ΥΟΛΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΧΝ ΔΦΑΡΜΟΓΧΝ ΣΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΔΡΓΑΙΑ ΑΝΑΠΣΤΞΗ ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΗ ΔΦΑΡΜΟΓΗ ΦΗΦΙΑΚΗ ΔΠΔΞΔΡΓΑΙΑ ΗΜΑΣΟ Δ ΠΔΡΙΒΑΛΛΟΝ MATLAB

Transcript

1 ΑΛΔΞΑΝΓΡΔΙΟ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΟ ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΟ ΙΓΡΤΜΑ ΘΔΑΛΟΝΙΚΗ ΥΟΛΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΧΝ ΔΦΑΡΜΟΓΧΝ ΣΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΔΡΓΑΙΑ ΑΝΑΠΣΤΞΗ ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΗ ΔΦΑΡΜΟΓΗ ΦΗΦΙΑΚΗ ΔΠΔΞΔΡΓΑΙΑ ΗΜΑΣΟ Δ ΠΡΙΦΣΗ ΟΡΙΟΛΑ ΥΡΙΣΙΝΑ ΓΗΜΗΣΡΙΑΓΗ ΝΙΚΟΛΑΟ ΔΙΗΓΗΣΗ: ΑΘΑΝΑΙΟ ΜΑΡΓΑΡΗ ΘΔΑΛΟΝΙΚΗ, 2009

2 ειίδα 2 από 122

3 ΠΡΟΛΟΓΟ Σν ζύγγξακκα απηό απνηειεί ηελ πηπρηαθή καο εξγαζία ζην ηκήκα Πιεξνθνξηθήο ηεο ζρνιήο Σερλνινγηθώλ Δθαξκνγώλ ηνπ Α.Σ.Δ.Ι.Θ. Ο ζθνπόο ηεο πηπρηαθήο εξγαζίαο ήηαλ ε δεκηνπξγία πξνγξάκκαηνο γηα ηελ ςεθηαθή επεμεξγαζία ζήκαηνο ζε ππνινγηζηή. Η εθαξκνγή πξόθεηηαη λα ρξεζηκνπνηεζεί από ηνπο θνηηεηέο ζην πιαίζην ηνπ εξγαζηεξηαθνύ καζήκαηνο ςεθηαθή επεμεξγαζία ζήκαηνο θαη εηθόλαο. Δπνκέλσο δεκηνπξγήζεθε κε βαζηθέο αξρέο ζρεδίαζεο ηε θηιηθόηεηα πξνο ηνλ ρξήζηε θαη ηελ δπλαηόηεηα θαηαλόεζεο καζεκαηηθώλ πξάμεσλ κεηαμύ ζεκάησλ. Η δηάξζξσζε ηεο πηπρηαθήο εξγαζίαο αλαιύεηαη ζηα εμήο δπν κέξε: ην πξώην κέξνο ηνπ βηβιίνπ δίλνληαη θάπνηα βαζηθά ζηνηρεία γηα ηε ζεσξία ηεο ςεθηαθήο επεμεξγαζίαο ζήκαηνο. Γηαβάδνληαο ν ρξήζηεο ην πξώην κέξνο ηνπ βηβιίνπ απνθνκίδεη κεξηθέο από ηηο βαζηθέο κεζόδνπο θαη ηερληθέο πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηελ ςεθηαθήο επεμεξγαζίαο ζήκαηνο. Δπίζεο δίλνληαη κεξηθά από ηα βαζηθόηεξα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ MATLAB ζρεηηθά κε ηηο απιέο καζεκαηηθέο πξάμεηο, δπλάκεηο, εηδηθέο καζεκαηηθέο ζπλαξηήζεηο, πίλαθεο, δηαλύζκαηα θαη πνιπώλπκα. ην δεύηεξν κέξνο γίλεηαη ε παξνπζίαζε ηεο εθαξκνγήο κε ηελ νλνκαζία Φεθηαθήο Δπεμεξγαζίαο ήκαηνο. Η εθαξκνγή αλαπηύρηεθε ζην GUIDE ηνπ MATLAB. Μέζα από ηελ παξνπζίαζε, ν ρξήζηεο ηεο εθαξκνγήο ζα κάζεη πώο κπνξεί λα ηε ρξεζηκνπνηήζεη θαη πνηεο είλαη νη δπλαηόηεηέο ηεο. ειίδα 3 από 122

4 ηο ζημείο ασηό θα θέλαμε να εσταριζηήζοσμε ηον καθηγηηή κ. Α.ΜΑΡΓΑΡΗ, τωρίς ηην βοήθεια ηοσ οποίοσ θα ήηαν αδύναηη η επίλσζη ηων θεωρηηικών και πρακηικών προβλημάηων ποσ ανηιμεηωπίζαμε καηά ηη διεκπεραίωζη ηης εργαζίας. ειίδα 4 από 122

5 ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ Α Μέπορ: Θεωπηηικό Τπόβαθπο Διζαγωγή Δηζαγσγή..9 9 Κεθάλαιο 1 Διζαγωγικέρ έννοιερ 1.1 Φεθηαθή επεμεξγαζία ζήκαηνο Οξηζκόο ζήκαηνο θαη ζπζηήκαηνο Σύπνη ζεκάησλ Η έλλνηα ηεο ζπρλόηαηνο ζηα ζήκαηα Μεηαηξνπή ζήκαηνο από αλαινγηθό-ζε-ςεθηαθό θαη 19 ςεθηαθό-ζε-αλαινγηθό Καηεγνξίεο ζεκάησλ Κεθάλαιο 2 12 ήμαηα διακπιηού σπόνος Σαμηλόκεζε δηαθξηηώλ ζεκάησλ ήκαηα ελεξγείαο θαη ζήκαηα ηζρύνο Πεξηνδηθά ζήκαηα θαη απεξηνδηθά ζήκαηα πκκεηξηθά ζήκαηα θαη αληηζπκκεηξηθά ζήκαηα Θεκειηώδεο πξάμεηο κε δηαθξηηά ζήκαηα Αλαπαξάζηαζε δηαθξηηώλ ζεκάησλ Βαζηθέο ζπλαξηήζεηο δηαθξηηώλ ζεκάησλ Η ζπλερήο θαη ε δηαθξηηή ζπλάξηεζε κνλαδηαίαο ώζεο ηαηηζηηθέο ηδηόηεηεο κνλνδηάζηαησλ δηαθξηηώλ ζεκάησλ Κεθάλαιο 3 12 ςζηήμαηα διακπιηού σπόνος Πεξηγξαθήο ηεο ιεηηνπξγίαο ελόο ζπζηήκαηνο δηαθξηηνύ ρξόλνπ Δίδε θαη θαηεγνξίεο δηαθξηηώλ ζπζηεκάησλ.40 ειίδα 5 από 122

6 3.2.1 ηαηηθά θαη δπλακηθά δηαθξηηά ζπζηήκαηα Υξνληθώο κεηαβαιιόκελα θαη ρξνληθώο ακεηάβιεηα δηαθξηηά ζπζηήκαηα Γξακκηθά θαη κε γξακκηθά δηαθξηηά ζπζηήκαηα Αηηηαηά θαη κε αηηηαηά δηαθξηηά ζπζηήκαηα Δπζηαζή θαη αζηαζή δηαθξηηά ζπζηήκαηα πλέιημε Ιδηόηεηεο ηεο ζπλέιημεο Σαρύο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier (FFT)..47 Κεθάλαιο 4 Βαζικά ζηοισεία ηος Matlab 4.1 Ση είλαη ην Matlab Σν πεξηβάιινλ ηνπ Matlab Βαζηθή ηύπνη αρξείσλ Γεληθέο ζεκειηώδεο ζπλαξηήζεηο ηνπ Matlab Βαζηθά ζηνηρεία ρξήζεο ηνπ Matlab Γηαλύζκαηα πίλαθεο Πξνγξακκαηίδνληαο ζην Matlab Βαζηθέο καζεκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Λνγηθνί ηειεζηέο θαη ηειεζηέο ζπζρέηηζεο Δληνιέο έιεγρνπ ξνήο πξνγξάκκαηνο Γξαθηθό πεξηβάιινλ Γξαθηθέο παξαζηάζεηο ss Β Μέπορ: Ανάλςζη Δθαπμογήρ Διζαγωγή Δηζαγσγή Κεθάλαιο 5 79 Οδηγίερ σπήζηρ ηηρ εθαπμογήρ Καξηέια ήκαηα 71 ειίδα 6 από 122

7 5.1.1 Τπνθαξηέια Δπεμεξγαζία Καξηέια Πάμεηο εκάησλ Καξηέια Ιδηόηεηεο εκάησλ Καξηέια πλέιημε Καξηέια Fourier Καξηέια πζηήκαηα Βιβλιογπαθία Βηβιηνγξαθία ειίδα 7 από 122

8 Α ΜΔΡΟ Θεωπηηικό Τπόβαθπο ειίδα 8 από 122

9 ΔΙΑΓΧΓΗ Η ςεθηαθή επεμεξγαζία ζήκαηνο (Digital Signal Processing ή DSP) αζρνιείηαη κε ηελ αλαπαξάζηαζε ησλ ζεκάησλ πνπ βξίζθνληαη ζε ςεθηαθή κνξθή θαζώο επίζεο θαη κε ηελ επεμεξγαζία ησλ ζεκάησλ θαη ησλ πιεξνθνξηώλ πνπ απηά κεηαθέξνπλ. Σν ζύγγξακκα απηό αζρνιείηαη κε ηηο ζεκειηώδεηο αξρέο ηεο ςεθηαθήο επεμεξγαζίαο ζήκαηνο θαη ν αλαγλώζηεο κπνξεί λα ην ρξεζηκνπνηήζεη γηα ηελ ελεκέξσζε ηνπ, κε δπν ηξόπνπο. Πξώηνλ, κπνξεί λα ην ρξεζηκνπνηήζεη σο βνήζεκα γηα ην ζεσξεηηθό ππόβαζξν θαη δεύηεξνλ ζαλ έλαλ νδεγό, ηξέρνληαο ηελ εθαξκνγή. Απηή νη δπν ηξόπνη δίλνπλ ηε δπλαηόηεηα ζηνλ αλαγλώζηε λα θαηαλνήζεη θαιπηέξα ην αληηθείκελν ζρεηηθά κε ηελ ςεθηαθή επεμεξγαζία ζήκαηνο. Σα ηξία πξώηα θεθάιαηα ηεο πηπρηαθήο θαιύπηνπλ έλα κέξνο, πνπ είλαη ν βαζηθόο ππξήλαο ηνπ αληηθείκελνπ ςεθηαθήο επεμεξγαζίαο ζήκαηνο. ην πξώην θεθάιαην παξνπζηάδνληαη νη βαζηθέο έλλνηεο ηεο ςεθηαθήο επεμεξγαζίαο ζήκαηνο. Σα ζέκαηα πνπ θαιύπηνληαη ζην θεθάιαην απηό, πεξηιακβάλνπλ ηηο θαηεγνξίεο ησλ ζεκάησλ θαη ηελ έλλνηα ηεο ζπρλόηεηαο. Σν δεύηεξν θεθάιαην αζρνιείηαη κε ηα ζήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ. Δηδηθόηεξα, γίλεηαη ε ηαμηλόκεζε ησλ δηαθξηηώλ ζεκάησλ, θαη νη ηξόπνη αλαπαξάζηαζεο ηνπο. Δπίζεο αλαθέξνληαη νη ζεκειηώδεο πξάμεηο πνπ κπνξνύλ λα γίλνπλ κεηαμύ δηαθξηηώλ ζεκάησλ. ην ηξίην θεθάιαην θαιύπηνληαη κεξηθά ζεκαληηθά ζέκαηα, ζρεηηθά κε ηα ζπζηήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ. Πξσηεύνπζα ζεκαζία ζην θεθάιαην απηό δίλεηαη ζην ζεώξεκα ηεο ζπλέιημεο θαη ζηελ έλλνηα ηνπ γξήγνξνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier. ην ηέηαξην θεθάιαην γίλεηαη κηα κηθξή εηζαγσγή ζηε γισζζά πξνγξακκαηηζκνύ Matlab. Αλαθέξνληαη κεξηθέο δπλαηόηεηεο ζρεηηθά κε ην ρεηξηζκό ησλ δηαλπζκάησλ πηλάθσλ, θαζώο αλαθέξνληαη θαη κεξηθέο από ηηο βαζηθέο καζεκαηηθέο ζπλαξηήζεηο. Αθόκε γίλεηαη θαη κηα ζύληνκε αλαθνξά ζην γξαθηθό πεξηβάιινλ ηνπ Matlab. ηε ζπλερεία, ζην πέκπην θαη ηειεπηαίν θεθάιαην γίλεηαη ε αλάιπζε ηελ εθαξκνγήο νη όπνηα έρεη δεκηνπξγεζεί ζε έλα γξαθηθό πεξηβάιινλ ρξήζηε (Graphic User Interface ή GUI) ζηε γισζζά πξνγξακκαηηζκνύ Matlab. ειίδα 9 από 122

10 1. ΔΙΑΓΧΓΙΚΔ ΔΝΝΟΙΔ 1.1 Φεθηαθή επεμεξγαζία ζήκαηνο Η ςεθηαθή επεμεξγαζία ζήκαηνο αζρνιείηαη κε ηελ ςεθηαθή αλαπαξάζηαζε ησλ ζεκάησλ θαη ηελ αλάιπζε, ηξνπνπνίεζε θαη εμαγσγή πιεξνθνξηώλ από απηά, κε ηε βνήζεηα ςεθηαθώλ επεμεξγαζηώλ. Πεξηπηώζεηο θαηά ηηο νπνίεο ζέινπκε λα αθαηξέζνπκε ηνλ ζόξπβν από έλα ζήκα ή λα βξνύκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier θάπνησλ δεδνκέλσλ ή λα δώζνπκε ζ έλα ζήκα κνξθή πην θαηάιιειε γηα επεμεξγαζία θαη αλάιπζε ηεο πιεξνθνξίαο πνπ εκπεξηέρεη, απνηεινύλ παξαδείγκαηα ηεο ςεθηαθήο επεμεξγαζίαο ζήκαηνο. Απηή ρξεζηκνπνηείηαη όιν θαη πεξηζζόηεξν ζε πνιιέο πεξηνρέο εθαξκνγώλ όπνπ παξαδνζηαθά ρξεζηκνπνηνύληαλ αλαινγηθέο κνξθέο επεμεξγαζίαο, αιιά θαη ζε λέεο εθαξκνγέο ζηηο νπνίεο νη αλαινγηθέο κέζνδνη είλαη δύζθνιν ή θαη αδύλαηνλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ. Σν γεγνλόο απηό νθείιεηαη ζηα πιενλεθηήκαηα πνπ παξνπζηάδεη ε ςεθηαθή επεμεξγαζία ζήκαηνο. Τπάξρνπλ πνιινί ιόγνη γηα ηνπο νπνίνπο ζα πξνηηκνύζακε ηελ ςεθηαθή επεμεξγαζία ελόο ζήκαηνο έλαληη ηεο αλαινγηθήο. Καηά πξώηηζην ιόγν, έλα ςεθηαθό πξνγξακκαηηδόκελν ζύζηεκα παξνπζηάδεη κεγάιε επειημία ζηελ ηξνπνπνίεζε ησλ πξάμεσλ ςεθηαθήο επεμεξγαζίαο κε κηα απιή κεηαηξνπή ηνπ πξνγξάκκαηνο. Μηα ηέηνηα ηξνπνπνίεζε ελόο αλαινγηθνύ ζπζηήκαηνο ζπλεπάγεηαη ζηελ επαλαζρεδίαζε ηνπ θπθιώκαηνο θαη ζπλεπαθόινπζν έιεγρν θαη επηβεβαίσζε (testing and verification) ηεο νξζήο ιεηηνπξγίαο ηνπ. Η αθξίβεηα (accuracy) παίδεη επίζεο πνιύ ζπνπδαίν ξόιν. Η αλνρή ησλ ζηνηρείσλ ησλ αλαινγηθώλ θπθισκάησλ θαζηζηά δύζθνιν ηνλ πξνζδηνξηζκό ηεο αθξίβεηαο ελόο αλαινγηθνύ ζπζηήκαηνο επεμεξγαζίαο. ηελ πεξίπησζε ελόο ςεθηαθνύ ζπζηήκαηνο, ν έιεγρνο ηεο πηζηόηεηαο ησλ πξνδηαγξαθώλ είλαη πνιύ πην εύθνινο. Σα ςεθηαθά ζήκαηα απνζεθεύνληαη ζε καγλεηηθά ή νπηηθά κέζα (ι.ρ. καγλεηηθνύο ή νπηηθνύο δίζθνπο, ηαηλίεο, θ.ά.) ρσξίο ππνβάζκηζε ηεο πηζηόηεηάο ηνπο, πέξαλ ειίδα 10 από 122

11 απηήο πνπ ππεηζήιζε ζηε δηαδηθαζία κεηαηξνπήο ηνπο από αλαινγηθά ζε ςεθηαθά. Έηζη, δίλεηαη ε δπλαηόηεηα κεηαθνξάο θαη επεμεξγαζίαο ηέηνησλ ζεκάησλ ζε κε πξαγκαηηθό ρξόλν. Δπηπιένλ, δίλεηαη ε δπλαηόηεηα εθαξκνγήο πην πεξίπινθσλ αιγνξίζκσλ επεμεξγαζίαο ζήκαηνο. πλήζσο ε πινπνίεζε καζεκαηηθώλ πξάμεσλ κεγάιεο αθξίβεηαο είλαη δύζθνιν λα γίλεη ζε ζήκαηα ηα νπνία βξίζθνληαη ζε αλαινγηθή κνξθή, πξάγκα όκσο πνπ είλαη ζπλεζηζκέλν θαη εύθνιν λα γίλεη ζε έλα ςεθηαθό ζήκα ην νπνίν επεμεξγαδόκαζηε κε έλαλ ππνινγηζηή θαη κε θαηάιιειν ινγηζκηθό. ε πνιιέο πεξηπηώζεηο, ε ςεθηαθή επεμεξγαζία ελόο ζήκαηνο έρεη ρακειόηεξν θόζηνο από ηελ αληίζηνηρε αλαινγηθή. Απηό κπνξεί λα νθείιεηαη είηε ζην όηη ην πιηθό (hardware) ζήκεξα είλαη θζελόηεξν είηε ζηελ επειημία πνπ παξέρεηαη ιόγσ ηεο ςεθηαθήο πινπνίεζεο. Απνηέιεζκα ησλ πιενλεθηεκάησλ ηεο ςεθηαθήο επεμεξγαζίαο ζήκαηνο είλαη ε δηαξθώο απμαλόκελε ρξήζε ηεο ζε όιν θαη πεξηζζόηεξνπο ηνκείο εθαξκνγώλ, όπσο ζηελ επεμεξγαζία νκηιίαο, ζηε κεηάδνζε ζήκαηνο ζε ηειεθσληθά θαλάιηα, ζηε ζεηζκνινγία, ζηε γεσθπζηθή, ζηελ ηαηξηθή, ζηελ εμεξεύλεζε ηνπ δηαζηήκαηνο, ζηε κεηεσξνινγία, θ.ά. Φπζηθά, ε ςεθηαθή επεμεξγαζία ζήκαηνο έρεη θαη ηα όξηά ηεο, ηα νπνία νθείινληαη ζηνπο πεξηνξηζκνύο πνπ ηίζεληαη ζηελ ηαρύηεηα ιεηηνπξγίαο ησλ κεηαηξνπέσλ αλαινγηθνύ ζήκαηνο ζε ςεθηαθό, θαζώο θαη ζηνπο ίδηνπο ηνπο ςεθηαθνύο επεμεξγαζηέο ζήκαηνο. Έηζη, ζήκαηα κε εμαηξεηηθά κεγάιν εύξνο ζπρλνηήησλ, γηα παξάδεηγκα, ζήκαηα κε εύξνο ζπρλνηήησλ ηεο ηάμεσο ησλ 100 MHz, πθίζηαληαη επεμεξγαζία αθόκα θαη ζήκεξα κε αλαινγηθέο κεζόδνπο. 1.2 Οξηζκόο ζήκαηνο θαη ζπζηήκαηνο Έλα ζήκα (signal) νξίδεηαη σο κηα θπζηθή πνζόηεηα πνπ κεηαβάιιεηαη ζπλαξηήζεη ηνπ ρώξνπ θαη ηνπ ρξόλνπ ε ζε ζπλάξηεζε κε νπνηαδήπνηε άιιε κεηαβιεηή ή πιήζνο κεηαβιεηώλ. Από ηε καζεκαηηθή ζθνπηά ηνπ ζέκαηνο, ην ζήκα ειίδα 11 από 122

12 πεξηγξάθεηαη σο κηα ζπλάξηεζε κηαο ή πεξηζζόηεξσλ κεηαβιεηώλ. Γηα παξάδεηγκα νη ζπλαξηήζεηο S ( t) 5t 1 S ( t) 20t 2 2 (1.1) πεξηγξάθνπλ δύν ζήκαηα εθ ησλ νπνίσλ ην πξώην κεηαβάιιεηαη γξακκηθά κε ην ρξόλν ελώ ην δεύηεξν είλαη αλάινγν ηνπ ηεηξαγώλνπ ηνπ ρξόλνπ. Σέινο ε ζπλάξηεζε 2 S(x,y) = 3x + 2xy + 10y (1.2) πεξηγξάθεη έλα ζήκα πνπ είλαη ζπλάξηεζε δύν αλεμάξηεησλ κεηαμύ ηνπο κεηαβιεηώλ x θαη y, νη νπνίεο κπνξεί λα αλαπαξηζηνύλ ηηο ζπληεηαγκέλεο x θαη y ελόο επηπέδνπ. Από ηελ άιιε πιεπξά έλα ζύζηεκα (system) κπνξεί λα νξηζζεί σο κία θπζηθή δηάηαμε πνπ πξαγκαηνπνηεί επί ηνπ ζήκαηνο θάπνηα ζπγθεθξηκέλε κνξθή επεμεξγαζίαο. Έλα θιαζζηθό παξάδεηγκα ζπζηήκαηνο είλαη έλα θίιηξν ην νπνίν εθαξκόδεηαη επί ηνπ ζήκαηνο πξνθεηκέλνπ λα απνκαθξύλεη ην ζόξπβν πνπ πεξηιακβάλεηαη ζε απηό. Η δηαδηθαζία θαηά ηελ νπνία έλα ζήκα δηέξρεηαη από έλα ζύζηεκα είλαη γλσζηή σο επεμεξγαζία ζήκαηνο. Αλάινγα κε ηνλ ηύπν ηεο επεμεξγαζίαο πνπ πξαγκαηνπνηεί ην ζύζηεκα πάλσ ζην δηεξρόκελν ζήκα, απηό κπνξεί λα είλαη γξακκηθό ή κε γξακκηθό. Δίλαη πξνθαλέο πσο ε έλλνηα ηνπ ζπζηήκαηνο δελ πεξηνξίδεηαη κόλν ζε θπζηθέο δηαηάμεηο - έλα ζύζηεκα κπνξεί λα είλαη θαη κηα ζπλάξηεζε ή έλα ηκήκα θώδηθα γξακκέλν ζε κία γιώζζα πξνγξακκαηηζκνύ πνπ πξαγκαηνπνηεί θάπνηα κνξθή επεμεξγαζίαο επί ηνπ εηζεξρόκελνπ ζήκαηνο. 1.3 Σύπνη εκάησλ Σα ζήκαηα ηαμηλνκνύληαη ζε δύν κεγάιεο θαηεγνξίεο: ζηα ζήκαηα ζπλερνύο ρξόλνπ θαη ζηα ζήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ. πλήζσο, σο αλεμάξηεηε κεηαβιεηή ρξεζηκνπνηείηαη ν ρξόλνο, ρσξίο όκσο λα απνθιείεηαη ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή λα ειίδα 12 από 122

13 είλαη θάπνην άιιν θπζηθό κέγεζνο, όπσο γηα παξάδεηγκα ε απόζηαζε, ε ζεξκνθξαζία ή ε πίεζε. Παξ όια απηά έρεη επηθξαηήζεη λα κηιάκε γηα ζήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ. ηα ζήκαηα ζπλερνύο ρξόλνπ (continuous time) ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή είλαη ζπλερήο, δειαδή ηα ζήκαηα απηά νξίδνληαη γηα νπνηαδήπνηε ηηκή ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο. Η εμαξηεκέλε κεηαβιεηή, δειαδή ην πιάηνο (amplitude) ηνπ ζήκαηνο, είλαη θαη απηή ζπλερήο. Γη απηό θαη ηα ζήκαηα απηά αλαθέξνληαη θαη σο ζήκαηα ζπλερνύο ρξόλνπ ζπλερνύο πιάηνπο ή αλαινγηθά ζήκαηα. Παξαδείγκαηα ηέηνησλ ζεκάησλ είλαη ε νκηιία σο ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ ή ε αηκνζθαηξηθή πίεζε σο ζπλάξηεζε ηνπ ύςνπο. Έλα αλαινγηθό ζήκα πεξηγξάθεηαη από κηα ζπλάξηεζε xt (), όπνπ t πξαγκαηηθόο αξηζκόο. ηα ζήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ (discrete time) ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή είλαη δηαθξηηή, δειαδή ηα ζήκαηα απηά νξίδνληαη κόλν γηα ζπγθεθξηκέλεο ηηκέο ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο. Με άιια ιόγηα, ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή παίξλεη ηηκέο από έλα δηαθξηηό ζύλνιν ηηκώλ. Η εμαξηεκέλε κεηαβιεηή, δειαδή ην πιάηνο ηνπ ζήκαηνο, είλαη ζπλερήο. Γη απηό θαη ηα ζήκαηα απηά αλαθέξνληαη θαη σο ζήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ ζπλερνύο πιάηνπο. ηε πεξίπησζε πνπ θαη ε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή παίξλεη δηαθξηηέο ηηκέο, ηόηε κηιάκε γηα ζήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ δηαθξηηνύ πιάηνπο ή ςεθηαθά ζήκαηα. Έλα ζήκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ ζπκβνιίδεηαη ζπλήζσο σο xn ( ), όπνπ n αθέξαηνο. Πξόθεηηαη γηα κία αθνινπζία (sequence) αξηζκώλ, γη απηό ζπρλά αλαθεξόκαζηε ζην ζήκα απηό θαη σο αθνινπζία. ρήκα 1.1: Παξάδεηγκα ζπλερνύο ζήκαηνο ειίδα 13 από 122

14 ρήκα 1.2: Παξάδεηγκα δηαθξηηνύ ζήκαηνο Η έλλνηα ηεο ζπρλόηεηαο ζηα ζήκαηα Από ηελ επηζηήκε ηεο Φπζηθήο είλαη γλσζηό πσο ε έλλνηα ηεο ζπρλόηεηαο απνηειεί ζεκειηώδεο ραξαθηεξηζηηθό ησλ πεξηνδηθώλ θηλήζεσλ θαη εθθξάδεη ην πιήζνο ησλ επαλαιήςεσλ ηνπ πεξηνδηθνύ θαηλνκέλνπ ζηε κνλάδα ηνπ ρξόλνπ Η κνλάδα κέηξεζεο απηνύ ηνπ κεγέζνπο είλαη ην Hertz (Hz) πνπ λνείηαη σο κνλάδα αληίζηξνθνπ ρξόλνπ (sec -1 ). Δίλαη πξνθαλέο, πσο επεηδή ν ρξόλνο ρξεζηκνπνηείηαη κε δηαθνξεηηθό ηξόπν ζηα ζπλερή θαη ζηα δηαθξηηά ζήκαηα, απηή ε δηάθξηζε ζα επεξεάζεη θαη ηνλ ηξόπν νξηζκνύ θαη ρξήζεο ηνπ κεγέζνπο ηεο ζπρλόηεηαο. ΗΜΙΣΟΝΟΔΙΓΗ ΗΜΑΣΑ ΤΝΔΥΟΤ ΥΡΟΝΟΤ Αο μεθηλήζνπκε ηελ πεξηγξαθή καο ζεσξώληαο γηα ιόγνπο απιόηεηαο έλα ζπλερέο εκηηνλνεηδέο ζήκα πνπ πεξηγξάθεηαη από κία εμίζσζε ηεο κνξθήο x( t) Acos( t ) ( t ) (1.3) ηελ παξαπάλσ πεξηγξαθή ην κέγεζνο A εθθξάδεη ην πιάηνο ηνπ ζήκαηνο, ην ζύκβνιν αλαθέξεηαη ζηελ θπθιηθή ηνπ ζπρλόηεηα θαη κεηξείηαη ζε κνλάδεο radians per second ελώ ε παξάκεηξνο αλαθέξεηαη ζηε θάζε ηνπ ζήκαηνο. Η θπθιηθή ζπρλόηεηα ζπζρεηίδεηαη κε ηε ζπρλόηεηα f δηα κέζνπ ηεο ζρέζεσο 2 f. Λακβάλνληαο ππ' όςηλ πσο ε ζπρλόηεηα θαη ε πεξίνδνο ελόο πεξηνδηθνύ ειίδα 14 από 122

15 ζήκαηνο είλαη αληηζηξόθσο αλάινγεο - δειαδή ηθαλνπνηνύλ ηε ζρέζε f 1/ T - ε παξαπάλσ ζρέζε κπνξεί λα πάξεη θαη κία από ηηο κνξθέο 2 x( t) Acos t και x( t) Acos(2 ft ) T (1.4) Τπάξρνπλ ηξεηο ηδηόηεηεο νη νπνίεο ραξαθηεξίδνπλ ηα ζπλερή εκηηνλνεηδή ζήκαηα θαη νη νπνίεο ζε γεληθέο γξακκέο είλαη νη αθόινπζεο: Γηα θάζε ηηκή ηεο ζπρλόηεηαο f, ην ζήκα xt () είλαη πεξηνδηθό. Η ηδηόηεηα απηή απνδεηθλύεηαη εύθνια θαζώο είλαη ft 1 θαη επνκέλσο x( t T) Acos[2 f ( t T) ] Acos(2 ft 2 ft ) Acos[(2 ft ) 2 ] Acos(2 ft ) x( t) (1.5) πλερή εκηηνλνεηδή ζήκαηα κε δηαθνξεηηθέο ηηκέο ζπρλόηεηαο είλαη δηαθνξεηηθά θαη δηαθξηηά κεηαμύ ηνπο. Η αύμεζε ηεο ζπρλόηεηαο f νδεγεί ζηελ αύμεζε ηνπ ξπζκνύ ηαιάλησζεο ηνπ ζήκαηνο, θαζώο απμάλεηαη ην πιήζνο ησλ πιήξσλ επαλαιήςεσλ ζηε κνλάδα ηνπ ρξόλνπ. ΗΜΙΣΟΝΟΔΙΓΗ ΗΜΑΣΑ ΓΙΑΚΡΙΣΟΤ ΥΡΟΝΟΤ x( n) Acos( n ) (- n ) (1.6) όπνπ ηα ζύκβνια A θαη αλαθέξνληαη μαλά ζην πιάηνο θαη ηε θάζε ηνπ ζήκαηνο, ελώ 2 f είλαη ε θπθιηθή ζπρλόηεηα πνπ απηή ηε θνξά κεηξείηαη ζε κνλάδεο radians per sample. Σππηθό παξάδεηγκα ηέηνηνπ ζήκαηνο παξνπζηάδεηαη ζην ζρήκα 7. Από ην ζρήκα απηό δηαπηζηώλνπκε πσο έλα ρξνληθό δηάζηεκα κηαο πεξηόδνπ πεξηέρεη 12 δείγκαηα ηνπ ζήκαηνο, ήηνη, ε ζπρλόηεηά ηνπ ζα είλαη f 1/12, ηηκή πνπ νδεγεί ζε θπθιηθή ζπρλόηεηα 2 f / 6. Από ην ίδην ειίδα 15 από 122

16 ζρήκα δηαπηζηώλνπκε επίζεο πσο ην ζήκα ραξαθηεξίδεηαη από ύπαξμε θάζεο /3 θαη επνκέλσο πεξηγξάθεηαη από ηελ εμίζσζε x( n) Acos[( n ) / 6 / 3] Acos[ ( n 2) / 6]. Σα εκηηνλνεηδή δηαθξηηά ζήκαηα ραξαθηεξίδνληαη από ηηο επόκελεο ηξεηο ηδηόηεηεο: Έλα δηαθξηηό εκηηνλνεηδέο ζήκα είλαη πεξηνδηθό εάλ ε ζπρλόηεηά ηνπ είλαη ξεηόο αξηζκόο. Πξνθεηκέλνπ λα απνδείμνπκε απηή ηελ ηδηόηεηα, αο ζεσξήζνπκε έλα δηαθξηηό εκηηνλνεηδέο ζήκα ηεο κνξθήο x( n) Acos(2 fn ). Πξνθεηκέλνπ απηό ην ζήκα λα είλαη πεξηνδηθό κε πεξίνδν N ζα πξέπεη θαηά ηα γλσζηά λα ηζρύεη ε ζρέζε x( n) x( n N) N. Θα είλαη ινηπόλ x( n N) Acos[2 f ( n N) ] Acos(2 fn 2 fn ) (1.7) πγθξίλνληαο ηελ ηειεπηαία ζρέζε κε ηελ εμίζσζε νξηζκνύ ηνπ ζήκαηνο xn ( ) είλαη πξνθαλέο πσο γηα λα ηζρύεη ε ηδηόηεηα ηεο πεξηνδηθόηεηαο x( n) x( n N) ζα πξέπεη λα είλαη 2 fn 2k. Πξάγκαηη, ζηελ πεξίπησζε απηή, ε ηειεπηαία ζρέζε γξάθεηαη x( n N) Acos(2 fn 2 fn ) Acos(2 fn 2 k f ) Acos[(2 fn f ) 2 k ] Acos(2 fn ) x( n) (1.8) θαη επνκέλσο ην ζήκα είλαη πεξηνδηθό. Γηα λα ηζρύζεη όκσο θάηη ηέηνην ζα πξέπεη λα είλαη f k / N, ήηνη, ε ζπρλόηεηα ηνπ ζήκαηνο λα είλαη έλαο ξεηόο αξηζκόο (λα κπνξεί δειαδή λα γξαθεί σο ην πειίθν δύν αθέξαησλ αξηζκώλ). Σα δηαθξηηά εκηηνλνεηδή ζήκαηα ησλ νπνίσλ νη ζπρλόηεηεο δηαθέξνπλ θαηά αθέξαην πνιιαπιάζην ηνπ 2 είλαη ηαπηόζεκα θαη επνκέλσο δελ δύλαληαη λα δηαθξηζνύλ κεηαμύ ηνπο. Η ηδηόηεηα απηή απνδεηθλύεηαη εύθνια θαη ζηεξίδεηαη ζην γεγνλόο πσο νη ζπλαξηήζεηο ηνπ εκηηόλνπ θαη ηνπ ειίδα 16 από 122

17 ζπλεκίηνλνπ είλαη πεξηνδηθέο κε πεξίνδν 2 k ( k 0,1, 2,...). Αο ζεσξήζνπκε γηα ην ζθνπό απηό έλα ζήκα x1( n) cos( 1n ) θαη έλα δεύηεξν ζήκα x2( n) cos( 2n ) ηέηνην ώζηε Γελ είλαη δύζθνιν λα δηαπηζηώζεη θαλείο όηη x ( n) cos( n ) cos[( 2 ) n ] cos[( n ) 2 n] cos( n ) x ( n) 1 1 (1.9) θαη επνκέλσο ηα δύν ζήκαηα είλαη ηαπηόζεκα θαη δελ κπνξνύλ λα δηαθξηζνύλ. Γεληθεύνληαο ην παξαπάλσ ζπκπέξαζκα κπνξνύκε λα δηαηππώζνπκε ηελ πξόηαζε πσο όιεο νη εκηηνλνεηδείο δηαθξηηέο αθνινπζίεο x ( n) Acos( n )( k 0,1,2...) όπου 2 k ( ) είλαη k k k 0 0 ηαπηόζεκεο θαη δελ κπνξνύλ λα δηαθξηζνύλ ε κία από ηελ άιιε. Από ηελ άιιε πιεπξά σζηόζν, είλαη πξνθαλέο πσο απηό δελ ζπκβαίλεη γηα ηηο δηαθξηηέο αθνινπζίεο κε ζπρλόηεηεο ζην δηάζηεκα (ή ηζνδύλακα 1/ 2 f 1/ 2) νη νπνίεο είλαη κνλαδηθέο θαη δηαθνξεηηθέο κεηαμύ ηνπο. Δθείλν πνπ ζπκβαίλεη ζηελ πξάμε είλαη λα ζεσξνύληαη νη αθνινπζίεο κε ζπρλόηεηεο (ή ηζνδύλακα f 1/ 2) σο νη γλήζηεο αθνινπζίεο θαη όιεο νη ππόινηπεο, κε ζπρλόηεηεο ζην δηάζηεκα (ή ηζνδύλακα f 1/ 2 ) σο ςεπδή αληίγξαθα (aliases) ησλ γλήζησλ αθνινπζηώλ. Ο πςειόηεξνο ξπζκόο ηαιάλησζεο γηα κία δηαθξηηή εκηηνλνεηδή αθνινπζία επηηπγράλεηαη όηαλ (ή - ) ή ηζνδύλακα f 1/ 2 (ή f -1/ 2). Η ηδηόηεηα απηή απνδεηθλύεηαη εύθνια ζεσξώληαο έλα δηαθξηηό ζήκα ηεο κνξθήο x( n) cos( n ) θαη εμεηάδνληαο ηε ζπκπεξηθνξά ηνπ θαζώο ε θπθιηθή ηνπ ζπρλόηεηα κεηαβάιιεηαη από 0 έσο. ηελ πεξίπησζε απηή παξαηεξνύκε πσο γηα ηηο ηηκέο ηεο θπθιηθήο ζπρλόηεηεο {0, / 8, / 4, / 2, } νη ηηκέο ηεο ζπρλόηεηαο f /2 είλαη νη {0, 1/16, 1/ 8, 1/ 4, 1/ 2} ελώ νη ηηκέο ηεο πεξηόδνπ N 2 / είλαη νη {, 16, 8, 4, 2}. Δπνκέλσο, ε κηθξόηεξε πεξίνδνο - δειαδή ε κεγαιύηεξε ζπρλόηεηα - αληηζηνηρνύλ ζηελ ηηκή ηεο θπθιηθήο ζπρλόηεηαο. ειίδα 17 από 122

18 Από ηελ άιιε πιεπξά σζηόζν, ζα πξέπεη λα αλαθεξζεί πσο ζε αληίζεζε κε ηα ζπλερή ζήκαηα ζηα νπνία ε αύμεζε ηεο ζπρλόηεηαο νδεγεί πάληα ζε κείσζε ηεο πεξηόδνπ ηνπ ζήκαηνο, ζηα δηαθξηηά ζήκαηα, απηό δελ ηζρύεη πάληα θαζώο ν δείθηεο n κπνξεί λα πάξεη κόλν αθέξαηεο θαη όρη πξαγκαηηθέο ηηκέο. ην πξνεγνύκελν παξάδεηγκα, εάλ ε ηηκή ηεο θπθιηθήο ζπρλόηεηαο ζπλερίζεη λα απμάλεηαη θαη λα παίξλεη ηηκέο ζην δηάζηεκα [, 2 ] ζα παξαηεξήζνπκε πσο ν αξηζκόο ησλ ηαιαληώζεσλ θάπνηα ζηηγκή ζα αξρίζεη λα ειαηηώλεηαη. Απηή ε ειάηησζε είλαη ζπλέπεηα ηεο δεύηεξεο ηδηόηεηαο ησλ δηαθξηηώλ ζεκάησλ, ζύκθσλα κε ηελ νπνία δύν δηαθξηηά ζήκαηα ησλ νπνίσλ νη ζπρλόηεηεο δηαθέξνπλ θαηά πνζόηεηα πνπ είλαη αθέξαην πνιιαπιάζην ηνπ 2, είλαη ηαπηόζεκα, δειαδή δελ δύλαηαη λα δηαθξηζνύλ κεηαμύ ηνπο. Με άιια ιόγηα, εάλ ε θπθιηθή ζπρλόηεηα ηνπ ζήκαηνο πξνζεγγίζεη ηελ ηηκή 2, ε ζπκπεξηθνξά ηνπ ζήκαηνο ζα είλαη παξόκνηα κε εθείλε ηνπ ζήκαηνο κε ζπρλόηεηα 0. Δάλ ε ζπρλόηεηα ιάβεη ηελ ηηκή 2 όπνπ ε κία πνιύ κηθξή ζεηηθή πνζόηεηα, ηόηε ην πιήζνο ησλ ηαιαληώζεσλ ζα είλαη ίζν κε εθείλν ηνπ ζήκαηνο κε ζπρλόηεηα κηθξόηεξν ζε ζρέζε κε ην αξρηθό., δειαδή Από ηελ παξαπάλσ ζπδήηεζε γίλεηαη εύθνια αληηιεπηή ε κεγάιε δηαθνξά πνπ ραξαθηεξίδεη ηε ζπκπεξηθνξά ησλ ζπλερώλ θαη δηαθξηηώλ ζεκάησλ ιόγσ ηεο δηαθξηηήο θύζεσο ηεο κεηαβιεηήο n. Γεληθεύνληαο ην πξνεγνύκελν παξάδεηγκα θαη ιακβάλνληαο ππόςε ηε δεύηεξε ηδηόηεηα ησλ δηαθξηηώλ ζεκάησλ θαη ην γεγνλόο πσο ν κηθξόηεξνο θαη ν κεγαιύηεξνο ξπζκόο ηαιάλησζεο αληηζηνηρνύλ ζηηο ηηκέο n 0 θαη n αληίζηνηρα, κπνξνύκε λα δηαηππώζνπκε ην ζπκπέξαζκα πσο νη ζπρλόηεηεο πνπ βξίζθνληαη ζηελ άκεζε γεηηνληά ηεο ζπρλόηεηαο 0 2 k ( k 0,1,2,...) ζεσξνύληαη ρακειέο ζπρλόηεηεο θαη νδεγνύλ ζε αξγέο ηαιαληώζεηο, ελώ νη ζπρλόηεηεο πνπ βξίζθνληαη ζηελ άκεζε γεηηνληά ηεο ζπρλόηεηαο 0 (2k 1) ( k 0,1,2,...) ζεσξνύληαη πςειέο ζπρλόηεηεο θαη νδεγνύλ ζε πνιύ γξήγνξεο ηαιαληώζεηο. Οινθιεξώλνπκε ηελ αλαθνξά καο ζηνλ ηξόπν ρξήζεο ηεο έλλνηαο ηεο ζπρλόηεηαο ζηα ζπλερή θαη ζηα δηαθξηηά ζήκαηα κε ηελ παξαηήξεζε πσο ε απαίηεζε ηεο απόδνζεο αθέξαησλ ηηκώλ ζηε δηαθξηηή κεηαβιεηή n, θαζηζηά κε πεξηνδηθά, ζήκαηα πνπ ζηελ ζπλερή ηνπο κνξθή απνηεινύλ θιαζζηθά ειίδα 18 από 122

19 παξαδείγκαηα πεξηνδηθώλ ζεκάησλ. Αο ζεσξήζνπκε γηα παξάδεηγκα ην δηαθξηηό ζήκα x( n) cos( n ). Γηα λα είλαη πεξηνδηθό απηό ην ζήκα κε ηηκή πεξηόδνπ ίζε κε N ζα πξέπεη λα ππάξρεη αθέξαηα κεηαβιεηή N ηέηνηα ώζηε x( n) x( n N ) ή ηζνδύλακα cos( n) cos( n N ). Δίλαη πξνθαλέο όπσο πσο δελ ππάξρεη αθέξαηνο αξηζκόο N πνπ λα πιήξε ηελ παξαπάλσ ηδηόηεηα θαη επνκέλσο ην δηαθξηηό ζήκα x( n) cos( n ) δελ είλαη πεξηνδηθό, θάηη πνπ ηζρύεη γηα ην ζπλερέο ηζνδύλακό ηνπ πνπ σο γλσζηόλ είλαη πεξηνδηθή ζπλάξηεζε κε πεξίνδν Μεηαηξνπή ζήκαηνο από αλαινγηθό-ζε-ςεθηαθό θαη ςεθηαθό-ζε- αλαινγηθό Η κεηαηξνπή ελόο αλαινγηθνύ ζήκαηνο ζε ςεθηαθή κνξθή είλαη έλα αλαγθαίν ζηάδην ζηελ επεμεξγαζία ηνπ - εηδηθόηεξα εάλ απηή ιάβεη ρώξα κε ςεθηαθά κέζα - θαη ζπλίζηαηαη ζηε κεηαηξνπή ησλ δεδνκέλσλ ηνπ ζήκαηνο ζε κία αθνινπζία δπαδηθώλ ςεθίσλ. Απηή ε κεηαηξνπή πξαγκαηνπνηείηαη από εηδηθέο δηαηάμεηο πνπ είλαη γλσζηέο σο ADCs (Analog to Digital Converters) θαη δύλαηαη λα νξηζζεί σο κηα δηαδηθαζία ηξηώλ βεκάησλ ηα νπνία ζε γεληθέο γξακκέο είλαη ηα αθόινπζα: Γεηγκαηνιεςία (sampling): ε απηό ην ζηάδην ιακβάλεη ρώξα ε κεηαηξνπή ηνπ αλαινγηθνύ ζπλερνύο ζήκαηνο ζε ζήκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ, θαηακεηξώληαο ηηο ηηκέο ηνπ πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο ζε δηαθξηηέο ρξνληθέο ζηηγκέο. ηηο πην ζπλεζηζκέλεο πεξηπηώζεηο απηέο νη ρξνληθέο ζηηγκέο απέρνπλ ίζεο απνζηάζεηο κεηαμύ ηνπο κε ην ρξνληθό δηάζηεκα γλσζηό σο πεξίνδνο δεηγκαηνιεςίαο. T s πνπ πθίζηαηαη αλάκεζά ηνπο λα είλαη Κβαληηζκόο (quantization): Σν απνηέιεζκα ηεο δηαδηθαζίαο ηεο δεηγκαηνιεςίαο πνπ παξνπζηάζακε πξνεγνπκέλσο είλαη έλα δηαθξηηό ζήκα ζπλερώλ ηηκώλ, δειαδή κηα αθνινπζία ηηκώλ πιάηνπο ζήκαηνο νη νπνίεο αλ θαη απέρνπλ ίζεο ρξνληθέο απνζηάζεηο κεηαμύ ηνπο ελ ηνύηνηο είλαη ζπλερείο ππό ηελ έλλνηα πσο κπνξεί λα ιάβνπλ νπνηαδήπνηε ηηκή. ην ζηάδην ηνπ θβαληηζκνύ απηέο νη ειίδα 19 από 122

20 ηηκέο ηνπ πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο θαζίζηαληαη θαη απηέο δηαθξηηέο, δειαδή, πξνζαξκόδνληαη κε ηέηνην ηξόπν ώζηε νη λέεο ηηκέο ηνπο λα αλήθνπλ ζε έλα πξνθαζνξηζκέλν ζύλνιν ηηκώλ. Η δηαθνξά πνπ πθίζηαηαη αλάκεζα ζην δηαθξηηό ζήκα ζπλερώλ ηηκώλ πνπ έρεη πξνθύςεη από ηε δεηγκαηνιεςία θαη ζην δηαθξηηό ζήκα δηαθξηηώλ ηηκώλ πνπ έρεη πξνθύςεη από ηνλ θβαληηζκό είλαη γλσζηή σο ζθάικα θβαληηζκνύ (quantization error). Κσδηθνπνίεζε (coding): ην ηξίην θαη ηειεπηαίν ζηάδην κεηαηξνπήο ηνπ αλαινγηθνύ ζήκαηνο ζε ςεθηαθή κνξθή, νη θβαληηζκέλεο ηηκέο ηνπ πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο πνπ έρνπλ πξνθύςεη από ηελ πξνεγνύκελε δηαδηθαζία, κεηαηξέπνληαη ζε κία αθνινπζία δπαδηθώλ ςεθίσλ κήθνπο b bits κε ηε κεηαβιεηή b λα απνηειεί παξάκεηξν ηνπ ζπζηήκαηνο ε ηηκή ηεο νπνίαο θαζνξίδεηαη αλάινγα κε ηηο ζπλζήθεο πνπ πθίζηαληαη ζε θάζε πεξίπησζε. Αο ζεκεησζεί σζηόζν πσο αλ θαη ην ζύζηεκα κεηαηξνπήο ηνπ αλαινγηθνύ ζήκαηνο ζε ςεθηαθό έρεη πεξηγξαθεί σο έλα ζύλνιν ηξηώλ επηκέξνπο ππνζπζηεκάησλ, ζηελ πξάμε ε δηαδηθαζία πξαγκαηνπνηείηαη από έλα απιό νινθιεξσκέλν θύθισκα πνπ δέρεηαη ζηελ είζνδό ηνπ έλα αλαινγηθό ζήκα θαη παξάγεη ζηελ έμνδό ηνπ κηα αθνινπζία δπαδηθώλ ςεθίσλ. Όζνλ αθνξά ηε ζεηξά πξαγκαηνπνίεζεο ησλ δηαδνρηθώλ κεηαζρεκαηηζκώλ, απηή κπνξεί λα είλαη νπνηαδήπνηε, αλ θαη ζηελ πξάμε, ην ζηάδην ηεο δεηγκαηνιεςίαο πξνεγείηαη ζπλήζσο εθείλν ηνπ θβαληηζκνύ. x () a t xn ( ) xq () t Γεηγκαηνιήπηεο Kβαληηζηήο Κσδηθνπνηεηήο Aλαινγηθό ήκα ήκα Γηαθξηηνύ Xξόλνπ Kβαληηζκέλν ήκα Φεθηαθό ήκα ρήκα 1.3: Μεηαηξνπέαο A/D ειίδα 20 από 122

21 ε νξηζκέλεο πεξηπηώζεηο (όπσο γηα παξάδεηγκα ζε εθαξκνγέο ρξήζεο θσλεηηθνύ ζήκαηνο) απαηηείηαη ε κεηαηξνπή ηνπ επεμεξγαζκέλνπ ςεθηαθνύ ζήκαηνο ζηελ αξρηθή αλαινγηθή ηνπ κνξθή. Απηή ε δηαδηθαζία πξαγκαηνπνηείηαη κε ηε βνήζεηα δηαηάμεσλ γλσζηώλ σο DACs (Digital to Analog Converters) νη νπνίνη πξαγκαηνπνηνύλ ηελ αληίζηξνθε δηαδηθαζία. Αο ζεκεησζεί σζηόζν πσο επεηδή ε κεηαηξνπή ηνπ ζήκαηνο από αλαινγηθή ζε ςεθηαθή κνξθή είλαη κία απσιεζηηθή δηαδηθαζία, ε πιήξεο αλαθαηαζθεπή ηνπ αξρηθνύ αλαινγηθνύ ζήκαηνο από ην δηαθξηηό ηζνδύλακν ηνπ δελ είλαη δπλαηή ζε όιεο ηηο πεξηπηώζεηο αιιά κόλν όηαλ πιεξνύληαη νξηζκέλεο πξνϋπνζέζεηο νη νπνίεο ζα παξνπζηαζηνύλ ζε επόκελε ελόηεηα. 1.4 Καηεγνξίεο ζεκάησλ Αλάινγα κε ηε θύζε ηνπο θαη ηα ραξαθηεξηζηηθά πνπ ηα πεξηγξάθνπλ ηα ζήκαηα κπνξνύλ λα νκαδνπνηεζνύλ ζε πνιιέο θαηεγνξίεο, νη πην ζεκαληηθέο από ηηο νπνίεο είλαη νη εμήο: Πνιπδηάζηαηα ζήκαηα θαη ζήκαηα πνιιώλ θαλαιηώλ: Όπσο έρεη ήδε αλαθεξζεί, έλα ζήκα κπνξεί λα είλαη ζπλάξηεζε κηαο ή πεξηζζόηεξσλ κεηαβιεηώλ. Γηα παξάδεηγκα ην ζήκα x( t) cos( ) t νξίδεηαη ζην ρώξν ηεο κηαο δηάζηαζεο. ηε γεληθή πεξίπησζε θαηά ηελ νπνία ην ζήκα πεξηγξάθεηαη από κηα ζπλάξηεζε Μ κεηαβιεηώλ x1, x2, x3,..., x M ιέκε πσο ην ζήκα ραξαθηεξίδεηαη από ηελ ύπαξμε M δηαζηάζεσλ (Μ dimensional signal). Από ηελ άιιε πιεπξά, ε θάζε κηα από ηηο κεηαβιεηέο ηνπ ζήκαηνο, κπνξεί λα είλαη βαζκσηό, κηγαδηθό ή αθόκε θαη δηαλπζκαηηθό κέγεζνο. Γηα παξάδεηγκα ην ζήκα S 1(t) = Asin(3πt) (1.10) είλαη ζπλάξηεζε ηνπ βαζκσηνύ κεγέζνπο t, ελώ ην ζήκα S t Ae A t ja t (1.11) 3 2 ( ) j t cos(3 ) sin(3 ) ειίδα 21 από 122

22 είλαη κηγαδηθήο θύζεσο, αθνύ πεξηέρεη ηε κηγαδηθή κνλάδα j. ε άιιεο πάιη πεξηπηώζεηο ην ζήκα πεξηέρεη ζπληζηώζεο νη νπνίεο δεκηνπξγνύληαη από δηαθνξεηηθέο πεγέο ή θαηακεηξώληαη από πνιιέο κεηξεηηθέο δηαηάμεηο ή αηζζεηήξεο. Σππηθό παξάδεηγκα απηήο ηεο θαηεγνξίαο ζεκάησλ είλαη ηα θύκαηα πνπ πξνθαινύληαη από ηελ επηηάρπλζε ηνπ εδάθνπο θαηά ηε δηάξθεηα ηεο εθδήισζεο ζεηζκηθήο δξαζηεξηόηεηαο. Οη έξεπλεο έρνπλ δείμεη πσο ηα θύκαηα απηά απνηεινύληαη από ηξεηο ζπληζηώζεο, εθ ησλ νπνίσλ ή κία είλαη εγθάξζηα, ε δεύηεξε δηακήθεο θαη ε ηξίηε ραξαθηεξίδεηαη σο επηθαλεηαθή ζπληζηώζα. Δάλ πεξηγξάςνπκε απηέο ηηο ηξεηο ζπληζηώζεο κε ηα κνλνδηάζηαηα ζήκαηα S () t, S () t θαη 1 2 S () 3 t, είλαη πξνθαλέο πσο ην ζπλνιηθό θύκα ζα είλαη έλα δηάλπζκα ηεο κνξθήο S () t 1 S ( t) S ( t) 2 S () t 3 (1.12) Σα ζήκαηα απηά νλνκάδνληαη θαη ζήκαηα πνιιώλ θαλαιηώλ (multichannel signals) δηόηη νη ζπληζηώζεο ηνπο πξνέξρνληαη από πνιιέο δηαθνξεηηθέο πεγέο, ή όπσο ιέκε ζηελ νξνινγία ησλ ζεκάησλ, από πνιιά δηαθνξεηηθά θαλάιηα. ήκαηα ζπλερνύο ρξόλνπ θαη ζήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ: Σν βαζηθό ραξαθηεξηζηηθό ησλ ζεκάησλ ζπλερνύο ρξόλνπ, είλαη πσο απηά νξίδνληαη γηα θάζε ρξνληθή ζηηγκή θαη παίξλνπλ ηηκέο πνπ αλήθνπλ ζε έλα ζπλερέο δηάζηεκα (, ) - ην δηάζηεκα απηό κπνξεί λα είλαη θαη ην (, ). Από ηε καζεκαηηθή ζθνπηά ηνπ ζέκαηνο, ηα ζήκαηα απηνύ ηνπ είδνπο πεξηγξάθνληαη από κηα ζπλερή ζπλάξηεζε xt (), π.ρ. x( t) cos( t ). Από ηελ άιιε πιεπξά, ηα ζήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ νξίδνληαη κόλν ζε ζπγθεθξηκέλεο ρξνληθέο ζηηγκέο νη νπνίεο δελ είλαη ππνρξεσηηθό λα απέρνπλ ίζεο απνζηάζεηο κεηαμύ ηνπο (αλ θαη ζπλήζσο απηό ζπκβαίλεη). ηελ πεξίπησζε απηή ην ζήκα πεξηγξάθεηαη από κηα ζπλάξηεζε ηεο ειίδα 22 από 122

23 κνξθήο xt ( n) (όπνπ n 0, 1, 2,..., n) θαη επνκέλσο είλαη ζπλάξηεζε ηεο αθεξαίαο κεηαβιεηήο n. ήκαηα ζπλερώλ ηηκώλ θαη ζήκαηα δηαθξηηώλ ηηκώλ: Οη ηηκέο ελόο ζήκαηνο ζπλερνύο ή δηαθξηηνύ ρξόλνπ κπνξεί λα είλαη θαη νη ίδηεο ζπλερείο ή δηαθξηηέο. Πην ζπγθεθξηκέλα, εάλ ην ζήκα παίξλεη όιεο ηηο πηζαλέο ηηκέο ζε κηα πεπεξαζκέλε ή άπεηξε πεξηνρή ηηκώλ, νλνκάδεηαη ζήκα ζπλερώλ ηηκώλ. ηελ αληίζεηε πεξίπησζε θαηά ηελ νπνία ην ζήκα παίξλεη έλα πεπεξαζκέλν ζύλνιν πηζαλώλ ηηκώλ, νλνκάδεηαη ζήκα δηαθξηηώλ ηηκώλ. Δπεηδή ε παξαπάλσ δηάθξηζε αθνξά ηόζν ηα ζήκαηα ζπλερνύο ρξόλνπ όζν θαη ηα ζήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ, είλαη πξνθαλέο, πσο ππάξρνπλ ηέζζεξηο θαηεγνξίεο ζεκάησλ: (α) ζήκαηα ζπλερνύο ρξόλνπ θαη ζπλερώλ ηηκώλ, (β) ζήκαηα ζπλερνύο ρξόλνπ θαη δηαθξηηώλ ηηκώλ, (γ) ζήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ θαη ζπλερώλ ηηκώλ θαη (δ) ζήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ θαη δηαθξηηώλ ηηκώλ. Σα ςεθηαθά ζήκαηα πνπ παξνπζηάζακε ζηελ πξνεγνύκελε ελόηεηα, αλήθνπλ ζηελ ηέηαξηε από ηηο παξαπάλσ θαηεγνξίεο, είλαη δειαδή ζήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ πνπ παίξλνπλ δηαθξηηέο ηηκέο. Όπσο ζα δνύκε δε ζε επόκελε ελόηεηα, ε κεηαηξνπή ελόο ζήκαηνο από ζήκα ζπλερώλ ηηκώλ ζε ζήκα δηαθξηηώλ ηηκώλ, είλαη γλσζηή σο θβαληηζκόο (quantization). Νηεηεξκηληζηηθά ζήκαηα θαη ηπραία ζήκαηα: Έλα ζήκα νλνκάδεηαη ληεηεξκηληζηηθό, όηαλ κπνξεί λα πεξηγξαθεί κε κνλαδηθό ηξόπν από κία επαθξηβώο θαζνξηζκέλε καζεκαηηθή έθθξαζε, από έλα πίλαθα δεδνκέλσλ, ή από θάπνην γλσζηό θαλόλα. Σν ζήκα ζεσξείηαη ληεηεξκηληζηηθό ππό ηελ έλλνηα ε γλώζε ηνπ θαλόλα πνπ θαζνξίδεη ηε ρξνληθή ηνπ εμέιημε, επηηξέπεη ηνλ ππνινγηζκό ηεο ηηκήο ηνπ ζε νπνηαδήπνηε ρξνληθή ζηηγκή. Από ηελ άιιε πιεπξά, εάλ ην ζήκα δελ κπνξεί λα πεξηγξαθεί κε ηθαλνπνηεηηθό βαζκό αθξηβείαο από κηα επαξθώο θαζνξηζκέλε καζεκαηηθή έθθξαζε, ή απηή ε πεξηγξαθή είλαη πάξα πνιύ πνιύπινθε έηζη ώζηε λα κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί ζηελ πξάμε, ην ζήκα ραξαθηεξίδεηαη σο ηπραίν. ηελ πεξίπησζε απηή ζεσξνύκε πσο ην ζήκα εμειίζζεηαη ζην ρξόλν κε ηξόπν ν νπνίνο δελ είλαη γλσζηόο. ειίδα 23 από 122

24 2. ήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ 2.1 Σαμηλόκεζε δηαθξηηώλ ζεκάησλ ηελ ελόηεηα απηή ζα παξνπζηάζνπκε ηηο ηξεηο δηαθνξεηηθέο θαηεγνξίεο ζηηο νπνίεο κπνξεί λα ηαμηλνκεζεί έλα ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ κε θξηηήξην ηηο ηδηόηεηεο πνπ ην πεξηγξάθνπλ. Έλα ηέηνην ζήκα κπνξεί λα ραξαθηεξηζζεί σο ζήκα ελέξγεηαο ή ζήκα ηζρύνο, σο πεξηνδηθό ή απεξηνδηθό, θαη σο ζπκκεηξηθό ή αληηζπκκεηξηθό. ηηο επόκελεο παξαγξάθνπο ζα πεξηγξάςνπκε ζπλνπηηθά ηηο ηξεηο απηέο θαηεγνξίεο δηαθξηηώλ ζεκάησλ ήκαηα ελέξγεηαο θαη ζήκαηα ηζρύνο ύκθσλα κε ηε ζεκειηώδε ζεσξία ησλ δηαθξηηώλ ζεκάησλ, ε ελέξγεηα E ελόο δηαθξηηνύ ζήκαηνο xn ( ), νξίδεηαη σο 2 E x( n ) (2.1) n θαη κπνξεί λα είλαη πεπεξαζκέλε ή άπεηξε. Δάλ ε ελέξγεηα ηνπ ζήκαηνο είλαη πεπεξαζκέλε - ηζρύεη δειαδή ε ζρέζε 0 E - ην δηαθξηηό ζήκα xn ( ) νλνκάδεηαη ζήκα ελέξγεηαο (energy signal). ε νξηζκέλεο πεξηπηώζεηο γηα ηελ ελέξγεηα E ηνπ ζήκαηνο xn ( ) ρξεζηκνπνηείηαη θαη ν ζπκβνιηζκόο Αλ θαη έλα δηαθξηηό ζήκα xn ( ) κπνξεί λα ραξαθηεξίδεηαη από άπεηξε ελέξγεηα E, ελ ηνύηνηο, ε κέζε ηζρύο ηνπ (average power) κπνξεί λα είλαη πεπεξαζκέλε. Απηή ε ηζρύο νξίδεηαη σο E x. P N 1 lim x( n) N 2N 1 n N 2 (2.2) ειίδα 24 από 122

25 Δάλ ινηπόλ νξίζνπκε ηελ ελέξγεηα ηνπ ζήκαηνο επί ηνπ πεπεξαζκέλνπ δηαζηήκαηνο ηηκώλ N n N, δειαδή γξάςνπκε N 2 EN x( n ) (2.3) n N είλαη πξνθαλέο όηη ε ζπλνιηθή ελέξγεηα ζα δίδεηαη από ηε ζρέζε E lim E N ελώ ε κέζε ηζρύο ζα είλαη N P 1 lim EN N 2 N 1 (2.4) Δάλ ε ελέξγεηα Δ ηνπ ζήκαηνο είλαη πεπεξαζκέλε, ε ηζρύο ηνπ, P, ζα είλαη ίζε κε ην κεδέλ ( P 0). Αληίζεηα, εάλ ε ελέξγεηα E απεηξίδεηαη, ε ηζρύο P κπνξεί λα είλαη πεπεξαζκέλε ή άπεηξε. ηελ πεξίπησζε θαηά ηελ νπνία ε ηζρύο P είλαη πεπεξαζκέλε, ην δηαθξηηό ζήκα xn ( ) νλνκάδεηαη ζήκα ηζρύνο (power signal) Πεξηνδηθά ζήκαηα θαη απεξηνδηθά ζήκαηα Έλα δηαθξηηό ζήκα xn ( ) νλνκάδεηαη πεξηνδηθό (periodic) κε πεξίνδν NN ( 0) αλ θαη κόλν αλ x( n N) x( n ) n (2.5) ηελ πεξίπησζε απηή, ε κηθξόηεξε ηηκή ηεο παξακέηξνπ N γηα ηελ νπνία ηθαλνπνηείηαη ε παξαπάλσ ζρέζε, νλνκάδεηαη ζεκειηώδεο πεξίνδνο (fundamental period) ηνπ ζήκαηνο. Αληίζεηα, εάλ δελ ππάξρεη ηηκή ηνπ N πνπ λα ηθαλνπνηεί απηή ηε ζρέζε, ην ζήκα νλνκάδεηαη κε πεξηνδηθό (non periodic) ή απεξηνδηθό (aperiodic). Απνδεηθλύεηαη πσο όια ηα πεξηνδηθά ζήκαηα είλαη ζήκαηα ηζρύνο (power signals). Δίλαη πξνθαλέο πσο αλ ε πεξίνδνο ελόο ζήκαηνο είλαη ίζε κε N, ηόηε ην ελ ιόγσ ζήκα έρεη σο πεξηόδνπο θαη ηηο πνζόηεηεο mnm 1, 2,3,... κε ηε κηθξόηεξε από απηέο λα απνηειεί θαη ηε ζεκειηώδε πεξίνδν. Δάλ ζεσξήζνπκε δύν πεξηνδηθά ειίδα 25 από 122

26 ζήκαηα x ( n ) θαη x ( n ) κε ηηκέο πεξηόδσλ 1 2 N 1 θαη N 2 αληίζηνηρα, ηόηε ηα ζήκαηα x1( n) x2( n ) θαη x1( n) x2( n ) είλαη θαη απηά πεξηνδηθά κε ηηκή πεξηόδνπ N ( N1N2 ) / MK ( N1, N 2) όπνπ MK ( N1, N 2) είλαη ν κέγηζηνο θνηλόο δηαηξέηεο ησλ αθέξαησλ αξηζκώλ N 1 θαη N πκκεηξηθά ζήκαηα θαη αληηζπκκεηξηθά ζήκαηα Έλα ζήκα πξαγκαηηθώλ ηηκώλ (real-valued signal) νλνκάδεηαη ζπκκεηξηθό (symmetric) ή άξηην (even), εάλ ηθαλνπνηείηαη ε ζρέζε x( n) x( n ) n (2.6) Από ηελ άιιε πιεπξά, εάλ ην ζήκα xn ( ) είλαη ηέηνην ώζηε x( n) x( n ) n (2.7) Συμμετρικό Σήμα Aντισυμμετρικό Σήμα ρήκα 2.1: Παξάδεηγκα άξηηνπ (ζπκκεηξηθνύ) θαη πεξηηηνύ (αληηζπκκεηξηθνύ) ζήκαηνο Σν ζήκα νλνκάδεηαη αληηζπκκεηξηθό (antisymmetric) ή πεξηηηό (odd). ηελ ηειεπηαία πεξίπησζε είλαη πξνθαλέο όηη x (0) 0. Απνδεηθλύεηαη πσο θάζε δηαθξηηό ζήκα xn ( ) κπνξεί λα γξαθεί σο άζξνηζκα δύν δηαθξηηώλ ζεκάησλ εθ ησλ νπνίσλ ην έλα είλαη ζπκκεηξηθό θαη ην άιιν ειίδα 26 από 122

27 αληηζπκκεηξηθό. Δάλ xe ( n ) θαη x ( ) 0 n είλαη δύν ηέηνηα ζήκαηα, είλαη πξνθαλέο πσο απηά ζα ηθαλνπνηνύλ ηηο ζρέζεηο 1 1 xe ( n) x( n) x( n) και x0 ( n) x( n) x( n ) (2.8) 2 2 Δάλ ινηπόλ πξνζζέζνπκε θαηά κέιε, ζα θαηαιήμνπκε ζηελ εμίζσζε x( n) x ( n) x ( n ), ήηνη, ην απζαίξεην δηαθξηηό ζήκα xn ( ), κπνξεί λα πεξηγξαθεί e 0 σο ην άζξνηζκα κηαο ζπκκεηξηθήο θαη κηαο αληηζπκκεηξηθήο ζπληζηώζαο. 2.2 Θεκειηώδεο πξάμεηο κε δηαθξηηά ζήκαηα Έρνληαο δεκηνπξγήζεη έλα δηαθξηηό ζήκα xn ( ), κπνξνύκε ζηε ζπλέρεηα λα ην επεμεξγαζηνύκε κε ηξόπν ώζηε λα θαιύπηνληαη νη απαηηήζεηο πνπ πθίζηαληαη ζε θάζε πεξίπησζε. Τπάξρνπλ πνιιέο κνξθέο κεηαζρεκαηηζκώλ πνπ κπνξνύκε λα εθαξκόζνπκε πάλσ ζε έλα δηαθξηηό ζήκα, νη πην ραξαθηεξηζηηθέο από ηηο νπνίεο πεξηιακβάλνπλ ηε ρξνληθή κεηαηόπηζε (time shift) ηνπ ζήκαηνο, ηελ πξόζζεζε θαη ηνλ πνιιαπιαζηαζκό ησλ δεηγκάησλ ηνπ θαζώο θαη ηελ αιιαγή ηεο ηηκήο ηνπ πιάηνπο ηνπ. ε κηα πην ιεπηνκεξή πεξηγξαθή, νη βαζηθνί ηύπνη κεηαζρεκαηηζκώλ πνπ κπνξνύκε λα εθαξκόζνπκε πάλσ ζε έλα δηαθξηηό ζήκα xn ( ), είλαη νη εμήο: Μεηαβνιή ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο n : Έλα δηαθξηηό ζήκα xn ( ), κπνξεί λα κεηαηνπηζηεί ζην ρξόλν, αληηθαζηζηώληαο ηελ ηξέρνπζα ηηκή ηεο κεηαβιεηήο n κε ηελ ηηκή ( n k ) όπνπ ην k είλαη κηα αθέξαηα πνζόηεηα. Δάλ ε ηηκή ηνπ k είλαη ζεηηθή, απηή ε ρξνληθή κεηαηόπηζε αληηζηνηρεί ζε ρξνληθή θαζπζηέξεζε ηνπ ζήκαηνο θαηά k ρξνληθέο κνλάδεο, ελώ εάλ ην k ιάβεη αξλεηηθέο ηηκέο, ε δηαδηθαζία ηεο ρξνληθήο κεηαηόπηζεο γίλεηαη πξνο ηα εκπξόο θαη ην ζήκα πξνρσξά ζην ρξόλν θαηά k ρξνληθέο κνλάδεο. Δίλαη πξνθαλέο πσο ε δηαδηθαζία απηή κπνξεί λα εθαξκνζζεί κόλν ζε ζήκαηα ηα νπνία έρνπλ ήδε θαηαγξαθεί θαη βξίζθνληαη απνζεθεπκέλα ζηε κλήκε ή ζε θάπνην αξρείν ειίδα 27 από 122

28 ελόο ππνινγηζηηθνύ ζπζηήκαηνο. Αληίζεηα εάλ ην ζήκα πνπ ζεσξνύκε δεκηνπξγείηαη ζε πξαγκαηηθό ρξόλν σο ην απνηέιεζκα ηεο θαηαγξαθήο ηεο ηηκήο θάπνηαο κέηξεζεο, ε παξαπάλσ δηαδηθαζία είλαη πξαθηηθά αλεθάξκνζηε δηόηη ζπλίζηαηαη ζηελ πξόβιεςε ηεο ηηκήο κειινληηθώλ κεηξήζεσλ πνπ βέβαηα είλαη αδύλαηε. Έλαο άιινο ελδηαθέξσλ κεηαζρεκαηηζκόο απηνύ ηνπ ηύπνπ, είλαη ε αληηθαηάζηαζε ηεο ηηκήο ηεο κεηαβιεηήο κε ηελ ηηκή n. Σν απνηέιεζκα απηήο ηεο δηαδηθαζίαο είλαη ν ζρεκαηηζκόο ηνπ θαηνπηξηθνύ δηαθξηηνύ ζήκαηνο σο πξνο ηελ n 0. Κιηκάθσζε ηνπ πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο (amplitude scaling): Η θιηκάθσζε (scaling) ηνπ πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο θαηά κία ζηαζεξά A, ιακβάλεη ρώξα πνιιαπιαζηάδνληαο ηελ ηηκή θάζε δείγκαηνο ηνπ ζήκαηνο κε ηελ ηηκή ηεο ζηαζεξάο A. Σν λέν ζήκα πνπ ζα πξνθύςεη κε ηνλ ηξόπν απηό, ζα δίδεηαη επνκέλσο από ηε ζρέζε y( n) Ax( n) - n (2.9) Πξόζζεζε ζεκάησλ (signal addition): Σν άζξνηζκα δύν δηαθξηηώλ ζεκάησλ x ( n ) θαη 1 x ( ) 2 n νξίδεηαη σο έλα λέν δηαθξηηό ζήκα yn, ( ) ηέηνην ώζηε, ε ηηκή ηνπ θάζε δείγκαηνο πνπ πεξηιακβάλεηαη ζε απηό, λα ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα ησλ ηηκώλ ησλ αληίζηνηρσλ δεηγκάησλ ησλ ζεκάησλ x ( n ) θαη 1 x ( ) 2 n. Δπνκέλσο ην ςεθηαθό ζήκα yn ( ) ζα ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε y( n) x1( n) x2( n) n (2.10) Πνιιαπιαζηαζκόο ζεκάησλ (signal multiplication): Σν γηλόκελν δύν δηαθξηηώλ ζεκάησλ x ( n ) θαη 1 x ( ) 2 n νξίδεηαη σο έλα λέν δηαθξηηό ζήκα yn, ( ) ηέηνην ώζηε, ε ηηκή ηνπ θάζε δείγκαηνο πνπ πεξηιακβάλεηαη ζε απηό, λα ηζνύηαη κε ην γηλόκελν ησλ ηηκώλ ησλ ειίδα 28 από 122

29 αληίζηνηρσλ δεηγκάησλ ησλ ζεκάησλ x ( n ) θαη 1 x ( ) 2 n. Δπνκέλσο ην ςεθηαθό ζήκα yn ( ) ζα ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε y( n) x1( n)* x2( n) n (2.11) 2.3 Αλαπαξάζηαζε δηαθξηηώλ ζεκάησλ Όπσο έρεη ήδε αλαθεξζεί, έλα δηαθξηηό ζήκα xn ( ) νξίδεηαη σο κηα ζπλάξηεζε κηαο αλεμάξηεηεο αθέξαηνο κεηαβιεηήο n, ε απαίηεζε ηεο αθέξαηαο κεηαβιεηήο είλαη ππνρξεσηηθή θαζώο ηα δηαθξηηά ζήκαηα δελ νξίδνληαη γηα ηηκέο ηνπ n πνπ δελ είλαη αθέξαηεο. Απηή ε κεηαβιεηή δελ είλαη ππνρξεσηηθό λα αλαπαξηζηά ην ρξόλν αιιά έλα νπνηνδήπνηε θπζηθό κέγεζνο (π.ρ. θάπνηα απόζηαζε) αλ θαη ζηε γεληθή πεξίπησζε εθθξάδεη ζπγθεθξηκέλεο ρξνληθέο ζηηγκέο. Σππηθό παξάδεηγκα δηαθξηηνύ ζήκαηνο απεηθνλίδεηαη ζην ζρήκα 3. Δθηόο από απηόλ ηνλ γξαθηθό ηξόπν αλαπαξάζηαζεο, έλα δηαθξηηό ζήκα κπνξεί λα αλαπαξαζηαζεί κε θάπνηνλ από ηνπο αθόινπζνπο ηξόπνπο: πλαξηεζηαθή αλαπαξάζηαζε (functional representation), ζηελ νπνία θαζνξίδνπκε ηελ ηηκή ηνπ ζήκαηνο γηα ηελ θάζε πεξηνρή ηηκώλ ηνπ n, γηα παξάδεηγκα 1, n 1,3 x( n) 4, n 2 0, ή ύ (2.12) ρήκα 2.2: Σππηθό παξάδεηγκα δηαθξηηνύ ζήκαηνο ειίδα 29 από 122

30 Αλαπαξάζηαζε ζε κνξθή πίλαθα (functional representation) όπνπ θαζνξίδνπκε ηελ ίδηα πιεξνθνξία, θαηαρσξώληαο απηέο ηηο ηηκέο ζε θαηάιιεια δηακνξθσκέλν πίλαθα: n xn ( ) Αθνινπζηαθή αλαπαξάζηαζε (sequential representation) όπνπ θαηαγξάθνπκε ηηο δηαθξηηέο ηηκέο ηνπ ζήκαηνο ππό κνξθή αθνινπζίαο θαη ρξεζηκνπνηνύκε ην ζύκβνιν ( ) γηα λα ππνδειώζνπκε ηελ αξρή ηνπ ζήκαηνο, δειαδή ην πιάηνο πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ηηκή n 0 : xn ( ) {...0,0,1,4,1,0,0,...} Δάλ ην κήθνο ηνπ δηαθξηηνύ ζήκαηνο είλαη πεπεξαζκέλν, ην ζήκα κπνξεί λα γξαθεί θαη ζε δηαλπζκαηηθή κνξθή σο x( n) [ x(0), x(1), x(2),..., x( N )] T όπνπ N ην πιήζνο ησλ δεδνκέλσλ ηνπ ζήκαηνο θαη T ν ηειεζηήο ηνπ αλάζηξνθνπ πίλαθα. Αλ θαη κηιώληαο γεληθά νη ηηκέο πνπ πεξηιακβάλνληαη ζε έλα δηαθξηηό ζήκα είλαη πξαγκαηηθέο, ελ ηνύηνηο θαλείο δελ απαγνξεύεη ηε ρξήζε κηγαδηθώλ δηαθξηηώλ ζεκάησλ. Απηά ηα ζήκαηα νξίδνληαη από κία εμίζσζε ηεο κνξθήο z( n) ( n) i ( n) Re[ z( n)] i Im[ z( n )] ή ηζνδύλακα, z( n) z( n) exp( i [ z( n )]) όπνπ θαηά ηα γλσζηά, ην πιάηνο θαη ε θάζε ησλ κηγαδηθώλ πνζνηήησλ γηα θάζε ηηκή ηεο κεηαβιεηήο n νξίδνληαη σο 2 2 z( n) {Re[ z( n)]} {Im[ z( n )]} θαη 1 [ z( n)] tan {Im[ z( n)}/{re[ z( n )]} αληίζηνηρα. 2.4 Βαζηθέο ζπλαξηήζεηο δηαθξηηώλ ζεκάησλ εκαληηθό ξόιν ζηελ αλάιπζε ησλ ζεκάησλ δηαθξηηνύ ρξόλνπ, παίδνπλ νη ζπλαξηήζεηο ηεο κνλαδηαίαο δηαθξηηήο ώζεο (ή δηαθξηηήο ζπλάξηεζεο ) (unit impulse response) θαη ηεο κνλαδηαίαο ζπλάξηεζεο βήκαηνο (unit step function) νη νπνίεο δίδνληαη από ηηο ζρέζεηο ειίδα 30 από 122

31 1 n 0 ( n) u( n) u( n 1) (2.13) 0 ή ύ θαη 1 n 0 u( n) ( k ) (2.14) 0 ή ύ k αληίζηνηρα από όπνπ παξαηεξνύκε πσο ε θάζε κία ζπλάξηεζε κπνξεί λα νξηζηεί κε ηε βνήζεηα ηεο άιιεο. Απνδεηθλύεηαη πσο θάζε δηαθξηηό ζήκα xn ( ) κπνξεί λα γξαθεί σο έλα άζξνηζκα άπεηξσλ κεηαηνπηζκέλσλ κνλαδηαίσλ ώζεσλ νη νπνίεο είλαη πνιιαπιαζηαζκέλεο κε έλα ζπληειεζηή βάξνπο πνπ αληηζηνηρεί ζηελ εθάζηνηε ηηκή ηνπ ζήκαηνο. Η ηδηόηεηα απηή ζε καζεκαηηθή κνξθή απνδίδεηαη από ηελ εμίζσζε x( n)... x( 1) ( n 1) x(0) (0) x(1) ( n 1)... x( k) ( n k ) (2.15) k Η ηειεπηαία ρξήζηκε ζπλάξηεζε πνπ ρξεζηκνπνηείηαη αξθεηά ζπρλά ζην πεδίν ησλ n δηαθξηηώλ ζεκάησλ είλαη ε εθζεηηθή αθνινπζία ε νπνία νξίδεηαη σο xn ( ) όπνπ ε παξάκεηξνο κπνξεί λα είλαη πξαγκαηηθή ή κηγαδηθή. Ιδηαίηεξν ελδηαθέξνλ παξνπζηάδεη ε πεξίπησζε νξηζκνύ απηήο ηεο παξακέηξνπ σο exp( i 0) όπνπ ε πνζόηεηα 0 λνείηαη σο παξάκεηξνο ηνπ πξνβιήκαηνο. ηελ πεξίπησζε απηή ε παξαπάλσ ζρέζε ιακβάλεη ηε κνξθή x( n) [exp( i )] exp( in ) cos( n ) sin( n ) (2.16) n θαη είλαη γλσζηή σο κηγαδηθή εθζεηηθή αθνινπζία. Οη ζεκειηώδεηο δηαθξηηέο ζπλαξηήζεηο ηεο κνλαδηαίαο ώζεο ( n ) θαη ηεο κνλαδηαίαο ζπλάξηεζεο βήκαηνο un ( ) παξνπζηάδνληαη ζην επόκελν ζρήκα. ειίδα 31 από 122

32 ρήκα 2.3: Οη δηαθξηηέο ζπλαξηήζεηο ηεο κνλαδηαίαο ώζεο ( n ) θαη ηεο κνλαδηαίαο ζπλάξηεζεο βήκαηνο un ( ) Η ζπλερήο θαη ε δηαθξηηή ζπλάξηεζε κνλαδηαίαο ώζεο Η ζπλερήο ζπλάξηεζε κνλαδηαίαο ώζεο ή ζπλάξηεζε, απνηειεί κία από ηηο θιαζζηθέο ζπλαξηήζεηο ηεο Φπζηθήο θαη ρξεζηκνπνηείηαη πάξα πνιύ ζπρλά ζε αιγνξίζκνπο θαη εθαξκνγέο επεμεξγαζίαο ζήκαηνο. Η ζπλάξηεζε απηή νλνκάδεηαη πνιιέο θνξέο θαη ζπλάξηεζε ηνπ Dirac πξνο ηηκήλ ηνπ Άγγινπ Φπζηθνύ Paul A.M.Dirac ( ) πνπ ηε ρξεζηκνπνίεζε ζπζηεκαηηθά ζηηο έξεπλέο ηνπ ζην ρώξν ηεο Κβαληηθήο Φπζηθήο. Η ζπλάξηεζε απηή νξίδεηαη από ηε ζρέζε ( ) t 0 t (2.17) 0 οπουδήποτε αλλού ελώ ηαπηόρξνλα ζα πξέπεη λα ηθαλνπνηεί ηελ ηδηόηεηα ( t) dt 1 (2.18) Δίλαη πξνθαλέο πσο θακία ζπλάξηεζε δελ κπνξεί λα ηθαλνπνηήζεη ηέηνηεο ηδηόηεηεο θαη πξάγκαηη ε ζπλάξηεζε δελ ζεσξείηαη καζεκαηηθή ζπλάξηεζε κε ηε ζπλήζε έλλνηα ηνπ όξνπ. ειίδα 32 από 122

33 Από ηελ άιιε πιεπξά, ε δηαθξηηή ζπλάξηεζε κνλαδηαίαο ώζεο, νξίδεηαη όπσο έρνπκε ήδε αλαθέξεη από ηε ζρέζε ( ) 1 n 0 n (2.19) 0 οπουδήποτε αλλού Η ζπλάξηεζε απηή ζεσξείηαη πάξα πνιύ ρξήζηκε ζηελ ςεθηαθή επεμεξγαζία ζήκαηνο, θαζώο απνδεηθλύεηαη πσο νπνηνδήπνηε δηαθξηηό ζήκα κε άπεηξν πιήζνο κε κεδεληθώλ ηηκώλ κπνξεί λα αλαπηπρζεί ζε κηα αθνινπζία ρξνληθώο κεηαηνπηζκέλσλ ζπλαξηήζεσλ κνλαδηαίαο ώζεο κε άπεηξν πιήζνο ζηνηρείσλ. Πξνθεηκέλνπ λα απνδείμνπκε απηόλ ηνλ ηζρπξηζκό, αο ζεσξήζνπκε ην ζήκα xk ( n) ( n k ) πνπ νξίδεηαη σο ε ζπλάξηεζε κεηαηνπηζκέλε πξνο ηα πίζσ θαηά k ρξνληθέο κνλάδεο. Δίλαη πξνθαλέο, πσο απηό ην ζήκα ζα έρεη κεδεληθέο ηηκέο ζε όιεο ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο, εθηόο από ηε ζηηγκή n k ζηελ νπνία ζα έρεη ηηκή ίζε κε ηε κνλάδα (απηή ε ηδηόηεηα πξνθύπηεη απεπζείαο από ηνλ νξηζκό ηεο δηαθξηηήο ζπλάξηεζεο ηεο κνλαδηαίαο ώζεο). Δάλ ηώξα πνιιαπιαζηάζνπκε ην ζήκα xn ( ) κε ην ζήκα ( n k ) - ππελζπκίδνπκε από ηε βαζηθή ζεσξία πσο ν πνιιαπιαζηαζκόο απηόο ζα νδεγήζεη ζηε δεκηνπξγία ελόο λένπ δηαθξηηνύ ζήκαηνο θάζε ζηνηρείν ηνπ νπνίνπ ζα πξνθύςεη από ηνλ πνιιαπιαζηαζκό ησλ αληίζηνηρσλ ζηνηρείσλ ησλ δύν ζεκάησλ - είλαη πξνθαλέο πσο ην απνηέιεζκα απηήο ηεο πξάμεο ζα είλαη έλα λέν ζήκα πνπ ζα έρεη κεδεληθέο ηηκέο ζε όιεο ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο εθηόο από ηε ζηηγκή n k ζηελ νπνία ζα έρεη ηηκή ίζε κε xk ( ), όπνπ xk ( ) είλαη ε ηηκή ηνπ ζήκαηνο xn ( ) ηε ρξνληθή ζηηγκή k. Από ηελ παξαπάλσ αλάιπζε είλαη πξνθαλέο πσο αλ πνιιαπιαζηάζνπκε ην δηαθξηηό ζήκα xn ( ) κε ηε ζπλάξηεζε ( n k ) αλαθηήζνπκε ηελ ηηκή ηνπ δείγκαηνο ηνπ xn ( ) πνπ αληηζηνηρεί ζηε ρξνληθή ζηηγκή n k. Σν γεγνλόο απηό ζε καζεκαηηθή δηαηύπσζε γξάθεηαη σο x( n) ( n k) x( k) ( n k ) Δάλ πξαγκαηνπνηήζνπκε ηελ παξαπάλσ δηαδηθαζία γηα κηα άιιε ηηκή ρξνληθήο κεηαηόπηζεο, m, ζα αλαθηήζνπκε ηελ ηηκή ηνπ δείγκαηνο xm ( ), αθνύ ζα είλαη x( n) ( n m) x( m) ( n m ). Γεληθεύνληαο ην παξαπάλσ ζπκπέξαζκα γηα κηα απζαίξεηε ηηκή ρξνληθήο πζηέξεζεο κπνξνύκε λα δηαηππώζνπκε ηνλ ηζρπξηζκό ειίδα 33 από 122

34 πσο εάλ πνιιαπιαζηάζνπκε ην δηαθξηηό ζήκα κε κηα ρξνληθώο κεηαηνπηζκέλε ζπλάξηεζε ζηηγκή ηεο κεηαηόπηζεο. ζα ιάβνπκε ηελ ηηκή ηνπ ζήκαηνο πνπ αληηζηνηρεί ζηε ρξνληθή Δάλ ινηπόλ εθαξκόζνπκε ηελ παξαπάλσ δηαδηθαζία γηα όιεο ηηο δπλαηέο ηηκέο ηεο ρξνληθήο κεηαηόπηζεο k ζην δηάζηεκα k ην απνηέιεζκα ζα είλαη ε αλάθηεζε ηνπ ζπλόινπ ησλ ζεκείσλ ηνπ δηαθξηηνύ ζήκαηνο xn ( ). Απηό κε άιια ιόγηα ζεκαίλεη πσο ην δηαθξηηό ζήκα xn ( ) κπνξεί λα νξηζζεί από κία εμίζσζε ηεο κνξθήο x( n) x( k) ( n k ) (2.20) k ηαηηζηηθέο ηδηόηεηεο κνλνδηάζηαησλ δηαθξηηώλ ζεκάησλ Ακέζσο κεηά ηε δεκηνπξγία ησλ δεδνκέλσλ ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ κπνξνύκε λα πξνρσξήζνπκε ζην ραξαθηεξηζκό ηνπ θαη ζηελ πεξηγξαθή ησλ ηδηνηήησλ πνπ ην πεξηγξάθνπλ. Απηή ε πεξηγξαθή ζα παξνπζηαζηεί ζε επόκελεο ελόηεηεο θαη ζα πεξηιακβάλεη ηνλ ππνινγηζκό ησλ ηηκώλ γηα έλα ζύλνιν ραξαθηεξηζηηθώλ παξακέηξσλ πνπ ζπζρεηίδνληαη κε ηα κνλνδηάζηαηα ζήκαηα. Μηα ελδηαθέξνπζα νκάδα ηέηνησλ ηδηνηήησλ είλαη νξηζκέλεο ζηαηηζηηθέο ηδηόηεηεο πνπ ραξαθηεξίδνπλ θάζε κνλνδηάζηαηε αθνινπζία δεδνκέλσλ. Δάλ x1, x2,..., x N είλαη νη ηηκέο ησλ δεηγκάησλ ηνπ κνλνδηάζηαηνπ ζήκαηνο, κπνξνύκε λα νξίζνπκε ηα ζηαηηζηηθά κεγέζε ηνπ κέζνπ όξνπ (mean) x, ηεο δηαθύκαλζεο (variance) Var( x1, x2,..., x N ), ηεο ηππηθήο απόθιηζεο (standard deviation) ( x1, x2,..., x N ), ηεο κέζεο απόθιηζεο (average deviation) ADev( x1, x2,..., x N ), ηεο ινμόηεηαο (skewness) Skew( x1, x2,..., x N ), θαη ηεο θύξησζεο (kurtosis) 1 2 δίδνληαη από ηηο ζρέζεηο Kurt( x, x,..., x ), ηα νπνία N N N 1 1 x x Var( x, x,..., x ) ( x x) N i 1 2 N i i 1 N 1 i 1 2 ( ) ειίδα 34 από 122

35 N 1 ( x, x,..., x ) Var( x, x,..., x ) ( x x) 1 2 N 1 2 N i N 1 i 1 2 (2.22) N 1 1 ADeu( x, x,..., x ) x x Skew( x, x,..., x ) 1 2 N i 1 2 N N i 1 N i 1 N x i x 3 (2.23) N 1 xi x Kurt( x1, x2,..., xn ) 3 N i 1 4 (2.24) Δίλαη πξνθαλέο πσο ν ππνινγηζκόο ησλ ηηκώλ γηα απηέο ηηο ηδηόηεηεο δελ είλαη γεληθά δύζθνινο θαζώο ην κόλν πνπ απαηηεί είλαη ν ππνινγηζκόο ησλ αζξνηζκάησλ πνπ πεξηιακβάλνληαη ζηηο παξαπάλσ ζρέζεηο. ειίδα 35 από 122

36 3. πζηήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ 3.1 Πεξηγξαθήο ηεο ιεηηνπξγίαο ελόο ζπζηήκαηνο δηαθξηηνύ ρξόλνπ Σα ζπζηήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ (discrete time systems) νξίδνληαη σο εηδηθέο κνλάδεο πιηθνύ ή ινγηζκηθνύ (δειαδή δηαηάμεηο ή αιγόξηζκνη) πνπ πξαγκαηνπνηνύλ ζπγθεθξηκέλεο κνξθέο επεμεξγαζίαο επί ελόο δηαθξηηνύ ζήκαηνο, κε ηε βνήζεηα θάπνησλ θαλόλσλ. Σν δηαθξηηό ζήκα επί ηνπ νπνίνπ εθαξκόδεηαη ν κεηαζρεκαηηζκόο, νλνκάδεηαη είζνδνο (input) ή δηέγεξζε (excitation) ηνπ ζπζηήκαηνο, ελώ ην ζήκα πνπ πξνθύπηεη κεηά ηελ εθαξκνγή ηεο δηαδηθαζίαο, είλαη γλσζηό σο έμνδνο (output) ή απόθξηζε (response). Δάλ xn ( ) είλαη ην ζήκα εηζόδνπ ηνπ ζπζηήκαηνο, θαη yn ( ) είλαη ην αληίζηνηρν ζήκα εμόδνπ, κπνξνύκε λα ζπζρεηίζνπκε ηα δύν απηά ζήκαηα κέζσ κηαο ζρέζεο ηεο κνξθήο y( n) T[ x( n )] (3.1) ή ελαιιαθηηθά x( n) y( n ) (3.2) όπνπ ην ζύκβνιν T - πνπ νξηζκέλεο θνξέο νλνκάδεηαη ηειεζηήο (operator) - ζπκβνιίδεη ην κεηαζρεκαηηζκό πνπ εθαξκόδεηαη πάλσ ζην ζήκα εηζόδνπ. Η καζεκαηηθή πεξηγξαθή ελόο ζπζηήκαηνο δηαθξηηνύ ρξόλνπ, πεξηιακβάλεη κεηαμύ άιισλ ηελ ηαπηνπνίεζε ηεο καζεκαηηθήο έθθξαζεο ή θαλόλα πνπ ζπζρεηίδεη ηελ είζνδν ηνπ ζπζηήκαηνο κε ηελ έμνδν πνπ πξνθύπηεη από απηό. Απηόο ν ηύπνο πεξηγξαθήο (input-output description) είλαη θαη ε κόλε πιεξνθνξία πνπ ρξεηάδεηαη λα γλσξίδνπκε γηα έλα ζύζηεκα πξνθεηκέλνπ λα ην ρξεζηκνπνηήζνπκε, ελώ νη ιεπηνκέξεηεο ηεο εζσηεξηθήο ηνπ δνκήο, ζπλήζσο δελ είλαη γλσζηέο, ή απιά αγλννύληαη. Με άιια ιόγηα, ην ζύζηεκα ιεηηνπξγεί σο έλα καύξν θνπηί πνπ δέρεηαη θάπνηα είζνδν θαη παξάγεη θάπνηα έμνδν ρσξίο λα γλσξίδνπκε ηίπνηε γηα ηνλ εζσηεξηθό ηξόπν ιεηηνπξγίαο ηνπ. ειίδα 36 από 122

37 Σππηθό παξάδεηγκα δηαθξηηνύ ζπζηήκαηνο ε πεξηγξαθή ηνπ νπνίνπ ζηεξίδεηαη ζηνλ θαζνξηζκό ηεο ζπζρέηηζεο εηζόδνπ - εμόδνπ, είλαη έλαο ζπζζσξεπηήο (accumulator) πνπ ραξαθηεξίδεηαη από κία εμίζσζε ηεο κνξθήο n n 1 y( n) x( k) x( k) x( n ) (3.3) k k ηελ πξνθεηκέλε πεξίπησζε, ν ζπζζσξεπηήο πξνζζέηεη ηελ ηξέρνπζα ηηκή ηεο εηζόδνπ ηνπ ζηελ πξνεγνύκελε ηηκή ηεο εμόδνπ ηνπ, δηαδηθαζία πνπ έρεη σο απνηέιεζκα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ αζξνίζκαηνο ηνπ ζπλόινπ ησλ ηηκώλ εηζόδνπ πνπ δηαβηβάδνληαη πξνο απηόλ. Έλαο ελαιιαθηηθόο ηξόπνο πεξηγξαθήο ηεο δνκήο θαη ιεηηνπξγίαο ελόο ζπζηήκαηνο δηαθξηηνύ ρξόλνπ είλαη ηα ζρεκαηηθά δηαγξάκκαηα (block diagrams) πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη γηα λα πεξηγξάςνπλ ηηο δνκηθέο κνλάδεο ελόο ηέηνηνπ ζπζηήκαηνο. Απηέο νη δνκηθέο κνλάδεο (ηππηθά παξαδείγκαηα ησλ νπνίσλ παξνπζηάδνληαη ζην ζρήκα 11) πξαγκαηνπνηνύλ ηηο ζηνηρεηώδεηο κνξθέο επεμεξγαζίαο επί ηνπ δηαθξηηνύ ζήκαηνο εηζόδνπ θαη ζε γεληθέο γξακκέο είλαη νη αθόινπζεο: Αζξνηζηήο ζεκάησλ (adder): Η βαζηθή ιεηηνπξγία ηνπ αζξνηζηή ζπλίζηαηαη ζηελ πξόζζεζε ησλ ηηκώλ ησλ δύν δηαθξηηώλ ζεκάησλ πνπ δέρεηαη ζηελ είζνδό ηνπ. Δάλ x ( n ) θαη 1 x ( ) 2 n είλαη νη ηηκέο απηώλ ησλ ζεκάησλ ηε ρξνληθή ζηηγκή n, ηόηε ε έμνδνο ηνπ αζξνηζηή ζα είλαη ην ζήκα y( n) x1( n) x2( n ). Με άιια ιόγηα ν αζξνηζηήο πξαγκαηνπνηεί ηελ πξάμε ηεο πξόζζεζεο ζεκάησλ πνπ είλαη κηα από ηηο ζεκειηώδεηο πξάμεηο πνπ κπνξνύκε λα εθαξκόζνπκε πάλσ ζηα δηαθξηηά ζήκαηα. x ( n) 1 x ( n ) 2 + ρήκα 3.1: Adder y( n) x1( n) x2( n ) ειίδα 37 από 122

38 Πνιιαπιαζηαζηήο ζήκαηνο κε ζηαζεξά (constant multiplier): Η βαζηθή ιεηηνπξγία απηήο ηεο δνκηθήο κνλάδαο είλαη λα πνιιαπιαζηάδεη ηελ ηξέρνπζα ηηκή ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ κε ηελ ηηκή ηεο ζηαζεξάο πνπ έρεη θαζνξηζζεί θαηά ην ζηάδην ηνπ ζρεδηαζκνύ ηνπ. Δπνκέλσο ε έμνδνο απηήο ηεο κνλάδαο ζα είλαη ε y( n) Ax( n ) όπνπ A ζηαζεξά ηηκή θαη xn ( ) ε είζνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή n. Δίλαη πξνθαλέο πσο ε ιεηηνπξγία απηνύ ηνπ ηύπνπ πνιιαπιαζηαζηή είλαη ε θιηκάθσζε πιάηνπο ηνπ ηξέρνληνο ζήκαηνο εηζόδνπ. xn ( ) A y( n) Ax( n ) ρήκα 3.2: Constant Multiplier Πνιιαπιαζηαζηήο ζεκάησλ (signal multiplier): Η βαζηθή ιεηηνπξγία ηνπ πνιιαπιαζηαζηή ζεκάησλ ζπλίζηαηαη ζηνλ πνιιαπιαζηαζκό ησλ ηηκώλ ησλ δύν δηαθξηηώλ ζεκάησλ πνπ δέρεηαη ζηελ είζνδό ηνπ. Δάλ x ( n ) θαη 1 x ( ) 2 n είλαη νη ηηκέο απηώλ ησλ ζεκάησλ ηε ρξνληθή ζηηγκή n, ηόηε ε έμνδνο ηνπ πνιιαπιαζηαζηή ζα είλαη ην ζήκα y( n) x1( n)* x2( n ). Με άιια ιόγηα ν πνιιαπιαζηαζηήο πξαγκαηνπνηεί ηελ πξάμε ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ ζεκάησλ πνπ είλαη κηα από ηηο ζεκειηώδεηο πξάμεηο πνπ κπνξνύκε λα εθαξκόζνπκε πάλσ ζηα δηαθξηηά ζήκαηα. x ( n) 1 x ( n ) 2 x y( n) x1( n)* x2( n ) ρήκα 3.3: Signal Multiplier ειίδα 38 από 122

39 ηνηρείν κνλαδηαίαο ρξνληθήο πζηέξεζεο (unit delay element): Η βαζηθή ιεηηνπξγία απηνύ ηνπ ζηνηρείνπ είλαη ε ρξνληθή κεηαηόπηζε ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ θαηά κηα ρξνληθή κνλάδα. Απηή ε κεηαηόπηζε γίλεηαη πξνο ηα πίζσ θαη γηα ην ιόγν απηό λνείηαη σο ρξνληθή πζηέξεζε (time delay). Δπνκέλσο ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή n ζα έρεη ηε κνξθή y( n) x( n 1). xn ( ) 1 Z y( n) x( n 1) ρήκα 3.4: Unit Delay Element ηνηρείν κνλαδηαίαο ρξνληθήο πξνώζεζεο (unit advance element): Η βαζηθή ιεηηνπξγία απηνύ ηνπ ζηνηρείνπ είλαη ε ρξνληθή κεηαηόπηζε ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ θαηά κηα ρξνληθή κνλάδα. Χζηόζν ζηελ πξνθεηκέλε πεξίπησζε, απηή ε κεηαηόπηζε δελ γίλεηαη πξνο ηα πίζσ αιιά πξνο ηα εκπξόο θαη γηα ην ιόγν απηό λνείηαη σο ρξνληθή πξνώζεζε. Δπνκέλσο ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή n ζα έρεη ηε κνξθή y( n) x( n 1). Τπελζπκίδνπκε πσο απηνύ ηνπ είδνπο ε πξνώζεζε κπνξεί λα εθαξκνζζεί κόλν ζε δηαθξηηά ζήκαηα ηα νπνία έρνπλ ήδε θαηαγξαθεί θαη απνζεθεπηεί ζε θάπνηα κνλάδα, ελώ ζε πεξηπηώζεηο θαηαγξαθήο δεηγκάησλ ζε πξαγκαηηθό ρξόλν, είλαη πξαθηηθά αλεθάξκνζηή. xn ( ) Z y( n) x( n 1) ρήκα 3.5: Unit Advance Element ειίδα 39 από 122

40 3.2 Δίδε θαη θαηεγνξίεο δηαθξηηώλ ζπζηεκάησλ Αλάινγα κε ηε θύζε ηνπο θαη ηα ραξαθηεξηζηηθά πνπ πεξηγξάθνπλ ηε ιεηηνπξγία ηνπο, ηα ζπζηήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ κπνξνύλ λα δηαρσξηζηνύλ ζε πνιιέο θαηεγνξίεο νη πην ζεκαληηθέο από ηηο νπνίεο είλαη νη εμήο: ηαηηθά θαη δπλακηθά δηαθξηηά ζπζηήκαηα Έλα ζύζηεκα ιέγεηαη ζηαηηθό (static) όηαλ ε έμνδόο ηνπ, yn, ( ) ηε ρξνληθή ζηηγκή n, εμαξηάηαη κόλν από ηελ ηξέρνπζα είζνδν ηνπ ζπζηήκαηνο, xn ( ) θαη όρη από εηζόδνπο πνπ αληηζηνηρνύλ ζε πξνγελέζηεξεο ή κεηαγελέζηεξεο ρξνληθέο ζηηγκέο. ηελ αληίζεηε πεξίπησζε, ην ζύζηεκα νλνκάδεηαη δπλακηθό (dynamic). Δάλ ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή εμαξηάηαη από ηηο N πξνεγνύκελεο εηζόδνπο ηνπ, ην ζύζηεκα ραξαθηεξίδεηαη από ηελ ύπαξμε κλήκεο ρξνληθήο δηάξθεηαο N. Δίλαη πξνθαλέο πσο γηα ηα ζηαηηθά ζπζηήκαηα ηζρύεη ε ζρέζε N 0 θαη επνκέλσο ηα ζπζηήκαηα απηνύ ηνπ ηύπνπ ραξαθηεξίδνληαη από απνπζία κλήκεο (memoryless). Δάλ ε παξάκεηξνο N παίξλεη πεπεξαζκέλεο ηηκέο (ηζρύεη δειαδή ε ζρέζε 0 N ) ην ζύζηεκα ραξαθηεξίδεηαη σο δπλακηθό ζύζηεκα πεπεξαζκέλεο κλήκεο (finite memory) ελώ ζηελ αληίζεηε πεξίπησζε ην ζύζηεκα έρεη άπεηξε κλήκε (infinite memory). Παξαδείγκαηα ζηαηηθώλ ζπζηεκάησλ είλαη απηά πνπ δίδνληαη από ηηο ζρέζεηο y( n) x( n ) θαη 3 y( n) nx( n) x ( n ). ηα ζπζηήκαηα απηά, ε έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή n, εμαξηάηαη κόλν από ηελ ηηκή ηεο αληίζηνηρεο εηζόδνπ. Αληίζεηα, ηα ζπζηήκαηα y( n) x( n) 3 x( n 1) (3.4) n y( n) x( n k ) (3.5) k 1 y( n) x( n k ) (3.6) k 0 ειίδα 40 από 122

41 ραξαθηεξίδνληαη σο δπλακηθά ζπζηήκαηα, γηαηί ε έμνδόο ηνπο ηε ρξνληθή ζηηγκή n, εμαξηάηαη θαη από εηζόδνπο πνπ αληηζηνηρνύλ ζε πξνγελέζηεξεο ρξνληθέο ζηηγκέο. Από απηά ηα δπλακηθά ζπζηήκαηα, ηα δύν πξώηα ραξαθηεξίδνληαη από ηελ ύπαξμε πεπεξαζκέλεο κλήκεο κε δηάξθεηα 1 θαη n αληίζηνηρα ελώ ην ηξίην ζύζηεκα ραξαθηεξίδεηαη σο έλα δπλακηθό ζύζηεκα άπεηξεο κλήκεο Υξνληθώο κεηαβαιιόκελα θαη ρξνληθώο ακεηάβιεηα δηαθξηηά ζπζηήκαηα Έλα δπλακηθό ζύζηεκα ζεσξείηαη αλαιινίσην σο πξνο ην ρξόλν (time invariant) όηαλ ε ζπζρέηηζε πνπ πθίζηαηαη αλάκεζα ζηελ είζνδν θαη ζηελ έμνδό ηνπ, δελ κεηαβάιιεηαη κε ηελ πάξνδν ηνπ ρξόλνπ. ηελ αληίζεηε πεξίπησζε ην ζύζηεκα ραξαθηεξίδεηαη σο ρξνληθά κεηαβαιιόκελν δηαθξηηό ζύζηεκα (time variant system). ε έλα πην απζηεξό καζεκαηηθό νξηζκό, έλα ζύζηεκα T ζεσξείηαη αλαιινίσην σο πξνο ην ρξόλν, αλ θαη κόλν αλ ε ηζρύο ηεο ζρέζεο y( n) Tx( n ) πξνϋπνζέηεη θαη ηελ ηζρύ ηεο ζρέζεο y( n k) T[ x( n k )] γηα θάζε δηαθξηηό ζήκα xn ( ) θαη γηα θάζε αθέξαην αξηζκό k. Πξνθεηκέλνπ λα θαηαλνήζνπκε ηελ έλλνηα ηνπ ρξνληθώο κεηαβαιιόκελνπ θαη ηνπ ρξνληθώο ακεηάβιεηνπ δηαθξηηνύ ζπζηήκαηνο αο ζεσξήζνπκε ην ζύζηεκα ηνπ ζπζζσξεπηή πνπ παξνπζηάζακε πξνεγνπκέλσο θαη ην νπνίν πεξηγξάθεηαη από κία εμίζσζε ηεο κνξθήο n y( n) T[ x( n)] x( k ) (3.7) k Πξνθεηκέλνπ ην ζύζηεκα απηό λα είλαη ρξνληθώο ακεηάβιεην ζα πξέπεη ε ζπζρέηηζε T πνπ πθίζηαηαη αλάκεζα ζηελ είζνδν θαη ζηελ έμνδν, λα κελ κεηαβάιιεηαη ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν, δειαδή κε άιια ιόγηα, εάλ επηζηξέςνπκε k ρξνληθέο κνλάδεο πξνο ηα πίζσ λα εμαθνινπζεί ε έμνδόο ηνπ, y( n k ) λα δίδεηαη από ηε ζρέζε y( n k) T[ x( n k )]. Γελ είλαη δύζθνιν λα απνδείμνπκε πσο θάηη ηέηνην πξάγκαηη ηζρύεη, αθνύ είλαη ειίδα 41 από 122

42 n k n k T[ x( n k)] x( k) και y( n k) x( k) T[ x( n, k )] (3.8) k k Δπνκέλσο, ην ζύζηεκα ηνπ ζπζζσξεπηή είλαη έλα ρξνληθώο ακεηάβιεην δηαθξηηό ζύζηεκα. Αο εθαξκόζνπκε ηώξα ηελ παξαπάλσ δηαδηθαζία γηα ην δηαθξηηό ζύζηεκα ηνπ ζπκπηεζηή (compressor) πνπ πεξηγξάθεηαη από ηελ εμίζσζε εηζόδνπ-εμόδνπ y( n) x( Mn)( n ). Η ιεηηνπξγία απηνύ ηνπ δηαθξηηνύ ζπζηήκαηνο είλαη λα αγλνεί ηα πξώηα ( M 1) δείγκαηα κηαο νκάδαο M δεηγκάησλ θαη λα απνζεθεύεη κόλν ην ππ' αξηζκόλ M δείγκα. Δθαξκόδνληαο ηελ παξαπάλσ δηαδηθαζία ραξαθηεξηζκνύ δηαπηζηώλνπκε πσο T[ x( n k)] x( M k ) ελώ y( n k) x[ M ( n k)] T[ x( n k )]. Με άιια ιόγηα, ε ζπζρέηηζε πνπ πθίζηαηαη αλάκεζα ζηελ είζνδν θαη ζηελ έμνδν δελ είλαη ζηαζεξή ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν θαη επνκέλσο ην δηαθξηηό ζύζηεκα ηνπ ζπκπηεζηή είλαη έλα ρξνληθώο κεηαβαιιόκελν δηαθξηηό ζύζηεκα Γξακκηθά θαη κε γξακκηθά δηαθξηηά ζπζηήκαηα Έλα δηαθξηηό ζύζηεκα ραξαθηεξίδεηαη σο γξακκηθό (linear) αλ θαη κόλν αλ ππαθνύεη ζηελ αξρή ηεο επαιιειίαο (superposition principle). ύκθσλα κε ηελ αξρή απηή ε απόθξηζε ηνπ ζπζηήκαηνο ζην κέζν άζξνηζκα ( weighted sum) ησλ ζεκάησλ εηζόδνπ είλαη ίζε κε ην κέζν άζξνηζκα ησλ απνθξίζεσλ ηνπ ζπζηήκαηνο ζε θάζε ζήκα μερσξηζηά. Θεσξώληαο γηα παξάδεηγκα δύν ζήκαηα εηζόδνπ x ( n ) 1 θαη x ( ) 2 n, ε αξρή ηεο επαιιειίαο δηαηππώλεηαη κε ηε κνξθή T[ 1x1 ( n) 2x2( n)] 1Tx 1( n) 2Tx2 ( n ) (3.9) γηα νπνηαδήπνηε ζήκαηα εηζόδνπ x ( n ) θαη 1 x ( ) 2 n θαη γηα νπνηεζδήπνηε ζηαζεξέο θαη 1 2.Δάλ ε παξαπάλσ ηδηόηεηα δελ ηθαλνπνηείηαη, ην ζύζηεκα ραξαθηεξίδεηαη σο κε γξακκηθό (nonlinear). ειίδα 42 από 122

43 3.2.4 Αηηηαηά θαη κε αηηηαηά δηαθξηηά ζπζηήκαηα Έλα δηαθξηηό ζύζηεκα ιέγεηαη αηηηαηό (causal), όηαλ ε έμνδνο yn ( ) ηνπ ζπζηήκαηνο ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή ε, εμαξηάηαη κόλν από ηελ ηξέρνπζα είζνδν ηνπ ζπζηήκαηνο, xn ( ), θαζώο θαη από εθείλεο ηηο εηζόδνπο πνπ αληηζηνηρνύλ ζε πξνγελέζηεξεο ρξνληθέο ζηηγκέο x( n 1), x( n 2), x( n 3),... αιιά όρη θαη από ηηο κειινληηθέο εηζόδνπο ηνπ ζπζηήκαηνο x( n 1), x( n 2), x( n 3),.... Δπνκέλσο, ζε καζεκαηηθή πεξηγξαθή, ε έμνδνο ελόο αηηηαηνύ ζπζηήκαηνο έρεη ηε κνξθή y( n) F[ x( n), x( n 1), x( n 2), x( n 3),...] (3.10) όπνπ F απζαίξεηε ζπλάξηεζε. ηελ πεξίπησζε θαηά ηελ νπνία ην ζύζηεκα δελ ηθαλνπνηεί ηελ παξαπάλσ ηδηόηεηα, νλνκάδεηαη κε αηηηαηό (noncausal). Η έμνδνο ελόο κε αηηηαηνύ ζπζηήκαηνο δελ εμαξηάηαη κόλν από ηηο πξνγελέζηεξεο, αιιά θαη από ηηο κεηαγελέζηεξεο εηζόδνπο ηνπ. Δίλαη πξνθαλέο, πσο ζε κηα εθαξκνγή επεμεξγαζίαο ζήκαηνο πξαγκαηηθνύ ρξόλνπ, ηα ζπζηήκαηα απηνύ ηνπ είδνπο δελ κπνξνύλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ, γηαηί είλαη αδύλαην λα πξνβιέςνπκε ηηο ηηκέο ησλ κεηξήζεσλ πνπ ζα πξαγκαηνπνηεζνύλ ζην κέιινλ. Αληίζεηα, εάλ ην ζήκα έρεη ήδε θαηαγξαθεί θαη απνζεθεπζεί ζε θάπνην αξρείν, είλαη δπλαηή ε δεκηνπξγία θαη ρξήζε κε αηηηαηώλ ζπζηεκάησλ, θαζώο όιεο νη ηηκέο ηνπ ζήκαηνο είλαη δηαζέζηκεο Δπζηαζή θαη αζηαζή δηαθξηηά ζπζηήκαηα Έλα δηαθξηηό ζύζηεκα ζεσξείηαη αζηαζέο όηαλ είλαη θξαγκέλν θαη σο πξνο ηελ είζνδν θαη σο πξνο ηελ έμνδν (Bounded Input Bounded Output (BIBO)) δειαδή όηαλ γηα θάζε θξαγκέλε είζνδν παξάγεη πάληα κηα θξαγκέλε έμνδν. ύκθσλα κε ηε καζεκαηηθή ζεσξία πνπ ραξαθηεξίδεη ηε ιεηηνπξγία απηώλ ησλ ζπζηεκάησλ, γηα λα είλαη θξαγκέλε ε είζνδνο xn ( ) θαη ε έμνδνο yn, ( ) ζα πξέπεη λα ππάξρνπλ πεπεξαζκέλνη αξηζκνί M 1 θαη M 2, ηέηνηνη ώζηε x() n M 1 θαη y( n) M y ειίδα 43 από 122

44 (γηα θάζε ηηκή ηεο παξακέηξνπ n ). Δάλ ην ζύζηεκα καο πιήξε απηή ηελ ηδηόηεηα είλαη θξαγκέλν, θαη επνκέλσο, επζηαζέο (stable), ελώ ζηελ αληίζεηε πεξίπησζε ην ζύζηεκα ραξαθηεξίδεηαη σο αζηαζέο (unstable). Δίλαη ζεκαληηθό λα αλαθεξζεί ζην ζεκείν απηό, πσο ε έλλνηα ηεο επζηάζεηαο παίδεη θαζνξηζηηθό ξόιν ζηε ζσζηή ιεηηνπξγία ησλ ζπζηεκάησλ δηαθξηηνύ ρξόλνπ: έλα αζηαζέο ζύζηεκα ραξαθηεξίδεηαη ζπλήζσο από πξνβιεκαηηθή θαη αθξαία ζπκπεξηθνξά, γεγνλόο πνπ ην θαζηζηά αθαηάιιειν γηα ρξήζε ζε όιεο ζρεδόλ ηηο πεξηπηώζεηο. Η ζπκπεξηθνξά ελόο επζηαζνύο δηαθξηηνύ ζπζηήκαηνο παξνπζηάδεηαη ζην επόκελν ζρήκα. 3.4 πλέιημε Μηα εηδηθή θαηεγνξία ζπζηεκάησλ δηαθξηηνύ ρξόλνπ, είλαη εθείλα πνπ είλαη ηόζν γξακκηθά, όζν θαη ακεηάβιεηα σο πξνο ηε κεηαηόπηζε (Linear Shift Invariant Systems (LSI Systems) ή Linear Time Invariant Systems (LTI Systems)). Η ηδηόηεηα ηνπο απηή καο επηηξέπεη λα ζπλδπάζνπκε ηελ εμίζσζε y( n) x( k) h ( n ) (3.11) k k πνπ ηζρύεη γηα ηα γξακκηθά ζπζηήκαηα κε ηελ εμίζσζε hk ( n) h( n k ) (ε εμίζσζε απηή πξνθύπηεη από ηελ ηδηόηεηα ησλ ακεηάβιεησλ σο πξνο ηε κεηαηόπηζε δηαθξηηώλ ζπζηεκάησλ ζύκθσλα κε ηελ νπνία εάλ h( n) T[ ( n )] ηόηε h( n k) T[ ( n k)] hk ( n ) θαη λα πεξηγξάςνπκε ηελ έμνδν ελόο ηέηνηνπ ζπζηήκαηνο κέζσ κηαο εμίζσζεο ηεο κνξθήο y( n) x( k) h( n k ) (3.12) k Η παξαπάλσ ζρέζε πνπ είλαη γλσζηή θαη σο ην άζξνηζκα ηεο ζπλέιημεο (convolution sum) κπνξεί λα γξαθεί θαη σο ειίδα 44 από 122

45 y( n) x( n)* h( n ) όπνπ ην ζύκβνιν (*) αληηζηνηρεί ζηνλ ηειεζηή ηεο ζπλέιημεο (convolution), ελώ ε αθνινπζία ησλ ηηκώλ hn ( ) νλνκάδεηαη κνλαδηαία θξνπζηηθή απόθξηζε. ύκθσλα κε ηελ παξαπάλσ εμίζσζε, ε απόθξηζε ελόο γξακκηθνύ ζπζηήκαηνο ακεηάβιεηνπ σο πξνο ηε κεηαηόπηζε ζε νπνηαδήπνηε είζνδν xn ( ), κπνξεί λα ηαπηνπνηεζεί πιήξσο, εθ' όζνλ είλαη γλσζηή ε θξνπζηηθή απόθξηζε hn ( ). ηελ πεξίπησζε θαηά ηελ νπνία νη αθνινπζίεο xn ( ) θαη hn ( ) έρνπλ πεπεξαζκέλν κήθνο M, ε ζπλέιημε αλάκεζά ηνπο νξίδεηαη από ηε ζρέζε M /2 ( x* h)( j) x( k) h( j k ) (3.13) k ( M/2) 1 Δάλ ηώξα ε θξνπζηηθή απόθξηζε hn ( ) παίξλεη κε κεδεληθέο ηηκέο ζηελ πεξηνρή ( M / 2) k ( M / 2) όπνπ ην M παίξλεη αξθεηά κεγάιεο ηηκέο, ηόηε απηή ε απόθξηζε είλαη γλσζηή σο πεπεξαζκέλε θξνπζηηθή απόθξηζε (Finite Impulse Response, FIR), κε δηάξθεηα M. Σέινο, εάλ νη ζπλαξηήζεηο xn ( ) θαη hn ( ) δελ είλαη ζπλερείο αιιά δηαθξηηέο, ζα πξέπεη λα αληηθαηαζηήζνπκε ην ζύκβνιν ηνπ αζξνίζκαηνο ζηελ εμίζσζε νξηζκνύ ηεο ζπλέιημεο, κε ηελ εμίζσζε ηνπ νινθιεξώκαηνο. Δπνκέλσο ε ζπλέιημε αλάκεζα ζηηο ζπλαξηήζεηο ζπλερνύο ρξόλνπ xt () θαη ht () ζα δίδεηαη από ην νινθιήξσκα x( t)* h( t) x( ) h( t ) d (3.14) Ιδηόηεηεο ηεο ζπλέιημεο ύκθσλα κε ηα όζα έρνπλ αλαθεξζεί ζηελ πξνεγνύκελε παξάγξαθν, ε ζπλέιημε είλαη έλαο γξακκηθόο ηειεζηήο, θαη επνκέλσο ζα ραξαθηεξίδεηαη από ηελ αληηκεηαζεηηθή, ηελ πξνζεηαηξηζηηθή θαη ηελ επηκεξηζηηθή ηδηόηεηα. ειίδα 45 από 122

46 Άληηκεηαζεηηθή ηδηόηεηα: ύκθσλα κε ηελ ηδηόηεηα απηή, ε ζεηξά κε ηελ νπνία εθηειείηαη ε πξάμε ηεο ζπλέιημεο αλάκεζα ζε δύν αθνινπζίεο, δελ έρεη θακηά ζεκαζία. Απηή ε ηδηόηεηα ζε καζεκαηηθή κνξθή εθθξάδεηαη σο x( n)* h( n) h( n)* x( n ) (3.15) xn ( ) hn ( ) yn ( ) hn ( ) xn ( ) yn ( ) ρήκα 3.6: ρεκαηηθή αλαπαξάζηαζε ηεο αληηκεηαζεηηθήο ηδηόηεηαο ηεο ζπλέιημεο Πξνζεηαηξηζηηθή ηδηόηεηα: Η ηδηόηεηα απηή ηεο ζπλέιημεο πεξηγξάθεηαη καζεκαηηθά από ηε ζρέζε [ x( n)* h1 ( n)]* h2 ( n) x( n)*[ h1 ( n)* h2 ( n )] (3.16) xn ( ) yn ( ) h n h n 1 ( ) 2 ( ) xn ( ) h( n) h1( n)* h2( n) yn ( ) ρήκα 3.7: Πξνζεηαηξηζηηθή ηδηόηεηαο ηεο ζπλέιημεο ύκθσλα κε ηελ ηδηόηεηα απηή, αλ δύν ζπζηήκαηα κε θξνπζηηθέο απνθξίζεηο h( n) θαη 1 h ( ) 2 n ζπλδεζνύλ ζε ζεηξά, ην ηζνδύλακν ζύζηεκα πνπ πξνθύπηεη έρεη σο θξνπζηηθή απόθξηζε ηε ζπλέιημε κεηαμύ ησλ h( n ) θαη 1 h ( n ). 2 ειίδα 46 από 122

47 Δπηκεξηζηηθή ηδηόηεηα: Η ηδηόηεηα απηή ηεο ζπλέιημεο πεξηγξάθεηαη καζεκαηηθά από ηε ζρέζε x( n)*[ h1 ( n) h2 ( n)] x( n)* h1 ( n) x( n)* h2 ( n )] (3.17) ύκθσλα κε ηελ ηδηόηεηα απηή, εάλ δύν ζπζηήκαηα κε θξνπζηηθέο απνθξίζεηο h( n ) θαη 1 h ( ) 2 n ζπλδεζνύλ παξάιιεια, ην ηζνδύλακν ζύζηεκα πνπ πξνθύπηεη έρεη σο θξνπζηηθή απόθξηζε ην άζξνηζκα ησλ h( n ) θαη 1 h ( n ). 2 xn ( ) h( n ) 1 + yn ( ) h ( n ) 2 xn ( ) h( n) h1( n) h2( n) yn ( ) ρήκα 3.8: Δπηκεξηζηηθή ηδηόηεηαο ηεο ζπλέιημεο 3.5 Σαρύο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier (FFT) Όπσο έρεη ήδε αλαθεξζεί ζε πξνεγνύκελε ελόηεηα, θάζε πεξηνδηθή δηαθξηηή αθνινπζία x( n) x( n rn)( r 0, 1, 2,...) κε ηηκή πεξηόδνπ ίζε κε N, δύλαηαη λα αλαπηπρζεί σο ζεηξά Fourier νη όξνη ηεο νπνίαο απνηεινύλ ζπλαξηήζεηο ησλ αξκνληθόο ζπζρεηηδόκελσλ εθζεηηθώλ κηγαδηθώλ ζεκάησλ ησλ νπνίσλ νη θπθιηθέο ζπρλόηεηεο είλαη αθέξαηα πνιιαπιάζηα ηεο ζεκειηώδνπο ζπρλόηεηαο 0 2 /N. Απηή ε ηδηόηεηα ζε καζεκαηηθή κνξθή αλαπαξίζηαηαη από ηελ εμίζσζε ειίδα 47 από 122

48 N x( n) X ( k)exp i kn ( k 0, 1, 2,...) N N k 0 (3.18) Αιιάδνληαο ινηπόλ ην βσβό δείθηε από r ζε k νδεγνύκαζηε ζηελ εμίζσζε νξηζκνύ ησλ ζπληειεζηώλ Fourier γηα ηε δηαθξηηή πεξίπησζε, πνπ έρεη ηε κνξθή N X ( k) x( n) e 1 n 0 2 i kn N (3.19) Ο δηαθξηηόο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier (Discrete Fourier Transform, DFT) δίδεηαη από ηε ζρέζε N 1 X[ m] x[ n]exp( j2 mnft ) n 0 N 1 N 1 x[ n]cos(2 mnft ) j x[ n]sin(2 mnft ) n 0 n 0 (3.20) ελώ ν αληίζηξνθόο ηνπ απνδίδεηαη από ηελ εμίζσζε N 1 X[ n] x[ m]exp( j2 mnft ) m 0 N 1 N 1 x[ m]cos(2 mnft ) j x[ m]sin(2 mnft ) m 0 m 0 (3.21) όπνπ m 0,1,2,..., N 1 και n 0,1,2,..., N 1. Οξίδνληαο ηελ πνζόηεηα j2 WN exp exp( j2 FT ) N νη παξαπάλσ ζρέζεηο κπνξνύλ λα ιάβνπλ ηελ απιή κνξθή (3.22) N 1 N 1 mn N n 0 m 0 X[ m] x[ n]( W ) και x[ n] X[ m]( W ) N mn (3.23) Από ηα όζα αλαθέξακε ζηελ πξνεγνύκελε ελόηεηα είλαη πξνθαλέο πσο ν ππνινγηζκόο ηνπ δηαθξηηνύ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier είλαη κηα δηαδηθαζία 2 ON ( ) πνπ ζεκαίλεη πσο ην ρξνληθό δηάζηεκα πνπ απαηηείηαη γηα ηελ νινθιήξσζή ηεο είλαη αλάινγν ηνπ 2 N, όπνπ N είλαη ην πιήζνο ησλ δεηγκάησλ ηεο ρξνλνζεηξάο. ειίδα 48 από 122

49 Απηό ην ρξνληθό δηάζηεκα είλαη πάξα πνιύ κεγάιν γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ πιήζνπο ησλ δεηγκάησλ, N, θαη θαζηζηά ηε ρξήζε ηνπ ελ ιόγσ κεηαζρεκαηηζκνύ, πξαθηηθά αλεθάξκνζηε. Γηα ην ιόγν απηό ε πινπνίεζε ηνπ DFT έηζη όπσο παξνπζηάζηεθε ζηελ πξνεγνύκελε ελόηεηα δελ ρξεζηκνπνηείηαη πνηέ ζηελ πξάμε. Αληίζεηα ρξεζηκνπνηείηαη κηα άιιε δηαδηθαζία ππνινγηζκνύ ηνπ ελ ιόγσ κεηαζρεκαηηζκνύ ε νπνία είλαη γλσζηή σο γξήγνξνο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier (Fast Fourier Transform, FFT) θαη ν ρξόλνο νινθιήξσζήο ηεο είλαη ηεο ηάμεο ηνπ Nlog 2 είλαη πνιύ κηθξόηεξνο από ην ρξόλν νινθιήξσζεο ηεο άιιεο δηαδηθαζίαο. N πνπ Η καζεκαηηθή ζεκειίσζε ηνπ γξήγνξνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier ζηεξίδεηαη ζε έλα ιήκκα πνπ δηαηππώζεθε από ηνπο Danielson θαη Lanczos ην 1942, ζύκθσλα κε ην νπνίν ν δηαθξηηόο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier κηαο αθνινπζίαο ηηκώλ κε κέγεζνο N κπνξεί λα γξαθεί σο ην άζξνηζκα δύν δηαθξηηώλ κεηαζρεκαηηζκώλ Fourier, θάζε έλαο από ηνπο νπνίνπο έρεη κήθνο N /2. Από απηνύο ηνπο δύν κεηαζρεκαηηζκνύο, ν έλαο ππνινγίδεηαη από ηα δείγκαηα ηα νπνία βξίζθνληαη ζηηο άξηηεο ζέζεηο ηεο αθνινπζίαο ησλ δεδνκέλσλ εηζόδνπ (even numbered points) ελώ ν άιινο πξνθύπηεη από ηα δείγκαηα ηα νπνία βξίζθνληαη ζηηο πεξηηηέο ζέζεηο ηηο αθνινπζίαο ησλ δεδνκέλσλ εηζόδνπ (odd numbered points). ειίδα 49 από 122

50 4. Βαζηθά ζηνηρεία ηνπ Matlab 4.1 Ση είλαη ην Matlab Σν MATLAB είλαη έλα ινγηζκηθό παθέην γηα πςειήο απόδνζεο αξηζκεηηθνύο ππνινγηζκνύο (numerical computations). Παξέρεη ζην ρξήζηε έλα δηαδξαζηηθό πεξηβάιινλ κε ρηιηάδεο ελζσκαησκέλεο ζπλαξηήζεηο, θαηάιιειεο γηα ηελ πινπνίεζε απαηηεηηθώλ ππνινγηζηηθώλ αλαιύζεσλ, γξαθεκάησλ θαζώο επίζεο θαη γηα ηελ παξαγσγή δηαθόξσλ animations. Δπηπιένλ, ην MATLAB πξνζθέξεη ηε δπλαηόηεηα επέθηαζεο ζε πνηθίια πεδία εθαξκνγώλ κε ηε αμηνπνίεζε ηελ πςεινύ επηπέδνπ γιώζζαο πξνγξακκαηηζκνύ, ηελ νπνία δηαζέηεη ζε όιεο ηηο εθδόζεηο ηνπ. Γηα ιόγνπο πιεξόηεηαο, λα αλαθεξζεί όηη ην όλνκα MATLAB πξνέξρεηαη από ηηο ιέμεηο MATrix θαη LABoratory. Σν MATLAB απνηειεί έλα εμειηγκέλν ππνινγηζηηθό εξγαιείν, ην νπνίν κπνξεί λα βξεη εθαξκνγή ζε δηάθνξνπο ηνκείο ηεο επηζηήκεο αιιά βέβαηα θαη ηεο πξάμεο, όπσο γηα παξάδεηγκα ηε κεραληθή, ηελ ηαηξηθή, ηηο ζεηηθέο επηζηήκεο (Μαζεκαηηθά Φπζηθή), ηελ νηθνλνκία θαζώο θαη γεληθά ηε βηνκεραληθή παξαγσγή. Μάιηζηα, ην θάζκα ησλ εθαξκνγώλ ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ παθέηνπ ινγηζκηθνύ δηεπξύλεηαη ζπλερώο θαη πεξηζζόηεξν, αλαδεηθλύνληαο κε απηό ηνλ ηξόπν ηηο πνιιαπιέο δπλαηόηεηεο ηνπ, όπσο: Τςειή απόδνζε θαη ηαρύηεηα ππνινγηζηηθώλ αλαιύζεσλ. Γπλαηόηεηα πξνζνκνίσζεο θπζηθώλ ζπζηεκάησλ. Γπλαηόηεηα πινπνίεζεο αιγνξίζκσλ. Γπλαηόηεηα ακθίδξνκεο επηθνηλσλίαο κε πιεζώξα άιισλ πξνγξακκάησλ θαη εθαξκνγώλ. Τςειήο πνηόηεηαο γξαθηθέο απεηθνλίζεηο θαη animations. Γπλαηόηεηα ζύλδεζεο κε δηάθνξεο ζπζθεπέο θαηαγξαθήο. Φηιηθόηεηα πξνο ην ρξήζηε θαη δηαδξαζηηθόο ραξαθηήξαο. Δπίζεο παξέρνληαη από ην MATLAB πνιιέο πξναηξεηηθέο εξγαιεηνζήθεο, νη νπνίεο πξννξίδνληαη γηα ηελ αλάπηπμε εηδηθώλ εθαξκνγώλ, όπσο ζπκβνιηθνί ειίδα 50 από 122

51 ππνινγηζκνί (symbolic computation), επεμεξγαζία εηθόλσλ (image processing), ζηαηηζηηθή (statistics), ζρεδηαζκόο ειέγρνπ ζπζηεκάησλ (control system design), λεπξσληθά δίθηπα (neural networks), αζαθή ινγηθή (fuzzy logic). Η βαζηθή δνκηθή κνλάδα ηνπ MATLAB είλαη ν πίλαθαο (matrix) θαη ν ζεκειηώδεο ηύπνο δεδνκέλνπ είλαη ην δηάλπζκα (array). Όια ηα ππόινηπα ζηνηρεία ηνπ ινγηζκηθνύ παθέηνπ ζπληίζεηαη από ηη πξναλαθεξόκελεο βαζηθέο κνλάδεο. ε απηό ην ζεκείν λα αλαθεξζεί όηη ζην MATLAB δελ ππάξρεη αλάγθε γηα δήισζε ησλ δηαζηάζεσλ ελόο πίλαθα, ν νπνίνο ρξεζηκνπνηείηαη ζε κηα εθαξκνγή. Σν ινγηζκηθό απηό είλαη κε ηέηνην ηξόπν δνκεκέλν, ώζηε όινη νη ππνινγηζκνί λα κεηαηξέπνληαη νπζηαζηηθά ζε ππνινγηζκνύο κεηαμύ πηλάθσλ θαη δηαλπζκάησλ Σν πεξηβάιινλ ηνπ Matlab Σν MATLAB ππνζηεξίδεη ζρεδόλ όια ηα δηαηηζέκελα ιεηηνπξγηθά ζπζηήκαηα. Δθηόο από ηελ πιαηθόξκα ησλ Windows, κπνξεί λα εθαξκνζηεί θαη ζε άιιεο πιαηθόξκεο ιεηηνπξγηθώλ ζπζηεκάησλ, όπσο ην UNIX, Linux θαη MAC. ε όια ινηπόλ ηα παξαπάλσ ζπζηήκαηα, ην MATLAB ιεηηνπξγεί κέζσ ηξηώλ βαζηθώλ παξαζύξσλ, ηα νπνία παξνπζηάδνληαη ζηελ παξαθάησ εηθόλα θαη αλαιύνληαη επζύο ακέζσο. Παξάζπξν εληνιώλ Editor window Workspace Current Directory Figure window Command History Δηθόλα 4.1: Σν πεξηβάιινλ ηνζ Matlab ειίδα 51 από 122

52 Η επηθάλεηα εξγαζίαο ηνπ MATLAB είλαη ην παξάζπξν, ην νπνίν ζπλαληά ν ρξήζηεο κε ηελ εθθίλεζε ηνπ πξνγξάκκαηνο. Η επηθάλεηα εξγαζίαο ηνπ MATLAB, εμ νξηζκνύ, απνηειείηαη από ηα εμήο επηκέξνπο ππό-παξάζπξα. Παξάζπξν εληνιώλ (Command Window): Απηό είλαη ην βαζηθό παξάζπξν. ραξαθηεξίδεηαη από ην ζύκβνιν πξνηξνπήο (>>, MATLAB command prompt). Σν ζύλνιν ησλ εληνιώλ, ζπκπεξηιακβαλνκέλσλ θαη ησλ εληνιώλ, πνπ αλαπηύζζεη ν ίδηνο ν ρξήζηεο, πιεθηξνινγνύληαη ζην παξάζπξν εληνιώλ, πάληα κε ηε ρξήζε ηνπ ζπκβόινπ ηεο πξνηξνπήο (κπξνζηά από ηελ θάζε εληνιή). Δπίζεο, ζην ηκήκα απηό ηεο επηθάλεηαο εξγαζίαο ηνπ MATLAB, πξαγκαηνπνηείηαη ε εηζαγσγή ησλ απαξαίηεησλ δεδνκέλσλ γηα κηα εθαξκνγή, θαζώο ρξεζηκεύεη θαη γηα ηελ εμαγσγή ησλ επηδεηνύκελσλ απνηειεζκάησλ. Παξάζπξν ηξέρνληνο θαηαιόγνπ (Current directory): Δίλαη ην ζεκείν ηνπ ηεο επηθάλεηαο εξγαζίαο ηνπ MATLAB, όπνπ αλαγξάθνληαη ην ζύλνιν ησλ αξρείσλ, ηα νπνία είλαη απνζεθεπκέλα ζην ηξέρνλ θαηάινγν (directory) ηνπ ζπζηήκαηνο. Παξέρεηαη ε δπλαηόηεηα πινήγεζεο κέζα ζε απηό, όπσο επίζεο κε ηε ρξήζε ηνπ πνληηθηνύ (θάλνληαο δεμί θιηθ κε ην πνληίθη πάλσ ζην επηιεγκέλν αξρείν), είλαη δπλαηή ε εθηέιεζε δηάθνξσλ επηινγώλ, νη νπνίεο ζρεηίδνληαη κε ην αξρείν (κεηνλνκαζία αξρείνπ, δηαγξαθή αξρείνπ, εθηέιεζε Μ- File). Παξάζπξν ρώξνπ εξγαζίαο (Workspace): ην παξάζπξν απηό, απεηθνλίδνληαη όιεο νη κεηαβιεηέο, νη νπνίεο εηζάγνληαη θαη ρξεζηκνπνηνύληαη ζην Παξάζπξν εληνιώλ. ην παξώλ παξάζπξν παξέρνληαη πιεξνθνξίεο γηα ηνλ ηύπν θαη ην κέγεζνο θάζε κεηαβιεηήο. Ο ρξήζηεο έρεη ηε δπλαηόηεηα λα αλαθαιέζεη αλά πάζα ζηηγκή ηε κεηαβιεηή απηή ζην Παξάζπξν εληνιώλ, πιεθηξνινγώληαο απιώο ην όλνκα ηεο. ηηο ηειεπηαίεο εθδόζεηο ηνπ MATLAB πξνζθέξεηαη ε δπλαηόηεηα γηα θάζε κεηαβιεηή, ε νπνία θαηαγξάθεηαη ζην Παξάζπξν ηνπ ρώξνπ εξγαζίαο, λα αλαπαξίζηαηαη θαη κέζσ γξαθήκαηνο. ειίδα 52 από 122

53 Παξάζπξν ηζηνξηθνύ εληνιώλ (Command History): Σν ζύλνιν ησλ εληνιώλ, νη νπνίεο πιεθηξνινγνύληαη ζην Παξάζπξν εληνιώλ, κεηά από θάζε έλα ζύκβνιν πξνηξνπήο, θαηαγξάθνληαη ζην παξώλ Παξάζπξν ηζηνξηθνύ εληνιώλ. ην παξάζπξν απηό ππάξρνπλ θαηαρσξεκέλεο εληνιέο, νη νπνίεο έρνπλ εθηειεζηεί ζην πιαίζην πνιπζύλζεησλ ηκεκάησλ, αθόκα θαη κέξεο πξηλ από ηελ ηειεπηαία εηζαγσγή ζην ζύζηεκα. Παξέρεηαη ε δπλαηόηεηα λα επηιεγεί από απηό ην παξάζπξν κηα επηζπκεηή εληνιή θαη ελ ζπλερεία λα εθηειεζηεί ζην παξάζπξν εληνιώλ, θάλνληαο δηπιό θιηθ κε ην πνληίθη πάλσ ζηελ εληνιή απηή. Παξάζπξν γξαθεκάησλ (Figure Window): Σν απνηέιεζκα από όιεο ηηο ζρεηηθέο κε ηα γξαθήκαηα εληνιέο, νη νπνίεο έρνπλ εθηειεζηεί ζην Παξάζπξν εληνιώλ, παξέρνληαη από ην παξώλ, μερσξηζηό από ηα ππόινηπα, παξάζπξν. Από ην Παξάζπξν ησλ γξαθεκάησλ, είλαη δπλαηή ε επεμεξγαζία θαη ν ρεηξηζκόο ησλ γξαθεκάησλ. Να ζεκεησζεί όηη ε δπλαηόηεηα απηή πξνζθέξεηαη από ηηο ηειεπηαίεο εθδόζεηο ηνπ MATLAB. Παξάζπξν ζύληαμεο (Editor Window): Δίλαη ην παξάζπξν, ζην νπνίν ν ρξήζηεο κπνξεί λα αλαπηύμεη, λα επεμεξγαζηεί, λα απνζεθεύζεη ηα δηθά ηνπ αξρεία εληνιώλ, ηα νπνία θπξίσο απαξηίδνληαη από ηα M-Files. Αλ θαη είλαη δπλαηό ηα αξρεία απηά λα ζπληαρζνύλ κέζσ ησλ θιαζζηθώλ πξνγξακκάησλ ζύληαμεο (text editors), ην MATLAB πξνζθέξεη ην αληίζηνηρν πξόγξακκα, ην νπνίν είλαη ελζσκαησκέλν ζην παθέην ινγηζκηθνύ Βαζηθή ηύπνη αξρείσλ Σν MATLAB κπνξεί λα αλαγλώζεη θαη λα εγγξάςεη δηάθνξα είδε αξρείσλ. ηηο επόκελεο παξαγξάθνπο θαηαγξάθνληαη νη πέληε ζπλεζέζηεξνη ηύπνη αξρείσλ γηα ειίδα 53 από 122

54 απνζήθεπζε δεδνκέλσλ ε γηα πξνγξακκαηηζκό, θάλνληαο ρξήζε ησλ δπλαηνηήησλ ηνπ ινγηζκηθνύ. Μ-files: Δίλαη ηππηθά ASCII text files, ζπλνδεπόκελα από ηελ πξνέθηαζε.m ζην όλνκα ηνπ αξρείνπ. Τπάξρνπλ δύν βαζηθέο θαηεγνξίεο ηέηνησλ αξρείσλ: script files θαη function files. Σα πεξηζζόηεξα πξνγξάκκαηα, ηα νπνία ζπληάζζνληαη κέζσ ηνπ MATLAB απνζεθεύνληαη σο M-files. Σν ζύλνιν ησλ ελζσκαησκέλσλ ζπλαξηήζεσλ είλαη ηύπνπ M-files. Μάιηζηα κεξηθέο ελζσκαησκέλεο ζπλαξηήζεηο παξέρνληαη από ην ινγηζκηθό ζην ρξήζηε κε ηνλ πεγαίν θώδηθα ζε αλαγλώζηκα M-flies, κε απνηέιεζκα λα κπνξεί ν θώδηθαο απηόο λα αληηγξαθεί ή αθόκα θαη λα ηξνπνπνηεζεί. Μat-files: Δίλαη ηππηθά binary data-files, ζπλνδεπόκελα από ηελ πξνέθηαζε.mat ζην όλνκα ηνπ αξρείνπ. Σα αξρεία απηά δεκηνπξγνύληαη από ην MATLAB ζηελ πεξίπησζε θαηά ηελ νπνία ν ρξήζηεο απνζεθεύεη ηα δεδνκέλα κε ηελ εληνιή save. Σα δεδνκέλα είλαη θαηαγεγξακκέλα κε εηδηθό ηξόπν, έηζη ώζηε λα είλαη δπλαηή ε αλάγλσζε ηνπο κόλν από ην παξώλ ινγηζκηθό. Σέινο, είλαη δπλαηή ε θόξησζε ηνπο κέζσ από ην MATLAB κε ηελ εληνιή load. Fig-files: Δίλαη ηππηθά binary figure-files, ζπλνδεπόκελα από ηελ πξνέθηαζε.fig ζην όλνκα ηνπ αξρείνπ. Σα αξρεία απηά δεκηνπξγνύληαη από ην MATLAB ζηελ πεξίπησζε θαηά ηελ νπνία ν ρξήζηεο απνζεθεύεη έλα γξάθεκα, ρξεζηκνπνηώληαο είηε ηηο επηινγέο από ην File menu Save ή Save As είηε πιεθηξνινγώληαο ηελ εληνιή saveas ζην παξάζπξν ησλ εληνιώλ. Σα αξρεία απηά κπνξνύλ λα πξνζπειαζηνύλ από ην MATLAB σο αξρεία, ηα νπνία πεξηέρνπλ γξαθήκαηα ηνπ ινγηζκηθνύ. P-files: Δίλαη πξνζαξκνζκέλα M-files, ηα νπνία ζπλνδεύνληαη από ηελ θαηάιεμε.p θαη κπνξεί λα εθηειεζζνύλ απεπζείαο από ην MATLAB. Απηά ηα αξρεία ειίδα 54 από 122

55 δεκηνπξγνύληαη κε ηελ εληνιή pcode. ηελ πεξίπησζε, θαηά ηελ νπνία ν ρξήζηεο έρεη αλαπηύμεη κηα εθαξκνγή θαη δελ επηζπκεί λα δώζεη ζε άιινπο ρξήζηεο ηνλ πεγαίν θώδηθα (M-file) απηήο παξά κόλν ην εθηειέζηκν αξρείν, ηόηε είλαη ζθόπηκε ε ρξήζε ηνπ p-file. Mex-files: Δίλαη αξρεία ηα νπνία απνζθνπνύλ ζηε ζύλδεζε ηνπ MATLAB κε δηάθνξεο γιώζζεο πξνγξακκαηηζκνύ, όπσο ε Fortran θαη ε C. πλνδεύνληαη από ηελ θαηάιεμε.mex θαη γεληθά απαηηνύλ ηδηαίηεξε εμνηθείσζε θαη εκπεηξία κε ην MATLAB Γεληθέο ζεκειηώδεο ζπλαξηήζεηο ηνπ Matlab Παξνπζηάδνληαη ελ ζπληνκία κεξηθέο από ηηο πην βαζηθέο εληνιέο, νη νπνίεο αθνξνύλ ζηε ρξήζε ηνπ MATLAB. Δληνιέο ζρεηηθέο κε ηε βνήζεηα >> help Αθνινπζεί έλαο θαηάινγνο ζεκάησλ βνήζεηαο >> demo Δλεξγνπνηεί ηηο έηνηκεο επηδείμεηο ηνπ Matlab, ζρεηηθέο κε ηε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ Δληνιέο ζρεηηθέο κε ηεο πιεξνθνξίεο, νη νπνίεο αθνξνύλ ην ρώξν εξγαζίαο (Workspace) >> who Καηεγνξηνπνηεί όιεο ηηο πξόζθαηα ρξεζηκνπνηνύκελεο κεηαβιεηέο ζην ρώξν εξγαζίαο >> whos Καηεγνξηνπνηεί όιεο ηηο πξόζθαηα ρξεζηκνπνηνύκελεο κεηαβιεηέο ζην ρώξν εξγαζίαο, ζπλνδεπόκελεο από ην κέγεζόο ηνπο >>what Καηεγνξηνπνηεί ην ζύλνιν ησλ Μ-, Μat- θαη Mex files, ηα νπνία βξίζθνληαη ζην δίζθν >>clear Καζαξίδεη νιόθιεξν ην ρώξν εξγαζίαο, απνκαθξύλνληαο όιεο ηηο κεηαβιεηέο >>clc Καζαξίδεη ην παξάζπξν εληνιώλ ειίδα 55 από 122

56 >>pwd >>cd >>dir >>mkdir Δληνιέο ζρεηηθέο κε πιεξνθνξίεο, νη νπνίεο αθνξνύλ ηηο δηεπζύλζεηο θαηαρώξεζεο (Directory) δείρλεη ην ηξέρνλ directory δηαθνξνπνηεί ην ηξέρνλ directory θαηεγνξηνπνηεί ηα πεξηερόκελα ηνπ ηξέρνληνο directory δεκηνπξγεί έλα directory >>copyfile αληηγξάθεη έλα αξρείν >>quit >>exit >>save >>load Δληνιέο ηεξκαηηζκνύ ιεηηνπξγίαο θάλεη έμνδν από ην MATLAB θάλεη έμνδν από ην MATLAB Δληνιέο δηαρεηξίζεηο αξρείσλ Απνζήθεπζε εμαγνκέλσλ απνηειεζκάησλ από πξάμεηο γηα κεηέπεηηα επεμεξγαζία Φόξησζε δεδνκέλσλ από δπαδηθό αξρείν >>fprintf Απνζήθεπζε δεδνκέλσλ ζε εμσηεξηθά αξρεία γηα >>fscanf >>fopen >>fwrite >>fclose κεηέπεηηα ρξήζε ηνπο Γηάβαζκα από εμσηεξηθό αξρείν Άλνηγκα αξρείνπ γηα επεμεξγαζία Δγγξαθή δεδνκέλσλ ζε αξρείν Κιείζηκν αξρείνπ Πίλαθαο 4.1: Βαζηθέο εληνιέο ηνπ Matlab 4.2 Βαζηθά ζηνηρεία ρξήζεο ηνπ Matlab Σα ζύκβνια, ηα νπνία ρξεζηκνπνηεί ην MATLAB γηα ηελ εθηέιεζε ησλ ηεζζάξσλ βαζηθώλ πξάμεσλ ηεο αξηζκεηηθήο (πξόζζεζε, αθαίξεζε, πνιιαπιαζηαζκόο θαη δηαίξεζε) θαζώο θαη ηεο ύςσζεο ελόο αξηζκνύ ζε δύλακε, παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηνλ αθόινπζν πίλαθα, ν νπνίνο ζπλνδεύεηαη κε κεξηθά απιά παξαδείγκαηα, όπσο απηά πιεθηξνινγνύληαη ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνύ. ειίδα 56 από 122

57 ύκβνιν + Πξόζζεζε - Αθαίξεζε Πξάμε * Πνιιαπιαζηαζκόο / Γηαίξεζε ^ Ύςσζε ζε δύλακε Πίλαθαο 4.2: Βαζηθέο πξάμεηο ηεο αξηζκεηηθήο ζην Matlab Σν MATLAB δηαζέηεη έλα κόλν ηξόπν (νπζηαζηηθά κηα κόλν εληνιή) θαηαρώξεζεο ηηκήο ζε κηα κεηαβιεηή. Η γεληθή ζύληαμε ηεο εληνιήο απηήο είλαη ε αθόινπζε: Όλνκα κεηαβιεηήο = ηηκή ή κεηαβιεηή ή απνηέιεζκα πξάμεσλ Γηαλύζκαηα - πηλάθεο Σα ζηνηρεία ελόο πίλαθα εηζάγνληαη από ην πιεθηξνιόγην (ππάξρνπλ θαη άιινη δύν ηξόπνη δεκηνπξγίαο πηλάθσλ, κέζσ ησλ δπλαηνηήησλ πξνγξακκαηηζκνύ ζην MATLAB θαη κέζσ από εηδηθέο ζπλαξηήζεηο πηλάθσλ θαη δηαλπζκάησλ). Η εηζαγσγή ησλ ζηνηρείσλ ηνπ θάζε πίλαθα πξαγκαηνπνηείηαη γξακκή γξακκή, πξώηα εηζάγεηαη ε πξώηε γξακκή, κεηά ε δεύηεξε θ.ν.θ. Σα ζηνηρεία θάζε γξακκήο πξέπεη λα δηαρσξίδνληαη είηε κε έλα θελό είηε κε θόκκα (,), ελώ νη γξακκέο κεηαμύ ηνπο κε ην ζύκβνιν ηνπ εξσηεκαηηθνύ (;) αληίζηνηρα. Σα ζηνηρεία ηνπ πίλαθα βξίζθνληαη εληόο αγθπιώλ ([..]).Να ζεκεησζεί όηη ζηνηρεία ελόο πίλαθα ή θαη ελόο δηαλύζκαηνο, ην νπνίν απνηειεί εηδηθή πεξίπησζε πίλαθα κε κηα ζηήιε, είλαη δπλαηό λα είλαη πξαγκαηηθνί, κηγαδηθνί, ζπλαξηήζεηο αθόκα θαη αιθαξηζκεηηθνί ραξαθηήξεο. ηα επόκελα παξαδείγκαηα, παξνπζηάδνληαη ηα δηάθνξα είδε πηλάθσλ θαη ν ηξόπνο εηζαγσγήο ησλ ζηνηρείσλ ηνπο. >> Α=[ ; ] >> Β=[1,3,4;4,2,0] A A ειίδα 57 από 122

58 >>C=[1;9;1] C >>D= [4*5 cos(pi) sqrt(6)] D Δπίζεο, ζην MATLAB δίλεηαη ε δπλαηόηεηα δεκηνπξγίαο ελόο δηαλύζκαηνο (vector), ρσξίο ηελ αλάγθε εηζαγσγήο ελόο πξνο ελόο όισλ ησλ ζηνηρείσλ ηνπ δηαλύζκαηνο, αιιά νξίδνληαο ζηελ εληνιή ηελ πξώηε ηηκή, ηελ ηειεπηαία δπλαηή ηηκή θαη ην βήκα (increment) κεηαβνιήο ησλ ηηκώλ. Αλ δελ νξηζηεί ζπγθεθξηκέλε ηηκή γηα ην βήκα, ηόηε ην ινγηζκηθό ιακβάλεη ηηκή γηα απηό ίζε κε ηε κνλάδα. ηε ζπλέρεηα παξνπζηάδνληαη νξηζκέλα ελδεηθηηθά παξαδείγκαηα ηεο πεξίπησζεο απηήο. >>A=0:2:5 A [0 2 4] >>B =[-10:5:10;-20:10:20] B >>C=0:pi:5 C Δθηόο από ηηο ζπλεζηζκέλεο πξάμεηο ηεο αξηζκεηηθήο (πξόζζεζε, αθαίξεζε, πνιιαπιαζηαζκόο, δηαίξεζε θαη ύςσζε ζε δύλακε), νη νπνίεο ιακβάλνπλ ρώξα κεηαμύ θαηάιιεισλ δηαλπζκάησλ, είλαη δπλαηό λα πινπνηεζνύλ θαη πξάμεηο ζηνηρείν πξνο ζηνηρείν κεηαμύ ησλ δηάθνξσλ δηαλπζκάησλ. Από ηα Μαζεκαηηθά, γηα ηηο ζπλήζεηο αξηζκεηηθέο πξάμεηο κεηαμύ δηαλπζκάησλ, πξέπεη λα ηζρύνπλ νη εμήο ζπλζήθεο: Αξηζκεηηθή πξάμε Αξηζκεηηθή παξάζηαζε Πεξηνξηζκνί + Α + Β A θαη Β ίδησλ δηαζηάζεσλ - Α - Β A θαη Β ίδησλ δηαζηάζεσλ * Α.* Β A θαη Β ίδησλ δηαζηάζεσλ / Α./ Β Α θαη Β ίδησλ δηαζηάζεσλ θαη ηεηξαγσληθνί ^ Α.^ Β Α θαη Β ίδησλ δηαζηάζεσλ θαη ηεηξαγσληθνί Πίλαθαο 4.3: Βαζηθέο πξάμεηο ηεο αξηζκεηηθήο κεηαμύ δηαλπζκάησλ - πηλάθσλ ζην MATLAB ειίδα 58 από 122

59 >>Α=[1 5 4;2 3 0] >>B=[0 3 1;2 2 1] >>C=A+B >>D=A.*B A B C D Σν MATLAB δηαζέηεη πιεηάδα από ελζσκαησκέλεο ζπλαξηήζεηο, νη νπνίεο βξίζθνπλ εθαξκνγή ζε δηαλύζκαηα, είηε γηα ηε δεκηνπξγία απηώλ είηε γηα θάζε είδνπο επεμεξγαζία ηνπο. Γηα ηελ θαιύηεξε θαηαλόεζή ηνπο, ζα παξνπζηαζηνύλ ζπγθεληξσηηθά ζε δηαθνξεηηθνύο πίλαθεο, αλάινγα κε ην ζθνπό, ηνλ νπνίν επηηεινύλ. πλαξηήζεηο δεκηνπξγίαο πηλάθσλ eye(m,n) Γεκηνπξγεί έλα mxn πίλαθα κε κνλάδεο ηελ θύξηα δηαγώλην zeros(m,n) Γεκηνπξγεί έλα mxn κεδεληθό πίλαθα ones(m,n) Γεκηνπξγεί έλα mxn κνλαδηαίν πίλαθα rand(m,n) Γεκηνπξγεί έλα mxn πίλαθα κε ηπραίνπο αξηζκνύο σο ζηνηρεία, νκνηόκνξθα θαηαλεκεκέλνπο ζην δηάζηεκα 0-1 randn(m,n) Γεκηνπξγεί έλα mxn πίλαθα κε ηπραίνπο αξηζκνύο σο ζηνηρεία, νη νπνίνη αθνινπζνύλ ηελ θαηαλνκή Gauss Πίλαθαο 4.4: Βαζηθέο ζπλαξηήζεηο δεκηνπξγίαο πηλάθσλ ζην Matlab πλαξηήζεηο επεμεξγαζίαο πηλάθσλ length(a) size(a) ndims(a) numel(a) Δκθαλίδεη ην πιήζνο ησλ ζηνηρείσλ ελόο δηαλύζκαηνο Δκθαλίδεη ην πιήζνο ησλ ζεηξώλ θαη ησλ ζηειώλ ελόο πίλαθα Δκθαλίδεη ηνλ αξηζκό ησλ δηαζηάζεσλ ελόο πίλαθα Δκθαλίδεη ηνλ αξηζκό ησλ ζηνηρείσλ ελόο πίλαθα ειίδα 59 από 122

60 max(a) min(a) mean(a) std(a) trace(a) Δκθαλίδεη ηε κέγηζηε ηηκή από θάζε κηα ζηήιε ηνπ πίλαθα Δκθαλίδεη ηελ ειάρηζηε ηηκή από θάζε κηα ζηήιε ηνπ πίλαθα Δκθαλίδεη ην κέζν όξν ησλ ηηκώλ ησλ ζηνηρείσλ θάζε ζηήιεο ηνπ πίλαθα Δκθαλίδεη ηελ ηππηθή απόθιηζε ησλ ηηκώλ ησλ ζηνηρείσλ θάζε ζηήιεο ηνπ πίλαθα Δκθαλίδεη ην άζξνηζκα ησλ ηηκώλ ησλ ζηνηρείσλ ηεο θύξηαο δηαγσλίνπ ελόο πίλαθα Α Πίλαθαο 4.5: Βαζηθέο ζπλαξηήζεηο επεμεξγαζίαο πηλάθσλ ζην Matlab 4.3 Πξνγξακκαηίδνληαο ζην Matlab Έλα ηδηαίηεξν ραξαθηεξηζηηθό ηνπ MATLAB είλαη ε δπλαηόηεηα ηεο απιήο πξνέθηαζεο ηνπ ζε πνηθίιεο εθαξκνγέο, κέζσ ηεο ζύληαμεο από ην ρξήζηε απηόλνκσλ θσδίθσλ θαη πξνγξακκάησλ. Σν ινγηζκηθό πξνζθέξεη ζην ρξήζηε ηε ρξήζε κηαο ελζσκαησκέλεο γιώζζαο πξνγξακκαηηζκνύ, ε νπνία δηαζέηεη θνηλά ραξαθηεξηζηηθά κε ηε γιώζζα πξνγξακκαηηζκνύ C. Μάιηζηα, δελ είλαη ππεξβνιηθό λα ζεσξεζεί όηη ε ζπγθεθξηκέλε γιώζζα πξνγξακκαηηζκνύ ηνπ MATLAB ίζσο είλαη θαηαιιειόηεξε θαη πςειόηεξνπ επηπέδνπ γηα εθαξκνγέο Μεραληθνύ, νη νπνίεο απαηηνύλ ηζρπξά ππνινγηζηηθά εξγαιεία, θάηη ην νπνίν είλαη δύζθνιν λα επηηεπρηεί από ηηο θιαζζηθέο γιώζζεο πξνγξακκαηηζκνύ. ην MATLAB ν ρξήζηεο κπνξεί λα αλαπηύμεη θώδηθα ζηα M-Files. Σα M-Files είλαη ηππηθά ASCII αξρεία θεηκέλνπ (text files), ζπλνδεπόκελα από ηελ πξνέθηαζε.m ζην όλνκα ηνπ αξρείνπ θαη ζηα νπνία ν ρξήζηεο θάλεη ρξήζε ηεο γιώζζαο πξνγξακκαηηζκνύ ηνπ ινγηζκηθνύ. Σα πεξηζζόηεξα M-Files είλαη δπλαηό λα ελεξγνπνηεζνύλ κέζσ νπνηνδήπνηε πξνγξάκκαηνο επεμεξγαζίαο θεηκέλνπ (editor or word processing application). Έλα ηέηνην πξόγξακκα δηαζέηεη θαη ην παξώλ ινγηζκηθό (Μ-file Editor). ειίδα 60 από 122

61 4.3.1 Βαζηθέο καζεκαηηθέο ζπλαξηήζεηο Οη ππνζηεξηδόκελεο βαζηθέο ζπλαξηήζεηο θαη ε ζεκαζία ηνπο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: πλάξηεζε sin cos tan cot exp log log10 sqrt abs imag real fix floor ceil round rem sign Λεηηνπξγία Ηκίηνλν πλεκίηνλν Δθαπηνκέλε πλεθαπηνκέλε Δθζεηηθή ζπλάξηεζε e-x Νεπέξηνο (θπζηθόο) ινγάξηζκνο Γεθαδηθόο ινγάξηζκνο Σεηξαγσληθή ξίδα Απόιπηε ηηκή Φαληαζηηθό κέξνο κηγαδηθνύ Πξαγκαηηθό κέξνο κηγαδηθνύ Αθέξαην κέξνο Κάησ αθέξαην κέξνο Πάλσ αθέξαην κέξνο ηξνγγπινπνίεζε Τπόινηπν δηαίξεζεο Πξόζεκν Πίλαθαο 4.6: Βαζηθέο ζπλαξηήζεηο ζην Matlab Οη βαζηθέο ζπλαξηήζεηο θαινύληαη κε ην όλνκά ηνπο. Π.ρ. ε θιήζε sin(pi) ζα δώζεη ans = e Λνγηθνί ηειεζηέο θαη ηειεζηέο ζπζρέηηζεο Σν Matlab δηαζέηεη ηξεηο ινγηθνύο ηειεζηέο, όπσο απηνί παξνπζηάδνληαη ζηνλ αθόινπζν πίλαθα, ζπλνδεπόκελεο από ζύληνκεο εξκελείεο. ειίδα 61 από 122

62 ύκβνιν ~ Λνγηθή άξλεζε & && Λνγηθό AND Δξκελεία Short-circuit AND Λνγηθό OR Short-circuit OR Πίλαθαο 4.7: Λνγηθνύο ηειεζηέο ζην Matlab Δθηόο από ηνπο ινγηθνύο ηειεζηέο ππάξρνπλ θαη νη ζρεζηαθνί ηειεζηέο, νη νπνίεο πινπνηνύλ ηηο δηάθνξεο ζπγθξίζεηο κε αξηζκνύο, ζε αληίζεζε κε ηνπο πξναλαθεξζέληεο ινγηθνύο ηειεζηέο, νη νπνίνη δηαθξίλνπλ κόλν δύν θαηαζηάζεηο (1-αιεζήο θαη 0-ςεπδήο). ύκβνιν Δξκελεία < Μηθξόηεξν <= Μηθξόηεξν ή ίζν > Μεγαιύηεξν >= Μεγαιύηεξν ή ίζν == Ίζν ~= Όρη ίζν Πίλαθαο 4.8: ρεζηαθνί ηειεζηέο ζην Matlab Δληνιέο έιεγρνπ ξνήο πξνγξάκκαηνο Οη δνκέο ειέγρνπ ξνήο ηνπ πξνγξάκκαηνο είλαη ζύλνια εληνιώλ, ηα νπνία απαηηνύλ εηδηθό ηξόπν ζύληαμεο. ηε ζπλέρεηα παξνπζηάδνληαη ελ ζπληνκία νη πην ζπρλά εθαξκνδόκελεο δνκέο ειέγρνπ ζην Matlab. Γνκή for loops: Ο βξόρνο for πινπνηεί ηελ θαη επαλάιεςε εθηέιεζε κηαο ή θαη πεξηζζόηεξσλ εληνιώλ γηα έλα πξνθαζνξηζκέλν αξηζκό επαλαιήςεσλ. Η γεληθή ηεο κνξθή είλαη ε αθόινπζε: ειίδα 62 από 122

63 for δείθηεο κεηξεηήο end ύλνιν εληνιώλ Γηα ηεο νξζή ζύληαμε ηνπ κεηξεηή απαηηείηαη ε δήισζε ηεο αξρηθήο θαη ηεο ηειεπηαίαο ηηκήο θαζώο θαη ηνπ βιήκαηνο κεηαβνιήο. ε πεξίπησζε θαηά ηελ νπνία δε δεισζεί ην βήκα ηεο κεηαβνιήο, ηόηε ην Matlab ιακβάλεη γηα απηό ηελ εμ νξηζκνύ ηηκή ίζε κε ηε κνλάδα. Να ζεκεησζεί όηη ην ζύλνιν ησλ εληνιώλ ηνπ βξόγρνπ είλαη δπλαηό λα εκπεξηέρεη κηα νπνηαδήπνηε εληνιή ηνπ ινγηζκηθνύ, αθόκε θαη ηνλ ίδην ην βξόγρν ηνπ for. Γνκή while: Η δνκή while πεξηέρεη κέζα ζην ζώκα ηεο εληνιέο, νη νπνίεο εθηεινύληαη όζν ε ζπλζήθε, ηελ νπνία ειέγρεη, είλαη αιεζήο. Η δνκή απηή ζπλήζσο ρξεζηκνπνηείηαη ζηελ πεξίπησζε θαηά ηελ νπνία δελ είλαη πξνθαζνξηζκέλνο εθ ησλ πξνηέξσλ ν αξηζκόο ησλ επαλαιήςεσλ, νη νπνίεο απαηηνύληαη γηα ηελ ηθαλνπνίεζε ηεο ζπλζήθεο. πγθεθξηκέλα, ε ιεηηνπξγία ηεο θαηαξρήλ έγθεηηαη ζηνλ έιεγρν γηα ην αλ ε ζπλζήθε είλαη αιεζήο θαη αλ ηθαλνπνηείηαη ν έιεγρνο απηόο, ηόηε εθηεινύληαη όια νη εληνιέο, νη νπνίεο βξίζθνληαη εληόο ηεο δνκήο. Δλ ζπλερεία, πξαγκαηνπνηείηαη εθ λένπ έιεγρνο αιεζείαο ηεο ζπλζήθεο θαη ζηελ πεξίπησζε θαηά ηελ νπνία εμαθνινπζεί λα ηθαλνπνηείηαη, εμαθνινπζεί θαη αληίζηνηρα ε εθηέιεζε ησλ εληνιώλ. ηελ αληίζεηε πεξίπησζε (ε ζπλζήθε είλαη πιένλ ςεπδήο) ε εθηέιεζε ησλ εληνιώλ δηαθόπηεηαη. while ζπλζήθε end ύλνιν εληνιώλ ειίδα 63 από 122

64 Γνκή if: Με ηε δνκή if είλαη δπλαηό λα εθηειεζηνύλ επί κέξνπο εληνιέο, αλάινγα κε ηηο ζπλζήθεο, νη νπνίεο ηθαλνπνηνύληαη ζε θάζε πεξίπησζε. Η γεληθή κνξθή ηεο δνκήο είλαη ε αθόινπζε: if ζπλζήθε 1 ύλνιν εληνιώλ 1 elseif ζπλζήθε 2 ύλνιν εληνιώλ 2 else end ύλνιν εληνιώλ (n+1) Σν ζύλνιν ησλ εληνιώλ i=1,2,...,n εθηειείηαη κόλν αλ ηθαλνπνηνύληαη νη αληίζηνηρεο ζπλζήθεο, αλ δειαδή είλαη αιεζείο νη ζπλζήθεο i=1,2,,n. Αληίζεηα ην ζύλνιν ησλ εληνιώλ γηα n+1 εθηεινύληαη κόλν ζηελ πεξίπησζε θαηά ηελ όπνηα, θακία από ηηο ζπλζήθεο i=1,2,,n δελ αιεζείο. Γνκή switch-case-otherwise: Η δνκή απηή έρεη παξόκνηα ραξαθηεξηζηηθά θαη ιεηηνπξγία κε ηελ πξνεγνύκελε δνκή. Η ηθαλνπνίεζε κηαο από ηηο ζπλζήθεο ηεο δνκήο νδεγεί ζηελ εθηέιεζε ηεο αληίζηνηρεο εληνιήο ή ζπλόινπ εληνιώλ. Η γεληθή ηεο κνξθή είλαη ε αθόινπζε: switch ζπλζήθε case ζπλζήθε 1 ύλνιν εληνιώλ 1 case ζπλζήθε n ύλνιν εληνιώλ n otherwise ύλνιν εληνιώλ end ειίδα 64 από 122

65 Γνκή break: Η δνκή break ηνπνζεηείηαη εληόο ηεο δνκήο for ή ηεο δνκήο while θαη κε ηνλ ηξόπν πνπ απηό ηεξκαηίδεηαη ε εθηέιεζε κηα από ηηο παξαπάλσ δνκέο, αθόκε θαη αλ ε ζπλζήθε γηα ηελ εθηέιεζε ηεο δνκήο είλαη αιεζήο. Γνκή error: Η δνκή error ( message ) ηνπνζεηείηε εληόο κηαο από ηηο παξαπάλσ δνκέο ζπλήζσο είηε ζε έλα αξρείν θεηκέλνπ (script files) είηε ζε έλα αξρείν ζπλάξηεζεο (function file). Με ηε ρξήζε ηεο δνκήο απηήο ζηακαηά απηόκαηα ε εθηέιεζε ηνπ αξρείνπ, εκθαλίδεηαη ζηελ νζόλε ην κήλπκα ηνπ ιάζνπο θαη ηα ζύζηεκα επηζηξέθεη ηνλ έιεγρν ζην πιεθηξνιόγην θαη ζηνλ παξάζπξν ησλ εληνιώλ. 4.4 Γξαθηθό πεξηβάιινλ Σν MATLAB δηαζέηεη αμηόινγα εξγαιεία γηα ηελ απόδνζε γξαθεκάησλ. Σππηθά γξαθήκαηα ζηηο δύν δηαζηάζεηο, εμεδεηεκέλα δηαγξάκκαηα θαη απεηθνλίζεηο ζηηο ηξεηο δηαζηάζεηο κε δπλαηόηεηεο γηα ηδηαίηεξνπο ρξσκαηηζκνύο θαη ζθηάζεηο. Καζώο, επεμεξγαζία θαη όισλ ησλ εηδώλ ησλ γξαθεκάησλ θαη εηθόλσλ, κέζσ ησλ εξγαιείσλ επεμεξγαζίαο ηνπ ινγηζκηθνύ, είλαη νξηζκέλεο από ηηο εθαξκνγέο, ζηηο νπνίεο κπνξεί λα δώζεη ιύζεηο ε ρξήζε ηνπ Matlab. Σν πην βαζηθό πιενλέθηεκα ηνπ ινγηζκηθνύ απηνύ είλαη ε απιόηεηα ζην ρεηξηζκό ηνπ ζπλόινπ ησλ ηδηνηήησλ θαη ραξαθηεξηζηηθώλ ησλ γξαθεκάησλ Γξαθηθέο παξαζηάζεηο Η βαζηθόηεξε θαη επξέσο ρξεζηκνπνηνύκελε ζπλάξηεζε γξαθηθώλ είλαη ε ζπλάξηεζε plot. Με ηε ρξήζε ηεο ζπλάξηεζεο απηήο πινπνηνύληαη γξαθηθέο παξαζηάζεηο. Η ζύληαμε ηεο εληνιήο απηήο γηα ηα γξαθήκαηα είλαη ε εμήο: plot(xvalue, yvalue, style option ) ειίδα 65 από 122

66 xvalues, yvalues: είλαη ηα δηαλύζκαηα ησλ ηηκώλ, νη νπνίεο απνηεινύλ ηηο ζπληεηαγκέλεο,θαηά ηνλ άμνλα x θαη y αληίζηνηρα, ησλ ζεκείσλ ηνπ γξαθήκαηνο. style option : απνηειεί έλα πξναηξεηηθό όξηζκα ηεο ζπλάξηεζεο plot θαη ζρεηίδεηαη κε ην ρξώκα, ηε κνξθή θαη κε ην ζύκβνιν κε ην νπνίν ζα απνδνζεί ε γξακκή. Να ηνληζζεί όηη πξέπεη ηα δύν δηαλύζκαηα ησλ ζπληεηαγκέλσλ θαηά x θαη θαηά y λα δηαζέηνπλ ηνλ ίδην αξηζκό ζηνηρείσλ. ε αληίζεηε πεξίπησζε, απηό απνηειεί ην πιένλ ζπρλό ιάζνο ζηελ παξαγσγή γξαθεκάησλ κέζσ ηνπ MATLAB. Style option/color Style option/linestyle Style option/markerstyle r θόθθηλν - ζπλερήο. ηειεία g πξάζηλν -- δηαθεθνκκέλε ν θύθινο b κπιε : ηειείεο x ζεκείν x y θίηξηλν -. ηειείεο παύιεο + ζεκείν + k καύξν * αζηεξίζθνο w άζπξν s ηεηξάγσλν c γαιάδην d ξόκβνο m - κνβ p πεληάγσλν h εμάγσλν ^ βέινο πξνο ηα επάλσ v βέινο πξνο ηα θάησ > βέινο δεμηά < βέινο αξηζηεξά Πίλαθαο 4.9: ηπι κνξθνπνίεζεο Μηα άιιε βαζηθή ζπλάξηεζε γηα γξαθηθέο παξαζηάζεηο είλαη θαη ε stem, νη νπνία νξίδεηαη όπσο θαη ε plot. Υξεζηκνπνηείηαη θύξηνο γηα αλαπαξάζηαζε δηαθξηηώλ ζεκάησλ. Π.ρ. >> a=linspace(0,2*pi,100); >> x=sin(a); ειίδα 66 από 122

67 >> y=cos(a); >> plot(x,y,'rν') Δηθνλα 4.2: Παξαδεηγκα γξαθηθήο παξάζηαζεο plot Αθόκε κηα ζπλάξηεζε γηα γξαθηθέο παξαζηάζεηο είλαη ε subplot. Η νπνία ρσξίδεη ην figure ζε νξζνγώληα ηκήκαηα, αξηζκνύληαη θαηά ζεηξά, όπνπ πεξηέρνπλ άμνλεο θαη κπνξνύκε ζε θάζε έλα από απηά λα θάλνπκε δηαθνξεηηθά δηαγξάκκαηα. Π.ρ. >> x = [ ]; >> y = [ ]; >> subplot(2,1,1); >> stem(x); >> subplot(2,1,2); >> plot(y); ειίδα 67 από 122

68 Δηθνλα 4.3: Παξαδεηγκα γξαθηθήο παξάζηαζεο plot θαη stem Σν πξώην όξηζκα ηεο subplot είλαη ν αξηζκόο ησλ γξακκώλ θαη ε δεύηεξε ν αξηζκόο ησλ ζηειώλ πνπ ζα ρσξηζηεί ην figure. Σν ηξίην όξηζκα δειώλεη ζε πνην ηκήκα ηνπ figure ζα εξγαζηνύκε. ειίδα 68 από 122

69 Β ΜΔΡΟ Αλάιπζε Δθαξκνγήο ειίδα 69 από 122

70 ΔΙΑΓΧΓΗ Σo Matlab απνηειεί ηζρπξό ππνινγηζηηθό αξηζκεηηθό πεξηβάιινλ θαη γιώζζα πξνγξακκαηηζκνύ. Γίλεη ηε δπλαηόηεηα ζηνλ ρξήζηε γηα εύθνιε κειέηε πηλάθσλ, δεκηνπξγία γξαθεκάησλ ζπλαξηήζεσλ θαη άιισλ δεδνκέλσλ, εθαξκνγή δηάθνξσλ αιγόξηζκσλ θαη δεκηνπξγία γξαθηθώλ δηεπηθαλεηώλ. πγθεθξηκέλα έλα από ηα εξγαιεία πνπ πξνζθέξνληαη από ην Matlab είλαη ε δεκηνπξγία γξαθηθώλ δηεπηθαλεηώλ (Graphical User Interface-GUI). Σν GUI απνηειείηαη ζπλήζσο από δηάθνξα παξάζπξα ηα νπνία πεξηέρνπλ πνηθίια ζηνηρεία ειέγρνπ όπσο κελνύ, πεδία θεηκέλνπ, γξακκέο θύιηζεο, θνπκπηά, πιαίζηα, θ.α. Σα παξάζπξα απηά είλαη δπλαηόλ λα θαινύλ ην έλα ην άιιν, λα δέρνληαη δεδνκέλα από ηνλ ρξήζηε, λα κεηαβηβάδνπλ ηα δεδνκέλα από ην έλα παξάζπξν ζην άιιν θαη γεληθά λα εθηεινύλ δηάθνξεο ιεηηνπξγίεο. Η εθαξκνγή Φεθηαθή Δπεμεξγαζία ήκαηνο έρεη αλαπηπρζεί ζην γξαθηθό πεξηβάιινλ ρξήζηε (gui) ηνπ MATLAB (Mathworks.Matlab.R2009a). Μεξηθέο από ηηο δπλαηόηεηεο πνπ πεξηιακβάλνληαη ζηελ εθαξκνγή, είλαη ε δεκηνπξγία δηαθνξεηηθώλ ηύπσλ ζεκάησλ, πξάμεηο κεηαμύ δηαθξηηώλ ζεκάησλ θαη κεξηθέο από ηηο βαζηθόηεξεο ηδηόηεηεο ηνπο. Δπίζεο πεξηιακβάλεη ηε ζεκειηώδε πξάμε ηεο ζπλέιεπζεο, ηνπ γξήγνξνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier (FFT) θαη ζπζηήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ. ειίδα 70 από 122

71 Καξηέια ήκαηα Απηή ε θαξηέια πεξηιακβάλεη δηάθνξεο ιεηηνπξγηέο, όπσο ηε ιεηηνπξγία ηεο δεκηνπξγίαο δηαθνξεηηθώλ ηύπσλ ζεκάησλ, ηε ιεηηνπξγία ηεο απνζήθεπζεο, θόξησζεο, θαζώο θαη ηε ιεηηνπξγία ηεο κνξθνπνίεζεο θαη θαζαξηζκνύ ηνπ γξαθήκαηνο. Όιεο νη ιεηηνπξγηέο πεξηγξάθνληαη αλαιπηηθά παξαθάησ. Δηθόλα 5.1: Παξνπζίαζε ηεο θαξηέιαο ήκαηα PopupMenu Γπάθημα Η ιίζηα επηινγώλ Γξάθεκα παξέρεη ηελ δπλαηόηεηα επηινγήο δπν ηύπσλ γξαθήκαηνο. Με ηελ επηινγή plot ην ζήκα είλαη ζπλερέο σο πξνο ην ρξόλν, αληηζέησο κε ηελ επηινγή stem ην ζήκα είλαη δηαθξηηό. Δηθόλα 5.2: Δπηινγέο ηνπ PopupMenu Γξάθεκα ειίδα 71 από 122

72 Δηθόλα 5.3: Παξαδείγκαηα απεηθόληζεο ζεκάησλ PopupMenu ςνάπηηζη Η ιίζηα επηινγώλ ζπλάξηεζε πεξηέρεη έλα ζύλνιν από ζπλαξηήζεηο, νη νπνίεο ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε δεκηνπξγία ζεκάησλ. Οη ζπλαξηήζεηο απηέο είλαη ην sin (εκίηνλν), ην cos (ζπλεκίηνλν), ε rand (ζπλάξηεζε δεκηνπξγίαο ηπραίσλ ζηνηρείσλ), δ(n) (δηαθξηηή ζπλάξηεζε ηεο κνλαδηαίαο ώζεο) θαη u(n) (κνλαδηαία ζπλάξηεζε βήκαηνο). Δηθόλα 5.4: Δπηινγέο ηνπ PopupMenu πλάξηεζε EditText Υπόνορ Η νκάδα πιαηζίσλ θεηκέλνπ Υξόλνο, απνηειείηαη από ηξία πεδία. ην πξώην πεδίν θαηαρσξείηαη ηελ αξρηθή ηηκή ηνπ δηαλύζκαηνο, πνπ πξόθεηηαη λα ειίδα 72 από 122

73 δεκηνπξγεζεί. ην δεύηεξν θαηαρσξείηαη ην βήκα πνπ αληηζηνηρεί ζηελ απόζηαζε ησλ ζηνηρείσλ κεηαμύ ηνπο. Δλώ ζην ηξίην θαη ηειεπηαίν πεδίν θαηαρσξείηαη ε ηειηθή ηηκή πνπ ζα δνζεί ζην δηάλπζκα. Δηθόλα 5.5: EditText Υξόλνο EditText Γείγμα Σν πιαίζην θεηκέλνπ Γείγκα αληηπξνζσπεύεη ην πιήζνο ησλ ηπραίσλ δεηγκάησλ πνπ ζα πεξηέρεη ην ζήκα ην νπνίν πξόθεηηαη λα δεκηνπξγεζεί. Δηθόλα 5.6: EditText Υξόλνο EditText ημείο ην πιαίζην θεηκέλνπ εκείν θαηαρσξείηαη κηα ηηκή πνπ αληηζηνηρεί ζε ζπγθεθξηκέλν ζεκείν ηνπ ζήκαηνο. Δηθόλα 5.7: EditText Υξόλνο PushΒutton Γημιοςπγία ηε ιεηηνπξγηά Γεκηνπξγία ππάξρεη ε δπλαηόηαηα λα δεκηνπξγεζνύλ δύν ηύπνη ζεκάησλ, ζπλερνύο ή δηαθξηηνύ ρξόλνπ. Απηό επηηπγράλεηαη κε ηελ θαηάιιειε επηινγή από ηε ιίζηα Γξάθεκα. Έηζη κε ηελ επηινγή plot δεκηνπξγείηαη ζήκα ειίδα 73 από 122

74 πνπ είλαη ζπλερέο σο πξνο ην ρξόλν, αληηζέησο κε ηελ επηινγή stem δεκηνπξγείηαη δηαθξηηό ζήκα. ηε ζπλέρεα απαηηείηαη ε επηινγή ηεο θαηάιιειεο ζπλάξηεζεο από ηελ αληίζηνηρε ιίζηα επηινγώλ. Γηα ηελ δεκηνπξγία εκηηόλνπ απαηηείηε ε επηινγή sin. Μεηέπεηηα είλαη απαξαίηεην λα ζπκπιεξσζνύλ ηα πεδία ηνπ Υξόλνπ. Έηζη, ζην πξώην πεδίν εηζάγεηαη ε αξρηθή ηηκή ηνπ ζήκαηνο πνπ ζα δεκηνπξγεζεί, ζην δεύηεξν ην βήκα πνπ αληηζηνηρεί ζηελ απόζηαζε ησλ ζηνηρείσλ κεηαμύ ηνπο θαη ζην ηξίην πεδίν ε ηειηθή ηηκή ηνπ ζήκαηνο. Γηα ηε δεκηνπξγία ηνπ ζήκαηνο πξέπεη λα ηεξνύληαη θάπνηεο πξνϋπνζέζεηο, όπσο ζηα πεδία ηνπ Υξόλνπ πξέπεη λα θαηαρσξνύληαη εθηθηέο ηηκέο θαη λα κε κέλνπλ θελά. Απηέο νη ηηκέο πξέπεη λα είλαη κόλν αξηζκεηηθέο θαη όρη αιθαξηζκεηηθέο ή θάηη άιιν. Σν βήκα δελ πξέπεη λα είλαη αξλεηηθόο αξηζκόο ή κεδέλ, επίζεο δελ πξέπεη λα μεπεξλά ην εύξνο ηνπ ζήκαηνο. Η αξρηθή ηηκή ηνπ ζήκαηνο δελ πξέπεη λα είλαη κεγαιύηεξε ηεο ηειηθήο ηηκήο. ηελ πεξίπησζε πνπ δελ ηθαλνπνηνύληαη νη παξαπάλσ θαλόλεο εκθαλίδεηαη θαηάιιειν κήλπκα ζθάικαηνο ή πξνεηδνπνίεζεο. Δηθόλα 5.8: Παξάδεηγκα εκθάληζεο κελύκαηνο ιάζνπο ηελ αληίζεηε πεξίπησζε, όπνπ ηα πεδία ηνπ ρξόλνπ έρνπλ ιάβεη θαηάιιειεο ηηκέο, ην ζήκα δεκηνπξγείηαη θαη εκθαλίδεηαη ζην γξάθεκα. ειίδα 74 από 122

75 Δηθόλα 5.9: Γεκηνπξγία ζπλάξηεζεο sin σο ζπλερέο ζήκα Γηα ηε δεκηνπξγία ζπλεκίηνλνπ απαηηείηαη ε επηινγή ηεο ζπλάξηεζεο cos. Η ίδηα δηαδηθαζία, όπσο απηή πνπ πεξηγξάθηεθε πξνεγνπκέλσο, επαλαιακβάλεηε θαη ζηε πεξίπησζε δεκηνπξγίαο ζπλεκίηνλνπ. Δηθόλα 5.10: Γεκηνπξγία ζπλάξηεζεο cos σο δηαθξηηό ζήκα ειίδα 75 από 122

76 Όκνηνο ε ίδηα δηαδηθαζία επαλαιακβάλεηαη όηαλ επηιερζεί ε ζπλάξηεζε κνλαδηαίαο ώζεο δ(n), κε ηελ δηαθνξά όηη εθηόο από ηα πεδία ηνπ Υξόλνπ εκθαλίδεηαη έλα επηπιέσλ πεδίν, ην εκείν. ην πεδίν απηό εηζάγεηαη ην ζεκείν πνπ ε ζπλάξηεζε ζα έρεη ηελ ηηκή έλα, ελώ ζε όια ηα άιια ζεκεία ε ζπλάξηεζε ζα έρεη ηελ ηηκή κεδέλ. Δάλ ε ηηκή πνπ θαηαρσξήζεθε ζην πεδίν δελ ππάξρεη ζην δηάλπζκα, εκθαλίδεηαη θαηάιιειν κήλπκα ιάζνπο. Δπίζεο κήλπκα ιάζνπο εκθαλίδεηαη όηαλ ζην πεδίν θαηαρσξείηαη ζπκβνινζεηξά ή θελή ηηκή. Δηθόλα 5.11: Μελύκαηα ιάζνπο Δηθόλα 5.12: Γεκηνπξγία ζπλάξηεζεο δ(n) σο δηαθξηηό ζήκα ειίδα 76 από 122

77 Όπσο ζηε δεκηνπξγία ζπλάξηεζεο κνλαδηαίαο ώζεο δ(n), έηζη θαη γηα ηελ δεκηνπξγία κνλαδηαίαο ζπλάξηεζεο βήκαηνο u(n), εθηόο από ηα πεδία ηνπ Υξόλνπ, εκθαλίδεηαη έλα επηπιέσλ πεδίν, ην εκείν. Δηθόλα 5.13: Γεκηνπξγία ζπλάξηεζεο u(n) σο δηαθξηηό ζήκα ην πεδίν εκείν, ην νπνίν πξέπεη λα είλαη ππαξθηό ζεκείν ηνπ δηαλύζκαηνο, απαηηείηαη θαηαρώξηζε ηηκήο κεγαιύηεξεο ή ίζεο ηνπ κεδελόο. ηελ αληίζεηε πεξίπησζε εκθαλίδεηαη κήλπκα ιάζνπο. Η ζπλάξηεζε απηή δεκηνπξγεί έλα ζήκα, έηζη ώζηε ζηα ζεκεία πνπ είλαη κεγαιύηεξα από ηελ ηηκή πνπ δόζεθε ζα αληηζηνηρεί ε ηηκή έλα, ελώ ζηα ππόινηπα ζεκεία ζα αληηζηνηρεί ε ηηκή κεδέλ. Γηα ηελ δεκηνπξγία ζήκαηνο κε n ηπραία δείγκαηα ρξεζηκνπνηείηε ηελ ζπλάξηεζε rand. ην πεδίν Γείγκα πνπ εκθαλίδεηαη θαηαρσξνύκε ην πιήζνο ησλ n δεηγκάησλ, ην όπνην δελ πξέπεη λα είλαη αξλεηηθόο αξηζκόο ή κεδέλ. ειίδα 77 από 122

78 Δηθόλα 5.14: Γεκηνπξγία ζπλάξηεζεο rand σο ζπλερέο ζήκα PushΒutton Αποθήκεςζη Η γιώζζα πξνγξακκαηηζκνύ Matlab δίλεη ηε δπλαηόηεηα απνζήθεπζεο εμαγόκελσλ απνηειεζκάησλ από κηα πξάμε ή από έλα ζύλνιν πξάμεσλ. Απηό επηηπγράλεηε κε ηελ εληνιή save, πνπ αλαθέξεηαη ζηελ πεξίπησζε απνζήθεπζεο δεδνκέλσλ ζε αξρεία θεηκέλνπ. ύνηαξη ενηολήρ: save('αξρείν', 'κεηαβιεηή', '-ascii') save('αξρείν', 'κεηαβιεηή', '-ascii', '-append') Η 'κεηαβιεηή' γξάθεηαη ζην 'αξρείν'. Αλ θαη δελ είλαη ππνρξεσηηθό, ζπζηήλεηαη λα ρξεζηκνπνηείηαη κηα επέθηαζε π.ρ. '.txt' ζηα αξρεία θεηκέλνπ πνπ δεκηνπξγεί ν ρξήζηεο, γηα λα γίλεηαη εύθνια ν έιεγρόο ηνπο κε ηε βνήζεηα ελόο θεηκελνγξάθνπ π.ρ. ηνπ Notepad. Η παξάκεηξνο '-ascii' θαζνξίδεη όηη ε εγγξαθή ζα γίλεη ζε κνξθή θεηκέλνπ. Η εγγξαθή γίλεηαη απνθιεηζηηθά ζε αξηζκεηηθή κνξθή (νη κε αξηζκεηηθνί ραξαθηήξεο αληηθαζίζηαληαη από ηνλ αληίζηνηρν θσδηθό ASCII ή Unicode). ειίδα 78 από 122

79 Η παξάκεηξνο '- append' θαζνξίδεη όηη, ζε πεξίπησζε πνπ ήδε ππάξρεη ην αξρείν, ηα λέα δεδνκέλα ζα γξαθηνύλ κεηά ην ηέινο ησλ πξνεγνύκελσλ. Αλ δελ ππάξρεη ε '-append', ηόηε ην αξρείν δηαγξάθεηαη θαη μαλαδεκηνπξγείηαη κε εγγξαθή κόλν ησλ λέσλ κεηαβιεηώλ. ηελ εθαξκνγή απηή, ε ιεηηνπξγία ηεο Απνζήθεπζεο επηηπγράλεηε αθνύ πξώηα έρεη πξνεγεζεί ζσζηά ε ιεηηνπξγία ηεο Γεκηνπξγίαο, δειαδή ην ζήκα έρεη δεκηνπξγεζεί θαη εκθαληζηεί ζην γξάθεκα. Σα ζήκαηα απνζεθεύνληαη ζε αξρεία ηύπνπ '-ascii' κε θαηάιεμε '.dat'. Δηθόλα 5.15: Απνζήθεπζε ζήκαηνο ηελ πεξίπησζε κε ζσζηήο ιεηηνπξγίαο ηεο Γεκηνπξγίαο, ε εθαξκνγή εκθαλίδεη θαηάιιειν πξνεηδνπνηεηηθό κήλπκα. Δηθόλα 5.16: Πξνεηδνπνηεηηθό κήλπκα ειίδα 79 από 122

80 PushΒutton Φόπηωζη Μηα αθόκε δπλαηόηεηα ηεο γιώζζαο πξνγξακκαηηζκνύ Matlab είλαη ε θόξησζε ησλ δεδνκέλσλ κε ηελ εληνιή load. Η εληνιή απηή αλαθέξεηαη ζηελ πεξίπησζε αλάγλσζεο αξρείσλ θεηκέλνπ. ύνηαξη ενηολήρ: <κεηαβιεηή> = load('αξρείν') Η παξαπάλσ ιεηηνπξγία έρεη σο απνηέιεζκα ηελ αλάγλσζε αξηζκεηηθώλ κεηαβιεηώλ από αξρείν θεηκέλνπ. Σα πεξηερόκελα ηνπ αξρείνπ απνζεθεύνληαη ζε κία κεηαβιεηή. Σν αξρείν πξέπεη λα πεξηέρεη κόλν αξηζκεηηθά δεδνκέλα ζε κνξθή πίλαθα, δειαδή ζε γξακκέο κε ίδην πιήζνο ζηνηρείσλ ε θάζε κηα, πνπ ρσξίδνληαη κε θελό (space), ζηεινζέηε (tab), θόκκα (,) ή ειιεληθό εξσηεκαηηθό (;). ηελ εθαξκνγή απηή, θαηά ηελ ιεηηνπξγία ηεο Φόξησζεο ελόο αξρείνπ, ηα δεδνκέλα πνπ πεξηέρεη εκθαλίδνληαη ζην γξάθεκα. Δηθόλα 5.17: Φόξησζε ζήκαηνο από αξρείν ειίδα 80 από 122

81 PushΒutton Καθαπιζμόρ Άιιε κία δπλαηόηεηα ηεο γιώζζαο πξνγξακκαηηζκνύ Matlab είλαη ν θαζαξηζκόο ελόο γξαθήκαηνο από ην ππάξρνλ ζήκα πνπ απεηθνλίδεηε ζε απηό. Απηό πξαγκαηνπνηείηε κε ηελ εληνιή cla. ύνηαξη ενηολήρ: cla cla reset cla('όλνκα γξαθήκαηνο') cla('όλνκα γξαθήκαηνο','reset') ηελ εθαξκνγή, κε ηελ ιεηηνπξγία Καζαξηζκόο επηηπγράλεηε ε επαλαθνξά όισλ ησλ πεδίσλ ζε θελή ηηκή, κε απνηέιεζκα νη ηηκέο πνπ είραλ θαηαρσξεζεί λα ραζνύλ. Δπίζεο γίλεηαη θαη ν θαζαξηζκόο ηνπ γξαθήκαηνο, δειαδή ην ζήκα πνπ είρε θνξησζεί ή πνπ είρε δεκηνπξγεζεί παύεη λα απεηθνλίδεηε ζην γξάθεκα. Δηθόλα 5.18: Καζαξηζκόο ζήκαηνο θαη πεδίσλ ειίδα 81 από 122

82 PushΒutton Δμθάνιζη Η γιώζζα πξνγξακκαηηζκνύ Matlab δίλεη ηε δπλαηόηεηα γξαθηθήο αλαπαξάζηαζεο δεδνκέλσλ από κηα κεηαβιεηή ε από έλα ζύλνιν κεηαβιεηώλ ζε έλα πίλαθα. Απηό επηηπγράλεηε κε ηελ εληνιή uitable. ύνηαξη ενηολήρ: uitable('όλνκα 1 εο ζηήιεο', μεηαβληηή1, 'όλνκα 2 εο μεηαβληηή2,...) ζηήιεο', Η εληνιή uitable δεκηνπξγεί έλα πίλαθα πνπ έρεη γηα όλνκα πξώηεο ζηήιεο όηη αλαθέξεηαη ζηελ πξώηε ηδηόηεηα ('όλνκα 1 εο ζηήιεο') θαη πεξηερόκελα ηα ζηνηρεηά πνπ πεξηέρεη ε κεηαβιεηή πνπ αθνινπζεί (κεηαβιεηή1).σν ίδην ηζρύεη γηα ηηο επόκελεο ηδηόηεηεο θαη κεηαβιεηέο, εάλ ν πίλαθαο έρεη πεξηζζόηεξεο από κηα ζηήιεο. Η ιεηηνπξγία εκθάληζε έρεη σο απνηέιεζκα ηελ εκθάληζε ελόο λένπ παξαζύξνπ. Σν παξάζπξν απηό πεξηιακβάλεη ηνλ πίλαθα πνπ απνηειείηαη από ηα ζηνηρεία ηνπ ζήκαηνο, πνπ έρεη θνξησζεί ή δεκηνπξγεζεί πξνεγνπκέλσο. Η πξώηε ζηήιε πεξηέρεη ηα ζηνηρεηά ηνπ ζήκαηνο σο πξνο ην ρξόλν, ελώ ε δεύηεξε πεξηέρεη ηα ζηνηρεία ηνπ ζήκαηνο πνπ απνηεινύλ πξάμε θάπνηαο ζπλάξηεζεο πνπ επηιέρζεθε από ηε ιίζηα επηινγήο ζπλάξηεζε. Δηθόλα 5.19: Δκθάληζε ζηνηρεηώλ ζήκαηνο ειίδα 82 από 122

83 Τπνθαξηέια Δπεμεξγαζία Με ηε ιεηηνπξγία επεμεξγαζία αλνίγεη κία λέα θαξηέια ζηελ νπνίν δίλεηαη ε δπλαηόηαηα κνξθνπνίεζεο ηνπ απεηθνληδόκελνπ ζήκαηνο ζην γξάθεκα. Δηθόλα 5.20: Παξνπζίαζε ηεο θαξηέιαο επεμεξγαζία PopupΜenu Ένδειξη Γηα ηε κνξθνπνίεζε ηνπ ζήκαηνο ππάξρνπλ δπν ηύπνη επεμεξγαζίαο ζηε ιίζηα επηινγήο Έλδεημε, από ηνπο νπνίνπο κε ηνλ πξώην επηηπγράλεηαη ε κνξθνπνίεζε ελόο κόλν ζηνηρείνπ. Δλώ κε ηνλ δεύηεξν ηύπν επηινγήο επηηπγράλεηε ε κνξθνπνίεζε όισλ ησλ ζηνηρείσλ ηνπ ζήκαηνο. Δηθόλα 5.21: Δπηινγέο ηνπ PopupMenu έλδεημε ειίδα 83 από 122

84 Με ηελ πξώηε επηινγή πνπ είλαη ε έλδεημε ημείος εκθαλίδεηαη έλαο πίλαθαο ν νπνίνο πεξηιακβάλεη όια ηα ζηνηρεία ηνπ ζήκαηνο. Η πξώηε ζηήιε πεξηιακβάλεη ηα ζηνηρεηά πνπ απεηθνλίδνπλ ην ζήκα ζηελ κνλάδα ηνπ ρξόλνπ, ελώ ε δεύηεξε πεξηιακβάλεη ηα ζηνηρεία όινπ ηνπ ζήκαηνο. Δπηιέγνληαο κε ηνλ θέξζνξα θάπνην ζηνηρείν από ηε δεύηεξε ζηήιε, ην ζηνηρείν απηό εληνπίδεηε πάλσ ζην γξάθεκα. Δηθόλα 5.21: Παξάδεηγκα επηινγήο ελόο ζεκείνπ από ην ζήκα θαη κνξθνπνίεζε ηεο εκθάληζεο ηνπ ηελ πεξίπησζε πνπ επηιερζεί ζηνηρείν από ηελ πξώηε ζηήιε εκθαλίδεηαη θαηάιιειν κήλπκα ιάζνπο. Δπίζεο κήλπκα ιάζνπο εκθαλίδεηαη θαη όηαλ επηιερζνύλ από ηε δεύηεξε ζηήιε παξαπάλσ από έλα ζηνηρεία. Δηθόλα 5.22: Μελύκαηα ιάζνπο ειίδα 84 από 122

85 Αληίζεηα, κε ηελ επηινγή ηνπ ηύπνπ επεμεξγαζίαο ήμαηορ από ηε ιίζηα επηινγήο Έλδεημε, απεηθνλίδνληαη όια ηα ζηνηρεία ζήκαηνο ζην γξάθεκα παηώληαο ην θνπκπί ΟΚ. Δηθόλα 5.23: Παξάδεηγκα επηινγήο όισλ ησλ ζηνηρείσλ ηνπ ζήκαηνο θαη κνξθνπνίεζε ηεο εκθάληζεο ηνπο Παλέηα Κοςκίδα Απηή ε παιέηα ρξεζηκνπνηείηαη γηα ην καξθάξηζκα ηνπ ζεκείνπ ή όισλ ησλ ζηνηρείσλ ηνπ ζήκαηνο, αλαιόγσο ηη έρεη επηιερηεί από ηελ ιίζηα επηινγώλ Έλδεημε. Δηθόλα 5.24: Παιέηα Κνπθίδα ειίδα 85 από 122

86 Η γιώζζα πξνγξακκαηηζκνύ Matlab πεξηιακβάλεη κηα ζεηξά από ηδηόηεηεο κε ηηο νπνίεο επηηπγράλεηαη ε κνξθνπνίεζε δηαθόξσλ ζηνηρείσλ ηνπ ζήκαηνο. Οη ηδηόηεηεο απηέο εθαξκόδνληαη ζε γξαθηθέο παξαζηάζεηο π.ρ plot, stem. ύνηαξη ενηολήρ: plot(x, y, 'ηδηόηεηα1', ηηκή1,...) Οη ηδηόηεηεο κε ηηο ηηκέο ηνπο (ηδηόηεηα, ηηκή) είλαη: 'Marker': Σύπνο ζεκείνπ ('+', 'ν', '*', '.', 'x', 's', 'd', 'p', 'h', '^', 'v','>', '<') 'MarkerSize': Μέγεζνο ζεκείνπ (ζε points=1/72 ηεο ίληζαο) 'MarkerFaceColor': Υξώκα εζσηεξηθνύ ηνπ ζεκείνπ 'MarkerEdgeColor': Υξώκα πεξηγξάκκαηνο ζεκείνπ ηελ εθαξκνγή, πίζσ από ηνλ ηύπν θνπθίδαο θξύβεηε ε ηδηόηεηα 'Marker', ζην κέγεζνο ε ηδηόηεηα 'MarkerSize', ζην εζσηεξηθνύ ρξώκα ε ηδηόηεηα 'MarkerFaceColor' θαη ζην ρξώκα πεξηγξάκκαηνο ε ηδηόηεηα 'MarkerEdgeColor'. Παλέηα Γπαμμή Απηή ε παιέηα ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ κνξθνπνίεζε ηεο γξακκήο ηνπ ζήκαηνο. Δηθόλα 5.25: Παιέηα Γξάθεκα Δπίζεο ε γιώζζα πξνγξακκαηηζκνύ Matlab πεξηιακβάλεη κηα ζεηξά από ηδηόηεηεο κε ηηο νπνίεο επηηπγράλεηε ε κνξθνπνίεζε ηεο γξακκήο ηνπ ζήκαηνο. Οη ηδηόηεηεο απηέο εθαξκόδνληαη θαη πινπνηνύληαη κε ηνλ ίδην ηξόπν όπσο θαη ζηελ παιέηα Κνπθίδα. ειίδα 86 από 122

87 Οη ηδηόηεηεο κε ηηο ηηκέο ηνπο (ηδηόηεηα, ηηκή) είλαη: 'LineStyle': Σύπνο γξακκήο ('-', '--', ':', '-.') 'LineWidth': Πάρνο γξακκήο (ζε points=1/72 ηεο ίληζαο) 'Color': Υξώκα γξακκήο Οη ηηκέο ησλ ρξσκάησλ ηεο γξακκήο είλαη [R G B]. Γειαδή κηα ηξηάδα ηηκώλ κε ην πνζνζηό θάζε ρξώκαηνο RGB (red, green, blue). Γηα παξάδεηγκα: θόθθηλν=[1 0 0], πξάζηλν: [0 1 0], κπιέ=[0 0 1], θιπ. Δπίζεο ην Matlab πεξηιακβάλεη ηελ εληνιή zoom πνπ κπνξεί λα πάξεη ηηκέο 'on' ή 'off'. Απηή ε εληνιή ελεξγνπνηεί ηδηόηεηεο κεγέζπλζεο ή ζκίθξπλζεο αληίζηνηρα, ζην γξάθεκα. ηελ εθαξκνγή, πίζσ από ην ηύπν γξακκήο θξύβεηε ε ηδηόηεηα 'LineStyle', ζην πάρνο ε ηδηόηεηα 'LineWidth', ζην ρξώκα ε ηδηόηεηα 'Color' θαη πίζσ από ηελ έλδεημε επηινγήο Zoom ε εληνιή zoom. Παλέηα Φόνηο Απηή ε παιέηα ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ κνξθνπνίεζε ηνπ θόληνπ ηνπ γξαθήκαηνο. Δηθόλα 5.26: Παιέηα Φόλην Η γιώζζα πξνγξακκαηηζκνύ Matlab πεξηιακβάλεη κηα αθόκα ηδηόηεηα κε ηελ νπνία επηηπγράλεηαη ε κνξθνπνίεζε ηνπ θόληνπ ηνπ γξαθήκαηνο. Οη ηδηόηεηα απηή εθαξκόδεηαη θαη πινπνηείηαη κε ηνλ ίδην ηξόπν όπσο θαη ζηελ παιέηα Κνπθίδα. Η ηδηόηεηα κε ηελ ηηκή ηεο (ηδηόηεηα, ηηκή) είλαη: 'Color': Υξώκα Φόληνπ ειίδα 87 από 122

88 Οη ηηκέο ησλ ρξσκάησλ ηεο γξακκήο είλαη [R G B]. Γειαδή κηα ηξηάδα ηηκώλ κε ην πνζνζηό θάζε ρξώκαηνο RGB (red, green, blue). Γηα παξάδεηγκα: θόθθηλν=[1 0 0], πξάζηλν: [0 1 0], κπιέ=[0 0 1], θιπ. Δπίζεο ε γιώζζα πξνγξακκαηηζκνύ Matlab πεξηιακβάλεη ηελ εληνιή grid πνπ κπνξεί λα πάξεη ηηκέο 'on' ή 'off'. Απηή ε εληνιή εκθαλίδεη ε εμαθαλίδεη αληίζηνηρα, έλα «πιέγκα» ζην γξάθεκα. ηελ εθαξκνγή, πίζσ από ην ρξώκα θξύβεηε ε ηδηόηεηα 'Color' θαη πίζσ από ηελ έλδεημε επηινγήο Grid ε έλζηνιε grid. Δηθόλα 5.27: Παξαδείγκαηα κνξθνπνίεζεο ζεκάησλ PushButton ΟΚ Σν θνπκπί OK εκθαλίδεηαη κόλν όηαλ από ηελ ιίζηα επηινγώλ Έλδεημε έρεη επηιερζεί ε δεύηεξε επηινγή, δειαδή ε έλδεημε ήμαηορ. Η ιεηηνπξγία ηνπ θνπκπηνύ απηνύ είλαη απαξαίηεηε δηόηη κε ηελ ελεξγνπνίεζε ηνπ, ηα απνηειέζκαηα ειίδα 88 από 122

89 ηεο κνξθνπνίεζεο πνπ επηιέρζεθαλ από ηεο παιέηεο Κνπθθίδα, Γξακκή θαη Φόληνπ γίλνληαη θαλεξά ζην γξάθεκα. PushButton Δπαναθοπά Η ιεηηνπξγία Δπαλαθνξά δίλεη ηε δπλαηόηεηα ζηνλ ρξήζηε λα επαλαθέξεη ην θνξησκέλν ζήκα ζηελ θαηάζηαζε ζηελ νπνία ήηαλ όηαλ θνξηώζεθε αξρηθά. Γειαδή ην ζήκα πνπ απεηθνλίδεηαη ζην γξάθεκα δελ ζα πεξηέρεη ηηο αιιαγέο κνξθνπνίεζεο πνπ ηπρόλ πξνθιήζεθαλ από ηελ παιέηα Κνπθθίδα, Γξακκή θαη Φόλην. Η δηαδηθαζία απηή έρεη ηελ ίδηα ιεηηνπξγία είηε έρεη επηιερζεί από ηελ ιίζηα επηινγήο Έλδεημε ε επηινγή ημείος ή ε επηινγή ήμαηορ. Δηθόλα 5.28: Παξαδείγκαηα επαλαθνξάο ζήκαηνο ζηελ εμνξηζκνύ κνξθνπνίεζε ηνπ PushButton Έξοδορ Με ηε ιεηηνπξγία Έμνδνο θιείλεη ε θαξηέια Δπεμεξγαζία θαη επηζηξέθνπκε ζηελ θαξηέια ήκαηα. Όηη αιιαγέο είραλ γίλεη όζσλ αθνξά ηε κνξθνπνίεζε ηνπ ζήκαηνο, ράλνληαη. ειίδα 89 από 122

90 Καξηέια Πξάμεηο εκάησλ Απηή ε θαξηέια πεξηιακβάλεη πξάμεηο κεηαμύ δπν δηαθξηηώλ ζεκάησλ, δειαδή ηελ πξάμε ηεο πξόζζεζεο, ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ, ηεο θιηκάθσζεο θαη ηεο κεηαηόπηζεο. ηηο πξάμεηο απηέο αθνινπζνύληαη νη πξνϋπνζέζεηο ηεο γξακκηθήο άιγεβξαο. Παξαθάησ νη πξάμεηο απηέο αλαιύνληαη πεξεηαίξσ. Δηθόλα 5.29: Παξνπζίαζε ηεο θαξηέιαο Πξάμεηο εκάησλ PopupMenu Ππάξη Η ιίζηα επηινγώλ Πξάμε πεξηιακβάλεη έλα ζύλνιν από πξάμεηο πνπ κπνξνύλ λα πξαγκαηνπνηεζνύλ αλακεηαμύ ζεκάησλ. Δηθόλα 5.30: Δπηινγέο ηνπ PopupMenu Πξάμε ειίδα 90 από 122

91 PushButton Φόπηωζη Α ήμαηορ Με ηε ιεηηνπξγία ηεο Φόξησζε Α ήκαηνο πξαγκαηνπνηείηαη ε θόξησζε ελόο ζήκαηνο από αξρείν ηύπνπ '-ascii' κε θαηάιεμε '.dat'. Σν ζήκα απηό έρεη είδε δεκηνπξγεζεί από ηε ιεηηνπξγία ηεο Γεκηνπξγίαο ηεο θαξηέιαο ήκαηα. Μεηέπεηηα ην ζήκα εκθαλίδεηε ζην πξώην γξάθεκα. Δηθόλα 5.31: Παξάδεηγκα θόξησζεο Α ήκαηνο PushButton Φόπηωζη Β ήμαηορ Παξνκνίσο, όπσο ζηε ιεηηνπξγία Φόξησζε Α ήκαηνο, έηζη θαη ζηε ιεηηνπξγία Φόξησζε Β ήκαηνο πξαγκαηνπνηείηαη ε θόξησζε ελόο ζήκαηνο από αξρείν ηύπνπ '-ascii' κε θαηάιεμε '.dat'. Σν ζήκα απηό έρεη είδε δεκηνπξγεζεί από ηε ιεηηνπξγία ηεο Γεκηνπξγίαο ηεο θαξηέιαο ήκαηα. Μεηέπεηηα ην ζήκα εκθαλίδεηε ζην δεύηεξν γξάθεκα. ειίδα 91 από 122

92 Δηθόλα 5.32: Παξάδεηγκα θόξησζεο Β ήκαηνο EditText ηαθεπά Σν πιαίζην θεηκέλνπ ηαζεξά αληηπξνζσπεύεη κηα ζηαζεξή ηηκή πνπ θαιείηαη λα θαηαρσξίζεη ν ρξήζηεο ζηηο πξάμεηο ηεο θιηκάθσζεο θαη κεηαηόπηζεο. Δηθόλα 5.33: EditText ηαζεξά PushButton Αποηέλεζμα ηελ εθαξκνγή, πξνϋπόζεζε γηα λα γίλεη ε πξάμε κεηαμύ ζεκάησλ, είλαη πξώηα ε επηινγή ηεο πξάμεο από ηελ ιίζηα επηινγώλ Πξάμε. ηελ ζπλέρεα απαηηείηαη ε θόξησζε ηνπ ζήκαηνο ή ησλ ζεκάησλ από ηηο ιεηηνπξγίεο θόξησζεο ζεκάησλ. ηε ιεηηνπξγία, Φόξησζε Α ήκαηνο, επηιέγεηαη ην πξώην ζήκα ελώ ζηε ιεηηνπξγία Φόξησζε Β ήκαηνο επηιέγεηαη ην δεύηεξν ζήκα. Έπεηηα κε ηελ επηινγή ηεο ιεηηνπξγίαο Απνηέιεζκα εκθαλίδεηε ην απνηέιεζκα ηεο πξάμεο ζην γξάθεκα. ειίδα 92 από 122

93 ηε ιεηηνπξγία Απνηέιεζκα επηβάιιεηαη λα έρνπλ θνξησζεί κε επηηπρία ηα αληίζηνηρα ζήκαηα πνπ απαηηνύληαη γηα ηελ εθηέιεζε ηεο πξάμεο. Γηαθνξεηηθά εκθαλίδνληαη θαηάιιεια κελύκαηα ιάζνπο. Δηθόλα 5.34: Δκθάληζε κελύκαηνο ιάζνπο από έιιεηςε θόξησζεο ζήκαηνο Μήλπκα ιάζνπο ζα εκθαληζηεί θαη ζηελ πεξίπησζε πνπ έρεη θνξησζεί κόλν ην Β ζήκα ή πνπ δελ έρεη θνξησζεί θαλέλα ζήκα. Γηα λα πξαγκαηνπνηεζεί ε πξάμε ηεο πξόζζεζεο ηα δηαθξηηά ζήκαηα πξέπεη λα έρνπλ ίδηεο δηαζηάζεηο. Γειαδή έζησ όηη έρνπκε δπν ζήκαηα Α θαη Β, θαη ηα δπν απηά ζήκαηα πξέπεη λα έρνπλ ίδην πιήζνο ζηνηρείσλ. ηελ αληίζεηε πεξίπησζε, ε πξάμε ηεο πξόζζεζεο είλαη αδύλαηε θαη ε εθαξκνγή εκθαλίδεη ην θαηάιιειν κήλπκα ιάζνπο. ειίδα 93 από 122

94 Δηθόλα 5.35: Δκθάληζε κελύκαηνο ιάζνπο ηελ πεξίπησζε όπνπ ηα ζήκαηα έρνπλ ίδηεο δηαζηάζεηο ε πξάμε ηεο πξόζζεζεο εθηειείηαη. Έηζη πξνζηίζεληαη ηα δπν ζήκαηα θαη έρνπλ σο απνηέιεζκα ηελ δεκηνπξγία ελόο λένπ ζήκαηνο ηδίνπ κεγέζνπο. Δηθόλα 5.36: Παξάδεηγκα πξόζζεζεο δπν δηαθξηηώλ ζεκάησλ ειίδα 94 από 122

95 Όηη ηζρύεη γηα ηελ πξάμε ηεο πξόζζεζεο πνπ πεξηγξάθηεθε παξαπάλσ, ην ίδην ηζρύεη γηα ηελ πξάμε ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ. Σν θάζε ζηνηρείν ηνπ πξώηνπ ζήκαηνο πνιιαπιαζηάδεηαη κε ην αληίζηνηρν ζηνηρείν ηνπ δεύηεξνπ ζήκαηνο θαη ην απνηέιεζκα πνπ πξνθύπηεη είλαη ε δεκηνπξγία ελόο λένπ δηαθξηηνύ ζήκαηνο ηδίνπ κεγέζνπο. Δηθόλα 5.37: Παξάδεηγκα πνιιαπιαζηαζκνύ δπν δηαθξηηώλ ζεκάησλ ηελ πξάμε ηεο θιηκάθσζεο απαηηείηαη ε ιεηηνπξγία ηεο θόξησζεο ελόο κόλν ζήκαηνο θαη ε θαηαρώξεζε κίαο ζηαζεξήο ηηκήο ζην πιαίζην θεηκέλνπ ηαζεξά. Η ζηαζεξή ηηκή δελ κπνξεί λα είλαη κεδέλ. Η ζηαζεξά πνιιαπιαζηάδεηαη κε θάζε ζηνηρείν ηνπ ζήκαηνο δεκηνπξγώληαο έλα λέν δηαθξηηό ζήκα ηδίνπ κεγέζνπο σο πξνο ηνλ ρξόλν θαη δηαθνξεηηθό σο πξνο ην πιάηνο. ειίδα 95 από 122

96 Δηθόλα 5.38: Παξάδεηγκα θιηκάθσζεο Όπσο ζηελ πξάμε ηεο θιηκάθσζεο πνπ πεξηγξάθηεθε παξαπάλσ έηζη θαη ζηελ πξάμε ηεο κεηαηόπηζεο, απαηηείηαη ε ιεηηνπξγία ηεο θόξησζεο ελόο κόλν ζήκαηνο θαη ε θαηαρώξεζε κίαο ζηαζεξήο ηηκήο ζην πιαίζην θεηκέλνπ ηαζεξά. Η ζηαζεξή ηηκή δελ κπνξεί λα είλαη κεδέλ. ε απηήλ ηελ πξάμε ε ζηαζεξή ηηκή πξνζηίζεηαη ή αθαηξείηε κε θάζε ζηνηρείν ηνπ δηαθξηηνύ ζήκαηνο δεκηνπξγώληαο έλα λέν δηαθξηηό ζήκα ηδίνπ κεγέζνπο σο πξνο ηνλ ρξόλν θαη δηαθνξεηηθό σο πξνο ην πιάηνο. Δηθόλα 5.39: Παξάδεηγκα κεηαηόπηζεο ειίδα 96 από 122

97 PushButton Δμθάνιζη ηελ εθαξκνγή, γηα λα ελεξγνπνηεζεί ε ιεηηνπξγία Δκθάληζε πξέπεη πξώηα λα έρεη πξνεγεζεί ε ιεηηνπξγία Απνηέιεζκα. Η ιεηηνπξγία Δκθάληζε έρεη σο απνηέιεζκα ηελ εκθάληζε ελόο λένπ παξαζύξνπ. Σν παξάζπξν απηό πεξηιακβάλεη έλαλ αξηζκό από πίλαθεο, νη νπνίνη κπνξεί λα δηαθέξνπλ από πεξίπησζε ζε πεξίπησζε, αλάινγα κε ην ηη έρεη επηιερζεί από ηελ ιίζηα επηινγώλ Πξάμε. Αλ έρεη επηιερζεί ε πξάμε ηεο Ππόζθεζηρ ή ηνπ Πολλαπλαζιαζμού, ηόηε ζην λέν παξάζπξν εκθαλίδνληαη ηξείο πηλάθεο. Ο πξώηνο πηλάθαο απνηειείηαη από ηα ζηνηρεία ηνπ ζήκαηνο, πνπ έρεη θνξησζεί από ηελ ιεηηνπξγία Φόξησζε Α ήκαηνο. Ο δεύηεξνο πηλάθαο απνηειείηαη από ηα ζηνηρεία ηνπ ζήκαηνο πνπ έρεη θνξησζεί από ηελ αληίζηνηρε ιεηηνπξγία Φόξησζε Β ήκαηνο. Ο ηειεπηαίνο πίλαθαο πεξηέρεη ηα ζηνηρεία ηνπ ζήκαηνο πνπ πξνέθπςαλ από ην απνηειέζκαηα ηεο αληίζηνηρεο πξάμεο. Δλώ αλ έρεη επηιερζεί ε πξάμε ηεο Κλιμάκωζηρ ή ηεο Μεηαηόπιζηρ, ηόηε ζην λέν παξάζπξν εκθαλίδνληαη δύν πηλάθεο. Ο πξώηνο πηλάθαο απνηειείηαη από ηα ζηνηρεία ηνπ ζήκαηνο, πνπ έρεη θνξησζεί από ηελ ιεηηνπξγία Φόξησζε ήκαηνο. Ο δεύηεξνο πίλαθαο πεξηέρεη ηα ζηνηρεία ηνπ ζήκαηνο πνπ πξνέθπςαλ από ην απνηειέζκαηα ηεο αληίζηνηρεο πξάμεο. Δηθόλα 5.40: Δκθάληζε ησλ ζηνηρεηώλ ησλ ζεκάησλ ειίδα 97 από 122

98 Καξηέια Ιδηόηεηεο εκάησλ Η θαξηέια απηή πεξηέρεη έλα ζύλνιν από ηδηόηεηεο ησλ ζπλερώλ θαη δηαθξηηώλ ζεκάησλ. Δπίζεο ππάξρεη ε δπλαηόηεηα εύξεζεο ηνπ κεγαιύηεξνπ θαη ηνπ κηθξόηεξνπ ζηνηρείνπ ελόο ζήκαηνο. Δηθόλα 5.41: Παξνπζίαζε ηεο θαξηέιαο Ιδηόηεηεο εκάησλ PopupMenu Γπάθημα Από ηε ιίζηα επηινγώλ Γξάθεκα επηιέγεηαη ν ηξόπνο απεηθόληζεο ηνπ ζήκαηνο πνπ πξόθεηηαη λα θνξησζεί. Σν ζήκα απεηθνλίδεηαη σο ζπλερνύο ή δηαθξηηνύ ρξόλνπ. Δηθόλα 5.42: Δπηινγέο ηνπ PopupMenu Γξάθεκα ειίδα 98 από 122

99 PopupMenu Ιδιόηηηα Από ηε ιίζηα επηινγώλ Ιδηόηεηα ππάξρεη ε δπλαηόηεηα λα επηιερζεί κηα από ηεο παξαθάησ ηδηόηεηεο εάλ ην ζήκα είλαη ζπλερέο σο πξνο ην ρξόλν, δειαδή από ηελ ιίζηα επηινγώλ Γξάθεκα έρεη επηιερζεί ν ηύπνο γξαθήκαηνο plot. Δηθόλα 5.43: Δπηινγέο ηνπ PopupMenu Ιδηόηεηα γηα ζπλερέο ζήκαηα Αλ έρεη επηιερζεί ε επηινγή stem από ηελ ιίζηα Γξάθεκα, ηόηε ε ιίζηα πεξηιακβάλεη ηεο παξαθάησ ηδηόηεηεο. Δηθόλα 5.44: Δπηινγέο ηνπ PopupMenu Ιδηόηεηα γηα δηαθξηηά ζήκαηα CheckBox Max και CheckBox Min Πξνϋπόζεζε γηα ηελ εκθάληζε ησλ ελδείμεσλ επηινγώλ Max θαη Min είλαη λα έρεη θνξησζεί ην ζήκα. Καζώο επηιερζεί ε έλδεημε Max εκθαλίδεηαη ε κεγαιύηεξε ηηκή ηνπ ζήκαηνο ζην γξάθεκα. Η κνξθή ηεο απεηθνλίδεηαη κε κηα έληνλε πξάζηλε θνπθθίδα θαη ε ηηκή ηεο εκθαλίδεηαη ζην πιαίζην θεηκέλνπ πνπ αθνινπζεί ηελ έλδεημε επηινγήο Max. Αληίζηνηρα κε ηελ έλδεημε επηινγήο Min εκθαλίδεηαη ε κηθξόηεξε ηηκή ηνπ ζήκαηνο ζην γξάθεκα κε κνξθή έληνλεο κπιε θνπθθίδαο. Η κηθξόηεξε απηή ηηκή θαηαγξάθεηαη ζην πιαίζην θεηκέλνπ πνπ αθνινπζεί ηελ έλδεημε επηινγήο Min. ειίδα 99 από 122

100 Δηθόλα 5.45: Παξάδεηγκα εύξεζεο κεγαιύηεξεο θαη κηθξόηεξεο ηηκήο ζήκαηνο κε ηελ ρξήζε ελδείμεσλ επηινγώλ Min θαη Max PushButton Φόπηωζη Με ηε ιεηηνπξγία Φόξησζε επηηπγράλεηαη ε θόξησζε ελόο ζήκαηνο από αξρείν ηύπνπ '-ascii' κε θαηάιεμε '.dat'. Σν ζήκα απηό απεηθνλίδεηαη ζην γξάθεκα σο ζπλερέο ή δηαθξηηό αλάινγα κε ην ηη έρεη επηιερζεί από ηε ιίζηα γξάθεκα. Δηθόλα 5.46: Παξάδεηγκα θόξησζεο ελόο ζπλερήο ζήκαηνο ειίδα 100 από 122

101 PushButton Αποηέλεζμα Η ιεηηνπξγία Απνηέιεζκα εκθαλίδεη θάησ από ην γξάθεκα έλα πιαίζην πνπ πεξηέρεη πιεξνθνξίεο. Σν πιαίζην απηό πεξηιακβάλεη δπν πεδία. ην πξώην πεδίν εκθαλίδεηαη ην όλνκα ηεο ηδηόηεηαο ην όπνην επηιέρζεθε από ηε ιίζηα επίινγσλ Ιδηόηεηα. Δλώ ζην δεύηεξν πεδίν πνπ είλαη ην πιαίζην θεηκέλνπ πνπ αθνινπζεί, θαηαγξάθεηαη ην απνηέιεζκα ηεο ηδηόηεηαο πνπ ππνινγίζηεθε από ην ζήκα. Δηθόλα 5.47: Σν πιαίζην πνπ πεξηέρεη ηηο πιεξνθνξίεο ηε ιεηηνπξγία απηή επηβάιιεηαη λα έρεη θνξησζεί ην ζήκα κε επηηπρία γηαηί δηαθνξεηηθά δελ γίλεηε λα βξεζεί ε ηηκή ηεο ηδηόηεηαο πνπ έρεη επηιερζεί. ηελ πεξίπησζε απηή εκθαλίδεηαη θαηάιιειν κήλπκα ιάζνπο. Δηθόλα 5.48: Μήλπκα ιάζνπο Δάλ ην ζήκα έρεη θνξησζεί κε επηηπρία, ηόηε κε ηελ ελεξγνπνίεζε ηεο ιεηηνπξγίαο Απνηέιεζκα γίλεηαη ε εύξεζε ηεο ηηκήο ηεο ηδηόηεηαο πνπ επηιέρζεθε. Δηθόλα 5.49: Δύξεζε ηνπ Μέζνπ Όξνπ ζε έλα ζπλερέο ζήκα ειίδα 101 από 122

102 Η γιώζζα πξνγξακκαηηζκνύ Matlab πεξηιακβάλεη ζπγθεθξηκέλεο ζπλαξηήζεηο γηα ππνινγηζκό ησλ ηδηνηήησλ πνπ έρνπλ θαηαρσξεζεί ζηε ιίζηα επίινγσλ ηδηόηεηα. ην Matlab νη ζπλαξηήζεηο γηα ηελ θάζε ηδηόηεηα έληαη: Μέζνο Όξνο: mean(x) Γηαθύκαλζε: var(x) Σππηθή Απόθιηζε: std(x) Κύξησζε: kurtosis(x) Λνμόηεηα: skewness(x) Δλέξγεηα: sum(x.^2) Ιζρύνο: mean(x.^2) ημείωζη: Η μεηαβληηή x είναι ηο ζήμα ηο όποιο έτει θορηωθεί. PushButton Δμθάνιζη Γηα λα ελεξγνπνηεζεί ε ιεηηνπξγηά Δκθάληζε πξέπεη πξώηα λα έρεη πξνεγεζεί κε επηηπρία ε ιεηηνπξγηά Απνηέιεζκα. Η ιεηηνπξγία απηή έρεη σο απνηέιεζκα ηελ εκθάληζε ελόο λένπ παξαζύξνπ. Σν παξάζπξν απηό πεξηιακβάλεη έλαλ πηλάθα κε ηα ζηνηρεηά ηνπ ζήκαηνο, ην όπνην έρεη θνξησζεί από ηελ ιεηηνπξγία Φόξησζεο, όπσο απηή πεξηγξάθηεθε παξαπάλσ. Δηθόλα 5.50: Δκθάληζε ζηνηρεηώλ ηνπ ζήκαηνο ειίδα 102 από 122

103 Καπηέλα ςνέλιξη Η θαξηέια απηή πεξηιακβάλεη ηελ πξάμε ηεο ζπλέιημεο. Δπεηδή ε ζπλέιημε είλαη ζεκειηώδεο γηα ηελ αλάιπζε θαη πεξηγξαθή ησλ ζπζηεκάησλ, ζηελ θαξηέια απηή πεξηγξάθνληαη νη ηξόπνη ππνινγηζκνύ ηεο ζπλέιημεο. Η ζπλέιημε παξνπζηάδεη θάπνηεο ζεκαληηθέο ηδηόηεηεο, νη νπνίεο κπνξνύλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ γηα ηελ απινπνίεζε ηνπ ππνινγηζκνύ ηνπ αζξνίζκαηνο ηεο. Κάπνηεο από ηηο ηδηόηεηεο ηεο ζπλέιημεο είλαη ε αληηκεηαζεηηθή, ε πξνζεηαηξηζηηθή, θαη ε επηκεξηζηηθή. Παξαθάησ νη ηδηόηεηεο απηέο αλαιύνληαη πεξεηαίξσ. Δηθόλα 5.51: Παξνπζίαζε ηεο θαξηέιαο πλέιημε PopupMenu Ιδιόηηηα Η ιίζηα επηινγώλ ηδηόηεηα παξέρεη ηελ δπλαηόηεηα επηινγήο ησλ ηδηνηήησλ ηεο ζπλέιημεο. Δηθόλα 5.52: Δπηινγέο ηνπ PopupMenu ηδηόηεηα ειίδα 103 από 122

104 PushButton Φόπηωζη x(n) ήμαηορ Με ηελ ιεηηνπξγία Φόξησζε x(n) ήκαηνο επηηπγράλεηαη ε θόξησζε ελόο δηαθξηηνύ ζήκαηνο από αξρείν ηύπνπ '-ascii' κε θαηάιεμε '.dat'. Σν θνξησκέλν απηό ζήκα εκθαλίδεηαη ζην αληίζηνηρν γξάθεκα αλάινγα κε ην ηη έρεη επηιερζεί ζηε ιίζηα επίινγσλ Ιδηόηεηα. Αλ έρεη επηιερζεί ε Ανηιμεηαθεηική ηδηόηεηα ηόηε ην ζήκα ζα απεηθνληζηεί ζην πξώην από ηα ηξία γξαθήκαηα πνπ ππάξρνπλ ζπλνιηθά. Δλώ, αλ έρεη επηιερζεί ε Πποζεηαιπιζηική ή ε Δπιμεπιζηική ηδηόηεηα ην ζήκα ζα απεηθνληζηεί ζην πξώην από ηα πέληε γξαθήκαηα πνπ ππάξρνπλ ζπλνιηθά. Δηθόλα 5.53: Παξάδεηγκα θόξησζεο x(n) ζήκαηνο PushButton Φόπηωζη h(n) ήμαηορ Με ηε ιεηηνπξγία Φόξησζε h(n) ήκαηνο επηηπγράλεηαη ε θόξησζε ελόο δηαθξηηνύ ζήκαηνο από αξρείν, όπνπ είλαη ηύπνπ '-ascii' θαη κε θαηάιεμε '.dat'. Σν ζήκα απηό θνξηώλεηαη κόλν εάλ έρεη επηιερζεί από ηε ιίζηα επίινγσλ ε Ανηιμεηαθεηική ηδηόηεηα. Η απεηθόληζε ηνπ ζήκαηνο απηνύ γίλεηαη ζην δεύηεξν γξάθεκα. ειίδα 104 από 122

105 Δηθόλα 5.54: Παξάδεηγκα θόξησζεο h(n) ζήκαηνο PushButton Φόπηωζη h1(n) ήμαηορ Με ηε ιεηηνπξγία Φόξησζε h1(n) ήκαηνο επηηπγράλεηαη ε θόξησζε ελόο δηαθξηηνύ ζήκαηνο από αξρείν, όπνπ είλαη ηύπνπ '-ascii' θαη κε θαηάιεμε '.dat'. Σν ζήκα απηό θνξηώλεηαη εάλ από ηε ιίζηα επίινγσλ έρεη επηιερζεί ε Πποζεηαιπιζηική ή ε Δπιμεπιζηική ηδηόηεηα. Η απεηθόληζε ηνπ ζήκαηνο απηνύ γίλεηαη ζην δεύηεξν από ηα πέληε γξαθήκαηα πνπ ππάξρνπλ ζπλνιηθά. Δηθόλα 5.55: Παξάδεηγκα θόξησζεο h1(n) ζήκαηνο ειίδα 105 από 122

106 PushButton Φόπηωζη h2(n) ήμαηορ Με ηε ιεηηνπξγία Φόξησζε h2(n) ήκαηνο επηηπγράλεηαη ε θόξησζε ελόο δηαθξηηνύ ζήκαηνο από αξρείν, όπνπ είλαη ηύπνπ '-ascii' θαη κε θαηάιεμε '.dat'. Σν ζήκα απηό θνξηώλεηαη εάλ από ηε ιίζηα επίινγσλ έρεη επηιερζεί ε Πποζεηαιπιζηική ή ε Δπιμεπιζηική ηδηόηεηα. Η απεηθόληζε ηνπ ζήκαηνο απηνύ γίλεηαη ζην ηξίην από ηα πέληε γξαθήκαηα πνπ ππάξρνπλ ζπλνιηθά. Δηθόλα 5.56: Παξάδεηγκα θόξησζεο h2(n) ζήκαηνο PushButton Αποηέλεζμα Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ζπλέιημεο ε γιώζζα πξνγξακκαηηζκνύ Matlab δηαζέηεη κηα έηνηκε ζπλάξηεζε, ηελ conv. ύνηαξη ενηολήρ: conv(x, y) ημείωζη: οι μεηαβληηές x και y είναι διακριηά ζήμαηα ηελ εθαξκνγή, γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ αζξνίζκαηνο ηεο ζπλέιημεο, απαηηείηαη ε επηινγή θάπνηαο ηδηόηεηαο από ηε ιίζηα επίινγσλ Ιδηόηεηα. ηελ πεξίπησζε ειίδα 106 από 122

107 πνπ επηιερζεί ε Ανηιμεηαθεηική ηδηόηεηα, απαηηείηαη ε θόξησζε δπν ζεκάησλ, πνπ δελ είλαη απαξαίηεην λα έρνπλ ην ίδην κέγεζνο. Σα δπν απηά ζήκαηα είλαη, ην ζήκα εηζόδνπ x(n), θαη ε θξνπζηηθή απόθξηζε h(n). Η θόξησζε απηώλ ησλ ζεκάησλ γίλεηαη από ηηο αληίζηνηρεο ιεηηνπξγηέο Φόξησζε x(n) ήκαηνο θαη Φόξησζε h(n) ήκαηνο. Δηθόλα 5.57: Παξάδεηγκα ππνινγηζκνύ ζπλέιημεο κε ρξήζε αληηκεηαζεηήο ηδηόηεηαο Αληίζεηα, ζηελ πεξίπησζε πνπ επηιερζεί ε Πποζεηαιπιζηική ή ε Δπιμεπιζηική ηδηόηεηα απαηηείηαη ε θόξησζε ηξηώλ ζεκάησλ. Γειαδή, απαηηείηαη ε θόξησζε ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ x(n), θαζώο απαηηείηαη λα θνξησζνύλ θαη νη θξνπζηηθέο απνθξίζεηο h1(n) θαη h2(n) δπν ζπζηεκάησλ. Η θόξησζε απηώλ ησλ ζεκάησλ γίλεηαη από ηηο αληίζηνηρεο ιεηηνπξγίεο Φόξησζε x(n) ήκαηνο, Φόξησζε h1(n) ήκαηνο θαη Φόξησζε h2(n) ήκαηνο. ειίδα 107 από 122

108 Δηθόλα 5.58: Παξάδεηγκα ππνινγηζκνύ ζπλέιημεο κε ρξήζε πξνζεηαηξηζηηθήο θαη επηκεξηζηηθήο ηδηόηεηαο ηε ιεηηνπξγία πνπ πεξηγξάθηεθε παξαπάλσ επηβάιιεηαη λα έρνπλ θνξησζεί ηα απαηηνύκελα ζήκαηα κε επηηπρία ώζηε λα γίλεη ν ππνινγηζκόο ηεο πξάμεο ηεο ζπλέιημεο. Γηαθνξεηηθά εκθαλίδνληαη θαηάιιεια κελύκαηα ιάζνπο. Δηθόλα 5.59: Δκθάληζε θαηάιιεισλ κελπκάησλ ιάζνπο ηελ θελή ζέζε ( ) πνπ ππάξρεη ζην παξαπάλσ κήλπκα ιάζνπο εκθαλίδεηαη ην αληίζηνηρν όλνκα ηνπ ζήκαηνο ην όπνην δελ θνξηώζεθε (x(n) ή h(n) ή h1(n) ή h2(n)). ειίδα 108 από 122

109 PushButton Δμθάνιζη Σα ζηνηρεηά ησλ ζεκάησλ πνπ θνξησζήθαλ θαζώο θαη ην απνηέιεζκα ππνινγηζκνύ ηηο ζπλέιημεο εκθαλίδνληαη ζε έλα λέν παξάζπξν, ρξεζηκνπνηώληαο ηε ιεηηνπξγία Δκθάληζε. Σν λέν παξάζπξν πεξηιακβάλεη πηλάθεο κε ηα ζηνηρεηά ηνπ θάζε ζήκαηνο πνπ θνξηώζεθε θαη ηνπ θάζε ζήκαηνο πνπ δεκηνπξγήζεθε από ηνλ ππνινγηζκό ηεο ζπλέιημεο. ηελ Ανηιμεηαθεηική ηδηόηεηα, νη πηλάθεο πνπ εκθαλίδνληαη ζην λέν παξάζπξν είλαη ηξεηο, ελώ ζηελ Πποζεηαιπιζηική θαη ζηελ Δπιμεπιζηική ηδηόηεηα νη πηλάθεο είλαη πέληε. Δηθόλα 5.60: Δκθάληζε ησλ ζηνηρεηώλ ησλ ζεκάησλ ειίδα 109 από 122

110 Καξηέια Fourier Η θαξηέια απηή πεξηιακβάλεη ηελ πξάμε ηνπ γξήγνξνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier. Δηθόλα 5.61: Παξνπζίαζε ηεο θαξηέιαο Fourier PopupMenu Γπάθημα Η ιίζηα επηινγώλ Γξάθεκα παξέρεη ηελ δπλαηόηεηα επηινγήο δπν ηύπσλ γξαθήκαηνο. Με ηελ επηινγή plot ην ζήκα είλαη ζπλερέο σο πξνο ην ρξόλν, ελώ κε ηελ επηινγή stem ην ζήκα είλαη δηαθξηηό. Δηθόλα 5.62: Δπηινγέο ηνπ PopupMenu Γξάθεκα PushButton Φόπηωζη Η ιεηηνπξγία Φόξησζε όπσο θαη ζε άιιεο θαξηέιεο αλαθηά έλα ζήκα από αξρείν ην όπνην έρεη δεκηνπξγεζεί ζηελ θαξηέια ήκαηα. Σν ζήκα ειίδα 110 από 122

111 αλαπαξίζηαηαη σο ζπλερνύο ή δηαθξηηνύ ρξόλνπ, απηό επηηπγράλεηαη κε ηελ επηινγή ηνπ ηύπνπ γξαθήκαηνο από ηε ιίζηα επίινγσλ Γξάθεκα. Δηθόλα 5.63: Παξάδεηγκα θόξησζεο ζήκαηνο PushButton Αποηέλεζμα Αθνύ έρεη θνξησζεί έλα ζήκα από ηελ ιεηηνπξγία Φόξησζε θαη έρεη επηιερζεί ν ηύπνο ηνπ γξαθήκαηνο πνπ ζα αλαπαξαζηήζεη ην ζήκα απηό, ελεξγνπνηείηαη ε ιεηηνπξγία Απνηέιεζκα. Η ιεηηνπξγία απηή παξάγεη ηξία λέα ζήκαηα, από ηα νπνία ην πξώην είλαη ην θάζκα ηζρύνο, ην δεύηεξν είλαη ην πξαγκαηηθό κέξνο θαη ην ηξίην είλαη ην θαληαζηηθό κέξνο. Η γιώζζα πξνγξακκαηηζκνύ MATLAB παξέρεη ηε ζπλάξηεζε FFT γηα λα ππνινγίζεη ην γξήγνξν κεηαζρεκαηηζκό Fourier. ύνηαξη ενηολήρ: y = fft(x) Με ηε ζύληαμε y = fft(x) ππνινγίδεηαη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ελόο δηαλύζκαηνο ή ελόο πίλαθα κε ηνλ αιγόξηζκν ηνπ γξήγνξνπ κεηαζρεκαηηζκνύ, ειίδα 111 από 122

112 FFT. Δάλ ην x είλαη έλα δηάλπζκα, ν FFT ππνινγίδεη ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier ηνπ δηαλύζκαηνο. Δάλ ην x είλαη πίλαθαο ηόηε ν FFT ππνινγίδεη ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier από ηελ θάζε ζηήιε ηνπ πίλαθα. Με ηεο εληνιέο real(x) θαη κε imag(x) δίλεηαη ην πξαγκαηηθό θαη θαληαζηηθό κέξνο ηνπ x ζήκαηνο πνπ έρεη θνξησζεί, αληίζηνηρα. Δλώ κε ηελ εληνιή abs(x) δίλεηαη ην κέηξν ηνπ κηγαδηθνύ x. Δηθόλα 5.64: Παξάδεηγκα ππνινγηζκνύ ηνπ γξήγνξνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier ζε έλα ζπλερέο ζήκα PushButton Δμθάνιζη Σα ζηνηρεηά ηνπ ζήκαηνο πνπ θνξηώζεθε θαζώο θαη ην απνηέιεζκα ππνινγηζκνύ ηνπ FFT σο πξνο ην θαληαζηηθό κέξνο, ην πξαγκαηηθό κέξνο θαη ην θάζκα ηζρύνο εκθαλίδνληαη ζε έλα λέν παξάζπξν, ρξεζηκνπνηώληαο ηε ιεηηνπξγία Δκθάληζε. Σν λέν παξάζπξν πεξηιακβάλεη πηλάθεο κε ηα ζηνηρεηά ηνπ θάζε ζήκαηνο πνπ θνξηώζεθε θαη ηνπ θάζε ζήκαηνο πνπ δεκηνπξγήζεθε από ηνλ ππνινγηζκό ηνπ FFT. ειίδα 112 από 122

113 Δηθόλα 5.65: Δκθάληζε ησλ ζηνηρεηώλ ησλ ζεκάησλ ειίδα 113 από 122

114 Καξηέια πζηήκαηα Η θαξηέια απηή πεξηιακβάλεη ζπζηήκαηα. Έλα ζύζηεκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ ζεσξείηε έλαο καζεκαηηθόο ηειεζηήο ή κηα κνξθή απεηθόληζεο, κε ην νπνίν έλα ζήκα (είζνδνο) κεηαζρεκαηίδεηαη ζε έλα άιιν (έμνδνο) κε ηελ βνήζεηα ελόο ζηαζεξνύ ζπλόινπ θαλόλσλ ή πξάμεσλ. Η ζρέζε κεηαμύ εηζόδνπ θαη εμόδνπ, γηα παξάδεηγκα, κπνξεί λα εθθξαζηεί κε ηελ βνήζεηα ελόο απινύ καζεκαηηθνύ θαλόλα ή ζπλάξηεζεο όπσο: 2 un ( ) x( n ). y( n) 0.5( n 1) x( n ) Έλα ζύζηεκα είλαη επίζεο δπλαηό λα πεξηγξάθεη κε ηελ βνήζεηα ελόο αιγνξίζκνπ, ν νπνίνο θαζνξίδεη κία αθνινπζία εληνιώλ ε πξάμεσλ πνπ επελεξγνύλ ζην ζήκα εηζόδνπ όπσο: u( n) a n u( n ) Δπίζεο ππάξρεη ε πεξίπησζε όπνπ έλα ζύζηεκα πεξηγξάθεηαη κε ηε βνήζεηα ελόο πίλαθα, ν νπνίνο θαζνξίδεη ην ζύλνιν όισλ ησλ πηζαλώλ δεπγώλ ηηκώλ ησλ ζεκάησλ εηζόδνπ θαη εμόδνπ. Δηθόλα 5.66: Παξνπζίαζε ηεο θαξηέιαο πζηήκαηα ειίδα 114 από 122

115 PopupMenu A ήμα Η ιίζηα επηινγώλ Α ήκα παξέρεη ηελ δπλαηόηεηα επηινγήο κηαο αθνινπζίαο πξάμεσλ. Δηθόλα 5.67: Δπηινγέο ηνπ PopupMenu Α ήκα Αλαιόγσο κε ηελ αθνινπζία πνπ έρεη επηιερζεί από ηελ παξαπάλσ ιίζηα εκθαλίδνληαη ή εμαθαλίδνληαη πιαίζηα θεηκέλνπ. ηα πιαίζηα θεηκέλνπ ν ρξήζηεο θαηαρσξεί ηηο δηθέο ηνπ αξηζκεηηθέο ηηκέο, πνπ ζα αληηθαηαζηήζνπλ ηνπο αληίζηνηρνπο όξνπο ηεο πξάμεο. Δηθόλα 5.68: Πιαίζηα θεηκέλνπ ηελ επηινγή πνπ αθνινπζεί απαηηείηαη λα θαηαρσξνύληαη ηηκέο ζηα πιαίζηα θεηκέλνπ κε όλνκα a θαη n. u( n) a n u( n ) ηα πιαίζηα θεηκέλνπ κε όλνκα a, n, w θαηαρσξνύληαη ηηκέο εάλ έρεη επηιερζεί κηα από ηηο παξαθάησ δπν αθνινπζίεο πξάμεσλ. u( n) n a cos( wn) u( n) n a sin( wn) ειίδα 115 από 122

116 Δλώ ζηα πιαίζηα θεηκέλνπ κε όλνκα a, n, w, i θαηαρσξνύληαη ηηκέο ζηελ παξαθάησ αθνινπζία. n u( n) a exp( iwn ) ηε ηειεπηαία επηινγή, δειαδή ζηελ επηινγή Custom Signal, δελ εκθαλίδνληαη πιαίζηα θεηκέλνπ. Με ηε ζπγθεθξηκέλε επηινγή γίλεηαη ε θόξησζε ελόο ζήκαηνο πνπ έρεη δεκηνπξγεζεί ζηελ θαξηέια ήκαηα. PushButton Γημιοςπγία Α ήμαηορ Η ιεηηνπξγία Γεκηνπξγία εκθαλίδεηαη εθόζνλ έρεη επηιερζεί κηα από ηεο ηέζζεξηο πξώηεο επηινγέο πνπ πεξηιακβάλεη ε ιίζηα επίινγσλ Α ήκα. Απηέο νη επηινγέο αληηζηνηρνύλ ζε αθνινπζίεο πξάμεσλ. πκπιεξώλνληαο ηα πεδία ησλ πιαηζίσλ θεηκέλσλ πνπ εκθαλίδνληαη κε αξηζκεηηθέο ηηκέο, ε εθαξκνγή είλαη έηνηκε λα δεκηνπξγήζεη ην αληίζηνηρν ζήκα. Σν ζήκα πνπ δεκηνπξγείηαη εκθαλίδεηαη ζε γξάθεκα. ηελ εθαξκνγή απηή ην Α ζήκα αληηπξνζσπεύεη ην ζήκα εηζόδνπ, x(n), ζην ζύζηεκα. Δηθόλα 5.69: Παξάδεηγκα δεκηνπξγίαο ζήκαηνο εηζόδνπ, x(n) ειίδα 116 από 122

117 PushButton Φόπηωζη Α ήμαηορ Η ιεηηνπξγία Φόξησζε εκθαλίδεηαη εθόζνλ έρεη επηιερζεί ζαλ είζνδνο γηα ην ζύζηεκα ε επηινγή Custom Signal από ηε ιίζηα επίινγσλ. Η εθαξκνγή θνξηώλεη ην αληίζηνηρν ζήκα πνπ επηζπκεί ν ρξήζηεο. Η θόξησζε ηνπ ζήκαηνο γίλεηαη από αξρείν θαη είλαη ηύπνπ '-ascii' κε θαηάιεμε '.dat', δειαδή ην ζήκα είλαη νπζηαζηηθά έλαο πίλαθαο. Δηθόλα 5.70: Παξάδεηγκα θόξησζεο ζήκαηνο εηζόδνπ, x(n) PopupMenu Β ήμα Όπσο θαη ζηε ιίζηα επίινγσλ Α ήκα έηζη θαη ζ απηήλ ηε ιίζηα παξέρεηαη ε δπλαηόηεηα επηινγήο κηαο αθνινπζίαο πξάμεσλ. Δηθόλα 5.71: Δπηινγέο ηνπ PopupMenu Α ήκα ειίδα 117 από 122

118 Δπίζεο θαη ζηε ιίζηα απηή εκθαλίδνληαη ή εμαθαλίδνληαη πιαίζηα θεηκέλνπ αλάινγα κε ηελ αθνινπζία πνπ έρεη επηιερζεί. Ο ηξόπνο κε ην όπνην γίλεηαη ε θαηαρώξηζε ησλ ηηκώλ ζηα πιαίζηα θεηκέλνπ δελ δηαθέξεη εθείλνπ πνπ πεξηγξάθηεθε παξαπάλσ γηα ην Α ζήκα. PushButton Γημιοςπγία Β ήμαηορ Η ιεηηνπξγία Γεκηνπξγία εκθαλίδεηαη εθόζνλ έρεη επηιερζεί κηα από ηεο ηέζζεξηο πξώηεο επηινγέο πνπ πεξηιακβάλεη ε ιίζηα επίινγσλ Β ήκα. Απηέο νη επηινγέο αληηζηνηρνύλ ζε αθνινπζίεο πξάμεσλ. πκπιεξώλνληαο ηα πεδία ησλ πιαηζίσλ θεηκέλσλ πνπ εκθαλίδνληαη κε αξηζκεηηθέο ηηκέο, ε εθαξκνγή είλαη έηνηκε λα δεκηνπξγήζεη ην αληίζηνηρν ζήκα. Σν ζήκα πνπ δεκηνπξγείηαη εκθαλίδεηαη ζε γξάθεκα. ηελ εθαξκνγή απηή ην Β ζήκα αληηπξνζσπεύεη ηνλ ηειεζηή κεηαζρεκαηηζκνύ, h(n), ζην ζύζηεκα. Δηθόλα 5.72: Παξάδεηγκα δεκηνπξγίαο ζήκαηνο, h(n) PushButton Φόπηωζη B ήμαηορ Η ιεηηνπξγία Φόξησζε εκθαλίδεηαη εθόζνλ έρεη επηιερζεί ζαλ είζνδνο γηα ην ζύζηεκα ε επηινγή Custom Signal από ηε ιίζηα επίινγσλ Β ήκα. Η εθαξκνγή ειίδα 118 από 122

119 θνξηώλεη ην αληίζηνηρν ζήκα πνπ επηζπκεί ν ρξήζηεο. Η θόξησζε ηνπ ζήκαηνο γίλεηαη από αξρείν θαη είλαη ηύπνπ '-ascii' κε θαηάιεμε '.dat', δειαδή ην ζήκα είλαη νπζηαζηηθά έλαο πίλαθαο. Δηθόλα 5.73: Παξάδεηγκα θόξησζεο ζήκαηνο, h(n) PushButton Αποηέλεζμα Πξνϋπόζεζε γηα ηελ επηηπρή ιεηηνπξγία ηνπ απνηειέζκαηνο είλαη λα έρνπλ θνξησζεί ή λα έρνπλ δεκηνπξγεζεί θαη ηα δπν ζήκαηα. ηελ αληίζεηε πεξίπησζε ε εθαξκνγή εκθαλίδεη θαηάιιειν κήλπκα ιάζνπο. Δηθόλα 5.74: Δκθάληζε κελύκαηνο ιάζνπο ιόγν έιιεηςεο ζεκάησλ Η ιεηηνπξγία Απνηέιεζκα ππνινγίδεη θαη εκθαλίδεη ζε έλα ηξίην γξάθεκα ηελ έμνδν ηνπ ζπζηήκαηνο. Η έμνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο πξνθύπηεη από ηελ ζπλέιημε ηνπ Α ζήκαηνο επί ηνπ Β ζήκαηνο. ειίδα 119 από 122

120 Δηθόλα 5.75: Παξάδεηγκα εμόδνπ y(n) ελόο ζπζηήκαηνο δηαθξηηνύ ρξόλνπ PushButton Δμθάνιζη Η ιεηηνπξγία Δκθάληζε έρεη σο απνηέιεζκα ηελ εκθάληζε ελόο λένπ παξάζπξνπ ην νπνίν πεξηιακβάλεη πηλάθεο κε ηα ζηνηρεηά ηνπ θάζε ζήκαηνο. Γειαδή πεξηιακβάλεη ηα ζήκαηα x(n) θαη h(n) πνπ δεκηνπξγήζεθαλ ή θνξηώζεθαλ, θαζώο θαη ηελ έμνδν ηνπ ζπζηήκαηνο y(n). Δηθόλα 5.75: Δκθάληζε ησλ ζηνηρεηώλ ησλ ζεκάησλ ειίδα 120 από 122