Θεωρία Πληροφορίας. Διάλεξη 5: Διακριτή πηγή πληροφορίας με μνήμη. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
|
|
- Ήλιόδωρος Καραβίας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Θεωρία Πληροφορίας Διάλεξη 5: Διακριτή πηγή πληροφορίας με μνήμη Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1
2 Ατζέντα 1. Διακριτές πηγές πληροφορίας με μνήμη Μαρκοβιανές αλυσίδες Τάξη μακροβιανών αλυσίδων Εντροπία των πηγών Markoff 2. Συνεχείς πηγές πληροφορίας με μνήμη 2
3 Διακριτές πηγές πληροφορίας με μνήμη Στην πραγματικότητα, όλες οι πηγές πληροφορίας παράγουν ακολουθίες συμβόλων που είναι στατιστικά εξαρτημένες. Για παράδειγμα, στην ελληνική γλώσσα το «α» εμφανίζεται με πιθανότητα 11,7%, ενώ το «ψ» με πιθανότητα 0,1%. Επίσης, ο συνδυασμός γραμμάτων «τα» είναι πολύ πιθανός, ενώ ο συνδυασμός «τπ» είναι απίθανος. Στην περίπτωση των «διακριτών πηγών με μνήμη» υφίσταται εξάρτηση μεταξύ των διαδοχικών συμβόλων. Η εξάρτηση αυτή μπορεί να υφίσταται για μακρές ακολουθίες συμβόλων, συνηθέστερα όμως υφίσταται για έναν περιορισμένο αριθμό συμβόλων. Οι Μαρκοβιανές αλυσίδες μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως στατιστικά υποδείγματα διακριτών πηγών πληροφορίας με μνήμη (π.χ. τηλέτυπο). Οι πηγές αυτές ονομάζονται πηγές Markoff. 3
4 Μαρκοβιανές αλυσίδες (1/3) Μια τυχαία διαδικασία είναι μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών Y1, Y2,, Yn. Γενικά, μπορεί να υφίσταται οποιαδήποτε εξάρτηση μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών της ακολουθίας. Μια τυχαία διαδικασία Υ1, Υ2,, Υn χαρακτηρίζεται ως διαδικασία Markoff (Μαρκοβιανή αλυσίδα), αν για n = 1,2, ισχύει: P Y n+1 = y n+1 Y n = y n, Y n 1 = y n 1,, Y 1 = y 1 ) = P Y n+1 = y n+1 Y n = y n ) Στην περίπτωση της διαδικασίας Markoff η συνάρτηση πιθανότητας μάζας μπορεί να γραφεί: p y 1, y 2,, y n = p y 1 p y 2 y 1 p y 3 y 2 p y n y n 1 Η διαδικασία Markoff χαρακτηρίζεται ως χρονικά αμετάβλητη αν η υπό συνθήκη πιθανότητα P Y n+1 = b Y n = a) δεν εξαρτάται από το n. Δηλαδή για n = 1,2, ισχύει: P Y n+1 = b Y n = a) = P Y 2 = b Y 1 = α) 4
5 Μαρκοβιανές αλυσίδες (2/3) Μια αμετάβλητη στο χρόνο Μαρκοβιανή αλυσίδα περιγράφεται πλήρως από την αρχική της κατάσταση και τον πίνακα των πιθανοτήτων μετάβασης P = P ij, όπου P ij = P Y n+1 = j Y n = i} και i, j είναι οι τιμές των τυχαίων μεταβλητών οι οποίες ανήκουν στο σύνολο των δυνατών καταστάσεων {1,2,, m}. Ο πίνακας των πιθανοτήτων μετάβασης καλείται και πίνακας μετάβασης. Η πιθανότητα της Μαρκοβιανής αλυσίδας να βρίσκεται τη χρονική στιγμή n στην κατάσταση i συμβολίζεται με p i (n), δηλαδή p i n = P i Y n = i. Αν ισχύει p i n = p i n + 1 = π i για κάθε κατάσταση, τότε η Μαρκοβιανή αλυσίδα χαρακτηρίζεται ως στατική. 5
6 Μαρκοβιανές αλυσίδες (3/3) Αν η πιθανότητα να βρίσκεται το σύστημα στην κατάσταση j κατά την αρχή του k-στου διαστήματος συμβόλου είναι p j (k), τότε οι μεταπτώσεις του συστήματος περιγράφονται από τη σχέση: m p j (k + 1) = p i k i=1 P ij Όπου m είναι το πλήθος των δυνατών καταστάσεων της πηγής. Για μια στατική Μαρκοβιανή αλυσίδα, μεταξύ του διανύσματος των πιθανοτήτων των καταστάσεων π και του πίνακα μετάπτωσης Ρ, ισχύει η σχέση: πρ = π 6
7 Τάξη Μαρκοβιανής αλυσίδας Η τάξη της Mαρκοβιανής αλυσίδας καθορίζεται από το πλήθος (l) των προηγούμενων συμβόλων που επηρεάζουν το επόμενο σύμβολο που θα παραχθεί από την πηγή. Η πηγή είναι στην κατάσταση i, όταν η τελευταία εκπομπή είναι αυτή του συμβόλου s i. Μετάβαση της πηγής από την κατάσταση i στην κατάσταση j, σημαίνει ότι μετά την εκπομπή του συμβόλου s i εκπέμπεται το σύμβολο s j. Σε μία Μαρκοβιανή αλυσίδα: πρώτης τάξης (l = 1), το πλήθος των καταστάσεων της πηγής είναι ίσο με το πλήθος των συμβόλων του αλφαβήτου της πηγής (m = q). δεύτερης τάξης (l = 2), το πλήθος των καταστάσεων της πηγής είναι ίσο με το τετράγωνο του πλήθους των συμβόλων (m = q 2 ). 7
8 Άσκηση 1 Θεωρούμε μία Μαρκοβιανή αλυσίδα με δύο καταστάσεις και πίνακα μετάβασης: P = P 11 P 12 P 21 P 22 = 1 a α b 1 b Nα υπολογιστούν οι πιθανότητες π 1 και π 2, δηλαδή οι πιθανότητες να βρίσκεται η Μαρκοβιανή αλυσίδα στην κατάσταση 1 και 2, αντίστοιχα. Απάντηση: Ο γράφος της Μαρκοβιανής αλυσίδας δίνεται στο σχήμα: Οι καταστάσεις παριστάνονται με κόμβους του γράφου και οι μεταβάσεις με ακμές που συνδέουν την αρχική με την τελική κατάσταση. 8
9 Άσκηση 1 (συνέχεια) Εφόσον είναι γνωστός ο πίνακας μετάβασης, τότε οι πιθανότητες των δύο καταστάσεων μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια της σχέσης πρ = π. Δηλαδή: π 1 π 2 P 11 P 12 P 21 P 22 = π 1 1 α + π 2 b π 1 α + π 2 1 b = π 1 π 2 Λαμβάνοντας υπόψη ότι π 1 + π 2 = 1, υπολογίζουμε τις ζητούμενες πιθανότητες: π 1 1 α + π 2 b = π 1 π2 =1 π 1 π 1 α + b π 1 b = 0 π 1 = b a + b π 1 a + π 2 (1 b) = π 2 π2 =1 π 1 π 2 α + a π 2 b = 0 π 2 = a a + b 9
10 Εντροπία πηγών Markoff Η εντροπία των συμβόλων που εκπέμπονται από την κατάσταση i είναι: H K i m = P ij log P ij j=1 bits/symbol Η εντροπία πηγής είναι ο μέσος όρος της εντροπίας των καταστάσεων: H S m = p i H K i i=1 m = p i P ij log P ij i=1 m j=1 bits/symbol Η μέση ποσότητα πληροφορίας μηνυμάτων της πηγής συμβολίζει την πιθανότητα εκπομπής του μηνύματος m i : H M = p(m i ) log p m i Η μέση ποσότητα πληροφορίας συμβόλων της πηγής (Ν=μήκος μηνυμάτων) είναι: i H N = 1 N H(M) 10
11 Εντροπία πηγών Markoff Το μέτρο του πλεονασμού εξάρτησης μίας πηγής με μνήμη, είναι: red εξ = 1 H με μνήμη(s) H χωρίς μνήμη (S) Το μέτρο του ολικού πλεονασμού είναι: red ολ = 1 H με μνήμη S maxh χωρίς μνήμη S = 1 H με μνήμη(s) log q και αναφέρεται στην εντροπία της πηγής σε σύγκριση με τη μέγιστη δυνατή εντροπία της πηγής χωρίς μνήμη, που επιτυγχάνεται για ίσες πιθανότητες εκπομπής όλων των συμβόλων. 11
12 Άσκηση 2 Μια διακριτή πηγή με μνήμη παράγει μια Μαρκοβιανή αλυσίδα πρώτης τάξης. Το αλφάβητο της πηγής αποτελείται από τα σύμβολα φ, χ και ψ. Ο πίνακας μετάβασης είναι: P = P(φ/φ) P(φ/χ) P(φ/ψ) P(χ/φ) P(χ/χ) P(χ/ψ) P(ψ/φ) P(ψ/χ) P(ψ/ψ) = Να υπολογιστούν: 1) Οι πιθανότητες εκπομπής των συμβόλων της πηγής φ, χ και ψ. 2) Οι συνδυασμένες πιθανότητες εκπομπής μηνυμάτων αποτελούμενων από δύο σύμβολα. 3) Να σχηματιστούν κωδικές λέξεις με το δυαδικό κωδικό αλφάβητο για τα δυνατά μηνύματα δύο συμβόλων σύμφωνα με τον αλγόριθμο του Fano. 12
13 Άσκηση 2 (συνέχεια) Απάντηση: (1) Επειδή η Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι πρώτης τάξης, το πλήθος των καταστάσεων της πηγής είναι ίσο με το πλήθος των συμβόλων. Επομένως, η κατάσταση της πηγής περιγράφει το τελευταίο σύμβολο που παρήγαγε η πηγή και έτσι η πιθανότητα παραγωγής ενός συμβόλου ισούται με την πιθανότητα κατάστασης της πηγής. Από τον πίνακα μετάβασης υπολογίζουμε τις πιθανότητες εκπομπής των συμβόλων της πηγής, οι οποίες ταυτίζονται με τις πιθανότητες κατάστασης της πηγής Markoff. Επιλύοντας το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων: p(φ) = p(φ)p(φ/φ) + p(x)p(φ/χ) + p(ψ)p(φ/ψ) p(χ) = p(φ)p(χ/φ) + p(x)p(χ/χ) + p(ψ)p(χ/ψ) p(ψ) = p(φ)p(ψ/φ) + p(x)p(ψ/χ) + p(ψ)p(ψ/ψ) p(φ) + p(χ) + p(ψ) = 1 βρίσκουμε: p(φ) = 10/27, p(χ) = 8/27 και p(ψ) = 9/27. 13
14 Άσκηση 2 (συνέχεια) (2) Το μέσο πληροφοριακό περιεχόμενο μηνυμάτων αποτελούμενων από δύο σύμβολα υπολογίζεται από τη σχέση: H M = p(m i ) log p m i i Το πλήθος των διαφορετικών μηνυμάτων που αποτελούνται από δύο σύμβολα είναι ίσο με το τετράγωνο του πλήθους των συμβόλων της πηγής, δηλαδή ίσο με 3 2 = 9. Οι συνδυασμένες πιθανότητες εκπομπής των μηνυμάτων αυτών μπορούν να υπολογιστούν από τον πίνακα μετάβασης και τις πιθανότητες εκπομπής των συμβόλων p(φ), p(χ) και p ψ. Έτσι, η πιθανότητα εκπομπής του μηνύματος m k που σχηματίζεται από τα σύμβολα s i και s j δίνεται από τη σχέση: P m k = s i s j = p s i, s j = p s i P(s j s i ) 14
15 Άσκηση 2 (συνέχεια) Επομένως οι πιθανότητες όλων των δυνατών μηνυμάτων είναι: p φφ = p φ P φ/φ = = 5 27 = 0,185 p φχ = p φ P(χ/φ) = = 5 54 =0,093 p(φψ) = p(φ)p(ψ/φ) = = =0,124 p(χφ) = p(χ)p(φ/χ) = = 4 27 =0,148 p(χχ) = p(χ)p(χ/χ) = = 0 p(χψ) = p(χ)p(ψ/χ) = = 8 81 =0,099 p(ψφ) = p(ψ)p(φ/ψ) = = 0 p(ψχ) = p(ψ)p(χ/ψ) = = 1 4 =0,250 p(ψψ) = p(ψ)p(ψ/ψ) = = 1 9 =0,111 15
16 Άσκηση 2 (συνέχεια) (3) Οι κωδικές λέξεις που προκύπτουν από τον αλγόριθμο Fano είναι: Μήνυμα Πιθανότητα Κωδική Λέξη ψχ 0, φφ 0, χφ 0, φψ 0, ψψ 0, χψ 0, φχ 0, χχ 0 - ψφ 0-16
17 Άσκηση 3 Θεωρούμε διακριτή πηγή με μνήμη, τεσσάρων καταστάσεων Α, Β, Γ και Δ, η οποία παριστάνεται με στατική αλυσίδα Μarkoff πρώτης τάξης. Ο πίνακας μετάβασης της πηγής είναι ο ακόλουθος: P = 1 a a a a a a a a Nα βρεθούν τα εξής: 1) Οι πιθανότητες των καταστάσεων π(a), π(b), π(γ) και π(δ). 2) Η τιμή του α για την οποία προκύπτει η μέγιστη εντροπία της πηγής. 3) Να προτείνετε βέλτιστο τρόπο κωδικοποίησης της πηγής, χωρίς να λάβετε υπόψη τη μνήμη της πηγής. 4) Λαμβάνοντας υπόψη τη μνήμη της πηγής και για α = 1/2, να προτείνετε αποτελεσματικό τρόπο κωδικοποίησης. 17
18 Άσκηση 3 (συνέχεια) Απάντηση: 1) Λαμβάνοντας υπόψη ότι η πηγή είναι στατική, καταστρώνουμε το σύστημα που απορρέει από τη σχέση πρ = π. Είναι: π π Α π Β π Γ π Δ και εξ αυτής: 1 a a a a a a a a = π Α π Β π Γ π Δ 1 α π Α + απ Δ = π Α π Α = π(δ) 1 α π Β + απ Α = π Β π Β = π(α) 1 α π Γ + απ Β = π Γ π Γ = π(β) 1 α π Δ + απ Α = π Δ π Δ = π(α) Λαμβάνοντας υπόψη ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων κατάστασης της πηγής είναι 1, βρίσκουμε ότι: π(a) = π(b) = π(γ) = π(δ) = 1/4 18
19 Άσκηση 3 (συνέχεια) 2) Η εντροπία των συμβόλων που εκπέμπεται από όλες τις καταστάσεις της πηγής δίνεται από τη σχέση: H S = 1 α log 1 a a log a Η εντροπία λαμβάνει τη μέγιστη τιμή για ισοπίθανα ενδεχόμενα, δηλαδή στην περίπτωσή μας για 1 a = a = 1/2. Επομένως, η μέγιστη εντροπία Markoff προκύπτει για a = 1/2. Στην περίπτωση αυτή, η εντροπία της πηγής Markoff είναι ίση με 1 bit / symbol. 3) Εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο Huffman, λαμβάνουμε για τα 4 ισοπίθανα σύμβολα, Α, Β, Γ και Δ, τον κώδικα (00, 01, 10, 11). 19
20 Άσκηση 3 (συνέχεια) 4) Αφού η πηγή είναι Μαρκοβιανή αλυσίδα πρώτης τάξης, η μνήμη της πηγής έχει βάθος l = 1. Επομένως για την αποτελεσματική κωδικοποίησή της, αρκεί να λάβουμε υπόψη το σύμβολο που εκπέμφθηκε τελευταίο. Αυτό γίνεται και με την κωδικοποίηση μηνυμάτων της πηγής αποτελούμενων από δύο σύμβολα. Προκύπτει ο ακόλουθος κώδικας (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111) για τα μηνύματα (m 1 = ΑΑ, m 2 = ΑΒ, m 3 = ΒΒ, m 4 = ΒΓ, m 5 = ΓΓ, m 6 = ΓΔ, m 7 = ΔΔ, m 8 = ΔΑ ), με αντίστοιχες πιθανότητες (1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8). Πιο αποτελεσματικός κώδικας μπορεί να προκύψει αν ορίσουμε διαφορετικό κώδικα για κάθε κατάσταση της πηγής. Επειδή από κάθε κατάσταση μπορούν να παραχθούν μόνο δύο σύμβολα, αρκεί η κωδικοποίηση καθενός από τα δύο αυτά σύμβολα με 1 bit, το 0 ή το 1, το οποίο οδηγεί σε μέσο μήκος κώδικα ίσο με 1 bit. Παρατηρούμε ότι η κωδικοποίηση αυτή οδηγεί σε αποδοτικότερο κώδικα, σε σύγκριση με τον προηγούμενο κώδικα μηνυμάτων της πηγής μήκους δύο συμβόλων. 20
21 Άσκηση 4 Μια διακριτή πηγή πληροφορίας εκπέμπει ένα από τα τρία σύμβολα Α, Β, και C και έχει για υπόδειγμα μια διακριτή διαδικασία Markoff της οποίας το γράφημα δίνεται στο σχήμα. Να βρείτε: 1) Την εντροπία Η της πηγής 2) Το μέσο πληροφορικό περιεχόμενό κατά σύμβολο σε ένα μήνυμα που περιέχει ένα, δύο και τρία σύμβολα Απάντηση: Το διάγραμμα δένδρου της εξόδου της πηγής φαίνεται στο επόμενο σχήμα: 21
22 Άσκηση 4 (συνέχεια) Το διάγραμμα δένδρου της εξόδου της πηγής 22
23 Άσκηση 4 (συνέχεια) Για να διευκρινίσουμε πώς γεννιούνται τα μηνύματα αυτά και οι πιθανότητές τους, ας θεωρήσουμε την ακολουθία CCC. Υπάρχουν δύο διαδρομές στο γράφημα που δίνουν την CCC και αντιστοιχούν στις ακολουθίες μεταπτώσεων καταστάσεων και Η πιθανότητα της πρώτης δίνεται από το γινόμενο της πιθανότητας να βρίσκεται το σύστημα αρχικά στην κατάσταση 1 και των πιθανοτήτων των μεταπτώσεων 1 2, 2 1 και 1 2. Οι πιθανότητες αυτές είναι αντίστοιχα 1/2, 1/4, 1/4 και 1/4 και έτσι η πιθανότητα της διαδρομής αυτής είναι 1/128. Ομοίως, υπολογίζεται ότι η πιθανότητα της δεύτερης διαδρομής είναι 1/128. Έτσι η πιθανότητα της ακολουθίας CCC δίνεται από το άθροισμά τους, δηλαδή είναι 2/128. Με βάση το παραπάνω σκεπτικό υπολογίζουμε τον επόμενο πίνακα πιθανοτήτων των συμβόλων της πηγής για μηνύματα μήκους 1, 2 και 3 συμβόλων. 23
24 Άσκηση 4 (συνέχεια) Μηνύματα μήκους 1 Μηνύματα μήκους 2 Μηνύματα μήκους 3 A (3/8) AA (9/32) AAA (27/128) B (3/8) AC (3/32) AAC (9/128) C (1/4) CB (3/32) ACC (3/128) CC (2/32) ACB (9/128) BB (9/32) BBB (27/128) BC (3/32) BBC (9/128) CA (3/32) BCC (3/128) BCA (9/128) CCA (3/128) CCB (3/128) CCC (2/128) CCB (3/128) CAC (3/128) CBB (9/128) CAA (9/128) Μηνύματα μήκους 1, 2 και 3 συμβόλων και οι πιθανότητές τους 24
25 Άσκηση 4 (συνέχεια) Η εντροπία των συμβόλων που εκπέμπονται από την κατάσταση i είναι: m H K i = P ij log P ij = 1 4 log log 3 = 0,8113 bits/symbol 4 j=1 Η εντροπία της πηγής είναι ο μέσος όρος της εντροπίας των καταστάσεων, δηλ: m H S = p i H K i = 1 2 0, ,8113 = 0,8113 bits/symbol 2 i=1 25
26 Άσκηση 4 (συνέχεια) 2) Ας υπολογίσουμε τώρα το μέσο πληροφορικό περιεχόμενο κατά σύμβολο σε μηνύματα που περιέχουν δύο σύμβολα. Υπάρχουν επτά τέτοια δυνατά μηνύματα. Τα πληροφορικά τους περιεχόμενα είναι Ι(ΑΑ) = Ι(ΒΒ) = 1.83, Ι(BC) = I(AC) = I(CB) = I(CA) = 3,4150 και I(CC) = 4.0 bits. Το μέσο πληροφορικό περιεχόμενο των μηνυμάτων αυτών δίνεται από το άθροισμα των γινομένων του πληροφοριακού περιεχομένου το καθενός μηνύματος επί την αντίστοιχη πιθανότητα. Βρίσκουμε το μέσο πληροφοριακό περιεχόμενο κατά σύμβολο, διαιρώντας με το πλήθος των συμβόλων που συγκροτούν το μήνυμα: G 2 = 2,55598/2 = 1,2799 G 1 = 1,5612 G 2 = 3,2910/3 = 1,0970 bits/symbol bits/symbol bits/symbol 26
27 Συνεχείς πηγές πληροφορίας Η μέση ποσότητα πληροφορίας Η(Χ), μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) δίνεται από τη σχέση: H X = න f(x) log f(x) dx Η συνδυασμένη ποσότητα πληροφορίας Η(Χ, Y), των τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ ορίζεται από τον τύπο: H X, Y = න න f x, y log f x, y dx dy Η υπό συνθήκη ποσότητα πληροφορίας Η(Χ Y), των τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ ορίζεται από τον τύπο: H X Y = න න f x, y log f x y dx dy Η αμοιβαία ποσότητα πληροφορίας Ι(Χ; Y), των τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ ορίζεται από τον τύπο: Ι Χ; Y = H X + H Y H(X, Y) 27
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ Διάλεξη 11: Κωδικοποίηση Πηγής Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα 1. Αλγόριθμοι κωδικοποίησης πηγής Αλγόριθμος Fano Αλγόριθμος Shannon Αλγόριθμος Huffman
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πληροφορίας. Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Θεωρία Πληροφορίας Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη Ποσότητα πληροφορίας της πηγής Κωδικοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Θ.Ε. ΠΛΗ22 (2012-13) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #4. Έκδοση v2 με διόρθωση τυπογραφικού λάθους στο ερώτημα 6.3 Στόχος: Βασικό στόχο της 4 ης εργασίας αποτελεί η εξοικείωση με τα μέτρα ποσότητας πληροφορίας τυχαίων
Διαβάστε περισσότεραΣεραφείµ Καραµπογιάς. Πηγές Πληροφορίας και Κωδικοποίηση Πηγής 6.3-1
Ο αλγόριθµος Lempel-iv Ο αλγόριθµος Lempel-iv ανήκει στην κατηγορία των καθολικών universal αλγορίθµων κωδικοποίησης πηγής δηλαδή αλγορίθµων που είναι ανεξάρτητοι από τη στατιστική της πηγής. Ο αλγόριθµος
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Θ.Ε. ΠΛΗ (0-3) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #4 Στόχος : Βασικό στόχο της 4 ης εργασίας αποτελεί η εξοικείωση με τα μέτρα ποσότητας πληροφορίας τυχαίων μεταβλητών (Κεφάλαιο ), τις σχετικές έννοιες και τα μέτρα διακριτών
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 3 : Πηγές Πληροφορίας Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 : Πηγές Πληροφορίας Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Διακριτές Πηγές Πληροφορίας χωρίς μνήμη Ποσότητα πληροφορίας της πηγής Κωδικοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 9 : Κανάλι-Σύστημα Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Χωρητικότητα Χ ό καναλιού Το Gaussian κανάλι επικοινωνίας Τα διακριτά
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Πιθανότητες Πληροφορία Μέτρο
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Πληροφορία Μέτρο πληροφορίας Μέση πληροφορία ή Εντροπία Από κοινού εντροπία
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία πληροφοριών. Τεχνολογία Πολυµέσων 07-1
Θεωρία πληροφοριών Εισαγωγή Αµοιβαία πληροφορία Εσωτερική πληροφορία Υπό συνθήκη πληροφορία Παραδείγµατα πληροφορίας Μέση πληροφορία και εντροπία Παραδείγµατα εντροπίας Εφαρµογές Τεχνολογία Πολυµέσων 07-
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 : Πηγές Πληροφορίας Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Διακριτές Πηγές Πληροφορίας χωρίς μνήμη Ποσότητα πληροφορίας της πηγής Κωδικοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 20 Huffman codes 1 / 12 Κωδικοποίηση σταθερού μήκους Αν χρησιμοποιηθεί κωδικοποίηση σταθερού μήκους δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 7: Θεωρία πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής
Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 7: Θεωρία πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Συστημάτων Πολυμέσων
Θέματα Συστημάτων Πολυμέσων Ενότητα # 6: Στοιχεία Θεωρίας Πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος K. Πολύζος Τμήμα: Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Επιστήμη των Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότερα( ) log 2 = E. Σεραφείµ Καραµπογιάς
Παρατηρούµε ότι ο ορισµός της Η βασίζεται στη χρονική µέση τιµή. Για να ισχύει ο ορισµός αυτός και για µέση τιµή συνόλου πρέπει η πηγή να είναι εργοδική, δηλαδή H ( X) ( ) = E log 2 p k Η εντροπία µιας
Διαβάστε περισσότεραΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ Η/Υ. Εναλλακτικό ιδακτικό Υλικό DRAFT ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ Η/Υ DRAFT ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΗΓΕΣ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΠΗΓΗΣ - ΚΩ ΙΚΕΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Βασίλης Ζορκάδης Μέλος ΣΕΠ ΠΛΗ22 24--28 ΕΑΠ ΠΛΗ22 ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΗΓΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΣυμπίεση Δεδομένων
Συμπίεση Δεδομένων 2014-2015 Ρυθμός κωδικοποίησης Ένας κώδικας που απαιτεί L bits για την κωδικοποίηση μίας συμβολοσειράς N συμβόλων που εκπέμπει μία πηγή έχει ρυθμό κωδικοποίησης (μέσο μήκος λέξης) L
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΘΕΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΣΥΝΘΕΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α. Με ολοκληρωμένη λύση ΘΕΜΑ 1 ο Επιχείρηση χρησιμοποιεί την εργασία ως μοναδικό μεταβλητό παραγωγικό συντελεστή. Τα στοιχεία κόστους της επιχείρησης δίνονται στον επόμενο πίνακα:
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη θεωρία πληροφορίας
Θεωρία πληροφορίας Εισαγωγή στη θεωρία πληροφορίας Τηλεπικοινωνιακά συστήματα Όλα τα τηλεπικοινωνιακά συστήματα σχεδιάζονται για να μεταφέρουν πληροφορία Σε κάθε τηλεπικοινωνιακό σύστημα υπάρχει μια πηγή
Διαβάστε περισσότεραΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ-4. 3 η ΟΣΣ
ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ-4 3 η ΟΣΣ 08.02.205 Ν.Δημητρίου Σημείωση: Η παρουσίαση αυτή είναι συμπληρωματική της ύλης των βιβλίων (τόμος Β / μέρη Α,Β και τόμος Α ) καθώς και των 2 παρουσιάσεων στο study.eap.gr (oss3_plh22_digicomms_205,
Διαβάστε περισσότεραΔίαυλος Πληροφορίας. Η λειτουργία του περιγράφεται από:
Δίαυλος Πληροφορίας Η λειτουργία του περιγράφεται από: Πίνακας Διαύλου (μαθηματική περιγραφή) Διάγραμμα Διαύλου (παραστατικός τρόπος περιγραφής της λειτουργίας) Πίνακας Διαύλου Χρησιμοποιούμε τις υπό συνθήκη
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Διαβάστε περισσότεραΗ πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής:
Άσκηση 1: Ένα κουτί περιέχει 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες. Αφαιρούμε τυχαία δύο μπάλες διαδοχικά. Ποια η πιθανότητα η πρώτη μπάλα να είναι άσπρη και η δεύτερη μπάλα να είναι μαύρη; Λύση: Αρχικά ορίζουμε
Διαβάστε περισσότεραx y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y
Διαβάστε περισσότεραΣυμπίεση Δεδομένων
Συμπίεση Δεδομένων 2014-2015 Κβάντιση Δρ. Ν. Π. Σγούρος 2 Αναλογικά Ψηφιακά Σήματα Αναλογικό Σήμα x t, t [t min, t max ], x [x min, x max ] Δειγματοληψία t n, x t x n, n = 1,, N Κβάντιση x n x(n) 3 Αλφάβητο
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις σε απορίες
Ερώτηση Η µέση ποσότητα πληροφορίας κατά Shannon είναι Η(Χ)=-Σp(xi)logp(xi)...σελ 28 Στο παραδειγµα.3 στη σελιδα 29 στο τέλος δεν καταλαβαίνω πως γίνεται η εφαρµογή του παραπάνω τύπου ηλαδη δεν βλεπω συντελεστη
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Συστημάτων Πολυμέσων
Θέματα Συστημάτων Πολυμέσων Ενότητα # 5: Βασική Θεωρία Πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος Πολύζος Τμήμα: Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Επιστήμη των Υπολογιστών Άδειες χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης Θεωρία Ρυθμού-Παραμόρφωσης Θεώρημα Κωδικοποίησης Πηγής: αν έχω αρκετά μεγάλο μπλοκ δεδομένων, μπορώ να φτάσω κοντά στην εντροπία Πιθανά Προβλήματα: >
Διαβάστε περισσότερα1 Βασικές Έννοιες Θεωρίας Πληροφορίας
1 Βασικές Έννοιες Θεωρίας Πληροφορίας Εντροπία τυχαίων μεταβλητών X, Y : H(X) = E [log Pr(x)] (1) H(X, Y ) = E [log Pr(x, y)] (2) H(X Y ) = E [log Pr(x y)] (3) Ιδιότητες Εντροπίας: Νόμος Bayes: Pr(y x)
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις
ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.
ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΘΟΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Ονοματεπώνυμο:.. Τμήμα:.Αρ..
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΘΟΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2016 2017 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 06/06/2017 ΧΡΟΝΙΚΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ώρες ( 07:45π.μ. 09:45π.μ.) Βαθμός :..
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης. P (B) P (A B) = 3/4.
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 207-8. Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης.. Αν P (A) / και P (A B) /4, βρείτε την ελάχιστη δυνατή και την μέγιστη δυνατή τιμή της P (B). Το B καλύπτει οπωσδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ-3. 3 η ΟΣΣ
ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ-3 3 η ΟΣΣ 04.02.207 Ν.Δημητρίου Σημείωση: Η παρουσίαση αυτή είναι συμπληρωματική της ύλης των βιβλίων (τόμος Β / μέρη Α,Β και τόμος Α ) καθώς και των 2 παρουσιάσεων στο study.eap.gr (oss3_plh22_digicomms_207,
Διαβάστε περισσότεραΜέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές
Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΦεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ-4. 3 η ΟΣΣ
ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ-4 3 η ΟΣΣ 06.02.2016 Ν.Δημητρίου Σημείωση: Η παρουσίαση αυτή είναι συμπληρωματική της ύλης των βιβλίων (τόμος Β / μέρη Α,Β και τόμος Α ) καθώς και των 2 παρουσιάσεων στο study.eap.gr (PLH22_3rdOSS_2015_16,
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακά Συστήματα. 6. Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων
Ψηφιακά Συστήματα 6. Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων Βιβλιογραφία 1. Φανουράκης Κ., Πάτσης Γ., Τσακιρίδης Ο., Θεωρία και Ασκήσεις Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, ΜΑΡΙΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΠΕ, 2016. [59382199] 2. Floyd
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 78 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 20 Ιανουαρίου 2018 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 2 β + α 500 11 18 α β Α= β 3 β, α αν δίνεται ότι: 10 β =.. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός στοιχείων που πρέπει να αφαιρεθούν από το σύνολο Α= { 2, 4, 6,8,10,12,14,16,18,
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 3: Πιθανότητες. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 3: Πιθανότητες Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΒΕΣ 04: ΣΥΜΠΙΕΣΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Ακαδηµαϊκό Έτος 2007 2008, Χειµερινό Εξάµηνο 6 Νοεµβρίου 2007 Φροντιστηριακή Άσκηση 2: (I) Εντροπία,
Διαβάστε περισσότεραΣυμπίεση χωρίς Απώλειες
Συμπίεση χωρίς Απώλειες Στόχοι της συμπίεσης δεδομένων: Μείωση του απαιτούμενου χώρου αποθήκευσης των δεδομένων. Περιορισμός της απαιτούμενης χωρητικότητας διαύλου επικοινωνίας για την μετάδοση. μείωση
Διαβάστε περισσότεραΑ Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ 5. Εισαγωγή Ο σκοπός κάθε συστήματος τηλεπικοινωνιών είναι η μεταφορά πληροφορίας από ένα σημείο (πηγή) σ ένα άλλο (δέκτης). Συνεπώς, κάθε μελέτη ενός τέτοιου συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Τηλεπικοινωνίες
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Πληροφορίας: Χωρητικότητα Καναλιού Χωρητικότητα Καναλιού Η θεωρία πληροφορίας περιλαμβάνει μεταξύ άλλων: κωδικοποίηση πηγής κωδικοποίηση καναλιού Κωδικοποίηση πηγής: πόση
Διαβάστε περισσότεραΓια να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται
Διαβάστε περισσότεραΑνισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /
Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΔίαυλος Πληροφορίας. Δρ. Α. Πολίτης
Δίαυλος Πληροφορίας Η λειτουργία του διαύλου πληροφορίας περιγράφεται από: Τον πίνακα διαύλου μαθηματική περιγραφή. Το διάγραμμα διάυλου παραστατικός τρόπος περιγραφής. Πίνακας Διαύλου Κατασκευάζεται με
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Τηλεπικοινωνίες
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Πληροφορίας: Κωδικοποίηση Πηγής Ψηφιακή Μετάδοση Υπάρχουν ιδιαίτερα εξελιγμένες τεχνικές αναλογικής μετάδοσης (που ακόμη χρησιμοποιούνται σε ορισμένες εφαρμογές) Επίσης,
Διαβάστε περισσότερα2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.
Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΠίνακες Γραμμικά Συστήματα
Πίνακες Γραμμικά Συστήματα 1. Είδη Πινάκων Οι πίνακες είναι ένα χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο, με εφαρμογές και διασυνδέσεις σε πολλές επιστήμες. Η σημαντικότερη εφαρμογή των πινάκων είναι στην επίλυση συστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες
Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 10 : Κωδικοποίηση καναλιού Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Απόσταση και βάρος Hamming Τεχνικές και κώδικες ανίχνευσης &
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο
ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 2ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. (Μπάλες Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ (αʹ Έστω A το ενδεχόμενο να επιλέξουμε τουλάχιστον μια άσπρη μπάλα. Θα υπολογίσουμε
Διαβάστε περισσότεραEE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια. Παράδοση: Έως 22/6/2015
EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Φυλλάδιο 13 Δ. Τουμπακάρης 30 Μαΐου 2015 EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια Παράδοση:
Διαβάστε περισσότεραΚλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο.
ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ 6.1 ΚΛΙΣΗ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. Πραγματική κλίση στρώματος Η διεύθυνση μέγιστης κλίσης,
Διαβάστε περισσότερα2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.
Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ), που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ). 2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης
Διαβάστε περισσότερα1 O ΛΥΚΕΙΟ ΡΟ ΟΥ ) ( ) = ) ( ) = 2 3, ) ( ) = 4, i f x x x x ii f x x iii f x x. x 4x. iv f x x v f x x vi f x vii f x
1 O ΛΥΚΕΙΟ ΡΟ ΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΕ ΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ, ΤΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1. ίνονται τα σύνολα A= (,5], B= [2,7], Γ= (6, + ) µε σύνολο αναφοράς το R Να βρείτε τα σύνολα : A, B, A B, A Β,( B
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΝΤΡΙΖΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ / ΘΕΜΑ Δίνεται το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς
ιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς Για πηγές διακριτού χρόνου µε συνεχές αλφάβητο, των οποίων οι έξοδοι είναι πραγµατικοί αριθµοί, ορίζεται µια άλλη ποσότητα που µοιάζει µε την εντροπία και καλείται
Διαβάστε περισσότεραΟικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ Κρυπτογραφία και Εφαρμογές
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Μαριάς Ιωάννης Μαρκάκης Ευάγγελος marias@aueb.gr markakis@gmail.com Περίληψη Shannon theory Εντροπία Μελέτη κρυπτοσυστηµάτων
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Κωδικοποίηση πηγής- καναλιού Μάθημα 9o
Μάθημα Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Κωδικοποίηση πηγής- καναλιού Μάθημα 9o ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τομέας Επικοινωνιών και Επεξεργασίας Σήματος Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #11: Ασαφής Αριθμητική. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #11: Ασαφής Αριθμητική Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες
Διαβάστε περισσότεραii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας
. Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 5 o Φροντιστήριο
Πρόβλημα ο Ασκήσεις Φροντιστηρίου 5 o Φροντιστήριο Δίνεται το παρακάτω σύνολο εκπαίδευσης: # Είσοδος Κατηγορία 0 0 0 Α 2 0 0 Α 0 Β 4 0 0 Α 5 0 Β 6 0 0 Α 7 0 Β 8 Β α) Στον παρακάτω κύβο τοποθετείστε τα
Διαβάστε περισσότεραds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
Διαβάστε περισσότεραn B ' n B = n n ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ('Η ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ )
ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ('Η ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ) Ενίοτε η πραγματοποίηση ενός γεγονότος εξαρτάται από την πραγματοποίηση άλλου τινός γεγονότος. Κατ' αντιστοιχία, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου μπορεί να εξαρτάται
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 11: Εφαρμογές DFT Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (FFT) Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Υπολογισμός Γραμμικής Συνέλιξης
Διαβάστε περισσότερα2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότερα3. α) Να λύσετε την εξίσωση x 2 = 3. β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος.
. Δίνεται η εξίσωση λ + 4(λ ) = 0, με παράμετρο λ R α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R. γ) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω
Διαβάστε περισσότεραΝα εξετάσετε αν είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, κι αν είναι να υπολογίσετε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F x (x).
Κεφάλαιο 2, άσκηση 1: Δίνονται οι συναρτήσεις: α) 2, β), Να εξετάσετε αν είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, κι αν είναι να υπολογίσετε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F x (x). Λύση : Για να είναι
Διαβάστε περισσότερα22Α004 - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Τελική Εξέταση
22A004 (eclass EE278) Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Φυλλάδιο 11 Δ. Τουμπακάρης 6 Ιουνίου 2013 22Α004 - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Τελική Εξέταση Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες. 4 ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων
ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,
Διαβάστε περισσότερα(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)
ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα κωδικοποίησης πηγής
Κωδικοποίηση Kωδικοποίηση πηγής Θεώρημα κωδικοποίησης πηγής Καθορίζει ένα θεμελιώδες όριο στον ρυθμό με τον οποίο η έξοδος μιας πηγής πληροφορίας μπορεί να συμπιεσθεί χωρίς να προκληθεί μεγάλη πιθανότητα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Διάλεξη 4 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: hp://ecla.uop.gr/coure/tst25
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 1 ο (ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) Ο ρ ι σ µ ο ί Πείραµα τύχης (π.τ.) είναι το πείραµα για το οποίο δεν µπορούµε εκ των προτέρων να προβλέψουµε το αποτέλεσµά του αν και επαναλαµβάνεται
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ
ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο 4 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Α.1 α) ΣΩΣΤΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότερα