NOTIUNI FUNDAMENTALE ALE TEORIEI PROBABILITATILOR

Transcript

1 ITOLUL NOTIUNI FUNDMENTLE LE TEORIEI ROBBILITTILOR. Expere. rob. Eveme Orce dscpl folosese peru obecul e de sudu o sere de ou fudmele. Se vor def sfel, oule de expere, prob s eveme. r expere, se elege relzre prcc uu complex de cod corespuzor uu creru d de cercere colecvlor ssce omogee. Relzre o sgur d experee, se umese prob. EXEMLU Se poe cosder drep expere, rucre uu zr perfec cosru d puc de vedere geomerc s omoge d puc de vedere fzc, cz cre, prob ese repreze de rucre o sgur d zrulu. r ermedul exemplulu de m sus se poe defc oue de colecve ssc pr mulme pucelor cre pr pe feele zrulu. r eveme se elege rezulul ue probe. Evemeele po f clsfce re mr cegor: evemee sgure, evemee mposble s evemee mplore. r eveme sgur, se elege evemeul cre se produce mod oblgoru l efecure ue probe ue experee. Evemeul mposbl ese cel cre u se produce l efecure c ue probe. Se umese eveme mplor (leor) u eveme cre poe fe s se produc, fe s u se produc l efecure ue sgure probe. EXEMLE. Exrgere ue ble lbe dr-o ur cre coe um ble lbe, ese u eveme sgur. 7

2 . L rucre uu zr, evemeul cre cos pr orcre fee de l l 6 cosue evemeul sgur. 3. pr uu umr de 7 puce l o prob rucr uu zr ese u eveme mposbl. 4. Exrgere ue ble egre dr-o ur cre coe um ble lbe, ese u eveme mposbl. 5. pr fee l rucre uu zr ese u eveme mplor. Evemeele mplore se supu uor leg, ume leg ssce. I ces ses, u se poe prevede dc ro sgur rucre uu zr se obe f ; dc s se efecuez u umr sufce de mre de rucr se poe prevede cu sufce precze umrul de pr le cese fee. Evemeele mplore po f compble s compble. Dou evemee se umesc compble, dc relzre uu exclude relzre celull. EXEMLE. Evemeele: pr fee l rucre uu zr s respecv pr fee l rucre uu zr, su compble.. Evemeele: pr fee l rucre uu zr s respecv pr ue fee cu u umr mpr de puce l rucre uu zr, su compble Evemeele po f depedee su depedee. Dou evemee se umesc depedee dc relzre uu u flueez probble relzr celull s depedee cz corr. EXEMLE. Evemeele: pr fee l rucre uu zr s respecv pr fee l o l rucre zrulu, su depedee. 8

3 . Evemeele: obere uu umr de 7 puce l rucre dou zrur s pr fee pe uul dre dou zrur, sd c cese u sum pucelor de pe feele de desupr 7, su depedee.. Oper cu evemee Nole folose su cele cuoscue d eor mulmlor. Mulmle vor f evemeele leore s vor f oe cu:, B,,. Fe Ω evemeul sgur s Φ evemeul mposbl. cese corespud mulm ole cosdere s respecv mulm vde. DEFINITIE Se spue c evemeul mplc evemeul B, dc relzre lu, rge dup se relzre lu B. No folos ese: B OBSERVTII ) Implc evemeelor ese echvle cu cluzue mulmlor. (vez fg. r. ) Ω B Fg. r. b) Orce eveme leor, precum s evemeul mposbl, mplc evemeul sgur: Ω 9 Fg. r.

4 Ω, Φ Ω. DEFINITIE Se spue c u eveme ese corr evemeulu, dc relzre s cos erelzre lu. No folos ese. OBSERVTII ) Evemeul corr evemeulu, ese echvle cu complemer lu d eor mulmlor. (vez fg. r. ) b) Evemeele s su corr, dc, dc se relzez, uc u se relzez s recproc. DEFINITIE Reuue (su dure) evemeelor s B ese evemeul S cre cos relzre cel pu uu dre evemeele su B. No ese : S B. OBSERVTII ) Dc evemeele su reprezee pr cercurle s B d fg. 3 s 4, reuue lor ese repreze pr erorul hsur l celor dou cercur. r urmre, fpul c u puc l evemeulu S se gsese B regule hsure cosue evemeul B. I czul preze fg. r. 4 evemeele s B su compble, deorece relzre evemeulu exclude relzre evemeulu B s vers, pe cd evemeele d fg. r. 3 su compble, cc legere uu puc comu celor dou cercur rge dup se relzre evemeulu, c s evemeulu B. b) Dc B, uc B B. Geomerc, ces lucru sem c cercul ese eror lu B. Fg. r. 3 0 Fg. r. 4

5 c) Orcre r f evemeul, u loc relle :, Φ, Ω Ω, Ω Φ Ω. B DEFINITIE Iersec (su produsul) evemeelor s B ese evemeul cre cos relzre smul evemeelor s B. No ese : B. OBSERVTIE Geomerc, B ese repreze pr regue comu celor dou cercur prezee fg. r. 3. r roducere ou reuue s ersece, uele ou d eor probbllor po f formule mod m precs. sfel, peru evemeele opuse se po formul ces mome urmorele DEFINITII: I) evemeele s se umesc opuse dc u loc relle: E s Φ II) Evemeele s B su compble dc: BΦ. I cz corr ( B Φ ), evemeele se umesc compble. LITII. Fe s B dou evemee d cels cmp; s se re c: B B, B B. cese dou rel reprez, eor mulmlor, relle lu De Morg. Ierprere v f lmbul evemeelor. Se

6 cosder m prm rele. B ese pr defe evemeul cru relzre sem relzre cel pu uu d evemeele su B. orrul su, B v f evemeul cru relzre presupue erelzre evemeulu, c s evemeulu B. Dr erelzre evemeulu sem relzre evemeulu s vers, erelzre evemeulu B sem relzre evemeulu B. Dec, dc B se relzez, uc se relzez s evemeul s evemeul B, dc evemeul B. Se uge l cocluz c relzre evemeulu B mplc relzre evemeulu B, cee ce se scre : B B ( ). Ivers, dc se relzez B dc se relzez s B, uc u se relzez c uul d evemeele, B, dec u se relzez evemeul B. Dr erelzre lu B sem relzre lu B. Rezul c relzre evemeulu B mplc relzre evemeulu B, dc : B B. ( ) D relle ( ) s ( ) rezul: B B. Se cosder dou rele, B B. Evemeul B ese evemeul cru relzre sem relzre lu c s lu B. orrul su, B v f dec evemeul cru relzre sem erelzre cel pu uu d evemeele, B. ces sem c dc B se relzez, uc se

7 relzez cel pu uul d evemeele, B, dc se relzez evemeul B. r urmre: B B. Ivers, dc B s- relz, uc cel pu uul d evemeele, B u s- relz, dec u s- relz B ; dr ces sem c s- relz B. Se poe scre dec: s rezul c: B B, B B. OBSERVTIE I geerl, se spue c evemeele s B su egle (o. B ) dc B s B.. S se re c relle B, B, B B, B. su echvlee. Se v r c dc u d cele pru rel ese devr, uc s celelle re su devre. Fe B ese devr. ces sem c dc se relzez, uc se relzez s B. Rel B r c dc u s- relz B, uc u s- relz c, cee ce ese devr; dc u r f s, r f corzs rel B. eru r c B B (dc B ), ese sufce s se re c B B ( 3 ), deorece rel B B ese evde, e semd c dc se relzez B, uc se relzez uul d evemeele, B. 3

8 eru demosr rel ( ) 3 rebue r c de ce or se relzez B, se relzez s B. Dc B s- relz, uc su s- relz B (s rel ese demosr) su s- relz s uc, coform poeze B, s- relz s B. eru r c B ( cees poez B ), se observ c dc se relzez, uc coform poeze se relzez s B, dec se relzez B. Se poe scre B. Rel B ese evde, e semd c dc se relzez s B, uc se relzez (rel B ese devr fr poez B ). Dec B. r romee semore, se r c dc se v lu c poez l d cele pru rel d eu, uc prm rele v rezul drep o cocluze. 3. Relle : BΦ, B, B, su echvlee. Se presupue c B Φ, dc evemeele s B su compble. ces sem c dc se relzez, uc B u se relzez, dec se relzez B, dc B. Ivers, dc B, uc dc se relzez, se relzez mod sgur s B, dec B u se relzez. ces sem c evemeele s B su compble, dc BΦ. Rezul c prmele dou rel d eu su echvlee. Evde prme s cele de- re rel rezul cum d smer rele B Φ..3 Def clsc probbl. mp de evemee. xomele lu Kolmogorov 4

9 L o socee comercl orecre s- cos c mede % d pesele produse de o ms uom su ecorespuzore. ces sem c l fecre ur de produse esore, pesele rebu vor f propore de proxmv %. Dc urele su forme, de exemplu d 000 de pese, l uele dre ele umrul rebuurlor v f sub % ( 6,7,.. pese), l lele pese % (,3,...), dr, mede, ces umr v f prop de 0. Se presupue c procesul de fbrce re loc celes cod de produce. I ces cz, oper de ms cos fbrc sere produselor, coducd l cosure ue colecv omogee. roceul uu su l lu dre evemeele cre eresez (produse ecorespuzore) v f - cod de produce dece - geerl cels, bdu-se de l o um vlore mede relv sbl um czur rre. Se spue c ces vlore mede ese dcele crcersc l opere de ms su, m precs, l feomeulu de ms, elegdu-se pr ces d urm oue relzre vlorlor ue crcersc sude (umrul produselor rebu) cu cees probble, l orce prob. Ese fore mpor cuosere cesu dce dferele dome de cve. El fce posbl precere feomeelor de ms p cum mplore s chr prevzue evolue lor vore, msur cre codle le le experee rm celes. I exemplul de m e, cre l 000 de pese, produse de o ms uom, 0 de pese su mede rebu, se spue c probble de produce rebuur ese, peru ms d : 0 0, Se v cu se lmur, pe pl eorec, ce se elege pr probble uu eveme r-o opere de ms d, red ces scop c ule elemere rezule dr-u 5

10 proces de ms - u le colecv cosue - s coopesc crcerscle lor prculre r-o crcersc regulu smblu, r-o lege geerl cre crcerzez u u eleme um l colecv sude, c u eleme orecre l cese, lege cre se v deum lege ssc. Dc r-o opere de ms cre re loc cod dece, u eveme se produce mede de m or, dc l m d u elemere le colecv sude, probble evemeulu ese m ( ) ( ) I ces rele, reprez umrul czurlor egl posble, pe cd m reprez umrul czurlor fvorble; e sezez def clsc ou de probble: se umese probble uu eveme s se oez cu ( ), rporul dre umrul m de rezule fvorble producer lu s umrul ol de rezule posble le experee, cod c oe rezulele s fe egl posble. e bz cese def se vede med c probble de pre l o sgur rucre ue d feele uu zr omoge s perfec cosru ese, su probble de 6 pre ue d feele moede ese ec. Deorece m rezul c probble orcru eveme mplor ssfce dubl egle : ( ). ( ) 0 u c ( ) ese m prop de, cu evemeul re loc m des. Dc ( ) 0, evemeul su u re loc cod, su re loc fore rr, s c prcc l cosderm. 6

11 mposbl. Dc ( ) ese u eveme sgur. D def clsc probbl ( ), rezul urmorele: RORIETTI, evemeul re loc odeu, dec. robble evemeulu sgur ese, ruc ces cz m ;. robble evemeulu mposbl ese 0, ruc ces cz m 0 ; 3. robble uu eveme mplor ese cuprs re 0 s, ruc ces cz 0 < m<. I fr de oue de probble exs eor probbllor o l oue fudmel s ume oue de frecve relv. r frecve relv evemeulu se elege rporul dre umrul probelor m cre evemeulu s- produs s umrul ol de probe efecue. Dr-o delug observe feomeelor s proceselor de ms s- puu cos c dc u experme se repe, celes cod, de u umr sufce de mre de or, uc frecve relv cp o um sble, oscld urul probbl. Tocm de cee, drep msur cv de precere posbl obecve de se produce evemeul mplor poe f lu frecve relv f, rezul dup u umr mre N de experee, efecue celes cod. Dup cum se vede, oue de probble uu eveme ese leg (chr l orge formr e) de o oue expermel, prcc - frecve evemeulu rezuld d legle obecve le feomeelor rele de ms. ces codus l cosre c evemeele corespuzore dferelor probe expermele formez o um srucur, cu umerose propre cre po f formule memc. Memcul rus. N. Kolmogorov um-o cmp de evemee s pe ces bz formul cuoscuele xome prvd eor probbllor. 7

12 SHEM LUI KOLMOGOROV XIOM. Ue experee corespude odeu u cmp de evemee. Obecele de bz folose xomzre eore probbllor su evemeele s probblle respecve. Expere coduce l cosre c evemeele corespuzore dferelor experee posed uele propre ce po f formule memc. EXEMLU Se cosder expere clsc rucr uu zr. pr celor sse fee coduce l evemeele : ( )(, ),...,( 6). I mod log, pr ue d dou fee e coduce l evemeele : (,)(,,3),...,( 5,6). pr ue d re fee d sere evemeelor : (,,3)(,,,4),...,( 4,5,6). pr ue d pru fee v d evemeele : (,,3,4)(,,,3,5),.... pr ue d cc fee v coduce l evemee de form : I ol vor f: evemee. 3 (,,3,4,5)(,,,3,4,6 ),

13 dugd l ces evemeul sgur, cre cos fpul c l o rucre cu zrul v pre mod sgur u d cele sse fee, precum s evemeul mposbl, cosd d fpul mposbl c l rucre cu zrul s u s c u d fee, se ob ol 64 evemee, cre formez cmpul de evemee geer de expere rucr uu zr. Evemeele ( )(, ),...,( 6) rezule drec d expere, vor f ume evemee elemere. r urmre, su: evemee elemere. I geerl umrul evemeelor uu cmp f ese egl cu l o puere egl cu umrul evemeelor elemere. sfel, dc se cosder u lo de 5 de pese de cels fel s se exrge l mplre o pereche de pese, umrul evemeelor cmpulu geer de ces expere v f 5 egl cu. Reved l exemplul cu zrul, se observ c evemeul, cos fe pr fee, fe d pr fee. Se ( ) spue c evemeul (,) evemeelor ( ) s ( ), dc : ese reuue (dure) ( ) ( ) (,). I mod log, relzre smul evemeelor (,,3) s (,3) ese evemeul (,3). Se spue c evemeul (,3) ese ersec (produsul) evemeelor (,,3) s (,3), dc : (,,3) (,3) (,3). Dc evemeele ersece se exclud recproc, se obe evemeul mposbl, o cu Φ. De exemplu : (,) ( 5, 6) Φ. 9

14 D cele re p cum rezul c orce eveme l cmpulu cre u ese elemer, su evemeul ul, ese o reuue de evemee elemere. I prculr, reuue (dure) uuror evemeelor elemere coduce l evemeul sgur, cre v f o cu Ω. Se cosder evemeul ( ). Evemeul (,3,4,5,6 ) se bucur de proprele: ( ) (,3,4,5, 6) Ω ( ) (,3,4,5, 6) Φ. ; Evemeul ( ) ese complemeul evemeulu (,3,4,5,6 ). I geerl, u cmp de evemee ese crcerz pr urmorele propre : dc om cu, h, evemee le cmpulu, U h, I h su de semee evemee ; od pr complemeul lu, ese de semee u eveme. Evemeul sgur Ω s evemeul mposbl Φ pr de semee cmpulu. I eru u cmp f rebue s se dm c s U, su evemee. XIOM. Fecru eveme l cmpulu corespude u, um probble lu. umr rel, eegv, ( ) Folosd legur dre frecve relv s probble, se deduce c probble, cre ese rporul dre umrul m de ce or se verfc experee s umrul de experee, ssfce eglle 0

15 m 0. XIOM 3. robble evemeulu sgur ese egl cu. XIOM 4. robble reuu dou evemee compble re ele ese egl cu sum probbllor evemeelor. Dup cum se se evemeele compble su cele cre se exclud recproc. oform defe, se poe scre BΦ. sfel, pr xom se poe scre : ( B) ( ) ( B) +, ude B Φ..4 Teoreme s regul fudmele le eore probbllor.4. REGUL DUNRII ROBBILITTILOR EVENIMENTELOR INOMTIBILE Se cosder evemeele,,, prd uu cels cmp Ω, compble dou ce dou, dc:, ( ),,,...,. uc :, { } (... ) ( ) + ( ) +...( ) Demosr ese med, pr duce memc dup N (umrul de evemee cosder), folosd regul de dure probbl evemeelor compble d de ce de re xom, s ume : ( B) ( ) + ( ), ude B. REMR eru demosre se pueu cosder urmorele poeze : evemeul se poe relz m czur, evemeul se poe relz m czur,,

16 evemeul se poe relz m czur, r evemeul sgur Ω se poe relz s czur. m uc : ( ) s, ( ),, ( ) s m m. s Icompble evemeelor,,,, reve l seprre comple czurlor m, m,, m, dc, umrul de czur cre se relzez evemeul... ese: m + m + + m. r urmre : (... ) m + m +... s + m s (... ) ( ) ( ) +...( ) ROBBILITTE EVENIMENTELOR ONTRRE oform defe, dou evemee s su corre su complemere, dc: E s Φ. cese rel r c evemeele su compble s c fecre prob se relzez uul dre ele. +d c evemeul se relzez de m or oper dvdule, r de m or, probblle cesor evemee su : m ( ), ( ) m m. Efecud sum probbllor cesor evemee, se obe: ( ) ( ) +.

17 dc sum probbllor dou evemee opuse ese egl cu..4.3 SISTEM OMLET DE EVENIMENTE S cosderm u umr orecre de s evemee compble, s fel c fecre opere dvdul s se produc epr uul d ele s um uul. U sfel de ssem de evemee se umese ssem comple de evemee. D def d rezul:... s E, Φ, ( ),,,...,s { } cu probble: (... ) ( E) s su ( ) ( ) ( ) +, s dc sum probbllor uor evemee cre formez u ssem comple de evemee ese egl cu. Evemeele opuse, fd compble s fecre opere de ms producdu-se uul dre ele, cese formez u ssem comple..4.4 EVENIMENTE INDEENDENTE SI DEENDENTE Dou su m mule evemee se umesc depedee dc probble efecur uu dre ele u ese flue de fpul c celelle evemee s-u produs su u. EXEMLE ) Dc dr-u lo cod pese sdrd c s pese rebu se exrge ce o pes cre reve l lo dup 3

18 fecre exrce, evemeele cre cosu exrgere ue pese sdrd l fecre exrce su depedee. b) Dc se ruc o moed de dou or, probble pre seme (evemeul ) dou rucre u depde de fpul c prm rucre s- produs su u pr vlor (evemeul B ). Dou su m mule evemee se umesc depedee dc probble uu dre ele ese flue de evemeele erore (depude de fpul c evemeele erore s-u produs su u). EXEMLU Ir-o ur se gsesc ble lbe s b ble egre. Se oez cu evemeul de exrge o bl lb s cu B evemeul cosd exrgere ue ble egre dup ce fos exrs o bl (cre u se reroduce ur e cele de- dou exrger). Se fc, dec dou exrger succesve. Dc prm bl exrs fos lb, dc s- produs evemeul, uc ur u rms b ble egre s b probble evemeulu B ese ; dc prm bl + b exrs fos egr, relzdu-se evemeul, uc ur u rms b ble egre s probble evemeulu b B ese. Se observ c probble evemeulu B + b depde de fpul c evemeul s- produs su u. EXEMLU S se clculeze probble c u pr cu o vechme de x s u m fucoeze dup o perod cuprs re x+ m s x+ ( > m ). I ces cz pr evemeele s B. Evemeul se relzez uc cd prul cu o vechme de x fucoez dup x+ m, r evemeul B uc cd prul s ceez fucore perod ( x + m,x+ ). Se vede d ces exemplu c evemeul B ese depede (codo) de evemeul, deorece peru c prul cu o vechme de 4

19 x s s ceeze fucore re x+ m s x+ rebue m s fucoeze dup x+ m..4.5 TEOREM INMULTIRII EVENIMENTELOR INDEENDENTE SI DEENDENTE Fe s dou evemee depedee. Se v deerm coure probble producer smule cesor evemee, dc ( ). Ir-o opere de ms se po mpl urmorele : ) se produce evemeul m czur fvorble ; ) se produce evemeul m czur fvorble ; 3) se produce evemeul m 3 czur fvorble ; 4) se produce evemeul m 4 czur fvorble. I ol su m+ m + m3 + m4 czur posble. Rezul c : m ( ). ( ) robble evemeulu se sblese sfel: Numrul czurlor fvorble relzr evemeulu ese m + m, dec : m + m ( ). ( ) Evemeele s fd depedee, sem c probble lu v f flue de relzre lu, dec se v clcul ( ), rele cre se cese,,probble lu codo de su,, probble lu dup ce s- relz. zurle fvorble relzr evemeulu, 5

20 dup ce s- produs, su umr de m, r czurle posble m + m. Dec : m m ( ). ( 3 ) m + Imuld relle ( ) s ( 3 ), membru cu membru, se obe : m+ m m m, m + m ( ) ( ) dc rezulul de l ( ). Dec, ( ) ( ) ( ), ( 4 ) rele cre cosue regul de mulre probbllor dou evemee depedee. D ( 4 ) se obe : ( ) ( ). ( 5 ) ( ) I mod log, probble evemeulu codo de ese : Relle ( 5 ) s ( ) ( ) ( ). ( 6 ) ( ) 6 r c probble uu eveme, codo de relzre uu l eveme, ese egl cu rporul dre probble ersece (producer smule) celor dou evemee s probble evemeulu ce codoez. 6

21 LITIE Dr-u lo de 40 de becur sos l u mgz, dre cre 37 corespud sdrdulu s 3 u corespud, u cumpror cumpr dou buc. S se clculeze probble c cese dou becur s fe corespuzore. Fe evemeul c prmul bec s fe corespuzor s c l dole bec s fe corespuzor. robble 37 evemeulu ese ( ). d becul l dole fos 40 lu dup ce prm exrgere m obu u bec sdrd, - u m rms dec 39 de becur, dre cre 36 sdrd s 3 rebu. robble evemeulu codo de v f: 36 ( ). 39 Dec probble ce mdou becurle s fe corespuzore ese : ( ) ( ) ( ) 0, 85 I geerl fe evemeele,,...,. robble producer smule se clculez pe bz formule (... ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( 7 ) 3... Demosrre cese rel se fce pr meod duce memce., se v spue, c evemeele s B su depedee re ele. DEFINITIE Dc ( ) ( ) ( ) Se vede c dou evemee su depedee dc probble uu dre ele u depde de fpul c celll eveme s- produs su u. Dc, de pld, se ruc o moed de dou or ese clr c probble pre seme 7

22 (evemeul ) prm rucre u depde de fpul c dou rucre re su u loc evemeul B (pr vlor) ; s vers, probble lu B u depde de fpul c s- produs su u evemeul. U l exemplu de evemee depedee l gsm czul ue ure cu ble de dou culor, d cre se fc exrger urmorele cod : ur se gsesc 6 ble lbe s 4 egre. Dc ese evemeul cre cos exrgere ue ble lbe, uc : 6 ( ). 0 Dup exrgere, bl se reroduce ur s se fce o ou exrgere. Fe B evemeul c s fe exrs o bl egr 4 ces dou exrgere. uc ( B), probble cre 0 u depde de fpul c evemeul s- produs su u. Se cosder, pr urmre, rel : ( ) ( ) ( ). Fcd locure corespuzore relle ( 5 ) s ( ) obe: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ). ( ) 6 se Eglle ( ) ( ) s ( ) ( ) r c codo pe de s pe de u flueez probblle ( ) s ( ). Evemeele s B su depedee. 8

23 I ces cz, formul ( 7 ) deve (... ) ( ) ( )... ( ).... ( 8 ) r urmre, probble producer smule uu umr orecre de evemee depedee ese egl cu produsul probbllor cesor evemee. LITIE Dou ms produc cees pes. robblle c pes s fe corespuzore su de 0, 96, respecv de 0, 93. Se peru cercre ce o pes de l fecre ms s se cere s se clculeze probble c mbele pese s fe corespuzore. cese fd depedee, rezul: ( ) ( ) ( ) 0,960,93 0, 898. Ese mpor s se preczeze c cele re m e u po f exse l u umr orecre de evemee, fr def prelbl ce se elege pr evemee depedee ole lor. M mule evemee se umesc evemee depedee ole lor dc fecre dre ele s orce ersece celorlle (cod fe pe oe, fe o pre lor) su evemee depedee. sfel, evemeele, B s su depedee ole lor dc su depedee evemeele: s B, s, B s, s B, B s, s B. Se poe vede c depede ole u poe f sgur de depede evemeelor lue dou ce dou..4.6 TEOREM DUNRII ROBBILITTILOR EVENIMENTELOR OMTIBILE Fe s dou evemee compble. S se clculeze ( ). Evemeele fd compble, evemeul se poe relz urmorele modur:., se relzez mpreu cu opusul ; 9

24 ., u se relzez, dr se relzez ; 3., se relzez smul s. Rezul: ( ) ( ) ( ). Deorece evemeele ersece su compble dou ce dou, se poe scre : ( ) ( ) + ( ) + ( ). ( ) Se vor clcul probblle evemeelor s : ( ) ) + ( ) ( ) ( ) + ( ), ( ). ( 3 ) Isumd ulmele dou rel s d sem de ( ), se obe: ( ) ( ) ( ) + ( )+ ( ) + ( ) + de ude rezul : ( ) ( ) + ( ) ( ). ( 4 ) eru re evemee, s 3 ces rele deve : ( 3) ( ) + ( ) + ( 3) ( ) ( ) ( ) + ( ). ( 5 ) I geerl, peru s evemee re loc : U I s s s s ( ) ( ) ( ) ( 6 ),h h h 30

25 u ces formul, um formul lu ocre, se clculez probble c cel pu uul d cele s evemee compble s umr f,,, s s se relzeze. LITIE U mucor deservese re ms. robblle c decursul uu schmb msle s u se defeceze su : peru prm ms de 0, 90, peru dou ms de 0, 94 s peru re ms de 0, 86. S se clculeze probble c cel pu u d ms s lucreze fr defecu decursul uu schmb. ces probble ese : ( 3) ( ) + ( ) + ( 3) ( ) ( 3) ( 3) + ( 3) ( ) + ( ) + ( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ,90+ 0,94+ 0,86 0,900,94 0,900, 86 0,940,86+ 0,900,940,86 0, FORMUL ROBBILITTII TOTLE Se presupue c o opere d coduce l rezulele,,, s, cre formez u ssem comple de evemee. Fe u eveme X cre u se poe relz sgur, c mpreu cu uul d evemeele,,, s. Dec : ( X) ( X)... ( X) X. s Deorece evemeele ( X), ( X),...,( X) s su compble dou ce dou, rezul : su ( X) ( X) + ( X) ( X) s 3

26 ( X) ( ) ( X) + ( ) ( X) +... ( ) ( X), ( ) + s s rezul cre cosue formul probbl ole exprmd urmore : TEOREM robble evemeulu X cre poe s se produc codo de uul d evemeele,,, s s cre formez u ssem comple de evemee, ese egl cu sum produselor dre probblle cesor evemee s probblle codoe corespuzore le evemeulu X. Teorem se demosrez fore smplu. I codle eoreme, producere evemeulu X reve l producere uu d urmorele evemee compble ( X)(, X),...,( s X) dc : ( X) ( X)... ( X) X. s plcd o cosec eoreme de dure probbllor evemeelor compble, se obe : ( X) ( X) + ( X) ( X). s Is, dup regul mulr probbllor depedee, uc : ( X) ( ) ( X), ( X) ( ) ( X), ( X) ( ) ( X). r urmre, s ( X) ( ) ( X) + ( ) ( X) +... ( ) ( X) + LITIE I mgz ue uze se gsesc pese de cels fel provee de l cele re sec le uze. Se se c prm sece produce 5 % d olul peselor, dou 35 % s re 40 % s 3 s s s s,.

27 c rebuurle su de %, 3 % s % peru fecre sece. S se clculeze probble c lud o pes l mplre d mgze, ces s fe ecorespuzore. Fe,, 3 evemeele c pes s pr ue d cele re sec s fe X evemeul c pes s fe ecorespuzore. es ecorespuzore pud prove um de l u d cele re sec, sem c evemeul X u se poe relz sgur c mpreu su cu, su cu, su cu 3 ; dc u loc ersecle ( X), ( X), ( 3 X). robblle evemeelor,, 3 s evemeulu X codo de relzre evemeelor,, 3 su : Dec, ( ), ( ), ( ) , 00 3 X. 00 ( X), ( X), ( ) ( X) ( ) ( X) + ( ) ( X) ( ) ( X) s s , Se vede de c c l fecre 0000 de pese, mede 95 su ecorespuzore..4.7 REGUL LUI BYES Folosd ces regul se rezolv problemele cuprse urmore schem geerl: se cosder u ssem comple de evemee,,, s cre reprez cuzele producer uu eveme ecuoscu X (ces eveme poe s se produc codo de uul d evemeele,,, s ).

28 Se cuosc probblle : ( ), ( ), ( 3), ( X) ( X) ( X) cese probbl cre se po clcul e efecur vreue probe se umesc probbl prorce. I urm efecur probe se produce evemeul X s rebue deerme probblle : X 34 3, ( ), ( ),..., ( ). X cese probbl clcule dup efecure probe se umesc probbl poseror. Fe evemeul compus : cru probble ese : X X, fx, ( X ) ( X) ( ) ( ) ( X). D ulm egle rezul : L umor ( X) ole, dec : X ( ) X ( ) X ( ) ( X) ( X). poe f exprm pr formul probbl ( ) ( X) ( ) ( X) + ( ) ( X) ( ) ( X) rele ce reprez formul lu Byes. LITII. S se clculeze probble c pes obu (vez problem precede) s cre u corespude codlor sdrd s prov de l sec. s s s,

29 X ( ) ( ) ( X) ( ) ( X) + ( ) ( X) ( ) ( X) , U mgz se provzoez zlc de l re depoze dfere D, D, D 3, cu celes c globle de mrf, s propor dfere rpor cu cele dou cl le e. Su se vede d belul lur. Dc u cumpror cumpr l mplre o ue d mrf cuz s se cos c e ese de cle dou se pue rebre cre ese probble poseror c ue de mrf cumpr s fe de l depozul D 3. Se cosder evemeele : - evemeul s, cumprre ue u de mrf proved de l depozul s ( s,, 3 ) ; - evemeul X, cumprre ue mrf de cle dou. Evemeul X re loc u d urmorele su : r urmre se poe scre : X ( X) ; ( X) ; ( X). s ( X) ( X) ( X). s um evemeele,, 3 formez u ssem comple de evemee, ruc : Φ, 3 Φ, 3 Φ, E 35 3 Irebre probleme sem de fp clculul probbl. plcd formul lu Byes, se obe : codoe ( ) X 3 s s

30 X ( ) 3 vd vedere c : ( ),,, 3 3 ( 3) ( X) 3 ( ) ( X) + ( ) ( X) + ( ) ( X), ( X), ( X) , 0 5 ( X) pr plcre formule lu Byes, se obe: , 0 5 ( ) 0, 4 X SHEME DE ROBBILITTE. Schem boml (Beroull) ces schem corespude modelelor cre feomeele se repe cod dece. Se cosder o ur cre coe ble de dou culor: lbe s egre. Numrul cesor ese cuoscu, ces semd c dc d ur se exrge o bl se cuose probble p c ces s fe lb, precum s probble q c ces s fe egr. Evde, p + q. D ces ur se exrge ce o bl, ces reved ur dup fecre exrgere. D ur se fc exrger; dup fecre exrgere, bl reved ur, rge dup se emodfcre probbl de obe o bl lb su u egr. Fe evemeul cre cos exrgere ue ble lbe s B evemeul exrger ue ble egre. Se cosder c l

31 o expere cre u fos exrse ble, se obe u eveme de form : BK B ude dre cese su, r su B. Evemeele d srul de m sus su depedee, probble lu, folosd regul de mulre probbllor, p, p ( B) q, fd : ( ) p p q. Is, obere exrgere ble, ble lbe s egre, se poe relz modur. r urmre, probble c probe s se ob de or o bl lb s de or o bl egr ese ( ) p q. Deorece ces erme ese uul d erme dezvolr bomulu ( p+ q), ces schem se m umese s schem boml.. Schem ure lu Beroull cu m mule sr I su cre ur coe ble de m mule culor, problem deermr probbl evemeulu, cre cos obere ue ume comb de ble de dfere culor, se rezolv smlr. sfel, dc ur coe ble de culore, ble de culore,, ble de culore, uc probble c exrger s se ob α ble de culore, α ble de culore,, α ble de culore ese : p α α α ( α,, α ) p p K p! K, α! α! Kα! 37

32 ude p +K + p s α + K α. p,, α Deorece ( ) α K reprez uul d erme dezvolr uu polom l puere, ces schem se m umese s schem poloml. 3. Schem ble erepee Dr-o ur cre coe ble lbe s b ble egre se fc exrger succesve, fr c bl s rev ur. roblem ese de deerm probble c d cele ble exrse exrse α s fe lbe s β egre. Numrul ol l czurlor posble se deerm formd cu cele + b ble oe combrle posble de ce, dc + b. eru deerm umrul czurlor fvorble, se socz α fecre grup cu α ble lbe d cele ( ol ) cu fecre grup de b ble egre ( probble cu ese: β b ) s se ob α β b. Dec α β b + b ( + b). I geerl, cd ur se gsesc ble de culore, ble de culore,, s ble de culore s s se exrg ble, fr orcere ble ur, uc probble c α ble dre cese s fe de culore, α ble s fe de culore,, α s ble de culore s, ese: α α K α+ α+ K+ α s + + K+ s α s s. 4. Schem lu osso 38

33 Se du urele U,U,..., U ble egre propor cuoscue. Dc, fecre cod ble lbe s 39, p,..., p,u,..., U p su probblle exrger ue ble lbe d U, cre ese probble c lud o bl d fecre ur, s obem ble lbe s ble egre? Fe evemeul exrger ue ble lbe d ur U (,,...,) s evemeul exrger ue ble egre d cees ur. ( ) p ; ( ) q p,,,...,. Fe evemeul cre cos exrgere ble lbe s ble egre, cd se exrge ce o bl d fecre ur. r urmre, ese reuue evemeelor de form :..., + + ude dc s, s u vlorle,,..., s su dfer do ce do, dc reprez o permure umerelor,,...,. robble evemeulu de m sus ese : p p p q q... q + + r probble lu ese sum produselor de ces form. sfel, fecre produs, ler p pre de or, r ler q de or. osderd produsul : ( p x q )( p x+ q )...( p x+ ) +, q uc probble evemeulu ese coefceul lu.4.9 INEGLITTE LUI BOOLE, x. Fe I o mulme rbrr de dc. uc re loc urmore egle (egle lu Boole):

34 40 ( ) ( ) I I I. Iegle se m poe scre s form : ( ) I I I Ir-devr, vd vedere c : U I I I, rezul: ( ) ( ) ( ) I I I I U I EXEMLU Ir-o grup de sude, % 75 cuosc lmb frcez, % 90 cuosc lmb eglez s % 8 cuosc lmb germ. re ese probble c u sude les l mplre s cuosc oe lmble? osderd 3,, evemeele c u sude s cuosc lble frcez, eglez s respecv germ uc evemeul ceru c u sude les l mplre s cuosc oe lmble ese 3. uc: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dc: ( ) 47 0, 3

35 ITOLUL VRIBILE LETORE. Def vrble leore More expermeelor de eres prcc u c rezule vlor umerce. ces sem c rezulul ue probe l uu experme, poe f crcerz de u umr su de u cuplu de umere. Se poe, sfel cosder c fecre probe l uu experme se poe soc u umr su de u cuplu de umere. Se poe uc roduce oue de vrbl leore (mplore) c o fuce rel def pe mulme evemeelor elemere soce expermeulu cosder. uvul leor, sublz fpul c se lucrez cu elemee geere de feomee mplore, cre u su guvere de leg src deermse. Elemeul dfcl lz cesor feomee cos fpul c des cese u o um regulre, ese mposbl de precz cu cerude rezulul ue probe mplore. Fe Ω mulme evemeelor elemere soc uu um experme, rezulele posble fd oe cu ω. Ese posbl c ces s u fe u rezul umerc se, dr se poe rbu o um vlore umerc. De exemplu, l dsrbure uor cr de oc, se poe rbu o um vlore umerc fecre cr smd. DEFINITIE Orce fuce f def pe Ω s cre vlor mulme umerelor rele R, se umese vrbl leore. r urmre, fecru rezul ω,, corespude x f ω,. umrul rel ( ) OBSERVTIE Numrul rezulelor x, mc cel mul egl cu. 4, dsce ese m EXEMLU Se cosder expermeul rucr uu zr. Fe ω, 6, evemeele cre cosu pr fee cu u

36 umr de puce. Se poe def o vrbl leore, c fd f ω. d de ( ) Se cosder cum c vrbl leore f regsrez s vlor dsce x,x,..., xs, codle cre su regsre evemee elemere ω,. Fe ω, ω,..., ω, evemeele elemere peru cre f ω x, h. Nod p p( ω ), uc: h h ( f x) p + p... p ( ) q p +. EXEMLU Se cosder o vrbl leore g, d de recol de gru pe u hecr. I ces sue vrbl leore poe ve orce vlore dr-u ervl (,b) s pr urmre pre urmore clsfcre, geer de ur vlorlor regsre. DEFINITIE O vrbl leore se umese dscre (dscou) dc poe lu um vlor zole. Numrul vlorlor posble le ue vrble leore dscree poe f f su f. O vrbl leore se umese cou dc poe lu vlor cre umplu u ervl f su f. Evde, umrul vlorlor posble le ue vrble leore coue ese odeu f. h. Repr ue vrble leore dscree eru def o vrbl leore dscre ese sufce s se eumere oe vlorle posble pe cre ces le poe lu. Is, peru o cuose comple rebue eumere s probblle corespuzore fecre vlor regsre. Se umese repre ue vrble leore dscree eumerre vlorlor posble le vrble leore s probbllor corespuzore cesor. De obce repr ue vrble leore dscree se scre sub form uu blou 4

37 cre prm le coe oe vlorle posble, r dou le, probblle corespuzore : f x x... x : p p... p, su x f :,. p Td sem c r-u experme vrbl leore u s um u d vlorle sle posble, rezul c evemeele cre cosu cee c vrbl f vlorle x su x,, su x formez - dup cum se se u ssem comple de evemee. r urmre, sum probbllor cesor evemee ese egl cu ue : p + p p..3 Oper cu vrble leore dscree DEFINITIE uere de ordul vrble leore f ese vrbl leore f cu repr : f x : p x... x. p... p DEFINITIE Dc ese u umr rel, produsul dre s f ese vrbl leore f, cu repr : x x... x f :. p p... p Fe f s g dou vrble leore, vd respecv reprle: f x x... x : p p... p s y y... ym g :. q q... qm 43

38 Se cosder evemeul cre cos cee c f vlore x, s g vlore y, eveme o ( f x, g y ) evemeelor ( f x ) s ( y ) vlore x, respecv g vlore be deerm: m. ces s cre ese ersec g, cosd cee c f ( f x, g y ) p. um evemeele ( f x, g ) y y, re o probble,, m, umr de m, formez u ssem comple de evemee, uc : m p. DEFINITIE Vrbl leore f + g re repr: x + y p,, m. DEFINITIE Vrbl leore fg re repr: x y p,, m. Exs vreo legur re probblle p s, p,..., p q,q,..., q? Rspusul l ces rebre ese frmv, s legur dre cese probbl u ese odeu smpl. U cz cre ces legur ese fore smpl ese cel cre f s g su depedee. 44

39 DEFINITIE Vrblele f s g se umesc depedee probblsc dc peru orce s,, m, evemeele ( ) x urmre: dc f s ( ) y g su depedee. r ( f x, g y ) ( f x ) ( g y ), p p q. I mod log se po def sumele s produsele m mul de dou vrble leore, c s oue de depede uu umr orecre de vrble leore..4 Momeele ue vrble leore dscree Se cosder dou vrble leore f s g s se presupue c f poe lu vlorle vlorle,..., y x,..., x y. eru fecre pereche (, ) probble c f s vlore dc: ( f x,g y ) s, r g poe lu x y, fe p x s g s vlore y, p p, s,. DEFINITIE robblle p, s, cosue repr comu vrblelor leore f, g. DEFINITIE Vrblele leore f s g su depedee, dc peru orce, s s orce, re loc: ( f x,g y ) p( f x ) p( g y ) p. 45

40 Se cosder cum m mul de dou vrble leore. Fe f,..., f, vrble leore, ude vrbl leore f vlorle x,...,x,., s, DEFINITIE robblle :... ( f x, f x,..., f x ) p p,,, cosue repr comu vrblelor leore f,..., f. DEFINITIE Vrblele leore f,..., f su depedee, dc peru orce l s, l : l p ( f x, f x,..., f x ),,, ( f x ) p( f x )...p( f x ) p.,,, DEFINITIE Vrblele leore f, f,..., f,... su depedee, dc orce umr f de vrble leore d ces sr su depedee. Iroducem cum o crcersc umerc fore mpor, soc ue vrble leore. DEFINITIE Numrul M ( f ) s x p se umese vlore mede vrble leore f. EXEMLU I expermeul cu zrul : M ( f) Vom o u sr s sub form ( f ) 46

41 DEFINITIE Fe r u umr reg, r. Numrul M r ( f) s se umese mome de ordul r l vrble leore f. OBSERVTIE Momeul de ordul ese vlore mede. DEFINITIE Numrul D s ( f) M ( f M( f) ) ( x M( f) ) x r p se umese dspers vrble leore f. u uorul cesor ou roduse, se po demosr o sere de propre. RORIETTE Fe f o vrbl leore s r u umr reg, r. uc r r ( f) M( f ) M Demosre. Fe vrbl leore f cu repr p f x : p K K xs. ps uc vrbl leore r h f v ve evde repr : x h : p r K K r x s ; ps cu le cuve, vlorle x s s s dec r x u cees probble 47 p,

42 M s r ( h) x p M ( f). r ( ) D propree eror se deduce med: RORIETTE Fe f o vrbl leore cre poe lu o sgur vlore cu probble (dc f cos ). uc: r r ( f) M. RORIETTE 3 Fe f o vrbl leore s u umr rel. uc: r ( f) M ( f) M r r. Demosre. Fe vrbl leore f cu vlorle x,..., xs, vd probblle p,..., ps s fe h f. ces ou vrbl leore vlorle x,..., xs cu celes probbl p,..., p s s dec: M s s r r r r r ( h) x p x p M ( f). RORIETTE 4 Fe vrble leore f,..., f. uc vlore mede sume cesor vrble leore ese egl cu sum vlorlor med, dc: ( f... + f ) M( f ) +... M( ) M + +. f Demosre. Fe m um dou vrble leore f s g. Se presupue c vrbl leore f vlorle x,..., xs cu probblle p,...,, r vrbl leore g vlorle ps r ( ) y,..., y cu probblle q,..., q. De semee fe : 48

43 Fe ( f x,g y ) p p, s,. h f + g ; ces ou vrbl leore vlore x + y cu probble p, s,. r urmre : M ( h) ( x + y ) s p s p s + y p x. ( ) Sum p, ese sum probbllor uuror evemeelor de form ( f x,g ), ude dcele ese y cels peru o erme sume, r dcele vrz de l u erme l lul, prcurgd oe vlorle de l l. g peru dc dfer su Deorece evemeele ( ) compble dou ce dou, sum p y ese probble producer uu eveme orecre d cele evemee f x,g,. Dr, spue c s- produs u ( y ) eveme orecre d evemeele ( f x,g y ),, ese echvle cu spue c s- produs evemeul ( f x ). Ir-devr, dc s- produs uul d evemeele f x,g,, ese evde c s- produs s ( y ) evemeul ( f x ); recproc, dc s- produs evemeul ( f x ), uc ruc vrbl leore g epr u d vlorle sle posble y,..., y, rebue s se produc s u eveme orecre d evemeele ( f x,g ),. y sdr, p fd probble producer uu eveme orecre d evemeele ( f x,g y ) cu probble evemeulu ( f x ), dc,, ese egl 49

44 p p, s. I mod log se deduce: s p q,. Td sem de cese expres rel ( ), se obe : s M ( h) x p + y q M( f) M( g) + eru m mul de dou vrble leore, se procedez pr duce. Fe h f f s se presupue eorem devr peru. uc : M ( f... + f ) M( f ) +... M( ) +. + f plcd propree peru dou vrble leore, se obe : M ( h) M( ( f f ) + f ) M( f f ) + M( f ) M ( f ) M( ). ( ) f RORIETTE 5 Dspers ue vrble leore f ese d de rel : D ( f) M ( f) ( M( f) ). Demosre. D ( f) M ( f M( f) ) M ( f M( f) ) M f M( f) f + ( M( f) ) M f M( M f f) + M ( M( f) ) ( ) ( ) ( ), 50 ( ). ( )

45 dc se e sem de propree precede. M depre, plcd de dou or propree., se obe : D ( f) M( f ) M( f) M( f) + M( f) ( ) M ( f) ( M( f) ). ( ) RORIETTE 6 Fe f s g dou vrble leore depedee. uc vlore mede produsulu cesor vrble leore ese egl cu produsul vlorlor med, dc : ( fg) M( f) M( g) M. Demosre. Se presupue c vrbl leore f vlorle x,..., x s cu probblle p,..., ps, r vrbl leore g vlorle y,..., y cu probblle q,..., q. De semee : ( f x,g y ) p p, s, s cum f s g su vrble depedee: Fe p p q, s,. h fg ; ces ou vrbl leore vlore x y cu probble M p, s,. r urmre: ( h) s x y p s x p y q s x y M p q ( f) M( g) RORIETTE 7 Fe vrble leore f,..., f depedee dou ce ce dou. uc dspers sume cesor vrble leore ese egl cu sum dsperslor, dc:. 5

46 ( f... + f ) D ( f ) +... D ( f ) D + +. Demosre. D propree 6 se deduce D ( f f ) M ( f f ) ( M( f f ) ) M ( f f ) ( M f M ) ( ) ( ) ( f ) M f + f f,, ( M( f ) M( f ) M( f ) M ( f ) + M( f f ) ( ( f ) M( f ) M( f ), M., Dc se e sem de fpul c vrblele leore f,..., f su depedee, uc d propree 6 rezul c cele dou sume duble de m sus se reduc s dec : D ( f... + f ) M ( f ) M( f ) + ( ( ) ) ( ( f ) ( M( f ) ) D ( ) M. f RORIETTE 8 (Iegle lu ebsev) Fe f o vrbl leore s ε u umr pozv orecre. uc p D ( ( ) ) ( f) f M f ε <, ε su p D ( ( ) ) ( f) f M f < ε ε 5

47 Demosre. Fe f o vrbl leore cre vlorle x,..., x s cu probblle p,..., ps f ese : ( f) ( x M( f) ) s D p.. Dspers vrble leore Fe ε > 0 ese u umr orecre; dc d sum de m sus se elm o erme peru cre x M f < s rm um erme peru cre s se mcsoreze, dc x M f ( ) ε ( f) ( x M( f) ) D p. x M( f ) ε ( ) ε, sum poe um ces sum se v mcsor s m mul dc fecre erme l e vom locu fcorul ( M( f) ) ferorε : ( f) D ε p. x M( f ) ε x pr vlore Sum d pre drep reprez sum probbllor uuror celor vlor x le vrble leore f cre se b de l vlore mede M ( f) de o pre s de l cu m mul de ε ; coform propre de dve dou evemee compble, ces ese probble c vrbl leore f s u d cese vlor. u le cuve, ces sum ( ε) ese f M( f) p. dc : p D ( ( ) ) ( f) f M f ε <, ε 53

48 54 cee ce perme precere probbl berlor m mr dec u umr ε d de, cu cod um s fe cuoscu dspers ( ) f D. u uorul proprelor 7 s 8 se poe demosr urmorul rezul fore mpor, cuoscu sub umele de lege umerelor mr. RORIETTE 9 Fe,... f,..., f, f u sr de vrble leore depedee cre u cees repre s dec, cees vlore mede m s cees dsperse σ. uc, peru orce ε s δ rbrr, 0 > ε, 0 > δ, exs u umr url ( ) ε,δ 0 sfel c d ce ( ) ε,δ 0 >, re loc : ε <δ m f p. Demosre. D proprele s 4, se deduce: ( ) m m f M f M s dec, plcd propree 8, se obe: f D m f p ε ε <. Dr: ( ) f D f D σ σ σ, de ude rezul:

49 0 σ p f m ε <. ε Fd d ε > 0, δ > 0, se poe deerm u umr url ε,δ, cre depde de ε s δ, sfel c d ce ( ) ( ε,δ) >, s rezule : 0 r urmre : σ δ < ε ; p ε f m <δ. u le cuve, propree 9 r c dc vrblele leore f, f,..., f,... su depedee s dc u cees mede m s cees dsperse σ, uc peru u sufce de mre, expres f v dfer orc de pu de m cu o probble orc de prop de. Sudul depedee dou vrble leore se poe relz s pr ermedul coefceulu de corele. DEFINITIE Se umese corele dou vrble leore, med produsulu berlor cesor: cov ( X,Y) M[ ( X M( X) )( Y M( Y) )]. RORIETTE cov( X,Y) M( XY) M( X) M( Y). Drep 0 ( ε,δ) puem lu prmul umr url peru cre 55 σ >. ε δ

50 Demosre M X M X Y M Y M [( ( ))( ( ))] [ XY XM( Y) YM( X) M( X) M( Y) ] ( XY) M( XM( Y) ) M( YM( X) ) M( M( X) M( Y) ) M( XY) ( X) M( Y) M + M DEFINITIE Se umese coefce de corele: ( X,Y) ( X) D( Y) cov ρ ( X,Y). D TEOREM orel dou vrble leore depedee ese ul. Demosre Dc vrblele X, Y su depedee, uc s M X Y M Y su depedee. X ( ), respecv ( ) RORIETTI X,Y ) ( ) ρ ; ) ( X,Y) ρ dc s um dc re vrblele X s Y exs o rele de legur lr. X m Y m Demosre ) Fe U +, R. M( U) 0, σ σ R. lculd med vrble leore U, se obe : ( ) σ ( ) M U M ( X m ) X m Y m ( Y ) m M + + σ σ σ σ [( ) ] X m + M[ ( X m )( Y m )] + M ( Y m) σ σ σ [ ]. lculd dscrmul s mpud cod c ces s fe pozv, rezul propree d. ) Fe Y X + b,,b R, 0. 56

51 cov( X,X + b) D ( X) D ( ) ( X) ρ X,Y D ( X),dc[ > 0,dc[ < 0.5 Repr dscree clsce Repr boml B (,) : 0 q q K q K p 0 rmer cese su : M [ B(,) ] p, [ B(,) ] pq Repr osso 0 K K K. D. K. ( ), : e e e K e K!! rmer cese su : M [ (,) ], D [ (,) ]. Repr osso poe f scrs s form: ( ) ( p) p, e, ( p)!. Dsrbu hpergeomerc 0 K K 0 H (,) : b b b. K K + b + b + b 57

52 rmer cese su : [ H(,) ] p D [ H(,) ] N pq, + b N, p, q p N N Reved l clculul prmerlor reprlor, se obe : Repr boml Fe bomul : [ B(,) ] 0 58 M p q. M, 0 ( q + x) q + q x+ q x q x x ( ) Dervd dup x, rezul: q+ x q + x ( ) q x q x Imuld cu x, rezul: x q+ x q x+ q x q x ( ) x ( ) ( ) p eru x p q p p p+ 3 q M[ B(,) ] Dc dervm c o d( ) dup x, rezul: q + x q x q x.. [( q+ x) + x( )( q+ x) ] p q x[ q+ x + x q+ x ]. s muld cu x ( ) ( )( ) eru 0 x p p q p[ + ( ) p] p + p( p), de 3 0 p p+ q ude rezul c: D [ x] p + p( p) p pq Repr osso. ( ) e osderd dezvolre sere Tylor fuce f urul org rezul: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! / // f f 0 + f 0 + f f ( 0) +... e,!!! 0! [ ( ) ( 0) ] f. uc.

53 59 ( ) [ ] 0 e!, M e! ( ) e! ( ) e! 0 e! e e, dc ( ) [ ], M. eru deermre dsperse ese ecesr s se clculeze: ( ) [ ] 0 e!, M e! ( ) e! ( ) +! e ( ) + 0! e e 0 e 0!! e ( ) [ ] +, M ( ) [ ] +, D. r urmre, repr osso re ( ) [ ], M ( ) [ ], D. Repr hpergeomerc ( ) [ ] b b 0 b b, H M + b b ( ) + b b!!! b b + ( ) b 0 b b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! b! b!! b! b! b +. ( ) [ ] ( ) + + b b 0 b b!!!, H M + b b ( ) ( ) b b ( ) ( ) b 0 b b. ( ) 0 b ( ) b ( ) ( ) ( ) b!!! ( ) ( ) s b ( ) ( ) 0 s s b s ( ) b +

54 ! [ ( )] [ + + ( ) ( + b )! ( + b )! M H, b + b ] + b ( + b )! ( )!( + b )! +!( + b )! ( )( + b )! ( ) ( ) ( + b )! ( + b )!( )! + + b ( + b)( + b ) [ ( )] ( )( ) D H, + + b ( + b)( + b ) b( + b ) ( + b). ( + b) ( + b ) b [ ( )] ( + b ) ( ) ( ) + b b D H, pq, ude p, q. + b + b + b + b + b.6 Med, cule, mod, smere s exces DEFINITIE Fe X o vrbl leore cre re dese de f x. Se umese mod lu X s se oez cu repre ( ) Mo ( X) bscs puculu de mxm lu ( x) Dc ( x) f. f re u sgur mxm, uc X se umese umodl, r dc re m mule puce de mxm se v um plurmodl. f x e π x R, uc re u sgur mxm x 0 s dec Mo 0. EXEMLU Se poe observ usor c dc ( ) OBSERVTIE Ire vlore mede M ( X), med ( X) mod Mo ( X) exs s um rele lu erso: Mo M + 3 ( Me M) x, Me s DEFINITIE Rporul 3 σ M 3 µ 3 [( ( )) ] ( X) X M X µ ( X) dc exs, se umese smere repre lu X, su lu X. 60

55 DEFINITIE Expres 4 µ 4 [( X M( X) ) ] 3 3 E M σ µ dc exs se umese exces. 4 OBSERVTIE Mrmle su dcor umerc def m sus su ul geerl ssc peru sud dfere repr..7 Fuc de repre DEFINITIE eru orce vrbl leore X, de umese fuce de repre lu X fuc F def ( x) ( X < x). OBSERVTIE D defe, se observ, c dc X ese o vrbl leore dscre, uc F ( x) ese d de sum uuror probbllor vlorlor lu X sue l sg lu x. 0 3 EXEMLU Fe X :. uc, coform 0, 0,3 0,4 0, defe : F ( x) 0, dc[ x 0 0,, dc[ 0< x 0,+ 0,3, dc[< x. 0,+ 0,3+ 0,4, dc[ < x 3 0,+ 0,3+ 0,4+ 0,, dc[ x> 3 Expres p x F( x+ 0) F( x 0) F ( x) pucul x s se poe observ c: se umese sl l fuce 6

56 > 0, ] pucele de dscoue p x. 0, ] pucele de coue ROOZITIE Dc X ese o vrbl leore dscre s F ( x) fuc de repre cese, uc peru orce x < x dou umere de, re loc: ) ( x X < x) F( x) F( x) ) ( x < X < x) F( x) F( x) ( X x) 3) ( x < X x) F( x) F( x) + ( X x) ( X x) 4) ( x X x ) F( x ) F( x ) + ( X ). x { } { } { } Demosre. Fe ω X( ω) < x, X( ω) ω X( ) s D ω X( ω). B, { } ω x x B ω <, x B, B D. urmre proprelor probbl, se poe scre c: ) ( B ) ( B) ( ) F( x ) F( ), x ( B ) ( B) ( ) ( ) F( x) F( x) ( X x) ) ( ) 3) ( B D) ( ) ( B) ( ) ( ) + ( D) ( x ) F( x ) ( X x ) + ( X ) F, x dc ocm frmle d propoze. ROOZITIE Dc F ese fuc de repre vrble leore X, uc F( x) F( x ), ( ) x < x ( F ese edescrescore). Demosre. D propoz.: 0 x < X < x F x F x <, ( ) ( ) ( x), ( ) x dc F( x) F( x ), ( ) x < x.,.8 Fuc geerore de momee 6

57 DEFINITIE Dc exs, expres G e R X ( ) M( e ) x e f( x) x p, dc[ X v..d. X dx, dc[ X v..c. se umese geerore de momee soc vrble leore X. OBSERVTIE reczre,,dc exs se refer l coverge x sume e x su egrle e f( x) dx cd cese o cer. Se I presupue c ( ) G X s dervele sle de ord superor exs. I plus, se cos c: G X ( 0), ( 0) M( X) R G / // X, ( 0) M( X ) G, X ( ) ( ) G X OBSERVTIE Ulzre fuce geerore de momee ese recomd uc cd se po clcul m repede momeele dec pe cle drec. EXEMLU Fe G X, 0,, p> 0, q> 0, p + q. p q uc G ( ) e p q ( pe + q) X ( 0) ( p+ q) X 0 /. ( ) ( ) G X pe + q pe. 0 G / X ( 0) p..9 Fuc crcersc DEFINITIE Fd de vrblele leore X s Y, se umese vrbl leore complex Z X + Y, ude X se umese pre rel, r Y se umese pre mgr. Vlore M Z M X + M Y. mede lu Z ese, pr defe ( ) ( ) ( ) 63

58 Fe X o vrbl leore rel cu F ( x) fuce de reprue e X cosx + sx, R ese o vrbl leore complex, vd e X s dec, mrg. Vlore mede cese exs s ese o fuce ( ) ϕ, umm fuce crcersc vrble leore X. R, pe cre o DEFINITIE Numm fuce crcersc vrble leore X expres: ϕ X ( ) M( e ) e x p presupud c sum ese coverge. ϕ, R. ROOZITI ϕ ( 0 ), ( ) ROOZITI Dou fuc de repre F ( x) s ( x) dece dc s um dc fucle lor crcersce ( ) ϕ ( ) cocd. F su ϕ s ROOZITI 3 Fe X s Y dou vrble leore. Dc b Y X + b ϕ e ϕ., uc ( ) ( ) Demosre. Y Y Y X +b ( ) M( e ) M( e ) ϕ ( e ) e X M X e b b ϕ X( ). ROOZITI 4 Dc X s Y su vrble leore ϕ ϕ ϕ depedee, uc ( ) ( ) ( ) Demosre ( x+ y ) ( ) e ( X+ Y) ( ) M e X+ Y X Y. x ϕ π e p e q X+ Y ( ) ϕ ( ) ϕ. X Y y 64

59 ROOZITI 5 Dc momeul de ordul r ( r> 0 ) l ue vrble leore X exs, uc derv peru orce r s u loc relle : EXEMLUL ( r ) r r x r ϕ ( ) x e p M ( X) M( X ) X x ( ) M( e ) e p r ( r ) ( ) ϕ exs X ( r ) ( 0) ϕ X. r ϕ p q e ( q) pe +. Moe rso Mrselle-Frce 65