4. ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ"

Πανδώρα Ζαΐμης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 4. ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ «Κινηµατική» της κίνησης Ταχύτητα,επιτάχυνση του ρευστού Περιγραφή και οπτικοποίηση της κίνησής του «υναµική» της κίνησης Ανάλυση των δυνάµεων που παράγουν κίνηση 4.1 ΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ Υπόθεση «συνέχειας» Το ρευστό αποτελείται από σωµατίδια που αλληλεπιδρούν µεταξύ τους και µε το περιβάλλον και κάθε σωµατίδιο περιέχει πολλά µόρια

2 Περιγραφή της ροής µε βάση την κίνηση των σωµατιδίων και οχι την κίνηση των ανεξάρτητων µορίων V = u(x,y,z,t)i + v(x,y,z,t)j + w(x,y,z,t)k ιάνυσµαθέσηςr(t) Α dra VA = dt V = V(x,y,z,t) V = V = u + v + w ( ) 1/2

4 Eulerian και Lagrangian περιγραφή της ροής Eulerian Η κίνηση του ρευστού προσδιορίζεται µε την περιγραφή των αναγκαίων χαρακτηριστικών (ιδιοτήτων), όπως πίεση,πυκνότητα,ταχύτητα, κ.λ.π.,σαν χωρικές και χρονικές συναρτήσεις Lagrangian Ακολουθεί ανεξάρτητα σωµατίδια του ρευστού κατά την κίνησή τους και προσδιορίζει πως τα χαρακτηριστικά του σωµατιδίου µεταβάλλονται µε το χρόνο

5 ιαφορά µεταξύ Eulerian και Lagrangian Eulerian ( x,y,z,t) T = T Η θερµοκρασία σε συγκεκριµένο σηµείο 0 Lagrangian T = T A (t) Η χρήση της µιας ή της άλλης µεθόδου εξαρτάται από την εφαρµογή

6 Γενικά V = 1-,2-,3-διάστατη ροή V(x,y,z,t) Αρκετές φορές απλοποιήσεις είναι αναγκαίες Τρισδιάστατη ροή ιδιάσταση ροή Μονοδιάστατη ροή Μόνιµη ροή Μη-µόνιµη ροή Στρωτή ροή Μόνιµη και µη-µόνιµη ροή V = 0 t V 0 t Μη περιοδική,περιοδική, εντελώς τυχαία Τυρβώδης ροή

9 Ροϊκές γραµµές-streaklines-pathlines Ροϊκές Γραµµές : η ταχύτητα εφαπτοµενική σε µια ροϊκή γραµµή v Κλίση της ροϊκής γραµµής: dy = dx Αν το πεδίο της ταχύτητας είναι γνωστό σαν συνάρτηση του x και y η παραπάνω εξίσωση µπορεί να ολοκληρωθεί για να µας δώσει την Εξίσωση των ροϊκών γραµµών. Παράδειγµα Να προσδιορισθούν οι ροϊκές γραµµές που δίνονται από την σχέση u= V = 0 ( ) V /l x 0 ( V / l)( x i yj) Κατά µήκος µιας ροϊκής γραµµής xy=c σταθερά u ( 0 ) ( ) dy v V/ly y v = ( V 0 /l) y = = = dx u V / l x x 0 dy / y = dx / x ln y = ln x +σταθερά

11 Streaklines-Γραµµές εκποµπής Αποτελείται από τα σωµατίδια της ροής που περνούν από ένα κοινό σηµείο Pathlines-Τροχιές Ηγραµµή που σχηµατίζεται από την κίνηση ενός σωµατιδίου από ένα σηµείο σε κάποιο άλλο

13 4.2 ΤΟ ΠΕ ΙΟ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ α=α(x,y,z,t) Eulerian α=α(t) Lagrangian F = mα ΗΥλική Παράγωγος

14 V = VA( r A,t) = VA( x A(t),y A(t),z A(t),t) dva α A(t) = = dt V V V V = + u + v + w t x y z u u u u α x = + u + v + w t x y z v v v v α y = + u + v + w t x y z w w w w α z = + u + v + w t x y z DV α= Dt D(**) (**) (**) (**) (**) = + u + v + w Dt t x y z Τοπική παράγωγος Επιτάχυνση µεταφοράς dv dt : Τοπική επιτάχυνση

16 4.3 ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ Εφαρµογή των βασικών νόµων (διατήρηση µάζας, κίνησης, θερµοδυναµικής) µε βάση την προσέγγιση του συστήµατος ή του όγκου ελέγχου. Σύστηµα-Lagrangian: Συλλογή ύλης που κινείται,ρέει και αλληλεπιδρά µε το περιβάλλον-περιέχει την ίδια µάζα. Όγκος Ελέγχου-Eulerian: Όγκος στο χώρο µέσω του οποίου έχουµε ροή (ανεξάρτητα της µάζας). Προσδιορισµός των δυνάµεων που δρουν στον όγκο ελέγχου και ανάλυση της ροής- ιάγραµµα ελεύθερου σώµατος.

17 *Σταθερός,*Κινούµενος,*Μετασχηµατιζόµενος Όγκος Ελέγχου

18 4.4 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟΥ REYNOLDS Περιγραφή των νόµων κίνησης µε βάση τις έννοιες του συστήµατος και του όγκου ελέγχου. Β=παράµετρος ρευστού (extensive property) b=παράµετρος ανά µονάδα µάζας (intensive property) B=mb m=µάζα του ρευστού που εξετάζουµε Π.χ. Αν B = B συσ ( δb = bρδ ) db dt mv 2 συσ 2 = lim b = i d = bi συσ V 2 ( ρ δ ) i 2 ρbd dt i = συσ ρbd Χρονική Μεταβολή της ιδιότητας Β του συστήµατος

19 d ρbd db O.E. O.E. = dt dt Χρονική Μεταβολή του Β στον όγκο ελέγχου Παρόµοια Μαθηµατική Έκφραση αλλά διαφορετική φυσική ερµηνεία

20 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ B= m b= 1 d ρd dbσυσ dmσυσ συσ Εποµ ένως = = dt dt dt d ρd dbοε.. dmοε.. ΟΕ.. και = = dt dt dt

21 Το θεώρηµα µεταφοράς σε µονοδιάστατη ροή Στο χρόνο t B (t) = B (t) συσ O.E. Στοχρόνο t+ t B (t+δ t) = B (t+δt) B (t+δ t) + B (t+δt) συσ O.E. Ι ΙΙ δ Bσυσ B συσ(t +δt) B συσ(t) B O.E. (t +δt) B I(t +δt) B II(t +δt) = = δt δt δt δ Bσυσ B O.E. (t+δt) B O.E. (t) B(t I +δ t) B II(t+δt) = + δt δt δt δt δbσυσ DBσυσ Για δt 0 = δt Dt

22 ρbd B O.E. (t+δt) B O.E. (t) BO.E. O.E. lim = = δt t t δ t 0 B (t+δ t) = ( ρ b )(δv) = ρ bavδt II B (t+δt) B = lim =ρ A V b δt. B(t I +δt) Bin = lim =ρ1a1v1b 1 δ t 0 δt DB B II out Dt συσ O.E. = +ρ2avb ρ1avb t

23 Το θεώρηµα Reynolds στη γενική του µορφή DB Dt συσ B.. O.E. = + Bout Bin t

24 Προσδιορισµός των B in και Β out δ B= bρδ = b ρ(vcosθδt) δα b ρδ (bρvcosθδt) δα δ Bout = lim = lim = bρv cos θδα δ t 0 δt δ t 0 δt = = ρ θ Α = ρ Α.. Bout dbout b Vcos d b V nd ˆ EE,out EE,out EE,out

25 Κατά ανάλογο τρόπο = ρ θ Α= ρ Α Bin b Vcos d b V nd ˆ EE,in EE,in Bout Bin b V nd ˆ b V nd ˆ b V nd ˆ EE,out EE,in EE ΟE EE = ρ Α ρ Α = ρ Α DBσυσ = bρd + bρ V nd ˆ Α Dt t ρbdv=η ποσότητα του Β σε όγκο dv Χρονικές επιδράσεις Επιδράσεις µεταφοράς(συναγωγής) ΥΛΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Σχετικά έγγραφα

6. ΙΑΦΟΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ

6.1 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΡΟΪΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ 6. ΙΑΦΟΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ -Λεπτοµέρειες της ροής Απειροστός όγκος ελέγχου - ιαφορική Ανάλυση Περιγραφή πεδίων ταχύτητας και επιτάχυνσης Euleian, Lagangian U U(x,y,,t)