Elementul de întârziere de ordinul doi, T 2

Transcript

1 5..04 u Fig Elemeul de îârziere de ordiul doi, Elemeul de îârziere de ordiul doi coţie douǎ elemee cumulore de eergie su subsţǎ. Peru elemeul de ordi doi ecuţi difereţilǎ se oe scrie î mi mule forme, c de exemlu () () ()+ ()+ 0 () b0u(), 0, > 0,b0, b0, + k (.565) 0 () () ()+( + ) ()+ () k u () (.567) () +, () ()+ ()+ () k u(). (.569), su cosele de im, k ese fcorul de mlificre, ω - ulsţi urlǎ, ξ - fcorul de morizre. Fucţi de rsfer elemeului ese H(s) k s +( + ) s+ k s + s+. (.570) Ecui crcerisic si rǎdǎciile ei su:

2 5..04 s + s+ 0 ; s +(+ s, (- - ) su s, -, ) s+0 (.57) Î fucţie de vlore fcorului de morizre ξ se disig ru czuri ) elemeul eriodic: ξ >. - ; s -, > >0. s h( ) L H ( s) L s k e e h(0 ) 0; h () ( ) k (0) k ( 3 ) s k ; lim h() 0. Rǎsusul l imuls re exresi (.574) Rǎsusul l imuls ese rereze î fig..85. h() h() Fig..85 Rǎsusul idicil se obţie cu relţi (.575) si ese rereze grfic i fig..85

3 5..04 w() L - H(s) L s - k - - k s s +( + )s + - e e () (.575) ) elemeul eriodic criic: ξ. s - -, s h() L w( 0 ) 0,w - + { H(s) } L w() L >0. ( h(0 ) 0, h - k + () (0 ) 0 ; lim w() k. - + () k s+ ) k (0+ ) H(s) L s k e. e - (). () k s ( s+ ) - () w( 0+ )0,w (0+ )0 ; lim w() k. 3) Elemeul oscil: 0 < ξ <. s, - j -. h() L k - k - w() L { H(s) } L - - { e H(s) s - } L - - e si - - si s ( s k s + s+ - (). k + s+ ) - + rcg - (). Pucele de exrem reliv le fucţiei (.584) u bscisele si ordoele: 3

4 5..04 Fig..86 l,l 0,,,... - l - + l k e w( l ) - - l k e,l,3,5,...,l 0,,4..587) Vlore mximǎ rǎsusului se obţie eru l w( ) k +e - wm mx - - s e mx - - s Deorece î regim sţior w() () s k, se deermiǎ surreglre rǎsusului idicil, coform relţiei (.456) - mx s - e (.589) - s Se defieşe decremeul oscilţiilor λ c fiid rorul mliudiilor douǎ ulsuri de ceişi sem le regimului rzioriu. w ( ) l+ - e -, l. (.590) w ( ) l- Di relţi (.590) se oe deermi fcorul de morizre ξ l 4 + l Se u i evide douǎ regimuri limiǎ: (.59) 4

5 5..04 eru ξ 0, λ, oscilţiile u se morizezǎ şi di (.584) rezulǎ u regim oscil w() k ( - ), 0 cos (.59) - eru ξ, se obţie regimul eriodic criic: w() d de (.578) Dur regimului rzioriu, coform relţiilor (.458) - (.46), eru o bere Δ 0.0k 0.0w, rezulǎ cǎ ese dǎ de relţi 4 4 ; w()- w() <0,0k,( ). 4) Elemeul coserviv, ξ 0. (.593) Peru ξ 0 rǎdǎciile ecuţiei crcerisice su ur imgire s j. (.594), Rǎsusul l imuls se obţie di (.580) eru ξ 0 h() k si ( ) () (.595) Rǎsusul idicil ese d de ecuţi (.59). Fucţiile h() şi w() eru ξ 0 su oscilţii emorize, cu ulsţi eglǎ cu ulsţi urlǎ ω. Peru 0 ξ < elemeul u mi oe fi descomus î elemee de ordiul uu ( ) coiuid el îsuşi u eleme i. Î fig..88.,b. se reziǎ rǎsusul l imuls h() reseciv rǎsusul idicil w() le elemeului eru ξ ε [0,]. Rǎsusul l frecveţǎ l elemeului se obţie îlocuid s jω î fucţi de rsfer. k k H(j ) ; - + j - + j Exresiile eru crcerisicile de frecveţǎ su: (.596) 5

6 5..04 H H k ( - ) k (- ) R( ) ( - ) + 4 (- ) k - k ) ( - ) + 4 (- ) + 4 I ( (.598) (.599) M( ) k ( - ) + 4 k (- ) + 4 (.600) ( ) - rcg - rcg - - (.60) Crcerisic H R (ω) rezeǎ î fig..89, dmie u mxim, eru ξ < /, de coordoe k - ; H R ( ) mx 4 - (.60) ir eru orice ξ 0 dmie u miim de coordoe k + ; H R ( ) - mi 4 + (.603) Crcerisic H I (ω) rezeǎ î fig..89 ese egivǎ şi re u miim de bscisǎ , < 3 < (.604) 3 Fig..89 6

7 5..04 Crcerisic M(ω), fig..90, eru ξ < /, re u mxim, de coordoe (r,mr), cre evideiz u feome de rezo k r - ; M mx ( ) M r M( r ) - (.605) Pulsţi de rezoţǎ rezulǎ di relţi (.605) r r - < Se defieşe fcorul de rezoţǎ Q, Fig..90 M( r ) M mx ( ) Q M(0) M(0) - (.607) Crcerisicile M(ω) şi φ(ω) su rezee î fig..90. Peru locul de rsfer l elemeului se uilizezǎ o rerezere grficǎ dimesiolǎ, fig..9; eru k si diferie vlori le fcorului de morizre ξ, eru ulsţi ormǎ η (0, + ) se rsezǎ Fig..9 7

8 5..04 Crcerisic eure-frecveţǎ ese dǎ de relţi AdB( ) 0 lg M( ) 0 lg 0 lg k - 0 lg (- ) + 4 (.608) k (-) + 4 Crcerisic re simoele, ele AdB( AdB( ) 0 lg k ) 0 lg k eru» - 0 lg 0 lg k - 40 lg - 40 lg m 0 0 db/dec; m m 0-40 db/dec - 40 db/dec Pulsţi de frâgere, eru cre cele douǎ simoe se iersecezǎ ese f, Asimoele crcerisicii fzǎ - frecveţǎ se obţi di relţi (.60) ( ) 0 eru» ; ( ) - eru «(.6) L ulsţi de frâgere η, fz re vlore - π/. - π/. - π/. Fig..9 - π 8

9 5..04 Exemle de elemee :. Moorul de cure coiuu. Ecuţiile de fuciore moorului su d i u - k R i + L d (.56) d mm k i J. d Elimiâd cureul i di ecuţiile (.66) şi oâd () ω() şi u() u se obţie ecuţi L J k () R J ()+ k () ()+ k Se iroduc oţiile () u() m () ()+ R L () k k () k ()+ u() L J L J JR L kk ; ; ; k k R L J m R J ; k k k L k m (.68) (.69) ude m ese cos de im elecromecicǎ moorului; ese cos de im circuiului rooric. Ecuţi (.68) devie () ()+ () ()+ () k u() (.60) Peru ξ, m 4, rǎdǎciile ecuţiei crcerisice le ecuţiei (.60) su rele egive, deci moorul de cure coiuu ese u eleme eriodic; eru ξ <, m < 4, moorul de cure coiuu ese u eleme oscil. 3) Fie sisemul hidrulic reze î fig..93 form di douǎ rezervore lege î serie rir-o reziseţǎ hidrulicǎ. Se resuue cǎ ri robieele V 0, V, V curgere ese lmirǎ, ir reziseţele hidrulice le cesor robiee su R 0, R, R. 9

10 5..04 Fig..93 Ecuţiile de echilibru de msǎ eru cele douǎ rezervore su A d h( q - q ) d gh gh q ; q3 A d h ( q - q ) d R R 3 (.6) Elimiâd vribilele iermedire se obţie ecuţi geerlǎ smblului celor rezervore vâd c mǎrime de ieşire ivelul h (), deci () h () şi c mǎrime de irre debiul q ; deci u() q (). R g A R g A ()+ R g A + R g A () () () () ()+( + ) ()+ () k ()+ () R u(). g u() (.63) (.65) A R A R >0 >0 ; R ; k >0 g g g Rǎdǎciile ecuţiei crcerisice socie ecuţiei (.65) su rele, disice, egive şi, deci, smblul celor douǎ rezervore se comorǎ c u eleme eriodic. 0

11 Elemeul rece-o Ese u eleme descris de o ecuţie difereţilǎ de form () ()+ () - u () ()+ u() (.654) reseciv de fucţi de rsfer H(s) - s+ s+ Rǎsusurile l imuls si idicil su - - h() L { H(s)} L - + s + - -()+ e (),h(0+ ),h(+ ) 0 (.655) (.656) - H(s) - w() - - L L - e s s s + w( 0 ) -,w(+ ). + (), (.657) Acese rǎsusuri su rerezee grfic î fig..0. Fig..0 Peru s jω di (.655) se obţie rǎsusul l frecveţǎ - j j - - j H(j ), j (.658)

12 5..04 Crcerisicile de frecveţǎ u exresiile - - H R( ) ; I ( ) H + + (.659) M( ); ( ) - rcg - rcg. - - Dcǎ se elimiǎ η îre H R (ω) şi H I (ω) di (.659) se obţie ecuţi locului de rsfer H R ( )+ H ( ) I η ω (.66) cre ese u cerc cu cerul î origie lului H R (ω), jh I (ω) şi de rzǎ uirǎ, fig..0. Elemeul rece-o ermie recere uiformǎ uuror frecveţelor cu iroducere uor defzje fucţie de frecveţǎ. Di ces moiv se mi umeşe şi eleme defzor ur. Fig..0 Exemle de siseme fizice cre se comorǎ c u eleme rece- o. ) Se cosiderǎ u ermomeru cu mercur. L o creşere bruscǎ emerurii mediului exerior (cre cosiuie mǎrime de irre), re loc mi îâi dilre ubului de siclǎ, cee ce roduce iiţil o scǎdere ivelului mercurului. Aoi e mǎsurǎ ce mercurul se îcǎlzeşe, ivelul cesui creşe, urmǎrid creşere emerurii.

13 Elemee de fzǎ miimǎ şi emiimǎ Se ue îrebre î ce codiţii îre M(ω) şi φ(ω) exisǎ o relţie bie deermiǎ, sfel c sisemul sǎ oǎ fi crceriz umi de u di cese douǎ crcerisici de frecveţǎ. Fie rǎsusul l frecveţǎ uui sisem dimic H(j ) H ( )+ j H ( ). (.66) R I Dcǎ H(s) ese o fucţie de rsfer cre re oli şi zerouri umi î Re s < 0, uci su verifice rsformele Hilber H I ( ) - - H R( ) - H R( ) d - rsformre direc - H I ( ) d - rsformre ivers - (.663) î cre ω ese ulsţi î [rd/s] Di exresi rǎsusului l frecveţǎ, scrisǎ sub form olrǎ rezulǎ j ( ) H(j ) M( )e (.664) j ( ) H l(j ) l H(j ) l M( )e l M( )+ j ( ) A( )+ j ( ); A( ) l M( ) (.665) A(ω) se umeşe eure. H l (s) coresude fucţiei de rsfer Q(s) H l(s) l H(s) l l Q(s)- l P(s) (.666) P(s) Zerourile oliomelor Q(s) şi P(s) su sigulriǎţi eru fucţi H l (s). Acesǎ fucţie ese olomorfǎ dc cese rǎdcii se fl î Re s<0. 3

14 5..04 Peru sisemele liire cre sisfc rsformre (.667), deci cre u fucţii de rsfer cu zerouri şi oli umi î Re s < 0, H l (s) sisfce relţiile rsformei Hilber (.663) cre devi ( ) - - A( ) ( ) d ; A( ) (.668) Relţiile (.668) se umesc codiţiile lui Bode şi sisfc o legǎurǎ biuivocǎ îre A(ω) şi φ(ω) eru o umiǎ clsǎ de siseme umie siseme de fzǎ miim. Defiiie. Sisemele moovribile le cǎror fucţii de rsfer u oli şi zerouri umi î Re s < 0 se umesc siseme de fzǎ miimǎ. Sisemele moovribile le cǎror fucţii de rsfer u oli umi î Re s < 0 şi zerouri î o lul s se umesc siseme de fzǎ emiimǎ. 4