ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ"

Transcript

1 ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

2 Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες του βιβλίου των Ζώη- Μοσχονά Προγραµµατισµός επιχειρήσεων οικονοµικός και γραµµικός προγραµµατισµός. Όπως αναφέρουµε στη σελίδα 4 το µοντέλο του προβλήµατος µεταφοράς µπορεί να λυθεί µε τη µέθοδο simplex, αλλά επειδή στην πράξη το πρόβληµα µπορεί να γίνει πολύ µεγάλο ως προς τις µεταβλητές και τους περιορισµούς, έχουν αναπτυχθεί ειδικοί αλγόριθµοι επίλυσης για το πρόβληµα µεταφοράς. Οι αλγόριθµοι επίλυσης του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσονται παρακάτω. Αναγκαία για την επίλυση του προβλήµατος είναι η κατασκευή του πίνακα µεταφοράς (σελ.43). Επίλυση προβλήµατος µεταφοράς Παράδειγµα Εστω ότι πρέπει να µεταφερθούν ορισµένες ποσότητες ενός προϊόντος από 3 εργοστάσια σε 4 κέντρα διανοµής. Στον παρακάτω πίνακα µεταφοράς, δίνονται τα µοναδιαία (δηλ. µιας µονάδας προϊόντος) κόστη µεταφοράς cijαπό κάθε εργοστάσιο σε κάθε κέντρο διανοµής σε χρηµατικές µονάδες. Επίσης, δίνεται η προσφορά (π.χ. παραγωγική ικανότητα) του κάθε εργοστασίου και η ζήτηση του κάθε κέντρου διανοµής, σε µονάδες προϊόντος. Να προσδιοριστούν οι ποσότητες x ij του προϊόντος που πρέπει να µεταφερθούν, έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος µεταφοράς, ενώ συγχρόνως να πληρούνται οι περιορισµοί προσφοράς και ζήτησης Προσφορά x 11 x 1 x 13 x 14 Εργοστάσια x 1 x x 3 x x 31 x 3 x 33 x 34 Ζήτηση

3 Συµβολίζουµε µε : x ij τις µεταβλητές που παριστάνουν τις ποσότητες του προϊόντος που θα µεταφερθούν από την i προέλευση (εργοστάσιο) στο j προορισµό (κέντρο διανοµής), και τις οποίες θέλουµε να προσδιορίσουµε. c ij τα µοναδιαία κόστη µεταφοράς από την i προέλευση (εργοστάσιο) στο j προορισµό (κέντρο διανοµής), (στο παράδειγµα c 11 =, c 1 =0, c 13 = 1, c 14 = 17, c 1 = 18,.) α i τις ποσότητες (προϊόντος) προσφοράς της i προέλευσης (ή εργοστάσιου) (στο παράδειγµα α 1 =60, α =70, α 3 =10) b j τις ποσότητες (προϊόντος) ζήτησης του j προορισµού (ή κέντρου διανοµής). (στο παράδειγµα b 1 =40, b =80, b 3 =90, b 4 =40) Ισορροπηµένο λέγεται το πρόβληµα µεταφοράς στο οποίο το άθροισµα προσφοράς = το άθροισµα ζήτησης. Π.χ. στο παραπάνω πρόβληµα = =50. Στην περίπτωση που το πρόβληµα µεταφοράς δεν είναι ισορροπηµένο το µετατρέπουµε σε ισορροπηµένο πρόβληµα µεταφοράς, εισάγοντας εικονικές προελεύσεις ή προορισµούς µε µηδενικά µοναδιαία κόστη µεταφοράς. Σχετικά µε την επίλυση του προβλήµατος µεταφοράς, τα βήµατα του αλγόριθµου µεταφοράς είναι τα εξής : βήµα 1 : Προσδιορίστε µια αρχική βασική εφικτή λύση βήµα : Χρησιµοποιήστε την αρχική βασική εφικτή λύση για την εύρεση της άριστης λύσης. Ι) Βήµα 1 Προσδιορισµός µιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης Το µοντέλο του γενικού προβλήµατος µεταφοράς µε m προελεύσεις και n προορισµούς έχει m+n περιορισµούς. Επειδή όµως το πρόβληµα µεταφοράς είτε είναι ή το µετατρέπουµε σε ισορροπηµένο, το µοντέλο έχει m+n-1 (περιορισµούς) ανεξάρτητες περιοριστικές εξισώσεις. Εποµένως µια αρχική βασική εφικτή λύση αποτελείται από m+n-1 βασικές µεταβλητές. Οι υπόλοιπες mn - (m+n-1) µεταβλητές θα είναι ίσες µε µηδέν (δηλαδή, µη βασικές µεταβλητές). 3

4 Στο παραπάνω παράδειγµα µια βασική εφικτή λύση πρέπει να περιέχει =6 βασικές µεταβλητές (x ij >0) και 6 µη βασικές µεταβλητές (x ij =0). Στην περίπτωση που µια ή περισσότερες από τις βασικές µεταβλητές είναι ίσες µε µηδέν, η λύση θεωρείται εκφυλισµένη. Για την εύρεση µιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης υπάρχουν οι εξής µέθοδοι: Ια) Μέθοδος της Βορειο- υτικής γωνίας Ιβ) Μέθοδος του ελαχίστου κόστους Ιγ) Μέθοδος Vogel Ια) Εύρεση αρχικής βασικής εφικτής λύσης µε τη µέθοδο της Βορειο - υτικής γωνίας Με τη µέθοδο αυτή αρχίζουµε µε το κελί της Βορειο- υτικής γωνίας δηλαδή µε τη µεταβλητή x 11 Βήµα1: τοποθετήστε όση ποσότητα επιτρέπεται στη µεταβλητή του κελιού της Βορειο- υτικής γωνίας ανάλογα µε τη προσφορά και τη ζήτηση δηλαδή x ij = min (αντίστοιχης προσφοράς, αντίστοιχης ζήτησης), βρείτε τα υπόλοιπα της προσφοράς και ζήτησης -που αντιστοιχούν στο κελί (i,j)- αφαιρώντας την τοποθετηµένη ποσότητα στη µεταβλητή x ij. Βήµα Η στήλη (ή η γραµµή) της οποίας η ζήτηση (ή η προσφορά) εξαντλείται διαγράφεται. Με άλλα λόγια δεν µπορούµε να τοποθετήσουµε άλλη ποσότητα σε µια µεταβλητή σε αυτή τη γραµµή ή στήλη. Εάν µια γραµµή ή µια στήλη εξαντλούνται ταυτοχρόνως µόνο µια διαγράφεται και στην άλλη τοποθετούµε µηδέν προσφορά ή ζήτηση. Βήµα 3 Η διαδικασία επαναλαµβάνεται έως ότου µείνει µόνο µια γραµµή ή στήλη χωρίς να διαγραφεί. ιαφορετικά πηγαίνετε στο κελί προς τα δεξιά εάν µόλις µια στήλη έχει διαγραφεί ή στο κελί µιας γραµµής παρακάτω εάν µια γραµµή έχει διαγραφεί. Πηγαίνετε στο βήµα1. Στο παραπάνω παράδειγµα 1 (σελ.) Η αρχική βασική εφικτή λύση µε τη µέθοδο της Β- γωνίας θα είναι η εξής: τοποθετούµε στη µεταβλητή της Β γωνίας δηλαδή στη x 11 = min(60, 40)=40 µονάδες, οπότε εξαντλείται η ζήτηση του 1ου κέντρου διανοµής, δηλαδή 4

5 διαγράφεται η 1η στήλη. Το υπόλοιπο προσφοράς στη 1η γραµµή είναι 60-40=0 µονάδες. Οι παραπάνω ενέργειες φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Προσφορά x 11 =40 0 Εργοστάσια Ζήτηση Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. Το επόµενο κελί Β- γωνίας (µετά τη διαγραφή της 1ης στήλης) είναι το (1,) δηλαδή κελί που αντιστοιχεί στη 1 γραµµή και στη στήλη. Τοποθετούµε x 1 = min(0, 80)=0, εξαντλείται η προσφορά της 1ης γραµµής και εποµένως διαγράφεται η 1 γραµµή και αφήνει υπόλοιπο ζήτησης 60 µονάδων στη στήλη. Οι παραπάνω ενέργειες φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 3 4 Προσφορά x 1 =0 Εργοστάσια Ζήτηση Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. Το επόµενο κελί Β γωνίας είναι το (,). Τοποθετούµε x = min(70, 60)=60, διαγράφεται η η στήλη και αφήνει υπόλοιπο προσφοράς 10 µονάδων στη η γραµµή. Οι παραπάνω ενέργειες φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 5

6 3 4 Προσφορά Εργοστάσια x = Ζήτηση Η διαδικασία επαναλαµβάνεται, x 3 = min(10, 90)=10, διαγράφεται η η γραµµή και µένει υπόλοιπο ζήτησης 80 µονάδων στη 3η στήλη. 3 4 Προσφορά Εργοστάσια x 3 = Ζήτηση Η διαδικασία επαναλαµβάνεται, x 33 = min(10, 80)=80 διαγράφεται η 3η στήλη και αφήνει υπόλοιπο προσφοράς της 3ης γραµµής 40 µονάδες. 3 4 Προσφορά x 33 = 80 Ζήτηση Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. Τοποθετούµε στο κελί (3,4) τη υπόλοιπη ποσότητα γραµµή 3 ή τη στήλη 4. x 34 = 40 που διαγράφει τη 6

7 4 Προσφορά x 34 = 40 Ζήτηση 40 Εφόσον µια γραµµή ή στήλη δεν διαγράφηκε η διαδικασία σταµατά. Εποµένως η αρχική βασική εφικτή λύση (µε τη µέθοδο της Β- γωνίας) αποτελείται από τις εξής 6 βασικές µεταβλητές x 11 =40, x 1 =0, x =60, x 3 =10, x 33 =80, x 34 = 40 οι οποίες δίνουν συνολικό κόστος *40+0*0+15*60+5*10+30*80+10*40= 530 χρηµ µονάδες Οι υπόλοιπες µεταβλητές είναι µη βασικές δηλ. ίσες µε µηδέν. Η αρχική βασική εφικτή λύση φαίνεται στον παρακάτω πίνακα Προσφορά x 11 =40 x 1 =0 Εργοστάσια x =60 x 3 = x 33 =80 x 34 =40 Ζήτηση β) Εύρεση αρχικής βασικής εφικτής λύσης - µέθοδος του ελαχίστου κόστους Τοποθετούµε τη µέγιστη επιτρεπόµενη ποσότητα στη µεταβλητή που αντιστοιχεί στο κελί µε το ελάχιστο κόστος, διαγράφουµε τη στήλη ή τη γραµµή της οποίας η ζήτηση (ή η προσφορά) εξαντλείται και τροποποιούµε την αντίστοιχη προσφορά και ζήτηση (αφαιρώντας τη ποσότητα που έχουµε θέσει στη µεταβλητή). Επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία µέχρι να µείνει µόνο µια γραµµή ή στήλη χωρίς να διαγραφεί. 7

8 1γ) Εύρεση αρχικής βασικής εφικτής λύσης µε τη Μέθοδο Vogel Τα βήµατα της µεθόδου Vogel είναι : Βήµα 1 Για κάθε γραµµή και (κάθε στήλη) µε αυστηρά θετική προσφορά (ζήτηση) υπολογίσετε τις διαφορές αφαιρώντας το ελάχιστο µοναδιαίο κόστος της κάθε γραµµής ( στήλης) από το αµέσως επόµενο ελάχιστο µοναδιαίο κόστος της ίδιας γραµµής (στήλης). Βήµα Επιλέξτε τη γραµµή ή στήλη µε τη µεγαλύτερη διαφορά και στο κελί (της επιλεγµένης γραµµής ή στήλης) µε το µικρότερο κόστος τοποθετείστε τη µέγιστη επιτρεπόµενη ποσότητα (δηλαδή το ελάχιστο της αντίστοιχης προσφοράς και ζήτησης) στην αντίστοιχη µεταβλητή. Βρείτε τα υπόλοιπα της προσφοράς και ζήτησης και διαγράψτε τη γραµµή ή στήλη της οποίας η προσφορά ή η ζήτηση εξαντλείται. Εάν µια γραµµή ή στήλη εξαντλούνται ταυτοχρόνως µόνο µια διαγράφεται και στην άλλη τοποθετούµε µηδέν προσφορά ή ζήτηση. Οποιαδήποτε γραµµή ή στήλη µε «τοποθετηµένο µηδέν» στην προσφορά ή ζήτηση δεν χρησιµοποιείται στον υπολογισµό των µελλοντικών διαφορών. Χρησιµοποιούµε στο τέλος τα «τοποθετηµένα µηδέν» ως λύσεις στις βασικές µεταβλητές (εκφυλισµένη λύση) ώστε να έχουµε m +n 1 βασικές µεταβλητές. Βήµα 3 (α) Εάν ακριβώς µια γραµµή ή στήλη δεν έχει διαγραφεί σταµατήστε. (β) Εάν µόνο µια γραµµή (στήλη) µε θετική προσφορά (ή ζήτηση) δεν έχει διαγραφεί, καθορίστε τις βασικές µεταβλητές στη γραµµή (στήλη) µε τη µέθοδο του ελαχίστου κόστους. (γ) Εάν όλες οι µη διαγραµµένες γραµµές και στήλες έχουν «τοποθετηµένα µηδέν» στην προσφορά ή ζήτηση, καθορίστε τις βασικές µεταβλητές ίσες µε µηδέν στα κελιά µε τη µέθοδο του ελάχιστου κόστους. Σταµατήστε. ιαφορετικά πηγαίνετε στο βήµα 1 (δηλαδή ξανα-υπολογίστε τις διαφορές για τις µη διαγραµµένες γραµµές και στήλες κ.ο.κ.). Προσέξτε να µην υπολογίσετε διαφορές στις γραµµές ή στήλες στις οποίες έχουµε «τοποθετηµένο µηδέν» στην προσφορά και ζήτηση. 8

9 Στο παραπάνω παράδειγµα Προσ φορά ιαφορές =3 Εργ/σια = = x 31 =40 80 Ζήτηση ιαφορέ 18-1=6 0-15=5 5-1= =4 Συγκρίνουµε τις διαφορές των γραµµών και των στηλών και παρατηρούµε ότι στη στήλη 1 παρουσιάζεται η µεγαλύτερη διαφορά 6. Άρα επιλέγουµε στη 1η στήλη το κελί µε το ελάχιστο κόστος δηλ. το κελί (3,1) που έχει κόστος 1. Τοποθετώ τη µέγιστη επιτρεπόµενη ποσότητα στη µεταβλητή x 31 = min(αντίστοιχης προσφοράς, αντίστοιχης ζήτησης)= min(10, 40) =40. Η ζήτηση της στήλης 1 εξαντλείται, δηλαδή η στήλη 1 διαγράφεται, και µένει υπόλοιπο προσφοράς 80 µονάδες στη γραµµή 3. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται 3 4 Προσφορά ιαφορές =3 Εργ/σια = x 34 = =14 Ζήτηση ιαφορές 0-15=5 5-1= =4 9

10 Στον παραπάνω πίνακα υπολογίζουµε πάλι διαφορές. Επιλέγουµε τη γραµµή 3 διότι παρουσιάζει τη µεγαλύτερη διαφορά 14 και τοποθετούµε στο κελί µε το µικρότερο κόστος της γραµµής 3, δηλαδή στο κελί (3,4) στη µεταβλητή x 34 =min(80, 40) =40 που διαγράφει τη στήλη 4 γιατί η ζήτησή της εξαντλείται και αφήνει υπόλοιπο προσφοράς στη 3η γραµµή 40 µονάδες. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. 3 Προσφορά ιαφορές =1 Εργ/σια =10 x = =6 Ζήτηση ιαφορές 0-15=5 5-1=4 Επιλέγουµε τη γραµµή διότι παρουσιάζει τη µεγαλύτερη διαφορά 10 και τοποθετούµε στο κελί µε το µικρότερο κόστος της γραµµής, δηλαδή στο κελί (,) στη µεταβλητή x =min(70, 80) =70 που διαγράφει τη γραµµή γιατί η προσφορά της εξαντλείται και αφήνει υπόλοιπο ζήτησης στη η στήλη 10 µονάδες. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. 3 Προσφορά ιαφορές =1 x 13 = =6 Ζήτηση ιαφορές 4-0=4 30-1=9 10

11 Η µεγαλύτερη διαφορά βρίσκεται στην 3η στήλη. Επιλέγουµε τη στήλη 3 διότι παρουσιάζει τη µεγαλύτερη διαφορά 9 και τοποθετούµε στο κελί µε το µικρότερο κόστος της στήλης 3, δηλαδή στο κελί (1,3) στη µεταβλητή x 13 =min(60, 90) =60 που διαγράφει τη γραµµή 1 γιατί η προσφορά της εξαντλήθηκε και µένει υπόλοιπο ζήτησης 30 µονάδες στη στήλη 3. Στον πίνακα που απέµεινε (χωρίς την πρώτη γραµµή) παρατηρούµε ότι µόνο µια γραµµή µε θετική προσφορά δεν έχει διαγραφεί, έτσι καθορίζουµε τις βασικές µεταβλητές στη γραµµή 3 µε τη µέθοδο του ελαχίστου κόστους. ηλαδή στη γραµµή 3 το κελί µε το µικρότερο κόστος είναι το (3,) και τοποθετούµε στη µεταβλητή x 3 =10. Έτσι διαγράφεται η στήλη γιατί εξαντλήθηκε η ζήτηση της και µένει υπόλοιπο προσφοράς 30 µονάδες στη γραµµή 3. 3 Προσφορά 3 4 x 3 = Ζήτηση Στον πίνακα που απέµεινε µετά τη διαγραφή της ης στήλης, στο κελί (3,3) θέτουµε x 33 =30 και σταµατάµε. 3 Προσφορά Εργοστάσιο x 33 =30 Ζήτηση 30 Εποµένως η αρχική βασική εφικτή λύση µε τη µέθοδο Vogel (φαίνεται και στον παρακάτω πίνακα) είναι: x 13 =60, x =70, x 31 =40, x 3 =10, x 33 =30, x 34 =40. µε συνολικό κόστος: = 4330 Οι υπόλοιπες µεταβλητές είναι µη βασικές. 11

12 1 3 4 Προσφορά x 13 =60 Εργοστάσια x = x 31 =40 x 3 =10 x 33 =30 x 34 =40 Ζήτηση ΙΙ) βήµα : Εύρεση της άριστης λύσης Για την εύρεση της άριστης λύσης υπάρχουν οι εξής µέθοδοι: ΙΙα) Μέθοδος Charmes ΙΙβ) Μέθοδος MODI Θα αναπτύξουµε τη Μέθοδο MODI η οποία αποτελείται από τα εξής βήµατα 1) Σε κάθε βασική µεταβλητή της αρχικής εφικτής λύσης x ij συνδέουµε τους πολλαπλασιαστές u i και v j µε τη γραµµή i και τη στήλη j, έτσι ώστε το µοναδιαίο κόστος µεταφοράς για κάθε βασική µεταβλητή να είναι c ij = u i + v j Βρίσκουµε τις τιµές των πολλαπλασιαστών u i και v j στο σύστηµα που προκύπτει θέτοντας u 1 =0 (επειδή έχουµε m+n µεταβλητές και m+n-1 εξισώσεις). ) Μετά για κάθε µη βασική µεταβλητή υπολογίζουµε τις ποσότητες c ij - u i - v j Η συνθήκη αριστότητας είναι Εάν οι ποσότητες c ij - u i - v j >=0 για κάθε µη βασική µεταβλητή x ij τότε η βασική εφικτή λύση είναι άριστη. Η συνθήκη εφικτότητας είναι: Εάν οι ποσότητες c ij - u i - v j δεν είναι µη αρνητικές για κάθε µη βασική µεταβλητή x ij τότε επιλέγουµε ως εισερχόµενη µεταβλητή τη µη βασική µεταβλητή 1

13 µε την πιο µικρή αρνητική τιµή c ij - u i - v j (ή µεγαλύτερη σε απόλυτο τιµή από τις αρνητικές τιµές ). Για την επιλογή της εξερχόµενης µεταβλητής κατασκευάζουµε ένα βρόχο (δηλαδή κλειστό κύκλο αποτελούµενο από διαδοχικά οριζόντια και κάθετα ευθύγραµµα τµήµατα των οποίων τα ακραία σηµεία είναι βασικές µεταβλητές εκτός από το τελευταίο που συνδέεται µε την εισερχόµενη µεταβλητή) για τη νέα εισερχόµενη µεταβλητή. Αυξάνουµε και µειώνουµε τις τιµές των βασικών µεταβλητών του κύκλου ανάλογα µε τη προσφορά και τη ζήτηση. Εξερχόµενη µεταβλητή θα είναι εκείνη µε τη µικρότερη τιµή από αυτές που µειώνονται. Στο παραπάνω παράδειγµα Θα χρησιµοποιήσουµε ως αρχική βασική εφικτή λύση αυτή που βρήκαµε µε τη µέθοδο Vogel. (σελ. 11, 1) Για τις βασικές µεταβλητές της αρχικής λύσης βρίσκω τις τιµές των πολλαπλασιαστών από το σύστηµα c ij = u i + v j δηλαδή Για τη βασική µεταβλητή x 13 θα ισχύει c 13 = u 1 + v 3 ή 1= u 1 + v 3, οµοίως Για τη µεταβλητή x θα ισχύει c = u + v ή 15= u + v Για τη µεταβλητή x 31 θα ισχύει c 31 = u 3 + v 1 ή 1= u 3 + v 1 Για τη µεταβλητή x 3 θα ισχύει c 3 = u 3 + v ή 4= u 3 + v Για τη µεταβλητή x 33 θα ισχύει c 33 = u 3 + v 3 ή 30= u 3 + v 3 Για τη µεταβλητή x 34 θα ισχύει c 34 = u 3 + v 4 ή 10= u 3 + v 4 Βρίσκουµε τις τιµές των πολλαπλασιαστών. Επειδή οι πολλαπλασιαστές είναι 7 (δηλαδή u i µε i=1,.,3 και v j µε j=1,,3,4) και οι εξισώσεις 6, θέτουµε u 1 =0 13

14 Λύνουµε το παραπάνω σύστηµα ως προς u i και v j και βρίσκουµε τους πολλαπλασιαστές u i και v j u =0, u 3 =9, v 1 = 3, v = 15, v 3 = 1, v 4 =1 Για τις µη βασικές µεταβλητές δηµιουργούµε τις διαφορές c ij - u i - v j : Αναλυτικά: Για τη µη βασική µεταβλητή x 11 θα ισχύει c 11 - u 1 - v 1 = - 0-3= 19 οµοίως Για τη µεταβλητή x 1 θα ισχύει c 1 - u 1 - v = = 5 Για τη µεταβλητή x 14 θα ισχύει c 14 - u 1 - v 4 = =16 Για τη µεταβλητή x 1 θα ισχύει c 1 - u - v 1 = = 15 Για τη µεταβλητή x 3 θα ισχύει c 3 - u - v 3 = = 4 Για τη µεταβλητή x 4 θα ισχύει c 4 - u - v 4 = = 13 Εφόσον οι ποσότητες c ij - u i - v j για κάθε µη βασική µεταβλητή είναι >=0 η αρχική βασική εφικτή λύση που βρήκαµε µε τη µέθοδο Vogel είναι η άριστη Παράδειγµα Έστω ότι πρέπει να µεταφερθούν ορισµένες ποσότητες ενός προϊόντος από 3 εργοστάσια σε 4 κέντρα διανοµής. Στον παρακάτω πίνακα µεταφοράς, να προσδιοριστούν οι ποσότητες x ij που πρέπει να µεταφερθούν έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος µεταφοράς ενώ συγχρόνως να πληρούνται οι περιορισµοί προσφοράς και ζήτησης Προσφορά x 11 x 1 x 13 x 14 Εργοστάσια x 1 x x 3 x x 31 x 3 x 33 x 34 Ζήτηση Το πρόβληµα είναι ισορροπηµένο Π.χ = =45. 14

15 Εύρεση αρχικής βασικής εφικτής λύσης µε τη µέθοδο της Βορειο - υτικής γωνίας Μια αρχική βασική εφικτή λύση θα έχει =6 βασικές µεταβλητές (δηλαδή διαφορετικές του µηδέν) και τις υπόλοιπες µεταβλητές µη βασικές (δηλ. ίσες µε µηδέν). Η αρχική βασική εφικτή λύση µε τη µέθοδο της Β- γωνίας θα είναι η εξής: τοποθετούµε στη µεταβλητή της Β γωνίας δηλαδή στη x 11 = min(15,5)=5 µονάδες, οπότε εξαντλείται η προσφορά του 1ου κέντρου διανοµής, δηλαδή διαγράφεται η 1η στήλη. Το υπόλοιπο προσφοράς στη 1η γραµµή είναι 15-5 =10 µονάδες. Οι παραπάνω ενέργειες φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Προσφορά x 11 =5 Εργοστάσια Ζήτηση Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. Το επόµενο κελί Β- γωνίας (µετά τη διαγραφή της 1ης στήλης) είναι το (1,) δηλαδή κελί που αντιστοιχεί στη 1 γραµµή και στη στήλη. Τοποθετούµε x 1 = min(10,15)=10, εξαντλείται η προσφορά της 1ης γραµµής και εποµένως διαγράφεται η 1 γραµµή και αφήνει υπόλοιπο 5 µονάδων στη στήλη. 3 4 Προσφορά x 1 =10 Εργοστάσια Ζήτηση

16 Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. Το επόµενο κελί Β γωνίας είναι το (,). Τοποθετούµε x = min(5,5)=5 διαγράφεται η η στήλη και αφήνει υπόλοιπο 0 µονάδων στη η γραµµή. 3 4 Προσφορά Εργοστάσια x = Ζήτηση Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. x 3 = min(0,15)=15, διαγράφεται η 3η στήλη και υπόλοιπο προσφοράς 5 µονάδων στη η γραµµή. 3 4 Προσφορά Εργοστάσια x 3 = Ζήτηση Η διαδικασία επαναλαµβάνεται x 4 = min(5,10)=5 διαγράφεται η η γραµµή και αφήνει υπόλοιπο ζήτησης της 4ης στήλης 5 µονάδες. 4 Προσφορά Εργοστάσια 0 5 x 4 = Ζήτηση

17 Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. Τοποθετούµε στο κελί (3,4) τη υπόλοιπη ποσότητα x 34 = 5 που διαγράφει τη γραµµή 3 ή τη στήλη 4 4 Προσφορά x 34 = 5 Ζήτηση 5 Εφόσον µια γραµµή ή στήλη δεν διαγράφηκε η διαδικασία σταµατά. Εποµένως η αρχική βασική εφικτή λύση (µε τη µέθοδο της Β- γωνίας) αποτελείται από τις εξής 6 βασικές µεταβλητές x 11 =5, x 1 =10, x =5, x 3 =15, x 4 =5 x 34 = 5 οι οποίες δίνουν συνολικό κόστος 5*10+10*0+5*7+15*9+5*0+5*18=410 χρηµ µονάδες Οι υπόλοιπες µεταβλητές είναι µη βασικές δηλ. ίσες µε µηδέν. Εύρεση αρχικής βασικής εφικτής λύσης µε τη Μέθοδο Vogel του πρδ.. (σελ.14) Στη γραµµή 3 παρουσιάζεται η µεγαλύτερη διαφορά 14. Άρα επιλέγουµε στη 3η γραµµή το κελί µε το ελάχιστο κόστος δηλ. το κελί (3,1) που έχει κόστος 0. Τοποθετώ τη µέγιστη επιτρεπόµενη ποσότητα στη µεταβλητή x 31 = min(αντίστοιχης προσφοράς, αντίστοιχης ζήτησης)= min(5,5) =5. Η γραµµή 3 και η στήλη 1 εξαντλούνται ταυτοχρόνως, έστω ότι επιλέγουµε να διαγράψουµε τη στήλη 1. Στο υπόλοιπο προσφοράς της γραµµής 3 τοποθετούµε µηδέν και δεν χρησιµοποιούµε τη γραµµή 3 για µελλοντικές διαφορές. Οι παραπάνω ενέργειες φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 17

18 1 3 4 Προσ φορά ιαφορές =10 Εργο στάσια 5 9-7= x 31 = =14 Ζήτηση ιαφορές 10-0=10 7-0=7 16-9= =7 Η διαδικασία επαναλαµβάνεται Στον παρακάτω πίνακα υπολογίζουµε πάλι διαφορές. Παρατηρείτε ότι στη τρίτη γραµµή που είχε µηδέν προσφορά δεν υπολογίζουµε διαφορές. Ακόµη παρατηρούµε ότι η γραµµή 1 και η στήλη 3 παρουσιάζουν την ίδια µεγαλύτερη διαφορά. Επιλέγουµε αυθαίρετα τη στήλη 3 και τοποθετούµε στη µεταβλητή x 3 =min(5, 15) =15 που διαγράφει τη στήλη 3 και αφήνει υπόλοιπο προσφοράς στη η γραµµή 10 µονάδες 3 4 Προσφορά ιαφορές =11 Εργοστάσια x 3 = = Ζήτηση ιαφορές 7-0=7 0-9= =9 Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία θα πάρουµε x =10 διαγράφοντας τη η γραµµή 18

19 4 Προσφορά ιαφορές =11 Εργοστάσια 7 0 x = = Ζήτηση ιαφορές 7-0=7 0-11=9 Η γραµµή 3 δεν χρησιµοποιείται για διαφορές,(δηλαδή δεν βρίσκουµε άλλες διαφορές) εποµένως µε τη µέθοδο του ελαχίστου κόστους (βήµα 3β) βρίσκουµε x 1 =5 διαγράφοντας τη η στήλη 4 Προσφορά x 1 = Ζήτηση 5 10 Μετά τοποθετούµε x 14 =10 διαγράφοντας τη 1η γραµµή και θέτοντας µηδέν στη ζήτηση της 4ης στήλης 4 Προσφορά x 14 = Ζήτηση

20 Μόνο η τρίτη γραµµή ή η τέταρτη στήλη µε τοποθετηµένη µηδενική προσφορά και ζήτηση έχουν παραµείνει και θέτουµε x 34 =0 4 Προσφορά Εργοστάσιο x 34 =0 Ζήτηση 0 Ετσι η αρχική βασική εφικτή λύση µε τη µέθοδο Vogel είναι Προσφορά x 1 =5 x 14 =10 Εργοστάσια x =10 x 3 = x 31 =5 x 34 =0 Ζήτηση ηλαδή η αρχική βασική εφικτή λύση είναι x 1 =5, x 14 =10, x =10, x 3 =15, x 31 =5, x 34 =0 Όλες οι άλλες µεταβλητές είναι µη βασικές άρα ίσες µε µηδέν Η λύση αυτή δίνει συνολικό κόστος 5*0 +10*11+ 10*7 + 15*9 + 5 *0 + 0*18 =315 χρηµ µονάδες. Παρατηρείτε ότι η αρχική βασική εφικτή λύση µε τη µέθοδο Vogel είναι καλύτερη δηλαδή δίνει µικρότερο συνολικό κόστος σε σύγκριση µε τη µέθοδο της Β- γωνίας και αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι λαµβάνει υπόψιν της τα µοναδιαία κόστη. 0

21 Εύρεση της άριστης λύσης Μέθοδος MODI Θα χρησιµοποιήσουµε ως αρχική βασική εφικτή λύση αυτή που βρήκαµε µε τη µέθοδο Vogel. Για τις βασικές µεταβλητές της αρχικής λύσης βρίσκω τις τιµές των πολλαπλασιαστών από το σύστηµα c ij = u i + v j δηλαδή Για τη βασική µεταβλητή x 1 θα ισχύει c 1 = u 1 + v ή 0= u 1 + v, οµοίως Για τη µεταβλητή x 14 θα ισχύει c 14 = u 1 + v 4 ή 11= u 1 + v 4 Για τη µεταβλητή x θα ισχύει c = u + v ή 7= u + v Για τη µεταβλητή x 3 θα ισχύει c 3 = u + v 3 ή 9= u + v 3 Για τη µεταβλητή x 31 θα ισχύει c 31 = u 3 + v 1 ή 0= u 3 + v 1 Για τη µεταβλητή x 34 θα ισχύει c 34 = u 3 + v 4 ή 18= u 3 + v 4 Βρίσκουµε τις τιµές των πολλαπλασιαστών. Επειδή οι πολλαπλασιαστές είναι 7 (δηλαδή u i µε i=1,.,3 και v j µε j=1,,3,4) και οι εξισώσεις 6, θέτουµε u 1 =0 Λύνουµε το παραπάνω σύστηµα ως προς u i και v j και βρίσκουµε τους πολλαπλασιαστές u i και v j u =7, u 3 =7, v 1 = -7, v = 0, v 3 =, v 4 =11 Για τις µη βασικές µεταβλητές δηµιουργώ τις διαφορές c ij - u i - v j : Αναλυτικά: Για τη µη βασική µεταβλητή x 11 θα ισχύει c 11 - u 1 - v 1 = (-7)= 17 οµοίως Για τη µεταβλητή x 13 θα ισχύει c 13 - u 1 - v 3 = = 18 Για τη µεταβλητή x 1 θα ισχύει c 1 - u - v 1 = (-7)= 1 Για τη µεταβλητή x 4 θα ισχύει c 4 - u - v 4 = = Για τη µεταβλητή x 3 θα ισχύει c 3 - u 3 - v = =7 Για τη µεταβλητή x 33 θα ισχύει c 33 - u 3 - v 3 = =7 Εφόσον οι ποσότητες c ij - u i - v j για κάθε µη βασική µεταβλητή είναι >=0 η αρχική βασική εφικτή λύση που βρήκαµε µε τη µέθοδο Vogel είναι η άριστη Παρατήρηση Εάν στην εύρεση της αρχικής λύσης µε τη µέθοδο Vogel στο σηµείο που η γραµµή 1 και η στήλη 3 παρουσίαζαν την ίδια µεγαλύτερη διαφορά 11 (ος πίνακας) αντί να επιλέξουµε τη στήλη 3 επιλέγαµε τη γραµµή 1 και συνεχίζαµε τότε η αρχική βασική εφικτή λύση θα ήταν... x 1 =15, x 14 =0, x 3 =15, x 4 =10, x 31 =5, x 34 =0 1

22 Στην περίπτωση αυτή οι πολλαπλασιαστές u i και v j θα ήταν u 1 =0 u =9, u 3 =7, v 1 = -7, v = 0, v 3 = 0, v 4 =11 και για τις µη βασικές µεταβλητές οι ποσότητες c ij - u i - v j θα ήταν : c 11 - u 1 - v 1 =17, c 13 - u 1 - v 3 =0, c 1 - u - v 1 =10, c - u - v = -, c 3 - u 3 - v = 7, c 33 - u 3 - v 3 =9 Επειδή οι ποσότητες c ij - u i - v j δεν είναι >=0 (παρατηρούµε c - u - v = -) η αρχική βασική εφικτή λύση δεν είναι άριστη οπότε πηγαίνουµε στη συνθήκη εφικτότητας δηλαδή: Στον πίνακα κόστους (στον παρακάτω πίνακα) γράφουµε την αρχική βασική εφικτή λύση επιλέγουµε ως εισερχόµενη µεταβλητή τη µη βασική µεταβλητή µε την πιο µικρή αρνητική τιµή c ij - u i - v j δηλαδή την x Προσφορά x 1 =15 Εργοστάσια 3 0 x 31 = x x 14 = x 3 =15 x 4 = x 34 =0 Ζήτηση Επιλέγουµε ως εισερχόµενη µεταβλητή τη x και δηµιουργούµε το βρόχο µε βασικές µεταβλητές τις x 1, x 14, x 4

23 Εάν η x αυξηθεί από το µηδενικό επίπεδο τότε αντίστοιχα οι x 1 =15 και x 4 =10 θα µειωθούν ενώ η x 14 =0 θα αυξηθεί. Αρα εξερχόµενη µεταβλητή θα είναι εκείνη µε τη µικρότερη τιµή από αυτές που µειώνονται δηλαδή η x 4 Εφόσον η x 4 εξέρχεται δηλαδή από βασική (=10) θα γίνει µη βασική (δηλαδή =0) αναπροσαρµόζουµε τις τιµές των βασικών µεταβλητών των άκρων του βρόγχου βάσει της ποσότητας 10 (λύση της εξερχόµενης µεταβλητής x 4 ) δηλαδή Αυξάνεται η x κατά 10 δηλαδή x =10, Μειώνεται η x 1 κατά 10 δηλαδή x 1 =5, Αυξάνεται η x 14 κατά 10 δηλαδή x 14 =10 Αρα η νέα βασική εφικτή λύση θα είναι x 1 =5, x 14 =10, x 3 =15, x =10, x 31 =5, x 34 =0 και επαναλαµβάνουµε το κριτήριο της αριστότητας για να ελέγξουµε εάν είναι άριστη η παραπάνω λύση 3

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) Η διαµόρφωση και το µοντέλο του προβλήµατος ανάθεσης (π.χ. εργασιών σε µηχανές ή δραστηριοτήτων σε άτοµα) περιγράφεται στις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Η αρχική τους εφαρµογή, όπως δηλώνει και η ονοµασία τους, αφορούσε τον καθορισµό του βέλτιστου τρόπου µεταφοράς αγαθών από διαφορετικά σηµεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης (π.χ.,

Διαβάστε περισσότερα

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι Η µέθοδος Vogel Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι η µέθοδος Vogel Η προσεγγιστική µέθοδος Vogelείναι µια πιο πολύπλοκη µέθοδος σε σχέση µε τις προηγούµενες, αλλά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση http://www.di.uoa.gr/ telelis/opt.html Ορέστης Τελέλης telelis@di.uoa.gr Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 4: Το Πρόβλημα Ανάθεσης Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Ι. Προσδιοριστικά Μοντέλα αποθεµάτων

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Ι. Προσδιοριστικά Μοντέλα αποθεµάτων ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Οι αποφάσεις σχετικά µε την διαχείριση ή «πολιτική» των αποθεµάτων που πρέπει να πάρει κάποιος, ασχολείται µε το «πόσο» πρέπει να παραγγείλει (ή να παράγει) και «πότε» να παραγγείλει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI)

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Ηµέθοδος MODIεπιτρέπει τον υπολογισµό των οριακών µεταβολών στο συνολικό κόστος µεταφοράς για κάθε µη επιλεγείσα διαδροµή µε αλγεβρικό τρόπο, χωρίς τη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ Οι ασκήσεις διαλυµάτων που αφορούν τις περιεκτικότητες % w/w, % w/v και % v/v χωρίζονται σε 3 κατηγορίες: α) Ασκήσεις όπου πρέπει να βρούµε ή να µετατρέψουµε διάφορες περιεκτικότητες.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Ο Αλγόριθµος της Simplex

Ο Αλγόριθµος της Simplex Βήµατα Αλγορίθµου Τα ϐήµατα του αλγορίθµου συνοψίζονται σε ϐήµατα. Βήµατα Αλγορίθµου Τα ϐήµατα του αλγορίθµου συνοψίζονται σε ϐήµατα. Αρχικοποίηση : Επέλεξε έναν αντιστρέψιµο πίνακα B (m m) έτσι ώστε x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Κ Α Η Μ Α Ι Κ Ο Ε Τ Ο Σ 2 0 1 1-2 0 1 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT Ο συγκεκριµένος οδηγός για το πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 1 ο : Εντολές κίνησης

Μάθημα 1 ο : Εντολές κίνησης Μάθημα 1 ο : Εντολές κίνησης Στο πρώτο µάθηµα θα εξοικειωθείς µε τις βασικές εντολές του Scratch που βρίσκονται στην παλέτα κίνηση. Θα µάθεις να µετακινείς ένα αντικείµενο, να το περιστρέφεις και να το

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η Ανάλυση Ευαισθησίας αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η μεταβολή των αντικειμενικών συντελεστών c μεταβολή των όρων b i στο δεξιό μέλος του συστήματ των περιορισμ μεταβολή των συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για την κατασκευή του αρχείου «Ταυτότητα (α+β) 2» 1. Αποκρύπτουµε τους άξονες και το παράθυρο άλγεβρας: Παράθυρο προβολή

Οδηγίες για την κατασκευή του αρχείου «Ταυτότητα (α+β) 2» 1. Αποκρύπτουµε τους άξονες και το παράθυρο άλγεβρας: Παράθυρο προβολή Οδηγίες για την κατασκευή του αρχείου «Ταυτότητα (α+β) 2» 1. Αποκρύπτουµε τους άξονες και το παράθυρο άλγεβρας: Παράθυρο προβολή απο-επιλέγουµε άξονες και άλγεβρα 2. Από το εργαλείο κατασκευής πολυγώνων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. ίνεται το γνωστό πρόβληµα των δύο δοχείων: «Υπάρχουν δύο δοχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕπίλυσηΠροβληµάτων Αναθέσεων: Η "Ουγγρική Μέθοδος"

ΕπίλυσηΠροβληµάτων Αναθέσεων: Η Ουγγρική Μέθοδος ΕπίλυσηΠροβληµάτων Αναθέσεων: Η "Ουγγρική Μέθοδος" Τοπλήθος των εφικτών λύσεων σε ένα πρόβληµα ανάθεσης µε m δραστηριότητες και mπόρους είναι ίσο µε m! 6 Αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµός των εφικτών λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ SOLVER

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ SOLVER ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ SOLVER 4.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Με την "Επίλυση", µπορείτε να βρείτε τη βέλτιστη τιµή για τον τύπο ενός κελιού το οποίο ονοµάζεται κελί προορισµού σε ένα φύλλο εργασίας. Η "Επίλυση" λειτουργεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ (Β ΕΞΑΜΗΝΟ) ιδάσκων: Επ. Καθηγητής Γρηγόρης Χονδροκούκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Η ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Excel (dashboards, συγκεντρωτικοί πίνακες)

Excel (dashboards, συγκεντρωτικοί πίνακες) : Excel (dashboards, συγκεντρωτικοί πίνακες) Ευθύµιος Ταµπούρης Μαρία Ζώτου tambouris@uom.gr mzotou@uom.gr Ορισµός εύρων Όταν θέλουµε να χρησιµοποιήσουµε εύρη τιµών για υπολογισµούς πολλαπλές φορές, ορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΣΤΟΝ ΑΕΡΑ ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΛΕΙΣΙΜΟ ΧΡΗΣΗΣ ΣΤΟ DYNAMICS NAV INNOVERA ERP

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΛΕΙΣΙΜΟ ΧΡΗΣΗΣ ΣΤΟ DYNAMICS NAV INNOVERA ERP Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΛΕΙΣΙΜΟ ΧΡΗΣΗΣ ΣΤΟ DYNAMICS NAV INNOVERA ERP Για να κλείσουµε µία χρήση στο InnovEra ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα: Από το κεντρικό µενού επιλέγουµε διαδοχικά «Οικονοµική ιαχείριση», «Γενική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Το Ηλεκτρονικό Ταχυδροµείο (e-mail) είναι ένα σύστηµα που δίνει την δυνατότητα στον χρήστη να ανταλλάξει µηνύµατα αλλά και αρχεία µε κάποιον άλλο

Το Ηλεκτρονικό Ταχυδροµείο (e-mail) είναι ένα σύστηµα που δίνει την δυνατότητα στον χρήστη να ανταλλάξει µηνύµατα αλλά και αρχεία µε κάποιον άλλο Το Ηλεκτρονικό Ταχυδροµείο (e-mail) είναι ένα σύστηµα που δίνει την δυνατότητα στον χρήστη να ανταλλάξει µηνύµατα αλλά και αρχεία µε κάποιον άλλο χρήστη µέσω υπολογιστή άνετα γρήγορα και φτηνά. Για να

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

Μετά τη λύση του παραδείγµατος 1 του σχολικού βιβλίου να διαβάσετε τα παραδείγµατα 1, 2, 3 και 4 που ακολουθούν. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2 ο

Μετά τη λύση του παραδείγµατος 1 του σχολικού βιβλίου να διαβάσετε τα παραδείγµατα 1, 2, 3 και 4 που ακολουθούν. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2 ο ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ Οι ασκήσεις που αναφέρονται στο νόµο του Τζάουλ είναι απλή εφαρµογή στον τύπο. Για τη λύση των ασκήσεων θα ακολουθούµε τα εξής βήµατα: i) ιαβάζουµε προσεκτικά την εκφώνηση της άσκησης,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 7 Ιανουαρίου 2005 ιάρκεια εξέτασης: 5:00-8:00 Έστω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Α1. α. Λάθος β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό Α2. δ Α3. β Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex )  1 Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Λύσεις µε κατάλληλο σχολιασµό και παρατηρήσεις σε θέµατα από παλαιότερες πανελλαδικές εξετάσεις. Γενικές οδηγίες και παρατηρήσεις κατά την αντιµετώπιση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Πληροφορικής Γ Γυµνασίου Γιώργος Λιακέας Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής Ερωτήσεις

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Πληροφορικής Γ Γυµνασίου Γιώργος Λιακέας Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής Ερωτήσεις Επαναληπτικό ιαγώνισµα Πληροφορικής Γ Γυµνασίου (νέο βιβλίο Πληροφορικής Γυµνασίου Αράπογλου, Μαβόγλου, Οικονοµάκου, Φύτρου) Γιώργος Λιακέας Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής Ερωτήσεις 1. Τι είναι ο Αλγόριθµος;

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα