TEORIJA REDOVA. n u k (n N) (2) k=1. u k. lim S n = S, kažemo da zbir (suma) reda. k=1 S = k=1
|
|
- Ματταθίας Καζαντζής
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 TEORIJA REDOVA NUMERIČKI REDOVI. OSNOVNI POJMOVI DEFINICIJA. Neka je {u n } n N realan niz. Izraz oblika k= u k = u + u u n + () naziva se beskonačan red, ili kraće red. Broj u n naziva se opšti član reda (). DEFINICIJA 2. Zbir S n = naziva se n-ta parcijalna suma reda + u k. k= n u k (n N) (2) k= DEFINICIJA 3. Za red + u k kažemo da je konvergentan, odnosno divergentan, ako je niz k= {S n } n N, definisan sa (2), konvergentan, odnosno divergentan. Specijalno, ako je niz {S n } n N definisan sa (2) konvergentan i ako je i pišemo S = n k= u k. Dakle, u slučaju konvergentnog reda simbol + njegovu sumu. S n = S, kažemo da zbir (suma) reda S = k= u k k= u k. n k= u k iznosi S označava ne samo taj red, već i U ovom poglavlju razmatraćemo uglavnom redove u prostoru realnih ili kompleksnih brojeva. Za takve redove kažemo da su numerički redovi. Ukoliko je opšti član reda dat pomoću neke funkcije, na primer u n = u n (x), definisane na segmentu [a, b], kažemo da se radi o funkcionalnom redu. PRIMER. Posmatrajmo numerički red n(n + ) = (3) Kako je S n = n k= k(k + ) i k(k + ) = k k +,
2 2 imamo ( S n = ( + 2) ) odakle zaključujemo da je red (3) konvergentan, s obzirom da je Dakle suma reda je S =. PRIMER 2. Harmonijski red S n =. ( n ) = n + n +, n = (4) je divergentan, jer parcijalne sume ovog reda čine harmonijski niz koji je divergentan. Daćemo ovde još jedan dokaz divergencije harmonijskog reda. Na osnovu nejednakosti ( + /k) k < e (k N) imamo ( k > log + ) k Zato za parcijalne sume harmonijskog reda važi S n = odakle zaključujemo da je n k= k > n k= = log(n + ), DEFINICIJA 4. Neka je red + parcijalna suma. Razlika naziva se ostatak reda. ( log + ) = k (k N). n ( ) log(k + ) log k k= S n = +, tj. da red (4) divergira. u n konvergentan, čija je suma S i neka je S n njegova n-ta R n = S S n = k=n+ Na osnovu prethodnog, jasno je da svaku teoremu koja se odnosi na nizove možemo jednostavno preformulisati za redove, stavljajući u = S, u 2 = S 2 S, u 3 = S 3 S 2, itd. Tako na primer, opšti Cauchyev kriterijum za konvergenciju realnih nizova se može formulisati na sledeći način: TEOREMA. Red + broj n 0 takav da je u k u n konvergira ako i samo ako za svako ε > 0 postoji prirodan m ε (m n n 0). (5) k=n
3 3 Nejednakost (5) sleduje iz nejednakosti S m S n < ε (m n n 0 ) pri čemu je S m S n = (S m S m ) + (S m S m 2 ) + + (S n S n ) = u m + u m + + u n. TEOREMA 2. u n = 0. Ako je red + u n konvergentan, tada njegov opšti član teži nuli, tj. Obrnuto tvrd enje ne važi, što je evidentno iz Primera 2. Dakle uslov potreban, ali ne i dovoljan za konvergenciju reda. PRIMER 3. Red + + je divergentan, jer njegov opšti član ne teži nuli. TEOREMA 3. Ako su redovi + takod e konvergentan i važi u n i + u n = 0 je v n konvergentni, tada je red + (u n + v n ) (u n + v n ) = u n + v n (6) Dokaz. Neka su U n, V n i S n redom parcijalne sume redova + Tada je S n = U n +V n. Kako postoje granične vrednosti da postoji i granična vrednost S n = što je ekvivalentno sa (6). S n i da je (U n + V n ) = u n, + v n i + (u n + v n ). U n i V n, zaključujemo U n + 2. REDOVI SA NENEGATIVNIM ČLANOVIMA V n, Posmatraćemo redove kod kojih je u n () u n 0 (n =, 2,... ). (2) S obzirom na osobinu (2), niz parcijalnih suma {S n } n N reda () je neopadajući, što znači da taj niz konvergira ka nekoj nenegativnoj vrednosti S ili odred eno divergira ka +.
4 4 TEOREMA. Neka su + ) Ako je red + a n i + b n redovi sa nenegativnim članovima. Tada je: a n konvergentan i važi da je b n a n ( n N) onda je i red + konvergentan; 2) Ako red + b n divergira i važi da je b n a n ( n N) onda divergira i red + a n ; 3) Ako za redove + a n i + b n važi a n = p (p R p > 0) b n onda ovi redovi istovremeno konvergiraju ili divergiraju. b n Za utvrd ivanje konvergencije ili divergencije nekog reda mogu se koristiti neke osobine njegovog opšteg člana i na osnovu njih dobiti izvesna pravila koja se nazivaju kriterijumi konvergencije. TEOREMA 2. Neka je dat red sa pozitivnim članovima u n, u n > 0 (n =, 2,... ). (3) a) Ako postoje pozitivan broj q (0 < q < ) i prirodan broj n 0 takvi da je za svako n > n 0 tada je red (3) konvergentan. b) Ako postoji prirodan broj n 0 takav da je za svako n > n 0 tada je red (3) divergentan. u n+ u n q <. (4) u n+ u n, Dokaz. Neka je 0 < q <. Na osnovu (4), tj. u n0 + qu n0, u n0 +2 qu n0 + q 2 u n0,..., zaključujemo da je u n0 +k q k u n0 za svako k N. Kako je red k= + u n0 q k = u n0 q k = k= konvergentan na osnovu Teoreme, imamo da je i red q q u n 0 n=n 0 + u n konvergentan. Kako se red (3) razlikuje od ovog reda samo za konačan broj članova (tačnije, n 0 prvih članova) zaključujemo da je i red (3) konvergentan.
5 5 Obrnuto, ako postoji n 0 takvo da za svako n > n 0 važi u n+ /u n, tada imamo u n0 + qu n0, u n0 +2 u n0 + u n0, itd. Kako je u 0 > 0 može se zaključiti da opšti član reda ne teži nuli jer je ograničen pozitivnom konstantom sa donje strane. Zato red (3), u ovom slučaju, divergira. Ponekad je jednostavnije koristiti sledeću posledicu Teoreme 2. Inače, tvrd enje Teoreme 2 je poznato kao D Alembertov kriterijum. POSLEDICA. Neka je za red sa pozitivnim članovima (3) u n+ = d. u n Ako je d <, red (3) je konvergentan, a ako je d > red je divergentan. PRIMER. Za red n! imamo /(n + )! /n! = n + = 0, što znači da je red konvergentan. Štaviše, i red sa opštim članom u n = x n /n!, gde je x > 0, je konvergentan jer je u n+ x = u n n + = 0. Sledeća teorema daje tzv. Cauchyev kriterijum za konvergenciju redova. TEOREMA 3. Neka je dat red sa nenegativnim članovima u n u n 0 (n =, 2,... ). (5) a) Ako postoje pozitivan broj q (0 < q < ) i prirodan broj n 0 takvi da je za svako n > n 0 dati red je konvergentan. b) Ako postoji prirodan broj n 0 takav da je za svako n > n 0 tada dati red divergira. n un q <. (6) n un, Dokaz. Ako za n > n 0 važi (6), tada je u n q n. Kako je za 0 < q <, geometrijski red q n konvergentan, zaključujemo da je i dati red (5), takod e konvergentan.
6 6 Med utim, ako je n u n, tj. u n, za svako n > n 0, iz divergencije reda + sleduje divergencija reda (5). POSLEDICA 2. Neka za red sa nenegativnim članovima (5) postoji granična vrednost n un = d. Ako je d <, red (5) je konvergentan, a ako je d > red je divergentan. PRIMER 2. Za red n n dati red je konvergentan. imamo u n = /n n. Kako je n un = n = 0, Primetimo da i Cauchyev i D Alembertov kriterijum u slučaju d = ne daju informaciju o konvergenciji ili divergenciji posmatranog reda. U daljem tekstu, bez dokaza, navodimo neke strožije kriterijume za konvergenciju redova sa pozitivnim članovima. TEOREMA 4. Da bi red sa pozitivnim članovima (3) bio konvergentan, potrebno je i dovoljno da postoje pozitivan niz {γ n } i konstanta q tako da je γ n u n u n+ γ n+ > q > 0. (7) Ovaj kriterijum je poznat kao Kummerov kriterijum. Primetimo da u slučaju γ n = ovaj kriterijum daje D Alembertov kriterijum. Ako stavimo γ n = n, (7) se svodi na tj. Tako dobijamo Raabeov kriterijum. n u n u n+ (n + ) > q > 0, ( un ) n > + q >. u n+ TEOREMA 5. Red sa pozitivnim članovima (3) je konvergentan ako postoje pozitivna konstanta r > i prirodan broj n 0 tako da za n > n 0 važi ( un ) n > r >. u n+ U slučaju kada je za dovoljno veliko n red je divergentan. n ) < u n+ ( un
7 7 Sledeći kriterijum je poznat kao Cauchyev integralni kriterijum. TEOREMA 6. Neka je funkcija x f(x) definisana za svako x i neka je neprekidna, pozitivna i nerastuća na [, + ). Tada su red f(n) i nesvojstveni integral ekvikonvergentni. PRIMER 3. Za red + f(x) dx n p sa opštim članom u n = /n p, odgovarajuća funkcija je definisana sa f(x) = x p (x ). Dati nesvojstveni integral konvergira za p >, dok je za p divergentan. konvergentan za p >, odnosno divergentan za p. Dakle i dati red je 3. REDOVI SA ČLANOVIMA KOJI MENJAJU ZNAK I ALTERNATIVNI REDOVI Do sada smo razmatrali redove sa nenegativnim (ili pozitivnim) članovima. Sada ćemo proučiti numeričke redove sa članovima koji menjaju znak. Neka je takav red u n. () Pored ovog reda možemo razmatrati i red sa nenegativnim članovima u n, tj. Sa S n i A n označimo njihove parcijalne sume, tj. S n = i primetimo da je k= u n. (2) n n u k, i A n = u k k= S n = u + u u n u + u u n = A n.
8 8 Ovo znači da je red () uvek konvergentan kada konvergira red (2). Naravno, obrnuto ne važi, tj. kada je red () konvergentan, red (2) može biti konvergentan ili divergentan. DEFINICIJA. Za red () kažemo da je apsolutno konvergentan ako je red (2) konvergentan. DEFINICIJA 2. Za konvergentan red () kažemo da je semikonvergentan (uslovno konvergentan) ako je red (2) divergentan. ( ) PRIMER. Red n 2 n je apsolutno konvergentan jer je red njegovih apsolutnih članova konvergentan (geometrijski red sa količnikom /2). Dakle ovde imamo ( ) n 2 n = = 3 i 2 n = =. DEFINICIJA 3. Za realni numerički red + 0 (n =, 2,... ). u n kažemo da je alternativan ako je a n a n+ < Drugim rečima, članovi alternativnog reda naizmenično su pozitivni i negativni (ili obrnuto). Ne umanjujući opštost, možemo posmatrati samo slučaj kada je prvi član pozitivan, tj. u > 0. Tada se alternativni red može predstaviti u obliku Ovde smo uzeli da je u n = ( ) n a n (n N). ( ) n a n, a n > 0 (n N). (3) Za konvergenciju alternativnog reda (3) važi sledeći kriterijum, poznat kao Leibnizov kriterijum: TEOREMA. Ako apsolutne vrednosti članova reda (3) monotono opadaju i teže nuli, tj. a n > a n+ > 0 (n =, 2,... ) (4) i a n = 0, (5) alternativni red je konvergentan. U tom slučju ostatak reda R n je po apsolutnoj vrednosti manji od prvog zanemarenog člana i ima isti znak kao i taj član, tj. R n = S S n = λ( ) n a n+, 0 λ, gde su S i S n suma reda i n-ta parcijalna suma, respektivno.
9 Dokaz. Za alternativni red (3) posmatrajmo, najpre, parcijalne sume parnog indeksa, tj. koje se mogu predstaviti u obliku S 2n = 2n k= ( ) k a k, S 2n = (a a 2 ) + (a 3 a 4 ) + + (a 2n a 2n ). Na osnovu uslova (4), zaključujemo da je {S 2n } + pozitivan i monotono rastući niz. Kako je S 2n = a (a 2 a 3 ) (a 4 a 5 ) (a 2n 2 a 2n ) a 2n < a, vidimo da je ovaj niz i ograničen. Dakle, zaključujemo da je niz parcijalnih suma parnog indeksa konvergentan. Neka je S 2n = S. S druge strane, imamo da je S 2n+ = S 2n + a 2n+. Kako je zbog uslova (5), a 2n+ = 0, zaključujemo da i niz parcijalnih suma neparnog indeksa konvergira ka istoj vrednosti S, tj. S 2n+ = S 2n + a 2n+ = S. Dakle, niz parcijalnih suma {S} n N je konvergentan, ili, što je ekvivalentno, alternativni red (3) je konvergentan. Primetimo da za red (3) važe nejednakosti S 2n S S 2n (n =, 2,... ). (6) Prva nejednakost je očigledna, s obzirom da S predstavlja graničnu vrednost monotono rastućeg niza {S 2n } +. Da bismo dokazali drugu nejednakost u (6) dovoljno je primetiti da je S 2n+ = S 2n (a 2n a 2n+ ) < S 2n, tj. da je niz {S 2n } + monotono opadajući, čija je granica opet S. Na osnovu nejednakosti (6) dobijamo 0 S 2n S S 2n S 2n = a 2n, 0 S S 2n S 2n+ S 2n = a 2n+, 9 tj. R n = S S n = λ( ) n a n+, gde je 0 λ. PRIMER 2. Neka je dat red ( ) n. (7) n Prema Leibnizovom kriterijumu red je konvergentan, a za ostatak R n važi ocena R n < /(n + ). Kako su S = i S 2 = /2, uzimajući n = u (6) dobijamo ocenu za sumu reda (7), 2 S. Bolja ocena može se dobiti uzimajući n > u (6). Na primer, za n = 2 imamo 7/2 S 5/6.
10 0 Važi sledeća Riemannova teorema koju navodimo bez dokaza. TEOREMA 2. Ako je red () semikonvergentan, tada se premeštanjem njegovih članova može dobiti red čija suma ima proizvoljnu vrednost. FUNKCIONALNI REDOVI. KONVERGENCIJA FUNKCIONALNIH REDOVA Pod funkcionalnim redom podrazumevamo red u n (x), () gde je opšti član reda definisan pomoću realne funkcije realne promenljive u n : R R ili, opštije, pomoću kompleksne funkcije kompleksne promenljive u n : C C. Dakle, pretpostavimo da je opšti član reda dat pomoću funkcije u n : X X, gde je X = R ili X = C. Tipični primeri funkcionalnih redova su a n x n, a n (x α) n, a n cos nx + b n sin nx. (2) DEFINICIJA. Za red () kažemo da je konvergentan u tački x = x 0 X, ako konvergira numerički red + u n (x 0 ). Skup tačaka D X u kojima red () konvergira naziva se oblast konvergencije funkcionalnog reda (). DEFINICIJA 2. Za red () kažemo da je apsolutno konvergentan na D ako za svako x D red + u n (x) konvergira. Kao i kod numeričkih redova definišimo parcijalnu sumu reda S n (x) i ostatak reda R n (x) pomoću n S n (x) = u k (x) i R n (x) = u k (x), respektivno. k= k=n+ DEFINICIJA 3. Funkcionalni red () je konvergentan na D ako za svako ε > 0 postoji prirodan broj n 0 koji zavisi od ε i x, takav da je R n (x) < ε za svako n > n 0 = n 0 (ε, x). Granica niza parcijalnih suma za x D naziva se suma funkcionalnog reda i označava sa S n (x). Dakle, suma S(x) = S n(x) (x D) je funkcija definisana na skupu D.
11 PRIMER. Razmotrimo funkcionalni red x 2 ( + x 2 ) n = x2 + x2 + x 2 + x 2 ( + x 2 ) , (3) gde je x realan broj. Očigledno, za x = 0 svi članovi reda su jednaki nuli, pa je i njihova suma jednaka nuli. Dakle, za x = 0 red konvergira i S(0) = 0. S druge strane, za svako x 0, (3) predstavlja beskonačnu geometrijsku progresiju sa količnikom q < + x 2 <, pa se suma tog konvergentnog reda jednostavno nalazi S(x) = = + x 2. + x 2 Prema tome, red (3) je konvergentan za svako realno x i njegova suma je { 0, za x = 0, S(x) = + x 2, za x 0. Primetimo da je suma reda prekidna funkcija u tački x = 0. Na osnovu ovog primera zapaža se važna činjenica da neprekidnost članova konvergentnog funkcionalnog reda + u n (x) ne povlači, u opštem slučaju, neprekidnost njegove sume S(x), tj. S(x) S(x 0 ) ili što je isto x x 0 u n (x) u n (x). x x 0 x x 0 Dakle,,,prolaz esa kroz sumu nije moguć u opštem slučaju. 2. UNIFORMNA KONVERGENCIJA FUNKCIONALNIH REDOVA DEFINICIJA 2. Funkcionalni red () uniformno konvergira na D ako za svako ε > 0 postoji prirodan broj n 0 = n 0 (ε), nezavistan od x, takav da je R n (x) < ε za svako n > n 0 (ε) i svako x D. Za uniformnu konvergenciju funkcionalnog reda na segmentu [a, b] može se dati sledeća geometrijska interpretacija. Pretpostavimo da je red () uniformno konvergentan na [a, b]. Tada se uslov može izraziti u obliku R n (x) = S(x) S n (x) < ε
12 2 Slika što geometrijski znači da se za svako n > n 0 (zavisno samo od ε) parcijalne sume S n (x), tj. svi grafici krivih y = S n (x) nalaze u traci širine 2ε koja je opisana oko krive y = S(x) za svako [a, b] (videti sliku ). PRIMER 2. Posmatrajmo funkcionalni red f n (x), f n (x) = x + n 2, x [0, ]. x2 Za svako x [0, ] važi Startujući od nejednakosti zaključujemo da je odnosno f(x) = x + n 2 x 2 = 0. ( nx) 2 > 0, 2nx + n 2 x 2 > 0, + n 2 x 2 > 2nx, odakle sledi da je 2nx + n 2 x 2 <. Koristeći dobijenu nejednakost za svako ε > 0 procenjujemo f(x) f n (x) = x + n 2 x 2 = 2n 2nx + n 2 x 2 < 2n. Dakle dati funkcionalni red je uniformno konvergentan, jer je f(x) f n (x) < ε za svako n > n 0 = /(2ε). 3. OSOBINE UNIFORMNO KONVERGENTNIH REDOVA NA [a, b] Posmatraćemo funkcionalne redove oblika u n (x) () čiji su članovi neprekidne funkcije na segmentu [a, b], u oznaci u n C[a, b].
13 TEOREMA. Ako u n C[a, b] (n =, 2,... ) i ako red () uniformno konvergira na [a, b], tada je njegova suma x S(x) neprekidna funkcija na [a, b]. TEOREMA 2. Ako u n C[a, b] (n =, 2,... ) i ako red () uniformno konvergira na [a, b], tada se red može integraliti član po član u granicama od α do β, gde je a α < β b, tj. β α ( + ) u n (x) dx = ( β α ) u n (x) dx. TEOREMA 3. Ako u n C[a, b] (n =, 2,... ) i ako red () uniformno konvergira na [a, b], tada je za svako c [a, b] red 3 ( x c ) u n (t) dt (a x b) takod e uniformno konvergentan na [a, b] i njegova suma je jednaka suma reda (). TEOREMA 4. Neka u n C [a, b] (n =, 2,... ) i neka je red x c S(t) dt, gde je S(x) u n(x) uniformno konvergentan na [a, b]. Ako red () konvergira za neko c [a, b], tada on uniformno konvergira na segmentu [a, b] i može se diferencirati član po član, tj. ( + u n (x)) = u n(x). 4. STEPENI REDOVI Neka je {a n } n N dati niz kompleksnih brojeva i a dati kompleksan broj. Posmatraćemo funkcionalne redove kod kojih je opšti član u n : C C dat pomoću u n (z) = a n (z a) n. DEFINICIJA. Funkcionalni red oblika gde je z kompleksna promenljiva naziva se stepeni ili potencijalni red. a n (z a) n, () Ne umanjujući opštost dovoljno je posmatrati slučaj a = 0, tj. stepeni red + se smenom w = z a red () svodi na ovaj oblik. a n z n, jer
14 4 TEOREMA. Ako je red + a n z n konvergentan za z = c(c 0) tada on apsolutno konvergira za svako z za koje je z < c. Ako je red divergentan za z = d, tada je on divergentan i za svako z za koje je z > d. Prethodni rezultat je poznat kao Abelov stav. tvrd enje TEOREMA 2. Za svaki stepeni red postoji nenegativan broj R, 0 R < + sa osobinama: a) ako je z < R, red (2) je konvergentan; b) ako je z > R, red (2) je divergentan. Jedna posledica ovog stava je sledeće a n z n (2) DEFINICIJA 2. Nenegativni broj R iz prethodne teoreme naziva se poluprečnik konvergencije reda (2). Za R > 0 skup {z C z < R} naziva se krug konvergencije tog reda, dok se interval ( R, R), u slučaju realnog reda, naziva interval konvergencije reda. Za odred ivanje poluprečnika konvergencije stepenih redova mogu se koristiti D Alembertov i Cauchyev kriterijum. Dakle, za stepeni red (2) formirajmo graničnu vrednost količnika a n+ z n+ a n z n = z a n+. (3) a n Na osnovu D Alembertovog kriterijuma, red (2) je konvergentan ako je ova vrednost manja od jedinice, tj. ako je z < a n+, a n a divergentan ako je vrednost (3) veća od jedinice. Prema tome, ako postoji granična vrednost a n+/a n, tada je poluprečnik konvergencije reda (2) dat sa R = a n+, (4) a n pri čemu, ako je a n+/a n = +, imamo da je R = 0, a ako je a n+/a n = 0, imamo da je R = +. Slično, korišćenjem Cauchyevog kriterijuma nalazimo poluprečnik konvergencije reda (2) u obliku R = an, (5) sa istom konvergencijom u slučajevima kada je granična vrednost na desnoj strani u (5) jednaka + ili 0. n
15 5 PRIMER. Za stepeni red z n, na osnovu (4) nalazimo da je n! R = /(n + )! /n! = n + = +. PRIMER 2. Na osnovu (5) za red R = z n n dobijamo =. /n Red, dakle, konvergira za z <, a divergira za z >. Primetimo da za z = red divergira jer se svodi na harmonijski red, ali za z = on konvergira. Posmatrano samo na realnoj osi, oblast konvergencije reda je [, ). 5. ANALITIČKE FUNKCIJE DEFINICIJA. Za funkciju z f(z) kaže se da je analitička u tački a, ako postoji takvo R > 0, da se u krugu z a < R ona može predstaviti stepenim redom f(z) = n a n (z a) n ( z a < R). () TEOREMA. Neka je R > 0 poluprečnik konvergencije stepenog reda f(x) = a n (x a) n. (3) a) U intervalu (a R, a + R) funkcija x f(x) je proizvoljan broj puta diferencijabilna. Njeni izvodi se dobijaju diferenciranjem reda (3). b) Za svako x (a R, a + R) imamo x a f(t) dt = a n (x a) n+. n + TEOREMA 2. Ako je x f(x) analitička funkcija u tački x = a, tj. ako se u okolini ove tačke ona može predstaviti pomoću reda (3), sa poluprečnikom R > 0, tada je a n = f (n) (a) n! (n = 0,,... ), (4)
16 6 tj. f(x) = f (n) (a) (x a) n. n! Dokaz. Stavljajući x = a, iz (3) dobijamo f(a) = a 0. Ako sada diferenciramo obe strane u (3) i opet stavimo x = a dobijamo f (a) = a. Nastavljajući proces diferenciranja i stavljajući uvek x = a nalazimo redom f (a) = 2!a 2, f (a) = 3!a 3,..., f (n) (a) = n!a n,.... DEFINICIJA 2. Neka je funkcija x f(x) definisana u okolini tačke x = a i neka u toj okolini ima izvode proizvoljnog reda. Tada se stepeni red naziva Taylorov red te funkcije u tački x = a. NAPOMENA. Za a = 0, (5) se naziva Maclaurinov red. f (n) (a) (x a) n (5) n! TEOREMA 3. Ako postoji pozitivna konstanta M takva da je za svako x (a δ, a + δ) f (n) (x) M (n = 0,,... ) tada se funkcija x f(x) maže razviti na (a δ, a + δ) u Taylorov red f(x) = f (n) (a) (x a) n ( x a < δ). n! 6. RAZVOJ NEKIH FUNKCIJA U TAYLOROV RED. Razvoj eksponencijalne funkcije Za eksponencijalnu funkciju x f(x) = e x imamo da je f (n) (x) = e x (n = 0,,... ). Izaberimo a = 0 i proizvoljno fiksirano δ > 0. Tada za svako x ( δ, δ) i svako n = 0,,... imamo 0 < f (n) (x) = e δ, što znači da su uslovi Teoreme 3 zadovoljeni. Kako je f (n) (0) =, odgovarajući razvoj eksponencijalne funkcije je e x = x n n! = + x + x2 2! + x3 3! Kako je δ proizvoljno, razvoj () važi za svako x R. Poluprečnik konvergencije dobijenog reda je R = +.
17 7 2. Razvoj funkcija sin x i cos x Za funkciju x sin x imamo ( f (n) (x) = sin x + nπ 2 ) (n = 0,,... ), pa je f (n) (x) za svako n i svako x R. Kako je f (n) (0) = sin(nπ/2), tj. f (n) (0) = 0 (n = 2k) i f (n) (0) = ( ) k (n = 2k + ), dobijamo Taylorov razvoj sin x = k=0 ( ) k x 2k+ (2k + )! (x R). Slično za funkciju x cos x dobijamo cos x = k=0 ( ) k x 2k (2k)! (x R). Poluprečnik konvergencije ovih redova je R = Binomni red Neka je f(x) = ( + x) α, α R Taylorov razvoj ove funkcije u tački x = 0 dovodi do tzv. binomnog reda ( ) α ( + x) α = x n, n čiji je poluprečnik konvergencije R =. Razvoj konvergira za x (, ). TRIGONOMETRIJSKI REDOVI. ORTOGONALNOST TRIGONOMETRIJSKOG SISTEMA DEFINICIJA. Funkcionalni red oblika naziva se trigonometrijski red. 2 a 0 + a n cos nx + b n sin nx () Dakle, trigonometrijski red je baziran na trigonometrijskom sistemu funkcija T = {, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,..., cos nx, sin nx,... }, (2) koje su 2π-periodične. Za razmatranje takvog sistema dovoljno je uzeti bilo koji segment dužine 2π, na primer [a, a + 2π]. Uobičajeno je da se uzima a = π ili a = 0. U daljem tekstu opredeljujemo se za a = π, tj. za simetrični segment [ π, π].
18 8 Ako uvedemo skalarni proizvod (f, g), pomoću (f, g) = f(x)g(x) dx (f, g T ), π možemo dokazati da je T ortogonalan sistem, pri čemu koristimo trigonometrijske formule sin nx cos mx = [sin(n + m)x + sin(n m)x], 2 sin nx sin mx = [cos(n m)x cos(n + m)x], 2 cos nx cos mx = [cos(n + m)x + cos(n m)x]. 2 NAPOMENA. Skup vektora {t, t 2,... } je ortogonalan ako je { 0, i j, (t i, t j ) = t i 2, i = j. 2. OSOBINE TRIGONOMETRIJSKOG REDA I FOURIEROV RED TEOREMA. Ako su numerički redovi a n i b n konvergentni, tada je trigonometrijski red () uniformno i apsolutno konvergentan za svako x R. TEOREMA 2. [ π, π], tj. Neka je f(x) suma uniformno konvergentnog reda () na segmentu f(x) = 2 a 0 + a n cos nx + b n sin nx. (3) Tada se koeficijenti u (3) mogu izraziti u obliku a n = f(x) cos nx dx (n = 0,,... ), (4) π π b n = f(x) sin nx dx (n =, 2,... ). (5) π π Dokaz. S obzirom na pretpostavku da red (3) konvergira uniformno na [ π, π], a svaki njegov član je neprekidna funkcija na [ π, π] na osnovu Teoreme (osobine uniformno konvergentnih redova), zaključujemo da je njegova suma f(x) neprekidna funkcija na [ π, π]
19 9 i da se red može integraliti član po član. Dakle, π f(x) dx = = 2 a 0 π π ( 2 a dx + = 2 a 0(, ) + a n π ) a n cos nx + b n sin nx dx cos nx dx + b n π sin nx dx a n (, cos nx) + b n (, sin nx) = πa 0. Ovim je dokazana formula za koeficijent a 0. Ako sada red (3) pomnožimo sa cos kx (k =, 2,... ), dobijamo red f(x) cos kx = 2 a 0 cos kx + a n cos nx cos kx + b n sin nx cos kx, koji je, takod e, uniformno konvergentan na [ π, π], s obzirom na ograničenost funkcije cos kx ( cos kx ). Integracijom ovog reda član po član i korišćenjem svojstva ortogonalnosti kao u prethodnom slučaju, za k =, 2,..., dobijamo π f(x) cos kx dx = a k (cos kx, cos kx) = πa k, tj. (4). Slično, množenjem (3) sa sin kx (k =, 2,... ) i integracijom dobijenog reda nalazimo tj. (5). π f(x) sin kx dx = a k (sin kx, sin kx) = πb k, DEFINICIJA 2. Kažemo da je funkcija f apsolutno integrabilna na [ π, π], ako postoji π integral f(x) dx kao Riemannov ili nesvojstven. π DEFINICIJA 3. Neka je funkcija f apsolutno integrabilna na [ π, π] i neka su koeficijenti a n i b n odred eni pomoću (4) i (5). Za trigonometrijski red (3) kažemo da je Fourierov red funkcije f i pišemo f(x) 2 a 0 + Za brojeve a n i b n kažemo da su Fourierovi koeficijenti funkcije f. a n cos nx + b n sin nx. (6) Napomenimo da oznaka ne predstavlja asimptotsku jednakost, već ukazuje da funkciji f odgovara njen Fourierov red. U slučaju kada je funkcija f parna ili neparna, njen Fourierov red dobija jednostavniji oblik. Na osnovu Teoreme 2 zaključujemo:
20 20 a) Ako je f parna funkcija, tj. f( x) = f(x), imamo b n = 0, a n = 2 π f(x) cos nx dx (n = 0,,... ), b) Ako je f neparna funkcija, tj. f( x) = f(x), imamo 0 a n = 0, b n = 2 π f(x) sin nx dx (n =, 2,... ). 3. FOURIEROV RED NA PROIZVOLJNOM SEGMENTU 0 Razmotrimo najpre slučaj Fourierovog reda funkcije t f(t) koja je apsolutno integrabilna na segmentu [ d, d]. Smenom x = πt/d, segment [ d, d] preslikava se na segment [ π, π], tako da je moguće koristiti oblik Fourierovog reda (6). Na taj način dobijamo f(t) 2 a 0 + a n cos nπt d + b n sin nπt d, (7) gde su Fourierovi koeficijenti dati sa a n = d b n = d d d d d f(t) cos nπt d f(t) sin nπt d dt (n = 0,,... ), dt (n =, 2,... ). Obično se u primenama u fizici i tehnici uzima d = T/2, gde je T period, a π/d = 2π/T = ω kružna učestanost. U tom slučaju prethodne formule postaju a n = 2 T T/2 f(t) cos nωt dt (n = 0,,... ), T/2 b n = 2 T T/2 f(t) sin nωt dt (n =, 2,... ). T/2 Fourierov red (7) dobija oblik f(t) 2 a 0 + a n cos nωt + b n sin nωt. Ako uvedemo oznake a n = A n cos ϕ n, b n = A n sin ϕ n,
21 2 gde su red se svodi na A n = a 2 n + b 2 n, f(t) 2 A 0 + tan ϕ n = b n a n, A n cos(nωt ϕ n ). NAPOMENA. Razvijeni oblik dobijenog reda je f(t) 2 A 0 + A cos(ωt ϕ ) + A 2 cos(2ωt ϕ 2 ) + A 3 cos(3ωt ϕ 3 ) U primenama u elektrotehnici, konstantni član A 0 /2 predstavlja tzv. jednosmernu komponentu. Član A cos(ωt ϕ ) je tzv. prvi harmonik, sa amplitudom A i faznim pomakom ϕ. Ostali članovi su tzv. viši harmonici. U najopštijem slučaju kada je funkcija x f(x) apsolutno integrabilna na segmentu [a, b] Fourierov red se može izraziti u obliku f(x) 2 a 0 + gde su Fourierovi koeficijenti dati sa a n cos 2nπx b a + b n sin 2nπx b a, a n = 2 b f(x) cos 2nπx dx (n = 0,,... ), b a b a a b n = 2 b f(x) sin 2nπx dx (n =, 2,... ). b a b a a 4. PERIODIČNO PRODUŽENJE FUNKCIJE I KONVERGENCIJA FOURIEROVOG REDA Pretpostavimo sada da je f apsolutno integrabilna funkcija na [ π, π] i da je njen Fourierov red dat sa (6). Ako Fourierov red konvergira na nekom skupu, onda on očigledno konvergira ka nekoj (2π)-periodičnoj funkciji. Prirodno se može postaviti pitanje periodičkog produženja funkcije f sa periodom 2π. Ovo je med utim moguće samo ako je f( π) = f(π). Ako ovaj uslov nije ispunjen, (2π)-periodičko produženje funkcije f, u oznaci f, konstruiše se tako da za x [ π, π) imamo f(x + 2kπ) = f(x) (k = 0, ±, ±2,... ). () Dakle, ukoliko je f( π) f(π), na osnovu (), za (2π)-periodičnu funkciju f imamo f(π) f(π). Inače, Fourierovi redovi za f i f se poklapaju, s obzirom da se Fourierovi koeficijenti izračunavaju istim formulama.
22 22 Slika 2. Slika 3. Pri ovakvom periodičkom produženju funkcije f sa poluintervala [ π, π) na R može se desiti da funkcija f nije neprekidna u tačkama ±π, ±3π,..., i u slučajevima kada je f neprekidna funkcija na krajevima segmenta, tj. u tačkama ±π (videti slike 2 levo i 3). Samo ako je pritom f( π) = f(π) (slika 2 desno), periodična funkcija f je neprekidna u tačkama ±π (slika 4). Često se dobijena periodična funkcija f označava istim simbolom f kao i originalna funkcija f. Slika 4.
23 23 PRIMER. Neka je funkcija x f(x) definisana na segmentu [0, π] pomoću f(x) = x (videti sliku 5 levo). Slika 5. Periodičnim produženjem ove funkcije dobijamo funkciju sa periodom π (slika 6). Slika 6. Korišćenjem formula za odred ivanje Fourierovih koeficijenata na proizvoljnom segmentu, nalazimo a 0 = 2 π a n = 2 π b n = 2 π 0 0 Tako, Fourierov red postaje 0 x dx = π, x cos 2nx dx = 2 ( x sin 2nx + ) π 2n 2n cos 2nx π = 0, 0 x sin 2nx dx = 2 ( x cos 2nx + ) π 2n 2n sin 2nx π = 0 n. x π 2 + sin 2nx, n koji za x (0, π) konvergira ka vrednosti x. U tačkama x = 0 i x = π sve parcijalne sume ovog reda su jednake π/2. Primetimo da se za x = π/4 dobijeni Fourierov red svodi na numerički red k= ( ) k 2k = π 4. Data funkcija f može se periodički produžiti tako da je to produženje neparna, odnosno parna funkcija. Naime, funkciju f možemo najpre produžiti na segment [ π, 0], tako da dobijemo neparnu (slika 5 sredina) ili parnu funkciju (slika 5 desno), a zatim odred ujemo odgovarajuće (2π)-peroidično produženje na R.
24 24 Slika 7. Slika 8. Na slici 7 je prikazano neparno, a na slici 8 parno produženje. a) U slučaju neparnog produženja, koeficijenti a n su jednaki nuli, dok su koeficijenti b n dati sa tj. b n = 2 π 0 x sin nx dx = 2 π ( x cos nx + ) n n sin nx π, 0 b n = 2 ( ) π cos nπ π πn = 2 0 n ( )n (n =, 2,... ). Odgovarajući sinusni red konvergira ka x za svako x ( π, π), tj. x = 2 ( ) n n sin nx. Za x = ±π red konvergira ka nuli. Primetimo da su tada sve parcijalne sume jednake nuli. b) Kod parnog produženja funkcije imamo b n = 0 (n =, 2,... ), a n = 2 π 0 a 0 = 2 π 0 x dx = π, x cos nx dx = 2 π (x sin nx + ) n n cos nx π. 0 Ovo daje tj. a 2k = 0, a n = 2 ( ( ) n n 2 ) (n =, 2,... ), π 4 a 2k = (k =, 2,... ). π(2k ) 2
25 25 Na taj način dobijamo kosinusni red za funkciju x x (slika 5 desno) x = π 2 4 π k= cos(2k )x (2k ) 2 ( π x π). Za x = 0 dobijamo numerički red k= (2k ) 2 = π2 8. Napomenimo, na kraju, da se pomoću Fourierovih redova, specificirajući vrednost za x, mogu dobiti sume mnogih numeričkih redova.
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραf n z n, (2) F (z) = pri čemu se pretpostavlja da red u (2) konvergira bar za jednu konačnu vrednost kompleksne promenljive Z(f n ) = F (z).
Z-TRANSFORMACIJA Laplaceova transformacija je primer integralne transformacije koja se primenjuje na funkcije - originale. Ova transformacija se primenjuje u linearnim sistemima koji su opisani diferencijalnim
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)
Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότερα1. Nizovi - definicija i osnovni pojmovi
. Nizovi - definicija i osnovni pojmovi Definicija i osnovni pojmovi Definicija... Svako preslikavanje a : N R, skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom. Broj koji se ovim
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα3.1. Granične vrednosti funkcija
98 3. FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST 3.1. Granične vrednosti funkcija 3.1.1. Definicija i osnovne osobine Da bismo motivisali definiciju granične vrednosti funkcija, dajemo dva primera. Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραdr L. Stefanović, mr B. Rand elović, mr M. Matejić TEORIJA REDOVA ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006.
dr L. Stefanović, mr B. Rand elović, mr M. Matejić TEORIJA REDOVA ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 6. dr Lidija Stefanović, mr Branislav Rand elović, mr Marjan Matejić TEORIJA REDOVA ZA STUDENTE
Διαβάστε περισσότεραUvod. Aksiome polja realnih brojeva. Supremum skupa.
АНАЛИЗА I припрема испита Оно што следи представља белешке које сам правио непосредно пред полагање усменог дела испита (јул, 2002. године). Због тога нису потпуне, и може понешто бити нетачно, или пропуштено.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότερα1. Funkcije više promenljivih
1. Funkcije više promenljivih 1. Granične vrednosti funkcija više promenljivih Definicija 1. Funkcija f : D( R n R ima graničnu vrednost u tački (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n D i jednaka je broju α R ako važi
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραPOGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije
Διαβάστε περισσότεραPrediktor-korektor metodi
Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραRešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije
Glava 1 Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije 1.1 Funkcionalni redovi. Potencijalni redovi Neka su date realne funkcije f 0 x), f 1 x),, f k x),,
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku
10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότερα