Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα"

Transcript

1 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

2 To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης Ειδικές Περιπτώσεις Επίλυση με χρήση Solver 2

3 Το Πρόβλημα Μεταφοράς (Transportation Problem) Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού με ειδική δομή. Για την επίλυσή του έχουν αναπτυχθεί αποτελεσματικές τεχνικές (παραλλαγές της μεθόδου Simplex). Το πρόβλημα ήταν γνωστό από το 1941 (Hitchcock, 1941) και ως π.γ.π. θεμελιώθηκε και λύθηκε από τον Dantzig το Ανήκει στην κατηγορία των προβλημάτων δικτυωτής ανάλυσης. 3

4 Σκοπός του Προβλήματος Μεταφοράς Ο καθορισμός των ποσοτήτων που θα μεταφερθούν από τα σημεία παραγωγής ή αποθήκευσης προς τους προορισμούς έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος μεταφοράς. Δεδομένα του προβλήματος είναι: a. Το κόστος μεταφοράς από κάθε σημείο παραγωγής ή αποθήκευσης προς κάθε σημείο προορισμού b. Οι διαθέσιμες ποσότητες σε κάθε σημείο παραγωγής ή αποθήκευσης c. Η ζήτηση σε κάθε σημείο προορισμού 4

5 Η αναπαράσταση δικτύου για ένα πρόβλημα μεταφοράς με 2 πηγές και 3 προορισμούς 1 d 1 s 1 1 c 11 c 12 c 13 2 d 2 c 21 c 22 s 2 2 c 23 3 d 3 ΠΗΓΕΣ ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΙ

6 Διατύπωση Προβλημάτων Μεταφοράς- Παράδειγμα ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ Η επιχείρηση παραγωγής πλακιδίων μπάνιου ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ παράγει τα προϊόντα της σε 3 εργοστάσια που βρίσκονται στις πόλεις:, Βόλο και Θεσσαλονίκη Η διανομή των προϊόντων της στην υπόλοιπη χώρα γίνεται μέσω 4 κεντρικών αποθηκών που βρίσκονται στην Αθήνα, Ηράκλειο, Λάρισα και Ιωάννινα Τα εργοστάσια παράγουν μηνιαίως, 300 και 450 χιλ. πλακιδίων αντίστοιχα και η μηνιαία ζήτηση στις 4 πόλεις εκτιμάται σε 200, 300, 400 και 200 χιλ. Το μοναδιαίο κόστος μεταφοράς (σε ) από κάθε εργοστάσιο δίνεται στον πίνακα της επόμενης διαφάνειας Ζητείται να καθοριστεί το μηνιαίο πρόγραμμα μεταφοράς έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος 6

7 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Πίνακας Προβλήματος Μεταφοράς Κελί που αντιστοιχεί στη διαδρομή - Λάρισα Θεσ/νίκη ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ X 11 X 12 X 13 X 14 X 21 X 22 X 23 X 24 X 31 X 32 X 33 X Διαθέσιμη Ποσότητα στο εργοστάσιο του Βόλου Ζήτηση Κόστος της διαδρομής Θεσ/νίκη-Ιωάννινα Ζήτηση της αποθήκης στην Αθήνα

8 Μαθηματική Διατύπωση-Πρόβλημα ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ Min Z = 5 X X X X X X X Χ X X X 33 + X 34 S.t. X 11 +X 12 +X 13 +X 14 = X 21 +X 22 +X 23 +X 24 =300 X 31 +X 32 +X 33 +X 34 =450 X 11 + X 21 + X 31 + =200 X 12 + X 22 + X 32 + =300 X 13 + X 23 + X 33 + =400 X 14 + X 24 + X 34 + =200 X 11, X 12, X 13, X 14, X 21, X 22,X 23, Χ 24, X 31, X 32, X 33, X

9 Ανάπτυξη του συστήματος των περιορισμών X 11 X 12,,, X 1n X 21 X 22. X 2n.. X m1 X m2. X mn

10 Όλοι οι συντελεστές των μεταβλητών Χ ij στους περιορισμούς είναι 0 ή 1, ενώ κάθε μία από αυτές εμφανίζεται με συντελεστή 1 σε δύο ακριβώς από τους περιορισμούς, σ αυτόν που αντιστοιχεί στον σταθμό παραγωγής Α i και σ εκείνον που αντιστοιχεί στον σταθμό προορισμού Β j. Κάθε π.γ.π. που προσαρμόζεται σ αυτή την ειδική διαμόρφωση είναι πρόβλημα μεταφοράς, άσχετα από το φυσικό του πλαίσιο. 10

11 Γενική Μαθηματική Διατύπωση i=1,2..,m : σημεία παραγωγής j=1,2, n: σημεία προορισμού Α i : Οι διαθέσιμες ποσότητες στα σημεία παραγωγής Β j : Η ζήτηση στα σημεία προορισμού C ij : το κόστος μεταφοράς μιας μονάδας προϊόντος ή αγαθού από το σημείο παραγωγής i στο σημείο προορισμού Χ ij : Οι άγνωστες ποσότητες που θα μεταφερθούν από την πηγή i στον προορισμό j. m n Ai B j, i 1,2,..., m, j 1,2,..., n i 1 j 1 Ελαχιστοποίηση Κόστους Μεταφοράς n j 1 m i 1 X A, i 1,2,..., m ( ά ) ij i X B, j 1,2,..., n ( ή ) ij j X 0, i, j ( ό ) ij min Περιορισμοί: m n C ij X i 1 j 1 ij 11

12 Δύο Τύποι Προβλημάτων Μεταφοράς Ισορροπημένο Πρόβλημα Μεταφοράς Συνολική Ζήτηση= Συνολική Διαθέσιμη Ποσότητα m n A B, i 1,2,..., m, j 1,2,..., n i i 1 j 1 j Αναγκαία Συνθήκη για την ύπαρξη λύσης Μη-ισορροπημένο Πρόβλημα Μεταφοράς Συνολική Ζήτηση Συνολική Διαθέσιμη Ποσότητα 12

13 Ο αριθμός των περιορισμός του προβλήματος Οι m+n περιορισμοί δεν είναι όλοι ανεξάρτητοι μεταξύ τους Υπόθεση ισορροπημένου προβλήματος: m n A B, i 1,2,..., m, j 1,2,..., n i i 1 j 1 j Επομένως, το πλήθος των ανεξάρτητων περιορισμών είναι m n 1 13

14 Ο αριθμός των διαδρομών που χρησιμοποιούνται στη βέλτιστη λύση Στη μέθοδο Simplex: Αριθμός Βασικών Μεταβλητών = Αριθμός Περιορισμών Επομένως, το πλήθος των βασικών μεταβλητών δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από m n 1 14

15 Επίλυση Προβλήματος Μεταφορών Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο SIMPLEX Υπάρχουν διαθέσιμες μέθοδοι απλούστερες και ταχύτερες για την επίλυση του Προβλήματος Μεταφοράς Η διαφορά με την κλασική εφαρμογή της μεθόδου Simplex, είναι ότι στα προβλήματα μεταφοράς είναι αναγκαίο να προσδιοριστεί μια αρχική βασική λύση 15

16 Επίλυση Προβλήματος Μεταφορών (συνέχεια) Έλεγχος ισχύος της βασικής γενικής προϋπόθεσης του ΠΜ: Σε κάθε ΠΜ θα πρέπει να ισχύει η βασική γενική προϋπόθεση του ΠΜ, δηλαδή m n Ai B j, i 1,2,..., m, j 1,2,..., n i 1 j 1 Για το παράδειγμα της ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ, 3 i 1 4 j 1 A B i j Άρα ισχύει 16

17 Φάσεις Επίλυσης Προβλήματος Μεταφορών Φάση Ι: Εύρεση μιας Αρχικής Βασικής Λύσης Μέθοδος Βορειοδυτικής Γωνίας Μέθοδος Ελαχίστου Κόστους Μέθοδος Vogel (VAM) Φάση ΙΙ: Εύρεση της Βέλτιστης Βασικής Λύσης Μέθοδος Αναθεωρημένης Εκχώρησης (Modified Distribution-MODI) Μέθοδος Stepping Stone 17

18 Φάση Ι: Εύρεση μιας Αρχικής Βασικής Λύσης Η μέθοδος της Βορειοδυτικής Γωνίας (Northwest-Corner method) Ξεκινούμε επιλέγοντας το κελί (διαδρομή) που βρίσκεται στην πάνω αριστερή γωνία του πίνακα ακολουθώντας τους εξής απλούς κανόνες: 1. Σε κάθε κελί (διαδρομή) εκχωρούμε τη μέγιστη δυνατή ποσότητα, έτσι ώστε να μηδενιστεί η διαθέσιμη ποσότητα της αντίστοιχης γραμμής ή η ζητούμενη ποσότητα της αντίστοιχης στήλης 2. Συνεχίζουμε με το επόμενο κελί της ίδιας γραμμής έως ότου εξαντληθεί ολόκληρη η ποσότητα της γραμμής ("πηγής") 3. Όταν εξαντληθεί η διαθέσιμη ποσότητα μίας γραμμής συνεχίζουμε με το κελί της ίδιας στήλης στην επόμενη γραμμή του πίνακα Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας 18

19 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Δεδομένα Προβλήματος ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 300 Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας

20 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 200 μονάδων στο πλέον βορειοδυτικό κελί <-Ιωάννινα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας

21 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση των Ιωαννίνων ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας

22 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 150 μονάδων στο πλέον βορειοδυτικό κελί <-Λάρισα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας

23 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εξαντλήθηκε η προσφορά της ς ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας

24 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 150 μονάδων στο πλέον βορειοδυτικό κελί <-Λάρισα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας

25 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση της Λάρισας ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας

26 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 150 μονάδων στο πλέον βορειοδυτικό κελί <- Αθήνα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας

27 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εξαντλήθηκε η προσφορά του Βόλου ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας

28 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 250 μονάδων στο πλέον βορειοδυτικό κελί <Θεσσαλονίκη-Αθήνα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας

29 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση της Αθήνας ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας

30 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 200 μονάδων στο πλέον βορειοδυτικό κελί <Θεσσαλονίκη- Ηράκλειο> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας

31 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση του Ηρακλείου Εξαντλήθηκε η προσφορά της Θεσ/νίκης ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας

32 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Αρχική λύση για το πρόβλημα μεταφοράς- Μέθοδος ΒΔ γωνίας ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας

33 Αρχική λύση για το πρόβλημα μεταφοράς- Μέθοδος ΒΔ γωνίας Χ 11 =200, Χ 12 =150, Χ 22 =150, Χ 23 =150, Χ 33 =250, Χ 34 =200 Ελάχιστο κόστος Z=5*200+5*150+3*150+4*150+6*250+8*200=5.900 H αναμενόμενη ποιότητα των λύσεων που προκύπτουν (σε σχέση πάντα με το πόσο προσεγγίζουν το βέλτιστο κόστος μεταφοράς) δεν είναι γενικώς καλή Παρατηρούμε ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα με 3 πηγές προέλευσης και 4 προορισμούς έχουν επιλεγεί 6 (4+3-1) διαδρομές όπως εξηγήθηκε προηγουμένως των προορισμών

34 Φάση Ι: Εύρεση μιας Αρχικής Βασικής Λύσης Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους» 1. Ξεκινούμε από τη διαδρομή με το μικρότερο συντελεστή κόστους (σε περίπτωση δύο ή περισσότερων διαδρομών με το ίδιο ελάχιστο κόστος επιλέγουμε μία από αυτές τυχαία). Στη διαδρομή αυτή εκχωρούμε το μέγιστο δυνατό φορτίο, έτσι ώστε είτε να εξαντληθεί η ποσότητα της ''πηγής προέλευσης" είτε να ικανοποιηθεί η ζήτηση στο συγκεκριμένο "προορισμό 2. Διαγράφουμε την πηγή προέλευσης (αν έχει εξαντληθεί η ποσότητα της πηγής) ή τον προορισμό (αν έχει ικανοποιηθεί η ζήτηση) από τα περαιτέρω βήματα 3. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 και 2, επιλέγοντας την επόμενη διαδρομή, με βάση το μικρότερο κόστος από τις απομένουσες διαδρομές, έως ότου εξαντληθούν τις οι ποσότητες της πηγές προέλευσης και η ζήτηση 34

35 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Δεδομένα Προβλήματος ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 300 Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»

36 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση μονάδων στο κελί με το μικρότερο κόστος μεταφοράς <- Αθήνα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»

37 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εξαντλήθηκε η προσφορά της ς ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»

38 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 300 μονάδων στο κελί με το μικρότερο κόστος μεταφοράς <- Λάρισα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»

39 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση στη Λάρισα Εξαντλήθηκε η προσφορά του Βόλου ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»

40 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 200 μονάδων στο κελί με το μικρότερο κόστος μεταφοράς <Θεσ/νίκη-Ιωάννινα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»

41 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση στα Ιωάννινα ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»

42 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 50 μονάδων στο κελί με το μικρότερο κόστος μεταφοράς <Θεσ/νίκη- Αθήνα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»

43 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση της Αθήνας ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»

44 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 200 μονάδων στο κελί με το μικρότερο κόστος μεταφοράς <Θεσ/νίκη- Ηράκλειο> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»

45 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση του Ηρακλείου Εξαντλήθηκε η προσφορά της Θεσ/νίκης ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»

46 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Αρχική Λύση- Μέθοδος «ελάχιστου κόστους» ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»

47 Αρχική λύση για το πρόβλημα μεταφοράς- Μέθοδος «ελάχιστου κόστους» Χ 13 =, Χ 22 =300, Χ 31 =200, Χ 33 =50, Χ 34 =200 Ελάχιστο κόστος: Z=3*+3*300+5*200+6*50+8*200=4.850 το κόστος που υπολογίζει η μέθοδος είναι μικρότερο σχετικά με την μέθοδο ΒΔ γωνίας εξαιτίας του γεγονότος πως η επιλογή έγινε με βάση το κόστος μεταφοράς. η μέθοδος δεν εγγυάται την βέλτιστη λύση. Υπάρχει περίπτωση να προκύψει λύση με λιγότερες από m+n-1 διαδρομές (εκφυλισμένη λύση) όταν σε κάποια εκχώρηση εξαντλείται η προσφορά και ικανοποιείται η ζήτηση ταυτόχρονα (όπως στην περίπτωση του παραδείγματος). μειονέκτημα της μεθόδου είναι η μυωπική επιλογή των διαδρομών καθώς δεν εξετάζει το κόστος ευκαιρίας από την επόμενη επιλογή, δηλαδή αγνοεί το τι θα συμβεί μετά από μια κίνηση.

48 Φάση Ι: Εύρεση μιας Αρχικής Βασικής Λύσης- Η μέθοδος «Vogel» Είναι μια άλλη μέθοδος προσδιορισμού μιας αρχικής λύσης σε προβλήματα μεταφοράς Είναι μια πιο πολύπλοκη μέθοδος σε σχέση με τις προηγούμενες, αλλά δίνει κατά κανόνα πολύ καλύτερες λύσεις που είναι πλησιέστερες στη βέλτιστη λύση, ή σε αρκετές περιπτώσεις και αυτή ακόμη τη βέλτιστη λύση Λαμβάνει υπ' όψη το κόστος των διαδρομών, αλλά όχι το απόλυτο κόστος κάθε διαδρομής, όπως στη μέθοδο του Ελάχιστου Κόστους Αντίθετα, η μέθοδος Vogel λαμβάνει υπ' όψη για κάθε πηγή και κάθε προορισμό την αύξηση κόστους που θα προέκυπτε αν αντί της πιο οικονομικής διαδρομής, επιλέγαμε τη δεύτερη πιο οικονομική 48

49 Βήματα μεθόδου «Vogel» 1. Για κάθε «πηγή προέλευσης» όπως και για κάθε «προορισμό» υπολογίζουμε τη διαφορά μεταξύ του μικρότερου και του αμέσως μικρότερου κόστους των διαδρομών κάθε γραμμής και κάθε στήλης («δείκτη ποινής» ) 2. Επιλέγουμε πηγή ή προορισμό με τη μεγαλύτερη διαφορά και εκχωρούμε τη μεγαλύτερη δυνατή ποσότητα στη διαδρομή με το μικρότερο κόστος. Αφαιρούμε από τις αντίστοιχες ποσότητες (διαθέσιμες και ζήτησης) αντίστοιχα. 3. Διαγράφουμε γραμμή ή στήλη που έχει εξαντληθεί ή καλυφθεί η ποσότητα 4. Υπολογίζουμε ξανά δείκτες ποινής και επαναλαμβάνουμε μέχρι την πλήρη εκχώρηση. Η μέθοδος «Vogel» 49

50 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Δεδομένα Προβλήματος ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 300 Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση Η μέθοδος «Vogel»

51 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Υπολογίζουμε για κάθε γραμμή και κάθε στήλη τη διαφορά ανάμεσα στα δύο μικρότερα κόστη μεταφοράς ανά μονάδα προϊόντος και διαλέγουμε την μεγαλύτερη ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών Θεσ/νίκη Ζήτηση Ποινές Στηλών Η μέθοδος «Vogel»

52 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση μονάδων στο κελί με το μικρότερο κόστος μεταφοράς στην επιλεγμένη γραμμή <-Αθήνα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών Θεσ/νίκη Ζήτηση Ποινές Στηλών Η μέθοδος «Vogel»

53 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εξαντλήθηκε η προσφορά της ς ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών Θεσ/νίκη Ζήτηση Ποινές Στηλών Η μέθοδος «Vogel»

54 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Υπολογίζουμε για κάθε γραμμή και κάθε στήλη τους δείκτες ποινής και επιλέγουμε τη μεγαλύτερη ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών Θεσ/νίκη Ζήτηση Ποινές Στηλών Η μέθοδος «Vogel»

55 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 50 μονάδων στο κελί με το μικρότερο κόστος μεταφοράς στην επιλεγμένη γραμμή <-Αθήνα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών Θεσ/νίκη Ζήτηση Ποινές Στηλών Η μέθοδος «Vogel»

56 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση της Αθήνας ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών Θεσ/νίκη Ζήτηση Ποινές Στηλών Η μέθοδος «Vogel»

57 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Υπολογίζουμε για κάθε γραμμή και κάθε στήλη τις ποινές και επιλέγουμε τη μεγαλύτερη ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών Θεσ/νίκη Ζήτηση Ποινές Στηλών Η μέθοδος «Vogel»

58 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχωρούμε 250 μονάδες στη διαδρομή «- Λάρισα» ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών Θεσ/νίκη Ζήτηση Ποινές Στηλών Η μέθοδος «Vogel»

59 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εξαντλήθηκε η προσφορά του Βόλου ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών Θεσ/νίκη Ζήτηση Ποινές Στηλών Η μέθοδος «Vogel»

60 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Η απομένουσα ζήτηση θα ικανοποιηθεί από τη Θεσσαλονίκη: Κατανέμουμε την ποσότητα της τελευταίας γραμμής στις στήλες ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος «Vogel»

61 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Αρχική Βασική Λύση- Μέθοδος «Vogel» ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση Η μέθοδος «Vogel»

62 Αρχική λύση για το πρόβλημα μεταφοράς- Μέθοδος «Vogel» Χ 13 =, Χ 22 =250, Χ 23 =50, Χ 31 =200, Χ 32 =50, Χ 34 =200 Ελάχιστο κόστος: Z=3*+3*250+4*50+5* *50 +8*200=4.800 Η Μέθοδος «Vogel» παράγει γενικώς καλύτερες λύσεις Η μέθοδος «Vogel»

63 Φάση ΙΙ: Εύρεση της Βέλτιστης Βασικής Λύσης Μέθοδος αναθεωρημένης εκχώρησης (Modified Distribution-MODI) H μέθοδος MODI είναι μία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισμό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβλημα μεταφοράς. Τα βήματα της επαναληπτικής μεθόδου MODI είναι αντίστοιχα με τα βήματα της μεθόδου Simplex Σε κάθε βήμα της μεθόδου MODI, εξετάζεται η δυνατότητα εύρεσης μιας καλύτερης λύσης με αλλαγή μίας εκ των διαδρομών που χρησιμοποιούνται (βασική μεταβλητή) με μία από αυτές που δεν χρησιμοποιούνται (μη-βασική μεταβλητή) Οι υπολογισμοί στη μέθοδο MODI είναι πιο απλοί, λόγω του ότι οι συντελεστές των μεταβλητών στους περιορισμούς (τεχνολογικοί συντελεστές) είναι όλοι είτε μοναδιαίοι είτε μηδενικοί 63

64 Φάση ΙΙ: Εύρεση της Βέλτιστης Βασικής Λύσης Μέθοδος αναθεωρημένης εκχώρησης (Modified Distribution-MODI) Βήμα 1. Έλεγχος κριτηρίου βελτιστοποίησης Βήμα 2. Επιλογή από τις μη βασικές μεταβλητές της μεταβλητής που θα γίνει βασική (εισερχόμενη μεταβλητή) Βήμα 3. Επιλογή της βασικής μεταβλητής που θα αντικατασταθεί (εξερχόμενη μεταβλητή) Βήμα 4. Υπολογισμός νέας βελτιωμένης λύσης και επιστροφή στο βήμα 1 64

65 Μέθοδος Αναθεωρημένης Εκχώρησης (MODI) Βήμα 1. Έλεγχος κριτηρίου βελτιστοποίησης 1. Ορίζουμε τις μεταβλητές: u i = η δυϊκή μεταβλητή που αντιστοιχεί στη γραμμή i v j = η δυϊκή μεταβλητή που αντιστοιχεί στη στήλη j c ij = το κόστος της αντίστοιχης διαδρομή 2. Υπολογίζουμε τα στοιχεία u i και v j : Από το σύστημα των εξισώσεων c ij = u i + v j για κάθε βασικό δρομολόγιο (i,j) Σύστημα m+n-1 εξισώσεων με m+n αγνώστους. Επιλύεται θέτοντας u 1 =0. 3. Υπολογίζουμε για κάθε κενό κελί (μη βασική μεταβλητή) το αντίστοιχο κόστος ευκαιρίας i, i=1,,m από τη σχέση e ij =c ij u i v j. Αν όλα τα e ij είναι μη-αρνητικά, έχουμε βέλτιστη λύση (κριτήριο τερματισμού). 65

66 Μέθοδος Αναθεωρημένης Εκχώρησης (MODI) Βήμα 2. Επιλογή εισερχόμενης μεταβλητής Προσδιορίζουμε την εισερχόμενη μεταβλητή ως εξής: Επιλέγουμε το μικρότερο αρνητικό e ij κατά απόλυτη τιμή. Το κελί στο οποίο βρίσκεται, αντιστοιχεί στην εισερχόμενη μεταβλητή. Σε περίπτωση που υπάρχουν ισοδύναμες επιλογές, τότε η επιλογή είναι αυθαίρετη 66

67 Μεθόδος Αναθεωρημένης Εκχώρησης (MODI) Βήμα 3. Επιλογή εξερχόμενης μεταβλητής Προσδιορίζουμε την εξερχόμενη μεταβλητή ως εξής: Ξεκινάμε από το κελί που έχει επιλεγεί να εισέλθει στη λύση. Κατασκευάζουμε ένα κλειστό μονοπάτι που ξεκινά από το εισερχόμενο και καταλήγει πίσω σ αυτό πραγματοποιώντας άλματα μόνο πάνω σε κατειλημμένα κελιά, κάνοντας μία μόνο στάση σε κάθε γραμμή ή στήλη που επιλέγουμε. Δίνουμε διαδοχικά θετικά και αρνητικά πρόσημα στα διάφορα κελιά του μονοπατιού ξεκινώντας με + για το εισερχόμενο Επιλέγουμε ως εξερχόμενο το κελί με τη μικρότερη τρέχουσα εκχώρηση μεταξύ των κελιών που έχουν -. Το κελί αυτό θα δώσει όλη την ποσότητά του στο εισερχόμενο. Σε ισοδύναμες επιλογές, η επιλογή είναι αυθαίρετη. Βήμα 4. Υπολογισμός νέας βελτιωμένης λύσης Στα κελιά του μονοπατιού με θετικό πρόσημο προσθέτουμε την ποσότητα του εξερχόμενου κελιού και αντίστοιχα την αφαιρούμε από τα κελιά με αρνητικό πρόσημο. Η λύση που προκύπτει είναι η νέα τρέχουσα. Επιστροφή στο βήμα 1. 67

68 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI Θα επιλύσουμε το Παράδειγμα της ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ χρησιμοποιώντας την Αρχική Βασική Λύση που υπολογίσαμε με τη μέθοδος ΒΔ γωνίας. Υπενθυμίζεται ο Πίνακας της Α.Β.Λ. Θεσ/νίκη ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ζήτηση Κόστος: Ζ=5900

69 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI Ο τροποποιημένος (επαυξημένος) Πίνακας με βάση τη μέθοδο MODI είναι ο ακόλουθος: u 1 u 2 u 3 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: Θεσ/νίκη Ζήτηση

70 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI Εφαρμόζοντας την c ij = u i + v j για κάθε μη κενό κελί, προκύπτουν οι ακόλουθες εξισώσεις : u1+v1=5 u1+v2=5 u2+v2=3 u2+v3=4 u3+v3=6 u3+v4=8 Έχουμε 6 εξισώσεις με 7 αγνώστους. Θέτοντας u1 = 0, επιλύουμε το σύστημα και βρίσκουμε v1=5 v2=5 u2=2 v3=2 u3=4 v4=4 Συμπληρώνουμε τον επαυξημένο Πίνακα με τις τιμές των ui και vj

71 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 1 η επανάληψη Επαυξημένος Πίνακας με υπολογισμένες τις τιμές u i και v j u 1 =0 u 2 =-2 v 1 =5 v 2 =5 v 3 =6 v 4 =8 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 =0 Θεσ/νίκη Ζήτηση

72 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 1 η επανάληψη Υπολογίζουμε για κάθε κενό κελί (μη βασική μεταβλητή) το αντίστοιχο κόστος ευκαιρίας e ij, i=1,,m από τη σχέση e ij =c ij u i v j. Βλέπουμε πως η x 13 επιφέρει τη μεγαλύτερη μείωση στην αντικειμενική συνάρτηση αν εισέλθει στη βάση u 1 =0 u 2 =-2 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: v 1 =5 v 2 =5 v 3 =6 v 4 = u 3 =0 Θεσ/νίκη Ζήτηση

73 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 1 η επανάληψη Μονοπάτι διαδρομής - Αθήνα (κελί (1,3)) v 1 =5 v 2 =5 v 3 =6 v 4 =8 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 =0 Θεσ/νίκη u 1 =0 u 2 =-2 Ζήτηση Φορτίο που θα εκχωρηθεί στη νέα διαδρομή: min(150,150)=150

74 Ποιο είναι το νόημα του κλειστού μονοπατιού και της τοποθέτησης των σημείων + και - Καταρχήν πρέπει να θυμηθούμε ότι θέλουμε να ελέγξουμε τη μεταβολή που θα προκύψει στο κόστος μεταφοράς αν χρησιμοποιηθεί η διαδρομή -Αθήνα αντί μιας άλλης από αυτές που έχουν ήδη επιλεγεί. Επομένως, αν εκχωρήσουμε φορτίο 1 μονάδος στη διαδρομή -Αθήνα, θα πρέπει αυτό να αφαιρεθεί από κάποια άλλη διαδρομή που έχει σαν προορισμό την Αθήνα έτσι ώστε το συνολικό φορτίο που θα μεταφερθεί στην Αθήνα να παραμείνει στα 400 τεμάχια, όσο η συνολική ζήτηση Οι δύο άλλες διαδρομές με προορισμό την Αθήνα είναι οι -Αθήνα και Θεσσαλονίκη-Αθήνα Επιλέγουμε τη διαδρομή -Αθήνα και τοποθετούμε το σημείο - σε αυτή τη διαδρομή (εάν επιλέξουμε τη διαδρομή Θεσσαλονίκη-Αθήνα θα φθάναμε σε αδιέξοδο) Εφόσον όμως θα μειώσουμε το φορτίο στη διαδρομή -Αθήνα, θα πρέπει να αυξήσουμε αντίστοιχα το φορτίο στη διαδρομή -Λάρισα, έτσι ώστε να μην μεταβληθεί η μεταφερόμενη από το Βόλο ποσότητα. Τοποθετούμε το σημείο + στη διαδρομή -Λάρισα Αντίστοιχα, θα πρέπει να μειωθεί το αρχικά εκχωρηθέν φορτίο στη διαδρομή - Λάρισα, ώστε το συνολικό φορτίο με προορισμό τη Λάρισα να παραμείνει το ίδιο Με αυτό τον τρόπο κλείνει το μονοπάτι και υπάρχει ισορροπία των + και - σε κάθε σειρά και σε κάθε στήλη του πίνακα 74

75 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 1 η επανάληψη Εκχώρηση φορτίου u 1 = u 2 = ΑΠΟ: v 1 = v 2 = V 3 = v 4 = ΠΡΟΣ: = = =0 u 3 = Θεσ/νίκη Ζήτηση

76 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 1 η επανάληψη Νέα Βελτιωμένη Λύση v 1 = v 2 = V 3 = v 4 = ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 1 = u 2 = u 3 = Θεσ/νίκη Ζήτηση Κόστος: Z=5*200+3*150+3*300+6*250+8*200= 5450

77 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI: 2 η Επανάληψη Η πρώτη επανάληψη της μεθόδου MODI έδωσε τη λύση της προηγούμενης διαφάνειας Στη λύση αυτή χρησιμοποιούνται μόνο 5 διαδρομές, ενώ 7 διαδρομές δεν χρησιμοποιούνται Η περίπτωση που χρησιμοποιούνται λιγότερες από m+n-1 διαδρομές Στην περίπτωση που οι διαδρομές στη λύση είναι λιγότερες από m+n-1 (δηλαδή 6 στη συγκεκριμένη περίπτωση), μία από τις διαδρομές με μηδενικό φορτίο, από αυτές που μηδενίστηκαν ταυτόχρονα σε κάποια συγκεκριμένη εκχώρηση, θεωρείται για την δημιουργία των κλειστών μονοπατιών ως διαδρομή που έχει επιλεγεί με φορτίο 0. Στην περίπτωση του παραδείγματος μπορούμε να θεωρήσουμε τη διαδρομή - Αθήνα ως επιλεγείσα. 77

78 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 2 η επανάληψη Υπολογίζουμε εκ νέου τα u i και v j από τη σχέση c ij = u i + v j για κάθε μη κενό κελί v 1 =5 v 2 =2 V 3 =3 v 4 =5 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 1 = u 2 = u 3 =3 Θεσ/νίκη Ζήτηση

79 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 2 η επανάληψη Υπολογίζουμε για κάθε κενό κελί (μη βασική μεταβλητή) το αντίστοιχο κόστος ευκαιρίας e ij, i=1,,m από τη σχέση e ij =c ij u i v j. Βλέπουμε πως η x 31 επιφέρει μείωση στην αντικειμενική συνάρτηση αν εισέλθει στη βάση u 1 =0 u 2 =1 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: v 1 =5 v 2 =2 V 3 =3 v 4 = u 3 =3 Θεσ/νίκη Ζήτηση

80 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 2 η επανάληψη Μονοπάτι διαδρομής Θεσ/νίκη- Ιωάννινα (κελί (3,1)) Φορτίο εκχώρησης min (250,200)=200 v 1 =5 v 2 =2 V 3 =3 v 4 =5 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 1 = u 2 = u 3 =3 Θεσ/νίκη Ζήτηση

81 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 2 η επανάληψη Εκχώρηση φορτίου u 1 =0 u 2 =1 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 =3 Θεσ/νίκη v 1 =5 v 2 =2 V 3 =3 v 4 = Ζήτηση

82 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 2 η επανάληψη Νέα βελτιωμένη Λύση u 1 =0 u 2 =1 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 =3 Θεσ/νίκη Κόστος Ζ=4850 v 1 =5 v 2 =2 V 3 =3 v 4 = Ζήτηση

83 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 3 η επανάληψη Υπολογίζουμε εκ νέου τα u i και v j από τη σχέση c ij = u i + v j για κάθε μη κενό κελί u 1 =0 u 2 =1 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 =3 Θεσ/νίκη v 1 =2 v 2 =2 V 3 =3 v 4 = Ζήτηση

84 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 3 η επανάληψη Υπολογίζουμε για κάθε κενό κελί (μη βασική μεταβλητή) το αντίστοιχο κόστος ευκαιρίας e ij, i=1,,m από τη σχέση e ij =c ij u i v j. Βλέπουμε πως η x 32 επιφέρει την μεγαλύτερη μείωση στην αντικειμενική συνάρτηση. u 1 =0 u 2 =1 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 =3 Θεσ/νίκη v 1 =2 v 2 =2 V 3 =3 v 4 = Ζήτηση

85 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 3 η επανάληψη u 1 =0 u 2 =1 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 =3 Θεσ/νίκη Μονοπάτι διαδρομής Θεσ/νίκη-Λάρισα (x 32 ) v 1 =2 v 2 =2 V 3 =3 v 4 = Ζήτηση Φορτίο εκχώρησης: min(300,50)=50

86 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 3 η επανάληψη u 1 =0 u 2 =1 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 =3 Θεσ/νίκη Κόστος: Ζ=4800 Νέα βελτιωμένη Λύση v 1 =2 v 2 =2 V 3 =3 v 4 = Ζήτηση

87 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 4 η επανάληψη Υπολογίζουμε εκ νέου τα u i και v j και τα e ij. Βλέπουμε όλα τα e ij είναι μηαρνητικά. Άρα η λύση είναι βέλτιστη. u 1 =0 u 2 =1 ΑΠΟ: ΠΡΟΣ: u 3 =2 Θεσ/νίκη v 1 =3 v 2 =2 V 3 =3 v 4 = Ζήτηση

88 Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI Βέλτιστη Λύση v 1 = v 2 = V 3 = v 4 = ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 1 = u 2 = u 3 = Θεσ/νίκη Ζήτηση Κόστος Ζ=4800. Παρατηρούμε ότι είναι η αρχική λύση που έδωσε η μέθοδος Vogel.

89 Επισημάνσεις Οι τιμές των e ij που εμφανίζονται στα κενά κελιά του βέλτιστου ταμπλό μεταφοράς, αντιστοιχούν στην επιβάρυνση για το συνολικό κόστος, αν μια μονάδα του προϊόντος μεταφερθεί μ αυτό τον τρόπο. Ο προσδιορισμός του μονοπατιού ανακατανομής είναι το πιο δύσκολο στάδιο στην επίλυση του προβλήματος μεταφοράς: ο βρόχος που δημιουργείται δεν είναι πάντοτε εμφανής. Για την εύρεσή του έχουν αναπτυχθεί ιδιαίτεροι, αποκλειστικοί αλγόριθμοι. Σ ένα ταμπλό μικρού μεγέθους όμως, μπορούμε να εντοπίσουμε αυτό το μονοπάτι με μια διαδικασία της μορφής «δοκιμής και λάθους». Αν στο ταμπλό της βέλτιστης λύσης του προβλήματος μεταφοράς υπάρχει μη βασικό τετράγωνο (i, j) με e ij =0, τότε το πρόβλημα έχει εναλλακτική βέλτιστη λύση που βρίσκεται κάνοντας βασικό το τετράγωνο (i, j). 89

90 Εναλλακτική Βέλτιστη Λύση για το Πρόβλημα ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ (1) u 1 =0 u 2 =1 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 =2 Θεσ/νίκη v 1 =3 v 2 =2 v 3 =3 v 4 = Ζήτηση

91 Εναλλακτική Βέλτιστη Λύση για το Πρόβλημα ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ (2) u 1 = u 2 = ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 = Θεσ/νίκη v 1 = v 2 = v 3 = v 4 = Ζήτηση Κόστος: Ζ=3*+3*50+4*50+7*200+5*200+4*250=4800

92 Ειδικές Περιπτώσεις ΠΜ Εκφυλισμένη Λύση Μη-ισορροπημένο Πρόβλημα Μεταφοράς Ζήτηση μικρότερη της ς Ζήτηση μεγαλύτερη της ς Αδυναμία χρησιμοποίησης ορισμένων διαδρομών Πρόβλημα Μεγιστοποίησης 92

93 Εκφυλισμένη Λύση Η λύση της οποίας μία ή περισσότερες από τις m+n-1 βασικές μεταβλητές παίρνει την τιμή 0, ονομάζεται εκφυλισμένη λύση Προκύπτει όταν σε κάποια εκχώρηση εξαντλείται η προσφορά και ικανοποιείται η ζήτηση ταυτόχρονα Προβλήματα στη μετάβαση στο επόμενο στάδιο Αντιμετώπιση: θεωρούμε μια από τις μη- χρησιμοποιούμενες διαδρομές (κενά κελιά) ως διαδρομή που έχει επιλεγεί με φορτίο 0 Το κελί που επιλέγεται πρέπει να είναι σε τέτοια θέση ώστε να μπορούν να υπολογισθούν τα u i και v j 93

94 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Αρχική Λύση- Μέθοδος «ελάχιστου κόστους» ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη Ζήτηση

95 Ζήτηση μικρότερη της ς n B m j j 1 i 1 A i Θεωρούμε ένα «τεχνητό προορισμό» n+1 με ζήτηση m b A B n 1 i j i 1 j 1 n δηλαδή ίση με την πλεονάζουσα παραγωγή που δεν μπορεί να διατεθεί στους n προορισμούς Τα αντίστοιχα (υποθετικά) μοναδιαία κόστη μεταφοράς προς τον πλασματικό αυτό προορισμό εξαρτώνται πάλι από τα δεδομένα του ΠΜ (π.χ. μπορεί να εκφράζουν κόστος παραμονής προϊόντος στην πηγή). Εάν δεν υπάρχουν σχετικές επιβαρύνσεις (από την μη- διάθεση της παραγωγής) τα μοναδιαία κόστη μεταφοράς στον προορισμό n+1 θα είναι c i,n+1 = 0, για j = 1, 2,, m 95

96 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Τροποποιημένο παράδειγμα ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση <1300 Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας

97 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Τροποποιημένος πίνακας ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Τεχνητός Προορισμός Θεσ/νίκη Ζήτηση

98 Ζήτηση μεγαλύτερη της ς n B m j j 1 i 1 A i Θεωρούμε μια «τεχνητή πηγή» m+1 με προσφορά n m a B A m 1 j i j 1 i 1 δηλαδή ίση με την πλεονάζουσα ζήτηση που δεν μπορεί να ικανοποιηθεί από τις m πηγές Τα αντίστοιχα (υποθετικά) μοναδιαία κόστη μεταφοράς προς τον πλασματικό αυτό προορισμό εξαρτώνται πάλι από τα δεδομένα του ΠΜ ((π.χ. Μπορεί να εκφράζουν την αποζημίωση που δίνεται σε κάποιο προορισμό για την μηαποστολή μιας μονάδας προϊόντος). Εάν δεν υπάρχουν σχετικές επιβαρύνσεις (από την μη- ικανοποίηση της ζήτησης των προορισμών από τις πηγές) τα μοναδιαία κόστη μεταφοράς από την Πηγή m+1 θα είναι c m+1,j = 0, για j = 1, 2,, n 98

99 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Τροποποιημένο παράδειγμα ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ (II) ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 300 Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση >1100

100 ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Τροποποιημένο παράδειγμα ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ (II) ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 300 Θεσ/νίκη 450 Τεχνητή Πηγή Ζήτηση

101 Αδυναμία χρησιμοποίησης ορισμένων διαδρομών Εάν δεν είναι δυνατή η μεταφορά προϊόντων από κάποια Πηγή i σε κάποιο Προορισμό j (π.χ. απεργία, φυσικό φαινόμενο): Τότε θεωρούμε νέο πρόβλημα (όπως το αρχικό) στο οποίο μπορεί μεν να γίνει μεταφορά από την Πηγή i στον Προορισμό j, αλλά το αντίστοιχο μοναδιαίο κόστος μεταφοράς c ij είναι ίσο με Μ, όπου Μ αυθαίρετα πολύ μεγάλος αριθμός (Big M). Εφόσον ζητείται η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους μεταφοράς είναι προφανές ότι : Εάν στη βέλτιστη λύση του νέου προβλήματος έχουμε x ij = 0, τότε η λύση αυτή είναι βέλτιστη και για το αρχικό. Εάν όμως x ij > 0, αυτό σημαίνει ότι το αρχικό δεν έχει δυνατές λύσεις. 101

102 Επίλυση Προβλημάτων Μεγιστοποίησης Σε περιπτώσεις όπου τα cij εκφράζουν κέρδος ή άλλο μέτρο θετικής συνεισφοράς Παρόμοια μεθοδολογία Αλλάζει ο κανόνας τερματισμού στο κριτήριο βελτιστοποίησης: Πρέπει όλα τα e ij να είναι μη-θετικά Αλλάζει η «λογική» στις δύο μεθόδους εύρεσης αρχικής λύσης: «μέθοδος μεγίστου κέρδους», μέθοδος Vogel 102

103 Επίλυση ΠΜ με χρήση του Solver 103

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα Μεταφοράς. Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης

Πρόβλημα Μεταφοράς. Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Πρόβλημα Μεταφοράς Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Η αρχική τους εφαρµογή, όπως δηλώνει και η ονοµασία τους, αφορούσε τον καθορισµό του βέλτιστου τρόπου µεταφοράς αγαθών από διαφορετικά σηµεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης (π.χ.,

Διαβάστε περισσότερα

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι Η µέθοδος Vogel Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι η µέθοδος Vogel Η προσεγγιστική µέθοδος Vogelείναι µια πιο πολύπλοκη µέθοδος σε σχέση µε τις προηγούµενες, αλλά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΠΑΝΤΑΙΔΑΚΗΣ ΜΙΧΑΗΛ Α.Μ 8342 ΕΞΑΜΗΝΟ :ΠΤΘ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex:

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex: http://usrs.uo.gr/~acg 1 UΜετάβαση από τον Γραμμικό Προγραμματισμό στη Θεωρία Δικτύων UΤο πρόβλημα Μεταφοράς (Transportation probl) UΗ «Μακεδονική Εταιρεία Αναψυκτικών Α.Ε.» Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας

Διαβάστε περισσότερα

Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex:

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex: http://usrs.uo.gr/~acg 1 UΜετάβαση από τον ΓΠ στη Θεωρία ικτύων UΤο πρόβλημα Μεταφοράς (Transportation probl) UΗ «Μακεδονική Εταιρεία Αναψυκτικών Α.Ε.» Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας κατανάλωσης Το προϊόν

Διαβάστε περισσότερα

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI)

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Ηµέθοδος MODIεπιτρέπει τον υπολογισµό των οριακών µεταβολών στο συνολικό κόστος µεταφοράς για κάθε µη επιλεγείσα διαδροµή µε αλγεβρικό τρόπο, χωρίς τη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εφαρμογή σε Άλλα Προβλήματα Διαχείρισης Έργων Π. Γ. Υψηλάντης ΓΠ στη Διοίκηση Έργων Προβλήματα μεταφοράς και δρομολόγησης Αναθέσεις προσωπικού Επιλογή προμηθευτών Καθορισμός τοποθεσίας

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Τροποποιηµένος πίνακας, όπου προσφορά ίση µε τη ζήτηση µε την προσθήκη εικονικού προορισµού *

Προσφορά Τροποποιηµένος πίνακας, όπου προσφορά ίση µε τη ζήτηση µε την προσθήκη εικονικού προορισµού * ΚΕΦ.8 ΕΙ ΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ιδιαίτερη κατηγορία των προβληµάτων ΓΠ είναι τα προβλήµατα δικτυακής ροής. Σε αυτά ανήκουν τα προβλήµατα µεταφοράς και εκχώρησης. 8. Πρόβληµα µεταφοράς Σε m πηγές (κέντρα προσφοράς)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Το πρόβλημα μεταφοράς: μαθηματικό μοντέλο και μεθοδολογία επίλυσης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ανάλυση ευαισθησίας Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Παράδειγμα TOYCO Η επιχείρηση TOYCO χρησιμοποιεί τρεις διαδικασίες

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων Μοντέλα Διανομής και Δικτύων 10-03-2017 2 Πρόβλημα μεταφοράς (1) Τα προβλήματα μεταφοράς ανακύπτουν συχνά σε περιπτώσεις σχεδιασμού διανομής αγαθών και υπηρεσιών από τα σημεία προσφοράς προς τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Σχέσεις μεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού του. Για να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία δυϊκότητας αλλάζουμε την μορφή του πίνακα της μεθόδου simplex, προσθέτοντας μια σειρά και μια στήλη. Η σειρά προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μεθόδου Simplex

Θεωρία Μεθόδου Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως

Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # : Επιχειρησιακή έρευνα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ερευνητικό έργο: Εκσυγχρονισµός της εποπτείας και διαχείρισης του συστήµατος των υδατικών πόρων ύδρευσης της Αθήνας Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ανδρέας Ευστρατιάδης και Γιώργος Καραβοκυρός Τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks) Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Το Πρόβληµα Μεταφοράς Άλλες µέθοδοι επιλογής τοποθεσίας Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Ορισµός του προβλήµατος µεταφοράς συσχέτιση µε πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 3/4/2012. Lecture08 1

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 3/4/2012. Lecture08 1 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μεθοδολογία αλγορίθμων τύπου simplex (5) Βήμα 0: Αρχικοποίηση (Initialization). Στο βήμα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου Η μέθοδος Simplex Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 1 / 17 Η μέθοδος Simplex Simplex Είναι μια καθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων υπολογισμών μέσω των οποίων ξεκινώντας από ένα αρχικό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές μέθοδοι

Επαναληπτικές μέθοδοι Επαναληπτικές μέθοδοι Η μέθοδος της διχοτόμησης και η μέθοδος Regula Fals που αναφέραμε αξιοποιούσαν το κριτήριο του Bolzano, πραγματοποιώντας διαδοχικές υποδιαιρέσεις του διαστήματος [α, b] στο οποίο,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 13: Μεθοδολογία Αλγορίθμων τύπου Simplex, Αναθεωρημένος Πρωτεύων Αλγόριθμος Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 1 Εισαγωγή Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 3 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 4: Το Πρόβλημα Ανάθεσης Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χαρακτηριστικά αλγορίθμων τύπου simplex (5) Αν το βασικό σημείο ικανοποιεί ακριβώς n-m ανισότητες

Διαβάστε περισσότερα

Η αγορά μπορεί να απορροφήσει οποιονδήποτε αριθμό σε θρανία και καρέκλες, αλλά το πολύ πέντε τραπέζια. Έχουμε το εξής π.γ.π.

Η αγορά μπορεί να απορροφήσει οποιονδήποτε αριθμό σε θρανία και καρέκλες, αλλά το πολύ πέντε τραπέζια. Έχουμε το εξής π.γ.π. Ένα ξυλουργείο παράγει θρανία, τραπέζια και καρέκλες : Προϊόν Πρώτη Ύλη Θρανίο Τραπέζι Καρέκλα Διαθεσιμότητα Ξυλεία (m) 8 6 1 48 Κατασκευή (ώρες) 2 1.5 0.5 8 Φινίρισμα (ώρες) 4 2 1.5 20 Τιμή Πώλησης 60,000

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ- Μ.Β.Α. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΞΑΝΘΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ- Μ.Β.Α. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΞΑΝΘΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ- Μ.Β.Α. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΞΑΝΘΟΥ «Μεταφορά ασθενών σε χώρους νοσηλείας. Θεωρητική προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων 1

Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων Περιγραφή Προβλημάτων Αλγόριθμοι αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αναζήτηση πρώτα σε βάθος Αναζήτηση πρώτα σε πλάτος (ΒFS) Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ακέραιος Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 22: Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για την επίλυση Γραμμικών Προβλημάτων με τον Αναθεωρημένο Αλγόριθμο Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Η θεωρία αποφάσεων έχει ως αντικείμενο την επιλογή της καλύτερης στρατηγικής. Τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής εξαρτώνται από παράγοντες, οι οποίοι μπορεί να είναι καταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 21. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

Άσκηση 21. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης Εταιρία παράγει σκυρόδεμα με το οποίο προμηθεύει σε καθημερινή βάση διάφορες οικοδομικές επιχειρήσεις. Το σκυρόδεμα παράγεται σε δύο εργοτάξια της εταιρίας, το Α και το Β. Με τα σημερινά δεδομένα, υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100)

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100) Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Διοίκηση και Διαχείριση Έργων και Προγραμμάτων Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100) Μέρος ΙΙ Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Μαθηματικά Μοντέλα Εισαγωγή Μεθοδολογία

Διαβάστε περισσότερα