KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive"

Transcript

1 KOMPLEKSNA ANALIZA. Funkcije kompleksne promenljive Neka je R skup realnih brojeva, a C skup kompleksnih brojeva. Definicija. Ako je E R, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija realne promenljive. Ako je E C, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija kompleksne promenljive. Za kompleksnu funkciju f realne promenljive t [a, b] datu sa ft) = xt) + iyt) često se kaže da je zadata u parametarskom obliku. Na primer, ft) = r cos t + ir sin t, t [, 2π), definiše kružnicu poluprečnika r u kompleksnoj ravni. Definicija 2. Pod okolinom tačke z u kompleksnoj ravni podrazumeva se skup svih tačaka z u ovoj ravni za koje je z z < ε, gde je ε data pozitivna konstanta koja se zove poluprečnik okoline. Definicija 3. Kriva odred ena sa x = xt) i y = yt), tj. z = zt) = xt) + iyt), gde su x i y realne neprekidne funkcije realne promenljive t na segmentu [a, b], zove se neprekidna kriva. Definicija 4. Neprekidna kriva z = zt), t [a, b], zove se Jordanova kriva ili prosta kriva ako različitim vrednostima t, t 2 [a, b] parametra t odgovaraju različite tačke zt ), zt 2 ). Jordanova kriva ne može se svesti na tačku i ona nema višestrukih tačaka. Definicija 5. Neprekidna kriva z = zt), t [a, b], koje se od Jordanove krive razlikuje po tome što je za) = zb), naziva se zatvorena Jordanova kriva. Definicija 6. Jordanova ili zatvorena Jordanova kriva x = xt), y = yt), t [a, b], naziva se glatkom ako su izvodi ẋ i ẏ neprekidne funkcije na segmentu [a, b] i ako je na tom segmentu ẋt) 2 + ẏt) 2 >. Za svaku zatvorenu Jordanovu krivu važi sledeća teorema: Teorema.. Zatvorena Jordanova kriva deli ravan na dve otvorene oblasti i ona je njihova zajednička granica. Jedna od ovih oblasti je ograničena i zove se unutrašnja u oznaci int ), a druga je neograničena i naziva se spoljašnja u odnosu na datu krivu u oznaci ext ), tj. važi z-ravan = int ext. Dokaz ove teoreme je veoma komplikovan. Jordanov dokaz 887) nije bio besprekoran, čak ni u slučaju poligona. Korektan dokaz dao je tek 95. američki matematičar Veblen. Definicija 7. Oblast G je jednostruka prosto) povezana u konačnoj z-ravni ako za svaku zatvorenu Jordanovu krivu G važi int G. Ostale oblasti su višestruko povezane. C. Jordan ), francuski matematičar, čita se Žordan.

2 2 kompleksna analiza Na slici. prikazane su, redom, jednostruko, dvostruko i trostruko povezane oblasti. Slika. Višestruko povezana oblast može se na različite načine, pomoću zaseka pretvoriti u jednostruku oblast. Na slici.2 je prikazano kako se iz jedne četvorostruko povezane oblasti dobija jednostruko povezana oblast pri obilaženju zaseci se ne mogu presecati). Slika.2 2. Granična vrednost i neprekidnost Definicija. Kaže se da je A granična vrednost funcije z fz) kada z a ako važi ε > ) δε) > ) z) z a < δε) fz) A < ε. Granična vrednost se standardno označava sa lim fz) = A. z a Za realne funkcije imali smo levu i desnu graničnu vrednost. U nekoj tački a u kompleksnoj ravni promenljiva z se može približavati po bezbroj mnogo pravaca, što znači da se može uvesti granična vrednost u pravcu: Definicija 2. Granična vrednost kompleksne funkcije z fz), kada z a duž poluprave L sa početkom u tački a koja gradi ugao α sa realnom osom limes u pravcu), definiše se sa lim z a z L fz) = lim ρ + fa + ρeiα ) ρ > ). Teorema 2.. Za postojanje lim z a fz) potrebno je, ali ne i dovoljno, da su svi limesi u pravcu med usobno jednaki. Ako postoji granična vrednost funkcije, ona je jedinstvena.

3 izvod funkcije kompleksne promenljive 3 Granične vrednosti funkcije više promenljivih imaju iste osobine kao i funkcije realne promenljive. Neka je lim fz) = A i lim gz) = B. Tada važe jednakosti: z a z a ) ) lim fz) ± gz) = A ± B, lim fz)gz) = AB, z a z a lim z a fz) gz) = A B, B. Neprekidnost funkcija kompleksne promenljive u tački i u oblasti definišu se na isti način kao kod funkcija realne promenljive. Na primer, funkcija z fz) je neprekidna u tački a ako i samo ako je lim fz) = fa). z a Ako je fz) = ux, y) + ivx, y) neprekidna, tada su neprekidne i funkcije u i v. Naravno, važi i obrnuto. Osnovne operacija primenjene na neprekidne funkcije dovode opet do neprekidnih funkcija: Teorema 2.2. Ako su funkcije f i g kompleksne promenljive z neprekidne u tački z, tada su funkcije f + g, f g, fg neprekidne u tački z. Ako je gz ), tada je f/g neprekidna funkcija u tački z. 3. Izvod funkcije kompleksne promenljive Definicija. Neka su: z fz) kompleksna funkcija definisana u oblasti G i L G poluprava sa početnom tačkom a koja zaklapa ugao α sa pozitivnim smerom x-ose. Ako količnik fz) fa) z a teži konačnoj i odred enoj granici kada z a duž L, kaže se da funkcija f ima izvod u tački a u pravcu α i ova granična vrednost označava se sa f αa) ili sa fa) ) α. Ako se uvedu polarne koordinate slika 3.), tada je z a = ρcos α + i sin a) = ρ cis α. Sada se izvod u pravcu α može definisati sa f αa) fa + ρ cis α) fa) = lim ρ + ρ cis α pod uslovom da ova granična vrednost postoji. Slika 3. Definicija 2. Ako za kompleksnu funkciju f definisanu u oblasti G postoji konačna granična vrednost lim z a a,z G fz) fa), z a kaže se da funkcija f ima izvod u tački a ili da je diferencijabilna u tački a. Ovaj izvod označava se sa f a).

4 4 kompleksna analiza Primer 3.. Za funkciju z fz) = z imamo fz) fa) z a = z ā ρcos α i sin α) = z a ρcos α + i sin α). Ako ρ +, ovaj količnik priraštaja ima graničnu vrednost cos α i sin α) 2 cis 2α). Dakle, z) α = cis 2α), tj. ovaj izvod u pravcu α zavisi od α u svakoj tački z-ravni i prema tome, funkcija z z nema izvod ni u jednoj tački z-ravni. Primer 3.2. Za funkciju z fz) = z Re z je fz) fa) z a = z Re z a Re a z a Re a + a cos α cis α) ρ +). Ova granična vrednost ne zavisi od α samo ako je a =, ali iz ovog još ne sleduje da funkcija ima izvod kada z. Kako je z Re z lim = lim Re z =, z z z zaključujemo da funkcija f zaista ima izvod u tački z =. Dakle, funkcija z z Re z ima izvod samo u tački z =. Izvod kompleksne funkcije f u proizvoljnoj tački možemo predstaviti pomoću granične vrednosti f z) = lim z fz + z) fz), z ukoliko ova postoji, dakle, na potpuno isti način kao kod izvoda realne funkcije x fx), s tim što je ovde z = x + i y. 4. Cauchy 2 -Riemannovi 3 uslovi Iz zahteva diferencijabilnosti funkcije fz) u tački z proističu veoma važni uslovi za realni i imaginarni deo te funkcije u okolini tačke x, y). Ti uslovi su poznati kao Cauchy-Riemannovi uslovi kraće C-R uslovi), koji će biti formulisani u sledeće dve teoreme. Teorema 4. Potrebni uslovi diferencijabilnosti). Da bi funkcija z fz) = ux, y) + ivx, y) bila diferencijabilna u tački z = x + iy = x, y), potrebno je da u ovoj tački postoje parcijalni izvodi u x, u y, v x, v y, 2 A. L. Cauchy ), francuski matematičar, čita se Koši. 3 B. Riemann ), nemački matematičar, čita se Riman.

5 i da su ispunjeni Cauchy-Riemannovi uslovi cauchy-riemannovi uslovi 5 u x = v y, u y = v x. 4.) Dokaz. Pretpostavimo da je f diferencijabilna funkcija u tački z G. Tada granična vrednost f fz + z) fz) z) = lim z z postoji, bez obzira na koji način tačka z + z G) teži ka z kada z. Prema definiciji izvoda imamo f z) = lim x y ux + x, y + y) + ivx + x, y + y) ux, y) ivx, y). 4.2) x + i y Kako f z) postoji, to granična vrednost na desnoj strani 4.2) postoji što obezbed uje postojanje parcijalnih izvoda funkcija u i v. Istovremeno, njen izvod ne zavisi od pravca. Da bismo došli do granične vrednosti, pustićemo da z + z teži tački z tako da izračunavanje bude što prostije. Na slici 4. su prikazana dva pravca približavanja tački z: duž poluprave sa početnom tačkom z koja zaklapa ugao α = sa pozitivnim smerom x-ose, i 2 duž poluprave sa početnom tačkom z koja zaklapa ugao α = π/2 sa pozitivnim smerom x-ose. Slika 4. tj. Po pravcu je z = x tj. y =, x ), te iz 4.2) imamo ) fz) = lim ux + x, y) ux, y) + i lim α= x x x vx + x, y) vx, y), x fz) ) α= = u x + i v x. 4.3) Po pravcu 2 je z = i y, tj. x =, y ), tako da iz 4.2) sleduje odakle je ) fz) = lim ux, y + y) ux, y) + i lim α=π/2 y i y y vx, y + y) vx, y), i y fz) ) α=π/2 = i u y + v y. 4.4) Izjednačavanjem 4.3) i 4.4) jer na osnovu pretpostavke postoji izvod u tački z) dobijamo u x + i v x = v y i u y. Odavde sleduju relacije 4.).

6 6 kompleksna analiza Uslovi dati u teoremi 4. su samo potrebni, ali ne i dovoljni. U sledećoj teoremi se pokazuje da su Cauchy-Riemannovi islovi dovoljni uz dopunski uslov da su funkcije x, y) ux, y) i x, y) vx, y), diferencijabilne u tački x, y). Drugim rečima, dokazaćemo sledeće: Teorema 4.2 Dovoljni uslovi diferencijabilnosti). Ako su funkcije ux, y) i vx, y) diferencijabilne u tački x, y) i zadovoljavaju Cauchy-Riemannove uslove 4.), tada je funkcija fz) = ux, y) + ivx, y) diferencijabilna u tački z = x + iy. Vodeći računa o C-R uslovima, izvod f može se predstaviti u sledeća četiri ekvivalentna načina: f z) = u x + i v x = v y i u y = u x i u y = v y + v x. C-R uslovi 4.) se koriste pri ispitivanju različitih svojstava diferencijabilnih kompleksnih funkcija. 5. Analitičke funkcije Definicija. Kaže se da je kompleksna funkcija z fz) analitička u tački a ako je ona diferencijabilna u nekoj okolini tačke a. Definicija 2. Kompleksna funkcija z fz) je analitička u jednoj oblasti ako je analitička u svakoj tački ove oblasti. Primer 5.. Na osnovu Primera 3.2 sledi da je funkcija z z Re z diferencijabilna u tački z =, ali nije u toj tački analitička. Definicija 3. Funkcija koja je analitička u svim tačkama konačne ravni dakle, svuda izuzev u ) naziva se cela funkcija. Cele funkcije su, na primer, funkcije e z z, sin z, cos z. Funkcija fz) = nije analitička z )z + 3) 2 samo u tačkama z = i z = 3, koje nazivamo polovima funkcije. Za takvu funkciju kažemo da je meromorfna videti odeljak 2). Za analitičke funkcije važe sva pravila diferenciranja kao za funkcije realne promenljive, što znači da važi ista tablica izvoda, kao i prateće teoreme. Definicija 4. Realna funkcija x, y) Ux, y) zove se harmonijska u oblasti G ako su za svako x, y) G parcijalni izvodi 2 U x 2 i 2 U y 2 neprekidni i ako je 2 U x U =. 5.) y2 Jednačina 5.) zove se Laplaceova parcijalna jednačina sa dve promenljive. Rešenja jednačine 5.) zovu se potencijalne funkcije ili logaritamski potencijali. Jedno partikularno rešenje jednačine 5.) je Ux, y) = log x a)2 + y b) 2, gde su a i b proizvoljne realne konstante.

7 elementarne funkcije 7 Teorema 5.. Ako je funkcija z fz) = ux, y) + ivx, y) analitička u oblasti G, funkcije u i v su harmonijske u istoj oblasti. Dokaz. Koristićemo bez dokaza) činjenicu da su izvodi analitičke funkcije u tački, takod e analitičke funkcije u istoj tački. Neka je funkcija z fz) = ux, y) + ivx, y) analitička u tački z. Njen izvod f z) = u x + i v x, tj. f z) = v y i u y je takod e analitička funkcija u istoj tački, kao što je navedeno. Drugi izvod f je takod e analitička funkcija u tački z, te je f z) = 2 u x 2 + i 2 v x 2, 5.2) f z) = 2 u y 2 i 2 v y ) Kako su izvodi f, f,... neprekidne funkcije, isti će biti slučaj i sa parcijalnim izvodima ma kog reda funkcije u i v. Iz 5.2) i 5.3) izlazi 2 u x u y 2 = i 2 v x v y 2 =, tj. u i v su rešenja iste Laplaceove parcijalne jednačine 5.). Ovim je završen dokaz teoreme Elementarne funkcije U ovom odeljku razmatramo neke elementarne kompleksne funkcije. Potencijalna funkcija fz) = z n n prirodan broj) analitička je u celoj ravni. Njen izvod jednak je z n ) = nz n. Linearna kombinacija stepena, z, z 2,..., z n je kompleksni polinom P z) = a z n + a z n + + a n z + a n i on je takod e analitička funkcija za svako z. Ako su P i Q polinomi po z, funkcija f odred ena sa fz) = P z)/qz), naziva se racionalna funkcija. Ona je analitička za svako z osim za vrednosti za koje je Qz) =, tj. za polove racionalne funkcije f. 2 Koren. Za z = ρe iθ, jednačina w n = z n N) ima po w tačno n različitih korena odred enih formulom w k = ρ /n cos θ + 2kπ + i sin θ + 2kπ ) k =,,..., n ). n n Ako z opisuje jednu konturu γ, svaki od korena w k menja se neprekidno. Zbog jednostavnosti, posmatrajmo slučaj kada je kontura γ kružnica. Razlikovaćemo tri slučaja koja su prikazana na slici 6. u specijalnom slučaju za n = 3 : a) ext γ Kada tačka z opiše kružnicu γ, svaki od korena w, w,..., w n opiše takod e zatvorenu konturu:,,..., n. Ove konture imaju isti oblik, ne seku se i njihove ose koje prolaze kroz koordinatni

8 8 kompleksna analiza početak pomerene su med usobno za ugao 2π/n videti sliku 6.a za n = 3). w, w,..., w n nazivaju se grane,,multiformne funkcije z z /n. b) int γ Neprekidne funkcije Kada z opiše u pozitivnom smislu kružnicu γ, argument θ ima vrednost θ + 2π. Kada tačka z opiše k puta uočenu konturu, argument θ uzima vrednost θ + 2kπ. Krajnja vrednost korena w k jednaka je početnoj vrednosti korena w k+, što znači da konture koje opišu tačke w, w,..., w n obrazuju jednu jedinstvenu zatvorenu konturu slika 6.b, n = 3). Tačka z = u kojoj kao da se sjedinjuju sve grane multiformne funkcije z z /n zove se tačka granjanja ili algebarski kritički singularitet. c) γ Ovo je granični slučaj prethodno opisanog slučaja. Sve grane se sjedinjuju u koordinatnom početku obrazujući,,listove istog oblika i pomerene med usobno za ugao 2π/n slika 6.c, n = 3). Slika 6. Grane korenske funkcije z z /3 3 Eksponencijalna funkcija z e z definiše se graničnom vrednošću Za niz z n = e z = lim n + + z n) n n N, z = x + iy) dokazuje se lim z n = n + lim n + z ) n. + n ) + x ) n/2 2 y 2 + n n 2 = exp{ lim n + n 2 log )} + x ) 2 y 2 + n n 2 = e x i Na osnovu ovog je lim arg z n = n + lim n arctan n + y/n + x/n = y. e z = e x+iy = e x e iy = e x cos y + i sin y). 6.)

9 Koristeći 6.) može se dokazati sledeća teorema: Teorema 6.. Funkcija z e z ima sledeće osobine: Funkcija z e z ima izvod e z ) = e z i analitička je za svako z; 2 Važi adiciona formula e z e z 2 = e z +z 2 ; 3 Funkcija z e z se ne anulira ni za jedno z C; elementarne funkcije 9 4 Za z = x x realno) navedena definicija poklapa se sa eksponencijalnom funcijom x e x u realnom području; 5 Funkcija z e z je prosto periodična sa osnovnim periodom 2πi. Osobine iz teoreme 6. lako se dokazuju korišćenjem relacije 6.). 4 Trigonometrijske i hiperboličke funkcije definišu se pomoću: cos z = eiz + e iz 2 cosh z = ez + e z 2, sin z = eiz e iz 2i, sinh z = ez e z 2, tan z = sin z cos z,, tanh z = sinh z cosh z. Na osnovu ovih definicija i osobina eksponencijalne funkcije zaključujemo da su trigonometrijske funkcije sin z i cos z periodične sa osnovnim periodom 2π, dok je funkcija tan z periodična sa osnovnim periodom π. Hiperboličke funkcije cosh z, sinh z i tanh z su takod e periodične sa osnovnim periodima redom 2πi, 2πi i πi. Primenom osobine 2 date u teoremi 6. jednostavno se izvode sledeće formule: sinz ± z 2 ) = sin z cos z 2 ± cos z sin z, cosz ± z 2 ) = cos z cos z 2 sin z sin z, sinh z ± z 2 ) = sinh z cosh z 2 ± cosh z sinh z, cosh z ± z 2 ) = cosh z cosh z 2 ± sinh z sinh z. Vidimo da za trigonometrijske i hiperboličke funkcije u kompleksnom domenu važe iste adicione formule kao i one u realnoj analizi. Iz definicionih formula lako se dobijaju i sledeće jednakosti: cos 2 z + sin 2 z =, cosh 2 z sinh 2 z =, sin iz = isinh z, cos iz = cosh z, sinh iz = i sin z, cosh iz = cos z. Izvodi trigonometrijskih i hiperboličkih funkcija dati su istim formulama kao u realnom domenu: sin z) = cos z, cos z) = sin z, tan z) = cos 2 z, sinh z) = cosh z, cosh z) = sinh z, tanh z) = cosh 2 z, 5 Logaritamska funkcija z Log z dobija se kao rešenje jednačine e w = z z ). Neka je w = u + iv i z = ρe iθ. Iz definicione jednakosti nalazimo e u e iv = ρe iθ, odakle je e u = ρ, tj. u = log ρ i v = θ + 2kπ k Z). Prema tome, traženo rešenje ima oblik w = u + iv = log ρ + iθ + 2kπ) k Z),

10 kompleksna analiza tj. Ako je θ =, tj. z = x > je realan broj, iz 6.3) sledi Log z = log ρ + iθ + 2kπ) k Z). 6.3) Log x = log x + 2kπi x > ) i za k = dobijamo logaritam za osnovu e za realne pozitivne brojeve. Ako je z realan i negativan broj, tada je θ = π, te je Log x) = log x + i2k + )π x > ). S obzirom da je 2k +, sledi da je logaritam negativnog broja kompleksan broj. Ako tačka z opiše zatvorenu konturu koja ne sadrži koordinatni početak, tada svaka vrednost w k = log ρ + iθ + 2kπ) k Z) logaritma Log z opiše takod e zatvorenu konturu. Kao i u slučaju korenske funkcije, ovde imamo slučaj miltiformne funkcije, ali sa beskonačno mnogo grana. Funkcije w k = log ρ + iθ + 2kπ) nazivaju se grane,,multiformne funkcije z Log z. Ako je θ glavna vrednost argumenta, tj. θ = arg z π < arg z π), tada je w = log z + iarg z + 2kπ) z Z). Glavni logaritam je funkcija z log z + i arg z i obeležava se z log z. Ovaj logaritam se dobija stavljajući k =. Na osnovu izloženog imamo Log z = log z + 2kπi k Z). Tačka z = naziva se transcendentni logaritamski kritički singularitet, a takod e i tačka granjanja. Izvod logaritamske fukcije dat je sa Log z) = z. Svaka grana funkcije z Log z u slučaju domena koji ne sadrži tačku z = je analitička funkcija u ovom domenu. 6 Opšta potencijalna funkcija z z λ λ kompleksan broj) definiše se pomoću jednakosti z λ = e λlog z. Ako je λ = α + iβ α i β realni brojevi) i z = ρe iθ, tada je ) z λ = e α+iβ) log ρ+iθ+2kπ) = e α log ρ βθ+2kπ) e i[αθ+2kπ)+β log ρ] k Z). Glavna vrednost multiformne funkcije z z λ koja se dobija za k = zove se glavna vrednost potencijalne funkcije. Tačka z = je transcendentni kritički singularitet funkcije z z λ ako λ nije racionalan broj. Primer 6.. Izračunati u kompleksnom području: a) i i ; b) 2 +i ; c) 2 ; d) 2 2. a) i i = e ilog i πi i = e 2 +2kπi) = e π 2 2kπ k Z). Dakle, sve vrednosti izraza i i su realne. Glavna vrednost od i i je e π/2. b) 2 +i = e +i)log 2 = e +i)log 2+2kπi) = e log 2 2kπ e ilog 2+2kπ) = e log 2 2kπ coslog 2) + i sinlog 2) ).

11 konformno preslikavanje c) 2 = e 2Log = e i2kπ 2 = cos2kπ 2) + i sin2kπ 2) beskonačno mnogo vrednosti). Za k = dobijamo glavnu vrednost. d) 2 2 = e 2Log 2 = e 2log 2+2kπi) = 4cos 2kπi + i sin 2kπi) = 4 samo jedna vrednost). 7 Opšta eksponencijalna funkcija z a z, gde je a kompleksan broj, definiše se na sličan način kao i opšta potencijalna funkcija, tj. ) a z = e zlog a = e z log a +iarg a+2kπ). Ova multiformna funkcija, takod e, ima beskonačan broj grana. 8 Inverzne trigonometrijske funkcije definišu se na isti načina kao u slučaju funkcija realne promenljive. Izvedimo, na primer, inverznu sinusnu funkciju. Rešenje po w jednačine z = sin w, tj. z = eiw e iw zovemo arkus sinus i obeležavamo sa Arcsin z. Ako u drugu jednakost uvedemo smenu e iw = t, dobijamo kvadratnu jednačinu t 2 2izt =, iz koje nalazimo e iw = iz ± z 2, odakle je Arcsin z = ilog iz ± ) z 2. Na ovaj način funkciju z Arcsin z sveli smo na logaritamsku funkciju. To znači da ova inverzna funkcija ima beskonačno mnogo grana. Istim postupkom dobijamo inverzne trigonometrijske funkcije: Arccos z = ilog z ± ) z 2, Arctan z = i + iz Log 2 iz. U označavanju ovih inverznih kompleksnih funkcija koristi se kao prvo slovo veliko A, slično kao i kod funkcije Log, da bismo naglasili da ove funkcije imaju beskonačan broj grana. Inverzne hiperboličke funkcije se definišu na potpuno isti način kao inverzne trigonometrijske funkcije. Primer 6.2. Rešimo jednačinu sin z = 2. Jasno je da ova jednačina nema smisla u realnom domenu, te postavljena jednačina nema realnih korena. Primenjujući formulu za Arcsin z direktno dobijamo z = Arcsin 2 = ilog 5i ± 5 )= 2 ilog 5i ± 2i ) 6 = ilog 5 ± 2 6)e iπ/2+2kπ)) = π log kπ i ± 2 ) 6). 2i 7. Konformno preslikavanje Geometrijska predstava analitičke funkcije u smislu predstave krive y = fx) u realnom području ne postoji. Med utim, ako se funkcija x + iy = z w = fz) = ux, y) + ivx, y)

12 2 kompleksna analiza definiše kao preslikavanje tačaka iz oblasti D z, koja pripada z-ravni, u oblast D w, koja pripada w-ravni, tada se geometrijska predstava može dati pomoću preslikavanja. Neka se tačka a iz z-ravni transformacijom w = fz) preslikava u tačku fa). Pored toga, neka se luk l, kome pripada tačka a, preslika na luk L. Pretpostavimo da analitička funkcija f ima u tački a konačan izvod i da je f a). Izvod funkcije f u tački a definisan je sa fz) fa) lim = f a). 7.) z a z a Da bismo dali geometrijsko tumačenje ovog izvoda, posmatraćemo njegov modul i argument. Iz 7.) je lim z a fz) fa) z a = lim z a fz) fa) z a = f a). Odavde je f a) fz) fa) z a. 7.2) Slika 7. Na osnovu ovakve predstave, zaključujemo da je modul izvoda jednak količniku ili odnosu) dužina tetiva fz) fa) i z a i to u graničnom slučaju kada z a. Zbog toga se f a) može nazvati koeficijentom deformacije. Takod e se koriste i nazivi koeficijent izduženja ili koeficijent skraćenja, zavisno od toga da li je f a) veće ili manje od jedinice. Posmatrajmo sada argument izvoda u graničnom slučaju. Imamo arg lim z a ) fz) fa) = lim arg z a z a ) fz) fa) = arg f a) z a = lim z a arg fz) fa) ) lim z a arg z a) = γ β. Ovoi je geometrijska predstava argumenta prvog izvoda. Posmatrajmo u ravni z dva glatka luka l i l 2 koji se seku u tački a i dva preslikana luka L i L 2 u w-ravni koji se seku u tački fa). Primenom jednakosti 7.3) dobijamo 7.3) γ β = arg f a), γ 2 β 2 = arg f a), odakle je γ 2 γ = β 2 β.

13 konformno preslikavanje 3 Ovim smo dokazali sledeću teoremu: Slika 7.2 Teorema 7.. Preslikavanje pomoću analitičke funkcije z fz) ima osobinu da zadržava uglove po veličini i smeru u svakoj tački u kojoj je f z). Na osnovu prethodnog možemo zaključiti da svako preslikavanje koje se vrši pomoću jedne analitičke funkcije f ima osobine: zadržavanje nepromenljivost) uglova; 2 nezavisnost od pravca) koeficijenta deformacije za fiksnu tačku. Pretpostavlja se da je f a) u fiksnoj tački a. Definicija. Preslikavanje koje ima dve navedene osobine zove se konformno preslikavanje. Osnovni problem konformnog preslikavanja Kod konformnog preslikavanja se daje neka oblast D z u z-ravni, zatim analitička funkcija z fz), i traži se oblast D w u w-ravni na koju se preslikava D z pomoću funkcije f. Postoji i inverzni problem: Data je oblast D w i funkcija f, inverzna funkciji f. Ovaj problem je analogan konformnom preslikavanju u gornjem slučaju. Osnovni problem konformnog preslikavanja, koji je vrlo čest u primenama, glasi: Ako su date dve oblasti D z i D w, odrediti analitičku funkciju kojom se jedna od tih oblasti preslikava na drugu. Ovaj problem je nerešiv u opštem slučaju. Bilinearna transformacija Definicija. Bilinearna ili Möbiusova 4 ) transformacija je z wz) = az + b cz + d ad bc ), 7.4) gde su a, b, c, d kompleksni brojevi. Izraz 7.4) se može prikazati u obliku czw az + dw b =, odakle se vidi da je ovo linearna funkcija posebno po z i posebno po w i to je razlog za ime bilinearna transformacija. Kada je ad bc = i cd, tada je w = const. 4 A. F. Möbius ), nemački matematičar, čita se Mebijus.

14 4 kompleksna analiza Ako je c =, tada je w = a d z + b d linearna transformacija). Iz 7.4) sleduje z = dw + b cw a, 7.5) Ovo je takod e bilinearna transformacija koja ne degeneriše u konstantu jer je a) d) bc = ad bc. Na osnovu 7.4) i 7.5), za c imamo rezultat: Pomoću transformacije 7.4) sve tačke konačne z-ravni preslikavaju se na tačke konačne w-ravni; tačka z = d preslikava se u tačku w = ; c 2 Pomoću transformacije 7.5) sve tačke konačne w-ravni preslikavaju se na tačke konačne z-ravni; tačka w = a preslikava se u tačku z =. c Na osnovu izloženog zaključujemo da je bilinearnom transformacijom 7.4) izmed u proširene z-ravni i proširene w-ravni uspostavljena biunivoka korespondencija. Može se dokazati sledeće tvrd enje: Teorema 7.2. Bilinearnom transformacijom 7.4) krugovi i prave z-ravni preslikavaju se u krugove i prave w-ravni. Pri tome, krug se može preslikati u pravu i obrnuto. Bez dokaza navodimo da se krug z z = r iz z-ravni preslikava pomoću 7.4) u pravu ako ovaj krug prolazi kroz tačku d/c, tj. kroz pol bilinearne transformacije 7.4) videti sledeći primer). Primer 7.. Pomoću bilinearne transformacije w = z + krug z 2 = preslikava se u pravu jer ovaj z krug prolazi kroz tačku z = koja predstavlja pol bilinearne transformacije. Tačka z = 3 koja pripada krugu preslikava se u tačku w3) = 3 + )/3 ) = 2. Tangenta na krug u tački z = 3 gradi prav ugao sa realnom osom, tako da na osnovu osobine o nepromenljivosti uglova pri konformnom preslikavanju prava u w-ravni je upravna na realnu osu i prolazi kroz tačku w = 2. Prema tome, dati krug se preslikava na pravu Re z = 2, što je prikazano na slici 7.3. Primer 7.2. kvadrant). Slika 7.3 Transformacijom z wz) = i z i + z Iz date transformacije rešavanjem po z nalazimo odakle je Re z = 2 z + z) = 2 preslikati oblast {z Re z Im z } prvi z = i w w +, 7.6) i w w + + i w ) = w + 2Im w w w + w + w +.

15 konformno preslikavanje 5 Im w Odavde je Re z Im w jer za w važi w w + w + w + = w w + w + w + w + ) w + ) = w + 2 >. Dalje, iz 7.6) imamo Im z = 2i z z) = i w 2i w + i w ) w w = w + w w + w + w +. Prema tome, Im z w w ) w. Dakle, transformacija w = i z)/i + z) preslikava datu oblast na poludisk {w w Im w }, videti sliku 7.4. Slika 7.4 Neki važni slučajevi konformnog preslikavanja Preslikavanje z wz) = z 2 Neka je z = ρe iθ. Kako je z z 2 = ρe iθ ) 2 = ρ 2 e i2θ, zaključujemo da se jedna tačka z-ravni preslikava u tačku w-ravni čiji je modul jednak kvadratu modula originala i argument je dva puta veći. Na primer, isečak kruga z = ρ čiji je centralni ugao α preslikava se u kružni isečak poluprečnika ρ 2 sa centralnim uglom 2α α π), kao što je prikazano na slici 7.5a. Slika 7.5 Preslikavanje funkcijom w = z 2

16 6 kompleksna analiza Mreža koordinatnih linija x = p i y = q p, q realni brojevi) preslikava se u dve familije ortogonalnih parabola slika 7.5b.). Kako je w = u + iv = z 2 = z + iy) 2 = x 2 y 2 + i2xy, imamo u = x 2 y 2, v = 2xy. Eliminacijom x iz sistema u = x 2 q 2, v = 2xq i y iz sistema u = p 2 y 2, v = 2py, dobijamo jednačine familija ortogonalnih parabola u = p 2 v2 4p 2, u = v2 4q 2 q2. Žiže ovih parabola su u koordinatnom početku. Takod e, primećujemo da se prave y = q i y = q preslikavaju u istu parabolu, što proističe iz jednakosti z) 2 = z 2. Primer 7.3. Preslikati disk z a = a sa z z 2. Ako jednačinu kružnice posmatranog diska napišemo u obliku z = a + e iθ ) θ < 2π), dobijamo w = u + iv = a 2 + e iθ) 2 = a 2 e 2iθ + 2e iθ + ), odakle je u = 2a 2 cos θ + cos θ), v = 2a 2 sin θ + cos θ). Kako je u 2 + v 2 ) /2 = 2a 2 + cos θ) i v/u = tan θ, uvodeći polarne koordinate u = ρ cos φ, v = ρ sin φ, dolazimo do jednačine ρ = 2a 2 + cos φ) u polarnim koodinatama. Ovo je jednačina krive kardioide) na koju se preslikava krug z a = a iz z-ravni. Unutrašnost diska D preslikava se u unutrašnjost kardioide D, kao što je prikazano na slici 7.6. Slika 7.6 Preslikavanje diska funkcijom w = z 2

17 konformno preslikavanje 7 3 Preslikavanje z wz) = e z Kako je nalazimo da je w = w e iarg w = e z = e x+iy = e x e iy, w = ρ = e x i arg w = y. Zbog toga se traka {z < x < +, < y < π} preslikava u poluravan v = Im w >, jer se arg w = y menja od do π, dok se w = e x menja od do + slika 7.7a). Pri preslikavanju jedne polovine ove pruge za koju je x <, imamo da se arg w = y opet menja od do π, a w = e x od do. Na taj način dobija se oblast {w w <, Im w > }, tj. jedinični polukrug u gornjoj poluravni slika 7.7b). Pravougaonik JKLM sa slike 7.7c preslikava se u oblast koja se nalazi izmed u dva koncentrična polukruga. S obzirom da je tačka J u oblasti x <, poluprečnik manjeg polukruga manji je od, dok je poluprečnik većeg polukruga veći od jer je tačka K u poluravni x >. Slika 7.7 Preslikavanje z e z

18 8 kompleksna analiza 8. Kompleksna integracija Definicija. Ako su u i v R-integrabilne funkcije realne promenljive t na segmentu [a, b] integrabilnost u Riemannovom smislu), integral funkcije t ft) = ut)+ivt) u granicama od α do β α, β [a, b]) je β β β ft)dt = ut)dt + i vt)dt. 8.) Za funkciju f kažemo da je R-integrabilna. Navodimo neke osobine R-integrabilne funkcije: β ft)dt = α α β ft)dt. α γft)dt = γ ft)dt γ je kompleksna konstanta). 2 β α β α β n ) n β 3 f k t) dt = f k t)dt. α k= b 4 ft)dt a b a k= ft) dt α a < b). α 5 Ako je t ft) = ut) + ivt) R-integrabilna funkcija na segmentu [a, b], isti je slučaj sa funkcijom t ft) = ut) 2 + vt) 2. Definicija 2. Neka je f kompleksna funkcija kompleksne promenljive z i glatka kriva čija je jednačina z = zt) = xt) + iyt) a t b). Neka je funkcija f definisana i neprekidna na. Tada je α b fz)dz = f zt) ) z t)dt 8.2) a i b fz) dz = f zt) ) z t) dt. 8.3) a Integral 8.2) može se razložiti na realni i imaginarni deo na sledeći način: fz)dz = ) ux, y) + ivx, y) dz = ux, y)dx vx, y)dy + i Neke osobine integrala su: fz)dz = fz)dz. 2 γfz)dz = γ fz)dz γ je kompleksna konstanta). vx, y)dx + ux, y)dy. 8.4)

19 3 4 5 n k= fz)dz = ) f k z) dz = r k= fz)dz n k= kompleksna integracija 9 f k z)dz. k fz)dz = fz) dz r k ). k= Darbouxova 5 nejednakost). Dokažimo Darbouxovu nejednakost 5. Primenom osobine 4 za kompleksan integral realne promenljiive, iz 8.2) se dobija fz)dz = b f zt) ) b z t)dt f zt) ) b z t) dt = f zt) ) z t) dt = fz) dz. a Ako je max fz) = M M pozitivna konstanta), tada iz z 5 sleduje fz)dz M dz = ML, gde je L dužina luka krive. Primer 8.. Smenom z a = re it dz = rie it dt) imamo J = z a =r a z a dz = 2π a rie it dt = reit 2π idt = 2πi. Navedenom smenom integral z a) n dz n ceo broj ), postaje 2π z a =r [ ir ir n+ e in+)t n+ dt = in + ) ein+)t ] 2π =. Primer 8.2. Izračunati Dati integral je jednak C C zdz od z = do z = 4 + 2i duž krive C date pomoću z = zt) = t 2 + it. x iy)dx + idy) = C xdx + ydy + i C xdy ydx. Parametarske jednačine krive C su x = xt) = t 2, y = yt) = t za t [, 2]. Tada linijski integral postaje 2 t= [ t 2 2tdt) + tdt ] + i 2 t= [ t 2 dt t2tdt) ] = 2 2t 3 + t)dt + i 2 t 2 )dt = 8i 3. 5 G. Darboux ), francuski matematičar, čita se Darbu.

20 2 kompleksna analiza 9. Cauchy-Goursatova teorema Integrali analitičkih funkcija imaju svojstva integrala totalnog diferencijala. Cauchy je 825. formulisao sledeću teoremu: Teorema 9. Osnovna Cauchyeva teorema). Ako je f analitička funkcija u jednostruko povezanoj oblasti G, i ako je njen prvi izvod f neprekidan u G, tada je fz)dz =, gde je G) zatvorena kontura. Dokaz. Ako na integrale koji se pojavljuju na desnoj strani formule 8.4) primenimo Green 6 - Riemannovu formulu ) Qx, y) P x, y) ) P x, y)dx + Qx, y)dy = dxdy, x y dobijamo fz)dz = G int v x v ) dxdy + i y G u x v ) dxdy. y G je oblast ograničena konturom ). Primenom Cauchy-Riemannovih uslova na podintegralne funkcije vidimo da su oba integala na desnoj strani jednaka nuli, pa je fz)dz =. U Cauchyevom dokazu ove teoreme bitna je pretpostavka o neprekidnosti izvoda funkcije f da bi Green-Riemannova formula mogla da se primeni). Med utim, francuski matematičar Goursat dokazao je 884. godine da ova teorema važi pod slabijim ograničenjima za funkciju f. Naime, dovoljno je pretpostaviti da je funkcija f analitička u jednostruko povezanoj oblasti G. Cauchyeva teorema, uz izmene koje je dao Goursat, obično se naziva Cauchy-Goursatova teorema. Cauchy-Goursatova teorema može se primeniti na višestruko povezanu oblast G. Granica oblasti G je tada složena kontura = + n. Ona se sastoji od spoljne zatvorene konture po kojoj se tačka kreće u pozitivnom smislu i od unutrašnih zatvorenih kontura,..., n po kojima se tačka kreće u suprotnom smislu. Drugim rečima, kada se tačka kreće po, oblast G ostaje sleva. U cilju ilustracije posmatajmo dvostruko povezanu oblast prikazanu na slici 9.. Pomoću duži ab i cd dvostruko povezana oblast može se podeliti na dve jednostruko povezane oblasti: kontura jedne od njih je K = aαdcγba, a druge K 2 = dβabδcd. 6 G. Green ), engleski matematičar, čita se Grin.

21 cauchy-goursatova teorema 2 Na osnovu Cauchy-Goursatove teoreme je Odavde izlazi K + K 2 K fz)dz =, Slika 9. = tako da jedno za drugim imamo K 2 fz)dz = =, aαd dc cγb ba dβa ab bδc cd fz)dz + fz)dz =, + fz)dz = fz)dz. 9.) + + U slučaju trostruko povezane oblasti imamo fz)dz = fz)dz + fz)dz Produžujući tako, dolazi se do sledeće teoreme: Teorema 9.3 Stav o ekvivalenciji putanja). Ako je f funkcija definisana u oblasti int i analitička u n + )-struko povezanoj oblasti G, tada je fz)dz =, tj. fz)dz = n k= k fz)dz. Formula 9.) omogućava izračunavanje nekih integrala izborom pogodne konture. Tako u primeru 5.5 vrednost integrala će biti ista ako se mesto kruga uzme proizvoljna kontura koja obuhvata tačku a. Navedena formula kao i teorema 9.3 biće primenjeni u daljem izlaganju.

22 22 kompleksna analiza. Cauchyeva integralna formula Sada ćemo izložiti jedan fundametalan rezultat u teoriji analitičkih funkcija do koga je došao Cauchy. Teorema.. Neka je f analitička funkcija na zatvorenoj deo po deo glatkoj krivoj kao i u oblasti G = int. Tada za proizvoljnu tačku z G važi fz) = fζ)dζ 2πi ζ z..) Dokaz. Uočimo pomoćnu funkciju gζ) = fζ) fz). ζ z Ova funkcija je analitička unutar konture osim u tački z. Primetimo da je fζ) fz) lim = f z), ζ z ζ z tj, gz) = f z). Prema ovome, funkcija gζ) je neprekidna pa i ograničena funkcija, tj. važi gζ) < K, gde je K pozitivna konstanta. Neka je γ krug poluprečnika ρ sa centrom u tački z, koji leži unutar konture slika.). Slika. Na osnovu Stava o ekvivalenciji putanja teorema 9.3), imamo gζ)dζ = gζ)dζ..2) γ Odavde zaključujemo da integral gζ)dζ ne zavisi od r jer ima konstantnu vrednost jednaku integralu γ gζ)dζ. Dalje je, zbog ograničenosti funkcije gζ), gζ)dζ < 2πρK. γ

23 taylorov i laurentov red 23 Prema tome, integral na desnoj strani u.2) može imati proizvoljno malu vrednost ako je ρ dovoljno malo. S druge strane, ovaj integral ne zavisi od ρ. Prema tome, mora biti gζ)dζ =, odnosno ili Kako je videti primer 8.) iz.3) dobijamo formulu.) γ fζ) fz) dζ =, ζ z fζ)dζ ζ z fz) dζ ζ z = γ dζ ζ z dζ ζ z = 2πi, =..3) Formula.) se zove osnovna Cauchyeva integralna formula, a desna strana ove formule Cauchyev integral. Iz Cauchyeve formule.) sledi da su vrednosti analitičke funkcije unutar konture potpuno definisane vrednostima te funkcije na konturi. Ako je funkcija f analitička u nekoj oblasti G, tada je prema samoj definiciji ona diferencijabilna u toj oblasti ima prvi izvod). Sada ćemo utvrditi da takva funkcija ima izvode proizvoljnog reda. Kao što je poznato, za realne funkcije ovo ne mora da važi. Teorema.2. Neka je f analitička funkcija na zatvorenoj deo po deo glatkoj krivoj kao i u oblasti G = int. Tada za proizvoljnu tačku z G važi f n) z) = n! fζ)dζ..4) 2πi ζ z) n+ Taylorov red. Taylorov 7 i Laurentov 8 red Neka je f analitička funkcija unutar kruga K = {z : z z < R} R može biti i + ) i neka je r = z z slika.). Slika. 7 B. Taylor ), engleski matematičar, čita se Tejlor. 8 P. A. Laurent ), francuski matematičar, čita se Loran

24 24 kompleksna analiza Bez dokaza dajemo sledeće tvrd enje: Teorema.. Svaka kompleksna funkcija f, analitička u tački z = z, može se razviti u stepeni red fz) = A + A z z ) + A 2 z z ) 2 +, A k = 2πi fζ)dζ ζ z ) k+.) konvergentan u kružnom disku sa centrom u z i poluprečnikom ρ < b z, gde je b singularitet funkcije f najbliži tački a. Red.) naziva se Taylorov red funkcije f u tački z. Može se dokazati da je, pod uslovima u teoremi., razlaganje jedinstveno. Važi i sledeća teorema: Teorema.2. Funkcija f je analitička u tački z ako i samo ako se u nekoj okolini te tačke može razviti u Taylorov red. Teorema.2 često se uzima kao definicija analitičnosti funkcije. Laurentov red Teorema.3. Neka je funkcija f analitička u prstenu Tada unutar tog prstena važi razvoj pri čemu je gde je krug ζ z = r R < r < R 2 ). Ovaj red se zove Laurentov red. R < z z < R 2 R, R 2 + ). fz) = + n= A n = 2πi A n z z ) n, fζ) dζ, ζ z ) n+ reda. Definicija. Red + n= A n z a) n zove se pravilni deo, a n= A n z a) n glavni deo Laurentovog Primer.. Funkciju z z + )e /z razviti u Laurentov red u okolini tačke z =. Koristeći razvoj eksponencijalne funkcije u Taylorov red, dobijamo z + )e /z = z + ) + z + 2!z 2 + ) 3!z 3 + = z k= k! + ) z k. k + )!

25 Primer.2. U okolini tačke z = 2 razvoj funkcije z fz) = fz) = z 2 z 3 = z 2 = z 2 z 2) z 2)2. Ovaj red je konvergentan u disku z 2 <. izolovani singulariteti 25 z 2)z 3) glasi z 2) = + z 2) + z 2) 2 + z 2) 3 + ) z 2 2. Izolovani singulariteti Tačka a u kojoj funkcija f nije analitička naziva se singularitet te funkcije. Ako je tačka a singularitet funkcije f i postoji okolina tačke a u kojoj nema drugih singulariteta, onda se tačka a naziva izolovani singularitet funkcije fz). U samoj tački a funkcija može biti i nedefinisana. Funkcija f može se razviti u Laurentov red: koji konvergira u prstenu < z a < r. Moguća su tri različita slučaja: fz) = + n= A n z a) n, 2.). Laurentov red 2.) ne sadrži članove sa negativnim stepenima od z a). U ovom slučaju tačka a se zove prividni singularitet, ili otklonjiv singularitet funkcije f. 2. Laurentov red 2.) sadrži konačan broj članova sa negativnim stepenima. U ovom slučaju tačka a se zove pol funkcije fz). 3. Laurentov red 2.) sadrži beskonačno mnogo članova sa negativnim stepenima. U ovom slučaju tačka a se zove esencijalni singularitet funkcije fz). Pojam izolovanih singulariteta u literaturi se često uvodi i pomoću sledećih ekvivalentnih definicija: Tačka z = a je otklonjiv ili prividni singularitet ako je lim z a fz) konačan broj, a funkcija nije definisana u tački a. Da bismo odstranili takav singularitet dovoljno je dodefinisati funkciju f uzimajući da je fa) = A. Kaže se da je z = a pol reda m funkcije f ako je lim z a fz) =. Tada se funkcija f može predstaviti u obliku fz) = ϕz) z a) m, gde je ϕz) = A m + A m+ z a) + + A z a) m + analitička funkcija u okolini tačke a Tačka z = a je esencijalni singularitet ako lim z a fz) ne postoji. Primer 2.. Funkcija z sin z z je otklonjivi singularitet. nije definisana u tački z =, ali je lim z sin z z =. Prema tome, z = Primer 2.2. Funkcija fz) = e z )/z 4 ima u tački z = pol. Pogrešno bi bilo odmah zaključiti da je ovo pol reda 4 jer je e z = za z =. Razvoj u Laurentov red daje fz) = ) z 4 + z + z2 2! + z3 3! + z4 4! + z5 5! + = + z 5! + 4! + 3! z + 2! z 2 + z 3.

26 26 kompleksna analiza Na osnovu prethodne diskusije i poslednjeg izraza zaključujemo da je z = pol trećeg reda. Primer 2.3. Razvoj funkcije z e /z u Laurentov red glasi e /z = + z + 2!z 2 + 3!z 3 +. Glavni deo Laurentovog razvoja ima beskonačno mnogo članova. Ako se tački z = približavamo pomoću niza /n), imamo lim n + en = +. Ako se tački z = približavamo pomoću drugog niza /n), dobija se lim n + e n =. Prema tome, granična vrednost ne postoji u tački z = i ona predstavlja esencijalni singularitet funkcije z e /z. Definicija. ) t f. t Priroda tačke z = funkcije z fz) ista je kao priroda tačke t = funkcije Primer 2.4. Odrediti prirodu tačke z = za funkciju fz) = z sin z 2 sin ) 2. z 2 Uvedimo smenu z = /t i ispitajmo prirodu tačke t = za funkciju gt) = f/t) = t sin t 2 sin z ) 2. 2 Redom nalazimo g t) = t cos t + sin t 2 sint 2), g t) = 2 cos t 2 cost 2) t sin t, g 3) t) = t cos t 3 sin t sint 2), g 4) t) = 4 cos t + 4 cost 2) + t sin t, g 5) t) = t cos t + 5 sin t 4 2 sint 2), g 6) t) = 6 cos t 8 cost 2) t sin t. Kako je g) = g ) = g ) = g 3) ) = g 4) ) = g 5) ) = i g 6) ) = 2, zaključujemo da je t = nula reda 6 za funkciju gt). Prema definiciji sledi da je tačka z = nula reda 6 za zadatu funkciju fz). 3. Račun ostataka Definicija. Neka je z fz) analitička funkcija u okolini tačke a osim, možda u samoj tački a. Pod ostatkom funkcije f u tački a podrazumeva se koeficijent A u Laurentovom razvoju i označava se sa Res z=a fz) = A ). fz) = + n= A n z a) n Iz definicije i izraza za koeficijente Laurentovog reda direktno izlazi Res fz) = z=a 2πi fz)dz, 3.) gde je krug z a = r takav da na njemu i u njegovoj unutrašnjosti nema drugih singulariteta osim a.

27 Izračunavanje ostatka za pol prvog reda račun ostataka 27 Neka je tačka a pol prvog reda za funkciju f. Tada u okolini te tačke važi razvoj fz) = A z a) + A + A z a) + A 2 z a) ) Pomnožimo levu i desnu stranu u 3.2) sa z a) i potražimo graničnu vrednost kada z a. Tada imamo A = lim z a)fz) = Res fz). 3.3) z a z=a Primetimo, da se u ovom slučaju, funkcija f može prikazati kao količnik dve analitičke funkcije, fz) = ϕz) ψz), 3.4) pri čemu je ϕa), a tačka a nula prvog reda funkcije ψz). U tom slučaju imamo ψz) = ψ a)z a) + 2 ψ a) +, ψ a). 3.5) Iz 3.3), 3.4) i 3.5) dobija se sledeća formula za izračunavanje ostatka za pol prvog reda: ϕa) Res fz) = z=a ψ a), fz) = ϕz) ). 3.6) ψz) z Primer 3.. Neka je fz) = z n. Singulariteti funkcije su z k = n = e i 2kπ n k =,,..., n ), pri čemu su sve te tačke polovi prvog reda. Odredimo Res fz). Na osnovu 3.6) nalazimo z=z k Res fz) = z=z k z k nz n k = z2 k nz n k = 4kπ ei n zk n = ). n Izračunavanje ostatka za pol reda m Neka je tačka a pol reda m funkcije f. Tada u okolini te tačke važi razvoj fz) = A m z a) m + + A z a) + A + A z a) + A 2 z a) 2 + Množeći levu i desnu stranu sa z a) m, dobijamo z a) m fz) = A m + A m+ z a) + + A z a) m Diferencirajmo obe strane poslednje jednakosti m )-puta, a zatim potražimo graničnu vrednost kada z a. Tako dobijamo formulu za izračunavanje ostatka za pol reda m : A = Res fz) = z=a m )! lim d m ) z a dz m z a) m fz). 3.7)

28 28 kompleksna analiza Primer 3.2. Neka je fz) = + z 2 ) n. Singulariteti su z,2 = ±i, pri čemu su te tačke polovi reda n. Izračunajmo Res fz). Na osnovu 3.7) sledi z=i Res z=i + z 2 ) n = n )! lim z i = n )! lim z i d n [ dz n z i) n [ ] d n dz n z + i) n n nn + )...2n 2) = ) n )! + z 2 ) n ] z + i) 2n z=i n 2n 2)! = ) [n )!] 2 2i) 2n = i 2n 2)! 2 2n [n )!] 2. Dobar deo dosadašnjeg proučavanja preduzet je zbog dobijanja jednog od najznačajnijih rezultata Kompleksne analize, koji je našao primenu u mnogim oblastima matematike. To je Cauchyeva teorema o ostacima. Teorema 3. Cauchyeva teorema o ostacima). Ako je z fz) analitička funkcija na zatvorenoj konturi i u int, osim u njenim polovima ili u esencijalnim singularitetima z,..., z n int, tada važi formula n fz)dz = 2πi Res fz). 3.8) z=z k Dokaz. Pretpostavimo da su z,..., z n polovi. Neka je z k k n) pol reda p k funkcije f. U okolini tačke z k važi Laurentov razvoj k= fz) = g k z) + A,k z z k + + A p k,k z z k ) p k A pk,k ), gde je g k analitička funkcija u okolini tačke z = z k. Neka je γ k krug z z k = r k koji leži na int, takav da disk z z k r k sadrži samo pol z k slika 3.). Tada je fz)dz = γ k γ k g k z)dz + A,k γ k dz + + A pk,k z z k γ k z z k ) p dz. 3.9) k Slika 3.

29 izračunavanje odredjenih integrala 29 Prvi ntegral na desnoj strani poslednje jednakosti jednak je nuli jer je g k analitička funkcija u okolini tačke z = z k Cauchy-Goursatova teorema). Ako je p ceo broj, tada je vidi primer 8.) z a) p dz = p ) i z a) dz = 2πi. z a =r z a =r Na osnovu ovog, jednakost 3.9) postaje γ k fz)dz = A,k 2πi = 2πi Res z=z k fz). 3.) Kako na osnovu Cauchy-Goursatove teoreme za višestruko povezane oblasti Stav o ekvivalenciji putanja, teorema 9.3) imamo n fz)dz = fz)dz, k= prema 3.) dobijamo formulu 3.8) koju je trebalo i dokazati. γ k Neke ocene na polukrugu Jordanove leme Sledeća tri tvrd enja, poznata kao Jordanove leme, odnose se na procene integrala na polukružnom luku prikazanom na slici 3.2. Leme se koriste pri oceni integrala duž ovog luka kod izračunavanja kompleksnih integrala. Slika 3.2 Lema 3.. Ako je lim zf z) = B, tada je lim F z)dz = iπb. z R Lema 3.2. Ako je F z) M/R k za z = Re iθ, gde su k > i M konstante, tada je lim F z)dz =. R + Lema 3.3. Ako je F z) M/R k za z = Re iθ, gde su k > i M konstante, tada je lim e imz F z)dz =, R + gde je polukružni luk kruga poluprečnika R prikazan na slici 3.2 i m pozitivna konstanta.

30 3 kompleksna analiza 4. Izračunavanje odred enih integrala Za izračunavanje nekih dosta opštih klasa odred enih integrala, kako kompleksnih tako i realnih, vrlo efikasno se može iskoristiti račun ostataka dat teoremom 3.. Ovo će biti ilustrovano na nekim primerima. Primeri integrala oblika Primer 4.2. Izračunaćemo integral fz)dz dz z ) 2 z 2 + ), gde je krug z + i) 2 = 2, odnosno x ) 2 + y ) 2 = 2. Podintegralna funkcija ima tri singulariteta: pol drugog reda z = i proste polove z 2 = i i z 3 = i. Singulariteti z i z 2 su unutar kruga, a z 3 van kruga. Prema tome, imamo gde su dz [ z ) 2 z 2 + ) = 2πi [ ] d Res fz) = lim z ) 2 z= z dz z ) 2 z 2 + ) Res z= = lim z Res fz) = lim z=i z i z ) 2 z + i) = 2ii ) 2 = 4. Dakle, na osnovu teoreme o ostacima imamo ] fz) + Res fz), z=i [ d dz dz z ) 2 z 2 + ) = πi 2. z 2 + ) ] 2z = lim z z 2 + ) 2 = 2, Integrali oblika 2π Rcos t, sin t)dt, R racionalna funkcija Gornji integral može se izračunati na sledeći način. Smenom z = e it dobijamo cos t = eit + e it 2 = z + z, sin t = eit e it 2 2i = z z, dt = dz 2i iz. 4.6) Na osnovu ovog imamo 2π Rcos t, sin t)dt = z + z R, z ) z dz 2 2i iz, gde je krug z =, jer kada t varira od do 2π, tačka z = e it opiše krug u pozitivnom smeru. Poslednji integral je oblika na koji se može primeniti teorema o ostacima.

31 princip argumenta 3 Primer 4.3. Izračunaćemo integral I = 2π dt, a <. + a cos t Smenom z = e it i korišćenjem formula 4.6), dobijamo I = 2 dz i az 2 + 2z + a. z = Izolovani singulariteti su nule imenioca z,2 = a ± /a 2. Kako je z z 2 =, to samo jedna od tih tačaka leži unutar kruga z =. Može se proveriti da je to tačka z = a + /a 2. Sada imamo [ ] I = 4π Res z=z az 2 + 2z + a = 4π = az z 2 ) z=z 2π a 2. Integrali oblika fx)dx. Posmatraćemo klasu integrala za koju važi: funkcija z fz) je analitička u oblasti Im z > osim u konačno mnogo singularnih tačaka z,..., z n, 2 f je analitička funkcija na osi Im z =, 3 tačka z = je nula najmanje drugog reda funkcije f. Tada je + fx)dx = 2πi n Res fz). 4.7) z=z k Napomena. ) Priroda tačke z = za funkciju z fz) je ista kao priroda tačke t = za funkciju t f. t Primer 4.4. Izračunaćemo integral Funkcija fz) = k= dx z 2 + ) 3. z 2 + ) 3 je analitička u oblasti {z Im z > } osim u tačkama z = i i z 2 = i. Ova funkcija je takod e analitička i na Im z =. Kako je f/t) = t 6 + t 2, zaključujemo da funkcija z fz) = ) 3 z 2 u tački z = ima nulu šestog reda. Prema tome, može se primeniti formula 4.7), uzimajući u obzir + ) 3 da samo tačka z = i priprada gornjoj poluravni Im z > ). Dakle, imamo dx z 2 = 2πi Res + ) 3 z=i z 2 + ) 3 = 2πi 2! lim d 2 [ ] 2 z i dz 2 z + i) 3 = πi z + i) 5 = 3π 8. z=i

32 32 kompleksna analiza 5. Princip argumenta Teorema 5. Princip argumenta). Neka je z fz) analitička i različita od nule na zatvorenoj konturi i ako je ona analitička u int osim u konačnom broju polova, tada je 2πi f z) dz = n p, 5.) fz) gde je n broj nula, od kojih je svaka uzeta onoliko puta koliki je njen red, i p broj polova, od kojih je svaki uzet onoliko puta koliki je njegov red. Pri obilaženju tačke z po konturi, tačka w = fz) opisuje zatvorenu krivu γ. Neka je s broj potpunih obilaženja tačke w oko početka koordinatnog sistema u w-ravni. Izaberimo tačku z na konturi koju ćemo smatrati početnom i završnom. Neka je Φ vrednost argumenta funkcije z fz) za početno z = z, a Φ za završno z = z, pri čemu je, očigledno, fz ) = fz ). Integral koji se pojavljuje u 5.) sada postaje f z z) Log fz) dz = = log fz ) + iφ ) log fz ) + iφ ) = Φ Φ = n p. 5.2) 2πi fz) 2πi 2πi 2π z Razlika Φ Φ predstavlja promenu argumenta i jednaka je 2πs = Φ Φ ) tako da iz 5.2) dobijamo Poslednja formula zove se pricip argumenta. n p = s. 5.3) Napomena. Princip argumenta je od velike koristi ne samo u matematici već i u inženjerskim disciplinama. Jedna važna primena principa argumenta javlja se u teoriji automatskog upravljanja. Ovaj princip može se iskoristiti za ispitivanje uslova pod kojim prenosna funkcija sistema nema nule u desnoj polovini kompleksne ravni, što je uslov za stabilnost sistema. Primer 5. Primenom formule 5.) dokazaćemo da polinom ima tačno n nula. P z) = z n + a z n + + a n z + a n n, a k kompleksni brojevi) Rešenje : S obzirom da algebarski polinom nema polove, formula 5.) daje broj nula u disku z = r, N = P z) 2πi P z) dz. Smenjujući z = re iθ, dobijamo N = 2π = 2π = 2π 2π 2π 2π z =r nr n e niθ + n )a r n e n )iθ + + a n re iθ dθ r n e niθ + a r n e n )iθ + + a n re iθ + a n ndθ 2π ndθ J, 2π a r n e n )iθ + + n )a n re iθ + na n dθ r n e niθ + a r n e n )iθ + + a n

33 princip argumenta 33 gde je sa J označen drugi integral na desnoj strani. Ako poluprečnik r izaberemo tako da je r max, a + + a n ), dobijamo r n a + + a n ) r n a r n + a 2 r n a n, pa važi majorantna formula J 2π 2π a r n + + n ) a n r + n a n r n a r n dθ, a n r a n kada r +. Prema tome, dobijamo Broj nula polinoma P stepena n je tačno n. N = 2π 2π ndθ = n. Rešenje 2 : Dokaz ćemo sprovesti pomoću principa argumenta nalazeći promenu argumenta. Predstavimo polinom P z) u obliku Odavde je P z) = z n + a z + an z n + a n z n ) = z n gz). Arg P z) = Arg z n + Arg gz). Pretpostavimo da je kontura kružnica velikog poluprečnika R R + ) sa centrom u koordinatnom početku. Ako se tačka z kreće po kružnici, što znači da se argument od z promeni za 2π, argument od z n promeniće se za n 2π. Argument of gz) se neće promeniti jer je z = R veoma veliki pa je gz). Prema tome, Arg P z) = n Arg z = 2πn. Pošto polinom nema polove, na osnovu formule 5.2) dobija se čime je dokaz završen. N = 2πn 2π = n, Na osnovu teoreme 5. može se dokazati sledeća važna teorema. Teorema 5.2 Rouchéova 9 teorema). Ako su f i g analitičke funkcije u int i na, gde je prosta zatvorena kontura, i ako je gz) < fz) na, tada funkcije f i f + g imaju isti broj nula u int. Dokaz. Neka je F z) = gz)/fz), tj. gz) = fz)f z), ili kraće g = ff. Dalje, neka n i n 2 označavaju redom broj nula funcija f + g i f u int. S obzirom da ove funkcije nemaju polove unutar konture, na osnovu teoreme 5. imamo Tada je n n 2 = 2πi = 2πi n = 2πi f + f F + ff dz f + ff 2πi { f f + F } dz + F 2πi f + g f + g dz, n 2 = 2πi f f dz = 2πi f f dz = 2πi 9 E. Rouché 832-9), francuski matematičar, čita se Ruše. f f dz. f + F ) + ff f + F ) F + F dz. dz 2πi f f dz

34 34 kompleksna analiza Kako je F z) = gz)/fz) <, sledi da je Re { + F z)} F z) >, što znači da / { + F z) : z }. Prema tome, funkcija F / + F ) je analitička i nema polova u oblasti int tako da je, na osnovu Cauchy-Goursatove teoreme, 2πi Prema tome, gornje izračunavanje se svodi na F dz =. + F n n 2 =, tj. n = n 2, što je i tvrd enje teoreme. Primer 5.2. Koristeći Rouchéovu teoremu dokazati da svaki polinom stepena n ima tačno n nula. Posmatrajmo polinom P z) = a z n + a z n + + a n z + a n a ) i izaberimo fz) = a z n i gz) = a z n + + a n z + a n. Neka je kružnica z = r sa poluprečnikom r >. Na kružnici imamo sledeće procene gz) = a z n + + a n z + a n fz) a z n a + + a n + a n. a r a r n + + a n r + a n a r n Birajući r dovoljno veliko možemo učiniti da bude gz)/fz) <, tj. gz) < fz). Odavde, na osnovu Rouchéove teoreme sledi da polinom fz) + gz) ima isti broj nula kao i polinom fz) = a n z n. Kako polinom f ima n nula ζ = ζ 2 = = ζ n =, proizilazi da i polinom fz) + gz) = P z) ima n nula. Primer 5.3 Da bismo odredili broj nula polinoma P z) = z 8 4z 5 + z 2 u disku z <, stavimo fz) = z 8 4z 5 i gz) = z 2. Na krugu z = je fz) > 4z 5 z 8 = 3 i gz) < z 2 + = 2 te je gz) < fz). Kako polinom fz) = z 8 4z 5 = z 5 z 3 4) ima pet nula u disku z <, polinom P ima, takod e, pet nula u istom disku.

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

KONTURNA INTEGRACIJA

KONTURNA INTEGRACIJA KONTURNA INTEGRACIJA Materijal sa sedme radne Ljaškijade - jun 14. Studentska asocijacija Eneter emineter.wordpress.com Ovo je materijal za rešavanje pet tipova integrala koristeći teoreme kompleksne analize

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I Gradimir V. Milovanović Radosav Ž. D ord ević MATEMATIČKA ANALIZA I Predgovor Ova knjiga predstavlja udžbenik iz predmeta Matematička analiza I koji se, počev od školske 2004/2005. godine, studentima Elektronskog

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu

Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Tijana Šukilović Matematički fakultet, Univerzitet Beograd May 2, 2011, Beograd Sadržaj 1 Racionalne Bézier-ove krive Polinomijalne Bézier-ove krive Algoritam

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης

Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης Μιγαδική Ανάλυση Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης 2 Περιεχόμενα 1 Μιγαδικοί αριθμοί 1 1.1 Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες............................. 1 1.2 Γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών.................

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι

Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι .. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι Κατά τη λύση των ασκήσεων επάνω στους µιγαδικούς αριθµούς είναι χρήσιµο να έχουµε υπόψη ότι ένας µιγαδικός αριθµός µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nevena Mutlak Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom -master rad- Mentor: prof.dr Marko Nedeljkov Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

Milan Merkle. Matematička analiza. Pregled teorije i zadaci. Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje. Beograd, 2001.

Milan Merkle. Matematička analiza. Pregled teorije i zadaci. Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje. Beograd, 2001. Milan Merkle Matematička analiza Pregled teorije i zadaci Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje Beograd, 2001. Sadržaj Obavezno pročitati................................................... xi 1 Uvod u analizu........................................................

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Postoji veći broj parametara koji karakterišu ponašanje sistema u prelaznom režimu. Ovi parametri pripadaju različitim prostorima u kojima se sistemi

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Μιαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1. Εισαωικά 5 Η αλεβρική δοµή 5 Η τοπολοική δοµή τού 6 Το εκτεταµένο µιαδικό επίπεδο 7 Συνεκτικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Skinuto sa

Skinuto sa Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu Građevinsko-arhitektonski fakultet. Konstante, promenljive, identifikatori, operatori Biblioteka funkcija Milica Ćirić

Univerzitet u Nišu Građevinsko-arhitektonski fakultet. Konstante, promenljive, identifikatori, operatori Biblioteka funkcija Milica Ćirić Univerzitet u Nišu Građevinsko-arhitektonski fakultet Informatika 2 Mathematica Konstante, promenljive, identifikatori, operatori Biblioteka funkcija Milica Ćirić Mathematica Programski paket Mathematica

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις

Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις Σε αυτό το κεφάλαιο εισάγονται οι µιγαδικοί αριθµοί, οι στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις, και οι βασικές τους ιδιότητες. Όπως θα δούµε, οι µιγαδικοί αριθµοί

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Digitalni sistemi automatskog upravljanja

Digitalni sistemi automatskog upravljanja Digitalni sistemi automatskog upravljanja Upotreba digitalnih računara u ulozi kompenzatora i regulatora, u poslednje dve decenije naglo raste. To je posledica rasta njihovih performansi i pouzdanosti,

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0 9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Α.Μ.: 2. Εστω ότι τα σηµεία z,..., Υπολογίστε όλες τις λύσεις της εξίσωσης. θ,n ισούται µε. (α) βρίσκονται στο ηµιεπίπεδο Im

( ) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Α.Μ.: 2. Εστω ότι τα σηµεία z,..., Υπολογίστε όλες τις λύσεις της εξίσωσης. θ,n ισούται µε. (α) βρίσκονται στο ηµιεπίπεδο Im ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Α.Μ.:. είξτε ότι η οσότητα συνθ + συν ( θ + a) +... + συν ( θ + na) θ,n ισούται µε ( ) ηµ (( n+ ) a/ ) συν ( θ + na /). (β) ηµ ( a /) ηµ ( na /) (γ) ηµ ( θ + na /). (δ) ηµ ( a /) συν ((

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET. Marjan M. Matejiæ Lidija V. Stefanoviæ Branislav M. Ranðeloviæ Igor. Milovanoviæ MATEMATIKA

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET. Marjan M. Matejiæ Lidija V. Stefanoviæ Branislav M. Ranðeloviæ Igor. Milovanoviæ MATEMATIKA UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Marjan M. Matejiæ Lidija V. Stefanoviæ Branislav M. Ranðeloviæ Igor. Milovanoviæ MATEMATIKA KOMPLETI ZADATAKA ZA PRIJEMNI ISPIT 011. Edicija: Pomoæni ud benici Marjan

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΜΦ Ι 1/ Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ. (Μάθηµα επιλογής) Μιγαδικοί αριθµοί - `Αλγεβρα των Μ.Α. + b n sin nπx. a n cos nπx.

ΜΜΦ Ι 1/ Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ. (Μάθηµα επιλογής) Μιγαδικοί αριθµοί - `Αλγεβρα των Μ.Α. + b n sin nπx. a n cos nπx. ΜΜΦ Ι /6--9 Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής Ι Το µάθηµα περιλαµβάνει:. Μιγαδικές συναρτήσεις.ανάλυση F ourier α. Σειρές F ourier β. Μετασχηµατισµοί F ourier 3. Συνάρτηση έλτα Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12 GRAFOVI Ljubo Nedović 21. februar 2013 Sadržaj 1 Osnovni pojmovi 2 2 Bipartitni grafovi 8 3 Stabla 9 4 Binarna stabla 11 5 Planarni grafovi 12 6 Zadaci 13 1 2 1 Osnovni pojmovi Iz Vikipedije, slobodne

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA CILJEVI POGLAVLJA Nakon čitanja ovoga poglavlja bićete u stanju da: 1. razumete pojmove slučajna promenljiva, raspored verovatnoća, očekivana vrednost i funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Projektivna geometrija Milivoje Luki

Projektivna geometrija Milivoje Luki odatna nastava u Matematiqkoj gimnaziji 04.02.2007. Projektivna geometrija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com 1. vorazmera. Harmonijska spregnutost. Perspektivitet. Projektivitet efinicija: Neka su

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.)

Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Matematika i informatika Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Sedmica broj 1 i 2 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Uvod

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ)

NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ) NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmeničnog napona: u(t) = U max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmenične struje:

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Orijentacija Još jednom: Orijentacija i pravac - isto ili ne? Pravac je određen vektorom, ali rotacija vektora oko samog sebe nema daljeg uticaja. Orijentacija

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način

Διαβάστε περισσότερα

KLASIƒNI NAUƒNI SPISI GEOMETRISKA ISPITIVANJA IZ TEORIJE PARALELNIH LINIJA. N. I. LOBAƒEVSKOG

KLASIƒNI NAUƒNI SPISI GEOMETRISKA ISPITIVANJA IZ TEORIJE PARALELNIH LINIJA. N. I. LOBAƒEVSKOG S R P S K K M I J N U K KLSIƒNI NUƒNI SPISI KNJIG III MTMTIƒKI INSTITUT KNJIG 3 GOMTRISK ISPITIVNJ IZ TORIJ PRLLNIH LINIJ O N. I. LOƒVSKOG Preveo RNISLV PTRONIJVI RUGO, PRO IRNO IZNJ O G R 1951 Na²ao sam

Διαβάστε περισσότερα

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 1 Realni i kompleksni brojevi Lekcije iz Matematike 1. 1. Realni i kompleksni brojevi I. Naslov i obja²njenje naslova U lekciji se ponavljaju osnovna svojstva

Διαβάστε περισσότερα

Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Akademska godina Sarajevo,

Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Akademska godina Sarajevo, Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA Akademska 008-009 godina Sarajevo, 09 0 009 IME I PREZIME STUDENTA

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa

Poglavlje 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa Poglavlje 3 Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa 3 3 Poglavlje 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa 3. Laplasova i Furijeova transformacija izlaznog signala idealnog

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ================================== ii Autori: dr Milan

Διαβάστε περισσότερα

Vizualizacija prostora Lobačevskog

Vizualizacija prostora Lobačevskog Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Master rad Vizualizacija prostora Lobačevskog Marijana Babić Beograd, 2010. godine MENTOR Dr. Srdan Vukmirović ČLANOVI KOMISIJE Dr. Srdan Vukmirović Dr. Predrag

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Β Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις Παράγωγος συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής Πριν ορίσουμε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης f(z) θα σταθούμε

Διαβάστε περισσότερα

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA Izmeriti neku veličinu u fizici znači naći brojni odnos merene fizičke veličine prema vrednosti iste fizičke veličine, koja je dogovorno izabrana za jedinicu.

Διαβάστε περισσότερα