Simplex µε πίνακες Simplex µε πίνακες

Transcript

1

2 Μορφή Πινάκων max z =cx s.t. Ax = b x 0

3 Μορφή Πινάκων max z =cx s.t. Ax = b x 0 [ A c x = b ]

4 Μορφή Πινάκων max z =cx s.t. Ax = b x 0 A x = b [ ] c Επιλογή αντιστρέψιµου υποπίνακα m m (Βάση)

5 Συµβολισµοί B : m m υποπίνακας ϐάσης

6 Συµβολισµοί B : m m υποπίνακας ϐάσης A N : οι υπόλοιπες κολόνες του πίνακα (Εκτός ϐάσης)

7 Συµβολισµοί B : m m υποπίνακας ϐάσης A N : οι υπόλοιπες κολόνες του πίνακα (Εκτός ϐάσης) x B : οι µεταβλητές εντός ϐάσης

8 Συµβολισµοί B : m m υποπίνακας ϐάσης A N : οι υπόλοιπες κολόνες του πίνακα (Εκτός ϐάσης) x B : οι µεταβλητές εντός ϐάσης x N : οι µεταβλητές εκτός ϐάσης

9 Συµβολισµοί B : m m υποπίνακας ϐάσης A N : οι υπόλοιπες κολόνες του πίνακα (Εκτός ϐάσης) x B : οι µεταβλητές εντός ϐάσης x N : οι µεταβλητές εκτός ϐάσης c B : οι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης για τις µεταβλητές εντός ϐάσης

10 Συµβολισµοί B : m m υποπίνακας ϐάσης A N : οι υπόλοιπες κολόνες του πίνακα (Εκτός ϐάσης) x B : οι µεταβλητές εντός ϐάσης x N : οι µεταβλητές εκτός ϐάσης c B : οι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης για τις µεταβλητές εντός ϐάσης c N : οι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης για τις µεταβλητές εκτός ϐάσης

11 Νέα µορφή z = c B x B + c N x N Bx B + A N x N = b

12 Νέα µορφή z = c B x B + c N x N Bx B + A N x N = b Υπόθεση : Η ϐασική λύση είναι εφικτή αν ϑέσουµε x N = 0 x B = B 1 b 0

13 Νέα µορφή z = c B x B + c N x N Bx B + A N x N = b Υπόθεση : Η ϐασική λύση είναι εφικτή αν ϑέσουµε x N = 0 x B = B 1 b 0 Αναζητούµε το σχετικό µε τον πίνακα B λεξικό για να εκφράσουµε τις ϐασικές µεταβλητές καθώς και την αντικειµενική συνάρτηση

14 Νέα µορφή z = c B x B + c N x N Bx B + A N x N = b Υπόθεση : Η ϐασική λύση είναι εφικτή αν ϑέσουµε x N = 0 x B = B 1 b 0 Αναζητούµε το σχετικό µε τον πίνακα B λεξικό για να εκφράσουµε τις ϐασικές µεταβλητές καθώς και την αντικειµενική συνάρτηση x B = B 1 (b A N x N ) = x B B 1 A N x N z = c B (x B B 1 A N x N ) + c N x N = c B x B + (c N c B B 1 A N )x N = z + (c N c B B 1 A N )x N όπου z = c B x B

15 Νέα µορφή Το γινόµενο πινάκων c B B 1 είναι ένα διάνυσµα γραµµή έστω y.

16 Νέα µορφή Το γινόµενο πινάκων c B B 1 είναι ένα διάνυσµα γραµµή έστω y. Η αντικειµενική συνάρτηση παίρνει τη µορφή z = z + (c N ya N )x N

17 Νέα µορφή Το γινόµενο πινάκων c B B 1 είναι ένα διάνυσµα γραµµή έστω y. Η αντικειµενική συνάρτηση παίρνει τη µορφή z = z + (c N ya N )x N Αντίστοιχα διαπιστώνουµε πως το διάνυσµα c N ya N είναι και αυτό διάνυσµα γραµµή 1 n n z= z + (c j ya j )x j j=1 όπου a j η κολόνα του πίνακα A N που αντιστοιχεί στην κολόνα j

18 Συµπεράσµατα Αν c j ya j 0 για κάθε j τότε ϐρισκόµαστε στη ϐέλτιστη λύση

19 Συµπεράσµατα Αν c j ya j 0 για κάθε j τότε ϐρισκόµαστε στη ϐέλτιστη λύση Εάν υπάρχει j : c j ya j > 0 τότε επιλέγουµε την κολόνα a j για εισαγωγή στον πίνακα ϐάσης B.

20 Συµπεράσµατα Αν c j ya j 0 για κάθε j τότε ϐρισκόµαστε στη ϐέλτιστη λύση Εάν υπάρχει j : c j ya j > 0 τότε επιλέγουµε την κολόνα a j για εισαγωγή στον πίνακα ϐάσης B. Η µεταβλητή αυτή ϑα αυξηθεί ενώ οι υπόλοιπες µεταβλητές εκτός ϐάσεις ϑα παραµείνουν µηδενικές

21 Συµπεράσµατα Ο περιορισµοί υπό τη µορφή πινάκων όπως είδαµε γράφονται : x B = x B B 1 A N x N

22 Συµπεράσµατα Ο περιορισµοί υπό τη µορφή πινάκων όπως είδαµε γράφονται : x B = x B B 1 A N x N Εισάγοντας τη µεταβλητή j και ϑεωρώντας τις υπόλοιπες εκτός ϐάσης µηδενικές προκύπτει η µορφή x B = x B B 1 a j x j

23 Συµπεράσµατα Ο περιορισµοί υπό τη µορφή πινάκων όπως είδαµε γράφονται : x B = x B B 1 A N x N Εισάγοντας τη µεταβλητή j και ϑεωρώντας τις υπόλοιπες εκτός ϐάσης µηδενικές προκύπτει η µορφή x B = x B B 1 a j x j Θέτουµε d = B 1 a j. Επιβάλλοντας τον περιορισµό x B 0 έχουµε x B x j d

24 Συµπεράσµατα Ο περιορισµοί υπό τη µορφή πινάκων όπως είδαµε γράφονται : x B = x B B 1 A N x N Εισάγοντας τη µεταβλητή j και ϑεωρώντας τις υπόλοιπες εκτός ϐάσης µηδενικές προκύπτει η µορφή x B = x B B 1 a j x j Θέτουµε d = B 1 a j. Επιβάλλοντας τον περιορισµό x B 0 έχουµε x B x j d Ο πιο περιοριστικός περιορισµός i = arg min( xi d i ) ϑα καθορίσει και την κολόνα a i που ϑα εξάγουµε από τη ϐάση

25 Νέα λύση Σεβόµενη τη σειρά των µεταβλητών τροποποιούµε τον πίνακα ϐάσης B καθώς και τον πίνακα εκτός ϐάσης A N

26 Νέα λύση Σεβόµενη τη σειρά των µεταβλητών τροποποιούµε τον πίνακα ϐάσης B καθώς και τον πίνακα εκτός ϐάσης A N Θέτοντας x j = x i d και i x B = x B x i d µπορούµε να υπολογίσουµε d i την νέα λύση x B καθώς και την νέα τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης z

27 Νέα λύση Σεβόµενη τη σειρά των µεταβλητών τροποποιούµε τον πίνακα ϐάσης B καθώς και τον πίνακα εκτός ϐάσης A N Θέτοντας x j = x i d και i x B = x B x i d µπορούµε να υπολογίσουµε d i την νέα λύση x B καθώς και την νέα τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης z Μπορούµε να επαναλάβουµε τη διαδικασία µε την νέα ϐάση B