Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii

Transcript

1 Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur integrlei +. Rezolvre: Observăm că se integreză funcţi f : [, R, f + cre este continuă pe orice intervl de tipul [, b], cu b > deci este integrbilă pe orice intervl compct [, b] [,. Atunci, prin definiţie Dr + rctg deci b b rctg b rctg b rctg rctg b rctg π cee ce însemnă că integrl improprie de primul tip. Să se studieze ntur integrlei +. Rezolvre: + π + este convergentă şi Observăm că se integreză funcţi f :, ] R, f + cre este continuă pe orice intervl de tipul [ b, ], cu b > deci este integrbilă pe orice intervl compct [ b, ], ]. Atunci, prin definiţie Deci + b + + rctg b rctg rctg b rctg b rctg π cee ce însemnă că integrl improprie de primul tip + este convergentă şi. Să se studieze ntur integrlei +. Rezolvre: Prin definiţie + Deci integrl improprie de primul tip + π π + π π + este convergentă şi + π

2 Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc. Fie >. Integrl α este convergentă pentru α > şi divergentă pentru α. Rezolvre: Observăm că se integreză funcţi f : [, R, f cre este continuă pe orice intervl α de tipul [, b], cu b > deci este integrbilă pe orice intervl compct [, b] [,. Atunci, prin definiţie b b α α α Dr deci, pentru α, şi pentru α, b b α α+ α +, α ln, α ln b ln b ln ln α α α+ α + b b α α Dcă vem α > tunci α > deci α α > deci α. Integrl iniţilă este tunci deci α α+ b α +, α ln b, α b α α α α α α α, ir dcă vem α < tunci { α α, α >, α α α α deci este C pentru α > şi D pentru α. 5. Studiţi, folosind definiţi, convergenţ următorelor integrle improprii de speci I: e ln, / b e e, c e sin, d e cos, e +, f g Rezolvre: e, e α sin β, α >, h e α cos β, α >. e subst. ln y / ln y / dy y / / y y y y y.

3 Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc b e e subst. e y e dy ln y y ye ln + ln e +. y c plicăm de două ori metod de integrre prin părţi pentru clcul primitiv F e sin e sin + e cos F F e sin + e cos Deci Dr F + ir deorece sin + cos F + e. e sin F + F + F. F + def sin + cos + + e sin + cos + sin + cos + sin + cos dică este mărginit ir Am folosit rezulttul: + e e Lem Fie f, g : I R unde I este un intervl. Presupunem că f şi g M, I. Atunci [f g ] dică produsul dintre o cntitte cre tinde l zero şi o cntitte mărginită este o cntitte cre tinde l zero. Prin urmre f e sin F + F +. e e e + e. g Observăm că se integreză funcţi f : [, R, f e α sin β cre este continuă pe orice intervl de tipul [, b], cu b > deci este integrbilă pe orice intervl compct [, b] [,. Atunci, prin definiţie e α sin β b e α sin β Dr pentru clculul integrlei b e α sin β vezi metod de integrre prin părţi: e α α sin β + β cos β sin β α + β e α α sinβ+β cosβ dică primitiv F e α. Obţinem F β şi deci α +β α +β e α sin β F F F + β α + β

4 Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Ţinând cont de fptul că funcţiile sin, cos sunt mărginite de obţinem că sin β + β cos β α α sin β + β cos β α + β α + β şi pe de ltă prte e α e e funcţie mărginită şi o funcţie cre tinde l v tinde l obţinem că deci h Avem F α + β α + β. Dr vând în vedere că produsul dintre o α sin β + β cos β α + β e α sin β F F + e α cos β 6. Să se studieze convergenţ următorei integrle improprii e α β α + β β α + β α α + β. Rezolvre: + Avem f + / +. Trebuie să determinăm α stfel încât să eiste it α f. α f α / α+/ + + Având în vedere că it este l, scotem fctor forţt l putere ce mi mre α f α+/ / leg α + / + / + + Deci pentru α / obţin α f, deci + este D. 7. Studiţi convergenţ următorelor integrle improprii : d Rezolvre: rctg, b e +, e rctg, c e b,, b >. rctg +, Avem f rctg. Trebuie să determinăm α stfel încât să eiste it α f α α f. rctg leg α rctg π. Deci pentru α > obţin α f π, deci rctg este C. b Avem f rctg. Trebuie să determinăm α stfel încât să eiste it α f α α f. rctg leg α rctg π. Deci pentru α obţin α f π, deci rctg este D. L punctele b şi c putem consider intergl clcultă pe intervlul [, + deorece it în eistă şi este finită, rctg rctg şi. Deci integrl este improprie de speci I. +

5 Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc 8. Studiţi, folosind criteriul de convergenţă în α, convergenţ următorelor integrle improprii: 5 +, c +, b d , Studiţi convergenţ următorelor integrle improprii: +, b e, c +. Indicţie: se scrie fiecre integrlă c sumă de lte douăintegrle. Eventul se pote folosi şi pritte funcţiei de sub integrlă şi fptul că f f, f este funcţie pră, f este funcţie impră. Studiţi convergenţ următorelor integrle improprii clculându-le, eventul, în prelbil: +, b ln, c, d + +, e ln +, f +, g +. Rezolvre: Mi întâi, b + c + + b + + b + c + + c /, b /, c / şi deci ln + + ln ln ln + 6 ln ln + 6 ln + + rctg / + C / / 6 ln + ln + + rctg / + C / + 6 ln / rctg / 6 ln rctg / + C. / 5

6 Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Integrl improprie este tunci + 6 ln rctg / / 6 ln ln / rctg rctg / / / ln ln + rctg rctg / / π + rctg π + π 6 π. b Clculăm mi întâi primitiv ln ln + + C. ln ln ln ln + Integrl improprie este tunci deorece ln ln ln ln +. ln / L Hospitl. c Clculăm mi întâi primitiv făcând substituţi vezi Integrle din funcţii irţionle: Dr t + t + t + t deci + t + + rctg + C. Integrl improprie este tunci + t t t tdt + + t + t dt t t + t tdt. + t + rctg + t + t + t + + rctg rctg + π π + π. dt t + t + rctgt + C 6

7 Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc d Observăm mi întâi că deci Integrl improprie este tunci vezi şi punctul e Observăm mi întâi că π π deci ln + ln + + ln +. + ln + + Pentru clcul integrl +, trebuie s descompunem frcţi în frcţii simple: Deci + + b + c, b, c. + ln + ln ln + + ln + ln + + ln ln + + C ln + + ln ln + + C ln + + ln + + C Integrl improprie este tunci deorece ln + ln + + ln + ln + + ln + + ln + ln + ln ln, ln / + L Hospitl, ln + ln ln. + 7

8 Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc g Deorece , putem descompune în frcţii simple şi obţinem [ + ln rctg. Arătţi că următorele integrle improprii sunt divergente: + + rctg ]. + Rezolvre: cos, b + sin, c + sin. b Observăm că se integreză funcţi f : [, R, f sin cre este continuă pe orice intervl de tipul [, b], cu b > deci este integrbilă pe orice intervl compct [, b] [,. Atunci, prin definiţie sin b sin cos b + cos cos b cos Dr cos nu eistă funcţiile periodice nu u ită l deci sin nu eistă dică. Studiţi convergenţ integrlelor Rezolvre: sin α, sin este divergentă. cos, >, α >. α Integrlele sunt C deorece putem plic Criteriul lui Dirichlet funcţiilor f sin respectiv f cos şi g. α Într-devăr vem f sin integrbilă pe orice [, b] şi b sin cos b + cos, < b <. Evident g este descrescătore α > şi α În prticulr se obţine convergenţ integrlelor g sin, cos m putut etinde l czul deorece it în este finită, sin.. Studiţi convergenţ integrlelor: sin 5 sin, b k +. Rezolvre: Ambele integrle sunt improprii de speci I. Integrl este C deorece putem plic Criteriul lui Dirichlet funcţiilor f sin 5 şi g. b Integrl este C deorece putem plic Criteriul lui Dirichlet funcţiilor f sin şi g k +. 8

9 Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc. Să se studieze ntur integrlei. Rezolvre: Observăm că se integreză funcţi f : [, R, f cre este continuă pe orice intervl de tipul [, c], cu < c < deci este integrbilă pe orice intervl compct [, c] [,. Atunci, prin definiţie c c Deci integrl improprie 5. Să se studieze ntur integrlei Rezolvre: rcsin rcsin π/ este C.. rcsin c c rcsin c rcsin c Observăm că se integreză funcţi f :, ] R, f deci punctul singulr este. 6. Să se studieze ntur integrlei. Rezolvre: Observăm că se integreză funcţi f :, R, f ±. 7. Integrl + b b λ este convergentă pentru λ < şi divergentă pentru λ. Rezolvre: deci punctele singulre sunt Observăm că se integreză funcţi f : [, b R, f cre este continuă pe orice λ b intervl de tipul [, c], cu < c < b deci este integrbilă pe orice intervl compct [, c] [, b. Atunci, prin definiţie b c b λ c b b λ c b c b λ Dr deci, pentru λ, b λ+ b λ, λ λ + ln b, λ c c b b ln b c ln b c + ln b c b c b ln + + ln b + ln b 9

10 Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc şi pentru λ, c b λ b λ+ c c b c b λ + λ+ + b λ+ λ λ Dcă vem λ > tunci λ > deci λ+ + λ + λ > deci λ+ +. Integrl iniţilă este tunci b deci b b b λ c b λ b λ λ b λ+ λ + 8. Anlog se pote studi ntur integrlei Rezolvre: c, λ ln b c b c, λ b c λ+ c b λ este C pentru λ < şi D pentru λ. b λ, λ R. b λ+ λ + +, ir dcă vem λ < tunci +, λ, b λ+, λ λ <. Observăm că se integreză funcţi f :, b] R, f cre este continuă deci integrbilă pe orice intervl compct [, c], b]. Se obţine că λ b +, λ, λ b λ+, λ <. λ 9. Să se studieze ntur integrlei Rezolvre:. Observăm că se integreză funcţi f : [, R, f cre este continuă deci integrbilă pe orice intervl compct [, c] [,. Trebuie să determinăm λ stfel încât să eiste it λ f. Deorece [, vem că < λ λ, deci λ f Aleg λ / şi obţin λ + + λ / + + λ f + +, Deci pentru λ / <, λ f, dică integrl este C.

11 Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc. Studiţi convergenţ următorelor integrle improprii: ln, b, c 5 + 6, d, b e, b f + +, g, h, i, j 5 + 6, k. Rezolvre: Clculăm mi întâi primitiv ln ln ln + C ln + C, C R. Deci b c ln [ ln ] ln + ln + notând y < y ln y notând z y + y z + + ln z z. d e Fcem substituţi şi obţinem I b b b b 5/ + b y + +b b dy y b b b y f vom lu λ / şi α /. y y y + + b b b b dy + + b y b b + + b y y b b rcsin + 5/ dy b dy + b b dy y b y b b +b b dy y.

12 Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc g vom lu λ /. h ln + + C. Acum + ln + ln + + c ln c c + ln + > ln + + c ln > j Clculăm mi întâi primitiv descompunând în frcţii simple.. Studiţi convergenţ următorelor integrle improprii: π rctg, b + cos + sin, c ln, d ln β, β R, e ln β, β R, f ln, g 5, h π/ e e, i ctg, j π sin, k ln, l e, ln m, Rezolvre: n ln +. Avem f π rctg. Trebuie să determinăm α stfel încât să eiste it α f. π rctg α f α π rctg nedeterm. α leg α şi plic L Hospitl + +. Deci pentru α obţin α f, deci π rctg este D. b α f α + cos + cos leg α + sin + sin + cos + sin cos + sin

13 Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Am folosit că c cos sin şi, α f α ln leg α ln + > deci it este > ir α, prin urmre integrl este divergentă Conform Criteriului în α. d Clculăm primitiv ln β Dcă β, tunci ln Prin urmre, pentru β, ln β ln pp. β şi fc subst. ln t t β dt t β+ ln β+ + C + C. β + β + ln ln subst. ln t dt ln t + C ln ln + C. t β+ ln β ln β + β β β β ln + β+ ln β+ ln β+ ln β+ + ln β+ +, dcă β <, + β ln β β, dcă β >. ln β, Pentru β, ln ln ln ln ln ln ln ln ln + ln + ln + +. k Vom lu λ şi, notând cu y, vem + ln λ ln y y y. l Se obţine convergenţ cu α >, rbitrr les. m Se obţine convergenţ cu α,, rbitrr les. n Avem ln + ln. +. Studiţi, folosind criteriul de convergenţă în λ, convergenţ următorelor integrle improprii:, b + +, c 5, d, 5 e, + + e f e, g α, α >, e h ln /.

14 Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc. Studiţi convergenţ următorelor integrle: π sin π/, b cos sin sin + b cos, c, d b b, e b b, f b, < b, b π g sin + cos + Rezolvre: Folosim substituţi tg t şi formulele sin t t şi cos + t + t. Deci I b Folosim substituţi tg t şi formulele sin c sin t I d λ / şi λ / e Folosim substituţi f Folosim substituţi cu Obţinem b b b b π/ t tπ/ t dt t + b b t I tdt t + t t + dt t + b t şi cos. Deci + t + t b b t t + dt cos t + b sin t rctg t b t t cos t sin t + b sin t cos t dt b sin t dt. π/ b sin t b cos b sin t dt t sin t sin t cos tdt b cos t sin t π/ tπ/ b π t. sin tdt b π/ π b. cos t dt g Folosim substituţi tg t, dr [, π] [, π], ir tngent nu este definită în π/. Deci π sin + cos + π sin + cos + + dt t + t Studiţi convergenţ următorelor integrle improprii: e sin +, b + [], c [ ], π π sin + cos + dt t + t + 7 d [ln ].

15 Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi plicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii ANEXĂ Integrl improprie de primul tip Definiţi Fie f : [, R, o funcţie integrbilă Riemnn pe intervle compcte de tipul [, b], pentru orice b >. Integrl b f se numeşte integrl improprie de primul tip. Dcă f eistă şi este finită vom spune că integrl improprie f este convergentă, nott C, şi vom scrie f b f O integrlă cre nu este convergentă se v numi divergentă, nott D. Teorem Fie >. Integrl α este convergentă pentru α > şi divergentă pentru α. Se obţine că α+ b α α +, α ln b, α { α α, α >, α. Remrc Similr putem defini f. Remrc 5 Integrl f se pote defini prin eglitte f f + b b f f + f Definiţi 6 Fie o integrlă improprie f. Spunem că integrl este bsolut convergentă, nott AC, dcă integrl f este C. Proposiţi 7 Dcă integrl f este AC, tunci e este C. Remrc 8 Reciproc rezulttului nterior nu re loc. 5

16 Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Convergenţ integrlei în czul funcţiilor pozitive Teorem 9 Criteriul de comprţie Fie f, g : [, R două funcţii stfel încât f g pe [,. i Dcă integrl improprie g este C, tunci şi integrl improprie f este C. ii Dcă integrl improprie f este D, tunci şi integrl improprie g este D. Teorem Criteriul în α Fie f : [, R stfel încât f pe [,. i Dcă eistă α > stfel încât α f < + tunci f este C. ii Dcă eistă α stfel încât α f > tunci f este D. Convergenţ integrlei în czul generl Teorem Criteriul lui Abel Fie f, g : [, R două funcţii stfel încât Integrl improprie f este C. Funcţi g este monotonă şi mărginită. În ceste condiţii integrl improprie f g este C. Teorem Criteriul lui Dirichlet Fie f, g : [, R două funcţii stfel încât Funcţi f este integrbilă pe [, b], pentru orice b > şi b f K, pentru orice < b <. Funcţi g este monotonă şi g. În ceste condiţii integrl improprie f g este C. Integrle de tip Froullni Teorem Fie < < b şi f : [, R o funcţie continuă şi mărginită. Dcă f su dcă f este C, tunci este C şi integrl f b f şi re loc formul f b f f ln b. Remrc Un rezultt similr re loc şi dcă f l, deorece considerăm g f l în teorem precedentă. 5 Integrl improprie de l doile tip. Definiţi 5 Fie f : [, b R, o funcţie integrbilă Riemnn pe intervle compcte de tipul [, c], pentru orice < c < b şi cre stisfce f. Integrl b f se numeşte integrl improprie de l doile b c tip. Dcă c b f eistă şi este finită vom spune că integrl improprie b f este C şi vom scrie b f c b Remrc 6 Punctul b de mi sus spunem că este punct singulr. c f Remrc 7 Similr putem defini b f în czul în cre funcţi f :, b] R este o funcţie integrbilă Riemnn pe intervle compcte de tipul [c, b], < c < b şi cre stisfce f. 6

17 Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Teorem 8 Integrl b este convergentă pentru λ < şi divergentă pentru α. Proposiţi 9 Anlog se pote studi ntur integrlei b b λ λ, λ R. Se obţine că b λ +, λ, b λ+, λ <. λ Teorem Criteriul în λ Fie f : [, b R stfel încât f, pentru orice [, b. Atunci Dcă eistă λ <.î. b λ f < tunci b f este C. b Dcă eistă λ.î. b λ f > tunci b f este D. b 7