, k, όπου τα x, x2,, x. είναι βάση του S, ισχύει S = spa{ y, y2,, y k} 3 Παραδείγµατα: Στον! Αν S = spa{ x } [ ] τότε x = 0 T {, 2} [ 0 ] T T S = spa y y y = y2 = [ 0 0] Αν S = spa{ x τότε S,x 2 } x =! # T " $ x 2 =! 0 # T = spa{ y } y = [ ] " $ 0 T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7
18 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Έστω X και Y είναι γραµµικοί διανυσµατικοί χώροι επι του ιδίου σώµατος F. Ο µετασχηµατισµός A: X Y είναι γραµµικός αν ( ) A αx+ α2x2 = αax+ α2ax2 x, x2 X α, α2 F Έστω { x, x2,, x} βάση του C και { } A:!! y, y2,, ym βάση του C m, και m ένας γραµµικός µετασχηµατισµός. Τότε x j j=,, επειδή, ένεκα του µετασχηµατισµού Α : προφανώς αυτό έχει µοναδική παράσταση Ax = a y + a y +! + a y j j 2j 2 mj m Ax! αναφορικά µε την βάση 2 του C m Όπως έχουµε δει, η m-αδα ( aj, a2j,!, amj) ορίζει τις συντεταγµένες του m στοιχείου ως προς την βάση y y y. Ax! { } j { y y y },,, m,,, m 2 j m Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8
19 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί x C m και y: = Ax! έχουµε τις αντίστοιχες (µοναδικές) παραστασεις αναφορικά µε τις κατάλληλες βάσεις η -αδα ( α! α ) ορίζει τις,, συντεταγµένες του x C ως προς την βάση { x x x },,, 2 η m-αδα ( β,!, βm ) ορίζει τις συντεταγµένες του y C m ως προς την βάση { y y y },,, m 2 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9
20 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Από τα προηγούµενα β y = y= Ax= A α x = α Ax = α a y = a α y β = a α i=,, m m m m! i i j j j j j ij i ij j i i ij j i= j= j= j= i= i= j= j= και σε µητρωική µορφή ή συµπαγώς a! a β = A α A = T " # " T όπου, β = [ β! β m ] α = [ α! α ] am! a m Αυτή η σχέση δίνει τον µετασχηµατισµό Α µεταξύ των παραπάνω χώρων, για την δεδοµένη επιλογή βάσεων. Αν επιλεγούν διαφορετικές βάσεις είτε για τον C είτε για τον C m τότε θα καταλήξουµε σε διαφορετική µήτρα Α. Συχνά επιλέγονται οι «κανονικές βάσεις» για τους C και C m Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20
21 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί : Παράδειγμα Έστω ο γραµµικός µετασχηµατισµός µεταξύ των κανονικών βάσεων των παραπάνω χώρων : Εποµένως, αν θεωρήσουµε τις ορθοκανονικές βάσεις τόσο για τον R 3 όσο και για τον R 2 : Αν εναλλακτικά θεωρήσουµε την παρακάτω βάση για τον R 3 : Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2
22 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί : Παράδειγμα Εποµένως Ax = Ax2 Ax3 5 = 22 = 8 ή σε συµπτυγµένη µορφή Α x x 2 x 3 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 22
23 Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος Για τον γραµµικό µετασχηµατισµό δηλαδη για τον πίνακα A! m Ο χώρος απεικόνισης (rage space / image) ορίζεται ως Ο µηδενοχώρος (ull space / kerel) ορίζεται ως Ο Im A είναι υπόχωρος του C m ( 0 C m 0 Im A) O Ker A είναι υπόχωρος του C ( 0 C 0 Ker A) { } Αν α,, είναι οι στήλες του πίνακα Α τότε! α Αν rak(a) είναι η διάσταση του Im A και ullity(a) η διάσταση του Ker A τότε το rak(a), Α C m µπορεί να χαρακτηρισθεί από τα εξής: Τον µέγιστο αριθµό γραµµικά ανεξάρτητων γραµµών του A, Τον µέγιστο αριθµό γραµµικά ανεξάρτητων στηλών του A, και Το µέγεθος του µέγιστης διάστασης υποπίνακα του A που είναι µη-ιδιόµορφος. Νόµος Μηδενικότητας του Sylvester : rak(a)+ ullity(a) = (# στηλών Α) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23
24 Έστω ο γραµµικός µετασχηµατισµός µε Αναζητούµε τα rak(a), ullity(a) και, για να λάβουµε την την άνω τριγωνική µορφή A R του A, κάνουµε χρήση των ιδιοτήτων των στοιχειωδών πράξεων επι των γραµµών πινάκων: Πολλ/µός γραµµής µε µη-µηδενικό βαθµωτό αριθµό, Ανταλλαγή µεταξύ γραµµών, και Πρόσθεση βαθµωτού πολλαπλασίου µίας γραµµής σε άλλη γραµµή Βήµα : Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος : Παράδειγμα Βήµα 2: Βήµα 3: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 24
25 Βήµα 4: Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος : Παράδειγμα Εποµένως: rak(a) = ο αριθµός των γραµµικά ανεξάρτητων γραµµών του A ή A R, ο αριθµός των γραµµικά ανεξάρτητων στηλών του A ή A R, ο αριθµός των µη-µηδενικών γραµµών στον A R 2 Και από τον νόµο του Sylvester: = 4 2 = 2 { } Για το Im A: υπενθυµίζουµε ότι: Αν α, είναι οι στήλες του πίνακα!, α Α τότε, Οπότε, επειδή rak(a) = 2, αναζητούµε 2 γραµµικά ανεξάρτητες στήλες του Α (όχι του A R ). Πιθανές επιλογές είναι οι παρακάτω όπου πρέπει να ελεγχθούν άν οι σχετικοί 3 2 πίνακες εµπεριέχουν 2 2 µη-ιδιόµορφους υποπίνακες. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25
26 Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος : Παράδειγμα Για το Ker A: υπενθυµίζουµε ότι: Εποµένως, αναζητούµε ullity(a) = 2 γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις στην εξίσωση Α x = 0 ή ισόδύναµα στην Α R x = 0 : Προφανώς: και εποµένως το σύνολο Ker A είναι κατάλληλο ως βάση του Ο σχετικός 4 2 πίνακας εµπεριέχει 2 2 µη-ιδιόµορφους υποπίνακες. Η MATLAB διαθέτει τις εντολές orth, ull και rak για την εύρεση των rage space, ull space και rak. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26
27 Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος Για τον γραµµικό µετασχηµατισµό ισχύουν [ Im. A] = Ker A A. [ Ker A] = Im A * : ο ανάστροφος & συζυγής πίνακας του Α. όπου υπενθυµίζουµε ότι: [ ] ορίζει το ορθογωνικό συµπλήρωµα (orthogoal complemet) ενός χώρου, και [ ] * ορίζει το συζυγή ανάστροφο (cojugate traspose) πίνακα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27
28 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Για έναν πίνακα Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο (characteristic polyomial) του Α έχει πάντοτε συντελεστή στο όρο λ και είναι: Οι ιδιοτιµές (eigevalues) του Α είναι οι ρίζες της χαρακτηρ. εξίσωσης: Ό ταν Aν A R είναι µιγαδικές και εµφανίζονται σε συζυγή ζεύγη. Το φάσµα (spectrum) του Α είναι το σύνολο των ιδιοτιµών του i ( ) υ! ( λi I A) υ = 0 λi υ = A υ ονοµάζεται δεξί ιδιοδιάνυσµα (right eigevector) του Α που σχετίζεται µε την λ i. λ σ( A) w 0! ( λ ) = 0 λ = λ σ A καθε 0 που ικανοποιεί την καθε που ικανοποιεί την ονοµάζεται αριστερό ιδιοδιάνυσµα (left eigevector) του Α που σχετίζεται µε την λ i. Παρατήρηση: αν στη σχέση ορισµού του w* εφαρµόσουµε το συζυγές ανάστροφο διαπιστώνουµε ότι to w είναι το δεξί ιδιοδιάνυσµα του Α* σχετιζόµενο µε την ιδιοτιµή Από τον ορισµό των ιδιοτιµών Εποµένως και βέβαια i w I A w w A λi σ( A) λi I A 0 Ker( λi I A) ( λi I A) υ = 0 υ 0 Ker( λi I A) c υ Ker ( λ I A) c= scalar i i = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 28 i λ i _ w*=w T
29 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα : Παράδειγμα Εποµένως ( A) = { =, 2,3 = 2 ± j} σ λ λ Στοιχειώδεις πράξεις οδηγούν σε reduced Echelo form λ = : ( λ I A) υ = 0 υ = [ 0] T Ker( λ I A) R λ 2 =2+j : λ 3 =2-j : λ3 = λ2 υ3 = υ2 = 0 j 2 2 T υ2 = 0 + j 2 2 T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 29
30 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα : Παράδειγμα A*=A T και T ( A ) = { =, 2 = 3, 3 = 2} σ λ λ λ λ λ λ οπότε, µε παρόµοιο τρόπο: T w = [ 0 0] w2 = j w3 = w2 = + j T T Τι γίνεται όµως όταν ο πίνακας Α έχει πολλαπλές ιδιοτιµές? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 30
31 Πολλαπλές Ιδιοτιμές Αν d είναι ο αριθµός των «διακριτών» ιδιοτιµών λ,!, λd του Α, οπότε όπου m i είναι η αλγεβρική πολλαπλότητα (algebraic multiplicity) της ιδιοτιµής λ i, και η γεωµετρική πολλαπλότητα (geometric multiplicity) της ιδιοτιµής λ i είναι: Κατά συνέπεια: det { } m m2 m ( λ I A) = ( λ λ ) ( λ λ )! ( λ λ ) d λ i i=,, d 2 ( λ ) dim Ker ( λ ) = ullity I A = I A i i i { υ, υ,, υ, } i i i Υπάρχουν i γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις στην οµογενή 2 i εξίσωση ( λi I A) υ = 0 i Το σύνολο {, i,, i υ υ2 υ, } είναι η ιδιο-βάση (eigebasis) του σχετικού i ιδιο-χώρου (eigespace) Ker λi I A που σχετίζεται µε την ιδιοτιµή λ i. ( ) Προφανώς: i mi i=,, d Ιδιο-βάσεις σχετιζόµενες µε διαφορετικές ιδιοτιµές ειναι γραµµικά ανεξάρτητες. d Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3
32 Πολλαπλές Ιδιοτιμές : Παράδειγμα ( ) ( ) 3 det λ I A = λ µ λ = µ m = 3,2,3,4 d= d= = = 2 = 2 = 3 Ιδιο-βάσεις: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 32
33 Ομοιότητα & Διαγωνοποίηση Οι πίνακες AB,! ονοµάζονται όµοιοι (similar) αν υπάρχει µηίδιόµορφος πίνακας T! για τον οποίο ισχύει B T = A T A= T B T T Ο πίνακας ονοµάζεται µετασχηµατισµός οµοιότητας (similarity trasformatio). Αν οι πίνακες AB,! είναι όµοιοι τότε έχουν ίδια χαρακτηριστικά πολυώνυµα (... και ίδιες ιδιοτιµές). Σε ένα διαγώνιο πίνακα, ιδιοτιµές του είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του. Διαγωνοποίηση: Δεδοµένου ενός πίνακα Α αναζητούµε τον πίνακα µετασχηµατισµού Τ που θα µας οδηγήσει σε όµοιο διαγώνιο πίνακα Β που (κατά τις 2 προηγούµενες προτάσεις) τα στοιχεία της διαγωνίου του θα είναι οι ιδιοτιµές του Α. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 33
34 Ομοιότητα & Διαγωνοποίηση Διερεύνηση της Διαδικασίας Διαγωνοποίησης: A! Έστω οι διακριτές ιδιοτιµές του µε αλγεβρικές πολλαπλότητες που ικανοποιούν την, γιατί το ΧΠ του Α έχει βαθµό Οι σχετικές γεωµετρικές πολλαπλότητες υποδεικνύουν ότι µπορούµε να βρούµε, τον αριθµό, ιδιοδιανύσµατα + +! + 2 d κατ αντιστοιχία των διακριτών ιδιοτιµών Σύµφωνα µε την γνωστή ιδιότητα... το παραπάνω σύνολο ιδιοδιανυσµάτων είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Ιδιο-βάσεις σχετιζόµενες µε διαφορετικές ιδιοτιµές ειναι γραµµικά ανεξάρτητες Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 34
35 Ομοιότητα & Διαγωνοποίηση Οι προφανώς ισχύουσες σχέσεις AT = T Λ j j A υ = λ υ i=,, d j=,!, i i i i γράφονται ως όπου 2 2 d d T = υ! υ υ! υ! υ 2! υ d " και (! ) d Επειδή T ", για να είναι αυτός τετράγωνος, θα πρέπει: + 2+! + d =. Αυτό, σε συνδυασµό µε τις Ιδιο-βάσεις σχετιζόµενες m+ m2+! + md =. και µε διαφορετικές. i mi i=,, d ιδιοτιµές ειναι γραµµικά συνεπάγεται i = mi i=,, d ανεξάρτητες Εποµένως T, Λ! και επειδή, σύµφωνα µε το ότι... προκύπτει ότι το σύνολο ιδιοδιανυσµάτων του Τ είναι γραµµικά ανεξάρτητο, και κατά συνέπεια ο Τ είναι µή-ιδιόµορφος. Εποµένως Τ είναι µετασχηµατισµός που διαγωνοποιεί τον Α: " (! ) ( + +! + ) ( + +! + ) 2 d 2 Λ= T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 35 2 A T d d
36 Ομοιότητα & Διαγωνοποίηση Με βάση τα προηγούµενα (Αναγκαία & Ικανή Συνθήκη Διαγωνοποίησης) : Ένας πίνακας A! είναι διαγωνοποιήσιµος µέσω µετασχηµατισµού οµοιότητας αν και µόνο αν ο Α έχει, συνολικά, γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα. Ισοδύναµα: αν και µόνο αν η γεωµετρική πολλαπλότητα ισούται µε την αλγεβρική πολλαπλότητα για κάθε διακριτή ιδιοτιµή. Έτσι, αν ο Α έχει διακριτές ιδιοτιµές τότε d =, i = mi = i=,,. Αυτό συνεπάγεται την υπαρξηωτων γραµµικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσµάτων που απαιτούνται για την διαγωνοποίηση. Εποµένως: έχουµε την παρακάτω ικανή συνθήκη διαγωνοποίησης: Ένας πίνακας A! είναι διαγωνοποιήσιµος µέσω µετασχηµατισµού οµοιότητας αν έχει διακριτές ιδιοτιµές. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 36
37 Κανονική Μορφή τύπου- Jorda Ενώ κάθε τετραγωνικός πίνακας δεν είναι απαραίτητα διαγωνοποιήσιµος (αν δηλ. ΔΕΝ ισχύουν οι συνθήκες της προηγούµενης σελίδας), κάθε τετραγωνικός πίνακας µπορεί όµως να µετατραπεί στη κανονική µορφή τύπου-jorda, όπως ορίζεται... Η Κανονική Μορφή τύπου-jorda (Jorda Caoical Form) προαπαιτεί τον ορισµό του Jorda-Block διάστασης k k k k! Ενας Πίνακας Jorda είναι ένας block-διαγώνιος πίνακας µε Jordablocks στη διαγώνιο Αν r = k = i=,!, r τότε ο J είναι διαγώνιος πίνακας. i Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 37
38 Κανονική Μορφή τύπου- Jorda Αν ο A! έχει d διακριτές ιδιοτιµές λ,!, λ µε m d, m2,!, md τις αντίστοιχες αλγεβρικές και, 2,!, d τις αντίστοιχες γεωµετρικές πολλαπλότητες, υπάρχει ένας µετασχηµατισµός οµοιότητας που οδηγεί στον πίνακα Jorda J = T A T ο οποίος αποτελείται από i i =,,d Jorda-Blocks για κάθε διοτιµή λ i, όπου το άθροισµα των µεγεθών αυτών (για κάθε i) ισούται µε την αλγεβρική πολλαπλότητα m i. Οι διπλανοί πίνακες τύπου κανονικής µορφής Jorda, θα µπορούσαν να προκύψουν από ένα πίνακα µε µία διακριτή ιδιοτιµή µε αλγεβρική πολλαπλότητα 5 και γεωµετρική πολλαπλότητα 2. Αν για µια συγκεκριµένη ιδιοτιµή, η αλγεβρική και γεωµετρική πολλαπλότητα είναι ίσες, τότε τα αντίστοιχα Jorda-block είναι βαθµωτά, (και αντιστρόφως). Άν το ανωτέρω ισχύει για όλες τις ιδιοτιµές τότε ο πίνακας Jorda είναι απλά διαγώνιος. Η ιδιότητα αυτή είναι σηµαντική σε πολλές εφαρµογές, όπως έλεγχος ευστάθειας, κλπ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 38
39 Θεώρημα Cayley- Hamilto Για κάθε A! µε χαρακτηριστικό πολυώνυµο ισχύει A + a A +! + a A+ a I = 0 0 Δηλαδή: Ο πίνακας Α είναι ρίζα της µητρωικής µορφής της χαρακτηριστικής εξίσωσής του... λ = λ + λ + + λ+ I A a! a a0 Παράδειγµα: Αν για ένα πίνακα η Χ.Ε. είναι = 0 τότε ισχύει Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 39
40 Νόρμες Διανυσμάτων Ορισµός: Μία διανυσµατική νόρµα (vector orm) στο C είναι µία + συνάρτηση :! " που Είναι θετικά ορισµένη x 0 x!, x = 0 x= 0 Ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα x+ y x + y x, y! Είναι οµογενής Η p-νόρµα ορίζεται ως και αν p τότε αποδεικνύεται ότι Παρατηρούµε ότι x. = i= x i. Ευκλείδια Νόρµα Iσχύει η ανισότητα του Hölder 0 α x = α x x!, α! x y x y x, y!, p, q 2 p q p + q = Για p = q = 2 αυτή παίρνει τη µορφή της γνωστής ανισότητας Cauchy-Swarz x y x y x y! 2 2, Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 40
41 Νόρμες Πινάκων Ορισµός: Μία µητρωική νόρµα (matrix orm) στο C m είναι µία m + συνάρτηση :! " 0 που m m Είναι θετικά ορισµένη A 0 A!, A = 0 A= 0! m Ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα A+ B A + B A, B! Είναι οµογενής α A = α A A! m, α! Αρχικά θεωρούµε µητρωικές νόρµες που ορίζονται από τις διανυσµατικές Ax A x x! Το ελάχιστο ανω φράγμα νόρμα φάσματος (spectral orm) Υπάρχουν και νόρµες που δεν εισάγονται από τις διανυσµατικές π.χ. Η νόρµα Frobeious ΒΙΒΟ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4
42 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 42
Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας
Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.tua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Βασικές Έννοιες
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές
Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία
Διαβάστε περισσότερα= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις
1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ
ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο
Διαβάστε περισσότεραΔιαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας
Διαγωνοποίηση μητρών Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Όμοιες μήτρες Ορισμός: Οι τετραγωνικές μήτρες Α=[α ij ] nxn & B=[b ij ] nxn όμοιες (Α~Β): αν υπάρχει ομαλή μήτρα Ρ τ.ώ. Β = Ρ -1 Α Ρ A~B Β~ Α Ρ ομαλή μήτρα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι
Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου
Διαβάστε περισσότεραΔιανύσµατα στο επίπεδο
Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή
Διαβάστε περισσότερα1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό
1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότερα[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:
Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του
Διαβάστε περισσότερα2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1
2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης Δεδοµένου του ΓΧΑΣ nn nm pn pm όπου A R B R C R D R Τίθεται το ζήτηµα της επίλυσης
Διαβάστε περισσότεραΟρισμοί και πράξεις πινάκων
Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ).
1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). A n Πόρισμα 1: Ο βαθμός του χαρ/κου πολυωνύμου ενός
Διαβάστε περισσότεραΙδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα
Ιδιάζουσες τιμές πίνακα Επειδή οι πίνακες που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι μη τετραγωνικοί, υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μία μέθοδος που να «μελετά» τους μη τετραγωνικούς με «μεθόδους και ποσά» που
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΠαραγοντοποιήσεις πίνακα
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΠΜΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ Παραγοντοποιήσεις πίνακα Θεωρία Perro-Frobeus Μαρία Αδάμ ΛΑΜΙΑ, 08 KΕΦΑΛΑΙΟ Παραγοντοποίηση πίνακα Άλγεβρα πινάκων
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ MSc PROGRAM ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΚΟΥΓΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΝΤΙΡΡΙΟ 03-04 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΙΝΑΚΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και
Διαβάστε περισσότεραΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN
Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Εάν ένας πίνακας δεν διαγωνοποιείται, τότε ο στόχος μας είναι υπολογίσουμε μέσω ενός μετασχηματισμού ομοιότητας, έναν απλούστερο πίνακα, «σχεδόν διαγώνιο» όπως ο παρακάτω πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότερα( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.
http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.
Διαβάστε περισσότερα8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα
Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )
Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου
Διαβάστε περισσότερα{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)
Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές
Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραx 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-9 ΛΥΣΕΙΣ = 1 (Ι) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα 6 40 1 0 A 4 1 1 1 (ΙΙ) Εστω b 1, b, b 3 στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 1 x 1 + 4x + x 3 = b x 1 + x + x
Διαβάστε περισσότεραΧαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα
Έστω ο n nτετραγωνικός πίνακας A της μορφής a L a M O M an L a όπου aij, i n, j n πραγματικές σταθερές Ονομάζουμε χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα A την εξίσωση A λi, όπου I ο n n μοναδιαίος πίνακας και
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες
Κεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες Εσωτερικό Γινόμενο και ορθογωνιότητα Έστω V ένας διανυσματικός χώρος, υπόχωρος του n. Κάθε συνάρτηση ορισμένη στο VV (την οποία θα συμβολίζουμε με ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο
Διαβάστε περισσότερα============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων
Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα
Διαβάστε περισσότερα21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn
Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml 21-2 - 2012
Διαβάστε περισσότερα1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]
σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003
http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,
Διαβάστε περισσότερα0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,
I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017
ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.
Διαβάστε περισσότερα!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα
Συστήματα με Ν βαθμούς ελευθερίας ΦΥΣ 211 - Διαλ.25 1 Ø Συστήµατα µε Ν βαθµούς ελευθερίας που βρίσκονται κοντά σε µια θέση ισσορροπίας τους συµπεριφέρονται σαν Ν ανεξάρτητοι αρµονικοί ταλαντωτές Γιατί
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 9/6/08 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Έστω A= k και w = 3 0. Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται
Διαβάστε περισσότερα4 k 2 = 2 ( 1+ 2 k 2. k 2 2 k= k 2. 1.ii) Αν σχηµατίσουµε τον πίνακα µε γραµµές τα δύο διανύσµατα έχουµε: Γ1 Γ1 ---> { }
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 8-9: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 171 Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr
Γραμμική Άλγεβρα Κώστας Γλυκός 171 Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ πίνακες & ορίζουσες διανυσματικούς χώρους ευθεία και επίπεδο στο χώρο γραμμικές απεικονίσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8
Διαβάστε περισσότεραΠαναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα
ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / 009-0 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα Έστω η γραμμική απεικόνιση T : με (α) Βρείτε τον πίνακα της T, I Ως προς την κανονική βάση
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από
Διαβάστε περισσότεραD = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].
4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότερα1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα