3.1. Granične vrednosti funkcija
|
|
- Νύξ Παπαστεφάνου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 98 3. FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST 3.1. Granične vrednosti funkcija Definicija i osnovne osobine Da bismo motivisali definiciju granične vrednosti funkcija, dajemo dva primera. Posmatrajmo funkciju x f(x) = sin x. Funkcija f je definisana za svako x x 0. Šta se dešava sa vrednostima f(x) kada se x neograničeno približava nuli? Crtanjem grafika posmatrane funkcije uz pomoć računara, za x ( 4, 4), dobijamo sliku 11a. Slika 11. Grafici funkcija dobijeni crtanjem pomoću računara: a) y = sinx/x, b) y = sin(1/x). Sa slike stičemo utisak da, ako bi se posmatrač kretao duž grafika funkcije tako da mu se x-koordinata neograničeno približava nuli, njegova y-koordinata bi se neograničeno približavala jedinici. Kaže se da je limes ove funkcije kad x 0 (kad x teži nuli) jednak 1. Na slici 11b prikazan je crtež funkcije y = sin 1 x, koja takod e nije definisana za x = 0. Ako bi se posmatrač kretao po grafiku ove funkcije tako da mu se x-koordinata približava nuli, njegova y-koordinata bi beskonačno mnogo puta opisivala sve vrednosti izmed u 1 i 1. U ovom slučaju, kažemo da f(x) nema limes, ili da divergira, kad x 0. Važno je odmah primetiti da limes, odnosno nepostojanje limesa ne zavisi od same vrednosti funkcije u tački u kojoj se traži limes. U stvari, u oba prethodna primera, funkcija nije definisana u x = 0, ali ako bismo je definisali na potpuno proizvoljan način (recimo, f(0) = 0, ili f(0) = 10), u prvom slučaju limes bi i dalje bio jednak 1, a u drugom ne bi postojao. Takod e, limes ne zavisi od vrednosti funkcije daleko od tačke u kojoj se traži limes. Prema tome, Limes funkcije u nekoj tački ne zavisi od vrednosti funkcije u toj tački. Limes funkcije zavisi od vrednosti funkcije u okolini tačke. Limes funkcije ne zavisi od vrednosti funkcije van bilo koje okoline tačke u kojoj se limes traži.
2 3.1. GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA 99 Da bi zamišljeni posmatrač mogao da, kretanjem po grafiku funkcije neograničeno približi svoju x-koordinatu tački a, u kojoj se traži limes, nije neophodno da je funkcija definisana u tački a. Med utim, neophodno je da je ona definisana u nekoj, proizvoljno maloj, okolini tačke a (osim eventualno u samoj tački a). Drugim rečima, to znači da možemo da govorimo o limesu funkcije f(x) kad x a jedino ako je a tačka nagomilavanja domena funkcije f. Na primer, proizvoljan niz {x n } možemo shvatiti i kao funkciju čiji je domen skup prirodnih brojeva, N. Kako ovaj skup ima samo jednu tačku nagomilavanja, a to je +, možemo da definišemo samo limes niza {x n } kad n +. Nema smisla govoriti o limesu niza kad n 1/2, na primer. Formalna definicija limesa funkcije je sledeća. Definicija 3.1. Neka je funkcija f definisana na skupu D R i neka je a tačka nagomilavanja skupa D. Kažemo da funkcija f ima graničnu vrednost A kad x teži ka a, u oznaci f(x) = A ako važi lim (1) ( ε > 0)( δ > 0)( x D) 0 < x a < δ = f(x) A < ε. Navedena definicija može se iskazati na sledeće ekvivalentne načine: lim f(x) = A ako i samo ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 tako da je f(d (a δ,a + δ) \ {a}) (A ε,a + ε). lim f(x) = A ako i samo ako za svaku okolinu V tačke A postoji okolina U tačke a tako da je f(d U \ {a}) V. Za primenu uslova definicije 3.1 važe primedbe analogne onima koje smo naveli iza definicije granične vrednosti niza. Znaci nejednakosti < mogu se zameniti sa, a uslov definicije može se proveriti samo za ε < ε 0 (odnosno, za malo ε) ako je to! lakše. Pored toga, umesto f(x) A < ε, dovoljno je pokazati da je f(x) A < Cε, gde je C konstanta. Tehnika dokazivanja je slična kao kod nizova. I ovde nejednakosti imaju važnu ulogu. Primer 32. Dokazati, primenom definicije 3.1, da je lim sinx x = 1 Dokaz. Neka je f(x) = sin x. Može se dokazati (teorema 1.6 i zadatak??) da za x x (0, π/2) važe nejednakosti sin x < x < tg x. Deljenjem sa sin x dobijamo da je 1 < x / sin x < 1/ cos x. Kako su x, sin x i cos x pozitivni za x < π/2, imamo da je (2) cos x < sin x x < 1, odnosno 0 < 1 sin x x < 1 cos x.!
3 FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST Neka je ε bilo kakav pozitivan broj. Iz nejednakosti 2 zaključujemo da je sin x x 1 < ε kad god je 1 cos x < ε, odnosno, cos x > 1 ε. Kako je nejednakost cos x > 1 ε ispunjena ako i samo ako je x < arccos(1 ε), zaključujemo da za svako dato ε (0, 1) postoji δ = arccos(1 ε) takvo da je f(x) 1 < ε za svako x 0 za koje je x < δ. Prema tome, uslov iz definicije je zadovoljen, pa je zaista lim f(x) = 1, kao što smo to naslutili sa slike. Primer 33. Dokazati da ne postoji granična vrednost funkcije g(x) = sin 1 x, kad x 0. Dokaz. U svakoj δ-okolini nule postoji beskonačno mnogo brojeva oblika x n = 2/nπ, u kojima funkcija uzima vrednosti g(x n) = sin nπ { 1, 0, 1}. 2 Ako bi postojao lim g(x) = A, onda bi se u svakoj ε-okolini broja A nalazili brojevi 1, 0 i 1, što je nemoguće. Dakle, granična vrednost ne postoji. U nekim slučajevima uslov (1) u definiciji 3.1 ispunjen je samo za x < a ili samo za x > a. Tada govorimo o jednostranim levim ili desnim graničnim vrednostima. Definicija 3.2. Neka je funkcija f definisana na skupu D R i neka je a tačka nagomilavanja skupa D takva da se u svakoj njenoj okolini nalazi neko x D sa leve strane tačke a (tj. x < a). Ako važi ( ε > 0)( δ > 0)( x D) a δ < x < a = f(x) A < ε, tada kažemo da je realan broj A leva granična vrednost funkcije f kad x a i pišemo lim f(x) = A. Analogno, ako je a tačka nagomilavanja skupa D takva da se u svakoj njenoj okolini nalazi neko x A, x > a i ako važi ( ε > 0)( δ > 0)( x D) a < x < a + δ = f(x) A < ε, tada kažemo da je A desna granična vrednost funkcije f kad x a, u oznaci lim + f(x) = A. Za levu, odnosno desnu graničnu vrednost, ukoliko one postoje, upotrebljavamo i oznake f(a ) def = lim f(x), f(a + ) def = lim f(x). +! Nije teško videti da obostrana granična vrednost (u smislu definicije 3.1) postoji ako i samo ako postoje leva i desna granična vrednost i ako su te te granične vrednosti med usobno jednake.
4 3.1. GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA 101 Primer 34. Neka je funkcija H definisana definisana sa 0, x < 0, H(t) = 1/2, x = 0, 1, x > 0 Jednostavno se proverava da je H(0 ) = lim H(x) = 0, H(0 + ) = lim H(x) = 1. Ova funkcija je jedna od varijanti tzv. Heavisideove funkcije. Definicija 3.1 odnosi se na slučaj kada su a i A realni brojevi. S obzirom da smo uveli pojam okoline beskonačnosti (na strani 52), treća ekvivalentna definicija u 3.1 može se primeniti i u slučaju kada je a ili A bekonačno. Definicija 3.3. Kažemo da je granična vrednost funkcije f kad x a jednaka +, u oznaci lim f(x) = + ako je a tačka nagomilavanja domena D funkcije f i ako važi ( K > 0)( δ > 0)( x D) 0 < x a < δ = f(x) > K. Kažemo da je granična vrednost funkcije f kad x + jednaka A R, u oznaci f(x) = A ako domen D funkcije f nije ograničen odozgo i ako važi lim x + ( ε > 0)( B > 0)( x D) x > B = f(x) A < ε. Na analogan način definišu se leva i desna beskonačna granična vrednost, granična vrednost u itd. 1 Primer 35. Neka je f(x) =. Za K > 0, nejednakost f(x) > K (1 x) 2 ekvivalentna je sa x 1 < 1/ K, pa je lim f(x) = +. Ovde se može primeniti x 1 1 i simboličko pravilo koje smo načili kod nizova: = Posmatrajmo sada grafike na slici 12. Grafik na slici 12a) je neprekidan, u smislu da posmatrač može da se kontinuirano kreće po njemu. Grafik na slici 12b) ima prekide: posmatrač ne bi mogao, kretanjem duž grafika, da iz tačke A dod e do tačke B. Pojam neprekidnosti formalizujemo u sledećoj definiciji.
5 FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST Slika 12. a) Grafik neprekidne funkcije; b) Grafik funkcije koja ima prekide. Definicija 3.4. Neka je funkcija f definisana na skupu D R i neka je a D tačka nagomilavanja skupa D. Za funkciju f kažemo da je neprekidna u tački a ako je (3) lim f(x) = f(a). Ekvivalentno, funkcija f je neprekidna u tački a ako važi (4) ( ε > 0)( δ > 0)( x D) x a < δ = f(x) f(a) < ε. Uslov (3) odražava intuitivnu predstavu o neprekidnosti grafika funkcije. Osobina neprekidnosti je lokalno svojstvo, u smislu da je odred eno ponašanjem funkcije u nekoj okolini tačke. Ako je funkcija neprekidna u svakoj tački nekog skupa A, kažemo da je neprekidna na skupu A. Primer 36. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne na svom domenu. Dajemo dokaz za eksponencijalnu, logaritamsku i sinusnu funkciju. Eksponencijalna funkcija: Neka su x i a proizvoljni realni brojevi i neka je 0 < ε < e a. Imamo da je e x e a < ε e a ε < e x < e a + ε log(e a ε) < x < log(e a + ε). Otvoreni interval sa krajnjim tačkama log(e a ± ε) sigurno sadrži broj a, jer je, zbog monotonosti funkcije x log x, log(e a ε) < log e a < log(e a + ε). To znači da postoji neko δ > 0 takvo da je (a δ, a+δ) (log(e a ε), log(e a +ε)). Na osnovu izvedenog, zaključujemo da važi x (a δ, a + δ) = x (log(e a ε), log(e a + ε)) = e x e a < ε, pa je funkcija x e x neprekidna u svakoj tački a R. Logaritamska funkcija: Neka su x i a proizvoljni pozitivni brojevi i neka je ε > 0. Tada je log x log a < ε log a ε < log x < log a + ε e log a ε < x < e log a+ε e ε a < x < e ε a.
6 3.1. GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA 103 Isto kao pod 1, može se pokazati da interval (e ε a, e ε a) sadrži neki interval (a δ, a+δ); za takvo δ imamo da je log x log a < ε za svako x > 0 u intervalu (x δ, x + δ), što, prema definiciji znači da je funkcija x log x neprekidna u tački a > 0. Sinusna funkcija: Neka su x i a proizvoljni realni brojevi. Prema teoremi 1.6 na strani 8, važi nejednakost sin x sin a x a. Iz ove nejednakosti direktno sleduje neprekidnost funkcije x sin x u svakoj realnoj tački a. Naime, ako je x a < ε, onda je, prema navedenoj nejednakosti i sin x sin a < ε, pa je uslov definicije ispunjen za δ = ε. U klasičnoj Newtonovoj mehanici isključivo neprekidne funkcije se pojavljuju u matematičkim modelima. Zavisnost bilo koje fizičke veličine od vremena je neprekidna funkcija. Makroskopski posmatrano, u prirodi se ništa ne dogad a u,,skokovima, tako da se fizičke promene mogu opisati samo neprekidnim funkcijama. Med utim, ako se priroda modelira na nivou atoma, kvantna mehanika pokazuje da se promene dešavaju u diskretnim vremenskim trenucima i da funkcije koje ih opisuju nisu neprekidne. Ako funkcija nije neprekidna u nekoj tački a svog domena, kažemo da u toj tački ima prekid. Ako je a tačka nagomilavanja domena, funkcija f ima prekid u a ako i samo ako je lim f(x) f(a). Ova relacija može se ostvariti na dva načina: (i) Postoji lim f(x), ali nije jednak f(a); (ii) Ne postoji lim f(x). To dovodi do sledeće klasifikacije tačaka prekida. Definicija 3.5. Neka je funkcija f definisana na skupu D i neka je a D tačka nagomilavanja skupa D. Kažemo da funkcija f ima u tački a prekid prve vrste sleva ako postoji konačan lim f(x) ali nije jednak f(a). Analogno se definiše prekid prve vrste zdesna. Ako postoji konačan lim f(x) f(a) (odnosno ako su leva i desna granična vrednost funkcije x f(x) kad x a jednake i konačne, ali nisu jednake vrednosti f(a)) kažemo da u tački a funkcija f ima otklonjiv prekid. Ovo je poseban slučaj prekida prve vrste. Ako leva granična vrednost funkcije x f(x) ne postoji ili je beskonačna, kažemo da funkcija f ima u tački a prekid druge vrste sleva. Analogno se definiše i prekid druge vrste zdesna. Za funkciju koja nema prekid u tački a sa jedne strane, kažemo da je neprekidna sa te strane (sleva ili zdesna). Za funkciju koja je definisana na zatvorenom intervalu [a,b] kaže se da je neprekidna na tom intervalu ako je neprekidna u svakoj tački iz (a,b), neprekidna zdesna u a i neprekidna sleva u b.
7 FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST Termin,,tačka prekida koristi se i za one tačke nagomilavanja domena u kojima funkcija nije definisana. Na primer, za funkciju f(x) = 1/x kažemo da ima prekid druge vrste u nuli, iako nije definisana za x = 0. Primer 37. Funkcija f definisana sa f(x) = sinx/x (x 0) ima otklonjiv prekid u nuli, jer je lim f(x) = 1. Ako se funkcija definiše tako da je f(0) = 1, ona postaje neprekidna. Primer 38. Neka je funkcija x χ(x) definisana sa 1 { 1, x Q χ(x) = 0, x Q Kako se u svakoj okolini racionalnog broja nalazi beskonačno mnogo iracionalnih brojeva, i u svakoj okolini iracionalnog broja ima beskonačno mnogo racionalnih, ne postoji lim χ(x) ni za jedno a R. Dakle, funkcija χ ima prekid druge vrste 2 u svakoj tački x R. Sledeća teorema tvrdi da monotona funkcija ne može imati prekide druge vrste, tj. da u svakoj tački u kojoj je definisana ima limes i sa leve i sa desne strane. Ideja dokaza je ista kao u dokazu teoreme 2.12 o konvergenciji monotonog i ograničenog niza. Teorema 3.1. Funkcija koja je definisana i monotona na intervalu [a, b] može na tom intervalu imati samo prekide prve vrste i to najviše prebrojivo mnogo takvih prekida. Dokaz. Neka je funkcija f definisana u svim tačkama intervala [a, b] i monotono neopadajuća na tom intervalu. Neka je c proizvoljna tačka intervala [a, b]. Pokazaćemo da u tački c postoji i desni i levi limes funkcije f. Zbog monotonosti funkcije f, skup vrednosti funkcije na [a, c) ograničen je odozgo (sa f(c)), pa postoji konačan sup f(x) = L. x [a,c) Prema osobini supremuma, za svako ε > 0 postoji neko x 0 [a, c) takvo da je L ε < f(x 0) L. Zbog monotonosti funkcije f, imamo da je f(x) > L ε i za svako x x 0. Uz oznaku δ = c x 0, dokazali smo da važi ( ε > 0)( δ > 0)( x [a, c)) c δ < x < c = L ε < f(x) < L, što znači da je f(c ) = lim f(x) = L = sup f(x). x c x [a,c) Na isti način dokazuje se da je f(c +) = lim f(x) = inf f(x). x c + x (c,b] 1 Grčko slovo χ čita se kao,,hi. 2 Ova funkcija je poznata pod nazivom Dirichletova funkcija. Njen grafik se ne može nacrtati. Postoje i neprekidne funkcije čiji se grafik ne može nacrtati!
8 3.1. GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA 105 Dakle, ukoliko funkcija ima prekid u proizvoljnoj tački c [a, b], to može biti samo prekid prve vrste. Pri tome je očigledno f(c ) < f(c +) i intervali oblika (f(c ), f(c +)) su disjunktni za različite tačke prekida c (zbog monotonosti funkcije f). U svakom od tih intervala izaberimo po jedan racionalan broj i definišimo preslikavanje kojim se tačka prekida c preslikava u izabrani racionalni broj. Kako su intervali disjunktni, izabrani racionalni brojevi su med usobno različiti, pa je opisano preslikavanje bijekcija skupa tačaka prekida u neki podskup skupa racionalnih brojeva. Kako je skup racionalnih brojeva prebrojiv, zaključujemo da je skup tačaka prekida konačan ili prebrojiv. U slučaju nerastuće funkcije, dokaz je analogan Veza izmed u graničnih vrednosti nizova i funkcija Teorema 3.2. Neka je a R tačka nagomilavanja domena D funkcije f. Tada je lim f(x) = A (A R) ako i samo ako je lim f(x n) = A za svaki niz {x n } n + takav da je lim x n = a i x n D \ {a} za svako n. Dokaz. Dokazaćemo teoremu za a, A R. Slučajevi kada su a ili A beskonačni dokazuju se analogno. Neka je lim f(x) = A. Fiksirajmo ε > 0 i neka je δ > 0 takvo da je f(x) A < ε za svako x a u δ-okolini tačke a. Ako je {x n} proizvoljan niz realnih brojeva koji konvergira ka a, tada se skoro svi članovi niza {x n} nalaze u δ-okolini tačke a, pa prema tome za skoro sve članove niza {f(x n} važi da je f(x n) A < ε. Ovim je dokazano da je lim f(x n) = A. Obrnuto, neka je lim f(x n) = A za svaki niz {x n} koji ispunjava navedene uslove. Pretpostavimo, suprotno od onoga što treba dokazati, da nije tačno da je lim f(x) = A. Logičkom negacijom uslova iz definicije 3.1 dobijamo da za neko ε > 0 u svakoj δ-okolini tačke a postoji x δ a takvo da je f(x δ ) A ε. Za takvo ε, uzmimo da je δ n = 1/n i neka su x n odgovarajuće tačke čije smo postojanje utvrdili. Tada je {x n} niz koji konvergira ka a, ali {f(x n)} ne konvergira ka a, što je kontradikcija sa pretpostavkom. Dakle, mora biti lim f(x) = A. Teorema 3.2 može se uzeti i za definiciju granične vrednosti funkcije. To je tzv. Heineova definicija. Ona se, pored drugih primena, koristi kod odred ivanja graničnih vrednosti nizova, što ćemo pokazati na primerima. Primer 39. Neka je y n = nsin 1 n, n = 1,2,... Ako uvedemo oznake f(x) = sinx/x i x n = 1/n, imamo da je y n = f(x n ). Kako je lim x n = 0 i lim f(x) = 1, zaključujemo da je lim y n = lim f(x n ) = lim f(x) = 1. Primer 40. Ako je funkcija f neprekidna u tački a i ako je lim x n = a, onda iz teoreme 3.2 proizilazi da je lim f(x n ) = f(a). Na primer, ako je x n = n 1/n, imamo
9 FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST da je lim log x n = lim log n n ( = lim (log(n + 1) log n) = lim log 1 1 ) = 0, n gde smo koristili Stolzovu teoremu i neprekidnost funkcije x log x. Dalje, zbog neprekidnosti funkcije x e x nalazimo da je lim x n = lim e log xn = e lim log xn = e 0 = 1. Uopšte, na sličan način mogu se odrediti granične vrednosti nizova tipa 1, 0 ili 0 0, po šemi! lim x yn n = e lim yn log xn. Ovu tehniku smo već koristili u zadacima iz nizova (zadatak 162 na strani 78 i zadaci iza njega). Primer 41. Ako je lim x n = a > 0 i lim y n = b, dokazati da je limx yn n = a b. Rešenje. S obzirom na neprekidnost logaritamske funkcije, imamo da je pa je lim y n log x n = b log a, lim x yn n = e lim yn log xn = e b log a = a b. Isti rezultat važi i ako je a = + ili b = ± (objasniti zašto). Primer 42. U zadatku 203 na strani 89, dokazano je da je ( lim ) xn = e, x n za svaki niz {x n } takav da je limx n = ±. Primenom teoreme 3.2, zaključujemo da je (! (5) lim x = e. x ± x) Uvod enjem smene y = 1/x, imamo da y 0 i (5) postaje! (6) lim (1 + x) 1/x = e. e. Jednakosti (5) i (6) koriste se u zadacima, a mogu se uzeti i za definiciju broja Primer 43. Neka je niz {x n } definisan rekurentnom relacijom (7) x 1 = a, x n+1 = f(x n ), n = 1,2,... gde je f neprekidna funkcija. Ako je dati niz konvergentan, limx n = c R, tada iz rekurentne relacije, puštanjem da n +, dobijamo da je c = f(c). Iz toga izlazi da niz definisan sa (7) može biti konvergentan jedino ako funkcija f ima nepokretnu tačku (ili više njih), i tada je limes tog niza jednak jednoj od nepokretnih tačaka funkcije f.
10 3.1. GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA 107 Ako funkcija f nije neprekidna, ovakav zaključak ne može se izvesti. Na primer, neka je f(x) = x 2 za x 0 i f(0) = 1; tada niz definisan sa (7), sa x 1 = 1 2, konvergira ka nuli (videti i zadatak 224), a to nije nepokretna tačka funkcije f. Primer 44. Svaka neprekidna funkcija odred ena je svojim vrednostima u racionalnim brojevima. Zaista, ako je funkcija f neprekidna u iracionalnoj tački! a, onda je f(a) = lim f(a n), n + gde je {a n } proizvoljan niz racionalnih brojeva koji konvergira ka a i koji pripada domenu funkcije. Zahvaljujući teoremi 3.2, mnoge osobine koje su u vezi sa konvergencijom funkcija mogu se dokazati preko odgovarajućih osobina nizova. Sve osobine navedene u teoremi 2.4 na strani 49, u teoremi 2.7 na strani 51 kao i u teoremi 2.9 na strani 53, važe u analognom obliku i za granične vrednosti funkcija. Ovde ih samo navodimo bez dokaza. Teorema 3.3. Ako je f(x) = c R za svako x u nekoj okolini tačke a, tada je lim f(x) = c. Neka je lim f(x) = A, lim g(x) = B (A,B R) i neka su α, β i γ proizvoljni realni brojevi. Tada važi: lim(αf(x) + βg(x)) = αa + βb, lim (f(x) + γ) = A + γ lim f(x)g(x) = AB; lim f(x) g(x) = A ako B 0 i g(x) 0. B Ako je lim f(x) = A R i lim g(x) = +, tada je lim(f(x) + g(x)) = +, lim f(x)g(x) = sgn A (A 0), lim f(x) g(x) = 0. Ako je lim f(x) = 0 i ako je f(x) > 0 u nekoj okolini tačke a, tada je 1 lim f(x) = +. Ako je lim f(x) = A > p(< p), tada postoji δ-okolina tačke a takva da je f(x) > p(< p) za svako x u toj okolini. Ako postoji lim f(x) = A i ako je f(x) > p(< p) u nekoj okolini tačke a, onda je A p. I kod funkcija mogu da se definišu limes inferior i limes superior, slično kao kod nizova. Limes inferior funkcije f kad x a je najmanja granična vrednost niza {f(x n )} po svim nizovima {x n } koji konvergiraju ka a. Analogno, limes superior je najveća takva granična vrednost. Za ove granične vrednosti koristimo oznake lim inf f(x) ili lim f(x), odnosno limsup f(x) ili limf(x).
11 FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST Na primer, za funkciju f(x) = sin(1/x) imamo da je liminf f(x) = 1 (na f(x) = 1 (preko niza primer, preko niza x n = 1/( π/2 + 2nπ)), dok je limsup y n = 1/(π/2 + 2nπ)). Za razliku od limesa, limes inferior i limes superior uvek postoje (ali ne moraju biti konačni). Važi sledeća teorema. je Teorema 3.4. Funkcija f ima graničnu vrednost A kad x a ako i samo ako lim inf f(x) = limsup f(x) = A Osobine neprekidnih funkcija strana 119, zadaci Teorema o med uvrednostima i metod polovljenja intervala Ako je temperatura vazduha u 6 sati izjutra bila 1 C, a u 12 sati +3 C, onda je sigurno postojao neki vremenski trenutak izmed u 6 i 12 sati u kome je temperatura bila 0 C. To je izvesno zbog toga što je temperatura, kao i sve makrofizičke veličine, neprekidna funkcija vremena: ne može se menjati u skokovima. Da neprekidna funkcija na [a,b] mora uzimati sve vrednosti izmed u f(a) i f(b), postaje potpuno jasno ako se nacrta grafik. Ali, s obzirom da se u matematici mogu definisati i takve neprekidne funkcije čiji se grafik ne može nacrtati, ovu osobinu ćemo striktno formulisati i dokazati u sledećoj teoremi. Teorema 3.5. Neka je funkcija f definisana i neprekidna na segmentu [a, b], a < b i neka je f(a)f(b) < 0. Tada postoji tačka c (a,b) takva da je f(c) = 0. Dokaz. Dokaz je sličan dokazu Bolzano-Weierstrassovog stava i isto je zasnovan na teoremi o umetnutim intervalima. Neka je, na primer, f(a) < 0 i f(b) > 0; stavimo a 1 = a i b 1 = b. Neka je c 1 središnja tačka segmenta [a, b]. Ako je f(c 1) = 0, dokaz je završen (našli smo tačku u kojoj je vrednost funkcije jednaka nuli). U protivnom, ako je f(c 1) > 0 stavimo a 2 = a 1, b 2 = c 1, a ako je f(c 1) < 0, stavimo a 2 = c 1 i b 2 = b 1. Ponavljanjem ovog postupka dobijamo ili neku tačku c n u kojoj je f(c n) = 0 ili beskonačan niz intervala [a n, b n] sa f(a n) < 0 i f(b n) > 0. Pretpostavimo da smo dobili niz ovakvih intervala, pošto u prvom slučaju nemamo šta dalje da dokazujemo. Jednostavno se pokazuje da [a n, b n], n = 1, 2,... čine familiju umetnutih intervala, pa postoji tačka c koja je zajednička svim intervalima i takva da je lim a n = lim b n = c. Kako je f(a n) < 0 za svako n, onda je f(c) = lim f(a n) 0; na isti način je f(c) = lim f(b n) 0, odakle izlazi da je f(c) = 0 i dokaz je završen. Postupak primenjen u dokazu teoreme 3.5 može se primeniti i za približno odred ivanje tačke c, što se koristi pri numeričkom rešavanju jednačina.
12 3.2. OSOBINE NEPREKIDNIH FUNKCIJA 109 Primer 45. Metod polovljenja intervala. Pretpostavimo da treba rešiti jednačinu f(x) = 0, gde je f neprekidna funkcija. Izračunavanjem f(x) za razne vrednosti x ili skiciranjem grafika funkcije f, možemo da pronad emo tačke a i b (a < b) u kojima funkcija uzima vrednosti različitog znaka. Konstruišimo niz intervala (a n,b n ) kao u dokazu teoreme 3.5; neka je {c n } niz njihovih središnjih tačaka. Kako je lim a n = lim b n = c, gde je f(c) = 0, primenom teoreme o dva žandara zaključujemo da je i limc n = c. Prema tome, za dovoljno veliko n 0, možemo uzeti da je c n0 c, tj. da je c n0 približno rešenje date jednačine. Kao kriterijum za izbor n 0 može poslužiti širina intervala (a n,b n ); ako je ona manja od 2ε, onda je približno rešenje nad eno sa greškom koja je sigurno manja od ε. Kao konkretan primer rešićemo jednačinu e x x = 0 sa greškom manjom od Ako je f(x) = e x x, imamo da je f(0) > 0,f(1) < 0, pa se za početni interval može uzeti [0, 1]. Izračunavanjem dobijamo f(0.5) > 0, tako da je sledeći interval [0.5, 1]. Ponavljanjem postupka dobijamo niz intervala u kojima funkcija f uzima vrednosti različitog znaka: [0, 1], [0.5, 1], [0.5, 0.75], [0.5, 0.625], [0.5625, 0.625]. Kako je dužina poslednjeg intervala manja od 0.1, uzimamo da je njegova središnja tačka približno rešenje date jednačine sa tačnošću do Opisani metod je jednostavan i ne zahteva nikakve posebne programske procedure. Nedostatak metoda polovljenja intervala je relativno spora konvergencija niza {c n } u odnosu na neke druge metode približnog rešavanja jednačina. Kao neposredna posledica teoreme 3.5 dobija se sledeće tvrd enje. Teorema 3.6. Neka je funkcija f definisana i neprekidna na segmentu [a, b] (a < b) i neka je f(a) f(b). Tada za svaki realan broj y izmed u f(a) i f(b) postoji neko x (a,b) tako da je y = f(x). Drugim rečima, neprekidna funkcija na segmentu [a,b] dostiže sve med uvrednosti izmed u f(a) i f(b). Dokaz. Neka je f neprekidna funkcija na [a, b], pri čemu je f(a) f(b). Za proizvoljno fiksirano y izmed u f(a) i f(b) definišimo F(x) = f(x) y. Funkcija F je neprekidna na [a, b] i F(a)F(b) < 0, pa na osnovu teoreme 3.5, postoji x (a, b) za koje je F(x) = 0, odnosno f(x) = y. Sledeća osobina neprekidnih funkcija vezana je za egzistenciju inverzne funkcije. Teorema 3.7. Neka je funkcija f monotono rastuća i neprekidna na segmentu [a,b]. Tada funkcija f ima inverznu funkciju f 1 koja preslikava segment [f(a),f(b)] na segment [a,b]. Funkcija f 1 je neprekidna i monotono rastuća. Analogno tvrd enje važi za slučaj kada je f monotono opadajuća i neprekidna, kao i kada je interval beskonačan, tj. oblika [a,+ ), (,b] ili (,+ ). Dokaz. Neka je f monotono rastuća i neprekidna funkcija na [a, b]. Prema teoremi 3.6, za svako y [f(a), f(b)] postoji neko x [a, b] tako da je f(x) = y. To znači da je f([a, b]) = [f(a), f(b)]. Neka su x 1 i x 2 različiti brojevi iz [a, b], na primer x 1 < x 2. Zbog monotonosti funkcije f imamo da su i slike različite: f(x 1) < f(x 2).
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραEksponencijalna i logaritamska funkcija
16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότερα(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)
Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραNeka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo
FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα1. Funkcije više promenljivih
1. Funkcije više promenljivih 1. Granične vrednosti funkcija više promenljivih Definicija 1. Funkcija f : D( R n R ima graničnu vrednost u tački (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n D i jednaka je broju α R ako važi
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA REDOVA. n u k (n N) (2) k=1. u k. lim S n = S, kažemo da zbir (suma) reda. k=1 S = k=1
TEORIJA REDOVA NUMERIČKI REDOVI. OSNOVNI POJMOVI DEFINICIJA. Neka je {u n } n N realan niz. Izraz oblika k= u k = u + u 2 + + u n + () naziva se beskonačan red, ili kraće red. Broj u n naziva se opšti
Διαβάστε περισσότεραf n z n, (2) F (z) = pri čemu se pretpostavlja da red u (2) konvergira bar za jednu konačnu vrednost kompleksne promenljive Z(f n ) = F (z).
Z-TRANSFORMACIJA Laplaceova transformacija je primer integralne transformacije koja se primenjuje na funkcije - originale. Ova transformacija se primenjuje u linearnim sistemima koji su opisani diferencijalnim
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka
Διαβάστε περισσότεραUvod. Aksiome polja realnih brojeva. Supremum skupa.
АНАЛИЗА I припрема испита Оно што следи представља белешке које сам правио непосредно пред полагање усменог дела испита (јул, 2002. године). Због тога нису потпуне, и може понешто бити нетачно, или пропуштено.
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραElementarna matematika - predavanja -
Elementarna matematika - predavanja - February 11, 2013 2 Sadržaj I Zasnivanje brojeva 5 I.1 Peanove aksiome............................. 5 I.2 Celi brojevi................................ 13 I.3 Racionalni
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990.
PREDGOVOR Predavanja su namenjena studentima koji polažu ispit iz predmeta Matematička analiza. Materijal je u nastajanju, iz nedelje u nedelju se dodaju novi sadržaji, moguće su i izmene u prethodno unešenom
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Predstavljanje funkcija
Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu
Διαβάστε περισσότεραPrediktor-korektor metodi
Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραPRVI IZVOD. f x0 x f x0. y x. ) lim lim ( ) ( ) x. Neka je y f(x) funkcija definisana na intervalu [a,b], x 0
. y PRVI IZVOD Neka je y f() funkcija definisana na intervalu [a,b], 0 unutrašnja tačka tog intervala, Δ ( 0) priraštaj argumenta i Δy odgovarajući priraštaj funkcije. Ako postoji granična vrijednost količnika
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα