ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ"

Transcript

1 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ )

2 Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014

3 Περιεχόµενα 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ αx + β = ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Η ΕΞΙΣΩΣΗ xν = α ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Βιβλιογραφία Βιβλία Ιστοσελίδες

4

5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ αx + β = 0 ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Η ΕΞΙΣΩΣΗ xν = α ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ αx + β = 0 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.1 Τι είναι εξίσωση ; Απάντηση Οι εξισώσεις µιας µεταβλητής, είναι σχέσεις της µορφής f (x) = g(x), µε f, g συναρτήσεις ορισµένες σε υποσύνολα του R. Οι οποίες επαληθεύονται για συγκεκριµένες τιµές των µεταβλητών, που ονοµάζονται ϱίζες ή λύσεις της εξίσωσης. Ερώτηση 1.2 Πως λύνεται η εξίσωση αx + β = 0 για τις διάφορες τιµές των α, β R; Απάντηση Είναι : αx + β = 0 αx = β Τώρα διακρίνουµε τις περιπτώσεις : β α 2. Αν α = 0 τότε από : αx = β 0x = β 1. Αν α 6= 0 τότε από : αx = β x =, µοναδική λύση. τώρα αν : i. β 6= 0 έχουµε, 0x = β 6= 0 το οποίο είναι αδύνατο, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, δεν έχει πραγµατικές ϱίζες. ii. β = 0 έχουµε, 0x = 0 το οποίο ισχύει για κάθε x R, άρα η εξίσωση είναι ταυτότητα, έχει άπειρες πραγµατικές ϱίζες.

6 Ερώτηση 1.3 Η εξίσωση αx = β πότε έχει : i. Μια µόνο λύση ii. Άπειρες λύσεις iii. Καµία λύση Απάντηση i. Μια µόνο λύση, έχει όταν : α 0 ii. Άπειρες λύσεις, έχει όταν : α = β = 0 iii. Καµία λύση, δεν έχει όταν : α = 0 και β 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 6

7 1.1.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 1.1 Να λύσετε τις εξισώσεις i. 2(x + 1) = x + 3 ii. x + 3 = 2(x 3) x iii. 5(x 3) x = 4x 15 Μεθοδολογία 1.1 Για να λύσουµε µια εξίσωση 1ου ϐαθµού, κάνουµε τις πράξεις, χωρίζου- µε γνωστούς από αγνώστους και αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι 0 διαιρούµε µε αυτόν και τα δυο µέλη, διαφορετικά η εξίσωση είναι ή αδύνατη ή αόριστη. Λύση 1.1 i. 2(x + 1) = x + 3 2x + 2 = x + 3 2x + x = 3 2 3x = 1 x = 1 3 άρα η εξίσωση έχει µοναδική λύση. ii. x + 3 = 2(x 3) x x + 3 = 2x 6 x x 2x + x = 6 3 0x = 8 το οποίο είναι αδύνατο, άρα η εξίσωση δεν έχει λύση. iii. 5(x 3) x = 4x 15 5x 15 x = 4x 15 5x x 4x = x = 0 το οποίο ισχύει για κάθε x R, άρα η εξίσωση είναι αόριστη, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Θέµα 1.2 Να λυθούν οι εξισώσεις : i. (x 2) 2 (x 1) 2 = (1 3x) 2 (2 3x) 2 (1) ii. x 2 7x + 6 = 0 (2) 2x + 7 iii. 2x + 5 = 2 x 2 + x (3) iv. v. 2x + 1 x 2 x 1 x = 6 x 3 2 x + 3 = 12 x 2 9 x (x 1) 2 (4) (5) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 7

8 Λύση 1.2 i. (1) x 2 4x + 4 (x 2 2x + 1) = 1 6x + 9x 2 (4 12x + 9x 2 ) x 2 4x + 4 x 2 + 2x 1 = 1 6x + 9x x 9x 2 4x x 1 = 1 6x x 2x + 3 = 6x 3 2x 6x = 3 3 8x = 6 x = 6 8 = 3 4 ii. (2) x 2 (6 + 1)x = 0 (x 6) (x 1) = 0 x 6 = 0 ή x 1 = 0 x = 6 ή x = 1 iii. (3) 12 2x x + 5 = 12 2 x x (2x + 7) 4(2x + 5) = 3(2 x) 6(2 + x) 6x x 20 = 6 3x 12 6x 6x x 20 = 6 3x 12 6x 6x 8x + 3x + 6x = x = 7 x = 1 iv. (4) 2x + 1 x(x 1) 1 x = x (x 1) 2, x 0, x 1 x(x 1) 2 2x + 1 x(x 1) x(x 1 1)2 x (x 1)(2x + 1) (x 1) 2 = x 2 2x 2 + x 2x 1 x 2 + 2x 1 = x 2 x = x(x 1)2 (x 1) 2 x = 2 δεκτή αφού ικανοποιεί τους περιορισµούς v. (5) 6 x 3 2 x + 3 = 12 (x 3)(x + 3), x 3, x 3 6 (x 3)(x + 3) x 3 (x 3)(x + 3) 2 x + 3 = (x 3)(x + 3) 12 (x 3)(x + 3) 6(x + 3) 2(x 3) = 12 6x x + 6 = 12 6x 2x = x = 12 x = 3 απορρίπτεται αφού δεν ικανοποιεί τους περιορισµούς Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 8

9 άρα η εξίσωση (5) είναι αδύνατη Θέµα 1.3 Να προσδιοριστεί ο πραγµατικός αριθµός λ, ώστε η εξίσωση (λ + 1)x 2(λ + 2x) = λ(λ 2) 9 να είναι ταυτότητα. Λύση 1.3 Από τη ϑεωρία γνωρίζουµε ότι η εξίσωση αx = β είναι ταυτότητα αν και µόνο αν α = β = 0. Εποµένως ϑα πρέπει να ϕέρουµε την εξίσωση σ αυτή τη µορφή. (λ + 1)x 2(λ + 2x) = λ(λ 2) 9 λx + x 2λ 4x = λ 2 2λ (λ 3)x = λ 2 9 Άρα για είναι ταυτότητα πρέπει : λ 3 = 0 λ 2 9 λ = 3 λ = ±3 λ = 3 Θέµα 1.4 Να προσδιοριστεί ο πραγµατικός αριθµός λ, ώστε η εξίσωση (λ 2 + 3)x 4(x λ) = λ να είναι αδύνατη. Λύση 1.4 Από τη ϑεωρία γνωρίζουµε ότι η εξίσωση αx = β είναι αδύνατη αν και µόνο αν α = 0 και β 0. Εποµένως ϑα πρέπει να ϕέρουµε την εξίσωση σ αυτή τη µορφή. (λ 2 + 3)x 4(x λ) = λ xλ 2 + 3x 4x + 4λ = λ xλ 2 + 3x 4x = λ λ x(λ 2 1) = λ 2 4λ + 3 Άρα για να είναι αδύνατη ϑα πρέπει : λ 2 1 = 0 λ = 1 ή λ = 1 λ 2 4λ λ 3 και λ 1 Άρα για να είναι αδύνατη ϑα πρέπει λ=1. λ = 1 Θέµα 1.5 Να προσδιοριστεί ο πραγµατικός αριθµός λ, ώστε η εξίσωση λ 2 x 2 = 4x + 1 να έχει µοναδική λύση. λ Λύση 1.5 Από τη ϑεωρία γνωρίζουµε ότι η εξίσωση αx = β έχει µοναδική λύση αν και µόνο αν α = β = 0. Εποµένως ϑα πρέπει να ϕέρουµε την εξίσωση σ αυτή τη µορφή. Για να έχει νόηµα η εξίσωση ϑα πρέπει λ 0. Με αυτή την προϋπόθεση έχουµε : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 9

10 λ 2 x 2 λ = 4x + 1 λ λ2 x λ 2 λ = λ 4x + λ 1 λ 3 x 2 = 4λx + λ λ 3 x 4λx = λ + 2 x(λ 3 4λ) = λ + 2 Άρα για να έχει µοναδική λύση ϑα πρέπει : λ 0 λ 3 4λ 0 λ(λ 2 4) 0 λ λ 0, 2, 2 Θέµα 1.6 Να λυθεί η εξίσωση λ 2 x 1 = x + λ (1) για τις διάφορες τιµές του λ R. Λύση 1.6 Για να λύσω την παραµετρική εξίσωση, ϑα πρέπει να ϕέρω την εξίσωση στη µορφή : αx = β λ 2 x 1 = x + λ λ 2 x x = 1 + λ (λ 2 1)x = 1 + λ τώρα διακρίνουµε τις περιπτώσεις : I. Αν λ λ ±1 λ R { 1, 1} τότε η εξίσωση έχει µοναδική λύση την : x = 1 + λ λ 2 1 = 1 + λ (λ 1)(λ + 1) = 1 λ 1 II. Αν λ=-1, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε : 0x = 0 άρα η εξίσωση είναι αόριστη, έχει άπειρες λύσεις. III. Αν λ=1, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε : 0x = 2 άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, δεν έχει καµία λύση. Θέµα 1.7 Να λυθεί η εξίσωση λ 2 x + λ(x 2) = µ 1 (1) για τις διάφορες τιµές του λ, µ R. Λύση 1.7 Για να λύσω την παραµετρική εξίσωση, ϑα πρέπει να ϕέρω την εξίσωση στη µορφή : αx = β λ 2 x + λ(x 2) = µ 1 λ 2 x + λx 2λ = µ 1 λ 2 x + λx = 2λ + µ 1 x(λ 2 + λ) = 2λ + µ 1 ιακρίνουµε τις περιπτώσεις : I. Αν λ 2 + λ 0 λ(λ + 1) 0 λ 0 και λ 1 τότε έχουµε : x = 2λ + µ 1 λ 2 µοναδική λύση. + λ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 10

11 II. Αν λ=0, τότε η εξίσωση γίνεται : 0x = µ 1. i. Αν µ 1 0 µ 1 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. ii. Αν µ 1 = 0 µ = 1 τότε η εξίσωση είναι αόριστη. III. Αν λ=-1, τότε η εξίσωση γίνεται : 0x = µ 3. i. Αν µ 3 0 µ 3 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. ii. Αν µ 3 = 0 µ = 3 τότε η εξίσωση είναι αόριστη. Θέµα 1.8 Να προσδιοριστεί ο λ, ώστε το x = 1 να είναι λύση της εξίσωσης (λ 2 + 1)(x 1) + x = λ 2 5λ + 5 (1) Λύση 1.8 Αφού το 1 είναι λύση της εξίσωσης, ϑα πρέπει να την επαληθεύει Αντικαθιστώντας στην (1) όπου x = 1 έχω : λ = 1 1 = λ 2 5λ + 5 λ 2 5λ + 4 = 0 λ = 4 Θέµα 1.9 Να προσδιοριστεί ο λ, ώστε το x = 0 να είναι µοναδική λύση της εξίσωσης (λ + 3)x 2λ 3 = 4(x λ) + λ(λ 2) (1) Λύση 1.9 Από τη ϑεωρία γνωρίζουµε ότι η αx = β έχει µοναδική λύση όταν α 0 (1) xλ + 3x 2λ 3 = 4x 4λ + λ 2 2λ xλ + 3x 4x = 4λ + λ 2 2λ + 2λ + 3 x(λ 1) = λ 2 4λ + 3 Άρα για να έχει µοναδική λύση πρέπει λ 1 0 λ 1 και η µοναδική λύση είναι : x = λ2 4λ + 3 λ 1 επειδή η µοναδική λύση είναι η x = 0, πρέπει : Άρα έχω : 0 = λ2 4λ + 3 λ 2 4λ + 3 = 0 λ 1 λ 1 λ 1 λ = 3 λ 2 4λ + 3 = 0 λ = 1 ή λ = 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 11

12 Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Είναι λάθος να αντικαταστήσουµε από την αρχή όπου x = 0, γιατί δεν λέει ότι έχει απλά λύση το 0, αλλά ότι το 0 είναι µοναδική λύση. Θέµα 1.10 Αν η εξίσωση : λ 2 (x 1) 5(x λ) = 11x + 4 (1) είναι αδύνατη, να δείξετε ότι η εξίσωση : λ(x 7) + 4(x + 1) = 2λ 2 (2) είναι ταυτότητα. Λύση 1.10 Θα ϕέρουµε την (1) στη µορφή αx = β, και για να είναι αδύνατη ϑα πρέπει α = 0 και β 0 (1) λ 2 x λ 2 5x + 5λ) = 11x + 4 λ 2 x 5x 11x = λ 2 5λ + 4 x(λ 2 16) = λ 2 5λ + 4 Άρα για να είναι αδύνατη πρέπει : λ 2 16 = 0 λ 2 5λ λ = 4 ή λ = 4 λ 4 και λ 1 λ = 4 Αντικαθιστώντας λ = 4 στην (2), έχουµε : 4(x 7) + 4(x + 1) = 2( 4) 2 4x x + 4 = 32 Άρα η (2) είναι αόριστη. 0x = 0 Θέµα 1.11 Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 2 x = 0 ii. 2x = 0 iii. x 1 3 x + 5 = 0 iv. x + 1 = x + 1 v. 2x 4 = 2x + 4 vi. 3x 6 = 2x 2 vii. x x 6 = 0 Λύση 1.11 i. Οταν έχω εξίσωση της µορφής f(x) = θ > 0 x = ±θ. Εποµένως εφαρµόζοντας τη συγκεκριµένη ιδιότητα των απολύτων τιµών, έχουµε : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 12

13 2 x = 0 2 x + 1 = 6 x + 1 = 3 x + 1 = 3 x + 1 = 3 x = 2 x = 4 ii. Οταν έχω εξίσωση της µορφής f(x) = α < 0 η εξίσωση είναι αδύνατη Άρα η εξίσωση : 2x = 0 2x + 7 = 9 είναι αδύνατη. f(x) = g(x) iii. Οταν έχω εξίσωση της µορφής f(x) = g(x) f(x) = g(x) x 1 3 x + 5 = 0 x 1 = 3 x + 5 x 1 = 3(x + 5) x 1 = 3(x + 5) x 1 = 3x + 15 x 1 = 3x 15 2x = 16 4x = 14 x = 8 x = 7 2 iv. Από τη σχέση : f(x) = f(x) f(x) > 0 Οπότε από την εξίσωση x + 1 = x + 1 x + 1 > 0 x > 1 v. Από τη σχέση : f(x) = f(x) f(x) < 0 Οπότε από την εξίσωση 2x 4 = 2x + 4 2x 4 < 0 2x < 4 x < 2 vi. Οταν έχω εξισώσεις της µορφής f(x) = g(x), επειδή το f(x) 0 ϑα πρέπει και το g(x) 0 Άρα από την εξίσωση f(x) = g(x) g(x) 0 f(x) = g(x) f(x) = g(x) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 13

14 3x 6 = 2x 2 2x 2 0 3x 6 = 2x 2 3x 6 = 2x + 2 x 1 x = 4 x = 8 5 x = 4 x = 8 5 vii. Οταν έχω εξισώσεις της µορφής f(x) + g(x) = 0 επειδή f(x) 0 και g(x) 0 πρέπει να είναι : f(x) = g(x) = 0 Άρα από την εξίσωση : x 2 4 = 0 x x 6 = 0 3x 6 = 0 x = ±2 x = 2 x = 2 Θέµα 1.12 Να λυθεί η εξίσωση : (x 3) 3 8x 3 + (x + 3) 3 = 0 (Εκτός ύλης) Λύση 1.12 Από την ταυτότητα του Euler έχουµε ότι : αν α + β + γ = 0 α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ Η εξίσωση που µας δίνεται, γράφεται : (x 3) 3 (2x) 3 + (x + 3) 3 = 0 κι έχουµε : x 3 2x + x + 3 = 0 άρα από : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 14

15 (x 3) 3 8x 3 + (x + 3) 3 = 0 (x 3) 3 (2x) 3 + (x + 3) 3 = 0 (x 3) 3 (2x) 3 + (x + 3) 3 = 0 3(x 3)(2x)(x + 3) = 0 x 3 = 0 2x = 0 x + 3 = 0 x = 3 x + 0 x = 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 15

16 1.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 19x = 7x 24 ii. 7x 15 = 27 iii. 4x 3(2x 1) = 7x 42 iv. 2(3x 1) 3(2x 1) = 4 v. 6(x + 4) = 4(x 1) + 8 vi. 3(x + 1) 4(2x 1) + 5x + 2 = 0 vii. 7x + 16 = 15x 4(2x 4) viii. x(x 2) 2 = x 2 4x Να λυθούν οι εξισώσεις : x i. 2 = x x + 1 ii. = x 4 iii. = 5x 2 1 4x iv. x + 1 = x v. 2x 5 x vi. vii. = x 3 (3x + 2) = 2 x 7 3 5(4x 3) x 1 2 (x + 3) = 1 6 x Να λυθούν οι εξισώσεις : 5(x 2) i. x + 2 2x 6 x + 3 = 3 2x 3 ii. 2x 4 6 = x 5 3x x + 1 iii. x 2 + x + 1 x 2 = 2x2 + 4 x 2 4 x iv. x 1 = 1 x 2 x x + 1 v. x x 2 2x + 1 = 0 1 vi. x x + 1 = 2 x vii. x x = x 4 x 2 + 2x x 2 x viii. x 2 1 = x x + 1 x 3 8 ix. x 2 = x x 1 x 1 x 1 + x 3 x. = 1 + x 1 x 1 14 x 4. Να ϐρεθούν οι κοινές λύσεις των εξισώσεων : (2x 1) (x 2 1) = 1 και 2(x 1) 3 = 2 (2x 1) 5. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις για τις διάφορες τιµές του λ R i. (λ 1)x = λ 1 ii. (λ 2)x = λ iii. λ(λ 1)x = λ 1 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 16

17 iv. λ(λ 1)x = λ 2 + λ v. x(λ 2 + 1) + 3 = 4(λ x) λ 2 x x + λ vi. x + λ = 1 λ 3 x + 1 vii. x λ x 1 2(λ + 1)2 = x + λ x 2 λ 2 x + α viii. x α = x2 x 2 α 2 6. Να λυθούν οι εξισώσεις για τις διάφορες τιµές των λ, µ R i. λx + λ = µx + µ ii. λ(3x + λ) + 7 2λ = λ 2 + 3(1 + µx) iii. (λ µ)x = λ 2 (λ + µ)x iv. (x + λ) 2 (x µ) 2 = 2λ(λ + µ) Αν λ + µ 0 v. (λx 1)(x + 1) + µ(x 1) λ(x 2 + 1) = 0 x λ vi. = x µ µ λ λx vii. µ µx 1 = 1 λ µ 7. Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η εξίσωση (λ 2)x = λ 2 λ 2: i Να είναι αδύνατη ii Να είναι αόριστη iii Να έχει µοναδική λύση 8. Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η εξίσωση (λ 2 + 3)(x 10) = λ 2 11λ + 18 να έχει λύση το x = Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η εξίσωση λ(x + 2) 15 = 3(x λ) + λ(λ 3) να έχει µοναδική λύση το x = Αν η εξίσωση (3λ 1)x + 9x 2 = 1 έχει δυο λύσεις, να προσδιοριστεί το λ. 11. Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η εξίσωση (λ 2 +5λ+6)x = λ+3 να έχει τουλάχιστον 2 λύσεις. 12. Αν (λ 3)κ 2 + 3λ = 2(λ 1) 5κ 2, να δείξετε ότι η εξίσωση κ(λ + 2)x = λ(λ + x) + 2(x 1), είναι αδύνατη. 13. Να ϐρείτε τα α, β R, ώστε η εξίσωση (α 2 9)x = α + 3 να είναι αόριστη και η εξίσωση (4 β 2 )x = β + 2 να είναι αδύνατη. 14. Να ϐρείτε τα λ, µ R, ώστε η εξίσωση (2λ 4)x = µ 2 9 να είναι αόριστη και η εξίσωση (λ 2)x = λ + µ + 1 να είναι αδύνατη. 15. Αν η εξίσωση (λ + 2)(x 1) = 3(x + 1) 2(2λ + 1), είναι ταυτότητα, να δείξετε ότι, η εξίσωση λ(x 1) 3(x + 1) = λ 2 + 4(λ + 1 x) 3 είναι αδύνατη. 16. Αν η εξίσωση λ(1 x) = µ 4x + 1 είναι ταυτότητα, να δείξετε ότι η εξίσωση µ(x + 1) + (λ 7)x = λ(λ + µ) είναι αδύνατη. 17. Αν ϱ η µικρότερη ϱίζα της εξίσωσης (x 2) 3 + (x + 3) 3 (2x + 1) 3 = 0, να λυθεί η εξίσωση ρ(ρx + 2λ 2 ) ρ 3 = λ 2 (x + ρ). 18. Ποιοι περιορισµοί πρέπει να ισχύουν για τα α, β R ώστε η εξίσωση x α x = 1 να έχει λύση ; β 19. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 2x 3 = 5 ii. 2x 4 = x 1 iii. x 2 = 2x 1 iv. 2x 1 = x 2 v. x x = 2 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 17

18 2 x + 1 vi. x 1 = vii. 3 x 3 + x = 4 viii. x 1 x 2 = x 1 ix. 2 x 1 = 3 x. x 2 2x + 1 = 3x Να λυθούν οι εξισώσεις : x x i. = 3 15 ii. x 2 2 x 15 = 0 iii. x x 2 2 x = Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 2 x + 3 = λ + 4 ii. x 2 4 = λ 2 + 2λ Να λυθούν οι εξισώσεις : ι. x x = 0 ι. x 2 x + x 2 3x ι. x y y 2 = 0 x Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 18

19 1.2 Η ΕΞΙΣΩΣΗ x ν = α ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.4 Να λύσετε την εξίσωση x ν = α, α R, ν N Απάντηση I. Για α > 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x = ν α II. Για α > 0 και ν άρτιο, η λύση της εξίσωσης είναι x = ± ν α III. Για α < 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x = ν α IV. Για α < 0 και ν άρτιο, η εξίσωση είναι αδύνατη Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 19

20 1.2.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 1.13 Να λυθούν οι εξισώσεις i. x 2 = 4 ii. x 4 = 34 iii. x 3 = 8 iv. x 3 = 125 v. x 20 = 0 Λύση 1.13 i. x 2 = 4 x = ± 4 = ±2 ii. x 4 = 34 η εξίσωση είναι αδύνατη. iii. x 3 = 8 x = 3 8 = 2 iv. x 3 = 125 x = = 5 v. x 20 = 0 x = 0 Θέµα 1.14 Να λυθούν οι εξισώσεις i. x 4 + 8x = 0 ii. x 5 = 16x iii. x 6 = 32x iv. (2x + 6) 3 = 8 Λύση 1.14 i. x 4 + 8x = 0 x(x = 0) x = 0 x 3 = 8 x = 0 x = 3 8 x = 0 x = 2 ii. x 5 = 16x x 5 16x = 0 x(x 4 16) = 0 x = 0 x 4 = 16 x = 0 x = 4 16 x = 0 x = ±2 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 20

21 iii. iv. x 6 = 32x x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 x 5 = 32 x = 0 x = 5 32 x = 0 x = 2 (2x + 6) 3 = 8 2x + 6 = 3 8 2x + 6 = 2 2x = 4 x = 2 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 21

22 1.2.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. x = 0 ii. x = 0 iii. x 7 1 = 0 iv. x = 0 v. x = 0 vi. x = 0 vii. x 2 64 = 0 viii. x 4 81 = 0 ix. x 6 64 = 0 x. x 5 8x 2 = 0 xi. x 4 + x = 0 xii. x x = 0 2. i. (x + 1) 3 = 64 ii x 3 = 0 iii. (x 1) 4 27(x 1) = 0 iv. (x 2 1) 5 = 81(x 2 1) v. x 9 = x 6 vi. (x 3 29) = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 22

23 1.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.5 Ποια εξίσωση ονοµάζουµε 2ου ϐαθµού ; Απάντηση Κάθε εξίσωση της µορφής αx 2 + βx + γ = 0, µε α 0. Ερώτηση 1.6 Πως λύνουµε µια εξίσωση 2ου ϐαθµού ; Απάντηση Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα = β 2 4 α γ. Αν > 0, τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις τις x 1,2 = β ± 2 α Αν = 0, τότε η εξίσωση έχει µία διπλή λύση την x = β 2 α Αν = 0, τότε η εξίσωση δεν έχει πραγµατική λύση (αδύνατη). Ερώτηση 1.7 Να γράψετε τους τύπους του Vietta και να τους αποδείξετε. Απάντηση Οταν έχουµε την εξίσωση αx 2 + βx + γ = 0, µε α 0 και > 0, η οποία έχει δυο λύσεις x 1, x 2 τότε ισχύει : S = x 1 + x 2 = β α και P = x 1 x 2 = γ α Απόδειξη : Είναι : x 1 = β +, x 2 = β 2α 2α S = x 1 + x 2 = β + 2α + β 2α = β + β 2α = 2β 2α = β α P = x 1 x 2 = β + 2α = ( β)2 2 4α 2 = β2 (β 2 4αγ) 4α 2 = β2 β 2 + 4αγ 4α 2 = 4αγ 4α 2 = γ α β 2α Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 23

24 Ερώτηση 1.8 Πως µετασχηµατίζεται η εξίσωση αx 2 + βx + γ = 0, µε α 0 και > 0, µε τη ϐοήθεια των τύπων του Vietta; Απάντηση Είναι : αx 2 + βx + γ = 0 x 2 + β α x + γ α = 0 x 2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 = 0 x 2 Sx + P = 0 Ερώτηση 1.9 Ποιες εξισώσεις ονοµάζονται διτετράγωνες ; Απάντηση Είναι οι εξισώσεις τις µορφής αx 2ν + βx ν + γ = 0 και λύνονται µε αντικατάσταση, ϑέτοντας ω = x ν Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 24

25 1.3.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 1.15 Να λύσετε τις εξισώσεις : i. x 2 + 2x = 0 ii. 2x 2 + 6x = 0 iii. x 2 4 = 0 iv. 3x = 0 v. 2x 2 5x + 3 = 0 vi. x 2 6x + 9 = 0 vii. 3x 2 + 4x + 2 = 0 Λύση 1.15 i. x 2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = 2 ii. 2x 2 + 6x = 0 2x(x + 3) = 0 x = 0 x + 3 = 0 x = 0 x = 3 iii. x 2 4 = 0 x 2 = 4 iv. x = ±2 3x = 0 3x 2 = 16 αδύνατη v. 2x 2 5x + 3 = 0 είναι της µορφής αx 2 + βx + γ = 0 µε α = 2, β = 5, γ = 3, τότε η = β 2 4αγ = ( 5) = 1 > 0 άρα η εξίσωση έχει δυο λύσεις τις x 1,2 = β ± 2 α x 1,2 = ( 5) ± 1 = 5 ± 1 x 1 = x 1 = 6 4 x 1 = 3 = = = x 2 = 5 1 x 2 = 4 x 2 = vi. Η εξίσωση x 2 6x + 9 = 0 έχει = β 2 4αγ = ( 6) = 0 άρα έχει διπλή ϱίζα την x = 6 2 = 3 vii. Η εξίσωση 3x 2 + 4x + 2 = 0 έχει = β 2 4αγ = ( = 8 < 0 άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 25

26 Θέµα 1.16 Να λυθούν οι εξισώσεις : i. x 2 7 x + 12 = 0 ii. (x 1) x 1 5 = 0 iii. ( x + 1 x) 2 5 ( x + 1 x ) + 6 = 0 iv. 4x x 2 3 = 0 2 v. x + 2x 3 x x2 x 2 2x = 0 Λύση 1.16 i. x 2 7 x + 12 = 0 x 2 7 x + 12 = 0 ϑέτω x = ω ω 2 7ω + 12 = 0 ω 1 = 4 = 1 άρα έχει δυο λύσεις ω 2 = 3 ω 1 = 4 x = 4 x =ω == ω 2 = 3 x = 3 x = ±4 x = ±3 ii. (x 1) x 1 5 = 0 x x 1 5 = 0 ϑέτω x 1 = ω κι έχω : ω 2 + 4ω 5 = 0, = 36, άρα : ω 1 = 5 x 1 = 5 αδύνατη iii. x 1 =ω ==== ω 2 = 1 x 1 = 1 x = 0 εποµένως, x 1 = 1 x 1 = ±1 x = 2 ( x + x) 1 2 ( 5 x + 1 ) + 6 = 0, x 0 ϑέτω x ( x + 1 x ) = ω Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 26

27 κι έχω : ω 2 5ω + 6 = 0 x+ 1 x =ω ==== ω 1 = 2 ω 2 = 3 x + 1 x = 2 x + 1 x = 3 x 2 2x + 1 = 0 x 2 3x + 1 = 0 x = 1 x = x = iv. 4x x 2 3 = 0, ϑέτω x 2 = ω 4ω ω 3 = 0 ω 1 = 3 ω 2 = 1 4 x 2 = 3 αδυνατη x 2 = 1 4 x = 1 2 x = 1 2 v. Εχω την εξίσωση : 2 x + 2x 3 x x2 x 2 = 0 µε x 0 και x 2 2x 2 x + 2x 3 x x2 x 2 2x = 0 2 x + 2x 3 x x2 x(x 2) = 0 x(x 2) 2 x + x(x 2)2x 3 x 2 2(x 2) + x(2x 3) + 2 x 2 = 0 2x 4 + 2x 2 3x + 2 x 2 = 0 x 2 x 2 = 0, = 9 x 1 = 2 απορρίπτεται x 2 = 1 + x(x 2) 2 x2 x(x 2) = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 27

28 Θέµα 1.17 Να προσδιοριστεί το λ R ώστε να είναι 2ου ϐαθµού η εξίσωση (λ 2 3λ + 2)x 2 λx + 1 = 0 Λύση 1.17 Για να είναι 2ου ϐαθµού ϑα πρέπει : λ 2 3λ ηλαδή λ 1,2 = 3 ± λ 1,2 2, 1 2 Θέµα 1.18 Να προσδιοριστεί το λ R ώστε η εξίσωση : (λ 2 3λ + 2)x 2 + x (λ 1)(λ 2) = 0 να έχει δυο πραγµατικές και άνισες λύσεις. Λύση 1.18 Για να έχει η εξίσωση δυο πραγµατικές και άνισες λύσεις ϑα πρέπει : 1. Να είναι 2ου ϐαθµού, δηλαδή,ο συντελεστής του x 2 ο λ 2 3λ λ 1 και λ 2 2. Και η διακρίνουσα, > (λ 2 3λ + 2)(λ 1)(λ 2) > (λ 2 3λ + 2) 2 > 0 το οποίο ισχύει για κάθε λ R. Άρα η εξίσωση έχει δυο πραγµατικές και άνισες λύσεις για κάθε λ R {1, 2} Θέµα 1.19 Να λύσετε την εξίσωση : x 2 + α 2 = β 2 2αx, α.β R Λύση 1.19 x 2 + α 2 = β 2 2αx x 2 + 2αx + α 2 β 2 = 0 = (2α) 2 4(α 2 β 2 ) = 4α 2 4α 2 + 4β 2 = 4β 2 1. Αν = 4β 2 = 0 β = 0 τότε x = 2α 2. Αν β 0 τότε x 1,2 = 2α ± 4β 2 2 2α + 2β 2 = +2α + 2β = 2 α + β α β Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 28

29 Θέµα 1.20 ίνεται η εξίσωση α 2 x 2 2α 3 x + α 4 1 = 0, α 0. i. Να ϐρείτε τη διακρίνουσα. ii. Να λύσετε την εξίσωση. Λύση 1.20 i. = β 2 4αγ = ( 2α 3 ) 2 4α 2 (α 4 1) = 4α 6 4α 6 + 4α 2 = 4α 2 ii. Επειδή η διακρίνουσα είναι ϑετική η εξίσωση ϑα έχει δύο πραγµατικές λύσεις. x 1,2 = β ± 2α Άρα x 1 = α2 + 1 α = 2α3 ± 4α 2 2α 2 και x 2 = α2 1 α = 2α3 ± 2α 2α 2 Μεθοδολογία 1.2 Οταν έχω παραµετρικές εξισώσεις της µορφής αx 2 + βx + γ = 0, ϑα πρέπει να λάβω υπόψιν µου τα παρακάτω. Εχει πραγµατικές ϱίζες α 0, 0 εν έχει πραγµατικές ϱίζες α 0, < 0 Εχει µια διπλή πραγµατική ϱίζα α 0, = 0 Εχει 2 πραγµατικές και άνισες ϱίζες α 0, > 0 Οι ϱίζες είναι αντίθετες α 0, 0, S = 0 Οι ϱίζες είναι αντίστροφες α 0, 0, P = 1 Οι ϱίζες είναι οµόσηµες α 0, > 0, P > 0 Οι ϱίζες είναι ετερόσηµες α 0, > 0, P < 0 Οι ϱίζες είναι ϑετικές α 0, > 0, P > 0, S > 0 Οι ϱίζες είναι αρνητικές α 0, > 0, P > 0, S < 0 Θέµα 1.21 Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγµατικές ϱίζες : i. λx 2 + 2x (λ 2) = 0, λ 0 ii. αx 2 + (α + β)x + β = 0, α 0 Λύση 1.21 i. λx 2 + 2x (λ 2) = 0 Για να έχει η εξίσωση 2 πραγµατικές ϱίζες Θα πρέπει λ 0, 0 Άρα έχω : λ 0 το οποίο δίνεται και λ[ (λ 2)] λ 2 + 8λ 0 (2 + 2λ) 2 0 το οποίο ισχύει. Άρα η εξίσωση έχει 2 πραγµατικές ϱίζες. ii. αx 2 + (α + β)x + β = 0, α 0 Για να έχει η εξίσωση 2 πραγµατικές ϱίζες, ϑα πρέπει α 0, 0 Άρα έχω : α 0 το οποίο δίνεται και Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 29

30 0 (α + β) 2 4αβ 0 α 2 + 2αβ + β 2 4αβ 0 α 2 2αβ + β 2 0 (α β) 2 0 το οποίο ισχύει. Άρα η εξίσωση έχει 2 πραγµατικές ϱίζες. Θέµα 1.22 Να ϐρείτε τις τιµές του µ R, για τις οποίες η εξίσωση µx 2 + 2x + µ = 0, µ 0 έχει διπλή ϱίζα. Λύση 1.22 Για να έχει η εξίσωση µx 2 + 2x + µ = 0 διπλή ϱίζα, ϑα πρέπει µ 0, = 0 Άρα έχω : µ 0 το οποίο δίνεται και = µ 2 = 0 µ 2 = 1 µ = ±1 Θέµα 1.23 Αν α β, να δείξετε ότι η εξίσωση (α 2 + β 2 )x 2 + 2(α + β)x + 2 = 0 είναι αδύνατη. Να εξετάσετε τι γίνεται στην περίπτωση που α = β. Λύση 1.23 Για να είναι η εξίσωση (α 2 + β 2 )x 2 + 2(α + β)x + 2 = 0 αδύνατη, ϑα πρέπει < 0 < 0 4(α + β) 2 8(α 2 + β 2 ) < 0 4α 2 + 4β 2 + 8αβ 8α 2 8β 2 < 0 (4α 2 + 4β 2 8αβ) < 0 (2α 2β) 2 < 0 το οποίο ισχύει. Οταν α = β τότε = 0 και η εξίσωση έχει µια διπλή ϱίζα. Θέµα 1.24 Να ϐρείτε τις τιµές του α R, για τις οποίες η εξίσωση 2x 2 + (α 9)x + α 2 + 3α + 4 = 0 έχει διπλή ϱίζα. Λύση 1.24 Για να έχει διπλή ϱίζα ϑα πρέπει : = 0 (α 9) (α α + 4) = 0 α 2 18α α 2 24α 32 = 0 7α 2 42α + 49 = 0 α 2 + 6α 7 = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 30

31 άρα α 1,2 = 6 ± 64 2 άρα α = 1 ή α = 7 = 6 ± 8 2 Θέµα 1.25 Αν η εξίσωση x 2 8x + λ 2 = 0 έχει ϱίζες πραγµατικές, τότε η µεγαλύτερη ακέραια τιµή του λ R είναι το 18. Λύση 1.25 Για να έχει πραγµατικές ϱίζες ϑα πρέπει : 0 ( 8) (λ 2) λ λ λ 18 Άρα η µεγαλύτερη ακέραια τιµή του λ είναι το 18. Θέµα 1.26 Αν η εξίσωση x 2 2κx + (α + β) 2 = 0, α β (1), έχει ακριβώς µια λύση, τότε να δειχθεί ότι η εξίσωση x 2 κx + αβ = 0 (2) έχει ϱίζες πραγµατικές και άνισες. Λύση 1.26 Για να έχει η (1) ακριβώς µια ϱίζα ϑα πρέπει : = 0 ( 2κ) (α + β) 2 = 0 4κ 2 = 4(α + β) 2 κ 2 = (α + β) 2 (3) Αντικαθιστώντας στην διακρίνουσα της εξίσωσης (2) έχουµε : = κ 2 4αβ = (α + β) 2 4αβ = (α β) 2 > 0 Αφού α β Θέµα 1.27 Να ϐρείτε την εξίσωση που έχει ϱίζες τους αριθµούς και Λύση 1.27 Η εξίσωση ϑα είναι της µορφής : x 2 Sx + P = 0 µε S = x 1 + x 2, P = x 1 x 2. S = x 1 + x 2 = = 10 και P = x 1 x 2 = (5 2 6)( ) = 5 2 (2 6) 2 = 1 Άρα η εξίσωση είναι η : x 2 10x + 1 = 0 Θέµα 1.28 Να λύσετε την εξίσωση : x 2 ( 5 + 3)x + 15 = 0 Λύση 1.28 Η εξίσωση ϑα είναι της µορφής : x 2 Sx + P = 0 µε S = x 1 + x 2 = 5 + 3, P = x 1 x 2 = 15 = 3 5. Άρα x 1 = 5, x 2 = 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 31

32 Θέµα 1.29 Αν x 1, x 2 είναι οι λύσεις της εξίσωσης x 2 + 9x 5 = 0(1), να σχηµατίσετε την εξίσωση 2ου ϐαθµού που έχει ϱίζες του αριθµούς, ρ 1 = x 1 + 2x 2 και ρ 2 = x 2 + 2x 1. Λύση 1.29 Αφού οι x 1, x 2 είναι οι λύσεις της εξίσωσης (1) τότε x 1 + x 2 = 9 και x 1 x 2 = 5 Η εξίσωση που έχει ϱίζες τις ρ 1 = x 1 + 2x 2 και ρ 2 = x 2 + 2x 1 ϑα είναι της µορφής x 2 Sx + P = 0 µε : S = ρ 1 + ρ 2 = x 1 + 2x 2 + x 2 + 2x 1 = 3(x 1 + x 2 ) = 3( 9) = 27 P = ρ 1 ρ 2 = (x 1 + 2x 2 )(x 2 + 2x 1 ) = 5x 1 x 2 + 2(x x 2 2) = 5x 1 x 2 + 2[(x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = 157 Άρα η εξίσωση είναι η : x x = 0 Θέµα 1.30 Αν x 1, x 2 οι λύσεις της εξίσωσης x 2 + x 12 = 0, να υπολογιστούν οι παραστάσεις : i. x 1 + x 2 ii. x 1 x 2 iii. x x2 2 iv. x x3 2 v. (x 1 x 2 ) 2 vi. x 1 x 2 x 2 1 vii. + x2 2 x 2 x 1 Λύση 1.30 Στην εξίσωση x 2 + x 10 = 0, είναι α = 1, β = 1, γ = 12 άρα : i. S = x 1 + x 2 = β γ = 1 ii. P = x 1 x 2 = γ α = 12 iii. x x2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = ( 1) 2 2 ( 12) = = 25 iv. x x3 2 = (x 1 + x 2 )(x 2 1 x 1x 2 + x 2 2 ) = 1( ) = 37 v. (x 1 x 2 ) 2 = x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 25 2 ( 12) = 49 vi. x 1 x 2 = (x 1 x 2 ) 2 = 49 = 7 x 2 1 vii. + x2 2 = x3 1 + x3 2 = 37 x 2 x 1 x 1 x 2 12 = Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 32

33 Θέµα 1.31 ίνεται η εξίσωση x 2 + 2λx 8 = 0 i. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγµατικές ϱίζες για κάθε λ πραγµατικό. ii. Αν η µια ϱίζα της εξίσωσης είναι ίση µε το τετράγωνο της άλλης, τότε να ϐρεθούν οι ϱίζες και το λ. Λύση 1.31 Στην εξίσωση x 2 + 2λx 8 = 0 α = 1, β = 2λ, γ = 8 i. = β 2 4αγ = 4λ > 0 Άρα η εξίσωση έχει δυο πραγµατικές και άνισες λύσεις ρ 1, ρ 2. ii. Επειδή η µια ϱίζα είναι ίση µε το τετράγωνο της άλλης, ϑεωρούµε ρ 1 = ρ και ρ 2 = ρ 2 Από τους τύπους του Vietta είναι : ρ 1 + ρ 2 = 2λ ρ + ρ 2 = 2λ(1) ρ 1 ρ 2 = 8 ρ ρ 2 = 8 ρ 3 = 8 ρ = 2 Άρα : ρ 1 = 2 ρ 2 = 4 (1) = 2λ λ = 1 Θέµα 1.32 Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η εξίσωση 3x 2 + (x + 1)λ xλ 2 = 2(1 10x) να έχει δυο ϱίζες αντίθετες. Λύση 1.32 Θα πρέπει να ϕέρω την εξίσωση στη µορφή αx 2 + βx + γ = 0. Κάνοντας τις πράξεις έχω : 3x 2 + ( λ 2 + λ + 20)x + λ 2 = 0 µε α = 3, β = λ 2 + λ + 20, γ = λ 2 για να έχει δυο ϱίζες αντίθετες ϑα πρέπει : > 0 (1) και S = x 1 + x 2 = 0 (2) Επειδή το (1) είναι δύσκολο να το εξετάσω, ξεκινάω από το (2) S = 0 λ2 + λ + 20 λ 1 = 4 = 0 λ 2 + λ + 20 = 0 = 3 λ 2 = 5 και ϑα δω µε αντικατάσταση ποια από τις δυο ϱίζες επαληθεύει την (1). i. Για λ = 4 έχω = ( λ 2 + λ + 20) (λ 2) = [ ( 4) 2 + ( 4) + 20] [( 4) 2] = 72 > 0 Άρα λ = 4 δεκτή. ii. Για λ = 5 έχω = ( λ 2 + λ + 20) (λ 2) = ( ) (5 2) = 36 < 0 Άρα λ = 5 απορρίπτεται. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 33

34 1.3.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 2x 2 18 = 0 ii. x 2 2x 80 = 0 iii. 2x 2 3x + 6 = 0 iv. (x + 1) 2 (x 1)(x + 2 = 2x(3 x)) v. (2x 1) 2 3(2x 1) = 0 vi. 2x(x 3) = (x + 1) 2 (x 1)(x + 2) vii. (1 2)x 2 2(1 + 2)x = viii. 3x 2 (1 + 3)x + 1 = 0 ix. x 2 + ( 2 1)x 2 = 0 2. Να ϐρεθεί το λ R, ώστε η εξίσωση x 2 2x + λ 1 = 0 να έχει : i Ρίζες πραγµατικές και άνισες. ii Ρίζες πραγµατικές. iii Μια διπλή ϱίζα. iv Καµιά πραγµατική ϱίζα. 3. Να ϐρεθεί το λ R ώστε η εξίσωση x 2 2λx + λ 2 = 0 να έχει ϱίζα το 2. Μετά να δειχθεί ότι, αυτή η ϱίζα, είναι διπλή. 4. Αν η εξίσωση αx 2 + βx + γ = 0 έχει ϱίζα το 1, να δειχθεί ότι : α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ 5. Να εξετάσετε αν έχουν ϱίζες και πόσες, οι παρακάτω εξισώσεις : i. αx 2 + (2α 3)x α = 0, α 0 ii. x 2 2(α + 2)x α 2 = 0, α R iii. x 2 2αx + α 2 + β 2 + γ 2 = 0, β 0 iv. x 2 αx β 2 = 0 6. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. x 2 9λx + 14λ 2 = 0 ii. x 2 (2α β)x 2αβ = 0 iii. x 2 2αx + α 2 β 2 = 0 iv. (x + α)(x α) = 2α + 1 v. 4x 2 4αx + α 2 β 2 = 0 vi. (x + κ)(x λ) = 2(x λ) 2 + κλ 7. Αν η εξίσωση x 2 + 6x + κ = 0 έχει ϱίζες πραγµατικές και άνισες, να ϐρεθεί η µεγαλύτερη ακέραια τιµή του κ. 8. Αν οι εξισώσεις x 2 (λ + 1)x + 2 = 0 και x 2 + x λ = 0, λ 2, έχουν κοινή ϱίζα, να ϐρεθεί η κοινή ϱίζα και το λ. 9. Εστω f(x) = αx 2 + βx + γ, α 0. Αν f(0) = 1, f(1) = 7, f(2) = 21, να δειχθεί ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ϱίζες πραγµατικές και άνισες. 10. ίνεται η εξίσωση x 2 (5 2)x = 0 i. Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι τέλειο τετράγωνο. ii. Να λύσετε την εξίσωση. 11. Αν ο αριθµός ρ είναι ϱίζα της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0 µε αγ 0, να δείξετε ότι, ο αριθµός 1 ρ είναι ϱίζα της εξίσωσης γx2 + βx + α = Να προσδιοριστεί η εξίσωση που έχει ϱίζες : i. 1, 0 1 ii. 4, 8 iii. 4, 1 2 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 34

35 iv. 4, 4 v , 1 3 vi. 4, Να προσδιοριστεί η εξίσωση που έχει ϱίζες : i. λ, λ 1 κ + λ ii. λ, λ + κ κ iii. 2α 3β, 2α + 3β α iv. β, β γ 14. Αν x 1, x 2 είναι οι ϱίζες της εξίσωσης 2x 2 x 8 = 0, να υπολογιστούν οι παραστάσεις : i. x 1 + x 2 ii. x 1 x 2 iii. x x2 2 x 1 iv. + x 2 x 2 x 1 1 v. x x 2 2 vi. x 1 x x 2x ίνεται η εξίσωση x 2 + λx 1 = 0, λ R i. Να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει δυο ϱίζες πραγµατικές και άνισες. ii. Αν x 1, x 2 είναι οι ϱίζες της εξίσωσης, να υπολογιστούν οι παραστάσεις, συναρτήσει του λ i. x 1 + x 2 ii. x 1 x 2 iii. x x2 2 x 1 iv. + x 2 x 2 x 1 1 v. x x 2 2 vi. x 1 x x 2x Αν η εξίσωση x 2 + αx + β = 0 έχει ϱίζες δυο διαδοχικούς ακεραίους, να αποδειχθεί ότι α 2 4β = Αν x 1, x 2 είναι οι ϱίζες της εξίσωσης x 2 λx + 3 = 0, να λυθεί η ανίσωση : (x 1 + x 2 )x (λ 1)x < x 1 x ίνεται η εξίσωση (λ 1)x 2 2λx + λ 1 = 0, να ϐρείτε το λ, αν υπάρχει, ώστε η εξίσωση να έχει : i. ϱίζες πραγµατικές ii. µια ϱίζα το 0 iii. ϱίζες αντίστροφες iv. ϱίζες αντίθετες. 19. Εστω f(x) = αx 2 + βx + γ και ρ 1, ρ 2 ϱίζες της f(x) = 0. Να αποδειχθεί ότι : f ( ) ( ) S S 2 + κ = f 2 κ για κάθε κ, R 20. Να ϐρεθεί το λ R ώστε οι ϱίζες ρ 1, ρ 2 της εξίσωσης x 2 +x λ+1 = 0 να επαληθεύουν τη σχέση ρ ρ 1 + ρ 2 + 2ρ 1 ρ 2 = Αν η εξίσωση αx 2 + βx + γ = 0, α 0, έχει δυο ϱίζες x 1, x 2 άνισες, να αποδειχθεί ότι : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 35

36 x 1 x 2 = α Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 36

37 Βιβλία Ιστοσελίδες 2. Βιβλιογραφία 2.1 Βιβλία Μπαραλός Αλγεβρα Κυριακόπουλος Αλγεβρα Μαυρογιάννης Αλγεβρα Παπακωνσταντίνου Αλγεβρα Σχολικό ΟΕ Β Αλγεβρα Μπάρλας Αλγεβρα Λουκόπουλος Αλγεβρα Μιχαηλιδης Αλγεβρα Ιστοσελίδες

38

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ.

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ. 1 Εξισώσεις Β Βαθμού Εξίσωση 2 ου βαθμού μ έναν άγνωστο, είναι η εξίσωση με μορφή : αx²+βx+γ=0 με α, β, γ R και α 0. 1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : =

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων.

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων. Άλγεβρα Α Λυκείου Το υλικό αυτό αποτελείται από μικρές θεωρητικές υποδείξεις και ασκήσεις και προβλήματα που έχω αξιοποιήσει στην τάξη μου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου (Ημερήσιο Γενικό

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

Διαβάστε περισσότερα

x x και µε P το γινόµενο x1 x2 2α 2α α

x x και µε P το γινόµενο x1 x2 2α 2α α o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ I ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ Θεώρηµα (Τύποι του Vieta) Έστω ότι η εξίσωση αx + βx+ γ=, α έχει πραγµατικές ρίζες x Αν συµβολίσουµε µε S

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορίες ασκήσεων στα απόλυτα ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Εξισώσεις που περιέχουν απόλυτο μιας παράστασης και όχι παράταση του x έξω από το απόλυτο. α) Λύνουμε ως προς το απόλυτο

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 5.2 Ασκήσεις: 1-17 Θεωρία ως και την 5.3 Ασκήσεις: 18-24 Άσκηση 1 Θεωρούμε την ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού βιβλίου Άλγεβρας της Αʹ τάξης του Γενικού Λυκείου, που θα διδάσκεται από το σχολικό έτος 00-0. Είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ [ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη ομάδα, το 30% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα ποδοσφαίρου και το 15%

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων µε τύπο: i) ii) iii) iv) v) 2. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να βρείτε µια περίοδο της. 3. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο

Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειρµαµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 9 εκεµβρίου 203 Μη Πεπερασµένο Οριο Συναρτησεων στο x 0. Το Μη-πεπερασµένο Το Απειρο Ορισµός.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Α. Να βρεθού οι κ,λ R για τους οποίους είαι ίσα τα πολυώυµα ( λ + 1) x ( κ ) x λ + 1 (x) = και Q(x) = κx λx + κ Β. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ R για τους

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα