KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive"

Transcript

1 KOMPLEKSNA ANALIZA. Funkcije kompleksne promenljive Neka je R skup realnih brojeva, a C skup kompleksnih brojeva. Definicija. Ako je E R, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija realne promenljive. Ako je E C, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija kompleksne promenljive. Za kompleksnu funkciju f realne promenljive t [a, b] datu sa ft) = xt) + iyt) često se kaže da je zadata u parametarskom obliku. Na primer, ft) = r cos t + ir sin t, t [, 2π), definiše kružnicu poluprečnika r u kompleksnoj ravni. Definicija 2. Pod okolinom tačke z u kompleksnoj ravni podrazumeva se skup svih tačaka z u ovoj ravni za koje je z z < ε, gde je ε data pozitivna konstanta koja se zove poluprečnik okoline. Definicija 3. Kriva odred ena sa x = xt) i y = yt), tj. z = zt) = xt) + iyt), gde su x i y realne neprekidne funkcije realne promenljive t na segmentu [a, b], zove se neprekidna kriva. Definicija 4. Neprekidna kriva z = zt), t [a, b], zove se Jordanova kriva ili prosta kriva ako različitim vrednostima t, t 2 [a, b] parametra t odgovaraju različite tačke zt ), zt 2 ). Jordanova kriva ne može se svesti na tačku i ona nema višestrukih tačaka. Definicija 5. Neprekidna kriva z = zt), t [a, b], koje se od Jordanove krive razlikuje po tome što je za) = zb), naziva se zatvorena Jordanova kriva. Definicija 6. Jordanova ili zatvorena Jordanova kriva x = xt), y = yt), t [a, b], naziva se glatkom ako su izvodi ẋ i ẏ neprekidne funkcije na segmentu [a, b] i ako je na tom segmentu ẋt) 2 + ẏt) 2 >. Za svaku zatvorenu Jordanovu krivu važi sledeća teorema: Teorema.. Zatvorena Jordanova kriva deli ravan na dve otvorene oblasti i ona je njihova zajednička granica. Jedna od ovih oblasti je ograničena i zove se unutrašnja u oznaci int ), a druga je neograničena i naziva se spoljašnja u odnosu na datu krivu u oznaci ext ), tj. važi z-ravan = int ext. Dokaz ove teoreme je veoma komplikovan. Jordanov dokaz 887) nije bio besprekoran, čak ni u slučaju poligona. Korektan dokaz dao je tek 95. američki matematičar Veblen. Definicija 7. Oblast G je jednostruka prosto) povezana u konačnoj z-ravni ako za svaku zatvorenu Jordanovu krivu G važi int G. Ostale oblasti su višestruko povezane. C. Jordan ), francuski matematičar, čita se Žordan.

2 2 kompleksna analiza Na slici. prikazane su, redom, jednostruko, dvostruko i trostruko povezane oblasti. Slika. Višestruko povezana oblast može se na različite načine, pomoću zaseka pretvoriti u jednostruku oblast. Na slici.2 je prikazano kako se iz jedne četvorostruko povezane oblasti dobija jednostruko povezana oblast pri obilaženju zaseci se ne mogu presecati). Slika.2 2. Granična vrednost i neprekidnost Definicija. Kaže se da je A granična vrednost funcije z fz) kada z a ako važi ε > ) δε) > ) z) z a < δε) fz) A < ε. Granična vrednost se standardno označava sa lim fz) = A. z a Za realne funkcije imali smo levu i desnu graničnu vrednost. U nekoj tački a u kompleksnoj ravni promenljiva z se može približavati po bezbroj mnogo pravaca, što znači da se može uvesti granična vrednost u pravcu: Definicija 2. Granična vrednost kompleksne funkcije z fz), kada z a duž poluprave L sa početkom u tački a koja gradi ugao α sa realnom osom limes u pravcu), definiše se sa lim z a z L fz) = lim ρ + fa + ρeiα ) ρ > ). Teorema 2.. Za postojanje lim z a fz) potrebno je, ali ne i dovoljno, da su svi limesi u pravcu med usobno jednaki. Ako postoji granična vrednost funkcije, ona je jedinstvena.

3 izvod funkcije kompleksne promenljive 3 Granične vrednosti funkcije više promenljivih imaju iste osobine kao i funkcije realne promenljive. Neka je lim fz) = A i lim gz) = B. Tada važe jednakosti: z a z a ) ) lim fz) ± gz) = A ± B, lim fz)gz) = AB, z a z a lim z a fz) gz) = A B, B. Neprekidnost funkcija kompleksne promenljive u tački i u oblasti definišu se na isti način kao kod funkcija realne promenljive. Na primer, funkcija z fz) je neprekidna u tački a ako i samo ako je lim fz) = fa). z a Ako je fz) = ux, y) + ivx, y) neprekidna, tada su neprekidne i funkcije u i v. Naravno, važi i obrnuto. Osnovne operacija primenjene na neprekidne funkcije dovode opet do neprekidnih funkcija: Teorema 2.2. Ako su funkcije f i g kompleksne promenljive z neprekidne u tački z, tada su funkcije f + g, f g, fg neprekidne u tački z. Ako je gz ), tada je f/g neprekidna funkcija u tački z. 3. Izvod funkcije kompleksne promenljive Definicija. Neka su: z fz) kompleksna funkcija definisana u oblasti G i L G poluprava sa početnom tačkom a koja zaklapa ugao α sa pozitivnim smerom x-ose. Ako količnik fz) fa) z a teži konačnoj i odred enoj granici kada z a duž L, kaže se da funkcija f ima izvod u tački a u pravcu α i ova granična vrednost označava se sa f αa) ili sa fa) ) α. Ako se uvedu polarne koordinate slika 3.), tada je z a = ρcos α + i sin a) = ρ cis α. Sada se izvod u pravcu α može definisati sa f αa) fa + ρ cis α) fa) = lim ρ + ρ cis α pod uslovom da ova granična vrednost postoji. Slika 3. Definicija 2. Ako za kompleksnu funkciju f definisanu u oblasti G postoji konačna granična vrednost lim z a a,z G fz) fa), z a kaže se da funkcija f ima izvod u tački a ili da je diferencijabilna u tački a. Ovaj izvod označava se sa f a).

4 4 kompleksna analiza Primer 3.. Za funkciju z fz) = z imamo fz) fa) z a = z ā ρcos α i sin α) = z a ρcos α + i sin α). Ako ρ +, ovaj količnik priraštaja ima graničnu vrednost cos α i sin α) 2 cis 2α). Dakle, z) α = cis 2α), tj. ovaj izvod u pravcu α zavisi od α u svakoj tački z-ravni i prema tome, funkcija z z nema izvod ni u jednoj tački z-ravni. Primer 3.2. Za funkciju z fz) = z Re z je fz) fa) z a = z Re z a Re a z a Re a + a cos α cis α) ρ +). Ova granična vrednost ne zavisi od α samo ako je a =, ali iz ovog još ne sleduje da funkcija ima izvod kada z. Kako je z Re z lim = lim Re z =, z z z zaključujemo da funkcija f zaista ima izvod u tački z =. Dakle, funkcija z z Re z ima izvod samo u tački z =. Izvod kompleksne funkcije f u proizvoljnoj tački možemo predstaviti pomoću granične vrednosti f z) = lim z fz + z) fz), z ukoliko ova postoji, dakle, na potpuno isti način kao kod izvoda realne funkcije x fx), s tim što je ovde z = x + i y. 4. Cauchy 2 -Riemannovi 3 uslovi Iz zahteva diferencijabilnosti funkcije fz) u tački z proističu veoma važni uslovi za realni i imaginarni deo te funkcije u okolini tačke x, y). Ti uslovi su poznati kao Cauchy-Riemannovi uslovi kraće C-R uslovi), koji će biti formulisani u sledeće dve teoreme. Teorema 4. Potrebni uslovi diferencijabilnosti). Da bi funkcija z fz) = ux, y) + ivx, y) bila diferencijabilna u tački z = x + iy = x, y), potrebno je da u ovoj tački postoje parcijalni izvodi u x, u y, v x, v y, 2 A. L. Cauchy ), francuski matematičar, čita se Koši. 3 B. Riemann ), nemački matematičar, čita se Riman.

5 i da su ispunjeni Cauchy-Riemannovi uslovi cauchy-riemannovi uslovi 5 u x = v y, u y = v x. 4.) Dokaz. Pretpostavimo da je f diferencijabilna funkcija u tački z G. Tada granična vrednost f fz + z) fz) z) = lim z z postoji, bez obzira na koji način tačka z + z G) teži ka z kada z. Prema definiciji izvoda imamo f z) = lim x y ux + x, y + y) + ivx + x, y + y) ux, y) ivx, y). 4.2) x + i y Kako f z) postoji, to granična vrednost na desnoj strani 4.2) postoji što obezbed uje postojanje parcijalnih izvoda funkcija u i v. Istovremeno, njen izvod ne zavisi od pravca. Da bismo došli do granične vrednosti, pustićemo da z + z teži tački z tako da izračunavanje bude što prostije. Na slici 4. su prikazana dva pravca približavanja tački z: duž poluprave sa početnom tačkom z koja zaklapa ugao α = sa pozitivnim smerom x-ose, i 2 duž poluprave sa početnom tačkom z koja zaklapa ugao α = π/2 sa pozitivnim smerom x-ose. Slika 4. tj. Po pravcu je z = x tj. y =, x ), te iz 4.2) imamo ) fz) = lim ux + x, y) ux, y) + i lim α= x x x vx + x, y) vx, y), x fz) ) α= = u x + i v x. 4.3) Po pravcu 2 je z = i y, tj. x =, y ), tako da iz 4.2) sleduje odakle je ) fz) = lim ux, y + y) ux, y) + i lim α=π/2 y i y y vx, y + y) vx, y), i y fz) ) α=π/2 = i u y + v y. 4.4) Izjednačavanjem 4.3) i 4.4) jer na osnovu pretpostavke postoji izvod u tački z) dobijamo u x + i v x = v y i u y. Odavde sleduju relacije 4.).

6 6 kompleksna analiza Uslovi dati u teoremi 4. su samo potrebni, ali ne i dovoljni. U sledećoj teoremi se pokazuje da su Cauchy-Riemannovi islovi dovoljni uz dopunski uslov da su funkcije x, y) ux, y) i x, y) vx, y), diferencijabilne u tački x, y). Drugim rečima, dokazaćemo sledeće: Teorema 4.2 Dovoljni uslovi diferencijabilnosti). Ako su funkcije ux, y) i vx, y) diferencijabilne u tački x, y) i zadovoljavaju Cauchy-Riemannove uslove 4.), tada je funkcija fz) = ux, y) + ivx, y) diferencijabilna u tački z = x + iy. Vodeći računa o C-R uslovima, izvod f može se predstaviti u sledeća četiri ekvivalentna načina: f z) = u x + i v x = v y i u y = u x i u y = v y + v x. C-R uslovi 4.) se koriste pri ispitivanju različitih svojstava diferencijabilnih kompleksnih funkcija. 5. Analitičke funkcije Definicija. Kaže se da je kompleksna funkcija z fz) analitička u tački a ako je ona diferencijabilna u nekoj okolini tačke a. Definicija 2. Kompleksna funkcija z fz) je analitička u jednoj oblasti ako je analitička u svakoj tački ove oblasti. Primer 5.. Na osnovu Primera 3.2 sledi da je funkcija z z Re z diferencijabilna u tački z =, ali nije u toj tački analitička. Definicija 3. Funkcija koja je analitička u svim tačkama konačne ravni dakle, svuda izuzev u ) naziva se cela funkcija. Cele funkcije su, na primer, funkcije e z z, sin z, cos z. Funkcija fz) = nije analitička z )z + 3) 2 samo u tačkama z = i z = 3, koje nazivamo polovima funkcije. Za takvu funkciju kažemo da je meromorfna videti odeljak 2). Za analitičke funkcije važe sva pravila diferenciranja kao za funkcije realne promenljive, što znači da važi ista tablica izvoda, kao i prateće teoreme. Definicija 4. Realna funkcija x, y) Ux, y) zove se harmonijska u oblasti G ako su za svako x, y) G parcijalni izvodi 2 U x 2 i 2 U y 2 neprekidni i ako je 2 U x U =. 5.) y2 Jednačina 5.) zove se Laplaceova parcijalna jednačina sa dve promenljive. Rešenja jednačine 5.) zovu se potencijalne funkcije ili logaritamski potencijali. Jedno partikularno rešenje jednačine 5.) je Ux, y) = log x a)2 + y b) 2, gde su a i b proizvoljne realne konstante.

7 elementarne funkcije 7 Teorema 5.. Ako je funkcija z fz) = ux, y) + ivx, y) analitička u oblasti G, funkcije u i v su harmonijske u istoj oblasti. Dokaz. Koristićemo bez dokaza) činjenicu da su izvodi analitičke funkcije u tački, takod e analitičke funkcije u istoj tački. Neka je funkcija z fz) = ux, y) + ivx, y) analitička u tački z. Njen izvod f z) = u x + i v x, tj. f z) = v y i u y je takod e analitička funkcija u istoj tački, kao što je navedeno. Drugi izvod f je takod e analitička funkcija u tački z, te je f z) = 2 u x 2 + i 2 v x 2, 5.2) f z) = 2 u y 2 i 2 v y ) Kako su izvodi f, f,... neprekidne funkcije, isti će biti slučaj i sa parcijalnim izvodima ma kog reda funkcije u i v. Iz 5.2) i 5.3) izlazi 2 u x u y 2 = i 2 v x v y 2 =, tj. u i v su rešenja iste Laplaceove parcijalne jednačine 5.). Ovim je završen dokaz teoreme Elementarne funkcije U ovom odeljku razmatramo neke elementarne kompleksne funkcije. Potencijalna funkcija fz) = z n n prirodan broj) analitička je u celoj ravni. Njen izvod jednak je z n ) = nz n. Linearna kombinacija stepena, z, z 2,..., z n je kompleksni polinom P z) = a z n + a z n + + a n z + a n i on je takod e analitička funkcija za svako z. Ako su P i Q polinomi po z, funkcija f odred ena sa fz) = P z)/qz), naziva se racionalna funkcija. Ona je analitička za svako z osim za vrednosti za koje je Qz) =, tj. za polove racionalne funkcije f. 2 Koren. Za z = ρe iθ, jednačina w n = z n N) ima po w tačno n različitih korena odred enih formulom w k = ρ /n cos θ + 2kπ + i sin θ + 2kπ ) k =,,..., n ). n n Ako z opisuje jednu konturu γ, svaki od korena w k menja se neprekidno. Zbog jednostavnosti, posmatrajmo slučaj kada je kontura γ kružnica. Razlikovaćemo tri slučaja koja su prikazana na slici 6. u specijalnom slučaju za n = 3 : a) ext γ Kada tačka z opiše kružnicu γ, svaki od korena w, w,..., w n opiše takod e zatvorenu konturu:,,..., n. Ove konture imaju isti oblik, ne seku se i njihove ose koje prolaze kroz koordinatni

8 8 kompleksna analiza početak pomerene su med usobno za ugao 2π/n videti sliku 6.a za n = 3). w, w,..., w n nazivaju se grane,,multiformne funkcije z z /n. b) int γ Neprekidne funkcije Kada z opiše u pozitivnom smislu kružnicu γ, argument θ ima vrednost θ + 2π. Kada tačka z opiše k puta uočenu konturu, argument θ uzima vrednost θ + 2kπ. Krajnja vrednost korena w k jednaka je početnoj vrednosti korena w k+, što znači da konture koje opišu tačke w, w,..., w n obrazuju jednu jedinstvenu zatvorenu konturu slika 6.b, n = 3). Tačka z = u kojoj kao da se sjedinjuju sve grane multiformne funkcije z z /n zove se tačka granjanja ili algebarski kritički singularitet. c) γ Ovo je granični slučaj prethodno opisanog slučaja. Sve grane se sjedinjuju u koordinatnom početku obrazujući,,listove istog oblika i pomerene med usobno za ugao 2π/n slika 6.c, n = 3). Slika 6. Grane korenske funkcije z z /3 3 Eksponencijalna funkcija z e z definiše se graničnom vrednošću Za niz z n = e z = lim n + + z n) n n N, z = x + iy) dokazuje se lim z n = n + lim n + z ) n. + n ) + x ) n/2 2 y 2 + n n 2 = exp{ lim n + n 2 log )} + x ) 2 y 2 + n n 2 = e x i Na osnovu ovog je lim arg z n = n + lim n arctan n + y/n + x/n = y. e z = e x+iy = e x e iy = e x cos y + i sin y). 6.)

9 Koristeći 6.) može se dokazati sledeća teorema: Teorema 6.. Funkcija z e z ima sledeće osobine: Funkcija z e z ima izvod e z ) = e z i analitička je za svako z; 2 Važi adiciona formula e z e z 2 = e z +z 2 ; 3 Funkcija z e z se ne anulira ni za jedno z C; elementarne funkcije 9 4 Za z = x x realno) navedena definicija poklapa se sa eksponencijalnom funcijom x e x u realnom području; 5 Funkcija z e z je prosto periodična sa osnovnim periodom 2πi. Osobine iz teoreme 6. lako se dokazuju korišćenjem relacije 6.). 4 Trigonometrijske i hiperboličke funkcije definišu se pomoću: cos z = eiz + e iz 2 cosh z = ez + e z 2, sin z = eiz e iz 2i, sinh z = ez e z 2, tan z = sin z cos z,, tanh z = sinh z cosh z. Na osnovu ovih definicija i osobina eksponencijalne funkcije zaključujemo da su trigonometrijske funkcije sin z i cos z periodične sa osnovnim periodom 2π, dok je funkcija tan z periodična sa osnovnim periodom π. Hiperboličke funkcije cosh z, sinh z i tanh z su takod e periodične sa osnovnim periodima redom 2πi, 2πi i πi. Primenom osobine 2 date u teoremi 6. jednostavno se izvode sledeće formule: sinz ± z 2 ) = sin z cos z 2 ± cos z sin z, cosz ± z 2 ) = cos z cos z 2 sin z sin z, sinh z ± z 2 ) = sinh z cosh z 2 ± cosh z sinh z, cosh z ± z 2 ) = cosh z cosh z 2 ± sinh z sinh z. Vidimo da za trigonometrijske i hiperboličke funkcije u kompleksnom domenu važe iste adicione formule kao i one u realnoj analizi. Iz definicionih formula lako se dobijaju i sledeće jednakosti: cos 2 z + sin 2 z =, cosh 2 z sinh 2 z =, sin iz = isinh z, cos iz = cosh z, sinh iz = i sin z, cosh iz = cos z. Izvodi trigonometrijskih i hiperboličkih funkcija dati su istim formulama kao u realnom domenu: sin z) = cos z, cos z) = sin z, tan z) = cos 2 z, sinh z) = cosh z, cosh z) = sinh z, tanh z) = cosh 2 z, 5 Logaritamska funkcija z Log z dobija se kao rešenje jednačine e w = z z ). Neka je w = u + iv i z = ρe iθ. Iz definicione jednakosti nalazimo e u e iv = ρe iθ, odakle je e u = ρ, tj. u = log ρ i v = θ + 2kπ k Z). Prema tome, traženo rešenje ima oblik w = u + iv = log ρ + iθ + 2kπ) k Z),

10 kompleksna analiza tj. Ako je θ =, tj. z = x > je realan broj, iz 6.3) sledi Log z = log ρ + iθ + 2kπ) k Z). 6.3) Log x = log x + 2kπi x > ) i za k = dobijamo logaritam za osnovu e za realne pozitivne brojeve. Ako je z realan i negativan broj, tada je θ = π, te je Log x) = log x + i2k + )π x > ). S obzirom da je 2k +, sledi da je logaritam negativnog broja kompleksan broj. Ako tačka z opiše zatvorenu konturu koja ne sadrži koordinatni početak, tada svaka vrednost w k = log ρ + iθ + 2kπ) k Z) logaritma Log z opiše takod e zatvorenu konturu. Kao i u slučaju korenske funkcije, ovde imamo slučaj miltiformne funkcije, ali sa beskonačno mnogo grana. Funkcije w k = log ρ + iθ + 2kπ) nazivaju se grane,,multiformne funkcije z Log z. Ako je θ glavna vrednost argumenta, tj. θ = arg z π < arg z π), tada je w = log z + iarg z + 2kπ) z Z). Glavni logaritam je funkcija z log z + i arg z i obeležava se z log z. Ovaj logaritam se dobija stavljajući k =. Na osnovu izloženog imamo Log z = log z + 2kπi k Z). Tačka z = naziva se transcendentni logaritamski kritički singularitet, a takod e i tačka granjanja. Izvod logaritamske fukcije dat je sa Log z) = z. Svaka grana funkcije z Log z u slučaju domena koji ne sadrži tačku z = je analitička funkcija u ovom domenu. 6 Opšta potencijalna funkcija z z λ λ kompleksan broj) definiše se pomoću jednakosti z λ = e λlog z. Ako je λ = α + iβ α i β realni brojevi) i z = ρe iθ, tada je ) z λ = e α+iβ) log ρ+iθ+2kπ) = e α log ρ βθ+2kπ) e i[αθ+2kπ)+β log ρ] k Z). Glavna vrednost multiformne funkcije z z λ koja se dobija za k = zove se glavna vrednost potencijalne funkcije. Tačka z = je transcendentni kritički singularitet funkcije z z λ ako λ nije racionalan broj. Primer 6.. Izračunati u kompleksnom području: a) i i ; b) 2 +i ; c) 2 ; d) 2 2. a) i i = e ilog i πi i = e 2 +2kπi) = e π 2 2kπ k Z). Dakle, sve vrednosti izraza i i su realne. Glavna vrednost od i i je e π/2. b) 2 +i = e +i)log 2 = e +i)log 2+2kπi) = e log 2 2kπ e ilog 2+2kπ) = e log 2 2kπ coslog 2) + i sinlog 2) ).

11 konformno preslikavanje c) 2 = e 2Log = e i2kπ 2 = cos2kπ 2) + i sin2kπ 2) beskonačno mnogo vrednosti). Za k = dobijamo glavnu vrednost. d) 2 2 = e 2Log 2 = e 2log 2+2kπi) = 4cos 2kπi + i sin 2kπi) = 4 samo jedna vrednost). 7 Opšta eksponencijalna funkcija z a z, gde je a kompleksan broj, definiše se na sličan način kao i opšta potencijalna funkcija, tj. ) a z = e zlog a = e z log a +iarg a+2kπ). Ova multiformna funkcija, takod e, ima beskonačan broj grana. 8 Inverzne trigonometrijske funkcije definišu se na isti načina kao u slučaju funkcija realne promenljive. Izvedimo, na primer, inverznu sinusnu funkciju. Rešenje po w jednačine z = sin w, tj. z = eiw e iw zovemo arkus sinus i obeležavamo sa Arcsin z. Ako u drugu jednakost uvedemo smenu e iw = t, dobijamo kvadratnu jednačinu t 2 2izt =, iz koje nalazimo e iw = iz ± z 2, odakle je Arcsin z = ilog iz ± ) z 2. Na ovaj način funkciju z Arcsin z sveli smo na logaritamsku funkciju. To znači da ova inverzna funkcija ima beskonačno mnogo grana. Istim postupkom dobijamo inverzne trigonometrijske funkcije: Arccos z = ilog z ± ) z 2, Arctan z = i + iz Log 2 iz. U označavanju ovih inverznih kompleksnih funkcija koristi se kao prvo slovo veliko A, slično kao i kod funkcije Log, da bismo naglasili da ove funkcije imaju beskonačan broj grana. Inverzne hiperboličke funkcije se definišu na potpuno isti način kao inverzne trigonometrijske funkcije. Primer 6.2. Rešimo jednačinu sin z = 2. Jasno je da ova jednačina nema smisla u realnom domenu, te postavljena jednačina nema realnih korena. Primenjujući formulu za Arcsin z direktno dobijamo z = Arcsin 2 = ilog 5i ± 5 )= 2 ilog 5i ± 2i ) 6 = ilog 5 ± 2 6)e iπ/2+2kπ)) = π log kπ i ± 2 ) 6). 2i 7. Konformno preslikavanje Geometrijska predstava analitičke funkcije u smislu predstave krive y = fx) u realnom području ne postoji. Med utim, ako se funkcija x + iy = z w = fz) = ux, y) + ivx, y)

12 2 kompleksna analiza definiše kao preslikavanje tačaka iz oblasti D z, koja pripada z-ravni, u oblast D w, koja pripada w-ravni, tada se geometrijska predstava može dati pomoću preslikavanja. Neka se tačka a iz z-ravni transformacijom w = fz) preslikava u tačku fa). Pored toga, neka se luk l, kome pripada tačka a, preslika na luk L. Pretpostavimo da analitička funkcija f ima u tački a konačan izvod i da je f a). Izvod funkcije f u tački a definisan je sa fz) fa) lim = f a). 7.) z a z a Da bismo dali geometrijsko tumačenje ovog izvoda, posmatraćemo njegov modul i argument. Iz 7.) je lim z a fz) fa) z a = lim z a fz) fa) z a = f a). Odavde je f a) fz) fa) z a. 7.2) Slika 7. Na osnovu ovakve predstave, zaključujemo da je modul izvoda jednak količniku ili odnosu) dužina tetiva fz) fa) i z a i to u graničnom slučaju kada z a. Zbog toga se f a) može nazvati koeficijentom deformacije. Takod e se koriste i nazivi koeficijent izduženja ili koeficijent skraćenja, zavisno od toga da li je f a) veće ili manje od jedinice. Posmatrajmo sada argument izvoda u graničnom slučaju. Imamo arg lim z a ) fz) fa) = lim arg z a z a ) fz) fa) = arg f a) z a = lim z a arg fz) fa) ) lim z a arg z a) = γ β. Ovoi je geometrijska predstava argumenta prvog izvoda. Posmatrajmo u ravni z dva glatka luka l i l 2 koji se seku u tački a i dva preslikana luka L i L 2 u w-ravni koji se seku u tački fa). Primenom jednakosti 7.3) dobijamo 7.3) γ β = arg f a), γ 2 β 2 = arg f a), odakle je γ 2 γ = β 2 β.

13 konformno preslikavanje 3 Ovim smo dokazali sledeću teoremu: Slika 7.2 Teorema 7.. Preslikavanje pomoću analitičke funkcije z fz) ima osobinu da zadržava uglove po veličini i smeru u svakoj tački u kojoj je f z). Na osnovu prethodnog možemo zaključiti da svako preslikavanje koje se vrši pomoću jedne analitičke funkcije f ima osobine: zadržavanje nepromenljivost) uglova; 2 nezavisnost od pravca) koeficijenta deformacije za fiksnu tačku. Pretpostavlja se da je f a) u fiksnoj tački a. Definicija. Preslikavanje koje ima dve navedene osobine zove se konformno preslikavanje. Osnovni problem konformnog preslikavanja Kod konformnog preslikavanja se daje neka oblast D z u z-ravni, zatim analitička funkcija z fz), i traži se oblast D w u w-ravni na koju se preslikava D z pomoću funkcije f. Postoji i inverzni problem: Data je oblast D w i funkcija f, inverzna funkciji f. Ovaj problem je analogan konformnom preslikavanju u gornjem slučaju. Osnovni problem konformnog preslikavanja, koji je vrlo čest u primenama, glasi: Ako su date dve oblasti D z i D w, odrediti analitičku funkciju kojom se jedna od tih oblasti preslikava na drugu. Ovaj problem je nerešiv u opštem slučaju. Bilinearna transformacija Definicija. Bilinearna ili Möbiusova 4 ) transformacija je z wz) = az + b cz + d ad bc ), 7.4) gde su a, b, c, d kompleksni brojevi. Izraz 7.4) se može prikazati u obliku czw az + dw b =, odakle se vidi da je ovo linearna funkcija posebno po z i posebno po w i to je razlog za ime bilinearna transformacija. Kada je ad bc = i cd, tada je w = const. 4 A. F. Möbius ), nemački matematičar, čita se Mebijus.

14 4 kompleksna analiza Ako je c =, tada je w = a d z + b d linearna transformacija). Iz 7.4) sleduje z = dw + b cw a, 7.5) Ovo je takod e bilinearna transformacija koja ne degeneriše u konstantu jer je a) d) bc = ad bc. Na osnovu 7.4) i 7.5), za c imamo rezultat: Pomoću transformacije 7.4) sve tačke konačne z-ravni preslikavaju se na tačke konačne w-ravni; tačka z = d preslikava se u tačku w = ; c 2 Pomoću transformacije 7.5) sve tačke konačne w-ravni preslikavaju se na tačke konačne z-ravni; tačka w = a preslikava se u tačku z =. c Na osnovu izloženog zaključujemo da je bilinearnom transformacijom 7.4) izmed u proširene z-ravni i proširene w-ravni uspostavljena biunivoka korespondencija. Može se dokazati sledeće tvrd enje: Teorema 7.2. Bilinearnom transformacijom 7.4) krugovi i prave z-ravni preslikavaju se u krugove i prave w-ravni. Pri tome, krug se može preslikati u pravu i obrnuto. Bez dokaza navodimo da se krug z z = r iz z-ravni preslikava pomoću 7.4) u pravu ako ovaj krug prolazi kroz tačku d/c, tj. kroz pol bilinearne transformacije 7.4) videti sledeći primer). Primer 7.. Pomoću bilinearne transformacije w = z + krug z 2 = preslikava se u pravu jer ovaj z krug prolazi kroz tačku z = koja predstavlja pol bilinearne transformacije. Tačka z = 3 koja pripada krugu preslikava se u tačku w3) = 3 + )/3 ) = 2. Tangenta na krug u tački z = 3 gradi prav ugao sa realnom osom, tako da na osnovu osobine o nepromenljivosti uglova pri konformnom preslikavanju prava u w-ravni je upravna na realnu osu i prolazi kroz tačku w = 2. Prema tome, dati krug se preslikava na pravu Re z = 2, što je prikazano na slici 7.3. Primer 7.2. kvadrant). Slika 7.3 Transformacijom z wz) = i z i + z Iz date transformacije rešavanjem po z nalazimo odakle je Re z = 2 z + z) = 2 preslikati oblast {z Re z Im z } prvi z = i w w +, 7.6) i w w + + i w ) = w + 2Im w w w + w + w +.

15 konformno preslikavanje 5 Im w Odavde je Re z Im w jer za w važi w w + w + w + = w w + w + w + w + ) w + ) = w + 2 >. Dalje, iz 7.6) imamo Im z = 2i z z) = i w 2i w + i w ) w w = w + w w + w + w +. Prema tome, Im z w w ) w. Dakle, transformacija w = i z)/i + z) preslikava datu oblast na poludisk {w w Im w }, videti sliku 7.4. Slika 7.4 Neki važni slučajevi konformnog preslikavanja Preslikavanje z wz) = z 2 Neka je z = ρe iθ. Kako je z z 2 = ρe iθ ) 2 = ρ 2 e i2θ, zaključujemo da se jedna tačka z-ravni preslikava u tačku w-ravni čiji je modul jednak kvadratu modula originala i argument je dva puta veći. Na primer, isečak kruga z = ρ čiji je centralni ugao α preslikava se u kružni isečak poluprečnika ρ 2 sa centralnim uglom 2α α π), kao što je prikazano na slici 7.5a. Slika 7.5 Preslikavanje funkcijom w = z 2

16 6 kompleksna analiza Mreža koordinatnih linija x = p i y = q p, q realni brojevi) preslikava se u dve familije ortogonalnih parabola slika 7.5b.). Kako je w = u + iv = z 2 = z + iy) 2 = x 2 y 2 + i2xy, imamo u = x 2 y 2, v = 2xy. Eliminacijom x iz sistema u = x 2 q 2, v = 2xq i y iz sistema u = p 2 y 2, v = 2py, dobijamo jednačine familija ortogonalnih parabola u = p 2 v2 4p 2, u = v2 4q 2 q2. Žiže ovih parabola su u koordinatnom početku. Takod e, primećujemo da se prave y = q i y = q preslikavaju u istu parabolu, što proističe iz jednakosti z) 2 = z 2. Primer 7.3. Preslikati disk z a = a sa z z 2. Ako jednačinu kružnice posmatranog diska napišemo u obliku z = a + e iθ ) θ < 2π), dobijamo w = u + iv = a 2 + e iθ) 2 = a 2 e 2iθ + 2e iθ + ), odakle je u = 2a 2 cos θ + cos θ), v = 2a 2 sin θ + cos θ). Kako je u 2 + v 2 ) /2 = 2a 2 + cos θ) i v/u = tan θ, uvodeći polarne koordinate u = ρ cos φ, v = ρ sin φ, dolazimo do jednačine ρ = 2a 2 + cos φ) u polarnim koodinatama. Ovo je jednačina krive kardioide) na koju se preslikava krug z a = a iz z-ravni. Unutrašnost diska D preslikava se u unutrašnjost kardioide D, kao što je prikazano na slici 7.6. Slika 7.6 Preslikavanje diska funkcijom w = z 2

17 konformno preslikavanje 7 3 Preslikavanje z wz) = e z Kako je nalazimo da je w = w e iarg w = e z = e x+iy = e x e iy, w = ρ = e x i arg w = y. Zbog toga se traka {z < x < +, < y < π} preslikava u poluravan v = Im w >, jer se arg w = y menja od do π, dok se w = e x menja od do + slika 7.7a). Pri preslikavanju jedne polovine ove pruge za koju je x <, imamo da se arg w = y opet menja od do π, a w = e x od do. Na taj način dobija se oblast {w w <, Im w > }, tj. jedinični polukrug u gornjoj poluravni slika 7.7b). Pravougaonik JKLM sa slike 7.7c preslikava se u oblast koja se nalazi izmed u dva koncentrična polukruga. S obzirom da je tačka J u oblasti x <, poluprečnik manjeg polukruga manji je od, dok je poluprečnik većeg polukruga veći od jer je tačka K u poluravni x >. Slika 7.7 Preslikavanje z e z

18 8 kompleksna analiza 8. Kompleksna integracija Definicija. Ako su u i v R-integrabilne funkcije realne promenljive t na segmentu [a, b] integrabilnost u Riemannovom smislu), integral funkcije t ft) = ut)+ivt) u granicama od α do β α, β [a, b]) je β β β ft)dt = ut)dt + i vt)dt. 8.) Za funkciju f kažemo da je R-integrabilna. Navodimo neke osobine R-integrabilne funkcije: β ft)dt = α α β ft)dt. α γft)dt = γ ft)dt γ je kompleksna konstanta). 2 β α β α β n ) n β 3 f k t) dt = f k t)dt. α k= b 4 ft)dt a b a k= ft) dt α a < b). α 5 Ako je t ft) = ut) + ivt) R-integrabilna funkcija na segmentu [a, b], isti je slučaj sa funkcijom t ft) = ut) 2 + vt) 2. Definicija 2. Neka je f kompleksna funkcija kompleksne promenljive z i glatka kriva čija je jednačina z = zt) = xt) + iyt) a t b). Neka je funkcija f definisana i neprekidna na. Tada je α b fz)dz = f zt) ) z t)dt 8.2) a i b fz) dz = f zt) ) z t) dt. 8.3) a Integral 8.2) može se razložiti na realni i imaginarni deo na sledeći način: fz)dz = ) ux, y) + ivx, y) dz = ux, y)dx vx, y)dy + i Neke osobine integrala su: fz)dz = fz)dz. 2 γfz)dz = γ fz)dz γ je kompleksna konstanta). vx, y)dx + ux, y)dy. 8.4)

19 3 4 5 n k= fz)dz = ) f k z) dz = r k= fz)dz n k= kompleksna integracija 9 f k z)dz. k fz)dz = fz) dz r k ). k= Darbouxova 5 nejednakost). Dokažimo Darbouxovu nejednakost 5. Primenom osobine 4 za kompleksan integral realne promenljiive, iz 8.2) se dobija fz)dz = b f zt) ) b z t)dt f zt) ) b z t) dt = f zt) ) z t) dt = fz) dz. a Ako je max fz) = M M pozitivna konstanta), tada iz z 5 sleduje fz)dz M dz = ML, gde je L dužina luka krive. Primer 8.. Smenom z a = re it dz = rie it dt) imamo J = z a =r a z a dz = 2π a rie it dt = reit 2π idt = 2πi. Navedenom smenom integral z a) n dz n ceo broj ), postaje 2π z a =r [ ir ir n+ e in+)t n+ dt = in + ) ein+)t ] 2π =. Primer 8.2. Izračunati Dati integral je jednak C C zdz od z = do z = 4 + 2i duž krive C date pomoću z = zt) = t 2 + it. x iy)dx + idy) = C xdx + ydy + i C xdy ydx. Parametarske jednačine krive C su x = xt) = t 2, y = yt) = t za t [, 2]. Tada linijski integral postaje 2 t= [ t 2 2tdt) + tdt ] + i 2 t= [ t 2 dt t2tdt) ] = 2 2t 3 + t)dt + i 2 t 2 )dt = 8i 3. 5 G. Darboux ), francuski matematičar, čita se Darbu.

20 2 kompleksna analiza 9. Cauchy-Goursatova teorema Integrali analitičkih funkcija imaju svojstva integrala totalnog diferencijala. Cauchy je 825. formulisao sledeću teoremu: Teorema 9. Osnovna Cauchyeva teorema). Ako je f analitička funkcija u jednostruko povezanoj oblasti G, i ako je njen prvi izvod f neprekidan u G, tada je fz)dz =, gde je G) zatvorena kontura. Dokaz. Ako na integrale koji se pojavljuju na desnoj strani formule 8.4) primenimo Green 6 - Riemannovu formulu ) Qx, y) P x, y) ) P x, y)dx + Qx, y)dy = dxdy, x y dobijamo fz)dz = G int v x v ) dxdy + i y G u x v ) dxdy. y G je oblast ograničena konturom ). Primenom Cauchy-Riemannovih uslova na podintegralne funkcije vidimo da su oba integala na desnoj strani jednaka nuli, pa je fz)dz =. U Cauchyevom dokazu ove teoreme bitna je pretpostavka o neprekidnosti izvoda funkcije f da bi Green-Riemannova formula mogla da se primeni). Med utim, francuski matematičar Goursat dokazao je 884. godine da ova teorema važi pod slabijim ograničenjima za funkciju f. Naime, dovoljno je pretpostaviti da je funkcija f analitička u jednostruko povezanoj oblasti G. Cauchyeva teorema, uz izmene koje je dao Goursat, obično se naziva Cauchy-Goursatova teorema. Cauchy-Goursatova teorema može se primeniti na višestruko povezanu oblast G. Granica oblasti G je tada složena kontura = + n. Ona se sastoji od spoljne zatvorene konture po kojoj se tačka kreće u pozitivnom smislu i od unutrašnih zatvorenih kontura,..., n po kojima se tačka kreće u suprotnom smislu. Drugim rečima, kada se tačka kreće po, oblast G ostaje sleva. U cilju ilustracije posmatajmo dvostruko povezanu oblast prikazanu na slici 9.. Pomoću duži ab i cd dvostruko povezana oblast može se podeliti na dve jednostruko povezane oblasti: kontura jedne od njih je K = aαdcγba, a druge K 2 = dβabδcd. 6 G. Green ), engleski matematičar, čita se Grin.

21 cauchy-goursatova teorema 2 Na osnovu Cauchy-Goursatove teoreme je Odavde izlazi K + K 2 K fz)dz =, Slika 9. = tako da jedno za drugim imamo K 2 fz)dz = =, aαd dc cγb ba dβa ab bδc cd fz)dz + fz)dz =, + fz)dz = fz)dz. 9.) + + U slučaju trostruko povezane oblasti imamo fz)dz = fz)dz + fz)dz Produžujući tako, dolazi se do sledeće teoreme: Teorema 9.3 Stav o ekvivalenciji putanja). Ako je f funkcija definisana u oblasti int i analitička u n + )-struko povezanoj oblasti G, tada je fz)dz =, tj. fz)dz = n k= k fz)dz. Formula 9.) omogućava izračunavanje nekih integrala izborom pogodne konture. Tako u primeru 5.5 vrednost integrala će biti ista ako se mesto kruga uzme proizvoljna kontura koja obuhvata tačku a. Navedena formula kao i teorema 9.3 biće primenjeni u daljem izlaganju.

22 22 kompleksna analiza. Cauchyeva integralna formula Sada ćemo izložiti jedan fundametalan rezultat u teoriji analitičkih funkcija do koga je došao Cauchy. Teorema.. Neka je f analitička funkcija na zatvorenoj deo po deo glatkoj krivoj kao i u oblasti G = int. Tada za proizvoljnu tačku z G važi fz) = fζ)dζ 2πi ζ z..) Dokaz. Uočimo pomoćnu funkciju gζ) = fζ) fz). ζ z Ova funkcija je analitička unutar konture osim u tački z. Primetimo da je fζ) fz) lim = f z), ζ z ζ z tj, gz) = f z). Prema ovome, funkcija gζ) je neprekidna pa i ograničena funkcija, tj. važi gζ) < K, gde je K pozitivna konstanta. Neka je γ krug poluprečnika ρ sa centrom u tački z, koji leži unutar konture slika.). Slika. Na osnovu Stava o ekvivalenciji putanja teorema 9.3), imamo gζ)dζ = gζ)dζ..2) γ Odavde zaključujemo da integral gζ)dζ ne zavisi od r jer ima konstantnu vrednost jednaku integralu γ gζ)dζ. Dalje je, zbog ograničenosti funkcije gζ), gζ)dζ < 2πρK. γ

23 taylorov i laurentov red 23 Prema tome, integral na desnoj strani u.2) može imati proizvoljno malu vrednost ako je ρ dovoljno malo. S druge strane, ovaj integral ne zavisi od ρ. Prema tome, mora biti gζ)dζ =, odnosno ili Kako je videti primer 8.) iz.3) dobijamo formulu.) γ fζ) fz) dζ =, ζ z fζ)dζ ζ z fz) dζ ζ z = γ dζ ζ z dζ ζ z = 2πi, =..3) Formula.) se zove osnovna Cauchyeva integralna formula, a desna strana ove formule Cauchyev integral. Iz Cauchyeve formule.) sledi da su vrednosti analitičke funkcije unutar konture potpuno definisane vrednostima te funkcije na konturi. Ako je funkcija f analitička u nekoj oblasti G, tada je prema samoj definiciji ona diferencijabilna u toj oblasti ima prvi izvod). Sada ćemo utvrditi da takva funkcija ima izvode proizvoljnog reda. Kao što je poznato, za realne funkcije ovo ne mora da važi. Teorema.2. Neka je f analitička funkcija na zatvorenoj deo po deo glatkoj krivoj kao i u oblasti G = int. Tada za proizvoljnu tačku z G važi f n) z) = n! fζ)dζ..4) 2πi ζ z) n+ Taylorov red. Taylorov 7 i Laurentov 8 red Neka je f analitička funkcija unutar kruga K = {z : z z < R} R može biti i + ) i neka je r = z z slika.). Slika. 7 B. Taylor ), engleski matematičar, čita se Tejlor. 8 P. A. Laurent ), francuski matematičar, čita se Loran

24 24 kompleksna analiza Bez dokaza dajemo sledeće tvrd enje: Teorema.. Svaka kompleksna funkcija f, analitička u tački z = z, može se razviti u stepeni red fz) = A + A z z ) + A 2 z z ) 2 +, A k = 2πi fζ)dζ ζ z ) k+.) konvergentan u kružnom disku sa centrom u z i poluprečnikom ρ < b z, gde je b singularitet funkcije f najbliži tački a. Red.) naziva se Taylorov red funkcije f u tački z. Može se dokazati da je, pod uslovima u teoremi., razlaganje jedinstveno. Važi i sledeća teorema: Teorema.2. Funkcija f je analitička u tački z ako i samo ako se u nekoj okolini te tačke može razviti u Taylorov red. Teorema.2 često se uzima kao definicija analitičnosti funkcije. Laurentov red Teorema.3. Neka je funkcija f analitička u prstenu Tada unutar tog prstena važi razvoj pri čemu je gde je krug ζ z = r R < r < R 2 ). Ovaj red se zove Laurentov red. R < z z < R 2 R, R 2 + ). fz) = + n= A n = 2πi A n z z ) n, fζ) dζ, ζ z ) n+ reda. Definicija. Red + n= A n z a) n zove se pravilni deo, a n= A n z a) n glavni deo Laurentovog Primer.. Funkciju z z + )e /z razviti u Laurentov red u okolini tačke z =. Koristeći razvoj eksponencijalne funkcije u Taylorov red, dobijamo z + )e /z = z + ) + z + 2!z 2 + ) 3!z 3 + = z k= k! + ) z k. k + )!

25 Primer.2. U okolini tačke z = 2 razvoj funkcije z fz) = fz) = z 2 z 3 = z 2 = z 2 z 2) z 2)2. Ovaj red je konvergentan u disku z 2 <. izolovani singulariteti 25 z 2)z 3) glasi z 2) = + z 2) + z 2) 2 + z 2) 3 + ) z 2 2. Izolovani singulariteti Tačka a u kojoj funkcija f nije analitička naziva se singularitet te funkcije. Ako je tačka a singularitet funkcije f i postoji okolina tačke a u kojoj nema drugih singulariteta, onda se tačka a naziva izolovani singularitet funkcije fz). U samoj tački a funkcija može biti i nedefinisana. Funkcija f može se razviti u Laurentov red: koji konvergira u prstenu < z a < r. Moguća su tri različita slučaja: fz) = + n= A n z a) n, 2.). Laurentov red 2.) ne sadrži članove sa negativnim stepenima od z a). U ovom slučaju tačka a se zove prividni singularitet, ili otklonjiv singularitet funkcije f. 2. Laurentov red 2.) sadrži konačan broj članova sa negativnim stepenima. U ovom slučaju tačka a se zove pol funkcije fz). 3. Laurentov red 2.) sadrži beskonačno mnogo članova sa negativnim stepenima. U ovom slučaju tačka a se zove esencijalni singularitet funkcije fz). Pojam izolovanih singulariteta u literaturi se često uvodi i pomoću sledećih ekvivalentnih definicija: Tačka z = a je otklonjiv ili prividni singularitet ako je lim z a fz) konačan broj, a funkcija nije definisana u tački a. Da bismo odstranili takav singularitet dovoljno je dodefinisati funkciju f uzimajući da je fa) = A. Kaže se da je z = a pol reda m funkcije f ako je lim z a fz) =. Tada se funkcija f može predstaviti u obliku fz) = ϕz) z a) m, gde je ϕz) = A m + A m+ z a) + + A z a) m + analitička funkcija u okolini tačke a Tačka z = a je esencijalni singularitet ako lim z a fz) ne postoji. Primer 2.. Funkcija z sin z z je otklonjivi singularitet. nije definisana u tački z =, ali je lim z sin z z =. Prema tome, z = Primer 2.2. Funkcija fz) = e z )/z 4 ima u tački z = pol. Pogrešno bi bilo odmah zaključiti da je ovo pol reda 4 jer je e z = za z =. Razvoj u Laurentov red daje fz) = ) z 4 + z + z2 2! + z3 3! + z4 4! + z5 5! + = + z 5! + 4! + 3! z + 2! z 2 + z 3.

26 26 kompleksna analiza Na osnovu prethodne diskusije i poslednjeg izraza zaključujemo da je z = pol trećeg reda. Primer 2.3. Razvoj funkcije z e /z u Laurentov red glasi e /z = + z + 2!z 2 + 3!z 3 +. Glavni deo Laurentovog razvoja ima beskonačno mnogo članova. Ako se tački z = približavamo pomoću niza /n), imamo lim n + en = +. Ako se tački z = približavamo pomoću drugog niza /n), dobija se lim n + e n =. Prema tome, granična vrednost ne postoji u tački z = i ona predstavlja esencijalni singularitet funkcije z e /z. Definicija. ) t f. t Priroda tačke z = funkcije z fz) ista je kao priroda tačke t = funkcije Primer 2.4. Odrediti prirodu tačke z = za funkciju fz) = z sin z 2 sin ) 2. z 2 Uvedimo smenu z = /t i ispitajmo prirodu tačke t = za funkciju gt) = f/t) = t sin t 2 sin z ) 2. 2 Redom nalazimo g t) = t cos t + sin t 2 sint 2), g t) = 2 cos t 2 cost 2) t sin t, g 3) t) = t cos t 3 sin t sint 2), g 4) t) = 4 cos t + 4 cost 2) + t sin t, g 5) t) = t cos t + 5 sin t 4 2 sint 2), g 6) t) = 6 cos t 8 cost 2) t sin t. Kako je g) = g ) = g ) = g 3) ) = g 4) ) = g 5) ) = i g 6) ) = 2, zaključujemo da je t = nula reda 6 za funkciju gt). Prema definiciji sledi da je tačka z = nula reda 6 za zadatu funkciju fz). 3. Račun ostataka Definicija. Neka je z fz) analitička funkcija u okolini tačke a osim, možda u samoj tački a. Pod ostatkom funkcije f u tački a podrazumeva se koeficijent A u Laurentovom razvoju i označava se sa Res z=a fz) = A ). fz) = + n= A n z a) n Iz definicije i izraza za koeficijente Laurentovog reda direktno izlazi Res fz) = z=a 2πi fz)dz, 3.) gde je krug z a = r takav da na njemu i u njegovoj unutrašnjosti nema drugih singulariteta osim a.

27 Izračunavanje ostatka za pol prvog reda račun ostataka 27 Neka je tačka a pol prvog reda za funkciju f. Tada u okolini te tačke važi razvoj fz) = A z a) + A + A z a) + A 2 z a) ) Pomnožimo levu i desnu stranu u 3.2) sa z a) i potražimo graničnu vrednost kada z a. Tada imamo A = lim z a)fz) = Res fz). 3.3) z a z=a Primetimo, da se u ovom slučaju, funkcija f može prikazati kao količnik dve analitičke funkcije, fz) = ϕz) ψz), 3.4) pri čemu je ϕa), a tačka a nula prvog reda funkcije ψz). U tom slučaju imamo ψz) = ψ a)z a) + 2 ψ a) +, ψ a). 3.5) Iz 3.3), 3.4) i 3.5) dobija se sledeća formula za izračunavanje ostatka za pol prvog reda: ϕa) Res fz) = z=a ψ a), fz) = ϕz) ). 3.6) ψz) z Primer 3.. Neka je fz) = z n. Singulariteti funkcije su z k = n = e i 2kπ n k =,,..., n ), pri čemu su sve te tačke polovi prvog reda. Odredimo Res fz). Na osnovu 3.6) nalazimo z=z k Res fz) = z=z k z k nz n k = z2 k nz n k = 4kπ ei n zk n = ). n Izračunavanje ostatka za pol reda m Neka je tačka a pol reda m funkcije f. Tada u okolini te tačke važi razvoj fz) = A m z a) m + + A z a) + A + A z a) + A 2 z a) 2 + Množeći levu i desnu stranu sa z a) m, dobijamo z a) m fz) = A m + A m+ z a) + + A z a) m Diferencirajmo obe strane poslednje jednakosti m )-puta, a zatim potražimo graničnu vrednost kada z a. Tako dobijamo formulu za izračunavanje ostatka za pol reda m : A = Res fz) = z=a m )! lim d m ) z a dz m z a) m fz). 3.7)

28 28 kompleksna analiza Primer 3.2. Neka je fz) = + z 2 ) n. Singulariteti su z,2 = ±i, pri čemu su te tačke polovi reda n. Izračunajmo Res fz). Na osnovu 3.7) sledi z=i Res z=i + z 2 ) n = n )! lim z i = n )! lim z i d n [ dz n z i) n [ ] d n dz n z + i) n n nn + )...2n 2) = ) n )! + z 2 ) n ] z + i) 2n z=i n 2n 2)! = ) [n )!] 2 2i) 2n = i 2n 2)! 2 2n [n )!] 2. Dobar deo dosadašnjeg proučavanja preduzet je zbog dobijanja jednog od najznačajnijih rezultata Kompleksne analize, koji je našao primenu u mnogim oblastima matematike. To je Cauchyeva teorema o ostacima. Teorema 3. Cauchyeva teorema o ostacima). Ako je z fz) analitička funkcija na zatvorenoj konturi i u int, osim u njenim polovima ili u esencijalnim singularitetima z,..., z n int, tada važi formula n fz)dz = 2πi Res fz). 3.8) z=z k Dokaz. Pretpostavimo da su z,..., z n polovi. Neka je z k k n) pol reda p k funkcije f. U okolini tačke z k važi Laurentov razvoj k= fz) = g k z) + A,k z z k + + A p k,k z z k ) p k A pk,k ), gde je g k analitička funkcija u okolini tačke z = z k. Neka je γ k krug z z k = r k koji leži na int, takav da disk z z k r k sadrži samo pol z k slika 3.). Tada je fz)dz = γ k γ k g k z)dz + A,k γ k dz + + A pk,k z z k γ k z z k ) p dz. 3.9) k Slika 3.

29 izračunavanje odredjenih integrala 29 Prvi ntegral na desnoj strani poslednje jednakosti jednak je nuli jer je g k analitička funkcija u okolini tačke z = z k Cauchy-Goursatova teorema). Ako je p ceo broj, tada je vidi primer 8.) z a) p dz = p ) i z a) dz = 2πi. z a =r z a =r Na osnovu ovog, jednakost 3.9) postaje γ k fz)dz = A,k 2πi = 2πi Res z=z k fz). 3.) Kako na osnovu Cauchy-Goursatove teoreme za višestruko povezane oblasti Stav o ekvivalenciji putanja, teorema 9.3) imamo n fz)dz = fz)dz, k= prema 3.) dobijamo formulu 3.8) koju je trebalo i dokazati. γ k Neke ocene na polukrugu Jordanove leme Sledeća tri tvrd enja, poznata kao Jordanove leme, odnose se na procene integrala na polukružnom luku prikazanom na slici 3.2. Leme se koriste pri oceni integrala duž ovog luka kod izračunavanja kompleksnih integrala. Slika 3.2 Lema 3.. Ako je lim zf z) = B, tada je lim F z)dz = iπb. z R Lema 3.2. Ako je F z) M/R k za z = Re iθ, gde su k > i M konstante, tada je lim F z)dz =. R + Lema 3.3. Ako je F z) M/R k za z = Re iθ, gde su k > i M konstante, tada je lim e imz F z)dz =, R + gde je polukružni luk kruga poluprečnika R prikazan na slici 3.2 i m pozitivna konstanta.

30 3 kompleksna analiza 4. Izračunavanje odred enih integrala Za izračunavanje nekih dosta opštih klasa odred enih integrala, kako kompleksnih tako i realnih, vrlo efikasno se može iskoristiti račun ostataka dat teoremom 3.. Ovo će biti ilustrovano na nekim primerima. Primeri integrala oblika Primer 4.2. Izračunaćemo integral fz)dz dz z ) 2 z 2 + ), gde je krug z + i) 2 = 2, odnosno x ) 2 + y ) 2 = 2. Podintegralna funkcija ima tri singulariteta: pol drugog reda z = i proste polove z 2 = i i z 3 = i. Singulariteti z i z 2 su unutar kruga, a z 3 van kruga. Prema tome, imamo gde su dz [ z ) 2 z 2 + ) = 2πi [ ] d Res fz) = lim z ) 2 z= z dz z ) 2 z 2 + ) Res z= = lim z Res fz) = lim z=i z i z ) 2 z + i) = 2ii ) 2 = 4. Dakle, na osnovu teoreme o ostacima imamo ] fz) + Res fz), z=i [ d dz dz z ) 2 z 2 + ) = πi 2. z 2 + ) ] 2z = lim z z 2 + ) 2 = 2, Integrali oblika 2π Rcos t, sin t)dt, R racionalna funkcija Gornji integral može se izračunati na sledeći način. Smenom z = e it dobijamo cos t = eit + e it 2 = z + z, sin t = eit e it 2 2i = z z, dt = dz 2i iz. 4.6) Na osnovu ovog imamo 2π Rcos t, sin t)dt = z + z R, z ) z dz 2 2i iz, gde je krug z =, jer kada t varira od do 2π, tačka z = e it opiše krug u pozitivnom smeru. Poslednji integral je oblika na koji se može primeniti teorema o ostacima.

31 princip argumenta 3 Primer 4.3. Izračunaćemo integral I = 2π dt, a <. + a cos t Smenom z = e it i korišćenjem formula 4.6), dobijamo I = 2 dz i az 2 + 2z + a. z = Izolovani singulariteti su nule imenioca z,2 = a ± /a 2. Kako je z z 2 =, to samo jedna od tih tačaka leži unutar kruga z =. Može se proveriti da je to tačka z = a + /a 2. Sada imamo [ ] I = 4π Res z=z az 2 + 2z + a = 4π = az z 2 ) z=z 2π a 2. Integrali oblika fx)dx. Posmatraćemo klasu integrala za koju važi: funkcija z fz) je analitička u oblasti Im z > osim u konačno mnogo singularnih tačaka z,..., z n, 2 f je analitička funkcija na osi Im z =, 3 tačka z = je nula najmanje drugog reda funkcije f. Tada je + fx)dx = 2πi n Res fz). 4.7) z=z k Napomena. ) Priroda tačke z = za funkciju z fz) je ista kao priroda tačke t = za funkciju t f. t Primer 4.4. Izračunaćemo integral Funkcija fz) = k= dx z 2 + ) 3. z 2 + ) 3 je analitička u oblasti {z Im z > } osim u tačkama z = i i z 2 = i. Ova funkcija je takod e analitička i na Im z =. Kako je f/t) = t 6 + t 2, zaključujemo da funkcija z fz) = ) 3 z 2 u tački z = ima nulu šestog reda. Prema tome, može se primeniti formula 4.7), uzimajući u obzir + ) 3 da samo tačka z = i priprada gornjoj poluravni Im z > ). Dakle, imamo dx z 2 = 2πi Res + ) 3 z=i z 2 + ) 3 = 2πi 2! lim d 2 [ ] 2 z i dz 2 z + i) 3 = πi z + i) 5 = 3π 8. z=i

32 32 kompleksna analiza 5. Princip argumenta Teorema 5. Princip argumenta). Neka je z fz) analitička i različita od nule na zatvorenoj konturi i ako je ona analitička u int osim u konačnom broju polova, tada je 2πi f z) dz = n p, 5.) fz) gde je n broj nula, od kojih je svaka uzeta onoliko puta koliki je njen red, i p broj polova, od kojih je svaki uzet onoliko puta koliki je njegov red. Pri obilaženju tačke z po konturi, tačka w = fz) opisuje zatvorenu krivu γ. Neka je s broj potpunih obilaženja tačke w oko početka koordinatnog sistema u w-ravni. Izaberimo tačku z na konturi koju ćemo smatrati početnom i završnom. Neka je Φ vrednost argumenta funkcije z fz) za početno z = z, a Φ za završno z = z, pri čemu je, očigledno, fz ) = fz ). Integral koji se pojavljuje u 5.) sada postaje f z z) Log fz) dz = = log fz ) + iφ ) log fz ) + iφ ) = Φ Φ = n p. 5.2) 2πi fz) 2πi 2πi 2π z Razlika Φ Φ predstavlja promenu argumenta i jednaka je 2πs = Φ Φ ) tako da iz 5.2) dobijamo Poslednja formula zove se pricip argumenta. n p = s. 5.3) Napomena. Princip argumenta je od velike koristi ne samo u matematici već i u inženjerskim disciplinama. Jedna važna primena principa argumenta javlja se u teoriji automatskog upravljanja. Ovaj princip može se iskoristiti za ispitivanje uslova pod kojim prenosna funkcija sistema nema nule u desnoj polovini kompleksne ravni, što je uslov za stabilnost sistema. Primer 5. Primenom formule 5.) dokazaćemo da polinom ima tačno n nula. P z) = z n + a z n + + a n z + a n n, a k kompleksni brojevi) Rešenje : S obzirom da algebarski polinom nema polove, formula 5.) daje broj nula u disku z = r, N = P z) 2πi P z) dz. Smenjujući z = re iθ, dobijamo N = 2π = 2π = 2π 2π 2π 2π z =r nr n e niθ + n )a r n e n )iθ + + a n re iθ dθ r n e niθ + a r n e n )iθ + + a n re iθ + a n ndθ 2π ndθ J, 2π a r n e n )iθ + + n )a n re iθ + na n dθ r n e niθ + a r n e n )iθ + + a n

33 princip argumenta 33 gde je sa J označen drugi integral na desnoj strani. Ako poluprečnik r izaberemo tako da je r max, a + + a n ), dobijamo r n a + + a n ) r n a r n + a 2 r n a n, pa važi majorantna formula J 2π 2π a r n + + n ) a n r + n a n r n a r n dθ, a n r a n kada r +. Prema tome, dobijamo Broj nula polinoma P stepena n je tačno n. N = 2π 2π ndθ = n. Rešenje 2 : Dokaz ćemo sprovesti pomoću principa argumenta nalazeći promenu argumenta. Predstavimo polinom P z) u obliku Odavde je P z) = z n + a z + an z n + a n z n ) = z n gz). Arg P z) = Arg z n + Arg gz). Pretpostavimo da je kontura kružnica velikog poluprečnika R R + ) sa centrom u koordinatnom početku. Ako se tačka z kreće po kružnici, što znači da se argument od z promeni za 2π, argument od z n promeniće se za n 2π. Argument of gz) se neće promeniti jer je z = R veoma veliki pa je gz). Prema tome, Arg P z) = n Arg z = 2πn. Pošto polinom nema polove, na osnovu formule 5.2) dobija se čime je dokaz završen. N = 2πn 2π = n, Na osnovu teoreme 5. može se dokazati sledeća važna teorema. Teorema 5.2 Rouchéova 9 teorema). Ako su f i g analitičke funkcije u int i na, gde je prosta zatvorena kontura, i ako je gz) < fz) na, tada funkcije f i f + g imaju isti broj nula u int. Dokaz. Neka je F z) = gz)/fz), tj. gz) = fz)f z), ili kraće g = ff. Dalje, neka n i n 2 označavaju redom broj nula funcija f + g i f u int. S obzirom da ove funkcije nemaju polove unutar konture, na osnovu teoreme 5. imamo Tada je n n 2 = 2πi = 2πi n = 2πi f + f F + ff dz f + ff 2πi { f f + F } dz + F 2πi f + g f + g dz, n 2 = 2πi f f dz = 2πi f f dz = 2πi 9 E. Rouché 832-9), francuski matematičar, čita se Ruše. f f dz. f + F ) + ff f + F ) F + F dz. dz 2πi f f dz

34 34 kompleksna analiza Kako je F z) = gz)/fz) <, sledi da je Re { + F z)} F z) >, što znači da / { + F z) : z }. Prema tome, funkcija F / + F ) je analitička i nema polova u oblasti int tako da je, na osnovu Cauchy-Goursatove teoreme, 2πi Prema tome, gornje izračunavanje se svodi na F dz =. + F n n 2 =, tj. n = n 2, što je i tvrd enje teoreme. Primer 5.2. Koristeći Rouchéovu teoremu dokazati da svaki polinom stepena n ima tačno n nula. Posmatrajmo polinom P z) = a z n + a z n + + a n z + a n a ) i izaberimo fz) = a z n i gz) = a z n + + a n z + a n. Neka je kružnica z = r sa poluprečnikom r >. Na kružnici imamo sledeće procene gz) = a z n + + a n z + a n fz) a z n a + + a n + a n. a r a r n + + a n r + a n a r n Birajući r dovoljno veliko možemo učiniti da bude gz)/fz) <, tj. gz) < fz). Odavde, na osnovu Rouchéove teoreme sledi da polinom fz) + gz) ima isti broj nula kao i polinom fz) = a n z n. Kako polinom f ima n nula ζ = ζ 2 = = ζ n =, proizilazi da i polinom fz) + gz) = P z) ima n nula. Primer 5.3 Da bismo odredili broj nula polinoma P z) = z 8 4z 5 + z 2 u disku z <, stavimo fz) = z 8 4z 5 i gz) = z 2. Na krugu z = je fz) > 4z 5 z 8 = 3 i gz) < z 2 + = 2 te je gz) < fz). Kako polinom fz) = z 8 4z 5 = z 5 z 3 4) ima pet nula u disku z <, polinom P ima, takod e, pet nula u istom disku.

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t) Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

f n z n, (2) F (z) = pri čemu se pretpostavlja da red u (2) konvergira bar za jednu konačnu vrednost kompleksne promenljive Z(f n ) = F (z).

f n z n, (2) F (z) = pri čemu se pretpostavlja da red u (2) konvergira bar za jednu konačnu vrednost kompleksne promenljive Z(f n ) = F (z). Z-TRANSFORMACIJA Laplaceova transformacija je primer integralne transformacije koja se primenjuje na funkcije - originale. Ova transformacija se primenjuje u linearnim sistemima koji su opisani diferencijalnim

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

4 Izvodi i diferencijali

4 Izvodi i diferencijali 4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

f : C C f(z) = w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), u, v : R 2 R, u(x, y) = Rew, v(x, y) = Imw

f : C C f(z) = w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), u, v : R 2 R, u(x, y) = Rew, v(x, y) = Imw 1. Funkcije kompleksne varijable f : C C f(z) = w = f(x + iy) = u(x y) + iv(x y) u v : R R u(x y) = Rew v(x y) = Imw Elementarne funkcije kompleksnog argumenta. 1. Eksponencijalna funkcija w = e z z C

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija 16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Granične vrednosti funkcija

3.1. Granične vrednosti funkcija 98 3. FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST 3.1. Granične vrednosti funkcija 3.1.1. Definicija i osnovne osobine Da bismo motivisali definiciju granične vrednosti funkcija, dajemo dva primera. Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Neodred eni integrali

Neodred eni integrali Neodred eni integrali Definicija. Za funkciju F : I R, gde je I interval, kažemo da je primitivna funkcija funkcije f : I R ako je za svako I. F () f() Teorema 1. Ako je F : I R primitivna funkcija za

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijabilnost funkcije više promenljivih

Diferencijabilnost funkcije više promenljivih Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA REDOVA. n u k (n N) (2) k=1. u k. lim S n = S, kažemo da zbir (suma) reda. k=1 S = k=1

TEORIJA REDOVA. n u k (n N) (2) k=1. u k. lim S n = S, kažemo da zbir (suma) reda. k=1 S = k=1 TEORIJA REDOVA NUMERIČKI REDOVI. OSNOVNI POJMOVI DEFINICIJA. Neka je {u n } n N realan niz. Izraz oblika k= u k = u + u 2 + + u n + () naziva se beskonačan red, ili kraće red. Broj u n naziva se opšti

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije Glava 1 Z transformacija 1.1 Pojam z transformacije U elektrotehnici se vrlo često susrećemo sa signalima koji su diskretnog tipa. To znači da je radimo sa signalima koji su zadati svoji vrednostima samo

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija

Analitička geometrija 1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE VIŠE REALNIH PROMENLJIVIH

FUNKCIJE VIŠE REALNIH PROMENLJIVIH I G L A V A FUNKCIJE VIŠE REALNIH PROMENLJIVIH U nauci i praksi često se javljaju situacije u kojima postoji zavisnost izmedju nekoliko realnih veličina a, b, c,, h pri čemu je jedna od njih potpuno odredjena

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

x n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...

x n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve... 1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα