Metode numerice pentru probleme Cauchy 1. Ecuaţii diferenţiale. Probleme Cauchy

Transcript

1 Meode numerce enru robleme Cuc. Ecuţ derenţle. Probleme Cuc.. Meode uns..4. Meode de Runge u connure) Consderăm roblem Cuc: ' ) ) ş reţeu de unce: ) b.....8) În generl o meodă de Runge u în r sd ese o meodă uns de orm:.

2 . )....4) unde ) r s s s c.4b) r s s j j sj s s... ) ) ) µ.4c) Se observă că enru clculul lu s cem el l... s dec meod descrsă m sus ese o meodă exlcă. Penru ăsr ordnul de roxmre derve l ) O se mun condţle:

3 µ r s s c s s j Penru meodele cu 4 sj s... r.5) r se oe ră că u ordnul de exce r ) O. În generl une meode Runge-u cu r sd se socză o un bel num belă Bucer cre se oe scre mrcl: µ A T c µ µ M µ r M r M r L L L L r r M rr c c L c r.

4 4 Prnre cele m oulre meode de Runge-u mnm meod lu u vând ordnul de exce cre re bel Bucer: ) 4 6 ) ) r dnre cele cu 4 sd mnm:

5 5 ) Meod Runge-u sndrd : ) 4 6 ) 4 ) 6 6

6 6 )Meod Runge-u-Gll : ) ) ) 4 6 ) 4 ) ) 6 ) 6 ) 6 6

7 7 )Meod u de re om : ) 4 8 ) 4 )

8 Exemlul : Rezolvţ roblem nţlă cre re soluţ excă ' ) ). Alcăm în connure meod Runge-u sndrd. Progrmul mlb ese: %exemlu Runge u sndrd ;b; %ceele nervlulu N6; %sul reele b-)/n-); %numrul de nodur zerosn);%nlzm vecorul solue enru Euler modc ezerosn); %solu' exc _ezerosn);%nlzm vecorul solue enru Euler )-; e)-; _e-; %cond nl ::b; %s de m 8

9 or :N _e)e-)*ex-)-)); Ex-)-)); Ex-).5*-).5**); Ex-).5*-).5**); 4Ex-)-)*); )-)/6***4); end e)-/); lo::b'.') %rerezenm grc solu numerc old on lo::be'b') lo::b_e'r') unde m olos uncţ Ex.m dă m jos uncon rezex) rez/^)-/-^; 9

10 Fgur. Soluţ excă ş soluţle numerce obţnue olosnd meod lu Euler ş meod Runge-u sndrd

11 Nodul exc) R R Tbel 4. Comrţe înre soluţ nlcă ) ş vlorle obţnue rn meod Runge-u sndrd R )

12 I..5. Sble meodelor uns Fe o reţe grlă) de unce unormă su neunormă e nervlul [ b] dă de nodurle { } sel încâ r ş grle vor < < <... < < b.7)... su b ) / ).8) grlă neunormă) grlă unormă) Vom sune că grl ese de neţe mx.9)

13 Sunem că o uncţe cu vlor vecorle denă e grl.7) v { v } d v R se numeşe uncţe grlă. Vom no mulţme uncţlor grlă cu dene e nervlul [ b] cu [ b] Γ unde rn noăm colecţ de lungm { }. Denm în connure norm une uncţ grlă rn: v mx v v Γ[ b].4) Consderăm roblem Cuc ş o meodă numercă cu un sngur s ' ) ) b R ) şă cese robleme d ).4b)

14 Se observă că meod numercă roduce o uncţe grlă { } sel încâ unde { } ese grl ndusă de soluţ excă robleme.4). Inroducem în connure oeror rezdul R den e C [ b] ş R den e [ b] Γ : Rv) ) : v' ) v ) ).4) Rv) : v v) v )....4) unde v { v } Γ [ b] r enru den oerorul d de.4) în consderăm R v) Rv). Folosnd oeror denţ m sus uem scre roblem cu vlor nţle.4) ş meod numercă şă.4b) sel: 4

15 e [ b] ).44) R e [ b].45) R Se observă că erore loclă de runcere.6) în uncul )) se oe exrm cu juorul oerorulu rezdul.4) lc soluţe exce R ) : ) )) ) ) T ) ).46) Sble ese o roree sceme numerce.4b) ş nu re legăură cu uere de roxmre meode. E se reeră l robuseţe sceme în ror cu erurbţle mc. Sble îmreună cu 5

16 conssenţ conduc l convergenţ soluţe numerce căre soluţ devără. Penru den sble cu juorul oerorlor rezdul resuunem d d că ) :[ b] R [ ] R unde 6. Denţ 8: Meod.4b) se numeşe sblă e [ b] dcă exsă > consnă) ce nu dende de sel încâ enru o grlă rbrră e [ b] ş enru două uncţ grlă rbrre v w Γ [ b] de sble v > v w R v R w ) v w [ b] re loc negle w Γ.47) enru orce cu sucen de mcă.

17 Presuunem că vem două uncţ grlă ş w ce ssc R.48) R w ε η.49) w unde ε { ε } Γ [ b] ese o uncţe grlă cu ε ş η mc. Prn nloge cu.45) uem sune că Γ [ b] ese rezulul lcăr sceme numerce.4b) cu o recze nnă r w Γ [ b] rereznă rezulul lcăr sceme numerce.4b) în cre s-u srecur unele eror de exemlu eror de rounjre dore screr în vrgulă lonă. Aunc meod numercă ese sblă dcă: 7

18 ε ) w.5) η dcă scmbre loclă în ese de celş ordn de mărme c ş erore rezdulă loclă { ε } ş erore nţlă η. Lem 4: Fe { e n } o secvenţă de numere e n R ce ssce negle unde b R. Aunc n > n en nen bn n....5) n n n en En E n e l b n... l.5) 8

19 Demonsrţe: Dcă cem convenţ că un rodus vd re vlore ş că o sumă vdă re vlore se ră rn nducţe memcă că E e En n En bn n....5) Scăzând ecuţ.5) dn ecuţ.5) vem Deorece E e n En n en En) n....54) e ş vem e E r rn nducţe ţnând con > că > se oe ră că E n e. n n 9

20 Teorem 5: Dcă ) ssce o condţe Lscz în ror cu vrbl ) * ) M * e [ b] R d [ ].55) unc meod.4b) ese sblă. Demonsrţe: Fe { } o grlă rbrră e [ b] ş v w Γ [ b] două uncţ grlă cu vlor vecorle rbrre. Dn.4) uem scre v w v w r rn scădere obţnem: v ) Rv)... w ) R w)...

21 v w v w [ v ) w ) ] R v) R w) [ ]....56) Dcă lcăm norm ecuţe.56) ş olosm negle rungulu obţnem: v w v w v ) w ) R v) R w)... Noând e v w d Rv) Rw) δ d ş olosnd.55) vem: e M) δ....57) Se observă că negle.57) ese de negle.5) cu M ş δ d. Deorece... unde vem: ese surunr ş ozv enru

22 ) ) )M b M l M l l l l l l e e e M l... unde enru dou negle m olos x x e. Conorm Leme 4 uem scre: ) ) ) ) )... b e e e e e e M b M b M b δ δ Aşdr ) ) w M b R v R b w v e w v e ) ş m obţnu sel ecuţ.47) cu ) { } b e M b mx.

23 Puem să cem observţ că meodele cu un s ssc o condţe Lscz dcă ssce o sel de condţe r consn M enru se oe deermn cunoscând consn L enru. I..6. Convergenţ meodelor uns Denţ 9: Fe < < <... < < b o grlă e [ b] cu lungme grle mx ). Fe { } o uncţe grlă obţnuă rn lcre meode numerce.4b) r { } grl ndusă de soluţ excă

24 robleme cu vlor nţle.4). Meod numercă.4b) ese convergenă e [ b] dcă re loc: când.58) Teorem 6: Dcă meod.4b) ese conssenă ş sblă e [ b] unc e converge. M mul dcă ese de ordnul unc O ) când.59) Demonsrţe: Dcă meod ese sblă unc enru sucen de mc re loc negle.47) enru grlele ) R R ) v ş w : 4

25 Deorece ) ş deorece soluţ nlcă vercă ecuţ.44) unc vem: R.6) Având în vedere legăur înre oerorul rezdul ş erore de runcere dă de ecuţ.46) obţnem: R T ).6) Conorm oeze meod ese conssenă dcă T ) când.6) ş unc dn.6) ş.6) obţnem: când 5.

26 M mul o meodă re ordnul dcă ) ) O T dec vem conorm ecuţe.6) când O ) când I..7. Asmoc eror globle Consderăm roblem Cuc ş o meodă numercă cu un sngur s şă cese robleme ' ) ) b R ) d 6 ).4b)

27 ş dorm să evluăm comormenul smoc l vlor unde { } când ese grl rodusă de soluţ numercă r { } ese grl ndusă de soluţ excă robleme.4). Consderăm enru smlcre că grl olosă c ese de lungme consnă. n n Remnm că o uncţe τ :[ b] R R cre ssce τ ) ş T ) τ ) O ).9) se numeşe uncţe de erore rnclă. 7

28 Teorem 7: Presuunem: ) ) ) C [ b] R d [ ] ) ese o meodă de ordn ce dme o uncţe de erore rnclă τ ) d C [ b] R ) ) e ) ese soluţ robleme Cuc de d e ) )) e ) τ ) b.6) Aunc enru... vem e ) O ) su e O ). când.64) 8

29 9 Demonsrţe: Esmăm derenţ ) ) ).65) Dezvolăm în sere Tlor enru comonen j ş ne orm l dervele secunde: ) ) ) ) ) ) [ ] ) ) [ ] ) [ ] l l d l l j d j j j.66) unde ese e segmenul ce uneşe ş ). Ulzăm dezvolre lu Tlor dn nou în vrbl :

30 ) ) ) ) ) ) j j j.67) unde < <. Conorm conssenţe vem ) ) e [ ] d b R ş unc ) ) [ ] d j j b x R.68) ş unc conorm condţe ) uem scre: ) ) ) ) ) O j j.69) Deorece ese o meodă de ordn unc ) ) O. Aunc conorm Teoreme 6 condţe ) ş ecuţlor.69) ş.66) vem:

31 ) ) ) ) ) ) ) [ ] ) ) ) ) [ ] ) ) ) ) ) [ ] ) d j d j d j j j O O O O O.7) unde m olos ul că ) O ese de ordnul ) O deorece. Relţ.7) scrsă în ormă vecorlă ese: ) ) ) ) ) ) ) ) O.7) unde rn m no Jcobnul lu în ror cu vrbl.

32 Penru une în evdenţă ermenul domnn în erore globlă nroducem uncţ grlă { } r r unde ) r.7) Avem ) ) ) ) ) [ ] ) ) ) ) ) ) ) ) r r unde m exrm dn meod numercă.4b). Ţnând în connure con de legăur dnre oeror rezdul s erore de runcere loclă

33 ) ) ) ) ) ) ) ) T R : obţnem ) ) ) ) ) ) [ ] { } T r r.7) Având în vedere legăur dnre erore loclă de runcere ş uncţ de erore rnclă dă de ) ) ) O T τ ecuţ.7) devne ) ) ) ) ) ) ) [ ] O r r τ.74) ş olosnd.7) ş.7) obţnem

34 r r r ) )) r τ )) O )....75) Noând ) ) ) τ ) ) se observă că.75) ese de g meod exlcă lu Euler enru roblem cu vlor nţle de d e) e ) g cre se oe scre în ermen oerorulu rezdul sel Euler g R r) ε... ε O ) 4

35 Având în vedere că meod lu Euler ese o meodă sblă e [ b] re loc.47)) ş că g nd lnră în dou vrblă ssce o condţe Lscz unormă unc r e O ) ş ţnând con de.7) se obţne dcă cee ce rebu demonsr. ) e O I..8. Esmre eror globle Penru monorz erorle globle conorm eoreme recedene rebue să evluăm Jcobnul ) ş să esmăm uncţ de erore rnclă. Enunţăm urmăore eoremă: 5

36 Teorem 8: Presuunem: ) ) ) C [ b] R d [ ] ) ese o meodă de ordn ce dme o uncţe de erore rnclă τ ) d C [ b] R ) ) exsă o esmţe r ) enru uncţ de erore rnclă sel încâ: unorm e [ b] R r ) τ ) O ).76) d v) e uncţ grlă { } ş o nouă uncţe grlă v { v } generă sel: 6

37 v v ) v ) v r ) [ ] v.77) Aunc enru orce... ) v O când.78) Demonsrţe: Deorece meod numercă ese conssenă dcă ) ) d ) conorm condţe ) vem că ) C [ b] R. Aunc conorm Teoreme 7 vem ) O ) su ) ) ) O ). 7

38 Ţnând con că obţnem: ) )) O ).79) Conorm oeze ) ) d C [ b] R ) Tlor vem: τ ş unc dezvolând în sere ) τ )) τ )[ )] τ ) ) O ) τ ş unc conorm oeze ) obţnem: r ) τ ) O ) τ ) ) O ) O ) r dcă ) τ )) O ).8) 8

39 Fe ) ) τ ) ) g ) Aunc.77c) re orm: unde v [ A v b].8) v A sun mrce mărgne ş b sun vecor mărgnţ. Conorm relţe.57) vem că v ese mărgn dcă v O ).8) Folosnd.79) ş.8) în.77c) ş ţnând con de.8)vem: v v [ )) v )) O ) ] v g v ) O ) τ 9

40 Se observă că relţ de m sus deneşe meod exlcă lu Euler scrsă olosnd oerorul rezdul sel: Euler g R ) O ) v 4 Deorece meod lu Euler ese sblă vem v e ) O ) unde e ) ese soluţ ecuţe de d Aunc conorm relţe.64) su e) e ). g e ) O ) v O ) ) O ) când ) v O când

41 4 I..9. Exrolre Rcrdson l zero Se observă că enru lc eorem neroră vem nevoe de o esmre ) r uncţe de erore rnclă ) τ cu o recze ) O. Fe o meodă numercă cu un s de ordn. Consderăm relţle: ) ) ) * / / * / r.8)

42 4 Se observă că * se obţne în urm lcăr meode enru do ş consecuv de mărme / r se obţne duă o sngură lcre meode enru sul. Vercăm în connure dcă ) r d de.8) ese o esmţe bună lu ) τ. Conorm denţlor.6) ş.9) vem: ) ) ) [ ] ) ) O τ.84) Folosnd relţle.8) obţnem ) ) ) ) / / / *

43 4 ş o exrmăm ermen dn membrul dre olosnd.84): ) ) ) [ ] ) ) ) ) ) ) ) / ) ) / ) ) * O O O O O τ τ τ τ unde ) O τ oe dezvol în sere Tlor ) ) ) O O τ τ. Aşdr vem: ) ) ) * O τ.85)

44 44 Dcă scădem.85) dn.84) unc obţnem ) ) noe * ) *.86) cre deneşe o nouă meodă cu un s de ordnul. Se observă că rocedur.8) necesă mulle evluăr le uncţe cee ce o ce c meod să e cossore. De obce e se lcă l ecre do ş lu dcă vem rocedur ) ) ) *.87) r.85) devne ) ) ) ) * O τ.88)

45 I... Meode mbrce scuunde) * * Consderăm o meodă de ordn ş o meodă de ordn dcă ) [ ) ) ] τ ) O ).89) * ) [ ) ) ] O ).9) Scăzând ecuţle.89) ş.9) ş îmărţnd rezulul cu obţnem esmorul: r [ ] * ) ) ).9) 45

46 Urmăm în connure dee lu Felberg cre scuund o meodă de Runge-u de ordnul înr-o meodă de ordnul. Consderăm o meodă exlcă cu r sd s ) ) ) ) µ Penru * se lege o meodă cu * r sd * s s * sj s sj r s s j c s sj s j s... r r * > r sel încâ µ µ enru s... r.9) Aunc m vem de ăcu * evluăr sulmenre le uncţe. r r 46

47 Asel de erec de ormule Runge-u mbrce u os obţnue de Felberg l srşul nlor 96. Exemle de rmer ormulelor mbrce sun dţ în belul urmăor: r * r Tbel 5. Formule Runge-u mbrce 47

48 Meodelor mbrce l se şeză o o belă Bucer modcă de orm: µ A Cel m smlu exemlu de meodă mbrcă ese meod lu Euler mbrcă în meod lu Heun. Tbel e Bucer ese: T c T c / / 48