EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau

Transcript

1 EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x + x 3 = (x + x ) 3 3x x (x + x ) = S 3 SP x + x = (x + x ) x x = S S P + P RelŃii între coeficienńi şi rădăcini: x+ x = c x x = 3 DiscuŃi nturii şi semnul rãdãcinilor în funcńie de semnele lui = c, P = x x, S = x + x P S Ntur şi semnul rãdãcinilor < ± i Rãdãcini complexe: x =, = Rãdãcini rele şi egle x = x = P > 0 S > 0 Rãdãcini rele pozitive > 0 P > 0 S < 0 Rãdãcini rele negtive x x P < 0 S > 0 Rãdãcini rele şi de semne contrre; ce pozitivã este mi mre decât vlore solut celei negtivi P < 0 S < 0 Rãdãcini rele şi de semne contrre; ce negtivã este mi mre în vlore solutã Semnul funcńiei f:r R, f(x) = x + x + c,,,c R > 0: 0, x < x x - x x + f(x) semnul lui 0 semn contrr lui 0 semnul lui = 0 x - x = x + f(x) semnul lui 0 semnul lui < 0 x - + f(x) semnul lui

2 5 Grficul funcńiei f:r R, f(x) = x + x + c,,,c R este o prolã Acestã funcńie se pote scrie şi su form f ( x) = x+ +, numitã formã cnonicã Y > 0 > 0 A(x,0) B(x,0) C(0,c) C V, x x O A B x D Mximul su minimul funcńiei de grdul l doile Dcã > 0, funcńi f(x) = x + x + c re un minim egl cu relizezã pentru x = Dcã < 0, funcńi f(x) = x + x + c re un mxim egl cu relizezã pentru x =, minim ce se, mxim ce se 7 Intervle de monotonie pentru funcńi de grdul l doile Teoremã Fie funcńi de grdul l doile f(x) = x + x + c, 0 Dcã > 0, funcńi f este strict descrescãtore pe intervlul (, şi strict crescãtore pe intervlul, + ) Dcã < 0, funcńi f este strict crescãtore pe intervlul (, şi strict descrescãtore pe intervlul, + ) OservŃie: Intervlele (, şi, + ) se numesc intervle de monotonie le funcńiei f

3 3 Descompunere trinomului X + X + c,,,c R, 0, x şi x fiind rãdãcinile trinomului > 0, f(x) = (X x )(X x ); = 0, f(x) = (X x ) ; 3 < 0, f(x) este ireductiil pe R Scriere ecuńii de grdul l doile când se cunosc sum şi produsul rãdãcinilor ei: x Sx + P = 0, cu S = x + x şi P = x x Teoremã: EcuŃiile x + x + c = 0 şi x + x + c = 0,,,c,,,c R,, 0, u cel puńin o rãdãcinã comunã dcã şi numi dcã: (c c) ( )(c c) = 0 CondiŃii necesre şi suficiente pentru c numerele rele dte α şi β sã fie în numite relńii cu rãdãcinile x şi x le ecuńiei de grdul l doile f(x)=x + x + c,,c R, 0, respectiv, pentru c f(x) sã pãstreze un semn constnt x,x R Nrcrt RelŃii între x, x, α şi β CondiŃii necesre şi suficiente α < x < β < x su x < α < x <β α < x x < β 3 x < α < β < x f(α )f(β) < 0 = c = 0 f(α) > 0 3 f(β) > 0 α < 5 β > x < α < x f(α) < 0 5 α < x x f(α) > 0 = 0 6 x x < α f(α) < 0 f(β) < 0 cee ce trge dupã sine >0 3 α < = 0 f(α) > 0 3 < α 7 f(x) = 0, x R 0 > 0 8 f(x) 0, x R 0 < 0

4 Proleme propuse Să se clculeze +, ştiind că x şi x sunt soluńiile ecuńiei x x =0 x x Să se clculeze sum soluńiilor întregi le inecuńiei x 5x+5 3 Fie funcńi f :R R, f (x)=mx 8x 3, unde m este un număr rel nenul Să se determine m ştiind că vlore mximă funcńiei f este eglă cu 5 Fie funcńiile f,g:r R, f (x)=x x+ şi g(x)=x+ Să se clculeze coordontele punctelor de intersecńie le grficelor funcńiilor f şi g 5 Să se clculeze x +x +x x ştiind că x şi x sunt soluńiile ecuńiei x x =0 6 Se consideră funcńi f :R R, f (x)=mx mx+,m0r* Să se determine numărul rel nenul m ştiind că vlore minimă funcńiei este eglă cu 7 Să se determine m0r, ştiind că {x0r x (m+)x+m+=0}={} 8 Se consideră funcńi f :R R, f (x)=x 5 Să se clculeze f( 5)Af( )AAf(0)AAf()Af(5) 9 Se consideră funcńiile f,g:r R, f (x)=3x 3x+şi g(x)=x Să se determine soluńiile rele le ecuńiei f(x) = g(x) 0 Se consideră funcńi f :R R, f (x)=x x+30 Să se clculeze f(0)af()aaf(6) Fie funcńi f :R R, f (x)=x +5x+m+6 Să se determine vlorile numărului rel m ştiind că f (x) 0, pentru x0r Să se determine o ecuńie de grdul l II-le le cărei soluńii x şi x verifică simultn relńiile x +x = şi x x = 3 Se consideră funcńi f :R R, f (x)=x 3x+ Să se clculeze f(0)af()a Af(008) Să se determine o ecuńie de grdul l II-le le cărei soluńii x şi x verifică simultn relńiile x +x = şi x x = 3 5 Să se clculeze distnń dintre punctele de intersecńie le reprezentării grfice funcńiei f:r R,f(x)= x +x+8, cu x Ox 6 Fie funcńi f :R R, f (x)=x 8x+7 Să se clculeze distnń dintre punctele determinte de intersecńi grficului funcńiei f cu x Ox 7 Se consideră funcńi f :R R, f (x)=x 6x+5 Să se determine punctul de intersecńie l dreptei de ecuńie y = cu reprezentre grfică funcńiei f 8 Să se demonstreze că ecuńi x x++ =0 nu dmite soluńii rele, oricre r fi 0R* 9 Să se determine vlorile rele le lui m, ştiind că vlore minimă funcńiei f :R R, f (x)=x mx+m este eglă cu 0 Să se determine m0r, ştiind că soluńiile x,x le ecuńiei x (m+)x+3m=0 verifică relńi x +x +x x = Se consideră ecuńi x +3x 5=0 cu soluńiile x şi x Să se clculeze x + x Să se rte că (x )(x )>x 3, oricre r fi x0r

5 3 Se consideră ecuńi x +mx+=0 cu soluńiile x şi x Să se determine vlorile rele le lui m pentru cre (x +x ) x x =5 Să se determine funcńi de grdul l doile f :R R, f (x)=x (m+)x+3, m0r, l cărei grfic re scis vârfului eglă cu 7 5 Să se rezolve inecuńi(x ) 9 6 Să se demonstreze că prol socită funcńiei f :R R, f(x)=x mx+m + este sitută desupr xei Ox, oricre r fi m0r 7 Se consideră funcńi f :R R, f (x)=x +mx+ Să se determine numerele rele m pentru cre minimul funcńiei f este egl cu 8 Să se formeze o ecuńie de grdul l doile, ştiind că cest re soluńiile x = şi x = 3 x+ y = 0 9 Să se rezolve sistemul de ecuńii x x+ y= 0 30 Să se determine soluńiile rele le inecuńiei x Se consideră funcńi f :R R, f (x)=x +3 Să se rezolve inecuńi f(x) 3 Să se determine coordontele vârfului prolei socite funcńiei f:r R, f(x)=x +x 5 33 Se consideră ecuńi x x+m=0 cu soluńiile x şi x Să se determine numărul 3 rel m pentru cre + = x + x + 3 Se consideră funcńi f :R R, f (x)=x 3x+ Să se determine numerele rele m pentru cre punctul A(m, ) prńine grficului funcńiei f 35 Să se determine funcńi de grdul l II-le l cărei grfic conńine punctele A(;3), B(0;5) şi C( ;) 36 Să se determine vlorile rele le prmetrului m ştiind că soluńiile x şi x le ecuńiei x +(m )x+3=0 verifică eglitte x = 3x 37 Să se determine m0r* stfel încât grficul funcńiei f :R R, f (x)=mx x+ să conńină punctul A(,3) 38 Să se determine vlorile rele le lui m ştiind că soluńiile x şi x le ecuńiei x (m +3)x+3=0 verifică eglitte x +x +x x =7 39 Să se determine vlorile rele le prmetrului m stfel încât ecuńi x +mx+9=0 să dmită două soluńii egle 0 Să se rte că soluńiile x şi x le ecuńiei x x =0 verifică relńi x + x = x + x + Să se determine vlorile rele le numărului m ştiind că vlore minimă funcńiei f :R R, f (x)=x mx+3m este eglă cu Să se determine vlorile rele nenule le lui m pentru cre grficul funcńiei f:r R, f (x)=mx (m+)x+ este tngent xei Ox 3 Să se determine numerele rele m ştiind că vlore mximă funcńiei f:r R, f (x)= x +x m+3 este eglă cu 0 5

6 Să se determine vlorile rele le numărului m ştiind că soluńiile x şi x le ecuńiei x mx+m+=0 verifică eglitte x x =x +x 5 Ştiind că x şi x sunt soluńiile ecuńiei x 008x+=0, să se clculeze + x x 6 Să se determine vlorile rele le lui m, ştiind că soluńiile x şi x le ecuńiei x mx m 6=0 verifică relńi (x +x )+x x =0 7 Să se determine m rel stfel încât soluńiile x şi x le ecuńiei x +x+6m =0 să verifice relńi x +x =x x 8 Să se determine punctele de intersecńie le grficului funcńiei f :R R, f(x)=x cu xele de coordonte 9 Să se demonstreze că pentru orice m0r ecuńi x +mx m =0 re două soluńii rele distincte 50 Să se determine vlorile rele le lui x pentru cre x(x ) x+5 5 Să se determine vlorile rele le numărului m stfel încât reprezentre grfică funcńiei f :R R, f (x)=x (m )x m să fie tngentă l x Ox 5 Să se determine soluńiile rele le inecuńiei x 5x Se consideră funcńi f:r R, f(x)=x x+, unde 0R Să se determine stfel încât minimul funcńiei f să fie 5 Să se rte că soluńiile x şi x le ecuńiei x (m 3)x+m =0 verifică eglitte x +x x x =, m0r 55 Se consideră funcńi f :R R, f (x)=x x+ Să se rte că vârful prolei socite funcńiei re cooordontele egle 56 Să se rte că mulńime {x0r x (m+)x+m +m=0} re două elemente, oricre r fi m0r 57 Să se formeze o ecuńie de grdul l doile, le cărei soluńii verifică relńiile x+ y= xy= 30 y= x 58 Să se rezolve sistemul y = x 3x Să se rte că, oricre r fi m0r, prol socită funcńiei f:r R, f(x)=x mx+m + este sitută desupr xei Ox 60 Să se determine vlore prmetrului rel m, ştiind că soluńiile x şi x le ecuńiei x (m )x m=0 verifică relńi x +x =(x x +) x+ y= 3 6 Să se rezolve sistemul x + x= y 6 Să se rezolve în mulńime numerelor rele inecuńi (x )(x+) x+ 63 Se consideră funcńi f:r R, f(x)= x +x+6 Să se rte că f (x) f (), oricre r fi x0r 6 EcuŃi x +px p=0, cu p0r, re soluńiile x şi x Să se verifice dcă expresi x +x x x este constntă 6

7 65 Fie funcńi f :R R, f (x)=x (m+)x+m, cu m0r Să se rte că soluńiile x şi x le ecuńiei f (x)= 0 verifică relńi x +x x x = 66 Să se demonstreze că prol socită funcńiei f:r R, f(x)=x x+ este tngentă xei Ox x+ y= 6 67 Să se rezolve sistemul de ecuńii xy= 8 x+ y= 5 68 Să se rezolve sistemul de ecuńii xy= 6 69 Se consideră ecuńi de grdul l doile x x+m=0 Să se determine m0r stfel încât ecuńi să dmită soluńii de semne contrre 70 Să se rte că vârful prolei socite funcńiei f:r R, f(x)=x x 3 se flă pe drept de ecuńie 3x+y+=0 7 Să se rezolve inecuńi (x )(x+) 0 7 Să se rte că produsul soluńiilor ecuńiei mx 008x m=0 este constnt, oricre r fi m0r* 73 Se consideră funcńiile f,g:r R, f(x)=x x+, g(x)=x Să se rezolve ecuńi f(x)+g(x)= 7 Se consideră funcńi f:r R, f(x)=x 3x+ Să se clculeze produsul f( )Af( )Af(0)Af()Af() 75 Se consideră funcńi f:r R, f(x)=x +mx+ Să se determine numărul rel m stfel încât minimul funcńiei să fie egl cu 76 Se consideră funcńi f:r R, f(x)=x x+3 Să se demonstreze că f (x), oricre r fi numărul rel x 77 Să se determine numărul rel m stfel încât soluńiile ecuńiei x mx =0 să fie numere rele opuse 78 Să se determine prmetrul rel m stfel încât soluńiile ecuńiei x 3x+m=0 să fie inverse un ltei 79 Să se determine m0r* stfel încât soluńiile ecuńiei x 3x+m=0 să iă semne opuse 80 Să se determine coordontele vârfului prolei socite funcńiei f:r R, f(x)=x x+9 7