ΜΕΤΑΘΕΤΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ

Transcript

1 Μεταθετικά Γραφήματα 351 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΜΕΤΑΘΕΤΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 12.1 Εισαγωγή 12.2 Ιδιότητες Μεταθετικών Γραφημάτων 12.3 Αναπαραστάσεις Μεταθετικών Γραφημάτων 12.4 Μεταθετικά Γραφήματα και Γραφήματα Τομής 12.5 Το πρόβλημα του Χρωματισμού Προαπαιτούμενη Γνώση Πολύ καλή γνώση των εννοιών και των θεμάτων του Κεφαλαίου 1 που αφορούν τα γραφήματα τομής και τα τέλεια γραφήματα, και πολύ καλή κατανόηση των ιδιοτήτων των γραφημάτων των Κεφαλαίων 9 και 10 (τριγωνικών και μεταβατικών γραφημάτων, αντίστοιχα). Η πολύ καλή γνώση δομών δεδομένων και προχωρημένων αλγοριθμικών τεχνικών είναι προαπαιτούμενη για την κατανόηση των θεμάτων του κεφαλαίου.

2 352 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων 12.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε μία κλάση τέλειων γραφημάτων, αυτή των μεταθετικών γραφημάτων (permutation graphs), η οποία έχει ενδιαφέρουσες ιδιότητες και ένα μεγάλο φάσμα εφαρμογών σε ποικίλους τομείς. Έστω μία μετάθεση των φυσικών αριθμών του συνόλου, όπου. Στη συνέχεια, θα θεωρούμε τη μετάθεση π ως μία ακολουθία ( ), οπότε, για παράδειγμα, η μετάθεση του συνόλου έχει κ.λπ. Θα συμβολίζουμε ή, ισοδύναμα, τη θέση του στοιχείου i στην ακολουθία ( ) και, άρα, στο παράδειγμά μας, κ.λπ. Έστω μία μετάθεση του συνόλου και έστω το μη-κατευθυνόμενο γράφημα που κατασκευάζεται από τη μετάθεση με τον εξής τρόπο: το γράφημα έχει κόμβους με επιγραφές από 1 έως, δηλαδή, και δύο κόμβοι του συνδέονται με ακμή, εάν ο κόμβος με τη μεγαλύτερη επιγραφή βρίσκεται αριστερά του κόμβου με τη μικρότερη επιγραφή στη μετάθεση. Στο εξής, θα ταυτίζουμε το όνομα του κόμβου με την επιγραφή του, εκτός εάν δηλώνεται διαφορετικά. Επομένως, δύο κόμβοι συνδέονται με ακμή, εάν το ζεύγος ( ) είναι μία αντιστροφή (inversion) της μετάθεσης, δηλαδή εάν και. Στο γράφημα που κατασκευάζεται από τη μετάθεση, οι κόμβοι 5 και 6 συνδέονται με τον κόμβο 4, επειδή και οι δύο είναι μεγαλύτεροι του 4 και βρίσκονται αριστερά του 4 στη μετάθεση. Για τον ίδιο λόγο, οι κόμβοι 6 και 5 συνδέονται με τον κόμβο 2. Αντίθετα, ο κόμβος 3 δεν συνδέεται με τους κόμβους 6 και 4, επειδή ο 3 είναι μικρότερος από αυτούς και βρίσκεται αριστερά τους στην π. Σημειώνουμε ότι ένα ζεύγος στοιχείων ( ) μίας μετάθεσης π, τέτοιο ώστε και ονομάζεται μία αντιστροφή (inversion) της μετάθεση. Ορισμός 12.1 Το γράφημα μετάθεσης (βλέπε Σχήμα 12.1). ονομάζεται γράφημα αντιστροφής (inversion graph) της Σχήμα Το γράφημα αντιστροφής της μετάθεσης (αριστερά) και το συμπληρωματικό του (δεξιά).

3 Μεταθετικά Γραφήματα 353 Ας ορίσουμε τώρα το γράφημα με πιο αυστηρό τρόπο. Εάν είναι μία μετάθεση n ακεραίων, τότε το γράφημα αντιστροφής της μετάθεσης ορίζεται ως εξής: και Ορισμός 12.2 Ένα μη-κατευθυνόμενο γράφημα ονομάζεται μεταθετικό εάν υπάρχει μετάθεση π, τέτοια ώστε (δηλαδή το γράφημα είναι ισόμορφο με το γράφημα αντιστροφής της μετάθεσης π). Στη συνέχεια του κεφαλαίου, όταν αναφερόμαστε σε ένα γράφημα, θα θεωρούμε ότι το είναι ένα συνεκτικό μη-κατευθυνόμενο γράφημα με κόμβους και ακμές, άλλως θα προσδιορίζεται ο τύπος του (κατευθυνόμενο, έμβαρο κ.λπ). Επίσης, όταν αναφερόμαστε σε ένα μεταθετικό γράφημα, θα το συμβολίζουμε συχνά με όπου η μετάθεση για την οποία Ιδιότητες Μεταθετικών Γραφημάτων Οι μεταθέσεις και τα μεταθετικά γραφήματα έχουν πολλές και ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Ας σκεφτούμε, για παράδειγμα, τι θα συμβεί, εάν αντιστρέψουμε (reverse) τη μετάθεση και πάρουμε την αντιστροφή της. Τότε, κάθε αντιστροφή ( στην μετάθεση δεν είναι αντιστροφή στην μετάθεση και αντιστρόφως. Για παράδειγμα, στη μετάθεση το ζεύγος είναι αντιστροφή, ενώ στην αντιστροφή της δεν είναι και το ζεύγος που είναι αντιστροφή στην στην δεν είναι. Επομένως, από την προηγούμενη ιδιότητα εύκολα συμπεραίνουμε ότι το μεταθετικό γράφημα είναι το συμπληρωματικό του γραφήματος. Με άλλα λόγια, εάν είναι η μετάθεση που λαμβάνεται αντιστρέφοντας την, τότε = Αυτή η ιδιότητα αποδεικνύει ότι το αντίστροφο γράφημα ενός μεταθετικού γραφήματος μεταθετικό γράφημα. είναι Μία άλλη σημαντική ιδιότητα που έχουν τα μεταθετικά γραφήματα είναι αυτή της μεταβατικής κατεύθυνσης (transitive orientation property). Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να αναθέσουμε φορές (one-way) στις ακμές ενός μεταθετικού γραφήματος, έτσι ώστε το προκύπτον κατευθυνόμενο γράφημα να είναι μεταβατικό (comparability). Πράγματι, εάν σε κάθε ακμή δώσουμε κατεύθυνση από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο κόμβο της, τότε θα πάρουμε μεταβατικής κατεύθυνσης (εάν και, τότε και, που συνεπάγεται ότι ). Αυτό το αποτέλεσμα δείχνει μόνο τη μισή αλήθεια, ενώ στην πραγματικότητα ισχύει κάτι πιο ισχυρό, που αποδεικνύεται στο εξής θεώρημα.

4 354 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων Θεώρημα 12.1 Ένα μη-κατευθυνόμενο γράφημα είναι μεταθετικό, εάν-ν το γράφημα και το συμπληρωματικό του είναι μεταβατικά γραφήματα. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι Τότε το γράφημα είναι μεταβατικό διότι το γράφημα είναι μεταβατικά κατευθυνόμενο (δηλαδή υπάρχει μία μεταβατική κατεύθυνση ( ) των ακμών του). Όμοια, το γράφημα είναι μεταβατικό, διότι, όπου είναι η αντίστροφη της μετάθεσης. Αντίστροφα, έστω ( ) και ( ) είναι δύο μεταβατικές κατευθύνσεις των ακμών (transitive orientations) των γραφημάτων και, αντίστοιχα. Θα δείξουμε ότι υπάρχει μία μετάθεση π, τέτοια ώστε Ισχυρισμός 12.1 Οι κατευθύνσεις ακμών ( ) και ( ) του πλήρους γραφήματος = (, ) είναι άκυκλες. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι η κατεύθυνση ( ) δεν είναι άκυκλη και έστω είναι ένας κατευθυνόμενος κύκλος με το ελάχιστο δυνατό μήκος. Εάν, τότε το μήκος του κύκλου μπορεί να μειωθεί προσθέτοντας την ακμή ή την ακμή (μία από τις δύο ακμές υπάρχει στην κατεύθυνση ( ), διότι είναι κατεύθυνση ακμών του γραφήματος ). Αυτό έρχεται σε αντίθεση με την επιλογή του (κύκλος με το ελάχιστο δυνατό μήκος) και, επομένως,. Τότε τουλάχιστον δύο από τις τρεις ακμές του κύκλου θα ανήκουν στο, που συνεπάγεται ότι η κατεύθυνση δεν είναι μεταβατική, κάτι το οποίο είναι άτοπο. Επομένως, ( ) είναι μία άκυκλη κατεύθυνση του γραφήματος. Όμοια, αποδεικνύουμε ότι ( ) είναι μία άκυκλη κατεύθυνση του γραφήματος. Πρόταση 12.1 Μία άκυκλη κατεύθυνση ακμών (acyclic orientation) ενός πλήρους γραφήματος είναι μεταβατική (transitive) και καθορίζει μία μοναδική γραμμική διάταξη των κόμβων του γραφήματος. Απόδειξη. Έστω ( ) μία άκυκλη κατεύθυνση ακμών του γραφήματος. Εάν η ακμή και η ακμή, τότε και η ακμή ανήκει στo. Επειδή ( ) είναι μία άκυκλη κατεύθυνση και ) πλήρες γράφημα, υπάρχει ένας και μόνον ένας κόμβος, έστω, με βαθμό εισόδου ( ) = 0 και, επομένως, ( ) =. Θέτουμε τον κόμβο πρώτο κόμβο σε μία διάταξη κόμβων και διαγράφουμε αυτόν από το γράφημα παίρνοντας έτσι το πλήρες γράφημα. Στο προκύπτον γράφημα υπάρχει ένας και μόνον ένας κόμβος, έστω, με βαθμό εισόδου και. Όμοια, θέτουμε τον κόμβο δεύτερο κόμβο στη διάταξη και διαγράφουμε αυτόν από το γράφημα, παίρνοντας έτσι το πλήρες γράφημα. Συνεχίζοντας τη διαδικασία μπορούμε να κατασκευάσουμε μία γραμμική διάταξη των κόμβων του γραφήματος. Είναι προφανές, από την κατασκευή της διάταξης ότι ο κόμβος έχει ( ) στο γράφημα, και, επομένως, η διάταξης είναι μοναδική. Στη συνέχεια, ολοκληρώνουμε την απόδειξη του θεωρήματος κατασκευάζοντας μία μετάθεση π, τέτοια ώστε Θεωρούμε την ακόλουθη διαδικασία:

5 Μεταθετικά Γραφήματα 355 Έστω ( ) και ( ) οι δύο μεταβατικές κατευθύνσεις των ακμών των γραφημάτων και = (, ), αντίστοιχα, και έστω η διάταξη των κόμβων του που λαμβάνεται από την άκυκλη κατεύθυνση ( ) και ) η διάταξη των κόμβων του που προκύπτει από την άκυκλη κατεύθυνση είναι ( ). 1. Ανάθεσε επιγραφές στους κόμβους του γραφήματος σύμφωνα με τη σειρά τους στη διάταξη της κατεύθυνσης ( ως εξής: ο i-στος κόμβος x της διάταξης με παίρνει επιγραφή. 2. Ανάθεσε επιγραφές στους κόμβους του σύμφωνα με τη σειρά τους στη διάταξη της κατεύθυνσης ( ) ως εξής: ο i-στος κόμβος x της διάταξης με = παίρνει επιγραφή. 3. Κατασκεύασε τη μετάθεση ως εξής: εάν τότε θέσε για κάθε κόμβο του γραφήματος. Η συσχέτιση περιγράφεται στο επόμενο διάγραμμα μετακίνησης (commuting diagram). Παρατηρούμε ότι για ένα ζεύγος κόμβων, του γραφήματος ισχύει: διότι οι ακμές του έχουν αντίθετες κατευθύνσεις στο Βήμα 1 και Βήμα 2 της προηγούμενης διαδικασίας κατασκευής της μετάθεσης. Επομένως, από τη σχέση (1) προκύπτει ότι η είναι η επιθυμητή μετάθεση και είναι ο επιθυμητός ισομορφισμός. Το αποτέλεσμα του Θεωρήματος 12.1 οδηγεί άμεσα σε έναν αλγόριθμο αναγνώρισης μεταθετικών γραφημάτων. Πράγματι, εάν σε ένα γράφημα και στο συμπληρωματικό του μπορέσουμε να αναθέσουμε κατάλληλες κατευθύνσεις στις ακμές τους, έτσι ώστε να μην παραβιάζεται η μεταβατική ιδιότητα, τότε το γράφημα είναι μεταθετικό. Για να βρούμε μία κατάλληλη μετάθεση, αρκεί να ακολουθήσουμε τα τρία βήματα της διαδικασίας του Θεωρήματος Ο αλγόριθμος απαιτεί χρόνο και χώρο για γράφημα εισόδου τάξης.

6 356 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων Σχήμα Κατασκευή της μετάθεσης από τις μεταβατικές κατευθύνσεις και. Στο Σχήμα 12.2 δείχνουμε την κατασκευή της μετάθεσης για το (αριστερό) γράφημα του Σχήματος Η κατασκευή της γίνεται μέσω των μεταβατικών κατευθύνσεων και του γραφήματος και του συμπληρωματικού του, αντίστοιχα. Παρατηρούμε ότι δίδει, ο κόμβος δίδει, ο κόμβος δίδει και, τέλος, ο κόμβος f δίδει Παρατήρηση. Υπάρχει 1-1 αντιστοιχία μεταξύ των φθινουσών ακολουθιών (decreasing subsequences) μίας μετάθεσης και των κλικών (cliques) του γραφήματος, καθώς, επίσης, μεταξύ των αυξουσών ακολουθιών (increasing subsequences) μίας μετάθεσης π και των ευσταθών συνόλων (stable sets) του γραφήματος 12.3 Αναπαραστάσεις Μεταθετικών Γραφημάτων Τα μεταθετικά γραφήματα, μέσω των μεταθέσεων, μπορούν να αναπαρασταθούν με ποικίλους τρόπους, γεγονός που καθιστά τη μελέτη τους ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα, τόσο από θεωρητικής όσο και από πρακτικής πλευράς. Συγκεκριμένα, τα μεταθετικά γραφήματα αναπαριστώνται ως εξής: (I) (II) (III) (ΙV) (V) Αναπαράσταση μετάθεσης Κυκλική αναπαράσταση Αναπαράσταση πλέγματος BST δενδρική αναπαράσταση Ηeap ordered δενδρική αναπαράσταση

7 Μεταθετικά Γραφήματα 357 (VΙ) (VΙΙ) DAG-αναπαράσταση 2D-αναπαράσταση (I) Αναπαράσταση μετάθεσης (ή π-αναπαράσταση). Ένα μεταθετικό γράφημα G τάξης n συχνά αναπαρίσταται με τη μετάθεση, την οποία βλέπουμε ως μία ακολουθία n στοιχείων. Ο τρόπος αυτός αναπαράστασης είναι πολύ οικονομικός από άποψη χώρου, καθώς απαιτεί χώρο ίσο ακριβώς με τον αριθμό των κόμβων του γραφήματος. Όμως, δεν δίνει αμέσως την πληροφορία ποιοί κόμβοι συνδέονται με ποιούς. Συγκεκριμένα με τον τρόπο αυτόν οι κόμβοι διατάσσονται ο ένας δίπλα στον άλλον δημιουργώντας μία μετάθεση, έτσι ώστε κάθε κόμβος να συνδέεται με έναν κόμβο, εάν και. (IΙ) Κυκλική αναπαράσταση. Η κυκλική αναπαράσταση (cyclic representation) αναπαριστά ένα μεταθετικό γράφημα τάξης με κύκλους,. Ένας κύκλος μίας μετάθεσης είναι μία ακολουθία στοιχείων της, τέτοια ώστε: και Για παράδειγμα, η μετάθεση έχει 4 κύκλους:, )., και Σημειώνεται ότι η αναπαράσταση αυτή δεν είναι μοναδική για μία μετάθεση π καθώς περισσότερες από μία κυκλικές αναπαραστάσεις μπορούν να αναπαριστούν το ίδιο μεταθετικό γράφημα μετάθεση. Σχήμα Παράδειγμα κυκλικής αναπαράστασης της μετάθεσης. Κάθε μία από τις τέσσερις μεταθέσεις που είναι σχεδιασμένες με χρωματιστές γραμμές, αντιστοιχεί σε έναν από τους τέσσερις κύκλους και

8 358 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων (IIΙ) Αναπαράσταση πλέγματος. Στην αναπαράσταση πλέγματος γίνεται χρήση ενός τετραγωνικού πλέγματος, όπου n ο αριθμός των στοιχείων της μετάθεσης ή, ισοδύναμα, το πλήθος των κόμβων του μεταθετικού γραφήματος, το οποίο αρχικά είναι κενό. Η ανάθεση τιμής σε κελί του πλέγματος γίνεται ανάλογα με τη θέση του εκάστοτε στοιχείου στη μετάθεση και συγκεκριμένα: εάν το στοιχείο βρίσκεται στη θέση της μετάθεσης, τότε το στοιχείο αυτό εισέρχεται στο πλέγμα στη θέση ( ), δηλαδή στην στήλη και γραμμή. Σχήμα Αναπαράσταση πλέγματος της μετάθεσης Ουσιαστικά η αναπαράσταση αυτή είναι ένας αραιός πίνακας όπου κάθε στήλη έχει ακριβώς ένα στοιχείο. (ΙV) BST δενδρική αναπαράσταση. Με βάση την αναπαράσταση πλέγματος, ένα μεταθετικό γράφημα δύναται να αναπαρασταθεί με ένα δυαδικό δένδρο αναζήτησης (binary search tree ή BST) με την ακόλουθη διαδικασία: Αρχικά, στρέφουμε το πλέγμα κατά 90 ο δεξιόστροφα. Κατόπιν κάνουμε flip, έτσι ώστε τα αριστερά κελιά του πλέγματος να έρθουν από την δεξιά πλευρά και τα δεξιά κελιά από την αριστερή. Στη συνέχεια, ξεκινώντας από επάνω προς τα κάτω στο πλέγμα παίρνουμε το (μοναδικό) στοιχείο της γραμμής και δημιουργούμε έναν κόμβο του δένδρου. Αριστερό παιδί του κόμβου είναι το στοιχείο που συναντάται πρώτο και βρίσκεται σε αριστερότερη στήλη από αυτή του, ενώ δεξιό παιδί του κόμβου είναι το στοιχείο που συναντάται πρώτο και βρίσκεται σε δεξιότερη στήλη από αυτή του στοιχείου.

9 Μεταθετικά Γραφήματα 359 (α) (β) Σχήμα γραφήματος (α) Το πλέγμα του Σχήματος 12.4 στραμμένο κατάλληλα. (β) Αναπαράσταση του με δυαδικό δένδρο αναζήτησης, όπου (V) Ηeap ordered δενδρική αναπαράσταση. Όσον αφορά στην αναπαράσταση με σωρό (heap), η διαδικασία κατασκευής είναι η ίδια με αυτή της αναπαράστασης του δυαδικού δένδρου αναζήτησης. Η διαφορά είναι ότι τώρα το πλέγμα λαμβάνεται ως έχει, δηλαδή δεν χρειάζεται να περιστραφεί κατά 90 ο ο πίνακας της αναπαράστασης πλέγματος, ούτε να γίνει flip μετά την περιστροφή. (α) (β) Σχήμα (α) Το πλέγμα του Σχήματος (β) Αναπαράσταση του γραφήματος με σωρό, όπου. (VI) DAG αναπαράσταση. Στην αναπαράσταση αυτή το μεταθετικό γράφημα αναπαρίσταται μέσω ενός κατευθυνόμενου άκυκλου γραφήματος (directed acyclic graph ή DAG). Πριν ορίσουμε το γράφημα DAG αναπαράστασης, ας ορίσουμε την κυριαρχία (domination) και την άμεση κυριαρχία (direct domination) ή Α-κυριαρχία (d-domination) στα στοιχεία της μετάθεσης. Έστω δύο στοιχεία και της μετάθεσης.

10 360 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων Θα λέμε ότι το στοιχείο κυριαρχεί στο στοιχείο, θα συμβολίζουμε, εάν-ν το στοιχείο είναι μεγαλύτερο του και βρίσκεται στα αριστερά του στη μετάθεση π, δηλαδή: Το στοιχείο κυριαρχεί άμεσα στο στοιχείο. Θα συμβολίζουμε, εάν-ν το στοιχείο κυριαρχεί στο και δεν υπάρχει στοιχείο, τέτοιο ώστε το να κυριαρχεί στο και το να κυριαρχεί στο στη μετάθεση, δηλαδή και Το γράφημα της DAG αναπαράστασης συμβολίζεται ως εξής: και κατασκευάζεται από τη μετάθεση, όπου και είναι δύο βοηθητικοί κόμβοι, και _ για κάθε κόμβο με, και για κάθε κόμβο με. Στο Σχήμα 12.7 δείχνουμε την DAG αναπαράσταση του γραφήματος Σε αυτό το παράδειγμα, και όπου Σχήμα Η DAG-αναπαράσταση του γραφήματος, όπου (VIΙ) 2D αναπαράσταση. Η 2D αναπαράσταση ενός μεταθετικού γραφήματος μοιάζει με αυτήν της αναπαράστασης πλέγματος. Η βασική ιδέα της αναπαράστασης στηρίζεται στην αντιστοίχιση των κόμβων του γραφήματος ή, ισοδύναμα, των στοιχείων της μετάθεσης σε σημεία στο επίπεδο. Συγκεκριμένα, εάν με, τότε: κόμβος σημείο με.

11 Μεταθετικά Γραφήματα 361 Σχήμα Η σχέση των σημείων της 2D-αναπαράστασης και των ακμών του γραφήματος, όπου. Σε ένα μεταθετικό γράφημα ισχύει ότι το ζεύγος κόμβων (, εάν-ν (. Στην 2D αναπαράσταση, εάν είναι το σημείο που αντιστοιχεί στον κόμβο, τότε το σημείο που αντιστοιχεί στον κόμβο θα βρίσκεται στο κάτω-αριστερό ή στο άνω-δεξιό τεταρτημόριο του (βλέπε Σχήμα 12.8). Στο Σχήμα 12.9 δείχνουμε την 2D αναπαράσταση του γραφήματος, όπου. Σχήμα Η 2D-αναπαράσταση του μεταθετικού γραφήματος τάξης, όπου Μεταθετικά Γραφήματα και Γραφήματα Τομής Τα μεταθετικά γραφήματα μπορεί να θεωρηθούν ως μία κλάση γραφημάτων τομής. Πράγματι, εάν είναι μία μετάθεση μήκους, θα δείξουμε ότι το μεταθετικό γράφημα είναι γράφημα τομής μίας οικογένειας ευθύγραμμων τμημάτων (straight line-segments).

12 362 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων Διαγράμματα Ταιριάσματος Διάγραμμα ταιριάσματος (matching diagram). Έστω και δύο παράλληλες γραμμές. Ένα διάγραμμα ταιριάσματος αποτελείται από σημεία επάνω σε κάθε μία από δύο παράλληλες γραμμές και, και από ευθύγραμμα τμήματα, τα οποία ταιριάζουν τα σημεία. Έστω μία μετάθεση του συνόλου Θεωρούμε την εξής κατασκευή: Πάρτε δύο οριζόντιες παράλληλες γραμμές και. Τοποθετήστε από αριστερά προς τα δεξιά στην τους αριθμούς 1, 2,, n και στην τα στοιχεία της μετάθεσης. Πάρτε ευθύγραμμα τμήματα και ενώστε τους ίδιους αριθμούς των δύο ευθειών και. Οι οριζόντιες παράλληλες γραμμές και μπορεί να είναι κάθετες και τότε η τοποθέτηση των αριθμών στις δύο ευθείες γίνεται από επάνω προς τα κάτω (βλέπε Σχήμα 12.10). Στη συνέχεια, θα αναφερόμαστε σε ένα διαγράμμα ταιριάσματος και ως μεταθετικό διάγραμμα (permutation diagram). Σχήμα Ένα διάγραμμα ταιριάσματος (οριζόντια και κάθετη αναπαράσταση) και το αντίστοιχο μεταθετικό γράφημα όπου Επομένως, τα γραφήματα τομής που παράγονται από τα διαγράμματα ταιριάσματος (ή μεταθετικά διαγράμματα) είναι ακριβώς τα μεταθετικά γραφήματα γραφήματα Στη συνέχεια επεκτείνουμε την έννοια του διαγράμματος ταιριάσματος στα -διαγράμματα ταιριάσματος που ορίζουν την κλάση των γραφημάτων τομής, τα οποία ονομάζονται - μεταθετικά γραφήματα ή -γραφήματα ( -graphs). F-διάγραμμα (F-diagram). Έστω και δύο παράλληλες γραμμές. Ένα -διάγραμμα αποτελείται από n σημεία επάνω σε κάθε μία από δύο παράλληλες γραμμές και

13 Μεταθετικά Γραφήματα 363 και από συνεχείς συναρτήσεις καμπυλών (continuous function curves) με άκρα τα σημεία. Ορισμός 12.3 Το γράφημα τομής που προκύπτει από τμήματα συναρτήσεων (function segments) ονομάζεται γράφημα συναρτήσεων ή -γράφημα. (α) (β) (γ) Σχήμα (α)-(β) Ένα F-διάγραμμα ταιριάσματος και το αντίστοιχο -γράφημα. (γ) Ένα διάγραμμα που δεν είναι -διάγραμμα ταιριάσματος. Στο Σχήμα 12.11α δείχνουμε ένα -διάγραμμα ταιριάσματος 6 συνεχών συναρτήσεων καμπυλών και στο Σχήμα 12.11β το αντίστοιχο -γράφημα. Σημειώνουμε την απαίτηση ότι κάθε συνεχής καμπύλη πρέπει να είναι συνάρτηση. Στο Σχήμα 12.11γ δείχνουμε ένα διάγραμμα που δεν είναι διάγραμμα συναρτήσεων, καθώς το σημείο έχει δύο τιμές. Σύνθεση μεταθετικών διαγραμμάτων (composition of matching or permutation diagrams). Είναι εύκολο να σκεφτούμε ότι τα -γραφήματα θα μπορούσαν να κατασκευασθούν από ένα σύνολο μερικών διατάξεων (partial orders), κάθε μία από αυτές είναι μία μετάθεση των στοιχείων του συνόλου, (βλέπε Σχήμα 12.12). Σχήμα Μία σύνθεση μεταθετικών διαγραμμάτων και το αντίστοιχο -γράφημα.

14 364 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων Θεώρημα 12.2 (Golumbic, Rotem, Urrutia, 1982) Έστω ένα μη-κατευθυνόμενο γράφημα. Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες. (1) είναι ένα -γράφημα. (2) είναι ένα γράφημα τομής μίας σύνθεσης μεταθετικών διαγραμμάτων. (3) είναι μεταβατικό γράφημα. Απόδειξη. Η απόδειξη του θεωρήματος ξεφεύγει από τους σκοπούς αυτού του συγγράμματος Γραφήματα Ανοχής Στη συνέχεια, παρουσιάζουμε την κλάση των γραφημάτων ανοχής (tolerance graphs) που αποτελούν μία γενίκευση των γραφημάτων διαστημάτων. Αυτά χρησιμοποιούνται συνήθως σε γενικότερα προβλήματα χρονοδρομολόγησης, όπου επιτρέπεται ταυτόχρονη εκτέλεση διαδικασιών. Ορισμός 12.4 Έστω μία συλλογή ευθύγραμμων διαστημάτων και έστω ένα σύνολο αριθμών. Το γράφημα τομής που ορίζεται ως εξής: με και εάν-, ονομάζεται γράφημα ανοχής του ζεύγους. Σχήμα Ένα γράφημα ανοχής. Οι αριθμοί στο τέλος των διαστημάτων αντιστοιχούν στα βάρη τους. Στο Σχήμα δείχνουμε ένα γράφημα ανοχής τάξης με σύνολο κόμβων }, που προκύπτει από μία συλλογή ευθύγραμμων διαστημάτων } με βάρη, αντίστοιχα, και ισχύει ( ) ( ). Παρατηρούμε ότι,, διότι επίσης, διότι, ενώ, διότι Το επόμενο θεώρημα δίδει τη σχέση των γραφημάτων ανοχής και των μεταθετικών γραφημάτων. Πριν, διατυπώνουμε ένα λήμμα που βοηθά στην απόδειξη του θεωρήματος (οι αποδείξεις του λήμματος και του θεωρήματος δεν δίδονται, διότι ξεφεύγουν από τους σκοπούς αυτού του συγγράμματος).

15 Μεταθετικά Γραφήματα 365 Θυμίζουμε ότι ένα μη-κατευθυνόμενο γράφημα τάξης n είναι γράφημα περιεχομένων διαστημάτων (interval containment graph), εάν υπάρχει ένα σύνολο διαστημάτων, τέτοια ώστε, εάν-ν ή. Λήμμα 12.1 Έστω ένα μη-κατευθυνόμενο τάξης. Το γράφημα είναι μεταθετικό γράφημα, εάν-ν το είναι γράφημα περιεχομένων διαστημάτων. Θεώρημα 12.3 Έστω ένα μη-κατευθυνόμενο τάξης. Το γράφημα e είναι γράφημα ανοχής, εάν-ν το είναι μεταθετικό γράφημα Το Πρόβλημα του Χρωματισμού Στην ενότητα αυτή δείχνουμε ότι το πρόβλημα του χρωματισμού έχει πολυωνυμική λύση στην κλάση των μεταθετικών γραφημάτων Ταξινόμηση Μεταθέσεων και Χρωματισμός Εξετάζουμε το πρόβλημα της ταξινόμησης των στοιχείων μίας μετάθεσης π του συνόλου Ν n χρησιμοποιώντας μία ακολουθία από ουρές προτεραιότητας Q = ( ), Θυμίζουμε ότι μία ουρά (queue) είναι μία γραμμική δομή δεδομένων στην οποία οι εισαγωγές γίνονται στο ένα άκρο (FIRST) και οι διαγραφές στο άλλο άκρο (LAST) της ουράς. Θα συμβολίζουμε με FIRST( ) και LAST( ) το πρώτο και το τελευταίο στοιχείο, αντίστοιχα, της ουράς της ακολουθίας Q. Για την ταξινόμηση των στοιχείων της μετάθεσης ακολουθούμε την εξής απλή διαδικασία: Παίρνουμε ένα-ένα τα στοιχεία της (από αριστερά προς τα δεξιά) και τα εισάγουμε αρχικά στις ουρές της Q ακλουθώντας τον εξής κανόνα: Εισάγαγε το στοιχείο π i στην πρώτη ουρά της Q (από αριστερά προς τα δεξιά) για την οποία ισχύει LAST( ) < ή FIRST( ) = (κενή ουρά). Στη συνέχεια, εξάγουμε ένα-ένα τα στοιχεία της από τις ουρές της Q διαγράφοντας κάθε φορά το στοιχείο με την ελάχιστη τιμή (min στοιχείο της Q). Θα ονομάζουμε Q-ταξινόμηση την προηγούμενη διαδικασία ταξινόμησης των στοιχείων μίας μετάθεσης π του συνόλου. Στο παράδειγμα που ακολουθεί, εισάγουμε τα στοιχεία της μετάθεσης στην Q και δείχνουμε την κατάσταση των ουρών της μετά την εισαγωγή των στοιχείων,,,, και του τελευταίου στοιχείου της. Είναι προφανές από τον κανόνα εισαγωγής των στοιχείων της στις ουρές της Q ότι τα στοιχεία κάθε ουράς είναι ταξινομημένα σε αύξουσα τάξη. Q 1 : 8 Q 2 : 3 Q 1 : 8 Q 2 : 3, 7 Q 3 : 2 Q 1 : 8 Q 2 : 3, 7 Q 3 : 2 Q 4 : 1 Q 1 : 8, 9 Q 2 : 3, 7 Q 3 : 2 Q 4 : 1 Q 1 : 8, 9 Q 2 : 3, 7 Q 3 : 2, 6 Q 4 : 1, 5 Q 1 : 8, 9 Q 2 : 3, 7 Q 3 : 2, 6 Q 4 : 1, 5 Q 5 : 4

16 366 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων Πριν προχωρήσουμε, ας δούμε τι είναι αυτό που αναγκάζει δύο στοιχεία π i και π j να εισαχθούν σε διαφορετικές ουρές. Η απάντηση βρίσκεται στη θέση που έχουν τα στοιχεία στην και στην τιμή τους. Πράγματι, εάν π i είναι αριστερά του στην και, τότε και εισάγονται σε διαφορετικές ουρές. Επομένως, εάν δύο κόμβοι και γειτνιάζουν στο γράφημα τότε αυτοί εισάγονται σε διαφορετικές ουρές κατά τη διαδικασία ταξινόμησης της μετάθεσης. Πρόταση 12.2 Έστω μία μετάθεση του. Υπάρχει 1-1 αντιστοιχία μεταξύ ενός βέλτιστου -χρωματισμού του γραφήματος και του πλήθους των ουρών που απαιτούνται για την -ταξινόμηση της μετάθεσης. Απόδειξη. Εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο Q-ταξινόμησης στη μετάθεση π και αναθέτουμε στο στοιχείο π i το χρώμα m, όταν αυτό εισέρχεται στην ουρά της. Επειδή δύο κόμβοι και που γειτνιάζουν στο γράφημα χρώμα. εισάγονται σε διαφορετικές ουρές, παίρνουν διαφορετικό Αντίστροφα, έστω ότι δίδεται ενός βέλτιστος k-χρωματισμός του γραφήματος που χρησιμοποιεί τα χρώματα. Εισάγουμε τα στοιχεία (με αυτή τη σειρά) στις ουρές της ακoλουθώντας την εξής στρατηγική: εάν το χρώμα του στοιχείου είναι, τότε εισάγουμε αυτό στην ουρά της. Υποθέτουμε ότι η στρατηγική απέτυχε, δηλαδή υπάρχει μία ουρά, έστω η, που έχει δύο στοιχεία, έστω και, σε αντίστροφη σειρά (π i εισήχθηκε πριν το και ). Όμως, τα στοιχεία και εισέρχονται στην με τη σειρά που έχουν στη μετάθεση. Επειδή, είναι αριστερότερα του στην (αφού εισήχθη πριν το στην ) και χρώμα, αυτό σημαίνει ότι και γειτνιάζουν στο γράφημα και έχουν πάρει το ίδιο, κάτι το οποίο είναι άτοπο. Λήμμα 12.2 Έστω μία μετάθεση του. Οι επόμενοι αριθμοί είναι ίσοι: 1. Ο χρωματικός αριθμός του γραφήματος 2. Το ελάχιστο πλήθος ουρών που απαιτούνται για την -ταξινόμηση της. 3. Το μήκος της μέγιστης φθίνουσας υπακολουθίας της μετάθεσης. Απόδειξη. Η ισοδυναμία μεταξύ των (1) και (2) προκύπτει άμεσα από την Πρόταση 12.2 και, επομένως,. Η ισοδυναμία μεταξύ των (1) και (3) ισχύει, διότι μία μέγιστη φθίνουσα υπακολουθία της μετάθεσης π αντιστοιχεί σε μία μέγιστη κλίκα του γραφήματος. Επομένως, επειδή το γράφημα είναι μεταθετικό και τα μεταθετικά γραφήματα είναι τέλεια, το μέγεθός της ισούται με το χρωματικό αριθμό του γραφήματος και, άρα, Η ισοδυναμία των προτάσεων (1) και (2) του Λήμματος 12.2 προτείνει μία μέθοδο αναγωγής της λύσης του ενός προβλήματος στη λύση του άλλου. Επίσης, η ισοδυναμία των προτάσεων (1) και (3) προτείνει ένα διαφορετικό αλγόριθμο χρωματισμού μεταθετικών γραφημάτων.

17 Μεταθετικά Γραφήματα Αλγόριθμοι Χρωματισμού H στρατηγική της -ταξινόμησης των στοιχείων μίας μετάθεσης π τοποθετεί το κάθε στοιχείο στην πρώτη ουρά της από δεξιά προς τα αριστερά, για την οποία ισχύει LAST ή FIRST( (η ουρά είναι κενή). Ο αλγόριθμος, τον οποίο περιγράφουμε τυπικά στη συνέχεια, ενσωματώνει τη στρατηγική της Q-ταξινόμησης και υπολογίζει έναν ελάχιστο χρωματισμό των κόμβων του γραφήματος. Για την αποτελεσματική εκτέλεση του Βήματος 3 εφαρμόζουμε δυαδική αναζήτηση και έτσι μπορούμε να βρούμε την ουρά της ακολουθίας σε χρόνο. Μπορούμε να εφαρμόσουμε δυαδική αναζήτηση, διότι από τον κανόνα εισαγωγής των στοιχείων της στις ουρές της ισχύει LAST( ) > LAST( > > LAST( ). Επομένως, η συνολική πολυπλοκότητα χρόνου εκτέλεσης του αλγόριθμου -Coloring είναι όπου n το μήκος της μετάθεσης εισόδου. Αλγόριθμος 12.1: Input: Μία μετάθεση του ; Output: Ένας χρωματισμός των κόμβων του και o χρωματικός αριθμός 1. Θέσε ; 2. για κάθε στοιχείο της π, εκτέλεσε 3. Βρες την πρώτη ουρά της ακολουθίας, τέτοια ώστε: LAST ή FIRST 4. Color 5. Insert ; τέλος-για 8. Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε την ορθότητα του αλγόριθμου -Coloring. Πριν, ορίζουμε μία συνάρτηση προκατόχου στα LAST στοιχεία των ουρών της, ως εξής: εάν Color στην i-στη επανάληψη τότε LAST( ). Στο παράδειγμα της μετάθεσης στην 4 η επανάληψη το στοιχείο = 7 εισάγεται στην ουρά και παίρνει χρώμα Color( ) = 2. Τότε = 8, διότι έως την 4 η επανάληψη έχουν εισαχθεί στην ουρά τα στοιχεία και LAST( ) = 8. Επιπλέον, στην 7 η επανάληψη εισάγεται το στοιχείο = 6 στην ουρά και Color( ) = 3 και, επομένως,

18 368 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων =, διότι έως την 4 η επανάληψη έχουν εισαχθεί στην τα στοιχεία και LAST( ) = Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 Εύκολα μπορεί να δει κάποιος ότι για τη μετάθεση του παραδείγματος ισχύει:,,,,, και. Σημειώνεται ότι δεν ορίζεται η συνάρτηση προκατόχου για τα στοιχεία 8 και 9 της. Προφανώς ισχύει LAST ) και, επομένως, για την ίδια μετάθεση,, και Το επόμενο αποτέλεσμα αποδεικνύει την ορθότητα του αλγόριθμου -Coloring. Θεώρημα 12.4 Έστω μία μετάθεση του συνόλου. Ο χρωματισμός του γραφήματος που υπολογίζεται από τον Αλγόριθμο -Coloring είναι ένας ελάχιστος χρωματισμός. Απόδειξη. Προφανώς, ο Αλγόριθμος -Coloring υπολογίζει ένα σωστό χ-χρωματισμό του γραφήματος. Θα δείξουμε ότι. Προς τούτο, είναι αρκετό (ικανό) να δείξουμε ότι η μετάθεση π έχει μία φθίνουσα υπακολουθία μήκους. Στην i-οστη επανάληψη του Βήματος 2 του αλγόριθμου, το στοιχείο εισάγεται στην και παίρνει χρώμα Color( ) =. Εάν, τότε από τη συνάρτηση προκατόχου παίρνουμε LAST( ). Προφανώς, και, διότι το αναγκάστηκε να εισαχθεί στην, επειδή το είχε ήδη εισαχθεί στην. Τότε, η ακολουθία: όπου και (ή, ισοδύναμα, Color( ) = ) για,, είναι μία φθίνουσα υπακολουθία μήκους. Στο παράδειγμα μας, η μετάθεση έχει μία φθίνουσα υπακολουθία μήκους, με τελευταίο στοιχείο της το της ουράς και, επομένως, Color(4) = 5. Τότε, το προτελευταίο στοιχείο της είναι το της ουράς, διότι στην 9 η επανάληψη του Βήματος 2 του αλγόριθμου που εισάγεται το στην ισχύει LAST( ) = 5.

19 Μεταθετικά Γραφήματα 369 Όμοια, το τρίτο από το τέλος στοιχείο της είναι το της ουράς 3, διότι στην 8 η επανάληψη που εισάγεται το στην ισχύει. Το δεύτερο στοιχείο της είναι το της ουράς, διότι στην 7 η επανάληψη που εισάγεται το στην ισχύει LAST( ) =. Τέλος, το πρώτο στοιχείο είναι το της ουράς, διότι στην 4 η επανάληψη που εισάγεται το στην ισχύει LAST( ) = 8. Πράγματι, η είναι μία φθίνουσα υπακολουθία της μετάθεσης μήκους. Παρατήρηση. Για τον υπολογισμό μίας ελάχιστης επικάλυψης κλικών (minimum clique cover) αρκεί να εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο -Coloring στην αντίστροφη μετάθεση της. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Για ποιές μεταθέσεις του συνόλου το γράφημα είναι: (α) πλήρες γράφημα τάξης, (β) ευσταθές γράφημα τάξης, και (γ) μη συνεκτικό γράφημα αποτελούμενο από δύο πλήρη υπογραφήματα τάξης, αντίστοιχα. 2. Ένα μεταθετικό γράφημα ονομάζεται μοναδικά αναπαραστήσιμo (uniquely representable), εάν υπάρχει μία και μόνο μία μετάθεση, τέτοια ώστε. Χαρακτήρισε τα μοναδικά αναπαραστήσιμα μεταθετικά γραφήματα. 3. Έστω μια μετάθεση του συνόλου. Έστω το πλήθος των στοιχείων της μετάθεσης που είναι δεξιά και μικρότερα του στοιχείου στην μετάθεση και έστω το πλήθος των στοιχείων της μετάθεσης που είναι αριστερά και μεγαλύτερα του στοιχείου. Αποδείξτε ότι ισχύει, για κάθε. 4. Σχεδιάστε και αναλύστε έναν αλγόριθμο o οποίος θα υπολογίζει ένα βέλτιστο χρωματισμό ενός μεταθετικού γραφήματος -κόμβων και -ακμών. 5. Έστω ένα μεταθετικό γράφημα με σύνολο κόμβων και έστω μια μετάθεση του συνόλου τέτοια ώστε. Δείξτε ότι η διάταξη των κόμβων του μεταθετικού γραφήματος δεν είναι πάντα τέλειο σχήμα απαλοιφής. 6. Δίδονται οι ακόλουθες τέσσερις (4) κλάσεις γραφημάτων: (α) Τριγωνικά (β) Διαστημάτων (γ) Μεταβατικά (δ) Μεταθετικά και

20 370 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων Για κάθε ζεύγος κλάσεων δώστε ένα παράδειγμα γραφήματος (εάν υπάρχει) το οποίο να ανήκει στην πρώτη κλάση και όχι στη δεύτερη και ένα παράδειγμα γραφήματος (εάν υπάρχει) που να ανήκει στην δεύτερη κλάση και όχι στην πρώτη. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 12 [1] C. BERGE, Graphs and Hypergraphs, North-Holland (Mathematical Library No. 6), [2] C. BERGE, Färbung von Graphen, deren sämtliche bzw. deren ungerade Kreise starr sind, Wiss. Z. Martin-Luther-Univ. Halle-Wittenberg Math.-Natur. Reihe 10, , [3] N.L. BIGGS, Algebraic Graph Theory, Cambridge Tracts in Mathematics 67, Cambridge University Press (2nd Edition), [4] V.A. BOJARSHINOV, Edge and total coloring of interval graphs, Discrete Applied Mathematics 114, 23-28, [5] A. BRANDSTADT, V.B. LE, AND J. SPINRAND, Graph Classes - A Survey, SIAM Monographs in Discrete Mathematics and Applications, SIAM, Philadelphia, [6] G. CHARTRAND AND O.R. OELLERMANN, Applied and Algorithmic Graph Theory, McGraw-Hill, [7] S. DASGUPTA, C. PAPADIMITRIOU, AND U. VAZIRANI, Algorithms, McGraw-Hill, [8] S. EVEN AND G. EVEN, Graph Algorithms, Cambridge University Press (2nd Edition), [9] M.C. GOLUMBIC, Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs, Academic Press, New York, Second edition, Annals of Discrete Mathematics 57, [10] J.L. GROSS AND J. YELLEN. Graph Theory and Its Applications, Chapman and Hall/CRC (2nd Edition), [11] J.L. GROSS AND J. YELLEN (EDS), Handbook of Graph Theory, Series: Discrete Mathematics and Its Applications, Volume: 25, CTC Press, [12] W.L. HSU AND C.H. MA, Fast and simple algorithms for recognizing chordal comparability graphs and interval graphs, Springer LNCS 557, pp , [13] G. KISHI AND Y. KAJITANI, Maximally distant trees and principal partition of a linear graph, IEEE Transactions on Circuit Theory 16, , [14] W. KOCAY AND D.L. KREHER, Graphs, Algorithms, and Optimization, Chapman and Hall/CRC, [15] L. LOVÁSZ, Normal hypergraphs and the perfect graphs, Discrete Math. 2, , [16] R.M. MACCONNELL AND J.P. SPINRAD, Modular Decomposition and Transitive Orientation, Fachbereich Mathematik, Vol. 475, [17] T.A. MCKEE AND F.R. MCMORRIS, Topics in Intersection Graph Theory, SIAM [18] M. YANNAKAKIS, Computing the minimum fill-in is NP-complete, SIAM J. Alg. Disc. Meth 2, 1981.