ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ"

Transcript

1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον 30% πρωτεΐνες και 40% υδατάνθρακες. Για την παραγωγήτης συγκεκριµένης παρτίδας, ο υπεύθυνος παραγωγής της εταιρείας ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ αποφάσισε να αναµείξει µια εισαγόµενη πλούσια σε θρεπτικά υλικά τροφή, µε ιχθυάλευρο και δηµητριακά, ώστε να µειώσει το κόστος, ικανοποιώντας όµως τις ελάχιστες διαιτητικές απαιτήσεις του πελάτη οεπεριεκτικότητα πρωτεϊνών και υδατανθράκων. Ηεισαγόµενη τροφή έχει περιεκτικότητα 40% σε πρωτεΐνες και 40% σευδατάνθρακες, και κοστίζει 1 ευρώ το κιλό. Το ιχθυάλευρο έχει περιεκτικότητα 25% πρωτεΐνες και 20% υδατάνθρακες και κοστίζει 0,7 ευρώ το κιλό, ενώ τα δηµητριακά µεπεριεκτικότητα 20% και 40%, αντίστοιχα σε πρωτεΐνες και υδατάνθρακες έχουν κόστος 0,8 ευρώ το κιλό. Το ζητούµενο είναι να προσδιορισθούν οι ποσότητες που θα πρέπει να αναµείξει ο υπεύθυνος παραγωγής ώστε να επιτύχει το µικρότερο δυνατό κόστος,ικανοποιώντας ταυτόχρονα τις ελάχιστες απαιτήσεις του πελάτη σε θρεπτικά υλικά.

2 Τοπαραπάνω πρόβληµα µπορεί να διατυπωθεί ως πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού ως εξής: Μεταβλητές του Προβλήµατος: Ο υπεύθυνος παραγωγής πρέπει να προσδιορίσει τις ποσότητες από κάθε υλικό που θα πρέπει να αναµείξει Ορίζουµε τις µεταβλητές: Χ 1 = Ποσότητα (σε χιλιόγραµµα) Εισαγόµενης Τροφής Χ 2 = Ποσότητα (σε χιλιόγραµµα) Ιχθυάλευρου Χ 3 = Ποσότητα (σε χιλιόγραµµα) ηµητριακών

3 Αντικειµενική Συνάρτηση Στόχοςτου υπευθύνου παραγωγής είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους παραγωγής των 1000 κιλών ζωοτροφής Με βάση τις τιµές ανά κιλό των ποσοτήτων Χ 1, Χ 2 και Χ 3 το συνολικό κόστος των 1000 κιλώντης τροφής είναι 1Χ 1 + 0,7X 2 + 0,8X 3 Η αντικειµενική συνάρτηση διατυπώνεται ως: Ελαχιστοποίηση Κόστους: 1Χ 1 + 0,7X 2 + 0,8X 3 Περιορισµοί Η συνολική ποσότητα ζωοτροφής που θα παρασκευαστεί πρέπει να είναι 1000 κιλά Εποµένως: Συνολική ποσότητα παραγωγής: Χ 1 + Χ 2 + Χ 3 = 1000 Η συνολική ποσότητα πρωτεϊνών που θα περιέχεται στη ζωοτροφή πρέπει να αποτελεί τουλάχιστον το 30% της συνολικής ποσότητας της τροφής Αφού θα παραχθούν ακριβώς 1000 κιλά ζωοτροφής, η ποσότητα των πρωτεϊνών θα πρέπει να είναι τουλάχιστον 300 κιλά

4 Περιορισµοί Κάθεκιλό εισαγοµένης τροφής περιέχει 40% πρωτεΐνες, εποµένως τα Χ 1 κιλά που θα χρησιµοποιηθούν περιέχουν 0,40Χ 1 κιλά πρωτεϊνών αν λάβουµε υπόψη τις αντίστοιχες περιεκτικότητες σε πρωτεΐνες του ιχθυάλευρου και των δηµητριακών από τον πίνακα, έχουµε: πρωτεΐνες σε Χ 2 κιλά ιχθυάλευρου = 0,25X 2 πρωτεΐνες σε Χ 3 κιλά δηµητριακών = 0,20X 3 Εποµένως, η συνολική ποσότητα πρωτεϊνώνπου θα περιέχεται στο µείγµα θα είναι 0,40Χ 1 + 0,25X 2 + 0,20Χ 3 κιλά Η µαθηµατική διατύπωση του περιορισµού είναι: Περιεκτικότητα σε Πρωτεΐνες (Kgr): 0,40Χ 1 + 0,25Χ 2 + 0,20Χ Περιεκτικότητα σε Υδατάνθρακες (Kgr): 0,40Χ 1 + 0,20Χ 2 + 0,40Χ 3 400

5 Τοµαθηµατικό µοντέλο ΓΠ του προβλήµατος

6 Μεταβλητές πλεονασµού σε περιορισµούς τύπου Οιπεριορισµοί του προβλήµατος ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ είναι διαφορετικού τύπου από τους αντίστοιχους του παραδείγµατος της ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ o πρώτος περιορισµός είναι περιορισµός ισότητας οι δύο τελευταίοι περιορισµοί είναι τύπου πλεονασµού (µεγαλύτερου ή ίσου), θέτουν δηλαδή ένα ελάχιστο όριο που πρέπει να ικανοποιεί η λύση του προβλήµατος Το δεξιό µέλος των περιορισµών Αλγεβρικά κάθε περιορισµός τύπου µπορεί να µετατραπεί σε περιορισµό τύπου πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της ανισότητας µε -1. Η µετατροπή αυτή δεν είναι δυνατό να γίνει στην εφαρµογή της µεθόδου Simplex. Η εφαρµογή τhς µεθόδου Simplexαπαιτεί να υπάρχουν θετικές ποσότητες στο δεξιό µέλος κάθε περιορισµού (οι τιµές των δεξιών µελών των περιορισµών δίνουν τη λύση στον αρχικό πίνακα Simplex, και ότι οι εφικτές λύσεις είναι µη αρνητικές)

7 Ας θεωρήσουµε τον περιορισµό των πρωτεϊνών Η ποσότητα πρωτεϊνών που θα περιέχεται στο µείγµα θα είναι είτε ακριβώς 300 κιλά ή περισσότερη Έστω S 2 η ποσότητα πρωτεϊνών που υπερβαίνει το ελάχιστο όριο των 300 κιλών (πλεονάζουσα ποσότητα) Αν η ποσότητα αυτή αφαιρεθείαπό το αριστερό µέλος της ανισότητας, τότε θα έχουµε ακριβώς 300 κιλά πρωτεϊνών Όπως συνέβη και µε τον ορισµό µεταβλητών περιθωρίου στις ανισότητες τύπου που προστίθενται στο αριστερό µέλος της ανισότητας, για περιορισµούς ανισοτήτων τύπου ορίζουµε µεταβλητές πλεονασµού οι οποίες αφαιρούνταιαπό το αριστερό µέλος της ανισότητας για να µετατραπεί αυτή σε ισότητα Με τη χρήση της µεταβλητής πλεονασµού, η δεύτερη ανισότητα µετατρέπεται σε: 0,40Χ 1 + 0,25Χ 2 + 0,20Χ 3 - S 2 = 300

8 Η έννοια της µεταβλητής πλεονασµού Ηέννοια της µεταβλητής πλεονασµού είναι αντίστοιχη µε αυτή που εξηγήθηκε στους περιορισµούς τύπου αν η τιµή της S 2 είναι µηδενική, τότε η ποσότητα πρωτεϊνών είναι αυτή που ορίζεται από τον περιορισµό, δηλαδή η ελάχιστη επιτρεπόµενη αν αντίθετα είναι θετική, τότε στο συνολικό µείγµα της τροφής υπάρχει πλεόνασµα πρωτεϊνών, δηλαδή ποσότητα µεγαλύτερη από τα 300 κιλά όπως ορίζεται από τις ελάχιστες διατροφικές απαιτήσεις που πρέπει να ικανοποιούνται αν συµβολίσουµε µε S 3 την πλεονάζουσα ποσότητα υδατανθράκων που µπορεί να περιέχεται στα 1000 κιλά της τροφής (πάνω από το ελάχιστο όριο των 400 κιλών), ο τρίτος περιορισµός του προβλήµατος διαµορφώνεται σε: 0,40Χ 1 + 0,20Χ 2 + 0,40Χ 3 - S 3 = 400

9 Ηδιατύπωση του προβλήµατος ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ σε κανονική µορφή ΓΠ, µε τη χρήση των µεταβλητών πλεονασµού Σεπεριορισµούς του τύπου -µεγαλύτερο ή ίσο-οι µεταβλητές πλεονασµού εκφράζουν τις ποσότητες που είναι πέραν των ελάχιστων απαιτήσεων των περιορισµών

10 Τεχνητές (µη πραγµατικές) Μεταβλητές Ηµεθοδολογία της µεθόδου Simplexπου αναπτύξαµε στις προηγούµενες ενότητες, βασίζεται σε µια επαναληπτική µέθοδο αναζήτησης τής βέλτιστης λύσης Ως αρχική λύση εκκίνησης της µεθόδου Simplexθεωρήσαµε την απλούστερη λύση που προέκυπτε όταν θέτουµε όλες τις αρχικές µεταβλητές του προβλήµατος (Χ 1, Χ 2, Χ 3 ) ίσες µε µηδέν Αν και σε αυτό το πρόβληµα ακολουθηθεί η ίδια προσέγγιση και θέσουµε Χ 1 =0, Χ 2 = 0 και Χ 3 = 0, διαπιστώνουµε ότι υπάρχουν τεχνικά προβλήµατα Καταρχήν ο πρώτος περιορισµός είναι αδύνατος διότι προκύπτει το αποτέλεσµα 0 = 1000 Αυτό συµβαίνει διότι ο πρώτος περιορισµός στην αρχική του µορφή ήταν ένας περιορισµός ισότητας και εποµένως, δεν χρησιµοποιήθηκε µεταβλητήπεριθωρίου ή µεταβλητή πλεονασµού. Στους δύο επόµενους περιορισµούς προκύπτουν οι λύσεις S 2 = -300 και S 3 = -400, οι οποίες δεν είναι αποδεκτές διότι έχουν αρνητικές τιµές

11 Γιανα ξεπερασθεί το πρόβληµα αυτό και να µπορέσουµε να έχουµε µία αρχική εφικτή λύση για τη µέθοδο Simplex, ώστε να ακολουθηθεί η διαδικασία µε τον τρόπο που εφαρµόστηκε στα προβλήµατα όπου όλοιοι περιορισµοί ήταν του τύπου, κάνουµε το εξής τέχνασµα: Για κάθε περιορισµό ο οποίος είναι είτε ισότητα είτε ανισότητα τύπου, εισάγουµε µία τεχνητή µεταβλητή π.χ, ο πρώτος περιορισµός µε την εισαγωγή µιας τεχνητής µεταβλητήςθα γραφτεί ως εξής: Χ 1 +Χ 2 +Χ 3 + Α 1 =1000 Η Α 1 είναι µια τεχνητή µεταβλητή Τι σηµαίνει αυτό; εν υπάρχει φυσική ερµηνεία της µεταβλητής αυτής όπως υπάρχει για τις αρχικές µεταβλητές Χ 1, Χ 2, Χ 3 και για τις µεταβλητές πλεονασµού S 2 και S 3

12 εύτερον, εφόσον η Α 1 δεν αντιπροσωπεύει καµία φυσική ποσότητα, η τιµή της θα πρέπει τελικά να είναι 0 Πώς µπορεί να υποχρεώσουµε την Α 1 να λάβει την τιµή µηδέν µέσα από τη διαδικασία Simplex; αν θεωρήσουµε ότι το αντίστοιχο κόστος της µεταβλητής Α 1 είναι πάρα πολύ µεγάλο, και εποµένως εφόσον στόχος είναι η ελαχιστοποίηση της αντικειµενικής συνάρτησης, η διαδικασία Simplexθα οδηγήσει από µόνη της την τιµή της Α 1 στο µηδέν. συµβολικά θα θεωρήσουµε ότι το κόστος κάθε µονάδος της τεχνητής µεταβλητής Α 1, όπως και κάθε τεχνητής µεταβλητής, είναι ίσο µε Μ (όπου Μ ένας "πολύ µεγάλος" αριθµός)

13 Τοπρόβληµα ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ σε κανονική µορφή ΓΠ µετά την εισαγωγή των τεχνητών µεταβλητών στους περιορισµούς του προβλήµατος και στην αντικειµενική συνάρτηση Οπρώτος πίνακας Simplexγια το πρόβληµα αυτό είναι ο Πίνακας Ε.1 οι βασικές µεταβλητές στον αρχικό πίνακα Simplexείναι οι τεχνητές µεταβλητές. οι τιµές όλων των άλλων µεταβλητών στον αρχικό πίνακα είναι µηδέν

14 Ηλύση που αντιστοιχεί στον πρώτο αυτό πίνακα είναι Α 1 =1000, Α 2 =300 και Α 3 =400 Το κόστος αυτής της λύσης είναι 1700Μ. Πίνακας Ε.1

15 Ησειρά Ζ j δηλώνει τη µείωση της τιµής της αντικειµενικής συνάρτησης όταν µία µη βασική µεταβλητή αυξηθεί κατά µία µονάδα π.χ στήλη Χ 1 : Αν η τιµή της Χ 1 αυξηθεί κατά µία µονάδα, οι τιµές των Α 1, Α 2 και Α 3 θα µειωθούν κατά 1, 0,4 και 0,4 µονάδες αντίστοιχα Επειδή οι συντελεστές κόστους των Α 1, Α 2 και Α 3 έχουν όλοι την τιµή Μ, η συνολική µείωση κόστους όταν η Χ 1 αυξηθεί κατά 1 µονάδα είναι 1Μ+0,4Μ+0,4Μ = 1,8Μ, όπως παρατηρούµε στη σειρά Ζ j για τη µεταβλητή Χ 1. Εποµένως, στη σειρά C j -Ζ j η τιµή της Χ 1 µεταβλητής θα είναι η διαφορά της τιµής της C 1 (1) µείοντην τιµή της Ζ 1 (1,8Μ) Αν η Χ 1 αυξηθεί κατά µία µονάδα, τότε το κόστος θα αυξηθεί κατά 1-1,8Μ. Επειδή ο Μ είναι ένας πολύ µεγάλος αριθµός η ποσότητα 1-1,8Μ είναι αρνητικός αριθµός, το οποίο σηµαίνει ότι αύξηση της Χ 1 κατά 1 µονάδα θα έχει ως αποτέλεσµα τη µείωση του κόστους Το ίδιο συµβαίνει και µε τις τιµές των µεταβλητών Χ 2 και Χ 3 στη σειρά C j -Ζ j (βλέπε Πίνακα Ε.1). Μεταξύ όλων αυτών των αρνητικών τιµών η µικρότερη είναι αυτή που έχει το µικρότερο αρνητικό συντελεστή του Μ, δηλαδή η τιµή που αντιστοιχεί στην Χ 1

16 Επιλογήτης µεταβλητής που θα συµπεριληφθεί στη βάση Ηεπιλογή της µεταβλητής που θα συµπεριληφθεί στη βάση στα προβλήµατα ελαχιστοποίησα γίνεται µε παρόµοιο τρόπο Από τη σειρά C j -Ζ j επιλέγουµε τη µεταβλητή εκείνη µε τη µικρότερη (αρνητική τιµή C j -Ζ j ) Η επιλογή αυτής της µεταβλητής θα έχει σαν αποτέλεσµα τη µεγαλύτερη µείωση του κόστους της αντικειµενικής συνάρτησης Στον αρχικό πίνακα Simplex (ΠίνακαςE.1) η µεταβλητή µε το µικρότερη τιµή στη σειρά C j -Ζ j είναι η Χ 1, διότι έχει το µικρότερο αρνητικό συντελεστή του Μ. Η επιλογή της βασικής µεταβλητής που θα αντικατασταθείαπό τη Χ 1 πραγµατοποιείται µε τους κανόνες του βήµατος 3 της µεθόδου Simplex, όπως και στο παράδειγµα της ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Επιλέγεται, δηλαδή, η µεταβλητή µε το µικρότερο πηλίκο τιµών τηςστήλης Β 1 προς τις τιµές της οδηγού στήλης (στην προκειµένη περίπτωση της Χ 1 ) Στο συγκεκριµένο παράδειγµα η µεταβλητή που αντικαθίσταται είναιη Α 2

17 Ονέος πίνακας Simplexπου προκύπτει µετά την αντικατάσταση Πίνακας Ε.2 Επειδήη τεχνητή µεταβλητή Α 2 δεν συµπεριλαµβάνεται στη βάση µετά την αντικατάσταση της µε τη Χ 1, και δεν υπάρχει περίπτωση να επανέλθει λόγω του µεγάλου συντελεστή κόστους (Μ), δεν είναι ανάγκη να συνεχίσουµε µε τους υπολογισµούς των τιµών για τη στήλη της Α 2, ή για οποιαδήποτε άλλη στήλη τεχνητής µεταβλητής που δεν περιλαµβάνεται στις βασικές µεταβλητές

18 Στοδεύτερο πίνακα Simplex E.2 παρατηρούµε ότι οι µεταβλητές Χ 2, Χ 3 και S 2, έχουν αρνητικές τιµές στη σειρά C j -Ζ j και επιλέγουµε τη µεταβλητή S 2 διότι έχει το µικρότερο αρνητικό συντελεστή του Μ Η µεταβλητή S 2 θα αντικαταστήσει την Α 3. Ο πίνακας που προκύπτει είναι ο τρίτος πίνακας Simplex (πίνακας Ε.3). Επιλογή της βασικής µεταβλητής που "φεύγει" από τη βάση Οι βασικές µεταβλητές µε αρνητική τιµή στην οδηγό στήλη δεν λαµβάνονται υπ' όψη στη επιλογή της βασικής µεταβλητής που θα αντικατασταθεί Έτσι στον πίνακα Ε.2 δεν υπολογίζεται το πηλίκο της δεύτερης σειράς (µεταβλητή Χ 1 ), διότι η αντίστοιχη τιµή στην οδηγό στήλη είναι -2,5. Η εξήγηση για τον παραπάνω κανόνα προκύπτει από την ερµηνεία των συντελεστών µετατροπής Εφόσον η τιµή της οδηγού στήλης (συντελεστής µετατροπής) είναι αρνητική, κάθε αύξηση στη µεταβλητή που επιλέχθηκε για να γίνει βασική (S 2 στον πίνακα Ε.2) αυξάνει επίσης και την τιµή της βασικής µεταβλητής (Χ 1 ). Εποµένως, δεν τίθεται θέµα άνω ορίου στην τιµή που µπορεί να πάρει η µεταβλητή που εισέρχεται στη βάση Αν δύο ή περισσότερα πηλίκα τιµών είναι ίσα, τότε επιλέγεται µίααπό τις αντίστοιχες µεταβλητές αυθαίρετα Στον πίνακα Ε.2 τα πηλίκα που αντιστοιχούν στις µεταβλητές Α 1 και Α 3 είναι ίσα και επιλεγούµε αυθαίρετα την Α3 για να φύγει από τη βάση Σε αυτή την περίπτωση, οι τιµές των άλλων βασικών µεταβλητών µε τα ίδια πηλίκα στον επόµενο πίνακα Simplexθα είναι µηδενικές (βλέπε τιµή της Α 1 στον πίνακα E.3)

19 (Πίνακας Ε.3) 3 ος Πίνακας Simplex Στοντρίτο πίνακα Simplex E.3 παρατηρούµε ότι δύο µεταβλητές, οι Χ 3 και S 3, έχουν αρνητικές τιµές στη σειρά C j Ζ j Επιλέγουµε τη µεταβλητή S 3 διότι έχει το µικρότερο αρνητικό συντελεστή του Μ Στην οδηγό στήλη υπάρχει µόνο ένα θετικό στοιχείο αυτό της Α 1. Εποµένως, η µεταβλητή S 3 θα αντικαταστήσει την Α 1 Ο πίνακας που προκύπτει είναι ο τέταρτος πίνακας Simplex (πίνακας E.4)

20 (Πίνακας Ε.4) 4 ος πίνακας Simplex Στον τέταρτο πίνακα Simplex δεν υπάρχουν πλέον τεχνητές µεταβλητές Οι αρνητικές τιµές στη σειρά C j Ζ j δηλώνουν ότι η τρέχουσα λύση δεν είναι βέλτιστη Σύµφωνα µε τους κανόνες αντικατάστασης βασικών µε µη βασικές µεταβλητές, η µεταβλητή Χ 2 είναι αυτή που εισέρχεται στη βάση στη θέση της S 3 (Πίνακας Ε.5) 5 ος πίνακας Simplex

21 Στονπέµπτο πίνακα Simplexυπάρχει µία αρνητική τιµή στη σειρά C j Ζ j αυτή που αντιστοιχεί στη µεταβλητή Χ 3. Έτσι η µεταβλητή Χ 3 εισέρχεται στη βάση και αντικαθιστά τη µεταβλητή S 2, όπως φαίνεται στον πίνακα Ε.5 Ο έκτος και τελικός πίνακας Simplexτης ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ δίνεται στον πίνακα Ε.6 ΠίνακαςΕ.6

22

23 Προβλήµατα µε Μη Εφικτές Λύσεις Σεµερικές περιπτώσεις, ένα πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού είναι δυνατό να µην έχει εφικτές λύσεις, δηλαδή το πρόβληµα να είναι αδύνατο να επιλυθεί Η αδυναµία επίλυσης ενός προβλήµατος ΓΠ µπορεί να οφείλεται σε δύο λόγους: Πρώτο, διότι όντως µπορεί να µην υπάρχει εφικτή λύση στο πρόβληµα που να ικανοποιεί όλους τους περιορισµούς. ηλαδή οι απαιτήσει που διατυπώνονται µέσω των περιορισµών είναι αντικρουόµενες και δεν µπορούν να ικανοποιούνται όλες ταυτόχρονα. Σε αυτή την περίπτωση εξετάζουµε τη δυνατότητα "χαλάρωσης" κάποιων περιορισµών, εφόσον βέβαια αυτό είναι δυνατόν Ένας δεύτερος λόγος που µπορεί να οδηγήσει σε πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού που να µην έχει λύση, είναι η λανθασµένη διατύπωση είτε των περιορισµών του προβλήµατος είτε των δεδοµένων του

24 Παράδειγµα προβλήµατος ΓΠ µε µη εφικτές λύσεις Αςθεωρήσουµε το παράδειγµα της επιχείρησης ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ της προηγούµενης ενότητας, και ας υποθέσουµε ότι οι απαιτήσεις του πελάτη για πρωτεΐνες και υδατάνθρακες στο παραγόµενο µείγµα ήταν 30% και 50% αντίστοιχα. Αν θυµηθούµε τα δεδοµένα του προβλήµατος: τα τρία συστατικά που επρόκειτο να αναµειχθούν ήταν: εισαγόµενη τροφή µε περιεκτικότητα 40% σε πρωτεΐνες και 40% σε υδατάνθρακες ιχθυάλευρο µε περιεκτικότητα 25% πρωτεΐνες και 20% υδατάνθρακες δηµητριακά µε περιεκτικότητα 20% και 40% αντίστοιχα σε πρωτεΐνεςκαι υδατάνθρακες. Είναι προφανές ότι µε οποιοδήποτε τρόπο και σε οποιαδήποτε αναλογία αναµειχθούν τα τρία αυτά συστατικά, το µείγµα δεν είναι δυνατό να έχει περιεκτικότητα 50% σε υδατάνθρακες, αφού όλα τα συστατικά έχουν αντίστοιχη περιεκτικότητα το πολύ 40%. Εποµένως, το ζητούµενο είναι αδύνατο

25 Ηδιατύπωση του προβλήµατος της ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ µε αυξηµένες απαιτήσεις σε περιεκτικότητα υδατανθράκων σε µοντέλο ΓΠ είναι ίδια µε αυτή που διατυπώθηκε στην προηγούµενη ενότητα, µε µόνη διαφορά την αύξηση της ποσότητας του δεξιού µέλους του περιορισµού των υδατανθράκων από 400 σε 500

26 Αφούπροσθέσουµε τις µεταβλητές πλεονασµού και τις τεχνητές µεταβλητές ο πρώτος πίνακας Simplex για το πρόβληµα αυτό διαµορφώνεται ακολούθως: Αρχικός πίνακας Simplex - µη εφικτές λύσεις Στοναρχικό πίνακα Simplexη µεταβλητή µε τη µικρότερη τιµή στη σειρά C j Ζ j είναι η Χ 1, διότι έχει το µικρότερο αρνητικό συντελεστή του Μ Η βασική µεταβλητή που θα αντικατασταθείαπό τη Χ 1 είναι η Α 2 και ο επόµενος πίνακας Simplexδίνεται στον επόµενο πίνακα (2 ος πίνακας Simplex)

27 (2ος πίνακας Simplex) Στοδεύτερο πίνακα Simplexπαρατηρούµε ότι οι µεταβλητές Χ 2, Χ 3 και S 2, έχουν αρνητικές τιµές στη σειρά C j Ζ j και επιλέγουµε τη µεταβλητή S 2 για τη βάση, διότι έχει το µικρότερο αρνητικό συντελεστή του Μ Η µεταβλητή που αντικαθίσταται από τη S 2 είναι η Α 3, διότι έχει το µικρότερο πηλίκο τιµών της Βiπρος τις τιµές της οδηγού στήλης Ο πίνακας που προκύπτει είναι ο τρίτος πίνακας Simplex

28 3 ος πίνακας Simplex Εκτελώνταςένα ακόµα βήµα του αλγορίθµου Simplexµε αντικατάσταση της µεταβλητής S 2 από τη Χ 3 που είναι η µόνη µε αρνητικό συντελεστή στη σειρά C j Ζ j (η ποσότητα -1+2Μ είναι θετική επειδή το Μ συµβολίζει έναν πολύ µεγάλο θετικό αριθµό), παίρνουµε τον 4 o πίνακα:

29 Όπωςπαρατηρούµε στον 4 ο πίνακα, όλα τα στοιχεία της σειράς C j Ζ j είναι µη αρνητικά, εποµένως ο 4 ος πίνακας ικανοποιεί τη συνθήκη βελτιστοποίησης της αντικειµενικήw συνάρτησης Η υποτιθέµενη όµως βέλτιστη λύση περιλαµβάνει και τεχνητές µεταβλητές, συγκεκριµένα την Α 3, η οποία δεν έχει καµία φυσική ερµηνεία Είναι η λύση που προέκυψε βέλτιστη; Η απάντηση είναι όχι Από µαθηµατικής πλευράς, τα βήµατα του αλγόριθµου Simplex έχουν ολοκληρωθεί Αν δούµε όµως προσεκτικά τη λύση που δίνει ο τέταρτος και τελικός πίνακας Simplex θα διαπιστώσουµε ότι µία από τις τεχνητές µεταβλητές, η Α 3 συγκεκριµένα, παραµένει στη βάση, και έχει τιµή 100 Η συγκεκριµένη µεταβλητή, όπως και όλες οι τεχνητές µεταβλητές, έπρεπε να έχει τιµή µηδέν, διότι όπως έχουµε εξηγήσει, δεν έχει καµία φυσική ερµηνεία και έχει χρησιµοποιηθεί προσωρινά για να διευκολυνθεί η δηµιουργία του πρώτου πίνακα Simplex ιαπίστωση Μη - Εφικτών Λύσεων Eφόσονυπάρχει µία τουλάχιστον τεχνητή µεταβλητή µε µη µηδενική τιµή στον τελικό πίνακα, ο αλγόριθµος Simplex κατέληξε σε µία τελική λϋση η οποία δεν είναι καν εφικτή

30 Προβλήµατα µε Πολλαπλές Βέλτιστες Λύσεις Ηβέλτιστη λύση σε ένα πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού προσδιορίζεται από τις τιµές των βασικών µεταβλητών στον τελικό πίνακα Simplex Στα προβλήµατα που εξετάσαµε έως τώρα, ο τελικός πίνακας Simplexέδινε είτε µία και µοναδική βέλτιστη λύση ή καµία λύση Υπάρχει όµως περίπτωση σε κάποια προβλήµατα ΓΠ να έχουµε περισσότερες από µία βέλτιστες λύσεις ηλαδή, µε διαφορετικές τιµές των µεταβλητών του προβλήµατος να έχουµε την ίδια βέλτιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης

31 Παράδειγµα προβλήµατος ΓΠ µε πολλαπλές βέλτιστες λύσεις Αςυποθέσουµε ότι το κέρδος της ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ για τα τραπέζια και τις καρέκλες που κατασκευάζει είναι 140 και 105 ευρώ αντίστοιχα (αντί των αρχικώντιµών 140 και 100 ευρώ) Ας υποθέσουµε επίσης, ότι οι συντελεστές παραγωγής παραµένουν ίδιοι σε όλα τα τµήµατα ξυλουργείου, Βαφείου και Στιλβωτηρίου Ο τελικός πίνακας Simplex του προβλήµατος της ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ ήταν:

32 Ηαλλαγή του συντελεστή κέρδους της µεταβλητής Χ 2 από 100 σε 105 θα οδηγήσει στις εξής αλλαγές στους υπολογισµούς της σειράς Ζ j

33 ιαπίστωση Μη-Μοναδικής Βέλτιστης Λύσης Σεκάθε πίνακα Simplexοι τιµές της σειράς C j Ζ j που αντιστοιχούν στις βασικές µεταβλητές είναι πάντα µηδενικές Στο συγκεκριµένο τελικό πίνακα Simplexπαρατηρούµε όµως ότι υπάρχουν και µη βασικές µεταβλητές, οι οποίες στη σειρά C j Ζ j έχουν τιµή ίση µε µηδέν, όπως για παράδειγµα η µεταβλητή S 2 Οι τιµές της σειράς C j Ζ j δηλώνουν την καθαρή µεταβολή στην τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης όταν η συγκεκριµένη µεταβλητή αυξηθεί κατά µία µονάδα Αν η S 2 αυξηθεί κατά µία µονάδα, η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης θα παραµείνει αµετάβλητη στα ηλαδή θα έχουµε µια άλλη λύση που θα δίνει την ίδια βέλτιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης Εποµένως, θα µπορούσαµε να επιλέξουµε την S 2 ως τη νέα βασική µεταβλητή στον πίνακα Simplex, χωρίς να µεταβληθεί η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης, η οποία θα παραµείνει στο βέλτιστο επίπεδο Σε αυτή την περίπτωση η µεταβλητή που θα αντικατασταθείείναι η Sι, διότι έχει το µικρότερο πηλίκο τιµών της Βiπρος την οδηγό στήλη

34 προκύπτει ο πίνακας Simplex: Καιαυτός και ο αµέσως προηγούµενος πίνακας αντιστοιχούν σε βέλτιστες λύσεις του προβλήµατος της ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ µε συντελεστές κέρδους για τραπέζια και καρέκλες 140 και 105 αντίστοιχα

35 Σύγκρισηδύο βέλτιστων λύσεων

36 Πολλαπλές Βέλτιστες Λύσεις Ότανένα πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού έχει περισσότερες από µία βέλτιστες λύσεις, τότε έχει άπειρες βέλτιστες λύσεις Κάθε γραµµικός συνδυασµός των δύο ή περισσότερων λύσεων είναι επίσης βέλτιστη λύση Το σχήµα που ακολουθεί εξηγεί τι συµβαίνει στην περίπτωση που υπάρχουν δύο ή περισσότερα ακραία σηµεία µε την ίδια βέλτιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης Η ευθεία της αντικειµενικής συνάρτησης είναι παράλληλη µε τον περιορισµό που ορίζεται από τα δύο βέλτιστα σηµεία (σηµεία Β και Γ στο σχήµα) κάθε σηµείο µεταξύ του σηµείου Β και του σηµείου Γ δίνει την ίδια τιµή (τη βέλτιστη) στην αντικειµενική συνάρτηση

37 Οιλύσεις που αντιστοιχούν στα σηµεία µεταξύ των ακραίων σηµείων Βκαι Γ υπολογίζονται ως γραµµικοί συνδυασµοί των δύο ακραίων σηµείων: Τραπέζια: Χ 1 = 90λ + 60(1-λ) Καρέκλες: Χ 2 = 20λ + 60(1-λ), 0< λ< 1 Για παράδειγµα για λ=0,5, η λύση Χ 1 =75 (τραπέζια) και Χ 2 =40 (καρέκλες) δίνει την ίδια τιµή του βέλτιστου κέρδους, το ίδιο και η Χ 1 =66 και Χ 2 =52 (λ=0,2) κ.ο.κ.

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Η αρχική τους εφαρµογή, όπως δηλώνει και η ονοµασία τους, αφορούσε τον καθορισµό του βέλτιστου τρόπου µεταφοράς αγαθών από διαφορετικά σηµεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης (π.χ.,

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

Ταακραία σηµεία της περιοχής των εφικτών λύσεων

Ταακραία σηµεία της περιοχής των εφικτών λύσεων Ταακραία σηµεία της περιοχής των εφικτών λύσεων Απότη γραφική επίλυση του µοντέλου του ΓΠ, η αντικειµενική συνάρτηση λαµβάνει τη µεγαλύτερη τιµή της (βέλτιστη λύση του προβλήµατος) στην κορυφή Γ της περιοχής

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΑΓΙΟΥ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΤΜΗΜΑ Επιχειρηµατικού Σχεδιασµού και Πληροφοριακών Συστηµάτων Μάθηµα ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΕΡΕΥΝΑ Παρουσιάσεις-Σηµειώσεις Γραµµικός Προγραµµατισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI)

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Ηµέθοδος MODIεπιτρέπει τον υπολογισµό των οριακών µεταβολών στο συνολικό κόστος µεταφοράς για κάθε µη επιλεγείσα διαδροµή µε αλγεβρικό τρόπο, χωρίς τη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕπίλυσηΠροβληµάτων Αναθέσεων: Η "Ουγγρική Μέθοδος"

ΕπίλυσηΠροβληµάτων Αναθέσεων: Η Ουγγρική Μέθοδος ΕπίλυσηΠροβληµάτων Αναθέσεων: Η "Ουγγρική Μέθοδος" Τοπλήθος των εφικτών λύσεων σε ένα πρόβληµα ανάθεσης µε m δραστηριότητες και mπόρους είναι ίσο µε m! 6 Αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµός των εφικτών λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας,

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 (Χειμερινό Εξάμηνο) Μάθημα: Σχεδιασμός Αλγορίθμων και Επιχειρησιακή Έρευνα Καθηγητής: Νίκος Τσότσολας Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. Διαφορά μετρήσεων από εκτιμήσεις μετρήσεων. Όταν επιλύοµε ένα αντίστροφο πρόβληµα υπολογίζοµε ένα διάνυσµα παραµέτρων est m το οποίο αντιπροσωπεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ 1 ( Μονάδες 2) Μια επιχείρηση κατασκευής tablet έχει εργοστάσια σε τρεις διαφορετικές χώρες Α,Β,Γ που παράγουν αντίστοιχα 200, 260 και

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Το LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) είναι ένα πολύ γνωστό λογισµικό για την επίλυση προβληµάτων γραµµικού,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 8 Μαΐου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 7 Ιανουαρίου 2005 ιάρκεια εξέτασης: 5:00-8:00 Έστω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΕΚ ΟΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Φ. ΜΑΓΕΙΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ ΕΚ ΟΣΗ 2.3 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2008 1-1 Κεφάλαιο 1. Μαθηµατικός Προγραµµατισµός...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΝΕΟ ΚΑΙ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ)

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΝΕΟ ΚΑΙ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΑΡΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΝΕΟ ΚΑΙ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 Ε_3.Αλ3Ε(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 6: Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Σύνολα καταναλωτικών επιλογών. Εισοδηµατικοί και άλλοι περιορισµοί στην επιλογή. Εισοδηµατικοί περιορισµοί

Κεφάλαιο 2. Σύνολα καταναλωτικών επιλογών. Εισοδηµατικοί και άλλοι περιορισµοί στην επιλογή. Εισοδηµατικοί περιορισµοί Κεφάλαιο 2 Εισοδηµατικοί και άλλοι περιορισµοί στην επιλογή Σύνολα καταναλωτικών επιλογών p Ένα σύνολο καταναλωτικών επιλογών είναι η δέσµη καταναλωτικών επιλογών που είναι στη διάθεση του καταναλωτή!

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ (γραμμικός προγραμματισμός) Μια εταιρεία χρησιμοποιεί δύο διαφορετικούς τύπους ζωοτροφών (τον τύπο Ι και τον τύπο ΙΙ), ως πρώτες ύλες, τις οποίες αναμιγνύει για την εκτροφή γαλοπούλων ώστε να πετύχει

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #1: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ 1 ΚΦΑΛΑΙΟ 6 ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ Οι καµπύλες ζήτησης και προσφοράς είναι αναγκαίες για να προσδιορίσουν την τιµή στην αγορά. Η εξοµοίωσή τους καθορίζει την τιµή και τη ποσότητα ισορροπίας,

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ÓÕÍÅÉÑÌÏÓ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ÓÕÍÅÉÑÌÏÓ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 24 Απριλίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Για τις

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΚΑΙ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΚΑΙ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΚΑΙ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

3.6 Μεικτά ορισμένα προβλήματα. 2. Γράφοµε τις ανωτέρω σχέσεις για q= 1,... Mσε διανυσµατική µορφή : G λ (3.30)

3.6 Μεικτά ορισμένα προβλήματα. 2. Γράφοµε τις ανωτέρω σχέσεις για q= 1,... Mσε διανυσµατική µορφή : G λ (3.30) . Γράφοµε τις ανωτέρω σχέσεις για q=,... Mσε διανυσµατική µορφή : = G λ (3.30) 3. Επειδή ισχύει παράλληλα και d = G, αντικαθιστώντας το από την 3.30 στην αρχική εξίσωση παίρνοµε : d= G G λ / (3.3) 4. Εάν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 4: Το Πρόβλημα Ανάθεσης Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα

Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα Case 15: Προστασία του Περιβάλλοντος ΣΕΝΑΡΙΟ Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα 1 Σενάριο και υπόλοιπα δεδοµένα Συγκροτήθηκε οµάδα εργασίας για την επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα