ΜΕΣΑΣΡΟΠΗ ΗΜΑΣΟ ΑΠΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ-Ε-ΨΗΦΙΑΚΟ ΚΑΙ ΑΠΟ ΨΗΦΙΑΚΟ-Ε-ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ

Transcript

1 ΜΕΣΑΣΡΟΠΗ ΗΜΑΣΟ ΑΠΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ-Ε-ΨΗΦΙΑΚΟ ΚΑΙ ΑΠΟ ΨΗΦΙΑΚΟ-Ε-ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ Τα πεξηζζόηεξα ζήκαηα πνπ παξνπζηάδνπλ πξαθηηθό ελδηαθέξνλ, όπσο γηα παξάδεηγκα ε νκηιία, ηα βηνινγηθά ζήκαηα, ηα ζεηζκηθά ζήκαηα, θ.ά, είλαη αλαινγηθά. Γηα λα επεμεξγαζηνύκε αλαινγηθά ζήκαηα κε ςεθηαθά κέζα, απαηηείηαη ε κεηαηξνπή απηώλ ζε ςεθηαθή κνξθή, δειαδή ε κεηαηξνπή ηνπο ζε κία αθνινπζία αξηζκώλ πεπεξαζκέλεο αθξίβεηαο. Η δηαδηθαζία απηή νλνκάδεηαη μεηαηροπή αναλογικού-ζευηθιακό (analog-to-digital conversion, A/D) θαη ηα αληίζηνηρα θπθιώκαηα νλνκάδνληαη κεηαηξνπείο αλαινγηθνύ-ζε-ςεθηαθό (analog-to-digital converters, ADCs). Η αληίζηξνθε δηαδηθαζία ηεο κεηαηξνπήο ελόο ςεθηαθνύ ζήκαηνο ζε αλαινγηθό είλαη γλσζηή σο μεηαηροπή υηθιακού-ζε-αναλογικό (digital-to-analog conversion, D/A) θαη γίλεηαη κε ηελ βνήζεηα θπθισκάησλ ηα νπνία νλνκάδνληαη κεηαηξνπείο ςεθηαθνύ-ζεαλαινγηθό (digital-to-analog converters, DACs). Η δηαδηθαζία ηεο κεηαηξνπήο ελόο αλαινγηθνύ ζήκαηνο ζε ςεθηαθό γίλεηαη ζε ηξία ζηάδηα, όπσο δείρλεηαη ζην Σρήκα 1.5. σήμα 1.5. Βαζηθά ηκήκαηα ελόο κεηαηξνπέα αλαινγηθνύ-ζε-ςεθηαθό 1. Δειγμαηοληυία (sampling): Απηή είλαη ε δηαδηθαζία κεηαηξνπήο ελόο ζήκαηνο ζπλερνύο ρξόλνπ ζε έλα ζήκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ, παίξλνληαο δείγκαηα ηνπ ζήκαηνο ζπλερνύο ρξόλνπ ζε δηαθξηηέο ζηηγκέο ηνπ ρξόλνπ. Έηζη, αλ x α(t) είλαη ε είζνδνο ζηνλ δεηγκαηνιήπηε, ηόηε ε έμνδνο απηνύ είλαη x α(nt) x(n), όπνπ Τ ε πεξίνδνο δεηγκαηνιεςίαο. 2. Κβάνηιζη (quantisation): Πξόθεηηαη γηα ηελ δηαδηθαζία κεηαηξνπήο ελόο ζήκαηνο δηαθξηηνύ ρξόλνπ ζπλερώλ ηηκώλ ζε έλα ζήκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ δηαθξηηώλ ηηκώλ (ςεθηαθό). Τν θάζε δείγκα ηνπ ζήκαηνο αληηπξνζσπεύεηαη από κία ηηκή ε νπνία επηιέγεηαη από έλα πεπεξαζκέλν ζύλνιν πηζαλώλ ηηκώλ. Η δηαθνξά κεηαμύ ηνπ αξρηθνύ κε-θβαληηζκέλνπ δείγκαηνο x(n) θαη ηεο θβαληηζκέλεο εμόδνπ x q(n) απνηειεί ην ιεγόκελν ζθάικα θβάληηζεο. 3. Κφδικοποίηζη (coding): Καηά ηελ δηαδηθαζία ηεο θσδηθνπνίεζεο, θάζε δηαθξηηή ηηκή x q(n) αληηπξνζσπεύεηαη από έλαλ αξηζκό απνηεινύκελν από b-bits.

2 Αο εμεηάζνπκε μερσξηζηά θαζέλα από απηά ηα ηξία ζηάδηα: Δειγμαηολητία Αναλογικών ημάηυν Η δεηγκαηνιεςία ελόο αλαινγηθνύ ζήκαηνο x α(t) επηηπγράλεηαη παίξλνληαο δείγκαηα απηνύ αλά Τ δεπηεξόιεπηα, όπσο δείρλεηαη ζην Σρήκα 1.6. Η δηαδηθαζία απηή πεξηγξάθεηαη από ηελ ζρέζε: x(n) = x α(nt), - <n< (1.9) όπνπ x(n) είλαη ην ζήκα δηαθξηηνύ ρξόλνπ πνπ πξνθύπηεη. Τν ρξνληθό δηάζηεκα Τ κεηαμύ ησλ δηαδνρηθώλ δεηγκάησλ νλνκάδεηαη περίοδος δειγμαηοληυίας θαη ην αληίζηξνθν ηνπ 1 =Fs απνηειεί ηνλ ρσθμό δειγμαηοληυίας (sampling rate) ζε δείγκαηα αλά δεπηεξόιεπην ή αιιηώο ηελ ζστνόηηηα δειγμαηοληυίας (sampling T frequency) ζε Hz. σήμα 1.6. Οκνηόκνξθε δεηγκαηνιεςία αλαινγηθνύ ζήκαηνο. Οη κεηαβιεηέο ρξόλνπ t θαη n γηα ηα ζήκαηα ζπλερνύο ρξόλνπ θαη δηαθξηηνύ ρξόλνπ αληίζηνηρα, ζπλδένληαη γξακκηθά κέζσ ηεο πεξηόδνπ δεηγκαηνιεςίαο Τ ή ηζνδύλακα κέζσ ηνπ ξπζκνύ δεηγκαηνιεςίαο F s= 1 T σο εμήο: t nt n F s (1.10) Πνηόο ν ξπζκόο δεηγκαηνιεςίαο F s γηα ηελ ζσζηή αλαπαξάζηαζε ελόο αλαινγηθνύ ζήκαηνο ην νπνίν καο δίλεηαη; Γειαδή, πόζν ζπρλά πξέπεη λα παίξλνπκε δείγκαηα ώζηε λα έρνπκε έλα πηζηό αληίγξαθν ηνπ αλαινγηθνύ ζήκαηνο; Η απάληεζε ζ' απηό ην εξώηεκα δόζεθε αξρηθά από ηνλ Nyquist (1928) θαη ζηε ζπ-

3 λέρεηα από ηνλ Shannon (1949) θαη απνηειεί ην ιεγόκελν θ ε ώ ρ η μ α δ ε ι γ μ α η ο λ η ψ ί α ς ή θ ε ώ ρ η μ α η ο σ S h a n n o n, δηαηππώλεηαη δε σο εμήο: Η ζστνόηηηα F s, με ηην οποία λαμβάνονηαι ηα δείγμαηα ενός ζήμαηος, πρέπει να είναι ηοσλάτιζηον διπλάζια από ηην συηλόηερη ζστνόηηηα F max ποσ περιέτεηαι ζηο ζήμα, δειαδή F s 2F max (1.19) Με άιια ιόγηα, ην ζεώξεκα δεηγκαηνιεςίαο καο ιέεη πσο γηα λα κε ραζεί πιεξνθνξία ζα πξέπεη λα παίξλνπκε ηνπιάρηζηνλ δύν δείγκαηα αλά πεξίνδν (ηεο πςειόηεξεο ζπρλόηεηαο ηνπ ζήκαηνο). Γηα παξάδεηγκα, αλ ζειήζνπκε λα ςεθηνπνηήζνπκε έλα ζήκα νκηιίαο θαη ρξεζηκνπνηνύκε κηθξόθσλν ην νπνίν ιεηηνπξγεί γηα ζπρλόηεηεο κεηαμύ 300 Hz θαη 3 khz, ηόηε ε κηθξόηεξε ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο πνπ πξέπεη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε είλαη 6 khz. Κβάνηιζη ημάηυν ςνεσούρ-πλάηοςρ Κβάνηιζη (quantisation) νλνκάδεηαη ε δηαδηθαζία ηεο κεηαηξνπήο ελόο ζήκαηνο δηαθξηηνύ ρξόλνπ ζπλερνύο-πιάηνπο ζ έλα ςεθηαθό ζήκα, εθθξάδνληαο ηελ ηηκή θάζε δείγκαηνο σο έλα αξηζκό κε πεπεξαζκέλν πιήζνο ςεθίσλ (αληί γηα άπεηξν πιήζνο ςεθίσλ πνπ απαηηείηαη γηα θάζε ζπλερνύο-πιάηνπο ηηκή). Τν ζθάικα πνπ ππεηζέξρεηαη από ηελ αλαπαξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο ζπλερώλ-ηηκώλ κε έλα πεπεξαζκέλν πιήζνο δηαθξηηώλ-ηηκώλ, νλνκάδεηαη ζθάλμα κβάνηιζης (quantisation error) ή θόρσβος κβάνηιζης (quantisation noise). Αλ x(n) είλαη ηα δείγκαηα εηζόδνπ ζηνλ θβαληηζηή θαη x q(n) ε αθνινπζία ησλ θβαληηζκέλσλ δεηγκάησλ ηεο εμόδνπ ηνπ θβαληηζηή, ηόηε ην ζθάικα θβάληηζεο είλαη ε αθνινπζία e q(n), ε νπνία νξίδεηαη σο ε δηαθνξά ηεο πξαγκαηηθήο ηηκήο από ηελ θβαληηζκέλε ηηκή, δειαδή e q(n)=x(n)-x q(n). Σην Σρήκα 1.9 θαίλεηαη παξαζηαηηθά ην απνηέιεζκα ηεο θβάληηζεο ησλ δεηγκάησλ ελόο αλαινγηθνύ ζήκαηνο, θαζώο θαη ην ζθάικα θβάληηζεο. Γηα ηνλ πεξηνξηζκό θάζε δείγκαηνο ζην επηζπκεηό πιήζνο ςεθίσλ, ρξεζηκνπνηήζακε ηελ κέζνδν ηεο ζηρογγσλοποίηζης (rounding) θαη όρη ηεο αποκοπής (truncation). Οη ηηκέο ηηο νπνίεο επηηξέπεηαη λα παίξλεη έλα ςεθηαθό ζήκα, απνηεινύλ ηα ιεγόκελα επίπεδα κβάνηιζης (quantisation levels), ελώ ε απόζηαζε κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ επηπέδσλ θβάληηζεο νλνκάδεηαη βήμα κβάνηιζης (quantisation step) ή διακριηική ικανόηηηα ή ανάλσζη (resolution). Καηά ηελ ζηξνγγπινπνίεζε, ν θβαληηζηήο απνδίδεη ζηε ζπλερή ηηκή x(n) ηελ ηηκή ηνπ πιεζηέζηεξνπ επηπέδνπ θβάληηζεο. Έηζη, ην ζθάικα θβάληηζεο e q(n) θπκαίλεηαη ζηελ πεξηνρή κεηαμύ Γ/2 θαη Γ/2, δειαδή Γ/2 e q(n) Γ/2. Τν βήκα θβάληηζεο Γ νξίδεηαη σο Γ=(x max-x min)/(l-1), όπνπ x max, x min είλαη ε κεγαιύηεξε θαη κηθξόηεξε ηηκή ηνπ x(n) αληίζηνηρα, θαη L ην πιήζνο ησλ επηπέδσλ θβάληηζεο. Η δηαθνξά x max-x min απνηειεί ηελ δσναμική περιοτή (dynamic range) ηνπ ζήκαηνο. Σηελ πεξίπησζε ηνπ Σρήκαηνο 1.9 έρνπκε x max=7, x min=0, L=8 θαη άξα Γ=1. Παξαηεξείζηε όηη αλ ε δπλακηθή πεξηνρή ηνπ ζήκαηνο είλαη θαζνξηζκέλε, ηόηε αύμεζε ηνπ πιήζνπο ησλ επηπέδσλ θβάληηζεο L, ζπλεπάγεηαη ηελ κείσζε ηνπ βήκαηνο θβάληηζεο. Δπνκέλσο, ην ζθάικα θβάληηζεο κεηώλεηαη, δειαδή, απμάλεηαη ε αθξίβεηα ηνπ θβαληηζηή. Τα επίπεδα θβάληηζεο L είλαη ζπλάξηεζε ηνπ πιήζνπο b ησλ δπαδη-

4 θώλ ςεθίσλ (bits) ηεο ιέμεο πνπ ρξεζηκνπνηνύκε γηα ηελ αλαπαξάζηαζε θάζε δείγκαηνο, όπσο ζα δνύκε ζην ακέζσο επόκελν εδάθην ηνπ θσδηθνπνηεηή. Απνδεηθλύεηαη όηη γηα εκηηνλνεηδή ζήκαηα, ν ιόγνο ηνπ ζήκαηνο πξνο ηνλ ζόξπβν θβάληηζεο απμάλεηαη θαηά πεξίπνπ 6dB 1 γηα θάζε επηπιένλ bit πνπ πξνζηίζεηαη ζην κήθνο ιέμεο, δειαδή γηα θάζε δηπιαζηαζκό ησλ επηπέδσλ θβάληηζεο. Από ηα παξαπάλσ γίλεηαη θαλεξό όηη ε θβάληηζε αλαινγηθώλ ζεκάησλ νδεγεί πάληνηε ζε απώιεηα πιεξνθνξίαο, εμαηηίαο ηεο αζάθεηαο πνπ απηή εηζάγεη. Πξάγκαηη, ε θβάληηζε είλαη κία κε-αληηζηξεπηή δηαδηθαζία, αθνύ όια ηα δείγκαηα ζε απόζηαζε Γ/2 γύξσ από έλα επίπεδν θβάληηζεο, αληηπξνζσπεύνληαη από ηελ ίδηα ηηκή. Σπλεπώο, δελ κπνξνύκε πνηέ λα εμαιείςνπκε ηνλ ζόξπβν θβάληηζεο, παξά κόλνλ λα ηνλ κεηώζνπκε απμάλνληαο ην επίπεδα θβάληηζεο L. Κυδικοποίηζη ηυν Κβανηιζμένυν Δειγμάηυν Καηά ηελ δηαδηθαζία ηεο θσδηθνπνίεζεο ζ έλα κεηαηξνπέα αλαινγηθνύ-ζε-ςεθηαθό, έλαο κνλαδηθόο δπαδηθόο αξηζκόο εθρσξείηαη ζε θάζε επίπεδν θβάληηζεο. Αλ έρνπκε L επίπεδα θβάληηζεο, ρξεηαδόκαζηε ηνπιάρηζηνλ L δηαθνξεηηθνύο δπαδηθνύο αξηζκνύο. Με έλα κήθνο ιέμεο b bits κπνξνύκε λα έρνπκε 2 b δηαθνξεηηθνύο δπαδηθνύο αξηζκνύο. Άξα, πξέπεη 2 b L ή ηζνδύλακα b log 2L. Σην παξάδεηγκα ηνπ Σρήκαηνο 1.9 ρξεζηκνπνηήζακε έλαλ θσδηθνπνηεηή κε b=3 bits. Σην εκπόξην ππάξρνπλ δηαζέζηκνη κεηαηξνπείο A/D κε αθξίβεηα κέρξη θαη b=16 bits. Χαξαθηεξηζηηθή είλαη ε πεξίπησζε ησλ κνπζηθώλ CDs, όπνπ ρξεζηκνπνηνύληαη κεηαηξνπείο A/D αθξίβεηαο 16 bits. 1 Υπελζσκίδεηαη όηη ηο db (decibel) ορίδεηαη φς 10log10 (P 2 /P 1 )=20log 10 (V 2 /V 1 ), όποσ κε P, V ζσκβοιίδοσκε ηελ ηζτύ θαη ηελ ηάζε ελός ζήκαηος αληίζηοητα. Το db αληηζηοητεί ζηο 1/10 ηοσ Bell, κολάδα ε οποία ορίζηεθε θαη θαζηερώζεθε από ηολ Alexander Graham Bell, ο οποίος αλαθάισυε όηη ηο αλζρώπηλο ασηί αποθρίλεηαη ιογαρηζκηθά ζηης δηαθορές ηζτύος. Έηζη, 3dB ζεκαίλεη όηη έτοσκε δηπιαζηαζκό ηες ηζτύος (P 2 =2P 1 ), ελώ 3dB ζεκαίλεη όηη έτοσκε σποδηπιαζηαζκό ασηής (P 2 =P 1 /2). Αλαθερόκελοη ζηε ηάζε, 6dB ζεκαίλεη δηπιαζηαζκό ηες ηάζες (V 2 =2V 1 ), ελώ 6dB ζεκαίλεη σποδηπιαζηαζκό ασηής (V 2 =V 1 /2).

5 7 xq(n) Επίπεδα κβάνηιζης 6 x(n) 5 x(t) x(n) 4 Δ Βήμα κβάνηιζης Τιμές δειγμάηων Δυαδικές ηιμές n Σθάλμα σήμα 1.9. Κβάληηζε θαη θσδηθνπνίεζε ζήκαηνο ύνοτη Σηελ ελόηεηα απηή γλσξίζακε ηηο δηαθνξέο κεηαμύ ησλ αλαινγηθώλ ζεκάησλ, ησλ ζεκάησλ δηαθξηηνύ ρξόλνπ θαη ησλ ςεθηαθώλ ζεκάησλ, θαη αζρνιεζήθακε δηεμνδηθά κε ηελ κεηαηξνπή ελόο αλαινγηθνύ ζήκαηνο ζε ςεθηαθό. Έγηλε θαλεξό όηη ε κεηαηξνπή απηή απαξηίδεηαη από δύν θύξηεο, αιιά ανεξάπηηηερ κεηαμύ ηνπο, δηαδηθαζίεο: ηελ δειγμαηοληψία, ε νπνία έρεη ζρέζε κε ην πόζν ζπρλά παίξλνπκε ηα δείγκαηα, θαη ηελ κβάνηιζη, ε νπνία έρεη ζρέζε κε ηελ αθξίβεηα αλαπαξάζηαζεο ηνπ πιάηνπο θάζε δείγκαηνο. Με άιια ιόγηα, ε δεηγκαηνιεςία έρεη λα θάλεη κε ηελ ζστνόηηηα ηνπ ζήκαηνο, ελώ ε θβάληηζε κε ην πλάηος ηνπ ζήκαηνο. Τν ζεώξεκα δεηγκαηνιεςίαο καο ιέεη όηη ε ζπρλόηεηα δεηγκαηνιεςίαο πξέπεη λα είλαη ηνπιάρηζηνλ δηπιάζηα ηεο κέγηζηεο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηέρεηαη ζην ζήκα πνπ ζέινπκε λα δεηγκαηνιεπηήζνπκε. Αλ απηό δελ ζπκβαίλεη, ηόηε παξνπζηάδεηαη ην θαηλόκελν ηεο ρακεινύ ξπζκνύ δεηγκαηνιεςίαο (aliasing). Η ςεθηνπνίεζε ηνπ πιάηνπο ελόο ζήκαηνο εηζάγεη έλα ζόξπβν, ηνλ ιεγόκελν ζόξπβν θβάληηζεο, ν νπνίνο είλαη ηόζν κηθξόηεξνο, όζν πεξηζζόηεξα επίπεδα θβάληηζεο ρξεζηκνπνηνύκε, δειαδή όζν πεξηζζόηεξα bits ρξεζηκνπνηνύκε γηα ηελ αλαπαξάζηαζε ηεο θάζε ηηκήο ηνπ πιάηνπο.