Σχεδιασµός Πειραµάτων και Εξωτερικά Μεταπρότυπα για την Υποβοήθηση της ιαδικασίας Βελτιστοποίησης µε Εξελικτικούς Αλγορίθµους. ιπλωµατική Εργασία

Transcript

1 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών Μονάδα Παράλληλης Υπολογιστικής Ρευστοδυναµικής & Βελτιστοποίησης Σχεδιασµός Πειραµάτων και Εξωτερικά Μεταπρότυπα για την Υποβοήθηση της ιαδικασίας Βελτιστοποίησης µε Εξελικτικούς Αλγορίθµους ιπλωµατική Εργασία Καψούλης ηµήτριος Επιβλέπων : Κυριάκος Χ. Γιαννάκογλου, Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Αύγουστος 2014

2 ii

3 Ευχαριστίες Ολοκληρώνοντας αυτή τη διπλωµατική εργασία αισθάνοµαι την ανάγκη να εκφράσω τις ευχαριστίες µου σε ορισµένα άτοµα, των οποίων η επιρροή τους ήταν ϐασικής σηµασίας για την εκπόνησή της. Αρχικά, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή, κύριο Κυριάκο Χ. Γιαννάκογλου, ο οποίος µου έδωσε την ευκαιρία να ασχοληθώ µε ενδιαφέροντα και καινοτόµα επιστηµονικά ϑέµατα. Ο χρόνος που αφιέρωσε από την στιγµή διατύπωσης του ϑέµατος µέχρι και το τέλος των διορθώσεων του κειµένου της είχε καθοριστική σηµασία για το αποτέλεσµα. Πρέπει, επιπλέον, να ευχαριστήσω όλα τα µέλη της ΜΠΥΡ&Β του Εργαστηρίου Θερ- µικών Στροβιλοµηχανών, τα οποία µε ϐοήθησαν καθ όλη την διάρκεια πραγµατοποίησης της διπλωµατικής εργασίας. Συγκεκριµένα, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω την ρ. Βαρβάρα Ασούτη, η οποία µε ϐοήθησε µε τις γνώσεις της να ολοκληρώσω την διπλωµατική εργασία. Επιπλέον, την ευχαριστώ για τον πολύτιµο χρόνο που διέθεσε, τις συµβουλές καθώς και την ώθηση που µου έδωσε στις αρχές της εργασίας. Οι υποψήφιοι διδάκτορες Κωνσταντίνος Τσίακας, Κωνσταντίνος Σαµούχος, Χρήστος Καππέλος και ο διδάκτορας Ξενοφώντας Τροµπούκης ϐρίσκονταν πάντα δίπλα µου, πρόθυµοι να ϐοηθήσουν σε οποιοδήποτε ϑέµα µπορούσαν, παρά το ιδιαίτερα ϐεβα- ϱηµένο ηµερήσιο πρόγραµµά τους. Θα ήταν παράλειψη να µην ευχαριστήσω τους υποψήφιους διδάκτορες Γιάννη Καββαδία, Χρήστο Βεζύρης και τον διδάκτορα Βαγγέλη Παπουτσή-Κιαχαγιά για τις πολύτιµες συµβουλές, ιδέες για την διπλωµατική εργασία αλλά και για την ευχάριστη συντροφιά τους. Οι συµφοιτητές µου Μάριος Καψής, Χάρης Βαλλιάνος και Ζέρβας Νίκος µε υποστήριξαν και µου παρείχαν πα- ϱέα καθ όλη την διάρκεια όχι µόνο της διπλωµατικής εργασίας αλλά και των πέντε χρόνων της Σχολής Μηχανολόγων Μηχανικών. Η ολοκλήρωση της διπλωµατική µου εργασίας αλλά και το τέλος της ϕοίτησής µου στην Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών είναι µία αφορµή για να ευχαριστήσω την οικογένεια µου αλλά και τα κοντινά µου πρόσωπα. Συγκεκριµένα, ευχαριστώ την µητέρα µου Αικατερίνη, τον πατέρα µου Ηλία οι οποίοι µε υποστήριξαν σε όλα τα χρόνια των µέχρι τώρα σπουδών µου αλλά και µε καθοδήγησαν προσφέροντάς µου τα απαραίτητα εφόδια. Ευχαριστώ την αδελφή µου Κωνσταντίνα και την ϕίλη µου Φοίβη, που µου προσέφεραν υποστήριξη, συντροφιά και κατανόηση, όποτε είχα ανάγκη. iii

4 iv

5 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΜΟΝΑ Α ΠΑΡΑΛΛΗΛΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Σχεδιασµός Πειραµάτων και Εξωτερικά Μεταπρότυπα για την Υποβοήθηση της ιαδικασίας Βελτιστοποίησης µε Εξελικτικούς Αλγορίθµους ηµήτριος Καψούλης Επιβλέπων : Κυριάκος Χ. Γιαννάκογλου, Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Αύγουστος 2014 Περίληψη Η παρούσα διπλωµατική εργασία ασχολείται µε το συνδυασµό τεχνικών σχεδια- µού πειραµάτων, προτύπων παλινδρόµησης και εξελικτικών αλγορίθµων (ΕΑ), στο πλαίσιο µεθόδων ϐελτιστοποίησης. Η αποτελεσµατικότητα των µεθόδων διερευνάται σε διάφορα µαθηµατικά και ϱευστοδυναµικά προβλήµατα. Η ϐελτιστοποίηση µε Εξελικτικούς Αλγορίθµους (ΕΑ) έχει αναπτυχθεί επαρκώς τα τελευταία χρόνια στη Μονάδα Παράλληλης Υπολογιστικής Ρευστοδυναµικής & Βελτιστοποίησης (ΜΠΥΡ&Β) του Εργαστηρίου Θερµικών Στροβιλοµηχανών (ΕΘΣ) του ΕΜΠ. Πλέον αποτελεί µια παγιωµένη και αξιόπιστη µέθοδο που µπορεί να εφαρµοστεί σε προβλήµατα οποιασδήποτε ϕύσης. Το λογισµικό EASY, που αναπτύχθηκε στο ΜΠΥΡ&Β, συνδυαζόµενο µε το κατάλληλο λογισµικό αξιολόγησης κάθε ϕορά, µπορεί να παρέχει τις ϐέλτιστες λύσεις του προβλήµατος, που µελετάται. Παρόλα αυτά, οι ΕΑ απαιτούν µεγάλο αριθµό αξιολογήσεων για την εύρεση των ϐέλτιστων λύσεων, γεγονός που µπορεί να οδηγήσει σε µεγάλο υπολογιστικό κόστος, αναλόγως µε το κόστος κάθε αξιολόγησης. Το πρόβληµα αυτό έχει ξεπεραστεί µε τη χρήση µεταπροτύπων (Metamodel Assisted Evolutionary Algorithms, MAEAs), τα οποία προσεγγίζουν τις τιµές της αντικειµενικής συνάρτησης που παρέχει το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης. Μέχρι τώρα, στον EASY είχαν χρησιµοποιηθεί µεταπρότυπα συνδεδεµένα µε την εξέλιξη του ΕΑ, συνήθως, τεχνητά νευρωνικά δίκτυα. Αυτά εκπαιδεύονται µε τα δεδοµένα από πραγµατικές αξιολογήσεις που πραγµατοποιήθηκαν και, στη συνέχεια, προσεγγίζουν τα πραγµατικά αποτελέσµατα, µε σκοπό να µην γίνουν οι αντίστοιχες πραγµατικές αξιολογήσεις. Ετσι µειώνεται το υπολογιστικό κόστος καθώς τα µεταπρότυπα εκτελούνται σε µηδαµινό χρόνο σε σχέση µε το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης. Στην παρούσα διπλωµατική εργασία, µελετώνται τα µεταπρότυπα, που είναι αποσυνδεδεµένα από την εξέλιξη του ΕΑ. Εµφαση δόθηκε στα πρότυπα παλινδρόµησης, τα οποία προσεγγίζουν τα πραγµατικά αποτελέσµατα µε πολυωνυµικές συναρτήσεις.

6 Η µέθοδος εκπαίδευσης των προτύπων παλινδρόµησης είναι αυτή των ελαχίστων τετραγώνων. Για την εύρεση των αρχικών δεδοµένων για την εκπαίδευση των µεταπροτύπων, χρησιµοποιείται ο σχεδιασµός πειραµάτων. Ο σχεδιασµός αυτός επιλέγει τα διανύσµατα τιµών των µεταβλητών που ϑα χρησιµοποιηθούν για τις απαιτούµενες αξιολογήσεις. Τα είδη, που αναλύονται εκτενώς, είναι ο πλήρης και ο κλασµατικός παραγοντικός, ο τυχαιοποιηµένος και ο κεντρικής σύνθεσης σχεδιασµός. Κάθε ε- ίδος παρέχει συγκεκριµένα πλεονεκτήµατα και χρησιµοποιείται σε κατάλληλες περιστάσεις. Οι µέθοδοι αυτοί καταλήγουν σε έναν ΕΑ ο οποίος πραγµατοποιεί ϐελτιστοποίηση χρησιµοποιώντας ως λογισµικό αξιολόγησης τα εκπαιδευµένα µεταπρότυπα. Περιοδικά, ελέγχεται η προσέγγιση των µεταπροτύπων µε το ακριβές λογισµικό α- ξιολόγησης, εµπλουτίζοντας τη σχετική ϐάση δεδοµένων και εκπαιδεύοντας ξανά τα µεταπρότυπα µε περισσότερα δεδοµένα. Η διαδικασία αυτή χρησιµοποιείται για την επίλυση διαφόρων προβληµάτων ϐελτιστοποίησης. Το υπολογιστικό κόστος και τα αποτελέσµατα, που παρέχονται, συγκρίνονται µε τη διαδικασία ϐελτιστοποίηση µε απλό ΕΑ ή µε ΜΑΕΑ συνδεδεµένο µε την εξέλιξη, ώστε να παρατηρηθούν τα πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα της διαδικασίας αυτής. vi

7 NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY OF ATHENS SCHOOL OF MECHANICAL ENGINEERING FLUIDS DEPARTMENT LABORATORY OF THERMAL TURBOMACHINES PARALLEL CFD & OPTIMIZATION UNIT Design of Computational Experiments and External Metamodels in Evolutionary Algorithm Optimization Dimitrios Kapsoulis Advisor: Kyriakos C. Giannakoglou, Professor NTUA Athens, August 2014 Abstract The aim of this diploma thesis is to present optimization methods based on the combined use of design of experiments, regression models and evolutionary algorithms (EAs) for the solution of optimization problems. The effectiveness and efficiency of the methods is investigated with the application in several mathematical and fluid dynamics problems. EA-based optimization has been adequately developed over the last years at the Parallel CFD & Optimization Unit (PCOpt) of the Laboratory of Thermal Turbomachines (LTT) NTUA. Nowadays, it is a reliable method, which can be implemented in almost any problem. Program EASY, which was developed by PCOpt, can compute the optimal solutions,provided that the corresponding evaluation tool is available. On the other hand, it is well known that EAs demand many evaluations, so as to find the optimal solutions. Depending on the CPU cost of evaluation tool, this might lead to prohibitively high optimization turnaround time. The use of Metamodel Assisted Evolutionary Algorithms (MAEAs) is a way to overcome this problem. The metamodels approximate the objective function values, the evalution tool will produce. Til now, in EASY, artificial neural networks have been used as metamodels and these are trained online, which means that they were connected with the EA. The training is based on data from real evaluations. After the training, metamodels are used to approximate the real evaluations, instead of using the evaluation tool. This reduces the computational cost, because the evaluations with metamodels are done very quickly. In this diploma thesis, the use of offline metamodels within an EA is investigated. Emphasis was laid on the regression models, which approximate the objective function using polynomial functions. For the process of training, the least squares method is used. Design of experiments is used for selecting the training data to train the metamodels, after being trained on the problem-specific evaluation

8 tool. The types analyzed in this diploma thesis are the full and partial/fractional factorial design, the randomized and central composite designs. Each design has each own advantages and is used in certain occasions. The EA uses the so-trained regression models as the only evaluation model and, occasionally, compares the outcome of the surrogate model with the exact one,so as to decide whether the database is to be enriched and the EA be repeated using an updated surrogate model. In this diploma thesis, the above procedure is used to solve several optimization problems. The results and the computational cost are compared to this of EAs or MAEAs with online trained metamodels. By doing so, the advantages and disadvantages of the procedure are shown. viii

9 Ακρωνύµια ΕΜΠ ΕΘΣ ΜΠΥΡ&Β ΥΡ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών Μονάδα Παράλληλης Υπολογιστικής Ρευστοδυναµικής & Βελτιστοποίησης Υπολογιστική Ρευστοδυναµική CFD NTUA PCopt Computational Fluid Dynamics National Technical University of Athens Parallel CFD & Optimization Unit ix

10 x

11 Περιεχόµενα Περιεχόµενα i 1 Εισαγωγή Στόχος της ιπλωµατικής Εργασίας οµή Εργασίας Εξελικτικοί Αλγόριθµοι και Μεταπρότυπα Εισαγωγή στη Βελτιστοποίηση Βελτιστοποίηση µε Εξελικτικούς Αλγορίθµους Περιγραφή ενός (µ,λ) Εξελικτικού Αλγορίθµου Λογισµικό EASY (Evolutionary Algorithm SYstem) ΕΑ Υποβοηθούµενοι από Μεταπρότυπα Εισαγωγή στους ΜΑΕΑ ΕΑ υποβοηθούµενοι από µεταπρότυπα αποσυνδεδεµένα από την εξέλιξη ΕΑ υποβοηθούµενοι από µεταπρότυπα συνδεδεµένα µε την εξέλιξη Είδη Μεταπροτύπων Σχεδιασµός Υπολογιστικών Πειραµάτων Πλήρης Παραγοντικός Σχεδιασµός n Παραγοντικός Σχεδιασµός Πλήρης Παραγοντικός σχεδιασµός τριών και περισσότερων επιπέδων Κλασµατικός Παραγοντικός Σχεδιασµός k p Κλασµατικός Παραγοντικός Σχεδιασµός Αναλυτική Τάξη Σχεδιασµού k p και l k p Κλασµατικός Παραγοντικός Σχεδιασµός Τυχαιοποιηµένος Σχεδιασµός Πειραµάτων (Ramdomized design) Στατιστική Ανάλυση του Τυχαιοποιηµένου Σχεδιασµού Σχεδιασµός Κεντρικής Σύνθεσης Άλλα Είδη Σχεδιασµών Ανάλυση Προγράµµατος DoE Χρησιµοποιούµενες Μεθόδοι Είσοδος εδοµένων και Χειρισµός i

12 5 Επίλυση Προβληµάτων Βελτιστοποίησης Πολυωνυµικά Προβλήµατα Ελαχιστοποίησης Πολυωνυµικό Πρόβληµα ύο Στόχων Πολυωνυµικό Πρόβληµα Τριών Στόχων Μη-Πολυωνυµικά Μαθηµατικά Προβλήµατα Ελαχιστοποίησης Μη-Πολυωνυµικό Μαθηµατικό Πρόβληµα ύο Στόχων Μη-Πολυωνυµικό Μαθηµατικό Πρόβληµα Τριών Στόχων Ρευστοδυναµικά Προβλήµατα Βελτιστοποίησης Ρευστοδυναµικό Πρόβληµα Αεροτοµής Τεσσάρων Στοιχείων Ρευστοδυναµικό Πρόβληµα Σχεδιασµού ιδιάστατης Πτερύγωσης Συµπιεστή Ανακεφαλαίωση, συµπεράσµατα και προτάσεις για περαιτέρω µελέτη Βελτιώσεις Α Στατιστική Ανάλυση του Παραγοντικού Σχεδιασµού 95 Β Ανάλυση Γραµµικού Προτύπου Παλινδρόµησης 99 Γ Βασικά Χαρακτηριστικά της Γλώσσας Qt 103 Βιβλιογραφία ιιι ii

13 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Η ϐελτιστοποίηση είναι ϐασικό ϑέµα µελέτης της µηχανολογίας αλλά και άλλων επιστηµονικών τοµέων. Στόχος της διαδικασίας ϐελτιστοποίησης είναι η εύρεση των ϐέλτιστων λύσεων σε ένα πρόβληµα, δηλαδή των λύσεων οι οποίες, σε µηχανολογικά προβλήµατα, χαρακτηρίζονται από χαµηλό κόστος και υψηλή λειτουργική αξία. Οι µηχανολόγοι προσπαθούν συνεχώς να ϐελτιώσουν τις µηχανολογικές κατασκευές, όπως για παράδειγµα να µεγιστοποιήσουν τον ϐαθµό απόδοσης ενός κινητήρα ή να ελαχιστοποιήσουν τις απώλειες ενός συστήµατος. Απαραίτητο στοιχείο για την επίτευξη ϐελτιστοποίησης είναι ένας αλγόριθµος που, πραγµατοποιώντας τα απαραίτητα ϐήµατα, καταλήγει στο ϐέλτιστο αποτέλεσµα. Για έναν µηχανικό που καλείται να σχεδιάσει το ϐέλτιστο σύστηµα, δουλειά του είναι να επιλέξει τον κατάλληλο αλγόριθµο που ϑα πραγµατοποιήσει τη ϐελτιστοποίηση στον ελάχιστο δυνατό χρόνο. Οι αλγόριθµοι ϐελτιστοποίησης χωρίζονται σε δυο µεγάλες κατηγορίες τους στοχαστικούς (stochastic) και τους αιτιοκρατικούς (deterministic). Για κάθε υποψήφια λύση οι πρώτοι δεν απαιτούν οποιαδήποτε άλλη πληροφορία, πέραν της τιµής της συνάρτησης στόχου που αυτή λαµβάνει, δηλαδή µπορούν να εφαρµοστούν σε οποιουδήποτε είδους προβλήµατα. Βασίζονται στην τυχηµατικότητα και σε µεθόδους που χειρίζονται πληθυσµούς λύσεων. Οι δεύτεροι απαιτούν τον υπολογισµό ή την προσέγγιση των παραγώγωνων της συνάρτησης-στόχου του προβλήµατος. Χειρίζονται µια υποψήφια λύση κάθε ϕορά και πραγµατοποιούν µια κατευθυνόµενη σύγκλιση προς το ϐέλτιστο. Γενικότερα, η εύρεση της ϐέλτιστης λύσης στους αιτιοκρατικούς αλγορίθ- µους πραγµατοποιείται πιο γρήγορα από ότι στους στοχαστικούς, αλλά µπορεί να µην ϐρεθεί έτσι το ολικό ϐέλτιστο (δηλαδή, να εγκλωβιστεί σε τοπικό ακρότατο), Το τελευταίο δεν συµβαίνει στους στοχαστικούς αλγορίθµους, εκτός αν συµβεί πρόωρος τερµατισµός. Κύριος εκ πρόσωπος των στοχαστικών αλγορίθµων είναι οι εξελικτικοί αλγόριθµοι (evolutionary algorithms) µε τους οποίους ϑα ασχοληθεί η παρούσα διπλωµατική εργασία. Λόγω της αργής σύγκλισης των στοχαστικών αλγορίθµων στις ϐέλτιστες λύσεις, έχουν αναπτυχθεί µέθοδοι [1] [2] που αποσκοπούν στο να τους επιταχύνουν. 1

14 Η έξυπνη, επιλεκτική χρήση υποκατάστατων προτύπων αξιολόγησης (surrogate e- valuation models, metamodels) είναι µια από αυτές. Στόχος τους είναι να προσοµοιάσουν το πραγµατικό πρόβληµα µε συναρτήσεις οι οποίες µπορούν να υπολογιστούν σε µηδαµινό χρόνο σε σχέση µε τον υπολογισµό της ακριβής τιµής της συνάρτησης στόχου του πραγµατικού προβλήµατος. Για τη δηµιουργία των µεταπροτύπων απαιτείται η εκπαίδευσή τους µε ενα σύνολο ήδη αξιολογηµένων λύσεων. Οµως, τα δεδοµένα αυτά, αν επιλεγούν µε συγκεκριµένες µεθόδους, είναι πιθανότερο να κατασκευαστούν περισσότερο αξιόπιστα µεταπρότυπα. Οι µέθοδοι αυτοί ονοµάζονται σχεδιασµοί πειραµάτων (Design of Experiments) [3] [4]. Στη διπλωµατική εργασία, τα πειράµατα που πραγµατοποιήθηκαν ήταν υπολογιστικά πειράµατα, δηλαδή δεν περιέχουν στοχαστικότητα και οι αξιολογήσεις πραγµατοποιούνται µε κατάλληλο λογισµικό. Οι σχεδιασµοί καθορίζουν τα σύνολα τιµών των ανεξάρτητων µεταβλητών µε τις οποίες ϑα επιλυθεί το πρόβληµα, καθώς και πόσες διαφορετικές ϕορές ϑα πραγµατοποιηθεί η επίλυση µε διαφορετικά διανύσµατα τιµών των µεταβλητών. Τα διανύσµατα αυτά επιλέγονται από τον σχεδιασµό µε τέτοιο τρόπο ώστε να παράγουν αξιόπιστα και αντιπροσωπευτικά, για το πρόβληµα, αποτελέσµατα. 1.1 Στόχος της ιπλωµατικής Εργασίας Ο σκοπός της παρούσας διπλωµατικής εργασίας είναι η παρουσίαση µεθόδων ϐελτιστοποίησης που αυξάνουν την αποτελεσµατικότητα των ΕΑ. Μελετώνται τα ευεργετικά αποτελέσµατα που παρέχει η χρήση µεταπροτύπων στους ΕΑ και, ειδικότερα, των µεταπροτύπων που είναι αποσυνδεδεµένα από την εξέλιξη. Τα πρότυπα παλινδρόµησης (Regression Model) µελετήθηκαν για την εύκολη και γρήγορη προσέγγιση του πραγµατικού προβλήµατος µε πολυώνυµα. Αναλύεται ο σχεδιασµός πειραµάτων που παρέχει µια καλά κατασκευασµένη ϐάση δεδοµένων για τα µεταπρότυπα οµή Εργασίας Η παρούσα διπλωµατική εργασία δοµείται ως εξής : Στο κεφάλαιο 2 παρουσιάζονται οι γενικές έννοιες περί ϐελτιστοποίησης µε ΕΑ. Συγκεκριµένα, ορίζονται οι ΕΑ µε την περιγραφή της διαδικασίας ϐελτιστοποίησης που πραγµατοποιούν και οι ϐασικές έννοιες γύρω από αυτούς. Α- ναλύονται τα µεταπρότυπα, τα είδη και οι κατηγορίες τους. Τα πρότυπα παλινδρόµησης µελετώνται εκτενέστερα καθώς παρέχουν τα ϐασικά µεταπρότυπα που χρησιµοποιήθηκαν. Παρουσιάστηκαν, επίσης, ϐασικά χαρακτηριστικά του λογισµικού EASY, που πραγµατοποιεί την υλοποίηση της διαδικασίας ϐελτιστοποίησης. Γενικότερα, το κεφάλαιο στοχεύει στην κατανόηση από πλευράς του αναγνώστη όλων των ϐασικών εννοιών που ϑα χρησιµοποιηθούν στα επόµενα κεφάλαια. Στο κεφάλαιο 3 παρουσιάζονται οι παραλλαγές των σχεδιασµών πειραµάτων και 2

15 η λειτουργία τους. Αναλύονται όλοι οι σχεδιασµοί που χρησιµοποιήθηκαν, τα πλεονεκτήµατα, τα µειονεκτήµατά τους καθώς και ο τρόπος υλοποίησης τους. Στόχος είναι ο αναγνώστης να αντιληφθεί τη χρησιµότητα και τη λειτουργία τους. Στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζεται το λογισµικό DoE που αναπτύχθηκε στο πλαίσιο της παρούσας διπλωµατικής εργασίας. Το λογισµικό αυτό υλοποιεί όλες τις µεθόδους που αναλύονται στα κεφάλαια και χρησιµοποιήθηκε για την επίλυση των προβληµάτων ϐελτιστοποίησης της διπλωµατικής εργασίας. Αναλύεται ο χειρισµός του προγραµµατισθέντος λογισµικού, οι λειτουργίες που παρέχει καθώς και κάποιες ϐασικές έννοιες για την κατανόηση των λειτουργιών του. Στο κεφάλαιο 5 παρουσιάζονται τα προβλήµατα ϐελτιστοποίησης που επιλύθηκαν στην διπλωµατική εργασία. Τα µαθηµατικά προβλήµατα αποσκοπούν στον έλεγχο της σωστής λειτουργίας του λογισµικού DoE και των επιµέρους µεθόδων που χρησιµοποιούνται. Τα πραγµατικά προβλήµατα αξιολογούν τη χρήση των µεθόδων σε µηχανολογικά προβλήµατα. Τα αποτελέσµατα και το υπολογιστικό κόστος των µεθόδων που χρησιµοποιούνται συγκρίνεται µε αυτά των απλών ΕΑ. Ετσι ο αναγνώστης ποσοτικοποιεί τα πλεονεκτήµατα των µε- ϑόδων που αναλύθηκαν στην παρούσα διπλωµατική εργασία. Στο κεφάλαιο 6 παρουσιάζονται τα συµπεράσµατα για τις µεθόδους που χρησι- µοποιήθηκαν. ιευκρινίζονται τα πλεονεκτήµατα και τα µειονεκτήµατά τους. Προτείνονται τρόποι ϐελτίωσης αυτών και του λογισµικού DoE. Στα παραρτήµατα παρουσιάζονται στατιστικές αναλύσεις για τους σχεδιασµούς πειραµάτων, ειδικότερη ανάλυση του γραµµικού προτύπου παλινδρόµησης, καθώς και µια περιγραφή των χαρακτηριστικών της γλώσσας Qt C++ µε την οποία αναπτύχθηκε το λογισµικό DoE και όλα τα υπόλοιπα υποπρογράµµατα. 3

16 4

17 Κεφάλαιο 2 Εξελικτικοί Αλγόριθµοι και Μεταπρότυπα Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζονται οι ΕΑ. Αυτοί ϐρίσκουν εφαρµογή σε προ- ϐλήµατα αναζήτησης της ϐέλτιστης λύσης. Για τη µείωση του χρόνου εκτέλεσης και του υπολογιστικού κόστους των ΕΑ, υποβοηθούνται συχνά από µεταπρότυπα (metamodels), δηλαδή προσεγγιστικά πρότυπα αξιολόγησης (surrogate evaluation models) τα οποία υποκαθιστούν το εξειδικευµένο για το πρόβληµα λογισµικό αξιολόγησης. Η εκπαίδευση και η χρήση µεταπροτύπων, στο πλαίσιο των ΕΑ, αποτελεί ϐασική συνιστώσα της παρούσας διπλωµατικής εργασίας. 2.1 Εισαγωγή στη Βελτιστοποίηση Για την επίλυση ποσοτικών προβληµάτων σε τοµείς διαφόρων επιστηµών, όπως η µηχανική, η ϕυσική, τα οικονοµικά και άλλοι χρησιµοποιούνται µέθοδοι ϐελτιστοποίησης [5]. Τα προς επίλυση προβλήµατα µπορεί να είναι ενός στόχου (Single Objective Optimization - SOO Problems), είτε περισσότερων (Multi Objective Optimization - MOO Problems). Οι µέθοδοι ϐελτιστοποίησης έχουν ως στόχο την εύρεση των τιµών των ελεύθερων παραµέτρων του προβλήµατος ώστε οι συναρτήσεις στόχοι να λαµ- ϐάνουν την ελάχιστη ή τη µέγιστη τιµή ανάλογα µε τις απαιτήσεις του προβλήµατος (προβλήµατα ελαχιστοποίησης ή µεγιστοποίησης). Η παρούσα διπλωµατική εργασία ασχολείται µε προβλήµατα ελαχιστοποίησης. Αυτό δεν είναι περιοριστικό, δεδοµένου ότι ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης µπορεί εύκολα να µετατραπεί σε ελαχιστοποίησης. Οι ελεύθερες παράµετροι είναι µια ή περισσότερες και ονοµάζονται µεταβλητές σχεδιασµού [6]. Πολλές ϕορές υπάρχουν περιορισµοί, ισότητας ή ανισο-ισότητας, οι οποίοι πρέπει να ικανοποιούνται ώστε η λύση που παράγεται να είναι αποδεκτή. Η µαθηµατική διατύπωση ενός προβλήµατος ελαχιστοποίησης Μ στόχων που υπό- 5

18 κεινται σε M C περιορισµούς ανισότητας είναι η εξής : min f( x) = min[ f 1 ( x),..., f M ( x)] (2.1) c j ( x) c thres j, j = 1,..., M C όπου x είναι το διάνυσµα των N µεταβλητών σχεδιασµού, c j είναι η τιµή του πε- ϱιορισµού j και c thres j είναι το επιθυµητό όριο των περιορισµών. Καθεµία από τις N µεταβλητές σχεδιασµού έχουν κάτω x i low και άνω xi upp όρια (καθορισµένα από το χρήστη) τα οποία καθορίζουν το πεδίο ορισµού τους. 2.2 Βελτιστοποίηση µε Εξελικτικούς Αλγορίθµους Μια κατηγορία µεθόδων ϐελτιστοποίησης είναι οι στοχαστικές µέθοδοι, οι οποίες ϐασίζονται σε τυχηµατική, όχι όµως τυχαία, αναζήτηση των ϐέλτιστων λύσεων [7] [8]. Βασικός εκπρόσωπός τους είναι οι Εξελικτικοί Αλγόριθµοι (ΕΑ). Αυτοί χειρίζονται πληθυσµούς υποψήφιων λύσεων σε κάθε γενιά και όχι µεµονωµένες λύσεις γεγονός που αποτελεί ϐασικό πλεονέκτηµα σε σχέση µε τις άλλες µεθόδους. Επιπλέον, δεν εγκλωβίζονται σε τοπικά ακρότατα αλλά υπολογίζουν ολικά ακρότατα και δεν χρειάζονται ιδιαίτερο µαθηµατικό υπόβαθρο για την υλοποίησή τους. Αντιθέτως, προσαρµόζονται εύκολα σε οποιοδήποτε πρόβληµα και για αυτό και έχουν ϐρει εφαρµογή σε πολλούς διαφορετικούς τοµείς των επιστηµών. Το µόνο που χρειάζονται είναι ένα λογισµικό αξιολόγησης. Οι ΕΑ απαιτούν µεγάλο αριθµό αξιολογήσεων. Η κάθε αξιολόγηση µπορεί να είναι χρονοβόρα και ακριβή διαδικασία (π.χ. αριθµητική επίλυση εξισώσεων Navier- Stokes) και ο µεγάλος αριθµός αξιολογήσεων καθιστά ακριβή τη διαδικασία του ΕΑ. Υπάρχουν παράµετροι που απαιτούν διαφορετική ϱύθµιση ανάλογα µε τη ϕύση του προβλήµατος και απαιτείται εµπειρία, γνώση και δοκιµές για τη σωστή ϱύθµισή τους. Οι ΕΑ µιµούνται τη ϐιολογική εξέλιξη των ειδών, που παρατηρήθηκε από τον αρ- ϐίνο [9]. Με τον όρο εξέλιξη εννοούµε τη διαδικασία αυτόµατης προσαρµογής κάθε συστήµατος στο περιβάλλον του, δηλαδή στις εξωτερικές συνθήκες που επιδρούν πάνω στο σύστηµα. Μηχανισµοί όπως αναπαραγωγή, γονιδιακή διασταύρωση, µετάλλαξη και ϕυσική επιλογή αποτελούν εξελικτικούς τελεστές των ΕΑ. Σύµφωνα µε τη ϑεωρία του αρβίνου, τα άτοµα ενός πληθυσµού συναγωνίζονται µεταξύ τους για να αποκτήσουν πόρους όπως στέγη, τροφή, σύντροφο. Τα καλύτερα προσαρµοσµένα στο περιβάλλον τους άτοµα έχουν περισσότερες πιθανότητες να διαιωνιστούν και να αναπαραχθούν. Αυτό οδηγεί στην επιβίωση των πετυχηµένων γονιδίων σε µετέπειτα γενιές και σε περισσότερους απογόνους. Ο συνδυασµός των καλών γονιδίων από διαφορετικούς γονείς έχει µεγάλες πιθανότητες να καταλήξει σε απογόνους µε ακόµα καλύτερα γονίδια. Με τον τρόπο αυτό γίνεται η εξέλιξη και η προσαρµογή 6

19 των πληθυσµών στο εκάστοτε περιβάλλον. Κατ αναλογία µε τα παραπάνω, τα γονίδια αποτελούν τις µεταβλητές σχεδιασµού του κάθε προβλήµατος και η καταλληλότητα των υποψηφίων αντιστοιχίζεται στις αποκρίσεις των συναρτήσεων στόχων. Οταν οι αποκρίσεις των συναρτήσεων στόχων είναι χαµηλές (για προβλήµατα ελαχιστοποίησης), τα διανύσµατα µεταβλητών που παράγουν αυτές τις αποκρίσεις µεταφέρουν χαρακτηριστικά τους στις επόµενες γενιές και συµµετέχουν στις διαδικασίες εξέλιξης (όπως γίνεται µε τα παιδιά και τους γονείς). Αν οι απόγονοι έχουν ακόµα καλύτερες αποκρίσεις των συναρτήσεων στόχων, αντικαθιστούν τους γονείς και προκρίνονται σε επόµενες γενιές διατηρώντας την κλη- ϱονοµικότητα του καλού γονέα. Με τον τρόπο αυτό, γίνεται η εξέλιξη σε επόµενες γενιές µέχρι να ϐρεθούν τα ϐέλτιστα διανύσµατα µεταβλητών σχεδιασµού Περιγραφή ενός (µ,λ) Εξελικτικού Αλγορίθµου Οι (µ,λ) ΕΑ χρησιµοποιούν τρεις πληθυσµούς, τους γονείς Pµ g, τους απογόνους P g λ και τους επίλεκτους ή elite Pe g της κάθε γενιάς (g). Οι γονείς είναι ο πληθυσµός που διασταυρώνεται για να δώσει τους απογόνους της επόµενης γενιάς. Οι επίλεκτοι αποτελούν τα καλύτερα άτοµα (καλύτερες λύσεις) που έχουν προκύψει κατά τη διαδικασία της εξέλιξης µέχρι και την τρέχουσα γενιά. Αυτοί χρησιµοποιούνται για την ενίσχυση των καλών χαρακτηριστικών των µελών της νέας γενιάς (διαδικασία ελιτισµού) και παρέχουν τις ϐέλτιστες λύσεις όποια στιγµή και να σταµατήσει ο εξελικτικός αλγόριθµος[6]. Η διαδικασία ενός εξελικτικού αλγορίθµου παρουσιάζεται στα ακόλουθα ϐήµατα[6]: 1. Αρχικοποίηση : Ο πληθυσµός της µηδενικής γενιάς (g = 0) αρχικοποιείται µέσω µιας γεννήτριας ψευδοτυχαίων αριθµών P RN G (Pseudo Random Number Generator). Κάθε άτοµο του πληθυσµού λαµβάνει τιµές για όλες τις µετα- ϐλητές σχεδιασµού, που παράγονται τυχαία από τη γεννήτρια. Αυτές πρέπει να ϐρίσκονται ανάµεσα στα όρια που έχει ορίσει ο χρήστης. Ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να δώσει προκαθορισµένες τιµές για τη µηδενική γενιά. 2. Αξιολόγηση : Το σύνολο του πληθυσµού των απογόνων P g λ αξιολογείται µε το κατάλληλο λογισµικό αξιολόγησης. ηλαδή, για κάθε διάνυσµα µεταβλητών σχεδιασµού εκτελείται το πρόγραµµα αξιολόγησης, που ο χρήστης έχει ορίσει και δίνεται ως αποτέλεσµα το διάνυσµα τιµών των συναρτήσεων στόχων. Στην περίπτωση προβλήµατος µε περιορισµούς, αυτοί πρέπει να υπολογισθούν και να συµπεριληφθούν στις συναρτήσεις-στόχων. Η χρήση συναρτήσεων ποινής απαιτείται για τη διαχείριση των περιορισµών ανισο-ισότητας της µορ- ϕής c k ( x) c thres k. Ανάλογα µε το µέγεθος της παραβίασης των περιορισµών, προστίθεται στις συναρτήσεις στόχων ένας (εκθετικός, συχνά) όρος ποινής της µορφής, c k (x) c thres k exp(a k d k ) (2.2) cthres k 7

20 όπου a k είναι ο συντελεστής και δείχνει πόσο έντονη ϑα είναι η ποινή που ϑα επιβληθεί, c k (x) είναι η τιµή του περιορισµού για το αντίστοιχο διάνυσµα µετα- ϐλητών, c thres k είναι η µέγιστη τιµή που επιτρέπεται να λάβει ένας περιορισµός, d k είναι το όριο χαλάρωσης, που ορίζει την τιµή πέραν της οποίας ϑα επιβάλλεται ποινή ϑανάτου στο διάνυσµα των στόχων. Η ποινή ϑανάτου είναι µια πολύ µεγάλη ποινή, που προστίθεται στις συναρτήσεις στόχων (ϑεωρητικά ένας αριθµός που αγγίζει το άπειρο, άρα πρακτικά µια µεγάλη δύναµη του 10) ώστε να µην συµµετάσχουν ουσιωδώς στην υπόλοιπη διαδικασία αναπαραγωγής. 3. Ανανέωση πληθυσµού επίλεκτων : Ανανεώνονται οι επίλεκτοι Pe g µε όσα µέλη της νέας γενιάς έχουν καλύτερες αποκρίσεις. Ελέγχεται η κυριαρχία µιας λύσης του πληθυσµού πάνω στα µέλη των επίλεκτων. Αν κάποιο διάνυσµα µεταβλητών δεν υστερεί σε κανέναν στόχο και, ταυτόχρονα είναι καλύτερο σε έναν τουλάχιστον στόχο, τότε εισάγεται στην οµάδα των επίλεκτων, αντικαθιστώντας τον χειρότερο επίλεκτο. 4. Ελιτισµός : Επιλέγονται τυχαία άτοµα από τους επίλεκτους για την αντικατάσταση µερικών ατόµων από τους απογόνους. Είναι επικρατέστερο να αντικαθίστανται απόγονοι µε κακές αποδόσεις έτσι ώστε να µην υπάρχει περίπτωση στη νέα γενιά να ϐρεθούν χειρότερες λύσεις από ότι στην προηγούµενη. Η διαδικασία αυτή λέγεται ελιτισµός. 5. Επιλογή γονέων : Εφαρµόζοντας τον τελεστή επιλογής γονέων, σχηµατίζεται ο νέος πληθυσµός γονέων. Στη διαδικασία αυτή συµµετέχουν οι απόγονοι της τρέχουσας γενιάς και οι γονείς της προηγούµενης. 6. Αναπαραγωγή : Η διαδικασία της αναπαραγωγής δηµιουργεί την επόµενη γενιά απογόνων. Επιλέγονται δύο ή παραπάνω γονείς οι οποίοι διασταυρώνονται και µεταλλάσσονται για να παράξουν ένα νέο απόγονο. 7. Ελεγχος Σύγκλισης : Ελέγχεται αν πληρείται το κριτήριο τερµατισµού, δηλαδή αν οι αξιολογήσεις έχουν ϕτάσει στο µέγιστο αριθµό ή αν η διαδικασία έχει συγκλίνει αδυνατώντας να παράξει καλύτερες λύσεις από τις τρέχουσες, για έναν λογικό αριθµό τελευταίων γενεών. Αν πληρείται, η διαδικασία σταµατά, αλλιώς επιστρέφει στο ϐήµα 2 µε τους απόγονους της νέας γενιάς Λογισµικό EASY (Evolutionary Algorithm SYstem) Η ϐελτιστοποίηση µε χρήση ΕΑ µπορεί να υλοποιηθεί µε διάφορα εµπορικά και µη λογισµικά. Στην παρούσα διπλωµατική εργασία χρησιµοποιήθηκε το λογισµικό EASY (Evolutionary Algorithm SYstem). Το λογισµικό αυτό είναι ένα γενικής χρήσης λογισµικό ϐελτιστοποίησης. Αναπτύχθηκε και εξελίσσεται στη Μονάδα Πα- ϱάλληλης Υπολογιστικής Ρευστοδυναµικης & Βελτιστοποίησης του ΕΜΠ. Μπορεί να λύσει οποιασδήποτε ϕύσης πρόβληµα µε έναν ή και περισσότερους συναρτήσεις στόχους, µε ή χωρίς περιορισµούς, αρκεί να είναι διαθέσιµο το σχετικό λογισµικό αξιολόγησης. Το λογισµικό EASY εµπεριέχει µεθόδους στοχαστικές αλλά και 8

21 αιτιοκρατικές που, µαζί ή χωριστά, συµβάλλουν στη λύση κάθε προβλήµατος. Εκτός από το λογισµικό αξιολόγησης, το λογισµικό έχει τη δυνατότητα να χρησιµοποιήσει χαµηλού κόστους µεταπρότυπα για την αξιολόγηση των ατόµων. Τα χρησιµοποιούµενα µεταπρότυπα είναι συνδεδεµένα µε την εξέλιξη και εκτιµούν τις αποκρίσεις κάθε υποψήφιας λύσης. Με αυτόν τον τρόπο µειώνεται το υπολογιστικό κόστος, καθώς γίνονται λιγότερες αξιολογήσεις µε το (πολλές ϕορές) χρονοβόρο λογισµικό αξιολόγησης. Για τη µείωση του υπολογιστικού κόστους και του χρόνου εκτέλεσης, παρέχεται η δυνατότητα υλοποίησης παράλληλων αξιολογήσεων σε κεντρικές µονάδες επεξεργασίας (CP U s) και σε µονάδες επεξεργασίας γραφικών (GP U s). 2.3 ΕΑ Υποβοηθούµενοι από Μεταπρότυπα Πολλές ϕορές προβλήµατα, των οποίων το λογισµικό αξιολόγησης είναι χρονοβόρο, όπως η επίλυση των εξισώσεων Navier-Stokes, έχουν απαγορευτικά µεγάλο υπολογιστικό κόστος. Τα µεταπρότυπα ϐοηθούν στη µείωση του αριθµού των αξιολογήσεων και κατ επέκταση µείωση του υπολογιστικού χρόνου [10]. Το χαρακτηριστικό των µεταπροτύπων είναι ότι δεν αξιολογούν ακριβώς την κάθε υποψήφια λύση, αλλά προσεγγίζουν το πραγµατικό διάνυσµα στόχων µε χρήση µηδαµινών υπολογιστικών πόρων. Τα πιο υποσχόµενα άτοµα αξιολογούνται και µε το λογισµικό ακριβούς αξιολόγησης. Η τεχνική αυτή ονοµάζεται Προσεγγιστική Προ-Αξιολόγησης (Inexact Pre-Evaluation) των εξεταζόµενων λύσεων [11]. Η χρησιµοποίηση µεταπροτύπων στη ϐελτιστοποίηση µε ΕΑ δηµιούργησε αυτό που ονοµάζεται Εξελικτικοί Αλγόριθ- µοι Υποβοηθούµενοι µε Μεταπρότυπα (Metamodel Assisted Evolutionary Algorithms - MAEA ) [12] [13] Εισαγωγή στους ΜΑΕΑ Τα µεταπρότυπα πρέπει να εκπαιδευτούν κατάλληλα µε ένα σύνολο δειγµάτων εκπαίδευσης για τα οποία προφανώς είναι διαθέσιµες και οι αποκρίσεις, πριν χρησι- µοποιηθούν [14]. Η ϐάση δεδοµένων (Database, DB) αποτελείται από διανύσµατα µεταβλητών που έχουν αξιολογηθεί µε το λογισµικό αξιολόγησης. Υποσύνολο αυτής αποτελεί το σύνολο των δειγµάτων εκπαίδευσης ( training patterns ) που διαλέγεται ανάλογα µε τον τύπο του µεταπροτύπου. Το µέγεθος του είναι καθοριστικής σηµασίας για την εγκυρότητα του µεταπροτύπου, ένα µη-αντιπροσωπευτικό δείγµα µπορεί να οδηγήσει σε εσφαλµένες εκτιµήσεις των διανυσµάτων µεταβλητών που προ-αξιολογούνται. Τα µεταπρότυπα µπορεί να είναι τοπικά αλλά και καθολικά. Τα τοπικά προσεγγίζουν λύσεις µιας ορισµένης περιοχής του χώρου σχεδιασµού ενώ τα καθολικά παρέχουν αξιόπιστες λύσεις σε όλον τον χώρο σχεδιασµού. Μια ακόµα κατηγοριοποίηση των µεταπροτύπων είναι ανάλογα µε το αν είναι αποσυνδεδεµένα από ή συνδεδεµένα µε την εξέλιξη. 9

22 2.3.2 ΕΑ υποβοηθούµενοι από µεταπρότυπα αποσυνδεδεµένα από την εξέλιξη Τα µεταπρότυπα αυτής της κατηγορίας είναι συνήθως καθολικά. Το µεταπρότυπο εκπαιδεύεται µια ϕορά πριν την έναρξη του ΕΑ, δηλαδή είναι ανεξάρτητο από την εξέλιξη των λύσεων στη διάρκεια της ϐελτιστοποίησης. Το λογισµικό αξιολόγησης χρησιµοποιείται για να δηµιουργήσει µια ϐάση δεδοµένων από την οποία ϑα επιλεγούν αυτόµατα τα δείγµατα εκπαίδευση για την εκπαίδευσή του µεταπροτύπου. Σε προβλήµατα πολλών στόχων δηµιουργείται ένα διαφορετικό µεταπρότυπο για κάθε συνάρτηση στόχου. Κατά τη διάρκεια της ϐελτιστοποίησης, χρησιµοποιείται µόνο το προσεγγιστικό διάνυσµα στόχων που παρέχει το προ-εκπαιδευµένο µεταπρότυπο. Οταν η διαδικασία συγκλίνει, τα ϐέλτιστα διανύσµατα µεταβλητών επαναξιολογούνται µε το ακριβές λογισµικό αξιολόγησης, ώστε να ϐρεθεί το πραγµατικό διάνυσµα τιµών των στόχων. Σχήµα 2.1: Μεταπρότυπα αποσυνδεδεµένα από την εξέλιξη ΕΑ υποβοηθούµενοι από µεταπρότυπα συνδεδεµένα µε την εξέλιξη Σε αυτήν την κατηγορία ανήκουν τα µεταπρότυπα που εκπαιδεύονται κατά τη διάρκεια της διαδικασίας ϐελτιστοποίησης. Αρχικά, το µεταπρότυπο δηµιουργείται από ένα δείγµα εκπαίδευσης που παράγεται από αξιολογήσεις από το λογισµικό αξιολόγησης. Στη συνέχεια, καθώς οι γενιές προχωρούν και έχουν πραγµατοποιηθεί επιπλέον αξιολογήσεις, εκπαιδεύεται ξανά µε ένα ανανεωµένο δείγµα εκπαίδευσης. Στην περίπτωση χρήσης µεταπροτύπων συνδεδεµένων µε την εξέλιξη δίνεται εναλλάξ χρήση 10

23 λογισµικού αξιολόγησης και µεταπροτύπου. Ο τύπος αυτός υπερτερεί από τον παραπάνω, γιατί αλλάζει και προσαρµόζεται όσο προχωρούν οι γενιές. Κύριος αντιπρόσωπος του είναι τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα (artificial neural networks). Σε επόµενη ενότητα ϑα παρουσιαστεί ο τρόπος εφαρµογής µεταπροτύπων συνδεδεµένων µε την εξέλιξη που χρησιµοποιείται στη ΜΠΥΡ&Β του ΕΜΠ. Σχήµα 2.2: Μεταπρότυπα συνδεδεµένα µε την εξέλιξη. ΜΑΕΑ µε Προσεγγιστική Προ-Αξιολόγηση Η Προσεγγιστική Προ-Αξιολόγηση ΠΠΑ (Inexact Pre-Evaluation IPE) [11] λειτουργεί ως ένα επίπεδο διαχωρισµού/κατάταξης των διανυσµάτων µεταβλητών κάθε γενιάς, χαµηλού υπολογιστικού κόστους. Τα διανύσµατα µεταβλητών µε τις πλέον αξιόλογες αποκρίσεις των συναρτήσεων στόχων που προκύπτουν από το µεταπρότυπο, επαναξιολογούνται από το ακριβές λογισµικό. Μετά από πολλές εφαρµογές και χρήσεις, έχει αποδειχθεί ότι τα τοπικά µεταπρότυπα παρέχουν καλύτερες προβλέψεις όταν ο χώρος των διανυσµάτων στόχων είναι πολύπλοκος. Τα ϐήµατα που ακολουθούνται στον αλγόριθµο ϐελτιστοποίησης µε ΠΠΑ είναι τα εξής : 1. Η διαδικασία ϐελτιστοποίησης ξεκινά την εξέλιξη µε τον συµβατικό (µ,λ) ΕΑ, δηλαδή αξιολογούνται οι πρώτες γενιές µε το ακριβές λογισµικό που παρέχεται από τον χρήστη. Τα άτοµα αυτών των γενιών καταγράφονται στη ϐάση δεδο- µένων που χρησιµοποιείται αργότερα για την εκπαίδευση του µεταπροτύπου. 2. Αφού η ϐάση δεδοµένων αποκτήσει ένα ικανοποιητικό µέγεθος, επιτρέπεται η εκπαίδευση των µεταπροτύπων. Οι υποψήφιες λύσεις στις υπόλοιπες γενιές 11

24 αξιολογούνται µε το µεταπρότυπο που εκτελείται σε µηδαµινό χρόνο σε σχέση µε το ακριβό λογισµικό αξιολόγησης. Στα τοπικά µεταπρότυπα, η απόκριση της συνάρτησης στόχου που ϑα αποδοθεί στην υποψήφια λύση εξαρτάται από τα πιο κοντινά σηµεία της ϐάσης δεδοµένων σε αυτή και τις αντίστοιχες αποκρίσεις. 3. Τα διανύσµατα στόχων, που προκύπτουν από την αξιολόγηση κάθε γενιάς, κατατάσσονται σε ϕθίνουσα σειρά καταλληλότητας. Η κατάταξη αυτή είναι αυτονόητη και εύκολη σε προβλήµατα που έχουν έναν µόνο στόχο. Αντιθέτως, σε προβλήµατα πολλών στόχων, η σύγκριση και κατάταξη είναι πιο πολύπλοκη διαδικασία. Στην τελευταία περίπτωση, το µεταπρότυπο επιστρέφει µια απόκριση τη ϕορά [15] [16] [17]. 4. Οι καλύτερες λύσεις που προκύπτουν από κάθε γενιά αξιολογούνται µε το ακριβές λογισµικό αξιολόγησης. Ο αριθµός των αξιολογήσεων αυτών, που δίνεται εµµέσως από τον χρήστη, καθορίζει το υπολογιστικό κόστος κάθε γενιάς. Οι επακριβώς αξιολογηµένες υποψήφιες λύσεις εµπλουτίζουν τη ϐάση δεδοµένων, για να χρησιµοποιηθούν στην εκπαίδευση του µεταπροτύπου σε επόµενες γενιές. 5. Σε κάθε διάνυσµα µεταβλητών αντιστοιχίζεται το διάνυσµα στόχων του. Ελέγχεται το κριτήριο σύγκλισης. Αν πληρείται το κριτήριο, τότε η διαδικασία ϐελτιστοποίησης σταµατά, αλλιώς δηµιουργείται µια νέα γενιά και συνεχίζεται η διαδικασία Είδη Μεταπροτύπων Στην ενότητα αυτή, παρουσιάζονται τα Τεχνητά Νευρωνικά ίκτυα (Artificial Neural Networks) και τα Πρότυπα Παλινδρόµησης (Regression Model), τα οποία χρησιµοποιήθηκαν ως µεταπρότυπα στην παρούσα διπλωµατική εργασία. Παρότι, τα δύο αυτά µεταπρότυπα µπορούν να χρησιµοποιηθούν τόσο ως συνδεδεµένα όσο και ως αποσυνδεδεµένα από την εξέλιξη, εδώ χρησιµοποιήθηκε το πρότυπο παλινδρόµησης ως µεταπρότυπο αποσυνδεδεµένο από την εξέλιξη, ενώ τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα χρησιµοποιήθηκαν ως συνδεδεµένα µε την εξέλιξη. Πρότυπο Παλινδρόµησης Το πρότυπο παλινδρόµησης (regression model) [4], το οποίο αποτελεί κλασική κατηγορία µεταπροτύπων, χρησιµοποιήθηκε κατά κύριο λόγο στην παρούσα διπλω- µατική εργασία. Η µέθοδος αυτή έχει ως στόχο την προσέγγιση της πραγµατικής τιµής της συνάρτησης στόχου µε τη ϐοήθεια πολυωνυµικών εκφράσεων. Εισάγονται άγνωστοι παράµετροι και η εύρεσή τους καθορίζει την ποιότητα προσαρµογής της πολυωνυµικής συνάρτησης στα αποτελέσµατα του πραγµατικού προτύπου. Οι 12

25 παράµετροι αυτοί υπολογίζονται λύνοντας µια γραµµική µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων (least squares), η οποία συνιστά µια πολύ ευκολότερη διεργασία από τη µη-γραµµική επίλυση που απαιτείται από τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα που ϑα α- ναλυθούν παρακάτω. Το πολυωνυµικό πρότυπο παλινδρόµησης είναι χρήσιµο για την αφαίρεση ϑορύβου από τα πειραµατικά δεδοµένα, αλλά έχει το µειονέκτηµα ότι δεν µπορεί να προσοµοιάσει αποτελεσµατικά σύνθετες συναρτήσεις. Αν έχουµε ένα διάνυσµα µε Ν ανεξάρτητες µεταβλητές x, το πρώτης τάξεως πρότυπο παλινδρόµησης γράφεται : ŷ( x) = b 0 + N b n x n + ɛ (2.3) όπου b n, n = 0,..., N είναι οι άγνωστες παράµετροι του προτύπου και ɛ είναι το σφάλµα. Με παρόµοιο τρόπο γράφεται και το δεύτερης τάξης πρότυπο παλινδρόµησης : N N N N ŷ( x) = b 0 + b n x n + b ii x 2 i + b ij x i x j + ɛ (2.4) n=1 i=1 n=1 i=1 j=i+1 όπου b ij είναι οι επιπλέον άγνωστες παράµετροι του προτύπου. Το γινόµενο των µεταβλητών σχεδιασµού x i x j δείχνει την αλληλεπίδραση των µετα- ϐλητών µεταξύ τους και αποτελεί πολύ σηµαντικό παράγοντα σε πολύπλοκα προ- ϐλήµατα µε αλληλεξαρτήσεις. Τα συνηθέστερα µοντέλα είναι τα δύο παραπάνω. Οµως, εκτός από αυτά, µπορεί να δηµιουργηθεί οποιοδήποτε άλλο πρότυπο µε µεγαλύτερο ϐαθµό πολυωνύµου και διαφορετικές αλληλεπιδράσεις. Ο ϐαθµός καθώς και οι αλληλεπιδράσεις των µεταβλητών, που πρέπει να χρησιµοποιηθούν στη δη- µιουργία του προτύπου παλινδρόµησης, επηρεάζεται από το πρόβληµα και ο ορισµός τους εξαρτάται από την εµπειρία και τις γνώσεις του χρήστη. Για τον προσδιορισµό των παραµέτρων b i του προτύπου παλινδρόµησης, χρησιµοποιείται η Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων Least Squares Method [18], η οποία ελαχιστοποιεί το σφάλµα ɛ. Εστω ότι διατίθενται K τιµές απόκρισης y 1, y 2,..., y K για τα διανύσµατα µεταβλητών x 1, x 2,..., x K. Μαζί µε την απόκριση της αντικειµενικής συνάρτησης y i, είναι γνωστά και τα αντίστοιχα διανύσµατα µεταβλητών x ij, όπου i αντιπροσωπεύει τη λύση και j υποδηλώνει την αντίστοιχη µεταβλητή σχεδιασµού. Υποθέτουµε ότι ɛ i είναι το σφάλµα ανάµεσα στο αποτέλεσµα της µεθόδου ελαχίστων τετραγώνων και στο πραγµατικό αποτέλεσµα που αντιστοιχεί στην i παρατήρηση. Η ανάλυση της µεθόδου ϑα πραγµατοποιηθεί µε το πρότυπο παλινδρόµησης πρώτης τάξης, χάριν απλότητας. Χρησιµοποιώντας το πρότυπο πρώτης τάξης και λύνοντας ως προς το σφάλµα προκύπτει η εξίσωση για κάθε απόκριση : ɛ i = y i b 0 N b j x ij (2.5) j=1 13

26 Η συνάρτηση ελαχίστων τετραγώνων γράφεται ως εξής : L = K ɛ 2 = i=1 K N (y i b 0 b j x ij ) 2 (2.6) i=1 j=1 Η συνάρτηση L πρέπει να ελαχιστοποιηθεί ως προς τις παραµέτρους b i. Άρα, πρέπει να µηδενιστούν οι παράγωγοι της συνάρτησης ως προς τις παραµέτρους : L b j = 2 K (y i b 0 i=1 N b j x ij )x ij = 0 j = 1, 2,..., k (2.7) j=1 Αυτές οι εξισώσεις είναι πιο εύκολο να λυθούν αν εκφραστούν µε µητρωική µορφή. Η αρχική εξίσωση των παρατηρήσεων µπορεί να γραφτεί :,όπου y = y = Xb + ɛ (2.8) 1 x 11 x x 1N b 1 ɛ 1. X = 1 x 21 x x 2N...., b = b 2., ɛ = ɛ 2. 1 x K1 x K2... x KN b N ɛ K y 1 y 2 y K Γενικά, το y είναι ένα διάνυσµα διάστασης K, όσα τα πειράµατα, X είναι ένας πίνακας (K N) µε Ν ανεξάρτητες µεταβλητές, b είναι ένα διάνυσµα διάστασης Ν και ɛ είναι ένα διάνυσµα διάστασης K τυχαίων σφαλµάτων. Η συνάρτηση L γράφεται : K L = ɛ 2 = ɛ ɛ i=1 = (y Xb) (y Xb) (2.9) = y y 2b X y + b X Xb Τονίζεται ότι µε το σύµβολο ( ) συµβολίζονται ο ανάστροφος του πίνακας. Παραγωγίζοντας την παραπάνω συνάρτηση ακολουθώντας την ίδια ϕιλοσοφία µε προηγου- µένως, προκύπτει ότι : L b = 2X y + 2X Xb = 0 X Xb = X y (2.10) Η τελευταία εξίσωση είναι ίδια µε την 2.7. Οπότε, η εύρεση των στοιχείων του 14

27 διανύσµατος b ϑα γίνει µε τη λύση της εξίσωσης 2.10 που είναι σε µητρωική µορφή. b = (X X) 1 X y (2.11) Ο πίνακας X X είναι διάστασης (N N), ενώ το X y είναι διάνυσµα διάστασης (N) και οι δύο εκ των οποίων υπολογίζονται µε ευκολία. Η επίλυση του συστήµατος µπορεί να γίνει µε διάφορες µεθόδους, όπως απαλοιφή κατά Gauss. Επειδή όµως, ο πίνακας Χ Χ είναι συµµετρικός, ο πιο αποδοτικός τρόπος επίλυσης είναι η µέθοδος Cholesky. Μετά την επίλυση, το µοντέλο παλινδρόµησης γράφεται σε µορφή πίνακα : ŷ i = Xˆb (2.12) Το ŷ i είναι η πρόβλεψη του προτύπου που ϑα παράγεται για κάθε διάνυσµα ˆb. Τεχνητά Νευρωνικά ίκτυα Τα πιο γνωστά µεταπρότυπα για τη χρήση στη ϐελτιστοποίηση µε ΜΑΕΑ είναι τα Τεχνητά Νευρωνικά ίκτυα (ΤΝ Artificial Neural Networks - ANN) [19]. Το πλεονέκτηµά τους είναι ότι είναι ευέλικτα στην προσοµοίωση σύνθετων συναρτήσεων. Υπάρχουν πολλά είδη ΤΝ, από τα οποία τα πιο γνωστά είναι τα Πολυεπίπεδα Αντιληπτρά, τα ίκτυα Συναρτήσεων Ακτινικής Βάσης, το µοντέλο Kriging [20]και οι Μηχανές ιανυσµάτων Υποστήριξης. Εδώ ϑα αναλυθούν τα ίκτυα Συναρτήσεων Ακτινικής Βάσης ΣΑΒ (Radial Basis Function Networks RBFN) επειδή αυτά χρησιµοποιούνται στην παρούσα διπλωµατική εργασία. ίκτυα Συναρτήσεων Ακτινικής Βάσης Τα ΣΑΒ είναι ΤΝ που λειτουργούν µε πρόσω διάδοση σήµατος. ηλαδή, το σήµα προχωρά από το επίπεδο εισόδου προς το επίπεδο εξόδου περνώντας από τα επι- µέρους επίπεδα. Το τελικό σήµα έχει περάσει από επεξεργασία µέσα από όλα τα ενδιάµεσα επίπεδα. Το ΣΑΒ χρησιµοποιείται για την πρόβλεψη χρονοσειρών, συναρτήσεων και τον αυτόµατο έλεγχο. Περιέχει τρία διακριτά νευρωνικά επίπεδα : 1. Επίπεδο εισόδου Το επίπεδο εισόδου υποδέχεται το σηµείο πρόβλεψης, αντιστοιχίζοντας κάθε συνιστώσα του διανύσµατος σχεδιασµού ( x του χώρου R N ) µε ένα νευρώνα του και συνδέει, µε αυτόν τον τρόπο, το δίκτυο µε το περιβάλλον. 2. Κρυφό επίπεδο Το κρυφό επίπεδο αποτελείται από k νευρώνες, καθένας από τους οποίους είναι συσχετισµένος µε ένα διάνυσµα c (k) R N ίδιας διάστασης µε το χώρο σχεδιασµού. Τα διανύσµατα c(k) ονοµάζονται κέντρα ακτινικής ϐάσης. Κάθε νευρώνας του κρυφού επιπέδου εφαρµόζει έναν µη-γραµµικό µετασχηµατισµό G συναρτήσει της απόστασης του εκάστοτε διανύσµατος εισόδου 15

28 από το κέντρο του και της ακτίνας ϐάσης r k ως : h k = G( x c (k), r k ) (2.13) 3. Επίπεδο εξόδου Το επίπεδο εξόδου, υλοποιεί έναν γραµµικό µετασχηµατισµό αθροίζοντας τις εξόδους του κρυφού επιπέδου σταθµισµένων µε τις τιµές των συνοπτικών ϐαρών w k. Το αποτέλεσµα είναι η έξοδος του δικτύου o R M. o (m) = K w k h k = k=1 K w k G( x c (k), r k ) (2.14) k=1 Σύµφωνα µε τα παραπάνω, τα σήµατα στο επίπεδο εισόδου δέχονται έναν µη-γραµµικό µετασχηµατισµό στο κρυφό επίπεδο και έναν γραµµικό στο επίπεδο εξόδου, ο οποίος εισάγει ϐάρη w k. Τα ϐάρη αυτά υπολογίζονται κατά τη διάρκεια εκπαίδευσης του ΣΑΒ και εξαρτώνται από τον αριθµό των διαθέσιµων δειγµάτων. Το επίπεδο εισόδου δέχεται τόσα σήµατα όσα είναι και οι µεταβλητές σχεδιασµού. Ο µη-γραµµικός µετασχηµατισµός υπολογίζεται από µια ακτινικής-ϐάσης συνάρτηση ενεργοποίησης G, η οποία δέχεται εισόδους και τις µετατρέπει σε µια τιµή. Η συνάρτηση αυτή εφαρµόζεται λαµβάνοντας υπόψη την απόσταση του διανύσµατος εισόδου x από το αντίστοιχο κέντρο. Οποια συνάρτηση ενεργοποίησης και να χρησιµοποιηθεί, πρέπει να παράγει αντιστρέψιµο µητρώο εκπαίδευσης, το οποίο ϐοηθά τον υπολογισµό των ϐαρών. Μία τέτοια συνάρτηση είναι η συνάρτηση του Gauss [21]: G(u, r) = exp ( x c (k) ) 2 r 2 (2.15) Η ακτίνα r έχει σηµαντική επίπτωση στην ικανότητα πρόβλεψης του νευρωνικού δικτύου. Στο επίπεδο εξόδου, οι κόµβοι είναι ίσοι µε τις αναµενόµενες εξόδους από τις συναρτήσεις στόχους. Αυτά τα µεταπρότυπα δεν αναλύθηκαν σε περισσότερο και η µέθοδος υλοποίησης τους δεν διερευνήθηκε καθώς είχε ήδη πραγµατοποιηθεί σε άλλες εργασίες του Εργαστηρίου Θερµικών Στροβιλοµηχανών του ΕΜΠ [21] [22]. 16

29 Σχήµα 2.3: Σχηµατική Αναπαράσταση ενός ΤΝ µε Ν εισόδους και µια έξοδο και τρία επίπεδα. 17

30 18

31 Κεφάλαιο 3 Σχεδιασµός Υπολογιστικών Πειραµάτων Μερικές µελέτες και πειράµατα γίνονται έχοντας µια µόνο ανεξάρτητη µεταβλητή. Ο πειραµατιστής αλλάζει σε κάθε εκτέλεση του πειράµατος την τιµή της µεταβλητής και περιµένει να δει την επιρροή της στο αποτέλεσµα του πειράµατος. Πλέον, οι ανεξάρτητες µεταβλητές ενός προβλήµατος έχουν αυξηθεί σε παραπάνω από µια. Ο πειραµατιστής µπορεί να αλλάζει µία προς µία τις µεταβλητές του και να εκτελεί το πείραµα. Υπάρχει, όµως, µια καλύτερη µέθοδος. Μπορεί κατά την εκτέλεση ενός πειράµατος να αλλάξει πάνω από µία µεταβλητές ταυτοχρόνως. Το πλεονέκτηµα είναι ότι : 1. Το πείραµα εκτελείται λιγότερες ϕορές και, άρα, ϑα σπαταληθεί και λιγότερος χρόνος και µικρότερο κόστος. 2. Αναπαριστά την πολυπλοκότητα της πραγµατικότητας. Συνήθως αλλάζουν πολλές παράµετροι ταυτόχρονα στα ϕυσικά προβλήµατα. 3. ίνει πληροφορίες για την εξάρτηση του αποτελέσµατος του προβλήµατος από τον συνδυασµό των ανεξάρτητων µεταβλητών που έχουν αλλάξει. Τον τρόπο µε τον οποίο ϑα αλλάζουν οι τιµές των µεταβλητών, τον καθορίζει ο σχεδιασµός πειραµάτων (design of experiments), έτσι ώστε οι εκτελέσεις των πει- ϱαµάτων να παρέχουν πληροφορίες χρήσιµες για αναλύσεις. Το κεφάλαιο αυτό πα- ϱουσιάζει διάφορα είδη σχεδιασµών, τρόπους εφαρµογής τους και πλεονεκτήµατα που παρέχουν. 3.1 Πλήρης Παραγοντικός Σχεδιασµός Ο πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός (Full Factorial Design) [4] [3] περιλαµβάνει τις περισσότερες εκτελέσεις του υπολογιστικού πειράµατος συγκριτικά µε τα άλλα είδη 19

32 σχεδιασµού, για ίδιο επίπεδο διακριτοποίησης του χώρου σχεδιασµού. Σε αυτήν την περίπτωση, αν υπάρχουν k µεταβλητές σχεδιασµού, καθεµιά από τις οποίες έχει διακριτοποιηθεί σε l i ισαπέχοντα επίπεδα µεταξύ των δύο ορίων της, το πλήθος των πειραµάτων που απαιτούνται δίνεται από το γινόµενο l 1 l 2... l k. Για παράδειγµα, για τρεις µεταβλητές A,B,C µε τέσσερα, τρία και πέντε επίπεδα αντίστοιχα ανά µεταβλητή, σε έναν πλήρη σχεδιασµό πρέπει να εκτελεσθούν = 60 πειράµατα. Παρακάτω, παρατίθεται ο πίνακας 3.1 ενός τέτοιου σχεδιασµού : (3.1) Κάθε τριάδα τιµών καθορίζει µονοσήµαντα ένα (υπολογιστικό) πείραµα. Στην πρώτη στήλη, οι τιµές (0,1,2,3) αντιστοιχούν στα 4 ισαπέχοντα επίπεδα της µεταβλητής Α. Άρα, 0 είναι το κάτω όριο και 3 είναι το άνω όριο της µεταβλητής, έτσι όπως τα όρισε ο χρήστης. Στη δεύτερη στήλη, οι τιµές (0,1,2) είναι τα 3 επίπεδα της Β, κ.ο.κ. Συχνά, ο αριθµός και ο χρόνος των εκτελέσεων του υπολογιστικού πειράµατος παίρνει απαγορευτικά µεγέθη µιας και αυτό περιλαµβάνει όλους τους δυνατούς συνδυασµούς των µεταβλητών σε όλα τα επίπεδά τους. Με αυτού του τύπου τον σχεδιασµό, λαµβάνονται όλες οι πιθανές αποκρίσεις, αν οι µεταβλητές είναι διακριτές και συµπεριληφθούν όλα τα επίπεδά τους. Στην περίπτωση που οι µεταβλητές είναι συνεχείς, η ακρίβεια του σχεδιασµού επηρεάζεται από την επιλεγείσα διακριτοποίηση των µεταβλητών καθώς και από το πλήθος των επιπέδων. Οι συνεχείς µεταβλητές παρουσιάζονται συχνότερα και αυτές εµπλέκονται στα προβλήµατα της διπλωµατικής εργασίας. Για την καλύτερη κατανόηση του σχεδιασµού, ϑα παρουσιαστούν στη συνέχεια παραδείγµατα µε περιορισµένες µεταβλητές και επίπεδα. 20

33 n Παραγοντικός Σχεδιασµός Αυτή η περίπτωση του πλήρους παραγοντικού σχεδιασµού είναι η απλούστερη δυνατή και ουσιαστικά λαµβάνει υπόψη µόνο τα κάτω και άνω όρια των µεταβλητών. Ο σχεδιασµός αυτός προτιµάται σε προβλήµατα µε ποιοτικές µεταβλητές, όπως επίσης και αν απαιτείται µια γρήγορη εποπτεία των αποκρίσεων του πειράµατος. Εστω ένα πρόβληµα µε δυο ανεξάρτητες µεταβλητές Α και Β, καθεµιά από τις οποίες έχει δυο επίπεδα. Τότε, όλοι οι πιθανοί συνδυασµοί τους σύµφωνα µε τον 2 2 παραγοντικό σχεδιασµό είναι οι : 00, 01, 10, 11. Αν οι πραγµατικές τιµές που αντιστοιχούν στα επίπεδα των µεταβλητών είναι a 1, a 2 και b 1, b 2 αντίστοιχα, τότε οι πιθανοί συνδυασµοί µπορούν να γραφούν στη µορφή (a 1 b 1, a 1 b 2, a 2 b 1, a 2 b 2 ). Το αποτέλεσµα του πειράµατος που εκτελείται µε έναν συνδυασµό των επιπέδων των µεταβλητών συµβολίζεται µε f(..), όπου στην παρένθεση τοποθετούνται τα επίπεδα των µεταβλητών. Εποµένως, τα πιθανά πειράµατα ϑα δώσουν τις αποκρίσεις f(a 1 b 1 ), f(a 1 b 2 ), f(a 2 b 1 ), f(a 2 b 2 ). Ο σχεδιασµός καλείται 2 2 συµµετρικός. Επειδή, όµως, υπάρχουν µόνο δύο επίπεδα, συνηθίζεται εναλλακτικά το κάθε επίπεδο να αντιπροσωπεύεται µε - και +, τα οποία αντιστοιχούν στο 0 και στο 1. Σύµφωνα µε το νέο συµβολισµό, ο πίνακας ενός πλήρους σχεδιασµού ϑα είναι : F actors A B Για να ϐρεθεί η κύρια επιρροή (main effect) της µεταβλητής Α και Β, χρησιµοποιούνται οι εξής σχέσεις : F A = 1 2 [(f(a 2b 1 ) f(a 1 b 1 )) + (f(a 2 b 2 ) f(a 1 b 2 ))] F B = 1 2 [(f(b 2a 1 ) f(b 1 a 1 )) + (f(b 2 a 2 ) f(b 1 a 2 ))] (3.2) Το κεφαλαίο F δείχνει την κύρια επιρροή. Για την εύρεση των κύριων επιρροών χρειάϲονται τέσσερα διαφορετικά πειράµατα. Η κύρια επιρροή δείχνει αν η αντίστοιχη µεταβλητή επηρεάζει σε µικρό ή µεγάλο ϐαθµό το αποτέλεσµα του πειράµατος. Σε πειράµατα µε στοχαστικότητα, το κάθε πείραµα εκτελείται p ϕορές ώστε να ϐρε- ϑεί ένα καλύτερο δείγµα. Τα αποτελέσµατα αθροίζονται και υπολογίζεται ο µέσος όρος τους, ο οποίος τοποθετείται στην εξίσωση 3.2 για τον υπολογισµό των κύριων επιρροών και η εξίσωση γίνεται : 21

34 p i=1 F A = (f i(a 2 b 1 ) f i (a 1 b 1 )) p i=1 + (f i(a 2 b 2 ) f i (a 1 b 2 )) 2p 2p p i=1 F B = (f i(b 2 a 1 ) f i (b 1 a 1 )) p i=1 + (f i(b 2 a 2 ) f i (b 1 a 2 )) 2p 2p (3.3) Η παρούσα διπλωµατική εργασία δεν ασχολείται µε στοχαστικά πειράµατα, αλλά απλώς αναφέρθηκε για την πληρότητα της ανάλυσης. Η αλληλεπίδραση (interaction) [23] ΑΒ ορίζεται ως ο µέσος όρος της διαφοράς της επιρροής της Β όταν η Α ϐρίσκεται στο επίπεδο 1 (µε τιµή a 2 ) και της επιρροής της Β όταν η Α ϐρίσκεται στο επίπεδο 0 (µε τιµή a 1 ): F AB = (f(a 2b 2 ) + f(a 1 b 1 )) 2 (f(a 2b 1 ) + f(a 1 b 2 )) 2 (3.4) Εδώ, το κεφαλαίο γράµµα F συµβολίζει την επιρροή της αλληλεπίδρασης. Αποδεικνύεται ότι η ίδια σχέση ισχύει και για την αλληλεπίδραση ΒΑ. Στο παράρτηµα Β αναλύεται η σύνδεση των ϐασικών επιρροών και των αλληλεπιδράσεων ενός πλήρους παραγοντικού σχεδιασµού και ενός γραµµικού προτύπου παλινδρόµησης. Γενικά, η µέθοδος που αναπτύχθηκε παραπάνω έχει εφαρµογή και σε περιπτώσεις µε k ανεξάρτητες µεταβλητές και ο αντίστοιχος σχεδιασµός ονοµάζεται 2 k συµµετρικός. Οι συνολικές κύριες επιρροές ( ενός τέτοιου σχεδιασµού είναι k, οι αλληλεπιδράσεις δύο παραγόντων ϑα είναι 2) ( k, οι αλληλεπιδράσεις τριών παραγόντων k ) 3 κ.ο.κ. Υπενθυµίζεται ότι, [24], ( ) k = i k! i!(k i)! (3.5) Οι συνολικές επιδράσεις ϑα είναι 2 k 1. Η ιδιότητα των διωνυµικών συντελεστών παράγουν την σχέση k ( k i=1 i) = 2 k 2 από την οποία ϕαίνεται ότι αν προστεθεί και η επίδραση ενός σταθερού παράγοντα, οι συνολικές επιδράσεις είναι 2 k 1. Η επίδραση του σταθερού παράγοντα περιλαµβάνει όλες τις επιρροές που δεν µελετώνται και ϑεωρούνται σταθερές Με το όρο επιδράσεις εννοείται το σύνολο των κύριων επιρροών και των αλληλεπιδράσεων. Για παράδειγµα, µε τέσσερις (k = 4) µεταβλητές σχεδιασµού, ο 2 4 παραγοντικός σχεδιασµός έχεις τις εξής επιδράσεις : F 0 F a, F b, F ab, F c, F ac, F bc, F abc, F d, F ad, F bd, F abd, F acd, F cd, F bcd, F abcd. Η επίδραση F 0 δείχνει την επίδραση του σταθερού παράγοντα που παράγεται από µεταβλητές που δεν µελετώνται. Κατά κάποια έννοια, δεν αποτελεί επίδραση καθώς δεν περιλαµβάνει κάποιες από τις µεταβλητές που µελετώνται. Πρέπει να σηµειωθεί ότι σε πειράµατα που είναι στοχαστικά, κάθε πείραµα εκτελείται n ϕορές και, στη συνέχεια, πραγµατοποιείται στατιστική ανάλυση των αποτελεσµάτων (ϐλ. ΠαράρτηµαΑ ). Τα πειράµατα αυτά δεν ϑα απασχολήσουν την παρούσα διπλωµατική εργασία. 22

35 3.1.2 Πλήρης Παραγοντικός σχεδιασµός τριών και περισσότερων επιπέδων Είναι γεγονός ότι, συχνά στη ϐιοµηχανία, οι µεταβλητές χωρίζονται σε δύο επίπεδα, για τη γρήγορη εποπτεία των αποτελεσµάτων, δηλαδή για µια εκτίµηση των τιµών στα οποία κυµαίνονται τα αποτελέσµατα. Παρόλα αυτά είναι απαραίτητο να αναλυθεί η περίπτωση χωρισµού των µεταβλητών σε περισσότερα από δύο επίπεδα. Χρησιµοποιούνται περισσότερα επίπεδα όταν είναι επιθυµητό να είναι η ακρίβεια προσέγγισης των αποτελεσµάτων αυξηµένη και, άρα, επιχειρείται η προσέγγισή τους µε επιφάνεια παλινδρόµησης µεγαλύτερου ϐαθµού. 3 k παραγοντικός σχεδιασµός Αρχικά, ϑα συζητηθεί η περίπτωση ενός πειράµατος µε τρία επίπεδα µεταβλητών και k ανεξάρτητες µεταβλητές σχεδιασµού. Υπάρχουν 3 k συνολικά πειράµατα, τα οποία πρέπει να εκτελεστούν αν ο παραγοντικός σχεδιασµός είναι πλήρης, µε 3 k 1 επιδράσεις. Οι εκτελέσεις του πειράµατος αυξάνονται εκθετικά σε έναν τέτοιο σχεδιασµό. Για τρεις µεταβλητές απαιτούνται 3 3 = 27 εκτελέσεις πειράµατος, ενώ για πέντε 3 5 = 243, γεγονός που αυξάνει το συνολικό χρόνο και κόστος του σχεδιασµού. Οι κύριες επιρροές των µεταβλητών είναι k. Οι αλληλεπιδράσεις τους είναι δύο, τριών... k παραγόντων. Η ανάγκη ύπαρξης προτύπου προσέγγισης µε ϐαθµό µεγαλύτε- ϱο του ένα οδηγεί στην αύξηση του ϐαθµού των αλληλεπιδράσεων. ηµιουργούνται αλληλεπιδράσεις της µορφής AB c 2 C c 3... K c k, µε τα c i να είναι ακέραιοι αριθµοί που δείχνουν τη δύναµη της εκάστοτε µεταβλητής µε την οποία συµµετέχει στην αλληλεπίδραση. Για παράδειγµα, σε ένα πρόβληµα τεσσάρων µεταβλητών, δηµιουργούνται οι αλληλεπιδράσεις ABCD, ABCD 2, ABC 2 D, AB 2 CD, ABC 2 D 2, AB 2 C 2 D, AB 2 CD 2, AB 2 C 2 D 2. Λόγω σύµβασης που γίνεται επιθυµείται να µην λαµβάνονται αλληλεπιδράσεις µε την πρώτη µεταβλητή να έχει δύναµη µεγαλύτερη της µονάδας. Οι αλληλεπιδράσεις αυτές είναι χρήσιµες για τη δηµιουργία µπλοκ (περιλαµβάνεται σε ένα είδος σχεδιασµού που δεν ϑα αναλυθεί στην παρούσα διπλωµατική εργασία), για τον κλασµατικό παραγοντικό σχεδιασµό και για τα προσεγγιστικά πρότυπα. εν έχουν καµία ϕυσική σηµασία. Η επιλογή των αλληλεπιδράσεων που ϑα αναλυθούν γίνεται από τον χρήστη/αναλυτή και τις απαιτήσεις του πειράµατος. Βασικό κριτήριο για µία τέτοια επιλογή αποτελεί η σηµαντικότητα των µεταβλητών που περιέχονται σε κάθε αλληλεπίδραση, η ακρίβεια µε την οποία επιθυµείται να µελετηθεί το πείραµα καθώς και το κόστος εκτέλεσης του πειράµατος (αν είναι αυξηµένο, ϑα υπάρχει η δυνατότητα λίγων εκτελέσεων του και άρα µελέτη λίγων αλληλεπιδράσεων). Η στατιστική του παραρτήµατος Α ισχύει και σε πειράµατα µε περισσότερα επίπεδα των δύο. Οι αλληλεπιδράσεις ϑα αναλυθούν ξεχωριστά λόγω της πολυπλοκότητας τους. 23

36 Σύνθετος πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός πολλών επιπέδων Μέχρι τώρα αναλύθηκαν συµµετρικοί σχεδιασµοί, δηλαδή σχεδιασµοί που οι µετα- ϐλητές διακριτοποιούνται στον ίδιο αριθµό επιπέδων. Υπάρχουν, όµως, και σχεδιασµοί που απαιτούν τον συνδυασµό µεταβλητών µε διαφορετικό αριθµό επιπέδων και ονοµάζονται µη-συµµετρικοί σχεδιασµοί. Σε ένα µη-συµµετρικό σχεδιασµό µε πολλά και διαφορετικά επίπεδα µεταβλητών, η διαδικασία δηµιουργίας του πίνακα των διανυσµάτων µεταβλητών του σχεδιασµού δυσκολεύει, καθώς απαιτείται προσοχή για να µην ξεχαστεί κάποια πιθανή εκτέλεση του πειράµατος. Η µέθοδος που αναλύεται εφαρµόστηκε στη διπλωµατική εργασία αυτή λόγω της εύκολης υλοποίησής της σε µορφή κώδικα. Ο πίνακας του σχεδιασµού ϑα έχει διαστάσεις (N runs k), όπου N runs είναι ο συνολικός αριθµός των προς εκτέλεση πειραµάτων και k είναι ο αριθµός των µεταβλητών σχεδιασµού. Στην πρώτη στήλη αντιστοιχίζεται η πρώτη µεταβλητή, στη δεύτερη στήλη η δεύτερη µεταβλητή και ούτω καθεξής. Βασικό της στοιχείο, είναι η σταδιακή δηµιουργία των στηλών του πίνακα και όχι η άµεση δηµιουργία των γραµµών. Σηµειώνεται ότι κάθε γραµµή αποτελεί ένα διάνυσµα µεταβλητών. Κάθε διάνυσµα χρησιµοποιείται σε διαφορετική εκτέλεση του πειράµατος. Οι στήλες αντιστοιχίζονται στις µεταβλητές σχεδιασµού. Αρχικά, υπολογίζεται ο συνολικός αριθµός των απαιτούµενων πειραµάτων, που δίνεται από τον τύπο : N runs = l 1 l 2... l k = k i 1 l i (3.6) όπου l i είναι τα επίπεδα της i µεταβλητής σχεδιασµού. Στην πρώτη στήλη, τοποθετούνται τα επίπεδα της πρώτης µεταβλητής µε αύξουσα σειρά (0, 1, 2, 3..., l 1 ). Μετά ξεκινά από την αρχή πάλι η τοποθέτησή τους µέχρι να ολοκληρωθούν οι N runs γραµµές του πίνακα. Ουσιαστικά, υπάρχει N runs /l 1 ϕορές η 24

37 ίδια οµάδα, όπου κάθε οµάδα έχει στη σειρά όλα τα επίπεδα της πρώτης µεταβλητής l l 1 N runs /l l 1 ηµιουργήθηκε έτσι η πρώτη στήλη του πίνακα. Για τη δεύτερη στήλη, τοποθετούνται τα επίπεδα της δεύτερης µεταβλητής αλλά, αυτήν τη ϕορά, κάθε επίπεδο επαναλαµβάνεται l 1 ϕορές. ηλαδή, για το πρώτο τµήµα της δεύτερης στήλης ϑα ισχύει : l1 l l1 l 21 l 22. l 2l1 l 1 l 1 Οι δείκτες 0, 1,..., l 1 δείχνουν πόσες ϕορές έχει τοποθετηθεί το στοιχείο στη στήλη 25

38 και χρησιµοποιούνται εδώ για την καλύτερη κατανόηση. Στην πραγµατική στήλη του σχεδιασµού τοποθετούνται µόνο οι αριθµοί των επιπέδων. Για να συµπληρωθούν όλες οι γραµµές του πίνακα, ϑα χρειαστεί να επαναληφθεί N runs /l 1 /l 2 ϕορές. Κατ αναλογία γίνονται και οι υπόλοιπες στήλες. Για την τρίτη µεταβλητή, δηµιουργείται πρώτα µία στήλη µε το κάθε επίπεδο της τρίτης µεταβλητής να επαναλαµβάνεται l 1 l 2 ϕορές και όλη η στήλη επαναλαµβάνεται N runs /l 1 /l 2 /l 3 ϕορές. Η τελευταία στήλη έχει τα επίπεδα της k µεταβλητής l 1 l 2... l k 1 ϕορές και η στήλη, που δηµιουργείται, καλύπτει όλες τις γραµµές του πίνακα, άρα δεν επαναλαµβάνεται καµία ϕορά. Στο τέλος, οι γραµµές του πίνακα περιέχουν τα επίπεδα των µεταβλητών µε τα οποία ϑα πραγµατοποιηθεί το πείραµα, δηλαδή το διάνυσµα µεταβλητών. Ο πίνακας έχει την ακόλουθη µορφή : l 1 0 l1 0 l l l l l 1 l 2l1 0 l1 l l1 l l1 l l 1 l 2l1 l 3l1 l l1 l 2 l l 1 l 2 l 1 l 3l1 l 2... l kl1 l 2 l 3...l k 1 Η σειρά των γραµµών δεν έχουν ιδιαίτερη σηµασία καθώς τα πειράµατα µπορούν να εκτελεστούν µε τυχαία σειρά για να αφαιρεθούν τυχόν µεταβλητές θορύβου. Αυτές επηρεάζουν τα αποτελέσµατα των πειραµάτων µε αρνητικό τρόπο, καθώς η επιρροή τους δεν επιτρέπει την ακριβή µελέτη των µεταβλητών, που ενδιαφέρουν τον ερευνητή. Υπάρχει ο τυχηµατικός σχεδιασµός που αναλύει καλύτερα τις µεταβλητές θορύβου. Με αυτήν τη διαδικασία, µπορεί να δηµιουργηθεί οποιοσδήποτε πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός µε µεταβλητές που έχουν ή ίδιο ή διαφορετικό πλήθος επιπέδων. Αλληλεπιδράσεις Η ανάλυση των αλληλεπιδράσεων [23] είναι ϐασικό στοιχείο και ϐοηθά στην καλύτερη κατανόηση του κλασµατικού παραγοντικού σχεδιασµού που αναλύεται στη συνέχεια. Οι αλληλεπιδράσεις αποτελούν τη ϐάση στην οποία κατασκευάζεται ο κλασµατικός παραγοντικός σχεδιασµός, ϐοηθά στον σχεδιασµό µε µπλοκ και δείχνει τη 26

39 σηµαντικότητα των αλληλεπιδράσεων µεταξύ των µεταβλητών σχεδιασµού. Κάποια παραδείγµατα είναι απαραίτητα καθώς η άµεση γενίκευση δυσκολεύει την κατανόηση. Εστω ότι αναλύεται ένα πείραµα µε δύο µεταβλητές και τρία επίπεδα η καθεµιά. Οι αλληλεπιδράσεις είναι AB, AB 2 και προκύπτουν επειδή οι µεταβλητές έχουν τρία επίπεδα και άρα υπάρχει η δυνατότητα να αυξηθεί η δύναµη των µεταβλητών. Η δύναµη των µεταβλητών πρέπει να είναι µικρότερη από το επίπεδο της αντίστοιχης µεταβλητής. Η AB 2 δείχνει την αλληλεπίδραση υψηλότερου ϐαθµού για τη µετα- ϐλητή Β. Η AB µπορεί να γραφεί µε την εξίσωση x 1 + x 2 και η AB 2 µε την x 1 + 2x 2. Στη συγκεκριµένη γραφή, τα x 1, x 2 δεν δηλώνουν την τιµή της µεταβλητής αλλά το επίπεδο στο οποίο ϐρίσκεται η µεταβλητή και οι συντελεστές µπροστά τους δείχνουν µε ποια δύναµη συµµετέχει η κάθε µεταβλητή. Στην προκειµένη περίπτωση επιτρέπεται να λάβουν τις τιµές 0, 1, 2, ϑεωρώντας ότι το 0 είναι το πρώτο επίπεδο. η- µιουργούνται δύο σύνολα (block), ένα για κάθε αλληλεπίδραση, τα οποία περιέχουν όλα τα προς εκτέλεση πειράµατα. Επειδή τα επίπεδα είναι τρία, χρησιµοποιούνται τρία αθροίσµατα Q, R, S, καθένα από τα οποία χαρακτηρίζονται από µια εξίσωση. Οι εξισώσεις αυτές ονοµάζονται χαρακτηριστικές εξισώσεις καθώς χαρακτηρίζουν την κάθε άθροιση. Για την αλληλεπίδραση ΑΒ οι χαρακτηριστικές εξισώσεις είναι : Q : mod( x 1 + x 2 3 ) = 0 R : mod( x 1 + x 2 3 ) = 1 S : mod( x 1 + x 2 ) = 2 (3.7) 3 Για την αλληλεπίδραση AB 2 οι χαρακτηριστικές εξισώσεις είναι : Q : mod( x 1 + 2x 2 3 ) = 0 R : mod( x 1 + 2x 2 3 ) = 1 S : mod( x 1 + 2x 2 ) = 2 (3.8) 3 Το υπόλοιπο της διαίρεσης µε το 3 (mod(... )) υλοποιείται για να δίνει αποτέλεσµα 3 µέσα στο εύρος των επιπέδων των µεταβλητών. Το 3 δείχνει το επίπεδο των µεταβλητών, δηλαδή αν οι µεταβλητές είχαν 4 επίπεδα τότε ϑα υπολογίζονταν το υπόλοιπο της διαίρεσης µε το 4. Κάθε άθροιση αποτελείται από τα επίπεδα των µεταβλητών που ικανοποιούν την αντίστοιχη εξίσωση. Για παράδειγµα, για την άθροιση Q στην αλληλεπίδραση AB, αθροίζονται τα στοιχεία 00, 21, 12. Η αντίστοιχη έκφραση της εξίσωσης 3.4 γράφεται : F AB = (Q R + S)/3 (3.9) Εποµένως, υπάρχει η δυνατότητα να ελεχθεί η σηµαντικότητα των αλληλεπιδράσεων και, αν είναι µεγάλη, αυτές ϑα υπολογισθούν και στις επόµενες εκτιµήσεις που ϑα γίνουν για το πείραµα (στατιστική ανάλυση, συναρτήσεις προσέγγισης). Τα α- ϑροίσµατα των τετραγώνων της απόκλισης (Sum of Squares of Deviation) της κάθε 27

40 αλληλεπίδρασης υπολογίζονται από τον τύπο 3.10: SS interaction = (Q 2 + R 2 + S 2 )/3 3 i=1 3 y ij /9 (3.10) όπου y ij είναι η απόκριση της κάθε εκτέλεσης του πειράµατος που πραγµατοποιήθηκε και ουσιαστικά το δεύτερο άθροισµα δείχνει την µέση απόκριση των πειραµάτων. Στη γενική περίπτωση, υπάρχουν αλληλεπιδράσεις της µορφής AB c 2 C c 3... K c k µε τις δυνάµεις c i να είναι µικρότερες από το επίπεδο της αντίστοιχης µεταβλητής. Η εξίσωση των αλληλεπιδράσεων ϑα είναι της µορφής x 1 + d 2 x 2 + d 3 x 3... d k x k. Για αποφυγή ασαφειών, ϑα χρησιµοποιηθεί η σύµβαση ότι ο συντελεστής της πρώτης µη-µηδενικής µεταβλητής που συµµετέχει στην αλληλεπίδραση είναι ίσος µε τη µονάδα και για αυτό και δεν τον συµβολίζουµε. Οι συντελεστές c i περιορίζονται από το επίπεδο της i µεταβλητής, παρόλα αυτά οι συνηθέστερες τιµές είναι 1 ή 2. Για τη µετατροπή των δυνάµεων c i σε d i χρησιµοποιείται ο τύπος : d i = (l i c i )c i όπου l i είναι τα επίπεδα των µεταβλητών. Ο τύπος αυτός χρησιµοποιήθηκε παραπάνω για τη µετατροπή της αλληλεπίδρασης AB 2 στη σχέση x 1 + 2x 2. Σε ένα πρόβληµα µε k µεταβλητές, οι αλληλεπιδράσεις δηµιουργούνται σταδιακά. Πρώτα δηµιουργούνται οι αλληλεπιδράσεις των δύο παραγόντων και κατασκευάζεται πίνακας µε τις αλληλεπιδράσεις αφαιρώντας τις αντίστοιχες µεταβλητές. Μετά δηµιουργούνται οι αλληλεπιδράσεις των τριών παραγόντων, κ.ο.κ. j=1 3.2 Κλασµατικός Παραγοντικός Σχεδιασµός Ενας πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός µπορεί να οδηγήσει σε απαγορευτικά µεγάλο χρόνο και κόστος εκτέλεσης των υπολογιστικών πειραµάτων, καθώς ο πίνακας του σχεδιασµού λαµβάνει µεγάλες διαστάσεις. Για παράδειγµα, για δυο επίπεδα σε κάθε µεταβλητή, µε έξι µεταβλητές χρειάζονται 2 6 = 64 εκτελέσεις πειραµάτων, µε δέκα µεταβλητές χρειάζονται 2 10 = 1024 εκτελέσεις κ.ο.κ. Προκειµένου να µειωθεί το πλήθος των αναπαραγωγών του πειράµατος χρησιµοποιείται ο Κλασµατικός Πα- ϱαγοντικός Σχεδιασµός (Partial/Fractional Factorial Design) [4] [3]. Αν ο σχεδιασµός είναι 2 k, τότε µπορούν να πραγµατοποιηθούν 2 k 1 πειράµατα, δηµιουργώντας έναν σχεδιασµό που απαιτεί λιγότερα πειράµατα. Με αυτόν τον τρόπο, ο αριθµός των εκτελέσεων µειώνεται στα µισά. Ενας τέτοιος σχεδιασµός ϑα µπορούσε να ονοµαστεί 1/2 κλασµατικός παραγοντικός σχεδιασµός. Για παράδειγµα, αντί για 2 10 = 1024 εκτελέσεις για δέκα µεταβλητές και δύο επίπεδα, ϑα εκτελεστούν 2 9 = 512. Γενικότερα, υπάρχει η δυνατότητα αποκοπής περισσότερων πειραµάτων, δηλαδή δη- µιουργία ενός 2 k p σχεδιασµού, µε το µειονέκτηµα ότι επηρεάζεται η αξιοπιστία του σχεδιασµού. Ο σχεδιασµός αυτός αποτελείται από έναν πίνακα µε 2 k p γραµµές και k στήλες. Για να γίνει, αυτό αποκόπτονται οι p µεταβλητές, δηµιουργείται ένας πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός µε τις k p µεταβλητές που έχουν µείνει και οι υπόλοιπες λαµβάνουν τιµές µε τη ϐοήθεια των τιµών που έχουν οι k p µεταβλητές. 28

41 Οι µεταβλητές που ϑα αποκοπούν εξαρτώνται από τη ϕύση του πειράµατος και τον αριθµό των µεταβλητών σχεδιασµού. Είναι λογικό να συνηθίζεται να αφαιρούνται οι µεταβλητές µε τη µικρότερη επιρροή στα αποτελέσµατα. Οι επιρροές µπορεί να είναι γνωστές από προηγούµενες αναλύσεις ή από εµπειρικές γνώσεις για τις µεταβλητές του πειράµατος. Η επιτυχία ενός κλασµατικού παραγοντικού σχεδιασµού ϐασίζεται σε τρεις ιδέες : 1. Σποραδικότητα των επιδράσεων (sparsity of effects): Σε ένα πείραµα µε πολλές ανεξάρτητες µεταβλητές, ορισµένες από αυτές καθορίζουν και επη- ϱεάζουν τα αποτελέσµατα περισσότερο έντονα από τις προηγούµενες. 2. Προβολική ιδιότητα (projective property): Ο κλασµατικός σχεδιασµός που ϑα δηµιουργηθεί µπορεί να προβληθεί σε έναν µεγαλύτερο και στιβαρό σχεδιασµό. 3. Ακολουθιακός πειραµατισµός (sequentail experimentation): Οι σχεδιασµοί µπορούν να συνδυασθούν ώστε να παράγουν ένα καλύτερο σχεδιασµό µε περισσότερες εκτελέσεις και, άρα, µεγαλύτερη ακρίβεια στις εκτιµήσεις των αποκρίσεων και των επιδράσεων. Η κυριότερη χρήση των κλασµατικών σχεδιασµών είναι σε πειράµατα κρησαρίσµατος (screening experiments). Σε τέτοιου είδους πειράµατα µετέχουν πολλές µεταβλητές µε σκοπό την αναγνώριση εκείνων των µεταβλητών που έχουν µεγάλες επιδράσεις και εκείνων που έχουν µικρές. Τα πειράµατα κρησαρίσµατος χρησιµοποιούνται στα αρχικά στάδια της έρευνας, όπου είναι πολύ πιθανό πολλές µεταβλητές να έχουν ελάχιστη ή µηδενική επίδραση στην απόκριση. Στα επόµενα στάδια της έρευνας, µελετώνται οι µεταβλητές που αναγνωρίστηκαν να έχουν µεγάλες επιδράσεις, ενώ αµελούνται αυτές που, στο προηγούµενο στάδιο της έρευνα, ϐρέθηκαν να έχουν µικρή επίδραση. Η ανάλυση που ϑα ακολουθήσει είναι παρόµοια µε του πλήρους παραγοντικού σχεδιασµού (3.1) και περιέχει παραδείγµατα που οδηγούν σε ευκολότερη κατανόηση k p Κλασµατικός Παραγοντικός Σχεδιασµός Ενας 2 k παραγοντικός σχεδιασµός στον οποίο οι p µεταβλητές δηµιουργούνται από τις υπόλοιπες, ονοµάζεται 2 k p Κλασµατικός Παραγοντικός Σχεδιασµός ή διαφορετικά 1/2 p κλάσµα του 2 k παραγοντικού σχεδιασµού. Οι p µεταβλητές που ϑα δη- µιουργηθούν καθορίζουν την ακρίβεια και εγκυρότητα του σχεδιασµού. Για καθεµιά από αυτές τις µεταβλητές χρειάζεται µια ανεξάρτητη γεννήτρια, άρα γενικότερα ο σχεδιασµός απαιτεί p γεννήτριες. Οι γεννήτριες αποτελούν τις αλληλεπιδράσεις που µελετήθηκαν παραπάνω και συνδυάζουν τις k p µεταβλητές για να παράξουν τις υπόλοιπες. Για παράδειγµα, σε ένα πείραµα τεσσάρων µεταβλητών σχεδιασµού A,B,C,D, ο σχε- 29

42 διασµός δηλώνει τη δηµιουργία της µεταβλητής D από αλληλεπίδραση των υπολοίπων. Σε αυτό το σηµείο, πρέπει να σηµειωθεί ότι µπορεί να αποκοπεί οποιαδήποτε µεταβλητή, είτε η πρώτη είτε η τελευταία, χωρίς να επηρεαστεί ο σχεδιασµός. Στη συνέχεια, για λόγους τυποποίησης, ϑα αποκόπτονται οι τελευταίες µεταβλητές του διανύσµατος µεταβλητών. Τα δύο επίπεδα των µεταβλητών ϑα συµβολίζονται µε 0 και 1. Ο πίνακας του σχεδιασµού περιέχει όλα τα διανύσµατα µεταβλητών µε τα οποία ϑα γίνουν οι εκτελέσεις των πειραµάτων καθώς και τις αλληλεπιδράσεις που δηµιουργούνται και έχει την εξής µορφή : Runs A B C AB BC AC D=ABC I Ο πίνακας εξηγείται στη συνέχεια. Κατ αρχάς, οι τρείς πρώτες στήλες αποτελούν ένα πίνακα πλήρους παραγοντικού σχεδιασµού. Οι υπόλοιπες στήλες αποτελούν αλληλεπιδράσεις, όπου ο αριθµός τους παράγεται µε την σχέση mod( x i+x j +...+x k ), 2 όπουx i, x j, x k δείχνουν τα επίπεδα των µεταβλητών που συµµετέχουν στην αλληλεπίδραση και το υπόλοιπο της διαίρεσης µε το 2 γίνεται, επειδή οι µεταβλητές έχουν δύο επίπεδα. Για παράδειγµα, για την 6η στήλη του πίνακα, εφαρµόστηκε η σχέση mod( x 1+x 2 ), όπου x 2 1 είναι το επίπεδο της Α µεταβλητής και x 2 το επίπεδο της C µεταβλητής. Η σχέση αυτή εφαρµόζεται για κάθε γραµµή του πίνακα. Σε όλους τους σχεδιασµούς υπάρχει η λεγόµενη ορίζουσα σχέση (defining relation) I η οποία αντιπροσωπεύει την αλληλεπίδραση όλων των µεταβλητών µεταξύ τους. Η ορίζουσα σχέση µπορεί να περιλαµβάνει και άλλο συνδυασµό µεταβλητών σε πειράµατα όπου οι µεταβλητές έχουν µεγαλύτερο αριθµό επιπέδων. Η ϐασικότερη ιδιότητά της είναι οτι αποτελεί τη µεγαλύτερη αλληλεπίδραση (µε τις περισσότερες µεταβλητές) και πρέπει να δηµιουργείται µε γνώµονα αυτήν την ιδιότητα. Σε αυτό το παράδειγµα, το I είναι ίσο µε ABCD. Οι ανεξάρτητες µεταβλητές που υπολογίζονται άµεσα είναι οι A,B,C και παράγουν της αλληλεπιδράσεις : AB, BC, AC, ABC. Για την πα- ϱαγωγή της µεταβλητής D χρησιµοποιείται η πολυπλοκότερη αλληλεπίδραση ABC. Αυτή αποτελεί και τη µοναδική γεννήτρια του σχεδιασµού. Γεννήτριες (generators) είναι οι σχέσεις που χρησιµοποιούνται για να παραχθούν οι αποκοµµένες µεταβλητές. Ουσιαστικά, είναι ταυτόσηµες µε τις αλληλεπιδράσεις, απλά έχουν διαφορετική ονοµασία που υποδηλώνει τη χρήση τους. Θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί, ως γεννήτρια, οποιαδήποτε άλλη αλληλεπίδραση AB, AC, µε το µειονέκτηµα της πτώσης της ακρίβειας του σχεδιασµού. Επιθυµείται να λαµβάνονται ως γεννήτριες, αλληλεπιδράσεις µε όσο το δυνατόν περισσότερες µεταβλητές ώστε να λαµβάνεται όσο το δυνατόν περισσότερη πληροφορία από τις ανεξάρτητες και σηµαντικές µεταβλητές. Επιπλέον, για το 2 3 σχεδιασµό, η αλληλεπίδραση ABC αποτελεί την ορίζουσα 30

43 σχέση του και αυτό την καθιστά την καλύτερη αλληλεπίδραση για την παραγωγή της αποκοµµένης µεταβλητής. Με τη χρήση της σχέσης ορισµού, υπολογίζονται οι ταυτόσηµες (aliases) επιδράσεις. Ταυτόσηµες επιδράσεις είναι αυτές που έχουν την ίδια τιµή σε κάθε εκτέλεση του πειράµατος. Για παράδειγµα, αν πολλαπλασιαστεί η ορίζουσα σχέση ABCD µε τη µεταβλητή Α, προκύπτει : AI = A 2 BCD = BCD A = BCD Το A 2 γίνεται µηδέν για όλες τις τιµές του επειδή έχει δύο επίπεδα. Αυτό, ουσιαστικά, αποτελεί µια σύµβαση και γίνεται για να περιορίζονται οι δυνάµεις των µεταβλητών των αλληλεπιδράσεων στα όρια των επιπέδων των µεταβλητών. Στην υπόψη περίπτωση, η µεγαλύτερη δύναµη είναι το 1, οπότε πολλαπλασιάζοντας το Α µε τον εαυτό του δεν µπορεί να δώσει A 2 γιατί δεν επιτρέπεται και άρα γίνεται µονάδα. Οµοίως, προκύπτει : B = ACD C = ABD D = ABC Συνεπώς είναι αδύνατο να ξεχωρίσουµε τις A και BCD, τις B και ACD, τις C και ABD, τις D και ABC. Γνωρίζοντας τα επίπεδα των A, B, C, D, ουσιαστικά είναι γνωστά τα επίπεδα των υπόλοιπων αλληλεπιδράσεων τριών µεταβλητών. Ο πίνακας 3.1 δείχνει αυτή τη σχέση ταύτισης : Runs A B C D ABC BCD ACD ABD Πίνακας 3.1: Κλασµατικός Παραγοντικός Σχεδιασµός 4 Μεταβλητών, µε δύο επίπεδα καθεµιά και οι αλληλεπιδράσεις τριών παραγόντων. Οι ταυτόσηµες επιδράσεις µπορούν να ϐρεθούν από τον πίνακα που περιέχει όλα τα διανύσµατα µεταβλητών που χρησιµοποιήθηκαν στα πειράµατα (πίνακα του σχεδια- 31

44 σµού του πειράµατος), µαζί µε τις αντίστοιχες τιµές των αλληλεπιδράσεων. Αν υπάρχει διπλή στήλη τότε οι αντίστοιχες αλληλεπιδράσεις είναι ταυτόσηµες. Η επιλογή των γεννητριών πρέπει να γίνεται µε τέτοιο τρόπο ώστε να µην υπάρχουν ταυτόσηµες, δηλαδή η κάθε γεννήτρια πρέπει να δίνει αποτέλεσµα που να µην δίνει καµία άλλη του ίδιου σχεδιασµού. Για τη δηµιουργία του πίνακα που περιέχει όλα τα διανύσµατα µεταβλητών για τις απαραίτητες εκτελέσεις του πειράµατος που µελετάται (τρεις µεταβλητές µε δυο επίπεδα) ακολουθούνται τα ϐήµατα : 1. Κατασκευάζεται ένας 2 3 πλήρες παραγοντικός σχεδιασµός. 2. Η τελευταία µεταβλητή παράγεται από τη γεννήτρια του σχεδιασµού, που ε- ίναι µόνο µια γιατί δεν χρειάζεται άλλη. Για τον υπολογισµό της τελευταίας µεταβλητής, η γεννήτρια παίρνει τη µορφή : mod( x 1+x 2 +x 3 ) όπου x 2 i είναι τα επίπεδα των µεταβλητών. Από το προηγούµενο απλό παράδειγµα, µπορεί να προκύψει η γενίκευση της διαδικασίας. Για να δηµιουργηθεί ένας 2 k p κλασµατικός παραγοντικός σχεδιασµός, απαιτούνται p ανεξάρτητες γεννήτριες. Αρχικά, επιλέγονται οι µεταβλητές που ϑα αποκοπούν. Οι ϐέλτιστες µεταβλητές που ϑα αποκοπούν είναι αυτές µε τη µικρότερη επιρροή στα αποτελέσµατα του πειράµατος. Οι επιρροές αυτές πρέπει να είναι γνωστές από προηγούµενες έρευνες ή από γνώση του πειράµατος. ηµιουργείται ο πλήρης πα- ϱαγοντικός σχεδιασµός των k p µεταβλητών. Επιλέγεται η ορίζουσα σχέση, η οποία περιέχει όλες τις µεταβλητές του πειράµατος και έχει τη µορφή : I = ABC... K (3.11) Πρέπει να σηµειωθεί ότι για πειράµατα των οποίων οι µεταβλητές έχουν πάνω από δύο επίπεδα µπορούν να δηµιουργηθούν παραπάνω από µια ορίζουσες σχέσεις. Αυτό ϐοηθά στη δηµιουργία συνόλων (blocks) που χρειάζονται σε άλλου είδους σχεδιασµούς (block design). Η ορίζουσα σχέση λύνεται ως προς µια ή περισσότερες µεταβλητές προκειµένου να ϐρεθούν οι ταυτόσηµες επιδράσεις. Λύνοντας τη σχέση 3.11 ως προς τη µεταβλητή K, προκύπτει : K = ABC... (K 1) (3.12) Η εξίσωση 3.12 είναι κωδικοποιηµένη ως προς τις µεταβλητές. Για τη µετατροπή της σε µια γραφή που περιέχει τα επίπεδα µεταβλητών, υπολογίζεται : x k = x 1 + x x k 1 (3.13) 32

45 Στην περίπτωση που ο σχεδιασµός απαιτεί την αποκοπή µιας µόνο µεταβλητής, η ορίζουσα σχέση λυµένη ως προς την αντίστοιχη µεταβλητή αποτελεί την τέλεια γεννήτρια για τη µεταβλητή K. Σε αντίθετη περίπτωση, η διαδικασία προχωρά στο επόµενο ϐήµα. Καταγράφονται όλες οι αλληλεπιδράσεις που µπορούν να σχηµατιστούν µε τις k p µεταβλητές του πλήρους παραγοντικού σχεδιασµού. Επιλέγονται p αλληλεπιδράσεις οι οποίες ϑα γίνουν γεννήτριες για την παραγωγή των επιπέδων των p αποκοµµένων µεταβλητών. Οι αλληλεπιδράσεις πρέπει να έχουν το µεγαλύτερο δυνατό αριθµό µεταβλητών χωρίς να αλληλοκαλύπτονται. ηλαδή, δεν είναι ορθό να επιλεχθούν οι αλληλεπιδράσεις ABC, AB, επειδή η ABC εµπεριέχει την άλλη AB. Γενικά, η επιλογή των γεννητριών είναι µια δύσκολη διαδικασία που απαιτεί γνώση του πειράµατος και του σχεδιασµού. Αφού έχουν ορισθεί οι γεννήτριες, χρησιµοποιούν για να παράξουν τις p αποκοπτόµενες µεταβλητές. Για κάθε γραµµή του πλήρους παραγοντικού σχεδιασµού που έχει δηµιουργηθεί από τις k p µεταβλητές, εφαρµόζονται οι τύποι των γεννητριών και παράγουν την αντίστοιχη µεταβλητή. Ενα παράδειγµα ϑα διευκολύνει την κατανόηση της διαδικασίας. Εστω ένα πείραµα µε 6 µεταβλητές (A, B, C, D, E, F ) απαιτεί κλασµατικό παραγοντικό σχεδιασµό. ηµιουργείται ο πλήρες παραγοντικός σχεδιασµός για τις πρώτες τέσσερις µεταβλητές ϐλ. Πίνακα 3.2. Runs A B C D Πίνακας 3.2: καθεµιά Πλήρης Παραγοντικός Σχεδιασµός 4 Μεταβλητών, µε δύο επίπεδα Επιλέγεται η ορίζουσα σχέση I = ABCDEF, που περιέχει όλες τις µεταβλητές του 33

46 πειράµατος. Ο σχεδιασµός απαιτεί δύο γεννήτριες που να περιέχουν συνδυασµό των τεσσάρων πρώτων µεταβλητών. Απαιτούνται δύο µόνο γεννήτριες γιατί αυτός είναι και ο αριθµός των αποκοπτόµενων µεταβλητών. Οι γεννήτριες, που ϑα οδηγήσουν στον καλύτερο σχεδιασµό, είναι E = ABC, F = BCD (x 5 = x 1 + x 2 + x 3, x 6 = x 2 + x 3 + x 4 ), γιατί δεν αλληλοκαλύπτονται και περιέχουν όσο το δυνατόν περισσότερες µεταβλητές. εν επιλέγεται η γεννήτρια ABCD γιατί η επόµενη γεννήτρια που ϑα επιλεγθεί ϑα εµπεριέχεται ολόκληρη στην πρώτη γεννήτρια. Σε αυτήν την περίπτωση, λέγεται ότι οι γεννήτριες αλληλοκαλύπτονται και οδηγεί σε αύξηση των ταυτόσηµων επιδράσεων. Στη συνέχεια, για κάθε γραµµή του πίνακα 3.2 εφαρ- µόζονται οι γεννήτριες για την παραγωγή των τιµών των άλλων δύο µεταβλητών. Το αποτέλεσµα της κάθε γεννήτριας διαιρείται µε το 2 (επίπεδο της µεταβλητής) και λαµβάνεται το υπόλοιπο της διαίρεσης ως η τιµή της αντίστοιχης µεταβλητής. Για την πρώτη γραµµή, η µεταβλητή E λαµβάνει την τιµή 0 (x 5 = mod ) = 0) και 2 η F την τιµή 0 (x 6 = mod = 0). Για τη δεύτερη γραµµή, η µεταβλητή E λαµ- 2 ϐάνει την τιµή 1 (x 5 = mod ) = 1) και η F την τιµή 0 (x 2 6 = mod = 0). Με 2 παρόµοιο τρόπο συµπληρώνονται και οι υπόλοιπες γραµµές. Ο τελικός πίνακας ϑα έχει την µορφή 3.3. Runs A B C D E=ABC F=BCD Πίνακας 3.3: µεταβλητή Κλασµατικός Παραγοντικός Σχεδιασµός 2 6 2, µε δύο επίπεδα ανά Παρατηρείται ότι ο σχεδιασµός έχει 16 εκτελέσεις του πειράµατος αντί για 2 6 = 64 που ϑα περιείχε ο πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός. Κατά παρόµοιο τρόπο, δηµιουργούνται και σχεδιασµοί περισσότερων µεταβλητών σχεδιασµού. 34

47 3.2.2 Αναλυτική Τάξη Σχεδιασµού Οι σχεδιασµοί έχουν αναλυτική τάξη R [25], αν καµία επίδραση p µεταβλητών δεν είναι ταυτόσηµη µε άλλη επίδραση που περιέχει λιγότερες από R p µεταβλητές. Οι αναλυτική τάξη συµβολίζεται µε τη Ρωµαϊκή αρίθµηση. Βασικές αναλυτικές τάξεις είναι οι εξής : 1. Σχεδιασµοί αναλυτικής τάξης III: Οι κύριες επιδράσεις µπορεί να είναι ταυτόσηµες µε αλληλεπιδράσεις δύο µεταβλητών και οι αλληλεπιδράσεις δύο µεταβλητών µπορεί να είναι ταυτόσηµες µεταξύ τους. Εποµένως, επιδράσεις µιας (1) µεταβλητής δεν είναι ταυτόσηµες µε επιδράσεις λιγότερων από 3 1 µεταβλητών. Για παράδειγµα, ένας σχεδιασµός µε ορίζουσα σχέση I = ABC είναι αναλυτικής τάξης III. 2. Σχεδιασµοί αναλυτικής τάξης IV : Οι αλληλεπιδράσεις δύο µεταβλητών µπο- ϱεί να είναι ταυτόσηµες µε αλληλεπιδράσεις τριών και πάνω µεταβλητών. Οι κύριες επιδράσεις (µια µεταβλητή p = 1) δεν είναι ταυτόσηµες µε αλληλεπιδράσεις δύο παραγόντων R p > 2 R = 4. Για παράδειγµα, ένας σχεδιασµός µε ορίζουσα σχέση I = ABCD είναι αναλυτικής τάξης IV. 3. Σχεδιασµοί αναλυτικής τάξης V : Οι αλληλεπιδράσεις δύο µεταβλητών µπο- ϱεί να είναι ταυτόσηµες µε αλληλεπιδράσεις τριών µεταβλητών και πάνω. Οι κύριες επιδράσεις (µια µεταβλητή p = 1) δεν είναι ταυτόσηµες µε αλληλεπιδράσεις τριών παραγόντων R p > 3 R = 5. Για παράδειγµα, ένας σχεδιασµός µε ορίζουσα σχέση I = ABCDE είναι αναλυτικής τάξης V. Η υψηλότερη δυνατή αναλυτική τάξη ενός κλασµατικού παραγοντικού σχεδιασµού προσφέρει καλύτερο σχεδιασµό, αξιοπιστία στα δεδοµένα και απαιτούνται λιγότεροι περιορισµοί σχετικά µε υποθέσεις περί αµελητέων αλληλεπιδράσεων. Η αναλυτική τάξη παρέχει πληροφορίες για την εγκυρότητα του σχεδιασµού και την ακρίβειά του k p και l k p Κλασµατικός Παραγοντικός Σχεδιασµός Πολλές ϕορές υπάρχει ανάγκη ανάλυσης πειραµάτων µε µεταβλητές που έχουν πε- ϱισσότερα από δύο επίπεδα, κατ αντιστοιχία µε αυτά που αναφέρθηκαν στον πλήρη παραγοντικό σχεδιασµό. Με τον τρόπο αυτό, ο σχεδιασµός δίνει καλύτερη εποπτεία του πειράµατος και προσφέρει τη δυνατότητα δηµιουργίας προτύπων παλινδρόµησης µεγαλύτερου ϐαθµού. Κατ αντιστοιχία µε τα πειράµατα µεταβλητών δύο επιπέδων, ένας Κλασµατικός Πα- ϱαγοντικός Σχεδιασµός µε k µεταβλητές τριών επιπέδων και p µεταβλητές που ϑα αποκοπούν ονοµάζεται είτε 3 k p κλασµατικός παραγοντικός σχεδιασµός, είτε 1/3 p κλάσµα του 3 k παραγοντικού σχεδιασµού. Πάλι, για τη δηµιουργία των p µεταβλητών που ϑα αποκοπούν χρειάζονται p γεννήτριες. Σε αυτήν την περίπτωση, οι γεννήτριες είναι περισσότερες επειδή οι αλληλεπιδράσεις (ουσιαστικά είναι ταυτόσηµες µε τις 35

48 γεννήτριες) µπορούν να λάβουν διαφορετικούς συντελεστές. Στην υποενότητα των αλληλεπιδράσεων αναφέρθηκαν αλληλεπιδράσεις της µορφής A c 1 B c 2 C c 3... K c k (3.14) όπου τα c k είναι δυνάµεις που υποδηλώνουν την τάξη της αλληλεπίδρασης. Υπενθυ- µίζεται ότι οι συντελεστές c k παίρνουν τιµές µικρότερες του επιπέδου της µεταβλητής στην οποία αντιστοιχούν (c k < l k ). Η ουσιαστική διαφορά που υπάρχει µε τον σχεδιασµό δύο επιπέδων 2 k p είναι οι αλληλεπιδράσεις-γεννήτριες. Η διαδικασία ϑα αναλυθεί όπως προηγουµένως, παρουσιάζοντας τη γενική διαδικασία και ένα πα- ϱάδειγµα παράλληλα. Το παράδειγµα ϑα αφορά ένα πείραµα µε έξι µεταβλητές, τρία επίπεδα καθεµιά και δυο µεταβλητές που πρέπει να αποκοπούν. Πρόκειται, δηλαδή, για ένα σχεδιασµό Η διαδικασία είναι η ακόλουθη : 1. Επιλέγονται οι p µεταβλητές που ϑα αποκοπούν. Οι ϐέλτιστες µεταβλητές που ϑα αποκοπούν είναι αυτές µε τη µικρότερη επιρροή στα αποτελέσµατα του πειράµατος. Η επιρροή των µεταβλητών είτε έχει ϐρεθεί από άλλη ανάλυση είτε από γνώση του πειράµατος. Στο παράδειγµα ϑα επιλεχθούν οι δύο τελευταίες χωρίς να εµποδίσει την γενικότητα της διαδικασίας. 2. ηµιουργείται ο πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός των k p µεταβλητών. Αυτός ϑα περιέχει 3 k p διανύσµατα µεταβλητών για τις αντίστοιχες εκτελέσεις του πειράµατος. Στο παράδειγµα που χρησιµοποιείται απαιτούνται 27 εκτελέσεις, άρα ο αντίστοιχος πίνακας του σχεδιασµού έχει 27 γραµµές και ϑα είναι ο ακόλουθος ϕαίνεται στον Πίνακα Ορίζεται η ορίζουσα σχέση. Αυτή πρέπει να περιέχει όλες τις µεταβλητές που πειράµατος και, ουσιαστικά, αποτελεί τη µεγαλύτερη αλληλεπίδραση. Εχει τη µορφή : I = A c 1 B c 2 C c 3... K c k (3.15) όπου τα c k είναι δυνάµεις που υποδηλώνουν την τάξη της αλληλεπίδρασης. 4. Επιλέγονται οι p γεννήτριες του σχεδιασµού. Στην περίπτωση που απαιτείται η αποκοπή µίας µεταβλητή (p = 1), τότε η ορίζουσα σχέση επιλύεται ως προς την επιθυµητή µεταβλητή : K = A c 1 B c 2 C c 3... (K 1) c k 1 (3.16) Ο συντελεστής c k δεν λαµβάνεται υπόψη για να δηµιουργηθεί η επιθυµητή γεννήτρια. Συνηθίζεται η πρώτη µεταβλητή που περιέχεται στη γεννήτρια ή/και στην αλληλεπίδραση να έχει συντελεστή c k ίσο µε την µονάδα. Η εξίσωση 3.16 είναι γραµµένη µε τέτοιο τρόπο ώστε τα αποτελέσµατα παίρνουν τιµές µικρότερες του επιπέδου των µεταβλητών. Η µετατροπή της σε αυτή την γραφή δίνεται από τη σχέση : x k = d 1 x 1 + d 2 x d k 1 x k 1 (3.17) 36

49 Runs A B C Πίνακας 3.4: Πλήρης Παραγοντικός Σχεδιασµός 3 5 2, µε τρία επίπεδα. όπου d i = [(l k c k )c i ]mod(l k ) για κάθε i από 1 έως και k 1. Η µετατροπή του c k σε d k γίνεται έτσι ώστε τα αποτελέσµατα να είναι µικρότερα των επιπέδων της αντίστοιχης µεταβλητή. ηλαδή, αν η µεταβλητή K είχε τέσσερα (4) επίπεδα, ο d i ϑα πρέπει να κυµαίνεται από 0 έως και 3. Στην περίπτωση που ο σχεδιασµός απαιτεί την αποκοπή µιας µόνο µεταβλητής, η ορίζουσα σχέση λυµένη ως προς την αντίστοιχη µεταβλητή αποτελεί την καλύτερη δυνατή γεννήτρια για τη µεταβλητή k. Σε αντίθετη περίπτωση, η διαδικασία προχωρά στην εύρεση των γεννητριών. Καταγράφονται όλες οι αλληλεπιδράσεις που µπορούν να σχηµατιστούν µε τις k p µεταβλητές του πλήρους παραγοντικού σχεδιασµού. Επιλέγονται p αλληλεπιδράσεις οι οποίες ϑα γίνουν γεννήτριες για την παραγωγή των ε- πιπέδων των p αποκοπτόµενων µεταβλητών. Οι αλληλεπιδράσεις πρέπει να 37

50 έχουν το µεγαλύτερο δυνατό αριθµό µεταβλητών χωρίς όµως να αλληλοκαλύπτονται. ηλαδή, δεν πρέπει οι επιδράσεις που πιθανά ενδιαφέρουν να είναι ταυτόσηµες µεταξύ τους. Για παράδειγµα, οι αλληλεπιδράσεις του πειράµατος του παραδείγµατος (σχεδιασµός ) ABC, ABC 2 περιέχουν ακριβώς τις ίδιες µεταβλητές, άρα αλληλοκαλύπτονται και δεν ϑα παρέχουν καλή ποιότητα στον σχεδιασµό αν ληφθούν και οι δυο ταυτόχρονα. Γενικά, η επιλογή των γεννητριών είναι δύσκολη διαδικασία που απαιτεί γνώση του πειράµατος και του σχεδιασµού. Πρώτα επιλέγονται γεννήτριες µε συντελεστές c k µονάδα, καθώς αυτοί έχουν αποδειχθεί, µέσω δοκιµών και πειραµάτων, ότι έχουν τις µεγαλύτερες επιρϱοές. Οι γεννήτριες µετατρέπονται σε σχέσεις της µορφής (x 1 +c 2 x c k x k ) όπως έγινε και παραπάνω. Οι γεννήτριες µετατρέπονται σε σχέσεις της µορφής : (x 1 + c 2 x c k x k ) Το αποτέλεσµα τους πρέπει να είναι µικρότερο του µεγαλύτερου επιπέδου της µεταβλητής που ϑα πα- ϱάγουν, για αυτό και υπολογίζεται το υπόλοιπο της διαίρεσης της σχέσης της αλληλεπίδρασης µε το επίπεδο της αντίστοιχης µεταβλητής. Γενικότερα, σε πειράµατα µε πολλές µεταβλητές και (κατά επέκταση) επιδράσεις υποθέτου- µε ότι οι υψηλής τάξης αλληλεπιδράσεις είναι αµελητέες. Στο παράδειγµα που χρησιµοποιείται, υπάρχουν οι αλληλεπιδράσεις ABC, AB, BC, AC µε συντελεστές µονάδα στο καθένα και AB 2 C 2, ABC 2, AB 2 C, AB 2, BC 2, AC 2 µε συντελεστές 1 και 2. Παρατηρείται αµέσως πόσες διαφορετικές αλληλεπιδράσεις δηµιουργούν σε σχέση µε αυτές των πειραµάτων µε δύο επίπεδα. Χρειάζονται δύο γεννήτριες για την παραγωγή των µεταβλητών D και E. Επιλέγονται οι γεννήτριες D = AB και E = BC, επειδή δεν αλληλοκαλύπτονται. Μετατρέπονται σε επίπεδα µεταβλητών : x 4 = x 1 + x 2 (3.18) Οι σχέσεις αυτές χρησιµοποιούνται στο επόµενο ϐήµα. x 5 = x 2 + x 3 (3.19) 5. ηµιουργούνται οι αποκοπτόµενες µεταβλητές µε τη ϐοήθεια των γεννητριών. Η µετατροπή της γεννήτριας σε µορφή επιπέδων έχει ήδη πραγµατοποιηθεί από το προηγούµενο ϐήµα. Λαµβάνονται οι µεταβλητές κάθε γραµµής και ε- ϕαρµόζοντας τις γεννήτριες παράγονται οι αντίστοιχες µεταβλητής της αντίστοιχης γραµµής. Η συνέχεια του παραδείγµατος δίνει µια καλύτερη εποπτεία του ϐήµατος. Εφαρµόζεται η σχέση 3.18 για τη δηµιουργία της µεταβλητής D και η 3.19 για την E. Συµπληρώνεται ο πίνακας 3.4 και κατασκευάζεται ο τελικός πίνακας 3.5 του κλασµατικού παραγοντικού σχεδιασµού. Η διαδικασία είναι παρόµοια και για πειράµατα µε µεταβλητές που χωρίζονται σε περισσότερα επίπεδα. Σε πειράµατα όπου οι µεταβλητές δεν έχουν τον ίδιο αριθµό επιπέδων, εφαρµόζεται όλη η διαδικασία που αναλύθηκε πριν, µε τη διαφορά ότι ο αρχικός πίνακας του πλήρους παραγοντικού σχεδιασµού δηµιουργείται µε τη διαδικασία του κεφαλαίου

51 Runs A B C D=AB E=BC Πίνακας 3.5: Κλασµατικός Παραγοντικός Σχεδιασµός Τυχαιοποιηµένος Σχεδιασµός Πειραµάτων (Ramdomized design) Σε ένα πείραµα, χρησιµοποιείται ο τυχαιοποιηµένος (µπορεί να ονοµαστεί και τυχηµατικός) σχεδιασµός (Ramdomized design) [4] [26] για να µελετηθεί η επιρροή των ανεξάρτητων µεταβλητών, χωρίς να λαµβάνεονται υπόψη µεταβλητές ϑορύβου. Καταφέρνει να µειώσει το ϑόρυβο και τη µεγάλη διακύµανση των δεδοµένων. Με τον όρο θόρυβο νοείται µια παράµετρος που επηρεάζει την απόκριση του πειράµατος και δεν επιθυµείται να ληφθεί υπόψη. Ουσιαστικά, οι ενοχλητικές µεταβλητές ϑα έπρεπε να απουσιάζουν από το πείραµα ώστε να µελετηθεί µε ακρίβεια η επιρροή των µεταβλητών που ενδιαφέρουν τον πειραµατιστή. Η χρήση του τυχαιοποιηµένου σχεδιασµού µειώνει την επίδραση ενοχλητικών µεταβλητών (ϑόρυβος) που οδηγεί 39

52 ταυτόχρονα και σε µείωση του πειραµατικού σφάλµατος. Υπάρχει ο πλήρης τυχαιοποιηµένος σχεδιασµός (Completely Randomized Design). Σε έναν τέτοιο σχεδιασµό, οι τιµές των µεταβλητών εκλέγονται τυχαία, µε τη ϐοήθεια µιας γεννήτριας τυχαίων αριθµών. Για κάθε µεταβλητή, εκλέγεται τυχαία µια τιµή µέσα στο πεδίο ορισµού της. ηµιουργείται, έτσι, ένα διάνυσµα µεταβλητών για µία εκτέλεση του πειράµατος. Αυτό επαναλαµβάνεται για όσες εκτελέσεις του πει- ϱάµατος επιθυµούνται να πραγµατοποιηθούν. ηµιουργείται ο πίνακας σχεδιασµού που περιέχει όλα τα διανύσµατα µεταβλητών για τις εκτελέσεις. Πραγµατοποιούνται οι εκτελέσεις και, στη συνέχεια, ακολουθεί η υπόλοιπη διαδικασία κατασκευής του σχεδιασµού (δηµιουργία µεταπροτύπων, ανάλυση επιρροών κ.τ.λ). Ο σχεδιασµός αυτός δεν εµπεριέχει επίπεδα και δεν χρειάζεται η διακριτοποίηση των µεταβλητών όπως γίνεται στους παραγοντικούς σχεδιασµούς. Υπάρχει και ένας συνδυασµός παραγοντικού και τυχαιοποιηµένου σχεδιασµού. Στον σχεδιασµό αυτό, δηµιουργείται πρώτα ένας πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός. Για τον λόγο αυτό, απαιτείται ο χωρισµός των µεταβλητών σε επίπεδα. Ο πίνακας του πλήρους παραγοντικού σχεδιασµού αποτελείται από όλα τα διανύσµατα των µετα- ϐλητών µε τα οποία ϑα γίνουν οι εκτελέσεις του πειράµατος. Η τυχαιότητα της µεθόδου έγκειται στη σειρά που ϑα πραγµατοποιηθούν οι εκτελέσεις. Μια γεννήτρια τυχαίων αριθµών αποφασίζει ποιό διάνυσµα µεταβλητών από τον πίνακα ϑα χρησιµοποιηθεί για κάθε εκτέλεση, δηλαδή καθορίζει τη σειρά µε την οποία ϑα χρησιµοποιηθούν τα διανύσµατα µεταβλητών για κάθε εκτέλεση. Αυτό µπορεί να γίνει µε οποιοδήποτε πίνακα παραγοντικού σχεδιασµού, είτε πλήρους είτε κλασµατικού. Ο σχεδιασµός αυτού του τύπου έχει λιγότερη τυχαιότητα και κατ επέκταση έχει καλύτερη ποιότητα και αξιοπιστία από τον προηγούµενο σχεδιασµό. Η υπόλοιπη ενότητα εστιάζει περισσότερο σε αυτό το είδος σχεδιασµού καθώς αυτός αναπτύχθηκε στο λογισµικό DoE. Ετσι και αλλιώς, η διαδικασία που ακολουθείται και στις δύο µεθόδους είναι παρόµοια. Με τον τρόπο κατασκευής των τυχαιοποιηµένων σχεδιασµών, αν µια ανεπιθύµητη µεταβλητή επηρεάζει τα αποτελέσµατα του πειράµατος, η επιρροή της χάνεται µέσα στην τυχαιότητα των εκτελέσεων του πειράµατος. Στην περίπτωση που οι ενοχλητικές µεταβλητές είναι άγνωστες και µη-ελέγξιµες, ο σχεδιασµός δεν τις λαµβάνει υπόψη του, εκτελεί κανονικά τις εκτελέσεις, αλλά µε τυχαία σειρά. Για την καλύτερη κατανόηση του παρουσιάζεται ένα απλό παράδειγµα. Εστω ότι ένα πείραµα έχει δύο µεταβλητές µε τρία επίπεδα η καθεµιά. Υπάρχουν εννιά (9) διαφορετικοί συνδυασµοί 40

53 επιπέδων µεταβλητών (ϐλ. παρακάτω πίνακα) Ο πίνακας αυτός αποτελεί τον πίνακα εκτελέσεων ενός πλήρους παραγοντικού συνδυασµού. Σε ένα µη-τυχαιοποιηµένο σχεδιασµό, η απλούστερη επιλογή ϑα ήταν να γίνουν τα πειράµατα µε τη σειρά που ϐρίσκονται στον πίνακα. Σε ένα τυχαιοποιηµένο σχεδιασµό, πριν από κάθε εκτέλεση ϑα επιλεγόταν ένας συνδυασµός ε- πιπέδων τυχαία από τον παραπάνω πίνακα και ϑα εκτελούταν το πείραµα. Αυτό ϑα επαναλαµβανόταν µέχρι να έχουν εκτελεστεί όλοι οι συνδυασµοί. Στην πράξη, η τυχαία αυτή επιλογή γίνεται µε τη ϐοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών και µε ειδικά προγράµµατα παραγωγής τυχαίων αριθµών. Η σειρά µε την οποία ϑα εκτελεστούν έχει 6! (το ϑαυµαστικό δηλώνει τον παραγοντικό αριθµό, δηλαδή στο παράδειγµα 6!=1*2*3*4*5*6) διαφορετικούς συνδυασµούς. Βασικοί παράγοντες που επηρεάζουν τον σχεδιασµό είναι : 1. Ανεξάρτητες µεταβλητές. 2. Επίπεδα κάθε µεταβλητής. 3. Επαναλήψεις κάθε πειράµατος (εδώ, δεν ασχολούµαστε µε στοχαστικά πει- ϱάµατα, απλά αναφέρεται για πληρότητα). 4. Μέγεθος του δείγµατος των εκτελέσεων που ϑα πραγµατοποιηθούν. Σηµειώνεται ότι, για λόγους οµοιοµορφίας, υπαγορεύεται ο αριθµός των επαναλήψεων να είναι ίδιος για όλες τις εκτελέσεις του πειράµατος. Το δείγµα των εκτελέσεων µπορεί να είναι όλοι οι συνδυασµοί των επιπέδων των µεταβλητών, δηλαδή αυτό που γίνεται σε ένα πλήρες παραγοντικό σχεδιασµό. Επειδή πολλές ϕορές αυτό είναι χρονοβόρο και µε µεγάλο κόστος, το δείγµα µπορεί να είναι ένα υποσύνολο των πιθανών συνδυασµών. Σε αυτήν την περίπτωση, υπάρχει η πιθανότητα να µην ληφθεί αντιπροσωπευτικό δείγµα συνδυασµών, γεγονός που µπορεί να οδηγήσει σε λανθασµένο σχεδιασµό πειράµατος. Στην περίπτωση που οι ενοχλητικές µεταβλητές είναι γνωστές και ελέγξιµες, εφαρ- µόζεται ο τυχαιοποιηµένος σχεδιασµός κατά µπλοκ (block). Κάθε ενοχλητική µεταβλητή χωρίζεται σε επίπεδα. Κάθε επίπεδο µιας µεταβλητής αποτελεί το κύριο χαρακτηριστικό ενός µπλοκ. Υπάρχει ένας γενικός κανόνας : ηµιούργησε µπλοκ µε ότι µπορείς, τυχαιοποίησε ότι δεν µπορείς. Τα µπλοκ δηµιουργούνται για να 41

54 αφαιρέσουν την επιρροή των ϐασικότερων µεταβλητών ϑορύβου. Η τυχαιοποίηση χρησιµοποιείται για να µειώσει την επιρροή των υπόλοιπων µεταβλητών ϑορύβου, που δεν µπορούν να ελεχθούν. Σε ένα µπλοκ, κρατάται σταθερή η ενοχλητική µεταβλητή και εκτελούνται όλα τα πειράµατα. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα, σε κάθε µπλοκ να υπάρχουν όλοι οι συνδυασµοί επιπέδων των ανεξάρτητων µεταβλητών και να σταθεροποιείται η επιρροή των ενοχλητικών µεταβλητών. Μετά το πέρας των πειραµάτων, γίνεται στατική ανάλυση των µπλοκ, ώστε να εξαχθεί η επιρροή των ενοχλητικών µεταβλητών. Ο σχεδιασµός µε µπλοκ µπορεί να είναι χρήσιµος για να αποκλειστούν από το πείραµα µεταβλητές ϑορύβου, αλλά οδηγεί και στην ενδυνάµωση των επιρροών των άλλων µεταβλητών. Για παράδειγµα, κρατάται σταθερή µια µεταβλητή σε κάθε µπλοκ και οι υπόλοιπες µεταβλητές παραµένουν τυχαίες έτσι ώστε να εξακριβωθεί η επιρροή της µεταβλητής του µπλοκ. Ο σχεδιασµός αυτός έχει την ευελιξία να µπορούν να εκτελεστούν όσα πειράµατα επιθυµούνται χωρίς κάποιο περιορισµό. Αυτό παρέχει πλεονέκτηµα σε πειράµατα όπου οι µεταβλητές έχουν χωρισθεί σε πολλά επίπεδα Στατιστική Ανάλυση του Τυχαιοποιηµένου Σχεδιασµού Block 1 y 11 y 21 y 31 Block 2 y 12 y 22 y Block b y 1b y 2b y 3b (3.20)... y a1 y a2 y ab Εστω ότι υπάρχουν ab αποκρίσεις µίας αντικειµενικής συνάρτησης, τότε χωρίζονται σε b µπλοκ έτσι ώστε κάθε µπλοκ να περιέχει αποκρίσεις από διαφορετικούς συνδυασµούς µεταβλητών. Ουσιαστικά, υπάρχουν b επαναλήψεις των εκτελέσεων του πειράµατος µε το ίδιο διάνυσµα µεταβλητών αλλά διαφορετικές µεταβλητές ϑορύβου. Οι εκτελέσεις µέσα στα µπλοκ γίνονται τυχαία και για αυτό τα µπλοκ αποτελούν πε- ϱιορισµό στην τυχαιότητα. Το κλασικό πρότυπο για τη στατιστική µοντελοποίηση του πλήρους τυχαιοποιηµένου σχεδιασµού µε µπλοκ είναι το πρότυπο επιρροής [;]. y ij = µ + τ i + β j + ɛ ij { i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b (3.21) όπου µ είναι ο συνολικός µέσος, τ i είναι η επίδραση της i εκτέλεσης, β j είναι η επίδραση του j µπλοκ και ɛ ij τα γνωστά τυχαία λάθη. Συνήθως, ϑεωρείται ότι η 42

55 επιδράσεις ορίζονται ως αποκλίσεις από το συνολικό µέσο µ, άρα ισχύουν οι τύποι : a τ i = 0 i=1 b β j = 0 (3.22) i=1 Πρέπει να ελεγχθεί η υπόθεση : H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ a (3.23) H 0 : at least one µ i µ j (3.24) όπου µ i = (1/b) b j=1 (µ + τ i + β j ) = µ + τ i και άρα η εξίσωση µπορεί να γραφεί ως : H 0 : τ 1 = τ 2 =... = τ a (3.25) H 0 : at least one τ i τ j (3.26) Ορίζονται ορισµένα µεγέθη : y i. = y.j = y.. = b y ij i = 1, 2,..., a (3.27) j=1 a y ij j = 1, 2,..., b (3.28) i=1 a i=1 j=1 b y ij (3.29) Η συνολική διακύµανση αποτελείται από τρεις ποσότητες, την διακύµανση των α- ναπαραγωγών SS treatment, των επαναλήψεων/µπλοκ SS blocks και του σφάλµατος SS error. Η διακύµανση του σφάλµατος είναι το άθροισµα των τετραγώνων µεταξύ των παρατηρήσεων µείον το άθροισµα των τετραγώνων των αναπαραγωγών και των µπλοκ. Υπάρχουν ab συνολικές παρατηρήσεις µε ab 1 ϐαθµούς ελευθερίας, οπότε η διακύµανση του σφάλµατος έχει ab 1 (a 1) (b 1) = (a 1)(b 1) ϐαθµούς ελευθερίας. Οι ποσότητες SS treatment /s 2, SS blocks /s 2, SS error /s 2 είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές µε κατανοµή Χ. Η προβλεπόµενη τιµή του µέσου τετραγώνων µπορεί να αποδειχθεί : 43

56 E(MS treatments ) = σ 2 + b a i=1 τ i 2 (3.30) a 1 E(MS blocks ) = σ 2 + a b j=1 β2 j (3.31) b 1 E(MS error ) = σ 2 (3.32) Εποµένως, για να ελεχθεί υπόθεση, χρησιµοποιείται ο στατιστικός όρος F 0 = MS treatment MS error (3.33) Η υπόθεση H 0 της σχέσης 3.25 ϑα απορρίπτεται όταν ισχύει : F 0 > F a,a 1,(a 1)(b 1) (3.34) Ο έλεγχος αυτός ονοµάζεται έλεγχος F. Πολλές ϕορές, ερευνάται ο λόγος του MS blocks µε το MS error αντί να γίνει ο έλεγχος F. Αν ο λόγος είναι µεγάλος, υ- πονοείται ότι η µεταβλητή του µπλοκ έχει µεγάλη επιρροή και ότι η µείωση του ϑορύβου που προέκυψε από το µπλοκ ήταν χρήσιµη για τη ϐελτίωση της σύγκρισης των µέσων αναπαραγωγών. Source Degrees of V ariation Sum of Squares of F reedom Mean Square F 0 SS T reatments SS t reatments a 1 treatments a 1 SS Blocks SS blocks b 1 blocks b 1 SS Error SS error (a 1)(b 1) error (a 1)(b 1) T otal SS total N 1 MS treatments MS error Η διαδικασία που ακολουθείται είναι ο υπολογισµός των στοιχείων του πίνακα. Για τον υπολογισµό του, οι παρακάτω τύποι είναι χρήσιµοι. 44

57 SS total = a i=1 b j=1 SS treatments = 1 b SS total = 1 a b j=1 y 2 ij y2.. N a i=1 y 2.j y2.. N y 2 i. y2.. N (3.35) (3.36) (3.37) SS error = SS total SS treatments SS blocks (3.38) 3.4 Σχεδιασµός Κεντρικής Σύνθεσης Ο σχεδιασµός κεντρικής σύνθεσης (Central Composite Design) [4] [27] είναι ένας σχεδιασµός πειραµάτων, που επιφέρει µεγαλύτερη ακρίβεια στο πρότυπο που ϑα χρησιµοποιηθεί στη συνέχεια, χωρίς όµως να αυξάνει τα επίπεδα των µεταβλητών. Εφαρµόζεται µόνο σε ποσοτικές ανεξάρτητες µεταβλητές σχεδιασµού που είναι συνεχείς στο πεδίο ορισµού τους. Ο σχεδιασµός αυτός αποτελείται από [28]: 1. Εναν παραγοντικό σχεδιασµό, όπως αυτός αναλύθηκε σε παραπάνω ενότητα. Ο σχεδιασµός αυτός µπορεί να είναι κλασµατικός ή πλήρης αλλά, ανεξάρτητα από αυτό, χρησιµοποιείται όταν υπάρχει πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός µε λίγα επίπεδα και επιθυµείται να αυξηθεί η ακρίβεια του σχεδιασµού. Ο σχεδιασµός αυτός ονοµάζεται αρχικός σχεδιασµός. 2. Μια οµάδα από κεντρικά σηµεία, των οποίων οι τιµές είναι το µέσο των τι- µών κάθε µεταβλητής πολλαπλασιασµένο µε έναν παράγοντα. Για την καλύτε- ϱη κατανόηση των σηµείων, σε ένα πρόβληµα τριών µεταβλητών σχεδιασµού, η κατασκευή σχεδιασµού κεντρικής σύνθεσης από έναν πλήρη παραγοντικό σχεδιασµό ϑα τοποθετούσε τα κεντρικά σηµεία στο κέντρο των τετραγώνων που δηµιουργεί ο χώρος των τριών µεταβλητών. 3. Μία οµάδα από αξονικά σηµεία, των οποίων οι τιµές ϐρίσκονται από τα κεντρικά σηµεία, αυξάνοντας κάθε ϕορά κατά ένα παράγοντα την τιµή της αντίστοιχης µεταβλητής. Για την καλύτερη κατανόηση των σηµείων παρουσιάζεται το σχήµα 3.1. Σε περίπτωση που υπάρχουν δύο επίπεδα σε κάθε µεταβλητή, τα κεντρικά σηµεία υπολογίζονται µε τον µέσο όρο των επιπέδων κάθε µεταβλητής. Ενας παράγοντας πολλαπλασιάζεται στην κάθε συντεταγµένη των κεντρικών σηµείων για να παραχθούν τα αξονικά σηµεία. Ο παράγοντας αυτός είναι η ακτίνα του κύκλου που σχηµατίζουν τα αξονικά σηµεία σε σχέση µε τα κεντρικά (δηλαδή, τα αξονικά σηµεία ϐρίσκονται σε έναν κύκλο σε σχέση µε τα κέντρα). Αποτελεί σηµαντική παράµετρο στον σχεδιασµό 45

58 Σχήµα 3.1: Σχεδιασµός κεντρικής σύνθεσης για τρία µεταβλητές µε δύο επίπεδα. αυτού του τύπου και η τιµή της αλλάζει ανάλογα µε το πρόβληµα και την περιοχή προσέγγισης. Σε ένα 2 p παραγοντικό σχεδιασµό, οι τιµές των αξονικών σηµείων σε κάθε κατεύθυνση υποδηλώνει τα νέα µέγιστα και ελάχιστα κάθε µεταβλητής, αν η ακτίνα είναι µεγαλύτερη της µονάδας. Σηµειώνεται ότι η ακτίνα καθορίζεται αδιαστατοποιηµένη σε σχέση µε τις τιµές των µεταβλητών σχεδιασµού. Υπάρχουν τριών ειδών διαφορετικοί σχεδιασµοί : 1. Οριοθετηµένος (Circumscribed, CCC): Αυτός είναι ο πιο συνηθισµένος σχεδιασµός. Τα αξονικά σηµεία απέχουν από το κέντρο κατά µία απόσταση (α), η οποία εξαρτάται από το πρόβληµα και το ποια σηµεία του χώρου των µετα- ϐλητών ενδιαφέρουν τον σχεδιασµό. Τα αξονικά σηµεία διευρύνουν τα όρια κάθε µεταβλητής. Υπάρχει κυκλική, σφαιρική, υπερσφαιρική κ.τ.λ. συµµετρία ανάλογα µε τις µεταβλητές. Παράγεται από ένα υπάρχοντα παραγοντικό σχεδιασµό επαυξάνοντας τον µε αξονικά σηµεία και κεντρικά. 2. Εγγεγραµµένος ( Inscribed, CCI): Τα αρχικά όρια των µεταβλητών δεν πα- ϱαβιάζονται. Χρησιµοποιούνται τα αξονικά σηµεία ως τα όρια των µεταβλητών και δηµιουργεί έναν παραγοντικό σχεδιασµό στο εσωτερικό τους. Η διαφορά εδώ έγκειται στο γεγονός ότι ο παραγοντικός σχεδιασµός δεν είναι στα όρια των µεταβλητών. Ουσιαστικά είναι το παραπάνω είδος σχεδιασµού διαιρεµένο µε έναν αριθµό, κατάλληλο ώστε να οριοθετήσει τον σχεδιασµό στα όρια των µεταβλητών, δηλαδή είναι ως να παράγεται µια κλίµακα του παραπάνω είδους. 3. Τετραγωνικός (Face Centered, CCF): Στο είδος αυτό, τα αξονικά σηµεία ϐρίσκονται στο µέσο κάθε ακµής των τετραγώνων που σχηµατίζονται από τον παραγοντικό σχεδιασµό. Η ακτίνα του κεντρικού σχεδιασµού είναι ίση µε την µονάδα. 46

59 Σχήµα 3.2: ιαφορετικά είδη σχεδιασµού κεντρικής σύνθεσης για δύο µεταβλητές. Το σχήµα 3.2 παρουσιάζει τη γραφική απεικόνιση των τριών παραπάνω σχεδιασµών για δύο ανεξάρτητες µεταβλητές. Ο οριοθετηµένος σχεδιασµός καταλαµβάνει το µεγαλύτερο εύρος του χώρου των µεταβλητών σχεδιασµού, ενώ ο εγγεγραµµένος καλύπτει το µικρότερο. Οι σχεδιασµοί αυτού του τύπου είναι περιστροφικοί. Η ε- πιλογή της ακτίνας είναι πολύ σηµαντική για την ϱύθµιση του σχεδιασµού. Για να διατηρηθεί η περιστροφική τους ιδιότητα, η ακτίνα εξαρτάται από τον αριθµό των 47

60 εκτελέσεων του πειράµατος και από τις µεταβλητές σχεδιασµού. a = [number of factorial runs] 1/4 (3.39) Για παράδειγµα, σε έναν πλήρη παραγοντικό σχεδιασµό k µεταβλητών σχεδιασµού µε δυο επίπεδα στην καθεµιά ακτίνα, µπορεί να υπολογιστεί : a = [2 k ] 1/4 (3.40) Τα αξονικά σηµεία ϐρίσκονται αντίστοιχα σε απόσταση +α, -α σε σχέση µε το κεντρικό σηµείο αλλά και την µεταβλητή που αλλάζει. Αν η ακτίνα είναι ίση µε την µονάδα, τότε τα αξονικά σηµεία πέφτουν στα όρια των µεταβλητών. Για έναν σχεδιασµό µε δύο επίπεδα, η απόσταση επιλέγεται από τη σχέση 3.40 και έτσι δηµιουργείται ένας κύκλος γύρω από το κέντρο. Για έναν σχεδιασµό µε τρία επίπεδα, η απόσταση επιλέγεται από τη σχέση a = [3 k ] 1/4 και δηµιουργεί µία σφαίρα. 3.5 Αλλα Είδη Σχεδιασµών Τα ϐασικότερα είδη του σχεδιασµού πειραµάτων έχουν ήδη αναλυθεί. Υπάρχουν και άλλα είδη που δεν έχουν αναλυθεί. Υπάρχει σχεδιασµός µε µπλοκ (block design). Ο σχεδιασµός αυτός ϐασίζεται στους παραγοντικούς σχεδιασµούς. Βασικό χαρακτηριστικό του είναι η χρήση οµαδοποιήσεων (block) που ταξινοµεί τις εκτελέσεις σε οµάδες. Ο πίνακας ενός παραγοντικού σχεδιασµού κατασκευάζεται για αρχή. Στη συνέχεια, εφαρµόζοντας κάποιες ειδικές σχέσεις, που ονοµάζονται αλληλεπιδράσεις και µελετήθηκαν παραπάνω, για να οµαδοποιηθούν οι εκτελέσεις που περιέχονται στον πίνακα του παραγοντικού σχεδιασµού. Ο σχεδιασµός αυτός µπορεί να κατευθύνει την έρευνα σε ένα συγκεκριµένο εύρος του χώρου των µεταβλητών σχεδιασµού, να αφαιρέσει ανεπιθύµητους `θορύβους και να µειώσει τον αριθµό των εκτελέσεων του πειράµατος. Η µέθοδος Taguchi δηµιουργήθηκε για στατιστικούς λόγους από τον ιαπωνέζο Genichi Taguchi στα τέλη της δεκαετίας του 1980 και ϐελτιώνει την ποιότητα των στατιστικών µελετών [29]. Η µέθοδος αυτή παρέχει έναν συµµετρικό και αποδοτικό τρόπο για τη ϐελτίωση σχεδιασµών που στοχεύουν στην απόδοση, ποιότητα και µείωση του κόστους. Πλεονέκτηµα αυτής της µεθόδου είναι το µικρό πλήθος των εκτελέσεων που χρησιµοποιεί για να εξαχθούν στατιστικά ορθά αποτελέσµατα, ακόµα και σε πε- ϱιπτώσεις πολλών ανεξάρτητων µεταβλητών σχεδιασµού. Αυτό σηµαίνει ότι, µε λίγες µόνο εκτελέσεις του πειράµατος, µπορούν να εκπαιδευτούν µεταπρότυπα µε καλή ακρίβεια σε σχέση µε το υπολογιστικό κόστος, που επενδύθηκε για τις εκτελέσεις. Βασίζεται σε ορθογωνικά διανύσµατα, τα οποία είναι πίνακες προκαθορισµένοι και επηρεάζονται µόνο από τον αριθµό των µεταβλητών και των επιπέδων τους. Εχει το µειονέκτηµα ότι δεν µπορεί να εφαρµοστεί άµεσα σε προβλήµατα µε µεταβλητές που 48

61 δεν έχουν τον ίδιο αριθµό επιπέδων. Ο Box-Behnken σχεδιασµός είναι µια παραλλαγή του σχεδιασµού κεντρικής σύν- ϑεσης. Είναι περιστροφικός δευτέρου ϐαθµού και, ενώ ϐασίζεται σε παραγοντικό σχεδιασµό, τα στοιχεία του δεν απαρτίζονται από αυτόν, γεγονός που του κάνει να διαφέρει από τους άλλους σχεδιασµούς [30]. Για την κατασκευή του χρησιµοποιεί τα µέσα των ακµών που δηµιουργούν τα επίπεδα των µεταβλητών (ϐλ. Σχήµα 3.3)και για αυτό το λόγο δεν µπορεί να κατασκευαστεί αν οι µεταβλητές έχουν λιγότερα από τρία επίπεδα. Σχήµα 3.3: Γραφική απεικόνιση ενός Box-Behnken σχεδιασµού. Από µελέτες και συγκρίσεις που έχουν γίνει, ο Box-Behnken σχεδιασµός αποδείχτηκε πολύ πιο αποδοτικός από τον πλήρη παραγοντικό σχεδιασµό. Τέλος, δεν συµπεριλαµβάνει διανύσµατα τιµών των µεταβλητών µε όλες τις µεταβλητές σε ακραίες τιµές (δηλαδή, να ϐρίσκονται όλες οι µεταβλητές πάνω στα όριά τους) και έτσι δεν µελετώνται ακραίες καταστάσεις όπου το πείραµα µπορεί να µην συµπεριφέρεται σωστά. 49

62 Βέλτιστος σχεδιασµός (Optimal Design) δηµιουργείται µε τη ϐοήθεια υπολογιστών και, συνήθως, ο πίνακας του δεν είναι ορθογωνικός σε αντίθεση µε τους άλλους σχεδιασµούς [31]. Χρησιµοποιεί λίγες εκτελέσεις του πειράµατος σε σχέση µε τους παραγοντικούς σχεδιασµούς. Η επιλογή του είναι ιδανική όταν ο χώρος των µετα- ϐλητών του πειράµατος περιέχει περιορισµούς, δηλαδή µεταβλητές, που αν λάβουν κάποιες τιµές, το πείραµα δεν ϑα ϐγάλει αποτελέσµατα. Για την κατασκευή του πίνακα του σχεδιασµού, αρχικά, παράγεται ο πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός και στην συνέχεια επιλέγονται από τον πίνακά του οι γραµµές που ϑα δώσουν τον καλύτερο σχεδιασµό. Η επιλογή τους περιορίζεται από τον αριθµό των εκτελέσεων που ο σχεδιαστής του πειράµατος επιθυµεί να πραγµατοποιήσει. Αυτή η επιλογή γίνεται µε διάφορους τρόπους, ανάλογα µε το κόστος του υπολογιστικού λογισµικού. Γενικά, πρέπει να γίνει µε τέτοιο τρόπο ώστε να καλύπτεται όσο το δυνατόν περισσότερος όγκος στον χώρο σχεδιασµού των µεταβλητών. Τελικά, είναι κατάλληλος όταν υπάρχουν περιορισµοί τόσο στις µεταβλητές όσο και στον αριθµό των εκτελέσεων που µπορούν να πραγµατοποιηθούν. 50

63 Κεφάλαιο 4 Ανάλυση Προγράµµατος DoE Η υλοποίηση των µεθόδων του σχεδιασµού των πειραµάτων καθώς και τα µεταπρότυπα αποσυνδεδεµένα µε την εξέλιξη που χρησιµοποιήθηκαν υλοποιήθηκαν µε το λογισµικό το οποίο αναπτύχθηκε στο πλαίσιο της παρούσας διπλωµατικής εργασίας. Το λογισµικό αυτό έχει σκοπό τον σχεδιασµό πειραµάτων καθώς και την εκπαίδευση µεταπροτύπων αποσυνδεδεµένων από την εξέλιξη. Υπάρχει και δυνατότητα ϐελτιστοποίησης του προβλήµατος µε ΕΑ µέσω του λογισµικού EASY που καλείται εσωτερικά από το λογισµικό που αναπτύχθηκε. Το λογισµικό αυτό ονο- µάστηκε (προσωρινά) DoE (ϐλ. Σχήµα 4.1). Σχήµα 4.1: Κύριο παράθυρο του DoE. Το DoE χειρίζεται προβλήµατα πολλών στόχων µε ή χωρίς περιορισµούς. Για την υλοποίηση των λειτουργιών του, απαραίτητο εργαλείο αποτελεί το λογισµικό αξιολόγησης που διαφοροποιείται ανάλογα µε το πρόβληµα. Η λογική που ακολουθείται 51

64 είναι παρόµοια µε τη λογική που ακολουθεί το λογισµικό EASY. Το λογισµικό DoE αναπτύχθηκε σε γλώσσα προγραµµατισµού C++ και η ανάπτυξη του γραφικού περιβάλλοντος υποβοηθήθηκε από τη γλώσσα προγραµµατισµού Qt. Η γλώσσα προγραµµατισµού Qt είναι ϐασισµένη στην C++ και εµπεριέχει ϐιβλιοθήκες που διευκολύνουν τον προγραµµατισµό γραφικού περιβάλλοντος. 4.1 Χρησιµοποιούµενες Μεθόδοι Το λογισµικό DoE χειρίζεται τις ϐασικότερες από τις µεθόδους που αναλύθηκαν σε προηγούµενα κεφάλαια. Από τους σχεδιασµούς πειραµάτων χρησιµοποιεί τους πλήρεις και κλασµατικούς παραγοντικούς σχεδιασµούς, τον σχεδιασµό κεντρικής σύνθεσης και µια µορφή τυχαιοποιηµένου σχεδιασµού που ϐασίζεται στο κλασµατικό παραγοντικό σχεδιασµό. Η επιλογή ανάµεσα σε αυτούς τους σχεδιασµούς γίνεται ανάλογα µε τις απαιτήσεις του προβλήµατος, τις εκτελέσεις του πειράµατος που επι- ϑυµείται να πραγµατοποιηθούν καθώς και τη γνώση και εµπειρία του χρήστη τόσο στο πρόβληµα που αναλύεται όσο και στο σχεδιασµό πειραµάτων. Οι σχεδιασµοί υλοποιούνται µε τη λογική που αναλύθηκε στα αντίστοιχα κεφάλαια. Τα µεταπρότυπα που χρησιµοποιούνται είναι αποσυνδεδεµένα από την εξέλιξη, κα- ϑώς το λογισµικό DoE δεν έχει ως αυτοσκοπό τη διαδικασία της ϐελτιστοποίησης και µπορεί να λειτουργήσει ανεξάρτητα από αυτή. ηλαδή, το DoE µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη µελέτη ενός πειράµατος και την προσοµοίωσή του µε µεταπρότυπα για ερευνητικούς λόγους. Μπορούν να χρησιµοποιηθούν δύο είδη, τα πρότυπα παλινδρόµησης και τα νευρωνικά δίκτυα ακτινικής ϐάσης. Για τα πρότυπα παλινδρόµησης αναπτύχθηκε κώδικας υλοποίησης τους. Η ϑεω- ϱία τους παρουσιάζεται στο κεφάλαιο και κατά αναλογία διαρθρώθηκε και ο αντίστοιχος κώδικας. Τα πρότυπα παλινδρόµησης είναι ίσα σε αριθµό µε τις συναρτήσεις-στόχους του προβλήµατος. Αυτό οδηγεί σε καλύτερη ακρίβεια της πρόβλεψης για κάθε συνάρτηση στόχου, καθώς γίνεται διαχείριση κάθε συνάρτησηστόχος διαφορετικά, µε διαφορετικές παραµέτρους και πολυώνυµα. Επιπλέον, δίνεται η δυνατότητα προσέγγισης των περιορισµών µε κατάλληλο πρότυπο παλινδρόµησης, στην ίδια έννοια µε τα πρότυπα των συναρτήσεων στόχων. Το λογισµικό των νευρωνικών δικτύων ακτινικής ϐάσης είχε ήδη αναπτυχθεί στο ΜΠΥΡ&Β. Ενσωµατώθηκε λοιπόν το υπάρχον λογισµικό στο DoE, δίνοντας τη δυνατότητα στον χρήστη του DoE να προσεγγίσει τις συναρτήσεις στόχων. Οι περιορισµοί δεν µπορούν να προσεγγιστούν µε αυτού του είδους το µεταπρότυπο καθώς δεν έχει προστεθεί ακόµα αυτή η λειτουργία στο λογισµικό. Στο τµήµα της ϐελτιστοποίησης, το λογισµικό EASY υλοποιεί τη ϐελτιστοποίηση µε έναν (µ,λ) ΕΑ. Στον (µ,λ) ΕΑ χρησιµοποιεί ως λογισµικό αξιολόγησης τα µεταπρότυπα που έχουν κατασκευαστεί. Το λογισµικό DoE Ϲητά από τον χρήστη τις ϐασικές παραµέτρους που χρειάζεται το λογισµικό EASY για την υλοποίηση του 52

65 (µ,λ) ΕΑ. Καλείται το λογισµικό EASY και πραγµατοποιείται η ϐελτιστοποίηση. Οι ϐέλτιστες λύσεις επαναξιολογούνται µε το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης και αποτελούν τις ϐέλτιστες λύσεις που ϐρέθηκαν µε την παραπάνω διαδικασία. Επειδή το µεταπρότυπο µπορεί να µην έχει µεγάλη ακρίβεια, δηλαδή µεγάλη διαφορά των προβλέψεων από τις πραγµατικές τιµές, οι ϐέλτιστες τιµές µπορεί να µην αντιπροσωπεύουν τις καθολικά ϐέλτιστες τιµές. ηλαδή, µπορεί να χρειάζεται να γίνουν και άλλες αλλαγές για να ϐρεθούν οι πραγµατικά ϐέλτιστες τιµές. Για αυτόν τον λόγο, µπορεί να τροποποιηθεί ο πίνακας του αρχικού σχεδιασµού και να προστεθούν νέα στοιχεία. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα την αύξηση της ακρίβειας του µεταπροτύπου και, µετά από τη διαδικασία της ϐελτιστοποίησης που ϑα πραγµατοποιηθεί ξανά, οι ϐέλτιστες τιµές είναι πιθανότερο να ϐρίσκονται πιο κοντά στις πραγµατικές ϐέλτιστες τιµές. 4.2 Είσοδος εδοµένων και Χειρισµός εδοµένα Μεταβλητών Η αρχική οθόνη του λογισµικού DoE εµπεριέχει όλες τις ϐασικές λειτουργίες. Ξεκινώντας την εισαγωγή δεδοµένων, απαιτείται η καταχώρηση του αριθµού των ανεξάρτητων µεταβλητών σχεδιασµού. Για κάθε µεταβλητή πρέπει να ορισθεί το άνω και κάτω όριό της (max,min). Ποιοτικές µεταβλητές δεν υποστηρίζονται άµεσα και για αυτό πρέπει να µετατρέπονται σε ποσοτικές, αναθέτοντας έναν αριθµό σε κάθε επίπεδο τους. Η εγκυρότητα των ορίων ελέγχεται από το λογισµικό DoE ώστε να µην υπάρξει πρόβληµα στις παρακάτω διαδικασίες. Προφανώς, ο έλεγχος έγκειται στο να είναι το κάτω όριο µικρότερο του άνω ορίου. Σχήµα 4.2: Κεντρικός Πίνακας DoE. Εδώ, δηλαδή, τα όρια για την πρώτη µεταβλητή είναι (1,6) και το διάστηµα αυτό χωρίζεται σε 6 επίπεδα. Για τον σχεδιασµό των αξιολογήσεων που ϑα γίνουν απαιτούνται και τα επίπεδα 53

66 των µεταβλητών. Τα επίπεδα ορίζουν το πως ϑα διακριτοποιηθεί το πεδίο ορισµού της κάθε µεταβλητής. Αυτά καθορίζουν το πλήθος των αξιολογήσεων που ϑα γίνουν καθώς και την ακρίβεια κάθε µεταβλητής. Σε προβλήµατα που οι µεταβλητές σχεδιασµού είναι συνεχείς, πρέπει να γίνει διακριτοποίησή τους σύµφωνα µε τα παραπάνω κριτήρια. Μερικές ϕορές, σε προβλήµατα πολλών µεταβλητών τα επίπεδα είναι δύο και αντιπροσωπεύουν την ελάχιστη και µέγιστη τιµή της µεταβλητής. Με αυτόν τον τρόπο, περιορίζονται οι µετέπειτα αξιολογήσεις. Τα δεδοµένα αυτά είναι απαραίτητα και, για το λόγο αυτό, τοποθετούνται στον κεντρικό πίνακα του λογισµικού DoE (ϐλ. Σχήµα 4.2). Στη συνέχεια, καθορίζεται ο αριθµός των συναρτήσεων στόχων. Αυτός παρέχει τις απαραίτητες πληροφορίες για τις αξιολογήσεις, τα µεταπρότυπα και τη ϐελτιστοποίηση που ϑα ακολουθήσει. Ο χρήστης καθορίζει το είδος του σχεδιασµού του πειράµατος που ϑα πραγµατοποιηθεί (ϐλ. Σχήµα 4.3). Σχήµα 4.3: Επιλογή µεθόδου σχεδιασµού πειραµάτων. 1. Ο πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός ϑα δηµιουργήσει όλους τους συνδυασµούς των επιπέδων των µεταβλητών, άρα απαιτεί µεγάλο αριθµός αξιολογήσεων σε σχέση µε τους άλλους σχεδιασµούς. 2. Ο κλασµατικός παραγοντικός σχεδιασµός µειώνει τις αξιολογήσεις κατά ένα κλάσµα του πλήρους παραγοντικού σχεδιασµού και παράλληλα µειώνεται η ακρίβεια και η αξιοπιστία του σχεδιασµού. Για αυτόν τον σχεδιασµό καθορίζεται ο αριθµός των αποκοπτόµενων µεταβλητών που αποτελεί ϐασικό στοιχείο για την κατασκευή του. Σηµειώνεται ότι οι µεταβλητές αυτές ϑα αφαιρεθούν από το τέλος του πίνακα των µεταβλητών, γεγονός που ο χρήστης πρέπει να λάβει υπόψη του για να εκτελέσει ορθά τον επιθυµητό σχεδιασµό. ηλαδή, οι µεταβλητές που ϑα αποκοπούν οφείλουν να τοποθετηθούν στο τέλος του πίνακα ορισµού των µεταβλητών. 54

67 3. Ο τυχαιοποιηµένος σχεδιασµός δίνει την δυνατότητα καθορισµού του ακρι- ϐούς αριθµού των αξιολογήσεων. Εισάγεται ο αριθµός των αξιολογήσεων στο αντίστοιχο κελί. Το λογισµικό, στη συνέχεια, επιλέγει µόνο του τα κατάλληλα διανύσµατα τιµών µεταβλητών για τα οποία ϑα γίνουν οι εκτελέσεις του πει- ϱάµατος. Επιλέγεται αυτόµατα ο κλασµατικός παραγοντικός σχεδιασµός του οποίου το σύνολο των εκτελέσεων έχει τη µικρότερη δυνατή διαφορά µε τις επιθυµητές εκτελέσεις, ενώ οι υπόλοιπες επιλέγονται τυχαία από τον πλήρη παραγοντικό σχεδιασµό. Αν ο αριθµός των εκτελέσεων του υπολογιστικού πει- ϱάµατος είναι µεγαλύτερος ή ίσος µε αυτόν του πλήρη παραγοντικού σχεδιασµού, τότε εκτελείται ο πλήρες παραγοντικός σχεδιασµός. Η επιλογή αυτή είναι γενικής χρήσης και δεν απαιτεί από τον χρήστη γνωστικό υπόβαθρο στην επιστήµη σχεδιασµού πειραµάτων, απλά επιλέγει τον αριθµό των αξιολογήσεων τις οποίες προτίθεται να πραγµατοποιήσει. Εχει το µειονέκτηµα ότι ο σχεδιασµός που ϑα προκύψει είναι αµφιβόλου ποιότητας. 4. Ο σχεδιασµός κεντρικής σύνθεσης είναι επιπρόσθετο είδος σχεδιασµού και για αυτό επιλέγεται ξεχωριστά. ηλαδή, αρχικά επιλέγεται ένας από τους πα- ϱαπάνω σχεδιασµούς και, αν επιθυµείται µεγαλύτερη ακρίβεια, επιλέγεται και ο σχεδιασµός κεντρικής σύνθεσης. Απαιτεί µια ακτίνα. Η έννοια και η χρησι- µότητά της αναφέρθηκε στο αντίστοιχο κεφάλαιο. Ο σχεδιασµός αυτός απαιτεί, συνήθως, περισσότερες αξιολογήσεις από τον πλήρη παραγοντικό σχεδιασµό, επειδή λαµβάνει και τις ενδιάµεσες τιµές από τα επίπεδα των µεταβλητών. Οι εκτελέσεις που απαιτούνται είναι περίπου διπλάσιες από τον αντίστοιχο σχεδιασµό που έχει επιλεγεί, αυξάνοντας την ακρίβεια του σχεδιασµού. Κατά κάποια έννοια, είναι ως να διπλασιάζονται τα επίπεδα των µεταβλητών. Ο πίνακας του σχεδιασµού παράγεται πατώντας το κουµπί Start και αµέσως µετά, είναι έτοιµος για να χρησιµοποιηθεί. Περιορισµοί Τα περισσότερα προβλήµατα εµπεριέχουν περιορισµούς. Το λογισµικό DoE υποστηρίζει και προβλήµατα µε περιορισµούς. Πρέπει να εισαχθεί ο αριθµός των πε- ϱιορισµών που επιβάλλονται και τρεις ακόµα τιµές για κάθε περιορισµό (ϐλ. Σχήµα 4.4), οι εξής : 1. Οριο χαλάρωσης 2. Μέγιστο όριο 3. Ορος ποινής Η έννοιά τους αναλύθηκε στο κεφάλαιο Με την επιλογή Penalize Results, προστίθεται ποινή σε κάθε αντικειµενική συνάρτηση, αν δεν πληρούνται κάποιοι περιορισµοί. Η ποινή αυτή εξαρτάται εκθετικά από το πόσο παραβιάζεται ο περιορισµός και δίνεται από τη σχέση 2.2. Υπάρχει και η επιλογή να µην υποβληθεί ποινή, αλλά το διάνυσµα περιορισµών για κάθε διάνυσµα µεταβλητών να αποθηκεύεται για µετέπειτα χρήση. Η επιλογή αυτή προτείνεται όταν ϑα πραγµατοποιηθεί ϐελτιστο- 55

68 Σχήµα 4.4: Ρύθµιση περιορισµών. Π.χ. για τον πρώτο περιορισµό (c 0), δίνεται όριο χαλάρωσης 10, µέγιστο όριο 15 και όρος ποινής 3 ποίηση. Με τα διανύσµατα των περιορισµών ϑα εκπαιδευτούν τόσο µεταπρότυπα όσα και οι περιορισµοί. Τα µεταπρότυπα των περιορισµών ενσωµατώνονται µαζί µε τα µεταπρότυπα των συναρτήσεων στόχων και όλα µαζί χρησιµοποιούνται στη διαδικασία της ϐελτιστοποίησης µε το λογισµικό EASY. ηλαδή, αντί να εκτελείται το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης κατά τον ΕΑ, εκτελείται ένα λογισµικό αξιολόγησης που περιέχει τα µεταπρότυπα που έχουν κατασκευαστεί. Αξιολογήσεις Για να γίνει η αξιολόγηση των διανυσµάτων των τιµών των µεταβλητών του πίνακα του σχεδιασµού, απαιτείται ο καθορισµός του αριθµού των συναρτήσεων στόχων. Ο αριθµός αυτός παρέχει τις απαραίτητες πληροφορίες για τις αξιολογήσεις, τα µεταπρότυπα και τη διαδικασία ϐελτιστοποίησης που ϑα ακολουθήσει. Οι αξιολογήσεις γίνονται µε έτοιµο λογισµικό το οποίο παρέχεται από τον χρήστη. Το λογισµικό αυτό, για να λειτουργήσει σε συνεργασία µε το λογισµικό DoE, πρέπει να δέχεται ως είσοδο ένα αρχείο µε τις τιµές των µεταβλητών σχεδιασµού και να παράγει ένα αρχείο µε το διάνυσµα τιµών των αντικειµενικών συναρτήσεων. Σε περίπτωση που το πρόβληµα περιέχει περιορισµούς, οι τιµές τους πρέπει να καταγράφονται σε ένα αρχείο περιορισµών. Η ονοµατολογία των αρχείων εισόδου, εξόδου και περιο- ϱισµών είναι ίδια µε αυτήν του λογισµικού EASY, για λόγους συνεργασίας των δύο λογισµικών αλλά και για τυποποίηση. Το αρχείο εισόδου ονοµάζεται task.dat και σε κάθε γραµµή του έχει την τιµή κάθε µεταβλητής. Το αρχείο εξόδου ονοµάζεται task.res και σε κάθε γραµµή του έχει την τιµή της αντίστοιχης αντικειµενικής συνάρτησης. Το αρχείο περιορισµών ονοµάζεται task.cns και σε κάθε γραµµή του έχει την τιµή κάθε συνάρτησης περιορισµού. 56

69 Το λογισµικό DoE παράγει τα αρχεία εισόδου σύµφωνα µε τα δεδοµένα του πίνακα σχεδιασµού που έχει δηµιουργηθεί προηγουµένος, τρέχοντας το εξωτερικό λογισµικό αξιολόγησης. Παράγεται το αρχείο µε το διάνυσµα τιµών των συναρτήσεων-στόχων, το οποίο χωρίζεται σε ξεχωριστά αρχεία για κάθε αντικειµενική συνάρτηση. Στο τέλος της διαδικασίας, σε κάθε διάνυσµα µεταβλητών σχεδιασµού αντιστοιχίζονται οι τιµές των συναρτήσεων-στόχων που έχουν ϐρεθεί από την αξιολόγηση. Το λογισµικό αξιολόγησης µπορεί να δοθεί από το menu επιλογών έτοιµο ή να δηµιουργηθεί/τροποποιηθεί µέσα από το λογισµικό DoE µε εντολές ϕλοιού. Με την τροποποίηση που γίνεται µέσα από την αντίστοιχη επιλογή, ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να προσαρµόσει το λογισµικό του στις παραπάνω απαιτήσεις χωρίς να αλλάξει τον κώδικα του (ϐλ. Σχήµα 4.5). Σχήµα 4.5: Παράθυρο σύνταξης εντολών εκτέλεσης του λογισµικού αξιολόγησης. Επειδή, πολλές ϕορές, η κάθε διαδικασία αξιολόγησης είναι χρονοβόρα και ακριβή, ο χρήστης ενηµερώνεται για το πέρας της διαδικασίας µε κατάλληλο µήνυµα. Ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας αξιολόγησης εξαρτάται από τον χρόνο εκτέλεσης του λογισµικού αξιολόγησης και από το πλήθος των πειραµάτων που απαιτεί ο επιλεγµένος σχεδιασµός. Τα αποτελέσµατα της διαδικασίας παρουσιάζονται σε ξεχωριστό παράθυρο, όπου ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να ελέγξει τη σωστή ολοκλήρωση των παραπάνω διαδικασιών και να κάνει µια γρήγορη αποτίµηση των αποτελεσµάτων. Το παράθυρο περιέχει ένα πίνακα, του οποίου η κάθε γραµµή δείχνει τις αποκρίσεις και τις µεταβλητές σχεδιασµού µίας εκτέλεσης του λογισµικού αξιολόγησης. Άρα υπάρχουν τόσες γραµµές όσες και ο αριθµός των εκτελέσεων που έχουν πραγµατοποιηθεί. Στις 57

70 πρώτες στήλες του πίνακα εµφανίζονται οι τιµές των συναρτήσεων-στόχων, ακολου- ϑούν οι τιµές των περιορισµών και το αντίστοιχο διάνυσµα τιµών των µεταβλητών. Υπάρχει η δυνατότητα εµφάνισης των επιπέδων των µεταβλητών σχεδιασµού, για την καλύτερη εκτίµηση ή κατανόηση των αποτελεσµάτων και του σχεδιασµού. Μεταπρότυπα Το επόµενο ϐήµα είναι η εκπαίδευση µεταπροτύπων. Οπως προαναφέρθηκε, το λογισµικό υποστηρίζει δύο είδη µεταπροτύπων, τα πρότυπα παλινδρόµησης και τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα ακτινικής ϐάσης. Γενικά, το πλήθος των διανυσµάτων µεταβλητών, που χρησιµοποιούνται για την εκπαίδευση, καθορίζει την ακρίβεια του µεταπροτύπου αλλά αυξάνει το υπολογιστικό κόστος υπολογισµού του. Τεχνητά Νευρωνικά ίκτυα Ακτινικής Βάσης Αυτού του είδους µεταπρότυπα, δεν απαιτούν καµία ϱύθµιση από τον χρήστη [22] [32], καθώς έχει προγραµµατιστεί να χρησιµοποιούνται αυτόµατες ϱυθµίσεις. Απλά επιλέγεται και εκπαιδεύεται από τον ήδη υπάρχοντα σχεδιασµό. Η διαδικασία είναι χρονοβόρα, καθώς απαιτείται η επίλυση ενός µεγάλου συστήµατος εξισώσεων, και ο χρόνος εκτέλεσής της εξαρτάται από το µέγεθος της ϐάσης δεδοµένων που ϑα επεξεργαστεί. εν υπάρχει ακόµα επιλογή για χειροκίνητη επιλογή της ακτίνας ή άλλων παραµέτρων. Επειδή δεν έχει προστεθεί η λειτουργία εκπαίδευσης τεχνητών νευρωνικών δικτύων για τους περιορισµούς, η χρήση αυτού του είδους µεταπροτύπου οδηγεί στην ανάγκη επιβολής ποινών για κάθε περιορισµό στις συναρτήσεις στόχους. Το µεταπρότυπο υποστηρίζει όλες τις συναρτήσεις-στόχους του προβλήµατος, χωρίς κάποια παραπάνω ϱύθµιση. Πρότυπα Παλινδρόµησης Το λογισµικό DoE έχει εστιάσει περισσότερο στα πρότυπα παλινδρόµησης και πα- ϱέχει διάφορες ϱυθµίσεις και παραµέτρους για την ορθή τους χρήση. Εξαρχής, πρέπει να ορισθεί το πολυώνυµο που ϑα χρησιµοποιήσει το µοντέλο. Αυτό το πολυώνυµο µπορεί να ορισθεί καθολικά για τις συναρτήσεις στόχους ή ξεχωριστά για καθεµία από αυτές. Ο χρήστης καθορίζει τη δύναµη µέχρι την οποία ϑα υπολογίζεται η κάθε µεταβλητή καθώς και την αλληλεπίδραση µεταξύ τους. Αυτό γίνεται σε ένα νέο παράθυρο (ϐλ. Σχήµα 4.6). Εκεί, το λογισµικό περιµένει από τον χρήστη να εισάγει τις µέγιστες δυνάµεις κάθε µεταβλητής, τον αριθµό των αλληλεπιδράσεων καθώς και τις αλληλεπιδράσεις. Στις αλληλεπιδράσεις ο κάθε αριθµός δηλώνει σε ποια δύναµη ϑα υψωθεί η αντίστοιχη µεταβλητή. Για παράδειγµα, έστω ότι ένα πρόβληµα µε τέσσερις µεταβλητές και επιθυµείται να ληφθεί υπόψη η αλληλεπίδραση λ.χ. x 3 1x 2 3. Αυτή πρέπει να εισαχθεί σε µια γραµµή του αντίστοιχου πίνακα, γράφοντας Αφού καθοριστεί πλήρως το πολυώνυµο για όλες τις συναρτήσεις στόχων, αποθηκεύεται για χρήση από υποπρόγραµµα που υπολογίζει το πρότυπο παλινδρόµησης. Η ίδια διαδικασία ακολουθείται και για τους περιορισµούς, αν δεν έχει επιλεγεί η χρήση όρων ποινής για κάθε διάνυσµα µεταβλητών, που υπερβαίνει τους περιορισµούς. Σε περίπτωση που ο 58

71 Σχήµα 4.6: Ρύθµιση τύπου-ϐαθµού πολυωνύµων για τα πρότυπα παλινδρόµησης. χρήστης δεν γνωρίζει τι πολυώνυµο πρέπει να χρησιµοποιηθεί, υπάρχει και επιλογή να επιλεγεί αυτόµατα ένα δευτεροβάθµιο πολυώνυµο. Το λογισµικό, τότε, δηµιουργεί πολυώνυµα δεύτερης τάξης για όλες τις συναρτήσεις στόχων και (αν επιθυµείται) περιορισµούς. Η επιλογή αυτή γίνεται γιατί το πολυώνυµο δευτέρου ϐαθµού είναι, ίσως, το πιο συνηθισµένο και απλό πρότυπο. Στο κεφάλαιο που αναφέρεται στα προτύπου παλινδρόµησης, αναγράφεται ο µαθηµατικός τύπος του προτύπου. Εδώ πρέπει να σηµειωθεί ότι το πρότυπο, που κατασκευάζεται αυτόµατα, περιέχει αλληλεπιδράσεις δύο µεταβλητών και όχι περισσότερων χάριν απλότητας και ευκολίας. Η εκπαίδευση εκτελείται ξεχωριστά για τις συναρτήσεις στόχους και τους περιορισµούς. Η διαδικασία εκπαίδευσης είναι ανάλογη των διανυσµάτων εκπαίδευσης καθώς 59

72 και του µεγέθους/πολυπλοκότητας του πολυωνύµου. Τα διανύσµατα εκπαίδευσης είναι οι οµάδες των διανυσµάτων µεταβλητών, συναρτήσεων στόχων και περιορισµών που δηµιουργήθηκαν από τον σχεδιασµό και τις αξιολογήσεις των προηγούµενων ϐηµάτων. Βελτιστοποίηση µε τη ϐοήθεια του λογισµικού EASY Κατά την ανάπτυξη του λογισµικού DoE δεν δηµιουργήθηκε υποπρόγραµµα για την πραγµατοποίηση ϐελτιστοποίησης. Για τη ϐελτιστοποίηση απαιτείται η κλήση του λογισµικού EASY. Το λογισµικό απαιτεί τη ϱύθµιση παραµέτρων που είναι Ϲωτικής σηµασίας για τον ΕΑ (ϐλ. Σχήµα 4.7). Σχήµα 4.7: Ρύθµιση παραµέτρων για την κλήση του λογισµικού EASY. Αρχικά, ανάλογα µε το ποιο µεταπρότυπο έχει εκπαιδευτεί, δηµιουργείται το αντίστοιχο πρόγραµµα που ϑα κάνει την αξιολόγηση µε τα µεταπρότυπα που έχουν εκπαιδευτεί. Αυτό είναι και το λογισµικό αξιολόγησης που ϑα συνδεθεί µε τον E- ASY. Η τελική έκβαση των αποτελεσµάτων εξαρτάται από το πόσο ακριβές είναι το µεταπρότυπο σε σχέση µε το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης. Ο αριθµός των µέγιστων αξιολογήσεων καθορίζει τη σύγκλιση της διαδικασίας ϐελτιστοποίησης. Γενικά, επειδή ο χρόνος υπολογισµού του αντίστοιχου µεταπροτύπου είναι µηδαµινός σε σχέση µε την εκτέλεση ενός υπολογιστικού πειράµατος µε το α- κριβές λογισµικό αξιολόγησης, ο αριθµός των αξιολογήσεων µπορεί να είναι µεγάλος και η διαδικασία της ϐελτιστοποίησης τελειώνει σε πολύ µικρό χρονικό διάστηµα. Πρέπει να καθοριστούν και οι ϐασικοί πληθυσµοί απόγονοι, γονείς και επίλεκτοι τους οποίους ϑα χειριστεί ο EASY. Οι παράµετροι που µπορούν να ϱυθµιστούν είναι πολύ περισσότερες αλλά για την απλότητα στη χρήση και ευκολία, καθορίζονται µόνο οι απαραίτητες. Ενας έµπειρος χρήστης µπορεί να ϱυθµίσει ελεύθερα τις υπόλοιπες παραµέτρους ανεξάρτητα από το λογισµικό DoE. Μετά το πέρας της διαδικασίας ϐελτιστοποίησης, ο χρήστης ενηµερώνεται µε κατάλληλο µήνυµα και µπορεί να δει 60

73 τα αποτελέσµατα σε αντίστοιχο νέο παράθυρο. Το παράθυρο παρουσιάζει τις ϐέλτιστες λύσεις στις οποίες καταλήγει το λογισµικό EASY καθώς και τις αντίστοιχες λύσεις που προκύπτουν από την αξιολόγησή τους µε το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης. Οι πραγµατικές τιµές των αντικειµενικών συναρτήσεων των διανυσµάτων µεταβλητών που επιλέχθηκαν ως ϐέλτιστα, υπολογίζονται µε επαναξιολόγησή τους µε το λογισµικό αξιολόγησης. Επιπρόσθετες Επιλογές Μετά το πέρας τις διαδικασίας προτυποποίησης και ϐελτιστοποίησης του προβλήµατος, ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να παρέµβει στον σχεδιασµό των πειραµάτων προσθέτοντας διανύσµατα τιµών των µεταβλητών ή µειώνοντας την περιοχή εύρεσης της λύσης (ϐλ. Σχήµα 4.8). Σχήµα 4.8: Επιπρόσθετες επιλογές. Η προσθήκη επιπλέον διανυσµάτων µεταβλητών µπορεί να κατευθύνει τη λύση του προβλήµατος σε µια περιοχή και να ϐελτιώσει την απόκριση των µεταπροτύπων. Κατά τη διαδικασία αυτή, παρουσιάζονται δύο διανύσµατα για κάθε διάνυσµα µετα- ϐλητών που ϑα προστεθεί, ένα διάνυσµα συναρτήσεων στόχων που παράχθηκε από το ακριβές λογισµικό αξιολόγησης και ένα διάνυσµα συναρτήσεων στόχων που πα- ϱάχθηκε από το λογισµικό αξιολόγησης µε µεταπρότυπα. Ετσι ελέγχεται το σφάλµα του µεταπροτύπου σε σχέση µε τις πραγµατικές αξιολογήσεις. Μετά την προσθήκη των διανυσµάτων µεταβλητών και των διανυσµάτων των συναρτήσεων στόχων στον πίνακα του αρχικού σχεδιασµού, το µεταπρότυπο εκπαιδεύεται ξανά και η διαδικασία της ϐελτιστοποίησης επαναλαµβάνεται µε τα νέα µεταπρότυπα. Ο περιορισµός των τιµών των συναρτήσεων στόχων οδηγεί στην κατευθυνόµενη ε- ύρεση λύσεων, δηλαδή περιορίζονται οι λύσεις σε ένα µικρότερο πεδίο όπου και τα µεταπρότυπα πιθανά να έχουν καλύτερη ακρίβεια. Με την τεχνική αυτή, τα µεταπρότυπα εκπαιδεύονται µόνο µε όσα διανύσµατα µεταβλητών δίνουν αποκρίσεις στο πεδίο ενδιαφέροντος. Σηµειώνεται ότι, µετά από οποιαδήποτε αλλαγή στα διανύσµατα µεταβλητών που περιέχει ο σχεδιασµός, πρέπει να πραγµατοποιηθεί ξανά η εκπαίδευση των µεταπροτύπων καθώς και η διαδικασία της ϐελτιστοποίησης. Στην περίπτωση που έχουν πραγµατοποιηθεί οι απαραίτητες αξιολογήσεις για τα αντίστοιχα διανύσµατα µεταβλητών, εισάγονται εύκολα στο λογισµικό DoE, το οποίο, 61

74 στη συνέχεια, αναλαµβάνει την προτυποποίηση και την εύρεση της ϐέλτιστης λύσης. ιευκολύνονται, έτσι, προβλήµατα των οποίων οι αποκρίσεις έχουν ϐρεθεί είτε χω- ϱίς πρόγραµµα σε ηλεκτρονικό υπολογιστή, δηλαδή από πειράµατα-µετρήσεις, είτε είχαν ϐρεθεί σε προηγούµενες εκτελέσεις του πειράµατος. 62

75 Κεφάλαιο 5 Επίλυση Προβληµάτων Βελτιστοποίησης Τα προβλήµατα που επιλύθηκαν είναι δύο τύπων, µαθηµατικά και πραγµατικά προ- ϐλήµατα αεροδυναµικής. Τα µαθηµατικά προβλήµατα πραγµατοποιήθηκαν για την επιβεβαίωση της µεθόδου, δηλαδή για να αποφασιστεί αν όλη η διαδικασία καθώς και τα προγράµµατα που χρησιµοποιούνται υλοποιούνται µε σωστό τρόπο και δίνουν αποδεκτά αποτελέσµατα. Συγκεκριµένα, στα προβλήµατα που έχουν πολυωνυµικές συναρτήσεις-στόχους, η µέθοδος δεν παρέχει αναγκαστικά καλύτερα αποτελέσµατα ή ταχύτερα, απλά επιβεβαιώνεται η λειτουργία της µεθόδου. Στα προβλήµατα που έχουν εκθετικές, ηµιτονοειδείς ή λογαριθµικές συναρτήσεις-στόχους χρησιµεύουν για τον έλεγχο της διαδικασίας και του λογισµικού σε πιο περίπλοκες µαθηµατικές συναρτήσεις. Ολα αυτά καταλήγουν, στην επίλυση πραγµατικών προβληµάτων ϱευστοδυναµικής στα οποία ϑα γίνει εµφανής η χρησιµότητα της µεθόδου και τα καλύτερα και γρηγορότερα αποτελέσµατα που προσφέρει σε σχέση µε τις µεθόδου χωρίς µεταπρότυπα. Σηµειώνεται ότι, µε τον όρο πραγµατική αξιολόγηση νοείται η αξιολόγηση που πραγµατοποιείται µε το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης, ενώ µε την προσεγγιστική αξιολόγηση νοείται η αξιολόγηση που πραγµατοποιείται µε τα µεταπρότυπα. 5.1 Πολυωνυµικά Προβλήµατα Ελαχιστοποίησης Τα προβλήµατα αυτού του τύπου έχουν αντικειµενικές συναρτήσεις που είναι πολυώνυµα και πραγµατοποιούνται για τον έλεγχο της σωστής λειτουργίας του λογισµικού DoE καθώς και των µεθόδων που αυτό υλοποιεί. Η επίλυση τους µε ΕΑ χωρίς µεταπρότυπα είναι γρήγορη και η υποβοήθησή της µε µεταπρότυπα δεν προσφέρει κάτι παραπάνω. Οµως, οι δοκιµές γίνονται για την πιστοποίηση της εγκυρότητας των µεταπροτύπων. 63

76 5.1.1 Πολυωνυµικό Πρόβληµα ύο Στόχων Αυτό το πρόβληµα έχει δυο αντικειµενικές συναρτήσεις προς ελαχιστοποίηση και τρεις µεταβλητές σχεδιασµού. Οι µεταβλητές x 1, x 2, x 3 περιορίζονται από το κάτω (-10) και το άνω όριο (10). Το πρόβληµα δεν έχει καµία ϕυσική σηµασία και για αυτό ϑα µπορούσαν να είχαν επιλεγεί περισσότερες µεταβλητές σχεδιασµού µε δια- ϕορετικά όρια και διαφορετικές συναρτήσεις στόχων. Οι συναρτήσεις στόχων δίνονται από τις σχέσεις : f 1 (x 1, x 2, x 3 ) = x x x 2 3 (5.1) f 2 (x 1, x 2, x 3 ) = 10x 5 3 7x x 6 2 5x x x 1 x 2 x 3 (5.2) Αρχικά, πραγµατοποιήθηκε ϐελτιστοποίηση του προβλήµατος µε το λογισµικό EASY, η οποία είχε ως αποτέλεσµα ένα µέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων. Αυτό χρησιµοποιείται για την µετέπειτα σύγκρισή του µε τη µέθοδο του σχεδιασµού πειραµάτων. Χρησιµοποιείται ένας (25,45) ΕΑ µε µέγιστο αριθµό αξιολογήσεων τις 1450, που υπολογίζει το µέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων του σχήµατος f e e e e e f 1 Σχήµα 5.1: Πολυωνυµικό Πρόβληµα ύο Στόχων. Μέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων δύο στόχων, όπως υπολογίσθηκε από τον EASY. Στη συνέχεια, πραγµατοποιείται η εύρεση των ϐέλτιστων λύσεων του προβλήµατος µε τη ϐοήθεια προτύπων παλινδρόµησης και τη µέθοδο σχεδιασµού πειραµάτων. Τα ϐήµατα που υλοποιούνται είναι τα εξής : 64

77 1. ηµιουργία Πίνακα Σχεδιασµού Πειράµατος : Χρησιµοποιήθηκε ο πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός για την κατασκευή του πίνακα του σχεδιασµού. Οι τρεις µεταβλητές χωρίστηκαν σε έξι επίπεδα τιµών καθεµιά. Η διακριτοποίηση αυτή πραγµατοποιήθηκε ώστε να επιτευχθεί η καλύτερη ακρίβεια των προτύπων παλινδρόµησης µε το µικρότερο δυνατό ϐαθµό του πολυωνύµου που ϑα χρησιµοποιηθεί. Ο πίνακας του σχεδιασµού αποτελείται από 216 διανύσµατα τιµών των µεταβλητών και δηµιουργήθηκε µε τον τρόπο που αναλύθηκε στο κεφάλαιο Αξιολόγηση των ιανυσµάτων Μεταβλητών του Σχεδιασµού : Για κάθε διάνυσµα µεταβλητών που περιέχεται στον πίνακα του σχεδιασµού εκτελείται το λογισµικό αξιολόγησης. Εποµένως, πραγµατοποιούνται 216 αξιολογήσεις. Τελικά, δηµιουργείται ο πίνακας των αποκρίσεων διάστασης (216 2). Το σχήµα 5.2 δείχνει τον πίνακα των αποκρίσεων, ώστε να εκτιµηθεί το εύρος των αποκρίσεων. 5e+06 4e+06 3e+06 2e+06 f 2 1e e+06-2e f 1 Σχήµα 5.2: Πολυωνυµικό Πρόβληµα ύο Στόχων. Αποκρίσεις του πλήρους παραγοντικού σχεδιασµού. 3. Κατασκευή των Προτύπων Παλινδρόµησης : Επιλέγονται δύο πρότυπα παλινδρόµησης, ένα για κάθε συνάρτηση-στόχο. Για την πρώτη συνάρτηση-στόχο, επιλέγεται ένα πολυώνυµο δευτέρου ϐαθµού για το πρότυπο παλινδρόµησης καθώς είναι γνωστή η συνάρτηση του αντίστοιχου στόχου και το πρότυπο προσαρµόζεται ώστε να την προσεγγίσει όσο το δυνατόν καλύτερα. Το πρότυπο, 65

78 συνεπώς, είναι : ŷ k1 = β j=1 3 β ij1 x j ijk (5.3) όπου ο δείκτης i δείχνει το αριθµό της µεταβλητής. Για αυτό και το άθροισµα είναι µέχρι τρία (3). Ο δείκτης j δείχνει τη δύναµη στην οποία υψώνεται η κάθε µεταβλητή και επειδή έχουµε πολυώνυµο δευτέρου ϐαθµού το αντίστοιχο άθροισµα είναι µέχρι το δύο (2), ο δείκτης k δείχνει την εκτέλεση του πει- ϱάµατος και ο δείκτης 1 δείχνει ότι πρόκειται για την πρώτη συνάρτηση-στόχο. Για τη δεύτερη συνάρτηση-στόχο, επιλέγεται ένα πολυώνυµο έκτου ϐαθµού µε µια αλληλεπίδραση για το πρότυπο παλινδρόµησης (ϐλ. Εξ.5.4). Αυτό γίνεται επειδή είναι γνωστό ότι η συνάρτηση-στόχος του πραγµατικού προβλήµατος έχει µεταβλητές που ϕθάνουν µέχρι έκτου ϐαθµού. ŷ k2 = β j=1 i=1 3 β ij2 x j ijk + β 192x 1 x 2 x 3 (5.4) i=1 όπου ο δείκτης 2 δείχνει ότι είναι για τη δεύτερη συνάρτηση στόχου. Ο πα- ϱάγοντας β 192 x 1 x 2 x 3 αφορά την αλληλεπίδραση που υπάρχει στην πραγµατική αντικειµενική συνάρτηση και ο συντελεστής έχει δείκτη (192) τον αµέσως επόµενο αριθµό από τους άλλους συντελεστές. Για την εύρεση των συντελεστών β ijl (όπου l είναι ο δείκτης του στόχου) και για τα δύο πρότυπα παλινδρόµησης χρησιµοποιείται η µέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων που αναλύθηκε στην ενότητα Για τη γρηγορότερη γραφή των εξισώσεων των προτύπων παλινδρόµησης, ορίζεται η εξής γενική σχέση : ŷ ko = β 00O + P j=1 3 β ijo x j ijk + β 19Ox 1 x 2 x 3 (5.5) i=1 όπου ο δείκτης (Ο) ϑα συµβολίζει την συνάρτηση στόχο και ο δείκτης (P) ϑα συµβολίζει τη µέγιστη δύναµη που ϑα ϕθάνει το πολυώνυµο. ηλαδή, το πα- ϱαπάνω πρότυπο παλινδρόµησης (5.4) ϑα συµβολίζοταν ως 5.5 µε P = 6 και O = 2. Εδώ ϕαίνεται και η ανάγκη κατασκευής πλήρους παραγοντικού σχεδιασµού µε έξι τουλάχιστον επίπεδα σε κάθε µεταβλητή, που πραγµατοποιήθηκε στο πρώτο ϐήµα. Στην περίπτωση που ο σχεδιασµός περιείχε λιγότερα (από τα 216) στοιχεία, η µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων δεν ϑα µπορούσε να υπολογίσει τους = 20 συντελεστές που απαιτούνται για το δεύτερο πρότυπο παλινδρόµησης µε ικανοποιητική ακρίβεια. Ο υπολογισµός των συντελεστών των προτύπων παλινδρόµησης καταλήγει στους ίδιους συντελεστές που έχουν οι συναρτήσεις-στόχοι (αναµενόµενο) και, εποµένως, τα µεταπρότυπα και οι συναρτήσεις-στόχοι συµπίπτουν, δηλαδή δεν υπάρχει σφάλµα ανάµεσα στην πρόβλεψη και την πραγµατική τιµή. Για το λόγο αυτό, δεν είναι αναγκαία 66

79 η χρήση ΕΑ για την εύρεση των ϐέλτιστων λύσεων, καθώς το µέτωπο µηκυριαρχούµενων λύσεων του σχήµατος 5.1 ϑα είναι ίδιο µε αυτό που προκύπτει από έναν ΕΑ µε τα παραπάνω πρότυπα παλινδρόµησης. Η διαδικασία του συγκεκριµένου προβλήµατος ολοκληρώνεται εδώ, όπου και έχει επιβεβαιωθεί ότι το λογισµικό λειτουργεί για πολυωνυµικά προβλήµατα δύο στόχων. Παρουσιάζονται και τα υπόλοιπα ϐήµατα για την πληρότητα της διαδικασίας. 4. Χρήση ΕΑ µε µεταπρότυπα ως το αποκλειστικό λογισµικό αξιολόγησης : Στο συγκεκριµένο πρόβληµα, δεν γίνεται αυτό το ϐήµα, όπως εξηγήθηκε πα- ϱαπάνω. Παρόλα αυτά, αναφέρεται για λόγους πληρότητας των ϐηµάτων. Σε αυτό το ϐήµα, τα πρότυπα παλινδρόµησης που έχουν δηµιουργηθεί χρησιµοποιούνται ως το λογισµικό αξιολόγησης για τον ΕΑ. Ολοκληρώνοντας τον ΕΑ, οι ϐέλτιστες λύσεις που προκύπτουν από τη σύγκλιση της διαδικασίας επαναξιολογούνται µε το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης. 5. Επανάληψη διαδικασίας : Με το τέλος του ΕΑ που στηρίχτηκε αποκλειστικά σε προ-εκπαιδευµένα µεταπρότυπα, πραγµατοποιείται µια επαναληπτική διαδικασία, αν η ποιότητα της πρόβλεψης δεν πληρεί τα απαραίτητα κριτήρια. Οι πραγµατικές αποκρίσεις που ϐρίσκονται από το παραπάνω ϐήµα εισάγονται στον πίνακα του σχεδιασµού του πειράµατος και επαναλαµβάνονται τα ϐήµατα 3 µε 5. Στο συγκεκριµένο πρόβληµα, δεν χρειάστηκε να γίνει επανάληψη. 5e+06 4e+06 3e+06 2e+06 f 2 1e e+06-2e f 1 Σχήµα 5.3: Πολυωνυµικό Πρόβληµα ύο Στόχων. Μέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων δύο στόχων µαζί µε τις αξιολογήσεις του σχεδιασµού πειραµάτων. Η παραπάνω διαδικασία κατέληξε στην επιβεβαίωση της λειτουργίας των µεθόδων και του λογισµικού και της σωστής λειτουργίας των επιµέρους προγραµµάτων που 67

80 υλοποιούν τη διαδικασία. Οι συνολικές αξιολογήσεις, που ϑα είχαν πραγµατοποιηθεί µε το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης αν είχε εκτελεστεί η ϐελτιστοποίηση µε ΕΑ, παρουσιάζονται στο σχήµα 5.3. Σε αυτό το πρόβληµα, η εύρεση ϐέλτιστων λύσεων µε µεταπρότυπα δεν επιτυγχάνεται γρηγορότερα από την απλή εύρεση χωρίς µεταπρότυπα, καθώς είναι ίδια τα µεταπρότυπα και οι συναρτήσεις-στόχοι Πολυωνυµικό Πρόβληµα Τριών Στόχων Το προηγούµενο πρόβληµα επεκτείνεται προσθέτοντας έναν ακόµα στόχο, µε σκοπό να δηµιουργηθεί ένα τριδιάστατο µέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων. Εποµένως οι δύο πρώτες συναρτήσεις στόχων δίνονται από τις εξισώσεις 5.1,5.2 και η τρίτη από την εξίσωση : f 3 = x 1 x 2 x x 2 10x x 2 1 5x x x 3 (5.6) Ακολουθείται η ίδια διαδικασία και µε το πρόβληµα δύο στόχων. Αρχικά, πραγµατοποιείται ϐελτιστοποίηση του προβλήµατος µε το λογισµικό EASY για να συγκριθούν τα αποτελέσµατα µε τη µέθοδο του σχεδιασµού πειραµάτων. Χρησιµοποιείται ένας (35,55) ΕΑ, µε µέγιστο αριθµό αξιολογήσεων τις 1100, που υπολογίζει το µέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων του σχήµατος 5.4. f e e f e+06 3e+06 2e+06 1e+06 0 f 2-1e e+06 Σχήµα 5.4: Πολυωνυµικό Πρόβληµα Τριών Στόχων. Μέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων τριών στόχων. Οι συνολικές αξιολογήσεις που απαιτούνται είναι στο ίδιο επίπεδο µε το προηγού- 68

81 µενο πρόβληµα, επειδή οι συναρτήσεις στόχων είναι πολυώνυµα και η εύρεση των ϐέλτιστων λύσεων πραγµατοποιείται γρήγορα σε σχέση µε προβλήµατα µε διαφο- ϱετικές συναρτήσεις στόχων. Ο αριθµός των γονέων και των απογόνων αυξήθηκε για να δηµιουργηθεί ένα καλύτερο µέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων, δηλαδή πιο πυκνό. Στη συνέχεια, πραγµατοποιήθηκε η εύρεση των ϐέλτιστων λύσεων του προβλήµατος µε τη ϐοήθεια προτύπων παλινδρόµησης και τη µέθοδο σχεδιασµού πειραµάτων. Τα ϐήµατα, που πραγµατοποιούνται, αναλύθηκαν παραπάνω και εδώ αναφέρονται επιγραµµατικά : 1. ηµιουργία Πίνακα Σχεδιασµού Πειράµατος : Χρησιµοποιούνται έξι ε- πίπεδα σε κάθε µεταβλητή και ένας πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός που παράγουν 216 διαφορετικά διανύσµατα τιµών των µεταβλητών. 2. Αξιολόγηση των ιανυσµάτων Μεταβλητών του Σχεδιασµού : Πραγµατοποιούνται 216 αξιολογήσεις που γεµίζουν έναν πίνακα διάστασης (216 3). Το σχήµα 5.5 δείχνει τον πίνακα των αποκρίσεων, σε καρτεσιανούς άξονες ώστε να εκτιµηθεί το εύρος των αποκρίσεων. f 3 1.5e+06 1e e e f e+06 4e+06 3e+06 2e+06 1e+06 f 2 0-1e e+06 Σχήµα 5.5: Πολυωνυµικό πρόβληµα τριών στόχων. Αποκρίσεις του πλήρους παραγοντικού σχεδιασµού. 3. Κατασκευή των Προτύπων Παλινδρόµησης : Τα πρότυπα παλινδρόµησης για τις δύο πρώτες συναρτήσεις-στόχων παρουσιάζονται στις εξισώσεις 5.3 και 5.4 και είναι ίδια µε το προηγούµενο πρόβληµα. Για την τρίτη συνάρτησηστόχο, επιλέγεται ένα πολυώνυµο έκτου ϐαθµού για το πρότυπο παλινδρόµη- 69

82 σης καθώς αυτό καλύπτει τον µεγαλύτερο ϐαθµό που παρουσιάζεται στην αντίστοιχη συνάρτηση-στόχο 5.6. Το πρότυπο, συνεπώς, είναι : ŷ k3 = β j=1 3 β ij3 x j ijk + β 193x 1 x 2 x 3 (5.7) i=1 όπου ο δείκτης 3 δείχνει ότι το πρότυπο αντιστοιχεί στην τρίτη συνάρτησηστόχο. Ο υπολογισµός των συντελεστών του τελευταίου πρότυπου παλινδρόµησης καταλήγει στους ίδιους συντελεστές που έχει η συνάρτηση στόχος 5.6 και, εποµένως, το µεταπρότυπο και η συνάρτηση στόχος συµπίπτουν, δηλαδή δεν υπάρχει σφάλµα ανάµεσα στην πρόβλεψη και την πραγµατική τιµή. Για το λόγο αυτό, δεν είναι αναγκαία η χρήση ΕΑ για την εύρεση των ϐέλτιστων λύσεων, καθώς το µέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων του σχήµατος 5.4 ϑα είναι το µέτωπο που ϑα προέκυπτε αν πραγµατοποιείτο η διαδικασία του ΕΑ µε τα µεταπρότυπα που δηµιουργήθηκαν. Η διαδικασία του συγκεκριµένου προβλήµατος ολοκληρώνεται εδώ, όπου και έχει επιβεβαιωθεί ότι το λογισµικό λειτουργεί για πολυωνυµικά προβλήµατα τριών στόχων. Στο σχήµα 5.6, πα- ϱουσιάζονται όλες οι αξιολογήσεις που πραγµατοποιήθηκαν για τον σχεδιασµό του πειράµατος σε συνδυασµό µε τις ϐέλτιστες λύσεις. f 3 1.5e+06 1e e e f e+06 4e+06 3e+06 2e+06 1e+06 f 2 0-1e e+06 Σχήµα 5.6: Πολυωνυµικό Πρόβληµα Τριών Στόχων. Μέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων δύο στόχων µαζί µε τις αξιολογήσεις του σχεδιασµού πειραµάτων. Η παραπάνω διαδικασία κατέληξε στην επιβεβαίωση της λειτουργίας των µεθόδων και του λογισµικού και της σωστής λειτουργίας των επιµέρους προγραµµάτων που υλοποιούν τη διαδικασία και σε περίπτωση τριών στόχων. Τονίζεται, πάλι, ότι η 70

83 χρήση µεταπροτύπου σε αυτό το πρόβληµα δεν έχει κάποια επιτάχυνση στην εύρεση των ϐέλτιστων λύσεων. Η διαδικασία που πραγµατοποιήθηκε δεν διαφοροποιείται από το προηγούµενο πρόβληµα, απλά προστίθεται ένα ακόµα µεταπρότυπο για τον παραπάνω στόχο. 5.2 Μη-Πολυωνυµικά Μαθηµατικά Προβλήµατα Ελαχιστοποίησης Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται µαθηµατικά προβλήµατα, των οποίων οι συναρτήσεις στόχων τους δεν είναι πολυωνυµικές εκφράσεις, αλλά περιέχουν εκθετικά, λογάριθµους και τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Αυτά τα προβλήµατα ϕανερώνουν τόσο τη σωστή λειτουργία του λογισµικού DoE και της µεθόδου σχεδιασµού πειραµάτων, όσο και τα πλεονεκτήµατα που παρέχουν τα µεταπρότυπα Μη-Πολυωνυµικό Μαθηµατικό Πρόβληµα ύο Στόχων Το πρόβληµα αυτό στοχεύει στην εύρεση των ϐέλτιστων τιµών των δύο συναρτήσεων στόχων της. Οι ανεξάρτητες µεταβλητές σχεδιασµού είναι τρεις µε κάτω όριο το 0.1 και πάνω όριο το 10. Τα όρια αυτά περιορίζονται από τον ϕυσικό λογάριθµο που περιέχεται σε µια από τις συναρτήσεις στόχους. Οι συναρτήσεις στόχων δίνονται από τις σχέσεις : f 1 (x 1, x 2, x 3 ) = ln(x 1 ) + ln(x 2 ) + ln(x 3 ) (5.8) f 2 (x 1, x 2, x 3 ) = sin(x 1 ) + sin(x 2 ) + sin(x 3 ) (5.9) Χρησιµοποιήθηκε το λογισµικό EASY για την υλοποίηση ενός (25,50) ΕΑ µε µέγιστο αριθµό επιτρεπόµενων αξιολογήσεων τις Το µέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων (ϐλ. Σχήµα 5.7), που προέκυψε από τη διαδικασία, συγκρίνεται µε το µέτωπο, που προέκυψε από τη διαδικασία του σχεδιασµού πειράµατος. Η διαδικασία αυτή περιλαµβάνει το σχεδιασµό του πειράµατος, την αξιολόγηση των απαραίτητων διανυσµάτων τιµών των µεταβλητών, τη δηµιουργία µεταπροτύπων και τελικά την ε- ύρεση µετώπου µε τον EASY που χρησιµοποιεί ως µοναδικό λογισµικό αξιολόγησης τα µεταπρότυπα. Για τη διαδικασία του σχεδιασµού πειραµάτων υλοποιούνται τα ακόλουθα ϐήµατα : 1. ηµιουργία Πίνακα Σχεδιασµού Πειράµατος : Για την καλύτερη ακρίβεια των µεταπροτύπων, που ϑα δηµιουργηθούν, οι µεταβλητές σχεδιασµού χω- ϱίζονται σε 8 επίπεδα η καθεµία. ηµιουργείται, έτσι, ένας πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός µε 512 εκτελέσεις πειραµάτων. ηλαδή, ο πίνακας του 71

84 f f 1 Σχήµα 5.7: Μη-πολυωνυµικό µαθηµατικό πρόβληµα δυο στόχων. Μέτωπο µηκυριαρχούµενων λύσεων δύο στόχων. σχεδιασµού πειράµατος έχει διάσταση (512 3) και εµπεριέχει όλα τα διανύσµατα τιµών των µεταβλητών για τις εκτελέσεις του πειράµατος. 2. Αξιολόγηση των ιανυσµάτων Μεταβλητών του Σχεδιασµού : Για κάθε διάνυσµα µεταβλητών που περιέχεται στον πίνακα του σχεδιασµού εκτελείται το λογισµικό αξιολόγησης, δηλαδή πραγµατοποιούνται 512 εκτελέσεις, που κατασκευάζουν τον πίνακα των αποκρίσεων διάστασης (512 2). Το σχήµα 5.8 δείχνει τον πίνακα των αποκρίσεων. 3. Κατασκευή των Προτύπων Παλινδρόµησης : Επιλέγονται δύο πρότυπα παλινδρόµησης, ένα για κάθε συνάρτηση-στόχο. Οι συναρτήσεις-στόχοι του συγκεκριµένου προβλήµατος είναι πολύ εύκολο να αναλυθούν σε πολυωνυµικές συναρτήσεις µε τη ϐοήθεια των σειρών Taylor. Εποµένως, τα πρότυπα παλινδρόµησης, που λειτουργούν µε πολυώνυµα, πρέπει ν1α παρέχουν καλή προσέγγιση των συναρτήσεων στόχων και µάλιστα η προσέγγιση ϐελτιώνεται όσο αυξάνεται ο µέγιστος ϐαθµός του πολυωνύµου. Για την πρώτη συνάρτηση στόχο, επιλέγεται ένα πολυώνυµο 18 ου ϐαθµού για το πρότυπο παλινδρόµησης. Το πρώτο πρότυπο, συνεπώς, είναι αυτό της σχέσης 5.5 µε P = 18 και O = 1. Και για το δεύτερο πρότυπο παλινδρόµησης χρησιµοποιείται η σχέση 5.5 µε P = 18 και O = 2, πάλι για να υπάρχει µεγάλη ακρίβεια στην προσέγγιση. Ο µεγάλος ϐαθµός δυνάµεων των προτύπων, που κατασκευάστηκαν, ϕανε- ϱώνει την ανάγκη χωρισµού των µεταβλητών σε 8 επίπεδα. Απαιτούνται πολλά 72

85 3 2 1 f f 1 Σχήµα 5.8: Μη-πολυωνυµικό µαθηµατικό πρόβληµα δυο στόχων. Αποκρίσεις του πλήρους παραγοντικού σχεδιασµού. δεδοµένα ώστε να δηµιουργηθούν πρότυπα µε µεγάλη ακρίβεια. Στα πρότυπα αυτά, πρέπει να υπολογιστούν 55 συντελεστές β. Υπολογίζονται οι συντελεστές β και για τα δύο µεταπρότυπα µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. 4. Χρήση ΕΑ µε µεταπρότυπα ως το αποκλειστικό λογισµικό αξιολόγησης : Σε αυτό το ϐήµα, τα πρότυπα παλινδρόµησης που έχουν δηµιουργηθεί χρησιµοποιούνται ως το λογισµικό αξιολόγησης σε έναν ΕΑ. Η σύγκλιση της διαδικασίας είναι γρήγορη, για αυτό και δεν υπάρχει ενδιαφέρον για το ποιος είναι ο µέγιστος αριθµός αξιολογήσεων που πραγµατοποιήθηκαν ή ποιο είναι το πλήθος των γονέων και των απογόνων του ΕΑ. Οι ϐέλτιστες λύσεις, που προκύπτουν, επαναξιολογούνται µε το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης. Αυτές οι λύσεις συγκρίνονται και µε τις υπόλοιπες του αρχικού σχεδιασµού πειρα- µάτων και παράγεται το µέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων. Το µέτωπο αυτό ϐρίσκεται πολύ κοντά µε το µέτωπο που προέκυψε µε το λογισµικό EASY (ϐλ. Σχήµα 5.9). Οι προσεγγίσεις των µεταπροτύπων έχουν µικρή απόκλιση σε σχέση µε τις πραγµατικές τιµές των συναρτήσεων στόχων. Η διαδικασία τερ- µατίζεται εδώ καθώς έχουν ϐρεθεί οι ϐέλτιστες λύσεις του προβλήµατος. εν απαιτείται επανάληψη της διαδικασίας. Η διαδικασία µε τα µεταπρότυπα ϐρήκαν τις ϐέλτιστες λύσεις µε 512 αξιολογήσεις µε το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης, ενώ ο απλός (µ,λ) ΕΑ συνέκλινε µε 2500 αξιολογήσεις. Φαίνεται αισθητά η επιτάχυνση στη διαδικασία εύρεσης των ϐέλτιστων λύσεων και η ϐοήθεια που προσφέρουν τα µεταπρότυπα σε τέτοιου είδους προβλήµα- 73

86 3 2 1 f f 1 Σχήµα 5.9: Μη-πολυωνυµικό µαθηµατικό πρόβληµα δυο στόχων. Αποκρίσεις του πλήρους παραγοντικού σχεδιασµού. τα. Σηµειώνεται ότι δεν τρέχει ΕΑ µε µεταπρότυπο συνδεδεµένο µε την εξέλιξη, κα- ϑώς εδώ δεν επιθυµείται µια τέτοια σύγκριση. Παρόλα αυτά, η υποβοήθηση του ΕΑ µε µεταπρότυπα συνδεδεµένα µε την εξέλιξη ϑα παρείχε αντίστοιχα αποτελέσµατα µε τα µεταπρότυπα που χρησιµοποιήθηκαν, µε επιτάχυνση της διαδικασίας και λιγότερες πραγµατικές αξιολογήσεις. εν είναι γνωστό ποιό µεταπρότυπο εντοπίζει γρηγορότερα τις ϐέλτιστες λύσεις, αλλά αυτό ϑα ϕανεί σε επόµενα προβλήµατα Μη-Πολυωνυµικό Μαθηµατικό Πρόβληµα Τριών Στόχων Το πρόβληµα αυτό στοχεύει στην εύρεση των ϐέλτιστων τιµών των τριών συναρτήσεωνστόχων της. Οι ανεξάρτητες µεταβλητές σχεδιασµού είναι τρεις µε κάτω όριο το 0.1 και πάνω όριο το 3, τα οποία διαµορφώνονται από τις συναρτήσεις στόχους. Στο πρόβληµα αυτό, οι συναρτήσεις στόχων γίνονται πιο περίπλοκες, σε σχέση µε τα προηγούµενα προβλήµατα, και είναι : f 1 (x 1, x 2, x 3 ) = cos(x 2 1) + 2 cos(x 2 2) + 2 cos(x 2 3) (5.10) f 2 (x 1, x 2, x 3 ) = sin(e x 1 ) + sin(e x 2 ) + sin(e x 3 ) (5.11) f 2 (x 1, x 2, x 3 ) = e x 1 + e x 2 + e x 3 (5.12) 74

87 Χρησιµοποιήθηκε το λογισµικό EASY για την υλοποίηση ενός (30,60) ΕΑ µε µέγιστο αριθµό επιτρεπόµενων αξιολογήσεων τις Το µέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων από τον ΕΑ παρουσιάζεται στο σχήµα f f 1 f 2 Σχήµα 5.10: Μη-πολυωνυµικό µαθηµατικό πρόβληµα τριών στόχων. Μέτωπο µηκυριαρχούµενων λύσεων τριών στόχων, που δηµιουργήθηκε από το λογισµικό EASY. Για την διαδικασία του σχεδιασµού πειραµάτων υλοποιούνται τα ίδια ϐήµατα, που έγιναν και στα άλλα προβλήµατα : 1. ηµιουργία Πίνακα Σχεδιασµού Πειράµατος : Οι µεταβλητές σχεδιασµού χωρίζονται σε 10 επίπεδα η καθεµία, επειδή οι συναρτήσεις στόχων είναι πε- ϱίπλοκες και χρειάζεται αρκετά δεδοµένα για να επιτευχθεί ικανοποιητική α- κρίβεια των προσεγγίσεων. ηµιουργείται, έτσι, ένας πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός µε 1000 εκτελέσεις πειραµάτων, που απαρτίζουν τον πίνακα του σχεδιασµού. 2. Αξιολόγηση των ιανυσµάτων Μεταβλητών του Σχεδια-/σµού : Χρειάστηκαν να υλοποιηθούν 1000 πραγµατικές αξιολογήσεις προκειµένου να γεµίσει ο πίνακας των αποκρίσεων, που ϕαίνεται στο σχήµα Κατασκευή των Προτύπων Παλινδρόµησης : Οι τρείς συναρτήσεις-στόχοι απαιτούν τρία διαφορετικά πρότυπα παλινδρόµησης. Οπως και στο µη- πολυωνυµικό µαθηµατικό πρόβληµα δυο στόχων, έτσι και εδώ οι συναρτήσειςστόχοι µπορούν να αναλυθούν σε πολυώνυµα µε τη ϐοήθεια σειρών Taylor. Επειδή, όµως, οι συναρτήσεις-στόχοι είναι διαφορετικές από απλά πολυώνυµα, πάντοτε ϑα υπάρχει ένα µικρό σφάλµα µεταξύ της προσέγγισης και της πραγ- µατικής τιµής. Χρειάζεται κατασκευή προτύπων µε µεγάλες δυνάµεις, έτσι 75

88 f f f Σχήµα 5.11: Μη-πολυωνυµικό µαθηµατικό πρόβληµα τριών στόχων. του πλήρους παραγοντικού σχεδιασµού. Αποκρίσεις ώστε η προσεγγιστική αξιολόγηση να µην απέχει πολύ από την πραγµατική αξιολόγηση. Για την πρώτη συνάρτηση-στόχο, επιλέγεται ένα πολυώνυµο 18 ου ϐαθµού για το πρότυπο παλινδρόµησης, δηλαδή η εξίσωση 5.5 µε P = 18 και O = 1. Το ίδιο γίνεται και µε τη δεύτερη συνάρτηση-στόχο, που ϑα εκφράζεται από την εξίσωση 5.5 µε P = 18 και O = 2. Για την τρίτη συνάρτηση-στόχο χρησιµοποιήθηκε πρότυπο 38 ου ϐαθµού, δηλαδή η εξίσωση ϑα είναι η 5.5 µε P = 38 και O = 3 Η µέγιστη δύναµη του πολυωνύµου αυξήθηκε, γιατί παρατηρήθηκε ότι δεν επιτυγχάνεται ικανοποιητική ακρίβεια µε πολυώνυµα µικρότερου ϐαθµού. Επειδή χρειάζονται να ϐρεθούν 85 συντελεστών β για το τρίτο πρότυπο και 55 συντελεστών β για το καθένα από τα άλλα δύο πρότυπα, η διακριτοποίηση των µεταβλητών έγινε σε 10 επίπεδα. Η εύρεση των συντελεστών γίνεται µε τη ϐοήθεια της µεθόδου ελαχίστων τετραγώνων. 4. Χρήση ΕΑ µε µεταπρότυπα ως το αποκλειστικό λογισµικό αξιολόγησης : Για να ϐρεθούν οι ϐέλτιστες λύσεις, πρέπει να υλοποιηθεί ένας ΕΑ µε λογισµικό αξιολόγησης τα µεταπρότυπα. Η εκτέλεση του ΕΑ δεν υπολογίζεται στο υπολογιστικό κόστος της διαδικασίας, καθώς κάθε εκτέλεση των µεταπροτύπων απαιτεί µηδαµινό χρόνο σε σχέση µε την εκτέλεση του πραγµατικού προτύπου παλινδρόµησης. Τα διανύσµατα των τιµών των µεταβλητών, που αντιστοιχούν στις ϐέλτιστες λύσεις, αξιολογούνται ξανά µε το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης. Οπότε, η διαδικασία καταλήγει στην παραγωγή ενός µετώπου µηκυριαρχούµενων λύσεων. Το µέτωπο αυτό (ϐλ. Σχήµα 5.12) ϐρίσκεται πολύ κοντά στο µέτωπο που παράχθηκε µε το λογισµικό EASY. Οι προσεγγίσεις 76

89 f f 1 f 2 Σχήµα 5.12: Μη-πολυωνυµικό µαθηµατικό πρόβληµα τριών στόχων. του πλήρους παραγοντικού σχεδιασµού. Αποκρίσεις των µεταπροτύπων έχουν µικρή απόκλιση σε σχέση µε τις πραγµατικές τιµές των συναρτήσεων στόχων. Η διαδικασία τερµατίζεται εδώ καθώς έχουν ϐρεθεί οι ϐέλτιστες λύσεις του προβλήµατος και δεν απαιτείται κάποια ϐελτίωση των αποτελεσµάτων. Φαίνεται η ϐοήθεια των µεταπροτύπων στη διαδικασία της ϐελτιστοποίησης, καθώς εντοπίζεται το ίδιο µέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων µε το 1/5 των πραγµατικών αξιολογήσεων που χρειάστηκε η διαδικασία ϐελτιστοποίησης χωρίς µεταπρότυπα. 5.3 Ρευστοδυναµικά Προβλήµατα Βελτιστοποίησης Τα προβλήµατα αυτά αποτελούν πραγµατικά ϱευστοδυναµικά προβλήµατα, τα οποία καλείται να ϐελτιστοποιήσει ένας µηχανικός. Σε αυτά τα προβλήµατα, εµφανίζονται τα πλεονεκτήµατα της διαδικασίας του σχεδιασµού πειραµάτων. Τα αποτελέσµατα της διαδικασίας σχεδιασµού πειραµάτων συγκρίνονται και µε αυτά ενός (µ,λ) ΕΑ, αλλά και µε αυτά ενός ΕΑ υποβοηθούµενου από µεταπρότυπα συνδεδεµένα µε την εξέλιξη (online). Ετσι, ο αναγνώστης είναι σε ϑέση να αναγνωρίσει τις διαφορές ανάµεσα στις µεθόδους καθώς και τα πλεονεκτήµατα που η καθεµιά παρέχει. 77

90 5.3.1 Ρευστοδυναµικό Πρόβληµα Αεροτοµής Τεσσάρων Στοιχείων Το πρόβληµα ϐελτιστοποίησης αεροτοµής τεσσάρων στοιχείων µελετά τη ϱοή αέρα γύρω από υπεραντωτική διάταξη. Στο σύστηµα περιλαµβάνονται τέσσερις αεροτοµές, η µπροστινή (Slat), η κύρια/κεντρική (Main), η πρώτη πίσω (Flap1) και η δεύτερη πίσω (Flap2). Η κατασκευή αυτή έχει ως στόχο την αύξηση του συντελεστή άνωση (C l ). Στο πρόβληµα µεγιστοποίησης που αναλύεται, στόχος είναι η µεγιστοποίηση του συντελεστή άνωσης. Για διευκόλυνση της διαδικασίας και χωρίς να επηρεαστεί καθόλου το τελικό αποτέλεσµα, ϑεωρείται ότι πρέπει να ελαχιστοποιηθεί η αρνητική τιµή του συντελεστή άνωσης. Για τον υπολογισµό της συνάρτησης-στόχου χρησιµοποιείται λογισµικό αξιολόγησης που προγραµµατίστηκε στο ΜΠΥΡ&Β για την επίλυση ϱοών. Τα γεωµετρικά σχήµατα των αεροτοµών ϑεωρούνται σταθερά και διδιάστατα. Αλλάζοντας τη ϑέση και τη στροφή των πτέρυγων αλλάζει και ο συντελεστής άνωσης. Στην περίπτωση που αναλύεται εδώ, η κύρια αεροτοµή δεν αλλάζει ϑέση ή στροφή, αλλά παραµένει στη ϑέση της. Στόχος αυτού του προβλήµατος ϐελτιστοποίησης είναι η εύρεση των συνδυασµών των ϑέσεων και των στροφών των αεροτοµών ώστε να επιτευχθεί µεγιστοποίηση του συντελεστή άνωσης. Επειδή το πρόβληµα είναι διδιάστατο, οι ανεξάρτητες µεταβλητές είναι 9, δυο µετακινήσεις (µια κατά τον άξονα x και µια κατά τον y) και µια στροφή για κάθε αεροτοµή που κινείται. Στο πίνακα 5.1 ϕαίνονται τα άνω και κάτω όρια των µεταβλητών σχεδιασµού. Variable Min Max x y θ x y θ x y θ Πίνακας 5.1: Ορια µεταβλητών σχεδιασµού. Αρχικά, έχει ορισθεί µια αρχική ϑέση για κάθε αεροτοµή. Οι ανεξάρτητες µεταβλητές σχεδιασµού δηλώνουν το πόσο και πως ϑα κουνηθεί το κάθε αεροτοµή. Αφού έχουν αλλάξει οι ϑέσεις των αεροτοµών, δηµιουργείται ένα διδιάστατο πλέγµα γύρω από αυτά. Το πλέγµα δεν έχει συγκεκριµένους κόµβους ή στοιχεία, αλλά αλλάζουν ανάλογα µε τις αποστάσεις των αεροτοµών. Οι κόµβοι κυµαίνονται από έως και µε µέση τιµή τους κόµβους. Τα στοιχεία του πλέγµατος είναι µόνο τρίγωνα και κυµαίνονται από έως µε µέση τιµή τα τρίγωνα. Το λογισµικό αξιολόγησης είναι κώδικας ατριβούς συµπιεστής ϱοής (εξισώσεις Euler), τρέχει σε κάρτες γραφικών (GPUs) µε µικτή ακρίβεια. Ο κώδικας αυτός αναπτύχθηκε στο ΜΠΥΡ&Β [33] [34]. Για την επίλυση, στο επ άπειρο όριο του χωρίου ϱοής, ο αριθµός Mach είναι ίσος µε 0.2 και η γωνία πρόσπτωσης µε 10 o. 78

91 Στο τέλος της διαδικασίας, υπολογίζεται ο συντελεστής άνωσης, δηλαδή η τιµή της συνάρτησης-στόχου για το διάνυσµα τιµών των µεταβλητών που ορίσθηκε. Πραγµατοποιείται εύρεση της ϐέλτιστης λύσης µε το λογισµικό EASY, που υλοποιεί έναν (25,45) ΕΑ µε µέγιστο αριθµό αξιολογήσεων τις Η διαδικασία συγκλίνει σε λύση µε συντελεστή άνωσης Παρατηρείται ότι το αποτέλεσµα του EASY είναι µε αρνητικό πρόσηµο, καθώς εκτελείται διαδικασία ελαχιστοποίησης και για αυτό ο συντελεστής άνωσης υπολογίζεται µε αρνητική τιµή. Στο σηµείο αυτό, εκτελείται και ένας ΕΑ υποβοηθούµενος µε τοπικά συνδεδεµένα µε την εξέλιξη µεταπρότυπα (online MAEA) [35]. Το λογισµικό EASY έχει τη δυνατότητα να τον υλοποιήσει και έτσι χρησιµοποιούνται τα νευρωνικά δίκτυα ακτινικής ϐάσης για την υποβοήθηση του ΕΑ. Τα µεταπρότυπα ενεργοποιούνται µετά τη δηµιουργία µιας ϐάσης δεδοµένων 100 στοιχείων από τα οποία χρησιµοποιούνται 15 µέχρι 30 στοιχεία για την εκπαίδευση των µεταπροτύπων. Επιπλέον, σε κάθε γενιά που προκύπτει µε τα µεταπρότυπα αξιολογούνται ξανά µε το ακριβές λογισµικό αξιολόγησης από 4 µέχρι 8 άτοµα των πληθυσµών γονέων και απογόνων. Ο ΕΑ υποβοηθούµενος µε µεταπρότυπα συγκλίνει στη λύση µε τιµή για τον συντελεστή άνωσης, µε κόστος 600 πραγµατικών αξιολογήσεων. Η σύγκριση των συγκλίσεων των δυο παραπάνω ΕΑ ϕαίνεται στο σχήµα Ο άξονας f 1 δείχνει την αντικειµενική συνάρτηση, ενώ ο άξονας Evaluations τις πραγµατικές αξιολογήσεις που πραγµατοποιήθηκαν. Είναι ϕανερό ότι η ϐοήθεια των µεταπροτύπων επιταχύνει τη διαδικασία f Evaluations Σχήµα 5.13: Ρευστοδυναµικό Πρόβληµα Αεροτοµής Τεσσάρων Στοιχείων. Σύγκλιση (µ,λ) ΕΑ ( ) και ΕΑ υποβοηθούµενου µε συνδεδεµένα µε την εξέλιξη µεταπρότυπα (online MAEA) ( ). 79

92 και την κάνει να συγκλίνει σε ακόµα καλύτερη λύση. Στη συνέχεια, υπολογίζεται η ϐέλτιστη λύση από έναν ΕΑ, που χρησιµοποιεί αποσυνδεδεµένα από την εξέλιξη του ΕΑ εκπαιδευµένα µεταπρότυπα, όπου η αρχική εκπαίδευση γίνεται για σηµεία που επιλέγει η διαδικασία σχεδιασµού πειραµάτων. Η διαδικασία είναι ίδια µε αυτή που υλοποιήθηκε στα µαθηµατικά προβλήµατα ϐελτιστοποίησης. Αναλύεται στα ακόλουθα ϐήµατα : 1. ηµιουργία Πίνακα Σχεδιασµού Πειράµατος : Το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης απαιτεί αρκετό υπολογιστικό χρόνο. Εποµένως, επιθυµείται να εκτελεστεί όσο το δυνατόν λιγότερες ϕορές. Για τον λόγο αυτό, δεν πραγµατοποιείται πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός, αλλά επιλέγεται ένας τυχαιοποιη- µένος σχεδιασµός ϐασισµένος σε κλασµατικό παραγοντικό σχεδιασµό. Σε αυτό, όπως αναλύθηκε και στην αντίστοιχη ενότητα 3.3, ο χρήστης καθορίζει τον ακριβή αριθµό των πραγµατικών αξιολογήσεων, που επιθυµεί να πραγµατοποιήσει. Το αντίστοιχο πρόγραµµα αναλαµβάνει να κατασκευάσει το κλασµατικό παραγοντικό σχεδιασµό, του οποίου το σύνολο των αξιολογήσεων που απαιτεί διαφέρει όσο το δυνατό λιγότερο από το σύνολο των αξιολογήσεων, που επιθυ- µεί ο χρήστης. Στη συνέχεια, επιλέγει από αυτές µε τυχαίο τρόπο το ποιες ϑα πραγµατοποιηθούν. Στην συγκεκριµένη περίπτωση, επιλέγονται να γίνουν 45 πραγµατικές αξιολογήσεις, εποµένως ο πίνακας του σχεδιασµού έχει διάσταση (45 9). Οι 9 µεταβλητές σχεδιασµού χωρίζονται σε 4 επίπεδα η καθεµιά. 2. Αξιολόγηση των ιανυσµάτων Μεταβλητών του Σχεδιασµού : Εκτελούνται οι αναγκαίες πραγµατικές αξιολογήσεις µε τα διανύσµατα τιµών των µεταβλητών που περιέχονται στο πίνακα σχεδιασµού. Συµπληρώνεται ο πίνακας των αποκρίσεων και τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται στο σχήµα Κατασκευή των Προτύπων Παλινδρόµησης : Επειδή δεν είναι γνωστό το πως µπορεί να αναλυθεί η συνάρτηση στόχος σε πολυώνυµο, ερευνήθηκε το πολυώνυµο έτσι ώστε να παρέχει το µικρότερο δυνατό σφάλµα ανάµεσα στις πραγµατικές και τις προσεγγιστικές αξιολογήσεις. Η σχέση που χρησιµοποιείται για το πρότυπο παλινδρόµησης είναι : ŷ = β β i x i + i=1 4 β i+9 x 2 i + i=2 8 9 β i+12 x 2 i + β 16 x i (5.13) i=6 i=1 Οι δείκτες των συντελεστών β τοποθετούνται µε αύξουσα σειρά, αλλά δεν υ- πάρχει πρόβληµα να τοποθετηθούν µε οποιοδήποτε άλλο τρόπο. εν υπάρχει δείκτης, που να υποδηλώνει σε ποια συνάρτηση-στόχου αντιστοιχεί το πρότυπο, επειδή υπάρχει µόνο µια συνάρτηση-στόχου. Το πρότυπο αυτό δίνει τη δυνατότητα υπολογισµού των συντελεστών του µε µικρή ϐάση δεδοµένων (δηλαδή, µικρό πίνακα σχεδιασµού) σε σχέση µε τα µαθηµατικά προβλήµατα ϐελτιστοποίησης. Το υποπρόγραµµα υλοποίησης της µεθόδου ελαχίστων τετραγώνων υπολογίζει τους συντελεστές β. 80

93 f Evaluations Σχήµα 5.14: Ρευστοδυναµικό Πρόβληµα Αεροτοµής Τεσσάρων Στοιχείων. Αποκρίσεις του σχεδιασµού. 4. Χρήση ΕΑ µε µεταπρότυπα ως το αποκλειστικό λογισµικό αξιολόγησης : Το λογισµικό EASY χρησιµοποιώντας ως λογισµικό αξιολόγησης το εκπαιδευ- µένο µεταπρότυπο του προηγούµενου ϐήµατος υλοποιεί έναν ΕΑ για την ε- ύρεση της ϐέλτιστης λύσης. Σε αυτήν την περίπτωση, ο ΕΑ εκτελείται πολύ γρήγορα και για αυτό δεν λαµβάνεται υπόψη το υπολογιστικό του κόστος. Η ϐέλτιστη λύση επαναξιολογείται και µε το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης. 5. Επανάληψη διαδικασίας : Η λύση του ΕΑ δεν δίνει ικανοποιητικά αποτελέσµατα την πρώτη ϕορά. Για αυτό το λόγο χρειάζεται να πραγµατοποιηθεί επαναληπτική διαδικασία από το ϐήµα 3 µέχρι και το 5. Σε κάθε επανάληψη, προστίθενται οι ϐέλτιστε λύσεις του 4 ου ϐήµατος στον αρχικό πίνακα του σχεδιασµού και µετά εκτελούνται τα ϐήµατα 3 έως και 5. Ετσι, εµπλουτίζεται ο πίνακας και το πρότυπο µπορεί να πετύχει καλύτερη ακρίβεια και κατ επέκταση καλύτερη ϐέλτιστη λύση. Για να υπάρχουν περισσότερες νέες λύσεις κάθε ϕορά, στο ϐήµα 4 λαµβάνονται παραπάνω από µια ϐέλτιστες λύσεις. Προφανώς, όλες αυτές δεν είναι ϐέλτιστες αλλά ϐοηθούν την εκπαίδευση του µεταπροτύπου. Επιπλέον, αντί απλά να συµπληρωθεί ο πίνακας µε τις νέες αξιολογήσεις, µπορεί να περιοριστεί σε ένα πεδίο αποκρίσεων. Στο συγκεκριµένο πρόβληµα, όταν ο πίνακας ξεπερνά τα 100 στοιχεία, επιλέχθηκαν τα 80 καλύτερα διανύσµατα τιµών των µεταβλητών (αυτά µε τις µικρότερες αποκρίσεις) για την εκπαίδευση του µεταπροτύπου. Με αυτήν την τεχνική αυξάνεται η ακρίβεια του προτύπου παλινδρόµησης γύρω από την περιοχή της ϐέλτιστης τιµής. Κριτήριο διακοπής της επανάληψης είναι η εύρεση της ϐέλτιστης λύσης 81

94 ή το όριο των πραγµατικών αξιολογήσεων που µπορούν να πραγµατοποιηθούν. Πραγµατοποιούνται 10 επαναλήψεις, για το πρόβληµα αυτό. Κάθε επανάληψη προσθέτει 30 νέα διανύσµατα τιµών των µεταβλητών στον πίνακα του σχεδιασµού. Η σύγκλιση της διαδικασίας παρουσιάζεται στο σχήµα f Evaluations Σχήµα 5.15: Ρευστοδυναµικό Πρόβληµα Αεροτοµής Τεσσάρων Στοιχείων. Σύγκλιση διαδικασίας σχεδιασµού πειραµάτων. Με το πέρας της άνω διαδικασίας, έχουν υπολογιστεί 345 διανύσµατα τιµών των µεταβλητών µε το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης. Η ϐέλτιστη λύση που ϐρέθηκε από όλα αυτά υπολόγισε τον συντελεστή άνωσης ίσο µε Το σχήµα 5.16 δείχνει την διάταξη των τεσσάρων αεροτοµών, η οποία δίνει ως αποτέλεσµα τη ϐέλτιστη λύση που υπολογίζεται στα παραπάνω ϐήµατα. Από την άλλη, στο σχήµα 5.17 ϕαίνεται η διάταξη των τεσσάρων πτερυγίων που πετυχαίνουν την ϐέλτιστη λύση για τον ΕΑ υποβοηθούµενο µε συνδεδεµένα µε την εξέλιξη µεταπρότυπα (online MAEA). Παρατηρείται ότι οι διαφορές ανάµεσα στις δύο διατάξεις είναι µικρές, όπως είναι και µεταξύ των συντελεστών άνωσης που παράγουν. Εποµένως, η χρήση των δυο διαφορετικών µεταπροτύπων δίνει µικρές διαφορές στα αποτελέσµατα καθώς και στην επιτάχυνση στην σύγκλιση της διαδικασίας. Παρόλα αυτά, και τα δυο είδη µεταπροτύπων προσφέρουν ϐελτίωση και επιτάχυνση στη σύγκλιση της διαδικασίας του ΕΑ. 82

95 Σχήµα 5.16: Ρευστοδυναµικό Πρόβληµα Αεροτοµής Τεσσάρων Στοιχείων. ιάταξη αεροτοµών για την ϐέλτιστη λύση του σχεδιασµού πειραµάτων. Σχήµα 5.17: Ρευστοδυναµικό Πρόβληµα Αεροτοµής Τεσσάρων Στοιχείων. ιάταξη αεροτοµών για τη ϐέλτιστη λύση του ΕΑ υποβοηθούµενου από µεταπρότυπα (online MAEA). 83

96 5.3.2 Ρευστοδυναµικό Πρόβληµα Σχεδιασµού ιδιάστατης Πτε- ϱύγωσης Συµπιεστή Το πρόβληµα αποτελείται από δυο στόχους για το σχεδιασµό µιας 2 πτερύγωσης συµπιεστή. Οι στόχοι είναι ελαχιστοποίηση των απωλειών πίεσης και µεγιστοποίηση της στροφής της ϱοής. Το πτερύγιο του συµπιεστή εχει σχεδιαστεί να λειτουργεί σε M 1 = 0.618, a 1 = 47 o και Re = Το λογισµικό αξιολόγησης πραγµατοποιεί επιλύση ϱοής µε την ϐοήθεια ολοκληρωµατικών µεθόδων οριακού στρώµατος, όπως περιγράφεται στην δηµοσίευση ([36]). Το πτερύγιο του συµπιεστή παραµετροποιήθηκε µε την χρήση 7 σηµείων Bezier, ξεχωριστά για την πλευρά πίεσης και την πλευρά υποπίεσης. Από τα σηµεία αυτά αλλάζουν µόνο οι ϑέσεις στον y άξονα των σηµείων Bezier, δίνοντας στο πρόβληµα 10 µεταβλητές σχεδιασµού, αφού το πρώτο και το τελευταίο σηµείο έχουν σταθερές όλες τις συντεταγµένες. ηλαδή, µεταβάλλοντας τα σηµεία Bezier δηµιουργείται διαφορετικό σχήµα στην αεροτοµή του πτερυγίου του συµπιεστή και δίνει διαφορετικές τιµές για τη διαφορά πίεσης και τη στροφή της ϱοής. Σχήµα 5.18: Ρευστοδυναµικό Πρόβληµα Σχεδιασµού ιδιάστατης Πτερύγωσης Συµπιεστή. Αεροτοµή πτέρυγας συµπιεστή µε τα αντίστοιχα σηµεία Bezier που την παράγουν. Πρέπει, αλλάζοντας τιµές στις συντεταγµένες y να ϐρεθεί το µέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων για το πρόβληµα. Στο πίνακα 5.2 ϕαίνονται τα άνω και κάτω όρια των µετα- ϐλητών σχεδιασµού. Στην αρχή, πραγµατοποιείται η εύρεση του µετώπου µη-κυριαρχούµενων λύσεων µε 84

97 Variable Min Max y y y y y y y y y y Πίνακας 5.2: Ορια µεταβλητών σχεδιασµού. το λογισµικό EASY, που υλοποίησε έναν (35,70) ΕΑ µε µέγιστο αριθµό αξιολογήσεων τις Η γωνία στροφής της ορµής λαµβάνει αρνητικό πρόσηµο, έτσι ώστε από πρόβληµα µεγιστοποίησης να γίνει πρόβληµα ελαχιστοποίησης, όπως έγινε και παραπάνω. Στο πέρας της διαδικασίας έχει ϐρεθεί το µέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων του σχήµατος 5.19.Σηµειώνεται ότι στο σχήµα αυτό, καθώς και σε όλα τα άλλα που παρουσιάζονται στη συνέχεια, ο στόχος f 1 αντιστοιχεί στις απώλειες πίεσης, ενώ ο στόχος f 2 στην στροφή της ϱοής f f 1 Σχήµα 5.19: Ρευστοδυναµικό Πρόβληµα Σχεδιασµού ιδιάστατης Πτερύγωσης Συµπιεστή. Μέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων που προκύπτει µε EASY, όπου f 1 είναι οι απώλειες πίεσης και f 2 η στροφή της ϱοής. 85

98 Στο σηµείο αυτό, είναι χρήσιµο να εκτελεστεί και ένας ΕΑ υποβοηθούµενος µε µεταπρότυπα συνδεδεµένα µε την εξέλιξη (online MAEA). Το λογισµικό EASY έχει τη δυνατότητα να τον υλοποιήσει και έτσι χρησιµοποιούνται τα νευρωνικά δίκτυα ακτινικής ϐάσης (RBF) για την υποβοήθηση του ΕΑ. Τα µεταπρότυπα ενεργοποιούνται µετά τη δηµιουργία µιας ϐάσης δεδοµένων 70 στοιχείων από τα οποία χρησιµοποιούνται 15 µέχρι 30 στοιχεία για την εκπαίδευση κάθε µεταπροτύπου. Το ακριβές λογισµικό αξιολόγησης χρησιµοποιείται για να αξιολογήσει επακριβώς από 4 µέχρι 8 άτοµα των πληθυσµών γονέων και απογόνων. Μετά από 1000 πραγµατικές αξιολογήσεις, το µέτωπο, που παράγεται, ϕαίνεται στο σχήµα f f 1 Σχήµα 5.20: Ρευστοδυναµικό Πρόβληµα Σχεδιασµού ιδιάστατης Πτερύγωσης Συµπιεστή. Μέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων που παράχθηκε µε ΕΑ υποβοηθούµενο µε συνδεδεµένα µε την εξέλιξη µεταπρότυπα (online MAEA). Είναι ϕανερό ότι η ϐοήθεια των συνδεδεµένων µε τον ΕΑ µεταπροτύπων επιταχύνει τη διαδικασία, καθώς έχουν διαφορά 2900 αξιολογήσεις. Το σχήµα 5.21 δείχνει και τα δύο µέτωπα µαζί για καλύτερη σύγκριση. Στην συνέχεια, ϑα υπολογιστεί το αντίστοιχο µέτωπο µε την ϐοήθεια της διαδικασίας του σχεδιασµού πειραµάτων. Η διαδικασία είναι ίδια µε αυτή που υλοποιήθηκε στα µαθηµατικά προβλήµατα ϐελτιστοποίησης. Αναλύεται στα ακόλουθα ϐήµατα : 1. ηµιουργία Πίνακα Σχεδιασµού Πειράµατος : Ο σχεδιασµός, που επιλέγεται, είναι ένας τυχαιοποιηµένος σχεδιασµός ϐασισµένος σε κλασµατικό παραγοντικό σχεδιασµό, που αναλύθηκε στην ενότητα 3.3. Αυτός επιλέγεται για να υπάρχει καθορισµένος αριθµός αξιολογήσεων. Ο αριθµός των πραγµατικών αξιολογήσεων επιλέγεται να είναι 216, επειδή τόσες αξιολογήσεις µπορούν 86

99 f f 1 Σχήµα 5.21: Ρευστοδυναµικό Πρόβληµα Σχεδιασµού ιδιάστατης Πτερύγωσης Συµπιεστή. Μέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων µε συνδεδεµένα µε την εξέλιξη µεταπρότυπα ( ) και χωρίς µεταπρότυπα ( ). να παρέχουν την κατάλληλη εκπαίδευση για τα πρότυπα παλινδρόµησης. Ο σχεδιασµός αυτός δηµιουργεί έναν πίνακα διάστασης (216 10). 2. Αξιολόγηση των ιανυσµάτων Μεταβλητών του Σχεδιασµού : Εκτελούνται οι αναγκαίες πραγµατικές αξιολογήσεις µε τα διανύσµατα τιµών των µεταβλητών που περιέχονται στο πίνακα σχεδιασµού. Συµπληρώνεται ο πίνακας των αποκρίσεων και τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται στο σχήµα Κατασκευή των Προτύπων Παλινδρόµησης : Το συγκεκριµένο πρόβληµα αποτελείται από πολύπλοκες συναρτήσεις-στόχους. Για αυτό το λόγο ϑα είναι αδύνατο να προσεγγιστεί µε ένα πολυώνυµο µικρού ϐαθµού. Αφού επιλέχθηκε σχεδιασµός πειραµάτων µε 216 στοιχεία, υπάρχει η δυνατότητα δηµιουργίας προτύπων µεγάλου ϐαθµού. Ετσι, και για τις δύο συναρτήσεις-στόχους, επιλέχθηκε το εξής πρότυπο παλινδρόµησης. yˆ O = β 0O j=1 β ijo x j i + β 11O i=1 10 i=1 x i (5.14) Οι δείκτες των συντελεστών β τοποθετούνται ανά µεταβλητή και ανά δύναµη. Ο τρόπος τοποθέτησης των δεικτών δεν επηρεάζουν σε τίποτα τη διαδικασία. Ο δείκτης Ο παίρνει τιµές 1 και 2 αναλόγως σε ποια συνάρτηση στόχου αντιστοιχεί. Το υποπρόγραµµα υλοποίησης της µεθόδου ελαχίστων τετραγώνων 87

100 f f 1 Σχήµα 5.22: Ρευστοδυναµικό Πρόβληµα Σχεδιασµού ιδιάστατης Πτερύγωσης Συµπιεστή. Αποκρίσεις του σχεδιασµού πειραµάτων. υπολογίζει τους συντελεστές β για τα δυο διαφορετικά πρότυπα. Προφανώς, οι συντελεστές είναι διαφορετικοί για κάθε πρότυπο. 4. Χρήση ΕΑ µε µεταπρότυπα ως το αποκλειστικό λογισµικό αξιολόγησης : Το λογισµικό EASY χρησιµοποιώντας ως λογισµικό αξιολόγησης το εκπαιδευ- µένο µεταπρότυπο του προηγούµενου ϐήµατος υλοποιεί έναν ΕΑ για την ε- ύρεση των ϐέλτιστων λύσεων. Ο ΕΑ σε αυτή την περίπτωση εκτελείται πολύ γρήγορα και για αυτό δεν λαµβάνεται υπόψη το υπολογιστικό του κόστος. Πα- ϱάγονται 40 ϐέλτιστες λύσεις, οι οποίες επαναξιολογούνται µε το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης. 5. Επανάληψη διαδικασίας : Οι λύσεις του ϐήµατος 4 επιδέχονται και άλλη ϐελτίωση. Επαναλαµβάνονται, λοιπόν, τα ϐήµατα 3 έως και 5, µέχρι να δη- µιουργηθεί ένα ικανοποιητικό µέτωπο. Σε κάθε επανάληψη, προστίθενται οι ϐέλτιστες λύσεις του 4 ου ϐήµατος στον αρχικό πίνακα του σχεδιασµού και µετά εκτελούνται τα ϐήµατα 3 έως και 5. Οι ϐέλτιστες λύσεις που παράγονται είναι 40 για να αυξηθεί γρήγορα η ϐάση δεδοµένων για την εκπαίδευση των µεταπροτύπων, αλλά και για να παρέχει στο τέλος ένα πυκνό µέτωπο. Το πεδίο των αποκρίσεων δεν χρειάζεται να περιοριστεί, όπως έγινε στο προηγούµενο πρόβληµα, γιατί όλες οι τιµές µπορεί να παρέχουν χρήσιµη πληροφορία για την εύρεση ϐέλτιστων λύσεων. Οι επαναλήψεις διακόπτονται όταν το µέτωπο που ϐρέθηκε είναι ικανοποιητικό και δεν δείχνει να δέχεται ϐελτίωση ή όταν η διαδικασία έχει πραγµατοποιήσει το µέγιστο αριθµό πραγµατικών αξιολογήσε- 88

101 ων. έκα επαναλήψεις ήταν αρκετές για να ϐρεθεί το ακόλουθο µέτωπο 5.23: f f 1 Σχήµα 5.23: Ρευστοδυναµικό Πρόβληµα Σχεδιασµού ιδιάστατης Πτερύγωσης Συµπιεστή. Σύγκλιση διαδικασίας ΕΑ που ϐασίζεται σε µεταπρότυπα και σε σχεδιασµό πειραµάτων. Πρέπει να σηµειωθεί ότι τα στοιχεία του µετώπου δεν ϐρέθηκαν όλα στην τελευταία επανάληψη, αλλά επιλέχθηκαν από όλες πραγµατικές αξιολογήσεις, που πραγµατοποιήθηκαν. Συνολικά πραγµατοποιήθηκαν 616 πραγµατικές αξιολογήσεις, πολύ λιγότερες από ότι πραγµατοποιήθηκαν µε τον (µ,λ) ΕΑ. Στο σχήµα 5.24 συγκρίνονται τα µέτωπα που παράχθηκαν µε τους τρεις διαφορετικούς τρόπους. Το µέτωπο µη-κυριαρχούµενων λύσεων είναι παρόµοιο και στις τρεις περιπτώσεις. Εντυπωσιακό είναι το πόσο γρήγορα επιτυγχάνεται µε τη ϐοήθεια µεταπροτύπων. Με τη διαδικασία του σχεδιασµού πειραµάτων επιτυγχάνεται το µέτωπο µε 4284 λιγότε- ϱες πραγµατικές αξιολογήσεις, το οποίο αποτελεί µεγάλη ϐελτίωση στο υπολογιστικό κόστος της διαδικασίας. 89

102 f f 1 Σχήµα 5.24: Ρευστοδυναµικό Πρόβληµα Σχεδιασµού ιδιάστατης Πτερύγωσης Συµπιεστή. Μέτωπα λύσεων, µε (µ,λ) ΕΑ ( ), µε online MAEA ( ) και µε την διαδικασία σχεδιασµού πειραµάτων ( ). 90

103 Κεφάλαιο 6 Ανακεφαλαίωση, συµπεράσµατα και προτάσεις για περαιτέρω µελέτη Η παρούσα διπλωµατική εργασία ανέλυσε τρία ϑέµατα. Πρώτο και πιο ϐασικό περιγράφηκαν οι ΕΑ. Είναι χρήσιµοι για οποιοδήποτε µέρος της διπλωµατική εργασίας, καθώς πάνω σε αυτούς ϐασίστηκαν και όλες οι άλλοι µέθοδοι. Αναλύθηκαν οι ϐασικές αρχές τους, ο τρόπος λειτουργίας τους και τα ϐήµατα που ακολουθούν για την εύρεση της ϐέλτιστης ή των ϐέλτιστων λύσεων. Προφανώς, οι ΕΑ έχουν και µειονεκτήµατα και πλεονεκτήµατα, όπως όλες οι µέθοδοι ϐελτιστοποίησης. Ενα ϐασικό µειονέκτηµά τους είναι το υπολογιστικό κόστος που απαιτείται για την εύρεση των ϐέλτιστων λύσεων, που απορρέει από το (πολλές ϕορές) χρονοβόρο λογισµικό αξιολόγησης. Για τη µείωση του υπολογιστικού κόστους τους, µελετήθηκαν οι τεχνικές των µεταπροτύπων. Τα µεταπρότυπα αποτελούν το δεύτερο σηµαντικό ϑέµα της παρούσας διπλωµατικής εργασίας. Αυτά προσοµοιάζουν µε απλές µαθηµατικές συναρτήσεις το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης, που χρησιµοποιείται από έναν (µ,λ) ΕΑ. Αυτό αποσκοπεί στο να χρησιµοποιείται το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης λιγότερες ϕορές, ώστε να µειωθεί το υπολογιστικό κόστος. Τα µεταπρότυπα εκπαιδεύονται µε δεδοµένα που παρέχονται από τις εκτελέσεις του πραγµατικού λογισµικού αξιολόγηση δείγµατος. Η αξιοπιστία τους επηρεάζεται τόσο από τον αριθµό όσο και από το πόσο αντιπροσωπευτικά είναι αυτά τα δείγµατα. Υπάρχουν δύο κατηγορίες µεταπροτύπων, τα συνδεδεµένα και τα αποσυνδεδεµένα από την εξέλιξη του ΕΑ µεταπρότυπα. Εδώ, µελετήθηκαν εκτενώς τα αποσυνδεδεµένα από την εξέλιξη και, συγκεκριµένα τα πρότυπα παλινδρόµησης πολυωνυµικής ϐάσης. Αυτά αποτελούνται από πολυωνυ- µικές συναρτήσεις, δηλαδή οι µεταβλητές σχεδιασµού συνδέονται µε τα αποτελέσµατα του προβλήµατος µε πολυωνυµικές σχέσεις. Εχουν το πλεονέκτηµα ότι µπορούν να εκπαιδευτούν πολύ γρήγορα σε σχέση µε άλλου είδους µεταπρότυπα. Γενικότε- ϱα, τα µεταπρότυπα εκπαιδεύονται µε τη ϐοήθεια µιας ϐάσης δεδοµένων, που έχει δηµιουργηθεί από εκτελέσεις του πραγµατικού λογισµικού αξιολόγησης. Τα εκπαιδευµένα µεταπρότυπα συµµετέχουν ως λογισµικό αξιολόγησης σε ένα (µ,λ) ΕΑ. 91

104 Πρέπει να σηµειωθεί ότι επειδή τα µεταπρότυπα εκτελούνται σε µηδαµινό χρόνο, ο ΕΑ αυτός δεν αυξάνει αισθητά το υπολογιστικό κόστος. Τα ϐέλτιστα αποτελέσµατα επαναξιολογούνται από το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης και, αν τα µεταπρότυπα έχουν ικανοποιητική ακρίβεια, οι ϐέλτιστες λύσεις ϑα είναι και αυτές που ανα- Ϲητώνται. Ετσι, πραγµατοποιείται η διαδικασία της ϐελτιστοποίησης µε τη ϐοήθεια µεταπροτύπων αποσυνδεδεµένων από την εξέλιξη. Εχει αποδειχθεί ότι η χρήση µεταπροτύπων µειώνει τον αριθµό των πραγµατικών αξιολογήσεων στο 1/3 περίπου αυτών που ϑα χρειάζονταν αν δεν χρησιµοποιούνταν µεταπρότυπα. Η αρχική εκπαίδευση των µεταπροτύπων αποτελεί ένα σηµαντικό σηµείο, που καθο- ϱίζει την αποτελεσµατικότητά τους. Για αυτόν τον λόγο, δεν πρέπει να γίνεται τυχαία επιλογή των εκτελέσεων του πραγµατικού λογισµικού αξιολόγησης. Αντιθέτως, η ε- πιλογή των διανυσµάτων τιµών των µεταβλητών σχεδιασµού που ϑα εκτελεστούν από το πραγµατικό λογισµικό αξιολόγησης γίνεται µε τη ϐοήθεια του σχεδιασµού πειρα- µάτων. Οι σχεδιασµοί πειραµάτων αποτελεί το τρίτο, σε σειρά, ϑέµα της παρούσας διπλωµατικής εργασίας, αλλά είναι το πιο σηµαντικό. Ο σχεδιασµός πειραµάτων κατασκευάζει έναν πίνακα στο οποίο περιέχονται όλα τα διανύσµατα τιµών των µεταβλητών µε τα οποία ϑα γίνουν οι εκτελέσεις. Ο εν λόγω πίνακας συµπληρώνεται διαφορετικά, ανάλογα µε το είδος του σχεδιασµού. Στο αντίστοιχο κεφάλαιο, αναλύθηκαν τα ϐασικότερα είδη σχεδιασµού πειραµάτων, καθώς και οι διαφορές τους. Στη διπλωµατική εργασία, αναλύθηκαν οι εξής σχεδιασµοί : 1. Πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός. 2. Κλασµατικός παραγοντικός σχεδιασµός. 3. Τυχαιοποιηµένος σχεδιασµός. 4. Σχεδιασµός κεντρικής σύνθεσης. Από τον σχεδιασµό πειραµάτων, µπορούν να εξαχθούν σηµαντικές στατιστικές και άλλες πληροφορίες για το πρόβληµα που αναλύεται. Ολες οι παραπάνω µεθοδολογίες εφαρµόστηκαν σε µαθηµατικά και ϱευστοδυνα- µικά προβλήµατα. Τα πρώτα υπέδειξαν τη σωστή λειτουργία των µεθόδων. Στα προβλήµατα ϱευστοδυναµικής, συγκρίθηκαν τα αποτελέσµατα της διαδικασίας του ΕΑ, που υποβοηθήθηκε µε σχεδιασµό των πειραµάτων και µεταπρότυπα, τόσο µε απλό (µ,λ) ΕΑ, όσο και µε ΕΑ υποβοηθούµενο από συνδεδεµένα στην εξέλιξη του ΕΑ µεταπρότυπα (ΜΑΕΑ). Η σύγκριση αυτή υπέδειξε τη γρηγορότερη και σε καλύτερες ϐέλτιστες τιµές σύγκλιση της διαδικασίας ϐελτιστοποίησης σε περίπτωση που χρησι- µοποιούνται µεταπρότυπα. Οι διαφορές στην γρήγορη επίτευξη της λύσης και στην εύρεση των ϐέλτιστων λύσεων µεταξύ των δύο κατηγοριών µεταπροτύπων είναι µικρές και διαφέρουν ανάλογα µε το πρόβληµα. Εκτός από τις διαδικασίες και τις µεθόδους που αναπτύχθηκαν, δηµιουργήθηκε και ένα πρόγραµµα µε γραφικό περιβάλλον που υλοποιεί ότι αναλύθηκε. Το πρόγραµµα αυτό αποσκοπεί στην ευκολότερη διαχείριση της διαδικασίας του σχεδιασµού πειρα- µάτων και της ϐελτιστοποίησης µε ΕΑ. Επιπλέον, παρέχει επιπρόσθετες ϱυθµίσεις 92

105 που µπορεί να ϐοηθήσουν τον χρήση το να ϐγάλει σε πέρας την διαδικασία ϐελτιστοποίησης που πραγµατοποιεί. Το γραφικό περιβάλλον παρέχει µια πιο εύχρηστη πλατφόρµα πάνω στην οποία µπορεί να δουλέψει ο χρήστης. 6.1 Βελτιώσεις Ολα αυτά που ερευνήθηκαν παρέχουν µια καλή ϐάση για την εδραίωση µιας δια- ϕορετικής διαδικασίας χειρισµού των ΕΑ. Περαιτέρω έµφαση µπορεί να δοθεί και σε άλλους τύπους σχεδιασµών. Άλλοι τύποι µπορεί να παρέχουν πιο αποδοτικά α- ποτελέσµατα ανάλογα µε το πρόβληµα που επιλύεται. Κάποιοι σχεδιασµοί µπορούν να παρέχουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Κάποιοι, για παράδειγµα, µε τον συνδυασµό τους, µπορούν να διαρθρώσουν ένα ισχυρότερο και καλύτερης ακρίβειας σχεδιασµό. Μπορούν να µελετηθούν και άλλοι τύποι µεταπροτύπων. Συγκεκριµένα, στα πρότυπα παλινδρόµησης πρέπει να προστεθούν και άλλες συναρτήσεις που δεν είναι πολυωνυµικές. Με αυτόν τον τρόπο, το πρότυπο ϑα προσεγγίζει καλύτερα περιοδικά ϕαινόµενα ή εκθετικά ϕαινόµενα. Γενικότερα, όσο πολυπλοκότερο γίνεται το πρότυπο παλινδρόµησης τόσο καλύτερα ϑα προσεγγίζει τα διάφορα προβλήµατα. Πέραν των προτύπων παλινδρόµησης, καλό ϑα ήταν να ενταχθούν και άλλα µεταπρότυπα, όπως τα νευρωνικά δίκτυα. Επιπλέον, πρέπει να προστεθούν και άλλα µεταπρότυπα για την προσοµοίωση των περιορισµών. Ολες οι παραπάνω µέθοδοι πρέπει να προστεθούν και στο λογισµικό DoE. Εκτός από αυτά, το λογισµικό υστερεί ως προς τις ϱυθµίσεις που απαιτεί το λογισµικό EASY. Επιθυµητή, λοιπόν, είναι η προσθήκη και άλλων παραµέτρων για τη σωστή ϱύθµιση του ΕΑ, που πραγµατοποιείται µε τα µεταπρότυπα. Χρήσιµη ϑα ήταν και η προσθήκη διαγραµµάτων, που ϑα δείχνουν τις αποκρίσεις των συναρτήσεων-στόχων, τη σύγκλιση της διαδικασίας καθώς και τις κύριες επιρροές και αλληλεπιδράσεις των µεταβλητών. Μπορεί να µελετηθεί καλύτερα η στατιστική ανάλυση των πειραµάτων, ώστε να προστεθεί στο λογισµικό και να παρέχει έναν ακόµα τοµέα πληροφοριών που να ϐοηθούν τον χειριστή. Τέλος, το λογισµικό DoE πρέπει να εκτελείται µε ή χωρίς γραφικό περιβάλλον και να εκτελεί τις διεργασίες του σε παράλληλες υπολογιστικές µονάδες, ώστε να επιταχυνθεί η εύρεση των αποτελεσµάτων. 93

106 94

107 Παράρτηµα Α Στατιστική Ανάλυση του Παραγοντικού Σχεδιασµού Η στατιστική ανάλυση [4] [37] πραγµατοποιείται για να διερευνηθεί η απόκλιση των αποκρίσεων του πειράµατος από την µέση τιµή και οι παράγοντες που επηρεάζουν τόσο την απόκλιση όσο και τις αποκρίσεις. Μετά το πέρας της στατιστικής ανάλυσης, ο ερευνητής ϑα µπορέσει να αποφανθεί αν οι αποκλίσεις είναι αποδεκτές ή όχι. Η διαδικασία αυτή πραγµατοποιείται σε στοχαστικά πειράµατα όπου επαναλήψεις στην εκτέλεση ενός πειράµατος είναι απαραίτητες. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει όλες τις εκτελέσεις του πειράµατος που πραγµατοποιούνται. Τµήµα του πίνακα αποτελείται από τις επαναλήψεις που πραγµατοποιούνται µε σταθερά επίπεδα των δύο µεταβλητών. F actorb b 1 y 111 y 112 y 121 y 122 y 1b1 y 1b2... y 11n... y 12n... y 1bn 2 y 111 y 112 y 121 y 122 y 1b1 y 1b2 F actora... y 11n... y 12n... y 1bn... a y 111 y 112 y 121 y 122 y 1b1 y 1b y 11n... y 12n... y 1bn Για την στατιστική ανάλυση, ϑα χρησιµοποιηθεί ένα παράδειγµα µε δύο µεταβλητές σχεδιασµού και η µεταβλητή Α ϑα έχει a επίπεδα ενώ η Β b επίπεδα. Η κάθε εκτέλεση του πειράµατος επαναλαµβάνεται n ϕορές. άρα συνολικά ϑα διατίθενται abn αποκρίσεις. Το y ijk συνιστά την απόκριση µιας αντικειµενικής συνάρτησης, όταν η µεταβλητή Α ϐρίσκεται στο i επίπεδο, η Β στο j επίπεδο και όλα αυτά στην kιοστή επανάληψη. 95

108 Το πρότυπο επιρροής µπορεί να περιγράψει τις αποκρίσεις του σχεδιασµού : i = 1, 2,..., a y ijk = µ + τ i + β i + (τβ) ij + ɛ ijk j = 1, 2,..., b k = 1, 2,..., n (Α.1) όπου µ είναι ο συνολικός µέσος των επιρροών, τ i είναι η επίδραση του i επιπέδου της µεταβλητής Α, β j είναι η επίδραση του j επιπέδου της µεταβλητής Β, (τβ) ijk είναι η αλληλεπίδραση µεταξύ των µεταβλητών Α και Β στα αντίστοιχα επίπεδα και ɛ ijk τα τυχαία λάθη. Συνήθως, ϑεωρείται ότι οι επιδράσεις ορίζονται ως αποκλίσεις από το συνολικό µέσο µ, άρα ισχύουν οι τύποι : a τ i = 0 i=1 b β j = 0 i=1 a τ i β j = 0 i=1 b τ i β j = 0 i=1 (Α.2) Η απόκριση µπορεί να µοντελοποιηθεί µε πρότυπα παλινδρόµησης που έχουν καλύτερη συµπεριφορά, όταν οι µεταβλητές είναι ποσοτικές. Πρέπει να ελεγχθούν οι υπόθεση : H 0 : τ 1 = τ 2 =... = τ a = 0 (Α.3) H 1 : at least one τ i 0 (Α.4) H 0 : β 1 = β 2 =... = β a = 0 (Α.5) H 1 : at least one β i 0 (Α.6) H 0 : (τβ) ij = 0 (Α.7) H 1 : at least one (τβ) ij 0 (Α.8) Για το έλεγχο, ορίζονται τα ακόλουθα µεγέθη : 96

109 y i.. = y.j. = y..k = b j=1 k=1 a i=1 k k=1 n y ijk i = 1, 2,..., a (Α.9) n y ijk j = 1, 2,..., b (Α.10) k=1 y... = y ijk { i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b a i=1 b n j=1 k=1 y ijk (Α.11) (Α.12) Η συνολική διακύµανση αποτελείται από τέσσερις ποσότητες, την διακύµανση της µεταβλητής Α (SS A ), της µεταβλητής Β (SS B ), της διακύµανσης της αλληλεπίδρασης των µεταβλητών Α και Β (SS AB ) και του σφάλµατος (SS error ). Η κύρια επιρροή της µεταβλητής Α έχει a 1 ϐαθµούς ελευθερίας και της µεταβλητής Β b 1 ϐαθµούς ελευθερίας. Η αλληλεπίδραση των δύο µεταβλητών έχει ab 1 (a 1) (b 1) = (a 1)(b 1) ϐαθµούς ελευθερίας. Επειδή υπάρχουν και n επαναλήψεις κάθε εκτέλεση, οι ϐαθµοί ελευθερίας του σφάλµατος είναι ab(n 1). Η προβλεπόµενη τιµή του µέσου τετραγώνων µπορεί να αποδειχθεί : E(MS A ) = σ 2 + bn a i=1 τ i 2 a 1 E(MS B ) = σ 2 + bn b j=1 β2 j b 1 E(MS AB ) = σ 2 + n b j=1 β2 j (a 1)(b 1) E(MS error ) = σ 2 (Α.13) (Α.14) (Α.15) (Α.16) Για να ελεγχθεί η κενή υπόθεση (null hypothesis) Α.3, συγκρίνονται τα MS A, MS B, MS E µε το σ 2. Αν είναι ίσα τότε η σχέση Α.3 ισχύει. Σε αντίθετη περίπτωση, ελέγχεται η σηµαντικότητα κάθε επιρροής και αλληλεπίδρασης µε τον λόγο του αντίστοιχου µέσου τετραγώνου δια του µέσου τετραγώνου του σφάλµατος. Ο έλεγχος 97

110 αυτός ονοµάζεται F test [38]. Εποµένως, χρησιµοποιούνται οι στατιστικοί όροι : F 0 = F 0 = MS A MS error MS B MS error F 0 = MS AB MS error (Α.17) (Α.18) (Α.19) Οσο µεγαλύτερος είναι ο λόγος τόσο σηµαντικότερη είναι η επιρροή. Ολη η διαδικασία συνοψίζεται στην εύρεση των µεγεθών του παρακάτω πίνακα : Source Degrees of V ariation Sum of Squares of F reedom Mean Square F 0 SS A a 1 SS B b 1 SS AB (a 1)(b 1) Atreatments SS A a 1 Btreatments SS B b 1 InteractionAB SS AB (a 1)(b 1) SS Error SS error ab(n 1) error ab(n 1) T otal SS total abn 1 MS A MS error MS B MS error MS AB MS error Για τον υπολογισµό τους, οι παρακάτω τύποι είναι χρήσιµοι : SS total = SS A = 1 bn SS B = 1 an SS AB = 1 n a i=1 a i=1 b n j=1 k=1 b j=1 a i=1 y 2 i.. y2... abn y 2.j. y2... abn b j=1 y 2 ijk y2... abn y 2.j y2... abn SS A SS B SS error = SS total SS A SS B SS AB (Α.20) (Α.21) (Α.22) (Α.23) (Α.24) 98

111 Παράρτηµα Β Ανάλυση Γραµµικού Προτύπου Παλινδρόµησης Πολλές ϕορές χρησιµοποιείται γραµµικό πολυωνυµικό πρότυπο για την προσέγγιση των αποτελεσµάτων µιας σειράς επιλεγµένων πειραµάτων [3]. Η σχέση ανάµεσα στην προβλεπόµενη απόκριση του πειράµατος και τις µεταβλητές σχεδιασµού έχει τη µορφή : ŷ k = β 0 + β 1 x k1 + β 2 x k β N x in (Β.1) όπου ŷ k είναι η προσέγγιση της συνάρτησης στόχου, x ki οι N µεταβλητές σχεδιασµού και β i οι Ν+1 συντελεστές του προτύπου παλινδρόµησης. Ο δείκτης k παίρνει τιµές από 1 µέχρι τον αριθµό K των πειραµάτων που έχουν πραγµατοποιηθεί. Το y k δηλώνει την πραγµατική απόκριση της συνάρτησης στόχου. Η διαφορά µεταξύ της πραγµατικής και της προβλεπόµενης απόκρισης είναι το σφάλµα ɛ k. Αρχικά, για την ανάλυση του προτύπου παλινδρόµησης, δηµιουργείται ο πίνακας X που αποτελείται από όλα τα x ik. Οι στήλες αντιπροσωπεύουν τις µεταβλητές σχεδιασµού ενώ οι γραµµές είναι τα διανύσµατα τιµών των µεταβλητών για κάθε εκτέλεση του πειράµατος. Για την εύρεση των συντελεστών β i χρησιµοποιείται η µέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (least squares). Το σύστηµα εξισώσεων 2.10 επιλύεται για την εύρεση των συντελεστών β i. Το σύστηµα 2.10 µπορεί να γραφτεί µε κανονικοποιηµένη µορφή η οποία παρέχει πλεονέκτηµα που ϑα δούµε κατά τη διαδικασία της ανάλυσης. Σε αυτή, τα (ij) = K k=1 x ikx jk αποτελούν τα στοιχεία του πίνακα X T X και είναι το άθροισµα των στηλών i, j του πίνακα X και τα (iy) = K k=1 x iky k αποτελούν τα στοιχεία του πίνακα X T y και είναι το άθροισµα της i στήλης του X µε τον πίνακα Y. Ο πίνακας δείχνει τη γενική µορφή ενός κανονικοποιηµένου συστήµατος 99

112 εξισώσεων. X Y (00) (01)... (0K) (0y) (10) (11)... (1K) (1y) (K0) (K1)... (KK) (Ky) Αν ο πίνακας X είναι ορθογωνικός, είναι ιδιαιτέρως εύκολο να λύσουµε το σύστηµα εξισώσεων. Τα στοιχεία (ij) για τα οποία ισχύει i j ϑα µηδενιστούν και ϑα µείνει µόνο η διαγώνιος του πίνακα X T X και άρα το σύστηµα µεταπίπτει στις εξισώσεις : (ii)β i = (iy) β i = (iy) (ii) (Β.2) Για την κατανόηση της σηµαντικότητας της παραπάνω ανάλυσης παρουσιάζεται το παράδειγµα ενός πειράµατος µε τρεις µεταβλητές που ϑα έχουν δυο επίπεδα κα- ϑεµιά. Σε ένα τέτοιο πρόβληµα, το γραµµικό πρότυπο παλινδρόµησης παίρνει τη µορφή : ŷ k = β 0 + β 1 x k1 + β 2 x k2 + β 3 x k3 (Β.3) Αν έχει υλοποιηθεί ένας πλήρης παραγοντικός σχεδιασµός, ϑα έχουν πραγµατοποιηθεί 8 πειράµατα (K = 8). Για την αναπαράσταση του πίνακα X το πρώτο επίπεδο (χαµηλό) σηµειώνεται µε το -1 και το δεύτερο (υψηλό) µε το 1. Ο πίνακας έχει την ακόλουθη µορφή : Run x 0 x 1 x 2 x 3 y y y y y y y y y 8 ηµιουργείται ο πίνακας X T X και ο X T Y X T X X T Y K k=1 y k K k=1 x 2ky 2 K k=1 x 3ky 3 K k=1 x 4ky 4 100

113 Παρατηρείται ότι υπάρχει µία αντιστοιχία του πίνακα X T Y µε τις κύριες επιδράσεις. 1/4 1/4 1/4 K y k = Grand T otal k=1 K x 2k y 2 = Main EffectA k=1 K x 3k y 3 = Main EffectB k=1 K x 4k y 4 = Main EffectC k=1 Εποµένως, µε την εύρεση των συντελεστών β i, υπολογίζονται και οι κύριες επιδράσεις. Αν το πρότυπο παλινδρόµησης Β.3 επεκτείνονταν και προσθέτονταν οι αλληλεπιδράσεις x 1 x 2, x 2 x 3, x 1 x 3, x 1 x 2 x 3, τότε ϑα υπήρχαν οι επιπρόσθετοι συντελεστές β 12, β 23, β 13, β 123 αντίστοιχα και ϑα ίσχυαν οι ακόλουθες σχέσεις : β 12 = 0.5AB β 23 = 0.5BC β 13 = 0.5AC β 123 = 0.5ABC Ετσι υπολογίζονται και οι αλληλεπιδράσεις των µεταβλητών χωρίς να χρειαστούν δύσκολες επιπλέον πράξεις. Ανεξάρτητα από τα παραπάνω, είναι αναγκαίο να ϐρεθεί το τετράγωνο των αποκλίσεων µεταξύ του προτύπου παλινδρόµησης και το πραγµατικό πρότυπο. K SS E = (y k ŷ k ) 2 (Β.4) k=1 SS E = K ɛ 2 k k=1 101

114 Ο τύπος του σφάλµατος 2.5 που εµφανίστηκε στην ανάπτυξη της µεθόδου ελαχίστων τετραγώνων µπορεί να γραφτεί υπό µορφή πινάκων : ɛ = Y Ŷ = Y X β (Β.5) όπου ɛ είναι το διάνυσµα των σφαλµάτων. Η εξίσωση Β.4 µπορεί να αναλυθεί µε τη ϐοήθεια πινάκων ως εξής : SS E = (Y X β) T (Y X β) = Y T Y β T X T Y β + β T X T X β = Y T Y 2 β T X T Y + β T X T X β Επειδή από τη ϑεωρία των ελαχίστων τετραγώνων είναι γνωστή η σχέση X T X β = X T Y, η τελευταία εξίσωση γίνεται : SS E = Y T Y β T X T Y (Β.6) Η σχέση Β.6 αποτελεί µια σχέση εύκολου υπολογισµού του τετραγώνου της απόκλισης του σφάλµατος, το οποίο παρέχει πληροφορίες για την ακρίβεια του προτύπου παλινδρόµησης που χρησιµοποιήθηκε. 102

115 Παράρτηµα Γ Βασικά Χαρακτηριστικά της Γλώσσας Qt Το γραφικό περιβάλλον του λογισµικού DoE αναπτύχθηκε µε τη γλώσσα προγραµ- µατισµού Qt C++ [39]. Η Qt C++ είναι επέκταση της κλασικής C++ η οποία χρησιµοποιήθηκε για τους υπόλοιπους κώδικες που δηµιουργήθηκαν στην παρούσα διπλωµατική εργασία. Εµπεριέχει ϐιβλιοθήκες ειδικές για την παραγωγή γραφικών, ενώ οι ϐασικές λειτουργίες και λογική παραµένει παρόµοια µε την C++. Ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της Qt C++ είναι η εύκολη προσαρµογή του προγράµµατος σε όλα τα λειτουργικά συστήµατα (cross-platform), ακόµα και σε λειτουργικά συστήµατα για ϕορητές συσκευές smartphone, tablet. Η γλώσσα περιέχει ϐιβλιοθήκες και για τον χειρισµό διαφόρων λειτουργιών νέων συσκευών, όπως bluetooth, wifi, και άρα αποτελεί ιδανικό εργαλείο για προγραµµατισµό προγραµµάτων για τέτοιου είδους συσκευές. Για να εκτελεστεί ένα τέτοιο λογισµικό σε διαφορετικό λειτουργικό σύστη- µα το µόνο που χρειάζεται είναι η προσαρµογή των ϐιβλιοθηκών του. Η γλώσσα Qt C++ παρέχει έτοιµες ϐιβλιοθήκες που περιλαµβάνουν γραφικά στοιχεία. Για παράδειγµα, η ϐιβλιοθήκη Qt Gui παρέχει αντικείµενα που εξαρτώνται από τη ϐι- ϐλιοθήκη OpenGL. Τα αντικείµενα αυτά είναι έτοιµα για χρήση και δεν χρειάζονται προγραµµατισµό, αλλά µπορούν να προσαρµοστούν στις απαιτήσεις του καθενός. Μπορούν να κατασκευαστούν και νέα αντικείµενα αλλά τα ήδη έτοιµα ϑα µπορέσουν να διευκολύνουν τη διαδικασία. Γενικότερα, προγράµµατα που απαιτούν κατασκευή απλών παραθύρων δηµιουργούνται εύκολα µε τα ενσωµατωµένα αντικείµενα, ενώ πιο πολύπλοκα γραφικά απαιτούν περισσότερο προγραµµατισµό από τον χρήστη. Το γεγονός ότι η γλώσσα αυτή αποτελεί προέκταση της γλώσσας C++, της δίνει τα πλεονεκτήµατα και τις ευελιξίες που έχει η C++. Σε σχέση µε τις άλλες γλώσσες προγραµµατισµού για γραφικά, όπως Java,.NET, η Qt παράγει προγράµµατα που εκτελούνται ταχύτερα από τις άλλες. Σε γενικές γραµµές, έχει καλύτερη συντήρηση των ϐιβλιοθηκών της και αναπτύσσεται (προσθέτονται και άλλες λειτουργίες) ταχύτε- ϱα, επειδή χρησιµοποιείται και υποστηρίζεται από µεγάλες εταιρίες. Σε προγραµµατιστικό επίπεδο, τα γραφικά στοιχεία ανταλλάσσουν πληροφορίες µεταξύ τους µε συνδέσµους. Οι σύνδεσµοι ενώνουν γραφικά στοιχεία, όπως κουµπιά και γραµµές εισαγωγής, µεταξύ τους και είναι υπεύθυνοι για την ανταλλαγή δεδοµένων µεταξύ των δύο στοιχείων. Για παράδειγµα, αν πατηθεί ένα κουµπί, ένας 103

116 σύνδεσµος ϑα λάβει το σήµα και ϑα πραγµατοποιήσει µια εργασία που έχει συνδε- ϑεί µε το κουµπί, όπως την εκτέλεση ενός υποπρογράµµατος και παρουσίαση των αποτελεσµάτων της. Οι σύνδεσµοι αποτελούν ϐασικό στοιχείο της γλώσσας και ο σωστός χειρισµός τους οργανώνει το γενικότερο πρόγραµµα. Κάθε γραφικό στοιχείο που περιέχεται στις έτοιµες ϐιβλιοθήκες, περιέχει ξεχωριστές εντολές για τη µεταχείρισή του. Για παράδειγµα, οι πίνακες που κατασκευάζονται χειρίζονται µε εντολές που γεµίζουν τα στοιχεία τους, αλλάζουν το µέγεθός τους, εµφανίζουν διαφορετικές λειτουργίες για τον χρήστη του τελικού προγράµµατος και επεξεργάζονται τα δεδοµένα τους. Οι κώδικες που εµπεριέχουν γραφικά στοιχεία τα µεταχειρίζονται ως ξεχωριστές κλάσεις, γεγονός που διευκολύνει την ενσωµάτωσή τους µε κώδικα χωρίς γραφικά στοιχεία. Επειδή η γλώσσα Qt είναι λογισµικό ανοιχτού κώδικα (Open Source), ο προγραµµατιστής µπορεί να παρέµβει στις έτοιµες κλάσεις και να τις προσαρµόσει στις ανάγκες του. Για να εξασφαλιστεί η εύκολη µεταφορά του τελικού προγράµµατος σε άλλα λειτουργικά συστήµατα, υπάρχουν µεταβλητές που αναγνωρίζουν το λειτουργικό σύστηµα που χρησιµοποιείται και πραγµατοποιούν τις αντίστοιχες λειτουργίες. Οπως γίνεται και µε την γλώσσα C++, οι εντολές ϕλοιού είναι ενσωµατωµένες ως εντολές της γλώσσας ϐελτιώνοντας την εκτέλεση του προγράµµατος σε διάφορα λειτουργικά συστήµατα. Παρατηρείται, άρα, ότι ο προγραµ- µατισµός µε Qt απαιτεί τη γνώση της γλώσσας C++ και την εκµάθηση των επιπλέον κλάσεων που εµπεριέχονται χωρίς όµως να υιοθετηθεί µια ιδιαίτερα διαφορετική προγραµµατιστική νοοτροπία. Μεγάλο προνόµιο είναι το λογισµικό κατασκευής προγραµµάτων Qt Creator Γ.1, που παρέχεται µαζί µε τις ϐιβλιοθήκες της γλώσσας. Το λογισµικό αυτό παρέχει στον προγραµµατιστή ένα γραφικό περιβάλλον για την κατασκευή των προγραµµάτων. ιευκολύνεται, έτσι, η κατασκευή γραφικού περιβάλλοντος, καθώς παρέχονται ϐι- ϐλιοθήκες που περιέχουν ϐασικούς κώδικες για τη δηµιουργία γραφικών στοιχείων και ο χρήστης δεν χρειάζεται να τους κατασκευάσει εξαρχής. Η διάρθρωσή του Qt Creator διευκολύνει τον χειρισµό των κλάσεων, των γραφικών στοιχείων και την ενσωµάτωσή τους σε ένα µεγαλύτερο πρόγραµµα project. Τα αρχεία που χρειάζονται για την ολοκλήρωση ενός προγράµµατος, εµφανίζονται στο πλάι του παραθύρου παρέχοντας µια καλύτερη οργάνωση στην όλη διαδικασία σύνταξης του κώδικα. Το εργαλείο άµεσης διόρθωσης και συµπλήρωσης του λογισµικού Qt Creator διευκολύνει την γρήγορη γραφή και αποσφαλµάτωση (debugging) των κωδίκων. Το εργαλείο αυτό τονίζει/ δίνει έµφαση (highlight) τα συντακτικά λάθη σε ένα πρόγραµµα, ϐοηθά µε το να παρέχει συνεχόµενα πληροφορίες για τις εντολές, τη σύνταξή τους, τα ορίσµατά τους και τα αποτελέσµατά τους και συµπληρώνει εντολές και µεταβλητές που έχουν ήδη χρησιµοποιηθεί και ορισθεί. ηµιουργεί αυτόµατα ένα αρχείο που χρησιµοποιείται για τη µεταγλώττιση (compile) των κωδίκων, ώστε ο χρήστης να µην αναζητά πως ϑα γίνει η σωστή µεταγλώττιση. Κατά την εκτέλεση του προγράµµατος που δηµιουργείται, το λογισµικό παρέχει µηνύµατα που αναδεικνύουν σφάλµατα, προβλήµατα και άλλες εξόδους του προγράµµατος, όπως µηνύµατα του προγράµµατος. Σε περίπτωση σφάλµατος κατά την εκτέλεση, το λογισµικό Qt Creator εστιάζει στην γραµµή του κώδικα που παρουσίασε το σφάλµα κάνοντας την διόρθωσή του 104

117 Σχήµα Γ.1: Γραφικό περιβάλλον σύνταξη κειµένου σε Qt Creator εύκολη. Εκτός από όλα τα παραπάνω που ϐοηθούν έναν προγραµµατιστή, παρέχει πληροφορίες και για την εκµάθηση της χρήσης της γλώσσας Qt C++. Σχήµα Γ.2: Αρχική οθόνη εκµάθησης στο Qt Creator Παρέχει οδηγούς για εκµάθηση, ευρετήριο για τις εντολές και έτοιµα παραδείγµατα που δείχνουν την λειτουργία της γλώσσας (ϐλ. Σχήµα Γ.2. Ενα ακόµα λογισµικό που διευκολύνει τον προγραµµατισµό είναι το Qt Designer. Σε αυτό το λογισµικό, ο προγραµµατιστής έχει τη δυνατότητα να δηµιουργήσει στατικά τα παράθυρα και τα γραφικά αντικείµενα που ϑα χρησιµοποιηθούν στο πρόγραµµά 105

118 του. Με τον όρο `στατικά εννοείται ότι δεν µπορεί να αλλάξει η µορφή του γραφικού στοιχείου µέσα από άλλα υποπρογράµµατα, αλλά τα υποπρογράµµατα µπορούν να επεξεργαστούν τα επιµέρους στοιχεία των γραφικών και να λάβουν αποτελέσµατα. Σχήµα Γ.3: Γραφικό περιβάλλον του λογισµικούqt Designer Τα γραφικά στοιχεία µπορούν να υλοποιηθούν και µε δυναµικό τρόπο µέσα από τα υποπρογράµµατα που καλούνται από το κεντρικό πρόγραµµα. Με αυτό τον τρόπο ο προγραµµατιστής έχει την δυνατότητα δηµιουργίας γραφικών στοιχείων ανάλογα µε άλλους παράγοντες. Γενικά, η δυναµική κατασκευή γραφικών στοιχείων δίνει καλύτερο χειρισµό των γραφικών, αλλά απαιτεί περισσότερο κόπο από την µεριά του προγραµµατιστή. Αντίθετα, η στατική κατασκευή γραφικών στοιχείων είναι πιο εύκολη στην κατασκευή, αλλά η υλοποίηση περίπλοκων και µεταβαλλόµενων κατά την εκτέλεση του προγράµµατος γραφικών αποτελεί δύσκολο έως ακατόρθωτο εγχείρηµα. Το λογισµικό Qt Designer παρέχει άµεση οπτικοποίηση των γραφικών στοιχείων. Ο χρήστης µπορεί να προσθέσει στο κεντρικό παράθυρο αντικείµενα όπως πίνακες, ετικέτες, γραµµές επεξεργασίας κ.τ.λ. απλά επιλέγοντάς τα από τη λίστα των ενσωµατωµένων αντικειµένων και τοποθετώντας τα στο παράθυρο που επιθυµεί. Η οργάνωση των παραθύρων γίνεται άµεσα και γρήγορα, χωρίς τη χρήση κώδικα, γεγονός που διαφοροποιεί αυτήν τη γλώσσα προγραµµατισµού από τις άλλες. Φυσικά, τα παραπάνω λογισµικά δεν είναι απαραίτητο να χρησιµοποιηθούν για την σύνταξη ενός προγράµµατος σε γλώσσα Qt C++. Η όλη διαδικασία της σύνταξης µπορεί να πραγµατοποιηθεί, όπως και σε οποιαδήποτε άλλη γλώσσα, µέσω συντάκτη κειµένου και εντολές συστήµατος. i