Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός"

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών All rights reserved

2 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Εισαγωγή...3. Το πρόβληµα του µαθηµατικού προγραµµατισµού Παραδείγµατα φυσικών προβληµάτων που εκφράζονται σαν προβλήµατα γραµµικού προγραµµατισµού (ΠΓΠ) Η γραφική µέθοδος επίλυσης ΠΓΠ Η κανονική µορφή του ΠΓΠ...3 Κεφάλαιο 2 Γεωµετρική εικόνα του ΠΓΠ Πολύεδρα και κυρτά σύνολα Ακρότατα, κορυφές και βασικές εφικτές λύσεις Πολύεδρα σε κανονική µορφή Εκφυλισµένες βασικές λύσεις Εκφυλισµένες βασικές λύσεις σε προβλήµατα εκφρασµένα σε κανονική µορφή Ύπαρξη ακρότατων και η σχέση τους µε τις βέλτιστες λύσεις...25 Κεφάλαιο 3 Η µέθοδος Simplex για την επίλυση του ΠΓΠ Συνθήκες βελτιστότητας Ανάπτυξη αλγορίθµου Simplex Η περίπτωση των εκφυλισµένων λύσεων Η επιλογή κανόνων οδήγησης Η εκδοχή του αλγορίθµου Simplex µε πλήρες tableau Τεχνικές αντιµετώπισης της αέναης επανάληψης λόγω ύπαρξης εκφυλισµένων βασικών εφικτών λύσεων Ο λεξικογραφικός κανόνας οδήγησης Ο κανόνας του Bland Η µέθοδος διαταραχής του Charnes Το πρόβληµα της αναζήτησης αρχικής βασικής εφικτής λύσης Ο αλγόριθµος Simplex δύο φάσεων Οδηγώντας τις τεχνητές µεταβλητές εκτός βάσης Η µέθοδος του µεγάλου Μ...64 Κεφάλαιο 4 υϊκή θεωρία Η γενική µορφή του δυϊκού προβλήµατος Το δυϊκό θεώρηµα Οι βέλτιστες δυϊκές µεταβλητές ως οριακά κέρδη Η δυϊκή µέθοδος Simplex Η γεωµετρία της δυϊκής Simplex Αναζήτηση αρχικής βασικής εφικτής λύσης του δυϊκού προβλήµατος: η µέθοδος του τεχνητού περιορισµού Μια εναλλακτική τεχνική αναζήτησης αρχικής βασικής εφικτής λύσης του δυϊκού προβλήµατος...89 Κεφάλαιο 5 Ανάλυση ευαισθησίας Προσθήκη νέας µεταβλητής Προσθήκη νέου περιορισµού Προσθήκη νέου ανισοτικού περιορισµού Προσθήκη νέου ισοτικού περιορισµού Μεταβολή των συντελεστών b i Μεταβολή των συντελεστών κέρδους c i Μεταβολή των συντελεστών a ij Οι µεταβολές δεν αφορούν στοιχεία βασικών στηλών...5

3 5.5.2 Οι µεταβολές αφορούν στοιχεία βασικών στηλών...5 Κεφάλαιο 6 Ακέραιος γραµµικός προγραµµατισµός Τεχνικές περιγραφής ΠΑΓΠ υαδική περιγραφή Περιορισµοί εξαναγκασµού Περιορισµοί µοναδικότητας ιαζευκτικοί περιορισµοί Περιορισµοί εύρους τιµών Κατά τµήµατα γραµµική συνάρτηση κέρδους Μεθοδολογίες επίλυσης προβληµάτων ακέραιου γραµµικού προγραµµατισµού Μέθοδος διακλάδωσης - φράγµατος...4 Απόδειξη Θεωρήµατος Απόδειξη Θεωρήµατος Απόδειξη Θεωρήµατος Απόδειξη Θεωρήµατος Απόδειξη Θεωρήµατος Απόδειξη Θεωρήµατος Απόδειξη Θεωρήµατος Απόδειξη Θεωρήµατος Απόδειξη Θεωρήµατος Απόδειξη Θεωρήµατος Απόδειξη Θεωρήµατος Απόδειξη Θεωρήµατος Απόδειξη Θεωρήµατος Απόδειξη Θεωρήµατος Απόδειξη Θεωρήµατος Απόδειξη Πορίσµατος Απόδειξη Πορίσµατος Απόδειξη Θεωρήµατος Απόδειξη Θεωρήµατος

4 Κεφάλαιο Εισαγωγή. Το πρόβληµα του µαθηµατικού προγραµµατισµού Το γενικό πρόβληµα του µαθηµατικού προγραµµατισµού µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Να βρεθούν οι τιµές των µεταβλητών x, x 2,, x n που ικανοποιούν m ανισότητες (ή ισότητες): g i (x,, x n ) {, =, } b i, i =, 2,, m (.) και που επιπλέον µεγιστοποιούν ή ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση: z = f(x,, x n ) (.2) Οι συνθήκες (.) λέγονται περιορισµοί, η συνάρτηση (.2) ονοµάζεται αντικειµενική συνάρτηση, οι µεταβλητές x i καλούνται µεταβλητές απόφασης, οι σταθερές b i θεωρούνται γνωστές και για κάθε i ισχύει ή ανισότητα ή ισότητα. Κάθε x R n, x = (x,, x n ) T που ικανοποιεί τους περιορισµούς καλείται εφικτή λύση του προβλήµατος και κάθε εφικτή λύση που βελτιστοποιεί (ελαχιστοποιεί ή µεγιστοποιεί) την αντικειµενική συνάρτηση f, ονοµάζεται βέλτιστη εφικτή λύση. Το πρόβληµα του µαθηµατικού προγραµµατισµού είναι κατά συνέπεια ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης. Ανάλογα µε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των συναρτήσεων g i των περιορισµών (.) ή της αντικειµενικής συνάρτησης f (.2) το πρόβληµα του µαθηµατικού προγραµµατισµού µπορεί να χαρακτηρισθεί σαν ακέραιος, κυρτός, τετραγωνικός, δυναµικός, στοχαστικός, γραµµικός προγραµµατισµός κ.λ.π. Στον γραµµικό προγραµµατισµό οι περιορισµοί και η αντικειµενική συνάρτηση δίδονται από: n g i (x,, x n ) = a x ij j {, =, } b i, i =, 2,, m (.3) j= z = f(x,, x n ) = c x j j n j= (.4) 3

5 όπου οι a ij και c j είναι δοσµένες πραγµατικές σταθερές και µάλιστα οι σταθερές c j καλούνται συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης ή συντελεστές κέρδους (ή κόστους). Για λόγους ευκολίας και χωρίς βλάβη της γενικότητας µπορούµε να προσθέσουµε τους ακόλουθους περιορισµούς µη αρνητικότητας: x j, j =, 2,, n (.5) Συνεπώς το γενικό πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού (ΠΓΠ) έχει τη µορφή: z = {max, min}(c x + c 2 x c n x n ) a x + a 2 x a n x n, =, b a 2 x + a 22 x a 2n x n, =, b 2 (.6) a m x + a m2 x a mn x n, =, b m x, x 2,, x n Αν όλοι οι περιορισµοί είναι εξισώσεις ή ανισώσεις της ίδιας φοράς το παραπάνω πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού µπορεί να γραφεί πιο συνοπτικά µε µορφή πινάκων: z = {max, min} c T x T Ax {, =, } b (.7) x όπου x = (x,, x n ) Τ, c = (c,, c n ) Τ, b = (b,, b m ) Τ, = (,, ) Τ R m και A = a a2 am a a a 2 22 m2 an a 2n amn.2 Παραδείγµατα φυσικών προβληµάτων που εκφράζονται σαν προβλήµατα γραµµικού προγραµµατισµού (ΠΓΠ) Υπάρχει πληθώρα πρακτικών προβληµάτων που µπορούν να διατυπωθούν µαθηµατικά σαν προβλήµατα γραµµικού προγραµµατισµού. Πριν προχωρήσουµε στη 4

6 θεωρητική θεµελίωση και παρουσίαση των βασικών µεθοδολογιών επίλυσης τέτοιων προβληµάτων παρουσιάζουµε µερικά παραδείγµατα φυσικών προβληµάτων που µπορούν να παρασταθούν ως ΠΓΠ. Παράδειγµα. Ένας αγρότης βρίσκει στην αγορά δύο είδη τροφής για τα ζώα του. Γνωρίζει ότι αυτά χρειάζονται τουλάχιστον 6, 84 και 72 µονάδες από τα θρεπτικά συστατικά Α, Β και Γ αντίστοιχα, κάθε ηµέρα. Ο πίνακας που ακολουθεί συνοψίζει την περιεκτικότητα σε θρεπτικά συστατικά και το κόστος της κάθε τροφής. Θρεπτικά συστατικά (µονάδες/kg) Α Β Γ Κόστος ( /Kg) Τροφή Τροφή Ο αγρότης επιθυµεί να εκτιµήσει ποιες είναι οι καθηµερινές ποσότητες από κάθε είδος τροφής που ελαχιστοποιούν το ηµερήσιο κόστος τροφής ενώ συγχρόνως εξασφαλίζουν ότι τα ζώα παίρνουν τις απαιτούµενες ποσότητες θρεπτικών συστατικών. Περιγράψτε το πρόβληµα ως πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού. Λύση Έστω x η ποσότητα τροφής που θα χρησιµοποιείται ανά ζώο και ανά ηµέρα. Έστω x 2 η ποσότητα τροφής 2 που θα χρησιµοποιείται ανά ζώο και ανά ηµέρα. Προφανώς x, x 2. Τα ζώα θα πάρουν 3x +2x 2 µονάδες από το συστατικό Α, 7x +2x 2 µονάδες από το συστατικό Β και 3x +6x 2 µονάδες από το συστατικό Γ. Συνεπώς θα πρέπει: 3x + 2x 2 6 7x + 2x x + 6x 2 72 Το κόστος δίδεται από την z = 3x +.2x 2. Έτσι η µαθηµατική διατύπωση του προβλήµατος ως ΠΓΠ είναι: z = min(3x +.2x 2 ) 3x + 2x 2 6 5

7 7x + 2x x + 6x 2 72 x, x 2 Παράδειγµα.2 Ένα τµήµα ενός µεγάλου εργοστασίου κατασκευάζει δύο µέρη που χρειάζονται στο τελικό προϊόν του εργοστασίου. Το τµήµα διαθέτει 4 γραµµές παραγωγής που είναι δυνατό να κατασκευάζουν τα δύο µέρη χρησιµοποιώντας διαφορετικά ποσά εργασίας και δύο είδη πρώτης ύλης, την Α και την Β. Ο πίνακας που ακολουθεί παρουσιάζει τις εισροές-εκροές της κάθε γραµµής παραγωγής για λειτουργία µιας ώρας: ΕΙΣΡΟΗ ΕΚΡΟΗ Γραµµή Εργασία (Ανθρ-ώρες) Πρώτη Ύλη Α (Kg) Πρώτη Ύλη Β (Kg) Μονάδες Μέρους Μονάδες Μέρους Το τµήµα πρέπει να κατασκευάζει 2 µονάδες του µέρους την εβδοµάδα και 8 µονάδες του µέρους 2 την εβδοµάδα. Στη διάθεση του τµήµατος βρίσκονται κάθε εβδοµάδα 4 τόνοι της πρώτης ύλης Α, 2 τόνοι της πρώτης ύλης Β και ανθρωποώρες εργασίας. Το κόστος της Α είναι 3 /Kg και της Β 7 /Kg. Το κόστος του εργατικού δυναµικού είναι δοσµένο (σταθερό) ακόµη κι αν δεν χρησιµοποιηθούν οι διαθέσιµες ανθρωποώρες. Τέλος η νοµοθεσία επιτρέπει επιπλέον υπερωρίες µέχρι 2 ανθρωποώρες την εβδοµάδα µε κόστος 8 /Ανθρωποώρα. α) Περιγράψτε το πρόβληµα ως ΠΓΠ αν ζητείται το ελάχιστο κόστος παραγωγής. β) Εξετάστε πως αλλάζει το πρόβληµα η χρήση υπερωριών. Λύση Έστω x j j =,, 4 ο αριθµός των ωρών εβδοµαδιαίως που χρησιµοποιείται η γραµµή παραγωγής j. Οι περιορισµοί εργασίας και πρώτων υλών εκφράζονται ως εξής: 6

8 2x + 3x 2 + x x 4 6x + x 2 + 2x x 4 4 3x + 35x 2 + 6x 3 + 8x 4 2 Οι απαιτήσεις παραγωγής που θέτει το εργοστάσιο στο τµήµα συνοψίζονται στους περιορισµούς: 35x + 45x 2 + 7x x + 42x 2 + 9x 4 8 Τέλος πρέπει να ικανοποιούνται οι περιορισµοί µη αρνητικότητας x j, j =, 2, 3, 4. Το κόστος της παραγωγής δίδεται από: z = 3(6x + x 2 + 2x x 4 ) + 7(3x + 35x 2 + 6x 3 + 8x 4 ) = 69x + 545x 2 + 2x x 4 Εποµένως το ΠΓΠ που περιγράφει το εν λόγω πρόβληµα παραγωγής είναι: z = min(69x + 545x 2 + 2x x 4 ) 2x + 3x 2 + x x 4 6x + x 2 + 2x x 4 4 3x + 35x 2 + 6x 3 + 8x x + 45x 2 + 7x x + 42x 2 + 9x 4 8 x j, j =,, 4. Εξετάζουµε τώρα το ερώτηµα (β). Έστω x 5 ο αριθµός των ωρών υπερωρίας που θα χρησιµοποιηθούν. Σε αυτή την περίπτωση λόγω των νοµικών περιορισµών πρέπει: x 5 2 Η χρήση υπερωριών οδηγεί επίσης στην αλλαγή του πρώτου περιορισµού που αφορά το σύνολο των διαθέσιµων ανθρωποωρών και ο οποίος διαµορφώνεται ως εξής: 2x + 3x 2 + x x 4 + x 5 Τέλος αλλάζει η συνάρτηση κόστους στην οποία πρέπει να προσθέσουµε το κόστος υπερωριών που είναι ίσο µε 8x 5. Έτσι το ΠΓΠ µε την προσθήκη των υπερωριών διαµορφώνεται ως ακολούθως: z = min(69x + 545x 2 + 2x x 4 + 8x 5 ) 7

9 2x + 3x 2 + x x 4 x 5 6x + x 2 + 2x x 4 4 3x + 35x 2 + 6x 3 + 8x x + 45x 2 + 7x x + 42x 2 + 9x 4 8 x 5 2 x j, j =,, 5. Παράδειγµα.3 Μια εταιρεία παραγωγής χαρτιού που διαθέτει 2 εργοστάσια, πρέπει να προµηθεύει τυπογραφικό χαρτί σε τρία πιεστήρια κάθε εβδοµάδα. Το εργοστάσιο παράγει 35 τόνους και το εργοστάσιο 2 55 τόνους τυπογραφικού χαρτιού την εβδοµάδα. Τα πιεστήρια, 2 και 3 ζητούν 3 τόνους/εβδοµάδα, 4 τόνους/εβδοµάδα και 2 τόνους/εβδοµάδα αντίστοιχα. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τα κόστη µεταφοράς σε /τόνο. Πιεστήριο Εργοστάσιο Το ζητούµενο είναι ο καθορισµός των ποσοτήτων χαρτιού που θα πρέπει να σταλούν από κάθε εργοστάσιο σε κάθε πιεστήριο έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς. Λύση Έστω x ij η ποσότητα χαρτιού (σε τόνους) που µεταφέρεται από το εργοστάσιο i στο πιεστήριο j. Έτσι προκύπτουν οι περιορισµοί προσφοράς: x + x 2 + x 3 = 35 x 2 + x 22 + x 23 = 55 οι περιορισµοί ικανοποίησης της ζήτησης: x + x 2 = 3 x 2 + x 22 = 4 8

10 x 3 + x 23 = 2 και οι περιορισµοί µη αρνητικότητας: x ij, i =, 2, j =, 2, 3 Το κόστος που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί είναι: z = 7x + 22x 2 + 5x 3 + 8x 2 + 6x x 23 Το ΠΓΠ που καταλήγουµε είναι το ακόλουθο: z = min(7x + 22x 2 + 5x 3 + 8x 2 + 6x x 23 ) x + x 2 + x 3 = 35 x 2 + x 22 + x 23 = 55 x + x 2 = 3 x 2 + x 22 = 4 x 3 + x 23 = 2 x ij, i =, 2, j =, 2, 3..3 Η γραφική µέθοδος επίλυσης ΠΓΠ Όταν σε ένα ΠΓΠ υπάρχουν δύο µεταβλητές απόφασης είναι εφικτή η γραφική επίλυση του. Αν και η πρακτική σηµασία της γραφικής µεθόδου είναι πολύ µικρή, εντούτοις η εξέταση της γεωµετρικής απεικόνισης του ΠΓΠ σε δύο διαστάσεις οδηγεί σε πολύ χρήσιµες παρατηρήσεις για τα χαρακτηριστικά της βέλτιστης λύσης και µας προσφέρει µια διαισθητική εικόνα του ΠΓΠ. Θα περιγράψουµε αυτή τη µέθοδο µε τη βοήθεια δυο παραδειγµάτων. Παράδειγµα.4 Έστω το ακόλουθο ΠΓΠ: z = max(x + x 2 ) x + 2x 2 3 2x + x 2 3 x, x 2 9

11 Λύση Στο δυσδιάστατο χώρο κάθε µια από τις ανισώσεις ορίζει ένα ηµιεπίπεδο. Η τοµή όλων των ηµιεπιπέδων είναι το σύνολο όλων των εφικτών λύσεων S που παρουσιάζεται ως η σκιασµένη περιοχή στο Σχήµα.. Για να υπολογίσουµε τη βέλτιστη λύση προχωράµε ως εξής. Για κάθε πραγµατική σταθερά z το σύνολο των σηµείων µε κέρδος ίσο µε z είναι µια γραµµή µε εξίσωση z = x + x 2 = c T x, όπου c T = (, ) και x T = (x, x 2 ). ιαφορετικές τιµές του z µας δίδουν διαφορετικές γραµµές παράλληλες µεταξύ τους και κάθετες στο διάνυσµα c. Η µετατόπιση των γραµµών αυτών προς την κατεύθυνση του διανύσµατος των συντελεστών κέρδους c οδηγεί στη µεγιστοποίηση της τιµής της αντικειµενικής συνάρτησης. Συνεπώς για να µεγιστοποιήσουµε την αντικειµενική συνάρτηση µετακινούµαστε προς την κατεύθυνση του c χωρίς όµως να εγκαταλείπουµε την περιοχή εφικτών λύσεων S, δηλαδή θα πρέπει η γραµµή που αντιστοιχεί στην αντικειµενική συνάρτηση να έχει σηµεία τοµής µε την περιοχή εφικτών λύσεων. Στην περίπτωση µας βλέπουµε ότι το κέρδος µας µεγιστοποιείται όταν η ευθεία της αντικειµενικής συνάρτησης διέρχεται από το σηµείο (x, x 2 ) = (, ) της περιοχής εφικτών λύσεων. Συνεπώς αυτή είναι η βέλτιστη λύση του ΠΓΠ που εξετάζουµε. (,3) x 2x + x 2 3 (,.5) c S (,) (.5,) x + x 2 = x + x 2 = z x + 2x 2 3 x + x 2 = 2 X 2 (3,) Σχήµα. Χώρος εφικτών λύσεων Παραδείγµατος.4.

12 Παράδειγµα.5 Έστω το ΠΓΠ όπου η περιοχή εφικτών λύσεων καθορίζεται από τους περιορισµούς: x + x 2 x, x 2 α) Να βρεθεί η βέλτιστη λύση για τις ακόλουθες τιµές του c T : (, ), (, ), (,) και (, ) όταν ζητείται η ελαχιστοποίηση της αντικειµενικής συνάρτησης z = c T x. β) Ποια είναι η περιοχή εφικτών λύσεων αν προσθέσουµε τον περιορισµό x + x 2.; Λύση (α) Η περιοχή εφικτών λύσεων φαίνεται στο Σχήµα.2. Όταν το διάνυσµα των συντελεστών της αντικειµενικής συνάρτησης είναι c = (, ) T τότε η βέλτιστη λύση είναι το σηµείο (, ). Εδώ αξίζει να σηµειωθεί, ότι στην περίπτωση που έχουµε ελαχιστοποίηση, όπως εδώ, η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται µε την µετακίνηση της ευθείας της αντικειµενικής συνάρτησης στην αντίθετη κατεύθυνση από αυτή του διανύσµατος c. x + x 2 (,) c = (,) T c = (,) T S c = (,) T x + x 2. c = (, ) T Σχήµα.2 Χώρος εφικτών λύσεων Παραδείγµατος.5.

13 Όταν το c T = (, ), έχουµε άπειρες βέλτιστες λύσεις. Σε αυτή την περίπτωση κάθε διάνυσµα x T = (, x 2 ) όπου το x 2 ικανοποιεί την συνθήκη x 2, δηλαδή κάθε σηµείο του ευθύγραµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία (, ) και (, ) είναι βέλτιστη λύση. Αυτό οφείλεται στο ότι η ευθεία της αντικειµενικής συνάρτησης είναι παράλληλη στην ευθεία που αποτελεί το σύνορο του περιορισµού x. Αντίστοιχα όταν c = (, ) T, έχουµε επίσης άπειρες βέλτιστες λύσεις. Πιο συγκεκριµένα εδώ βέλτιστη λύση είναι κάθε διάνυσµα x = (x, ) T όπου το x ικανοποιεί την συνθήκη x. Σε αυτή την περίπτωση το σύνολο των βέλτιστων λύσεων δεν είναι φραγµένο. Όταν c = (, ) T για κάθε εφικτή λύση x = (x, x 2 ) T µπορούµε να βρούµε µια άλλη λύση µε µικρότερη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης, απλά αυξάνοντας την τιµή της x, άρα δεν υπάρχει βέλτιστη λύση. Σε αυτή την περίπτωση το βέλτιστο κόστος τείνει στο. Ο λόγος που συµβαίνει αυτό είναι ότι η περιοχή εφικτών λύσεων δεν είναι φραγµένη. (β) Αν προσθέσουµε τον περιορισµό x + x 2. είναι προφανές ότι δεν υπάρχουν εφικτές λύσεις και το σύνολο των εφικτών λύσεων είναι S =. Από τη µελέτη των δύο παραπάνω παραδειγµάτων µπορεί κανείς να οδηγηθεί στις ακόλουθες διαισθητικές παρατηρήσεις: Παρατήρηση.: Γενικά φαίνεται ότι υπάρχουν τα παρακάτω ενδεχόµενα σχετικά µε την ύπαρξη και τη µορφή των βέλτιστων λύσεων ενός ΠΓΠ: α) Υπάρχει µία µοναδική βέλτιστη λύση. β) Υπάρχουν άπειρες βέλτιστες λύσεις. γ) Το βέλτιστο κόστος (ή κέρδος) είναι (ή + ) και δεν υπάρχει βέλτιστη λύση. δ) Το σύνολο των εφικτών λύσεων είναι κενό. Παρατήρηση.2: Η περιοχή εφικτών λύσεων φαίνεται ότι αν υπάρχει είναι ένα κυρτό πολύγωνο. Αν υπάρχει βέλτιστη λύση αυτή είναι µια από τις κορυφές του πολυγώνου, ή µια από τις ακµές του, οπότε έχουµε άπειρες βέλτιστες λύσεις. 2

14 Στη συνέχεια θα δούµε ότι οι παραπάνω παρατηρήσεις γενικεύονται και σε προβλήµατα µεγαλύτερης διάστασης..4. Η κανονική µορφή του ΠΓΠ Όπως έχουµε δει υπάρχει µια ποικιλία στον τρόπο µε τον οποίο παρουσιάζονται τα διάφορα ΠΓΠ. Για λόγους ευκολίας κυρίως στην ανάπτυξη µιας γενικής µεθοδολογίας επίλυσης τέτοιων προβληµάτων θα θέλαµε να τυποποιήσουµε κατά το δυνατόν τη µορφή παρουσίασης τους. Ορισµός.: Ένα ΠΓΠ είναι σε κανονική µορφή όταν παρουσιάζεται ως εξής z = max(c x + c 2 x c n x n ) a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 (.6) a m x + a m2 x a mn x n = b m x, x 2,, x n Παρατήρηση.3.: Κάθε ΠΓΠ µπορεί να τεθεί σε κανονική µορφή. Αυτό επιτυγχάνεται ως εξής: α) Με την εισαγωγή περιθώριων µεταβλητών οι ανισοτικοί περιορισµοί µετατρέπονται σε ισοτικούς. Γενικά περιορισµοί της µορφής n i = a ij x j b i µπορούν να γραφούν ως n a i ij x j + xn + = b = i και οι περιορισµοί της µορφής n n i = aij x j bi µπορούν να παρουσιαστούν ως a i ij x j xn + = b = i, όπου η x n+ είναι µια νέα µεταβλητή που καλείται περιθώρια µεταβλητή για την οποία βέβαια ισχύει ότι x n+. Με την προσθήκη των περιθωρίων µεταβλητών δεν αλλάζει ουσιαστικά η αντικειµενική συνάρτηση αφού θέτουµε c n+ =. β) Πολλαπλασιάζοντας την αντικειµενική συνάρτηση µε µετατρέπουµε ένα πρόβληµα από πρόβληµα ελαχιστοποίησης σε πρόβληµα µεγιστοποίησης. γ) Στην περίπτωση που κάποια µεταβλητή x i δεν ικανοποιεί τον περιορισµό µη αρνητικότητας, δηλαδή x i ή x i R, την αντικαθιστούµε. Στην πρώτη περίπτωση µε µια νέα µεταβλητή x i για την οποία ισχύει ότι x i = x i και στην 3

15 δεύτερη περίπτωση µε δύο νέες µη αρνητικές µεταβλητές x i, x i2 για τις οποίες έχουµε ότι x i = x i x i2 4

16 Κεφάλαιο 2 Γεωµετρική εικόνα του ΠΓΠ Πριν προχωρήσουµε στην παρουσίαση των βασικών µεθοδολογιών επίλυσης ΠΓΠ είναι απαραίτητο να µελετήσουµε τη γεωµετρική εικόνα αυτών των προβληµάτων. Αυτή η µελέτη µας προσφέρει τις βασικές θεωρητικές αρχές πάνω στις οποίες στηριζόµαστε για να αναπτύξουµε τις µεθοδολογίες επίλυσης των προβληµάτων που εξετάζουµε εδώ. 2.. Πολύεδρα και κυρτά σύνολα Σε αυτή την παράγραφο εισάγουµε µερικές βασικές έννοιες που είναι απαραίτητες για τη µελέτη της γεωµετρίας των ΠΓΠ. Ορισµός 2.: Ονοµάζουµε πολύεδρο το σύνολο που µπορεί να περιγραφεί στη µορφή {x R n Ax b}, όπου Α είναι ένας πίνακας m n και το b είναι ένα διάνυσµα που ανήκει στο R n. Όπως είδαµε στο Κεφάλαιο, το σύνολο των εφικτών λύσεων ενός ΠΓΠ µπορεί να περιγραφεί µε τη µορφή Ax b και συνεπώς είναι πολύεδρο. Ορισµός 2.2: Ένα σύνολο S R n είναι φραγµένο αν υπάρχει σταθερά Κ τέτοια ώστε η απόλυτη τιµή κάθε στοιχείου του S είναι µικρότερη ή ίση της σταθεράς Κ. Ορισµός 2.3: Έστω a ένα µη µηδενικό διάνυσµα του R n και έστω b µια πραγµατική σταθερά. α) Το σύνολο {x R n a Τ x = b} ονοµάζεται υπερεπίπεδο. β) Το σύνολο {x R n a Τ x b} ονοµάζεται ηµίχωρος. Παρατηρείστε ότι ένα υπερεπίπεδο είναι το σύνορο του αντίστοιχου ηµιχώρου. Επιπλέον το διάνυσµα a είναι κάθετο στο υπερεπίπεδο. Τέλος αξίζει να σηµειωθεί ότι ένα πολύεδρο είναι ίσο µε την τοµή ενός πεπερασµένου πλήθους ηµιχώρων. Πολύ σηµαντική για το πρόβληµα του γραµµικού προγραµµατισµού είναι η έννοια του κυρτού συνόλου. 5

17 Ορισµός 2.4: Ένα σύνολο S R n είναι κυρτό αν x, x 2 S και λ [, ] έχουµε ότι λx +( λ) x 2 S. Όταν λ [, ] το στοιχείο λx +( λ) x 2 ανήκει στο ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα διανύσµατα x και x 2. Αυτή η παρατήρηση µας οδηγεί σε έναν εναλλακτικό ορισµό του κυρτού συνόλου. Ένα σύνολο είναι κυρτό, όταν το ευθύγραµµο τµήµα, που ενώνει δύο οποιαδήποτε από τα στοιχεία του, περιέχεται στο σύνολο αυτό. Ορισµός 2.5: Έστω x, x 2,..., x k R n κι ακόµη λ, λ 2,..., λ k πραγµατικές σταθερές k τέτοιες ώστε λ =. i = i k α) Το διάνυσµα x i = λ i i καλείται κυρτός συνδυασµός των x, x 2,..., x k. β) Η κυρτή θήκη των διανυσµάτων x, x 2,..., x k είναι το σύνολο όλων των κυρτών συνδυασµών των διανυσµάτων αυτών. Το θεώρηµα που ακολουθεί παρουσιάζει µερικά σηµαντικά αποτελέσµατα σχετικά µε την κυρτότητα. Θεώρηµα 2.: α) Η τοµή κυρτών συνόλων είναι κυρτό σύνολο. β) Κάθε πολύεδρο είναι κυρτό σύνολο. γ) Ο κυρτός συνδυασµός ενός πεπερασµένου πλήθους στοιχείων ενός κυρτού συνόλου ανήκει επίσης στο κυρτό σύνολο. δ) Η κυρτή θήκη πεπερασµένου πλήθους διανυσµάτων είναι κυρτό σύνολο. Απόδειξη Όπως έχουµε δει ένα πολύεδρο ορίζεται ως η τοµή ενός συνόλου γραµµικών περιορισµών. Το επόµενο θεώρηµα, του οποίου την απόδειξη θα παραλείψουµε επειδή είναι αρκετά µακροσκελής, µας προσφέρει έναν εναλλακτικό ορισµό και τρόπο αναπαράστασης των πολυέδρων. Θεώρηµα 2.2: Ένα µη κενό και φραγµένο πολύεδρο είναι η κυρτή θήκη των ακρότατων του. Στο Σχήµα 2. δίδεται ένα µικρό παράδειγµα αυτού του εναλλακτικού ορισµού. Το πολύεδρο P µπορεί να προκύψει ως το σύνολο των κυρτών συνδυασµών των κορυφών του z, u και v. Το τυχαίο σηµείο x είναι κυρτός συνδυασµός των σηµείων z 6

18 και w. Το z είναι ακρότατο του P ενώ το w είναι κυρτός συνδυασµός των άλλων δύο ακρότατων του P, u και v. z u P x w v Σχήµα Ακρότατα, κορυφές και βασικές εφικτές λύσεις Στην Παράγραφο.3 παρατηρήσαµε ότι η βέλτιστη λύση σε ένα ΠΓΠ φαίνεται να συναντάται συνήθως σε κάποια «κορυφή» του πολυέδρου των εφικτών λύσεων. Σε αυτή την παράγραφο θα µελετήσουµε την έννοια των κορυφών ενός πολυέδρου τόσο γεωµετρικά όσο κι αλγεβρικά. Ορισµός 2.6: Έστω ένα πολύεδρο P. Ένα διάνυσµα x P καλείται ακρότατο του P αν δεν υπάρχουν δύο διανύσµατα z, z 2 P διαφορετικά του x και µια πραγµατική σταθερά λ [, ] τέτοια ώστε x = λ z + ( λ) z 2 Ορισµός 2.7: Έστω ένα πολύεδρο P. Ένα διάνυσµα x P καλείται κορυφή του P αν υπάρχει κάποιο c τέτοιο ώστε c Τ x < c Τ z για κάθε z P και z x. Με άλλα λόγια το x είναι κορυφή του P αν και µόνο αν το P βρίσκεται στον ένα ηµίχωρο, που ορίζει το υπερεπίπεδο c Τ x = c Τ z και η τοµή του P µε το υπερεπίπεδο είναι το x. Οι γεωµετρικοί ορισµοί που δόθηκαν παραπάνω δεν είναι αλγοριθµικά εύχρηστοι. Στη συνέχεια θα προσπαθήσουµε να ορίσουµε αλγεβρικά αυτές τις έννοιες πράγµα που θα µας βοηθήσει στην προσπάθεια να αναπτύξουµε αλγοριθµικά εργαλεία για την εύρεση των κορυφών ενός πολυέδρου. Έστω ένα πολύεδρο P R n το οποίο ορίζεται από τις σχέσεις α Τ i x b i, i =,, k α Τ i x b i, i = k +,, l α Τ i x = b i, i = l +,, m 7

19 όπου τα α i είναι διανύσµατα του R n και τα b i, είναι πραγµατικές σταθερές Ορισµός 2.8: Αν ένα διάνυσµα x ικανοποιεί τις σχέσεις α Τ i x = b i για κάποια i, οι αντίστοιχοι περιορισµοί ονοµάζονται ενεργοί στο x. Αν υπάρχουν n περιορισµοί που είναι ενεργοί σε ένα διάνυσµα x, τότε το x ικανοποιεί ένα γραµµικό σύστηµα n εξισώσεων µε n αγνώστους. Το σύστηµα έχει µια και µοναδική λύση αν και µόνο αν αυτές οι n εξισώσεις είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Θεώρηµα 2.3: Έστω x ένα στοιχείο του R n κι έστω Ι = {i α Τ i x = b i }, όπου Ι το σύνολο των δεικτών των περιορισµών που είναι ενεργοί στο x. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: α) Υπάρχουν n διανύσµατα στο σύνολο {α i i I}, που είναι γραµµικά ανεξάρτητα. β) Τα διανύσµατα α i, i I, παράγουν τον R n, δηλαδή κάθε διάνυσµα του R n µπορεί να εκφρασθεί ως γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων αυτών. γ) Το σύστηµα των γραµµικών εξισώσεων α Τ i x = b i, i I, έχει µία και µοναδική λύση. Απόδειξη Οι έννοιες που ακολουθούν αποτελούν τις αλγεβρικές εκφράσεις των γεωµετρικών εννοιών της κορυφής και του ακρότατου. Ορισµός 2.9: Έστω ένα πολύεδρο P που ορίζεται από γραµµικούς ισοτικούς και ανισοτικούς περιορισµούς και x ένα στοιχείο του R n. α) Το διάνυσµα x είναι βασική λύση αν:. Όλοι οι ισοτικοί περιορισµοί είναι ενεργοί και, 2. Από τους περιορισµούς που είναι ενεργοί στο x οι n είναι γραµµικά ανεξάρτητοι. β) Αν x είναι µια βασική λύση που ικανοποιεί όλους τους περιορισµούς, τότε καλείται βασική εφικτή λύση. Εδώ όταν λέµε ότι οι περιορισµοί i I είναι γραµµικά ανεξάρτητοι εννοούµε ότι τα αντίστοιχα διανύσµατα α i, i I είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Στο Σχήµα 2.2 βλέπουµε ένα παράδειγµα του παραπάνω ορισµού. Η σκιασµένη περιοχή που περικλείεται από τα σηµεία A, B, D και E είναι η περιοχή εφικτών λύσεων ενός ΠΓΠ. Τα σηµεία A, B, C, D, E είναι όλα βασικές λύσεις αφού υπάρχουν 8

20 τουλάχιστον δύο περιορισµοί που είναι ενεργοί για κάθε µια από αυτές. Το σηµείο C όµως δεν είναι βασική εφικτή λύση αφού δεν ικανοποιεί όλους τους περιορισµούς και είναι εκτός της περιοχής εφικτών λύσεων. C Β D Α E Σχήµα 2.2. Το ακόλουθο θεώρηµα επιβεβαιώνει ότι η βασικές εφικτές λύσεις είναι οι αλγεβρικές έκφρασεις των κορυφών και των ακρότατων ενός πολυέδρου. Θεώρηµα 2.4: Έστω ένα πολύεδρο P και x ένα στοιχείο του. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: α) το x είναι κορυφή του P, β) το x είναι ακρότατο του P, γ) το x είναι βασική εφικτή λύση του P. Απόδειξη Θεώρηµα 2.5: Το σύνολο των βασικών εφικτών λύσεων ενός πολύεδρου είναι πεπερασµένο. Απόδειξη 2.3. Πολύεδρα σε κανονική µορφή Οι ορισµοί των βασικών λύσεων που δόθηκαν στην προηγούµενη παράγραφο αναφέρονται σε γενικά πολύεδρα. Σε αυτή την παράγραφο θα µελετήσουµε τις ίδιες έννοιες σε πολύεδρα που βρίσκονται στην κανονική µορφή (όλοι οι περιορισµοί είναι ισοτικοί εκτός από τους περιορισµούς µη αρνητικότητας). Όπως έχουµε δει όλα τα ΠΓΠ και συνεπώς κι όλα τα πολύεδρα µπορούν να µετασχηµατιστούν στην κανονική 9

21 µορφή. Η χρήση της κανονικής µορφής είναι απαραίτητη για την ανάπτυξη ενός αλγορίθµου επίλυσης ΠΓΠ. Έστω P = {x R n Ax = b, x } ένα πολύεδρο σε κανονική µορφή, κι ακόµη έστω m n οι διαστάσεις του πίνακα A, όπου m είναι το πλήθος των ισοτικών περιορισµών. Από εδώ και πέρα θα κάνουµε την υπόθεση ότι οι m περιορισµοί είναι γραµµικά ανεξάρτητοι. Αυτό συνεπάγεται ότι m n µιας και οι γραµµές του A ανήκουν στον R n. Στη συνέχεια θα δούµε ότι όταν το P οι γραµµικά εξαρτηµένοι περιορισµοί είναι πλεοναστικοί και µπορούν να παραληφθούν Η υπόθεση πλήρους βαθµού του πίνακα Α Ορισµός 2.: Το µέγιστο πλήθος των γραµµικά ανεξάρτητων γραµµών ή στηλών ενός πίνακα A λέγεται βαθµός του A και συµβολίζεται r(a). Όταν ο βαθµός ενός πίνακα A, r(a) = min{m, n}, λέµε ότι ο A είναι πλήρους βαθµού Θεώρηµα 2.6: Έστω P = {x Ax = b, x } ένα µη κενό πολύεδρο, όπου A ένας πίνακας διαστάσεων m n, µε γραµµές α Τ,..., α Τ m. Υποθέτουµε ότι r(a) = k < m και ότι οι γραµµές a T T i,, a ik είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Θεωρούµε ακόµη το πολύεδρο T T Q = {x a i x = bi,, a i x = b k i, x } k Τότε έχουµε P = Q. Απόδειξη Εδώ πρέπει να σηµειώσουµε ότι έχουµε υποθέσει πως το πλήθος των περιορισµών m είναι µικρότερο ή ίσο από το πλήθος των µεταβλητών n (m n). Αν n m τότε προφανώς r(a) = k n m, m k περιορισµοί είναι πλεοναστικοί και το πρόβληµα ανάγεται στην προηγούµενη περίπτωση. Αν r(a) = n = m, τότε υπάρχει µια µοναδική λύση του προβλήµατος Ανάπτυξη αλγορίθµου εύρεσης βασικών λύσεων Παρατηρούµε ότι σε κάθε βασική λύση πρέπει να υπάρχουν n γραµµικά ανεξάρτητοι ενεργοί περιορισµοί. Επιπλέον κάθε βασική λύση πρέπει να ικανοποιεί όλους τους ισοτικούς περιορισµούς Ax = b, από τους οποίους παίρνουµε m ενεργούς περιορισµούς, που είναι επίσης γραµµικά ανεξάρτητοι λόγω της υπόθεσης ότι ο πίνακας A είναι πλήρους βαθµού. Για να βρεθούν οι υπόλοιποι n m περιορισµοί, 2

22 θέτουµε n m από τις µεταβλητές x i ίσες µε το µηδέν οπότε γίνονται ενεργοί οι αντίστοιχοι περιορισµοί µη αρνητικότητας x i. Η επιλογή αυτών των n m µεταβλητών που θα πρέπει να τεθούν ίσες µε το µηδέν δεν είναι αυθαίρετη όπως φαίνεται από το ακόλουθο θεώρηµα. Θεώρηµα 2.7: Έστω οι περιορισµοί Ax = b και x και ας υποθέσουµε ότι ο διαστάσεων m n πίνακας A αποτελείται από γραµµικά ανεξάρτητες γραµµές (δηλαδή r(a) = m). Ένα διάνυσµα x R n είναι βασική λύση αν και µόνο Ax = b και: α) Υπάρχουν m στήλες A B(),, A B(m) του πίνακα A που είναι γραµµικά ανεξάρτητες, β) αν i B(),, B(m), τότε x i =. Απόδειξη Με βάση το προηγούµενο αποτέλεσµα µπορούµε να διατυπώσουµε έναν αλγόριθµο για την εύρεση βασικών λύσεων: Αλγόριθµος εύρεσης βασικών λύσεων. Επιλέγουµε m γραµµικά ανεξάρτητες στήλες A B(),, A B(m) του πίνακα A. 2. Θέτουµε x i = για κάθε i B(),, B(m). i = B i B( i) = m 3. Λύνουµε το σύστηµα m εξισώσεων A ( ) x b για τους αγνώστους x B(),, x B(m). Αν µια βασική λύση x είναι και µη αρνητική, δηλαδή x, τότε είναι βασική εφικτή λύση. Αν x είναι βασική λύση τότε οι x B(),, x B(m), καλούνται βασικές µεταβλητές, ενώ οι υπόλοιπες λέγονται µη βασικές. Οι στήλες A B(),, A B(m) καλούνται βασικές στήλες και αποτελούν βάση του R m. Αναδιατάσσοντας τις βασικές στήλες έτσι ώστε να όλες µαζί, σχηµατίζεται ένας m m πίνακας Β που καλείται βασικός πίνακας ή βάση επειδή οι στήλες του είναι βάση του R m. Το διάνυσµα x Β = [x B(),, x B(m) ] Τ, περιέχει τις βασικές µεταβλητές οι οποίες καθορίζονται από την επίλυση της εξίσωσης Bx B = b της οποίας η µοναδική λύση δίδεται από x B = B b 2

23 Παράδειγµα 2. Έστω το πολύεδρο που προκύπτει από τους περιορισµούς σε κανονική µορφή Ax = b και x, όπου A = 2 6 και b = α) Βρείτε δυο διαφορετικές βασικές λύσεις. β) Τι θα γινόταν αν προσθέταµε µια ακόµη στήλη στον πίνακα A ίση µε την έβδοµη στήλη; Λύση Παρατηρούµε ότι οι τέσσερις τελευταίες στήλες του A, A 4, A 5, A 6 και A 7 σχηµατίζουν τον µοναδιαίο πίνακα 4 4 και προφανώς είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Επιλέγουµε αυτές ως βασικές και επιλύοντας το αντίστοιχο σύστηµα οδηγούµαστε στη βασική λύση x Τ = [,,, 8, 2, 4, 6] η οποία είναι και µη µηδενική άρα είναι και βασική εφικτή λύση. Πρέπει να σηµειωθεί εδώ ότι επειδή ο βασικός πίνακας είναι ο µοναδιαίος το διάνυσµα των βασικών µεταβλητών x Β είναι ίσο µε το b. Μια άλλη βάση προκύπτει να πάρουµε τις στήλες A 3, A 5, A 6 και A 7 που είναι επίσης γραµµικά ανεξάρτητες. Η αντίστοιχη βασική λύση είναι η x Τ = [,, 4,, 2, 4, 6], που δεν είναι εφικτή αφού x 5 = 2 <. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχει και µια όγδοη στήλη στον πίνακα A, η A 8 τέτοια ώστε A 8 = A 7. Σε αυτή την περίπτωση οι βάσεις Β 2 = [A 3, A 5, A 6, A 7 ] και Β 3 = [A 3, A 5, A 6, A 8 ] ενώ είναι ίσες αντιστοιχούν σε διαφορετικές βασικές στήλες και µας δίνουν διαφορετικές βασικές λύσεις. ιαφορετικές βασικές λύσεις πρέπει να αντιστοιχούν σε διαφορετικές βάσεις, διότι µια βάση ορίζει µε µοναδικό τρόπο µια βασική λύση. Παρόλα αυτά δύο διαφορετικές βάσεις µπορεί να οδηγήσουν στην ίδια βασική λύση. Το φαινόµενο αυτό έχει σηµαντικές αλγοριθµικές συνέπειες και θα µελετηθεί στην επόµενη παράγραφο. Όπως έχουµε δει, δυο διαφορετικές βασικές λύσεις λέµε ότι είναι γειτονικές, όταν υπάρχουν n γραµµικά ανεξάρτητοι περιορισµοί, που είναι ενεργοί και στις δύο. 22

24 Σε προβλήµατα στην κανονική τους µορφή δύο βασικές λύσεις είναι γειτονικές όταν έχουν τις ίδιες βασικές στήλες εκτός από µία Εκφυλισµένες βασικές λύσεις Σύµφωνα µε τον ορισµό σε µια βασική λύση πρέπει να υπάρχουν n γραµµικά ανεξάρτητοι ενεργοί περιορισµοί. Στην περίπτωση που υπάρχουν περισσότεροι από n ενεργοί περιορισµοί λέµε ότι έχουµε µια εκφυλισµένη βασική λύση. Ορισµός 2.: Μια βασική λύση x R n καλείται εκφυλισµένη όταν περισσότεροι από n περιορισµοί είναι ενεργοί στο x. Στις δύο διαστάσεις µια εκφυλισµένη βασική λύση συναντάται στην τοµή τριών ή περισσότερων γραµµών, ενώ στις τρεις διαστάσεις έχουµε µια εκφυλισµένη λύση όταν τέµνονται τέσσερα διαφορετικά επίπεδα. Στο Σχήµα 2.3 βλέπουµε ένα γεωµετρικό παράδειγµα εκφυλισµένων βασικών λύσεων. Τα σηµεία Α και C είναι βασικές εφικτές λύσεις ενώ τα σηµεία B και D είναι εκφυλισµένες βασικές εφικτές λύσεις. B C Α D Σχήµα 2.3. Παράδειγµα 2.2 Έστω το πολύεδρο που ορίζεται από τους περιορισµούς x + x 2 + 2x 3 8 x 2 + 6x 3 2 x 4 x 2 6 x, x 2, x 3 23

25 Να βρεθεί µια µη εκφυλισµένη βασική εφικτή λύση του προβλήµατος και µια εκφυλισµένη βασική εφικτή λύση, αν υπάρχει τέτοια. Λύση Το διάνυσµα x T = [2, 6, ] είναι µια µη εκφυλισµένη βασική εφικτή λύση επειδή υπάρχουν ακριβώς τρεις ενεργοί γραµµικά ανεξάρτητοι στο σηµείο αυτό, ο πρώτος ο τέταρτος και ο περιορισµός µη αρνητικότητας x 3. Η λύση x T 2 = [4,, 2] είναι εκφυλισµένη βασική εφικτή λύση αφού τέσσερις περιορισµοί είναι ενεργοί στο σηµείο αυτό, από τους οποίους οι τρεις είναι γραµµικά εξαρτηµένοι. Πιο συγκεκριµένα είναι ενεργοί οι τρεις πρώτοι περιορισµοί και ο περιορισµός µη αρνητικότητας x Εκφυλισµένες βασικές λύσεις σε προβλήµατα εκφρασµένα σε κανονική µορφή Σε µια βασική εφικτή λύση ενός πολυέδρου που βρίσκεται σε κανονική µορφή οι m ισοτικοί περιορισµοί είναι πάντα ενεργοί. Συνεπώς για να υπάρχουν περισσότεροι από n ενεργοί περιορισµοί θα πρέπει να υπάρχουν περισσότερες από n m µεταβλητές ίσες µε το µηδέν. Έτσι οδηγούµαστε στον επόµενο ορισµό, που είναι ειδική περίπτωση του προηγούµενου ορισµού. Ορισµός 2.2: Έστω ένα πολύεδρο σε κανονική µορφή P = {x R n Ax = b, x } κι έστω ακόµη µια βασική λύση x. Αν το πλήθος των γραµµών του A είναι m, το διάνυσµα x είναι εκφυλισµένη βασική λύση αν περισσότερες από n m µεταβλητές του x είναι µηδέν. Παράδειγµα 2.3 Έστω το πολύεδρο του προηγούµενου παραδείγµατος (2.4). Εισάγοντας τις περιθώριες µεταβλητές x 4, x 5, x 6, x 7, µετασχηµατίζουµε το πολύεδρο στην κανονική µορφή P = {x T = [x,, x 7 ] Ax = b, x }, όπου A = 2 6 και b =

26 Να βρεθεί µια εκφυλισµένη βασική εφικτή λύση του προβλήµατος, αν υπάρχει τέτοια. Λύση Θεωρούµε τη βάση B που αποτελείται από τις γραµµικά ανεξάρτητες στήλες A, A 2, A 3 και A 7 του πίνακα A. Για την εκτίµηση της αντίστοιχης βασικής λύσης µηδενίζουµε τις µη βασικές µεταβλητές x 4, x 5 και x 6 και στη συνέχεια επιλύουµε το σύστηµα Ax = b, για την εκτίµηση των υπολοίπων µεταβλητών. Η λύση που καταλήγουµε είναι η x T = [4,, 2,,,, 6]. Η λύση αυτή είναι µια εκφυλισµένη βασική λύση διότι έχουµε συνολικά τέσσερις µηδενικές µεταβλητές ενώ n m =7 4 = 3. Η λύση του συστήµατος ικανοποιεί έναν ακόµη περιορισµό, τον περιορισµό x 2, ισοτικά. Σε µια µη εκφυλισµένη βασική λύση ακριβώς n m περιορισµοί µη αρνητικότητας είναι ενεργοί και οι αντίστοιχες µεταβλητές είναι µη βασικές. Όταν έχουµε µια εκφυλισµένη βασική λύση, περισσότεροι από n m περιορισµοί µη αρνητικότητας είναι ενεργοί και υπάρχουν πολλοί δυνατοί συνδυασµοί επιλογής των n m µη βασικών µεταβλητών. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν πολλές διαφορετικές βάσεις που αντιστοιχούν στην ίδια βασική λύση Ύπαρξη ακρότατων και η σχέση τους µε τις βέλτιστες λύσεις Σε αυτή την παράγραφο θα µελετήσουµε τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε ένα πολύεδρο να έχει ακρότατα κι επίσης τη σχέση που έχουν αυτά µε τις βέλτιστες λύσεις των ΠΓΠ. Αρχικά πρέπει να παρατηρήσουµε ότι δεν έχουν όλα τα πολύεδρα ακρότατα. Για παράδειγµα ένας ηµίχωρος στον R n όπου n > είναι ένα πολύεδρο χωρίς ακρότατα. Αποδεικνύεται όπως θα δούµε στη συνέχεια ότι η ύπαρξη ακρότατων εξαρτάται από το αν ένα πολύεδρο περιέχει ευθείες γραµµές ή όχι. Ένα πολύ καθαρό παράδειγµα φαίνεται στο Σχήµα 2.4. Το πολύεδρο P περιέχει τουλάχιστον µια (στην πραγµατικότητα περιέχει άπειρες ευθείες γραµµές) και δεν διαθέτει ακρότατα, ενώ το πολύεδρο S δεν περιέχει ευθείες γραµµές αλλά διαθέτει ένα ακρότατο. 25

27 P S Σχήµα 2.4. Ορισµός 2.2: Ένα πολύεδρο P R n λέµε ότι περιέχει µια ευθεία γραµµή αν υπάρχει ένα διάνυσµα x P και ένα µη µηδενικό διάνυσµα d R n τέτοιο ώστε x + λd P για κάθε πραγµατικό λ. Αποδεικνύεται ότι ισχύει το ακόλουθο θεώρηµα. Θεώρηµα 2.8: Έστω ότι το πολύεδρο P = {x R n a T i x b i, i =,, m} είναι µη κενό. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: α) Το πολύεδρο P έχει τουλάχιστον ένα ακρότατο. β) Το πολύεδρο P δεν περιέχει ευθείες γραµµές. γ) Υπάρχουν n διανύσµατα από τα a,, a m, που είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Απόδειξη Αξίζει να σηµειωθεί ότι ένα φραγµένο πολύεδρο δεν περιέχει ευθεία γραµµή. Όµοια το υποσύνολο S = {x x } του R n δεν περιέχει ευθεία γραµµή. Αφού ένα πολύεδρο σε κανονική µορφή περιέχεται από το S δεν περιέχει ούτε αυτό ευθεία γραµµή. Από τις προηγούµενες παρατηρήσεις προκύπτει το ακόλουθο πόρισµα. Πόρισµα 2.: Κάθε µη κενό φραγµένο πολύεδρο και κάθε µη κενό πολύεδρο σε κανονική µορφή έχει τουλάχιστον µια βασική εφικτή λύση. Στη συνέχεια θα επιβεβαιώσουµε την διαισθητική παρατήρηση που κάναµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάποια (ή κάποιες) από τις κορυφές του πολυέδρου (εφόσον υπάρχουν) της περιοχής εφικτών λύσεων ενός ΠΓΠ είναι βέλτιστη λύση. Θεώρηµα 2.9: Θεωρούµε ένα ΠΓΠ όπου ζητείται η µεγιστοποίηση της αντικειµενικής συνάρτησης c T x στο πολύεδρο P. Υποθέτουµε ότι το P έχει τουλάχιστον µια κορυφή (ακρότατο) κι ότι υπάρχει βέλτιστη λύση. Τότε υπάρχει βέλτιστη λύση που είναι κορυφή του P. Απόδειξη 26

28 Το επόµενο αποτέλεσµα είναι ακόµη πιο ισχυρό αφού µας δείχνει ότι υπάρχει βέλτιστη λύση αρκεί η βέλτιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτηση να είναι φραγµένη. Θεώρηµα 2.: Θεωρούµε ένα ΠΓΠ όπου ζητείται η µεγιστοποίηση της αντικειµενικής συνάρτησης c T x στο πολύεδρο P. Υποθέτουµε ότι το P έχει τουλάχιστον µια κορυφή. Τότε είτε η βέλτιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης είναι +, είτε υπάρχει µια κορυφή που είναι βέλτιστη λύση. Απόδειξη Όπως είδαµε υπάρχουν προβλήµατα στα οποία ο χώρος των εφικτών λύσεων είναι ένα πολύεδρο χωρίς ακρότατα. Σε αυτή την περίπτωση η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης απειρίζεται. Αυτή η παρατήρηση µας οδηγεί στο επόµενο πόρισµα. Πόρισµα 2.2: Θεωρούµε ένα ΠΓΠ όπου ζητείται η µεγιστοποίηση της αντικειµενικής συνάρτησης c T x στο µη κενό πολύεδρο P. Τότε είτε η βέλτιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης είναι + είτε υπάρχει τουλάχιστον µία βέλτιστη λύση. Μάλιστα θα πρέπει να παρατηρήσουµε ότι όταν το πολύεδρο των εφικτών λύσεων είναι φραγµένο και µη κενό υπάρχει πάντα µια τουλάχιστον βέλτιστη λύση. Ακολουθεί ένα παράδειγµα που παρουσιάζει πως µπορούµε να βρούµε της βέλτιστη λύση ενός ΠΓΠ αξιοποιώντας τα προηγούµενα αποτελέσµατα. Παράδειγµα 2.4 Να λυθεί το παρακάτω ΠΓΠ z = max(3x + 2x 2 2x 3 + x 4 ) x x 2 + x 3 + x 4 = 5 2x + x 2 + 2x 3 = 4x x 2 + 4x 3 + 2x 4 = x, x 2, x 3, x 4 Λύση Παρατηρούµε ότι οι περιορισµοί είναι γραµµικά εξαρτηµένοι. Αν πολλαπλασιάσουµε επί δύο τον πρώτο και τον προσθέσουµε στον δεύτερο παίρνουµε 27

29 τον τρίτο. Άρα ένας από τους τρεις περιορισµούς είναι περιττός. Αφού οι δύο πρώτοι είναι γραµµικά ανεξάρτητοι τους κρατάµε και διαγράφουµε τον τρίτο. Έτσι έχουµε το ισοδύναµο πρόβληµα z = max(3x + 2x 2 2x 3 + x 4 ) x x 2 + x 3 + x 4 = 5 2x + x 2 + 2x 3 = x, x 2, x 3, x 4 που είναι πρόβληµα βαθµού r = 2. Αρχικά εξετάζουµε αν η περιοχή εφικτών λύσεων είναι φραγµένη, που είναι ικανή συνθήκη για να έχει το πρόβληµα βέλτιστη λύση. Από τον δεύτερο περιορισµό και τους περιορισµούς µη αρνητικότητας έχουµε ότι x /2, x 2, x 3 /2. Ακόµη προσθέτοντας κατά µέλη τους περιορισµούς και χρησιµοποιώντας τους περιορισµούς µη αρνητικότητας, προκύπτει ότι x 4 6. Από τα παραπάνω είναι προφανές ότι η περιοχή εφικτών λύσεων στο πρόβληµα µας είναι φραγµένη. Αυτό σηµαίνει ότι για να λύσουµε το πρόβληµα αρκεί να βρούµε τις κορυφές της περιοχής εφικτών λύσεων. Αφού ο βαθµός του πίνακα Α είναι r = 2 παίρνουµε τις στήλες του πίνακα Α ανά δύο. Στο συγκεκριµένο πρόβληµα επειδή έχουµε τέσσερις µεταβλητές και δύο περιορισµούς θα υπάρχουν το πολύ 4!/2!2! = 6 κορυφές. α) Οι στήλες Α και Α 2 είναι γραµµικά ανεξάρτητες, οπότε βρίσκουµε τη λύση του συστήµατος Α x + Α 2 x 2 = b x 2 + x 2 5 = το οποίο έχει λύση x = 2, x 2 = 3. Βλέπουµε ότι αυτή η λύση είναι βασική αλλά όχι εφικτή αφού δεν ικανοποιεί τους περιορισµούς µη αρνητικότητας, άρα δε µπορεί να είναι κορυφή της περιοχής εφικτών λύσεων. β) Οι στήλες Α και Α 3 είναι γραµµικά εξαρτηµένες. γ) Οι στήλες Α και Α 4 είναι γραµµικά ανεξάρτητες, οπότε λύνουµε το ακόλουθο σύστηµα 28

30 Α x + Α 4 x 4 = b x 2 + x 4 5 = κι έχουµε ότι x = /2 και x 4 = 9/2, που γίνεται δεκτή άρα η x T = [/2,,, 9/2] είναι µια κορυφή της περιοχής εφικτών λύσεων. δ) Οι στήλες Α 2 και Α 3 είναι γραµµικά ανεξάρτητες, οπότε έχουµε Α 2 x 2 + Α 3 x 3 = b x x 3 5 = απ όπου προκύπτει ότι x 2 = 3 και x 3 = 2, που δεν είναι εφικτή λύση. ε) Οι στήλες Α 2 και Α 4 είναι γραµµικά ανεξάρτητες, οπότε από το σύστηµα Α 2 x 2 + Α 4 x 4 = b x + 2 x 4 5 = έχουµε ότι x 2 = και x 4 = 6, που γίνεται δεκτή άρα η x T 2 = [,,, 6] είναι µια κορυφή της περιοχής εφικτών λύσεων. στ) Τέλος αφού οι στήλες Α 3 και Α 4 είναι γραµµικά ανεξάρτητες, από το σύστηµα Α 3 x 3 + Α 4 x 4 = b x x 4 5 = έχουµε ότι x 3 = /2 και x 4 = 9/2, που είναι αποδεκτή άρα η x T 3 = [,, /2, 9/2] είναι µια κορυφή της περιοχής εφικτών λύσεων. Άρα υπάρχουν τρεις βασικές εφικτές λύσεις στη περιοχή εφικτών λύσεων. Η βέλτιστη λύση θα πρέπει να αναζητηθεί µεταξύ αυτών. Οι αντίστοιχες τιµές της αντικειµενικής συνάρτησης είναι z = c T x = 6, z 2 = c T x 2 =, z 3 = c T x 3 = 3.5. Συνεπώς η βέλτιστη λύση είναι η x T 2 = [,,, 6] αφού αυτή µεγιστοποιεί την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης. 29

31 Κεφάλαιο 3 Η µέθοδος Simplex για την επίλυση του ΠΓΠ Όπως είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο, αν ένα ΠΓΠ έχει βέλτιστη λύση, τότε υπάρχει κάποια βασική εφικτή λύση, που είναι βέλτιστη. Ο αλγόριθµος της Simplex στηρίζεται σε αυτό το γεγονός. Η Simplex ψάχνει για τη βέλτιστη λύση µεταπηδώντας από βασική εφικτή λύση σε βασική εφικτή λύση της περιοχής εφικτών λύσεων, έτσι ώστε σε κάθε βήµα να βελτιώνεται η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης. Όταν καταλήξει σε κορυφή (βασική εφικτή λύση), από την οποία δεν µπορεί να µεταβεί σε κάποια γειτονική κορυφή µε καλύτερη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης τερµατίζει, καθώς αυτή είναι η βέλτιστη λύση. Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζουµε αναλυτικά τον αλγόριθµο της Simplex. Σε όλο το κεφάλαιο θεωρούµε ότι τα ΠΓΠ που µελετάµε βρίσκονται σε κανονική µορφή δηλαδή z = max(c T x) Ax = b x όπου µε P συµβολίζουµε το σύνολο των εφικτών λύσεων, ο πίνακας A είναι ένας πίνακας m n και θεωρούµε ότι είναι πλήρους βαθµού δηλαδή r(a) = m. 3.. Συνθήκες βελτιστότητας Συνήθως οι αλγόριθµοι βελτιστοποίησης έχουν την ακόλουθη δοµή. Ξεκινώντας από µια εφικτή λύση αναζητούν στη «γειτονιά» τους µια εφικτή λύση µε καλύτερη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης. Αν δεν υπάρχει γειτονικό σηµείο, που να βελτιώνει την αντικειµενική συνάρτηση, είµαστε σε τοπικό βέλτιστο. Στην περίπτωση του γραµµικού προγραµµατισµού τα τοπικά βέλτιστα είναι και ολικά λόγω της κυρτότητας της αντικειµενικής συνάρτησης και του συνόλου εφικτών λύσεων. Σε αυτή την παράγραφο θα ασχοληθούµε µε το πρόβληµα της αναζήτησης βελτιωµένων γειτονικών λύσεων και των συνθηκών βελτιστότητας, εκείνων δηλαδή των συνθηκών που µας εξασφαλίζουν ότι η λύση που έχουµε βρει είναι βέλτιστη. 3

32 Υποθέτουµε ότι είµαστε αρχικά σε ένα σηµείο x P κι ότι σχεδιάζουµε να µετακινηθούµε µακριά από το x προς την κατεύθυνση ενός διανύσµατος d R n. Προφανώς θα πρέπει να εξετάσουµε τα διανύσµατα εκείνα που δε µας µεταφέρουν άµεσα εκτός της περιοχής εφικτών λύσεων, έτσι οδηγούµαστε στον ακόλουθο ορισµό. Ορισµός 3.: Έστω ένα σηµείο x του πολυέδρου P. Ένα διάνυσµα d R n λέµε ότι ορίζει µια εφικτή κατεύθυνση στο x, αν υπάρχει θετικός πραγµατικός θ τέτοιος ώστε x + θd P. Έστω x µια βασική εφικτή λύση ενός ΠΓΠ σε κανονική µορφή. Αν x B(),, x B(m), είναι οι βασικές µεταβλητές, ο πίνακας B = [A B(),, A B(m) ] είναι ο αντίστοιχος βασικός πίνακας. Προφανώς x i = για κάθε µη βασική µεταβλητή, ενώ το διάνυσµα τιµών των βασικών µεταβλητών δίδεται, όπως έχουµε δει, από x B = B b Μελετάµε τη δυνατότητα µετακίνησης από το σηµείο x, σε ένα νέο διάνυσµα x + θd, επιλέγοντας µια µη βασική µεταβλητή x j και µεταβάλλοντας την τιµή της από µηδέν σε µια θετική τιµή θ. Οι υπόλοιπες µη βασικές µεταβλητές παραµένουν ίσες µε το µηδέν. Αυτό σηµαίνει ότι οι αντίστοιχες µεταβλητές του διανύσµατος d παίρνουν τις τιµές dj = και d i = για όλες τις µη βασικές µεταβλητές x i εκτός της x j. Το διάνυσµα των βασικών µεταβλητών γίνεται x Β + θd Β, όπου d Τ Β = [d B(),, d B(m) ] είναι το διάνυσµα των µεταβλητών του d που αντιστοιχούν στις βασικές µεταβλητές. Αφού µας ενδιαφέρουν µόνο οι εφικτές λύσεις απαιτούµε A(x + θd) = b και δεδοµένου ότι η x είναι εφικτή λύση έχουµε ότι Ax = b. Για να ικανοποιούνται οι περιορισµοί δεδοµένου ότι θ >, θα πρέπει να ισχύει ότι Ad =. Αφού dj = και d i = για όλες τις άλλες µη βασικές µεταβλητές x i, έχουµε n = Ad = Aidi = m i= i= A B( i) d B( i) + A j = Bd B + A j Ο πίνακας Β αποτελείται από γραµµικά ανεξάρτητες στήλες άρα είναι αντιστρέψιµος κι έτσι από την προηγούµενη εξίσωση παίρνουµε d Β = B A j (3.) Με αυτό τον τρόπο εξασφαλίζουµε ότι η νέα λύση ικανοποιεί τους περιορισµούς Ax = b. Τι γίνεται όµως µε τους περιορισµούς µη αρνητικότητας; Στη νέα λύση οι µη 3

33 βασικές µεταβλητές x i εκτός της x j παραµένουν µηδέν, ενώ η x j γίνεται θετική, άρα θα πρέπει να εξετάσουµε τι γίνεται µε τις τιµές των βασικών µεταβλητών. ιακρίνουµε δυο περιπτώσεις: α) Υποθέτουµε ότι η x είναι µια µη εκφυλισµένη βασική εφικτή λύση. Σε αυτή την περίπτωση x B > και τελικά έχουµε ότι x B + θ d Β για αρκετά µικρές τιµές του θ, δηλαδή το d ορίζει µια εφικτή κατεύθυνση. β) Αν όµως η βασική εφικτή λύση από την οποία ξεκινάµε είναι εκφυλισµένη τότε το d δεν ορίζει πάντα µια εφικτή κατεύθυνση. Είναι δυνατό µια βασική µεταβλητή x Β(i) να είναι µηδέν, ενώ η αντίστοιχη µεταβλητή d Β(i) του d B = B A j να είναι αρνητική. Σε αυτή την περίπτωση ο περιορισµός µη αρνητικότητας παραβιάζεται για οποιαδήποτε θετική τιµή του θ. Έστω ότι το d ορίζει µια εφικτή κατεύθυνση. Αν το d µας οδηγεί στην j-οστή κατεύθυνση, δηλαδή µεταβάλει την τιµή της µεταβλητής x j που ήταν αρχικά µηδενική, τότε ο ρυθµός µεταβολή της αντικειµενικής συνάρτησης c T d θα είναι ίσος µε c T Β d Β + c j, όπου c T Β = [c B(),, c B(m) ] είναι το διάνυσµα των συντελεστών της αντικειµενικής συνάρτησης, που αντιστοιχούν στις βασικές µεταβλητές. Χρησιµοποιώντας την (3.) έχουµε ότι c T d = c j c T Β B A j. Η ποσότητα αυτή είναι αρκετά σηµαντική. Η παράµετρος c j εκφράζει τη µοναδιαία µεταβολή της αντικειµενικής συνάρτησης αν αυξηθεί η µεταβλητή x j, ενώ ο όρος c T Β B A j εκφράζει τη µεταβολή της αντικειµενικής συνάρτησης που προκαλείται από την αλλαγή των τιµών των βασικών µεταβλητών και αντισταθµίζει την µεταβολή λόγω της x j. Ορισµός 3.2: Αν x µια βασική εφικτή λύση του πολυέδρου P, B ο αντίστοιχος βασικός πίνακας και c Β το διάνυσµα των συντελεστών αντικειµενικής συνάρτησης των βασικών µεταβλητών, τότε για κάθε j ορίζουµε ως µοναδιαία αύξηση του κέρδους c j της x j την ποσότητα c j = c j c T Β B A j. Παράδειγµα 3. Έστω το ακόλουθο ΠΓΠ z = max(x + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 ) x + x 2 + x 3 + x 4 = 2 32

34 2x + 3x 3 + 4x 4 = 2 x, x 2, x 3, x 4 α) Βρείτε µια βασική εφικτή λύση. β) Υπολογίστε το διάνυσµα βασικής κατεύθυνσης κατά τη διεύθυνση µιας από τις µη βασικές µεταβλητές και την αντίστοιχη µοναδιαία αύξηση κέρδους. Λύση Παρατηρούµε ότι οι δύο πρώτες στήλες του A, A Τ = [, 2] και A Τ 2 = [, ] είναι γραµµικά ανεξάρτητες οπότε µπορούµε να επιλέξουµε τις x, x 2 ως βασικές µεταβλητές. Ο αντίστοιχος βασικός πίνακας είναι ο B = 2 Θέτουµε τις x 3 = x 4 =, κι επιλύοντας ως προς x, x 2 προκύπτει ότι x = και x 2 =. Το διάνυσµα βασικής κατεύθυνσης, που αντιστοιχεί στη µεταβολή της µη βασικής µεταβλητής x 3 υπολογίζεται ως ακολούθως. Όπως έχουµε δει θα πρέπει d 3 = και d 4 =. Η κατεύθυνση µεταβολής των βασικών µεταβλητών εκτιµάται µε τη χρήση της Εξίσωσης (3.) d d 2 = d B = B A 3 = / 2 = / 2 3 3/ 2 / 2 Η µοναδιαία αύξηση κέρδους που προκύπτει αν µετακινηθούµε σε αυτή την κατεύθυνση είναι c 3 = c 3 c Β T B A 3 = 2.5. Ας ξαναδούµε λίγο τον ορισµό της µοναδιαίας αύξησης κέρδους για την περίπτωση των βασικών µεταβλητών. Προφανώς B [A B(),, A B(m) ] = I, όπου I είναι ο m m µοναδιαίος πίνακας. Από τα προηγούµενα έχουµε ότι B A B(i), είναι η i-στη στήλη του µοναδιαίου πίνακα, που είναι το i-στο µοναδιαίο διάνυσµα e i. Συνεπώς για κάθε βασική µεταβλητή x B(i) θα έχουµε c B(i) = c B(i) c T Β B A B(i) = c B(i) c T Β e i = c B(i) c B(i) =, πράγµα που σηµαίνει ότι η µοναδιαία αύξηση κέρδους για τις βασικές µεταβλητές είναι µηδέν. Το επόµενο θεώρηµα µας δίδει τις απαραίτητες συνθήκες βελτιστότητας. 33

35 Θεώρηµα 3.: Έστω µια βασική εφικτή λύση x που αντιστοιχεί σε ένα βασικό πίνακα B κι ακόµη έστω c το αντίστοιχο διάνυσµα µοναδιαίων αυξήσεων κέρδους. α) Αν c, τότε το x είναι βέλτιστη λύση. β) Αν το x είναι βέλτιστη και µη εκφυλισµένη βασική εφικτή λύση τότε c. Απόδειξη Σηµειώστε ότι το προηγούµενο θεώρηµα επιτρέπει τη δυνατότητα c j > για κάποια µη βασική µεταβλητή x j αν x είναι µια εκφυλισµένη βέλτιστη βασική εφικτή λύση. Σύµφωνα µε το προηγούµενο θεώρηµα, ένα κριτήριο απόφασης σχετικά µε τη βελτιστότητα µιας µη εκφυλισµένης βασικής εφικτής λύσης είναι ο έλεγχος µη θετικότητας, όλων των µοναδιαίων αυξήσεων κερδών των n m µη βασικών µεταβλητών. Ένας εναλλακτικός τρόπος διατύπωσης των συνθηκών βελτιστότητας είναι ο ακόλουθος. Ορισµός 3.3: Ένας βασικός πίνακας B καλείται βέλτιστος αν ισχύουν: α) B b, και β) c T = c T c T B B A T Προφανώς ένας βέλτιστος βασικός πίνακας µας οδηγεί στην αντίστοιχη βασική εφικτή λύση που επειδή ικανοποιεί τις συνθήκες βελτιστότητας είναι βέλτιστη Ανάπτυξη αλγορίθµου Simplex Ο βασικός µας στόχος σε αυτή την παράγραφο είναι ο καθορισµός των λεπτοµερειών ενός βήµατος µετάβασης από µια βασική εφικτή λύση σε µια καλύτερη βασική εφικτή λύση. Αυτό αποτελεί το βασικό κορµό της µεθόδου Simplex. Πριν ξεκινήσουµε υποθέτουµε ότι κάθε βασική εφικτή λύση είναι µη εκφυλισµένη. Υποθέτουµε ακόµη ότι στην αρχή βρισκόµαστε σε µια βασική εφικτή λύση x κι ότι έχουµε εκτιµήσει τις µοναδιαίες αυξήσεις κέρδους c j των µη βασικών µεταβλητών. Αν είναι όλες µικρότερες ή ίσες του µηδενός σύµφωνα µε το Θεώρηµα 3. η x είναι βέλτιστη λύση και µπορούµε να τερµατίσουµε τον αλγόριθµο. Αν όµως υπάρχει κάποιο c j κάποιας µη βασικής µεταβλητής x j που είναι µεγαλύτερο του µηδενός η j-στη κατεύθυνση d είναι εφικτή κατεύθυνση και αν την ακολουθήσουµε 34

36 οδηγούµαστε σε εφικτές λύσεις µε βελτιωµένο κέρδος. Η κατεύθυνση d είναι αυτή που προκύπτει αν θέσουµε d j =, d i =, για κάθε x i που δεν είναι βασική µεταβλητή, ενώ για τις βασικές µεταβλητές έχουµε δει ότι d B = B A j. Καθώς µετακινούµαστε κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος d, η µη βασική µεταβλητή x j γίνεται θετική, ενώ όλες οι άλλες µη βασικές µεταβλητές παραµένουν µηδέν. Σε αυτή την περίπτωση λέµε ότι η µεταβλητή x j εισέρχεται στη βάση ή γίνεται βασική. Καθώς µετακινούµαστε από το σηµείο x κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος d, οδηγούµαστε σε σηµεία που ικανοποιούν την x + θd, όπου θ. Αφού το κέρδος µας αυξάνει όσο µετακινούµαστε σε αυτή την κατεύθυνση, επιθυµούµε να µετακινηθούµε σε αυτή όσο το δυνατόν περισσότερο. Έτσι οδηγούµαστε στο σηµείο x + θ d, όπου θ = max{θ x + θd P} όπου P βέβαια το πολύεδρο των εφικτών λύσεων. Η µεταβολή του κέρδους που προκύπτει είναι θ c T d, που είναι ίση µε θ c j. Το ερώτηµα είναι πως προκύπτει η τιµή του θ. Έχουµε δει ότι Ad =, που σηµαίνει ότι A(x + θd) = Ax = b για κάθε θ και συνεπώς οι ισοτικοί περιορισµοί δεν παραβιάζονται ποτέ. Η µόνη περίπτωση το σηµείο x + θd να µην είναι εφικτή λύση είναι να παραβιάζει τους περιορισµούς µη αρνητικότητας. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις: α) Αν d, τότε x + θd, για κάθε θ, και το διάνυσµα x + θd θα είναι εφικτή λύση για κάθε τιµή του θ. Σε αυτή την περίπτωση βέβαια θ = + και το κέρδος µας απειρίζεται. β) Αν d i <, για κάποιο i, ο περιορισµός µη αρνητικότητας x i + θd i, γίνεται θ x i /d i. Αυτοί οι περιορισµοί πρέπει να ικανοποιούνται για κάθε i, µε d i <. Συνεπώς η µέγιστη δυνατή τιµή του θ είναι θ = min x i i d < d. { i } i Σηµειώστε ότι αν η µεταβλητή x i δεν είναι βασική τότε αν εισέρχεται στη βάση d i = αλλιώς d i =. Γι αυτό το λόγο εξετάζουµε µόνο τις βασικές µεταβλητές και η προηγούµενη σχέση γίνεται θ = min { i=,..., m db( i ) < } x d B( i) B( i). (3.2) 35

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Παραδείγματα προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού ασχολούνται με καταστάσεις όπου ένας αριθμός πλουτοπαραγωγικών πηγών, όπως άνθρωποι,

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΊΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ: «ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ, ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας

υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας Το δυϊκό πρόβληµα Χρησιµότητα, εφαρµογές Ανάλυση ευαισθησίας Παραδείγµατα 1 Το δυϊκό πρόβληµα Σε κάθε πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού πρωτεύον, primal - αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Άμφισσα, 2013 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες Bézier και Geogebra

Καµπύλες Bézier και Geogebra Καµπύλες Bézier και Geogebra Κόλλιας Σταύρος Ένα από τα προβλήµατα στη σχεδίαση δυσδιάστατων εικόνων στα προγράµµατα γραφικών των υπολογιστών είναι η δηµιουργία οµαλών καµπυλών. Η λύση στο πρόβληµα αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ... 11. Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ... 11. Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29 Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα βελτιστοποίησης Γραμμικά προγράμματα Ακέραια προγράμματα Τετραγωνικά προγράμματα Διατύπωση προβλήματος Σύμβαση λύσης Κεφάλαιο ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια 8 Κρούσεις Στην µηχανική µε τον όρο κρούση εννοούµε τη σύγκρουση δύο σωµάτων που κινούνται το ένα σχετικά µε το άλλο.το ϕαινόµενο της κρούσης έχει δύο χαρακτηριστικά : ˆ Εχει πολύ µικρή χρονική διάρκεια.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Θέµα 1 ο Α. Να απαντήσετε τις παρακάτω ερωτήσεις τύπου Σωστό Λάθος (Σ Λ) 1. Σκοπός της συγχώνευσης 2 ή περισσοτέρων ταξινοµηµένων πινάκων είναι η δηµιουργία

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος υποδο?ών?εταφράζεταισε?ίαγενικότερηεξοικονό?ησηπαραγωγικώνπόρωνγιατηκοινωνία. τεχνικέςυποδο?ές,όπωςείναιαυτοκινητόδρο?οι,γέφυρεςκ.λ.π.ηκατασκευήτέτοιων Μιααπ τιςβασικέςλειτουργίεςτουκράτουςείναιοεφοδιασ?όςτηςκοινωνίας?εβασικές

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Πρόγραμμα Γενικό γραμμικό πρόβλημα με πολύγωνη περιοχή εφικτών λύσεων Να λυθεί το παρακάτω γραμμικό πρόγραμμα: ma z μ. π. 4

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization).

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθµική Επιχειρησιακή Ερευνα. Χειµερινό Εξάµηνο 2013-2014. Ασκήσεις. 1. Ενα διυλιστήριο µπορεί να επεξεργαστεί τρία είδη ακατέργαστου πετρελαίου :

Αλγοριθµική Επιχειρησιακή Ερευνα. Χειµερινό Εξάµηνο 2013-2014. Ασκήσεις. 1. Ενα διυλιστήριο µπορεί να επεξεργαστεί τρία είδη ακατέργαστου πετρελαίου : Αλγοριθµική Επιχειρησιακή Ερευνα Χειµερινό Εξάµηνο 2013-2014 Ασκήσεις 1. Ενα διυλιστήριο µπορεί να επεξεργαστεί τρία είδη ακατέργαστου πετρελαίου : - το πρώτο προερχόµενο από την Αφρική, το οποίο ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της συνάρτησης Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία (κανόνας τρόπος ), µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Ας δούµε τώρα πως το εν λόγω υπόδειγµα µεταχειρίζεται τη συσσώρευση κεφαλαίου.

Ας δούµε τώρα πως το εν λόγω υπόδειγµα µεταχειρίζεται τη συσσώρευση κεφαλαίου. Το υπόδειγµα οικονοµικής µεγέθυνσης του Solow σχεδιάστηκε προκειµένου να δείξει πως η µεγέθυνση του κεφαλαίου, του εργατικού δυναµικού αλλά και οι µεταβολές στην τεχνολογία αλληλεπιδρούν σε µια οικονοµία,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα