Αβέβαιη και Ασαφής Γνώση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αβέβαιη και Ασαφής Γνώση"

Transcript

1 Αβέβαιη και Ασαφής Γνώση! Στα προβλήµατα του πραγµατικού κόσµου οι αποφάσεις συνήθως λαµβάνονται υπό αβεβαιότητα (uncertainty), δηλαδή έλλειψη ακριβούς πληροφορίας (π.χ. επείγοντα ιατρικά περιστατικά, στάθµευση ενός αυτοκινήτου, κλπ.).! Οι κυριότερες πηγές αβεβαιότητας είναι: # Ανακριβή δεδοµένα (imprecise data): π.χ. από ένα όργανο περιορισµένης ακρίβειας. # Ελλιπή δεδοµένα (incomplete data): π.χ. σε ένα σύστηµαελέγχου, κάποιοι αισθητήρες τίθενται εκτός λειτουργίας και πρέπει να ληφθεί άµεσα µία απόφαση µεταδεδοµένα από τους υπόλοιπους. # Υποκειµενικότητα ή/και ελλείψεις στην περιγραφή της γνώσης: π.χ. ηυιοθέτηση ευριστικών µηχανισµών εισάγει πολλές φορές υποκειµενικότητα. # Κάθε είδους περιορισµοί που κάνουν το όλο πλαίσιο λήψης απόφασης ατελές. Π.χ.: Οικονοµικοί περιορισµοί που κάνουν ασύµφορη την πραγµατοποίηση κάποιων µετρήσεων Χρονικοί περιορισµοί που επιβάλουν την άµεση λήψη απόφασης για την αποσόβηση επικίνδυνων καταστάσεων! Ανάγκη ύπαρξης "µη ακριβών" µεθόδων συλλογισµού.! Θεωρία Πιθανοτήτων, Συντελεστές Βεβαιότητας (Certainty Factors), Θεωρία Dempster-Shafer, Ασαφής Λογική (Fuzzy Logic).

2 Θεωρία Πιθανοτήτων! Αν Ε είναι ένα γεγονός, η άνευ συνθηκών πιθανότητα (unconditional probability) Ρ(Ε) να συµβεί το γεγονός εκφράζεται µε ένανπραγµατικό αριθµό για τον οποίο ισχύουν: # 0 Ρ(Ε) 1 # Ρ(Ε) =1 αν Ε είναι ένα σίγουρο γεγονός # Ρ(Ε) +Ρ( Ε) =1 (όπου µε Ε συµβολίζεται η άρνηση του γεγονότος Ε)! Πιθανότητα υπό συνθήκη (conditional probability): # Υποδηλώνει την πιθανότητα να ισχύει το υποθετικό συµπέρασµα Η δεδοµένης της ισχύος µόνο του γεγονότος Ε. # Συµβολίζεται µε P(H E) και ορίζεται µέσω του πηλίκου της πιθανότητας να συµβούν ταυτόχρονα τα Η και Ε προς την πιθανότητα του Ε P ( ) ( H E) P H E = P( E)! Ιδιότητες # Προσθετική Ιδιότητα: Ρ(Α Β) =Ρ(Α) +Ρ(Β) -Ρ(Α Β) # Πολ/στική Ιδιότητα για δύο ανεξάρτητα γεγονότα Α και Β: Ρ(Α Β) =Ρ(Α) Ρ(Β) # Πολ/στική Ιδιότητα για δύο µη ανεξάρτητα γεγονότα Α και Β: Ρ(Α Β) =Ρ(Α) Ρ(Β Α)

3 ΟΝόµος του Bayes! Κάτω από µία περισσότερο υποκειµενική αντιµετώπιση της πιθανότητας που επιτρέπει τη χρήση εκτιµήσεων αντί συχνοτήτων εµφάνισης γεγονότων, ονόµος του Bayes επιτρέπει τον υπολογισµό πιθανοτήτωνυπόσυνθήκηµε χρήση άλλων πιθανοτήτων που είναι ευκολότερο να υπολογιστούν.! Η απλούστερη εκδοχή του νόµου του Bayes (Bayes' rule): P ( ) ( E H ) P( H ) P H E = P E # Πιοεύκολοναχρησιµοποιηθεί, συγκριτικά µε την σχέση της πιθανότητας υπό συνθήκη. # Αν Η µία ασθένεια και Ε ένα σύµπτωµα που σχετίζεται µε αυτήν, τότε για τον υπολογισµό της πιθανότητας υπό συνθήκη απαιτείται πληροφορία που συνήθως δεν είναι διαθέσιµη: Πόσοιάνθρωποιστονκόσµο πάσχουν από την Η και ταυτόχρονα εµφανίζουν το σύµπτωµα Ε. Πόσοι εµφανίζουν απλά το σύµπτωµα Ε. # Στο νόµο τουbayes: Ένας γιατρός µπορεί να δώσει µία εκτίµηση για το πόσοι ασθενείς που έπασχαν από την ασθένεια Η εµφάνιζαν το σύµπτωµα Ε(εκτίµηση για την ποσότητα P(E H)). Αντίθετα, το κλάσµα τωνασθενώνµε σύµπτωµα Ε που πάσχουν από την ασθένεια Η, δηλαδή ο όρος P(Η Ε), τις περισσότερες φορές είναι αδύνατο να εκτιµηθεί. To P(H) µπορεί να υπολογιστεί από στατιστικά στοιχεία για τον συνολικό πληθυσµό Το P(E) από στατιστικά στοιχεία του ίδιου του γιατρού. ( )

4 Γενική Σχέση του Νόµου του Bayes! Η πιθανότητα να ισχύει το υποθετικό συµπέρασµα Η δεδοµένηςτηςισχύοςτων γεγονότων Ε 1, Ε 2,..., E k : P ( H L ) E 1 E 2 E k = P ( E1 E 2 L E k H ) P( 1 2 L k) E E E P( H )! Πρόβληµα χρήσης: για m πιθανές ασθένειες και n δυνατά συµπτώµατα από τα οποία εµφανίζονται τα k, απαιτούνται (m n) k +m+n k τιµές πιθανοτήτων, αριθµός υπερβολικά µεγάλος.! Απλούστερη περίπτωση: αν τα διάφορα γεγονότα Ε θεωρούνται ανεξάρτητα το ένα απότοάλλο, τότε απαιτούνται µόνο m n+m+n τιµές πιθανοτήτων. Χρήση Θεωρίας Πιθανοτήτων - Συµπεράσµατα! είτε τα διάφορα γεγονότα θεωρούνται ανεξάρτητα µε αποτέλεσµα ευκολότερους υπολογισµούς σε βάρος της ακρίβειας των συλλογισµών που πραγµατοποιούνται! ή καταγράφονται αναλυτικά όλες οι πιθανότητες και οι µεταξύ του συσχετίσεις ώστε να προκύπτουν ακριβή συµπεράσµατα, µε υψηλόόµως υπολογιστικό κόστος

5 Συντελεστές Βεβαιότητας (Certainty Factors) (1/2)! Αριθµητικές τιµές που εκφράζουν τη βεβαιότητα για την αλήθεια µιαςπρότασηςή γεγονότος! Πρωτοεισήχθησαν στο έµπειρο σύστηµα MYCIN για να προσδώσουν κάποιο βαθµό βεβαιότητας στα συµπεράσµατα των διαφόρων κανόνων if γεγονός then υποθετικό συµπέρασµα µε βεβαιότητα CF! Παίρνουν τιµές στο διάστηµα [-1, +1] # Ητιµή 1 εκφράζει απόλυτη βεβαιότητα για το ψευδές της πρότασης. # Ητιµή +1 απόλυτη βεβαιότητα για την αλήθεια της πρότασης. # Ητιµή 0 εκφράζει άγνοια.! Εκτός από τη βεβαιότητα που συνοδεύει τον κανόνα, είναι δυνατό να ορισθούν τιµές βεβαιότητας και στην τιµή του γεγονότος του κανόνα: if πυρετός CF then γρίπη CF 0.8 # Η τελική βεβαιότητα του κανόνα είναι το γινόµενο των βεβαιοτήτων: 0.7x0.8=0.56! Αν υπάρχουν περισσότερα από ένα γεγονότα στο αριστερό τµήµα του κανόνα τα οποία συνδέονται µε AND (ή OR) τότε ως συντελεστής βεβαιότητας του αριστερού τµήµατος θεωρείται η µικρότερη (ή ηµεγαλύτερη) τιµή CF που εµφανίζεται.

6 Συντελεστές Βεβαιότητας (Certainty Factors) (2/2)! Αν η βεβαιότητα κάποιου υποθετικού συµπεράσµατος είναι ήδη CF p και η ενεργοποίηση ενός άλλου κανόνα συνάγει το ίδιο υποθετικό συµπέρασµα µε βεβαιότητα CF n, τότε η συνολική βεβαιότητα του υποθετικού συµπεράσµατος καθορίζεται από τα πρόσηµα τωνcf p και CF n βάσει των παρακάτω σχέσεων: # Αν CF p και CF n >0,τότε: CF = CF p +CF n (1-CF p )=CF p +CF n CF n CF p # Αν CF p και CF n <0,τότε: CF = CF p +CF n (1+CF p )=CF p +CF n +CF n CF p CFp + CFn # Αν CF p και CF n ετερόσηµα, τότε: CF = 1 min( CFp, CF )! Συµπερασµατικά: # Παρακάµπτεται το πρόβληµα του υπολογισµού όλων των απλών και των υπό συνθήκη πιθανοτήτων που απαιτεί η χρήση του νόµου του Bayes. Αντί για συχνότητες εµφάνισης γεγονότων που πρέπει να µετρηθούν, χρησιµοποιούνται συντελεστές βεβαιότητας που έχουν εκτιµηθεί από ειδικούς. # Οι υπολογισµοί κατά το συνδυασµό βεβαιοτήτων είναι απλούστεροι, λόγω της παραδοχής της ανεξαρτησίας των γεγονότων. # Πρέπει να αποφεύγεται η ταυτόχρονη χρήση κανόνων που αναστρέφουν τη σχέση αιτίαςαποτελέσµατος. Π.χ. if A then B και if Β then Α n

7 ίκτυα Πιθανοτήτων (Bayesian Probability Networks)! Αντιµετωπίζουν το πρόβληµα της αλληλεπίδρασης των πιθανοτήτων που εµφανίζεται όταν ο χειρισµός της αβεβαιότητας γίνεται αυστηρά κατά Bayes.! Βασίζονται στην παρατήρηση ότι στον πραγµατικό κόσµο τα διάφορα γεγονότα δεν αλληλεπιδρούν όλα το ένα µε το άλλο αλλά µερικώς. ηλαδή µπορεί να οριστούν οµάδες από γεγονότα που αλληλεπιδρούν, δηλαδή δεν είναι απαραίτητο να υπολογίζονται οι πιθανότητες όλων των συνδυασµών γεγονότων. # Κανόνες στα δίκτυα πιθανοτήτων: if γεγονός then υποθετικό συµπέρασµα # ιασυνδέονται µεταξύ τους µε τουποθετικό συµπέρασµα του ενός να αποτελεί το γεγονός κάποιου άλλου. # ύο ή περισσότεροι κανόνες µπορεί να καταλήγουν στο ίδιο υποθετικό συµπέρασµα κάτω όµως από διαφορετικές παραδοχές. # Απαγορεύεται η ύπαρξη βρόχων µέσα στο δίκτυο. # Ειδικός µηχανισµός επιτρέπει την αλλαγή της ροής της πληροφορίας (πιθανοτήτων) στο δίκτυο των κανόνων, χωρίς όµως να γίνεται ταυτόχρονη χρήση κανόνων που αντιστρέφουν την σχέση αιτίας-αποτελέσµατος.

8 ίκτυα Συµπερασµού (Inference Networks) (1/2)! Παραλλαγή των δικτύων πιθανοτήτων.! Οι κανόνες υποδηλώνουν µία "χαλαρή" συνεπαγωγή: if γεγονός then υποθετικό συµπέρασµα µε βαθµό ισχύοςs! Μία περίπτωση υλοποίησης ικτύων Συµπερασµού είναι µε τηχρήσητωνµεγεθών της λογικής επάρκειας και της λογικής αναγκαιότητας σε συνδυασµό µε την ποσότητα εύνοια γεγονότος. # Εύνοια Γεγονότος (Odds - Ο): Εκφράζει τη σύγκριση µεταξύ πιθανοτήτων να συµβεί και να µην συµβεί ένα γεγονός. # Λογική Επάρκεια (Logical Sufficiency LS): Εκφράζει πόσο πιθανότερο είναι να συνδεθεί ένα γεγονός Ε µε την αλήθεια ενός υποθετικού συµπεράσµατος Η, παρά µε τηνάρνησητουη (συµβολίζεται Η) # Λογική Αναγκαιότητα (Logical Necessity LN) Εκφράζει το πόσο πιθανότερο είναι να συνδεθεί η απουσία ενός γεγονότος Ε µε την αλήθεια του υποθετικού συµπεράσµατος Η παρά µε τηνάρνησητουη. O ( E) P = 1 ( E) P( E) ( E H) ( E H) P LS = = P O ( H E) O( H) LN = P ( E H) ( E H) P = O ( H E) O( H)

9 ίκτυα Συµπερασµού (Inference Networks) (2/2)! Σταδίκτυασυµπερασµού οι κανόνες περιέχουν και αρχικές τιµές πιθανότητας. Ηγενικήµορφή τους είναι: # P o (H) είναι η πιθανότητα να ισχύει το υποθετικό συµπέρασµα Η όταν απουσιάζει οποιασδήποτε ένδειξη για την ισχύ του γεγονότος Ε. # Αν κατά τη διάρκεια του συµπερασµού γίνει γνωστή η ύπαρξη του γεγονότος Ε τότε και η πιθανότητα του Η αλλάζει σε P(H E). # Οβαθµός αλλαγής καθορίζεται από το βαθµό ισχύος του κανόνα, δηλαδή τις τιµές LS, LN. # Όλες οι αλλαγές προωθούνται µέσα στο δίκτυο των κανόνων από κόµβο σε κόµβο, ανάλογα και µε τις συσχετίσεις που υπάρχουν.! Παράδειγµα δικτύου συµπερασµού: X ( LS Y 1= 4, LN1= 0.5 ) ( LS, LN ) p ( Y ) = 10 2 = 0. = 2 o p Z ( Z ) = 0.2 o # P o (Y) και P o (Z) είναιοιαρχικέςτιµές πιθανότητας για τα Υ και Ζ αντίστοιχα, χωρίς να υπάρχει οποιασδήποτε γνώση για το Χ. # Έστω ότι η τιµή τουχγίνεταιγνωστή. Μετά από πράξεις, ητελικήµορφή του δικτύου: X = = ) Y ( =, = ) Z ( LS1 4, LN1 0.5 LS LN P( Y X ) = 2 E ( LS, LN ) P( Z X ) = H P o ( H )

10 Προσέγγιση Dempster-Shafer (1/3)! Βασίζεται σε λογισµό µε αριθµητικές τιµές πεποίθησης (belief), δηλαδή πίστης για την ισχύ κάποιου υποθετικού συµπεράσµατος για το οποίο υπάρχουν κάποιες ενδείξεις (γεγονότα).! εν απαιτείται η συλλογή όλων των απλών και των υπό συνθήκη πιθανοτήτων. Βασικά Στοιχεία! Πλαίσιο διάκρισης (frame of discernment): το σύνολο U των διακριτών και αµοιβαία αποκλειόµενων προτάσεων ενός τοµέα γνώσης. # π.χ. αν εξετάζεται η ασθένεια κάποιου, το U αντιπροσωπεύει όλες τις πιθανές διαγνώσεις, δηλαδή τα υποθετικά συµπεράσµατα.! Pow(U): Το σύνολο των υποσυνόλων του U(δυναµοσύνολο) # Αν U={A,B,C}είναι το σύνολο των πιθανών ασθενειών τότε το σύνολο: Pow(U) = { {}, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C} } υποδηλώνει τις πιθανές διαγνώσεις για µια περίπτωση ασθένειας. # Κάθε στοιχείο του Pow(U) αντιστοιχεί σε διαζευγµένες προτάσεις. Π.χ. {Α, Β} σηµαίνει "ασθένεια Α ή Β". # Στοιχεία του U που δεν ανήκουν σε ένα στοιχείο του Pow(U), (π.χ. η ασθένεια C στο {Α, Β}), κάνουν σαφή την άρνηση του αντίστοιχου υποθετικού συµπεράσµατος. # Το κενό υποσύνολο {} αντιστοιχεί στην περίπτωση που όλα τα υποθετικά συµπεράσµατα είναι ψευδή (null hypothesis).

11 Προσέγγιση Dempster-Shafer (2/3)! Η βασική κατανοµή πιθανότητας (basic probability assignment - bpa) είναι µία απεικόνιση: m: Pow(U) [0,1] δηλαδή το µέτρο της πεποίθησης που υπάρχει για το κατά πόσο ισχύει το υποθετικό συµπέρασµα που εκφράζεται µε το συγκεκριµένο στοιχείο του U. # Υποκειµενική ποσότητα που δε µοιράζεται στα επιµέρους στοιχεία κάθε στοιχείου του Pow(U). # Π.χ. αν m({a, B})=0.3, τότε αυτή η πεποίθηση δε µοιράζεται στα {Α} και {Β} αλλά αφορά το {Α, Β}. # Για το στοιχείο {} ισχύει m({})=0 # εδοµένου ότι το αληθές υποθετικό συµπέρασµαβρίσκεταικάπουµέσα στα στοιχεία του Pow(U), ισχύει: X Pow ( ) 1 ( U m X = ) # Η ποσότητα m(x) εκφράζει το πόσο ισχυρή είναι η πεποίθηση για το ότι ένα συγκεκριµένο στοιχείο του U ανήκει στο X αλλά όχι σε κάποιο από τα τυχόν υποσύνολα του X.! Η συνολική πεποίθηση (belief) ότι ένα στοιχείο του U ανήκει στο Χ καθώς και στα τυχόν υποσύνολα του Χ συµβολίζεται µε Bel(X) Bel ( X ) = m( Y ) Y X

12 Προσέγγιση Dempster-Shafer (3/3)! Αν m 1 και m 2 δύο ανεξάρτητες εκτιµήσεις (βασικές κατανοµές πιθανότητας) που αποδίδουν κάποιο βαθµό πεποίθησης στα στοιχεία του Pow(U), τότε αυτές συνδυάζονται σε µία τρίτη εκτίµηση m 3 =m 1 m 2 µε τρόπο που ορίζεται µε τον κανόνα D-S: m (A) = m m (A) = A Pow U ) 1 (X) X, Y U : X Y= A 1 2 ( (X) ( Y) m m m m X, Y U : X Y= 1 2 (Y)

13 Ασάφεια (Fuzziness)! Έννοια που σχετίζεται µε την ποσοτικοποίηση της πληροφορίας και οφείλεται κυρίως σε µη-ακριβή (imprecise) δεδοµένα. # Π.χ. "Ο Νίκος είναι ψηλός": δεν προσδιορίζεται µε ακρίβειατούψος, αλλά µπορεί να ληφθούν ορισµένες αποφάσεις για θέµατα σχετικά µε τούψοςτουνίκου.! Το πρόβληµα δεν οφείλεται τόσο στις έννοιες που χρησιµοποιούνται όσο στην αντίληψη που έχει ο καθένας για λεκτικούς προσδιορισµούς ποσοτικών µεγεθών.! Παραδείγµατα: # Ανθεωρηθείότιψηλόςείναιόποιοςέχειύψοςπάνωαπό1.95 µέτρα, είναι απόλυτα σωστό να θεωρηθεί ότι κάποιος µε ύψος1.94 δεν είναι ψηλός ; # Προσδιορισµός των αντικειµένων που ανήκουν στο σύνολο "καρέκλα" και προσδιορισµός του συνόλου των αντικειµένων που µπορούν να "λειτουργήσουν" ως καρέκλα.! Η ασάφεια είναι ένα εγγενές χαρακτηριστικό της γλώσσας.! Η ασαφής λογική (fuzzy logic) είναι ένα υπερσύνολο της κλασικής λογικής, ηοποία έχει επεκταθεί ώστε να µπορεί να χειριστεί τιµές αληθείας µεταξύ του "απολύτως αληθούς" και του "απολύτως ψευδού".! Θεωρία Ασαφών Συνόλων (Fuzzy Set Theory) - Lofti Zadeh '60

14 Βασικές Έννοιες Ασαφών Συνόλων! Ασαφές Σύνολο (fuzzy set) A:ένα σύνολο διατεταγµένων ζευγών (x, u A (x)) όπου x Χ και u A (x) [0,1]). # Το σύνολο Χ αποτελεί ένα ευρύτερο σύνολο αναφοράς (universe of discourse) που περιλαµβάνει όλα τα αντικείµενα στα οποία µπορεί να γίνει αναφορά. # Ητιµή u A (x) λέγεται βαθµός αληθείας (degree of truth), συµβολίζει το βαθµό της συγγένειας του x στο Α και παίρνει τιµές στο διάστηµα [0,1]. # Ησυνάρτησηu Α ονοµάζεται συνάρτηση συγγένειας (membership function) και στην πράξη µπορεί να προέρχεται από: Υποκειµενικές εκτιµήσεις Προκαθορισµένες (ad hoc) και απλοποιηµένες µορφές Συχνότητες εµφανίσεων και πιθανότητες Φυσικές µετρήσεις ιαδικασίες µάθησης και προσαρµογής (συνήθως µε νευρωνικά δίκτυα)! Η ασαφήςθεωρίασυνόλωνµεταπίπτει στην αντίστοιχη κλασική, όταν οι δυνατές τιµές της συνάρτησης συγγένειας είναι µόνο 0 και 1.

15 Αναπαράσταση Ασαφών Συνόλων! Μέσω της αναλυτικής έκφρασης της συνάρτησης συγγένειάς τους, u Α (σχ. αριστερά)! Απλούστευση: τµηµατικώς γραµµικής απεικόνιση της συνάρτησης συγγένειας (σχ.δεξιά)! Σύνολο ζευγών της µορφής u Α (x)/x όπου x είναι το στοιχείο του συνόλου και u Α (x) είναι ο βαθµός συγγένειάς του: # Π.χ. ψηλός = {0/1.7, 0/1.75, 0.33/1.8, 0.66/1.85, 1/1.9, 1/1.95}! Με ζεύγη της µορφής (x, u Α (x)): # Π.χ. ψηλός = { (1.7, 0), (1.75, 0), (1.8, 0.33), (1.85, 0.66), (1.9, 1), (1.95, 1) }! ιαφορά: Η Αναλυτική Έκφραση περιγράφει συνεχείς τιµές ύψους ενώ το Σύνολο Ζευγών περιγράφει µόνο κάποια συγκεκριµένα ύψη στο διάστηµα ορισµού της u(x).

16 Ασαφείς Σχέσεις (1/2)! Είναι ασαφή σύνολα ορισµένα σε πεδία αναφοράς ανώτερης διάστασης (π.χ. Χ X, X Y Z, κλπ).! Παράδειγµα: R = "x είναι βαρύτερο από y" x X, y Y και R X Y! Ένας χρήσιµος τρόπος αναπαράστασης της R, είναι σε µορφή πίνακα: = ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( y x y x y x y x y x y x y x y x y x n m R m R m R n R R R n R R R u u u u u u u u u R L M L L! Σύνθεση (composition) Ασαφών Σχέσεων: συνδυασµός ασαφών σχέσεων. # Παράδειγµα: Αν η R 1 (x,y) ορισµένη στο X Y συνδυαστεί µε τηνr 2 (y,z) ορισµένη στο Υ Ζ, τότε θα προκύψει µία ασαφής σχέση R(x,z) ορισµένη στο X Ζ. # Πρέπει να προσδιοριστεί η συνάρτηση συγγένειας u R (x,z) της R, µε χρήση των συναρτήσεων συγγένειας των R 1 και R 2, δηλαδή των u R1 (x,y) και u R2 (y,z).! Οι κανόνες if-then αντιστοιχούν σε ασαφείς σχέσεις και το πρόβληµα της ασαφούς συλλογιστικής είναι µαθηµατικά ισοδύναµο µε τη σύνθεση.

17 Ασαφείς Σχέσεις (2/2)! Οι περισσότερο γνωστές µέθοδοι σύνθεσης ασαφών σχέσεων είναι: # Σύνθεση max-min (max-min composition) # Σύνθεση max-product (max-product composition).! Αν R 1 (x,y) και R 2 (y,z) είναι δύο ασαφείς σχέσεις ορισµένες στα σύνολα Χ Υ και Υ Ζ αντίστοιχα, τότε η σύνθεσή τους δίνει µία νέα σχέση R 1 R 2 ορισµένη στο Χ Ζ µε συνάρτηση συγγένειας: # Σύνθεση max-min: # Σύνθεση max-product: u u R R 1 R2( x, z) = o [ ur1( x, y) ur2( x, y)] y 1 R2( x, z) = o [ ur1( x, y) ur2( x, y)] y! Οι υπολογισµοί στο δεξιό µέρος των παραπάνω σχέσεων είναι παρόµοιοι µε αυτούς του πολλαπλασιασµού πινάκων.

18 Ασαφείς Μεταβλητές και Ασαφείς Αριθµοί! Ασαφής Μεταβλητή (fuzzy variable): Μια µεταβλητή της οποίας οι τιµές ορίζονται µε ασαφή σύνολα. # Π.χ. τα ασαφή σύνολα {κοντός, µεσαίος, ψηλός} θα µπορούσαν να είναι το πεδίο τιµών της ασαφούς µεταβλητής "ύψος". # Η µεταβλητή "ύψος" χαρακτηρίζεται και ως λεκτική (linguistic) µεταβλητή.! Από ένα µικρό αρχικό αριθµό πρωταρχικών λεκτικών τιµών, να προκύψει ένας πολύ µεγαλύτερος αριθµός σύνθετων λεκτικών τιµών µε τηχρήσηλεκτικών τελεστών όπως AND, OR, NOT, VERY, κλπ. (βλ. πίνακα). Λεκτικοί Τελεστές Επίδραση στη συνάρτηση συγγένειας VERY A u VERY(A) (x) = [u A (x)] 2 A AND B u A AND B (x) = [u A (x) u B (x)] AORB u AORB (x) = [u A (x) u B (x)] NOT A u NOT A (x) = [1-u A (x)] PLUS A u PLUS(A) (x) = [u A (x)] 1.25 MINUS A u MINUS(A) (x) = [u A (x)] 0.75! Ασαφείς αριθµοί (fuzzy numbers): ασαφή υποσύνολα του συνόλου των πραγµατικών αριθµών. Π.χ. "Ασαφές 3" στο σχήµα αριστερά.! Oι µη ασαφείςτιµές κάποιου µεγέθους αποκαλούνται crisp (σαφείς, συγκεκριµένες).

19 Ασαφείς Προτάσεις και Ασαφείς Κανόνες! Ασαφής πρόταση είναι αυτή που θέτει µια τιµή σεµια ασαφή µεταβλητή. # Παράδειγµα: στην ασαφή πρόταση "Το ύψος του Νίκου είναι µέτριο", το "ύψος" είναι η ασαφής µεταβλητή και "µέτριο" είναι ένα ασαφές σύνολο που είναι η τιµήτηςµεταβλητής! Ασαφής κανόνας (fuzzy rule): είναι µία υπό συνθήκη έκφραση που συσχετίζει δύο ή περισσότερες ασαφείς προτάσεις. # Παράδειγµα #1 (στην πιο απλή εκδοχή): "if x is A then y is B" # Παράδειγµα #2: "Εάν η ταχύτητα είναι µέτρια τότε η πίεση στα φρένα να είναι µέτρια" τα "ταχύτητα" και "πίεση" είναι οι ασαφείς µεταβλητές το ασαφές σύνολο "µέτρια" είναι η τιµή των ασαφών µεταβλητών "ταχύτητα" και "πίεση".! Η αναλυτική περιγραφή ενός ασαφούς κανόνα if-then είναι µία ασαφής σχέση R(x,y) που ονοµάζεται σχέση συνεπαγωγής (implication relation)! Η σχέση συνεπαγωγής προκύπτει µε κατάλληλο συνδυασµό τουif και του then τµήµατος του κανόνα, δηλαδή των συναρτ. συγγένειας των ασαφών συνόλων Α και Β! Γενική της µορφή της σχέσης (συνάρτησης) συνεπαγωγής: R(x,y) u(x,y)=φ( u A (x), u B (y) ) # Ησυνάρτησηφ ονοµάζεται τελεστής συνεπαγωγής (implication operator) # Υποδεικνύει τον ακριβή τρόπο συνδυασµού των συναρτήσεων συγγένειας του if και του then τµήµατος ενός ασαφούς κανόνα, ώστε να προκύψει η αναλυτική του έκφραση.

20 Μερικοί Ασαφείς Τελεστές Συνεπαγωγής Ονοµασία Tελεστή φ m : Zadeh Max-Min φ c : Mandani Min φ p : Larsen Product φ α : Arithmetic φ b : Boolean Αναλυτική Έκφραση του φ[ua(x),ub(y)] (u A (x) u B (y)) (1- u A (x)) u A (x) u B (y) u A (x) u B (y) 1 (1-u A (x) + u B (y)) (1-u A (x)) u B (y)) Συλλογιστικές ιαδικασίας GMP και GMT! Γενική µορφή προβληµάτων κατά τη συλλογιστική µε ασαφείς κανόνες: # if xisa then yisb xisa' yisβ'(?) µέσω της συλλογιστικής διαδικασίας GMP (Generalized Modus Ponens - GMP): Β'=A'oR(x,y) # if xisa then yisb xisa'(?) yisβ' µέσω της συλλογιστικής διαδικασίας GMΤ (Generalized Modus Tollens - GMT): A'=R(x,y)oB'! Η σχέση συνεπαγωγής R(x,y) που έχει επιλεγεί να χρησιµοποιηθεί, πρέπει να συνδυαστεί (σύνθεση) µε την κατά περίπτωση γνωστή παράµετρο (Α' ήβ') ώστε να υπολογιστεί η άγνωστη παράµετρος.

21 Σύνοψη Ασαφούς Συλλογιστικής ιαδικασίας! Με βάση έναν ασαφή κανόνα της µορφής: "ifxisathenyisb" και έστω συλλογιστική διαδικασία GMP (δηλαδή γνωστό το Α' ως τιµή τουx και ζητούµενο το B' ως τιµή τουy), τα ασαφή σύνολα Α και Β συνδυάζονται µε κάποιον από τους τελεστές συνεπαγωγής και παράγουν τη σχέση συνεπαγωγής R(x,y).! Από την R(x,y) µέσω σύνθεσης (έστω max-min σύνθεση) µε τοα' προκύπτει η άγνωστη ποσότητα Β': Β'=A' o R(x,y)! Η περιγραφή ενός προβλήµατος µε ασαφείςµεταβλητές, ασαφείς τιµές και ασαφείς κανόνες ονοµάζεται ασαφής λεκτική περιγραφή (fuzzy linguistic description) του προβλήµατος.

22 ΗΑρχήτηςΕπέκτασης! Μαθηµατική µέθοδος που επιτρέπει την επέκταση των εννοιών και των υπολογιστικών τεχνικών των κλασσικών µαθηµατικών στο πλαίσιο των ασαφών.! Έστω µία συνάρτηση f που ορίζει µία απεικόνιση του συνόλου Χ={x 1,x 2,.., x n } στο σύνολο Y={y 1,y 2,.., y n }, µε τρόπο τέτοιο ώστε y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ),.., y n =f(x n ).! Έστω επίσης ένα ασαφές σύνολο Α ορισµένο στα στοιχεία του Χ, δηλαδή στις µεταβλητές εισόδου της συνάρτησης f. Α ={u A (x 1 )/x 1,u A (x 2 )/x 2,...,u A (x n )/x n }! Αρχή Επέκτασης: επιτρέπει τον υπολογισµό του ασαφούς συνόλου Β µε εφαρµογή της συνάρτησης f στο ασαφές σύνολο Α. B=f(Α) ={u A (x 1 )/f(x 1 ),u A (x 2 )/f(x 2 ),...,u A (x n )/f(x n )}! Ειδικές Περιπτώσεις # αν περισσότερα του ενός διαφορετικά x (έστω τα x m και x n ) δίνουν µέσω της συνάρτησης f το ίδιο y (έστω το y 0 ), τότε: u B (y ο )=u A (x m ) u A (x n ). # αν για κάποιο y ο του Β δεν υπάρχει x 0 του Α τέτοιο ώστε y ο =f(x ο ), τότε η τιµή συγγένειας του Β στο y ο είναι µηδέν.! Γενίκευση: u y) [ u ( u) u ( v)... u ( w)]/ f ( u, y,..., ) B( = U V... W A1 A2 Am w

23 Παράδειγµα Χρήσης Αρχής Επέκτασης (1/2)! Πρόσθεση των αριθµών Α:"ασαφές 3" και Β:"ασαφές 7" # Α:"ασαφές 3" = { 0/1, 0.5/2, 1/3, 0.5/4, 0/5 } # Β:"ασαφές 7" = { 0/5, 0.5/6, 1/7, 0.5/8, 0/9 }! Κατασκευάζεται ο πίνακας: Α Β 0.5 y= y= y=8 0.5 x=2 x=3 x= # Έχει τόσες στήλες (3), όσα είναι τα στοιχεία του Α που έχουν τιµή συγγένειας 0 # Έχει τόσες γραµµές (3) όσα είναι τα στοιχεία του Β που έχουν τιµή συγγένειας 0 # Σε κάθε κελί γράφεται πάνω δεξιά ο βαθµός συγγένειας του x στο Α και κάτω αριστερά ο βαθµό συγγένειας του y στο Β.! Σύµφωνα µε την αρχή της επέκτασης θα είναι: uc = A+ B ( z) = [ u A( x) ub ( y)]/( x + y) z= x+ y

24 Παράδειγµα Χρήσης Αρχής Επέκτασης (2/2)! Έστω z=9. Υπάρχουν δύο συνδυασµοί x και y που µας δίνουν άθροισµα 9.! Η αρχή της επέκτασης λέει ότι η τιµή συγγένειας του 9 στο ασαφές σύνολο C=A+B, ισούται µε τοµέγιστο των ελαχίστων των τιµών συγγένειας των σκιασµένων κελιών. u A+Β (9) = max( min(u A (3), u B (6)), min(u A (2), u B (7)) ) = max( min(1, 0.5), min(0.5, 1) = max( 0.5, 0.5 ) = 0.5 # Άρα ο βαθµός συγγένειας του z=9 στο ασαφές σύνολο C=A+B είναι 0.5.! Με παρόµοιο τρόπο υπολογίζεται ο βαθµός συγγένειας και για τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα οπότε προκύπτει: u A+Β (z) = { 0.5/8, 0.5/9, 1/10, 0.5/11, 0.5/12 }

25 Ασαφής Συλλογιστική! Αφορά την εξαγωγή συµπερασµάτων (ενδεχοµένως σε ασαφή µορφή) µε χρήση ασαφών κανόνων.! Απαιτεί την ύπαρξη µιας ασαφούς λεκτικής περιγραφής του προβλήµατος! Περιλαµβάνει τα εξής τέσσερα στάδια: # Υπολογισµός της συνάρτησης συνεπαγωγής για κάθε εµπλεκόµενο κανόνα. # Παραγωγή επιµέρους αποτελεσµάτων µέσω κάποιας συλλογιστικής διαδικασίας. # Συνάθροιση των επιµέρους αποτελεσµάτων (διότι ίσως ενεργοποιηθούν πολλοί κανόνες). # Αποσαφήνιση αποτελεσµάτων.

26 Παράδειγµα Προβλήµατος Ασαφούς Συλλογιστικής (1/2) # Έστω ένα σύστηµα ασαφούς συλλογιστικής που ρυθµίζει τη δόση D µιας φαρµακευτικής ουσίας που πρέπει να χορηγηθεί σε ασθενή, µεβάσητηθερµοκρασία του T. # Έστω ότι το σύστηµα βασίζεται στους εξής δύο ασαφείς κανόνες: Κ 1 : if T is HIGH then D is HIGH Κ 2 : if T is LOW then D is LOW # ίνονται επίσης τα ασαφή σύνολα HIGH και LOW για τα µεγέθη Τ και D: T LOW = { 0.2/37, 1/37.5, 0.5/38, 0.2/38.5, 0/39, 0/39.5, 0/40 } T HIGH = { 0/37, 0/37.5, 0.2/38, 0.5/38.5, 0.8/39, 1/39.5, 1/40 } D LOW = { 1/0, 0.8/2, 0.5/5, 0.2/8, 0/10 } D HIGH = { 0/0, 0.2/2, 0.5/5, 0.8/8, 1/10 } # Αν Τ'=38.5, να υπολογιστεί η τιµήτουd' µε συλλογιστική διαδικασία GMP.

27 Παράδειγµα Προβλήµατος Ασαφούς Συλλογιστικής (2/2)! ύο εναλλακτικές οδοί (µαύρα βέλη) που χρησιµοποιούν διαφορετικές µεθόδους σε κάθε ένα από τα 4 απαιτούµενα βήµατα.

28 Βήµα Α1: Υπολογισµός συνάρτησης συνεπαγωγής (Μέθοδος MIN) # Επειδή υπάρχουν δύο κανόνες, πρέπει να υπολογιστούν δύο τελεστές συνεπαγωγής, οι R K1 και R K2. Χρησιµοποιείται ο τελεστής συνεπαγωγής Mandani min (ήαπλάmin). Κ 1 : if T is HIGH then D is HIGH Κ 2 : if T is LOW then D is LOW # Έστω ο κανόνας Κ 1. Κατασκευάζεται ο παρακάτω πίνακας (αριστερά) µε τον εξής τρόπο: R K1 D T R Κ2 D T # Οι δύο πρώτες γραµµές περιέχουν το ασαφές σύνολο D HIGH, ενώ οι δύο πρώτες στήλες το ασαφές σύνολο Τ HIGH. Η µεταβλητή του δεξιού τµήµατος του κανόνα τοποθετείται πάντα στο πάνω µέρος. # Κάθε κελί του εσωτερικού πίνακα περιέχει το min(u THIGH,u DHIGH ) γιατατκαιd της γραµµής και στήλης στην οποία βρίσκεται. Ο εσωτερικός αυτός πίνακας αποτελεί και τη σχέση συνεπαγωγής R K1. # Όµοια προκύπτει και η R K2 (T LOW,D LOW ) για τον κανόνα Κ 2 (πίνακας δεξιά) # Γενίκευση: Αν το if τµήµα περιέχει Ν εκφράσεις προκύπτει πίνακας Ν+1 διαστάσεων.

29 Βήµα Α2: Παραγωγή επιµέρους αποτελεσµάτων (1/2) # Με εφαρµογή της συλλογιστικής διαδικασίας GMP: Κανόνας Κ 1 : D' K1 =Τ'oR K1 (T HIGH,D HIGH ) Κανόνας Κ 2 : D' K2 =Τ'oR K2 (T LOW,D LOW ) # Απαιτείται η γραφή της θερµοκρασίας Τ'=38.5 σε µορφή ασαφούς συνόλου, δηλαδή: Τ' = 38.5 = { 0/37, 0/37.5, 0/38, 1/38.5, 0/39, 0/39.5, 0/40 } # Χρησιµοποιείται η µέθοδος σύνθεσης (o) max-min(η συνηθέστερη περίπτωση). # Τεχνική όµοια µε πολλαπλασιασµό πινάκων: χρησιµοποιείται min αντί πολλαπλασιασµού και max αντί πρόσθεσης. # ΠρώτοςπίνακαςτοασαφέςσύνολοΤ' (1x7) και δεύτερος ο αριστερά του βήµατος Α1 (7x5) # Tο αποτέλεσµαθαείναιέναςπίνακας1x5 που θα αποτελεί και την ποσότητα D' K1. T D D' K1 = [0/37, 0/37.5, 0/38, 1/38.5, 0/39, 0/39.5, 0/40] o D' Κ1 = { 0/0, 0.2/2, 0.5/5, 0.5/8, 0.5/10 } # Όµοια προκύπτει ότι ο κανόνας Κ 2 δίνει: D' Κ2 = { 0.2/0, 0.2/2, 0.2/5, 0.2/8, 0/10 }

30 Βήµα Α2: Παραγωγή επιµέρους αποτελεσµάτων (2/2) # Γραφική απεικόνιση των D' Κ1 (αριστερά) και D' Κ2 (δεξιά).

31 Βήµα Α3: Συνάθροιση αποτελεσµάτων (Μέθοδος MAX) # Υπολογίζει τη συνδυασµένη έξοδο των κανόνων παίρνοντας τη µέγιστη τιµή συγγένειας από τις παραµέτρους εξόδου κάθε κανόνα, σηµείο προς σηµείο (pointwise maximum - max p/w ). # Προτιµάται όταν στον υπολογισµό της συνάρτησης συνεπαγωγής R έχει γίνει χρήση του τελεστή συνεπαγωγής Mandani min. # εδοµένου ότι έχει υπολογιστεί: D 1 ' Κ1 = { 0/0, 0.2/2, 0.5/5, 0.5/8, 0.5/10 } D 1 ' Κ2 = { 0.2/0, 0.2/2, 0.2/5, 0.2/8, 0/10 } ησυνάθροισήτουςκατάmax δίνει D 1 '= {max(0,0.2)/0, max(0.2,0.2)/2, max(0.5,0.2)/5, max(0.5,0.2)/8, max(0.5,0)/10} = = { 0.2/0, 0.2/2, 0.5/5, 0.5/8, 0.5/10 }

32 Βήµα Α4: Αποσαφήνιση! Μέθοδος αποσαφήνισης MAXIMUM # Η διακριτή τιµή είναι αυτή που αντιστοιχεί στη µέγιστη τιµή συγγένειας του τελικού αποτελέσµατος. # Αν υπάρχουν περισσότερες από µία τέτοιες τιµές, τότε λαµβάνεται ο µέσος όρος τους (average-of-maxima). # Χρησιµοποιώντας average-of-maxima αποσαφήνιση στο αποτέλεσµα της συνάθροισης max προκύπτει η διακριτή τιµή: D 1 = (5+8+10)/3=7.7

33 Βήµα Β1: Υπολ. συνάρτησης συνεπαγωγής (Μέθοδος PRODUCT) # Επειδή υπάρχουν δύο κανόνες, πρέπει να υπολογιστούν δύο τελεστές συνεπαγωγής, οι R K1 και R K2. Χρησιµοποιείται ο τελεστής συνεπαγωγής Larsen Product (ήαπλάproduct). Κ 1 : if T is HIGH then D is HIGH Κ 2 : if T is LOW then D is LOW # Έστω ο κανόνας Κ 1. Κατασκευάζεται ο παρακάτω πίνακας (αριστερά) µε τον εξής τρόπο: R K1 D T R Κ2 D T # Οι δύο πρώτες γραµµές περιέχουν το ασαφές σύνολο D HIGH, ενώ οι δύο πρώτες στήλες το ασαφές σύνολο Τ HIGH. Η µεταβλητή του δεξιού τµήµατος του κανόνα τοποθετείται πάντα στο πάνω µέρος. # Κάθε κελί του εσωτερικού πίνακα περιέχει το (u THIGH u DHIGH ) γιατατκαιd της γραµµής και στήλης στην οποία βρίσκεται. Ο εσωτερικός αυτός πίνακας αποτελεί και τη σχέση συνεπαγωγής R K1. # Όµοια προκύπτει και η R K2 (T LOW,D LOW ) για τον κανόνα Κ 2 (πίνακας δεξιά)

34 Βήµα Β2: Παραγωγή επιµέρους αποτελεσµάτων (1/2) # Με εφαρµογή της συλλογιστικής διαδικασίας GMP: Κανόνας Κ 1 : D' K1 =Τ'oR K1 (T HIGH,D HIGH ) Κανόνας Κ 2 : D' K2 =Τ'oR K2 (T LOW,D LOW ) # Απαιτείται η γραφή της θερµοκρασίας Τ'=38.5 σε µορφή ασαφούς συνόλου, δηλαδή: Τ' = 38.5 = { 0/37, 0/37.5, 0/38, 1/38.5, 0/39, 0/39.5, 0/40 } # Χρησιµοποιείται η µέθοδος σύνθεσης (o) max-min(η συνηθέστερη περίπτωση). # Τεχνική όµοια µε πολλαπλασιασµό πινάκων: χρησιµοποιείται min αντί πολλαπλασιασµού και max αντί πρόσθεσης. # ΠρώτοςπίνακαςτοασαφέςσύνολοΤ' (1x7) και δεύτερος ο εσωτερικός του βήµατος Β1 (7x5) # Tο αποτέλεσµαθαείναιέναςπίνακας1x5 που θα αποτελεί και την ποσότητα D' K1. T D D' K1 = [0/37, 0/37.5, 0/38, 1/38.5, 0/39, 0/39.5, 0/40] o D' Κ1 = { 0/0, 0.1/2, 0.25/5, 0.4/8, 0.5/10 } # Όµοια προκύπτει ότι ο κανόνας Κ 2 δίνει: D' Κ2 = { 0.2/0, 0.16/2, 0.1/5, 0.04/8, 0/10 }

35 Βήµα Β2: Παραγωγή επιµέρους αποτελεσµάτων (2/2) # Γραφική απεικόνιση των D' Κ1 (αριστερά) και D' Κ2 (δεξιά).

36 Βήµα Β3: Συνάθροιση αποτελεσµάτων (Μέθοδος SUM) # Υπολογίζει τη συνδυασµένη έξοδο των κανόνων παίρνοντας τo άθροισµατωντιµών συγγένειας των παραµέτρων εξόδου κάθε κανόνα, σηµείο προς σηµείο (pointwise sum - sum p/w ). # Προτιµάται όταν στον υπολογισµό της συνάρτησης συνεπαγωγής R έχει γίνει χρήση του τελεστή συνεπαγωγής Larsen product. # εδοµένου ότι έχει υπολογιστεί: D 2 ' Κ1 = { 0/0, 0.1/2, 0.25/5, 0.4/8, 0.5/10 } D 2 ' Κ2 = { 0.2/0, 0.16/2, 0.1/5, 0.04/8, 0/10 } ησυνάθροισήτουςκατάmax δίνει D 2 '= { (0+0.2)/0, ( )/2, ( )/5, ( )/8, (0.5+0)/10} = = { 0.2/0, 0.26/2, 0.35/5, 0.44/8, 0.5/10 } # Η συνάθροιση sum µπορείναοδηγήσεισετιµές αληθείας µεγαλύτερες της µονάδας. # Γιααυτότολόγοπρινγίνειαποσαφήνιση του αποτελέσµατος οι τιµές κανονικοποιούνται. # εν απαιτείται κανονικοποίηση αν η µέθοδος αποσαφήνισης είναι η cendroid.

37 Βήµα Β4: Αποσαφήνιση! Μέθοδος αποσαφήνισης CENDROID # Η διακριτή τιµή είναι αυτή που προκύπτει από το κέντρο βάρους της τελικής συνάρτησης συγγένειας για την ασαφή παράµετρο εξόδου. # Το κέντρο βάρους µιας επιφάνειας που ορίζεται από µία συνάρτηση f(t) και τους καρτεσιανούς άξονες, βρίσκεται στη θέση t που ορίζεται από τη γενική σχέση: t κβ = t f f ( t) dt ( t) dt # Στην περίπτωση διακριτού συνόλου αναφοράς, τα ολοκληρώµατα αντικαθίστανται µε διακριτό άθροισµα καιγίνεταιδειγµατοληψία Ν σηµείωνστοσύνολοαναφοράς. # Χρησιµοποιώντας CENDROID αποσαφήνιση στα αποτελέσµατα της συνάθροισης SUM, προκύπτει: D2 crisp = D 2 u u D2 D2 = # Αν έχει γίνει σύνθεση αποτελεσµάτων από επιµέρους κανόνες και υπάρχουν τυχόν αλληλοεπικαλυπτόµενες περιοχές, αυτές λαµβάνονται υπ' όψη µία µόνο φορά. 0.5 = 6.2

38 ιαγραµµατική Επίλυση (1/2) # Προϋπόθεση: οι συναρτήσεις συγγένειας να είναι συνεχείς καµπύλες - όχι ζεύγη (x,u(x)) # Πρόβληµα: υπολογισµός της δόσης D' µιας φαρµακευτικής ουσίας µε βάση την θερµοκρασία Τ' και τους ασαφείς κανόνες: Κ 1 : if T is HIGH then D is HIGH Κ 2 : if T is LOW then D is LOW # Θεωρώντας µέθοδο ΜΙΝ για τον υπολογισµό των συναρτήσεων συνεπαγωγής: # Οι "καµπύλες" DEFκαι CGH αποτελούν την συνάρτηση συγγένειας της εξόδου των κανόνων Κ 2 και Κ 1 αντίστοιχα. # Ησυνάθροισηmax στις "καµπύλες" DEFκαι CGH δίνει την "καµπύλη" DJGHπου είναι σε συµφωνία µε την αναλυτική λύση. Η αποσαφήνιση γίνεται όπως και στην αναλυτική επίλυση.

39 ιαγραµµατική Επίλυση (2/2) # Θεωρώντας µέθοδο PRODUCT για τον υπολογισµό των συναρτήσεων συνεπαγωγής: # Οι "καµπύλες" DFκαι CH αποτελούν την συνάρτηση συγγένειας της εξόδου των κανόνων Κ 2 και Κ 1 αντίστοιχα. # ΗσυνάθροισηSUM στις "καµπύλες" DFκαι CH δίνει την "καµπύλη" DHπου είναι σε συµφωνία µε την αναλυτική λύση. # Η αποσαφήνιση για τον υπολογισµό τουd' γίνεται όπως και στην αναλυτική επίλυση

40 Συστήµατα Ασαφούς Συλλογιστικής! Καλή κατανόηση της διαδικασίας που πρόκειται να µοντελοποιηθεί.! υσκολότερο σηµείο: ηεπιλογήτωνασαφώνµεταβλητών, των τιµών τους και των κανόνων µε τους οποίους θα συνδυαστούν.! Ο προσδιορισµός των διαφόρων συναρτήσεων συγγένειας, πολλές φορές γίνεται αυτόµατα µε χρήση νευρωνικών δικτύων.! Άλλα σηµεία που απαιτούν προσοχή: η επιλογή του κατάλληλου τελεστή συνεπαγωγής, της µεθόδου αποσαφήνισης, κλπ.

41 Σταθερότητα/Ποιότητα Ασαφούς Συστήµατος! Σταθερότητα: η ικανότητα του ασαφούς συστήµατος να εµφανίζει καλή συµπεριφορά σε όλο το φάσµατιµών εισόδου.! Συνήθως η σταθερότητα συµπεριλαµβάνεται σαν ασαφής µεταβλητή στην περιγραφή του συστήµατος και σχετικοί κανόνες ρυθµίζουν τη συµπεριφορά του συστήµατος σε ακραίες καταστάσεις.! Επειδή περισσότεροι του ενός κανόνες συνεισφέρουν στο αποτέλεσµα τουσταδίουτης συνάθροισης, η µορφή του τελικού αποτελέσµατος πολλές φορές δίνει µία καλή ένδειξη για την ποιότητα του συνολικού συστήµατος. Χαρακτηριστικές περιπτώσεις ασαφούς εξόδου. Παράδειγµα a) Ύπαρξη ενός "ισχυρού" κανόνα που διαµορφώνει δραστικά το αποτέλεσµα (επιθυµητό χαρακτηριστικό). b) Οι δύο κορυφές της συνάρτησης συγγένειας της εξόδου φανερώνουν την ύπαρξη δύο κανόνων (ή οµάδων κανόνων) οι οποίοι έχουν αντιφατική συµπεριφορά (απαιτείται βελτίωση του συστήµατος κανόνων). c) Το µεγάλο πλατό, υποδηλώνει ότι το σύστηµα των κανόνων είναι ελλιπές.

42 Εφαρµογές Ασαφούς Λογικής! Σύστηµα Linkman (ιστορικά η πρώτη εφαρµογή): έλεγχε την µίξη των υλικών και την κατεργασία τους σε περιστρεφόµενο κλίβανο, σε βιοµηχανίες παραγωγής τσιµέντου (σε χρήση και στην Ελλάδα).! Ο υπόγειος σιδηρόδροµος Sendai στην Ιαπωνία: έλεγχος ρυθµού επιτάχυνσης και επιβράδυνσης των συρµών, κλπ.! Φωτογραφικές µηχανές που εστιάζουν και ρυθµίζουν το χρόνο έκθεσης αυτόµατα.! Πλυντήρια ρούχων που αποφασίζουν µόνα τους το πρόγραµµα πλύσης ανάλογα µε την ποσότητα ρούχων, το πόσο βρώµικα είναι και την ποιότητα του νερού.! Συσκευές video-camera: για συνεχή εστίαση αλλά και σταθεροποίηση της εικόνας.! Ασαφή συστήµατα πέδησης (fuzzy ABS) και µετάδοσης κίνησης σε αυτοκίνητα.! Ασαφή συστήµατα ελέγχου λαβής σε ροµποτικούς βραχίονες.! Ασαφείς συσκευές κλιµατισµού.! Ασαφείς βαλβίδες για έλεγχο ροής.! Ασαφή συστήµατα κατανοµής καυσίµου ανάλογα µε τοφάκελοπτήσηςσεδεξαµενές πολεµικών αεροσκαφών.! Έµπειρα συστήµατα για οικονοµικές εφαρµογές (χρηµατιστήριο) µε ασαφείς κανόνες.

Βασικές Έννοιες Ασαφών Συνόλων

Βασικές Έννοιες Ασαφών Συνόλων Ασάφεια (Fuzziness) Έννοια που σχετίζεται με την ποσοτικοποίηση της πληροφορίας και οφείλεται κυρίως σε μη-ακριβή (imprecise) δεδομένα. "Ο Νίκος είναι ψηλός Το πρόβλημα οφείλεται στην αντίληψη που έχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14. Ασάφεια. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου

Κεφάλαιο 14. Ασάφεια. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Κεφάλαιο 4 Ασάφεια Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Ασάφεια (Fuzziness) Έννοια που σχετίζεται µε την ποσοτικοποίηση της πληροφορίας και

Διαβάστε περισσότερα

Ασαφής Λογική (Fuzzy Logic)

Ασαφής Λογική (Fuzzy Logic) Ασαφής Λογική (Fuzzy Logic) Ασάφεια: έννοια που σχετίζεται με την ποσοτικοποίηση της πληροφορίας και οφείλεται κυρίως σε μη-ακριβή (imprecise) δεδομένα. Π.χ. "Ο Νίκος είναι ψηλός": δεν προσδιορίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Αβεβαιότητα. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου

Κεφάλαιο 13. Αβεβαιότητα. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Κεφάλαιο 13 Αβεβαιότητα Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Κυριότερες πηγές αβεβαιότητας: Αβέβαιη Γνώση Ανακριβή δεδοµένα (imprecise data).

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Ασάφεια (Fuzziness) Ποσοτικοποίηση της ποιοτικής πληροφορίας Οφείλεται κυρίως

Διαβάστε περισσότερα

Αιτιολόγηση με αβεβαιότητα

Αιτιολόγηση με αβεβαιότητα Αιτιολόγηση με αβεβαιότητα Στα προβλήματα του πραγματικού κόσμου οι αποφάσεις συνήθως λαμβάνονται υπό αβεβαιότητα (uncertainty), δηλαδή έλλειψη επαρκούς πληροφορίας. Οι κυριότερες πηγές αβεβαιότητας είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Αβεβαιότητα Με τον όρο αβεβαιότητα (uncertainty) εννοείται η έλλειψη ακριβούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ. Οικονόμου Παναγιώτης Δρ. Ε. Παπαγεωργίου 1

ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ. Οικονόμου Παναγιώτης Δρ. Ε. Παπαγεωργίου 1 ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ Ασαφή Σύνολα Συναρτήσεις Συμμετοχής Λεκτικοί Κανόνες Πράξεις Ασαφών Συνόλων Ασαφής Συνεπαγωγές Αποασαφοποίηση Παραδείγματα Ασαφών Συστημάτων Οικονόμου Παναγιώτης 1 Ασάφεια Έννοια που σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Τύποι σφαλμάτων. Σφάλματα. Πολυσημα ντικότητα Ελλιπή. Τυχαιότητα Συστηματικά. Συλλογισμός. Λάθος Μέτρηση. Επαγωγικά Σφάλματα Παραγωγικά σφάλματα

Τύποι σφαλμάτων. Σφάλματα. Πολυσημα ντικότητα Ελλιπή. Τυχαιότητα Συστηματικά. Συλλογισμός. Λάθος Μέτρηση. Επαγωγικά Σφάλματα Παραγωγικά σφάλματα 1 Αβεβαιότητα Αβεβαιότητα Σε πολλές εφαρμογές θα πρέπει να λυθούν προβλήματα χρησιμοποιώντας όχι πλήρη, λεπτομερή και επακριβή δεδομένα Η Αβεβαιότητα μπορεί να θεωρηθεί ως έλλειψη ικανοποιητικής πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Χάρης Δούκας, Πάνος Ξυδώνας, Ιωάννης Ψαρράς

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Χάρης Δούκας, Πάνος Ξυδώνας, Ιωάννης Ψαρράς Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Και Μηχανικών Υπολογιστών ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι Ροµ οτικοί Πράκτορες Αβεβαιότητα Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Πράκτορες χαρακτηριστικά στοιχεία είδη πρακτόρων αυτόνοµοι

Διαβάστε περισσότερα

Αβέβαιη Γνώση. Κυριότερες πηγές αβεβαιότητας:

Αβέβαιη Γνώση. Κυριότερες πηγές αβεβαιότητας: Αβεβαιότητα Σε πολλές εφαρμογές θα πρέπει να λυθούν προβλήματα χρησιμοποιώντας όχι πλήρη, λεπτομερή και επακριβή δεδομένα Η Αβεβαιότητα μπορεί να θεωρηθεί ως έλλειψη ικανοποιητικής πληροφορίας να φθάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Χάρης Δούκας, Πάνος Ξυδώνας, Ιωάννης Ψαρράς

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Χάρης Δούκας, Πάνος Ξυδώνας, Ιωάννης Ψαρράς Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Και Μηχανικών Υπολογιστών ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. Πολυκριτήρια Ανάλυση Αποφάσεων

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. Πολυκριτήρια Ανάλυση Αποφάσεων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Και Μηχανικών Υπολογιστών ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

(REASONING WITH UNCERTAINTY)

(REASONING WITH UNCERTAINTY) ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ REASONING WITH UNCERTAINTY Ακριβής και πλήρης γνώση δεν είναι πάντα δυνατή Οι εµπειρογνώµονες πολλές φορές παίρνουν αποφάσεις από αβέβαια, ηµιτελή ή και αλληλοσυγκρουόµενα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #5: Ασαφής Συλλογισμός. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #5: Ασαφής Συλλογισμός. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #5: Ασαφής Συλλογισμός Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Και Μηχανικών Υπολογιστών ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Χάρης ούκας, Πάνος Ξυδώνας, Ιωάννης Ψαρράς

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Χάρης ούκας, Πάνος Ξυδώνας, Ιωάννης Ψαρράς Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Και Μηχανικών Υπολογιστών ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΙΑΤΑΞΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και ιοίκησης ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ασαφή Συστήματα. 1.1 Ασαφή Σύνολα. x A. 1, x

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ασαφή Συστήματα. 1.1 Ασαφή Σύνολα. x A. 1, x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ασαφή Συστήματα Η τεχνολογική πρόοδος των τελευταίων ετών επέβαλλε τη δημιουργία συστημάτων ικανών να εκτελέσουν προσεγγιστικούς συλλογισμούς, παρόμοιους με αυτούς του ανθρώπινου εγκέφαλου.

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Ερωτήσεις Σωστό - Λάθος 1. Ο αλγόριθµος πρέπει να τερµατίζεται µετά από εκτέλεση πεπερασµένου αριθµού εντολών. 2. Η είσοδος σε έναν αλγόριθµο µπορεί να είναι έξοδος σε έναν άλλο αλγόριθµο. 3. Ένας αλγόριθµος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 2015-2016 Τεχνητή Νοημοσύνη Αβεβαιότητα Διδάσκων: Τσίπουρας Μάρκος Εκπαιδευτικό Υλικό: Τσίπουρας Μάρκος http://ai.uom.gr/aima/ 2 Δράση υπό αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σχεσιακή Άλγεβρα και Σχεσιακός Λογισμός. Σχεσιακή Άλγεβρα Σχεσιακός Λογισμός

Σχεσιακή Άλγεβρα και Σχεσιακός Λογισμός. Σχεσιακή Άλγεβρα Σχεσιακός Λογισμός 7 Σχεσιακή Άλγεβρα και Σχεσιακός Λογισμός Σχεσιακή Άλγεβρα Σχεσιακός Λογισμός Σχεσιακή Άλγεβρα H Σχεσιακή Άλγεβρα (relational algebra) ορίζει ένα σύνολο πράξεων που εφαρμόζονται σε μία ή περισσότερες σχέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #3: Αρχή της Επέκτασης - Ασαφείς Σχέσεις. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #3: Αρχή της Επέκτασης - Ασαφείς Σχέσεις. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #3: Αρχή της Επέκτασης - Ασαφείς Σχέσεις Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Α. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x).

Α. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x). Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βαρβαδούκας ΘΕΜΑ ο Α. α) ίνεται η συνάρτηση F()=f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F ()=f ()+g (). β)να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Αριθμητικοί και Λογικοί Τελεστές, Μετατροπές Τύπου (Casting)

3.1 Αριθμητικοί και Λογικοί Τελεστές, Μετατροπές Τύπου (Casting) Εργαστήριο 3: 3.1 Αριθμητικοί και Λογικοί Τελεστές, Μετατροπές Τύπου (Casting) Η C++, όπως όλες οι γλώσσες προγραμματισμού, χρησιμοποιεί τελεστές για να εκτελέσει τις αριθμητικές και λογικές λειτουργίες.

Διαβάστε περισσότερα

Η ασάφεια και τα Ασαφή Σύνολα ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η έννοια του ασαφούς συνόλου εισήχθη από τον Zadeh το 1965 και δηµιούργησε πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Κεφάλαιο 3 Δυαδική λογική Με τον όρο λογική πρόταση ή απλά πρόταση καλούμε κάθε φράση η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί αληθής ή ψευδής με βάση το νόημα της. π.χ. Σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

ο ό Α αφ ο ι α ι οί οι Α αφο ο ι Α αφ ο α ά ο ι αβ Α αφ α Α αφ ί α ό Α αφο ο ι ά ι Α αφ ο α ια ι α ι ο ι ά αι,, ό ι ι ά ι ά α α Ευφυής Έλεγχος 4

ο ό Α αφ ο ι α ι οί οι Α αφο ο ι Α αφ ο α ά ο ι αβ Α αφ α Α αφ ί α ό Α αφο ο ι ά ι Α αφ ο α ια ι α ι ο ι ά αι,, ό ι ι ά ι ά α α Ευφυής Έλεγχος 4 ο ό Α αφ ο ι α ι οί οι Α αφο ο ι Α αφ ο α ά ο ι αβ Α αφ α Α αφ ί α ό Α αφο ο ι ά ι Α αφ ο α ια ι α ι ο ι ά αι,, ό ι ι ά ι ά α α 4 Α αφ ο ι / ι ό φο α ια ο οί ια ά α ο ία φ ά ί αι Α αφή ογι ή (Fuzzy Logic),

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

x < y ή x = y ή y < x.

x < y ή x = y ή y < x. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 011-1 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χ.Κουρουνιώτης Μ8 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Φυλλάδιο 1 Ανισότητες Οι πραγματικοί αριθμοί είναι διατεταγμένοι. Ενισχύουμε αυτήν την ιδέα με

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2 HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Θεωρία πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (αντίθετα με τις ντετερμινιστικές μεταβλητές)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Τρία: Ψηφιακά Ηλεκτρονικά

Κεφάλαιο Τρία: Ψηφιακά Ηλεκτρονικά Κεφάλαιο Τρία: 3.1 Τι είναι αναλογικό και τι ψηφιακό µέγεθος Αναλογικό ονοµάζεται το µέγεθος που µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή σε µια συγκεκριµένη περιοχή τιµών π.χ. η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου. Ψηφιακό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Παραστάσεις

Αλγεβρικές Παραστάσεις Αλγεβρικές Παραστάσεις 1.2 Μονώνυμα-Πράξεις με Μονώνυμα 1 1.2 Μονώνυμα-Πράξεις με Μονώνυμα Α Άλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές για να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 11. Κεφάλαιο: Στατιστική

Μάθηµα 11. Κεφάλαιο: Στατιστική Μάθηµα Κεφάλαιο: Στατιστική Θεµατικές Ενότητες:. Παρουσίαση Στατιστικών εδοµένων (Στατιστικοί Πίνακες). Γενικά για στατιστικούς πίνακες. Τα στατιστικά δεδοµένα καταγράφονται σε στατιστικούς πίνακες (ή

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 2 Σεπτεµβρίου 2005 5:00-8:00 Σχεδιάστε έναν αισθητήρα ercetro

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας

Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας October 11, 2011 Στο μάθημα Αλγοριθμική και Δομές Δεδομένων θα ασχοληθούμε με ένα μέρος της διαδικασίας επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων. Συγκεκριμένα θα δούμε τι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ MATLAB / FUZZY LOGIC TOOLBOX

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ MATLAB / FUZZY LOGIC TOOLBOX ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ MATLAB / FUZZY LOGIC TOOLBOX Σε αυτό το εγχειρίδιο θα περιγράψουμε αναλυτικά τη χρήση του προγράμματος MATLAB στη λύση ασαφών συστημάτων (FIS: FUZZY INFERENCE SYSTEM

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. .4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας.

Διαβάστε περισσότερα

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή . Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Πράξεις με μπιτ

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Πράξεις με μπιτ Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 Αριθμητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση 3 Πρόσθεση στη μορφή συμπληρώματος ως προς δύο

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

o AND o IF o SUMPRODUCT

o AND o IF o SUMPRODUCT Πληροφοριακά Εργαστήριο Management 1 Information Συστήματα Systems Διοίκησης ΤΕΙ Τμήμα Ελεγκτικής Ηπείρου Χρηματοοικονομικής (Παράρτημα Πρέβεζας) και Αντικείµενο: Μοντελοποίηση προβλήµατος Θέµατα που καλύπτονται:

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης

Δρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης Μάθημα 2ο Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης 2016-2017 Ασαφή Συστήματα 2 Η ασαφής λογική προτάθηκε το 1965 από τον Prof. Lotfi Zadeh

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος

ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Πιθανότητες Πληροφορία Μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Βασικοί τύποι δεδομένων (Pascal) ΕΠΑ.Λ Αλίμου Γ Πληροφορική Δομημένος Προγραμματισμός (Ε) Σχολ. Ετος Κων/νος Φλώρος

Βασικοί τύποι δεδομένων (Pascal) ΕΠΑ.Λ Αλίμου Γ Πληροφορική Δομημένος Προγραμματισμός (Ε) Σχολ. Ετος Κων/νος Φλώρος Βασικοί τύποι δεδομένων (Pascal) ΕΠΑ.Λ Αλίμου Γ Πληροφορική Δομημένος Προγραμματισμός (Ε) Σχολ. Ετος 2012-13 Κων/νος Φλώρος Απλοί τύποι δεδομένων Οι τύποι δεδομένων προσδιορίζουν τον τρόπο παράστασης των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Στο στάδιο ανάλυσης των αποτελεσµάτων: ανάλυση ευαισθησίας της λύσης, προσδιορισµός της σύγκρουσης των κριτηρίων.

Στο στάδιο ανάλυσης των αποτελεσµάτων: ανάλυση ευαισθησίας της λύσης, προσδιορισµός της σύγκρουσης των κριτηρίων. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η τεχνική αυτή έκθεση περιλαµβάνει αναλυτική περιγραφή των εναλλακτικών µεθόδων πολυκριτηριακής ανάλυσης που εξετάσθηκαν µε στόχο να επιλεγεί η µέθοδος εκείνη η οποία είναι η πιο κατάλληλη για

Διαβάστε περισσότερα

Τελεστικοί Ενισχυτές

Τελεστικοί Ενισχυτές Τελεστικοί Ενισχυτές Ενισχυτές-Γενικά: Οι ενισχυτές είναι δίθυρα δίκτυα στα οποία η τάση ή το ρεύμα εξόδου είναι ευθέως ανάλογη της τάσεως ή του ρεύματος εισόδου. Υπάρχουν τέσσερα διαφορετικά είδη ενισχυτών:

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 1 : ιαφορικός Λογισµός 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; 2. Έστω µια

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 : Λογική και Κυκλώματα

Κεφάλαιο 4 : Λογική και Κυκλώματα Κεφάλαιο 4 : Λογική και Κυκλώματα Σύνοψη Τα κυκλώματα που διαθέτουν διακόπτες ροής ηλεκτρικού φορτίου, χρησιμοποιούνται σε διατάξεις που αναπαράγουν λογικές διαδικασίες για τη λήψη αποφάσεων. Στην ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 Αριθμητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Μάθηµα Ολική συνάρτηση µεταφοράς ιάγραµµα ροής Τύπος του Maso Καλλιγερόπουλος ιάγραµµα ροής Σύνθετα διαγράµµατα βαθµίδων πολλαπλών συστηµάτων οδήγησαν στην ανάγκη να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή 4. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

3 ο Εργαστήριο Μεταβλητές, Τελεστές

3 ο Εργαστήριο Μεταβλητές, Τελεστές 3 ο Εργαστήριο Μεταβλητές, Τελεστές Μια μεταβλητή έχει ένα όνομα και ουσιαστικά είναι ένας δείκτης σε μια συγκεκριμένη θέση στη μνήμη του υπολογιστή. Στη θέση μνήμης στην οποία δείχνει μια μεταβλητή αποθηκεύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα